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Modelos VARCointegracion y modelos VEC

Procesos multivariados

Gabriel V. Montes-Rojas

Gabriel Montes-Rojas Procesos multivariados


VARSTATA

Modelos de vectores autoregresivos (VAR)

Consideremos 2 series, {yt} y {zt} que estan mutuamente relacionadas. Unmodelo VAR consiste en la modelacion conjunta de estas series

yt = b10 − b12zt + γ11yt−1 + γ12zt−1 + εyt

zt = b20 − b21yt + γ21yt−1 + γ22zt−1 + εzt

Donde se asume:

yt y zt son estacionarias;

εyt ∼ (0, σy ) y εzt ∼ (0, σz ) son ruido blanco;

εyt y εzt no estan autocorrelacionados. Estos se definen como “shocks”que son cambios exogenos con sentido economico.

Esto constituye un modelo VAR de orden 1, VAR(1). Este es un modelo VARen forma estructural o primitiva.



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−b12 es el efecto contemporaneo de zt en yt ; −b21 es el efectocontemporaneo de yt en zt ;

γ11 es el efecto de yt−1 en yt ; γ12 es el efecto de zt−1 en zt ; etc.

Cada ecuacion no puede estimarse por MCO. ¿Por que? Sesgo deecuaciones simultaneas. Probar.



VARSTATA


Se puede reescribir el modelo como

[1 b12

b21 1

] [ytzt

]=

[b10

b20

]+

[γ11 γ12

γ21 γ22

] [yt−1

zt−1

]+

[εytεzt

]Bxt = Γ0 + Γ1xt + εt

donde

B =

[1 b12

b21 1

], xt =

[ytzt

], Γ0 =

[b10

b20

],

Γ1 =

[γ11 γ12

γ21 γ22

], εt =

[εytεzt

]Premultiplicando por B−1,

xt = A0 + A1xt + et

donde A0 = B−1Γ0, A1 = B−1Γ1, y et = B−1εt . Esto es un modelo VAR enforma estandar o reducida. Los parametros de (A0,A1) se pueden estimar porMCO.



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e1t = (εyt − b12εzt )/(1− b12b21)

e2t = (εzt − b21εyt )/(1− b12b21)

Notar que e1t y e2t tienen media 0 y varianza constante, independiente deltiempo,

Var(e1t ) = (σ2yt − b2

12σ2zt )/(1− b12b21)

2

Var(e2t ) = (σ2zt − b2

21σ2yt )/(1− b12b21)

2

Ejercicio: Probar que las autocorrelaciones son 0 y encontrar la covarianzaentre e1t y e2t .

Definir

Σ =

[Var(e1t ) Cov(e1t , e2t )

Cov(e1t , e2t ) Var(e2t )

]=

[σ2

1 σ12

σ12 σ22

]



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VAR - Estabilidad y estacionariedad

Reemplazando n iteraciones llegamos a

xt = (I + A1 + A21 + ... + An

1)A0 +n

∑i=0

Ai1et−i + An+1xt−n−1

La condicion de estabilidad es que las raıces de(1− a11L)(1− a22L)− (a12a21L

2) esten por fuera del cırculo unitario.Definamos µ = [y z ]′ donde y = [a10(1− a22) + a12a20]/∆,z = [a20(1− a11) + a21a10]/∆, ∆ = (1− a11)(1− a22)− a12a21. Entonces,

xt = µ +∞

∑i=0

Ai1et−i

tal que E [xt ] = µ y Var [xt ] = (I − A21)−1Σ.



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VAR - Estabilidad y estacionariedad

Otra forma de ver la estacionariedad es a traves de las siguientes ecuaciones:

(1− a11L)yt = a10 + a12Lzt + e1t

(1− a22L)zt = a20 + a21Lzt + e2t

Entonces, resolviendo

yt =a10(1− a22) + a12a20 + (1− a22L)e1t + a12e2t

(1− a11L)(1− a22L)− a12a21L2

zt =a20(1− a11) + a21a10 + (1− a11L)e2t + a21e1t

(1− a11L)(1− a22L)− a12a21L2

Notar que ambas series tienen la misma ecuacion caracterıstica, con lo que serequiere que las raıces del polinomio (1− a11L)(1− a22L)− a12a21L

2 estenfuera del cırculo unitario.



