Las Matemáticas y el Desarrollo SocialLectura

Mayo 2, 2009

Chapellon,   Jacques.   “Las   matemáticas  y   el   desarrollo   social”   en  Antología   de   Matemáticas. Compilado por Miguel Lara Aparicio. Vols. 2. (1971), reimp. México, Universidad Nacional Autónoma de México, 1990. Vol. II. Págs. 193­203. (Lecturas Universitarias, 8).

El matemático francés que estudia una memoria de uno de sus colegas japoneses puede ignorarlo todo acerca del Japón y de la personalidad del autor. Si el trabajo está escrito en una lengua accesible para el  lector y usa  las notaciones y convenciones ordinariamente admitidas, resulta  de ello   la  conexión matemática y  el   trabajo del  japonés  se convertirá   en  la   fuente  de reflexiones para el francés, quien prolongará sus consecuencias. La estilística misma de los trabajos matemáticos tiende a perder todo carácter social, todo aspecto humano. Los nombres de los autores a menudo se citan sin que se pueda distinguir su estos autores han muerto o están aún vivos. Todo lo  más,  se dice de  tanto en  tanto que una proposición es “bella” o que una demostración es “elegante”. A veces se oye afirmar también que la actividad de los matemáticos es independiente de la   sociedad  en  que  viven.  Sin  embargo,   a   causa de   sus   repercusiones  sobre   las   técnicas,   las matemáticas   no   pueden   dejar   de   influir   sobre   la   evolución   social.   Nuestra   civilización   se desarrollaría,  pues,   sobre   una   trama  matemática  resultante   de   una   especie   de   revelación  que trasciende   la   realidad  sensible.   Se   reconoce,   claro   está,   que   los   matemáticos   prosiguen   las invesigaciones de sus precursores y se hallan, en parte, bajo su dependencia. Se dice, empero, que crean entes arbitrarios, establecen definiciones que les parecen convenientes y, por tanto, todo se reduce al montaje de un mecanismo silogístico que desemboca en ese magnífico encadenamiento de   proposiciones   que   forma   una   teoría   matemática.   Así,   se   considera   que   los   matemáticos constituyen un mundo aparte, que tienden a comportarse como espíritus puros que comunican a otros espíritus puros sus meditaciones sobre vedades eternas. Y se llega de este modo a no ver en las matemáticas más que un despliegue indefinido de especulaciones lógicas construidas sobre un substrato de convenciones arbitrarias. Semejante a Alá, que en su omnipotencia crea la totalidad del mundo   cada   vez   que   se   desgrana   un   cuanto   de   tiempo,   el   matemático   creador   modela arbitrariamente en su obra el futuro indeterminado de su ciencia. Esta representación de las cosas se refuerza aún más, cuando se comprueba que el alejamiento de toda realidad concreta no impide al metemático producir una obra válida y, lo que es ya bastante inesperado, fecunda en aplicaciones prácticas, aunque aquél afirme su desinterés por tales consecuencias. Las matemáticas influirán, pues, en el estado de las sociedades, y a su vez el genio de los grandes matemáticos sería la fuente del progreso de su ciencia. Se llega así nuevamente a la afirmación según la cual el motor del desarrollo   social  serían  los grandes  iniciados,  los hombres de genio.  Estos puntos de vista   se derivan de un análisis superficial de realidad. Se ubica al matemático en un aislamiento aparente y 

1

aceptado luego este aislamiento como un dato primitivo e irreductible, se comprueba que surge la producción matemática. Se llega así naturalmente a las conclusiones idealistas tan bien resumidas por Poincaré es su célebre afirmación: “El pensamiento no es más que un relámpago en medio de la noche. Pero es este relámpago el que lo es todo”. La realidad es diferente. No se puede emitir un juicio válido sobre el desarrollo de las matemáticas aislando arbitrariamente este desarrollo de su contexto, de su medio ambiente.  Pues el proceso de este desarrollo es demasiado complejo y está demasiado   ligado  al   devenir   general  de   la   humanidad   para   que,   al   aislarlo,   no   se   lo   mutile profundamente  hasta  el  punto de  llegar a  ser  ininteligible. No se puede hacer abstracción del carácter humano y social de las matemáticas pues los matemáticos y las sociedades en las cuales éstos evolucionan forman un todo inseprable. Por el contrario, es reintegrando la evolución de las matemáticas al  desarrollo social  que es posible comprender cómo, nacidas de  las necesidades técnicas de la sociedad, han adquirido poco a poco una amplitud prodigiosa y una preminencia soberana, y cómo, en fin, el  la sociedad actual, por uno de esos retornos tan frecuentes en la historia,   se   han   convertido   en   uno   de   los   cimientos   ideológicos   fundamentales   de   nuestra civilización. Necesitamos, por tanto, recurrir a la historia para aclarar las interacciones entre el desarrollo de  las  matemáticas y  el  desarrollo   social. Nos   limitaremos a  estudiar   someramente algunos episodios de estas  interacciones, pues es  imposible exponer en este breve artículo una historia de las matemáticas. 

