Transformación de esfuerzoEn este capitulo se mostrara como se transforman las componentes de esfuerzo que están asociadas con un sistema coordenado particular en componentes asociadas con otro sistema de coordenadas que tiene una orientación diferente

9.1 Transformación de esfuerzo plano

En la sección 1.3 se mostro que el estado general de esfuerzo en un punto se caracteriza mediante seis componentes independientes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante, que actúan sobre las caras de un elemento de material ubicado en ese punto figura 9.1(a).En su lugar se suelen hacer aproximaciones o simplificaciones de las cargas con el fin de que el esfuerzo producido en un elemento de la estructura o un elemento mecánico pueda analizarse en un solo plano

9.1 Transformación de esfuerzo planoPor la tanto, el estado general de esfuerzo plano en un punto se representa mediante una combinación de dos componentes de esfuerzo normal σx y σy y una componente de esfuerzo cortante, τxy, que actúan en las cuatro caras del elemento.

En otras palabras el estado de esfuerzo plano en el punto esta representado únicamente por dos componentes de esfuerzo normal y una componente de esfuerzo cortante que actúan sobre un elemento que tiene una orientación especifica en el punto.

9.1 Transformación de esfuerzo planoEn esta sección, se mostrara como se transforman las componentes de esfuerzo de la orientación de un elemento mostrada en la figura 9.2(a) a la orientación del elemento en la figura 9.2(b)

Ejemplo 9.1El estado de esfuerzo plano en un punto sobre la superficie del fuselaje del avión se representa en el elemento orientado como se indica en la figura 9.4a. Represente el estado de esfuerzo del punto de un elemento que esta orientado a 30º medidos en sentido horario desde la posición mostrada

Ejemplo 9.1El estado de esfuerzo plano en un punto sobre la superficie del fuselaje del avión se representa en el elemento orientado como se indica en la figura 9.1(a). Representa el estado de esfuerzo del punto de un elemento que esta orientado a 30º medidos en sentido horario desde la posición mostrada

9.2 Ecuaciones generales de transformación de esfuerzo plano

El método para transformar las componentes de esfuerzo normal y cortante de los ejes de coordenadas x y y a los ejes x´ y y´, analizado en la sección anterior puede desarrollarse de manera general y expresarse como un conjunto de ecuaciones de transformación de esfuerzo

Convección de signos

En primer lugar se debe establecer una convección de signos para las componentes de esfuerzo. Para ello, los ejes +x y +x´ se usan para definir la normal hacia afuera de un lado del elemento. Entonces σx y σx´ son positivos cuando actúan en las direcciones positivas de x y x´, y τxy y τxy´ son positivas cuando actúan en las direcciones positivas de y y y´.

La orientación del plano en el que se deben determinar las componentes de esfuerzo normal y cortante estará definido por el ángulo θ

9.2 Ecuaciones generales de transformación de esfuerzo plano

Componentes de esfuerzo normal y cortante

+ΣFx’ = 0; σx’ ∆A – (τxy ∆A sin θ) cos θ – (σy ∆A sin θ) sin θ – ( τxy ∆A cos θ) sin θ – (σx ∆A cos θ) cos θ = 0 σx’ = σx cos2 θ + σy sin2 θ + τxy (2 sin θ cos θ)

+ΣFy’ = 0; τx’y’ ∆A + (τxy ∆A sin θ) sin θ – (σy ∆A sin θ) cos θ – ( τxy ∆A cos θ) cos θ + (σx ∆A cos θ) sin θ = 0 τx’y’ = (σy – σx) sin θ cos θ + τxy (cos2 θ – sin2 θ)

9.2 Ecuaciones generales de transformación de esfuerzo plano

Componentes de esfuerzo normal y cortante

σx’ = σx + σy 2

σx – σy 2 cos 2θ + τxy sin 2 θ +

τx’y’ = – σx - σy

2 sin 2θ + τxy cos 2 θ

(9.1)

(9.2)

Para obtener σy’ se debe sustituir θ = θ + 90° en la ecuación 9.1

σy’ = σx + σy 2

σx – σy 2 cos 2θ – τxy sin 2 θ – (9.3)

Ejemplo 9.2El estado de esfuerzo plano en un punto esta representado por el elemento que se muestra en la figura9.7(a). Determine el estado de esfuerzo en el punto sobre otro elemento orientado a 30º en sentido horario desde la posición indicada

Plano CD

Ejemplo 9.2El estado de esfuerzo plano en un punto esta representado por el elemento que se muestra en la figura9.7(a). Determine el estado de esfuerzo en el punto sobre otro elemento orientado a 30º en sentido horario desde la posición indicada

Plano BC

9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el planoA partir de las ecuaciones anteriores , se observa que las magnitudes de σx´ y τxý´ dependen del ángulo de inclinación θ de los planos sobre los que actúan estos esfuerzos. En la practica de la ingeniería suele ser importante determinar la orientación del elemento que hace que el esfuerzo normal sea máximo y mínimo y la orientación que causa que el esfuerzo cortante sea máximo.

