Movimiento Armónico

I. Objetivos:

Verificar las ecuaciones correspondientes al movimiento armónico simple. Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del

sistema. Verificar las ecuaciones dinámicas y cinemáticas que rigen el movimiento

armónico para el sistema masa – resorte. Ser capaz de configurar e implementar equipos para toma de datos

experimentales y realizar un análisis grafico utilizando como herramienta el software Data Studio.

Utilizar el software Data Studio para verificación de parámetros estadísticos respecto a la información registrada.

II. Fundamentos teóricos:

Hay muchos casos en los cuales el trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuyo valor cambia durante el desplazamiento; por ejemplo, para estirar un resorte a de aplicarse una fuerza cada vez mayor con forme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta ultima no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke el 1678, el cual es conocido hoy como “la Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida.

F= -k x (1)Donde K es la conste elástica del resorte y X es la elongación del resorte.El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento.

Sistema Masa – Resorte

Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura (1), si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose con una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilará a ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la sección de la fuerza elástica.

Este movimiento se le puede denominar armónico, pero se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento, entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS).Si aplicamos la segunda ley de newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1) podemos escribir:

-K X = ma (2)Luego si consideramos que:

a=∆ v∆ t

Entonces

a+ km

x=0

En este punto introduciremos la variable ω, tal que:

ω=√ km

Por lo cual la ecuación (4) se modifica, transformándose en la siguiente expresión:

a+ω2 x=0

La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la siguiente manera:

X=A cos (ωt+δ)

Donde A, es la amplitud de oscilación.

La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición de equilibrio, siendo las posiciones –A y +A los limites de desplazamiento de la masa) es el ángulo de fase y representa el argumento armónica. La variable (ωt+δ) es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el angulo de fase cambia en la unidad de tiempo. la cantidad δ se denomina constante de fase inicial del movimiento, este valor se determina usando la condiciones iniciales del movimiento, es decir el desplazamiento y la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta destiempo (t=0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente.

Como el movimiento se repite a intervalos iguales, se llama periódico debido a esto se puede definir algunas cantidades de interés que facilitaran la descripción del fenómeno.

Frecuencia (f), es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo, está relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación:

ω=2 π f

Periodo (T), es el tiempo que emplea el sistema para

Realizar una oscilación o un ciclo completo, está relacionado con (f) y ω por medio de la relación:

Expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones cinemáticas de la segunda ley de newton.

Velocidad de la partícula (v), como sabemos por definición que: V= ∆ x∆ t

Podemos usar la ecuación (6), para obtener lo siguiente:

V=−ωAcos (ωt+δ)

Aceleración de la partícula(a), como sabemos por definición que:a=∆ v∆ t

podemos usar la

ecuación (10), para obtener lo siguiente:

A=−ω2 Acos(ωt+δ)

La ecuación (11) nos indica que en el MAS, la aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento.

Respecto al periodo de oscilación, es posible señalar algo adicional; su relación con la masa y la constante elástica del resorte, la cual puede obtenerse 8sando la ecuación (9) y la definición de ῳ, que se empleo para llegar a la ecuación (6)

Dicha ecuación se escribe de la siguiente forma:

T=2 π √ mk

Hora si la masa m del resorten no es despreciable, pero si pequeña en comparación con la masa del cuerpo suspendido, se demuestra que se puede determinar el periodo de movimiento usando la siguiente la ecuación:

T=2 π √ (m+ mr3 )

k

Donde m, es la masa del resorte.

III. Materiales y equipos de trabajos:

Computadora personal con programa data studios instalado. Interface power link. Sensor de movimiento. Sensor de fuerza. Resortes. Pesas con porta pesas. Regla metálica. Balanza.

IV. Procedimiento: Determinar de la constante de elasticidadIngrese al programa Data studio, haga clic sobre el icono crear experimento y seguidamente reconocerá el dinamómetro y el sensor de movimiento, previamente insertado en la interface power linkSeguidamente arrastre el icono grafico sobre el sensor de fuerza (tiro positivo, 2 decimales) elabore una grafica fuerza vs desplazamientoHaga el montaje de la figura 4.1.1, mantenga siempre sujeto con las manos el montaje de los sensores y ponga el sensor de movimiento perfectamente vertical a fin de que no reporte lecturas erróneas

Con el montaje de la figura solo hace falta que ejercer una pequeña fuerza que se ira incrementando gradualmente hacia abajo, mientras se hace esta operación su compañero grabara dicho proceso.

