Leccion 4 Factor de Intensidad de Tensiones Con Problemas

Modos básicos de aplicación de las tensiones sobre una grieta

Modo I (modo de abertura) corresponde a separación de las caras de la grieta

bajo la acción de tensiones normales;

Modo II (modo de deslizamiento) refiere al desplazamiento de los labios bajo

la acción de tensiones de corte perpendiculares al frente de grieta;

Modo III (modo de desgarre) se produce por deslizamiento y cizalladura de los

labios de la fisura, en una dirección paralela al frente de grieta.

Ecuaciones de las tensiones elásticas en los puntos

próximos a una grieta

- A partir de los conceptos de tensión

plana y deformación plana

- Ecuaciones de equilibrio

- Ecuaciones de compatibilidad para

las deformaciones

- Función de Airy de la tensión

- Solución de la ecuación

biharmónica

- Funcion compleja de Westergard

para placas cargadas biaxialmente

- Se obtienen los desplazamientos

para modo I

- Factor de intesidad de tensiones en

modo I

Westergard (1939), Irwin (1957)

2

3sin

2sin1

2cos

2 r

aX

2

3sin

2sin1

2cos

2 r

aY

2

3cos

2cos

2sin

2 r

aXY

Tensión plana y deformación plana:

tensiones y desplazamientos en

coordenadas cartesianas y cilindricas

Mode I:

Tenión plana (plane stress)

Deformación plana (plane strain)

Mode III: Mode II:

Linear Elastic Crack-tip Fields

(tension plana y deformación plana)

Funciones angulares del factor de intensidad de

tensiones para los tres modos de fractura

-Los detalles de la tensión aplicada y

geometría entran sólo a través de K !!!

Para una placa infinita con una grieta

central pasante: K = ( a)1/2

- Pero para cada modo la forma del

campo de tensiones es distinto !!!

- Principio de superposición : para un

modo determinado, los valores de K son

aditivos

- Las expresiones de las tensiones y los

desplazamientos se reducen a formulas muy

sencillas:

CARACTERISTICAS DEL

CAMPO DE TENSIONES

Variación de la tensión normal al plano de la grieta

Fig. 4.3 Tensión normal al plano de la grieta

en modo I

r

yy

= 0

zona dominada por la singularidad

r

K I

2

Si examinamos la componente de la tensión a lo largo de la dirección del eje

x, tenemos (línea discontínua): yy

El valor de la tensión tiende a

infinito cuando r tiende a cero.

Esto es debido a que se ha

supuesto que el ángulo de

curvatura de la punta de la

grieta es cero y que el material

es sólo elástico. En realidad,

necesariamente debe tener un

valor finito tanto el radio como

la tensión a partir de la cual el

material deja de ser elástico.

A medida que nos alejamos de

la punta la tensión tiende a

cero lo cual no es válido. La

expresión desarrollada para la

tensión es válida solamente a

distancias muy pequeñas de la

punta de la grieta

Factores de intensidad de tensiones para otras geometrías

- Probetas con una grieta en el borde en

una placa semi-infinita (Semi infinite edge

notched specimens)

- Anchura finita con una grieta central

pasante (Finite width centre cracked

specimens)

- Anchura finita con una entalla en el

borde ( Finite width edge notched

specimen)

- Probetas con la fuerza sobre la grieta

(Crack-line loading specimens)

-Grietas Elípticas / Semielípticas

(Elliptical / Semielliptical cracks)

W

afaCK I * *

edge notched finite width

Anchura finita con una grieta central pasante (Finite width

centre cracked specimens) :

W

a

a

WaK I tanIrwin:

Isida: 36 term power series approx.

Brown:

W

aaK I secFeddersen:

32

200.12152.1256.01W

a

W

a

W

a

W

af

f(a/W)

Single edge notched

(SEN)

Double edge notched

(DEN)

Finite-width

edge-notched

specimens:

SEN:

DEN:

42 3

1.122 1.122 0.820 3.768 3.040

21

I

a a a a

W W W WK a

a

W0.5% accurate

for any a/W

2 3 4

1.122 0.231 10.550 21.710 30.382I

a a a aK a

W W W W

0.5% accurate

for a/W < 0.6

Probetas con una grieta en el

borde en una placa semi

infinita (Semi infinite edge

notched specimens). Bordes

libres: la grieta se abre más

que en una placa infinita

resultando en un aumento del

12% en el factor de intensidad

de tensiones

1.12IK a

Dos soluciones importantes desde el punto de vista práctico

Probetas con una fuerza puntual

sobre la grieta (Crack-line loading

specimens)

(P: fuerza por unidad de espesor)

xa

xa

a

PK IA

xa

xa

a

PK IB

Para una fuerza en el centro

a

PK I

KI disminuye cuando la grieta

aumenta de longitud !

