ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS UNIVERSIDAD DE CARTAGENA - FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO

DE FISICA Botello Ciro¹; Rivera Julie ¹; Maza Ruben2.

Cartagena, 16 de marzo de 2015.1. (Estudiantes de ingeniería de la Universidad de Cartagena); 2. (Profesor de física III)

RESUMEN

Una onda es un fenómeno físico que consiste en una perturbación de un medio. En esta oportunidad se trabajó experimentalmente con ondas estacionarias, usando un dispositivo productor de vibraciones, en una cuerda como medio, y un peso atado a un extremo de la cuerda; este informe dará muestra que la velocidad de la onda, la frecuencia y la tensión, se encuentran relacionadas. El hecho de que este patrón de vibraciones se presente refleja la importancia del estudio de fenómenos naturales.

Palabras claves: onda, medio, velocidad de onda, tensión, frecuencia.

ABSTRACT

A wave it is a physical phenomenon that consists of a disturbance of a way. At this opportunity one was employed experimentally with stationary waves, using a producing device of vibrations, in a rope as way, and a weight tied to an end of the rope; this report will give it shows that the speed of the wave, the frequency and the tension, they are related. The fact that this boss of vibrations appears it reflects the importance of the study of natural phenomena.

Keywords: wave, way, speed of wave, tension, frequency.

1. INTRODUCCIÓN

Al hablar de ondas estacionarias se debe sobrentender que son el resultado de una superposición de ondas transversales al reflejarse ya que le extremo del medio donde se propagan, es fijo. Toda onda transversal propagada en una cuerda, contiene sus propias características que son su velocidad, amplitud y su frecuencia (f); y estarán afectadas por la constante que define la densidad lineal de la cuerda. Se puede definir longitud de onda como la distancia mínima entre dos puntos cuales

quiera sobre una onda que se comporta idénticamente. La frecuencia de estas ondas periódicas es definida como la tasa en el tiempo a la cual la perturbación se repite a sí misma. Las ondas viajan con una velocidad específica, la cual depende de las propiedades del medio perturbado. [1]

En este laboratorio se buscó analizar el comportamiento de las ondas estacionarias en cuerdas cuando a esta con un tensión dada se le varia la frecuencia para así visualizar desde 1 hasta cuatro nodos, así se realizó la misma operación con diferentes masas.

2015, U.deC. Todos los derechos reservados.

C. Botello, J. Rivera.

2. MARCO TEORICO

Superposición de Ondas

Cuando dos o más ondas mecánicas de igual frecuencia son transmitidas en un medio, el resultado es una onda que es la suma de ellas. Esto significa que en cada punto del medio, el desplazamiento es la suma de los desplazamientos individuales que produciría cada una de las ondas; a este resultado se le conoce como Principio de Superposición. Ver la figura 1. [2]

Fig.No1. Superposición de Ondas.

Ondas Estacionarias

Cuando en un medio como una cuerda o un resorte, se genera una oscilación en uno de sus extremos, comienza a propagarse una onda. Al llegar al otro extremo del medio, la onda sufre una reflexión y viaja en sentido contrario por el mismo medio. De esta forma en el medio se tienen dos ondas de iguales características que se propagan en sentido contrario, lo cual da origen a una onda estacionaria.

La onda estacionaria recibe su nombre del hecho que parece como si no se moviera en el espacio. De hecho cada punto del medio tiene su propio valor de amplitud. Algunos puntos tienen amplitud máxima, son llamados antinodos, y otros puntos tienen amplitud igual a cero y son llamados nodos. Los nodos se distinguen muy bien porque son puntos que no oscilan.

La distancia entre dos nodos vecinos es igual a media longitud de onda, por lo cual la

medición de la distancia entre nodos permite determinar la longitud de la onda.

La figura 2 muestra el comportamiento de una onda estacionaria en el tiempo. También se señalan sus diferentes partes. [3]

Fig.No2. Onda Estacionaria.

Velocidad de una Onda

Del análisis del movimiento ondulatorio y de la definición de velocidad v:

v=dt (1)

Donde d es la distancia que se recorre en un tiempo t, se puede determinar una expresión para la velocidad de la onda. Por definición, el período T de una onda es el tiempo en el que se transmite una oscilación completa. Si la longitud de la onda es  λ, en un tiempo igual al período la onda se habrá desplazado una distancia igual a  λ. Por lo tanto, la velocidad de la onda será:

v= λT (2)

El período T está relacionado con la frecuencia de la onda de acuerdo con la siguiente ecuación:

T=1f (3)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (2), obtenemos otra expresión para la velocidad de la onda:

v = f (4)

Ondas estacionarias en una Cuerda

2

Onda resultante con la misma frecuencia pero mayor amplitud

Cuarto semestre de Ingeniería

Una forma de producir ondas estacionarias es propagando ondas desde un extremo de una cuerda hasta el otro que se mantiene fijo. Al llegar al extremo fijo la onda se reflejará y se superpondrá con la onda incidente, produciéndose entonces la onda estacionaria.