Esfuerzos principales en el planoPara determinar el esfuerzo normal máximo y mínimo, es necesario diferenciar la ecuación 9.1 con respecto a θ e igualar el resultado a cero y se obtiene:

02cos22sin22

'

xyyxx

dd

2

2

2,1 22

2/2tan

xyyxyx

yx

xyp

(9.4)

(9.5)

9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano

Esfuerzos principales en el plano

9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano

Esfuerzo cortante máximo en el plano

La orientación de un elemento que esta sometido al esfuerzo cortante máximo sobre sus lados puede determinarse al obtener la derivada de la ecuación 9.2 con respecto a θ y al igualar el resultado de cero y se obtiene:

02sin2cos22

''

xyyxyx

d

d

xy

yxs

2/2tan

2

2

plano elen max 2 xyyx

2yx

prom

(9.6)

(9.7)

(9.8)

Ejemplo 9.3El estado de esfuerzo plano en un punto de falla sobre el eje muestra sobre el elemento de la figura 9.11(a). Represente este estado de esfuerzo en términos de los esfuerzos principales

Orientación del elemento

Como la diferencia entre y es de 180° 12 p 22 p

Ejemplo 9.3El estado de esfuerzo plano en un punto de falla sobre el eje muestra sobre el elemento de la figura 9.11(a). Represente este estado de esfuerzo en términos de los esfuerzos principales

Esfuerzos principales

El plano principal sobre el que actúa cada esfuerzo normal puede determinarse al aplicar el ángulo -23.7° en la ecuación 9.1

Ejemplo 9.4El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo está representado sobre el elemento que se muestra en la figura 9-12a. Represente este estado de esfuerzo en términos del esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio asociado.

Orientación del elemento

Ejemplo 9.4El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo está representado sobre el elemento que se muestra en la figura 9-12a. Represente este estado de esfuerzo en términos del esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio asociado.

Esfuerzo cortante máximo en el plano

La dirección adecuada del esfuerzo máximo puede determinarse mediante la sustitución del ángulo 21.3° en la ecuación 9.2

Esfuerzo normal promedio

Ejemplo 9.5Cuando se aplica la carga de torsión T a la barra mostrada en la figura 9.13(a), ésta produce un estado de esfuerzo cortante puro en el material. Determine (a) el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio asociado, asi como (b) los esfuerzos principales

Esfuerzo cortante máximo en el plano

NOTA: mediante experimentación se ha comprobado que los materiales dúctiles fallan debido al esfuerzo cortante. Si la barra de la figura fuera de acero de bajo carbono, el esfuerzo cortante máximo en el plano la haría fallar como se muestra en al foto adyacente.

Ejemplo 9.5Cuando se aplica la carga de torsión T a la barra mostrada en la figura 9.13(a), esta produce un estado de esfuerzo cortante puro en el material. Determine (a) el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio asociado, asi como (b) los esfuerzos principales

Esfuerzos principales

NOTA: los materiales que son frágiles fallan debido al esfuerzo normal. Por lo tanto, si la barra de la figura estuviera hecha de hierro fundido, se producirá una falla por tensión con una inclinación de 45° como se ve en la foto

El plano principal sobre el que actúa cada esfuerzo normal puede determinarse al aplicar el ángulo 45° en la ecuación 9.1

Ejemplo 9.6Cuando se aplica la carga axial P a la barra mostrada en la figura 9.14(a), esta produce un estado de esfuerzo de tensión en el material. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, así como el esfuerzo normal promedio.

Esfuerzos principales

NOTA: los experimentos han demostrado que los materiales frágiles fallan debido al esfuerzo normal. Por lo tanto, si la barra de la figura estuviera hecha de hierro fundido, se producirá una falla como la mostrada en la foto

Ejemplo 9.6Cuando se aplica la carga axial P a la barra mostrada en la figura 9.14(a), esta produce un estado de esfuerzo de tensión en el material. Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, así como el esfuerzo normal promedio.

Esfuerzos cortante máximo en el plano

NOTA: si la barra de la figura esta hecha de un material dúctil como acero de bajo carbono, el esfuerzo cortante le ocasionará una falla. Lo que resulta en un plano de falla que a formado un cono alrededor de la barra orientado a unos 45° como se ve en la foto

Para determinar la orientación adecuada del elemento se aplica la ecuación 9.2

Problema 9.2En la figura , el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando el método de equilibrio descrito en la sección 9.1

Problema 9.5En la figura, el estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra sobre el elemento. Determine las componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Usando las ecuaciones para la transformación de esfuerzos desarrollados en la sección 9.2

Problema 9.9Determine el esfuerzo normal y cortante que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuelva el problema usando las ecuaciones para la transformación de esfuerzos. Muestre el resultado sobre el elemento seleccionado

Problema 9.12Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento si este se encuentra orientado a 50º en sentido anti horario desde el elemento mostrado. Use las ecuaciones para la transformación de esfuerzos

Problema 9.14

Problema 9.15