La topología de R

LíMITE Y CONTINUIDAD

CAPÍTULO 3

1. La topología de R

1.1. Notación de conjuntos. Empecemos por recordar algunos conceptos de lateoría de conjuntos. Usualmente uno considera un conjunto amplio de objetoscon los que se va a trabajar o sobre los cuales se quieren estudiar algunas de suspropiedades, dicho conjunto lo llamamos el conjunto universo U y se asume quetodos los objetos con los que se va a trabajar, a los que llamaremos elementos,pertenecen a dicho conjunto. En este curso los principales "conjuntos universo"con los que trabajaremos son el conjunto de los números reales R, el conjunto denúmeros racionales Q, el conjunto de los números enteros Zy el conjunto de losnúmeros naturales N.Una vez establecido el contexto en el que se va a trabajar, esto es, el conjunto

universo. Uno habla de conjuntos que en forma poco rigurosa podríamos definircomo una colección de elementos del conjunto universo. La condición importantesobre los conjuntos es que uno pueda decidir siempre cuando un elemento está ono está en el conjunto. la notación usual para describir a un conjunto es mediante"llaves"

A = {· · · }donde los puntos suspensivos indican los elementos o las condiciones que debecumplir un elemento para pertenecer a dicho conjunto. Para indicar que un ciertoelemento x pertenece a un conjunto A se usa el símbolo

∈Así, la expresión x ∈ A se lee "x pertenece al conjunto A" o, sencillamente, "xestá en A".El símbolo

/∈se usara para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto. Así, la expre-sión x /∈ A nos dice que "el elemento x no pertenece al conjunto A".Igualdad de conjuntos: Diremos que dos conjuntos A y B son iguales, es-

cribimos A = B, si todo elemento que pertenece a A pertenece a B y todo elementoque está en B pertenece al conjunto A. En símbolos

A = B ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ∈ B y ∀x ∈ B, x ∈ A

Ejemplo 1. 1) En el conjunto de números naturales, N,A = {2, 3, 4, 5}

es el conjunto formado por los números 2,3,4 y 5.2) Otra forma de describir a este conjunto es

A = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 5}1

2 CAPÍTULO 3

Esto se lee como el conjunto de los elementos x que pertenecen a N (los númerosnaturales) que cumplen la condición 2 ≤ x ≤ 5.

Cuando un conjunto es descrito como en el ejemplo 1 de dice que el conjuntoestá descrito en forma explícita. Mientras que cuando el conjunto está descrito poruna o varias condiciones a cumplir diremos que el conjunto está descrito en formaanalítica.En el ejemplo 2 es importante hacer explícito el conjunto universo en el que se

está trabajando ya que mientras que, en nuestro ejemplo, es claro que el conjuntoA está formado por los números 2,3,4 y 5, el conjunto

{x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 5}está formado por una infinidad de números reales que incluyen por ejemplo a losnúmeros π,

√5, 3.5, 83 etc.

Ejemplo 2. a) Una descripción analítica del conjunto

{.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, . . .}es {

x ∈ Q : x =n

2, n ∈ N

}b) El conjunto descrito analíticamente como

{m ∈ Z : m = 4k + 1, k ∈ N}corresponde al conjunto formado por los números

{5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, . . .}

Subconjuntos: Dado un conjunto A diremos que B es un subconjunto de Asi todo elemento que pertenece a B también pertenece a A. También se dice que Bestá contenido en A y en forma sintética escribimos B ⊂ A.

Observación 1. En términos de la definición de subconjunto, si uno quiere verificarque A = B uno debe verificar que A es subconjunto de B y que B es subconjuntode A. En símbolos

A = B ⇐⇒ A ⊂ B y B ⊂ A

Un conjunto especial es el conjunto vacío que se define como el conjunto queno tiene elementos y se denota por ∅. En la teoría siempre se considera que elconjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A.Veamos ahora las operaciones entre conjuntos:La diferencia ArB: Dados conjuntos A y B definimos el conjunto diferencia

ArB (se lee "A menos B") como el conjunto de todos los elementos que pertenecena A y que no están en B. Esto es,

ArB = {x ∈ A : x /∈ B}El complemento Ac: Es el conjunto de todos los elementos en el conjunto

universo U que no pertenecen al conjunto A. De acuerdo con la definición anterior

AC = U rA

o si se quiereAC = {x ∈ U : x /∈ A}

G. IZQUIERDO (AGOSTA/2021) 3

La unión A ∪B: Es el conjunto de todos los elementos que están en alguno delos conjuntos A o B. Más generalmente si A1, A2, . . . , An son conjuntos, entonces,un elemento pertenece a la unión

A1 ∪A2 ∪ · · · ∪Ansi y solo si pertenece a al menos uno de los conjuntos A1, A2, . . . , An. Tambiénse usa la notación

n⋃k=1

Ak

La Intersección A∩B: El conjunto de todos los elementos que están tanto enA como en B. De forma más general, dados conjuntos A1, A2, . . . , An, un elementoestá en la intersección

A1 ∩A2 ∩ · · · ∩Ansi y solo si dicho elemento está en todos y cada uno de los conjuntosA1, A2, . . . , An.También se usa la notación

n⋂k=1

Ak

Tanto la unión como la intersección no solo están definidas para un número finitode conjuntos. Si uno tiene una familia de conjuntos {Aα}α∈I con α en un conjuntode índices I 6= ∅, entonces, un elemento está en la unión⋃

α∈IAα

si y solo si el elemento está en al menos uno de los conjuntos Aα.Un elemento está en la intersección⋂

α∈IAα

si y solo si dicho elemento está en todos y cada uno de los conjuntos Aα.Daremos a continuación una lista de las propiedades de los conjuntos que usare-

mos con frecuencia en este curso

Proposición 1. 1) A ∪B = B ∪A. 2) A ∩B = B ∩A. 3)(AC)C

= A.

4) A ∩(⋃α∈I

Aα

)=⋃α∈I

(A ∩Aα). 5) A ∪(⋂α∈I

Aα

)=⋂α∈I

(A ∪Aα).

6)

(⋂α∈I

Aα

)C=⋃α∈I

ACα . 7)

(⋃α∈I

Aα

)C=⋂α∈I

ACα .

8) Si A ⊂ B, entonces, BC ⊂ AC .9) Si A ⊂ B, entonces, A ∩ C ⊂ B ∩ C.10) ArB = A ∩BC .11) B ∩A = ∅ si y solo si B ⊂ AC .12) Si A ⊂ Aα0 para alguna α0 ∈ I, entonces, A ⊂

⋃α∈I

Aα.

13) Si A ⊂ Aα para todo α ∈ I, entonces, A ⊂⋂

α∈IAα.

14) Si Aα ⊂ A para todo α ∈ I, entonces⋃

α∈IAα ⊂ A y

⋂α∈I

Aα ⊂ A.

15) Aα0 ⊂⋃

α∈IAα para todo α0 ∈ I. 16)

⋂α∈I

Aα ⊂ Aα0 para todo

α0 ∈ I.

4 CAPÍTULO 3

Problema 1. Escriba en forma desarrollada los enunciados 4) a 7) y 12) a 16) dela proposición 1 cuandoa) El conjunto de índices es I = {1, 2}.b) El conjunto de índices es I = {1, 2, 3}.

Problema 2. Demuestre la mayor cantidad que pueda de los enunciados de laproposición 1.

1.2. La topología de R. Ahora discutimos algunas clases de conjuntos en R queson la base para definir los conceptos de convergencia y continuidad.

Distancia entre dos puntos: La manera natural de definir la distancia entredos números reales vía el valor absoluto: Así la distancia entre x y y se define como

d (x, y) = |x− y|Uno pude ver que la distancia en R tiene las siguientes propiedades.

Teorema 2. ·) d (x, y) ≥ 0.··) d (x, y) = 0 si y solo si x = y.· · ·) d (x, y) = d (y, x).· · ··) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).

Vecindades o Bolas abiertas: Dado un punto x ∈ R y un número real positivor > 0, definimos la vecindad o bola abierta de radio r y centro en x como elconjunto

Vr (x) = Br (x) = {y ∈ R : d (x, y) < r}De acuerdo con la definición de distancia una vecindad abierta en R se puededescribir también como

Vr (x) = Br (x) = {y ∈ R : |x− y| < r}Se puede ver que en R la vecindad abierta con centro en x y radio r, corresponde

al intervalo abierto(x− r, x+ r)

(−3, 0, 4, 0)

xr x x+r( )

Problema 3. Trace en la recta numérica las siguientes vecindades abiertas: B1 (−2) , B4 (4) , B.5 (2)y B2 (.5).

Lema 3. Si 0 < r < r′, entonces, Vr (x) Vr′ (x).

Uno de los conceptos que se puede expresar en términos de vecindades abiertases el de sucesión convergente


Teorema 4. Una sucesión de reales {an} converge a un punto a si y solo si paracada ε > 0, existe N tal que

an ∈ Vε (a) para todo n ≥ N

Proposición 5. Si para todo r > 0, Vr (x)∩W 6= ∅, entonces, existe una sucesión{an} ⊂W ,

limn→∞

an = x

Proposición 6. Si para todo r > 0, (Vr (x)r {x}) ∩W 6= ∅, entonces, existe unasucesión {an} ⊂W , tal que an 6= x y

limn→∞

an = x

Problema 4. Demuestre las dos proposiciones anteriores. (Sugerencia: Para cadan puede elegir an ∈ B 1

n(x) ∩W (¿porqué?) para la primera proposición y tome

an ∈(B 1n

(x)r {x})∩W (¿porqué?) para la segunda proposición.)

El concepto de intervalo abierto también se puede formular y generalizar medi-ante el concepto de vecindad.

Conjunto abierto: Un conjunto A es llamado un conjunto abierto si para cadapunto x ∈ A existe r > 0 tal que

Br (x) ⊂ AAl conjunto vacío también se le considera un abierto de R.

Por supuesto los intervalos abiertos son conjuntos abiertos.

Proposición 7. Todo intervalo abierto (a, b), (−∞ ≤ a < b ≤ ∞) es un conjuntoabierto en R.

Problema 5. Muestre este resultado. (Sugerencia: para cada x ∈ (a, b) tomer = min {x− a, b− x} si a, b 6= ±∞ y recuerde que

Vr (x) = {y ∈ R : x− r < y < x+ r}Además, note que si r ≤ x− a, entonces, a ≤ x− r y si r ≤ b− x, x+ r < b.)

Problema 6. Muestre que toda vecindad abierta es un conjunto abierto. (Sug-erencia: Use la proposición 7.)

Es útil tener claro lo que significa que un conjunto no sea abierto.

Un conjunto no es abierto si y solo si existe un punto x0 ∈ A tal que para todor > 0, se cumple que Vr (x0) ∩AC .

Problema 7. Un intervalo de la forma [a, b), (−∞ < a < b ≤ ∞) no es un abiertode R. ( Sugerencia: Muestre que para todo r > 0, la vecindad Vr (a) tiene un puntoque no está en [a, b), de un punto entre a− r y a.)

El siguiente resultado nos da las propiedades básicas de los conjuntos abiertos.

6 CAPÍTULO 3

Teorema 8. ·) El conjunto ∅ y R son abiertos en R.··) Si se tiene un número finito de conjuntos abiertos A1, A2, . . . , An, entonces,

su intersecciónn⋂k=1

Ak

también es un abierto.· · ·) Si se tiene una familia de abiertos {Aα}α∈I , entonces, su unión⋃

α∈IAα

también es un abierto.

Demostración. ·) El conjunto ∅ es abierto porque no hay ningún punto delvacío que no cumpla la condición. El caso de R, es inmediato pues toda vecindadestá contenida en R.··)Sea x ∈

⋂n

k=1Ak, eso quiere decir que x ∈ Ak para k = 1, 2, . . . , n. Puesto

que cada Ak es un abierto, existen r1, r2, . . . , rn todo positivos tales que

Vrk (x) ⊂ Ak, k = 1, . . . , n

Tomemos r = min {r1, r2, . . . , rn}, entonces, como r ≤ rk, Vr (x) ⊂ Vrk (x), parak = 1, . . . , n, por lo tanto

Vr (x) ⊂ Vrk (x) ⊂ Ak, k = 1, . . . , n

lo que implica que

Vr (x) ⊂n⋂k=1

Ak

Así pues, para cada x ∈⋂n

k=1Ak, existe r > 0 tal que Vr (x) ⊂

⋂n

k=1Ak. Lo que

muestra que⋂n

k=1Ak es abierto.

· · ·) Tomemos x ∈⋃

α∈IAα, entonces, x ∈ Aα para alguna α ∈ I. Como Aα es

abierto, existe r > 0 tal que Vr (x) ⊂ Aα pero esto implica que

Vr (x) ⊂⋃α∈I

Aα

y, por ende,⋃

α∈IAα es abierto. �

Problema 8. ¿A = (−3,−1) ∪ (1, 3) es un abierto?

Proposición 9. Un conjunto A es abierto en R si y solo si es unión de vecindadesabiertas.

Demostración. ⇐=) Como las vecindades abiertas son abiertas, si A es uniónde vecindades abiertas , por · · ·) del teorema 8, el conjunto A es abierto.

=⇒) Si A es abierto, para cada x ∈ A, existe rx > 0 tal que Vrx (x) ⊂ A, por lotanto,

⋃x∈A

Vrx (x) ⊂ A. Pero cada x ∈ A, también está en Vrx (x) de lo que se

sigue que x ∈⋃

x∈AVrx (x), por lo tanto A ⊂

⋃x∈A

Vrx (x). �Uno tiene que tener mucho cuidado con la intersección de abiertos. El teorema 8

afirma que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un abierto.


