Física II

Movimiento Armónico Simple

FIPA - ESCUELA PROFESIONAL DE

INGENIERÍA DE ALIMENTOS

“UNIVERSIDAD DEL CALLAO”

2013 – B

91 G

Bautista Huaytalla Marcos. A

Cavagnaro Jiménez Pierre. A

Marín Morales Giuliana Ochoa Trillo Rusbel. L

Integrantes:

INTRODUCCIÓN

Un tipo particular de fuerza que actúa sobre un cuerpo adherido a un resorte que presenta frecuentemente en la práctica, es la fuerza elástica que se origina siempre que se deforme el resorte, cuando desplazado de su posición de equilibrio se observa que efectúa oscilaciones alrededor de su posición de equilibrio; las ecuaciones de movimiento que describe la dinámica del cuerpo es de segundo orden cuya solución es una función senoidal, que en algún os casos se les denomina “armónicos”, por ello a este tipo de movimiento vibratorio se llama “movimiento armónico”.

OBJETIVOS

Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del sistema.

Verifica las ecuaciones dinámicas y cinemáticas que rigen el movimiento armónico para el sistema masa-resorte.

I) MARCO TEÓRICO

1.- MOVIMIENTO OSCILATORIO.

Los fenómenos oscilatorios o vibratorios se presentan en física con mucha frecuencia. Ejemplos de movimientos oscilatorios son los péndulos de los relojes, que oscilan de izquierda a derecha, o los objetos colgados de un muelle, que oscilan arriba y abajo, o incluso otros como las vibraciones de las moléculas en el interior de los cuerpos.

En todos los casos, la partícula material realiza un movimiento de vaivén, con una cierta amplitud, en torno a un punto que tomamos como origen llamado posición de equilibrio. El movimiento oscilatorio cuyo origen se encuentra en el punto medio de su trayectoria (lo que implica que las amplitudes a ambos lados del origen son iguales) se conoce como movimiento vibratorio.

En la naturaleza se observa también oscilaciones no mecánicas como pueden ser los cambios de temperatura a lo largo del día, que oscilan en torno al valor medio. En este caso no oscila una partícula sino el valor de una cierta magnitud física, como la temperatura. Estas oscilaciones no mecánicas se visualizan con más dificultad que las oscilaciones mecánicas, por lo que utilizaremos en general un modelo mecánico.

Cuando una partícula realiza un movimiento oscilatorio, las magnitudes que lo caracterizan (posición, velocidad, aceleración, etc.) se repiten a intervalos regulares de tiempo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio es periódico y al tiempo de repetición se le llama período (T). Hemos de tener en cuenta que hay movimientos periódicos como el que realiza la Luna alrededor de la Tierra o el de la Tierra alrededor del Sol, que no son oscilatorios porque la partícula no toma valores máximos y mínimos en torno a la posición de equilibrio.

Se llama oscilación o vibración completa al movimiento realizado durante un período, es decir, una ida y una vuelta, tal y como se indica en la figura:

Tres ejemplos de movimiento vibratorio

Una magnitud importante en un movimiento oscilatorio periódico es su frecuencia, que se define como el número de oscilaciones que realiza la

partícula en la unidad de tiempo. Se mide en s-1 o hertzios (Hz) en honor al físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894).

Entre los movimientos oscilatorios periódicos, el más importante y al mismo tiempo más habitual es el movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.). Un movimiento es armónico cuando la función que lo representa es armónica como es el seno o el coseno. Podemos dar una primera definición de m.a.s. como un movimiento periódico, vibratorio y que puede ser representado por una función armónica.

2.- CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

A] ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Para deducir la ecuación que rige el m.a.s. empleamos la relación que existe entre él y el movimiento circular uniforme que también es periódico.

El m.a.s. de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme.

Tomamos el punto O’ como origen del sistema de referencia. Supongamos que la partícula que recorre la circunferencia se encuentra en el punto O. Para t = 0 su proyección será el centro de la circunferencia O’. Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las sucesivas posiciones 1, 2, 3, ... en el diámetro se obtienen las posiciones correspondientes 1’, 2’, 3’,... Si observas la figura comprobarás que cuando se ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de período, y el movimiento vibratorio ha recorrido un radio, que es el valor máximo del desplazamiento. Cuando hemos recorrido la circunferencia completa, el

El m.a.s. se obtiene proyectando un movimiento circular uniforme.

tiempo transcurrido es de un período, y el movimiento vibratorio ha realizado una vibración completa. A partir de ese instante, los dos movimientos se repiten.

