Regresin lineal aplicada en fabricacin

Introduccin

Es una tcnica estadstica utilizada para modelar e investigar la relacin entre dos o ms

variables. Este mtodo es aplicable en muchas situaciones en las que se estudia la relacin

entre dos o ms variables o predecir un comportamiento, algunas incluso sin relacin con la

tecnologa. En caso de que no se pueda aplicar un modelo de regresin a un estudio, se dice

que no hay correlacin entre las variables estudiadas.

Busca determinar el grado de la relacin existente entre variables, utilizando modelos

matemticos y representaciones grficas. As pues, para representar la relacin entre dos o

ms variables desarrollaremos una ecuacin que permitir estimar una variable en funcin

de la otra.

Por ejemplo, en qu medida, un aumento de los gastos en publicidad hace aumentar las

ventas de un determinado producto?, cmo representamos que la bajada de temperaturas

implica un aumento del consumo de la calefaccin?,...

A continuacin, estudiaremos dicho grado de relacin entre dos variables en lo que

llamaremos anlisis de correlacin. Para representar esta relacin utilizaremos una

representacin grfica llamada diagrama de dispersin y, finalmente, estudiaremos un

modelo matemtico para estimar el valor de una variable basndonos en el valor de otra, en

lo que llamaremos anlisis de regresin.

El modelo de regresin

El modelo de regresin lineal ser aplicado en aquellos casos en los que la variable

independiente Y sea continua. Existen varios tipos de regresin, por ejemplo:

Regresin lineal simple

El modelo de regresin lineal simple considera una nica variable independiente o

explicativa, x, y una variable dependiente o respuesta, Y, asumiendo que la relacin entre

ambas es lineal.

La ecuacin que modelizar el comportamiento existente entre ambas variables es la

siguiente, siendo 1 y 0 estimadores:

1: Se trata del cociente entre la interaccin obtenida entre ambas variables y la suma de

cuadrados de los valores de la variable dependiente. Este valor corresponde a la pendiente de

la recta.

0: Es el resultado de la siguiente ecuacin en la que aparecen los valores medios

correspondientes a ambas variables y el estimador 1 obtenido anteriormente. Este valor es

la ordenada en el origen.

Ei es el residuo e indica la bondad del ajuste realizado para cada punto. Se calcula de la

siguiente forma:

Una vez se ha obtenido la recta de regresin, es necesario comprobar la bondad del ajuste

realizado mediante el siguiente anlisis ANOVA:

n= nmero de datos. Se compara F0 con valor F crtico (tabla F de Scnedecor) con valor de

significacin , 1, y n-2 grados de libertad concluyendo: Si F0< Ft, el modelo es apropiado,

Si F0> Ft, el modelo utilizado no es apropiado.

Para los casos en los que un modelo lineal no sea el ms adecuado, se pueden aplicar los

llamados modelos intrnsecamente lineales que transforman la recta en otro tipo de funcin.

Un ejemplo sera la funcin exponencial:

Regresin mltiple (muchas variables regresoras)

Un modelo de regresin que contiene ms de una variable se denomina Modelo de

Regresin Mltiple. La variable dependiente o respuesta Y puede ser relacionada con k

variables independientes. La ecuacin que modeliza el comportamiento es la siguiente:

Este modelo se podr representar de forma matricial de la siguiente manera:

La obtencin de los estimadores se realizar resolviendo el sistema lineal de ecuaciones.

Al igual que en el caso anterior ser necesario efectuar una comprobacin de la bondad de

ajuste mediante un test ANOVA.

k= nmero de variables. n= nmero de datos. p= nmero de grupos. Siendo estas las

expresiones para el clculo de las sumas de cuadrados:

Con el valor F crtico (valor de significacin , k, y n-p grados de libertad) correspondiente

y se compara con F0 determinando la bondad del ajuste de la misma forma que en el caso

de una variable.

