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Profesor Dinko Mitrovich García Villa Alemana – Abril 2013 La Teoría de las Situaciones Fundamentales: Aportes para la enseñanza de la matemática en educación básica
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Profesor Dinko Mitrovich García
Villa Alemana – Abril 2013
La Teoría de las Situaciones Fundamentales:
Aportes para la enseñanza de la matemática en
educación básica
Índice
1. ¿Qué es la didáctica de las matemáticas?
2. Rol del profesor en la enseñanza y aprendizaje de las matemática
3. Campo de problemas aditivos, un ejemplo de organización didáctica
4. Síntesis: qué significa enseñar y aprender matemáticas hoy
Qué es la Didáctica de las Matemáticas
« La Didáctica de las Matemáticas es la
disciplina que estudia las condiciones de
creación y difusión de los saberes
Matemáticos en las instituciones sociales »
Guy Brousseau 1994
Qué es la Didáctica de las Matemáticas
Esta manera de entender la Didáctica de las
Matemáticas, surge de los trabajos de
Brousseau (años 70) y se fundamenta en la
convicción de que el origen del problema
de la Educación Matemática está en gran
medida en las propias Matemáticas, en el
cómo se crean y en el cómo se difunden
(enseñan, aprenden y utilizan).
La nueva didáctica: la didáctica como epistemología experimental
• Ciencia de las condiciones de producción y difusión del
conocimiento matemático útiles a los hombres y a sus instituciones”
(Brousseau,1986).
• Se interesa por las condiciones reproductibles y controlables de
los aprendizajes y de la enseñanza de todo conocimiento.
• Objetivos de la didáctica como ciencia son: la determinación de los
aspectos que deben ser observados para describir las distintas
situaciones “efectivas” relativas a la enseñanza y el aprendizaje de
una organización matemática dada, reproducirlos y prever sus
efectos.
¿Qué condiciones desafía a un niño a sumar?
Compare las condiciones con las que se presentan las dos actividades
¿En las dos se necesita sumar?
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Enseñar matemática consiste en hacer posible que los niños desarrollen
con los conocimientos disponibles, una actividad de creación o recreación
matemática.
¿Qué condiciones desafía a un niño a sumar?
¿Qué sucede si los niños o niñas no
experimentan dichas creación de la suma?
La Situación fundamental es el conjunto mínimo de situaciones que permiten engendrar a través de la asignación de diversos valores a las variables didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso para representar todas las situaciones didácticas a partir de las cuales se logra que un alumno aprenda una forma determinada de saber. Esta situación fundamental presenta un contexto al estudiante de donde se va a desprender una secuencia de actividades que permiten generar un tipo de aprendizaje, partiendo de una situación global denominada situación fundamental.
Es un problema/juego que por sí misma, sin la intervención del profesor, permita o provoque un cambio de estrategia en el alumno :
• Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento
• Para su solución requieran necesariamente del uso del conocimiento matemático que se busca que los alumnos aprendan
• Debe permitir que los alumnos puedan enfrentarla de alguna forma, y encontrar una primera estrategia para intentar resolverla
• Debe provocar que esta primera estrategia se muestre insuficiente para lograr resolverla; de lo contrario no se producirá un progreso hacia la estrategia óptima que el profesor busca
• Deben permitir que sean los propios alumnos quienes validen sus estrategias y no el profesor;
La Teoría de Situaciones didácticas de Guy Brousseau
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• Para aprender, el alumno debe intervenir significativamente en la actividad
matemática, y no sólo limitarse a aceptar y aplicar las estrategias “enseñadas” por el
profesor. Aprender comporta retomar y modificar los aprendizajes anteriores y no
solamente adjuntar los nuevos conocimientos a los ya adquiridos.
• Las situaciones deben permitir que los niños elaboren estrategias a partir de los
errores cometidos, de la inadecuación o “fracaso” de sus conocimientos anteriores y
de la modificación de los mismos.
