UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Vibraciones Mecánicas

Laboratorio #3/péndulo simple

Nombre CédulaCarlos

Bolaños8-874-

982Pacífico Franco

9-741-2307

Edwin Carrión

8-875-1162

Objetivo: Determinar los parámetros principales de un sistema de péndulo simple bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático. Comparar resultados teóricos y experimentales.

Materiales:

1. Computadora 2. Matlab-Simulink 3. Hilo de monofilamento 4. esfera de acero5. marco soporte6. Balanza7. cinta métrica8. cronómetro

Contenido:

Péndulo simple

9. Analice de forma experimental y analítica un péndulo simple. 1. Escoja una esfera de acero, mida el diámetro de la misma, determine

su masa y su momento masa de inercia respecto a su centro de gravedad.

2. Fije un extremo del hilo monofilamento al marco, fije el otro extremo a la esfera de acero. Mida una longitud de 20 cm entre el extremo fijo y el centro de masa de la esfera de acero.

3. Desplace la esfera de acero de la posición de equilibrio estático y libere. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio.

4. Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilación a partir del periodo natural medido.

5. Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa puntual.

6. Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 6.4.3.

7. Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento.

8. Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa esférica.

9. Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 6.4.3.

10. Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento.

11. Graficar la posición, la velocidad y la aceleración.

12. Repita del punto 6.4.2 al 6.4.12 para las longitudes del hilo monofilamento de 40 cm y 60 cm.

10. Resultados.

Respuesta de un Péndulo SimpleMasa puntual Masa esférica

L1(cm) = 20

m(g) = 510.7 m(g) = 510.7

I(kg m2 ¿=¿ 0 I(kg m2 ¿=¿ 0.4mr2

τ (medida )=¿ 0.82 s τ (medida )=¿0.82 s

τ (calculada )=¿ 0.89 s τ (calculada )=0.9083 sω (medida)=¿ 7.66 rad/s ω (medida)=¿ 7.66 rad/s

ω ( calculada )=¿7 rad/s ω ( calculada )=6 .9176 rad/s

L2(cm) = 40

I(kg m2 ¿=¿ 0 I(kg m2 ¿=¿ 0.4mr2

τ (medida )=¿1.24 s τ (medida )=¿1.24 s

τ (calculada )=¿1.28 s τ (calculada )=¿1.2727 sω (medida)=¿ 5.07 rad/s ω (medida)=¿ 5.07 rad/sω ( calculada )=¿ 4.89 rad/s ω ( calculada )=¿4.9369 rad/s

L3(cm) = 60

I(kg m2 ¿=¿ 0 I(kg m2 ¿=¿ 0.4mr2

τ (medida )=¿1.4 s τ (medida )=¿1.4 sτ (calculada )=¿1.55 s τ (calculada )=¿ 1.5561 sω (medida)=¿ 4.48 rad/s ω (medida)=¿ 4.48 rad/sω ( calculada )=¿4.04 rad/s ω ( calculada )=¿4.0379 rad/s

Desarrollo del péndulo simple para masa puntual

Modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa puntual:

∑Mo=Io θ̈

−mgLsenθ=( I+mL2 ) θ̈ ; I=0−mgLsenθ=(mL2 ) θ̈θ̈+ g

Lθ=0

11. Para L1= 20 cm

w=√ gL=√ 9.81ms20.20m

=7 seg

f= w2π

=7 seg2π

=1.11Hz

τ=1f= 11.11

=0.89 seg

12. Para L1= 40 cm

w=√ gL=√ 9.81ms20.41m

=4.95 seg

f= w2π

=4.89 seg2 π

=0.78Hz

τ=1f= 10.778

=1.26 seg

13. Para L1= 60 cm

w=√ gL=√ 9.81ms20.60m

=4.04 seg

f= w2π

=4.04 seg2π

=0.64Hz

τ=1f= 11.11

=1.55 seg

Desarrollo del péndulo simple para masa esférica

∑M o=I o θ̈

−mgL senθ=I o θ̈

I o=I+mL2=25mR2+m L2

−mgL senθ=m( 25 R2+L2) θ̈gLsenθ+( 25 R2+L2) θ̈=0

Para linealizar la ecuación→cosθ ≈1; senθ≈θ

gLθ+(0.4 R2+L2 ) θ̈=0

Asumo→θ=C est ;θ̇=sCest ; θ̈=s2C est

gLCest+(0.4 R2+L2 ) s2Cest=0

C est (gL+(0.4 R2+L2 ) s2)=0

C est≠0

gL+(0.4 R2+L2 ) s2=0

s1,2=±√ −gL0.4 R2+L2

=± j √ gL0.4 R2+L2

=± jωn

14. Para L1= 20 cm

ωn=√ (9.81m /s2) (0.2m )0.4 (0.05m )2+ (0.2m )2

=6.91 rads

f n=ωn

2π=6.9176

2 π=1.101Hz

τ n=1f n

= 11.10

= 11.101

=0.908 s

15. Para L2= 40 cm

ωn=√ (9.81 ) (0.4 )0.4 (0.05 )2+(0.4 )2

=4.93 rads

f n=ωn

2π=4.942π

=0.785Hz

τ n=1f n

= 10.7857

=1.272 s

16. Para L3= 60 cm

ωn=√ (9.81 ) (0.6 )0.4 (0.05 )2+(0.6 )2

=4.03 rads

f n=ωn

2π=4.942π

=0.646Hz

τ n=1f n

= 10.7857

=1.55 s

17. Preguntas

¿Qué efecto tiene la longitud de la cuerda sobre la frecuencia natural del sistema?

La longitud de la cuerda es proporcional al periodo, esto quiere decir si la cuerda aumenta el periodo también. Lo que implica que la frecuencia natural presenta una disminución. Por lo que la relación frecuencia y cuerda es inversamente proporcional.

¿Cuál modelo matemático predice mejor resultado? Explique.

El modelo matemático del péndulo de simple para masa esférica es más preciso que el de péndulo simple para masa puntual. Debido a que una masa puntual a la hora de hacer un estudio se toma como algo ideal, esto quiere decir que no se toman en cuenta sus dimensiones. Por este motivo este método carece de

precisión. El otro modelo de masa esférica si toma en cuenta las dimensiones y por esto tiende hacer mas especifico.

18. Simulink, SimMechanics 1. Utilizando Simulink y SimMechanics grafique la respuesta del

péndulo simple, como si fuera una masa puntual o como si fuera una esfera y compare con resultados obtenidos de forma experimental.

2. Presente diagramas de bloques.