Las fracciones - UAH · 2020. 10. 1. · Juan compró 80 naranjas y 52 manzanas, y usó la misma...

$: Las fracciones - UAH · 2020. 10. 1. · Juan compró 80 naranjas y 52 manzanas, y usó la misma cantidad de naranjas que de manzanas para hacer zumo. Si después de hacer el zumo$
Las fracciones 99

Ejercicio 3.2. Luis y Nuria hicieron tarjetas durante dos días. El sábado Nuria hizo 19 tarjetasmás que Luis. El domingo, Nuria hizo 20 tarjetas, y Luis hizo 15. Al acabar los dos días, compro-bamos que Nuria hizo 3/5 del total de las tarjetas. ¿Cuántas tarjetas hizo Luis?

En los siguientes enlaces se puede ver la prueba externa que hemos mencionado completa.Puede ser una buena forma de hacerse una idea más precisa de la diferencia de enfoque.

http://bit.ly/2nvVLSE

http://bit.ly/2p42NhX

Antes de empezar el estudio de la multiplicación de fracciones, veamos algunos ejercicios más.Son también problemas que no se tratan en España en Primaria, pero que con una auténticacomprensión de las fracciones, y con el apoyo gráfico adecuado, pueden convertirse en pro-blemas al alcance de al menos una parte de los alumnos de los últimos cursos de Primaria. Y,por supuesto, son problemas que podrían ser tratados en Secundaria, sin necesidad de la ma-quinaria algebraica, que es muy potente, pero que muchas veces se convierte en un obstáculoque impide profundizar en la comprensión de los conceptos aritméticos. Las soluciones, en elcapítulo final.

Ejercicio 3.3. He abierto el grifo y he comprobado que al cabo de 1 hora se han llenado 5/8 deldepósito. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito completo?

Ejercicio 3.4. Una barra de 156 cm de largo se partió en dos piezas. Si sabemos que 2/7 del trozomás grande miden lo mismo que 2/5 del trozo más pequeño, ¿cuál es la longitud de cada uno delos trozos?

Ejercicio 3.5. Juan compró 80 naranjas y 52 manzanas, y usó la misma cantidad de naranjasque de manzanas para hacer zumo. Si después de hacer el zumo 3/8 del total de las frutas eranmanzanas, ¿cuántas naranjas usó para hacer zumo?

Ejercicio 3.6. Luis pagó 845 € por una mesa y 4 sillas. El precio de cada silla era 2/5 del preciode la mesa. ¿Cuánto pagó Luis por la mesa?

3.3. Multiplicación de fracciones

Desde el punto de vista procedimental, la multiplicación de fracciones es la operación más sen-cilla, no hay más que multiplicar los numeradores y los denominadores. De hecho, no es rarover en nuestras aulas que, para calcular 5× 2

3 se escribe 51 × 2

3 . El problema de este enfoque esque muchos alumnos no entienden qué significa multiplicar dos fracciones y, por tanto, es muyposible que no sepan interpretar la operación de manera adecuada cuando llegue la resoluciónde problemas.

Veamos un enfoque más gradual, donde consideramos primero los casos en que uno de los fac-tores del producto es un número natural, y con el que se intenta dejar claro que la multiplicaciónde fracciones es la extensión de la ya conocida multiplicación de números naturales.

http://bit.ly/2nvVLSE

http://bit.ly/2p42NhX

100 Las fracciones

1. El primer caso que tratamos, el más sencillo, es cuando el multiplicador es un número na-tural, es decir, una expresión como 5× 2

3 , leída “cinco veces dos tercios”, o 23 ×5, leída “dos

tercios multiplicado por cinco”. En ambos casos, el significado es claro, se trata de sumar 2/3cinco veces, Por tanto (con la primera interpretación)

5× 2

3= 2

3+ 2

3+ 2

3+ 2

3+ 2

3= 10

3.

Estamos ante un caso en el que verbalizar adecuadamente la expresión simbólica es sufi-ciente para que nos demos cuenta de qué estamos haciendo.

Por supuesto, la multiplicación seguirá siendo conmutativa, y el resultado de las expresiones“cinco multiplicado por dos tercios” y de “dos tercios de cinco” será el mismo, pero esto noes tan fácil de ver, y es preciso proceder de forma cuidadosa si queremos que los alumnosentiendan el porqué.

2. El siguiente paso es una expresión como 13 ×12. Este es uno de los momentos en que queda

clara la utilidad de haber interpretado la multiplicación como “veces”. Si lo hemos hecho,resulta natural leer aquí “un tercio de doce”. Por tanto, 1

3 ×12 = 123 = 4. Por supuesto, en este

primer ejemplo hemos tenido el cuidado de considerar el 12, divisible entre 3. El significadode la expresión “multiplicar por un tercio” puede resultar bastante menos claro, y hemos derecurrir aquí a lo ya trabajado con la multiplicación de números naturales. En particular, esmuy importante entender que multiplicar por 1

3 es equivalente a dividir entre 3.

Este significado de la multiplicación por una fracción se suele conocer con el nombre defracción de una cantidad. Dando un paso más en el nivel de abstracción (que creemos inne-cesario) en muchos textos de secundaria se habla de la fracción como operador. Es correcto,por supuesto, pero también el número 2 es un operador cuando hablamos de “el doble de7”, y no es necesario recurrir a esa terminología. El problema cuando usamos estos términoses que pueden dar la imagen de que todo es más complicado de lo que en realidad es. Si he-mos entendido que “un tercio de un rectángulo” se obtiene dividiendo el rectángulo en trespartes iguales, y tomando una, y hemos entendido la multiplicación 2×5 como “dos vecescinco”, interpretar la expresión 1

3 ×12 como “la tercera parte de doce”, o “un tercio de doce”,resulta muy natural, y deja claro cómo proceder al cálculo.

3. El siguiente paso consiste en considerar la situación en que el multiplicando no es múltiplodel denominador del multiplicador, es decir, una expresión como 1

3 ×5, interpretada como“un tercio de cinco”. En este momento, ya sabemos que esta expresión es equivalente a divi-dir 5 entre 3, y (si no lo hemos hecho antes) es el momento de detenernos para comprobareste significado de la fracción 5/3.

Seguramente estamos tan acostumbrados a esta interpretación que no valoramos lo sufi-ciente su dificultad. Volvamos por un momento a interpretar la fracción 2/3 como parte deun todo, que es el significado que usamos para introducir las fracciones: el total lo dividimosen tres partes iguales, y tomamos dos de ellas (como en la figura 3.12.a). La división 2÷ 3corresponde a una situación distinta: tenemos dos chocolatinas que queremos repartir (porigual) entre tres niños. Lo que hacemos es dividir cada chocolatina en tres partes iguales,

Las fracciones 101

y darle una a cada niño. Por tanto, cada niño recibe 2/3 de chocolatina, como se ve en lafigura 3.12.b).

2÷32

3

a) b)

Figura 3.12: La fracción como división: partes de un todo.

En la expresión 13 ×5 (interpretada como “un tercio de cinco”), en la que el resultado es una

fracción impropia, podemos recurrir a la representación en la recta numérica, como se ve enla figura 3.13. En ella vemos que 1

3×5 = 53 . También es el momento adecuado para comprobar

que la multiplicación sigue siendo conmutativa, y que “un tercio de cinco” resulta ser “cincoveces un tercio”.

1

3×5 = 5÷3

5

3 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

Figura 3.13: La fracción como división en la recta numérica.

En este momento merece la pena detenerse un momento para darnos cuenta de que hemosvisto que “multiplicar por 1/n es equivalente a dividir entre n”. Este hecho, que conecta lamultiplicación y la división, será importante en el futuro.

4. Ahora que ya sabemos cómo interpretar 13×5 (“un tercio de cinco”) y cómo calcularlo, resulta

sencillo dar el paso a 23 ×5 (“dos tercios de cinco”), que será “dos veces un tercio de cinco”, es

decir, 2× 53 = 10

3 .

Para el cálculo de “dos tercios de cinco” en algunos libros de texto aparece la instrucción “pa-ra calcular 2/3 de 5 se multiplica por 2 y se divide entre 3”. Como ya hemos comentado enalgunas ocasiones, la forma de verbalizar un procedimiento matemático es importante, por-que puede ayudar a la comprensión o, como en este caso, hacerla más difícil. La intención demultiplicar antes que dividir es clara, eliminar la “dificultad” de dividir 5 entre 3. Pero resultaen un procedimiento cuyo significado es “la tercera parte del doble de 5”, muy alejado se-mánticamente del cálculo inicial, “dos tercios de cinco”. Por ello, esta forma de verbalizar elcálculo nos parece poco conveniente. Además, si la cantidad es un múltiplo del denomina-

102 Las fracciones

dor, también desde un punto de vista puramente operativo resulta ventajoso hacer primerola división.

5. Finalmente, ya estamos en condiciones de ver el caso general, multiplicando dos fracciones.El modelo de área será la mejor forma de comprobar cómo la multiplicación de fraccionesgeneraliza la multiplicación de dos números naturales. En el modelo de área, la multiplica-ción 5×4 se interpreta como el área (o los cuadrados unitarios), de un rectángulo de base5 y altura 4 (formado por 5 filas de 4 cuadrados). Si ahora tenemos un rectángulo R de base3/4 y altura 2/5, como el que se muestra en la figura 3.14, ¿cuál será su área? Dividiendo elcuadrado unidad en cuatro partes iguales con rectas verticales (para tomar la base 3/4) y encinco partes iguales con rectas horizontales (para tomar la altura 2/5), vemos que el cuadra-do ha quedado dividido en 4×5 rectángulos iguales (el producto de los denominadores), yque 3×2 de ellos (el producto de los numeradores) corresponden al rectángulo R. Por tanto,el área del rectángulo de base 3

4 y altura 25 , que como vemos es 6

20 debe ser el producto de lasfracciones 3

4 y 25 , es decir,

3

4× 2

5= 3×2

4×5= 6

20.

3/4

1

0 1

2/5

R

Figura 3.14: Multiplicación de fracciones: modelo de área.

6. Además de la interpretación del producto de fracciones dada en el punto anterior, es tam-bién fundamental entender que el producto de fracciones corresponde también al cálculo dela fracción de otra fracción, como “2/5 de 3/4”. Para ello, tomamos 3/4 del cuadrado unidad,como hemos representado en la figura 3.15.a), donde los 3/4 están sombreados. A continua-ción, dividimos la región en cinco partes iguales y tomamos dos de ellas (las rayadas en lafigura 3.15.b). Por tanto, “2/5 de 3/4” será igual a 2

5 × 34 = 6

20 .

Es sencillo comprobar que 3/4 de 2/5 es lo mismo que 2/5 de 3/4, razonando directamente,es decir, sin necesidad de recurrir a la multiplicación de fracciones, que ya sabemos que esconmutativa. Para ello, lo único que hay que hacer es un dibujo análogo al de la figura 3.15.Si tomamos la precaución de hacer la primera división, la correspondiente a 2/5, con rectashorizontales, entonces la representación de los 3/4 de 2/5 que obtenemos será exactamenteigual que la anterior.