La relación de la grafica fuerza vs desplazamiento es obviamente lineal de la pendiente de esta grafica obtenga el valor de k Repita el proceso para los otros resortes. Anote el valor de la constante k el la tabla 4.1

Resorte Nº Azul Verde

Longitud en reposo (m)

Contante k(N/m)

Determinación del periodo y la frecuencia de oscilación

Ingrese al programa Data studio, haga clic sobre el icono crear experimento y seguidamente reconocerá el sensor de movimiento, previamente insertado en la interface power linkSeguidamente arrastre el icono grafico sobre el sensor de movimiento elabore la grafica posición, velocidad y aceleración vs tiempoHaga el montaje de la figura 4.2.1 deberá hacer oscilar la masa suspendida del resorte, mientras se hace esta operación su compañero grabara dicho proceso.Masa adicional del resorte azul 0.15 kgMasa adicional del resorte verde 0.25 Kg

Fig.4.2.1 segundo montaje

Detenga la toma de datos después de 10 segundos iniciada. Es importante que la masa solo oscile en dirección vertical y no de un lado a otroRepita este proceso para completar las tablas 4.2.1 al 4.2.9

Identifique y halle n las variables solicitadas con la ayuda del icono puntos coordenadasBorre los datos erróneos, no acumule información innecesaria

Resorte azulTabla 4.2.1 grafica posición vs tiempo

Masa suspendida

150g 1 2 3 4 5Promedio total

Amplitud (m) 0.955 0.955 0.96 0.96 0.96 0.958Periodo (s) 0.4 0.4 0.4378 0.4 0.4 0.4075Frecuencia (Hz) 2.5 2.5 2.28 2.5 2.5 2.4536

Tabla 4.2.2 grafica velocidad vs tiempo

Masa suspendida

1 2 3 4 5Promedio total

Amplitud (m) 19.06 19.08 18.97 19,175 18.035 18.853Periodo (s) 0.5 0.4309 0.4231 0.5007 0.4184 04546Frecuencia (Hz) 2 2.3207 2.3635 1.997 2.3872 2.2137

Tabla 4.2.3 grafica aceleración vs tiempo

Masa suspendida

1 2 3 4 5Promedio total

Amplitud (m) 297.17 292.31 287.74 295.79 265.075 286.587Periodo (s) 05271 0.6514 0.5838 0.6568 0.6564 0.6151Frecuencia (Hz) 1.8972 1.5352 1.71292 1.5225 1.5235 1.6383

Resorte verdeTabla 4.2.4 grafica posición vs tiempo

Masa suspendida

1 2 3 4 5Promedio total

Amplitud (m) 0.145 0.145 0.145 0,14 0.15 0.145Periodo (s) 0.2 0.3 0.3 0,4 0.4 0.32Frecuencia (Hz) 5 3.3333 3.3333 2,5 2.5 0.3333

Tabla 4.2.5 grafica velocidad vs tiempo

Masa suspendida

1 2 3 4 5Promedio total

Amplitud (m) 2.895 2.825 2.915 2.785 2.84 2.852Periodo (s) 0.3822 0.5 0.33606 0.3261 0.3727 0.3823Frecuencia (Hz) 2.616 2 3.248 3.0655 2.683 2.7227

Tabla 4.2.3 grafica aceleración vs tiempo

Masa suspendida

1 2 3 4 5Promedio total

Amplitud (m) 43.505 42.37 44.15 42,175 42.675 42,975Periodo (s) 0.95389 0.6257 0.3735 0,3735 0.4933 0,481Frecuencia (Hz) 1.8556 1.5982 2.6774 2.6774 2.0272 2.1672

¿Qué valores experimentales de periodo, frecuencia y frecuencia angular asume el oscilador? ¿Que relación guarda con la constante de rigidez del resorte?

Tomará los valores promedios de los 5 ensayos correspondientes para cada resorte, estos valores nos permitirán calcular la K correspondiente para cada uno de ellos.

Con los datos experimentales promedio de las tablas construya de forma explicita las ecuaciones de movimiento, velocidad y aceleración para cada tipo de resorte

Resorte azul

X=Acos (2 πf . t)

X=0.95cos (2 π .2.4536 .t)

V=−Aωsen (2πft )

V=−18.(2π .2,2137)sen (2 π . 2,2137 .t )

a=−A ω2cos (2 πf . t)

a=−286. (2 π . 2,1672 )2cos (2π . 2,1672. t)

Resorte verde

X=Acos (2 πf . t)

X=0.145 cos (2π .1.6783 . t)

V=−Aωsen(2πft )

V=−2.852(2 π .2,7227)sen (2π 2,7227 t)

a=−A ω2cos (2 πf .t )

a=−42,975(2 π .2,1672)2cos (2 π 2,1672 . t)

¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es máxima?