Grieta bajo una presión interna (la fuerza por unidad

de espesor en dx es Pdx, siendo P la presión interna)

dxxa

xa

xa

xa

a

Pdx

xa

xa

a

PK

aa

a

I

0

aPa

x

a

Padx

xa

a

a

PK

aa

I

0022

arcsin22

El mismo resultado que para una tensión externa

Solución muy útil para:

- Placas con remaches o

tornillos

- Problemas donde hay

presión interna

Grietas elípticas

Las grietas se forman en realidad en

discontinuidades de la superficie como

por ejemplo se muestra en las figuras

Ejemplo:

grieta en

una esquina

en una

sección

longitudinal

en la

intersección

de un

recipiente a

presión.

Empezaremos considerando

situaciones ideales:

• Grietas elípticas inmersas en el

interior del material.

•Grietas semi-elípticas superficiales

Solución de Irwin:

41

2

2

22 cossin

c

aaK I

a/c 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.000 1.016 1.051 1.097 1.151 1.211 1.277 1.345 1.418 1.493 1.571

Gieta circular:

1*

/ 2IK a

Grieta elíptica en un medio infinito bajo Modo I

2 22 2

20

( )1 sin

c ad Q

c

Where : elliptic integral of the second type

KI varia a lo

largo del frente

de grieta

I

aK

I

a aK

c

max. at = /2:

min. at = :

Durante el crecimiento de

una grieta elíptica ésta

tenderá a ser circular :

importante en problemas

de fatiga

Las grietas que se producen en servicio tienen generalmente una forma irregular, pero al propagarse por

fatiga o por corrosión bajo tensión suelen adquirir una forma próxima a la forma elíptica si se trata de una

grieta en el interior, o semielíptica si se trata de una grieta superficial. En este último caso suele ser

costumbre llamar 2c a la longitud del eje mayor de la elipse y a al semieje menor.

2 22 2

20

( )1 sin

c aQ d

c

Donde Q1/2 es la integral elíptica:

Para = /2

2

3

8 8

aQ

c

Existe una aproximación para

con un error menor del 5%.

Grieta semielíptica en la superficie

Grietas superficiales semi-elípticas

Generalmente, en la práctica, el tipo de grieta más común es una grieta

semielíptica o de un cuarto de elipse superficial. La presencia de superficies

libres significa que debemos añadir factores correctores a las expresiones

para grietas en el interior. En el caso de la grieta elíptica superficial, la

presencia de la superficie se tienen en cuenta mediante un factor de 1.12,

mientras que una grieta de un cuarto de elipse típica de una esquina el factor

es 1.2.

También hay que tener en cuenta la presencia de la otra superficie delante de

la grieta si el espesor no es mu grande comparado con la profundidad de la

grieta.

Las soluciones más exactas para grietas semielípticas superficiales son las

obtenidas por Raju y Newman y que se basan en cálculos por elementos

finitos. En este caso el factor de intensidad de tensiones se escribe

Donde (ver figura siguiente) W>>c y el valor de C depende de a/c, a/B y .

Los valores de C se indican en la tabla.

/KI C a

Grieta superficial semielíptica sometida a tracción

Factores de intensidad de tensiones para una grieta semielíptica superficial en

una placa de dimensiones finitas, de acuerdo a Newman y Raju

/KI C a

Factores de intensidad de tensiones para grietas superficiales semi-elípticas: la

solución de Newman y Raju (la más exacta) en comparación con otras

aproximaciones

IK

a

Q

SUPERPOSICION DE FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES

1) Grieta bajo una

presión interna:

2) Grieta

superficial

semielíptica en un

recipiente a

presión

0D

I

C

I

B

I

A

I KKKK aKK C

I

D

I P aPK P

I

aCPK P

I

B

RPH B

aCPRaCK H

IH

aB

RCP

KKK P

IIIH

1

3) Grietas

emanando de un

agujero cargo una

carga P siendo el

agujero pequeño

comparado con las

grietas

W

af

a

PaK I

22

where P is the force per unit

thickness

Applications of Fracture Mechanics to Crack Growth at Notches

S

S

l l 2c

2a

1*12.1*

2

tK

cL

Example:

2c = 5 mm, L* = 0.25 mm

2c = 25 mm, L* = 1.21 mm

L* : transitional crack length

For crack length l ≥ 10% c: crack

effective length is from tip to tip!!!

(including notch)

Numerical Solution:

Newman 1971

Consequences:

For relatively small (5-10 % notch size) cracks at a hole or at a notch, the stress

intensity factor K is approximately the same as for a much larger crack with a

length that includes the hole diameter / notch depth.

plane

window

Reading: Fatige and the Comet Airplane (taken from S. Suresh, Fatigue of Materials)

Edge crack at window Crack in groove of a pressurized cylinder

Lager effective crack length by a contribution of a notch !

