Regresion, correlacion y causalidad

Regresion, correlacion y causalidad

Walter Sosa Escudero

Walter Sosa Escudero Regresion, correlacion y causalidad

Preliminares: regresion en una dummy

Yi = α+ βDi + ui, i = i, . . . , N

Notacion

T = total de observaciones con Di = 1 (‘tratados’)

N − T = ‘no tratados’.

YT , YN−T , promedios tratados y no tratados.

Resultado: β = YT − YN−T

Demostracion: ver Apendice a esta clase.


Efecto y causa

Yi = α+ βDi + ui

Paraguas, lluvia. Fertilizante, altura. AUH, asiste al secundario.

En que sentido β mide el efecto que D tiene sobre Y ?

En que sentido β en base a (Di, Yi), i = 1, . . . , n estima elefecto que D tiene sobre Y ?

Todavia no tenemos una definicion clara de causa.


Causa y efecto en base a observables

D = 0, 1, ‘causa’, ‘tratamiento’. NotacionD1 ≡ (D = 1), D0 ≡ (D = 0).

Y es un resultado (‘efecto’).

Y |D1 = resultado observable si hubo tratamiento. Y |D0 si nohubo tratamiento.


Tratados y no tratados

Resulta tentador pensar que el efecto causal es la diferencia entre‘tratados y no tradados’:

Y |D1 − Y |D0

Ej: comparar personas que hicieron / no hicieron dieta, recibierono no la AUH.

Problema?


Antes y despues

Tampoco funciona comparar ‘antes y despues’

Y |D1 − Y |D0

Peso antes y despues de hacer dieta.

Nuevamente, comparacion de peras y manzanas.

Ceteris paribus?


Causa y efecto en base a contrafacticos

Cuestion filosofica delicada. Aproximacion simple.

Resultados potenciales.

Y0 si D = 0Y1 si D = 1

independientemente de si hubo o no tratamiento.

Ej: Y1 temperatura si tomases un analgesico. Son ‘promesas’.Y0 salario si no recibieses la AUH

Efecto causal: β = Y1 − Y0 (caida en la fiebre si tomases unaaspirina con respecto a que no la tomes).

Causalidad en terminos de diferencias entre resultados potenciales(contrafacticos)


Inobservabilidad de contrafacticos

Problema: se observa Y1 o Y0 pero nunca ambos.

D implica haber eliminado una ruta observable. Ambas rutaspotenciales ‘existen’.

‘El tiempo se bifurca perpetuamente hacia innumerablesfuturos. En uno de ellos soy su enemigo’. (J.L. Borges, en ‘Eljardin de senderos que se bifurcan)


Observables

En la practica se observa Y

Y =

{Y1 si D = 1Y0 si D = 0

O, alternativamente:

Y = Y0 + (Y1 − Y0) D

Inobservancia de contrafacticos: Si a una persona le di una droga,observo la temperatura de la persona habiendole dado la droga,pero no veo a la misma persona en la circunstancia de no haberledado la droga. Y viceversa!


Regresion y causalidad

El problema de medir el efecto causal parece no tener solucion(inobservabilidad de contrafactuales)

El modelo de regresion Yi = α+ βDi + ui estimado por MCOtiene un problema (sesgo por seleccion) y una solucion(aleatorizacion)


Sesgo de seleccion

Notacion D1 ≡ (D = 1), D0 ≡ (D = 0)

Comparacion personas tratadas y no tratadas

Y | D1 − Y | D0

Verbalizacion: peso de gente que hizo dieta con gente que nohizo dieta.

Problema? (peras con manzanas)


Y |D1 − Y |D0 =[Y |D1 − Y0|D1

]+[Y0|D1 − Y |D0

]=

[Y1|D1 − Y0|D1

]+[Y0|D1 − Y0|D0

]Y |D1 − Y |D0 = β + S

con S ≡ Y0|D1 − Y0|D0

S es el sesgo por seleccion.


Y |D1 − Y |D0 = β + SDif Observables = Efecto causal + Sesgo

Sesgo:

S ≡ Y0|D1 − Y0|D0

Diferencia en peso potencial sin tratamiento, entre tratados yno tratados.

En la practica? Quien hace dieta / toma analgesicos?

Con datos observacionales S 6= 0.

Sesgo de seleccion: la comparacion entre tratados y notratados estima el efecto causal MAS el sesgo.


Correlacion no es causalidad

Y |D1 − Y |D0 = β + SCorrelacion = Causalidad + Sesgo

Ej: paraguas y lluvia en datos observacionales: correlacion positiva,causalidad nula. Puro sesgo.


