INSTITUTO ALEMÁN CARLOS ANWANDTER

PROGRAMA BACHILLERATO INTERNACIONAL

MATEMÁTICA NM

NM Tipo I Fracciones de LACSAP

Alumna: Michelle Münzenmayer

Profesor: Jaime Garcés

Curso: III°C

Número IB: dvv144

VALDIVIA – ENERO - 2013

ÍNDICE

o Portada..………………………………………………………………………pág.1

o Índice…………………………………………………………………………pág.2

o Objetivo………………………………………………………………………pág.3

o Introducción………………………………………………………….……….pág.3

o Desarrollo

o Conclusiones

o Limitaciones

o

2

OBJETIVO:

En esta tarea se considerará un conjunto de números presentados en un patrón

simétrico.

Si uno lee detenidamente “fracciones de LACSAP”, se puede ver que LACSAP,

leyéndolo al revés, es lo mismo que pascal, lo que nos hace comparar esta pirámide con el

triángulo de pascal y así poder entender y suponer de que se trata esta tarea para encontrar

una solución a los siguientes planteamientos de una manera más rápida.

Considerando las cinco filas de números que se muestran en la Figura 1:

1 1

1 32

1

1 64

64

1

1 107

106

107

1

1 1511

159

159

1511

1

- Figura 1 –

Al comenzar es de suma importancia prestarle atención a cada número expuesto en

la pirámide anterior. Primero expondremos los numeradores de la pirámide en la Figura 2:

1 1

1 3 1

1 6 6 1

1 10 10 10 1

1 15 15 15 15 1

3

- Figura 2 -

Como primera observación se puede mencionar que la pirámide de numeradores

también se puede escribir de la siguiente forma:

1 1

3 3 3

6 6 6 6

10 10 10 10 10

15 15 15 15 15 15

- Figura 3 -

Al escribirla de esta manera se puede distinguir que para cualquier número de fila el

numerador será el mismo, independiente de la posición que ocupe dentro de la fila.

Encontrar el sexto patrón.

Se pide encontrar el sexto patrón, y para eso se realizará una tabla con los

numeradores para observar cual es la fórmula que se obtiene. Los numeradores serán

simbolizados con la letra N mayúscula y el número de fila será la letra n en la Tabla 1:

n 1 2 3 4 5 6N 1 3 6 10 15 ?

- Tabla 1 –

Se puede ver que al sumar el número de fila (n), con el numerador anterior (N-1),

da como resultado el numerador correspondiente. Es decir que la sexta y las siguientes filas

se podrían obtener con la formula N: n+(N-1)

4

Comprobamos lo anterior en la Tabla 2:

Número de filas (n) Numerador (N) Comprobación N=n+(N-1)1 1 1 + 0 = 12 3 2 + 1 = 33 6 3 + 3 = 64 10 4 + 6 = 105 15 5 + 10 = 156 21 6 + 15 = 21

- Tabla 2 –

Por lo tanto, y según este método, el valor correspondiente al numerador para la

sexta fila es igual a 21.

Grafico de relación entre n y N

Para realizar el análisis grafico solicitado utilizaremos el programa Excel y sus

herramientas graficas. Ingresamos los valores obtenidos para encontrar una relación entre el

número de fila y el numerador y al solicitar la grafica de N vs n obtenemos lo siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35

40

f(x) = 0.5 x² + 0.499999999999998 x + 2.19812944215729E-15

Grafico de N vs n

número de fila "n"

Val

or d

e N

umer

ador

5

Se observar que a medida que el número de filas va aumentando, su numerador

respectivo aumenta también, siguiendo un comportamiento parabólico, por lo que la

fórmula entregada por Excel corresponde a la siguiente fórmula cuadrática:

y=0,5 x2+0,5 x+2 E−13

(Nota: el valor 2E-13 no se considera ya que corresponde a un valor marginal que entrega Excel con el fin de ajustar la ecuación).

En este caso el valor de y o f(x) corresponde al Numerador (N) que buscamos y la

variable x es el número de fila (n), reemplazando el nombre de las variables obtenemos la

siguiente fórmula para encontrar al numerador:

N=0,5 n2+0,5 n

¿0,5¿¿)

¿(n2+n )

2

De forma equivalente podemos reescribir esta fórmula como la siguiente sumatoria:

N=∑k=1

n

❑

A continuación corroboramos en la Tabla 3 que la formula obtenida es la indicada

para definir N:

Número de filas (n) Sumatoria N

1 = 1 = 1

2 = 1+2 = 3

3 =1+2+3 = 6

4 =1+2+3+4 = 10

5 =1+2+3+4+5 = 15

6 =1+2+3+4+5+6 = 21

7 =1+2+3+4+5+6+7 = 28

8 =1+2+3+4+5+6+7+8 = 36

6

9 =1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

10 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

- Tabla 3 –

Y así sucesivamente hasta llegar a infinito.

Hallar la sexta y la séptima fila.

Lo necesario para poder completar cada fila correctamente, es saber cómo se

obtienen los denominadores de cada fila, según su posición. Por lo mismo en la siguiente

figura (Figura 4) se mostrarán solamente los denominadores conocidos para así encontrar

una proposición general para cada denominador:

1 1

1 2 1

1 4 4 1

1 7 6 7 1

1 11 9 9 11 1

- Figura 4 –

De forma equivalente también se puede expresar como:

1 1

3 2 3

6 4 4 6

10 7 6 7 10

15 11 9 9 11 15

7

- Figura 5 –

Podemos observar que para una determinada fila n, el valor del denominador al que

llamaremos D, varía según la posición dentro de la fila, a diferencia de la parte anterior en

que se buscaba el numerador. A esta posición variable la definiremos como r.

