MATH 112

Lección 9

Capítulo 5 Sec. 5.3

División de Polinomios

Cuando el Divisor es un Monomio

• Cuando dividimos un monomio por un monomio, podemos usar las reglas de los exponentes y restamos exponentes cuando las bases son las mismas.

• Por ejemplo:

106

410 425 45

153 3

xx x

x 1 2

2 53

22 548 48

163 3

a ba b ab

ab

,

Cuando el Divisor es un Monomio

• Cuando dividimos un polinomio por un monomio, rompemos la división en una suma de cocientes de monomios.– Para hacerlo, usamos la regla de suma

usando notación fraccional en orden inverso. Esto es, debido a que

A B A B

C C C

, sabemos que

A B A B

C C C

Cuando el Divisor es un Monomio

• Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada termino por el monomio.

1. Divida 12x3 + 8x2 + x + 4 por 4x .3 2

3 2

2

12 8 4

4

12 8 4

4 4 4 41 1

3 24

x x x

x

x x x

x x x x

x xx

Escríbelo como expresión fraccional.

Divida cada termino del numerador por el monomio: Esto es el orden inverso de suma.

Haciendo las cuatro divisiones indicadas.

Cuando el Divisor es un Monomio

2. Divida: (8x4y5 – 3x3y4 + 5x2y3) ÷ x2y3

4 5 3 4 2 3 4 5 3 4 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3

2 2

8 3 5 8 3 5

8 3 5

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y xy

Cuando el Divisor No es un Monomio

• Cuando el divisor no es un monomio, usamos un procedimiento como la división larga en aritmética.

• Veamos el siguiente ejemplo:

3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 .

Cuando el Divisor No es un Monomio

2

2

3 5 8

32

x x xx

x xx

3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 .

Divida el primer término por el primer término: x2/x = x .

Multiplique la x de arriba por el divisor, x + 3.

Reste: (x2 + 5x) – (x2 +3x) = x2 + 5x – x2 – 3x = 2x .

Ahora bajamos el otro término del dividendo, en este caso el 8.

Veamos la siguiente diapositiva:

Cuando el Divisor No es un Monomio

2

2

3 5 8

32 82

2

62

xx x x

x xxx

Divida el primer término por el primer término: x2/x = x .

Se bajo el 8.

Multiplique el 2 de arriba por el divisor x + 3 .

Restamos: (2x + 8) – (2x + 6) = 2x + 8 – 2x – 6 = 2 .

La contestación es x + 2, R 2 , o 2

23

xx

3.

Esta expresión es el residual sobre el divisor.

Cuando el Divisor No es un Monomio• Note que la contestación anterior (ejemplo 3) no es un

polinomio a menos que el residual sea 0.• Para verificar, multiplicamos el cociente por el divisor y

sumamos el residual para ver si obtenemos el dividendo:

(x + 3) ∙ (x + 2) + 2 = (x2 + 5x + 6) + 2

= x2 + 5x + 8Divisor Cociente Residual

Cuando el Divisor No es un Monomio4. Divide: (5x4 + x3 – 3x2 – 6x – 8) ÷ (x – 1) .

4 3

3 2

4 3 2

3 2

2

3 2

2

5 6 3 31 5 3

5 5

6 6

3

6 8

6 3

3 63

3 33 8

11

x x xx x x x x

xx x

x x

xx

x

x

x

x

x

Reste: (5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) = 6x3

Reste: (6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) = 3x2

Reste: (3x2 – 6x) – (3x2 – 3x) = -3x

Reste: (-3x – 8) – (-3x + 3) = -11

Cuando el Divisor No es un Monomio

4. La contestación es 5x3 + 6x2 + 3x – 3, R -11; o

• Siempre acuérdese cuando divida polinomios arregle el polinomio en orden descendente.

3 2 115 6 3 3

1x x x

x

Cuando el Divisor No es un Monomio

• En una división polinomial, si hay términos ausentes en el dividendo, escriba los términos ausentes con un coeficiente de 0, o deje espacio para ellos.– Por ejemplo, en 125y3 – 8, decimos que los

términos y2 y y están faltando. Podemos escribirlos como sigue: 125y3 + 0y2 + 0y - 8.

Cuando el Divisor No es un Monomio

5. Divida: (125y3 – 8) ÷ (5y – 2) .

3

3

2

2

2

2

2

25 10 45 2 125 0 0

125

8

50 0

20

50

50 2

20 88

0

0

y y

y y

y yy y

y y

y

y y

y

Cuando faltan términos, podemos insertarlos.

Reste: (125y3 + 0y2) – (125y3 – 50y2) = 50y2

La respuesta es 25y2 + 10y + 4 .

