7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

ANLISIS ESTADSTICO

Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 125

1. La Oficina de Planificacin Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporcin

de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria

de 90 familias 18 presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000.

1.1) Estime con 98% de confianza la proporcin de familias con un ingreso familiar inferior a

$ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) Qu tamao muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que

el error en la estimacin de la proporcin de familias con ingreso inferior a

$200.000 no exceder de 0,05?

1.1) Solucin: Sean:

= Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A

= Proporcin de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A

Debido a que el problema habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para determinar

el intervalo confidencial:

() = (

)

Con: = , ; = ; =

= , ; = ,

Nota: El valor de se calcula dividiendo la nmero de datos de la muestra que cumplen la

caracterstica que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a

$200.000, dividido por el tamao de la muestra.

Reemplazando, obtenemos:

(), = (, ,, ,

) ; , = ,

(), = , , , ,

Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

(), = [, ; , ]

Respuesta: El intervalo [, ; , ] tiene un 98% de contener a la proporcin de familias con un

ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A.

1.2) Solucin: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:

= , ; , ; =

= , ; = ,

Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la frmula de error est dada por:

=

7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

ANLISIS ESTADSTICO

Pgina 126 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

Reemplazando:

, ,, ,

,

, , , ,

Respuesta: Para asegurar que el error en la estimacin de la proporcin de familias con ingreso

inferior a $200.000, no exceda a 0,05, el tamao de la muestra debe ser igual a 246, considerando

una confianza del 95%.

2.- Se realizan estudios sobre la contaminacin producida por descargas de aguas residuales,

en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por

el decreto 90/2000, que establece niveles de concentracin de Plomo de a lo ms 0.02 mg/l. En

una muestra aleatoria de tamao 20, de volmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en

das distintos, se encontr un nivel medio de concentracin de plomo de 0,28 mg/l, con una

desviacin estndar de 0,01 mg/l.

Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una poblacin normal, estime el nivel

medio de concentracin de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los

valores estimados en funcin de la norma.

2) Solucin: Sea: = Concentracin de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos

Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:

= 20 = 0,28 = 0,01 1 = 0,90

Se supone que: ~ ( ; 2)

Debido a que desconocemos la varianza de la distribucin, utilizaremos la siguiente frmula para

obtener el intervalo de confianza:

()1 = ( ( 1;1 2

)

)

Reemplazando:

()0,90 = (0,28 (19; 0,95) 0,01

20) ; (19; 0,95) = 1,7291

()0,90 = (0,28 1,7291 0,01

20)

Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

(), = [, ; , ]

Respuesta: El intervalo [, ; , ] tiene un 90% de contener el nivel medio de concentracin

de plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.

7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

ANLISIS ESTADSTICO

Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 127

3.- Se est estudiando la duracin de ciertos procesos productivos y se toma una muestra

aleatoria, de tamao 10. Se define como "Proceso Corto cuando su duracin es menor que 5

minutos, los datos obtenidos, en minutos, fueron:

3 5 8 6 10 5,5 4 4,2 4,5 2

3.1) Se pide estimar por intervalo de confianza del 98% la proporcin de Procesos Cortos.

3.2) Cul debera ser el tamao de la muestra si la proporcin estimada disminuyen en un

10% y utilizamos un 95% de confianza manteniendo el mismo error probable antes de la

modificacin?

3.3) Estimar la varianza de dichos tiempos con un nivel de confianza del 99%.

3.1) Solucin: Sea: = Muestra del tiempo de duracin de ciertos procesos productivos

= Proporcin con Procesos Cortos (duracin menor a 5 minutos)

Debido a que el problema nos habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para

determinar el intervalo confidencial:

() = (

)

Con: = , ; = ; =

= , ; = ,

Reemplazando, obtenemos:

(), = (, ,, ,

) ; , = ,

(), = , , , ,

Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

(), = [, ; , ]

Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporcin de Procesos cortos

3.2) Solucin: Lo primero que debemos hacer en este tem es determinar una nueva variable, como

se ve a continuacin:

= "Proporcin con Procesos Cortos disminuida en un 10%

= , = , , = ,

En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente frmula:

=

= ,

, ,

= ,

, ,

= ,

Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamao de la muestra, lo que se realiza

despejando la frmula que sigue:

7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

ANLISIS ESTADSTICO

Pgina 128 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

=

, = ,

, ,

=

(, ) (, )(, )

(, )= ,

: = , ; = , ; = , ; = , ; , = ,

Respuesta: El tamao de la muestra debe ser 8, si la proporcin disminuye en un 10% y se mantiene

el error probable antes de la modificacin, con un 95% de confianza.

3.3) Solucin: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente

frmula:

=

( )

=,

(, )

= ,

Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial est dado de la

siguiente forma:

()

= (()

(;

)

,()

(;

)

)

Con: = ; = , ; = ,

Reemplazando:

(),

= ( (, )

(; ,)

, (, )

(; ,)

) = ( (, )

, ,

(, )

, )

(),

= [, ; , ]

Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo [, ; , ] contenga a la varianza poblacional

de los procesos productivos.

4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen ms o

menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razn se vigila constantemente

la cantidad de producto enlatado. Considere una compaa que produce un cemento de hule

de secado rpido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas.

Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18

onzas y una desviacin estndar de 0,645 onzas.

Considere que el peso de las latas se distribuye normal.

4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las

latas es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significacin de 5%.

4.2) Cul debe ser el mnimo tamao de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el

peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se est dispuesto a cometer un

error mximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores

que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2

7. Intervalo confidencial, Test de Hiptesis y Bondad de Ajuste Ejercicios Resueltos

ANLISIS ESTADSTICO

Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 129

4.1) Solucin: Sea: = Cantidad de cemento en una lata, en onzas

~ (; 2)

Con: = 34; = 0,645; = 0,05; 1

Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

H0: 2 = 0,4

H1: 2 > 0,4

Entonces, el estadstico de prueba es:

=( 1)2

02 =

(34 1)(0,645)2

0,4= 34,3221

El Punto Crtico, se determina de la siguiente forma:

2

(1; 1 ) =2

(33; 0,95) = 47,400

La Regin Crtica:

= { | > 2(1; 1 )} = { | > 47,400}

Respuesta: Como , no se rechaza la hiptesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de

cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas)2.

4.2) Solucin: El problema nos otorga la siguiente informacin:

= , ; = , ; = , ; = , = ,

Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que

conocemos la varianza (), la frmula del error est dada por:

= =

Reemplazando:

, , ,

, ,

, ,

Respuesta: El mnimo tamao de la muestra que se debe uti