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Analisis de Senales y Sistemas: Transformada Z

MSc. Renan Rojas G.

2015-1

Renan Rojas G. EL5002: Transformada Z III

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Analisis en el dominio Z de sistemas LTI

Objetivo: determinar la respuesta de sistemas LTI a una determinada en

* Interes especial: Sistemas de polos y ceros representados mediante ecu

diferenciales de coeficientes constantes.Respuesta de sistemas con funciones de transferencia racionales

H(z) =B(z)

A(z).

Adicionalmente, si representamos la entrada como:

X(z) =N(z)

Q(z);

Si el sistema esta inicialmente en reposo, la salida del sistema tiene la form

Y(z) =H(Z)X(Z) =B(Z)N(Z)

A(Z)Q(Z).

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Analisis en el dominio Z de sistemas LTI

Asumiendo que no existe cancelacion de polos y ceros, es posible expresarbasandonos en una expansion de fracciones parciales como:

Y(z) =

N

k=1

Ak1 pkz1

+

L

k=1

Qk1 qkz1

;

pk: polos del sistema; qk: polos de la entrada.

y[n] =N

k=1

Ak(pk)nu[n] +

L

k=1

Qk(qk)nu[n].

y[n] se puede dividir en dos partes:i.

N

k=1

Ak(pk)nu[n]; Respuesta natural del sistema

ii.L

k=1

Qk(qk)nu[n]; Respuesta forzada del sistema

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Respuestas transitoria y en regimen permanente

De lo anterior (es decir, asumiendo sistema en reposo), la respuesta parade un sistema (hzs) puede separarse en respuesta natural y respuesta

Para un sistema causal, la respuesta natural es:

ynr[n] =N

k=1

Ak(pk)nu[n]; pk :polos del sistema

si |pk|

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Respuestas transitoria y en regimen permanente

Por otro lado, la entrada forzada tiene la forma:

yfr[n] =L

k=1

Qk(qk)nu[n]; qk :polos de la entrada

Entonces, si los polos de la entrada caen dentro del crculo unitario,yfr[nn. Es decir, es una senal transitoria.

Por el contrario, si la senal de entrada no es transitoria (se mantiene nrespuesta forzada tambien se mantiene. En estos casos, la respuesta forzcomo respuesta en regimen permanente.

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Cancelacion de Polos y Ceros

Existen 2 casos de interes para la cancelacion de polos y ceros.

1 Reduccion del orden del sistema: Cancelacion de polos y ceros en H(z2 Supresion de raices entre sistema y entrada:

i. Supresion de polos del sistema H(z) con ceros de la entrada X(z)ii. Supresion de ceros del sistema H(z) con polos de la entrada X(z)

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Referencias

(1) Proakis, J. G. & Manolakis, D. K. (2006), Digital Signal Processing (4thPrentice Hall.

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