Las   matemáticas   nacieron   cuando   las   necesidades  de   la   vida   material   exigieron   su existencia, cuando la técnica de una sociedad alcanzó un cierto nivel. En un comienzo sólo tuvieron un carácter  empírico,  precientífico. Luego,   se   elevaron al  nivel   experimental,   al  nivel  de una verdadera ciencia física, una física del número y de las formas. Tomemos el número cardinal. A menos que no se pase de algunas unidades, no puede ser aprehendido por la actividad sensorial inmediata. Las lenguas de los pueblos primitivos, tan ricas en detalles concretos inútiles, no poseen ninguna palabra para designar un número superior a cuatro. Se limitan a decir inmediatamente: hay muchos. El concepto de número nació de la necesidad técnica de alcanzar el número cardinal. El primer matemático fue quizás un pastor de genio que, para contar los animales de su ganado, ideó una técnica de enumeración o de correspondencia, llegando en el fondo a captar el número cardinal por intermedio del número ordinal.

La más rudimentaria de las economías agrícolas necesita informes numéricos acerca de las estaciones. Esto implica la resolución de problemas ligados al establecimiento de un calendario. Es sabido cuán estudiadas han sido las cuestiones de cronología, y por consiguiente de astronomía, en las   más   diversas   civilizaciones   primitivas.   Además   la   decoración   del   cuerpo   humano,   las herramientas  y   los   instrumentos,   el  arte  del   alfarero y   las  preocupaciones arquitectónicas que surgieron cuando el hombre se puso a construir, implicaban algunas consideraciones geométricas que a menudo permanecieron en una etapa puramente empírica, pero que otras veces alcanzaron un nivel más elevado.

2

Las   sociedades  mercantiles   tienen  una   inmensa   importancia   histórica.   Nuestra   misma sociedad capitalista es nieta  de  la  economía mercantil  que se  injertó  en  la Edad Media en  la economía feudal. Ahora bien, una economía mercantil, sobre todo si es marítima, plantea en sus comienzos una multitud de problemas técnicos que se imponen con insistencia al pensamiento de los hombres. Hace falta una contabilidad, reglas para la partición de las sucesiones, un arte de la orientación, medios de transporte, en pocas palabras, hay todo un conjunto de técnicas que exigen la utilización de rudimentos de teorías aritméticas, geométricas, astronómicas, mecánicas. etc. Esta elaboración se encuentra en todas las civilizaciones mercantiles. Fue así que se crearon técnicas aritméticas y geométricas en Egipto y en Babilonia, así como la preálgebra en la India. Se pueden citar   también   las   necesidades  geométricas   muy   especiales  que   tuvieron   los   egipcios   para   la reconstitución   de   los   límites   de   sus   dominios,   borrados   periódicamente  por   el   limo   de   las inundaciones del Nilo. En sus comienzos, pues, las matemáticas se hallaban en una dependencia estrecha del nivel técnico de la sociedad.

Estas  técnicas matemáticas se desarrollaron y se hicieron más  tarde bastante complejas como para ser accesibles únicamente para los especialistas. Las castas dirigentes incorporaron a estos   especialistas,  que   formaron una  casta   del   aparato  del  Estado.  Las matemáticas  tomaron entonces un carácter esotérico. La actividad matemática se convirtió  en el patrimonio de unos pocos iniciados. Los hombres que detentaron los secretos de las “cosas oscuras”, según la expresión del escriba del papiro Rhind, dispusieron de un monopolio del saber que les dio un enorme poder. Hoy en día apenas hemos comenzado a quebrar ese monopolio y a asegurar la difusión democrática de las ciencias. ¡Henos aquí bien lejos del matemático aislado en su torre de marfil y que especula libremente sobre los  temas de su elección! Pero este esoterismo de las matemáticas originó el desarrollo de una mística de los números y de las formas; semejante mística apareció tanto en la cuenca mediterránea como en China o entre  los negros del Congo.1  No hay que subestimar la importancia de esta mística; es conocida la influencia de la mística pitagórica sobre el desarrollo de la ciencia y de la  filosofía griegas, y su propagación a  través de generaciones hasta nuestrtos contemporáneos.2

