Láminas 3.2 Alumnos Termo._2S_2015

7/24/2019 Lminas 3.2 Alumnos Termo._2S_2015

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE INGENIERA

Departamento de Ingeniera Mecnica

Prof. Ubaldo Zi a .

ECUACIN DE ESTADO DE GAS IDEALAbordaremos ahora el comportamiento de una sustancia de trabajo no sometida a

cambios de fase, sino muy particularmente cuando existe nicamente como gas.(se dice que un gas es bsicamente un vapor altamente sobrecalentadocon temperaturas por sobre la

temperatura crtica-).

La diferencia con el caso primero (sustancias con cambio de fase),

es que para los gases existen ecuaciones que relacionan el compor-

tamiento P-v-T. Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones de Estado.

[funciones tipo: P = f ( v, T) o v = f (P, T)]

Hay varias ecuaciones de estado, algunas sencillas y otras muy complejas: la mssencilla y mejor conocida es la ecuacin de estado de gas ideal.

Esa ecuacin, predice el comportamiento P-v-T de un gas con bastante

exactitud, dentro de una cierta regin adecuadamente elegida. Se expresa

para un gas cualquiera en la forma:

P

=

T

siendo, : volumen especfico molar (m3/kgmol) Constante Universal de los gases

=

8.31447 kJ/kmolK; 8.31447 kPam3

/kmolK; 0.0831447 barm3

/kmolK; 1.98588 Btu/lbmolR; 10.7316psiapie3/lbmolR; 1 545.37 pielbf/ lbmolR


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La constante particularde un gas cualquiera equivale al valor de dividido por elpeso molecular (M) del gas; esto es: R = /MLa masa molar, o peso molecular, M, se define como la masa de un mol (llamada tambin gramo-mol, abreviado gmol) de una

sustancia en gramos, o bien, la masa de un kmol (llamada tambin kilogramo-mol, abreviado kgmol) en kilogramos.

En unidades inglesas, el mol es la masa de 1 lbmol en lbm.

La masa molar de una sustancia tiene el mismo valor numrico en ambos sistemas de unidades.

Gas Frmula M [kg/kgmol] R [kJ/kgK]

Oxgeno O2 31.999 0.2598

Nitrgeno N2 28.013 0.2968

Hidrogeno H 1.008 8.248

Aire 28.97 0.287

Carbono C 12.01 0.692Azufre S 32.06 0.2306

El valor del volumen especfico de un gas cualquiera, por su parte, puede tambin

expresarse como: v = /M (m3/kg), de manera que la ecuacin de estado para ungas en particular ser: Pv = RTPara un sistemas de masa fija, se tiene: PV = mRTSiendo la masa constante, y dado que R es tambin constante, entonces:

= mR = cte.

De modo que para un cambio de estado desde 1 a 2 se puede escribir:

=


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Prof. Ubaldo Ziga Q.Superficie P-v-T de un gas ideal

La superficie P-v-T para un gas puede observarse en la figura (siendo gas,

obviamente no cabe incorporar la campana que muestra los cambios de fase

lquido-vapor. Eso los estudiantes deben tenerlo siempre presente).


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Comentario:Un gas ideal es una sustancia imaginaria Pero experimentalmente, se ha observadoque la relacin de gas ideal se aproxima mucho al comportamiento P-v-T de los gases reales a

relativamente bajas densidades.

Para intereses prcticos, muchos gases familiares como el aire, nitrgeno, oxgeno, hidrgeno,

helio, argn, nen, criptn e incluso algunos ms pesados como el dixido de carbono, pueden

tratarse como gases ideales con un margen de error insignificante (con frecuencia menor a 1 por

ciento). [Cengel-Boles]

Calor especfico de gases ideales

En los gases ideales, las propiedades termodinmicas u y h dependen

esencialmente de la temperatura, de manera que, considerando las ecuaciones

u = u(v,T) y h = h(P,T) se puede escribir, como expresin diferencial:

du =)v dT y dh =

)p dT

Los trminos

)v y

)p se definen respectivamente como:

cv: Calor especfico a volumen constante =)v [kJ/kgK]

cp: Calor especfico a presin constante =)p [kJ/kgK]


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Al igual que u y h, los calores especficos son propiedades termodinmicas, las que

pueden ser intensivas (como las anteriormente indicadas) o extensivas cuando son

funcin de la masa. As:

Cv = mcvCp = mcp

Y ambas sern tambin funcin de la temperatura para los gases ideales, tal como u

y h. En las lminas siguientes se muestran valores de Cv y Cp para algunos gases.