RECIPIENTES A PRESIÓN DE PAREDES

DELGADAS

Cuando un recipiente tal como por ejemplo una tubería contiene un fluido a altas

presiones. Las tensiones que se desarrollan en las paredes se pueden deducir

equilibrando las fuerzas ejercidas por la presión con las tensiones desarrolladas

en el interior. Esto se muestra en la figura tanto para tensión axial como para la

tensión tangencial

Para un cilindro de pared delgada (t<<r) las ecuaciones son

Pr Pr;

2z

t t

La tensión tangencial es el doble de la axial .

Obtención de factores de intensidad de

tensiones

Existen Handbooks en los cuales pueden encontrarse

factores de intensidad de tensiones.

Obviamente para geometrías complicadas o cargas

variables es muy probable que el factor de intensidad de

tensiones no haya sido determinado o no pueda

expresarse de una forma analítica sencilla.

Cuando no se encuentran, entonces debe realizarse un

cálculo por elementos finitos.

En las siguientes transparencias se ofrecen algunos

factores de intensidad de tensiones para geometrías

sencillas y que a menudo se utilizan.

Relación entre G y K

• Consideremos una grieta pasante en

una placa infinita bajo desplazamiento

constante en sus extremos.

Supongamos que la grieta aumenta su

longitud en a a lo largo del plano de la

grieta en la dirección x. Una vez

extendida cerramos de nuevo la grieta

ejerciendo unas fuerzas sobre su

superficie de magnitud igual a la

componente yy del campo de tensiones

que existía cuando la grieta no se había

extendido en a. Estas fuerzas son

después relajadas hasta cero con lo cual

la grieta vuelve a abrirse hasta el valor

sin tensión aplicada sobre sus caras y

que denominamos uy.

a

uy

Relación entre G y K

• El trabajo realizado sobre el sistema por las tensiones yy durante

los desplazamientos uy a lo largo del eje y es igual al cambio en

energía disponible para la fractura al disminuir el área de la grieta

en S:

• El trabajo realizado (la energía mecánica) es igual al cambio en la

energía disponible para la fractura (en este caso sólo energía

elástica), ya que las fuerzas externas no realizan trabajo al estar la

placa bajo desplazamiento total fijo (u= constante):

( )u

dUS

dS

y

12 ( )u ( )

2yy u

S

dUdS S

dS

Puesto que G se define como:

( )u

dUG

dS

Entonces

0

2 1lim

2yy y

SS

G u dSS

Para la unidad de espesor

00

2 1lim

2

a

yy ya

BG u dx

B a

a

uy

Necesitamos conocer los valores de yy y uy. En el sistema x’-y’, que tiene su

origen en la punta de la grieta cuando la tensión sobre ella ha sido relajada.

Hemos visto que en el sistema x’y’ en tensión plana:

y

4 ( ')4 'u

2 2

IIK xK r

E E

Lo cual es válido para x’<0 que es el caso que nos

interesa. De la figura tenemos que x’= (x- a).

Por tanto

4 ( ')4 ' 4

2 2 2

II Iy

K xK r K a xu

E E E

a

uy

Por otra parte las tensiones vienen dadas por

0, 02

Iyy

Kpara x y

x

Por tanto,

2

0 00 0

22 1 4lim lim

2 2 2

II I

a a

KK K a x a xG dx dx

a E ax E x

Realizando el cambio de variables x= a sen2z, se puede demostrar que el valor

de la integral es a/2. Por tanto para tensión plana:

2I

I

KG

E

a

uy

En el caso de deformación plana se encuentra:

2

2/(1 )

I

I

KG

E

Modos II y III

De forma similar, se puede demostrar que en el caso de deformación

plana para los modos II y III se tiene

221 II

IIK

=GE

2

1 IIIIII

K= +G

E

La energía total disponible para la fractura en modo mixto de carga puede calcularse fácilmente mediante la suma de las energías de los

diferentes modos

222 21

1

IIII II III I II

KG G G G K K

E (4.62)

Condición de fractura

Debido a la relación existente entre G y K y considerando que en la lección

anterior se estableció que la fractura ocurre cuando G alcanza un valor crítico

(Gc), también podemos afirmar que la fractura ocurrirá cuando el valor de K

alcance un valor crítico que se representa por Kc y que se denomina tenacidad

de fractura. En tensión plana ambos están relacionados por :

Mientras que en deformación plana la relación es:

En modo I se suele reservar el simbolo KIc para la tenacidad de fractura en

deformación plana, mientras que la tenacidad de fractura en tensión plana se

representa mediante KC .

2c

Ic

KG

E

2

2/(1 )

Ic

Ic

KG

E v

ESTABILIDAD DE LA FRACTURA

De forma análoga a las consideraciones realizadas para la estabilidad de la fractura en

términos de G, la estabilidad de la fractura se puede escribir en términos de K

dG/dc > 0, dK/dc > 0, (inestable)

dG/dc < 0, dK/dc < 0, (estable)

ADITIVIDAD DE LOS FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES.