En la figura anterior vemos que a un desplazamiento angular t, realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un desplazamiento x en el diámetro, tal que:

xt = A sen t

En la figura siguiente está representado el diagrama x-t de este movimiento. En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de la posición P (se ha recorrido previamente un ángulo ), el valor de x será:

El significado físico de las magnitudes que intervienen en la ecuación anterior es el siguiente:

Elongación (x). Es la distancia que en un instante separa al punto vibrante de la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o izquierda.

Amplitud (A). Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Fase en cualquier instante (t +). Nos da el estado de movimiento en

ese instante. Fase inicial (). Su valor determina el estado de vibración para t = 0. En

ese caso, x = A sen t.

Ecuación general del m.a.s x t=Asen (ωt+ϕ )

El m.a.s. es una proyección del movimiento circular uniforme

Gráfica x-t del m.a.s.

Pulsación o frecuencia angular (). Representa la velocidad angular constante del movimiento hipotético que hemos proyectado.

Período (T). Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa.

Frecuencia (f). Es el número de vibraciones realizadas en 1 s. Representa la rapidez con que tienen lugar la vibraciones. La pulsación, el período y la frecuencia se encuentran relacionados por las expresiones:

f= 1T

; T=1f

; ω= 2πf

La elección de la función seno en la ecuación del m.a.s. significa suponer que en el instante inicial (t = 0) la partícula se encuentra en el punto de equilibrio, siendo la fase inicial = 0 y la ecuación: xt = A sen t. En el caso de que en el instante inicial la partícula se encuentre en el punto de elongación máxima

positiva, =

π2 rad siendo

x t=A sen (ωt+ π2

)= A cos ω t

El cuadro siguiente resume todas las situaciones que pueden presentarse.

Origen de tiempos Fase inicial (rad) Ecuación del m.a.s.

t=0

= 0 x = A sen t

t=0

= /2x = A sen (t + /2)

x = A cos t

t=0

= x = A sen (t + )

x = A sen t

t=0

= 3/2x = A sen (t + 3/2)

x = A cos t

B] ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD

En un m.a.s. la dirección de la velocidad es la de la recta en la que tiene lugar el movimiento y su sentido es el mismo que el de éste. Su valor se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación x = A sen t:

v t=dxdt

=Aωcosωt

La gráfica representa la velocidad en función del tiempo. También podemos expresar la velocidad en función de la posición:

v t=Aω√1−sen2ωt=ω√A2−A2 sen2ωt=ω√A2−x2

Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que: sen2t + cos2t = 1

Consecuencias:

La velocidad del m.a.s. es una función en la que sus valores se repiten periódicamente.

El valor de la velocidad depende de la posición de la partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los

extremos, lo cual resulta lógico ya que en dichos puntos se invierte el sentido del movimiento y la velocidad pasa de ser positiva a negativa, o viceversa.

Diagrama v-t del m.a.s.

La velocidad y la aceleración dependen de la elongación.

C] ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN

La aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo:

v t=Aωcosωt

a t=dvdt

=−Aω2senωt ; como x= Asenω t ⇒ at=−ω2 x

La gráfica representa la aceleración en función del tiempo.

Consecuencias:

La aceleración del m.a.s. es una función en la que sus valores se repiten periódicamente.

El valor de la aceleración depende de la posición de la partícula, es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.

Es nula en el centro y máxima en los extremos.

El m.a.s. es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario.

En la tabla siguiente se indican los valores más representativos para la posición, la velocidad y la aceleración en un m.a.s. en el que la fase inicial es nula. Así mismo, se representan simultáneamente las variaciones de dichas magnitudes en función del tiempo.

Diagrama a-t del m.a.s.

El movimiento vibratorio la aceleración depende del desplazamiento.

3.- DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. EL OSCILADOR ARMÓNICO.

Al colgar un cuerpo de masa m de un muelle o resorte, de masa despreciable y longitud l0, se estira hasta una longitud l. El alargamiento que experimenta es l = l – l0.

