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ESPECIALIZACIN EN ENSEANZA DE LA MATEMTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA

Mdulo: PERSPECTIVAS PARA LA ENSEANZA

DE LA MATEMTICA

Clase 3: Cognicin y representaciones en Matemtica.

La enseanza de la Matemtica y las representaciones

Pluralidad de representaciones. Las representaciones visuales.

Las imgenes visuales juegan un papel importante en los procesos de desarrollo del

pensamiento matemtico, adems de constituirse, en muchos casos, en disparadoras

de la motivacin de los alumnos. Vivimos en un mundo en el cual se pone mucho

nfasis en lo auditivo y lo visual como fuentes ms importantes de contacto con l.

Adems, si de imgenes se trata, las posibilidades de otorgarles movimiento,

incrementan, al menos, el inters por ellas. Lo expresamos de esta manera, porque

consideramos que las representaciones por s mismas no generan conocimiento, sino

que es el tipo de interaccin que el sujeto tiene con ellas y los esquemas que ponga

en funcionamiento, los que, en ltima instancia producir aprendizaje.

No haremos un tratamiento conceptual de lo que se entiende por visualizacin.

Simplemente asumiremos que con dicho trmino se hace referencia a figuras y

representaciones pictricas e icnicas externas o internas. Estas ltimas ests

asociadas a la formacin de imgenes mentales que le permiten al sujeto la evocacin

de un objeto sin que el mismo est directamente presente. (Castro & Castro, 1997,

p. 97).

Si preguntsemos a un colega del Nivel Secundario con qu temas de la Matemtica

asocia ms naturalmente las representaciones visuales, seguramente responder:

Geometra, funciones, Estadstica. Menos probable considerar la Aritmtica, aunque

tal vez haga referencia a las fracciones. Nos sorprendera si nombrase el lgebra?

Ejemplo:

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En la Escuela Secundaria el trabajo dentro del mbito del Eje de Nmeros y

Operaciones se apoya principalmente sobre el trabajo dentro del registro aritmtico

con las representaciones semiticas referidas a diferentes tipos de escritura

(dependiendo del campo numrico). Como hemos visto, en el caso del nmero

racional: escritura fraccionaria, decimal, exponencial, etc.

La ubicacin de los nmeros sobre la recta numrica, tarea habitual en el Nivel

Secundario, aporta las representaciones figurales, que podemos considerarlas como

imgenes visuales, en el contexto que estamos abordando aqu.

Los profesores nos apoyamos mucho en la representacin pictogrfica en el trabajo

con nmeros racionales (no enteros): dividir una figura en partes iguales.

Las imgenes visuales nos aportan informacin sobre el objeto de estudio.

Tomemos el caso de los nmeros naturales.

Los docentes del Nivel Inicial y de los primeros aos del Nivel Primario conocen el

trabajo con representaciones icnicas o pictogrficas para el abordaje de los nmeros

naturales. Estas imgenes visuales se van perdiendo parcialmente en el mbito

escolar a medida que se avanza sobre el estudio del sistema de numeracin y la

potencialidad de la escritura usando los smbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Decimos

que se pierde parcialmente en el mbito escolar ya que las personas siguen usando

representaciones visuales icnicas o pictogrficas de los nmeros naturales en su vida

diaria. Basta mencionar que en muchos juegos de cartas los puntos que se van

ganando se escriben as:

Y afirmamos que esta prdida es parcial en el mbito escolar, porque en el

tratamiento de la Estadstica, al confeccionarlas tablas en las que se expresan

conteos, la representacin habitual es:

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Como docentes no podemos ser categricos y decir que tal o cual

representacin es la representacin (por excelencia) de un objeto

matemtico determinado, y basar la enseanza del mismo privilegiando un

nico tipo de representacin.

Atendiendo a la importancia que poseen las representaciones para la

cognicin matemtica, su tratamiento debe ser motivo de reflexin

permanente en nuestra tarea.

El uso de puntos distribuidos uniformemente en forma plana o espacial para

representar nmeros naturales, constituye una representacin visual que nos

remonta a la poca de Pitgoras.

Las representaciones puntuales de los nmeros naturales posibilitan, por ejemplo, el

anlisis de regularidades, la formulacin de conjeturas, la generalizacin, el

razonamiento inductivo y procesos de validacin.

