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La Escuela en su Casa

Departamento de Educación a Distancia

CURSO:

MATEMATICA III Grado:

Tercer Semestre Básicos por

Madurez

Programa de Estudio:

Descripción del Curso:

Geometría (del griego geō, 'tierra'; metrein,

'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y

geometría no euclídea.1

Contenido:

1"Geometría", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 99. © 1993-1998 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

1) GEOMETRÍA PLANA

2) CUADRILATEROS

3) TRIANGULOS

4) TEOREMA DE

PITÁGORAS

5) CIRCULOS

6) FIGURAS

COMPUESTAS

7) GEOMETRÍA SÓLIDA

8) GEOMETRÍA

COORDINADA

9) LA DISTANCIA EN

UNA CUADRICULA

COORDINADA

EVALUACION: ZONA: Todos los ejercicios del

manual tienen un valor de 40 puntos,

recuerde que se califica EL

PROCEDIMIENTO PARA HACER

CADA EJERCICIO y no la respuesta.

EVALUACIÓN FINAL (60 PUNTOS)

ESA ESTA AL FINAL DE SU

MANUAL DE CURSO.

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LECCIÓN 33

GEOMETRÍA PLANA

Un carpintero utiliza un cepillo para

“aplanar” una tabla. El departamento del

Petén es un departamento plano en su

mayor parte. La palabra PLANO tiene

un nuevo significado para usted ahora que

comienza a estudiar Geometría.

Cada cosa en la vida tiene ciertas palabras

que se relacionan entre si para darle

significado.

En Geometría hay ciertas palabras que

debemos aprender con el fin de

comprender esta fascinante materia.

La Geometría es utilizada todos

los día en nuestra vida, usted no podría

dormir en una cama redonda, duerme en

una cama rectangular.

Usted tiene un escritorio donde

labora , rectangular también.

Incluso las herramientas de la

agricultura como el azadón o la piocha

han sido construidas basados en la

geometría. Por ejemplo: la piocha;

tiene un pico en forma de triangulo con

el que Ud. puede cavar hoyos.

DEFINICIONES

PUNTO: Un punto imaginario o escrito

como el que finaliza esta frase.

3

Pero en Geometría el punto es la parte

más pequeña que usted se puede imaginar

de un punto.

LINEA: Una serie de puntos conectados

unos con otros de manera recta. La línea

en geometría está hecha de puntos.

SEGMENTO DE LÍNEA:

En cualquier línea el segmento es una

parte con principio y fin.

RECTA: En una línea, una parte que

consiste de un punto inicial y todos los

puntos de esa línea desde ese lugar donde

está el punto. Una RECTA no tiene

punto final. Imagine una recta como una

luz de una linterna apuntada hacia el

cielo. El punto inicial es la linterna y la

luz viaja hacia el infinito.

POLÍGONO: Una figura cerrada hecha

de tres o más segmentos de línea.

ANGULOS Si dos rayas inician desde el mismo

punto hacia distintos lados usted obtiene

un ángulo. El punto donde comienzan

las dos rayas se llama VÉRTICE DEL

ANGULO. Las dos rayas se llaman

lados del ángulo.

Lados

Vértice

ROTULANDO ANGULOS

Los ángulos pueden ser rotulados o

nombrados utilizando letras.

4

Fíjese en los tres puntos marcados en el

ángulo, uno en cada lado y otro en el

vértice. Cualquier ángulo puede ser

rotulado marcando estos tres puntos. Es

importante hacer ver que al nombrar los

ángulos el vértice siempre queda entre los

puntos de los lados. Este ángulo que

ahora estamos estudiando puede ser

nombrado como ∠ ABC o ∠CBA.

Ese signo que usted ve antes de las tres

letras significa ángulo. De esa forma

cuando usted lea cualquier otro

documento que hable de ángulos sabrá de

que se trata. Cuando lea diga “ángulo

CBA” o “ángulo ABC”.

Otra forma de rotular ángulos es usando

la letra del vértice solamente, ∠ B

por ejemplo: pero si la figura tiene

más ángulos con vértices B entonces no

puede usar esta forma.