Para materiales con un comportamiento elástico lineal, los componentes individuales de

esfuerzo, deformación y desplazamiento que actúan bajo un mismo modo de carga sobre

una grieta son aditivos. Sin embargo, los correspondientes valores de G asociados a los

distintos factores de intensidad de tensiones no lo son. Es decir,

total A B C

I I I IK K K K (4.63)

pero en cambio, total

I II IIIK K K K (4.64)

El principio de superposición permite determinar factores de intensidad de tensiones para

configuraciones complejas si éstas pueden resultar de la superposición de configuraciones

más sencillas.

FRACTURA EN MODO MIXTO

Cuando dos o más modos de carga actúan simultáneamente, los valores

de G correspondientes a cada modo pueden sumarse a fin de

obtener la energía total disponible para la fractura:

2 21 12 2E EI II I I II IIG G G G K G K

La fractura ocurrirá cuando G alcance

un valor crítico y en primera aproximación,

se puede suponer que la condición

de fractura es 2 2 2I II IcK K K

Esta ecuación predice que KIIc = KIc y que el lugar geométrico es un círculo con radio KIc.

En la práctica esto no se cumple y la condición de fractura más real es

2 2

1I II

Ic IIc

K K+ =K K

.

círculo:

elipse:

IK

IIK

IcK

IIcK

=IcK IIcK

2 2 2I II IcK K = K

2 2

1I II

Ic IIc

K K+ =

K K

Condiciones de fractura en modomixto para aleaciones de aluminio

KIIc

KIIc

0 25 50 75

2024-T3, tensión plana

DTD 5050, deformación plana

0

50

25

KII,

MP

am

MPa m

Trayectoria de la grieta

Si la tensión aplicada no es perpendicular al plano de la grieta,entonces aparecen dos modos de carga, modo I y modo II, y el

camino que sigue la grieta, en general, no es coplanar con el de la

grieta inicial

Los factores de intensidad de tensiones en modo I y II se determinanconsiderando las tensiones normales y tangenciales al plano de la

grieta,

(0) 2cosI I

K K (4.82)

(0) cos senII I

K K (4.83)

siendo el ángulo entre el plano horizontal y el plano inicial de la

grieta. KI(0)

es el factor de intensidad de tensiones en modo I cuando

es igual a cero.

TRAYECTORIA DE LA GRIETA

x

y

(º)0 15 30 45 60 75 90

Án

gulo

de p

ropag

ació

n (

90

º+)

0

15

30

45

60

90

75 Normal a la tensión remota

Criterio de Gmax

Ensayo Biaxial

Trayectoria de la grieta bajo cargas biaxiales

Consideremos que la grieta además de estar inclinada, está sometida a una

tensión biaxial, cuyas componentes principales son 1 y 2, siendo 1 la

mayor de las dos. es el ángulo entre la grieta y la dirección 2. Podemos

aplicar el principio de superposición para obtener los valores del factor de

intensidad de tensiones en ambos modos de carga

(0) 2 2(cos sen )

I IK K B (4.94)

(0) (cos sen )(1 )

II IK K B (4.95)

donde B es la relación de biaxialidad, definida como

2

1

B (4.96)

Áng

ulo

de

pro

pag

ació

n (

90º

+)

B = 0.75

B = 0.00

B = 0.50

B = 0.25

1

2

0

15

30

45

60

90

75

(º)0 15 30 45 60 75 90

x

y

Áng

ulo

de

pro

pag

ació

n (

90º+

)

B = 0.75

B = 0.00

B = 0.50

B = 0.25

1

2

0

15

30

45

60

90

75

(º)0 15 30 45 60 75 90

x

y

Trayectoria de la grieta bajo cargas biaxiales

El máximo factor de intensidad de tensiones y la máxima energía disponible para

la fractura se obtienen para un ángulo óptimo, *, el cual depende de la relación

de biaxialidad. En la figura se ilustra el efecto de B y sobre el ángulo de

propagación. Nótese que cuando B > 0 y = 90 , resulta * = 0, es decir, la

propagación ocurre en el plano de la grieta, puesto que la misma está sobre el

plano principal y sometida a carga en modo I

2

1

B

OTROS FACTORES DE

INTENSIDAD DE TENSIONES

MPORTANTES

EJEMPLOS Y PROBLEMAS

Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB

Problema de Fractura

Fractura de una placa con una grieta central.

Una placa gruesa con una grieta central pasante de 80 mm tiene 200 mm de anchura y está en deformación plana. La placa ha sido fabricada con una aleación de aluminio y la tensión de fractura es de 100 MPa. a)¿Cuál es la tenacidad de fractura de la aleación?. b) ¿Cuál sería la carga que produciría la fractura para la misma longitud de grieta en:

1) una placa infinita

2) una placa de 120 mm. de anchura?