Si V es máx. Entonces está en su punto de equilibrio y cuando la V es máx. La aceleración es min es decir cero

OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE

Ingrese al programa Data studio, haga clic sobre el icono crear experimento y seguidamente reconocerá el sensor de movimiento, previamente insertado en la interface power link

Seguidamente arrastre el icono grafico sobre el sensor de movimiento elabore la grafica posición, velocidad y aceleración vs tiempo

Haga el montaje de la figura 4.3.1 deberá hacer oscilar el péndulo, mientras se hace esta operación su compañero grabara dicho proceso.

Fig.4.3.1 tercer montaje

Con los gráficos obtenidos complete las tablas 4.3.1, 4.3.2 y 4.3.3

Identifique y halle las variables solicitadas con la ayuda del icono puntos coordenadas

Tabla 4.3.1 grafica posición vs tiempo

Masa suspendida 1 2 3 4 5 Promedio total

Amplitud (m) 2.62 2,62 2,615 2,62 2,615 2,618Periodo (s) 0,3 0,3 0.2 0,4 0,4 0,32Frecuencia (Hz) 3,33333 3.3333 5 2,5 2,5 2,32

Tabla 4.3.2 grafica velocidad vs tiempo

Masa suspendida 1 2 3 4 5 Promedio total

Amplitud (m) 50,995 51,07 50,94 49,68 50,93 50,723Periodo (s) 0,4 0,4 0,3 0,5 0,4937 0,41874Frecuencia (Hz) 2.5 2,5 3,3333 2 2,0255 2,465

Tabla 4.3.3 grafica aceleración vs tiempo

Masa suspendida 1 2 3 4 5 Promedio total

Amplitud (m) 69,925 641,06 632,925 642,9 645,4 638,342Periodo (s) 0, 5 0,5 0,5 0,5955 0,5999 0,5399Frecuencia (Hz) 1,996 2, 004 1,9996 1,6793 1,67 1,87

Según las magnitudes que participan en La ecuación del periodo ¿Cuál es la analogía entre péndulo simple y oscilador de resorte? ¿Que magnitud caracteriza el periodo de un péndulo?

Ambos se caracterizan por tener las como parte de sus componentes una amplitud, periodo, una frecuencia que nos permite calcular algunos datos que necesitamos.

El oscilador de resorte y péndulo simple nos ofrece modelos de movimiento armónico simple (MAS) ¿es constante la aceleración del MAS? Fundamentar

No, ya que tomo MAS tiene un punto de equilibrio y cada vez que se le saca de este punto aparece un fuerza que trata de regresarle a su estado normal, por eso la aceleración no será constante, además habrá puntos donde los la aceleración será mínima mientras la velocidad es máxima.

Compare el sentido de la aceleración con la velocidad y posición para un movimiento armónico simple ¿tiene el mismo sentido o sentidos opuestos? Explique

La aceleración y la velocidad del movimiento tienen la misma dirección, pero no coinciden en el valor numérico en sus diferentes posiciones.

¿Cual es la importancia del estudio de movimiento armónico simple? Explique con ejemplos de aplicación en el ejercicio de su profesión

Este tipo de movimiento es muy importante pues expresa como se desempeña los diferentes elementos de onda, ya que en particular este movimiento muestra el desempeño en las onda, y en la naturaleza se manifiesta en las olas del mar, en los latidos del corazón, y en otros y en nuestra carrera nos serviría par ver el desempeño de las maquinas que funcionan en una empresa.

V. conclusiones:

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.

El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

Los instrumentos de medición como los sensores son indispensables para este tipo de trabajos. Las graficas para cada de elemento para el MAS como (la velocidad, la aceleración, la posición) se

expresan siempre en función del tiempo. El movimiento armónico genera siempre una amplitud positiva y negativa por lo que para conocer

esta realmente su valor las restamos y las promediamos. Las deformaciones sufridas por un resorte y el periodo de oscilación del

mismo son proporcionales a la masa. La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el

desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente

La aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa a partir del equilibrio y está en la dirección opuesta. La aceleración es variable. Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, su aceleración se hace

cero y su velocidad es máxima puesto que la masa oscila entre dos puntos de retorno.

“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”

LABORATORIO DE FISICA Nº 4

MOVIMIENTO ARMÓNICO

INTEGRANTES:

CHAVEZ ARAUJO EDIKSON JHOEL

CONTRERAS CHIRINOS WILBERT FRANCESCO

DIAZ LOPEZ ELKIN

MARIN RUIZ EDGAR MAURO

PADILLA SAMAME JHORLIN

RAMIREZ CHAVEZ JUNIOR

RAMOS VITON ISAIAS

GRUPO:

C10 – E

PROFESOR:

GERSON ARAOS CHEA

FECHA DE REALIZACION:

12 DE ABRIL

FECHA DE ENTREGA:

26 DE ABRIL

2012

I CICLO