Puede apreciarse que en el caso de los gases ideales las variaciones de u y h entre

dos estados 1 y 2, pueden ser obtenidas a partir de:

T2

du =)v dT => u = u2u1=cv dT

T1

T2

dh = )p dT => h = h2h1=cp dTT

1

Para el caso de que los calores especficos sean constantes con la temperatura,entonces:

u = u2u1 = cvT = cv(T2 - T1)

h = h2h1 = cpT = cp(T2 - T1)


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S S GO C


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Para intervalos de temperatura pequeos, se puede suponer que los calores

especficos varan en forma lineal con la temperatura por lo que se puede considerar

tambin como una aproximacin, el uso de un valor promedio entre ambos intervalos.

En la figura se representa lo sealado para el caso del calor especfico a presinconstante.

El valor de Cp, prom se puede obtener entonces

a partir de (T1+T2)/2. Lo mismo ser para el caso

de Cv prom

Las variaciones de

Cp con T de distintos

gases se muestran

en la figura derecha.

Existen tambinfunciones especficas

para Cp(T) como la

indicada a

continuacin.



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Un ltimo aspecto sobre los calores especficos, referido a las relaciones entre ellos:

Una relacin especial entre los calores especficos se obtiene si se considera la

entalpa en su relacin

h = u + pvEn el caso de los gases ideales, como sabemos,

pv = RT

Luego, h = u + RT

La diferencial de esta expresin es:dh = du + R dT

Pero como ya sabemos: dh = cpdT y du = cvdT por lo que:

cpdT = cvdT + R dT => cp = cv + R (para gases ideales)

En este punto, se introduce otra propiedad del gas ideal conocida como relacin de

calores especficos k, definida como: k =

Ciertamente, al igual que u y h, en los gases ideales, los calores especficos son

funcin de la temperatura.



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k vara tambin con la temperatura, pero su variacin es muy pequea (ver tablasanteriores) debido a que es una relacin fraccional entre los calores.

Puede observarse que:

Para gases monoatmicos, k 1.667.Para muchos gases diatmicos, incluso el aire, k 1.4 (a temperatura ambiente).

Por otra parte, siempre para gases ideales, como

cp = cv + R y k =

, entonces

k = cv + Rcv =>

cv =

y

cp =

OBSERVACION: En el caso de slidos y lquidoslos valores de

cpyc

v son idnticos; esto es:c

p = c

v= c La Tabla siguiente entrega valores para el

calor especfico del agua a distintas temperaturas, a p atmosfrica.



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Calor especfico del agua a distintas temperaturas

cp = cv= c

Para pequeos intervalos de

temperatura, un valor deca

la temperatura promedio sepuede usar y tratar como una

constante.

u = cprom(T2T1) Vlido para Slidos y lquidosh = u + vP = cprom(T2T1) + v (P2P1) (ya que v cte.)

Slidos: el trmino vP es insignificante, por lo tanto h = u cpromT

Lquidos:comnmente se encuentran dos casos especiales:1. Si P = cte., (calentador de agua:P 0): h = u cpromT

2. Si T = cte., (bombas de agua,T 0): h = h2h1= vfP

Bomba

de agua

Calentamiento de agua



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Estados y Valores de referencia para propiedades termodinmicas en Tablas y Grficos:

Los valores de propiedades termodinmicas como u, h y s no se pueden medir directamente por

lo que se calculan a partir de propiedades medibles mediante las relaciones entre propiedades

termodinmicas.Sin embargo, con estas relaciones se obtienen los cambios en las propiedades y no sus valores

en un cada estado especfico.

Por ello, es necesario usar un determinado estado de referencia, conveniente, y asignar unvalor cero para una propiedad o propiedades en ese estado de referencia.

Para el agua por ejemplo, se puede tomar el estado de lquido saturado a 0.01 C como elestado de referencia, y a la energa interna y la entropa se les asignan valores cero en ese

estado.

Para el refrigerante 134a se toma como estado de referencia el del lquido saturado a -40 C,donde a la entalpa y entropa se les da el valor cero.

Algunas propiedades tienen incluso valores negativos como consecuencia del estado dereferencia elegido. Asimismo, en muchas ocasiones, tablas diferentes muestran distintos valores

(aunque cercanos) para algunas propiedades en el mismo estado, como resultado de usar un

estado de referencia diferente.

A pesar de esto, la termodinmica se interesa por los cambios de las propiedades, por lo que el

estado de referencia elegido no tiene consecuencias en los clculos siempre que los valores

empleados sean de un solo conjunto congruente de tablas o diagramas.



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USO DE TABLAS DE GAS IDEAL

Para un cierto nmero de gases comunes, los clculos de cambios en la energa

interna y la entalpia especficas se simplifican con el manejo de las tablas de gas

ideal.

Estas Tablas dan u y h en funcin de la temperatura, y que se puede generar

teniendo presente que dh = cpdT . Si integramos entre un valor de temperatura

cualquiera y un valor de temperatura de referencia se puede escribir:

hT - hTref =

donde Trefes una temperatura de referencia arbitraria y hTrefun valor arbitrario de la

entalpia a la temperatura de referencia.

Un estado de referencia habitual es: h = 0 a Tref= 0 K.

As, la tabulacin de la entalpia frente a la temperatura se desarrolla utilizando la

integral:

hT =

0

El valor de la energa interna se logra con h = u + RT => u = hRT

A continuacin se presentan Tablas para aire, gas ideal (los otros parmetros, Pr , vr y s severn algo ms adelante). Tambin existen para varios otros gases como N2, O2, CO2, CO, etc.



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El vapor de agua tambin puede considerarse como un gas ideal en determinadas

condiciones de presin y Temperatura (por lo tanto no siempre) como se observa en

la figura.

Porcentaje de error

([|vtabla - videal|/vtabla] * 100)en que se incurre al suponer que el

vapor es un gas ideal, y la regin donde

el vapor se puede tratar como un gas

ideal con un porcentaje de error menora 1 por ciento.

(videal= RT/P)

Como se puede apreciar, los

gases se desvan de maneraimportante del comportamiento de

gas ideal en estados cercanos a la

regin de saturacin y el punto

crtico.



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FACTOR DE COMPRESIBILIDAD, UNA MEDIDA DE LA DESVIACIN DELCOMPORTAMIENTO DE GAS IDEAL

Para considerar con exactitud las propiedades de los gases que se desvan del comportamiento

de gas ideal, se introduce un Factor de Compresibilidad, que se designa como Z, con lo que

la ecuacin del gas puede escribirse como

PV = ZRT

siendo Z = (Factor de compresibilidad)

Si Z = 1 => Gas Ideal

Con Z> Gas realMientras ms alejado est Z del valor 1, mayor es la desviacin que el gas presenta

respecto del gas ideal.

Los gases se comportan de manera diferente a determinadas temperatura y presin,pero se comportan de manera muy parecida a temperaturas y presiones

normalizadas respecto a sus temperaturas y presiones crticas. La normalizacin se

efecta como:

Pr=

y Tr=

Donde Pr y Tr son Presin reducida y Temperatura reducida



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El factor Z es aproximadamente el mismo para cualquier gas a una misma Pr y Tr, lo

cual recibe el nombre de principio de estados correspondientes.

En la figura siguiente se representan valores de Z determinados de forma experimental para

varios gases en funcin de Pr y Tr, lo cual reafirma este principio de estados correspondientes.

As, se puede expresar Z = Z(Pr, Tr)

En el Estado (punto)

crtico de cualquier gas, El

valor de Z (=Pcrvcr/RTcr) es

en promedio 0.27(0.23 para agua

0,304 para H2,

0,284 para aire, etc.)

Lo anterior permite

generar una Grfica de

CompresibilidadGeneralizada, quePermite obtener el valor

De Z para cualquier gas,

en forma aproximada.

(figura siguiente)



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En este grfico en

el cual Pr 1se puede observar

que para valores de

Pr 0 todos los

gases se

comportan como

gas ideal (Z1)independiente del

valor de Tr.

A Patm. por

ejemplo, se tienen

los casos del:

AirePcr = 37,7

Pr = 0.0265

CO2 Pcr = 35

Pr = 0.028

CO Pcr = 73,9

Pr = 0.013O2 Pcr = 50,5

Pr = 0.019

N2 Pcr = 33,9

Pr = 0.029

SO2 Pcr = 78,7

Pr = 0.0127

Etc.



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Grfica de la compresibilidad generalizada, Pr < 10,0. Fuente: E. F. Obert, Concepts of

Thermodynamics, McGraw- Hill, New York, 1960.

En este grfico en

el cual Pr 10

se puede observar

que a

temperaturas altas

(Tr >2), es posible

suponer con buena

precisin elcomportamiento

de gas ideal, para

cualquier gas,

independientemen

te de la presin

(excepto cuando

Pr > 1)

Tr = 3.5

Tr = 2

Tr = 15

Tr = 2.5

Tr = 5

Tr = 10

Tr = 7



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Grfica de la compresibilidad generalizada, 10 < Pr < 40,0. Fuente: E. F.

Obert, Concepts of Thermodynamics, McGraw-Hill, New York, 1960.

En este grfico en el

cual Pr >10

se puede observar quela desviacin de un gas

respecto al

comportamiento de gas

ideal aumenta a partir

de las proximidades del

punto crtico.

Esto es, bajo talescondiciones todos los

gases deben

considerarse como

gases reales los cuales

se desvan del

comportamiento de gas

ideal.Tr = 15



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U S S GO CFACULTAD DE INGENIERA


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En los grficos anteriores se incluyen tambin valores de vr(lneas de segmentos)pero ese valor no corresponde exactamente al volumen especfico reducidocomo en el

caso de Tr y Pr, sino a lo que se ha llamado un volumen especfico pseudoreducido.