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VAR - Modelos para n variables, p rezagos

El modelo anterior puede ser generalizado para n variables y p rezagos:

xt = A0 + A1xt−1 + A2xt−2 + ... + Apxt−p + et

donde

xt es un vector (n× 1);

A0 es un vector (n× 1) de interceptos;

Ai es una matriz (n× n) de coeficientes;

et es un vector (n× 1) de errores.

Hay entonces n+ pn parametros a estimar.Se puede estimar cada ecuacion por separado usando MCO.



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VAR - Identificacion

El problema de identificacion tiene que ver con la posibilidad o no de despejar losparametros estructurales a partir de la forma reducida.Supongamos el VAR(1) para dos variables.

El modelo estructural tiene 10 parametros a estimar:(b10, b20, b12, b21, γ11, γ12, γ21, γ22, σy , σz ).

El modelo reducido tiene 9 parametros a estimar:(a10, a20, a11, a12, a21, a22, σ1, σ2, σ12).

Los parametros no se pueden identificar a menos que impongamos unarestriccion adicional.

En general para un modelo de n variables hay que imponer (n2 − n)/2restricciones.



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VAR - Identificacion

Una solucion es descomponer los residuos en forma triangular, imponiendo 0s en lamatriz B en algunos elementos fuera de la diagonal. Esto se llama la descomposicionde Choleski o el metodo recursivo de Sims (1980).

Por ejemplo podemos imponer b21 = 0: zt puede tener un efectocontemporaneo en yt , pero yt no afecta zt . (Se dice que z causa ycontemporaneamente.)

Entonces, tenemos

e1t = εyt − b12εzt

e2t = εzt

tal que tenemos 3 ecuaciones con 3 incognitas

var (e1) = σ2y + b12σ2

z

var(e2) = σ2z

cov(e1, e2) = −b12σ2z

Todos los parametros del modelo estructural se pueden encontrar.



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VAR - Funciones impulso respuesta

Los modelos VAR se pueden escribir como modelos MA de infinitos rezagosusando el resultado xt = µ + ∑∞

i=0 Ai1et−i . En particular,

et =∞

∑i=0

φ(i)εt−i

donde φ(i) = Ai1B−1 =

[φ11(i) φ12(i)φ21(i) φ2(i)

], tal que xt = µ + ∑∞

i=0 φ(i)εt−i .

Los elementos de la matriz φi son los multiplicadores de impacto quedeterminan las funciones de impulso respuesta. Por ejemplo, φ12(0) es el efectocontemporaneo de un shock en εz en y ; φ12(1) es el efecto con un rezago de unshock en εz en y , (o sea εzt en yt+1).

El efecto acumulado n periodos de un shock en la variable k sobre j es

∑ni=0 φjk (i).

Dado que los shocks no pueden tener un efecto permanente, debe darse quelimi→∞φjk (i) = 0 y tambien ∑∞

i=0 φ2jk (i) < ∞.



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VAR - Descomposicion de varianza

Usando la forma de VMA anterior podemos encontrar el error de prediccion n-periodos adelante (n-periodforecast error)

xt+n − Etxt+n =n−1

∑i=0

φi εt+n−i

La varianza error de prediccion n-periodos adelante es

Σ(n) = var (n−1

∑i=0

φi εt+n−i ) =n−1

∑i=0

φiVεφ′i

Por ejemplo para y , tenemos

yt+n − Etyt+n = φ11(0)εyt+n + φ11(1)εyt+n−1 + ... + φ11(n− 1)εyt+1 +

φ12(0)εzt+n + φ12(1)εzt+n−1 + ... + φ12(n− 1)εzt+1

σ2y (n) = σ2

y (φ211(0) + φ2

11(1) + ... + φ211(n− 1)) + σ2

z (φ212(0) + φ2

12(1) + ... + φ212(n− 1))