• La enseñanza destinada a una población determinada no puede reproducir
exactamente las actividades “sabias”. La organización y la adaptación de estos
conocimientos a las necesidades y a los proyectos de una sociedad, también los
usos que esta sociedad hace de las matemáticas, constituyen un trabajo específico
de didáctica.
situaciones didácticas
Para un sujeto, “actuar” consiste en elegir directamente los estados del medio antagonista en función de sus propias motivaciones. Si el medio reacciona con cierta regularidad, el sujeto puede llegar a relacionar algunas informaciones con sus decisiones (retroalimentación), anticipar sus reacciones y atenerlo en cuenta en sus propias acciones futuras.
Medio
Acción
Retroalimentación
Información
Material didáctico
En estos problemas una o las dos colecciones no deben estar disponibles.
El material didáctico es parte del medio que permitirá que los niños avancen en sus conocimientos
¿Por qué es necesario este estudio?
El matemático no comunica sus resultados tal como los ha hallado: los reorganiza,
les da la forma más general posible, realiza una “didáctica práctica” que consiste
en dar al saber una forma:
• Comunicable
• Descontextualizada
• Despersonalizada
• Atemporal
• Enseñar exige conocer las condiciones bajo las cuales los conocimientos pueden
ser construidos por los propios estudiantes; en qué condiciones los estudiantes
pueden formular hipótesis (aunque erróneas en un principio) y las pueden validar.
Condiciones que les permita actuar como auténticos matemáticos... El trabajo
didáctico es esencialmente de carácter epistemológico.
Rol del profesor en la enseñanza y aprendizaje de las matemática
Transposición didáctica
Contexto cultural, social,
personal, histórico ...
Cm
Génesis y creación
– descontextualización
– despersonalización
Texto sobre Cm= C’m
Difusión
Contexto lógico matemático:
abstracción, generalización...
Aprendizaje
Contexto lógico matemático:
abstracción, generalización...
– Descontextualizar
– Despersonalizar
C’’m
Proceso para enseñar matemáticas
Situación
sobre C’m
Enseñanza
Contexto cultural, social,
personal, histórico ...
– Recontextualizar
– Repersonalizar
– Temporalizar
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El docente debe realizar primero el trabajo inverso al matemático:
Busca situaciones que le den sentido a
los conocimientos por enseñar y
organiza un medio con el cual el
alumno pueda interactuar y encontrar
respuestas...
– Recontextualizar
– Repersonalizar
– Temporalizar
Cuando el, o los alumnos, han respondido a la situación, todavía no sabe
que ha producido un conocimiento, que podrá utilizar en otras ocasiones.
Para transformar su respuesta en saber (conocimiento) deberá, con ayuda
del docente: Para poder reconocer en lo
hecho, algo que tenga carácter
universal, un conocimiento
cultural reutilizable
– Redespersonalizar
– Redescontextualizar
En síntesis, el profesor realiza dos tareas distintas :
1. Hacer vivir el conocimiento en manos de los alumnos, que lo produzcan
como una respuesta razonable frente a una situación familiar, y
2. Transformar esa “respuesta razonable” en conocimiento universal,
reconocido desde el exterior, por la comunidad.
Para el docente es grande la tentación de saltar estas dos fases y enseñar
directamente el saber como objeto cultural. En ese caso se presenta el
saber (texto), y el alumno se lo apropia como puede. (Aquí una posible
explicación al fracaso generalizado de los estudiantes).
Existe la idea de que los saberes pueden “enseñarse” pero que la
comprensión es responsabilidad del alumno. Así, se piensa que se puede
enseñar la fórmula para calcular el área y luego que los alumnos las utilicen
para resolver problemas...
Desafíos:
.
Observe el video y señale dos aspectos
que usted destaca de la gestión realizada
por la profesora
Rol del profesor en el aula
• El “sentido” de un conocimiento matemático se construye cuando se
enfrenta el conjunto de situaciones problemáticas donde este
conocimiento aparece como herramienta de solución. Estas situaciones
deben permitir que los niños elaboren estrategias a partir de los errores
cometidos, de la inadecuación o “fracaso” de sus conocimientos anteriores y
de la modificación de los mismos
• Enseñar matemática consiste en hacer posible que los niños desarrollen
con los conocimientos una actividad de creación o recreación matemática.