Reste: (50y2 + 0y) – (50y2 – 20y) = 20y

Reste: (20y - 8) – (20y – 8) = 0

Cuando el Divisor No es un Monomio6. Divida: (x4 – 9x2 – 5) ÷ (x – 2) .

Note que los términos x3 y x faltan en el dividendo. En este ejemplo dejamos los espacios.

3 2

4 2

3 2

4 3

3 2

2

2

2

2 4

2 5 102 9 5

2 9

5

10 55 10

1 05

22

0

x

x x

x

x xx x x

xxx

x x

x

x

x

Dejamos espacios para términos faltantes.

Restamos x4 – (x4 – 2x3) = 2x3

Restamos (2x3 – 9x2) – (2x3 -4x2) = -5x2

La contestación es x3 + 2x2 - 5x - 10, R -25; o 3 2 25

2 5 102

x x xx

Restamos (-10x – 5) – (-10x + 20) = -25

Restamos -5x2 – (-5x2 + 10x) = -10x

Cuando el Divisor No es un Monomio

• Cuando dividimos, podemos tener un residual de 0 o no.

• Cuando el residual no es 0 podemos seguir trabajando hasta que el grado del residual es menos que el grado del divisor, como en el siguiente ejemplo.

Cuando el Divisor No es un Monomio7. Divida: (6x3 + 9x2 - 5) ÷ (x2 -2x)

2 3 2

3 2

2

26 12

21 42

6 212 6 9 0 5

21 0

42 5

x x

x x

xx x x x x

x x

x

Insertamos el termino ausente.

El grado del residual es menos que el grado del divisor, por lo tanto terminamos.

La contestación es 6x + 21, R 42x – 5 o 2

42 56 21

2

xx

x x

Reste

Reste

División Sintética

• Para dividir un polinomio por un binomio del tipo x – a, podemos simplificar el procedimiento general por un procedimiento llamado división sintética.

• Es importante recordar que para que funcione este sistema, el divisor tiene que ser de la forma x – a, esto es, una variable menos una constante. El coeficiente de la variable tiene que ser 1.

División Sintética• Compare los siguientes ejemplos. En A hacemos

la división. En B también dividimos pero no escribimos las variables.

3

2

2

2

3 2

2

4 8

5 10

11

4 5 112 4 3 7

5

11 7

2922

x xx x x x

x xx

x x

xx

x

1 2 4 3 1 78

4 5 11

4

55 1

101111

72229

A. B.

En B todavía hay alguna duplicidad. También, podemos restar sumando el opuesto, podemos usar 2 en vez de -2 y luego sumar en vez de restar.

División SintéticaC. División Sintética

4 7

4

32 1

2 4 3 1

4

87

5

2 4 3 1 7

108

4 5 11

2 4 3 1 7

8 10

4 5 1

22

1 29

a)

b)

c)

d)

Escriba el 2, el opuesto de -2 en el divisor x – 2, y los coeficientes del dividendo.

Multiplique 4 por 2 para obtener 8. Sume 8 y -3.

Baje el primer coeficiente.

Multiplique 5 por 2 para obtener 10. Sume 10 y 1.

Multiplique 11 por 2 para obtener 22. Sume 22 y 7.

Cociente Residual

División SintéticaC. El ultimo número, es el residual. Los otros números son los coeficientes del

cociente, con el termino del grado mayor primero, como sigue:

4 5 11 29 Residual

Coeficiente grado 0

Coeficiente primer grado

Coeficiente segundo grado

La contestación es 4x2 + 5x + 11, R 29, o 2 29

4 5 112

x xx

División Sintética

8. Usando división sintética divida:

(x3 + 6x2 – x - 30) ÷ (x – 2)

2 1 6 1 30

2 16 30

1 8 15 0

La contestación es x2 + 8x + 15, R 0, o x2 + 8x +15

División Sintética9. (2x3 + 7x2 – 5) ÷ (x + 3)

Aquí no hay el término x, por lo cual escribimos un 0 para su coeficiente. Note que x + 3 = x – (-3), por lo tanto escribimos -3 en la esquina izquierda.

3 2 7 0 5

6 3 9

2 1 3 4

La contestación es 2x2 + x - 3, R 4, o 2 42 3

3x x

x

División Sintética10. (x3 + 4x2 – x – 4) ÷ (x + 4)

4 1 4 1 4

4 0 4

1 0 1 0

La contestación es x2 - 1

División Sintética

11. (x4 – 1) ÷ (x – 1)

1 1 0 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 1 0

La contestación es x3 + x2 + x +1

División Sintética

12. (8x5 - 6x3 + x – 8) ÷ (x + 2)

2 8 0 6 0 1 8

16 32 52 104 210

8 16 26 52 105 218

La contestación es 8x4 – 16x3 + 26x2 – 52x + 105, R -218, o

4 3 2 2188 16 26 52 105

2x x x x

x