Es este un buen momento para detenerse sobre un detalle que puede crear dificultades. Mu-chos alumnos han oído que “cuando se multiplica, el producto es mayor que los factores”.

Las fracciones 103

1

0 13/4

2/5

a) b)

1

0 13/4

Figura 3.15: Fracción de una fracción.

Como sabemos, cuando se multiplican dos fracciones propias, el resultado es menor que lasfracciones. Cuando se entiende la multiplicación de fracciones, en particular, la interpreta-ción como “fracción de otra fracción”, queda claro el porqué.

Un último comentario: el tratamiento que hemos visto se puede adaptar de manera sencillacuando aparecen fracciones impropias. Quizá lo más conveniente para darle significado alproducto sea descomponerlas, e interpretarlas como una parte entera y una fracción propia.Por ejemplo, ¿qué significa “siete quintos de tres cuartos”?:

7

5× 3

4=

(1+ 2

5

)× 3

4= 3

4+ 2

5× 3

4.

Terminamos proponiendo unos ejercicios (resueltos en el capítulo final) para los que recomen-damos buscar más de una forma de resolverlos. En particular, es útil resolverlos tanto de maneragráfica como de manera simbólica. Esto ayuda a interpretar el procedimiento simbólico de reso-lución y, al mismo tiempo, prepara a los alumnos para poder aplicar el procedimiento simbólicocuando los datos hacen complicada la resolución por el método gráfico.

Ejercicio 3.7. Marta leyó la mitad de un libro el lunes, el martes leyó 1/3 de lo que le faltaba, yel miércoles terminó el libro. Si el miércoles leyó 48 páginas, ¿cuántas páginas tenía el libro?

Ejercicio 3.8. ¿Qué fracción del rectángulo completo está sombreada en esta figura?

1/3 2/3

Hay muchos problemas que se pueden reducir a este modelo. Veamos un ejemplo:

Ejercicio 3.9. He preparado una sangría poniendo 3 vasos de zumo, 2 vasos de vino (con 1/8 dealcohol) y 1 vaso de ginebra, con 2/5 de alcohol. ¿Qué fracción de la sangría es alcohol?

104 Las fracciones

3.4. División de fracciones

En la división de fracciones también se suele cometer el error de centrarse en el procedimiento,sin dedicar el tiempo suficiente a dejar claro que la operación tiene el mismo significado quela operación ya conocida para los números naturales. En particular, es fundamental tener claroque las divisiones no son siempre un reparto, y que hay divisiones cuyo sentido es el de “hacergrupos iguales”. Si algún lector no tiene este detalle claro, debería volver sobre la sección 1.7.Igual que hicimos en el caso de la multiplicación, para facilitar la comprensión es muy impor-tante empezar por los casos sencillos, e ir avanzando gradualmente hasta el caso general.

1. El caso más sencillo es cuando el divisor es un número natural, y además el numerador dela fracción es un múltiplo del divisor, como en este problema:

Dos amigos se reparten (por igual) 4/5 de una tarta. ¿Cuánta tarta come cada amigo?

Sin más que verbalizar este cálculo de manera adecuada: “cuatro quintos dividido entredos", la solución es evidente, “dos quintos”, es decir, 4

5 ÷2 = 25 . Como otras muchas veces, la

representación de la figura puede ayudar a los alumnos en la comprensión. Obsérvese queesta forma de calcular es mucho más fácil de entender que si usamos un procedimiento ge-neral para dividir fracciones, sea cual sea, y esto siempre tiene sus ventajas en la resoluciónde problemas.

1 2

2. ¿Qué ocurre ahora si son tres amigos, en lugar de dos? La cuenta que tenemos que haceres “cuatro quintos dividido entre tres", es decir, 4

5 ÷3. Las fracciones equivalentes vienen denuevo en nuestra ayuda: 4 no es múltiplo de 3, pero siempre podemos expresar una fracciónde manera que el numerador sea múltiplo de 3, en este caso, o de cualquier otro número,en el caso general. Por tanto, podemos hacer lo siguiente:

4

5÷3 = 12

15÷3 = 4

15.

1 2 3

En este cálculo nos hemos topado con una propiedad que será útil en etapas posteriores,por ejemplo en el manejo de fracciones algebraicas: dividir el numerador de una fracciónpor cierto número es equivalente a multiplicar su denominador por ese mismo número.

3. En el siguiente paso, ya consideramos una fracción en el divisor, pero de la forma 1/n, comoen estos ejemplos:

Las fracciones 105

a) Un grupo de amigos compra dos pizzas y cada uno se come 1/3 de pizza.¿Cuántos amigos eran en el grupo?

b) ¿Cuántas botellas de 1/4 de litro podemos rellenar con una garrafa de 3 litrosde agua?

Cuando el divisor es una fracción el sentido de la división no puede ser el de reparto (no sepuede “repartir entre 1/3”), sino el sentido de “agrupar”, de “cuántas veces cabe el divisor enel dividendo”. En la figura 3.16 tenemos representaciones para las dos preguntas anteriores.

2÷ 1

3= 2×3 = 6

3 `

14 ` 3÷ 1

4= 3×4 = 12

Figura 3.16: Dividir entre 1/n.

a) Como cada pizza tiene tres tercios, en dos pizzas habrá 6 tercios:

2÷ 1

3= 2×3 = 6.

b) Como con 1 litro de agua podemos rellenar 4 botellas, con 3 litros de agua podremosrellenar 12 botellas:

3÷ 1

4= 3×4 = 12.

En este proceso estamos descubriendo que dividir entre 1/n es equivalente a multiplicar porn, de nuevo una propiedad que será importante en cursos posteriores, por ejemplo para lamanipulación de expresiones algebraicas.

4. Nos planteamos ahora una división como 5÷ 23 , por ejemplo, con la pregunta: si tenemos 5

litros de agua, ¿cuántas botellas de 2/3 de litro podemos rellenar? En la figura 3.17.a hemosresuelto el problema gráficamente, contando 2/3 para cada botella. Vemos que se llenan 7botellas completas y, con el tercio de litro que nos sobra, podemos rellenar media botellaadicional. Por tanto, con 5 litros de agua llenamos 7 botellas y media.

Para ver cómo podemos hacer el cálculo en general, podemos considerar el caso en quetenemos 1 litro de agua, representado en la figura 3.17.b. En este caso podemos rellenar1 botella y media. En notación simbólica: 1÷ 2

3 = 32 . Animamos al lector a que compruebe,

con un dibujo, que 1÷ 34 = 4

3 y que 1÷ 25 = 5

2 . Como sabemos, esta propiedad es cierta en

general: 1÷ ab = b

a para cualesquiera números naturales a y b.

106 Las fracciones

Ya podemos terminar el cálculo de las botellas que llenamos con 5 litros: si con 1 litro lle-namos 3/2 botellas (es decir, una botella y media), con 5 litros llenaremos 5 veces 3/2, esdecir,

5÷ 2

3= 5× 3

2= 15

2= 7+ 1

2.

Que el dividendo sea un número natural no juega ningún papel en este razonamiento, sihubiéramos tenido 5 litros y medio, la cuenta sería2

11

2÷ 2

3= 11

2× 3

2= 33

4= 8+ 1

4.

5 `

a) b)

1 `

1 bot

Figura 3.17: Dividir entre una fracción, caso general.

Hemos deducido el siguiente procedimiento general para dividir entre una fracción: dividir en-tre a

b es equivalente a multiplicar por ba , es decir, la fracción “dada la vuelta”, que se llama frac-

ción inversa. Por supuesto, este procedimiento es equivalente al tradicional en España, de “mul-tiplicar en cruz”. Sin embargo, nos parece más conveniente, ya que se puede entender su fun-cionamiento. Además, incluso si no se entiende, la receta memorística “invierte y multiplica”,funciona mejor que la multiplicación en cruz, ya que evita el error de intercambiar numeradory denominador en el resultado.

Un último comentario sobre la relación entre la división de fracciones y la división con restoestudiada previamente. Comparemos estas dos expresiones:

5÷ 2

3= 7+ 1

2(1)

5 = 7× 2

3+ 1

3(2)

La primera nos dice que con 5 l de agua podemos rellenar 7 botellas y media de 2/3 de litro. Lasegunda, nos dice que con 5 litros rellenamos 7 botellas de 2/3 de litro y nos sobra 1/3 de litro(con ese tercio que sobra, llenamos media botella, y recuperamos la solución de (1)).

2Esperamos que el lector ya entienda sin problemas la fracción 11/2 como 5 y medio.

Las fracciones 107

3.4.1. Reducción a común denominador

Reducir a común denominador también puede ser una buena estrategia para entender la divi-sión de fracciones. Comparemos estas dos preguntas:

a) ¿Cuántas veces cabe 2/3 en 5?, o ¿cuántos 2/3 hay en 5?

b) ¿Cuántas veces cabe 2/3 en 15/3?, o ¿cuántos 2/3 hay en 15/3?

Por supuesto, para darse cuenta de que la segunda pregunta es más sencilla que la primera, hacefalta entender que el denominador tiene el significado de la unidad, y que la pregunta ¿cuántos2 tercios hay en 15 tercios? es, realmente, la misma pregunta que ¿cuántos 2 litros hay en 15litros?

Terminamos con un ejemplo de este procedimiento para dividir fracciones, representado gráfi-camente en la figura 3.18:

4

3÷ 1

2= 8

6÷ 3

6= 8

3= 2+ 2

3.

4/3

1/2 3/6

8/6

Figura 3.18: División de fracciones: reducción a común denominador.

A pesar de las dificultades que pueden verse en las aulas, y a diferencia de lo que ocurre conla multiplicación de fracciones (con el significado de “fracción de una cantidad, o de otra frac-ción”) los ejercicios en los que aparece la división de fracciones no incluyen ninguna idea nueva.La comprensión de la división de números naturales (en sus dos sentidos) y la comprensión delconcepto de fracción, debería ser suficiente para que no aparezcan dificultades. En caso contra-rio, debemos buscar el origen de las dificultades en uno de esos dos ingredientes. Terminamosla sección con un ejercicio.

Ejercicio 3.10. Tenemos a nuestra disposición un barril con 30 litros de refresco, y tenemos queservir a una serie de parejas. Sabemos que en cada pareja una persona querrá un vaso de 1/3 delitro, y la otra un vaso de 1/4 de litro. ¿A cuántas parejas podremos servir? ¿Cuánto refresco nossobrará?

3.4.2. Una última visita a las fracciones equivalentes

Una vez vista la división de fracciones ya estamos en condiciones de entender el criterio más co-mún para determinar si dos fracciones son equivalentes, el de “multiplicar en cruz”. La “receta”dice que las fracciones a/b y c/d son equivalentes si a ×d = b ×c. ¿Por qué? Que dos fracciones

108 Las fracciones

son equivalentes quiere decir que representan la misma cantidad. En ese caso, al dividir unaentre la otra (no importa el orden) el resultado debe ser 1. Por tanto,

1 = a

b÷ c

d= a

b× d

c= a ×d

b × c→ a ×d = b × c.