Aplicaciones

El modelo de regresin lineal es aplicado en un gran nmero de campos, desde el mbito

cientfico hasta el mbito social, pasando por aplicaciones industriales ya que en multitud de

situaciones se encuentran comportamientos lineales. Estos son algunos ejemplos aplicados a

diversos campos:

Qumica

La concentracin de un elemento es uno de los parmetros de mayor importancia en los

procesos qumicos aplicados en la industria. Esta cuantificacin se puede obtener mediante

un espectrofotmetro, dispositivo que requiere se calibrado. Para ello se elabora una recta de

calibracin que se obtiene a partir de la correlacin entre la absorbancia de un patrn y la

concentracin de la sustancia a controlar.

Mecnica

En esta rama se utiliza la Regresin Lineal entre otros para ajustar la recta de Paris , una

ecuacin que sirve para estudiar elementos sometidos a fatiga en funcin del nmero de

ciclos a los que se somete un material. La bondad del ajuste se comprueba representando el

conjunto de valores discretos a-Nm obtenidos experimentalmente, frente a la curva

correspondiente a la recta de Paris definida por los valores C y m.

Electricidad

En electricidad se puede obtener el valor de una resistencia en un circuito y su error mediante

un ajuste de regresin lineal de pares de datos experimentales de voltaje e intensidad

obtenidos mediante un voltmetro y un ampermetro.

Sensores

Calibracin de un sensor de temperatura (termopar) en funcin de la cada de tensin y la

temperatura. Se estudia la forma en que vara la temperatura de un lquido al calentarlo. Se

calibra el sensor y simultneamente se mide la variacin de temperaturas en un lquido para

representar los datos obtenidos posteriormente mediante Regresin Lineal.

Fsica

Determinacin del coeficiente de rozamiento esttico de forma experimental a partir de la

medicin del ngulo de inclinacin de una rampa. Se realiza un montaje ajustando un circuito

para medir el ngulo de inclinacin, y se realizan mediciones variando dicho. Mediante la

regresin lineal de los datos obtenidos, se obtiene la ecuacin y el ndice de correlacin a fin

de saber el error.

Fabricacin

Dos de los parmetros ms importantes de una soldadura es la intensidad aplicada al hilo y

la velocidad de alimentacin del mismo. Mediante tcnicas de regresin lineal se elaboran

las rectas que relacionan estos parmetros con la separacin entre el hilo y la zona a soldar.

Diseo de experimentos

Con la metodologa 2k es posible mejorar un proceso mediante la realizacin de

experimentos, determinando qu variables tienen un efecto significativo. A partir de esas

variables se obtiene una recta de regresin que modeliza el efecto. Por ejemplo se podra

obtener la relacin entre la temperatura y la presin en un proceso industrial.

Construccin

Mediante tcnicas de regresin lineal se caracterizarn diversas cualidades del hormign. A

partir del mdulo de elasticidad es posible predecir la resistencia a la compresin de una

determinada composicin de un hormign. Tambin se puede determinar la succin capilar

a partir del volumen absorbido por una muestra y el tiempo que ha durado la succin.

Desarrollo de algunos ejemplos de aplicacin de la regresin

lineal

Aplicacin de regresin lineal simple en el proceso de pigmentacin de una empresa del

sector de la automocin.

En la prctica, con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos

de variables, cuando se sabe que existe alguna relacin inherente entre ellas. Por ejemplo, en

un caso industrial se puede saber que la pintura, para partes automotrices, est relacionada

con la cantidad de pigmentacin con la que se lleva a cabo. Puede ser interesante desarrollar

un mtodo de prediccin, esto, un procedimiento para estimar el contenido de pigmentacin

que deben de tener las pinturas para cumplir con las especificaciones de las armadoras como

se muestra en la siguiente imagen de tal manera que el problema consiste en lograr la mejor

estimacin de la relacin entre las variables.

Del ejemplo citado anteriormente, los gramos de pigmentacin son la variable

independiente y la resolucin de pintura es la respuesta Y

El trmino regresin lineal implica Y esta linealmente relacionado con X por la

ecuacin de la recta:

Y=b+mX Y=bx+c

La manera en que se representa el color en las armadoras y ensambladoras, es a travs de la

Figura 1, la cual muestra la combinacin de todos los colores posibles.

Figura 1. Diagrama general del color.