En   Grecia,   la   introducción  del   papiro   egipcio   preludió   la   aparición   del   pensamiento matemático.   Esto   constituye   un   condicionamiento   social   de   orden   técnico   y   económico.   La sociedad griega era esencialmente una sociedad mercantil esclavista coronada por una democracia aristrocrática de ciudadanos. Una sociedad basada en el trabajo de los esclavos, fáciles de obtener, y cuyo rendfimiento no importaba mejorar por medio de perfeccionamientos técnicos, alejaba como es natural a la élite dirigente de la realidad concreta. Esta estructura social impimió un carácter muy original a las matemáticas griegas, señalado por el desdén hacia las aplicaciones prácticas. No es de asombrarse ver al griego de la clase dirigente disfrutar del ocio, amante de los viajes e inclinado a 

1 Pelseneer: Esquise du progres de la pensee mathematique, París, 1935, págs. 28­30.2 Por ejemplo en Kronecker, al decir: “Dios ha creado el número natural, todo lo demás es invención de los 

hombres”.

3

especulaciones intelectuales abstractas. El alejamiento de la realidad material condujo a los griegos a negar el valor de esta realidad: es el mundo de las esencias ideales el que el sabio debe esforzarse por alcanzar, pues la realidad sensible pertenece al mundo de las apariencias y no es más que una realidad degradada, un soporte vacilante de la realidad de las esencias. La estructura de la sociedad griega es la base material del gusto de los griegos por la abstracción, por la cerebración.

Es justo decir que fue también la base de su racionalismo, de su confianza en la potencia del razonamiento puro para alcanzar la verdad y de su admirable técnica de la demostración; esta última, debía tener una importancia fundamental para el desarrollo ulterior de las matemáticas. Contando   solamente  con   el   razonamiento   para   hacer   progresar  las   matemáticas,   los   griegos supieron utilizarlo con un arte y una potencia irresistibles. Será necesario esperar a Roger Bacon para sospechar que los progresos de las otras ciencias, al menos en sus comienzos, pueden resultar de   un   racionalismo  menos  estricto   y   que   se   puede  llegar   a   la   verdad,   al   menos  de   manera aproximada, por procedimientos más eficaces y más seguros que el razonamiento geométrico de los griegos. Luego, por una acción recíproca, los incomparables éxitos de sus geómetras estimularon aún más a los griegos a alejarse de la realidad sensible. Infieles a las profundas concepciones de Heráclito, el filósofo del devenir,   llegaron a querer captar la realidad de las esencias eternas e inmutables. Por otra parte, según los pitagóricos, la verdad, la belleza, y el bien deben ser buscados en la unidad, en lo finito y en el reposo. La conjugación de estas tendencias explica el carácter estático, el inmovilismo de las especulaciones de los geómetras griegos. En uno de los argumentos de Zenón de Elea, la flecha está en reposo en todo instante y se niega su movimiento. Es también con esta necesidad de inmovilidad que se relaciona esa sorprendente exigencia de los geómetras griegos  de no considerar como aceptables más que  las construcciones que no  requieren otros instrumentos que la regla y el compás. Hay en esto una superposición del prejuicio pitagórico acerca de la superioridad de la línea recta y de la circunferencia sobre la apreciación del hecho de que, en su utilización,  la regla y el compás son cuerpos sólidos e   ideformables. Este carácter antidialéctico de la geometría griega, asociado a las ideas pitagóricas que preconizan la excelencia del número entero, la abominación del número irracional y la exclusión del infinito matemático, impidió   el   desarrollo   delanálisis   matemático.  Sin   embargo,   los   griegos   poseían  los   primeros elementos   de   éste,   que   les   venían   de   los   babilonios.   Ellos   mismos   idearon   procedimientos infinitesimales, pero siempre los utilizaron con cierta repugnancia y como un medio imperfecto de investigación más que como un procedimiento regular y válido de demostración. En el activo del aporte matemático de los griegos hay que poner la asombrosa belleza de su obra geométrica, sus exigencias de rigor ­a las cuales se someten nuestros mismos matemáticos, para la mayor solidez de sus  investigaciones­ y su confiaza en la potencia ilimitada del razonamiento humano, auque el racionalismo moderno haya tomado un carácter menos estrecho que el de ellos. Los puntos débiles de este aporte son su estatismo, su aislamiento de la práctica, su incapacidad para desembarazarse de las concepciones anticuadas del pitagorismo y su desconocimiento del valor científico de las verdades aproximadas.