Este criterio es el más eficiente desde el punto de vista de que reduce el problema a un sencillocálculo, y es el más recomendable cuando las fracciones son “complicadas”. Sin embargo, paraque el alumno de primaria entienda en profundidad el significado del concepto de fraccionesequivalentes, creemos recomendable limitarse a trabajar con fracciones que se puedan estudiarcon métodos que sean más “transparentes”, métodos que ayuden a entender qué significa quedos fracciones son, o no, equivalentes.

3.5. Dos resultados sobre números racionales

Terminamos el estudio de las fracciones con dos resultados teóricos. El conjunto de númerosracionales, que en matemáticas se denota por Q (la letra “Q” viene de “quotient”) es el con-junto de números que se pueden obtener como cociente de otros números “más sencillos”, esdecir, el conjunto de los números que se pueden expresar en forma de fracción. Aunque no nosdetendremos en ello, en este caso los numeradores y denominadores son números enteros (eldenominador distinto de cero, por supuesto).

Una propiedad fundamental que distingue a los números racionales de los naturales (y de losenteros) es que no existe el siguiente de un número racional. De forma más precisa, en Q pode-mos considerar la relación de orden < análoga a la de los números naturales: a < b si b −a > 0.En la recta numérica, a es menor que b si a está a la izquierda de b. Cualquier número natural ntiene su siguiente (que es el menor de todos los números naturales mayores que n). El siguientede 3 es 4 y, en general, el siguiente de n es n + 1. Esta propiedad, muy intuitiva, es de hechofundamental en los números naturales, y junto con la existencia del primer elemento (el 1), sonlas propiedades más importantes de la lista que caracteriza al conjunto de los números natu-rales cuando se estudian de forma axiomática, y que se conocen como axiomas de Peano. Puesbien, si nos preguntamos por el número racional siguiente a 1/2, nos daremos cuenta de que noexiste; de hecho, entre dos números racionales, por parecidos que sean, siempre podremos en-contrar otro número racional (aún más, entre esos dos números racionales podremos encontrarinfinitos números racionales).

Supongamos que nos piden encontrar un número racional que esté entre 1217 y 13

18 . Podríamosexpresarlas con un denominador común, y encontrar una fracción entre ellas dos de esa forma,pero también se puede recurrir a la media aritmética. Si a y b son dos números cualesquiera,12 (a +b) es un número que está entre ellos. Por tanto,

1

2

(12

17+ 13

18

)= 437

612

es una fracción mayor que 1217 y menor que 13

18 .

Las fracciones 109

Claramente, este procedimiento se podría repetir indefinidamente (buscando en el siguientepaso una fracción entre a y la media aritmética calculada, y entre ésta y b, y así sucesivamente),para obtener no solo uno, sino infinitos números racionales entre los dos dados.

Esta propiedad, en la recta numérica, nos dice que entre dos puntos de la recta, por cercanosque estén, hay infinitos números racionales. Vistas así las cosas, sería natural sospechar quetodos los números van a ser racionales. Sin embargo, esto no es cierto, y el siguiente resultadonos dice que hay números “sencillos” que no son racionales.

Teorema 3.1.p

2 no es un número racional.

Demostración. La idea de la demostración es la siguiente: vamos a empezar suponiendo algo,y a razonar a partir de esta suposición. Si de esta forma conseguimos deducir algo que es im-posible, o contradictorio, habremos demostrado que la suposición del principio es falsa. Ya nosencontramos con esta técnica cuando demostramos que existen infinitos números primos. Re-cordemos que se conoce como reducción al absurdo. Para intentar que el razonamiento quedemás claro vamos a separarlo en diferentes pasos.

1. Empezamos suponiendo quep

2 sí es un número racional, y que, por tanto, podemosescribirlo como una fracción. Un detalle que será importante: la expresión en forma defracción la hacemos irreducible. Por tanto, tenemos

p2 = p

q(con

p

qirreducible). (3.2)

2. Elevando al cuadrado la igualdad (3.2), obtenemos que p2 = 2q2, de donde se deduce quep2 es un número par.

3. Como p2 es par, sabemos que p también es par (porque si p fuera impar, p2 sería tambiénimpar). Como p es par, es el doble de otro número natural, es decir, sabemos que p = 2kpara algún número natural k.

4. Escribiendo que p = 2k en la igualdad p2 = 2q2 se obtiene

(2k)2 = 2q2 → 4k2 = 2q2 → 2k2 = q2

5. De la última igualdad de la línea anterior se deduce que q2 es par, e igual que antes, estoobliga a que q sea también un número par.

6. Y hemos terminado, porque hemos llegado a una contradicción: habíamos supuesto quela fracción era irreducible, y hemos visto que de la igualdad

p2 = p

q se puede deducir quep y q son números pares. Lo que nos dice esto es que la suposición inicial es falsa, es decir,que

p2 no se puede expresar como una fracción.

110 Las fracciones

El resumen en dos líneas de la demostración es el siguiente:

Sip

2 fuera un número racional, lo podríamos escribir como una fracción irreducible p/q . Perocon un poco de álgebra, se deduce que si la relación

p2 = p/q fuera cierta entonces tanto p

como q serían números pares. Por tanto,p

2 no es un número racional (es decir, no se puedeescribir como una fracción).

Los filósofos de la Grecia clásica (en concreto, la escuela Pitagórica) ya se dio cuenta de esteresultado fundamental, y de hecho su descubrimiento causó una crisis en sus líneas de pensa-miento. El lector estará pensando en la conexión del resultado con el Teorema de Pitágoras, yes cierto que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es un ejemplo evidente deestos números, pero hay una forma de introducir estos números ya en Primaria, en conexióncon el estudio de la raíz cuadrada.

En la figura 3.19 se muestra una cuadrícula. Si se define la unidad como la distancia entre dosvértices adyacentes, como A y B en la figura, el área de cada uno de los cuadrados de la mallaes 1. ¿Cuál es entonces el área del cuadrado girado? En efecto, el cuadrado mayor tiene área 2.Pero entonces, como el área de un cuadrado es el lado al cuadrado, es decir, A = `2, y A = 2tenemos que 2 = `2, es decir, ¡`=p

2!

A B

Figura 3.19: Un cuadrado de ladop

2.

3.6. Los números decimales

El estudio de los números decimales se empieza, de manera informal, en conexión con los eu-ros y los céntimos. Pero es importante tener claro que la comprensión en profundidad de losnúmeros decimales solo se puede conseguir si se apoya de manera adecuada en los conceptoscorrespondientes de las fracciones.

Una décima se obtiene al dividir la unidad en diez partes iguales, y una centésima al dividir launidad en cien partes iguales (o, lo que es lo mismo, una décima en diez partes iguales). Los blo-ques de base 10 que se usan para introducir la notación posicional son una buena herramientapara trabajar estas ideas. Como se muestra en la figura 3.20, podemos trabajar con la barra de10 como la unidad, en cuyo caso los cubos unitarios serían décimas, o con la placa de 100 comounidad, en cuyo caso las barras de 10 serían las décimas y los cubos unitarios las centésimas. Demanera análoga, se obtienen las milésimas, diezmilésimas, etc.

Las fracciones 111

unidad decima unidad decima centesima

a) b)

Figura 3.20: Décimas y centésimas.

La conocida notación de número decimal es una forma compacta de escribir la expresión confracciones de denominadores 10, 100, etc. Por ejemplo,

2,45 = 2+ 4

10+ 5

100. (3.3)

Esta expresión es una generalización de la expresión de la parte entera como grupos de poten-cias de 10 a la parte decimal, que se puede expresar como una suma de potencias de 10 conexponente negativo. Si recordamos que 10−1 = 1

10 , 10−2 = 1102 , etc, entonces tenemos la siguien-

te descomposición:

825,764 = 8×102 +2×101 +5×100 +7×10−1 +6×10−2 +4×10−3.

Una de las mejores herramientas para entender los decimales, y para situarlos en el contexto delresto de los números, es de nuevo la recta numérica. En la figura 3.21 representamos cómo losintervalos unitarios se dividen en 10 partes iguales (cada una de ellas representa una décima),y cómo luego cada uno de estos intervalos se puede dividir, a su vez, en 10 partes iguales, queserán las centésimas. Este proceso se puede iterar indefinidamente.

0 1 2 1,3 1,41,35

Figura 3.21: Decimales en la recta numérica.

Ejercicio 3.11. Elija una escala adecuada para representar los siguientes números decimales demanera que se vean lo mejor posible: 1,509; 1,524; 1,469; 1,592 y 1,6.

(Puede encontrar una recta graduada como la de la figura en el archivo auxiliar de materiales.)

112 Las fracciones

3.6.1. Expresión decimal de fracciones

Un número decimal es una notación abreviada de una suma de fracciones cuyos denominado-res son potencias de 10, como se muestra en la expresión (3.3). También podemos escribir

2,45 = 2+ 4

10+ 5

100= 245

100,

es decir, 2 unidades, 4 décimas y 5 centésimas son 245 centésimas. En general, cualquier númerodecimal (finito) se puede escribir como una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.En el caso del número 2,45, una manera de verlo es decir que podemos multiplicar y dividir por100. En el caso general, habría que multiplicar y dividir por la potencia de 10 correspondiente ala cantidad de cifras decimales del número que queremos escribir como fracción.

El algoritmo tradicional de la división nos permite obtener la expresión decimal de una fraccióndada. ¿Conocemos realmente el significado concreto de cada etapa de esa división? Vamos aanalizar en detalle este procedimiento y el significado de cada etapa, hasta que obtenemos laexpresión decimal finita 3

8 = 0,375.

1. Como 3 entre 8 tocan a 0, sobran 3 unidades.

“Bajamos un cero”, es decir, consideramos ahora 30 décimas,que divididas entre 8 nos dan 3 décimas. 3 décimas por 8 son24 décimas, y 30 menos 24 son 6. Por tanto, nos sobran 6 déci-mas.

En este momento tenemos estas dos expresiones equivalen-tes:

3 = 0,3×8+0,6 → 3

8= 0,3+ 0,6

8

3−03 0−2 4

6

80.3

2. En el siguiente paso “bajamos un cero”, es decir, las 6 décimaslas vemos como 60 centésimas. Al dividirlas entre 8, tocan a 7,7×8 = 56 centésimas, y al restarlas de 60 obtenemos un restode 4 centésimas.

En este momento tenemos estas dos expresiones equivalen-tes:

3 = 0,37×8+0,04 → 3

8= 0,37+ 0,04

8

3−03 0−2 4

6 0−5 6

4

80.3 7

Las fracciones 113

3. Por último, de nuevo “bajamos un cero”, es decir, las 4 centési-mas las vemos como 40 milésimas. Al dividirlas entre 8, tocana 5 milésimas, 5× 8 = 40, de forma que obtenemos resto 0 yhemos terminado la división.