Las fuerzas que actúan sobre el resorte son el peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la fuerza recuperadora Fr del muelle que

equilibra a la anterior, cumpliéndose que:

Fuerza deformadora = fuerza recuperadora

P = Fr

Según la ley de Hooke, el alargamiento producido (l) es proporcional al peso: P = k l pudiéndose obtener a partir de esta expresión la constante

recuperadora k=mg

Δl .

ELONGACIÓN VELOCIDAD ACELERACIÓN0 0 Aω (máxima) 0T4 A (máxima) 0 -A2 (máxima)T2 0 -A (máxima) 0

3T4 -A (máxima) 0 A2 (máxima)

T 0 A (máxima) 0

Al aplicar verticalmente hacia abajo una fuerza externa Fext, el muelle se deforma una cantidad adicional x siendo ahora que fuerza deformadora P + Fext = k l + k x , cumpliéndose de

nuevo que P + Fext = Fr

Al soltar el cuerpo, como la fuerza recuperadora es mayor que el peso, comienza a desplazarse hacia la posición de equilibrio con una fuerza resultante F que es la que produce el movimiento.

F = Fr - P = P + Fext - P = Fext = k x

Y teniendo en cuenta que la fuerza provoca siempre una disminución del desplazamiento, F y x tienen sentido contrario:

F = k x

Expresión que permite conocer la fuerza máxima al iniciarse el movimiento. En general para que una fuerza produzca un m.a.s. ha de ser, en todo instante, proporcional al desplazamiento del móvil y de sentido contrario.

Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento armónico simple es a = - x tenemos:

F=−kxF=ma=m(−ω2 x ) } ⇒ k =mω2

Si sustituimos por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:

k=m 4 π 2

T 2 ⇒ T=2π √mk

Se observa que el período con el que vibra el resorte no depende de la longitud del muelle en reposo, ni de la amplitud de las oscilaciones.

Conclusiones:

La fuerza elástica que produce el movimiento armónico es F=−kx .

El valor de la constante resulta ser k =

FdeformadoraΔl

El valor de la frecuencia depende de la constante recuperadora:

Al soltar el cuerpo, la fuerza recuperadora tiende a llevarlo a la

k =mω2

ω=2πf } de donde f = 12 π √ km

Este análisis del movimiento permite dar la siguiente definición: El movimiento armónico es producido por una fuerza central de dirección constante y proporcional a la elongación.

4.- EL PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple o matemático está constituido idealmente por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible, de masa despreciable, capaz de oscilar libremente en el vacío. Al separar el péndulo de la vertical un ángulo se pone a oscilar en torno a la posición central.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso y la tensión de la cuerda. El peso puede descomponerse en sus dos componentes rectangulares:

Una fuerza normal a la trayectoria F’ = mg cos , en la dirección del hilo, que equilibra a la tensión de la cuerda.

Una fuerza tangencial a la trayectoria F = mg sen , que es la que origina el movimiento oscilante, pudiendo escribirse que:

F=−mg sen ϕ ; siendo ϕ= x

l

Para indicar que dicha fuerza es de sentido contrario al de la elongación, ya que al dirigirse siempre hacia la posición de equilibrio, O, tiende a disminuir el valor de .El movimiento no es vibratorio, pues la fuerza recuperadora, aunque tiene

sentido contrario al desplazamiento, es proporcional al seno del desplazamiento y no al desplazamiento. Sin embargo, si suponemos oscilaciones de pequeña amplitud, en las que el valor del ángulo sea inferior a 10º (ver tabla), puede sustituirse el valor del seno por el valor del

ángulo expresado en radianes: sen = (rad) con lo que

tendríamos: F=−mgϕ=−mgx

l=−kx

Siendo la constante recuperadora es k=mg

l

Según esto, la fuerza que provoca el movimiento del péndulo es una fuerza variable, atractiva hacia un punto fijo (posición de equilibrio), directamente proporcional a la elongación y de signo contrario a ella.

Teniendo en cuenta que:

Que es la

expresión matemática del período de un péndulo simple en función de su longitud y de la aceleración de la gravedad en el lugar de la experiencia, siempre que

se trate de pequeñas oscilaciones.

5.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO

Recibe el nombre de oscilador mecánico todo sistema material que esté animado de movimiento armónico. La energía mecánica que posee es cinética porque hay movimiento y potencial porque el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa, siendo la energía potencial una característica de este tipo de fuerzas como veremos más adelante.