Una tercera forma de nombrar ángulos es

utilizar letras minúsculas dentro de la

figura como las del ejemplo siguiente.

e f

HÁGALO USTED

Escriba 4 nombres distintos para este

ángulo. B

C D

1) __________________________

2) __________________________

3) __________________________

4) _________________________

5

Usando los puntos de los lados usted

debió escribir ∠ BCD y ∠DCB para

los primeros dos nombres. En la tercera

forma como la figura tiene solo un vértice

con la letra C debió usar ∠C para

la tercera forma, y para la último debió

usar la misma letra pero minúscula. ∠ c.

¡Usted ya está aprendiendo Geometría!

_________________________________

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Piense en cada lado de un ángulo como si

fueran las manecillas de un reloj

despertador, de esos de cuerda.

Imagine que usted necesita darle cuerda al

reloj porque se le terminó y que hay que

ponerle la hora exacta. Los números o

signos que hay alrededor del reloj le

ayudarán a mover las manecillas tanto

como lo necesite.

La unidad para medir un ángulo es

el grado y el instrumento para medir

ángulos es el transportador.

El transportador es una regla curva que

está dividida en 180 partes iguales. La

de arriba es una gráfica que ilustra como

debemos utilizar el transportador para

medir un ángulo.

El ángulo ABC que está siendo

medido en esta gráfica mide 60°.

Como dije al principio, en

Geometría debe acostumbrarse a términos

y signos propios de la Geometría. No se

preocupe si no se los memoriza todos

rápidamente, solo trate de conservar este

libro, no prestarlo, no fotocopiarlo, de

esa forma le durará bastante y cada vez

que necesite recordar algo podrá venir

hasta aquí y consultarme.

6

Volvamos a la imagen ahora.

El vértice del ángulo se coloca

exactamente en el medio del

transportador, el lado del ángulo

marcado con la letra A ha sido colocado

exactamente en la posición 0° (Cero

grados) y el lado marcado C nos

muestra la medida del ángulo. 60°. Para

abreviar medida en geometría usamos la

letra minúscula m.

Toda esa palabrería que nos ha ocupado

esta columna se puede abreviar

simplemente así. m ∠ABC = 60°.

m = medida.

∠ = ángulo

ABC = nombre del ángulo

60 = lo que mide el ángulo.

° = Este circulito pequeñito significa

grados.

_________________________________

ANGULO RECTO

Es un ángulo especial cuyos lados forman

una esquina cuadrada. Un ángulo recto

mide exactamente 90°

90°

En diagramas usted puede mostrar que un

ángulo es recto escribiendo 90° dentro de

él. Otra forma es poner el símbolo de

ángulo recto (un pequeño cuadrito en la

esquina) dentro del ángulo.

_________________________________

ANGULO LLANO

Este es un tipo especial de ángulo. Sus

lados apuntan exactamente en sentidos

opuestos formando una linea recta. Si

usted mide un ángulo llano con un

transportador encontrará que miden

exactamente 180°. Esta es la medida

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más grande que cualquier ángulo puede

tener.

180°

_________________________________

TÉRMINOS GEOMÉTRICOS

GRADO: La unidad utilizada para medir

ángulos.

TRANSPORTADOR: El instrumento

utilizado para encontrar los grados de un

ángulo.

ANGULO RECTO: Un ángulo cuya

medida da exactamente 90 grados. Un

ángulo recto forma una esquina cuadrada

.

ANGULO LLANO: Un ángulo cuya

medida es exactamente 180°. Un ángulo

llano forma una linea recta.

HÁGALO USTED:

Dé el nombre y medida de cada ángulo.

Diga también que clase de ángulo es

debido a su medida.

E G

110°

F

S

90°

R T

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

Nombro el primer ángulo ∠ f , ∠ F

∠ EFG, ∠GFE?, este mide 110°.

Nombro el segundo ángulo ∠ s , ∠ S

∠ RST, ∠ TSR?, este mide 90°. Y

es un ángulo recto.

Si lo hizo así sin ver la explicación vamos

bien. Despacio se llega lejos.

8

_________________________________

PARES ESPECIALES DE ÁNGULOS

Algunos ángulos son comúnmente

encontradnos en pares. Los tres pares

mas importantes son explicados de aquí

en adelante.

Ángulos complementarios:

Si dos ángulos juntos totalizan 90° se les

llama ángulos complementarios.

