8/18/2019 Laboratorio Corte 1

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Rodrigo Jiménez Rincón (539010) – Juan Camilo OsorioMolano (53899)!

(r"imenez10#uca$olica!edu!co "cosorio9#uca$olica!edu!co)

 %ra&ec$orias or$ogonales 'OR%OR*O 1

+cuaciones ,i-erenciales

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Ejercicio: Encontrar la familia de trayectorias

ortogonales a la familia de curvas  y=ln (tanx+c )

Solución:

•

Para obtener la ecuación diferencial de la familia dada, es necesario derivar en forma implícita alado y lado de la igualdad.

 y=ln (tanx+c )  (1)

dy

dx=

sec2 x

tanx+c  (2)

• Despejamos c de la función inicial para dejar la ecuación en términos de f!,y" y reempla#amos la

ecuación $" en la ecuación %".

−tanx+e y=c  $"

 dy

dx=

sec2 x

tanx−tanx+e y−−−−→

 dy

dx=

sec2 x

e y  

• Se muestra a continuación un gr&fico 'ue describe algunas trayectorias de la familia

 y=ln (tanx+c )

La grafca de  y=ln ( tanx+c )  

toma los valores para c =

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• Para conseguir la ecuación diferencial correspondiente a las trayectorias ortogonales, se modifica e

resultado anterior.

f  ( x , y )=sec

2 x

e y

  →−1

f  ( x , y )=−e

 y

sec2 x

 

(as trayectorias ortogonales est&n dadas pordy

dx=  −1f  ( x , y )

= −e y

sec2 x

• Se procede a)ora a resolver la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales:

dy

dx=−e

 y

sec2 x

→ dy

e y=−dx

sec2 x

• *ntegrando a ambos lados de lo obtenido y simplificando la respuesta, se obtienen las trayectorias

ortogonales:

∫ dye

 y =∫  −dx

sec2 x

→−e− y=1

2(− x−sin ( x) cos ( x ) )+c →c=−1

2  (− x−sin ( x )cos ( x ) )−e− y

• Se muestra a continuación un gr&fico 'ue describe algunas trayectorias de la familia

c=−12

  (− x−sin ( x ) cos ( x ) )−e− y , la familia de trayectorias ortogonales a   y=ln ( tanx+c )

La grafca de c=−12

  (− x−sin ( x ) cos ( x ) )e− y

=

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Se adjunta a continuación un gr&fico con las familias de curvas originales y la familia de

trayectorias ortogonales: