Modelos nucleares

Laura C. Damonte

2014

Introducción

Núcleos: sistema de muchos cuerpos complejidadmatemática

Modelos estadísticos (gota líquida, un volumen de gas, etc) o sistema central de fuerzas (el sistema planetario, un átomo pesado, etc)

En los últimos 50 años distintos modelos para la descripción de diferentes propiedades

modelos de partícula independiente: donde los nucleones interactúan débilmente

modelo de gas de Fermi modelo de capas

modelos colectivos: nucleones fuertemente correlacionadosmodelo de la gota líquidamodelo rotacional-vibracional.

modelo unificado

Modelo de gas de Fermi

Propuesto por H. Bethe en 1935: Si se desprecian las fuerzas entre pares de nucleones y se toma en cuenta una fuerza promedio sobre cada nucleón representada por el hecho de que todos estos están contenidos en una esfera de volumen Ω y radio R= r0 A1/3, entonces el núcleo puede tratarse como un gas cuántico.

Cada nucleón se mueve en un potencial neto atractivo, que representa el promedio de los efectos de sus interacciones con otros nucleones del núcleo.

El potencial neto tiene una profundidad constante dentro del núcleo, dado que la distribución de los nucleones es constante en esta región; afuera del núcleo el potencial se va a cero en una distancia igual al rango de las fuerzas nucleares.

El potencial neto es aproximadamente como un pozo cuadrado finito de tres dimensiones de radio un poco más grande que el radio nuclear.

En el estado base del núcleo, sus nucleones, que son todos fermiones y tienen todos espín intrínseco s=1/2, ocupan los niveles de energía del potencial neto, de tal manera que minimizan la energía total sin violar el principio de exclusión de Pauli.

Dado que los protonesson distinguibles de losneutrones, el principiode exclusión operaindependientementepara los dos tipos denucleones:

Modelo de gas de Fermi…

Para conocer la profundidad del pozo necesitamos conocer la energía típica de Fermi εF para un núcleo, que es la energía del nivel lleno mas alto del sistema, medida desde el fondo del pozo de potencial (pozo cuadrado en tres dimensiones).

Está relacionada con la masa M del nucleón y su densidad ρ, por:

Para un gas de Fermi la energía para los protones y neutrones:

Modelo de gas de Fermi…

Modelo de gas de Fermi…

Para r0=1.2, la constante C=53.09 MeV, considerando un núcleo Z=N=A/2, la

EF= 33.44 MeV y sabiendo EB= 8MeV , las partículas, p y n, se mueven en un pozo de 41MeV de profundidad.

La energía cinética media por nucleón:

¿Cuál es el núcleo mas estable?

Si definimos

Por lo que se deduce que energéticamente la situación más favorable es aquella con N = Z .

Modelo de la gota líquida

Nucleones fuertemente correlacionados propuesto por N. Bohr en 1935.

De acuerdo al modelo, los nucleones se comportan como las moléculas de una gota líquida pues éstos interaccionan fuertemente unos con los otros, tal como las moléculas en una gota líquida.

M(A, Z ) =mpZ +mn (A- Z) - B(A,Z);

El modelo esta basado en dos propiedades que son comunes a todos los núcleos, excepto para los muy pequeños.

La densidad de masa en el interior es aproximadamente la misma.

La energía total de ligadura es proporcional a su masa.

B/A ≈ cte

El modelo de la gota predice la energía de ligadura de un núcleo entérminos del número de protones y neutrones.

Tiene cinco términos que corresponden a:

La cohesión de todos los nucleones debido a la fuerza nuclear

La repulsión electrostática entre los protones

Un término de energía superficial

Otro término de asimetría, proporcional a la diferencia entre elnúmero de neutrones y el de protones

Un término de apareamiento entre pares de protones o de neutrones

Modelo de la gota líquida…

fórmula semiempírica de masas o fórmula de Weizsaeker

Fórmula de Bethe-Weizsaeker

Valle de estabilidad como consecuencia de la competencia entre el término coulombiano y el de asimetría.