A

D

60° 30° C B

Vea este ejemplo, los ángulos en este

diagrama están de lado a lado pero los

ángulos pueden ser complementarios sin

necesidad que estén de lado a lado.

En el ejemplo anterior podemos ver que

sumando las medidas de ambos 60 + 30 =

90.

Dicho en términos geométricos:

m ∠ABD + m ∠DBC = 60° + 30° =

90°

A partir de ahora utilizaremos más las

abreviaturas, trate de memorizar que

quiere decir cada símbolo y tenga en

mente que las letras señalan los puntos

del ángulo.

Ángulos Suplementarios: Si dos

ángulos juntos miden 180° se les llama

suplementarios.

E

60° 120° A B C

m ∠ABE + m ∠EBC = 60° + 120° = 180°

_________________________________

ANGULOS VERTICALES

Es otro par importante de ángulos. Son

ángulos opuestos formados donde dos

líneas rectas cruzan. Los ángulos

verticales siempre tienen la misma

medida.

a

c 15° d 15°

b

9

Estudie este diagrama, vea que los dos

ángulos ∠c y ∠d son ángulos

verticales porque están de lados opuestos.

También ∠a y ∠b forman otro par de

ángulos verticales. Estos ángulos son

llamados también ángulos opuestos por

el vértice.

Hágalo Usted:

1) Que tamaño de ángulo sería

complementario a otro de 47°?

2) Que tamaño de ángulo sería

suplementario a uno de 105°?

3) Estudie este diagrama:

Nombre dos pares de ángulos verticales.

RESPUESTAS:

1) Recuerde que para que sea

complementario tiene que

sumar 90° entre los dos, por lo

tanto hace falta un ángulo de

43°.

2) Recuerde que para que sea

suplementario deben sumar

ambos 180° por lo tanto hace

falta otro de 75°.

3) ∠m y ∠p, y ∠n y ∠q

Algunas veces es difícil no confundir los

términos complementario y

suplementario, recuerde que las primeras

letras de ambas palabras son C y S y que

C en el alfabeto está antes que S lo

mismo que 90° viene primero que 180°

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EJERCICIO G1

Nombre Los complementos para cada uno

de los siguientes ángulos

complementarios.

1) 36°

2) 10°

3) 89°

Nombre los suplementos para cada uno

de los siguientes ángulos.

4) 100°

5) 1°

6) 90°

7) Explique con sus propias palabras

como se forman los ángulos

verticales y que tienen de especial

las medidas en cada ángulo

vertical.

Respuestas: 1) 54° 2) 80° 3) 1° 4) 80° 5) 179° 6) 90° 7) Ángulos verticales son formados por dos líneas cruzándose.

Siempre tienen la misma medida.

________________________________________

ANGULOS FORMADOS POR LINEAS

PARALELAS Y TRANSVERSALES

Líneas paralelas son como las líneas que

un estudiante hace con su regla en un

cuaderno para dibujar una línea de

ferrocarril que cruza una planicie. Líneas

paralelas se mantienen siempre a la

misma distancia una de la otra y nunca se

unen. He aquí un ejemplo:

Por el otro lado, una línea transversal es

una que cruza por sobre dos o más líneas

paralelas como el siguiente ejemplo:

Transversal

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Ángulos especiales se forman cuando dos

líneas paralelas son cruzadas por otra

transversal.

TERMINOS:

Líneas Paralelas: Líneas que van una al

lado de otra, siempre a la misma

distancia pero que nunca se juntan.

Como las líneas del ferrocarril.

Línea Transversal:

Una línea que corta o cruza dos o más

líneas paralelas. Algunos matemáticos

las llaman secantes.

Ejemplo:

En los siguientes ejemplos, usted verá

tres pares especiales de ángulos que se

forman cuando las líneas paralelas son

cruzadas o cortadas por una transversal.

La primer clase se llama ángulos

correspondientes. El diagrama de la

siguiente página muestra que ∠a y ∠e

son ángulos correspondientes.

Ángulos correspondientes ∠a y ∠e

están en un mismo lado de la transversal,

ambos ven hacia la misma dirección,

tiene la misma medida en grados. En

este mismo diagrama hay otros tres pares

de ángulos correspondientes, revise

usted para hallarlos. ∠c y ∠g,

∠b y ∠f, y ∠d y ∠h.