SOLUCIÓN:

a) Utilizando la expresión de K en términos de la función secante,

Donde la función secante se define mediante:

I apK = a (a

w)sec



Puesto que ap= 100 MPa, a= 0.04 m, W= 0.2 m, a/w = 0.2, sec ( a /w) = 1.236.

Por consiguiente, KI = 39.4 MPa m1/2

Este valor puede considerarse igual a la tenacidad de fractura, KIc, si la placa es muy gruesa y estamos en deformación plana como se indica en el enunciado.

(b).

(1) Cuerpo infinito con grieta central pasante:

Obtenemos: F = 111.1 MPa

(2) Placa finita agrietada en el centro

w = 0.12 m, a/w = 0.333, sec ( a/w) = 2,

Por tanto,

F= 78.6 MPa

I apK = a



Consideremos una placa con una grieta en el borde de longitud c sometida a una tensión uniforme A y una fuerza F por unidad de espesor que actúa para abrir los labios de la fisura tal como se muestra en la Figura 2. (a) Determinar la tensión para producir la propagación inestable de la grieta. b) ¿Cual es el valor de la energía disponible para l fractura, G? Considere que el factor de intensidad de tensiones correspondiente a la fuerza F viene dado por:

Fig. 2. Grieta en el borde con tensiones remotas uniformes y fuerzas lineales en la

boca de la grieta.

K = K + K = ( c) +2 F

( c)A F A

1/2

1/2

Donde F = fuerza por unidad de espesor, = término constante superficial (igual a 1.12)



SOLUCIÓN

Debido a la aditividad de los factores de intensidad de tensiones, el factor de intensidad de tensiones total viene dado por:

Donde el último término es el factor de intensidad de tensiones de una grieta pasante de longitud c en el borde de una placa infinita y sobre la cual actúa una fuerza F por unidad de espesor en el borde.

La función K(c) se representa en la Figura para un valor fijo de F y dos valores distintos de A. (La utilización de escalas logarítmicas permite diferenciar claramente las regiones en que domina cada uno de los dos términos de la ecuación (líneas discontinuas de pendientes 1/2 y -1/2).

La condición de fractura K = KIc está representada por una línea horizontal discontinua.

Supongamos que la grieta está inicialmente determinada por F cuando A = 0, o sea que cI = (1/ )

(2 F/KIc)2. Si A < M (curva inferior) la recta horizontal K = Kc intersecta la curva sólida en dos puntos:

en c = cI’‘ >cI lo cual corresponde a un equilibrio estable (dK/dc<0); y en c = cF, lo cual corresponde a un

equilibrio inestable (dK/dc>0). Más incrementos en A hacen que cI’ se expanda establemente hasta

que K = KC, y cF simultáneamente se contrae hasta que finalmente c= cI’ = cF = cM. La tensión crítica A

= M se calcula imponiendo que dK/dc = 0 en K = KC. Imponiendo estas dos condiciones tenemos un

sitema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:

K = K + K = ( c) +2 F

( c)A F A

1/2

1/2



Grafico de K normalizado con respecto a KC para dos valores de la tensión aplicada

cF



Vale la pena señalar que la tensión de rotura no depende del tamaño de la grieta inicial.

Otro punto importante que es necesario remarcar es el cálculo de G en un caso como el presente en que existe superposición de cargas aplicadas.

Obsérvese que si las cargas operaran por separado, las energías disponibles para la fractura en cada caso por separado serían GA = KA

2/E‘ y GF = KF2/E'.

MM

=2F

cM

C

2c = (

4 F

K)

G = (K +K ) / E = (K + K 2 K K ) / EA F2 2

A F A F2



Se debe diseñar un recipiente a presión con un acero de alto límite elástico capaz de resistir presiones de 60 MPa. El diámetro interno es de 750 mm. y el espesor de la pared debe ser superior a 1.25 cm.

El diseñador puede elegir uno de los seis aceros cuyas propiedades están resumidas en la Tabla 1.

Los medios de control no destructivos de que se dispone no pueden detectar fisuras menores de 1 cm. ¿Qué acero se debe escoger para utilizar la mínima cantidad de material? Suponga que los defectos son grietas superficiales semi-circulares y que las paredes del recipiente pueden considerarse delgadas y que por tanto la presión y la tensión tangencial dentro de las paredes del recipiente están relacionadas mediante

Acero A B C D E F

e(MPa) 1790 1520 1240 1240 960 750

KIc(MPa m) 90 120 150 240 290 190

=pd

2t= 350MPa

Considere también que el factor de forma del factor de intensidad de tensiones

viene dado en la gráfica adjunta

Parámetro de forma, Q

0.4

0.3

0.2

0.1

00.5 1.0 1.5 2.0

Rel

ació

n d

e a

spec

to,

/2a

c

2c

a

superficial

2c

2a

interna

y = 0.00

y

y

y

= 0.60

= 0.80

= 1.00

I 1.12a

KQ

2

2 0.212y

Q2

2

3

8 8

a

c

Extrapolando los valores de Q para a/2c=0.5, obtenemos

2,4 y 2,18 cuando el cociente / ys varía desde 0 a 1



SOLUCIÓN

Supondremos que en la pared interna del recipiente a presión existe una fisura superficial

semicircular de longitud 1 cm. y de profundidad 0.5 cm. El factor de intensidad de

tensiones KI en una buena aproximación viene dado por la expresión:

Puesto que los únicos datos son d=0.75 m, a=0.005 m y a/2c=0.5, no es posible obtener KI.

