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Universidad Autónoma de Madrid

Análisis de Datos en Psicología II Tema 10

1

La prueba X2 de Pearson Tema 10

1. Bondad de ajuste

2. Independencia

3. Igualdad de proporciones

4. Medidas de asociación

5. Errores tipificados



2

1. Bondad de ajuste Objetivo: Comprobar si una distribución teórica de frecuencias de una variable cualitativa se ajusta a una distribución empírica. Organización de los datos:

Niveles de X 1 2 ... i ... I

Fr. observadas: n1 n2 ... ni ... nI n

Fr. esperadas: m1=nπ1 m2=nπ2 mi=nπi mI=nπI n

Variable X con I niveles Frecuencias observadas: ni Número de observaciones: n = n1 + n2 + ... + nI Probabilidades teóricas: π1, π2, ..., πI Frecuencias esperadas: mi = nπi



3

1. Hipótesis

H0: f (x) = f0 (x) (la distribución de X coincide con la teórica) H1: f (x) ≠ f0 (x)

2. Supuestos - Muestra aleatoria - Probabilidades constantes en cada extracción - Todas las fr. observadas son mayores que 0 - El 80% o más de las esperadas son mayores o iguales que 5

3. Estadístico de contraste

∑=

−=

I

i i

ii

mmnX

1

22 )(

X2 ~ χ2 con I-1 grados de libertad

4. Zona crítica: X2 ≥ 2

11 −− Iχα

5. Decisión: Rechazar H0 si X2 cae en la zona crítica



4

Ejemplo: Un psicólogo de animales afirma que el 25% de los chimpancés muestran conductas de indefensión aprendida ante un determinado estímulo aversivo, el 40% muestran una conducta de huida y el 35% muestran indiferencia. En su muestra de 30 especimenes encuentra que 12 muestran indefensión, 15 huida y 3 indiferencia. ¿Apoyan estos datos su teoría con α=0,05? 1. Hipótesis

H0: f (x) = f0 (x) (es decir, π1 = 0,25, π2 = 0,40 y π3 = 0,35)

H1: f (x) ≠ f0 (x) 2. Supuestos

Muestra aleatoria Probabilidades constantes en cada extracción



5

3. Estadístico de contraste Indefensión Huida Indiferencia

ni 12 15 3 30

mi m1 = nπ1

=30 (0,25) = 7,5

m2 = nπ2=30 (0,4)

= 12

m3 = nπ3 =30 (0,35)

= 10,5 30

81,85,10

)5,103(12

)1215(5,7

)5,712(

)(

222

1

22

=−

+−

+−

=

−= ∑

=

I

i i

ii

mmn

X

X2 ~ χ2 con 2 grados de libertad

6. Zona crítica: X2 ≥ 99,52295,0 =χ

7. Decisión: Rechazar H0



6

Tablas de contingencia Distribución de frecuencias de dos o más variables categóricas X e Y. Dimensiones de la tabla: número de variables. Tabla bidimensional:

Y 1 2 ... j ... J

1 n11 n12 … n1j … n1J n1+2 n21 n22 … n2j … n2J n2+… … … … … … … …i ni1 ni2 … nij ... niJ ni+

… … … … … … … …

X

I nI1 nI2 … nIj ... nIJ nI+ n+1 n+2 … n+j ... n+J n



7

Ejemplo: Se está estudiando el conocimiento que tienen de las noticias de actualidad los estudiantes de distintas facultades. Estos son los datos recogidos.

Conocimiento Bajo Medio Alto

Ciencias 20 13 2 35Filosofía 8 10 10 28Facultad Derecho 12 13 12 37

40 36 24 100



8

2. Independencia Objetivo: Contrastar si dos variables cualitativas (X e Y) son independientes, es decir, si conocer el valor de un sujeto en una variable no aporta información para conocer su valor en la otra. En un contraste sobre independencia se toma una muestra de tamaño prefijado (en el ejemplo n=100) y se clasifica cada sujeto según los dos criterios. Ejemplo: ¿Se relaciona el conocimiento que tienen los estudiantes de las noticias de actualidad con la facultad a la que pertenecen? 1. Hipótesis H0: X e Y son variables independientes H1: X e Y no son independientes



9

2. Supuestos - Muestra aleatoria - Probabilidades constantes en cada extracción - Todas las fr. observadas son mayores que 0 - El 80% o más de las esperadas son

mayores o iguales que 5 3. Estadístico de contraste Para cada casilla ij la frecuencia esperada es:

nnn

m jiij

++=ˆ

∑∑= =

−=

I

i

J

j ij

ijij

mmn

X1 1

22

ˆ

)ˆ(

X2 ~ χ2 con (I-1)(J-1) grados de libertad



10

4. Zona crítica: X2 ≥ 2

)1)(1(1 −−− JIχα

5. Decisión: Rechazar H0 si X2 cae en la zona crítica



11

Ejemplo: ¿Se relaciona el conocimiento que tienen los estudiantes de las noticias de actualidad con la facultad a la que pertenecen? Utilizar α = 0,05 1. Hipótesis H0: X e Y son variables independientes (el conocimiento no depende de la facultad) H1: X e Y no son independientes (están relacionadas, el conocimiento varía con la facultad) 2. Supuestos - Muestra aleatoria - Probabilidades constantes en cada extracción - Todas las fr. observadas son mayores que 0 - El 80% o más de las esperadas son mayores o iguales que 5