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ANGULOS ALTERNATIVOS

EXTERIORES

En el diagrama siguiente ∠h y ∠a son

llamados ángulos alternativos

exteriores.

Exterior quiere decir fuera de la línea

paralela y alternativo quiere decir con los

lados opuestos de la transversal. Ángulos

alternativos exteriores ven hacia el

espacio de afuera no de adentro de las dos

líneas paralelas.

Estos ángulos están a los lados opuestos

de la transversal y tienen la misma

medida en grados.

Cuando dos líneas paralelas son cortadas

por una transversal, hay dos pares de

estos ángulos. En el diagrama anterior el

otro par de ángulos alternativos exteriores

son ∠b y ∠g.

ANGULOS ALTERNATIVOS

INTERIORES

Aquí tiene un par de ángulos alternativos

interiores. ∠c y ∠f.

Interior quiere decir adentro, alternativo

quiere decir en los lados opuestos de la

transversal. Los ángulos alternativos

interiores siempre tienen la misma

medida en grados. También hay dos

pares de ellos, en el diagrama de arriba el

otro par es ∠d y ∠e.

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Ahora mire bien este diagrama que sigue:

Los cortes transversales sobre la línea

paralela son en ángulo recto. Todos los

ángulos miden 90°. Cuando una linea

cruza a otra y forma ángulos rectos se les

llama Línea Perpendicular. Si una

transversal es perpendicular a una de las

líneas paralelas lo es también a la otra.

Y otro detalle importante: Si dos líneas

son ambas perpendiculares a una misma

tercera línea, entonces ambas líneas

perpendiculares son también paralelas.

Para comprender mejor esto ultimo

simplemente fíjese en la línea

perpendicular de la que hablamos

primero, luego visualice la línea

perpendicular como una línea horizontal

donde las dos paralelas la cruzan ahora.

_________________________________

TERMINOS

Ángulos correspondientes: Dos ángulos

en el mismo lado de una transversal

mirando hacia la misma dirección.

Ángulos correspondientes son siempre de

la misma medida.

Ángulos Alternativos Exteriores: Dos

ángulos en los lados opuestos de una

transversal viendo hacia los lados de

fuera de la línea transversal. También

tienen siempre la misma medida.

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Ángulos Alternativos Interiores: Dos

ángulos del lado opuesto de la transversal

viendo hacia dentro de las líneas

paralelas. Tienen también la misma

medida.

Líneas Perpendiculares: Dos líneas que

forman ángulos rectos. (Como las

intersecciones de las calles)

HÁGALO USTED

Este diagrama muestra dos líneas

paralelas cruzadas por una transversal y

los ocho ángulos que se forman.

e f p q g h r s

Identifique lo siguiente:

a) El par de ángulos

correspondientes.

b) El par de ángulos

alternativos exteriores.

c) El par de ángulos

alternativos interiores.

Respuestas:

a) (∠e y ∠p) ó (∠f y ∠q) ó

(∠g y ∠r) y por último (∠h y ∠s).

b) ∠e y ∠s, y ∠g y ∠q

c) ∠f y ∠r y ∠h y ∠p.

Si tiene cosas un tanto confusas bien vale

la pena volver a leer toda la lección, si

aún así no comprende exactamente puede

comunicarse con su tutor quién debe estar

en la capacidad de resolver sus dudas y si

después de todo esto todavía tiene dudas

entonces llame al IED de 7am. A 7 pm.

15

De lunes a sábado para hablar con el

catedrático de matemáticas.

Si usted es alumno regular del IED o de

alguno de sus centros de tutoría puede

llamar y dé su número de estudiante. El

servicio de Tutoría para usted no tiene

ningún costo.

Si usted obtuvo este manual por otro

medio puede registrarse como estudiante

al IED enviando una carta de solicitud de

ingreso y un pago de Q60.00 lo que le da

derecho a asistencia por teléfono mientras

dure su estudio.

Si se registra puede recibir el Diploma de

Matemática Básica al aprobar los

exámenes que van incluidos en este

mismo libro.

16

IED La Escuela en su Casa Lote 4 Manzana H Sector 1 Villahermosa II San Miguel Petapa

Tel. 418-1635

HOJA DE REGISTRO PARA ESTUDIANTES QUE NO ESTÁN INSCRITOS EN

EL IED O EN ALGUNO DE SUS CENTROS DE TUTORIA.