Además Q es una función de la tensión, y por tanto de t. Sin embargo, este factor varía

entre 2,4 y 2,18 cuando el cociente / ys varía desde 0 a 1. Un cálculo rápido aproximado

puede realizarse simplemente admitiendo que Q tiene su valor mínimo, es decir, 2,18, lo

que conduce a sobreestimar el espesor t, por tanto conduce a la seguridad.

Acero A:

t = 1.1260x0.75

2x90

0.005

2.18= 0.02377m

1.122

I

pd aK

t Q



Acero B: t = 0.01783 m Tabla 2. Cálculos de las tensiones en MFE

Acero C: t = 0.01426 m

Acero D: t = 0.00891 m

Acero E: t = 0.00738 m

Acero F: t = 0.001126 m

Para los aceros C, D, E y F las tensiones son superiores al límite elástico de los aceros. El cálculo del espesor de la pared debe ser realizado mediante la condición convencional

= y (El valor de la presión considerado ya tiene un factor de seguridad, de manera que por esta razón no es necesario incluirlo).

Acero C, Acero D, t = 0.01815 m

Acero E, t = 0.02344 m Acero F, t = 0.03000 m

Estos nuevos espesores así como los que fueron calculados antes para los aceros A y B, son todos superiores al límite inferior de 1,25 cm. El espesor más delgado se obtiene para el acero B y es de 1.78 cm. Hay que destacar que el acero seleccionado no es el de mayor límite elástico ni el de mayor tenacidad.

Acero A B C D E F

=pd/2t 946.5 1261.9 1577.8 2525.2 3048.8 1998.2

t =pd

2=

60x0.75

2x1240= 0.01815m

y

Problema

(Diseño en términos de límite elástico)

FS= 1.5



Un disco con un agujero en el centro es puesto en rotación, aparece una tensión circunferencial proporcional al cuadrado de la velocidad angular w en la periferia del agujero.

Esta tensión es igual a:

Donde r y R son los radios interior y exterior del disco, D es la masa del volumen del material y es el coeficiente de Poisson. El disco ha sido fabricado con un acero con las siguientes propiedades:

Por otra parte, r = 2,5 cm. y R = 5 cm.

Suponiendo que existe una fisura radial de longitud a = 2.5 mm. en la periferia del agujero, ¿a qué velocidad el disco se romperá?

=3+

4R [1+

1-

3+(

r

R) ]2 2 2

y Ic3=1930MPa; K = 44MPa m = 7.8kg / dm ; = 0.3;



Se admitirá que

Ésta es válida si r/a es mayor o igual a 10. La eliminación de entre (w) y KI ( ) da:

Donde NC es la velocidad crítica en vueltas por minuto (N = 30w/ ). Con los valores numéricos propuestos se obtiene, NC = 15596. Si se hubiera realizado el cálculo en base a la tensión de rotura del material, se tendría:

Se constata pues que la utilización de la mecánica de la rotura disminuye a la mitad la velocidad de rotación admisible.

IK =1.12 a

c 1

4

Ic

2 2N = 13.5551

a

K

[(3+ ) R + (1- ) r ]

cu

2 2N = 19.098[(3+ ) R + (1- ) r ]

= 32542



Los recipientes a presión utilizados en la generación de energía son usualmente de gran

espesor y operan en un intervalo de temperaturas desde temperatura ambiente hasta

temperaturas elevadas y deben diseñarse con un criterio “fail-safe” (rotura segura). Un

determinado recipiente esférico se propone que opera a una presión (p) de 40 MPa y a unas

temperaturas desde 0ºC hasta 300ºC. El espesor de la pared (t) es de 100 mm y el diámetro

(D) es 2m. Se ha sugerido utilizar dos aceros distintos:

Acero A: Para este acero, KC = (150 + 0.05T) MPa m½ donde T es la temperatura de

operación en grados centígrados y el limite elástico varia linealmente entre 549 MPa a 0ºC y

300 MPa a 300ºC.

Acero B: Aquí KC = (100 + 0.25T) MPa m½, y varía linealmente entre 650 MPa a 0ºC hasta

500 MPa a 300ºC.

Determine gráficamente, mediante inspección, el rango de temperaturas en el cual cada uno

de estos aceros será más seguro con respecto a la fractura. Las fisuras pasantes pueden

suponerse críticas y el factor de intensidad de tensiones para tales fisuras es:

La tensión de membrana en la pared del recipiente puede tomarse pD/4t y a es la

profundidad de la grieta .