Para poder encontrar una relación o fórmula que nos permita agrupar las tres

variables mencionadas (D, n y r) utilizaremos la herramienta grafica de Excel para conocer

el comportamiento de estas variables. Para esto ingresaremos los valores de D y r para una

determinada fila, en este caso utilizaremos los valores para las filas 3, 4 y 5.

1 2 3 401234567

f(x) = x² − 5 x + 10

Grafico para n=3

posicion "r"

Den

omin

ador

1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

f(x) = 0.999999999999999 x² − 5.99999999999999 x + 15

Grafico para n= 4

posición "r"

Den

omin

ador

8

1 2 3 4 5 602468

10121416

f(x) = x² − 7.00000000000001 x + 21

Grafico para n=5

posición "r"

Den

omin

ador

En los gráficos se encuentran las formulas que mejor describen el comportamiento

de las variables, en donde “y” corresponde al valor del denominador “D” y la variable x es

la ubicación “r” dentro de la fila n.

Analizando las formulas expuestas en las graficas se puede observar que el termino

cuadrático (r2) en los tres casos es igual a 1, el segundo término (-r) es un valor negativo

que coincide con el número de fila n, y el último término, correspondiente a un valor

numérico equivale al numerador de la fila evaluada. Al realizar estas modificaciones la

fórmula se podrá expresar de la siguiente forma:

D=r2−n×r+∑k=1

n

❑

Donde r es el enésimo elemento de la fila, partiendo desde r=0 y n es la enésima fila

en el conjunto de números.

En la Tabla 5 utilizaremos algunos valores de n y r para encontrar los valores de D y

N a fin de corroborar la valides de la formula obtenida. Estos valores serán comparados con

los entregados en la Figura 1.

9

n r D=r2−n×r+∑k=1

n

❑ N=∑k=1

n

❑ Valor= N/D

1 0 0-(1*0)+1 = 1 1 1

1 1 1-(1*1)+1 = 1 1 1

2 1 1-(2*1)+3 = 2 3 3/2

3 2 4-(3*2)+6 = 4 6 6/4

3 3 9-(3*3)+6 = 6 6 1

5 1 1-(5*1)+15 = 11 15 15/11

-Tabla 5-

Proposición General

Ya encontradas y validadas las formulas para calcular de forma separada los valores

de numeradores (N) y denominadores (D), podemos definir una ecuación que permita

encontrar valores dentro de la pirámide y que este en función de n y de r. Dicha proposición

corresponde a la siguiente ecuación:

En (r )= ND

=∑k=1

n

❑

r2−(n∗r )+∑k=1

n

❑

A continuación entregamos la pirámide con los valores solicitados de la sexta y séptima fila.

10

1 1

1 32

1

1 64

64

1

1 107

106

107

1

1 1511

159

159

1511

1

1 2116

2113

2112

2113

2116

1

1 2822

2818

2816

2816

2818

2822

1

- Figura 5 –

Comprobación con filas adicionales

Fila 8:

En(r)=∑k=1

n

❑

r2−(n∗r )+∑k=1

n

❑Valor

E8(0)= 1+2+3+4+5+6+7+8

02−(8∗0 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3636

=1

E8(1)=1+2+3+4+5+6+7+8

12−(8∗1 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3629

E8(2)=1+2+3+4+5+6+7+8

22−(8∗2 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3624

E8(3)= 1+2+3+4+5+6+7+8

32−(8∗3 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3621

11

E8(4)= 1+2+3+4+5+6+7+8

42−(8∗4 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3620

E8(5)= 1+2+3+4+5+6+7+8

52−(8∗5 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3621

E8(6)= 1+2+3+4+5+6+7+8

62−(8∗6 )+(1+2+3+4+5+6+7+8)3624

Fila 9:

En(r)=∑k=1

n

❑

r2−(n∗r )+∑k=1

n

❑Valor

E9(0)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9

02−(9∗0 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4545

=1

E9(1)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

12−(9∗1 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4537

E9(2)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

22−(9∗2 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4531

E9(3)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9

32−(9∗3 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4527

E9(4)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9

42−(9∗4 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4525

E9(5)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9

52−(9∗5 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4525

E9(6)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9

62−( 9∗6 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)4527

Fila 10

12

En(r)=∑k=1

n

❑

r2−(n∗r )+∑k=1

n

❑Valor

E10(3)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

32−(10∗3 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)5534

E10(5)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

52−(10∗5 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)5530

E10(7)= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

72−(10∗7 )+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)5534

Siendo los valores completos para n desde 1 a 10 los siguientes:

1 1

1 32

1

1 64

64

1

1 107

106

107

1

1 1511

159

159

1511

1

1 2116

2113

2112

2113

2116

1

1 2822

2818

2816

2816

2818

2822

1

1 3629

3624

3621

3620

3621

3624

3629

1

13

1 4537

4531

4527

4525

4525

4527

4531

4537

1

1 5546

5539

5534

5531

5530

5531

5534

5539

5546

1

- Figura 6 -

14