Entonces podemos computar las proporciones que se deben a cada shock (forecast error variancedecomposition):

σ2y (φ

211(0) + φ2

11(1) + ... + φ211(n− 1))

σ2y (n)

σ2z (φ

212(0) + φ2

12(1) + ... + φ212(n− 1))

σ2y (n)



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VAR - Causalidad de Granger

Un contraste de causalidad muy usado en series de tiempo es el de causalidaden el sentido de Granger.

En un modelo de dos variables, {yt} no causa {zt} si y solo si los coeficientesA21(L) son cero.

Si todas las variables son estacionarias el contraste de Granger es

a21(1) = a21(2) = ... = a21(p) = 0

Mas formalmente, la no causalidad en el sentido de Granger implica

E (zt+1|zt ) = E (zt+1|zt , yt )

(yt no agrega informacion para predecir zt+1)

La generalizacion para n variables, la variable j no causa i en el sentido deGranger si todos los coeficientes Aij (L) son 0.

La causalidad o no de Granger no implica causalidad o no contemporanea, yviceversa.



VARSTATA


En STATA, los modelos VAR se pueden implementar facilmente. Consideremos unmodelo con 3 variables: x,y,z endogenas y una variable exogena w. Entonces unmodelo se puede implementar como:

varsoc x y z /*para seleccionar la cantidad de rezagos*/Los criterios de informacion se pueden usar en procesos multivariados para elegir el numero de

lags/rezagos. Este metodo elige la misma cantidad de lags para todas las variables. Siguiendo a Hamilton

(1994, 295-296) el log-likelihood basado en el supuesto de normalidad se puede escribir como

−( T2 )(ln|Σ|+Kln(2π) +K

)donde K es la cantidad de ecuaciones, Σ es el estimador de verosimilitud de

E (ata′t ) y T la cantidad de observaciones.

var x y z, lags(1/p) exog(w) /*donde p es la cantidad de rezagos a usar*/

varlmar /*para chequear que los residuos no tienen autocorrelacion*/

varnorm /*para chequear la normalidad del modelo*/

varstable /*para chequear que los procesos son estables*/Para realizar inferencia con modelos VAR se requiere que las variables sean estacionarias en covarianzas.

Para ello se debe chequear que todos los autovalores (eigenvalues) del modelo VAR sean menores que 1 en

modulo.

vargranger para analisis de causalidad de Granger.



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Ejemplo empırico

Para ilustrar los modelos VAR consideremos el ejemplo de Lutkepohl (1993,Introduction to Multiple Time Series Analysis, New York:Springer, pp77-78). Losdatos consisten en 3 variables, trimestrales de 1960 a 1982, de Alemania Occidental:

dln inv: primera diferencia del log de inversiondln inc: primera diferencia del log del ingresodln consump: primera diferencia del log de consumo

En STATA:webuse lutkepohl2, clear

varsoc dln inv dln inc dln consump

var dln inc dln consump, exog(dln inv)



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Prediccion para modelos VAR

Para predecir se pueden usar los mismos comandos que para procesos univariados:fcast y predict.

fcast compute hat, step(8)

Esto crea nuevas variables que empezaran con “hat” para todas las variables endogenas en el modelo.

fcast graph



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Funciones de impulso respuesta (impulse responsefunction)

Para estimaciones macroeconomicas es muy importante estudiar los efectos dinamicosde una varible sobre otras. En particular, se busca estimar el efecto de un shock enuna variable sobre otras.

Consideremos el siguiente ejemplo:var x y z, lags(p)

irf create order1, set(myirf1)

irf graph oirf, impulse(y) response(z)



CointegracionModelos VEC

Cointegracion: definicion

Si {yt}, {xt} son dos procesos I(1), entonces en general yt − βxtes un proceso I(1) para cualquier β. Sin embargo, si existe β 6= 0tal que yt − βxt es I(0), entonces (y , x) estan cointegradas.

