Didáctica de las Matemáticas

Unidad 1: Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas Tarea Nº 5

DATOS PERSONALES:

NOMBRE: Laura Larrosa Pérez

DNI: 48464282 – Q

Master Universitario en Formación del Profesorado de Educación Secundaria

Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas.

Universidad Miguel Hernández.

Í NDÍCE DE CONTENÍDOS

LIBRO: .................................................................................................................................................... 3

ENUNCIADO DEL PROBLEMA: ................................................................................................................ 3

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA MATEMÁTICO?................................................................................ 3

Etapa 1: Comprender el problema ...................................................................................................... 3 Etapa 2: Establecer un plan para resolverlo ....................................................................................... 3 Etapa 3: Ejecutar el plan ..................................................................................................................... 4

Consejos: ........................................................................................................................................................ 4 Etapa 4: Comprobar los resultados ..................................................................................................... 5

LAS CUATRO ETAPAS DE POLYA:

LIBRO:

Anaya 4º ESO opción B Tema 7: Trigonometría, Bloque de contenidos: Geometría

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Desde un satélite artificial se ve la Tierra bajo un ángulo de 140º. Calcular la distancia a la que se encuentra la Tierra. (El radio de la Tierra es )

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA MATEMÁTICO?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Según Polya hay cuatro etapas:

Etapa 1: Comprender el problema

Es la tarea más difícil para el alumno pues implica poner en práctica los conocimientos “deseablemente adquiridos” en el aula. Se le aconseja leer el enunciado despacio y releerlo las veces que hagan falta, haciéndole preguntas como ¿entiendes todo lo que dice? Si es así, ¿puedes replantear el problema con tus propias palabras? ¿Sabes a qué quieres llegar? Haz un pequeño dibujo de la situación donde figuren los datos que nos proporcionan en el enunciado y las incógnitas que buscamos ¿hay suficiente información o te faltan datos? De no ser así podemos observar el dibujo y encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Dibujemos la situación:

S es el satélite y desde allí se ve la Tierra bajo un ángulo de 140º. R es el radio de la Tierra. d es la distancia del satélite S a la Tierra.

Etapa 2: Establecer un plan para resolverlo

Debemos trazar un plan para resolver el problema propuesto, que sea flexible y recursivo, no mecanicista, para ello pensamos que estamos en el tema de trigonometría y hemos visto las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo, pero ¿en qué tipo de triángulos? Lo hemos visto para triángulos rectángulos por lo que la estrategia a seguir es intentar ver en el dibujo del problema donde podemos encontrar un triángulo rectángulo que nos relacione lo que buscamos aplicando las fórmulas de las razones trigonométricas vistas en este tema, y así el problema inicial estaría reducido a uno más simple, o lo que es lo mismo, hemos conseguido hacer pequeños trozos del problema inicial planteado e iremos resolviendo y obteniendo los datos que nos servirán para completar el ejercicio.

Etapa 3: Ejecutar el plan

Procederemos a seguir la estrategia escogida hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Para no perdernos en el camino, acompañaremos cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para que se hace, lo que nos servirá de guía.

El triángulo rectángulo lo encontramos en OTS: T es el punto de la Tierra más lejano que vemos desde el satélite, ¿qué propiedad cumple? Dado que es el punto más alejado que podemos ver, es el punto tangente a la superficie terrestre y por tanto forma un ángulo de 90º, de no ser así, desde el satélite S veríamos un punto más alejado de la Tierra. S es el satélite ¿qué ángulo se forma ahí? pues la mitad de 140º ya que si unimos el centro de la Tierra O con S, el ángulo queda dividido por la mitad. O es el centro de la Tierra y su ángulo será 20º ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º (180º = 90º + 70º + β)

Situamos las incógnitas en el dibujo y mirando desde el centro de la Tierra O relacionamos los datos con las fórmulas trigonométricas:

Hipotenusa:

Cateto opuesto: del cual no sabemos nada Cateto contiguo:

Además es un dato conocido ya que es el radio de la Tierra por lo que la única incógnita es la distancia d que coincide con la pregunta planteada. Por lo tanto nos conviene usar el coseno del ángulo ya que relaciona los datos que nos interesan:

Arreglamos esa ecuación quitando denominadores y despejando la distancia d:

( ) ( )

Si sustituimos los datos del radio y el obtenemos el valor de la distancia:

( )

( )

Consejos:

- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

- Si no sabes seguir no tengas miedo de volver a empezar, se debe volver al principio reordenar las ideas y probar de nuevo. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Etapa 4: Comprobar los resultados

Después de obtener los resultados debemos comprobar si lo que obtenemos es algo coherente o por el contrario, hemos elegido una mala estrategia para resolver el problema o nos hemos equivocado en algo y por lo tanto obtenemos algo que no tiene mucho sentido, por ejemplo en nuestro problema propuesto si hubiéramos llegado a una distancia negativa. ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? es muy recomendable leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. Debemos fijarnos en la solución ¿parece posible? En nuestro caso, es un dato razonable. Además si ponemos que la solución esta expresada en km damos a entender que sabemos perfectamente que estamos calculando una distancia que se mide en esa unidad ya que el dato del radio de la Tierra estaba dado en km. También es recomendable explicar claramente lo que se ha hallado, por lo que podemos concluir nuestro problema afirmando que si desde un satélite se ve la Tierra bajo un ángulo de 140º la distancia a la que se encuentra éste es de ¿Serias capaz de extender tu solución a un caso general? Si reformulamos el problema sin ningún dato numérico quedaría como sigue: Desde un satélite artificial se ve la Tierra bajo un ángulo α. Calcular la distancia a la que se encuentra la Tierra si el radio es R. Dibujemos la situación:

S es el satélite y desde allí se ve la Tierra bajo un ángulo α R es el radio de la Tierra. d es la distancia del satélite S a la Tierra.

El triángulo rectángulo lo encontramos en OTS: T es el punto de la Tierra más lejano que vemos desde el satélite por tanto forma un ángulo de 90º. S es el satélite, el ángulo ahí sería la mitad de α por lo

tanto ⁄ .

O es el centro de la Tierra y su ángulo será: ⁄ ⁄

Mirando desde el centro de la Tierra O relacionamos con las fórmulas trigonométricas:

Hipotenusa: Cateto opuesto: del cual no sabemos nada

Cateto contiguo:

Usando la fórmula del coseno del ángulo ⁄

(

)

Arreglando la ecuación y despejando la distancia d tenemos la fórmula en general:

( ( ⁄ )

( ⁄ )

Observación: Resolver un problema es una experiencia significativa, ¡no te rindas nunca!