A] Energía cinética

Si tenemos en cuenta que la energía cinética es Ec=

12mv2

, y que la

velocidad vale v=Aω cos ω t, se deduce:

Ec=12mv2=1

2mA 2ω2cos2ωt=1

2kA 2cos2ωt=1

2kA 2(1−sen2ωt )=1

2k (A2−x2)

La energía cinética:

Es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Ec=12k ( A2−x2 )

Depende de la posición. Tiene su valor máximo en el centro de la trayectoria, cuando x = 0.

Es periódica.

B] Energía potencial

La energía potencial elástica almacenada en el oscilador, para una elongación determinada x, viene dada por:

La energía potencial:

Es proporcional al cuadrado de la amplitud. Depende de la posición. Tiene su valor máximo en los extremos. Es periódica.

C] Energía mecánica

Es la suma de las energías cinética y potencial:

Em = Ec + Ep =

12k ( A2−x2 )+ 1

2k x2=1

2 k A2

La energía mecánica total de un oscilador armónico simple permanece constante a lo largo de su movimiento y es proporcional al cuadrado de su amplitud. Esta energía coincide con la energía potencial cuando x = A y con la energía cinética cuando x = 0. En los demás puntos la energía mecánica del oscilador será de los dos tipos, transformándose uno en otro en el transcurso del movimiento.

Las representaciones gráficas de las energías cinética y potencial en función del desplazamiento ponen de manifiesto que ambas energías son siempre

positivas y que su suma en todo momento es igual a

12k A2

.

Em=12k A2

II) EQUIPOS Y MATERIALES

N° DESCRIPCION CODIGO CANTIDAD

1 Computadora personal 12 Programa Data Studio instalado 13 Interface ScienceWorkshop 750 CI-6450 1

4 Sensor de Movimiento CI-6742 1

5 Resorte de Metal 1

6 Regla Milimétrica CI-6691 1

7 Balanza 18 Varilla Metálica de 45 cm ME-8736 1

9 Base de Varilla largo ME-8735 1

10 Masa de 100 g 7

Transformaciones energéticas en el movimiento del péndulo simple.

Variación de la energía con la elongación

COMPUTADORA PERSONAL

INTERFACE SCIENCE WORKSHOP 750

SENSOR DE MOVIMIENTO

RESORTE DE METAL

REGLA MILIMETRADA

BALANZA

PROGRAMA DATA STUDIO INSTALADO

BASE DE VARILLA LARGO

MASA DE 100g

III) PROCEDIMIENTOS Y ACTIVIDADES

a) Verificar la conexión y encendido de la interface. b) Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “crear experimento.”c) Seleccionar el “sensor de movimiento” de la lista de sensores y efectuar

la conexión usando los cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio.

d) Efectué la calibración para el sensor de movimiento indicando una frecuencia de muestreo de a 30.

e) Genere un gráfico para cada uno de los parámetros medidos por el sensor de movimiento (posición, velocidad y aceleración).

f) Realice el montaje de accesorios y sensores tal como se observa en la figura.

Primera Actividad: determinación de la constante de Elasticidad

a) Determine la posición de elongación natural del resorte.b) Coloque diferentes masas en la porta pesas, el cual deberá ser pesado

previamente.c) Determine la elongación en cada caso.d) Registre sus datos en la tabla.e) Repita el proceso para cada masa.f) Grafique peso vs. Elongación usando Data Studio.g) Determine la pendiente y calcule la constante elástica del resorte k.

Tabla: Datos registrados

Masa (kg) 50 g 100 g 150 g 200 g 250 g 300 g 350 g

Elongaciones (m) 0.007 0.014 0.021 0.029 0.036 0.04

3 0.050

Grafico para hallar la constante elástica

Grafico 1

Segunda actividad: determinación del periodo y la frecuencia de oscilación

a) Selecciones una masa determinada, colóquela en el porta pesas de modo que el sistema permita oscilaciones en una sola dirección.

b) Determine la posición de equilibrio, luego estire ligeramente el resorte y déjelo oscilar, continuación pulse el botón “inicio” para registrar las lecturas de posición, velocidad y aceleración respecto al tiempo.

c) Configure la Calculadora para graficar peso versus elongación y no peso versus posición.

d) Finalizada la toma de datos después de cinco (5) segundos y haciendo uso de la “herramienta inteligente” sobre las gráficas generadas calcule lo siguiente: amplitud de la oscilación, periodo de la oscilación y frecuencia de oscilación.