12

3. Estadístico de contraste Frecuencias observadas



40 36 24 100 Frecuencias esperadas


Ciencias 14 12,6 8,4 35Filosofía 11,2 10,08 6,72 28Facultad Derecho 14,8 13,32 8,88 37

40 36 24 100

nnn

m jiij

++=ˆ



13

61,11 88,8

)88,812(14

)1420(

ˆ)ˆ(

22

1 1

22

=

−++

−=

−= ∑∑

= =

L

I

i

J

j ij

ijij

mmn

X

X2 ~ 24

2)1)(1( χχ =−− JI

1. Zona crítica:

X2 ≥ 49,92495,0

2)1)(1(1 ==−−− χχα JI

2. Decisión: Rechazar H0. El conocimiento

varía con la facultad



14

3. Igualdad de proporciones

Objetivo: Contrastar si la distribución de una variable (p.e. Y) es la misma en cada uno de los grupos de la otra variable (X).

a. La diferencia con el contraste sobre independencia está en el método de muestreo.

b. El investigador fija arbitrariamente los tamaños de los grupos de la variable X.

c. El contraste se realiza igual que el de independencia.



15

Ejemplo: Un investigador decide tomar una muestra de 30 estudiantes de ciencias, 35 de filosofía y 40 de derecho. El objetivo es contrastar si la distribución del conocimiento de actualidad es la misma en los tres grupos. 1. Hipótesis H0: La distribución de Y (conocimiento) es igual en los tres grupos de X (facultad).

H1: La distribución de Y varía según la facultad. 1. Supuestos (los mismos)



16

2. Estadístico de contraste

Frecuencias observadas Conocimiento Bajo Medio Alto


35 44 26 105 Frecuencias esperadas


Ciencias 10 12,57 7,43 30Filosofía 11,67 14,67 8,67 35Facultad Derecho 13,33 16,76 9,9 40

35 44 26 105

nnn

m jiij

++=ˆ



17

42,19 9,9

)9,99(10

)1018(

ˆ)ˆ(

22

1 1

22

=

−++

−=

−= ∑∑

= =

L

I

i

J

j ij

ijij

mmn

X

X2 ~ 24

2)1)(1( χχ =−− JI

4. Zona crítica:

X2 ≥ 49,92495,0

2)1)(1(1 ==−−− χχα JI

5. Decisión: Rechazar H0. El

conocimiento varía con la facultad



18

4. Medidas de asociación Objetivo: cuantificar la fuerza de la asociación entre las dos variables. 1. Coeficiente de contingencia Toma valores entre 0 y Cmax

nXX

C+

=2

2

kk

C1

max−

= k : número de filas y columnas (igual)



19

2. Coeficiente φ (phi) Se aplica en tablas 2x2. Valores entre 0 y 1

nX 2

=φ 3. Coeficiente V de Cramer Generaliza φ para tablas de cualquier tamaño

)1(

2

−=

knXV

k : menor de filas y columnas



20

Ejemplo: (continuación del contraste de independencia: conocimiento de las noticias por facultad)

n=100

X2 = 11,61

32,010061,11

61,112

2

=+

=+

=nX

XC

82,0321

max ==−

=kkC

24,0)2(100

61,11)1(

2

==−

=knXV



21

5. Errores tipificados Objetivo: cuantificar la diferencia entre la frecuencia observada y la esperada para cada celda de la tabla. Errores

ijijij mne ˆ−= Problema: es difícil compararlos para distintas celdas Errores tipificados

ij

ijije m

mnZ

ij ˆˆ−

=

Nota: ∑∑=i j

eijZX 22

Problema: Bajo H0 su distribución es normal (0, σ2 = (I-1)(J-1) / (IJ) ).



22

Ejemplo: (Estudios y facultad)

Errores Conocimiento Bajo Medio Alto

Ciencias 6 0,4 -6,4 Filosofía -3,2 -0,1 3,3 Facultad Derecho -2,8 -0,3 3,1

Errores tipificados Conocimiento Bajo Medio Alto

Ciencias 1,60 0,11 -2,21Filosofía -0,96 -0,03 1,27FacultadDerecho -0,73 -0,09 1,05

Distribución normal con media 0 y

σ2 = (I-1)(J-1) / (IJ) = 4 / 9 = 0,44

60,114

1420ˆ

ˆ11

111111

=−

=−

=mmnZe



23

Formulario del tema 10 Bondad de ajuste

mi = nπi

∑=

−=

I

i i

ii

mmnX

1

22 )(

X2 ~ 21χ

Independencia e igualdad de proporciones

nnn

m jiij

++=ˆ

∑∑= =

−=

I

i

J

j ij

ijij

mmn

X1 1

22

ˆ

)ˆ(

X2 ~

2)1)(1( −− JIχ



24

Coeficiente de contingencia

nXX

C+

=2

2

kk

C1

max−

= Coeficiente phi

nX 2

=φ Coeficiente V de Cramer

)1(

2

−=

knXV

Errores ijijij mne ˆ−=

Errores tipificados

ij

ijije m

mnZ

ij ˆ

ˆ−=

ijeZ ~ normal (0, σ2 = (I-1)(J-1) / (IJ) )



25

Ejercicios recomendados del libro: 12.1 12.4 12.5 12.6 12.12 12.13

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