Campo de problemas aditivos, un ejemplo de organización didáctica
Problema: En una biblioteca había 2.004 libros. Haciendo un inventario, el bibliotecario se dio cuenta que faltaban 38 libros. ¿Cuántos libros hay ahora en la biblioteca?
Resuelva el problema y escriba sus cálculos: ¿Cómo esperaría que un niño del primer ciclo resuelva este problema?
Analicemos un problema
1. Observe el video y analice los procedimientos que
utilizan los niños para resolver el problema.
2. Compare el procedimiento utilizado por usted con el de los niños, en términos de la eficacia y los conocimientos matemáticos involucrados.
Idea fundamental :
Frente a un determinado cálculo de suma o resta pueden
existir distintas técnicas que lo resuelven pero en
muchos casos unas técnicas pueden ser más adecuadas
que otras, dependiendo de la relación que exista entre
los números.
Es decir, aunque puedan existir distintas técnicas para
realizar un mismo cálculo, no siempre son todas
igualmente eficientes. Asimismo, unas técnicas que
resultaron eficientes para realizar un determinado
cálculo, pueden no serlo frente a otro cálculo, incluso,
pueden fracasar.
Los niños probablemente usan técnicas poco adecuadas cuando
comienzan a realizar una tarea pero, una vez que se han
modificado las condiciones de realización de esa tarea, se verán
“obligados” a transformar sus técnicas para hacerlas más
efectivas. Es en este cambio de las técnicas, y de las
justificaciones subyacentes, donde se juega la posibilidad
del aprendizaje.
Operaciones Significado, propiedades y
procedimientos para sumar y restar
Sobreconteo para sumar
Significado de la operación suma: Juntar, añadir...
147 + 2
• La suma de 147 + 2 se obtiene de aplicar al número de
147, 2 veces seguidas la operación de tomar el sucesor
En esta idea es que se basa la técnica del “sobre conteo”
La aplicación de esta técnica requiere de saberse la
secuencia numérica
147
Propiedades de la Adición en N
• Conmutativa; 147 + 2 = 2 + 147
=
En ambos casos obtenemos el mismo resultado.
El proceso de sobrecontar obliga a llevar dos cuentas, por
tanto cuantas menos unidades se tengan que sobrecontar
más fácil es calcular la suma. Entonces conviene escoger
el sumando mayor como número inicial y sobrecontar
tantas unidades como el sumando menor
Asociativa; 3 + 2 + 5 = (3+2) + 5 = 3 + (2 +5)
Esta propiedad sustenta la composición y descomposición de
sumandos, en particular la descomposición canónica
325 = 300 + 20 + 5
y realizar adiciones de más de dos sumandos por etapas
+ +
(15 + 7) (22 + 8)
15 + 7 + 8 + 12 = 22 + 8 + 12 = 30 + 12 = 42
Propiedades de la Adición en N
Trasvasije; al “traspasar” unidades de un sumando a otro la
suma se conserva.
Esta propiedad, permite desarrollar estrategias de cálculo
como la siguiente
=
7 + 5 = 6 + 6 = 5 + 7 = 4 + 8 = 3 + 9 ...
En general, A + B = (A-C) + (B+C)
48 + 35 = 50 + 33 = 83
2
Propiedades de la Adición en N
Sumando dígitos según valor de posición
Sumando dígitos según valor de posición
Descontar para restar
Significado de la operación resta; (ej 49 - 3), quitar
• La resta de 49 - 3 se puede definir como el resultado de
aplicar al número 49, 3 veces seguidas la operación de tomar
el antecesor, o sea de descontar p unidades a n.
En esta idea es que se basa la técnica del “descontar”
La aplicación de ésta técnica requiere de saberse la secuencia
numérica en orden descendente.
46, 47, 48, 49 49 -3, me planto en el 49 y
“descuento” tres unidades
49
Resta por completación
A esta estrategia se le llama resta por completación y es más
sencilla que la anterior, dado que en este caso se utiliza la
secuencia numérica en orden ascendente.