4

Entre los alejandrinos, cuyo medio social era diferente, más mercantil quizás y seguramente más  orientado hacia  las   investigaciones mecánicas,   el   carácter  de   las  matemáticas  evolucionó sensiblemente, pero sin que los matemáticos alejandrinos llegaran nunca a abandonar los prejuicios y las tradiciones de la época platónica. Arquímedes fue uno de los más grandes matemáticos de todos los  tiempos. Formado en la escuela alejandrina, no era un  gentlemen of  leisure,  sino un ingeniero, a la par que gran matemático. Atento a las necesidades sociales de su ciudad y lejano precursor de Monge y de Carnot, extrajo los elementos creadores de su obra de la realidad social, lo que da a esta obra un carácter casi moderno, pues se sirvió de procedimientos infinitesimales, que hacen   de   él   el   iniciador   del   cálculo   integral.   Pero   Arquímedes   no   utilizaba   los   métodos infinitesimales sin remordimientos, pues también él   los consideraba como un mal menor. Más tarde, el gran pecursor del álgebra, Diofanto, escribió una obra célebre que quizás no haya sido ignorada   por   los   hindués.   Pero   ni   el   gran   Arquímedes,   ni   Diofanto,   llegaron   a   crear   una representación simbólica práctica de los números. Pero esta representación era una necesidad para el desarrollo del análisis matemático moderno, aunque esta necesidad sea de naturaleza histórica más que teórica.

En la India volvemos a encontrar una civilización mercantil en la que surgen de manera natural   una   aritmética   comercial   e   investigaciones   geométricas.   Los   hindués   no   tenían   las preocupaciones lógicas de los griegos ni su cuidado por el rigor. No tenían prejuicios en contra de los números irracionales y llegaron a formar un aparato matamático prealgebraico mejor que el de los griegos. Pero su gran contribución matemática fue un humilde descubrimiento de naturaleza muy elemental: en los primeros siglos de la era cristiana, un hindú desconocido imaginó el cero de  posición.   Presentido   por   los   babilonios   y   por   los   mayas,   este   descubrimiento   fue   elaborado definitivamente por los hindúes. A él debió el mundo la técnica matemática que debía contribuir poderosamente al desarrollo del análisis matemático.  Los griegos, por ejemplo, habían ideado una especie de geometría analítica, pero no sacaron nada de ella comparable a lo que debía dar la geometría analítica cartesiana. Su análisis numérico, su representación simbólica gráfica de los números   no   era   satisfactoria   y   éste   fue   un   defecto   general   de   toda   la   antigüedad   clásica. Arquímedes, en su Arenario, se dedicó a construir un número muy grande, pero no construyó un grafismo que permitiera hacer  una adición de otro modo que con el   antiguo bolillero y  este instrumento era, sobre poco más o menos, el único procedimiento utilizado por los griegos para ejecutar   cálculos   numéricos.   Evidentemente   era   insuficiente   para   hacer   un   cálculo   con   una aproximación arbitraria dada, que es el fin último de la solución matemática de un problema. Debía transcurrir un milenio antes de que la nueva técnica fuera adoptada corrientemente por el mundo occidental y fue esta técnica la que, gracias a un ambiente favorable, debía transformar a Europa en un “continente de calculadores”, como se lamentaba Burke más tarde.

El sistema de numeración hindú pasó primero a otra civilización mercantil, la del Islam. Introducida por éste en Europa, la numeración hindú fue bien recibida por los medios comerciales. En 1228, Leonardo Fibonacci de Pisa escribió la primera aritmética financiera. Los mercaderes 

5

italianos   usaban  corrientemente   en   el   siglo   XIII   las   cifras   llamadas  árabes,   a   pesar   de   las prohibiciones de la autoridad religiosa. Más tarde, se crearon en Alemania escuelas de aritmética. Poco después de la invención de la imprenta se imprimieron los libros de aritmética comercial. Nuestro sistema de numeración es, pues, una adquisición relativamente reciente, aunque forme parte ya del equipo científico de nuestros niños. Se ve claramente que este sistema fue adoptado bajo el empuje imperativo del desarrollo social. ¿Cuál era el origen del irresistible impulso que animaba a este desarrollo?