Sin embargo, cuando se considera un número infinito de abiertos el resultado puedeser un abierto o un conjunto no abierto. Los dos problemas siguientes muestran

Problema 9. a) Muestre que 1 ∈ An =(1− 1

n , 3)para todo n ∈ N.

b) Use el inciso anterior para mostrar que∞⋂n=1

An =

∞⋂n=1

(1− 1

n, 3

)= [1, 3)

c) Verifique que [1, 3) no es abierto.

Problema 10. Muestre que∞⋂n=1

(1 +

1

n, 4− 1

n

)= (2, 3)

Conjunto cerrado: Un conjunto B es llamado un conjunto cerrado en R si BCes un conjunto abierto en R.

Observación 2. Puesto que(AC)C

= A, uno tiene que un conjunto A es abiertosi y solo si Ac es cerrado.

Las propiedades básicas de los cerrados son

Teorema 10. ·) Los conjuntos ∅ y R son cerrados.··) Si se tiene un número finito de cerrados B1, B2, . . . , Bn, entonces, su unión

n⋃k=1

Bk

también es un conjunto cerrado.· · ·) Dada una familia de cerrados {Bα}α∈I , su intersección⋂

α∈IBα

también es un conjunto cerrado.

Problema 11. Demuestre este teorema.(Sugerencia: Use las propiedades 6) y 7)de la proposición 1.)

Ejemplos de conjuntos cerrados en R son los intervalos cerrados [a, b], (−∞ <a < b <∞). También los conjuntos formados por un solo punto son cerrados.

Problema 12. Demuestre que un conjunto formado por un solo punto x es cerrado.

Problema 13. Demuestre que un intervalo cerrado [a, b] (−∞ < a < b < ∞), escerrado en R.

Una caracterización importante de los conjuntos cerrados es la siguiente:

Teorema 11. Un conjunto B es cerrado en R si y solo si toda sucesión {bn}convergente que está contenida en B, converger a un punto del conjunto B.

8 CAPÍTULO 3

Demostración. ⇒) La demostración es por reducción al absurdo. Supongamospues que B es cerrado y que hay una sucesión convergente {bn} ⊂ B tal que

limn→∞

bn = b y b 6∈ B.

Entonces, b ∈ BC y BC es abierto (pues B es cerrado), por lo tanto existe r > 0 talque Vr (b) ⊂ BC . Como {bn} → b sabemos que existe N tal que si n ≥ N , entonces,|bn − b| < r y, de acuerdo con la definición de vecindad abierta, esto significa quebn ∈ Vr (b) ⊂ BC para todo n ≥ N . Esto significa que ¡bn ∈ B y bn ∈ BC paratodo n ≥ N !, lo que es absurdo. Por lo tanto limn→∞ bn = b ∈ B.⇐) Este implica también se demuestra por reducción al absurdo. Supongamos

que toda sucesión {bn} convergente que está contenida en B, converger a un puntodel conjunto B y que B no es cerrado, entonces, BC no es abierto, por lo tantoexiste x0 ∈ BC tal que para todo r > 0, Vr (x0) ∩

(BC)C 6= ∅, esto es, para todo

r > 0, Vr (x0) ∩B 6= ∅. Por la proposición 5 existe una sucesión{bn} ⊂ B, tal que{bn} → x0, pero por el supuesto, esto implica que x0 ∈ B, Así que

¡x0 ∈ BC y x0 ∈ B!lo que es absurdo. �

Punto de acumulación de un conjunto: Dado un conjunto de números realesA, diremos que un punto x ∈ R es un punto de acumulación del conjunto A si paracada r > 0 existe y ∈ A ∩ Vr (x) y y 6= x.

Una caracterización de los puntos de acumulación en términos de sucesiones esla siguiente:

Teorema 12. Un punto x ∈ R es punto de acumulación de un conjunto A ⊂ R siy solo si existe una sucesión {an} contenida en A tal que an 6= x para toda n ∈ Ny an → x.

Problema 14. Muestre lo siguiente: Para un intervalo abierto (a, b) todos los pun-tos del intervalo son puntos de acumulación. Además, los extremos a y b tambiénson puntos de acumulación.

Problema 15. Muestre lo siguiente: Para un intervalo cerrado [a, b] los puntos deacumulación son exactamente todos los puntos del intervalo.

Problema 16. Muestre lo siguiente: El conjunto formado por los puntos de lasucesión

{1n

}tiene un solo punto de acumulación que es el 0.

Problema 17. Muestre que conjunto formado por un número finito de puntos notiene puntos de acumulación.

El siguiente resultado da la relación entre un conjunto cerrado y los puntos deacumulación.

Teorema 13. Un conjunto A es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntosde acumulación.

Demostración. =⇒) Veamos primero que si A es cerrado,entonces, contiene atodos sus puntos de acumulación.Supongamos que esto es falso, es decir que existe un punto x de acumulación de

A tal que x /∈ A. Como x /∈ A, x ∈ AC y como A es cerrado, AC es abierto. Así


que debe existir ρ > 0 tal que Vρ (x) ⊂ AC , esto implica que Vρ (x)∩A = ∅, lo quecontradice el que x sea punto de acumulación de A.⇐=) Tenemos que mostrar ahora que si todo punto de acumulación es un ele-

mento de A, entonces, A es cerrado. Mostremos que AC es abierto.Puesto que A contiene a todos sus puntos de acumulación, para cada x ∈ AC

debe existir ρ > 0 tal que la vecindad Vρ (x) no contiene puntos de A diferentes dex y como x /∈ A, se tiene que Vρ (x) ∩A = ∅ lo que muestra que Vρ (x) ⊂ AC . Porlo tanto AC es abierto, esto es, A es cerrado. �

Problema 18. Muestre que x es un punto de acumulación de A si y sólo si todavecindad con centro en x tiene una infinidad de puntos de A. (Sugerencia: Unasucesión de términos distintos esta formada por una infinidad de puntos.)

La cerradura de un conjunto: Dado un conjunto A ⊂ R, definimos su cerradura,"la cerradura de A" como el conjunto

A = A ∪ {x ∈ R: x es punto de acumulación de A}

Observación 3. La cerradura de un intervalo abierto (a, b) (−∞ < a < b <∞) esel intervalo cerrado [a, b].

Observación 4. La cerradura de un intervalo cerrado [a, b] (−∞ < a < b <∞) esel mismo intervalo cerrado [a, b].

Observación 5. La cerradura del conjunto de puntos de la sucesión{1n

}es{1n

}∪

{0}.

Observación 6. La cerradura del conjunto de puntos de la sucesión {(−1)n} es

{−1, 1}.

La cerradura de un conjunto de números reales tiene las siguientes propiedades:

Teorema 14. Dado un conjunto A ⊂ R se cumplen las siguientes propiedades:·) A es un conjunto cerrado.··) A ⊂ A.· · ·) A es cerrado si y solo si A = A.

Conjuntos compactos por sucesiones: Dado un conjunto K ⊂ R, K 6= ∅. dire-mos que es compacto si y solo si toda sucesión contenida enK tiene una subsucesiónque converge a un punto del conjunto.

Una propiedad que distingue a los conjuntos compactos es la siguiente:

Teorema 15. Un conjunto K ⊂ R, K 6= ∅ es compacto si y solo si K es cerradoy acotado.

Demostración. ⇐) Puesto que si K es cerrado y acotado, cualquier sucesión{an} contenida en K también es acotada. Esto implica que {an} debe tener unasubsucesión {ank} que converge. Puesto que {ank} está contenida en K y es en siuna sucesión convergente se sigue del teorema 11 y del echo de que K es cerradoque la subsucesión debe converger a un punto de K.

=⇒) La demostración del recíproco la haremos en dos partes, primero mostraremosque si toda sucesión {an} contenida en K tiene una subsucesión que converge a un

10 CAPÍTULO 3

punto del conjunto K, entonces K debe ser cerrado y después mostraremos que eneste caso K debe ser acotado.Para ver que K es cerrado nuevamente usamos el teorema 11. Para cualquier

sucesión {an} ⊂ K que converge a un punto a, se tiene que toda subsucesiónconverge al mismo límite a y como {an} debe tener una subsucesión que converge aun punto en K, a debe ser un elemento de K. De acuerdo con el teorema, nuestroconjunto K debe ser cerrado.Para ver que K es acotado procedemos por reducción al absurdo. Supongamos

pues que toda sucesión {an} contenida en K tiene una subsucesión que converge aun punto del conjunto K pero que K no es acotado. Siendo este el caso se tendríaque existe a1 ∈ K tal que |a1| > 1 (de lo contrario K sería acotado por 1). Tambiénse podría encontrar un punto a2 ∈ K tal que |a2| > |a1|+ 1, luego un tercer puntoa3 tal que |a3| > |a2| + 1 y así inductivamente se podría encontrar una sucesión{an} tal que an ∈ K y |an| > |an−1|+ 1. Esta sucesión tendría la propiedad de quepara cualesquiera naturales m y n con m > n se cumple que

|am| > |am−1| > · · · > |an+1| > |an|+ 1

lo que implica que 1 + |an| < |am| y por lo tanto

1 < |am| − |an| ≤ |am − an|

(Ojo la sucesión {an} no tendría que ser monótona creciente ¿podría dar un ejem-plo?)Puesto que los términos de cualquier subsucesión son elementos de la sucesión,

también se tendría que para cada subsucesión {ank} se cumpliría que si j > k

1 <∣∣anj − ank ∣∣

Pero {an} debe tener una subsucesión {ank} que converge y por ende de Cauchylo que implicaría que para 1

2 debe existir N tal que si j, k ≥ N∣∣anj − ank ∣∣ < 1

2

Así

¡1 <∣∣anj − ank ∣∣ < 1

2!

contradicción, por lo tanto el conjunto K también debe ser acotado. �

Conjuntos conexos y disconexos: Daremos primero la definición de conjuntodisconexo. Un conjunto D es disconexo en R si existen abiertos A y B de R con lassiguientes propiedades:·) A ∩D 6= ∅ y B ∩D 6= ∅.··) (A ∩D) ∩ (B ∩D) = ∅.· · ·) (A ∩D) ∪ (B ∩D) = D.En contraposición diremos que un conjunto C es conexo si no es disconexo.

Teorema 16. Cualquier intervalo, (a, b), (−∞ ≤ a < b ≤ ∞) es un conjuntoconexo en R. También los intervalos de la forma [a, b], [a, b) y (a, b] son conexos.


2. El concepto de límite

Por lo general cuando hacemos cálculos con números debemos usar aproxima-ciones, por ejemplo, si uno quiere calcular el área de un círculo de radio 4 deberáusar una aproximación a π, en la primaria se suele usar la aproximación 3.1416 y elresultado que se obtiene es 50.2656 el cual también es una aproximación al área deeste círculo. Si uno hace el mismo cálculo con una calculadora moderna la aprox-imación que se usa para π es 3.141592654 y el área nos da 50.26548246. Notemosque mientras que el error entre las dos aproximaciones a π es menor que .000007el error en el cálculo del área es del orden de .0001 que en términos relativos es unerror mucho más grande.En este contexto una pregunta natural cuando uno considera una función dada

f (x) es la siguiente: Si se consideran aproximaciones xn a un número a ¿los corre-spondientes valores o imágenes f (xn) se irán aproximando a algo? Más aún, unotendría que preguntarse que si x′n son otras aproximaciones al mismo número a¿Los valores f (x′n) se aproximarán al mismo valor que f (xn)?

Problema 19. Muestre que la sucesión {qn} converge para 0 < q < 1. Enuncie elo los teoremas de convergencia de sucesiones que usa para su demostración.

Problema 20. Para la función f : (0,∞) ⊂ R → R dada por f (x) = x2−1x−1 y la

sucesión{n+1n

}¿cuál es la sucesión de imágenes de f?¿Dicha sucesión converge?

En tal caso ¿cuál es el limite?

Problema 21. Para la función f : (−π, 0)∪(0, π) ⊂ R→ R dada por f (x) = cos 1xy la sucesión

{1nπ

}¿cuál es la sucesión de valores de f?¿Dicha sucesión converge?

en tal caso ¿Cuál es el limite?

Problema 22. Para la función f : (0,∞) ⊂ R → R dada por f (x) =√x y la

sucesión{14n

}¿cuál es la sucesión de valores de f?¿Dicha sucesión converge? en

tal caso ¿Cuál es el limite?

Por supuesto, una función "decente" en el punto a deberá dar respuesta positivaa estas preguntas. Pero ¿como saber cuando una función es "decente"? Respondera esta pregunta en matemáticas requiere dar una definición rigurosa de lo quesignifica "decente". Dos ingredientes son la clave para precisar esta idea:1.Hablar de aproximarse a un número a es en términos rigurosos dar una sucesión

{xn} que converja a a.2. Para poder hablar de "decencia" de una función en un punto a, es necesario

que el punto sea aproximable por puntos en el dominio de la función. Esto es, quea sea un punto de acumulación del dominio de la función.Por supuesto, en matemáticas no usamos la expresión "una función es decente

en a". En su lugar definimos con precisión el concepto y usamos expresiones como"una función tiene límite en a".

2.1. La definición ε-δ. Una manera de precisar las ideas que acabamos de discutires la llamada "definición ε-δ".

Definición ε-δ de límite de una función: Sea f : D ⊂ R → R una función ysea a un punto de acumulación del dominio D. Diremos que f tiene límite en a siexiste un número b tal que para cada ε > 0 se puede encontrar un δ > 0 tal que

12 CAPÍTULO 3

para todo x ∈ Dr {a} que cumple la condición |x− a| < δ se puede demostrar que

|f (x)− b| < ε

Usando símbolos lógicos podemos escribir esta definición en la forma

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ D r {a} , |x− a| < δ) =⇒ |f (x)− b| < ε

Por supuesto, nuestra definición de límite de una función en un punto es equiva-lente a la definición ε-δ que acabamos de enunciar como se demuestra en el siguienteteorema.