181 – 178
178 + ____ = 181
Restas parciales
• Asociatividad del minuendo y el sustraendo;
Se puede descomponer el minuendo y el sustraendo, y
asociar los múltiplos de 10 y los de una cifra. Luego,
calcular la resta a partir de la suma de los resultados de las
restas parciales entre los términos que componen el
minuendo y los que componen el sustrayendo.
Realizando restas parciales
80-20 6-3
70 + 3 = 73
86 – 23 = (80+ 6) – (20+3)
Restando dígitos según valor de posición
5 6 3 - 4 2 1 1 4 2
3 0 0 - 1 3 2
¿Cuánto es 300 – 132?
•Traslado de la diferencia; al añadir o quitar una misma
cantidad de unidades al minuendo y al sustraendo de una
resta, la diferencia se conserva. A – B = (A+C) – (B+C)
8 5
d
8 – 5
298 - 130
- 2 - 2
Traslado de la diferencia
Propiedades de la sustracción en N
8 5
5
2
d
d 11 8
d
= =
11 – 8 8 – 5 5 – 2
• Traslado de la diferencia; al añadir o quitar una misma
cantidad de unidades al minuendo y al sustraendo de una
resta, la diferencia se conserva. A – B = (A+C) – (B+C)
Traslado de la diferencia
5 0 3 - 3 4 6
7 3 5 - 4 7 8
En relación a la acción involucrada en el problema, se
distinguen tres tipos de problemas aditivos
COMPOSICIÓN
CAMBIO
COMPARACIÓN
¿Qué tipo problemas aditivos hay?
Ejemplo: Rafael tenía 45 láminas de un álbum. Su mamá le regaló 25 láminas más. ¿Cuántas láminas tiene Rafael ahora?
• Se asocian a las acciones de agregar y quitar.
• En este tipo de problemas existe una colección inicial que se transforma como resultado de un cambio aditivo ( se agregan o quitan objetos) y se obtiene una nueva colección.
• La acción realizada se pueden caracterizar como dinámicas, puesto que la colección se modifica con el paso del tiempo.
• La incógnita puede ser la situación inicial, final o la
transformación.
Problemas de cambio
• Se asocian a las acciones de juntar y separar
• En este tipo de problemas, hay una colección de objetos que se separa en dos colecciones. O hay dos colecciones cuyos objetos se juntan en una sola colección.
• Las acciones de juntar y separar se refieren a que se consideran objetos que, siendo de la misma naturaleza, tienen una característica que permite distinguir claramente dos tipos diferentes de ellos.
• La acción realizada no modifica a las colecciones originales, en este sentido se pueden caracterizar como estáticas ya que no cambian con el paso del tiempo.
• En este tipo de problemas la incógnita puede ser cualquiera de las cantidades o la categoría general que las incluye.
Ejemplo: En un bosque hay dos tipos de árboles, pinos y eucaliptos. Hay
347 pinos y 142 eucaliptos, ¿cuántos árboles hay en el bosque?
Problemas de composición
Problemas de Comparación
• Son aquellos en que se cuantifica la diferencia entre dos cantidades.
• Estos problemas responden habitualmente a la pregunta:
¿En cuánto se diferencian dos cantidades?
que es equivalente a: ¿cuánto objetos más tiene una colección que otra?, ¿cuántos objetos menos tiene una colección que otra?
• La incógnita puede ser la diferencia o cualquiera de las
cantidades.
Ejemplo: Pedro tiene 16 tazos y
Juan tiene 24. ¿Cuántos tazos
más tiene Juan que Pedro?
Según si la acción descrita en el enunciado coincide o no con la
operación que resuelve el problema, distinguimos problemas:
DIRECTOS
La acción descrita en el
enunciado coincide con la
operación que hay que
realizar para resolverlo.
Pedro tenía $500, compró un
helado que le costó $250,
¿cuánto dinero tiene ahora
Pedro?
INVERSOS
La acción descrita en el
enunciado no coincide con la
operación que hay que
realizar para resolverlo.
Pedro tenía $200, su papá le
dio unas monedas y ahora
tiene $700, ¿cuánto dinero le
dio su papá a Pedro?