Esto es, porque se ha comprobado que a efectos de su correlacin, el volumenespecfico pseudoreducido resulta preferible al volumen especfico reducido vr= v/vcr,

donde. Ese valor viene dado por:

vsr=

Por lo tanto se pueden leer valores para Z (cualquier gas) utilizando 2 de esos 3

parmetros (Pr, Tr, vsr)OTRAS ECUACIONES DE ESTADOLa ecuacin de estado de gas ideal es simple, pero su mbito de aplicabilidad es limitado. Es

deseable tener ecuaciones de estado que representen con precisin y sin limitaciones el

comportamiento P-v-T de las sustancias en una regin ms grande. Naturalmente, esta clase de

ecuaciones son ms complicadas.

Para este propsito han sido propuestas varias ecuaciones. Mencionaremos como ejemplo tres

de ellas (slo se mencionan para efectos de conocimiento, sin hacer un anlisis de ellas) :

La ecuacin de Van der Waals por ser una de las primeras,

La ec. de estado de Beattie-Bridgeman que es una de las ms conocidas y

razonablemente precisa, y

La ec. de estado de Benedict-Webb-Rubin, por ser una de las ms recientes y muy

precisa.



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FACULTAD DE INGENIERADepartamento de Ingeniera Mecnica

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Ecuacin de estado de Van der Waals

La ecuacin de estado de Van der Waals se propuso en 1873, tiene dos constantes

que se determinan del comportamiento de una sustancia en el punto crtico, y est

dada por:

Donde,

Es decir, esas constantes se determinan

respecto del punto crtico.

Ecuacin de estado de Beattie-Bridgeman

La ecuacin de Beattie-Bridgeman, propuesta en 1928, es una ecuacin de estadobasada en cinco constantes determinadas de forma experimental. Se expresa como

Esta ecuacin es

razonablemente precisa para

densidades de hasta 0.8 veces

la densidad crtica.

Ecuacin de estado de Benedict-Webb-Rubin

En 1940, Benedict, Webb y Rubin ampliaron la ecuacin de Beattie-Brid- geman y

consiguieron aumentar el nmero de constantes a ocho. Se expresa como

Esta ecuacin puede manejar

sustancias a densidades de

hasta 2.5 veces la densidadcrtica.



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Variacin de entalpa en gases reales

Las propiedades de los gases ideales, como ya se vio, son relativamente fciles de

evaluar, ya que u, h, cvy cpdependen slo de la temperatura.

Pero tambin hemos visto que a altas presiones los gases se desvan del

comportamiento de gas ideal por lo que es necesario tomar en cuenta esa desviacin.

Veremos entonces ahora, cmo calcular los cambios en la entalpa y la energa interna

de gases no ideales (reales).

Cambios en la entalpa de gases realesLa entalpa de un gas real, en general, depende de la presin y de la temperatura.Es decir, h = h(P,T).

Si hacemos la diferencial de esa funcin tendremos:

Con la definicin de Cp se tiene

Por aplicacin de derivadas parciales usando las llamadas Relaciones de Maxwell se

demuestra que



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De modo que podemos escribir:

que integrndola queda,

Observemos un cambio de estado en un proceso real como el que muestra la figura.

Obtener el cambio de entalpa entre 1 y 2, siendo un gas real, significa evaluar

ambas integrales en la ecuacin anterior lo que resulta complejo para la integral dP.

Por ello a lo que se recurre es a considerar un valor de presin muy bajo (Po= 0), el

cual se usa como pivote para obtener el cambio del proceso real siguiendo un

camino o trayectoria alternativa, como se muestra en esta otra figura.

El cambio queda como:

con h* ubicada sobre la isobara de presin cero.As se tiene:



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La diferencia entre h y h* (hh*), -donde h corresponde alestado real y h* corresponde al comportamiento de gas ideal (por ser

presin cero),- se llama desviacin de entalpa.

Para obtener

esta desviacinSe puede

Utilizar un

DiagramaGeneralizadode Entalpa.

Este diagrama es vlido para cualquier gas

y requiere conocer el valor de Pr y Tr.Se obtiene:

El valor hh* = - ZhRTcr

Ejemplo: Si Pr = 2.0 y Tr = 1.20Del grfico: Zh= 2.0

Por lo que: hh* = - 2.0 RTcr

Dependiendo del gas de que se trate ser el

valor de R y Tcr y con ello se obtiene el hh*


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Para metano obtenga las variaciones de entalpa (h2-h1) y (h3-h2) . Metano,

CH4 (Pc= 4,64 MPa, Tc= 191,1 K, R=0,518 kJ/kg K). Obs. Determinepreviamente qu puntos corresponden a gas ideal y cules a gas real.

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