Obtenemos estas dos expresiones equivalentes:

3 = 0,375×8 → 3

8= 0,375

3−03 0−2 4

6 0−5 6

4 0−4 0

0

80.3 7 5

Como sabemos, hay situaciones en las que el resto nunca es 0, y por tanto la división se puedeprolongar de manera indefinida. El caso más sencillo es la fracción 1/3, para la que se obtienela expresión 1

3 = 0,333 · · · . Los puntos suspensivos significan que tenemos infinitos treses, y estaexpresión es seguramente el primer momento en que aparece (de forma implícita) la idea delímite en la enseñanza de las matemáticas. No podemos entrar en detalles del significado preci-so, y nos conformaremos con la idea intuitiva: el número decimal 0,333 · · ·3 (con una cantidadfinita de cifras), se parece mucho a la fracción 1/3, y se parece más cuantos más decimales con-sideremos. De hecho, la diferencia la podemos hacer tan pequeña como queramos, a base deconsiderar más decimales. En ese sentido, se dice que si ponemos “infinitos decimales”, la ex-presión es igual a 1/3. Estos decimales, en los que se repite la parte decimal, se llaman decimalesperiódicos, y se usa la notación 0,3

_para expresar que el número 3 se repite indefinidamente. Así,

por ejemplo, escribimos 1,Ù276 para representar al número 1,276276276 · · · . Las cifras “276”, quese repiten indefinidamente, son el periodo del número decimal. Si antes del periodo hay unaparte decimal que no se repite, como en el número 3,4Ø67 = 3,4676767 · · · , decimos que el núme-ro decimal es periódico mixto (la parte decimal que no se repite se llama anteperiodo).

Vamos a ocuparnos ahora de determinar de forma precisa la relación entre las fracciones y losnúmeros decimales. En concreto, que las fracciones se corresponden con los números decima-les finitos o periódicos, es decir, que la expresión decimal de una fracción es siempre finita operiódica y que cualquier decimal finito o periódico se puede expresar en forma de fracción.Este es el primer paso:

Proposición 3.1. La expresión decimal de cualquier fracción es, o bien un número decimalfinito, o bien un número decimal periódico.

Demostración. No vamos a ver una demostración completa de este resultado, sino un ejemploque creemos que es suficiente para transmitir la idea de por qué el resultado es cierto. Supon-gamos que tenemos la fracción a/b y que queremos encontrar su expresión como número de-cimal. Si al hacer la división a÷b obtenemos en algún momento un resto igual a 0, la expresióndecimal que obtenemos es finita, igual que con la fracción 3/8 del ejemplo anterior. ¿Qué ocurresi en la división no obtenemos nunca un resto igual a 0?

114 Las fracciones

Supongamos que tenemos una fracción como 217 , y que repetimos

los pasos de la división sin obtener nunca un 0. Lo que debe ocu-rrir es que en algún momento se repita el resto. ¿Por qué? Puesporque si dividimos entre 17 hay un total de 16 restos posibles(el cero no aparece), y cuando hemos calculado 17 restos ya debehaber, seguro, alguno repetido. ¿Qué ocurre entonces? En la figu-ra tenemos el esquema de la división: si el resto que se repite esR, como “bajamos un 0” en los dos casos, al volver a salir restoR se vuelve a repetir la misma secuencia en la división, ya inde-finidamente. En el esquema de la derecha, los puntos anterioresa la primera aparición de R pueden corresponder al anteperiodo,si R 6= 2, o al periodo, si R = 2; los cuadrados corresponden a lospasos de la división donde se obtienen los decimales del periodo.

1 72

R 0

R 0

R 0

Obsérvese que no solo hemos demostrado que la expresión es periódica, sino que la longituddel periodo es, como mucho, el denominador de la fracción, menos uno. En el caso del ejemplo,la repetición ocurre, como tarde, al haber hecho 17 pasos de la división. Por tanto, el periodo esde longitud, como mucho, 16. Y puede ser así de largo, como en este ejemplo. En concreto,

2

17= 0,1176470588235294.

(El arco que denota el periodo se muestra como una línea por razones tipográficas).

La expresión decimal de la fracción 2/17 es periódica pura, el periodo empieza en la primeracifra decimal. Esto quiere decir que la primera repetición del resto es cuando aparece el 2, eldividendo del principio. Además, como el periodo es de longitud 16, antes de la repetición seobtienen los 16 restos posibles (del 1 al 16). Este es el desarrollo completo de la división (escritosin las restas, para abreviar), donde podemos apreciar de manera explícita estas observaciones:

22 0

3 01 3 0

1 1 08 01 2 0

1 0 01 5 0

1 4 04 0

6 09 0

5 01 6 0

7 02

1 70.1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4

Las fracciones 115

3.6.2. Fracciones decimales

¿Podríamos saber si la expresión como número decimal de una fracción es finita o periódica, sinnecesidad de hacer una división como la anterior? La respuesta es que sí, y este es el siguientepunto en el que vamos a detenernos.

Observemos primero que decir que una fracción se puede expresar como un número decimalfinito es lo mismo que decir que la fracción es equivalente a otra cuyo denominador es unapotencia de 10. Por ejemplo, como 3

8 = 0,375, sabemos que 38 = 375

1000 . A estas fracciones se lasconoce como fracciones decimales, de manera que lo que nos estamos preguntando es cómopodemos determinar si una fracción es decimal, sin necesidad de hacer la división.

Llegados a este punto, la siguiente observación es inmediata: si el denominador de la fracción esun divisor de una potencia de 10, entonces la fracción es decimal. En efecto, si dada la fraccióna/b sabemos que b es un divisor de 10k , sabemos que 10k = b ×q y entonces

a

b= a ×q

b ×q= a ×q

10k.

En el ejemplo anterior, de 3/8, como 1000 = 8×125, esto quedaría

3

8= 3×125

8×125= 375

1000.

Sin embargo, es posible que el denominador de una fracción no sea divisor de una potencia de10 y, sin embargo, que la fracción sea decimal. Consideremos por ejemplo la fracción 21/56. Sudenominador, 56, no es divisor de ninguna potencia de 10 (en un momento estudiaremos es-to con más detalle). Sin embargo, la fracción 21/56 es decimal. ¿Por qué? Pues porque 21/56 esequivalente a 3/8, que ya sabemos que es una fracción decimal. En resumen, si estamos estu-diando si la fracción a/b es decimal, no nos debe preocupar su denominador, b, sino el deno-minador de la fracción irreducible equivalente a a/b.

El último ingrediente que nos falta es cómo estudiar si un número es divisor de una potenciade 10. Para ello, recordemos que ya sabemos que los divisores de un número n se obtienen com-binando los diversos factores de la descomposición en factores primos de n. ¿Cómo se factorizauna potencia de 10? Claramente, 10k = (2×5)k = 2k ×5k . Por tanto, un número será un divisorde una potencia de 10 si sus factores primos son solo doses y/o3 cincos.

En resumen, si queremos averiguar si una fracción es decimal el procedimiento se reduce a losiguiente:

1. Encontramos la fracción irreducible equivalente a la que nos dan (es decir, simplificamosla fracción).

2. Factorizamos el denominador de la fracción irreducible. Si los factores del denominadorson solo doses y/o cincos, la fracción es decimal.

3Este y/o pretende aclarar que los factores pueden ser solo doses, solo cincos, o una mezcla de ambos.

116 Las fracciones

3.6.3. Fracción generatriz

En la sección anterior hemos visto que la expresión en forma de número decimal de cualquierfracción es, o bien un número decimal finito, o bien un número decimal periódico (puro o mix-to). En esta sección vamos a ver que todos los números decimales de estos tipos se puedenexpresar en forma de fracción. Esto lo haremos encontrando la fracción de la que provienen,que se llama fracción generatriz del número decimal.

En el caso de un número decimal finito, la idea es muy sencilla, ya hemos visto algún ejemplo, yse puede resumir como “multiplicar y dividir por la potencia de 10 adecuada”. Por ejemplo,

1,276 = 1,276×1000

1000= 1276

1000.

Veamos ahora cómo proceder con un decimal periódico puro. Lo haremos con un ejemplo, pe-ro quedará claro que el procedimiento es general. Consideremos el número 1,Ø69 = 1,696969 · · · .Al ser el número decimal periódico, al mover la coma dos posiciones a la derecha obtenemosotro número con exactamente la misma parte decimal. Este es el detalle clave, obsérvese queesto solo es posible por ser el número periódico puro. Mover la coma dos posiciones a la dere-cha corresponde a multiplicar por 100. Por tanto, si llamamos x = 1,696969 · · · , tenemos 100x =169,696969 · · · y al restar estas dos igualdades la parte decimal desaparece. En resumen,

100x = 169,696969 · · ·x = 1,696969 · · ·

}→ 99x = 168 → x = 168

99= 56

33.

Si analizamos este procedimiento en general, la fracción 16899 se puede describir en términos de

esta “receta”, que se suele memorizar en secundaria: “para el numerador, tomamos la parte en-tera y un periodo, y le restamos la parte entera. En el denominador, ponemos tantos nuevescomo cifras tenga el periodo”. Por supuesto, no nos interesa la receta, sino entender el procedi-miento.

¿Y qué ocurre con los números decimales periódicos mixtos? Consideremos el númerox = 1,7Ø69 = 1,7696969 · · · . Lo que vamos a hacer es algo frecuente en matemáticas: como yasabemos tratar los decimales periódicos puros, convertimos el número dado en un decimal pe-riódico puro moviendo la coma una posición a la derecha, es decir, multiplicando por 10. Deesta forma, obtenemos el número 10x = 17,696969 · · · . A partir de aquí, podemos ya procedercomo en el caso anterior:

1000x = 1769,696969 · · ·10x = 17,696969 · · ·

}→ 990x = 1752 → x = 1752

990= 292

165.

Obsérvese que el paso previo (convertir el número en periódico puro) es imprescindible. El nú-mero original no tiene la misma parte decimal que 1000x, y por tanto al calcular 1000x − x nodesaparece la parte decimal.

Resumiendo, en la Proposición 3.1 demostramos que la expresión como números decimales delas fracciones son siempre números decimales finitos o periódicos. Lo que acabamos de ver esque todos los números decimales finitos o periódicos se pueden escribir como fracciones. Por

Las fracciones 117

tanto, estamos hablando de los mismos números: los números racionales (es decir, las fraccio-nes) son exactamente los números decimales finitos o periódicos.

¿Cómo será entonces la expresión decimal del númerop

2? En el Teorema 3.1 demostramos quep2 no es un número racional; por tanto, su expresión decimal es infinita y no periódica.

3.6.4. Aritmética con números decimales

La suma y la resta de números decimales no deberían presentar dificultades si la introducciónde los números decimales y la suma y resta de números naturales se han trabajado de mane-ra adecuada. Los reagrupamientos funcionan igual: diez centésimas forman una décima, diezdécimas forman una unidad, etc. Por supuesto, en el aula de primaria esto se debe tratar con elapoyo de materiales adecuados que representen centésimas, décimas, unidades, y que ya vimosal principio de esta sección.