En general para procesos multivariados si y t es un vector de K × 1I(1) y existe un vector β tal que βy t es I(0), entonces y t es unvector de variables cointegradas con vector de cointegracion β.Para un vector de dimension K puede haber un maximo de K − 1vectores de cointegracion.




Cointegracion: contrastes de hipotesis

¿Como contrastar por cointegracion?

H0: yt , xt no estan cointegradas.

H1: yt , xt estan cointegradas.

1 Correr regresion de yt en xt .

2 Construir residuos et = yt − βxt .

3 Usar el contraste Dickey-Fuller (o Dickey-Fuller aumentado) ala serie {et}, donde los valores crıticos deben ser ajustadosporque estamos estimando β.




Vector error-correction model (Engle and Granger, 1987)

Los modelos de VEC (vector error-correction) son una forma util de trabajar con seriesde tiempo integradas. Consideremos dos series I(1) que estan cointegradas y lossiguientes modelos:

yt + βxt = εt , εt = εt−1 + ξt ,

yt + αxt = νt , νt = ρνt−1 + ζt , |ρ| < 1

donde ξt y ζt son i.i.d. que estan correlacionadas entre sı. Dado que εt es I(1), xt y yttambien son I(1). La condicion |ρ| < 1 implica que νt y yt + αxt son I(0). Ası yt y xtestan cointegradas y (1, α) es el vector de cointegracion. [Note que no es unico porque(c, cα) tambien es un vector de cointegracion.]





Se puede construir

∆yt = βδzt−1 + η1t∆xt = −δzt−1 + η2t

donde δ = 1−ρα−β , zt = yt + αxt , and ηi , i = 1, 2 son variables aleatorias estacionarias

que a la vez son combinaciones lineales de ζt y ξt .

Esta representacion es llamada de vector de correaccion de errores, vectorerror-correction model (VECM).

zt representa desviaciones temporales del equilibrio, que se define como z = 0.

zt es entonces un error/residuo/shock en el sistema.

Los coeficientes de zt−1 representan como las series se ajustan a desviacionesdel equilibrio.

Cuando ρ→ 1, el sistema se vuelve como dos paseos aleatorios correlacionados.





Supongamos el modelo VAR

yt = a11yt−1 + a12zt−1 + εyt

zt = a21yt−1 + a22zt−1 + εzt

Usando operadores de rezagos lo podemos escribir como

(1− a11L)yt − a12Lzt = εyt

−a21Lyt + (1− a22L)zt = εzt

Resolviendo tenemos que

yt = ((1− a22L)εyt + a12εzt ) /D

zt = ((1− a11L)εzt + a21εyt ) /D

con D = (1− a11L)(1− a22L)− a12a21L2.





Notar que ambas variables tienen la misma ecuacion inversa caracterıstica:(1− a11L)(1− a22L)− a12a21L

2 = 0 oλ2 − (a11 + a22)λ + (a11a22 − a12a21) = 0. Las raıces son (λ1, λ2).

Para que las dos series esten cointegradas necesitamos que una raız sea λ1 = 1y la otra λ2 < 1. Resolviendo para que una sea λ1 = 1 implica quea11 = [(1− a22)− a12a21]/(1− a22). Mientras que λ2 < 1 implica a22 > −1 ya12a21 + (a22)2 < 1.

Reescribir el modelo como[∆yt∆zt

]=

[a11 − 1 a12

a21 a22 − 1

] [yt−1

zt−1

]+

[εytεzt

]Entonces podemos tener la forma de correccion de errores:[

∆yt∆zt

]=

[−a12a21/(1− a22) a12

a21 −(1− a22)

] [yt−1

zt−1

]+

[εytεzt

]o normalizando

∆yt = αy (yt−1 − βzt−1) + εyt

∆zt = αz (yt−1 − βzt−1) + εzt

donde αy = −a12a21/(1− a22), β = (1− a22)/a21, αz = a21.