Propósito:

Sabemos que este libro por ser tan fácil es distribuido de distintas maneras para ayudar a

cientos de estudiantes de cientos de establecimientos educativos e incluso por personas que

solo desean aprender la matemática que les daba temor antes. IED La Escuela en su Casa

no se opone al deseo y necesidad urgente que millones de personas tienen de superarse, es

más los animamos. Pero recuerden algo, envíe este formulario para que nosotros

podamos ayudarlo más, no le va a costar mucho y si le va a sacar adelante en sus dudas.

Envíe el formulario con su pago, si está dentro de la Republica de Guatemala envíe un

cheque a nombre de IED NUEVA VIDA por Q60.00, si no tiene manera de enviar

cheque pague ese dinero en la cuenta 01-042989-4 del Banco G&T la que se encuentra a

nombre de IED NUEVA VIDA luego envíe por King Express o Cargo Expreso este

formulario, la copia del depósito que le dan en el banco y fotocopia de su fe de edad o

cédula. Eso es todo.

Si vive en cualquier país que no es Guatemala envíe un Giro Bancario a nombre de IED

NUEVA VIDA por la cantidad de $15.00 (15 dólares) , los giros se compran en cualquier

banco de su país.

No utilice el correo nacional, en su país podrá funcionar bien pero aquí en Guatemala es

pésimo, utilice UPS, Federal Express ó DHL, si ninguna de esas compañías trabaja en

su país comuníquese al IED NUEVA VIDA porque a partir del año 2001 estamos

asociándonos con instituciones de Latinoamérica para que se hagan cargo de los servicios

de tutoría en cada país.

17

HOJA DE REGISTRO ESTUDIANTIL:

Nombre: __________________________________________________________________

(tal y como aparece en su documento de identificación)

Dirección Exacta ___________________________________________________________

(Calle, número de casa, colonia, municipio, provincia o departamento)

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Forma de pago: ____________________________________________________________

Fecha de envío: ____________________________________________________________

Grado de Estudio que actualmente tiene: ________________________________________

Firma: _________________________________________________

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EJERCICIO G2

Fíjese en el siguiente diagrama, las líneas

horizontales son paralelas. Si ∠a es 35°

de las medidas del resto de ángulos.

a b c d e f g h

1) ∠b 2) ∠f

3) ∠c

4) ∠g

5) ∠d

6) ∠h

7) ∠e

Respuestas:

1) 145° 2) 145° 3) 145° 4) 145° 5) 35° 6) 35° 7) 35°

EJERCICIO G3

Para las preguntas 1 a 5 encuentre las

medidas en grados para el ángulo

rotulado como ∠x. Circule la respuesta

correcta.

1)

x

35°

1) 55° 2) 145° 3)155°

2)

x

70°

1) 20° 2) 70° 3) 110°

19

3) 45° x

1) 40° 2) 50° 3)150°

4) x

50°

5)

20° X 10° 1) 30° 2) 45° 3)60°

6) Qué es verdad acerca de estos pares de

ángulos: Vertical, Correspondientes,

Alternativos interiores y Alternativos

exteriores?

1) Son formados por dos líneas

cruzadas.

2) Cada par siempre tiene la

misma medida.

3) Exactamente cada uno de

esos pares es formado cuando

dos paralelas son cruzadas

por una transversal.

7) En la siguiente figura, la línea X es

paralela a la línea Y. Si ∠g mide 30°

entonces ∠b medirá:

a b x c d

e f y g h

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1) 15° 2)30° 3)60°

8) En el diagrama de abajo, ¿Cuál es

la medida de ∠3?

1 2

3 4 5 6 7 8 1) 30° 2) 60° 3) 90° PARA LAS PREGUNTAS ANTERIORES

CHEQUEE SUS RESPUESTAS EN LA

SIGUIENTE COLUMNA. Si tuvo todas

correctas puede seguir con la siguiente unidad, si

perdió por lo menos una vuelva a estudiar la

lección, repita el test concientemente; recuerde

que usted no debe engañarse solo.

Respuestas:

1) 2

2) 1

3) 1

4) 3

5) 3

6) 2

7) 2

8) 3

21