El siguiente lema es muy útil.

Lema 17. Sea w un número real si para todo ε > 0 se cumple que |w| < ε, si

∀ε > 0, |w| < ε

entonces,w = 0

Demostración. La demostración es por reducción al absurdo. Supongamosque nuestro enunciado es falso, entonces existe w ∈ R tal que

∀ε > 0, |w| < ε y w 6= 0

Como w 6= 0, |w| > 0 y también |w|2 > 0, como la desigualdad |w| < ε se cumple

para todo número positivo ε, en particular se cumple para ε = |w|2 y eso implica

que

¡0 < |w| < |w|2

!

lo que es absurdo. Por lo tanto nuestro enunciado es verdadero. �

Una consecuencia inmediata de este lema es la unicidad del límite de sucesioneses

Proposición 18. Si f : D ⊂ R→ R es una función y a un punto de acumulacióndel dominio D y f tiene límite en a, entonces, el límite es único.

Demostración. Nuevamente usaremos reducción al absurdo. Supongamos queexiste números b y b′, b 6= b′ tales que para cada número ε > 0 se pueden encontrarδ1 > 0 y δ′1 > 0 tales que

Si 0 < |x− a| < δ1, |f (x)− b| < ε

2y

Si 0 < |x− a| < δ′1, |f (x)− b′| < ε

2Por lo tanto, si para cada ε > 0, elegimos δ = min

{δ1, δ

′1

}, se tiene que si 0 <

|x− a| < δ

|b′ − b| = |b′ − f (x) + f (x)− b| = |(f (x)− b)− (f (x)− b′)|≤ |f (x)− b|+ |f (x)− b′| < ε

2+ε

2= ε

pero esto implica que∀ε > 0, |b− b′| < ε

y por el lema b− b′ = 0, así que ¡b− b′ = 0 y b 6= b′! absurdo. Por lo tanto nuestroenunciado es verdadero. �


Veamos algunos ejemplos de como se usa esta definición ε-δ.

Ejemplo 3. Consideremos la función f : R → R dada por f (x) = x2 en el punto0. Para ver que el límite de la función en 0 es 0 usando la definición ε-δ debemosexhibir, para cada número positivo ε un valor δ > 0 para el cual se cumpla que six ∈ Rr {0} y |x− 0| < δ, entonces, también se cumple la desigualdad∣∣x2 − 0

∣∣ < ε

En este caso dado el número ε > 0 nosotros tomamos δ =√ε. Si x ∈ R r {0} y

|x− 0| < δ =√ε, entonces, se tiene que

|x| <√ε

y puesto que las dos cantidades son positivas,

|x|2 < ε

Ahora bien, como ∣∣x2 − 0∣∣ =

∣∣x2∣∣ = |x|2

se sigue de esto y la desigualdad anterior que si x ∈ R r {0} y |x− 0| < δ =√ε,

también se cumple ∣∣x2 − 0∣∣ < ε

Así, la función f : R → R dada por f (x) = x2 tiene límite en el punto 0 y dicholímite es 0.

Problema 23. En el ejemplo 3a) Si el número dado es 4 ¿quién será la δ?b) Si el número dado es 0.01 ¿quién será la δ?

Una pregunta válida es cómo fue que decidimos elegir al número δ como√ε.

En general no existe un método que nos permita encontrar la δ para una funciónarbitraria. Sin embargo, una manera de obtener δ que funciona en algunos casos,es partiendo de lo que se quiere concluir y viendo que condición sobre |x− a| sededuce de ello. Por supuesto, esto de ninguna manera demuestra que hay un límite,solo nos proporciona un candidato para la elección de la δ. El siguiente ejemploilustra esto.

Ejemplo 4. Consideremos la función f : Rr {2} → R dada por f (x) = x2−43x−6 en

el punto 2. Mostraremos que el límite de esta función en 2 es el número 43 .

Empecemos por buscar para cada ε > 0 dada su candidato para la δ. Nosotrosqueremos concluir que ∣∣∣∣x2 − 4

3x− 6− 4

3

∣∣∣∣ < ε

14 CAPÍTULO 3

Ahora si usamos un poco de álgebra elemental para simplificar esta expresión obten-emos que ∣∣∣∣x2 − 4

3x− 6− 4

3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ (x− 2) (x+ 2)

3 (x− 2)− 4

3

∣∣∣∣=

∣∣∣∣x+ 2

3− 4

3

∣∣∣∣=

∣∣∣∣x+ 2− 4

3

∣∣∣∣=

∣∣∣∣x− 2

3

∣∣∣∣Así, si queremos mostrar que ∣∣∣∣x2 − 4

3x− 6− 4

3

∣∣∣∣ < ε

debe cumplirse que ∣∣∣∣x− 2

3

∣∣∣∣ < ε

o lo que es lo mismo|x− 2| < 3ε

Esto nos sugiere que para la ε > 0 dada tomemos δ como el valor 3ε.Veamos ahora la demostración de que limx→2

x2−43x−6 = 4

3 . Dada ε > 0 tomemosδ = 3ε, entonces, si x ∈ Rr {2} y |x− 2| < δ se tiene que

|x− 2| < 3ε

y por ende ∣∣∣∣x− 2

3

∣∣∣∣ < ε

Como ∣∣∣∣x− 2

3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣x+ 2− 4

3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣x+ 2

3− 4

3

∣∣∣∣se sigue que ∣∣∣∣x+ 2

3− 4

3

∣∣∣∣ < ε

Como x 6= 2 ( pues x ∈ Rr {2}) se tiene quex+ 2

3=

(x+ 2) (x− 2)

3 (x− 2)

al substituir en la desigualdad anterior obtenemos que∣∣∣∣ (x+ 2) (x− 2)

3 (x− 2)− 4

3

∣∣∣∣ < ε

pero esto implica que ∣∣∣∣x2 − 4

3x− 6− 4

3

∣∣∣∣ < ε

que es lo que queríamos concluir.


Problema 24. En el ejemplo 4a) Si el número dado es 4 ¿quién será la δ?b) Si el número dado es 0.01 ¿quién será la δ?

Problema 25. a) Use la definición ε-δ para demostrar que la función f : Rr {1} →R dada por f (x) = 5x2−5

x−1 tiene límite en el punto 1 y que dicho límite es 10.b) Si el número dado es 3 ¿quién será la δ?c) Si el número dado es 0.01 ¿quién será la δ?

Problema 26. a) Use la definición ε-δ para demostrar que la función f : R → Rdada por f (x) = x2 tiene límite en 1 ∈ R y que dicho límite es 1.b) Si el número dado es 4 ¿quién será la δ?c) Si el número dado es 0.01 ¿quién será la δ?

Problema 27. Use la definición ε-δ para demostrar que la función f : R→ R dadapor f (x) = x2 tiene límite en cualquier punto a ∈ R y que dicho límite es a2.

Problema 28. Use la definición ε-δ para demostrar que la función f : (0,∞) ⊂R → R dada por f (x) = 1

x tiene límite en cualquier punto a ∈ (0,∞) y que dicholímite es 1

a .

Una ventaja de la definición ε-δ de límite es que uno puede reescribir esta defini-ción en términos de vecindades abiertas. Puesto que las condiciones x ∈ D r {a}y |x− a| < δ son equivalentes a pedir que x ∈ V Dδ (a) r {a} y la condición|f (x)− b| < ε es lo mismo que pedir que f (x) ∈ Vε (b) se tiene que

Teorema 19. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto de acumulaciónde D. Entonces, f tiene límite en a si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0 talque para todo x ∈ V Dδ (a)r {a} se cumple que f (x) ∈ Vε (b).

Problema 29. Ilustre gráficamente la condición "para cada ε > 0 existe δ > 0 talque para todo x ∈ V Dδ (a)r {a} se cumple que f (x) ∈ Vε (b)".

Otra alternativa para definir el concepto de límite de funciones es en términosde sucesiones

Definición de límite por sucesiones de una función: Sea f : D ⊂ R → Runa función y sea a un punto de acumulación del dominio D. Diremos que f tienelímite por sucesiones en a si existe un número b tal que para cada sucesión infinita{xn} ⊂ D r {a} que converge a a se cumple que la sucesión de imágenes o valoresde f , {f (xn)}, converge a b. En tal caso el número b es llamado el límite de lafunción en a y escribimos

limx→a

f (x) = b

Teorema 20. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto de acumulacióndel dominio D. Una función tiene límite por sucesiones en a si y solo si f tienelímite (ε-δ) en a. En tal caso ambos límites son iguales.

Demostración. (⇒) Debemos mostrar que si para toda sucesión {xn} ⊂ D r{a} que converge a a se tiene que {f (xn)} converge a un mismo número b, entonces,

16 CAPÍTULO 3

para cada ε > 0 se puede encontrar un δ > 0 tal que para todo x ∈ D que cumplela condición |x− a| < δ se puede demostrar que

|f (x)− b| < ε

La demostración es por reducción al absurdo., Supongamos que para cada sucesiónen D r {a} la correspondiente sucesión de imágenes converge a un mismo valorb y que, sin embargo, existe ε0 > 0 tal que para cada δ > 0 existe un puntoxδ ∈ D r {a} tal que |xδ − a| < δ y |f (xδ)− b| ≥ ε0. Entonces, tendríamos enparticular que para cada número δ = 1

n debe haber un punto xn ∈ Dr {a} tal que|xn − a| < δ = 1

n y

|f (xn)− b| ≥ ε0Pero la construcción de los puntos xn muestra que la sucesión {xn} ⊂ D r {a} yque xn → a por lo tanto la sucesión de imágenes {f (xn)} debe converger a b, loque implica que hay un N ∈ N tal que ∀n ≥ N se tiene que

|f (xn)− b| < ε0

lo que contradice la desigualdad anterior. Así nuestro supuesto es falso y la afirma-ción original es verdadera.(⇐) Debemos mostrar ahora que para cada sucesión {xn} ⊂ Dr{a} que converge

a a, la sucesión de valores {f (xn)} converge a b, partiendo de que la función cumplela definición ε-δ.Partimos pues de que para cada número ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier

x ∈ D r {a} que cumple |x− a| < δ se satisface que

|f (x)− b| < ε

Ahora bien, dada una sucesión {xn} ⊂ D r {a} que converge a a sabemos queexiste N ∈ N tal que ∀n ≥ N se cumple que |xn − a| < δ y xn ∈ D r {a}. Así, deacuerdo a la definición ε-δ, para todo n ≥ N se satisface que

|f (xn)− b| < ε

Por lo tanto la sucesión de valores {f (xn)} converge al número b que es lo que sequería demostrar. �

Observación 7. De acuerdo con la definición de límite por sucesiones para demostrarque una función f : D ⊂ R → R no tiene límite en un punto a que es puntode acumulación de D basta mostrar una de dos cosas: O exhibir una sucesión{xn} ⊂ D r {a} que converja a a pero que su sucesión de imágenes {f (xn)} notenga límite. O bien, dar una par de sucesiones {xn} y {x′n} contenidas en Dr{a}para las cuales se tenga que

limn→∞

f (xn) 6= limn→∞

f (x′n)

3. Teoremas para calcular límites

Queda la pregunta de cómo fue que encontramos el valor del límite en los ejemplosy problemas anteriores. Los siguientes resultados son muy útiles en el cálculo delímites.


Teorema 21. Sean f : D ⊂ R → R y g : D′ ⊂ R → R funciones y sea a unpunto de acumulación de D y D′. Si, además, existe r > 0 tal que V Dr (a) r{a} = V D

′

r (a)r {a} y para cada x ∈ V Dr (a)r {a} = V D′

r (a)r {a} se cumple quef (x) = g (x), entonces, o ambas funciones tienen límite en a y

limx→a

f (x) = limx→a

g (x)

o ninguna de las dos tiene límite en a.

De manera intuitiva este teorema nos dice que si dos funciones son iguales alrede-dor de un punto a, entonces, ambas tienen el mismo límite. Además, puesto queno importa el valor en a de ninguna de las funciones, pues se pide la igualdad enV Dr (a)r {a} = V D

′

r (a)r {a} que son vecindades que no contienen a a.Demostración. Mostraremos tan solo que si una de las dos funciones tiene

límite la otra también tiene el mismo límite. Si limx→a f (x) = b, sabemos que paracada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ V Dδ (a)r{a}, entonces, f (x) ∈ Vε (b). Para lamisma ε tenemos que si tomamos δ′ = min {r, δ}, se tiene que si x ∈ V D′δ′ (a)r {a},entonces, x ∈ V D′δ (a)r {a}, pues δ′ ≤ δ, y puesto que δ′ ≤ r, x ∈ V D′r (a)r {a} =V Dr (a)r{a}. Esto implica que x ∈ V Dδ (a)r{a} y por tanto g (x) = f (x) ∈ Vε (b).Así para cada x ∈ V D′δ′ (a)r {a} se cumple que g (x) ∈ Vε (b), esto es,

limx→a

g (x) = b

�

Problema 30. Considere las funciones del ejemplo 4 y el problema 25. Demuestrequea)

limx→2

x2 − 4

3x− 6= limx→2

1

3(x+ 2)

b)

limx→1

5x2 − 5

x− 1= limx→1

5 (x+ 1)

Aquí las funciones 13 (x+ 2) y 5 (x+ 1) se definen con dominio todo R.

Antes de continuar es necesario probar dos lemas.