En este caso, yt−1 = βzt−1 es el equilibrio de largo plazo. Si estamos en elequilibrio entonces (yt , zt ) cambia solo en respuesta a los shocks (εyt , εzt ).

Notar que los modelos VEC son VAR con restricciones. Esto indica que esincorrecto correr un modelo VAR en diferencias (obviando el efecto decorreccion de errores.

Usemos la representacion

∆xt = πxt−1 + εt

donde π =

[αy −αy βαz −αz β

].

El rango de la matriz π nos indica la cantidad de relacionbes de cointegracion.De hecho hay dos procedimientos para contrastar por cointegracion:Engle-Granger estudian si los residuos de la relacion de equilibrio sonestacionarios. Johansen (1988) evalua el rango de la matriz π.




Cointegracion: tendencia

Supongamos dos variables (yy , zt ) tal que

yt = µyt t + eyt

zt = µzt t + ezt

donde µit es un paseo aleatorio representando la tendencia y eit el componenteestacionario de la variable i .

Si (yy , zt ) estan cointegradas debe haber valores β1 y β2 tal que β1yt + β2zt esestacionaria. Pero β1yt + β2zt = (β1µyt + β2µzt ) + (β1eyt + β2ezt ) con lo cualse debe dar que

(β1µyt + β2µzt ) = 0

o

µyt = −β2/β1µzt

Entonces si estan cointegradas tienen que tener la misma tendencia.





Consideremos un modelo VAR con K variables y p lags,

y t = A0 +A1y t−1 + ... +Apy t−p + εt

Luego de algebra podemos escribir

∆y t = A0 + Πy t−1 +p−1

∑i=1

Γi∆y t−i + εt

donde Π = ∑pj=1 Aj − IK y Γi = −∑p

j=i+1 Aj .

Engle and Granger (1987) muestran que si las variables y t son I(1) la matriz Φ tienerango (rank) 0 ≤ r < K , donde r es el numero de vectores cointegrados linealmenteindependientes.

Nota: Si las variables estan cointegradas, usar un modelo VAR en primeras diferenciases incorrecto porque omite el termino rezagado Πy t−1.





La matriz Π tiene un rol esencial en VECM.

Si rank(Π) = 0 entonces y t no esta cointegrado y se vuelve un modeloVAR(p − 1) estacionario.

Si rank(Π) = K entonces y t no contiene raıces unitarias. En este caso elmodelo en diferencias no es necesario.

Si 0 < rank(Π) = r < K entonces Φ = αβ′ donde los vectores son K × r yrank(α) = rank(β) = r . Esto significa que y t esta cointegrado con r vectores decointegracion linealmente independientes.

Johansen (1985,1988) nos da un contraste de cointegracion analizando el rangode la matriz Φ.




STATA

varsoc x y z Para seleccionar el numero de rezagos/lags se puede usar loscriterios de informacion que salen de un modelo VAR (en niveles).

Usar el contraste de Johansen: vecrank x y z, lags(p)

Estimar VECM: vec x y z, lags(p)

veclmar /*para ver que los rediduos no estan autocorrelacionados*/

vecnorm /*para chequear normalidad*/

vecstable

Para estabilidad del modelo se chequea que la cantidad de ecuaciones de cointegracion es correcta y que

las ecuaciones de cointegracion son I(0). Con K variables endogenas y r ecuaciones de cointegracion, este

comando chequea que los restantes K − r autovalores (eigenvalues) en modulo estan cerca/lejos de 1.




Lecturas sugeridas

Enders, W. ”Applied Econometric Series”, caps. 5,6.

Johnston, J. y Dinardo, J. ”Econometric Methods”, cap. 9.

Lutkepohl, H. “New Introduction to Multiple Time SeriesAnalysis”.

Tsay, R. ”Analysis of Financial Time Series”, cap. 8.


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