Gráficos de Movimiento Armónico Simple

Grafico 1

Grafico 2

IV) RESULTADOS Y CALCULOS

Primera Actividad

Masa (kg) 0,05 kg

0,1 kg

0,15 kg

0,2 kg

0,25 g

0,3 kg

0,35 kg

0,4 kg

0,45 kg

0,5

Elongaciones (m)

0.029 0.084 0.148 0.212 0.274 0.337

0.402 0.464 0.519 0.585

F = m.a F = x.k

Fuerza (N) Deformación (m)

F = 0.05 x 9.8 0.490 0,029

F = 0.10 x 9.8 0.980 0.084

F = 0.15 x 9.8 1.470 0.148

F = 0.20 x 9.8 1.960 0.212

F = 0.25 x 9.8 2.450 0.274

F = 0.30 x 9.8 2.940 0.337

F = 0.35 x 9.8 3.430 0.402

F = 0.40 x 9.8 3.920 0.464

F = 0.45 x 9.8 4.41 0.519

F = 0. 5 x 9.8 4.9 0.585

Constante elástica en el grafico es la m (pendiente)

k = m (pendiente) = 67.900082

K = 70

(Resultado Experimental)

(Resultado Teórico)

Segunda Actividad

Amplitud de la Oscilación(A) = 0.826 Periodo de la Oscilación (T) = 0.8580 Frecuencia de Oscilación (f) = 1.168

V) CONCLUSIONES

Al analizar el periodo y la frecuencia de oscilacion nos dimos con la sorpresa que son infinitas y mientras corra el tiempo las oscilaciones seguirán.

Llegamos a concluir que si el sensor de movimiento no estaba abajo del resorte con las pesas no se podía registrar ya que sería unas oscilaciones distorsionadas en todo sentido y no podríamos encontrar su frecuencia y amplitud.

VI) BIBLIOGRAFÍA

Sears, Francis W.; Zemansky, Young, Freedman (2004). Física universitaria, vol. I, 11ª edición, Pearson, pp. 484-485. ISBN 970-26-0511-3.

www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/mecanica.pdf http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mcu2.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/

oscila1.htm http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas2/mas2.htm http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo www.unalmed.edu.co/.../capitulo_4_b_leyes_newton_aplicaciones_II.pdf

NASA. «Mass Measurements aboard Space Station Skylab». www.utchvirtual.net/recursos.../movimiento-armonico-simple.pdf http://www.xtec.es/centres/a8019411/caixa/movhar_es.htm http://html.rincondelvago.com/movimiento-armonico-

simple_3.html

CUESTIONARIO

1. ¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador como amplitud (A) y frecuencia (f) cuando su velocidad es máxima?

En cualquier movimiento, si la velocidad es máxima es porque el cuerpo no acelera más, por lo tanto la aceleración es nula.En el oscilador, la velocidad es máxima cuando pasa por la posición de equilibrio. (Centro de oscilación)Matemáticamente:

x = A.cos(wt); derivamos:

v = dx/dt = - A.w.sen(wt); derivamos nuevamente:

a = dv/dt = - A.w^2.cos(wt) = - w^2.x

De acá que cuando x = 0, a = 0

2. ¿Pueden tener el mismo sentido la aceleración y el desplazamiento en un movimiento armónico simple? ¿La aceleración y la velocidad? ¿La velocidad y desplazamiento?

Por definición, en el movimiento armónico simple, la aceleración tiene la misma dirección que el desplazamiento, pero siempre con el sentido opuesto. Esto es consecuencia de que en el sistema de referencia estándar; cuando el cuerpo se encuentra en la posición correspondiente al desplazamiento cero, también la aceleración es cero y la velocidad es máxima; a partir de este punto, si la velocidad es positiva el desplazamiento comenzara a crecer positivamente con el tiempo; pero en este proceso, ira apareciendo una fuerza en dirección opuesta al desplazamiento y a la velocidad, que ira frenando el cuerpo, hasta alcanzar una velocidad igual a cero, un desplazamiento positivo máximo y una aceleración negativa máxima en valor absoluto. Después la misma fuerza que freno al cuerpo, comenzara a acelerarlo negativamente, de ese modo se generara una velocidad negativa que ira aumentando en valor absoluto, hasta llegar al desplazamiento cero, donde tendrá la velocidad máxima negativa y de nuevo una aceleración igual a cero.Como veras, fue necesario que la fuerza y aceleración tuviera el signo contrario que el desplazamiento, para que el cuerpo que pasa por el desplazamiento cero, pudiera regresar de nuevo al desplazamiento cero.