Lema 22. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto de acumulación deD. Si

limx→a

f (x) = b y b > 0

Entonces, existe r > 0 tal que para toda x ∈ V Dr (a)r {a} se cumple que f (x) > 0.Más aún, se puede elegir r > 0 tal que

f (x) >b

2.

Demostración. Puesto que b > 0, sabemos que hay un δ > 0 tal que six ∈ V Dδ (a)r {a}, entonces,

f (x) ∈ Vb (b)

Tomemos r = δ, entonces, si x ∈ V Dr (a)r {a}, f (x) ∈ Vb (b), esto implica que

|f (x)− b| < b

2

18 CAPÍTULO 3

y de las propiedades del valor absoluto obtenemos la desigualdad

−b < f (x)− b < b

Sumando b en la primera desigualdad nos queda que para cada x ∈ V Dr (a)r {a}b

2< f (x)

�

Problema 31. Sea f : D ⊂ R→ R una función y sea a un punto de acumulaciónde D. Muestre que si

limx→a

f (x) = b y b < 0

Entonces, existe r > 0 tal que para toda x ∈ V Dr (a)r{a} se cumple que f (x) < b2 .

Lema 23. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto de acumulación deD. Entonces,

limx→a

f (x) = b

si y solo si

limx→a|f (x)− b| = 0

Demostración. (⇒) Si limx→a f (x) = b, entonces, dada ε > 0 existe δ > 0 talque si x ∈ D r {a} y |x− a| < δ, también se cumple que |f (x)− b| < ε y como

||f (x)− b| − 0| = |f (x)− b|

se sigue que para la misma δ también se cumple si x ∈ D r {a} y |x− a| < δ,entonces

||f (x)− b| − 0| < ε

lo que muestra que

limx→a|f (x)− b| = 0

�

Problema 32. Termine la demostración.

Lema 24. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto de acumulación deD. Muestre que

limx→a

f (x) = b

si y solo si

limx→a

(f (x)− b) = 0

Proposición 25. Sea f : D ⊂ R→ R una función y sea a un punto de acumulaciónde D. Si

limx→a

f (x) = b

entonces,

limx→a|f (x)| = |b|


Demostración. Sabemos que para cada ε > 0 dado se puede encontrar unaδ > 0 tal que para cada x ∈ V Dδ (a)r {a} se cumple la desigualdad

|f (x)− b| < ε

Puesto que||f (x)| − |b|| ≤ |f (x)− b|

se tiene que para la misma δ se satisface que si x ∈ V Dδ (a)r {a}, entonces,||f (x)| − |b|| < ε

entonces,limx→a|f (x)| = |b|

�Problema 33. Dé un contraejemplo que muestre que el recíproco es falso, esto es,dé una función para la cual se cumpla que

limx→a|f (x)| = |b|

pero que f no tenga límite en a.

Lema 26. Sea f : D ⊂ R→ R una función y a es un punto de acumulación de D.Si

limx→a

f (x) = b

entonces, existe δ1 > 0 tal que para todo x ∈ V Dδ1 (a)r{a} se cumple la desigualdad|f (x)| < |b|+ 1

Problema 34. Demuestre el lema 32.

Problema 35. Sea f : D ⊂ R→ R una función y sea a un punto de acumulaciónde D. Demuestre que

limx→a

f (x) = 0

si y solo silimx→a|f (x)| = 0

Veamos ahora un resultado muy útil para obtener el valor de un límite.

Teorema 27 (Linealidad). Sean f : D ⊂ R→ R y g : D ⊂ R→ R funciones y seaa un punto de acumulación de D. Si se sabe que

limx→a

f (x) = b y limx→a

g (x) = c

Entonces, para cualesquiera constantes α y β

limx→a

(αf (x) + βg (x)) = α limx→a

f (x) + β limx→a

g (x)

Demostración. Dado ε > 0 sabemos que para el número positivo ε2(|α|+1) hay

una δ1 > 0 tal que si x ∈ V Dδ1 (a)r {a}

|f (x)− b| < ε

2 (|α|+ 1)

y que para el número positivo ε2(|α|+1) hay una δ2 > 0 tal que si x ∈ V Dδ2 (a)r {a}

|g (x)− c| < ε

2 (|β|+ 1)

20 CAPÍTULO 3

Por lo tanto si tomamos δ = min {δ1, δ2}, se tiene que si x ∈ V Dδ (a)r {a}|αf (x) + βg (x)− (αb+ βc)| = |α (f (x)− b) + β (g (x)− c)|

≤ |α| |f (x)− b|+ |β| |g (x)− c|< (|α|+ 1) |f (x)− b|+ (|β|+ 1) |g (x)− c|< (|α|+ 1)

ε

2 (|α|+ 1)+ (|β|+ 1)

ε

2 (|β|+ 1)= ε

�Teorema 28 (Regla del producto). Sean f : D ⊂ R → R y g : D ⊂ R → Rfunciones y sea a un punto de acumulación de D. Si se sabe que

limx→a


g (x) = c

Entonces,

limx→a

f (x) g (x) =(

limx→a

f (x))(

limx→a

g (x))

= b · c

Demostración. Demostraremos ahora que limx→a (fg) (x) = bc. De la proposi-ción 25 sabemos que

limx→a|g (x)| = |c|

Esto implica que para el número 1 existe una δ1 > 0 tal que x ∈ V Dδ1 (a)r {a}||g (x)| − |c|| < 1

lo que a su vez (ver problema 26) nos lleva a que para cada x ∈ V Dδ1 (a) r {a} secumple la desigualdad

|g (x)| < |c|+ 1

Dado ε > 0 sabemos que para el número positivo ε2(|c|+1) hay una δ2 > 0 tal que

si x ∈ V Dδ2 (a)r {a}|f (x)− b| < ε

2 (|c|+ 1)

También existe δ3 > 0 tal que si x ∈ V Dδ3 (a)r {a}

|g (x)− c| < ε

2 (|b|+ 1)

Así, para la ε dada se tiene que si δ = min {δ1, δ2, δ3} y x ∈ V Dδ (a)r{a} se cumplenlas tres desigualdades

(3.1) |g (x)| < |c|+ 1, |f (x)− b| < ε

2 (|c|+ 1)y |g (x)− c| < ε

2 (|b|+ 1)

Finalmente puesto que

|(fg) (x)− bc| = |f (x) g (x)− bc|= |f (x) g (x)− bg (x) + bg (x)− bc|≤ |f (x) g (x)− bg (x)|+ |bg (x)− bc|= |f (x)− b| |g (x)|+ |b| |g (x)− c|≤ |f (x)− b| (|c|+ 1) + (|b|+ 1) |g (x)− c|

podemos concluir que si tomamos δ = min {δ1, δ2, δ3},

|(fg) (x)− bc| ≤ |f (x)− b| (|c|+ 1) + (|b|+ 1) |g (x)− c| < ε

2+ε

2= ε

�


Teorema 29 (Regla del cociente). Sean f : D ⊂ R → R y g : D ⊂ R → Rfunciones y sea a un punto de acumulación de D. Si se sabe que

limx→a


g (x) = c

y, además,

limx→∞

g (x) = c 6= 0

Entonces,

limx→a

f (x)

g (x)=

limx→a f (x)

limx→a g (x)=b

c

Demostración. Dado ε > 0, sabemos que podemos encontrar δ1 > 0 tal que six ∈

(V Dδ1 (a)r {a}

)∩D

|g (x)| > |c|2

También podemos elegir δ2 > 0 tal que

|f (x)− b| < ε |c|4

si x ∈(V Dδ1 (a)r {a}

)∩D

y δ3 > 0 tal que

|g (x)− c| < ε |c|2

4 (|b|+ 1)si x ∈

(V Dδ1 (a)r {a}

)∩D

Para la ε > 0 dada, tomemos δ = min {δ1, δ2, δ3}, entonces, si x ∈(V Dδ (a)r {a}

)∩

D ∣∣∣∣f (x)

g (x)− b

c

∣∣∣∣ =|f (x) c− bg (x)||g (x)| |c|

Como, |g (x)| > |c|2

1

|g (x)| |c| <2

|c|2

por lo tanto∣∣∣∣f (x)

g (x)− b

c

∣∣∣∣ =|f (x) c− bg (x)||g (x)| |c| <

2

|c|2|f (x) c− bg (x)|

=2

|c|2|f (x) c− bc+ bc− bg (x)|

≤ 2

|c|2|f (x)− b| |c|+ 2

|c|2|b| |g (x)− c|

≤ 2

|c|2|f (x)− b| |c|+ 2

|c|2(|b|+ 1) |g (x)− c|

<2

|c|2ε |c|

4|c|+ 2

|c|2(|b|+ 1)

ε |c|2

4 (|b|+ 1)

<ε

2+ε

2= ε

�

22 CAPÍTULO 3

Proposición 30. ·) La función f : R→ R dada por f (x) = x tiene límite en cadapunto a ∈ R y

limx→a

x = a

··) Para cada constante c ∈ R la función f : R → R dada por f (x) = c tienelímite en cada punto a ∈ R y

limx→a

c = c

Problema 36. Demuestre la proposición 30 usando la definición por sucesiones yusando la definición ε-δ.

Proposición 31. Para cada n ∈ N la función f : R→ R dada por f (x) = xn tienelímite en cada punto a ∈ R y

limx→a

xn = an

Problema 37. Use el teorema ?? y la proposición 30 para demostrar por inducciónla proposición 31.

Problema 38. a) Use la serie geométrica para deducir la fórmula

un − vn = (u− v)

n−1∑k=0

u(n−1)−kvk

b) Desarrolle esta suma en los casos n = 3 y n = 5.c) Use esta fórmula para mostrar que si x y a son positivos

x1n − a 1

n =x− a∑n−1

k=0 xn−k−1n a

kn

d) Muestre que si 0 < a2 < x

an−1n

2− 2n−1n

≤n−1∑k=0

xn−k−1n (a)

kn

Proposición 32. Para cada n ∈ N la función f : [0,∞) ⊂ R → R dada porf (x) = x

1n tiene límite en cada punto a ∈ [0,∞) y

limx→a

x1n = a

1n

Demostración. Demostraremos primero el caso en el que a > 0. Dado ε > 0tomemos

δ = min

{a

2,

(an−1n

2− 2n−1n

)ε

}Como δ ≤ a

2 para cada x ∈ [0,∞) que satisface la condición |x− a| < δ se tieneque |x− a| < a

2 y por ende

−a2< x− a < a

2lo que implica que

a

2< x

y por tanto se cumple la desigualdad

an−1n

2− 2n−1n

≤n−1∑k=0

xn−1n

(ax

) kn


Por otra parte se sabe que∣∣∣x 1n − a 1

n

∣∣∣ =|x− a|∑n−1

k=0 xn−1n

(ax

) kn

y usando la desigualdad anterior se obtiene que∣∣∣x 1n − a 1

n

∣∣∣ =|x− a|∑n−1

k=0 xn−1n

(ax

) kn

≤ |x− a|(an−1n

2−2n−1n

)Finalmente como δ ≤

(an−1n

2−2n−1n

)ε y |x− a| < δ concluimos que

∣∣∣x 1n − a 1

n

∣∣∣ ≤ |x− a|(an−1n

2−2n−1n

) <

(an−1n

2−2n−1n

)ε(

an−1n

2−2n−1n

) = ε

lo que muestra que para a > 0

limx→a

x1n = a

1n

�

Problema 39. Reproduzca la demostración de la proposición 32 para el caso n =3 usando la notación desarrollada de las sumas. En cada caso indique la o laspropiedades que está usando en cada paso.

Otro resultado útil para obtener el límite de una función en un punto es lo quellamo "ley del apachurrón".

Teorema 33. (Ley del apachurrón) Sean f, g y h tres funciones con dominio D ⊂ Ry valores en R y sea a un punto de acumulación de D. Si existe una r > 0 tal quepara todo x ∈ V Dr (a)r {a} se cumple la desigualdad

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x)

y ademáslimx→a

g (x) = limx→a

h (x)

Entonces, la función f tiene límite en a y

limx→a

f (x) = limx→a

g (x) = limx→a

h (x)

Demostración. Seab = lim

x→ag (x) = lim

x→ah (x)

Dado ε > 0 sabemos que existe δ1 > 0 tal que para cada x ∈ V Dδ1 (a)r {a}|g (x)− b| < ε

y por ende

(3.2) b− ε < g (x) < b+ ε

También sabemos que existe δ2 > 0 tal que para cada x ∈ V Dδ2 (a)r {a}|h (x)− b| < ε

24 CAPÍTULO 3

y por lo tanto

(3.3) b− ε < h (x) < b+ ε

Tomemos δ = min {r, δ1, δ2} entonces si x ∈ V Dδ (a)r {a} se cumplen 3.2, 3.3 y

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x)

Así, usando la primera desigualdad en 3.2 y la segunda en 3.3 obtenemos que

b− ε < g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) < b+ ε

por lo tantob− ε < f (x) < b+ ε

lo que implica que para cada x ∈ V Dδ (a)r {a}

|f (x)− b| < ε

y el teorema está demostrado. �

Problema 40. Muestre que si δ ≤ δ′, entonces, cada x ∈ V Dδ (a) r {a} tambiénestá en V Dδ′ (a)r {a}.

Terminaremos esta sección demostrando dos teoremas sobre la composición defunciones, el cual también es llamado teorema de cambio de variable para el límite.

