La Transformada z y Sus Aplicaciones Al Análisis de Los Sistemas Lti

7/25/2019 La Transformada z y Sus Aplicaciones Al Anlisis de Los Sistemas Lti

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I. LA TRANSFORMADAZ Y SUS APLICACIONES AL ANLISIS DE LOSSISTEMAS LTI

Las tcnicas de transformacin constituyen una herramienta importante en el anlisis de las seales

y sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). En este captulo vamos a presentar la

transformadaz! vamos a desarrollar sus propiedades y a demostrar su importancia en el anlisis y la

caracteri"acin de los sistemas LTI. La transformadaz desempea el mismo papel en el anlisis de

las seales discretas en el tiempo y los sistemas LTI #ue la transformada de Laplace en el anlisis de

las seales continuas en el tiempo y los sistemas LTI. $or e%emplo! veremos #ue en el dominio z

(plano z comple%o)! la convolucin de dos seales en el dominiodel tiempo es e#uivalente a la

multiplicacin de sus correspondientes transformadasz. Esta propiedad simplifica enormemente el

anlisis de la respuesta de un sistema a varias seales. &dems! la transformadazproporciona

un medio de caracteri"ar los sistemas LTI y su respuesta a diversas seales mediante las posiciones

de sus polos y ceros.

I.1. La transformadazEn esta seccin vamos a presentar la transformada z de una seal discreta en el tiempo! vamos a

investi'ar sus propiedades de conver'encia y a ver revemente la trasformadaz inversa.

I.1.1. La transformadaz diretaLa transformadaz de una seal discreta en el tiempox(n) se define como la serie de potencias

(...)

dondez es una variale comple%a. La relacin (..) a veces se denomina transformada z directa!

ya #ue transforma la seal en el dominio del tiempo x(n) en su representacin en el plano comple%o

X(z). El procedimiento inverso *es decir! otener x(n) a partir de X(z)+ se conoce como

transformada z inversa .

$or comodidad! la transformadaz de una sealx(n) se desi'na como

(..,.)

mientras #ue la relacin entrex(n) yX(z) se indica como

(..-.)

ado #ue la transformadaz es una serie infinita de potencias! slo e/iste para a#uellos valores de z

para los #ue la serie conver'e. La regin de convergencia (012! region of convergence) deX(z) es

el con%unto de todos los valoers dezpara los #ueX(z) toma un valor finito. $or tanto! siempre #ue

halemos de una transformadaz deeremos indicar tamin su 012.

3amos a ilustrar estos conceptos con varios e%emplos sencillos.

E!EMPLO 1.1.1etermine la transformadaz de las si'uientes seales de duracin finita.


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So"#i$n. & partir de la definicin (..)! tenemos

En este e%emplo se ve fcilmente #ue la 012 de unaseal de duracin finita es el planoz completo!

e/cepto posilemente los puntosz 4 5 y6oz 4 7. Estos puntos se e/cluyen! por#uezk(k > 5) no est

acotada paraz 4 7 yzk(k > 5) no est acotada paraz 4 5.

esde el punto de vista matemtico! la transformada z es simplemente una representacin

alternativa de una seal. Esto se ilustra en el E%emplo ..! donde podemos ver #ue los coeficientes

dezn! en una transformada dada! se corresponden con el valor de la seal en el instante n. En otras

palaras! el e/ponente de z contiene la informacin temporal #ue necesitamos para identificar las

muestras de la seal.

En muchos casos! podremos escriir la suma de la serie finita o infinita para la transformada z en

una serie compacta. En dichos casos! la transformadaz proporciona una representacin alternativa

compacta de la seal.

E!EMPLO 1.1.%etermine the transformadaz de la seal

So"#i$n. La sealx(n) est formada por un n8mero infinito de valores distintos de cero

La transformadaz dex(n) es la serie infinita de potencias


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9e trata de una serie 'eomtrica infinita. 0ecordemos #ue

En consecuencia! para |1

2 z| < ! o lo #ue es lo mismo! para |z| >

1

2 !X(z) conver'e a

$odemos ver #ue! en este caso! la transformadazproporciona una representacin alternativa

compacta de la sealx(n).

$odemos e/presar la variale comple%az en forma polar como si'ue

(..:.)

donde r 4 |z| and ; 4


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(..>.)