La economía  feudal era una economía cerrada,  en  la  que   los  intercambios  monetarios estaban reducidos a un mínimo y en el que el papel de la moneda era, por tanto, insignificante. Las cruzadas sacudieron radicalmente esta somnolencia. Los señores que habían gozado de la suntuosa vida ortiental volvieron con necesidades nuevas. Necesitaban dinero para comprar objetos de lujo y por   consiguiente   los   pagos   en   dinero   sustituyeron   poco   a   poco   los   pagos   en   especie.     Se desarrollaron las ferias y los mercados.

Esto   planteó   numerosos   problemas   técnicos,   particularmente   relacionados   con   las operaciones de cambio  y  de crédito y   también con el  mejoramiento  de  las   rutas  comerciales terrestres. En las ciudades italianas de los bordes del Mediterráneo y para las ciudades de la Hansa, cuyo comercio era esencialmente marítimo, todas las técnica relativas a la navegación recibián un continuo impulso. El deseo de hallar nuevas rutas marítimas para ir a los países de las especies aceleró   la   evolución   de   las   técnicas   al   plantear   los   grandes   problemas   de   la   navegación transoceánica. Fueron estas necesidades técnicas intensas las que obligaron a los hombres a fijar con insistencia sus pensamientos en la búsqueda de soluciones para estos problemas. Es ahí donde se puede hallar  la  fuente del  potente desarrollo de  las ciencias modernas en general y de  las matemáticas en particular. Desde esta lejana época ese potencial se revivifica en cada generación, pues el desarrollo social plantea siempre nuevos problemas técnicos, que a su vez suscitan siempre nuevas investigaciones científicas. A comienzos del siglo XV, un príncipe portugués, Enrique el Navegador, creó una escuela de navegación. Las tablas astronómicas confeccionadas por sabios judíos utilizando el sistema de Ptolomeo hicieron posible la navegación transoceánica. Se planteó el problema de la posición en alta mar. Este problema no podía resolverse de una manera satisfactoria más que por un desarrollo de los conocimientos astronómicos tal que se llegara a la creación de la mecánica celeste, lo que implicaba primero la creación de la dinámica. Pues a fines del siglo XV se había pensado en utilizar la Luna para resolver el problema de la longitud y la teoría de la Luna es una   de   las   cuestiones   más   arduas  de   la   mecánica  celeste.   También  otras   técnicas  suscitaron progresos   matemáticos   fundamentales,   particularmente   las   técnicas   del   arte   militar,   cuyos problemas de balística no podían ser resueltos plenamente más que con una mecánica nueva, que será la mecánica de Galileo. Tales son los elementos más importante del fermento que originó la actividad de los matemáticos modernos. También aquí  se ve que fue el desrrollo social el que, desde el siglo XV, hizo necesaria la elaboración de la mecánica moderna. Pues la estática griega era incapaz   de   resolver   los   problemas   planteados   y   la   dinámica   que   se   necesitaba     no   podía 

6

desarrollarse más que sobre la base del análisis moderno. Se ve asomar, así, en un porvenir lejano, a Descarte y a Galileo, a Leibnitz y a Newton, e inclusive a Lagrange y Laplace.