Teorema 34 (Regla de la composición). Sea g : Dg ⊂ R→ R una función y a unpunto de acumulación de D tal que

limx→a

g (x) = b

Y sea f : Dg ⊂ R→ R una función tal que1) g (Dg r {a}) ⊂ Df r {b}2) b es punto de acumulación de Df .3)

limx→b

f (x) = c

Entonces, la composición f ◦ g : Dg ⊂ RN tiene límite en a y

limx→a

(f ◦ g) (x) = c

Demostración. Dado ε > sabemos que existe δ1 > 0 tal que si x ∈ V Dfδ1(b)r{b}

|f (x)− c| < ε

También sabemos que para el número positivo δ1 existe una δ > 0 tal que six ∈ V Dgδ (a)r {a}

|g (x)− b| < δ1

Por 1) sabemos que g (x) ∈ Df r {b} y por la desigualdad anterior se tiene que six ∈ V Dgδ (a)r {a}, entonces,

g (x) ∈ V Dfδ1(b)r {b}

lo que implica que|f (g (x))− c| = |(f ◦ g) (x)− c| < ε



Teorema 35 (Cambio de variable). Sea g : Dg ⊂ R→ R una función y a un puntode acumulación de Dg tal que

limh→a

g (h) = b

Y sea f : Df ⊂ R→ R una función tal que1) g (Dg r {a}) ⊂ Df r {b}2)3)

limx→b

f (x) = c

Entonces, la composición f ◦ g : Dg ⊂ R→ R tiene límite en a y

limh→a

(f ◦ g) (h) = limh→0

f (g (h)) = limx→b

f (x) = c

Excepto por los nombres de las variables los teoremas de cambio de variable ycomposición son el mismo.

Problema 41. Muestre que si D es abierto entonces todo punto de D es puntode acumulación de D. (Sugerencia: Considere puntos en V r

n(a)r {a} ¿quién sería

r > 0?)

Problema 42. Muestre que h ∈ Vr (0)r {0} si y solo si a+ h ∈ Vr (a)r {a}.

Proposición 36. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto tal queVr (a) r {a} ⊂ D, para algún r > 0. Entonces, f (x) tiene límite en a si y solosi f (x+ h) tiene límite cuando h se aproxima a 0. En cualquiera de los casos ellímite es el mismo, es decir,

limx→a

f (x) = b si y solo si limh→0

f (a+ h) = b

Demostración. =⇒) Tomando g (h) = a+ h, se tiene que

limh→0

g (h) = limh→0

(a+ h) = a

Para determinar el dominio de g, recordemos que D es un abierto y como a ∈ D,existe r > 0 tal que Vr (a) ⊂ D. Con esto en mente definimos el dominio de g comoDg = Vr (0). Entonces,g (Dg r {0}) = g (Vr (0)r {0}) = (Vr (a)r {a}) ⊂ D r {a}.Como D es abierto a es punto de acumulación de D. Finalmente como

limx→a

f (x) = b

podemos usar la regla de cambio de variable para concluir que

limh→0

f (g (h)) = limh→0

f (a+ h) = limx→a

f (x)

⇐=) Para el recíproco, cambiamos los papeles de x y h. Más precisamente,definamos

g (x) = x− a con Dg = Vr (x)

yf (h) = f (a+ h) con Df = Vr (0)

Es claro quelimx→a

g (x) = limx→a

(x− a) = 0

26 CAPÍTULO 3

además, no es dificil ver que las condiciones 1), 2) también se cumplen y como

limh→0

f (a+ h) = b

podemos aplicar cambio de variable.Puesto que la composición de f (h) = f (a+ h) con g (x) = x− a

f (g (x)) = f (a+ g (x)) = f (a+ (x− a)) = f (x)

por el teorema de cambio de variables

limx→a

f (x) = limx→a

f (g (x)) = limh→0

f (h) = limh→0

f (a+ h)

�

Problema 43. a) Dé un argumento geométrica que muestre que para x ∈(−π4 ,

π4

)se cumple

|senx| ≤ |x|b) Use esta desigualdad y a ley del apachurrón para mostrar que

limx→0

senx = 0

Problema 44. Muestre quelimx→0

cosx = 1

(Sugerencia: Use la regla de la composición y el que para x ∈(−π4 ,

π4

), cosx =√

1− sen2 x.)

Problema 45. Use las identidades trigonométricas

sen (α± β) = senα cosβ ± senβ cosα

ycos (α± β) = cosα cosβ ∓ senα senβ

y la proposición 36 para mostrar que

limx→α

senx = senα y limx→α

cosx = cosα

Problema 46. a) Use la ley del apachurrón y el hecho de que para x ∈(−π4 ,

π4

)se cumple

1 ≤ x

senx≤ 1

cosxpara mostrar que

limx→0

x

senx= 1

b) ¿Cuál es la r > 0 que se requiere en la ley del apachurrón para este caso?c) Concluya que

limx→0

senx

x= 1

Enuncie el o los teoremas que usa.

Problema 47. Use los resultados anteriores para calcular y demostrar que lossiguientes límites existen:a)

limx→1

x3 − 1

x− 1


b)

limx→5

3√x− 3√

5

x− 5

c)limx→π

4

tanx

d)

limx→0

1− cosx

sen2 x

Problema 48. Use la ley del apachurrón y el hecho de que para x ∈(−π4 ,

π4

)r{0}

se cumple la desigualdad ∣∣∣∣x sen1

x

∣∣∣∣ ≤ |x|para mostrar que

limx→0

x sen1

x= 0

Enuncie el o los teoremas que usa.

Problema 49. Use los resultados anteriores para calcular y demostrar que lossiguientes límites existen:a)

limx→1

x3 − 1

x− 1

b)

limx→5

3√x− 3√

5

x− 5

c)limx→0

tanx

d)

limx→0

1− cosx

sen2 xEn cada caso indique la o las propiedades que está usando en cada paso.

Problema 50. Use el teorema de la composición y los resultados anteriores paracalcular y demostrar los siguientes límites:a)

limx→2

√x2 − x

b)

limx→0

sen (3x)

xc)

limx→0

sen(x2√x+ 1

)d)

limx→1

tan(π

4x)

En todos los casos indique cuáles son la funciones h y g que se consideran.

28 CAPÍTULO 3

Problema 51. Sea f : D ⊂ R→ R una función con D un abierto de R y sea a unpunto en D, para el cual se cumple que

limx→a

f (x)− f (a)

x− a = d

Demuestre que entonces

limh→0

f (a+ h)− f (a)

h= limx→a

f (x)− f (a)

x− a = d

4. Límites laterales

En esta sección damos la definición y propiedades básicas de límite por la izquierday por la derecha.

Límite por la izquierda: Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un puntotal que para cada ρ > 0, (a− ρ, a) ∩ D 6= ∅. Diremos que f tiene límite por laizquierda en a si existe un número l con la propiedad de que para cada ε > 0 existeδ > 0 tal que para cada x ∈ (a− δ, a) ∩D se cumple que

|f (x)− l| < ε

En tal caso escribiremoslimx→a−

f (x) = l

Límite por la derecha: Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un puntotal que para cada ρ > 0, (a, a+ ρ) ∩ D 6= ∅. Diremos que f tiene límite por laizquierda en a si existe un número d con la propiedad de que para cada ε > 0 existeδ > 0 tal que para cada x ∈ (a, a+ δ) ∩D se cumple que

|f (x)− d| < ε

En tal caso escribiremoslimx→a+

f (x) = d

Tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha tiene las mismaspropiedades que discutimos en el caso del límite y los teoremas, proposiciones ylemas vistos en la sección anterior, excepto el teorema de la composición, puedeenunciarse y demostrarse de modo similar, tan solo habrá que reemplazar la frase "aes punto de acumulación de D" por la frase "a es un punto tal que para cada ρ > 0,(a− ρ, a) ∩D 6= ∅", limx→a f (x) por limx→a− f (x), V Dδ r {a} por (a− δ, a) ∩D,etc. si se trata del límite por la izquierda y "a es punto de acumulación de D" porla frase"a es un punto tal que para cada ρ > 0, (a, a+ ρ) ∩D 6= ∅", limx→a f (x)por limx→a+ f (x), V Dδ r {a} por (a, a+ δ) ∩ D, etc. si se trata del límite por laderecha.Resultados claves para el cálculo de muchos límites laterales son los siguientes.

Teorema 37 (Para calcular límites por la izquierda). Sean f : D ⊂ R → R yg : D′ ⊂ R → R funciones y sea a un punto de acumulación de D′ para el cualexiste r > 0 tal que (a− r, a)∩D = (a− r, a)∩D′ y para cada x ∈ (a− r, a)∩D =(a− r, a) ∩ D′ se cumple que f (x) = g (x), entonces, f (x) tiene límite por laizquierda en a si g (x) tiene límite en a, en este caso

limx→a−

f (x) = limx→a

g (x) = i


Problema 52. Enuncie los teoremas de la sección anterior, excepto el de la com-posición, para el caso de límite por la derecha.

Teorema 38 (Para calcular límites por la derecha). Sean f : D ⊂ R → R yg : D′ ⊂ R→ R funciones y sea a un punto de acumulación de D y D′ para el cualexiste r > 0 tal que (a, a+ r)∩D = (a, a+ r)∩D′ y para cada x ∈ (a, a+ r)∩D =(a, a+ r) ∩ D′ se cumple que f (x) = g (x), entonces, f (x) tiene límite por laizquierda en a si g (x) tiene límite en a, en este caso

limx→a+

f (x) = limx→a

g (x) = d

Demostración. Demostraremos el caso de límite por la derecha, el otro casoes similar. Dado ε > 0, como limx→a g (x) = d, existe δ1 > 0 tal que si x ∈ D′ yx ∈ Vδ1 (a)r {a}, entonces, |g (x)− d| < ε. Puesto que

Vδ1 (a)r {a} = (a− δ1, a) ∪ (a, a+ δ1)

se tiene que si tomamos δ = min {r, δ1}, entonces, (a, a+ δ)∩D ⊂ (a, a+ r)∩D =(a, a+ r) ∩D′ y por ende para x ∈ (a, a+ δ) ∩D

f (x) = g (x)

También se tiene que si x ∈ (a, a+ δ)∩D, x ∈ (a, a+ δ)∩ D́ ⊂ (Vδ1 (a)r {a})∩D, lo que implica que |g (x)− d| < ε y, en consecuencia, dado ε > 0, para δ =min {r, δ1},

|f (x)− d| = |g (x)− d| < ε para todo x ∈ (a, a+ δ) ∩Dque es la definición de que

limx→a+

f (x) = d

�Note que en mientras que solo se pide la existencia del límite lateral para la

función f , para la función g se pide la existencia del límite (completo).

La relación entre el límite y los límites laterales es la siguiente:

Teorema 39. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto de acumulaciónde D, tal que para alguna ρ > 0 Vρ (a) r {a} ⊂ D. Entonces, la función f tienelímite en a si y solo si f tiene límites laterales por la izquierda, por la derecha yademás

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x)

En este caso se tiene que

limx→a

f (x) = limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x)

Problema 53. Demuestre el teorema 39.

Problema 54. Considere la función

f (x) =

{3x si x < 1

x2 + 2 si x ≥ 1

a) Calcule limx→1+ f (x) dondeb) Calcule limx→1− f (x) donde f es la función del ej. anterior.c) ¿La función tiene límite en 1?d) ¿Qué puede decir del límite por la derecha en 0?

30 CAPÍTULO 3

Problema 55. Considere la función

f (x) =

{x2 − 1 si x < 1x2 + 2 si x ≥ 1

a) Calcule limx→1+ f (x) dondeb) Calcule limx→1− f (x) donde f es la función del ej. anterior.c) ¿La función tiene límite en 1?d) ¿Qué puede decir del límite por la izquierda en 0?

Problema 56. a) Use límites laterales para ver que f (x) = |x− 1| tiene límite en1.b) Use límites laterales para ver que f (x) = |x−1|

x−1 tiene límite en 1.

4.1. Límites en infinito. Otro tipo de límites que son importantes es cuando unoquiere estudiar el comportamiento de una función cuando los valores de x se hacencada vez más grandes en magnitud. He aquí una definición rigurosa de esta idea:

Límite cuando x tiende a ∞: Sea f : D ⊂ R→ R una función y suponga queexiste r > 0 tal que (r,∞) ⊂ D. Diremos que f tiene límite cuando x tiende a ∞si existe b ∈ R tal que para cada ε > 0 existe R > 0 tal que para todo x ∈ D conx > R se cumple que

|f (x)− b| < ε

En este caso escribimoslimx→∞

f (x) = b

Límite cuando x tiende a −∞: Sea f : D ⊂ R → R una función y supongaque existe r > 0 tal que (−∞,−r) ⊂ D. Diremos que f tiene límite cuando xtiende a −∞ si existe b ∈ R tal que para cada ε > 0 existe R > 0 tal que para todox ∈ D con x < −R se cumple que

|f (x)− b| < ε

En este caso escribimoslim

x→−∞f (x) = b

Propiedades como la linealidad, la regla del producto, la del cociente, la delapachurrón y la composición también se cumplen, cuando los límites en infinitoexisten. Además las demostraciones son muy similares.

Lema 40. Sea f : D ⊂ R→ R una función tal que para alguna r > 0, (r,∞) ⊂ D((−∞,−r) ⊂ D). Si

limx→∞

f (x) = b y b > 0

( limx→−∞

f (x) = b y b > 0)

Entonces, existe R > 0 tal que para toda x ∈ (R,∞) ( x ∈ (−∞,−R))se cumpleque f (x) > 0. Más aún, se puede elegir R > 0 tal que

f (x) >b

2para todo x ∈ (R,∞) .