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9i X(z) conver'e en al'una re'in del plano comple%o! amos sumatorios de la Ecuacin (..>)

sern finitos en dicha re'in. 9i el primer sumatorio de (..>) conver'e! tienen #ue e/istir valores

de r lo suficientemente pe#ueos como para #ue la secuencia producto x(n)rn, n < 7 sea

asolutamente sumale. $or tanto! la 012 para la primera suma consiste en todos los puntos de un

crculo de un determinado radio r! donde r < 7! como se ilustra en la ?i'ura -..(a). $or el

contrario! si el se'undo sumatorio de (..>) conver'e! tienen #ue e/istir valores de r lo

suficientemente 'randes como para #ue la secuencia producto x(n)/rn! 5 n < 7 sea asolutamente

sumale. $or tanto! la 012 del se'undo sumatorio de (..>) consta de todos los puntos e/ternos

a una circunferencia de radio r > r,! como se ilustra en la ?i'ura -..().

ado #ue la conver'encia deX(z) re#uiere #ue amos sumatorios de (..>) sean finitos! se deduce

#ue la 012 deX(z) es! 'eneralmente! la re'in anular en el planoz! r, < r < r! #ue es la re'in

com8n en #ue amos sumatorios son finitos. Esta re'in se ilustra en la ?i'ura -..(c). $or otro

lado! si r, > r! no e/iste nin'una re'in com8n de conver'encia para los dos sumatorios y! por

tanto!X(z) no e/iste.

Los si'uientes e%emplos ilustran estos importantes conceptos.

E!EMPLO &.1.&etermine the transformadaz de la seal

So"#i$n. & partir de la definicin (-..)! tenemos

9i |@z| < o! lo #ue es lo mismo! |z| > |@ |! esta serie de potencias conver'e a /(@z). $or

tanto! tenemos la pare%a de transformadasz

(..A.)

La 012 es la parte e/terior de un crculo #ue tiene un radio |@ |. La ?i'ura -.., muestra una

'rfica de la sealx(n) y su correspondiente re'in de conver'encia. 1serve #ue! en 'eneral! @ no

tiene #ue ser real.

9i hacemos @ 4 en (-..A)! otenemos la transformadaz de la seal escaln unidad.

(..B.)

E!EMPLO &.1.'etermine la transformadaz de la seal


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So"#i$n. & partir de la definicin (-..)! tenemos

donde l 4 n. Ctili"ando la frmula

cuando |A| < ! se otiene

siempre #ue |@z| < o! lo #ue es lo mismo! |z| < |@ |. $or tanto!

(..D.)

&hora! la re'in de conver'encia (012) es el interior de un crculo #ue tiene un radio i'ual a |@ |!

lo #ue se muestra en la ?i'ura -..-.

Los E%emplos ..- y ..: ilustran dos importantes cuestiones. La primera hace referencia a la

unicidad de la transformada z. & partir de (..A) y (..D)! vemos #ue la seal causal @ nu(n) y la

seal anticausal @nu(n) tienen e/presiones idntidas para la transformadaz! es decir!

Esto implica #ue una e/presin compacta de la transformadaz no especifica de forma unvoca la

seal en el dominio del tiempo. La ami'edad slo se puede resolver si adems de la e/presin

compacta de la transformadaz se especifica la 012. 0esumiendo! una seal discreta en el tiemo

x(n) !ueda determinada de forma un"voca or su transformada z X(z) # or la regin de

convergencia de X(z)$ En este te/to! el trmino FtransformadazG


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se emplea para hacer referencia a la e/presin compacta y a la correspondiente 012. El E%emplo

-..- tamin ilustra el punto de #ue la %&' de una seal causal es el exterior de un c"rculo de un

determinado r ,, mientras

!ue la %&' de un seal anticausal es el interior de un c"rculo de un determinado radio r ($ Elsi'uiente e%emplo considera una secuencia #ue es distinta de cero para 7 < n < 7.

E!EMPLO &.1.(etermine la transformadaz de la seal

So"#i$n. & partir de la definicin (..)! tenemos

La primera serie de potencias conver'e si |@ z| < o |z| > |@ |. La se'unda serie de potencias

conver'e si |)z| < o |z| < |)|. $ara determinar la conver'encia deX(z)! consideremos dos casos

diferentes.

Caso 1 |)| < |@ |H en este caso! las dos re'iones 012 anteriores no se solapan! como se muestra enla ?i'ura -..:(a). En consecuencia! no podemos hallar valores dez para los #ue amas series de

potencias conver%an simultneamente. 2laramente! en este caso!X(z) no e/iste.