Aleatorizacion al rescate

Tratamiento aleatorio: D es independiente de Y1 y Y0

Y |D1 − Y |D0 = β +[Y0|D1 − Y0|D0

]E[Y |D1 − Y |D0

]= β + E

[Y0|D1

]− E

[Y0|D0

]= β + E

[Y0|D1

]− E

[Y0|D1

]= β

El paso clave es que bajo tratamiento aleatorio E[Y0|D1

]= E

[Y0|D0

]Resultado: el tratamiento aleatorio elimina el sesgo de seleccion.


Tratamiento aleatorio?

Tratamiento aleatorio: eleccion de tratamiento sin mirarresultados potenciales.

Experimento o cuasi experimento.

D se mueve en forma exogena (‘causa’).

Datos observacionales: la gente no hace dieta porque si, nitoma aspirinas al azar sino porque inicialmente tenia fiebre.

Auge de la aproximacion experimental en medicina.Economia?

Experimento: control de la variabilidad exogena.


Lluvia y paraguas con datos observacionales: β = Y1 − Y2,obviamente cero. Puro sesgo: Y |D1 − Y |D0 = S

Lluvia y paraguas en un experimento: β estima correctamenteβ = 0 (sesgo nulo).


Aleatorizacion y exogeneidad

Yi = α+ βDi + ui

Que implica la aleatorizacion en el modelo causal en terminos delmodelo lineal bajo los supuestos clasicos?

Y = Y0 + (Y1 − Y0)D= E(Y0) + βD +

[Y0 − E(Y0)

]Y = α+ βD + u

con α ≡ E(Y0) y u ≡ Y0 − E(Y0)

Supongamos que tenemos una muestra (Yi, Di), i = 1, . . . , n

Para que β sea insesgado necesitamos E(ui|Di) = 0.


E(ui|Di) = E[Y0 − E(Y0) | Di

]= E(Y0|Di)− E(Y0)

= E(Y0)− E(Y0)

= 0,

ya que bajo aleaotorizacion E(Y0) = E(Y0|Di), de modo que β enbase a datos observables es insesgado para el efecto causal.

Conclusion: Bajo aleatorizacion de tratamiento, Y = α+ βD + utiene una interpretacion causal. β es insesgado para los datosobservacionales (no hace falta ver los potenciales).


Resumiendo

Causalidad: relacion entre contrafacticos. Uno no esobservable.

Bajo aleatorizacion de tratamiento, Y = α+ βD + u tieneuna interpretacion causal. β es insesgado.

Rol de E(u|D) = 0: D varia en forma exogena.

Relevancia del razonamiento experimental.

Cuestion muy importante en las ciencias sociales en losultimos tiempos.


Referencias

Angrist, J. y Pischke, J., 2014, Mastering Metrics: the Pathfrom Cause to Effect, Cap. 2, Princeton University Press,Princeton.

Sosa Escudero, W., 2014, Que es (y que no es) la Estadistica,Siglo XXI Editores, Buenos Aires. Capitulo 3: El huevo y lagallina: causalidades y casualidades.

Borges, J.L., 1944, El jardin de senderos que se bifurcan, enFicciones, Sudamericana, Buenos Aires.


“A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasadono creia en un tiempo uniforme, absoluto. Creia en infinitasseries de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiemposdivergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiemposque se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmentese ignoran, abarca todas la posibilidades. No existimos en lamayoria de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; enotros, yo, no usted; en otros, los dos. En este, que un favorableazar me depara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted, alatravezar el jardn, me ha encontrado muerto; en otro, yo digoestas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma.”

J.L. Borges, 1944, El jardin de senderos que se bifurcan


Apendice: β como diferencia de medias

Yi = α+ βDi + ui, i = i, . . . , N

Notacion

T = tratados, N − T = no tratados.

YT , YN−T , promedios tratados y no tratados.∑T Yi ≡

∑DiYi,

∑N−T ≡

∑(1−D)Yi

Resultado: β = YT − YN−T


Prueba

Recordar

β =

∑diYi∑d2i

, di ≡ Di − D

Denominador: ∑d2i =

∑(Di − D)2

=∑

D2i −ND2

=∑

Di −N T 2/N2

= T − T 2/N

= T (1− T/N)


Numerador:∑diYi =

∑(Di − D)Yi

=∑

DiYi − D∑

Yi

=∑T

Yi − T/N

(∑T

Yi +∑N−T

Yi

)= T YT − T/N

(T YT + (N − T ) YN−T

)= YT T (1− T/N) − YN−T T (1− T/N)

= T (1− T/N)(YT − YN−T

)Reemplazando y simplificando se obtiene el resultado.

Ejercicio: derivar α para este caso.


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