Demostración. Puesto que b > 0, sabemos que hay un R > 0 tal que six ∈ (R,∞),

|f (x)− b| < b

2esto implica que

b

2< f (x) <

3b

2para x ∈ (R,∞)

b

2< f (x)

�

Proposición 41. Sea f : D ⊂ R → R una función tal que para alguna r > 0,(r,∞) ⊂ D ((−∞,−r) ⊂ D). Si

limx→∞

f (x) = b

( limx→−∞

f (x) = b)

entonces,

limx→∞

|f (x)| = |b|

( limx→−∞

|f (x)| = |b| )

Demostración. Demostremos este resultado par el límite en −∞. Sabemosque para cada ε > 0 dado se puede encontrar una R > 0 tal que para cada x ∈(−∞,−R) ∩Df se cumple que

|f (x)− b| < ε

Puesto que||f (x)| − |b|| ≤ |f (x)− b|

se tiene que para la misma R > 0 se satisface que si x ∈ (−∞,−R), entonces,

||f (x)| − |b|| < ε

�

Teorema 42. Si f y g son funciones para las cuales existe r > 0 tal que (r,∞) ⊂Df y (r,∞) ⊂ Dg ((−∞,−r) ⊂ Df y (−∞,−r) ⊂ Dg) y

limx→∞

f (x) = b y limx→∞

g (x) = c

( limx→−∞

f (x) = b y limx→−∞

g (x) = c)

Entonces,·) Para cualesquiera constantes α y β se cumple que

limx→∞

(αf (x) + βg (x)) = α limx→∞

f (x) + β limx→∞

g (x)

( limx→−∞

(αf (x) + βg (x)) = α limx→−∞

f (x) + β limx→−∞

g (x) )

··)

limx→∞

f (x) g (x) =(

limx→∞

f (x))(

limx→∞

g (x))

( limx→−∞

f (x) g (x) =

(lim

x→−∞f (x)

)(lim

x→−∞g (x)

))

32 CAPÍTULO 3

· · ·) Si además limx→∞ g (x) 6= 0 (limx→−∞ g (x) 6= 0),

limx→∞

f (x)

g (x)=

limx→∞ f (x)

limx→∞ g (x)

( limx→−∞

f (x)

g (x)=

limx→−∞ f (x)

limx→−∞ g (x))

Demostración. Solo demostraremos la regla del cociente para el caso del límiteen −∞. Dado ε > 0, sabemos que podemos encontrar R1 > 0 tal que R1 > r y six ∈ (−∞,−R1)

|g (x)| > |c|2

También podemos elegir R2 > r > 0 tal que

|f (x)− b| < ε |c|4

si x ∈ (−∞,−R2)

y R3 > r > 0 tal que

|g (x)− c| < ε |c|2

4 (|b|+ 1)si x ∈ (−∞,−R3)

Para la ε > 0 dada, tomemos R = max {R1, R2, R3}, entonces, si x ∈ (−∞,−R)∣∣∣∣f (x)

g (x)− b

c

∣∣∣∣ =|f (x) c− bg (x)||g (x)| |c|

Como, |g (x)| > |c|2

1

|g (x)| |c| <2

|c|2

por lo tanto∣∣∣∣f (x)

g (x)− b

c

∣∣∣∣ =|f (x) c− bg (x)||g (x)| |c| <

2

|c|2|f (x) c− bg (x)|

=2

|c|2|f (x) c− bc+ bc− bg (x)|

≤ 2

|c|2|f (x)− b| |c|+ 2

|c|2|b| |g (x)− c|

≤ 2

|c|2|f (x)− b| |c|+ 2

|c|2(|b|+ 1) |g (x)− c|

<2

|c|2ε |c|

4|c|+ 2

|c|2(|b|+ 1)

ε |c|2

4 (|b|+ 1)

<ε

2+ε

2= ε

�

Teorema 43. Si f.g y h son funciones para las cuales, Df = Dg = Dh y exister > 0 tal que (r,∞) ⊂ Df = Dg = Dh ((−∞,−r) ⊂ Df = Dg = Dh) y

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) para todo x ∈ (r,∞)


Entonces, si

limx→∞

g (x) = limx→∞

h (x) = b

( limx→−∞

g (x) = limx→−∞

h (x) = b)

la función f (x) tiene límite en infinito (menos infinito) y

limx→∞

f (x) = limx→∞

g (x) = limx→∞

h (x) = b

( limx→−∞

f (x) = limx→−∞

g (x) = limx→−∞

h (x) = b)

Problema 57. Demuestre éste teorema par el caso del límite en infinito.

Teorema 44. Sea g una función para las cuales existe r > 0 tal que (r,∞) ⊂ Dg

((−∞,−r) ⊂ Dg) y sea f una función con dominio Df . Entonces, si se cumplenlas tres condiciones siguiente1) limx→∞ g (x) = b (limx→−∞ g (x) = b).2) g ((r,∞)) ⊂ Df (g ((−∞,−r)) ⊂ Df ).3) b es punto de acumulación de Df .La composición f ◦ g tiene límite en ∞ (−∞) y

limx→∞

f ◦ g (x) = limx→∞

f (g (x)) = limx→b

f (x)

( limx→−∞

f ◦ g (x) = limx→−∞

f (g (x)) = limx→b

f (x) )

Problema 58. Demuestre éste teorema par el caso del límite en infinito.

Proposición 45. Sea f : Rr {0} ⊂ R→ R la función dada por

f (x) =1

x

Entonces,

limx→−∞

1

x= 0 y lim

x→∞

1

x= 0

Problema 59. Demuestre ésta proposición par el caso del límite en infinito.

Proposición 46. Sea f : Rr {0} ⊂ R→ R la función dada por

f (x) =1

xn

Entonces,

limx→−∞

1

xn= 0 y lim

x→∞

1

xn= 0

Problema 60. Demuestre ésta proposición par el caso del límite en menos infinito.

Proposición 47. Sea f : (0,∞) ⊂ R→ R la función dada por

f (x) =1n√x

Entonces,

limx→∞

1n√x

= 0

Problema 61. Demuestre ésta proposición par el caso del límite en infinito. ¿Puedehablarse del límite en −∞, para todo n?

34 CAPÍTULO 3

Problema 62. Calcule los siguientes límitesa)

limx→−∞

6x4 − x3 + x2 − x+ 1

x4 − 5b)

limx→∞

senx

xc)

limx→−∞

6x√x2 − 1

d)

limx→∞

6x√x2 − 1

e)

limx→∞

(√x2 − 1− x

)(Sugerencia: Multiplique por el "1 inteligente"

√x2−1+x√x2−1+x .)

4.2. Divergencia del límite. Un caso especial de no existencia del límite de unafunción y que merece ser puntualizado es cuando los valores de la función se hacencada vez más grandes en magnitud conforme nos aproximamos al número a.

El límite diverge a +∞: Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un punto deacumulación de D. Diremos que f diverge a +∞ en a si para cada numero positivoM existe δ > 0 tal que para todo x ∈ V Dδ (a)r {a} se cumple que

f (x) ≥MAún cuando en este caso no existe el límite se usa la notación

limx→a

f (x) =∞

El límite diverge a −∞: Sea f : D ⊂ R→ R una función y sea a un punto deacumulación de D. Diremos que f diverge a −∞ en a si para cada numero positivoM existe δ > 0 tal que para todo x ∈ V Dδ (a)r {a} se cumple que

f (x) ≤ −MAún cuando en este caso no existe el límite se usa la notación

limx→a

f (x) = −∞

Las versiones correspondientes para los límites laterales son las siguientes

El límite diverge a +∞ por la izquierda: Sea f : D ⊂ R→ R una función ysea a un punto tal que para cada ρ > 0 (a− ρ, a) ∩D 6= ∅. Diremos que f divergea +∞ por la izquierda en a si para cada numero positivo M existe δ > 0 tal quepara todo x ∈ (a− δ, a) ∩D se cumple que

f (x) ≥MAún cuando en este caso no existe el límite se usa la notación

limx→a−

f (x) =∞


El límite diverge a −∞ por la izquierda: Sea f : D ⊂ R→ R una función ysea a un punto tal que para cada ρ > 0 (a− ρ, a) ∩D 6= ∅. Diremos que f divergea −∞ por la izquierda en a si para cada numero positivo M existe δ > 0 tal quepara todo x ∈ (a− δ, a) ∩D se cumple que

f (x) ≤ −M

Aún cuando en este caso no existe el límite se usa la notación

limx→a−

f (x) = −∞

El límite diverge a +∞ por la derecha: Sea f : D ⊂ R→ R una función ysea a un punto tal que para cada ρ > 0 (a, a+ ρ) ∩D 6= ∅. Diremos que f divergea +∞ por la derecha en a si para cada numero positivoM existe δ > 0 tal que paratodo x ∈ (a, a+ δ) ∩D se cumple que

f (x) ≥M


limx→a+

f (x) =∞

El límite diverge a −∞ por la derecha: Sea f : D ⊂ R→ R una función ysea a un punto tal que para cada ρ > 0 (a, a+ ρ) ∩D 6= ∅. Diremos que f divergea −∞ por la derecha en a si para cada numero positivoM existe δ > 0 tal que paratodo x ∈ (a, a+ δ) ∩D se cumple que

f (x) ≤ −M


limx→a+

f (x) = −∞

Por supuesto, como la condición de que diverja implica la no existencia del límite,ninguna de las propiedades de límite se tienen porque cumplir en este caso.

Problema 63. Muestre que limx→∞(√x2 − 1− x

)existe pero limx→−∞

(√x2 − 1− x

)diverge a ∞.

Problema 64. Muestre que si g : Dg ⊂ R→ R,(a− r, a) ⊂ Dg

limx→a−

g (x) =∞

y f : (0,∞)→ R es una función tal que

limx→∞

f (x) = c

entonces,

limx→a−

f (g (x)) = limx→∞

f (x) = c

36 CAPÍTULO 3

5. Continuidad

5.1. Continuidad local. En esta sección damos la definición de continuidad ydemostramos sus propiedades principales.Desde el punto de vista geométrico el concepto de continuidad nos garantiza que

la gráfica de la función es una curva que no se rompe ni tiene hoyos. De manerarigurosa esta idea da origen a la siguiente definición.

Definición 1. (Continuidad en un punto) Sea f : D ⊂ R → R una función ysea a ∈ D. Diremos que f es continua en a si para cada número positivo ε sepuede encontrar δ > 0 tal que para cada x ∈ D que cumple que |x− a| < δ se tieneque

|f (x)− f (a)| < ε

Problema 65. ¿Cual es la negación lógica de que f no sea continua en un puntoa? Por supuesto debe dar la negación sin usar no.

Puesto que los puntos que cumplen que x ∈ D y |x− a| < δ son exactamentelos puntos en Vδ (a) ∩ D y como pedir que |f (x)− f (a)| < ε es equivalente apedir que f (x) ∈ Vε (f (a)). La definición anterior puede enunciarse en términosde vecindades abiertas de la siguiente manera:

Teorema 48. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a ∈ D. Entonces, fes continua en a si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cadax ∈ Vδ (a) ∩D se cumple que f (x) ∈ Vε (f (a)).

Recordemos que usamos la notación V Dδ (a), para referirnos a todos los puntosque están en la vecindad Vδ (a) y están en D, esto es, el símbolo V Dδ (a) denotaráa la intersección de Vδ (a) con D.

V Dδ (a) = Vδ (a) ∩D

Hay una gran similitud entre la definición de continuidad en un punto a y la delímite en a. Sin embargo, hay que señalar dos diferencias importantes: Primera;mientras que para hablar de límite no se requiere que a sea un punto del dominio,tan solo debe ser punto de acumulación del dominio de la función. En la definiciónde continuidad se pide que el punto a esté en el dominio sin importar si es o noun punto de acumulación de este. Segunda: En el caso de continuidad se requiereque los valores de la función f (x) se aproximen a al valor de f en a, en el caso dellímite no importa cuál es el valor de f (a), simplemente se requiere que los valoresde f se aproximen a un solo número L.

Ejemplo 5. Considere la función f : Rr {0} → R dada por

f (x) =senx

x

Como se vio, esta función tiene límite en 0 y

limx→0

senx

x= 1

Sin embargo, no podemos hablar de continuidad de esta función en 0 puesto que 0no es un elemento del dominio.


Ejemplo 6. Considere la función f : D ⊂ R→ R donde D = {−1} ∪ (0,∞) dadapor

f (x) =

{0 si x = −11x si x ∈ (0,∞)

Esta función es continua en −1. En efecto, puesto que para δ = 12 se tiene que

V D12

(−1) = {−1} y por tanto si x ∈ V D12

(−1), entonces, x = −1. Así, dada ε > 0

basta tomar δ = 12 para mostrar que para toda x ∈ V

D12

(−1) se cumple que

|f (x)− f (−1)| = 0 < ε

Sin embargo, no podemos hablar del límite de ésta función en −1 ya que este no espunto de acumulación del dominio.

Ejemplo 7. Considere la función f : R→ R dada por

f (x) =

{4 si x = 0

sen xx si x ∈ Rr {0}

Esta función tiene límite en cero y dicho límite es 1, pero no es continua en 0 yaque

|f (x)− f (0)| =∣∣∣ senx

x− 4∣∣∣ ≥ 3

para todo x 6= 0.

El siguiente teorema precisa la relación entre el límite en un punto y continuidaden dicho punto.

Teorema 49. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a un elemento del dominioque además es punto de acumulación de este. Entonces, f es continua en a si ysolo si f tiene límite en a y

limx→a

f (x) = f (a)

Demostración. Idea: escriba la definición ε − δ de límite en a y la definiciónε− δ de continuidad en a y vea como una lleva a la otra cuando b = f (a). �Problema 66. Demuestre el teorema 49.