En cuanto a la división, si el divisor es un número natural el significado del algoritmo de la divi-sión es el que ya vimos en detalle en el ejemplo de la sección 3.6.1, y no vamos a insistir en ello.En el caso de que el divisor sea también un número decimal, lo que hacemos es recurrir a lapropiedad de que el cociente no cambia si multiplicamos dividendo y divisor por el mismo nú-mero (recordemos que el resto sí cambia, pero en el contexto de números decimales la divisióncon resto pierde casi todo su sentido). Por tanto, si queremos calcular por ejemplo 45,27÷2,6 loque hacemos es calcular 452,7÷26. Una dificultad que se puede observar en las aulas es que hayalumnos que se sorprenden cuando el cociente es mayor que el dividendo (cuando el divisor esmenor que la unidad). Esto es una indicación de que hay alguna dificultad con la comprensiónde la división, seguramente que se ha insistido mucho en la división como reparto, pero no enel otro sentido de la división, el de “cuántas veces cabe” el divisor en el dividendo.

Por último, para multiplicar números decimales, la famosa receta dice “los multiplicamos sin losdecimales, y luego ponemos en el resultado la suma de las posiciones decimales que tenían losfactores”. La mejor forma de entender por qué esto es así es recurrir a la relación entre númerosdecimales y fracciones. Supongamos que queremos calcular 2,47×1,8. Lo que hacemos se puederepresentar de esta forma:

2,47×1,8 = 247

100× 18

10= 247×18

1000,

es decir, para calcular 2,47×1,8 hacemos la multiplicación sin la coma decimal, y luego ponemosen el resultado 3 cifras decimales.

3.6.5. Una observación final

Terminamos el estudio de los números decimales con una última observación, sobre los núme-ros periódicos con periodo 9. En concreto, por ejemplo, consideremos el número 0,9

_= 0,9999 · · · .Si comparamos este número con el 1, podemos darnos cuenta de que algo extraño está ocu-rriendo. Como vimos anteriormente, entre dos números racionales siempre hay infinitos nú-meros racionales. Sin embargo, ¿puede el lector encontrar algún número entre 0,9

_y 1? No, no

es posible encontrar tal número, porque ¡0,9_= 1! Obsérvese que no estamos diciendo que es-

118 Las fracciones

tos dos números sean “muy parecidos”; lo que estamos diciendo es que, cuando consideramosinfinitos nueves, la expresión 0,9999 · · · es exactamente igual a 1.

Intuitivamente, es claro que cuantos más nueves consideremos en la expresión 0,999 · · ·9, másse parecerá a 1. Lo que sucede es lo mismo que ya vimos cuando nos encontramos con la igual-dad 1

3 = 0,3_

: la expresión se puede parecer a 1 todo lo que queramos, a base de tomar cada vezmás nueves. En ese sentido, decimos que cuando “hay infinitos nueves”, tenemos la igualdad.

Finalmente, veamos otros dos argumentos que pueden servir para convencernos de esta igual-dad.

Si ya hemos aceptado que 13 = 0,3

_, multiplicando por tres tenemos que

1 = 3× 1

3= 3×0,3

_= 0,9_

.

Si utilizamos el procedimiento visto anteriormente para obtener la fracción generatriz delnúmero x = 0,9

_, tenemos

10 x = 9,9999 · · ·x = 0,9999 · · ·

}→ 9x = 9 → x = 9

9= 1.

Este comportamiento se da siempre que el periodo es 9, no es exclusivo del número 0,9_

. Así, porejemplo, se tiene que 0,29

_= 0,3, como el lector puede comprobar, por ejemplo, obteniendo lafracción generatriz del número 0,29

_.

Las fracciones 119

Ejercicios propuestos

1. Etiquete la recta numérica de la figura y sitúe estas fracciones, de manera que todas queden

en alguna marca vertical:3

2,

7

3,

3

4. (Puede encontrar una recta como la de la figura en el

archivo auxiliar de materiales).

2. Encuentre dos valores del numerador N para los que son ciertas las desigualdades

7

9< N

20< 8

9.

3. Explique cómo se pueden comparar las fracciones5

12y

7

16sin tener que hacer ninguna

operación larga. ¿Cuál de las dos es menor?

4. El rectángulo de la figura está dividido en dos. El primero contiene 1/3 del área total, y elsegundo el resto. Cada uno de estos rectángulos está subdividido luego en partes iguales.¿Qué fracción del área total está sombreada?

5. En la figura se muestra un rectángulo dividido en dos partes (la menor, 1/3 del total, la ma-yor el resto). Cada una de las partes está dividida después en partes iguales. ¿Cuántos rec-tángulos de la parte derecha hay que sombrear para que el área sombreada sea la mitad delrectángulo?

1/3 2/3

120 Las fracciones

6. En una nueva panadería el sábado vendieron 1/3 de la producción semanal de tartas, y eldomingo vendieron 1/5 de la producción semanal de tartas. Si el sábado vendieron 14 tartasmás que el domingo, ¿cuál es la producción semanal de tartas?

7. Un grupo de amigos llevaba un depósito de agua para una excursión por el desierto. Al cabode 6 días les quedaba 3/5 del depósito. Sabiendo que el consumo diario de agua no cambió,y que después de otros 7 días les quedaban 36 litros de agua, ¿cuánta agua tenía el depósitoal principio del viaje?

8. En una cooperativa tienen 1/4 de la superficie dedicada al cultivo de cereales, 2/5 del res-to dedicado a la soja, y 10 hectáreas dedicadas a las legumbres. Si sabemos que tienen 8hectáreas sin cultivar, ¿cuál es la superficie total de los terrenos de la cooperativa?

9. Un cocinero prepara una crema con 1 vaso de cacao puro, 3 vasos de grasa de cacao, quetiene un 20% de cacao y 4 vasos de leche. ¿Qué fracción de cacao contiene la crema final?

10. En un vaso de tubo echamos agua y aceite. Recuerde: el agua y el aceite no se mezclan, y elaceite queda encima. Ponemos una varilla en el vaso, y la colocamos perpendicular al fondodel vaso. Sabemos que 1/4 de la varilla está dentro del líquido, y que 2/3 del líquido es agua.Si la parte de la varilla que está sumergida en aceite mide 4 cm, ¿cuál es la longitud total dela varilla?

11. En la figura se muestran tres tartas. Coloree 1/4 del total. Explique el razonamiento utilizado.

12. En un grupo de turistas la cuarta parte son alemanes, la sexta parte franceses, la octavaparte españoles y el resto americanos. Entre los alemanes, 4 de cada 10 son hombres; entrelos franceses, 3 de cada 8 son hombres y entre los españoles 6 de cada 10 son hombres. ¿Quéfracción de los turistas europeos son mujeres?

13. En una bolsa sabemos que la tercera parte de las bolas son blancas, y el resto negras. Des-pués de poner 72 bolas blancas en la bolsa (y no cambiar el número de bolas negras), lasbolas blancas son dos tercios del total. ¿Cuántas bolas negras hay en la bolsa?

14. Una familia paga 600 euros de alquiler cada mes. Del dinero restante gasta 1/4 en el pago delos recibos generales y 2/5 en alimentación. Si le quedan 630 euros para otros gastos y paraahorrar algo, ¿cuánto dinero ingresa cada mes la familia?

15. En una pastelería hicieron roscones de reyes. El día 5 por la tarde vendieron 2/5 de la pro-ducción y el día 6 por la mañana vendieron 1/6 más que la tarde anterior. Sabemos que entotal vendieron 234 roscones.

a) ¿Cuál fue la producción total?

Las fracciones 121

b) Si vendieron el doble de roscones de nata que de chocolate, ¿cuántos vendieron decada tipo?

16. Un camión llena un depósito de agua 2 horas. Otro camión, más pequeño, tarda 3 horasen llenar el depósito. Si pudiéramos poner a los dos camiones a la vez a llenar el dépósito,¿cuánto tardarían?

17. Un pintor tarda 3 horas en pintar una valla y otro pintor tarda 5 horas. Si pintan otra vallaigual juntos (y trabajan al mismo ritmo que antes),

a) ¿cuánto tiempo tardará en pintar la valla?

b) ¿qué fracción de la valla pinta cada uno de los pintores?

18. Un grupo de amigos compraron 12 pizzas y se las repartieron por igual. Si cada amigo comió3/5 de pizza, ¿cuántos amigos eran en el grupo?

19. Encuentre un número de cuatro cifras decimales que sea mayor que 1,2Ø69 y menor que 1,27.

122 Las fracciones

Capítulo 4

Proporcionalidad y porcentajes

4.1. Razones y proporciones

El tratamiento de la razón y la proporcionalidad es uno de los puntos más problemáticos delestudio de la aritmética en nuestra educación matemática básica. En particular, el concepto derazón (numérica) parece haber desaparecido de nuestras aulas, y solo aparece en el estudio dela proporcionalidad, como “razón de proporcionalidad”. La situación ha llegado al extremo deque el lenguaje usual se ha desdibujado, y que muchas veces se usa el término “proporción”cuando realmente se está hablando de una razón, o de una fracción. Un ejemplo muy llamativoes cuando se habla del número de alumnos por aula en el sistema educativo, y se habla de laratio: se trata exactamente de una razón, en el sentido que vamos a estudiar en esta sección,en este caso de la relación entre el número de estudiantes y el número aulas en cierta etapaeducativa. Comencemos con la definición:

Definición 4.1. Una razón (numérica) es una relación entre dos cantidades.

Primeros ejemplos:

a) En una bolsa con bolas blancas y grises, la razón de bolas blancas a grises es de 2 a 3.

Esto quiere decir que por cada 2 bolas blancas que hay en la bolsa, tenemos 3 bolas grises.Por tanto, la situación es la que se representa en la parte superior de la figura 4.1. No sa-bemos cuántas bolas hay, pero podemos hacer grupos de 5, de manera que en cada grupohaya 2 bolas blancas y 3 grises.

Es importante darse cuenta de que ese conjunto también se puede organizar como se mues-tra en la parte inferior de la figura: tenemos 5 grupos iguales (no sabemos de qué tamaño),dos de ellos de bolas blancas y tres de bolas grises. El modelo de barras de la derecha resumede manera sencilla esta información. Por tanto, si la razón es de 2 a 3, sabemos que 2/5 delas bolas son blancas, y 3/5 grises.

b) En cierto examen, la razón entre aprobados y suspensos es de 5 a 2.

123

124 Proporcionalidad y porcentajes

Por cada 5 alumnos aprobados hay 2 suspensos. Por tanto, aprobaron 5/7 del total de losalumnos, y suspendieron 2/7 del total.

blancas

grises

Figura 4.1: Del concepto de razón a los grupos iguales.