En este caso, las oscilaciones de la cuerda pueden ser de diferentes formas o modos, según sea la frecuencia con la que oscile la cuerda. A estas formas de oscilar se les llama modos normales de oscilación.

El primer modo normal de oscilación, llamado modo fundamental de oscilación, es el que tiene mayor amplitud y cuya longitud de onda es tal que la longitud L, de la cuerda es igual media longitud de onda; es decir, la longitud de la onda del primer modo es:

1 = 2L (5)

Sustituyendo esta relación en (4), tenernos que:

v = 2f1L (6)

En el segundo modo de oscilación la frecuencia es igual al doble de la frecuencia del primer modo de oscilación y se establecen dos medias ondas, es decir, una onda completa en la cuerda. En la figura 3, se muestran las ondas estacionarias de los primeros cinco modos de oscilación; el número de modo puede identificarse por el número de antinodos presentes. [4]

Fig.No3. Modos de Oscilación.

Para los modos normales de oscilación, las longitudes de onda son más cortas:

λn=2 Ln n = 1, 2, 3, ... (7)

Y las frecuencias son n veces la frecuencia, ¡ del modo fundamental de oscilación:

fn = nf1 n = 1, 2, 3, ... (8)

3. MATERIALES Y PROCEDIMIENTO

Pesas entre 50 y 100 g. Cuerda. Generador de Frecuencias Polea. Máquina para producir impulsos a

frecuencia variable. Regla graduada. Soporte universal.

Primero se realizó el montaje experimental que se muestra en la figura No 4. Este consistió en atar la cuerda a un extremo fijo esta pasaba por el vibrador el cual estaba conectado a el generador de frecuencias, el otro extremo de la cuerda pasaba por una polea y se le agregaron ciertas masas.

3

C. Botello, J. Rivera.

Fig.No4. Montaje experimental.

Después de tener el montaje listo se le fueron agregando diferentes masas al sistema, con cada masa se fue variando la frecuencia para así encontrar los diferentes nodos, el procedimiento se realizó hasta llegar a 4 nodos, al encontrar los nodos se procedía a medir la longitud y la amplitud de estos.

4. DATOS Y RESULTADOS

Los datos de la cuerda utilizada fueron:

Longitud= 4.84 m Masa= 2.9 g

Con estos datos pudimos hallar la densidad lineal (µ):

μ=m (kg )L (m )

(9)

μ=2.9×10−3 kg

4.84m

μ≈6×10−4 kgm

Se realizaron cálculos con 3 masa diferentes, por esto la cuerda tendrá tensiones diferentes en cada situación para hallar la tensión utilizaremos esta ecuación:

t=mg (10)

t1= 1.66 N

t2= 2.16 N

t3= 3.14 N

Y para hallar la velocidad de propagación:

V T=√Τμ (11)

Vt1≈52.60m/s

Vt2≈60.00m/s

Vt3≈72.34m/s

La velocidad de propagación la usaremos al momento de hallar la frecuencia teórica y nos ayudara a comprobar la eficiencia del proceso.

Tabla. No1. Datos obtenidos en el laboratorio.

Después de tener la tabla con la frecuencia experimental procedemos a hallar la frecuencia teórica, esta será igual a:

f=n ∙ V2 L

(12)

Donde: n es el número de nodos, V es la velocidad de propagación de la onda y L es igual a la longitud de la onda.

Resultados de la frecuencia con la primera masa:

4

m(g) n L(cm) A(cm) F(hz)170.4 1 155 4.5 17.5

2 99 3 26.63 70 0.8 37.34 58 0.5 46.4

220.4 1 150 5 20.42 102 2 29.23 76.5 1 38.74 62 0.8 48.9

320.4 1 152 2.1 22.72 102 1.8 34.93 77.5 1.1 47.34 61 0.7 61.9

Cuarto semestre de Ingeniería

f 1=52.60m / s2(1.55m)

=16.96 s−1

f 2=52.60m / s2(0.99m)

=26.56 s−1

f 3=52.60m /s2(0.70m)

=37.57 s−1

f 4=52.60

ms

2 (0.58m )=45.34 s−1

Resultados de la frecuencia con la segunda masa:

f 1=60m /s2(1.50m)

=20.00 s−1

f 2=60m /s2(1.02m)

=29.41 s−1

f 3=60m /s

2(0.765m)=39.21 s−1

f 4=60m / s2(0.62m)

=48.38 s−1

Resultados de la frecuencia con la tercera masa:

f 1=72.34m /s2 (1.52m)

=23.79 s−1

f 2=72.34m /s2 (1.02m)

=35.46 s−1

f 3=72.34m /s2(0.775m)

=46.67 s−1

f 4=72.34m / s2(0.61m)

=59.29 s−1

Porcentaje de error para las frecuencias:

% error=(v t−v e )v t

∗100

(13)

Para las frecuencias con la primera masa:

%E f 1=(16.96−17.5 )16.96

∗100=3.18%

%E f 2=(26.56−26.6 )

26.56∗100=0.15%

%E f 3=(37.57−37.3 )

37.57∗100=0.72%

%E f 4=(45.34−46.4 )

45.34∗100=2.33%

Para las frecuencias con la segunda masa:

%E f 1=(20−20.4 )

20∗100=2.00%

%E f 2=(29.41−29.2 )29.41

∗100=0.71%

%E f 3=(39.21−38.7 )

39.21∗100=1.30%

%E f 4=(48.38−48.9 )

48.38∗100=1.07%

Para las frecuencias con la tercera masa:

%E f 1=(23.79−22.7 )23.79

∗100=4.58%

%E f 2=(35.46−34.9 )35.46

∗100=1.57%

%E f 3=(46.67−47.3 )

46.67∗100=1.34%

%E f 4=(59.29−61.9 )59.29

∗100=4.40%

Así obtenemos el porcentaje de error promedio de:

%Epro=sumade los porcentajes

numerototal de porcentajes (14)

%Epro = 1.94%

5. ANÁLISIS DE RESULTADO

5

C. Botello, J. Rivera.

40 60 80 100 120 140 160 18005

101520253035404550

Grafica No.1. Longitud de onda λ Vs Frecuencia, para la masa 1.

40 60 80 100 120 140 1600

10

20

30

40

50

60

Grafica No.2. Longitud de onda λ Vs Frecuencia, para la masa 1.

40 60 80 100 120 140 1600

10203040506070

Grafica No.3. Longitud de onda λ Vs Frecuencia, para la masa 1.

En las gráficas 1, 2 y 3 se observa una curva descendente, de la cual se puede inferir que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda. Puesto que a mayor frecuencia, menor longitud de onda, si se estableciese una relación lineal entre estas dos variables se obtendría que la pendiente o la relación entre ambas seria la velocidad de propagación de la onda , al realizar los cálculos matemáticos al emplear la ecuación (4), evidenciamos que a mayor frecuencia menos velocidad, al obtener valores tan bajos en la longitud de onda en el momento

de la conversión de cm a m los valores reportados de la velocidad se acercan en gran medida acero.

Por otro lado podemos observar que los resultados de las frecuencias teóricas con las frecuencias experimentales fueron muy cercanos dándonos porcentajes de error en un rango aceptable, siendo el mayor de 4.58% y el menor de 0.15% y así un promedio de error experimental total de 1.94% .Con esto podemos deducir que la las mediciones y cálculos hechos fueron acertados dándonos una práctica de laboratorio satisfactoria.

6. CONCLUSIONES  

Podemos concluir que la longitud de onda disminuye si la frecuencia aumenta, ya que como vimos anteriormente en la gráfica estas tienen un comportamiento decreciente, por tanto son inversamente proporcionales.

Si hay una mayor tensión sobre la cuerda, la longitud de onda aumentara, ya que estas tienen un comportamiento directamente proporcional.

Los nodos son puntos de la cuerda donde no se trasmite energía en estos, en cambio en los antinodos son los puntos donde la amplitud es máxima.

La velocidad de propagación de una onda depende de la tensión que hay en la cuerda por tanto a un aumento de tensión en una misma cuerda, su velocidad será mayor.

Al aumentar la frecuencia, la longitud de onda disminuye porque ante el aumento de la frecuencia empiezan a parecer una mayor cantidad de nodos y antinodos.

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Cuarto semestre de Ingeniería

7. BIBLIOGRAFÍA [1].http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/CursoAB2007/OndasEstacionarias06.pdf (citado el 13 de marzo de 2015).

[2].http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Videos/OndasEstacionarias/index.htm (citado el 13 de marzo de 2015).

[3].https://es.scribd.com/doc/19821045/Ondas-Estacionarias-en-Una-Cuerda-Tensa (citado el 13 de marzo de 2015).

[4]. Catal´a J., F´ısica General, Ed. Gerri S.A., Valencia (1966), 4a edici´on, cap.9, pg. 124.

[5]. M. Alonso, O. Rojo, Campos y Ondas, Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware, 1987, p.216- 217.

[6]. S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Cap. 4, Buenos Aires - Prentice-Hall, 103, 165, 2001.

[7]. M. Alonso, O. Rojo, Campos y Ondas, Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware, 1987, p.216- 217.

[8]. Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, Halliday, Resnick y Krane, 4ta. Ed.,

Vol. II, Cía. Editorial Continental, S.A. México, 65, 76, (1985).

[9]. Mach, E. The Science ofMechanics: A Critica! And Historical Account ofits Development. The Open Court Publishing Company. La Salle Jllinois, 23, 1960.

[10]. American Association of physicis Teachers (1998). Goals of introductory physicis laboratory. American Journal of Physics, 66, 6, 453.

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