Observación 8. Notemos que este teorema tiene como condiciones que el puntoa sea tanto un elemento del dominio como un punto de acumulación del dominio.Si una de estas dos hipótesis o se cumple, esto es si a no es punto de acumulaciónde D o no están en D, no podemos afirmar ninguna relación entre el límite y lacontinuidad en a.

Antes de continuar precisemos la idea de que a ∈ D no es punto de acumulación.

Definición 2. Sea D un conjunto de números reales. Diremos que a es puntoaislado de D si existe ρ > 0 tal que Vρ (a) ∩D = {a}.Problema 67. Escriba esta definición usando valor absoluto e ilustre esta situaciónen la recta numérica.

Note que esta definición implica que a es un punto en D y que no puede ser puntode acumulación pues hay una vecindad que no contiene puntos de D diferentes dea.

Teorema 50. Si f : D ⊂ R → R una función y a es un punto aislado de D,entonces, es continua en a.

38 CAPÍTULO 3

Demostración. Idea: Recuerde que si es punto aislado existe ρ > 0 tal queVρ (a) ∩ D = {a} y use la formulación de continuidad usando vecindades abiertas(teorema 48) y vea quien es el conjunto V Dδ (a) = Vδ (a) ∩D para δ < ρ. �Problema 68. Demuestre el teorema 50.

De las propiedades de límite y los teoremas 49 y 50 uno puede mostrar lassiguientes propiedades de la continuidad.

Teorema 51. Sean f : D ⊂ R → R y g : D ⊂ R → R dos funciones y sea a unelemento en D. Si f y g son continuas en a, entonces·) (Linealidad) αf + βg es continua en a, para cualesquiera constantes α, β.··) (Producto) fg es continua en a.· · ·) Si además, g (a) 6= 0, entonces, fg es continua en a.

Problema 69. Demuestre este teorema. (Sugerencia: Use los teoremas 49, 50 ylo que sabe de límites.)

Como consecuencia de los resultados vistos en las NOTAS 1 y el teorema 49tenemos el siguiente resultado.

Proposición 52. ·) La función f : R→ R dada por f (x) = x es continua en cadapunto a ∈ R.··) Para cada constante c la función f : R → R dada por f (x) ≡ c es continua

en cada punto a ∈ R.· · ·) Para cada n ∈ N la función f : R→ R dada por f (x) = xn es continua en

cada punto a ∈ R.· · ··) Para cada n ∈ N la función f : [0,∞) ⊂ R → R dada por f (x) = x

1n es

continua en cada punto a ∈ [0,∞).

Otro resultado que se puede extender de la teoría de limite a la de continuidades el relacionado con las funciones trigonométricas

Proposición 53. ·) La función f : R → R dada por f (x) = senx es continua encada punto a ∈ R.··) La función f : R → R dada por f (x) = cosx es continua en cada punto

a ∈ R.

Un resultado importante de límite de funciones que toma una forma relativa-mente más simple en al caso de continuidad es el teorema de la composición

Teorema 54. Sea g : Dg ⊂ R→ R una función continua en a y sea f : Df ⊂ R→R una función tal que1) g (Dg) ⊂ Df .2) f es continua en g (a).Entonces, la composición f ◦ g es continua en a.

Demostración. La demostración de este teorema es usando la definición ε− δde continuidad. Puesto que f es continua en g (a), dado ε > sabemos que existeδ1 > 0 tal que si

(5.1) x ∈ Df y |x− g (a)| < δ1

, entonces,|f (x)− f (g (a))| < ε


Como g es continua en a, también sabemos que para el número positivo δ1 existeuna δ > 0 tal que si x ∈ V Dgδ (a), entonces

|g (x)− g (a)| < δ1

Además g (x) ∈ Df , luego

g (x) ∈ Df y |g (x)− g (a)| < δ1

que son las condiciones (5.1) lo que implica que

|f (g (x))− f (g (a))| < ε


Problema 70. Sean g : Dg ⊂ R→ R y f : Df ⊂ R→ R dos funciones tales que acomposición f ◦ g (x) = f (g (x)) está definida. Muestre que si limx→x0 g (x) = a, yw es continua en a, entonces,

limx→x0

f ◦ g (x) = f (a)

Esto es, que

limx→x0

f ◦ g (x) = limx→x0

f (g (x)) = f

(limx→x0

g (x)

)Con estos resultados uno puede establecer la continuidad de una amplia gama de

funciones. Por supuesto, quedan muchas otras funciones para las cuales no quedamás opción que recurrir a la definición o al teorema 49.

Problema 71. En que dominio las siguientes funciones son continuasa)

f (x) =1

x2

b)

h (x) =

{0 si x = 0

x sen 1x si x ∈ Rr {0}

c)w (t) = sec t

Problema 72. Muestre que la función f : R→ R dada por

f (x) =

{1 si x = 0

sen xx si x ∈ Rr {0}

es continua en todo R.

Problema 73. ¿Cómo debe ser el valor en 0 de la función

f (x) =

{? si x = 0

sen 3xx si x ∈ Rr {0}

para que sea continua en 0.

Problema 74. Muestre que la función

f (x) =

{x2 si x < 03x si x ≥ 0

es continua en todo punto a ∈ R.

40 CAPÍTULO 3

Cerramos esta sección reformulando la definición de continuidad en un punto entérminos de sucesiones

Teorema 55 (Continuidad por sucesiones). Una función f : D ⊂ R → R escontinua en un punto a ∈ D si y solo si para toda sucesión {xn} ⊂ D que convergea a se cumple que

limn→∞

f (xn) = f (a)

Demostración. Si a ∈ D es punto de acumulación, la demostración se siguede la definición de límite por sucesiones y el teorema 49. Si a ∈ D es puntoaislado, entonces, existe ρ > 0 tal que V Dρ (a) = Vρ (a) ∩ D = {a}. Puesto quepara cada sucesión {xn} que converge a a existe N tal que si n ≥ N , entonces,xn ∈ Vρ (a). Uno tiene que si además {xn} ⊂ D, entonces, para n ≥ N , xn ∈V Dρ (a) = Vρ (a) ∩D = {a}, esto implica que xn = a para todo n ≥ N , y por endepara todo n ≥ N , f (xn) = f (a) y, de esto podemos concluir que en el caso depuntos aislados también se tiene que

limn→∞

f (xn) = f (a)

�

Problema 75. Demuestre el teorema 55, sin usar el correspondiente teoremade límite. (Sugerencia: En términos de ε − N , diga que quiere decir que quelimn→∞ f (xn) = f (a) y use la idea en la demostración del correspondiente teo-rema de límite)

Problema 76. a) Demuestre que si f : D ⊂ R→ R es continua en un punto a ∈ Dy f (a) > 0, entonces, existen ρ > 0 y α > 0 tales que para toda x ∈ Vρ (a) ∩D, secumple que f (x) ≥ α. (Sugerencia: Haga un dibujo y luego tome ε = f(a)

2 )b) Demuestre que si f : D ⊂ R→ R es continua en un punto a ∈ D y f (a) < 0,

entonces, existen ρ > 0 y α < 0 tales que para toda x ∈ Vρ (a) ∩D, se cumple quef (x) ≤ α < 0.

5.2. Continuidad en un dominio. En esta sección discutiremos las propiedadesde las funciones que son continuas en todo su domino.Antes de iniciar debemos recordar los conceptos de imagen directa e imagen

inversa de una función.

Definición 3. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea A un subconjunto de D,definimos la imagen directa del conjunto A como el conjunto

f (A) = {y ∈ R : y = f (x) para alguna x ∈ A}

Otra manera equivalente de describir la imagen directa es como sigue

f (A) = {f (x) : x ∈ A}

Definición 4. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea B un subconjunto delcontradominio R,definimos la imagen inversa del conjunto B como el conjunto

f−1 (B) = {x ∈ D : f (x) ∈ B}

Algunas propiedades de la imagen directa e inversa son las siguientes


Proposición 56. (Propiedades de la imagen directa) Sea f : D ⊂ R → Runa función, entoncesa) Si {Aα}α∈I es una familia de subconjuntos del dominio D

f

(⋃α∈I

Aα

)=⋃α∈I

f (Aα)

b) Si {Aα}α∈I es una familia de subconjuntos del dominio D

f

(⋂α∈I

Aα

)⊂⋂α∈I

f (Aα)

c) Si A es un subconjunto del dominio D, entonces, A ⊂ f−1 (f (A)).

Demostración. a) Mostraremos primero que

f

(⋃α∈I

Aα

)⊂⋃α∈I

f (Aα)

Tomemos y ∈ f(⋃

α∈IAα

), por definición de imagen directa existe x ∈

⋃α∈I

Aα

tal que f (x) = y. Como x ∈⋃

α∈IAα, x ∈ Aα0 para alguna α0 ∈ I y puesto

y = f (x), se sigue que y = f (x) ∈ Aα0 , esto es, y ∈ f (Aa0) para algún α0 ∈ I y,por ende, y ∈

⋃α∈I

f (Aα), esto muestra que f(⋃

α∈IAα

)⊂⋃

α∈If (Aα).

Veamos la otra contención, tomemos y ∈⋃

α∈If (Aα), entonces, y ∈ f (Aα0)

para alguna α0. Como y ∈ f (Aα0) existe x ∈ Aα0 tal que y = f (x) pero si x ∈ Aα0 ,entonces, x ∈

⋃α∈I

Aα, y por ende y = f (x) ∈ f(⋃

α∈IAα

), y obtenemos que

también⋃

α∈If (Aα) ⊂ f

(⋃α∈I

Aα

).

De estas dos contenciones, se concluye que, en efecto

f

(⋃α∈I

Aα

)=⋃α∈I

f (Aα)

c) Tomemos x ∈ A eso implica que f (x) ∈ f (A), por lo tanto, x ∈ f−1 (f (A)).Así que A ⊂ f−1 (f (A)) �

Problema 77. a) Demuestre el inciso b) de esta proposición.b) Dé contraejemplos que muestren porque en los incisos b) y c) no se cumple la

igualdad.

En el caso de la imagen inversa se tienen los siguientes resultados.

Proposición 57. (Propiedades de la imagen inversa) Sea f : D ⊂ R → Runa función, entoncesa) Si {Bα}α∈I es una familia de subconjuntos del contradominio

f−1

(⋃α∈I

Bα

)=⋃α∈I

f−1 (Bα)

42 CAPÍTULO 3

b) Si {Bα}α∈I es una familia de subconjuntos del contradominio

f−1

(⋂α∈I

Bα

)=⋂α∈I

f−1 (Bα)

c) Si B1 y B2 son subconjuntos del contradominio y B1 ⊂ B2, entonces, f−1 (B1) ⊂f−1 (B2).d) Si B es un subconjunto del contradominio, entonces

f−1(BC)

= D r f−1 (B)

Demostración. b) Vamos a demostrar primero que

f−1

(⋂α∈I

Bα

)⊂⋂α∈I

f−1 (Bα)

Tomemos x ∈ f−1(⋂

α∈IBα

), entonces, f (x) ∈

⋂α∈I

Bα y, por ende, f (x) ∈ Bαpara todo α ∈ I, lo que muestra que x ∈ f−1 (Bα) para todo α ∈ I. Así quex ∈

⋂α∈I

f−1 (Bα) y se tiene la primera contención.Resta ver que ⋂

α∈If−1 (Bα) ⊂ f−1

(⋂α∈I

Bα

)Tomemos x ∈

⋂α∈I

f−1 (Bα), eso quiere decir que x ∈ f−1 (Bα) para todo α ∈ I, luego podemos afirmar que f (x) ∈ Bα para todo α ∈ I lo que nos lleva a quef (x) ∈

⋂α∈I

Bα que, de acuerdo con la definición de imagen inversa, nos permite

concluir que x ∈ f−1(⋂

α∈IBα

)y

⋂α∈I

f−1 (Bα) ⊂ f−1(⋂α∈I

Bα

)d) Tomemos x ∈ f−1

(BC), entonces, x ∈ D y f (x) ∈ BC . Esto implica que

f (x) 6∈ B y x ∈ D, por lo tanto, x 6∈ f−1 (B) y x ∈ D, esto es, x ∈ D∩(f−1 (B)

)c=

D r f−1 (B). Podemos concluir que f−1(BC)⊂ D r f−1 (B).

Si tomamos x ∈ D r f−1 (B), x ∈ D ∩(f−1 (B)

)c,en consecuencia, x ∈ D pero

x 6∈ f−1 (B). De esto se sigue que f (x) 6∈ B, por lo tanto f (x) ∈ BC y x ∈ D,esto es, x ∈ f−1

(BC)lo que nos lleva a la contención, D r f−1 (B) ⊂ f−1

(BC)y

podemos concluir la igualdad

f−1(BC)

= D r f−1 (B)

�

Problema 78. En la demostración de los incisos b) y d) de la proposición 57 nose considero el caso en el que alguno de los conjuntos que se consideran es vacío.¿Cuál sería su argumento para establecer la igualdad si uno de los conjuntos esvacío?

Problema 79. Demuestre el resto de los incisos en la proposición 57.


Notemos que la imagen inversa es mucho mejor comportada que la imagen directacon respecto a las operaciones de conjuntos; unión, intersección y complemento.En términos de la imagen directa e inversa de una función, podemos reformular

la definición de continuidad en un punto como sigue:

Teorema 58. Sea f : D ⊂ R → R una función y sea a ∈ D. Entonces, fes continua en a si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que V Dδ (a) ⊂f−1 (Vε (f (a))).

Demostración. Idea: Escriba en términos de x y el valor absoluto que significaque x ∈ f−1 (Vε (f (a))), luego use la definición de continuidad y reescriba todo entérminos de vecindades �

Problema 80. Demuestre el teorema 58.