22

2

1 0.5

C

YS

aK



Solución

La solución de este problema se reduce a determinar los valores requeridos de KC para evitar

la fractura a varias temperaturas en el intervalo operativo, es decir, 0ºC, 100ºC, 200ºC y

300ºC para ambos aceros. Estos valores pueden graficarse en términos de los valores

aplicados de KI a las mismas temperaturas y el mayor margen entre los valores aplicados y

los requeridos de tenacidad se ve claramente. El problema puede resolverse también

analíticamente.

La tensión de membrana es:

Aunque el diseño esta basado en la fuga antes de la rotura, la disminución de presión

causada por la grieta pasante no es conocida. Por tanto es conservador considerar que la

presión sobre las caras internas de la fisura no disminuye. Por tanto el factor de intensidad de

tensiones total será la suma de la tensión de membrana y la presión, o sea, 240 MPa. El

diseño de fuga antes de la rotura requiere que el recipiente tolere una grieta pasante de

profundidad a=t y suponemos que la grieta es semcircular (2c =a) donde 2c es la longitud

de la fisura en la superficie. Como no tenemos información sobre el grado de excentricidad de

las fisuras, hemos supuesto que la fisura es semicircular y que a=t donde t es el espesor. Por

tanto el valor requerido de la tenacidad viene dado por:

40 2.0200

4 4 0.1

pD xMPa

t x



22

2

240 0.1

2401 0.5

c

YS

x xK

Estos datos se representan en la grafica.

Claramente la tenacidad del acero A es mayor y

por tanto ofrece unos márgenes de seguridad

mayores pero sólo hasta la temperatura de

212ºC. Por encima de esta temperatura, el acero

B es la mejor opción ya que su tenacidad

aumenta muy rápidamente con la temperatura.

La tabla proporciona los valores requeridos de la

tenacidad de fractura para estas dos aleaciones.

KCB

KCA

Valores requeridos de Kc

B A


.

0ºC 100ºC 200ºC 300ºC

Acero

A

Límite Elástico

MPa 540 460 380 300

Valor requerido de KC

MPa m½ 141.7 144.7 150.3 163.1

Valor real de Kc

MPa m½ 150 155 160 165

Acero

B

Límite Elástico

MPa 650 600 550 500

Valor requerido de KC

MPa m½ 139.4 140.2 141.4 143.0

Valor real de KC

MPa m½ 100 125 150 175



Un conocido filántropo ofrece una recompensa de 100000 Euros a quien se cuelgue de

una cuerda durante un tiempo mínimo de un minuto. La cuerda está unida a una placa de

vidrio de 3000 cm de longitud, 10 cm de ancho y 0.127 cm de espesor. Existen algunos

detalles que hacen la situación un poco complicada:

1) La placa de vidrio tiene un grieta central pasante de 1.62 cm de longitud orientada de

forma perpendicular al lado mayor de la placa y paralela al suelo. La tenacidad de fractura

del vidrio es 0.83 MPa m½.

2) La cuerda está suspendida sobre un pozo que contiene serpientes verdes un poco

enojadas.

3) Demuestre que sus conocimientos de mecánica de la fractura son suficientes para saber

si es una gran oportunidad de ganar dinero fácil, o, por el contrario, está delante de un

falso filántropo malvado y tacaño que quiere evitar gastar en la compra de comida para las

serpientes.

El factor de intensidad de tensiones viene dado por:

donde

K Y a

2 3

1 0.256 11.52 12.2a a a

YW W W



SOLUCIÓN

El tamaño de la placa es un tamaño finito, por tanto necesitamos utilizar la corrección Y para placas finitas. Las dimensiones de la placa son también necesarias para determinar la tensión a partir de la fuerza (=peso de la persona) que actúa sobre la placa.

Puesto que 2a= 16.2 mm, a= 8.1 mm y W= 100 mm, tenemos que Y = 1.035

La tensión aplicada viene dada por:

Para una persona de peso igual a 60 kg

Por consiguiente, el factor de intensidad de tensiones es igual a:

FF peso A area

A

260 9.814.63 /

100 1.27

xN mm

x

1.035 4.63 0.0081 0.76K Y a x x MPa m



Este cálculo está basado en el peso promedio de un estudiante de esta

asignatura. Por consiguiente, con los conocimientos actuales de mecánica

de la fractura y con algo de valor, podría intentar ganar la recompensa.

Pero tenga presente que el margen de seguridad es pequeño y que el

vidrio en presencia de humedad sufre un proceso conocido como fatiga

estática que puede hacer crecer una grieta aun cuando KI sea inferior a

KIC. Por tanto, mi recomendación es que antes de tomar ninguna decisión

consulte un libro y vea si la fatiga estática podría tener alguna influencia

en su futuro.