Caso % |)| > |@ |H en este caso! e/iste un anillo en el plano z donde amas series de potenciasconver'en simultneamente!

como se muestra en la ?i'ura -..:()! por lo #ue tenemos

(..5.)

La 012 deX(z) es |@ | < |z| < |)|.


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Este e%emplo muestra #uesi existe una %&' ara una seal )ilateral de duracin infinita, es un

anillo *regin anular+ en el lano z$ & partir de los E%emplos ..! ..-! ..: y ..=! vemos #ue

la 012 de una seal depende tanto de su duracin (finita o infinita) como de si es causal! anticausal

o ilateral. Estos hechos se resumen en la Tala -..

Cn caso especial de una seal ilateral es una seal con duracin infinita en su lado derecho pero no

en el i"#uierdo *es decir!x(n) 4 5 para n < n5 < 5+. Cn se'undo caso es una seal #ue tiene una

duracin infinita por el lado i"#uierdo pero no por el derecho *x(n) 4 5 para n > n > 5+. Cn tercer

caso especial es una seal #ue tiene duracin finita por amos lados *x(n) 4 5 para n < n5 < 5 y n >

n > 5+. Estos tipos de seales se denominan en ocasiones seales unilateral or la dereca,

unilateral or la iz!uierda y )ilateral de duracin finita! respectivamente.

$or 8ltimo! oserve #ue en ocasiones se hace referencia a la transformada z definida por (..)como la transformada )ilateralpara diferenciarla de la transformada z unilateral dada por

(...)

Ctili"amos la e/presin transformadaz e/clusivamente para referirmos a la transformadazilateral

definida por (..). El trmino FilateralG se utili"ar slo en los casos en #ue #ueramos resolver


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cual#uier ami'uedad. Evidentemente! si x(n) es causal *es decir! x(n) 4 5 para n < 5+! las

transformadasz unilateral y ilateral son idnticas. En cual#uier otro caso! son diferentes.

I.1.%. La transformadaz in)ersaormalmente! disponemos de la transformada z X(z) de una seal y necesitamos determinar la

seal. El procedimiento de transformacin del dominio z al dominio del tiempo se conoce como

transformada z inversa.

$odemos otener una frmula de inversin para otener x(n) a partir deX(z) utili"ando el teorema

de la integral de 'auc#! #ue es un importante teorema dentro de la teora de variale comple%a.

Tenemos la transformadaz definida por (-..) como

(..,.)

9upon'a #ue multiplicamos amos lados de la Ecuacin (..,) porzn y los inte'ramos sore un

contorno cerrado dentro de la 012 deX(z) #ue contiene el ori'en. icho contorno se ilustra en la

?i'ura -..=. $or tanto! tenemos

(..-.)


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onde ' indica el contorno cerrado dentro de la re'in de conver'encia de X(z) recorrido ensentido anti horario. $uesto #ue la serie conver'e en este contorno! podemos intercamiar el orden

de las operaciones de inte'racin y suma en el lado derecho de la ecuacin (..-). Lue'o (..-)

#ueda como si'ue

(..:.)

&hora podemos invocar el teorema de la inte'ral de 2auchy! #ue estalece #ue

(..=.)

onde ' es cual#uier contorno #ue contiene el ori'en. &plicando (..=)! el lado derecho de

(..:) se reduce a ,J-x(n) y! por tanto! la frmula de inversin deseada es

(..>.)

&un#ue la inte'ral de contorno en (..>) nos proporciona la frmula de inversin para determinar

la secuenciax(n) a partir de la transformadaz! no vamos a emplear (..>) directamente al evaluar

la transformada z inversa. En nuestras aplicaciones vamos a traa%ar con seales y sistemas en el

dominioz #ue tienen transformadasz racionales (es decir! transformadasz #ue se definen como una

relacin entre dos polinomios). $ara tales transformadasz vamos a desarrollar un mtodo sencillo

para reali"ar la inversin #ue se deduce a partir de (..>) y emplea un sistema de 8s#ueda en una

tala.

I.2. Pro*iedades de "a transformadazLa transformada z es una herramienta muy potente en el estudio de las seales y los sistemas

discretos en el tiempo. La potencia de esta transformada es una consecuencia de al'unas


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propiedades muy importantes #ue tiene. & continuacin! vamos a e/aminar al'unas de estas

propiedades.

eemos recordar #ue cuando se cominan varias transformadas z! la 012 de la transformada

resultante es! al menos! la interseccin de la 012 de las transformadas individuales. Esta

afirmacin se comprender ms adelante cuando veamos al'unos e%emplos concretos.