3. ¿De qué forma se puede calcular el coeficiente de amortiguamiento? y ¿Qué tiempo transcurriría para que la masa vuelva a su estado de reposo?

Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de

fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que

es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está

amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el

amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino

que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este

regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar dos

casos distintos: el sobre amortiguamiento y el movimiento críticamente

amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este valor crítico el

sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al

movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye

exponencialmente con el tiempo. Para ilustrar este tipo de movimiento

consideremos una masa m unida al

extremo de un muelle elástico de

constante k, y a un amortiguador cuya

fuerza de fricción es proporcional a la

velocidad de la masa m en cada

instante.

4. ¿Cómo variaría el coeficiente de amortiguamiento si la amplitud desciende rápidamente con el transcurrir del tiempo? y ¿Qué movimiento se realizaría?

La característica esencial de la oscilación amortiguada es que la amplitud de

la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía

del oscilador también disminuye. Si el amortiguamiento del sistema es grande,

pueden darse las situaciones de sistema críticamente amortiguado y sistema

sobre amortiguado. En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se

aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. El retorno más rápido a la

posición de equilibrio se produce en el

amortiguamiento crítico. 

5. ¿Qué es el decremento logarítmico?, explique

El decremento logarítmico representa la velocidad con la cual la amplitud de unas vibraciones amortiguadas decrece. Esto es definido como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas. Esto es obtenido de la razón (división) de las amplitudes consecutivas midiendo un ciclo aparte para un sistema Sub-Amortiguado esto nos da:

Pero t2 = t1 + td donde td = 2p/wd que es el periodo de vibraciones amortiguadas sustituyendo esto en las ecuaciones de arriba se obtiene:

He aquí como el decremento logarítmico d puede ser obtenido.

Para pequeño amortiguamiento puede ser aproximado:

Y graficando las dos funciones anteriores d con respecto a la razón de amortiguamiento z puede verse que valores para z £ 0.3 son adecuados para hacer la aproximación con la última ecuación

Debido a que la razón de amortiguamiento y el decremento logarítmico son adimensionales teniendo uno de los dos puede obtenerse el otro.

Si el amortiguamiento en el sistema no es conocido podemos determinarlo

experimentalmente midiendo cualquier desplazamiento consecutivo x1 y x2, nosotros obtenemos d y usando las dos ecuaciones anteriores sabiendo las limitaciones de la segunda puede obtenerse la razón de amortiguamiento z.

Finalmente puede obtenerse el decremento logarítmico mediante dos desplazamientos separados por cualquier número completo de ciclos y la ecuación final se transforma en:

6. ¿En qué caso la gráfica posición vs. velocidad puede mostrar una circunferencia?

La grafica posición versus velocidad muestra una circunferencia cuando se unen los dos diagramas de posición versus tiempo y el diagrama de velocidad versus tiempo, es decir el segundo diagrama se arrastra sobre la abscisa t, del grafico posición versus tiempo y así aparecerá la circunferencia, podemos observar en la siguiente figura:

7. ¿El valor de la frecuencia es igual al teórico solo si se toma en cuenta las masas del resorte? Explique

En la formula la frecuencia, como vemos depende de la masa solamente porque los demás son constantes; pero estas constantes influyen en el resultado por eso no será igual

8. ¿Cuál es la diferencia entre un movimiento oscilatorio y un movimiento periódico?

El movimiento oscilatorio es aquel recorre ciclos o revoluciones a través de una circunferencia.

Ejemplos:

Una llanta de un carro en movimiento El rotor de un helicóptero Entre otros.

El periódico es una característica del mismo. Es solo que se refiere puntualmente al hecho de que ese movimiento (el oscilatorio) sea constante y sin variaciones.

Ejemplos:

El movimiento de rotación de la tierra El movimiento de traslación de los astros Entre u otros

9. ¿Se cumple el principio de conservación de la energía en el sistema masa-resorte? Explique

En una grafica Epx vs. X se puede ver que para una energía E, al aumentar la Ep disminuye la energía cinética y viceversa, de manera que E es constante.