Una primera dificultad con la que nos encontramos es cómo denotar una razón. Como acaba-mos de ver en los ejemplos, el concepto de razón está relacionado con el de fracción. Pero hayalguna diferencia importante, que veremos enseguida, y que creemos que hace poco aconseja-ble usar la notación de fracción para escribir una razón. La notación internacional para la razón“dos a tres” es 2 : 3, pero nos encontramos con el problema de que en España el signo “:” seusa para denotar la división. Creemos que tendría muchas ventajas adherirnos a la práctica másextendida a nivel internacional, denotar la división con el signo “÷” y reservar el signo “:” paralas razones.1 Mientras lleguemos a ese punto, en estas páginas trataremos de evitar la notación,usando el lenguaje usual o, en todo caso, escribiendo “la razón 2 : 3”, para evitar confusiones.

Como acabamos de decir, el concepto de razón está relacionado con el de fracción. Sin embargo,existen al menos dos diferencias importantes:

a) En una fracción, el numerador y el denominador denotan cantidades homogéneas (es decir,con las mismas unidades). En una razón muchas veces esto no es así: cuando escribimosque el consumo de un coche es de 5 litros de combustible por cada 100 km, lo que estamosdando es una razón, la relación entre el combustible consumido y la distancia recorrida, esdecir, con la notación de razón, podemos escribir el consumo como 5` : 100 km.

b) Una fracción es siempre un número racional (de hecho, esa es la definición de los númerosracionales, aquellos que se pueden expresar como una fración).

Si llamamos L a la longitud de una circunferencia y d a su diámetro, cuando consideramosel cociente L

d nos encontramos con uno de los números más importantes en matemáticas,

1Práctica a la que, como el lector habrá observado, nos hemos adherido en este texto.

Proporcionalidad y porcentajes 125

el número π, que no es un número racional (aunque la demostración de este hecho es máscomplicada que para

p2, y requiere matemáticas más avanzadas).

Un argumento de peso para estudiar en profundidad el concepto de razón es que son muchoslos conceptos de ciencias y tecnología que son razones numéricas. Por ejemplo, en física, la ve-locidad de un movimiento uniforme es la razón entre el espacio recorrido y el tiempo empleado,la densidad de una sustancia es la razón entre la masa y el volumen que ocupa, la intensidad dela corriente en un circuito eléctrico es la razón entre la diferencia de potencial y la resistenciay, en general, cualquier magnitud que se calcula como el cociente de otras dos magnitudes essimplemente la razón entre ellas. En química, las medidas de concentración son también razo-nes. Si el concepto de razón se trabajara de manera adecuada, los alumnos podrían trabajar conestos conceptos conociendo simplemente su definición, sin necesidad de memorizar el mar defórmulas entre las que muchas veces se pierden.

Antes de seguir adelante veamos un par de ejercicios que se pueden plantear solo con la defi-nición. Ya adelantamos que no se tratan en España, y solo cuando se dispone de los métodosalgebraicos pueden aparecer ejercicios relacionados. Sin embargo, creemos que plantear estosproblemas en primaria, con métodos visuales como el modelo de barras, ayuda a profundizaren la comprensión de los conceptos de fracción y razón. La solución está en el capítulo final.

Ejercicio 4.1. La razón entre el número de hombres y el número de mujeres en un parque es3 : 4. La razón entre el número de mujeres y el número de niños es 2 : 3.

a) Calcula la razón entre el número de hombres y el número de niños en el parque.

b) ¿Qué fracción del total de las personas que había en el parque eran mujeres?

c) Si sabemos que en parque había 42 niños, ¿cuántas personas había en el parque?

Ejercicio 4.2. Las cantidades de dinero que tenían dos amigos cumplían la razón 3 : 2. Cuandocada amigo se gastó 35 € la razón pasó a ser 5 : 3. ¿Cuánto dinero tenían entre los dos al principio?

El ejercicio anterior se podía resolver tanto empezando desde la situación inicial, y tanteando,como razonando desde el final. Cuando la situación se complica un poco, el procedimiento de“razonar hacia atrás” muestra toda su potencia, como en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 4.3. En una bolsa tenemos el triple de bolas blancas que de bolas negras. Después desacar 36 bolas de cada color por cada bola negra quedan nueve bolas blancas. ¿Cuántas bolashabía al principio en total en la bolsa?

Por supuesto, los datos de los problemas anteriores están pensandos para que se puedan resol-ver con las herramientas de las que disponemos en este momento. La versión general de estosproblemas, con datos más complicados, requiere de herramientas algebraicas.

Ya estamos en condiciones de empezar el estudio de las proporciones. Una proporción es unaigualdad entre dos razones. Si se conocen tres términos de una proporción se puede calcular elcuarto. Un ejemplo típico es el siguiente:


EJEMPLO 4.1. En cierto examen la razón entre aprobados y suspensos es 4 : 3. Si suspendieron81 alumnos, ¿cuántos aprobaron?

Este problema se puede resolver con un enfoque algebraico, pero para ello es conveniente es-cribir las razones con la notación de fracción, y estar familiarizado con la propiedad de la mul-tiplicación en cruz para determinar que dos razones (o fracciones) son equivalentes. Si hemostrabajado en esa dirección, podemos escribir

4

3= x

81→ 3x = 4×81 → x = 4×81

3= 108. (4.1)

Por supuesto, esta forma de resolver el problema es equivalente a la más popular en nuestropaís, la conocida regla de tres:

3 → 81

4 → x

}→ x = 4×81

3= 108. (4.2)

No vamos a entrar aquí en el debate de las ventajas e inconvenientes del procedimiento de laregla de tres para resolver problemas de proporcionalidad, aunque nos parece que hay indi-caciones suficientes para sospechar que es un procedimiento que muchos alumnos usan sinentender su funcionamiento, y eso provoca errores. Aunque los procedimientos que reflejan lasexpresiones (4.1) y (4.2) son formalmente equivalentes (y ambos difíciles de entender para unalumno de primaria), creemos que el primero refleja mejor la propiedad que estamos usandopara resolver el problema.

El modelo de barras nos permite representar la información de manera que se refleja mejorel concepto de razón y esto nos proporciona una alternativa fácil de entender para resolver elproblema. Que la razón entre aprobados y suspensos sea 4 : 3 quiere decir que podemos repre-sentar el total de alumnos con 7 rectángulos (todos iguales), donde 4 rectángulos representana los alumnos aprobados y 3 rectángulos representan a los suspensos (como hemos represen-tado en la figura). Pero como el total de alumnos suspensos es 81, cada rectángulo representa81÷3 = 27 alumnos, por lo que el total de alumnos aprobados será 4×27 = 108.

Aprobados

Suspensos

81

♦

Dada una razón a : b, la razón b : a se llama razón inversa. Puede ser instructivo saber interpretaruna razón y su inversa, como en este ejemplo.

EJEMPLO 4.2. El consumo de combustible de un coche se mide en Europa con el número delitros que consume cada 100 km. En EEUU, el consumo se mide con la razón inversa (usando


millas y galones como unidades). Si sabemos que un coche consume 5,5 ` cada 100 km, estudiala razón inversa, en estas mismas unidades.

La razón inversa es 100 km : 5,5 `. Si nos preguntan cuántos km se recorren por cada litro decombustible, serán 100÷5,5 = 18,Ø18 km. ♦

4.2. Proporcionalidad directa

El estudio de las magnitudes directamente proporcionales es el estudio de las magnitudes quecambian de manera que la razón entre ellas (el cociente) no cambia. El estudio de la proporcio-nalidad es muy importante, en particular, para dar sentido a muchas magnitudes que aparecenen las ciencias y la tecnología. Como se ha mencionado anteriormente, todas las magnitudesque vienen dadas por un cociente de otras dos lo que hacen es resumir el comportamientode dos magnitudes directamente proporcionales, y cuya relación, la razón de proporcionalidadtiene un significado importante, como la velocidad en un movimiento de velocidad uniforme,v = e/t . Por ello, es importante comprender más en profundidad la relación y no limitarse a que“cuando una magnitud aumenta, la otra también lo hace”. Si el espacio aumenta, el tiempo ne-cesario para recorrerlo también lo hace; pero, ¿cuánto? Es muy intuitivo ver que si el espacio seduplica, el tiempo también lo hace. ¿Y si el espacio aumenta en 1/3? Si el espacio es e y aumentaen 1/3 (de su valor) su nuevo valor será e+ 1

3 e = 43 e. Por tanto, si el cociente e/t permanece cons-

tante, el tiempo necesario será 43 t , es decir, el tiempo también aumenta en 1/3 (de su valor). Esto

puede parecer simple, pero es importante entenderlo bien para de esta forma estar preparadospara el estudio de la proporcionalidad inversa, donde las cosas no serán tan inmediatas.

Si representamos gráficamente un conjunto de valores (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn , yn), que las mag-nitudes x e y sean directamente proporcionales significa que el cociente y/x es constante, esdecir, que los puntos están en la recta y = kx, donde k (la pendiente de la recta) es la razón deproporcionalidad.

Hay muchos ejemplos de magnitudes en las que cuando una aumenta la otra también lo hace,pero que no son proporcionales, y para entender mejor la proporcionalidad son importantesejercicios como el siguiente. (La respuesta, en el capítulo final).

Ejercicio 4.4. Estudie si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales:

1. El lado de un cuadrado y su área.

2. La masa de una sustancia y su volumen.

3. El tiempo que tarda en caer un objeto y la altura de la torre desde donde se lanza.

4. El lado de un cuadrado y su perímetro.

Algunas propuestas de actividades para el aula, en las que se trabaja la representación de datosy la proporcionalidad.


1. Busca objetos con forma de circunferencia. Mide la longitud de la circunferencia y su diá-metro. Haz una tabla y representa los datos en una gráfica. ¿Son estas magnitudes directa-mente proporcionales?

Evidentemente, esta actividad debería ser propuesta antes de la introducción de la fórmulapara la longitud de la circunferencia. De hecho, nos parece la actividad más adecuada paraintroducir dicha fórmula, y el número π.

2. Busca dos vasos de diferentes formas, y haz una tabla con la cantidad de agua que pones enel vaso, y la altura que alcanza. La cantidad de agua la puedes medir con pequeñas cucharas,o con jeringas graduadas. Representa los datos en una tabla. ¿Qué forma debe tener el vasopara que estas dos magnitudes sean directamente proporcionales?

3. Pensemos en una fruta que sea fácil de conseguir en nuestro entorno (las de forma aproxi-madamente esférica serán más adecuadas para esta propuesta). En esta actividad queremosestudiar las magnitudes tamaño y peso de la fruta. Una primera pregunta, no trivial, es có-mo medir el tamaño de, por ejemplo, una naranja. Se pueden debatir en el aula diferentespropuestas, con sus ventajas e inconvenientes. El estándar es el calibre, que es el diámetrode la fruta. Podemos hacer la actividad con la medida que acordemos en el aula, el resultadoserá el mismo, siempre que usemos en todos los casos la misma forma de medir, y las piezasde fruta tengan formas similares.

Ahora, buscamos piezas de fruta de diferentes tamaños, las medimos y las pesamos, ha-cemos una tabla con el tamaño y el peso, y representamos los datos en una gráfica. ¿Sonmagnitudes directamente proporcionales? ¿Qué se observa en la gráfica?

