LABORATORIOSesión 1

Distribuciones en la población y en el muestreo

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• El test de la sesión 1 y el Programa de ejecución (*.xls), deben ser bajados de la página

OBJETIVOSEstudiar a través de simulaciones:

• La variabilidad de la estimación de un parámetro debido al muestreo, usando el error estándar (cuadrático medio), gráficos e intervalos.

• La influencia del tamaño de la muestra sobre la variabilidad de la estimación.

• La influencia del tamaño de la población sobre la variabilidad de la estimación.

• La influencia de la varianza en la población sobre la variabilidad de la estimación.

Muestreo en una Población Finita para Estimar una

Proporción• Si conocemos totalmente la población, se puede

definir totalmente la distribución del porcentaje observado (porcentaje estimado) en las muestras de una tamaño dado.

• En particular se conoce la expresión exacta de la media y de la desviación estándar (llamado error estándar o en SAMPLING “error cuadrático medio”) del porcentaje observado en la muestra

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

En la población:

)1()( ,)(

1)0( ,)1(

}{0,1X ),(

ppXVarpXE

pXPpXP

pBernoulliX

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

• En el muestreo: M.a.s. sin reemplazo de tamaño n obtenida de

una población de tamaño M:

1

)1()( )(

1

M

nM

n

ppXVarpXEX

nX nn

iin

M

n1

n

)p1(pestandar Error

EN LAS SIMULACIONES

• En la muestra k se obtiene:

– la proporción estimada

– el error de estimación (muestral)

• De la repetición de L muestras se obtiene:

– el error promedio

– el error estándar o cuadrático medio

CONVERGENCIA

• Si se hacen todas las muestras posibles de tamaño n

)1()1(

)(1

y 0 1 2

)()( M

n

n

ppee

Le

Le

kk

kk

• Si se repiten muchas muestras de tamaño n

0 1

L)( k

keLe

)1()1(

)(1

2

)( M

n

n

ppee

L Lk

k

SIMULACIONES

• Se hace usando un programa desarrollado para este efecto:

Sesion1.xls

• en el cual se puede cambiar

– El tamaño de la población: M– El porcentaje en la población: 100p– El tamaño de las muestras: n– El número de muestras simuladas: L

Parámetros de la simulación

Tamaño de la población ..............................................900

Frecuencia del atributo en la población ……450 (50.00%)

Tamaño de la muestra ................................................100

Para elegir un parámetro, presione [PgUp] o [PgDn] Para modificar el parámetro elegido, presione [ ] [ ]

Para iniciar la simulación, presione [Enter]

Para abandonar la simulación, presione [Esc]

Primera Actividad• Comprender los resultados presentados en el programa

de simulación Sesion1.xls

• El programa ejecutado toma una muestra de tamaño n (n=100) y estima la proporción de fumadores a partir de lo obtenido en la muestra. La repetición de este experimento permite obtener una mejor estimación.

• Observe: Al costado derecho encontrará un esquema de la población, en el cual se indica los fumadores (rojo), no fumadores (verde). En cada muestreo el programa tomará n individuos de esa población estimará la población de fumadores (ver gráfico) y entregará el error asociado

)1(e

Se saca una segunda muestra y se obtiene:

El porcentaje de fumadores de la segunda muestra Se agrega en el histograma el porcentaje de la segunda muestra Diferencia entre el segundo porcentaje muestral y el porcentaje verdadero de la población

El error promedio

El error cuadrático medio (Error Estándar) para las 2 muestras

Número y porcentaje de los 2 casos con |error| < 1% |error| < 5% |error| < 2% |error| < 10%

)ee(2

1e )2()1(

])ee()ee([2

1 2)2(

2)1(

Se sacan muchas muestras (con la tecla F2 o F3) y pare (con F1)

Anote el número de experimentos hechos (>400 por ejemplo)

Observe

El histograma El error promedio (ANÓTELO) El error cuadrático medio (Error Estándar) de todas las muestras

Número y porcentaje de los casos con |error| < 1% |error| < 2% |error| < 5% |error| < 10%

e

RESPONDE LA PREGUNTA

1

ERROR CUADRÁTICO MEDIO TÉORICO (%)

M: Tamaño de la población

n: Tamaño de la muestra

p: Proporción en la población

100p: Porcentaje la población

M

n

n

pp1

)1(*100

ERROR CUADRÁTICO MEDIO TÉORICO (%)

Si hiciera todas las muestras posibles

M = 900, n =100, p = 0.5

7166.41

)1(*100

M

nM

n

pp

Interpretamos:

Si tenemos 400 repeticiones de muestras y encontramos

|error| < 5% en 280 casos (70%)

Significa que se encontró 70% de las muestras con un porcentaje observado f con un error menor que 5% con respecto del valor real 100p.

Se deduce de esta forma un intervalo tal que:

Prob (f observada en [100p-5,100p+5]) = 0.70

RESPONDE LA PREGUNTA

2

Segunda Actividad

Salga del programa (Esc) y entre de nuevo

Mantenga el tamaño de la población: 900 Cambie el tamaño de la muestra: 200 Repita lo anterior con el mismo número de repeticiones Observe el histograma

Anote el error cuadrático medio y compare con el anterior. Concluya.Anote el número y porcentaje de los casos con |error| < 1% |error| < 2% |error| < 5% |error| < 10%

RESPONDE LA PREGUNTA

3

Tercera Actividad

Salga del programa (Esc) y entre de nuevo

Cambie el tamaño de la población: 1300 Mantenga el tamaño de la muestra: 100 Repite lo anterior con el mismo número de repeticiones Observe el histograma

Anote el error cuadrático medio y compare con el anterior. Concluya.Anote el número y porcentaje de los casos con: |error| < 1% |error| < 2% |error| < 5% |error| < 10%

RESPONDE LA PREGUNTA

4

Cuarta ActividadSalga del programa (Esc) y entre de nuevo

Mantenga el tamaño de la población: 900 Cambie la frecuencia del atributo en la población: por ejemplo 630

(p=0.7) Mantenga el tamaño de la muestra: 100 Repita lo anterior con el mismo número de repeticiones

Observe el histograma

Anote el error cuadrático medio y compare con el anterior. Concluya.Anote el número y porcentaje de los casos con: |error| < 1% |error| < 2% |error| < 5% |error| < 10%

RESPONDE LA PREGUNTA

5

Envíe su trabajo a : ma34b0X@ing.uchile.cl

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