Definición 5. Sea f : D ⊂ R→ R una función diremos que f es continua en Do, simplemente, que es continua si f es continua en todos y cada uno de los puntosde su dominio D.

El siguiente resultado da una caracterización de la continuidad de una funciónen un dominio en términos de abiertos.

Teorema 59. Sea D un abierto en R. Entonces, una función f : D ⊂ R → R escontinua en D si y solo si para cada abierto W en el contradominio se tiene quef−1 (W ) es un abierto en D.

Demostración. Idea: Recuerde la definición de conjunto abierto y use el teo-rema 58. �

Problema 81. Demuestre el teorema 59

Antes de continuar recordemos que un conjunto F es compacto en R si F 6= ∅y para cada sucesión {xn} ⊂ F es posible dar una subsucesión {xnk} de {xn} lacual converge a un punto de F . También se demostró (teorema 15) que en R unconjunto no vacío es compacto si y solo si es cerrado y acotado.Los siguientes problemas nos dan algunas propiedades de los compactos rela-

cionadas con el supremo y el ínfimo de un conjunto.

Lema 60. Si F 6= ∅ y acotado, entonces, existen sucesiones{xIn} {

xSn}⊂ F tales

quelimn→∞

xSn = S = supF y limn→∞

xIn = I = inf F

Demostración. Mostraremos solo la del ínfimo el otro caso queda como ejerci-cio.De acuerdo con las propiedades del ínfimo, para cada cantidad positiva ε, existe

un elemento xIε ∈ F tal quexIε < I + ε

Así queI ≤ xIε < I + ε

En particular, para cada n ∈ N, podemos tomar ε = 1n y obtener que para cada

n ∈ N, existe xIn ∈ F tal que

I ≤ xIn < I +1

n

44 CAPÍTULO 3

lo que implica que

0 ≤ xIn − I <1

nesto es, ∣∣xIn − I∣∣ < 1

npor las propiedades de sucesiones que ya vimos se tiene que

limn→∞

xIn = I

�

Problema 82. Demuestre que si F es compacto, entonces, S = supF es un ele-mento de F y I = inf F también es un elemento de F .

Una propiedad fundamental que relaciona la continuidad de una función y lacompacidad de un conjunto esta dada por el siguiente resultado.

Teorema 61. Si f : K ⊂ R → R es una función continua en K y K es uncompacto, entonces, la imagen f (K) también es un compacto en R.

Demostración. Tomemos una sucesión {yn} en f (K). Puesto que {yn} estáen la imagen directa de K bajo f , para cada n ∈ N existe xn ∈ K tal que yn =f (xn). Por lo tanto {xn} ⊂ K. Como K es compacto, {xn} tiene una subsucesión{xnk} que converge un punto x ∈ K. La correspondiente subsucesión de imágenesf (xnk) = ynk es un subsucesión de {yn}. Puesto que x = limk→∞ xnk es unelemento deK y f es continua enK, se sigue que f es continua en x y por el teoremacontinuidad por sucesiones (teorema 55) se tiene que {f (xnk)} converge a f (x)(recuerde que toda subsucesión es una sucesión en si misma). Pero f (xnk) = ynk yy = f (x) ∈ f (K) por lo tanto cada sucesión {yn} ⊂ f (K) tiene una subsucesión ,{ynk}, que converge a un punto y ∈ f (K). Esto muestra que K es compacto. �Una consecuencia de este resultado es

Teorema 62. Si f : K ⊂ R → R es una función continua en K y K es uncompacto, entonces, existen puntos xm y xM en K tales que

f (xm) = inf {f (x) : x ∈ K} y f (xM ) = sup {f (x) : x ∈ K}

Demostración. Por el teorema anterior sabemos que f (K) es compacto ypuesto que

f (K) = {f (x) : x ∈ K}se sigue del lema 60 y las propiedades de los compactos

I = inf {f (x) : x ∈ K} = inf f (K) ∈ f (K)

yS = sup {f (x) : x ∈ K} = sup f (K) ∈ f (K)

Como I es un elemento en la imagen f (K) debe existir xm ∈ K tal que f (xm) = I,esto es,

f (xm) = inf {f (x) : x ∈ K}y puesto que S ∈ f (K) debe existir xM ∈ K tal que f (xM ) = S o en otros términos

f (xM ) = sup {f (x) : x ∈ K}�


Corolario 63. Si f : [a, b] → R es una función continua en [a, b]. Entonces, falcanza su máximo y su mínimo en [a, b]

Este teorema se suele enunciar diciendo que "toda función continua en un com-pacto alcanza su máximo y su mínimo"

Problema 83. a) Muestre que si f : D ⊂ R→ R es continua y a ∈ D es un puntode acumulación de D y f (a) > 0, entonces, existe α > 0 y ρ > 0 tal que para todax ∈ V Dρ (a) = Vρ (a) ∩D, f (x) ≥ α > 0.b) Muestre que si f : D ⊂ R→ R es continua y a ∈ D es un punto de acumulación

de D y f (a) < 0, entonces, existe α > 0 y ρ > 0 tal que para toda x ∈ V Dρ (a),f (x) ≤ −α < 0.

Teorema 64 (Teorema del valor intermedio, versión 1). Sea f : (a, b)→ R es unafunción continua en (a, b). Si existen α, β ∈ (a, b) (con α < β) y f (α) f (β) < 0,entonces, existe un punto ξ ∈ (α, β) tal que f (ξ) = 0.

Demostración. Hay dos casos: caso 1 f (α) < 0 y f (β) > 0 y caso2: f (α) > 0y f (β) < 0. En el caso 1 consideremos le conjunto A = {x ∈ [α, β] : f (x) < 0}.Puesto que f (α) < 0, α ∈ A , por ende, A 6= ∅.Como x ≤ β para todo x ∈ A,nuestro conjunto A es acotado superiormente, lo que implica que A tiene supremo,llamémosle ξ,

ξ = supA

Veamos primero que ξ ∈ [α, β]. Puesto que β es cota superior de A, ξ ≤ β y comoα ∈ A, α ≤ ξ.Mostraremos que f (ξ) = 0. La demostración es por reducción al absurdo.

Supongamos que f (ξ) 6= 0, entonces, f (ξ) < 0 o f (ξ) > 0. En el primer caso,por continuidad (ver problema 83) existen ρ > 0 y α < 0 tales que para todax ∈ Vρ (ξ) ∩ (a, b), se cumple que f (x) ≤ α < 0. como (a, b) es abierto podemoselegir la ρ > 0, de modo que Vρ (ξ) ⊂ (a, b). Pero ξ = supA y ξ < x = ξ + ρ

2 porlo que x = ξ + ρ

2 6∈ A, esto es, f (x) = f(ξ + ρ

2

)≥ 0, pero x = ξ + ρ

2 ∈ Vρ (ξ),f (x) = f

(ξ + ρ

2

)< 0, lo que es absurdo.

Si f (ξ) > 0, se tiene que existen ρ > 0 y α > 0 tales que para toda x ∈ Vρ (ξ),se cumple que f (x) ≥ α > 0. Pero ξ = supA, por ende, existe x ∈ A tal queξ − ρ

2 < x ≤ ξ, esto es, f (x) < 0 y x ∈ Vρ (ξ) lo que nuevamente es un absurdo.Así pues solo nos queda que f (ξ) = 0. �

Problema 84. Demuestre que el conjunto A descrito en la demostración del teo-rema del valor medio , versión 1, tiene supremo.

Problema 85. Demuestre el teorema del valor medio , versión 1 en el caso f (a) > 0y f (b) < 0.

Corolario 65. Si f : [a, b]→ R es una función continua en [a, b]. Entonces,a) Si f (a) < 0 y f (b) > 0, entonces, existe ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = 0.b) Si f (a) > 0 y f (b) < 0, entonces, existe ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = 0.

Problema 86. Demuestre este corolario. (Sugerencia: Para el inciso a). Note queVρ (a) ∩ [a, b] = [a, a+ ρ) y use esto junto con el problema 83 para mostrar queexiste ρ > 0 tal que f

(a+ ρ

2

)< 0. De modo similar se tiene que f

(b− ρ

2

)> 0.

Observe que α = a+ ρ2 ∈ (a, b) y que β = b− ρ

2 ∈ (a, b) y f también es continua en(a, b).)

46 CAPÍTULO 3

Teorema 66 (Teorema del valor intermedio, versión 2). Sea f : (a, b) → Runa función continua en (a, b) para la cual I = inf {f (x) : x ∈ (a, b)} y S =sup {f (x) : x ∈ (a, b)} existen. Entonces, para cada ω ∈ R con I < ω < S ex-iste un ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = ω.

Demostración. Dado ω, defina g (x) = f (x) − ω. No es difícil ver que g (x)es continua en (a, b). Puesto que I < ω < S, ω − I > 0 y por las propiedades delínfimo existe α ∈ (a, b) tal que f (α) < I + (ω − I) = ω y, por ende, g (α) < 0. Demodo similar se puede ver que existe β ∈ (a, b) tal que ω = S − (S − ω) < f (β) ypor lo tanto g (β) = f (β)− ω > 0, Así que

g (α) g (β) < 0

por lo que g cumple las hipótesis del teorema del valor intermedio versión 1. De aquíse desprende que existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que g (ξ) = 0, esto es, f (ξ)−ω = 0,lo que implica que f (ξ) = ω. �Corolario 67. Si f : [a, b]→ R es una función continua en [a, b]. Entonces,a) Si f (a) < f (b), entonces, para todo f (a) ≤ ω ≤ f (b) existe ξ ∈ [a, b] tal que

f (ξ) = ω.b) Si f (a) > f (b), entonces, para todo f (b) ≤ ω ≤ f (a) existe ξ ∈ [a, b] tal que

f (ξ) = ω.

Problema 87. Demuestre este corolario. (Sugerencia: Use el corolario anterior alteorema del valor intermedio, versión 2.)

Problema 88. Muestre que la ecuación senπx−x = 0 tiene una solución diferentede 0 en el intervalo [0, 1].

Corolario 68. Sea f : (a, b)→ R una función continua en (a, b). Entonces,a) Si f (α) < f (β) para α, β ∈ (a, b), entonces, para todo ω ∈ [f (α) , f (β)]

existe ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = ω.b) Si f (α) > f (β) para α, β ∈ (a, b), entonces, para todo ω ∈ [f (β) , f (α)] existe

ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = ω.

Problema 89. Demuestre el corolario 68. (Sugerencia: En el corolario anterior aeste, reemplace a por α y b por β.)

Corolario 69 (Teorema de punto fijo). Sea f : [a, b]→ [a, b] una función continua,entonces, existe un punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) = x0.

Problema 90. Demuestre el corolario 69. (Sugerencia: Considere la funcióng (x) = f (x) − x, hay que ver que g (x0) = 0 para algún x0 ∈ [a, b]. Vea quesi g (a) 6= 0 y g (b) 6= 0, g (a) > 0 y g (b) < 0 son positivos o negativos y use laversión 1. Ojo: si g (a) = 0 o g (b) = 0, ya termino ¿por qué?)

Problema 91. a) Sean f, g : D ⊂ R → R dos funciones y a es un punto deacumulación de D. Muestre que si para alguna ρ > 0 se cumple que f (x) < g (x)para x ∈ V Dρ (a)r {a}, entonces,

limx→a

f (x) ≤ limx→a

g (x)

b) Dé un ejemplo de dos funciones tales que f (x) < g (x) en V Dρ (a)r {a} peroque no se cumpla que

limx→a

f (x) < limx→a

g (x)


Funciones monótonas crecientes y decrecientes: Una función f se dice quees monótona creciente en un intervalo [a, b] si para todo x y y en [a, b] con x < yse cumple que f (x) < f (y). Y que f es llamada monótona decreciente en [a, b] sipara todo x y y en [a, b] con x < y se cumple que f (x) > f (y).

Corolario 70. Sea f : (a, b)→ R una función continua en (a, b) tal que f (x) 6= 0para todo x ∈ (a, b).a) Si para alguna x0 ∈ (a, b), f (x0) > 0, entonces, f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b).b) Si para alguna x0 ∈ (a, b), f (x0) < 0, entonces, f (x) < 0 para todo x ∈ (a, b).

Dada una función f definida en un intervalo I excepto por un número finito depuntos. Definimos los puntos clave de f en el intervalo I como el conjunto depuntos de I donde1. La función no está definida.2. La función no es continua.3. La función vale 0.4. Los extremos del intervalo I.

Observación 9. El intervalo puede ser de la forma (a, b), [a, b], (a, b], [a, b),(−∞, b), (−∞, b], (a,∞), [a,∞) o (−∞,∞)

Corolario 71. Sea f una función definida en un intervalo I. Si f tiene un númerofinito de puntos claves

ξ1 < ξ2 < ξ3 < · · · < ξn−1 < ξn

Entonces, en cada uno de los intervalos

(ξ1, ξ2) , (ξ2, ξ3) , . . . ,(ξn−1, ξn

)la función es positiva o es negativa.

Problema 92. Resuelva la desigualdad

x2 − 4

x2 − 1> 0

El teorema del valor medio también nos da un criterio para encontrar la imagendirecta de un intervalo cerrado [a, b] bajo una función continua.

Teorema 72. Si f es continua en [a, b] entonces, f ([a, b]) = [I, S] donde

I = infx∈[a,b]

f (x) y S = supx∈[a,b]

f (x)

Problema 93. Sea f : [a, b]→ R una función continua. Muestre que f es inyectivaen [a, b] si y solo si o bien f es monótona creciente o f es monótona decreciente en[a, b].

Problema 94. Sea f : [a, b] → R una función continua e inyectiva. Muestre quela función inversa f−1 : f ([a, b])→ [a, b] también es continua.

La topología de R

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