Linea"idad. 9i

K

Entonces

(.,..)

para cuales#uiera constantes a y a,. La propiedad de linealidad puede 'enerali"arse fcilmente

para un n8mero aritrario de seales. sicamente! implica #ue la transformada z de una

cominacin de seales es i'ual a la cominacin lineal de sus transformadas z. $or tanto! la

propiedad de la linealidad nos ayuda a hallar la transformada z de una seal e/presando la seal

como una suma de seales elementales cuyas transformadasz son conocidas.

E!EMPLO &.%.1etermine la transformadaz y la 012 de la seal

So"#i$n. 9i definimos las seales

K

entoncesx(n) puede escriirse como

e acuerdo con (-.,.)! su transformadaz es

& partir de (-..A)! recordemos #ue

(.,.,.)

Maciendo @ 4 , y @ 4 - en .,.,)! otenemos

La interseccin de la 012 de X(z) yX,(z) es |z| > -. $or tanto! la transformada resultanteX(z) es


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E!EMPLO &.%.%etermine la transformadaz de las seales

So"#i$n.+a, Ctili"ando la identidad de Euler! la sealx(n) se puede e/presar como

$or tanto! (.,.) implica #ue

9i hacemos @ 4 e.-N5 (|@ | 4 |e.-N5 | 4 ) en (.,.,)! otenemos

K

$or tanto!

espus de al'unas sencillas manipulaciones al'eraicas otenemos el resultado deseado!

(.,.-.)

+-, & partir de la identidad de Euler!

Lue'o

y por 8ltimo!

(.,.:.)


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Des*"aamiento tem*ora". 9i

Entonces

(.,.=.)

La 012 dezkX(z) es la misma #ue la deX(z) e/cepto paraz 4 5 si k > 5 y z 4 7 si k < 5. La

demostracin de esta propiedad se deduce de forma inmediata aplicando la definicin de la

transformadaz dada por (..).

Las propiedades de linealidad y de despla"amiento en el tiempo son las caractersticas clave #ue

hacen #ue la transformadaz sea e/tremadamente 8til en el anlisis de los sistemas LTI discretos en

el tiempo.

&plicando la propiedad de despla"amiento en el tiempo! determine la transformada z de las seales

x,(n) yx-(n) del E%emplo .. a partir de la transformadaz dex(n).

So"#i$n. Es fcil ver #ue

K

Lue'o a partir de (.,.=) otenemos

K

1serve #ue a causa de la multiplicacin porz,! la 012 deX,(z) no incluye el puntoz 4 7! incluso

aun#ue est contenido en la 012 deX(z).

El E%emplo .,.- ilustra el si'nificado de la propiedad de despla"amiento en el tiempo. e hecho! sitenemos en cuenta #ue el coeficiente de zn es el valor de la muestra en el instante n! se ve de

forma inmediata #ue retardaruna seal k (k > 5) muestras *es decir!x(n) x(nk)+ es lo mismo #ue

multiplicar todos los trminos de la transformadazporzk. El coeficiente dezn se convierte en el

coeficiente dez(nOk).

E!EMPLO 1.%.'etermine la transformada de la seal

(.,.>.)

So"#i$n. $odemos determinar la transformadaz de esta seal utili"ando la definicin (..). $ortanto!

(.,.A..)


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$uesto #uex(n) tiene duracin finita! su 012 es el planoz completo! e/ceptoz 4 5.

3amos a deducir tamin esta transformada utili"ando las propiedades de linealidad y

despla"amiento en el tiempo.

1serve #uex(n) se puede e/presar en funcin de dos seales escaln unidad

Ctili"ando (.,.) y (.,.=)! tenemos

(.,.B.)

9in emar'o! a partir de (..B) tenemos

#ue! cuando se comina con (.,.B)! nos lleva a (.,.A).

El E%emplo .,.: nos permite aclarar una cuestin muy importante relacionada con la 012 de la

cominacin de varias transformadasz. 9i la cominacin lineal de varias seales tiene duracin

finita! la 012 de su transformadaz #ueda determinada e/clusivamente por la naturale"a finita de

esta seal! no por la 012 de las transformadas individuales.

Cam-io de esa"a en e" dominioz. 9i

Entonces

(.,.D.)

para cual#uier constante a real o comple%a.