Como ya hemos mencionado anteriormente, la herramienta más usada en nuestro país pararesolver problemas de proporcionalidad es la regla de tres, que tiene el inconveniente de que nomuestra la “estructura profunda” de la situación. Consideremos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 4.3. Si en 5 semanas he ahorrado 95 €, ¿cuánto conseguiré ahorrar en 17 semanas?

Para trabajar este problema en el contexto de la proporcionalidad estamos asumiendo (en esteenunciado, de manera implícita), que el dinero ahorrado y las semanas transcurridas son direc-tamente proporcionales, es decir, que cada semana ahorramos la misma cantidad. La alternati-va a la regla de tres es el método conocido como reducción a la unidad, que es el que se usa en lagran mayoría de los países y que consiste simplemente en determinar la razón de proporciona-lidad: si ahorramos 95 € en 5 semanas y las magnitudes son proporcionales, el cociente 95

5 = 19no es más que los euros que ahorramos cada semana. Sabiendo que cada semana ahorramos19 €, el dinero que conseguimos ahorrar durante 17 semanas es simplemente 17× 19 = 323 €

(como el lector seguramente esté pensando, un modelo de barras puede ayudar a los alumnosque tengan dificultades en algún punto de este razonamiento). ♦

Desde nuestro punto de vista, la gran ventaja de este enfoque, la reducción a la unidad, es quepone el acento en la razón de proporcionalidad, que es la idea fundamental, y en muchas si-tuaciones lo más relevante para las aplicaciones prácticas: el salario por hora de trabajo es una


razón de proporcionalidad, como también lo es la dosis de un medicamente por kg de peso delpaciente.

Terminamos con un ejemplo donde lo más importante no es la solución, sino pensar en unaestrategia de resolución valiosa, desde el punto de vista de la comprensión de la proporcionali-dad.

Ejercicio 4.5. Con mi arroz favorito para hacer una paella pongo 8 tazas de agua por cada 3tazas de arroz. La semana que viene tengo una comida familiar para la que utilizaré 14 tazas dearroz. ¿Cuántas tazas de agua necesito?

4.3. Proporcionalidad inversa

Las limitaciones del enfoque usual en el estudio de la proporcionalidad directa se hacen evi-dentes en el estudio de la proporcionalidad inversa. ¿Qué son dos magnitudes inversamenteproporcionales? Muchos lectores recordarán lo de “cuando una crece, la otra disminuye”. Deacuerdo, pero, ¿cuánto disminuye?

EJEMPLO 4.4. Supongamos que hacemos dos viajes entre las ciudades A y B . En el primer viajevamos a cierta velocidad (constante), y en el segundo viaje aumentamos la velocidad el 50%.¿Cuánto disminuye el tiempo de viaje?

Seguramente muchos lectores habrán pensado que el tiempo disminuye el 50%, pero es fácilponer un ejemplo para convencerse de que esto no es cierto. Por ejemplo, supongamos que ladistancia entre las ciudades es de 480 km, y que el primer viaje lo hacemos a una velocidad de80 km/h, con lo que tardamos 6 horas. Cuando la velocidad aumenta el 50%, pasa a ser de 120km/h, y el tiempo que tardamos será entonces de 4 horas. Si el tiempo ha pasado de 6 horas a 4horas, la disminución es de 1/3, no del 50%. ¿Por qué?

Necesitamos la definición de magnitudes inversamente proporcionales:

Definición 4.2. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto es cons-tante.

Cuando la velocidad aumenta, el tiempo de viaje disminuye, eso es muy intuitivo. Pero, ¿cuántodisminuye? Pues lo necesario para que el producto v × t permanezca constante, ya que ese pro-ducto es igual al espacio recorrido. En términos simbólicos, como v ha aumentado el 50%, hapasado de valer v a 3

2 v y podemos escribir

e = v × t = 3

2v × t . (4.3)

El cambio en t corresponde con el número que tenemos que poner en el recuadro para quela ecuación se cumpla, que resulta ser la fracción inversa de 3/2, es decir, 2/3. Por tanto, si lavelocidad cambia de v a 3

2 v , el tiempo cambia de t a 23 t , es decir, disminuye en 1/3 de su valor.

♦


Un comentario sobre el lenguaje: las expresiones “una cantidad disminuye a un tercio de suvalor” y “una cantidad disminuye en un tercio de su valor” son, desde el punto de vista dellenguaje, muy parecidas. Hay que estar atento a este detalle, pues su significado matemático esdiferente. Si la cantidad al principio era K , su valor tras el cambio será 1

3 K en el primer caso y23 K en el segundo.

La proporcionalidad inversa también es importante en ciencias y tecnología. Aparece cuandoel producto de dos magnitudes es constante, como en el ejemplo de la velocidad y el tiempo enun movimiento uniforme. Un caso importante es la ley de los gases ideales, que afirma que, sila temperatura permanece constante, la presión y el volumen de un gas son magnitudes inver-samente proporcionales, es decir, su producto se mantiene constante.

Un ejemplo geométrico que puede ayudar a visualizar la situación es el de la base y la altura dedos rectángulos que tienen la misma área.

EJEMPLO 4.5. Si la base de un rectángulo aumenta en 1/5 de su valor, ¿cuánto debe disminuir laaltura para que el área no cambie?

La situación se muestra en la figura 4.2. En la parte superior, a la izquierda, tenemos el rec-tángulo inicial, de base b y altura h. En la parte superior, a la derecha, tenemos el rectángulotransformado, en el que la base ha aumentado en 1/5 de su valor. Como el área es igual, lasdos zonas sombreadas deben tener igual área. Por tanto, si dividimos esas zonas sombreadasen 5 rectángulos iguales, como se muestra en la parte inferior, como la base de los rectángulosrayados es b/5, las alturas tienen que ser iguales a la del rectángulo rayado en la parte inferiorderecha. Esa altura, que coincide con lo que ha disminuido la altura del rectángulo original, esh/6. Por tanto, la altura ha dismunuido en 1/6 de su valor. ♦

Terminamos la sección con un ejercicio propuesto, cuya solución se puede encontrar en el ca-pítulo final.

Ejercicio 4.6. Un grupo de amigos planifican una excursión por el desierto y llevan agua para12 días. Como hace más calor de lo que habían previsto, el consumo de agua resulta ser un 50%mayor de lo planificado. ¿Cuántos días les durará el agua?

4.4. Porcentajes

Los porcentajes son seguramente el concepto matemático más presente en la vida cotidiana,por su utilidad para proporcionar información de manera que se facilita su comprensión. Vea-mos un ejemplo. Supongamos que nos dicen que en los colegios públicos españoles hay aproxi-madamente 245000 maestros de primaria, y que 186500 de ellos son mujeres. En los institutos,en la etapa de ESO, hay aproximadamente 174000 docentes y 104700 de ellos son mujeres. Noes fácil comparar a primera vista los datos de las dos etapas. Sin embargo, si nos dicen que enla etapa de Educación Primaria el 76,1% de los docentes son mujeres, mientras que en la ESO elporcentaje es del 60,2%, es mucho más sencillo hacerse una idea de la situación. Precisamentepor su uso en nuestra vida cotidiana, todos tenemos claro el significado de estos porcentajes: de


b

5

b

h

b

b

h

b

5

b

h

6

Figura 4.2: Base y altura de dos rectángulos de igual área.

cada 100 maestros de primaria, 76,1 son mujeres, mientras que en la ESO las docentes son 60,2de cada 100.

Muchas veces se define un porcentaje como una fracción, interpretando 76,1% = 76,1100 , pero esto

tiene un pequeño problema, y es que en la definición de fracción el numerador y el denomi-nador son números enteros. Es un detalle sin demasiada importancia, desde luego, pero es unaindicación de que un porcentaje no es realmente una fracción. ¿Qué es entonces? Una razón, enestos casos la relación que hay entre la cantidad de docentes mujeres y el total de docentes. Sinembargo, como hemos dicho, las razones y las fracciones están muy relacionadas, y pensar elporcentaje como una fracción nos va a permitir manejarlos usando los procedimientos que yahemos desarrollado para las fracciones (procedimientos que también son válidos para las razo-nes, y que no hemos incluido en este texto al haber hecho un tratamiento solo introductorio delconcepto de razón).


4.4.1. Porcentajes: problemas básicos

En esta sección veremos los dos problemas básicos de porcentajes, calcular un porcentaje deuna cantidad y expresar una relación en forma de porcentaje. Lo haremos mediante un ejemplode cada tipo, explorando en cada caso varias alternativas para resolver el problema y centrán-donos en las que nos parecen más adecuadas para las aulas de primaria.

Porcentaje de una cantidad: calcular el 67% de 350.

1. Pensando en el porcentaje como una fracción, y usando lo que ya sabemos de las fracciones,podemos sencillamente proceder de esta forma:

67% de 350 → 67

100×350 = 67×350

100= 234,5.

Representando la fracción en forma de decimal, nos podemos dar cuenta de que calcular el67% de 350 se reduce a la multiplicación 0,67×350.

2. Podemos utilizar la idea de la “reducción a la unidad”, calculando el 1% de 350. En la figu-ra 4.3 vemos la representación de esta idea. Uno de los rectángulos pequeños representa350100 = 3,5, y el 67% pedido se puede obtener multiplicando este valor por 67:

67% de 350 → 67× 350

100= 67×3,5 = 234,5.

350

67%

Figura 4.3: Porcentaje de una cantidad y modelo de barras.

La receta clásica de “se multiplica por el tanto, y se divide por el ciento”, que se sigue oyendo enalgunas de nuestras aulas, nos parece menos adecuada, porque no ayuda a ver el significado delcálculo que estamos haciendo. Lo mismo se puede decir, evidentemente, de usar la regla de trespara calcular el porcentaje de una cantidad.

El modelo de barras es también la mejor opción para resolver el problema en el que nos pidenel total, como en el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 4.6. En cierta elección se han contado un total de 5494 votos y nos han dicho que laparticipación ha sido del 67%. ¿Cuántos votantes hay en el censo?

En la figura 4.4 tenemos resumida la información. Lo que nos piden es calcular el total, sabiendoque el 67% de ese total son 5494. El 1% será 5494÷67 = 82 y, por tanto, el total de votantes será8200.


5494 votos

67%

Figura 4.4: Calculando el total por reducción a la unidad.

♦

Expresar una relación como un porcentaje:

La comprensión de esta situación plantea más dificultades que la anterior. Por ello, vamos aempezar con un caso muy sencillo.

EJEMPLO 4.7. Exprese la fracción 3/4 como un porcentaje.

Es posible que resulte tentador expresar la fracción en forma decimal, y pasar de ahí al porcenta-je, pero creemos que es más instructivo tratar de pensar en términos de fracciones y proporcio-nes. Lo que tenemos que hacer es expresar la fracción 3/4 como una fracción con denominador100. Por tanto, nos podemos dar cuenta de que es suficiente multiplicar numerador y denomi-nador por 25, y obtener 3

4 = 75100 , es decir, 3/4 corresponde al 75%.