Problemas Directos e inversos
Un problema aditivo es directo, cuando la operación matemática que relaciona los datos con la incógnita coincide con la operación que permite resolverlo. Si la acción descrita en el enunciado permite relacionar los datos y la incógnita con una adición y el problema se resuelve mediante una adición; o bien, se modela con una sustracción y se resuelve mediante la misma sustracción, entonces el problema es directo.
Por ejemplo:
Luis tenía en su estuche 47 lápices y sacó 28. ¿Cuántos lápices hay ahora en el estuche?
Problemas Directos
El problema se modela y resuelve con la operación:
47 – 28= ?, por tanto, es directo
Un problema es inverso cuando la operación matemática que relaciona los datos con la incógnita no coincide con la operación que lo resuelve.
Por ejemplo:
Silvia tenía en su estuche 58 lápices y agregó algunos. Ahora tiene 73 ¿Cuántos lápices agregó?
De acuerdo a la acción descrita en el enunciado, la relación entre los datos y la incógnita es:
58 + = 7 3.
Sin embargo, para resolverlo se debe realizar la operación:
73 – 58.
Por lo tanto, este es un problema inverso.
Problemas inversos
• Para enseñar a resolver problemas no basta con asociar las
palabras: agregar – juntar – avanzar – ganar con la adición, o
las palabras: quitar – separar – retroceder – perder con la
sustracción. Por lo tanto, la estrategia basada en la identificación
de palabras claves con una operación, no es suficiente.
Apropiarse de la confección de esquemas no es un aprendizaje
inmediato. Debe vivir un proceso desde los primeros niveles
escolares.
Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos
Cuando se tiene un problema simple, es decir dos datos y una
incógnita, es posible relacionar los datos y la incógnita en
esquemas como el siguiente:
A este tipo de esquemas les llamaremos parte – todo ya que hay
dos cantidades (partes) que se unen y forman una cantidad
mayor (todo). Es posible determinar este último a través de la
suma de las partes.
Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos
Cuando se conoce una parte y el todo, es posible determinar la
otra parte restando al todo la parte conocida.
Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos
Los esquemas anteriores
sirven para los problemas
de composición y cambio.
Para los de comparación
es posible representar los
datos e incógnita a través
del siguiente esquema:
Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos
• Los esquemas deben ser funcionales para la persona que
resuelve el problema.
• No debe ser una imposición, si alguien resuelve el problema
directamente del enunciado, hacer el esquema sería una pérdida
de tiempo.
• Pueden ser de distinto tipo, pero deben representar una
relación cuantitativa entre datos e incógnita.
• Los esquemas permiten comunicar y justificar las operaciones
que se realizan para resolver un problema.
Los niños se apropian gradualmente de una estrategia de
resolución de problemas, que incluye las siguientes fases:
Primera Fase: Entender el problema
Segunda Fase: Identificar y construir un modelo
que resuelva el problema
Tercera Fase: Desarrollar y adaptar estrategias
para resolver problemas
Cuarta Fase: Comprobar el resultado de la
operación e interpretarlo en el contexto del
problema
Etapas de la resolución de problemas aditivos.
Síntesis: qué significa enseñar y aprender matemáticas hoy
Modelo didáctico del Centro Felix Klein: aprendizaje de las matemáticas
basado en el estudio y resolución de problemas
Estudio de un
problema Aprender
matemáticas
Elaboración de
procedimientos
Relación con otros conocimientos y
formulación de nuevos problemas
Creación de conocimientos:
conceptos, propiedades,
teoremas, etc.
Relación con otros
procedimientos
Justificación
Trabajo y
Explicación
Estudio de un
problema Aprender
matemáticas
Elaboración de
procedimientos
Relación con otros conocimientos y
formulación de nuevos problemas
Creación de conocimientos:
conceptos, propiedades,
teoremas, etc.
Relación con otros
procedimientos
Justificación
Trabajo y
Explicación
Propuesta Didáctica
Modelo didáctico del Centro Felix Klein: aprendizaje de las matemáticas
basado en el estudio y resolución de problemas
Profesor Dinko Mitrovich García
Villa Alemana – Abril 2013
La Teoría de las Situaciones Fundamentales:
Aportes para la enseñanza de la matemática en
educación básica