0emostracin$ & partir de la definicin (..)

ado #ue la 012 deX(z) es r< |z| < r,! la 012 deX(az) ser

1


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$ara comprender me%or el si'nificado y las implicaciones de la propiedad de camio de escala!

e/presamos a y z en forma polar como a 4 r5e-N5 ! z 4 re -N ! e introducimos una nueva variale

comple%a 1 4 az. $or tanto!23x(n)4 4X(z) y23anx(n)4 4X(1). $odemos ver fcilmente #ue

Este camio de variales da lu'ar al estrechamiento (si r5> ) o a la e/pansin (si r5 < ) del plano

z en cominacin con una rotacin (si N554 ,kJ ) del planoz (v6ase la ?i'ura .,.). Esto e/plica

por #u tenemos un camio en la 012 de la nueva transformada donde |a|< . El caso |a|4 ! es

decir! a 4 e -N5tiene un inters especial! ya #ue slo se corresponde con la rotacin del planoz.

E!EMPLO 1.%.(etermine la transformadaz de las seales

So"#i$n.+a, & partir de (.,.-) y (.,.D)! otenemos

(.,.5.)

+-, el mismo modo! (.,.:) y (.,.D) proporcionan

(.,..)

In)ersi$n tem*ora". 9i

Entonces

(.,.,.)

0emostracin$ & partir de la definicin (..)! tenemos

donde se hace el camio de variale l 4 n. La 012 deX(z) es

o! lo #ue es e#uivalente

1serve #ue la 012 parax(n) es la inversa de la dex(n). Esto si'nifica #ue siz5pertenece

a la 012 dex(n)! entonces /z5 pertenece a la 012 dex(n).


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Cna demostracin intuitiva de (.,.,) es la si'uienteH si refle%amos una seal! el

coeficiente de zn se convierte en el coeficiente de zn. $or tanto! refle%ar una seal es

e#uivalente a reempla"arzporzen la frmula de la transformada z. En otras palaras! la

refle/in en el dominio del tiempo se corresponde con la inversin en el dominio dez.

E!EMPLO 1.%./etermine la transformadaz de la sealx(n) 4 u(n)

So"#i$n. & partir de (..B)! saemos #ue

(.,.-.)

Ctili"ando (.,.,)! otenemos fcilmente

Difereniai$n en e" dominioz. 9i

Entonces

(.,.:.)

0emostracin$ iferenciando amos lados de la Ecuacin (..)! tenemos

1serve #ue amas transformadas tienen la misma re'in de conver'encia.

E!EMPLO 1.%.0etermine la transformadaz de la sealx(n) 4 nanu(n)

So"#i$n. La sealx(n) puede e/presarse como nx(n)! dondex(n) 4 anu(n). & partir de(.,.,)! tenemos #ue

$or tanto! utili"ando (.,.:)! otenemos

(.,.=.)

9i hacemos a 4 en (.,.=)! otenemos la transformadaz de la seal rampa unidad

(.,.>.)

E!EMPLO 1.%.etermine la sealx(n) cuya transformadaz est dada por


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So"#i$n. Tomando la primera derivada deX(z)! otenemos

Lue'o

La transformada z inversa del trmino entre corchetes es (a)n. La multiplicacin porz

implica un retardo temporal de una muestra (propiedad de despla"amiento temporal)! #ue

resulta en (a)nu(n). $or 8ltimo! a partir de la propiedad de la diferenciacin tenemos

K

Con)o"#i$n de dos se#enias. 9i

Entonces

(.,.A.)

La 012 deX(z) es! al menos! la interseccin de las re'iones de conver'encia de X(z) y

X,(z).0emostracin$ La convolucin dex(n) yx,(n) se define como

La transformadaz dex(n) es

Intercamiando el orden de los sumatorios y aplicando la propiedad de despla"amiento en

temporal en (.,.=)!1tenemos

E!EMPLO 1.%.22alcule la convolucinx(n) de las seales


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So"#i$n. & partir de (..)! tenemos

e acuerdo con (-.,.A)! reali"amos la multiplicacin deX(z) porX,(z). Lue'o

$or tanto!

El mismo resultado puede otenerse fi%ndose en #ue

Entonces

La propiedad de la convolucin es una de las propiedadesms potentes de la transformadaz!

por#ue convierte la convolucin de dos seales (en el dominio del tiempo) en la

multiplicacin de sus transformadas. El clculo de la convolucin de dos seales utili"ando

la transformadaz! re#uiere los pasos si'uientesH

1. 2alcular las transformadasz de las seales #ue se van a convolucionar.