Término de volumendebido a la fuerza

nuclear entre nucleones

Término de superficie

Término coulombiano

Término de asimetría

Término de apareamiento

Isobaros con:

A impar un nucleido estable

A par, 2 o 3 miembros estables

Los nucleídos inestables son mayoritariamente emisores b

Valle de la estabilidad:

Zestable 0

AZ

M

3

2

2k

kZestable

2

321),( ZkZkAkAZM

Parábolas de masa

Parábolas de masa

3

2

2k

kZestable

2

321),( ZkZkAkAZM

Parábolas de masa

El modelo de capas se basa en la idea de que los constituyentes del núcleo se mueven de manera independiente.

El modelo de la gota líquida implica justamente lo contrario, que en la gota de un líquido incompresible, el movimiento de cualquiera de sus constituyentes está correlacionado con el movimiento de todos susvecinos.

El conflicto entre estas ideas enfatiza que un modelo provee solo una descripción limitada de todo el conjunto de fenómenos, sin incluir la existencia de modelos contrarios que describen otro conjunto de características.

Permitió entender diversos procesos tales como fisión, fusión, numerosos decaimientos nucleares, etc.

Sin embargo, fines de 1940 gran cantidad de datos experimentales(masas, momentos magnéticos, etc.) indicaban que diversas propiedades nucleares presentaban discontinuidades para ciertosvalores de N o Z.

Modelo de capas

Energías de ligadura

Estabilidad inusual para ciertos “números mágicos” Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 (capas electrónicas!!)

S(N,Z )= B(N,Z )− B(N −1,Z )

Energías de separación de neutrón

Números mágicos

Varios intentos se han hecho para poder deducir estos números teóricamente, al escoger expresiones para potenciales que promedien los potenciales intrínsecos en el núcleo, escogiendo por simplicidad matemática potenciales de pozos esféricos finitos o infinitos, como el potencial de un oscilador armónico en 3dimensiones.

La ecuación de Schrödinger en tres dimensiones:

pozo esférico infinito:

2, 8, 18, 20, 34, 40, 58,

oscilador armónico:

1, 8, 20, 40, 70, 112,

Potencial de Wods-Saxon

Mayer, Haxel, Suess y Jensen propusieron un potencial espín-órbita para obtener la separación correcta entre capas:

El momento total angular es

Dependiendo de si el espín y el momento angular orbital son paralelos o antiparalelos,

Potencial spin-órbita

entonces la energía que separa los elementos de un mismo nivel es

Estructurade capasobtenida delúltimopotencial.

A la derechase muestrael efecto dela adicióndel potencialspin-órbita

Llenado de las capas en 15O y 17O. Las propiedadesdel estado base son determinadas por el neutron impar.

El modelo de capas se basa en la idea de que losconstituyentes del núcleo se mueven de maneraindependiente.

El modelo de la gota líquida implica justamente locontrario, dado que en la gota formada de un líquidoincompresible, el movimiento de cualquiera de susconstituyentes está correlacionado con el movimiento detodos sus vecinos.

El conflicto entre estas ideas enfatiza que un modeloprovee solo una descripción limitada de todo elconjunto de fenómenos, sin incluir la existencia demodelos contrarios que describen otro conjunto decaracterísticas.

Modelo colectivo

El modelo más exitoso en este aspecto es el modelo colectivo del núcleo, que combina ciertas características del modelo de capas y del de la gota incluyendo el movimiento del núcleo completo considerando rotaciones y vibraciones.

Fue Aage Bohr junto con Ben Mottelson quien planteó el modelo como tal y desarrollo la mayoría de los resultados.

Modelo colectivo

Estas deformaciones representan la correlación, ocolectividad, del movimiento de los nucleones en la base del núcleo que está asociado con el modelo de la gota.

Esta aproximación explica los momentos cuadrupolareseléctricos, y predice también la estructura de baja energía de los niveles del espectro nuclear, asociadas al movimientorotacional y vibracional.

Entonces es posible, al permitir cierta interacción entre los dos tipos de movimiento, el presentar un cuadro unificado del movimiento nuclear en donde las características del modelo de capas y del colectivoaparezcan.

Modelo colectivo