En X=0 la partícula alcanza energía cinética máxima y la fuerza de recuperación es 0 ya que a=0 Y en X=a energía potencial es máxima y F también ya que en ese punto la aceleración es máxima y esto hace que la partícula retorne y hace que oscile.

10. ¿Puede establecerse una analogía entre las ecuaciones del movimiento armónico simple y las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado?, Explique

Si puede establecerse una analogía entre algunas de las ecuaciones de movimiento armónico simple y las de movimiento rectilíneo uniformemente variado, ya que en ambos casos podemos encontrar ecuaciones de aceleración como también de velocidad y distancia que dependen en parte de las mismas variables. Por ejemplo en ambos casos la aceleración depende de la distancia y de la masa, así como la velocidad depende del tiempo.

ANEXOS

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Como aplicación de las leyes de Newton vamos a presentar un ejemplo

importante de movimiento oscilatorio.

Oscilación de una masa suspendida de un resorte

Consideremos un pequeño cuerpo de masa m, tratado como una partícula,

suspendido verticalmente de un resorte de masa despreciable y constante k.

Vamos a estudiar en primer término la posición de equilibrio de m y luego su

movimiento cuando se suelta desde una cierta condición inicial. El punto de

suspensión del resorte está fijo a un marco inercial ligado a tierra. El sistema

mecánico es la masa m. Elijamos un eje x hacia arriba con origen en la

posición de equilibrio. Vamos a dibujar comparativamente la longitud natural

y tres situaciones importantes: la situación de equilibrio, la situación inicial y

una situación general cualquiera, así como los diagramas de fuerzas en

equilibrio y en situación general. Antes de hacerlo, es imperioso recordar que

una realización experimental paralela de este fundamental movimiento es

esencial para su comprensión.

Cinemática del M.A.S.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En

este caso el cuerpo

sube y baja.

Es también, por ejemplo, el

movimiento que realiza cada uno de los  puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional) podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un movimiento circular uniforme (m.c.u.). Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., lo que nos va a permitir deducirnos sus ecuaciones a partir del movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es armónico simple). Puede verse el ejemplo en la figura siguiente

 

Pero, pongamos atención, el movimiento armónico es el del punto que vemos moverse sobre el eje vertical (sube y baja). El movimiento circular de la partícula que da vueltas alrededor de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no es un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos están directamente relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente una ecuación para el M.A.S., simplemente relacionándolo con el movimiento circular auxiliar.

Veamos cómo. La figura 1, representa lo que hemos visto en el gráfico animado anterior. En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido.

FIGURA 1:

Movimiento Armónico Simple 

Y = elongación

Representa la distancia que separa a la partícula vibrante de la posición de equilibrio en cualquier instante. Físicamente, la elongación representa el estado de vibración de la partícula en cualquier instante

A = amplitudRepresenta el máximo valor que puede tomar la elongación.

Fo = fase inicialRepresenta la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar.

w = pulsaciónRepresenta la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s.

F = w.t + Fo faseRepresenta la posición angular de la partícula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t.

La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula del M.C.U.

y = A.sen(w.t + Fo)

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del M.A.S. Como puede verse, la elongación es una función periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1.

Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partícula sometida a un M.A.S. vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo de la función y

v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)

Donde observamos que la velocidad es también función periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la velocidad toma su máximo valor cuando la fase es cero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los extremos el ángulo de fase es 90º  y 270º, por ello la velocidad es nula.

Análogamente, derivando en la expresión de la velocidad, obtenemos el valor de la aceleración

a = dv/dt

- A.w2 sen (w.t + Fo)

Que teniendo en cuenta el valor de la elongación y se convierte en

a = - y.w2

En la que observamos que la aceleración en un m.a.s. es directamente proporcional a la elongación cambiada de signo. Lo que nos lleva a que la aceleración de la partícula sometida a un m.a.s. es, también, función periódica del tiempo, resultando máxima cuando se encuentra en la posición más alejada del punto de equilibrio, mientras que en este la aceleración es nula. El signo "menos" nos indica que el m.a.s. es un movimiento acelerado hacia el centro de oscilación (la partícula acelera cuando se dirige hacia la posición de equilibrio).