Consideremos los nmeros cuadrangulares (o cuadrados)

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En la figura se observan: el registro puntual (o visual o iconogrfico), el registro

aritmtico, la conversin entre las representaciones de uno y otro, y el tratamiento

aritmtico.

Si miramos estas configuraciones desde otro punto de vista

podremos conjeturar sobre la suma de los n primeros nmeros naturales impares.

Los invitamos a interactuar con el siguiente Applet de

GeoGebra:

http://ggbtu.be/b97249

Y tambin a ver el siguiente video que propone un trabajo

con representaciones visuales sobre nmeros cuadrangulares y

triangulares.

https://www.youtube.com/watch?v=Lg4ju6zXfuw

Si lo desean, pueden analizar los registros, representaciones,

tratamientos y conversiones que ponen en juego.

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La problemtica de la conversin

Las transformaciones que menciona Duval, el tratamiento y la conversin, estn

presentes en la actividad matemtica. Mientras que el primero se da dentro del mismo

registro, la conversin se produce entre diferentes registros.

Ilustraremos lo dicho adaptando uno de los ejemplos que propone Duval (2006,

p.146) de acuerdo con nuestra forma habitual de presentarlo en la enseanza:

Los siguientes pasos, asociados a la resolucin de la ecuacin, se mantienen dentro

del tratamiento.

Ahora bien, mientras el tratamiento obedece a las reglas propias del registro, no

sucede lo mismo con la conversin. Sobre la conversin debe enfatizarse que no es

automtica y es importante para la comprensin de los objetos matemticos. De aqu

la relevancia de su estudio por parte de los docentes al momento de la planificacin

de su tarea.

Una observacin que debemos hacer respecto de la conversin: en ejemplos como el

ilustrado la conversin es relativamente simple porque se produce, en realidad, una

codificacin. Es decir, se puede segmentar el enunciado en unidades significativas

que se traducen al lenguaje algebraico con relativa facilidad: La suma entre (+) un

nmero (x) y el doble de (2.) su consecutivo (x+1) es 47 (= 47).

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Bien sabemos como docentes que este tipo de enunciado no es la generalidad y somos

conscientes de las dificultades que tienen nuestros alumnos para convertir un

enunciado verbal en una expresin algebraica cuando no se trata de una simple

codificacin, e incluso cuando el enunciado es del tipo del propuesto.

Otro aspecto importante sobre el tratamiento y la conversin es que pueden darse en

forma alternada, o como sucede en Geometra que se dan en paralelo,

interactivamente, y la conversin puede efectuarse implcitamente.

Para ilustrar este ltimo prrafo, considere el siguiente enunciado:

Sea ABC un tringulo con B = 35 y C = 28. Se traza por A una recta paralela r al

lado BC. La mediatriz del lado AC interseca a r en un punto D, y la mediatriz del lado

AB interseca a r en un punto E. Queda as formado el cuadriltero BCDE. Halle sus

ngulos interiores.

Les mostramos los primeros pasos de la resolucin. Continenlo Uds. analizando las

etapas de acuerdo con lo que expresa Duval.

Observando la ilustracin no queda explicitada la conversin permanente que se hace

entre la representacin del registro verbal-simblico de la derecha con la

representacin del registro geomtrico de la izquierda. Pero la resolucin del

problema exige el dilogo entre ambas representaciones. Las marcas que se hacen

sobre el grfico dan cuenta de la conversin.

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Ya hemos mencionado que la conversin no posee reglas fijas. Un aspecto

que se pone en evidencia en la conversin es que no siempre hay

congruencia entre la representacin en un registro y la correspondiente

representacin en otro (excepto en ciertos casos de simple codificacin).

Por ejemplo, el significado del coeficiente principal de una funcin cuadrtica

no es explcito en el grfico de la parbola, en cambio s lo es el trmino

independiente. En el caso de este ltimo el alumno ve que el nmero que

figura en la frmula coincide (congruencia) con el valor en que la parbola

interseca al eje de ordenadas.

Cmo citar este texto:

Instituto Nacional de Formacin Docente (2015). La enseanza de la

Matemtica y las representaciones. Clase 3. Cognicin y

representaciones en Matemtica. Mdulo: Perspectivas para la

Enseanza de la Matemtica. Especializacin docente de Nivel Superior

en Enseanza de la Matemtica en la Escuela Secundaria. Buenos

Aires: Ministerio de Educacin de la Nacin.

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