Para nuestro anlisis en cuestin el color se especifica cmo se muestra en la Tabla 1. Las

especificaciones de color para los volantes de un modelo de automvil, son las siguientes:

Tabla 1

L -27.59 '+/-0.6

A -0.05 '+/-0.2

B 1.29 '+/-0.2

De esta manera se observa que las especificaciones son muy justas y cualquier ajuste

equivoco de pigmentacin en la pintura ocasionar, material en condiciones NG,

proporcionando indicadores negativos a la empresa como prdida de tiempo, dinero,

aumento de scrap as como sus indicadores de PPMS internos y con su cliente. Haciendo

una corrida amplia y manipulando el pigmento blanco se toma de lecturas de las

condiciones de la pintura. Son conforme a la Tabla 2.

Tabla 2. Datos obtenidos de la pintura ajustada con pigmento blanco.

Estimando el valor de la pendiente 1 (que llamaremos b) y el valor 0 (que

llamaremos a), se tiene que:

La pendiente de la recta estimada es:

b = -0,468

El valor de 0 estimados es:

a = -25,44567

De tal manera que la frmula de la recta estimada para el ejemplo de la pintura es:

= -25,445-0,468. X

Y la grfica para validar la normalidad de los errores (uno de los supuestos en los que se

basa este anlisis) es:

Figura 2. Grfica de probabilidad.

De esta manera, la funcin de la recta a travs de los mnimos cuadrados funciona e interacta

para generar una ayuda en el mbito industrial y generar un valor probabilstico en beneficio

de obtencin de una similitud de operaciones.

Este mtodo ayudara a las empresas a: Reduccin de tiempos en decisiones de procesos

Reduccin de inversin de materiales en los procesos. Generar un valor mnimo de

incertidumbre en los procesos Estandariza procesos.

La funcin de la recta es aplicable en el mbito industrial al generar una regresin lineal para

la obtencin de un valor esperado que ayude a las compaas a tener una idea de un valor de

una variable que pueden controlar en beneficio de sus procesos.

Aplicacin de regresin lineal mltiple en el anlisis qumico

El rendimiento de una reaccin qumica depende de la temperatura de operacin y de la

concentracin inicial del reactivo. Efectu un anlisis de regresin a los siguientes datos:

Rendimiento concentracin temperatura

81 1 150

89 1 180

83 2 150

91 2 180

79 1 150

87 1 180

84 2 150

90 2 180

SOLUCIN

Aplicando las frmulas citadas anteriormente obtendremos los resultados de todos los datos

que sern necesarios para el clculo de la Tabla ANOVA.

En primer lugar se ajustara el modelo lineal y= 0 + 1x1+ 2x2+ a los datos, se realizar

la estimacin de los coeficientes, y obtendremos la varianza residual:

S2 =1,04881

Tras esto a partir de los residuos calculados y representados en una tabla se calcula el

coeficiente de determinacin:

R2 =0,959559

Por ltimo se calculan las varianzas asociadas a cada uno de los estimadores de los

parmetros:

Parmetro Sbi

0 4,24411

1 0,74162

2 0,02472

Tras esto ya podemos calcular y representar los resultados en la Tabla ANOVA. La

significacin global del ajuste se presenta en la Tabla E52.3:

Al comparar Fo con el F0.05, 2, 5 puede concluirse que el modelo es significativo y que al

menos un bi es distinto de cero. La significancia del efecto de cada Xi se probara a partir de

la prueba 1, basada en una prueba t, dicho anlisis se presenta a continuacin:

Al comparar el to asociado a cada bi con la t0.025,5 puede observarse que los efectos tanto

de la temperatura como de la concentracin son significativos a un nivel de confianza del

95%. El modelo ajustado es por tanto:

Y = 39.75 + 3.0. X concentracin + 0.25. X temperatura

La validacin del modelo se hara en base al anlisis de los residuos, a travs de los

siguientes grficos:

grfico de probabilidad normal de los residuos

grfico de los residuos frente a los valores predichos

grficos de los residuos frente a cada variable

Un anlisis de los grficos de los residuos contra las variables concentracin y temperatura

permitir concluir si el factor concentracin presenta un efecto muy importante sobre la

variabilidad del rendimiento, en funcin de si una mayor concentracin reduce la variabilidad

en cuanto al rendimiento de la reaccin qumica.