En el lenguaje de las proporciones, el procedimiento que nos permite resolver este problema enel caso general se puede resumir así:

3

4= x

100→ x = 3×100

4= 75.

El problema de este enfoque es que puede plantear dificultades de comprensión a los alumnosque todavía necesiten apoyo visual. En la figura 4.5 tenemos una representación de la situación,y con ella podemos razonar de esta forma: para escribir 3/4 en forma de porcentaje, debemoscalcular qué parte del total, 100, corresponde a 3/4, es decir, debemos calcular los 3/4 de 100.Pero esto ya lo sabemos hacer, 3/4 de 100 son 75.

También podemos hacer la interpretación de reducción a la unidad, que conecta con la expre-sión decimal comentada anteriormente. Si sabemos que 3/4 del total de un cierto conjunto tie-nen cierta propiedad, ¿cómo hacemos la reducción a la unidad? Por cada unidad, 0,75 tienenesa propiedad, y el porcentaje se obtiene sin más que pasar del “tanto por uno” al “tanto porciento”, multiplicando por 100.

♦

El siguiente ejercicio resultará sencillo para la mayoría de los lectores. Lo que nos interesa aquíes resolverlo adaptando las interpretaciones recién presentadas, no solo con el “procedimientoestándar” al que estemos acostumbrados. La solución, en el capítulo final.

Ejercicio 4.7. En un autobús con 40 pasajeros hay 29 mujeres. ¿Qué porcentaje de los pasajerosdel autobús son mujeres?


100

Figura 4.5: Expresión de la fracción 3/4 como un porcentaje.

Antes de continuar, veamos un ejercicio menos estándar. Nos atrevemos a adelantar que el re-sultado sorprenderá al lector. La razón, una vez más, hay que buscarla en la confusión que nospuede crear el cambio del total en el cálculo de los porcentajes. El problema está extraído de unlibro de Adrián Paenza. Adrián Paenza es uno de los nombres que deberían conocer todas laspersonas interesadas en la educación matemática, y en la divulgación. Ha publicado varios li-bros, muy interesantes, y algunos de ellos se encuentran disponibles en su página web, para usopersonal, de forma gratuita. Adrián Paenza recibió el premio Leelavati, el mayor reconocimien-to en el campo de la divulgación matemática, en el International Congress of Mathematicianscelebrado en Seúl en el año 2014.

Ejercicio 4.8. En una fiesta con 400 invitados el 99% son mujeres. ¿Cuántas mujeres tendríanque salir de la fiesta para que el porcentaje de mujeres pase a ser el 98%? (Se supone, claro, queel número de hombres no cambia en ese tiempo).

4.4.2. Aumentos y disminuciones porcentuales

En muchas situaciones tenemos una cantidad que sube o baja un cierto porcentaje. Considere-mos las siguientes preguntas:

1. Un vestido cuesta 70 €. ¿Cuál será su precio si lo rebajan un 40%?

2. Un traje está rebajado el 30% y su precio de venta es 56 €. ¿Cuál era su precio antes de larebaja?

3. Luis gana 1200 € al mes y para un nuevo puesto le ofrecen una subida del 8%. ¿Cuál será susueldo en el nuevo puesto?

4. Lucía ha obtenido recientemente una subida de suelto del 6% y ahora gana 1400 € al mes.¿Cuál era su sueldo mensual antes de la subida?

Sería muy útil que el lector se detuviera aquí en la lectura y resolviera estos problemas. Ya sabe-mos lo suficiente para ello, pero cuidado, hay algunas situaciones en las que se producen erroresmuy comunes. Recomendamos hacer los problemas con los procedimientos de la sección an-terior, evitando las reglas de tres.

Veamos las respuestas a estas cuatro preguntas. Vamos a aprovechar estas respuestas para pre-sentar alternativas al cálculo siguiendo los pasos elementales. Estas alternativas serán últilespara tratar problemas más complicados.


1. Para ver cuánto cuesta el vestido podemos ver cuánto se ha rebajado, y restar esa rebaja: el40% de 70 es 40

100 ×70 = 0,4×70 = 28 €. Por tanto, el precio del vestido rebajado será de 42 €.

Directamente, podemos razonar diciendo que si nos ha rebajado el 40%, lo que pagamosserá el 60% del precio del vestido, es decir, 60

100 ×70 = 0,6×70 = 42 €.

2. Sabemos que el precio del traje, con una rebaja del 30%, ha sido de 56 €. Un error comúnen este problema es obtener el precio antes de la rebaja subiendo el 30% a 56 €. Esto no escorrecto, ya que la rebaja ha sido el 30% sobre el precio inicial, no sobre el precio rebajado.Se trata, una vez más, de un error causado por confundir el total al que hacemos referenciaal trabajar con una fracción o, en este caso, con un porcentaje.

Nos encontramos en la misma situación que en el ejemplo 4.6, e igual que hicimos allí lamejor forma de aclararlo es seguramente el modelo de barras que se muestra en la siguientefigura. A partir de ella, es fácil deducir que el valor del 1% del vestido es 56÷70 = 0,8 y, portanto, el precio inicial era 80 €.

70% 30%

56 €

Veamos cómo expresar la situación de manera algebraica, no con el objetivo de resolverloasí, sino con la idea de dar otra perspectiva que ayude a aclarar la situación. Si llamamos xal precio inicial del traje, lo que sabemos es que

x − 30

100x = 56. (4.4)

3. Para responder a esta pregunta podemos calcular el 8% de 1200 y sumarlo al sueldo paraobtener la solución.

En otras palabras, estamos calculando

1200+ 8

100×1200 = 1200+0,08×1200 = (1+1,08)×1200 = 1,08×1200 = 1296 €. (4.5)

En la segunda igualdad lo que hemos hecho ha sido aplicar la propiedad distributiva (sacarfactor común).

Lo que nos dice esta forma de organizar los cálculos, que naturalmente se puede repetir enotros casos similares, es que, para calcular el valor de una cantidad cuando se aumenta el8% podemos, sencillamente, multiplicar esa cantidad por 1,08. Siguiendo la costumbre ex-tendida de darle nombre a casi todo, esta observación tiene nombre propio, y se suele cono-cer como aplicar el “índice de variación”. El problema de darle este nombre es que algunosalumnos no identifican que lo que se está haciendo es un sencillo cálculo con porcentajes.Entender las conexiones entre diferentes métodos para resolver un problema, y las relacio-nes entre preguntas similares, es fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. Estetipo de terminología puede tener el efecto contrario, el de “cada problema, con su fórmula”.


4. Sabemos que, después de una subida del 6%, el salario es de 1400 € al mes. Un error comúnes obtener el sueldo antes de la subida quitándole el 6% al sueldo actual, y la causa del errores la misma que en el caso 2, confundir el total sobre el que se calcula el 6%, que no son los1400 € del salario actual, sino el salario antes de la subida, que no es conocido.

Una vez más, creemos que la mejor forma de evitar este error es representar la situacióngráficamente, como en esta figura.

100%6%

106%

1400 €

?

La imagen ayuda a entender que el total al que se refiere el 6% de subida no es el sueldoactual, sino el anterior, desconocido. En otras palabras, los 1400 € del sueldo después de lasubida corresponden al 106% del salario anterior (el total, mas el 6% de subida). Por tanto,el 1% será 1400÷106 ≈ 13,20 y el salario anterior era de, aproximadamente, 1320 €.

Aunque no sea un enfoque adecuado para Primaria, veamos una solución alternativa usan-do un poco de álgebra. Si llamamos S al salario antes de la subida, sabemos que el salariodespués de la subida será S + 6

100 ×S = 1,06×S. Por tanto,

1,06×S = 1400 → S = 1400

1,06≈ 1320 €.

Una ventaja de entender que los aumentos y disminuciones porcentuales se reducen a una sim-ple multiplicación es que facilita la comprensión de situaciones como las que se plantean en lossiguientes ejercicios. No se trata de contenidos de Primaria, pero sí de situaciones que deberíacomprender cualquier ciudadano con la competencia matemática necesaria para desenvolver-se en nuestra sociedad. Las soluciones, en el capítulo final.

Ejercicio 4.9. Dos acciones en la bolsa cotizan al mismo precio hoy. La acción de la empresa Aprimero sube un 15% y luego baja un 8%, mientras que la acción de la empresa B primero baja8% y luego sube un 15%. ¿Cuál de las dos acciones tiene mayor valor al final?

Ejercicio 4.10. El salario de un empleado al entrar en cierta empresa es de 1200 € mensuales. Siconsigue una subida del 3% anual, ¿cuál será su salario al cabo de 10 años?


4.4.3. El IVA y el IRPF

Terminamos el estudio de los porcentajes con dos situaciones muy relevantes en la vida cotidia-na, correspondientes al pago de impuestos. En el impuesto sobre la renta, cuando se paga untipo impositivo de, por ejemplo, el 18%, esto quiere decir que Hacienda recauda el 18% del suel-do completo (que se conoce como sueldo bruto). Por tanto, por cada 100 € que la empresa pagaal trabajador, 18 corresponden al impuesto y 82 son los que ingresa el trabajador en lo que seconoce como sueldo neto. Una vez aclarado esto, las preguntas sobre este impuesto se reducena sencillos problemas sobre porcentajes.

Veamos con un poco más de detalle el caso del IVA, porque es más complicado. Cuando paga-mos un IVA del 21%, el impuesto que pagamos no corresponde al 21% del precio de venta, ya quela base de cálculo del IVA no es el precio de venta, sino el precio sin IVA, al que no le prestamosatención como consumidores (al menos en España). La situación se muestra en la figura 4.6:dado un precio base (sin IVA), se calcula el 21% de ese precio sin impuesto, y se suma al preciobase para obtener el precio que pagamos como consumidores. Dicho de otra forma, el preciode venta al público corresponde al 121% del precio sin IVA.

EJEMPLO 4.8. El precio de venta usual de un ordenador es de 1300 €, y lo compramos en el díasin IVA de la tienda. ¿Cuál será ese día el precio de venta?

Confiando en que los lectores ya tengan clara la solución, nos conformamos con observar queel resultado no es 1027 €, sino 1074 €.

IVAPrecio base (sin IVA)

Precio de venta (IVA incluido)

100 21

Figura 4.6: Representación del IVA.

Ejercicios propuestos

1. Si nos dicen que 2/3 de las bolas blancas que tenemos en la bolsa son la misma cantidadque 1/4 de las bolas negras, ¿cuál es la razón entre el número de bolas blancas y de bolasnegras que hay en la bolsa?

2. En un concierto el 55% de las entradas se vendieron al precio original y el 40% de las en-tradas se vendieron a mitad de precio. Sobraron 20 entradas, que se regalaron. En total, serecaudaron 7200 euros. ¿Cuál fue el precio de venta inicial de las entradas?

Las fracciones - UAH · 2020. 10. 1. · Juan compró 80 naranjas y 52 manzanas, y usó la misma...

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