%. Pultiplicar las dos transformadasz.

&. Mallar la transformadaz inversa deX(z).

Este procedimiento es! en muchos casos! ms fcil de calcular #ue la evaluacin directa

de la convolucin.

Corre"ai$n de dos se#enias. 9i


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Entonces

(.,.B.)

0emostracin$ 0ecordemos #ue

Ctili"ando las propiedades de convolucin e inversin temporal! se otiene fcilmente

La 012 de %xx, (z) es al menos la interseccin de las re'iones de conver'encia de X(z) y

X,(z).

2omo en el caso de la convolucin! la correlacin cru"ada de dos seales se calcula ms fcilmente

a travs de la multiplicacin de polinomios de acuerdo con (.,.B) y aplicando la transformacin

inversa al resultado.

E!EMPLO 1.%.13etermine la secuencia de autocorrelacin de la seal

So"#i$n. ado #ue la secuencia de autocorrelacin de una seal es la correlacin consi'o misma!(.,.B) da

& partir de (.,.,)! tenemos

utili"ando (-.,.=)! otenemos

$or tanto!

ado #ue la 012 de%xx(z) es un anillo! rxx(l) es una seal ilateral! incluso six(n) es causal.

$ara otener rxx(l)! oserve #ue la transformadaz de la secuencia del E%emplo ..= con ) 4 /a es

simplemente (a,)%xx(z). $or tanto! se deduce #ue


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M#"ti*"iai$n de dos se#enias. 9i

Entonces

(.,.D.)

donde ' es un contorno cerrado #ue contiene el ori'en y se encuentra en la re'in de conver'encia

com8n aX(v) yX,(/v).0emostracin$ La transformadaz dex-(n) es

9ustituimos la transformada inversa

parax(n) en la transformadaz X(z) e intercamiamos el orden de las operaciones de suma e

inte'racin. 1tenemos entonces

La suma entre corchetes es simplemente la transformadaX,(z) evaluada enz/v. $or tanto!

#ue es el resultado deseado. $ara otener la 012 de X(z)! oserve #ue siX(v) conver'e para rl< |

v| < ru yX,(z) conver'e para r,l< |z| < r,u! entonces la 012 deX,(z/v) es

$or tanto! la 012 paraX(z) es al menos

(.,.,5.)

&un#ue esta propiedad no vamos a emplearla de forma inmediata! resultar 8til ms adelante! en

particular cuando aordemos el diseo de filtros asados en las tcnicas de ventana! donde se


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multiplica la respuesta al impulso de un sistema II0 por una FventanaG de duracin finita! #ue sirve

para truncar la respuesta al impulso del sistema II0.

$ara las secuencias comple%as x(n) y x,(n) podemos definir la secuencia producto como

x(n)4x(n)x,(n).

La correspondiente inte'ral de convolucin comple%a ser

(.,.,.)

Re"ai$n de Parse)a". 9ix(n) yx,(n) son secuencias comple%as! entonces

(.,.,,.)

siempre #ue rlr,l< < rur,u! donde rl< |z| < ruy r,l < |z| < r,uson las 012 deX(z) y X,(z). La

demostracin de (.,.,,) es inmediata evaluandoX(z) en la e/presin (.,.,) paraz 4 .

Teorema de" )a"or iniia". 9ix(n) es causal *es decir!x(n) 4 5 para n < 5+! entonces

0emostracin$ ado #uex(n) es causal! (..) proporciona

1viamente! comoz7!zn 5 ya #ue n > 5! y se otiene (.,.,-).

Todas las propiedades de la transformadazpresentadas en esta seccin se resumen en la Tala -.,.


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23/23

&hora vamos a deducir muchas de las transformadas z #ue se emplean en muchas aplicaciones

prcticas. Estas pare%as de transformadas z se resumen en la Tala -.- como referencia rpida. Cna

simple inspeccin de esta tala demuestra #ue estas transformadas z son todas ellas funciones

racionales (es decir! relaciones de polinomios enz). 2omo pronto ser evidente! las transformadas

z racionales no slo se emplean como transformadas z de varias seales importantes! sino tamin

en la caracteri"acin de sistemas LTI discretos en el tiempo descritos mediante ecuaciones en

diferencias de coeficientes constantes.

La Transformada z y Sus Aplicaciones Al Análisis de Los Sistemas Lti

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