Este rápido esbozo muestra que los comienzos de las matemáticas son los de toda ciencia; la presión de las necesidades sociales eleva poco a poco al nivel de la especulación científica lo que primitivamente no era más que una colección de recetas empíricas. El  desarrollo  incial de las matemáticas está  condicionado, pues, por  las fuerzas productivas de una sociedad en continua transformación. Esta influencia de las fuerzas productivas va más allá del período inicial y domina toda la historia de las matemáticas. Las particularidades del progreso matemático corresponden a las particularidades del progreso social. Existe, por ejemplo, un paralelismo fiel entre el progreso social y   la   actividad matemática;  los países  socialmente atrasados  son aquellos  en  los  que  la actividad matemática  es  nula   o   casi  nula.  Sin  embargo,  una vez  dado  el   impulso  inicial,   las relaciones   entre   los   dos   desarrollos   se   hacen   más   complicadas   que   las     de   un   simple condicionamiento en sentido único, pues los progresos de las matemáticas reaccionan a su vez, y e forma cada vez más potente, sobre la evolución social. Las ciencias más avanzadas, las grandes técnicas de la producción tienden a adquirir una estructura cada vez más matemática. Utilizan los resultados  matemáticos del  pasado, pero  también plantean, en  forma cada vez más  imperiosa, nuevos problemas. A veces protestan cuando  los  matemáticos  no están en condiciones de dar soluciones   inmediatas.   Exigen   siempre   nuevos   progresos.   Más   aún,   tienden   a   modificar   el pensamiento   tradicional   de   los   matemáticos.   Es   así   que   lo   orientan   hacia   el   análisis   de   lo discontinuo, que  lo   incitan a  abandonar el  dominio de  la necesidad para  tratar de edificar un análisis de lo aleatorio. Esta noción de las otras ciencias es, pues, incomparablemente vivificadora. Si dejase de ejercerse, es de temer que las matemáticas evolucionarían hacia un escolasticismo estéril. Recíprocamente, se ha dicho con razón que todo progreso matemático implica un progreso en el conocimiento del mundo real. 3 Las diversas partes de las matemáticas están estrechamente ligadas entre sí, de suerte que toda adquisición nueva tiene repercusiones más o menos lejanas sobre el conjunto de las matemáticas y, desde este punto de vista, influye sobre el progreso de la técnica y por consiguiente sobre el desarrollo social. Es por eso que, sin dejarse dominar por el punto de vista de la uitilización inmediata, conviene estimular las investigaciones matemáticas en todos los dominios. Las especulaciones de los geómetras griegos ayudaron a Kepler en sus trabajos y los problemas planteados por el cabellero de Méré han contribuido, después de muchos rodeos, a la edificación de la física actual.  Pero entonces lejos de prevenir una contemplación solitaria y casi mística de los grandes matemáticos, el movimiento matemático de una época está íntimamente ligado a la actividad de los hombres de esta época. Esta interacciones continuas entre la actividad de los matemáticos y los progresos de las ciencias y las técnicas tienen un carácter oscilante, se podría decir. Pero las oscilaciones no son regulares. Son inestables y, lejos de amortiguarse, su intensidad aumenta sin cesar. Elevan simultáneamente el nivel de la producción científica y el de la 

3 “Un descubrimiento analítico se produce en el momento necesario para hacer posible cada progreso nuevo en el estudio de los fenómenos del mundo real.” (Hermite, 1882)

7

potencia  técnica. En   el   período  contemporáneo,  el   ritmo  de   este   proceso,  la   rapidez  de   esta elevación, se hacen cada vez más intensos. De ello resulta una aceleración del desarrollo social y la permanencia de la estructura social actual se ve quebrantada. Por eso, las matemáticas son un factor importante en la elaboración de la sociedad futura. Las matemáticas en fin, juntamente con las otras ciencias y las técnicas, constituyen la base del humanismo moderno, de ese humanismo científico que es el único que puede dar un sentido a las aspiraciones del hombre moderno, del hombre real actual, y de este modo también preparan el advenimiento de las estructuras sociales del futuro.

La actividad matemática resulta, pues, del aporte de un pasado concluido, pero también y sobre todo de influencias sociales, de las aspiraciones, los esfuezos y las tendencias generales de los hombres vivos concretadas por las fuerzas productivas, por la naturaleza de las relaciones de producción y por las contradicciones inherentes a todo devenir social. Tales son los elementos que, por su impacto sobre la vida mental del matemático, dan origen, por lo general inconscientemente, a sus deseos y a su pasión por la investigación, a sus sueños y sus quimeras, a los impulsos que le hacen despreciar ciertos problemas y abordar otros; estos elementos explican el carácter un poco desordenado   de   la   producción   matemática,   reflejo   de   la   turbulencia   del   desarrollo   social. Inversamente, y por acción recíproca, los progresos de las matemáticas actúan sobre el desarrollo social elevando el nivel técnico e ideológico de la sociedad y contribuyendo al desarrollo de sus fuerzas productivas. La potencia creadora de las matemáticas cambia continuamente, tan pronto aumenta como disminuye, se agota y se enriquece sin cesar y sintetiza en un plano espiritual elevado las apiraciones de los hombres, conscientes o inconscientes. Las matemáticas constituyen por eso la base sólida del humanismo científico, la ideología adecuada al desarrollo social en su nivel  actual. Si se aceptan estos puntos de vista, el  desarrollo de  las matemáticas se reintegra armoniosamente en el desarrollo social y pierde todo carácter misterioso.

8