Una planta de procesamiento químico contiene un conjunto de reactores similares que

operan a temperaturas en el intervalo entre -70ºC a 350ºC. Se desea usar una misma

aleación para fabricar todos los reactores. La tenacidad de fractura y el límite elástico de la

aleación escogida son:

KC = (63 + T/10) MPa m½ en el intervalo de temperatura -100ºC a +400ºC

Las paredes de los reactores tienen un espesor de 15 mm y se diseñan según el criterio de

goteo antes que rotura. El factor de intensidad de tensiones es:

a) En base a las propiedades del material determine gráficamente la temperatura a la cual

es más probable que el material se deforme en lugar de romperse, es decir, cuando el

criterio de diseño de fractura frágil no es correcto y debe utilizarse el criterio de control de

la deformación plástica.

b) ¿Se puede utilizar la mecánica de la fractura a las temperaturas más altas? Determine el

rango de temperaturas en el cual se puede aplicar cada criterio.

Temperatura ºC -100 0 100 200 300 400

Límite elástico, MPa 550 450 412 400 362 300

K a



SOLUCIÓN

Supongamos condiciones de tensión plana en el recipiente. Entonces la zona plástica viene

dada por:

Simplemente grafiquemos el límite elástico y la tensión de rotura en función de la

temperatura, ya que la grafica es útil para el diseñador, aunque el problema también se

puede resolver analíticamente. El cambio en tenacidad de fractura es lineal.

Puesto que el criterio es el de goteo antes de rotura, podemos suponer que la grieta crítica en

la fractura vendrá dada por el espeor de la pared del recipiente, o sea, 15 mm. Por ejemplo

para

2

12p y

YS

Kr r

0.015 56 ( 70ºC)cK MPa m

El cálculo entonces da valores de la tensión de fractura de 258 MPa a -70ºC, y repitiendo el cálculo pero ahora para 350ºC obtenemos 451 Mpa. Por tanto la tensión de fractura es de 258 MPa a -70ºC, y 451 MPa a 350ºC.

70ºC



A continuación se muestra la grafica y el

punto de intersección está alrededor de

221ºC. Simplemente la probabilidad de

que ocurra fractura a temperaturas por

debajo de este punto es mucho mayor

mientras que a temperaturas superiores

ocurrirá plastificación antes que la rotura.

La hipótesis de tensión plana es crítica

para la respuesta ya que un estado biaxial

de tensión no conduce a un aumento en el

límite elástico. Sin embargo permanece la

pregunta de si el tamaño de la zona

plástica delante de la punta de la grieta es

suficientemente pequeño para utilizar

LEFM.



De la ecuación de la zona plástica está claro que al aumentar la temperatura la zona

plástica aumenta. Consideremos el caso 220ºC - KC = 85 MPa m½ y limite elástico = 395

MPa;

Este valor es igual al espesor de la pared del recipiente pero también igual a la longitud

de la fisura. Por tanto, no se cumplen las condiciones de la LEFM y debería utilizarse

mecánica de la fractura elastoplástica.

Para ver si la LEFM es aplicable a alguna temperatura dentro del rango operativo,

podemos examinar la situación a -100ºC – (KC = 53 MPa m½ y el límite elástico = 550

MPa), por tanto:

Este valor es aproximadamente igual a 1/5 del espesor de la pared y la LEFM puede ser

válida.

21 85

0.0147395

pr m

21 53

0.00296550

pr m

Pregunta. Lowhaphandu and Lewandowski [Scripta Mater. 38, 1811(1998)] studied the

effect of crack tip radius on the stress intensity factor at failure for a specific material, as

summarized in the graph below. (Note that they call crack tip radius “notch root radius” and

stress intensity factor at failure “fracture toughness”.)

(a) Using the stress at the tip of an elliptical hole, calculate the stress at the crack tip (as a

function of applied stress) for the largest and smallest crack tip radius considered. (This is

an single edge-crack with initial crack length a of 25 mm).

Using this relation with a = 25 mm, we find

that σ = 21σ0 for R = 250 μm and σ = 20001

σ0 for R = 2.5 Angstroms. (Note that it was

assumed an “atomically sharp” crack tip

radius for the second example, even though

it is known that the crack is NOT

atomistically sharp. Anything ≤ 1 μm is

acceptable, however.)

Solution: Consider the equation given the stress σ at the tip of a crack with length a and radius

of curvature R where σ0 is the applied (global or far-field) stress.

(b) Are your results from part (a) consistent with the results in the graph below (i.e., consistent

with the fact that at the largest crack tip radius we measure has the largest stress intensity

factor)? Explain why they are or are not consistent.

Solution: Yes these results are consistent. These results suggest that a sharper crack tip acts as

a stronger stress concentrator than a more blunt crack tip. Therefore it would will take less

stress to reach the “critical stress intensity” needed to fracture the material.

Leccion 4 Factor de Intensidad de Tensiones Con Problemas

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