Luis Camacho

La lógica en Kant y en George Boole

Que la lógica ha seguido este camino seguro[el de la ciencia] ya desde los tiempos mástempranos se evidencia por el hecho deque desde Aristóteles no ha sido necesariorevisar ni un solo paso, a no ser, ciertamente,que contemos como mejoras la eliminaciónde ciertas sutilezas innecesarias o la exposi-ción más clara de su enseñanza reconocida,características que se relacionan con la ele-gancia más que con la certeza de la ciencia.También es de notar que hasta el día de hoyesta lógica no ha podido avanzar ni un solopaso, y por tanto es en todas sus aparienciasun cuerpo de doctrina cerrado y completo.'

Abstract. This paper shows how historyproved wrong Kant's ideas concerning the pastand future of logic, found in the Preface to thesecond edition of the Critique of Pure Reasonand in his Logic, A Manualfor Lectures (1800).By fol/owing the pathfirst envisioned by Leibniz;both George Boole and Gottlob Frege did whatKant deemed impossible.

Key words: Kant (lmmanuel), Boole(George), logic.

Resumen. Se muestra en el artículo el errorcometido por Kant en sus ideas sobre el pasado yfuturo de la lógica, contenidas en el prefacio a lasegunda edición de la Crítica de la Razón Puray en su obra de 1800 titulada Lógica, Manualpara Conferencias. Al seguir el camino señaladopor Leibnit; tanto George Boole como GottlobFrege hicieron justamente lo que Kant consideróimposible.

Palabras clave: Kant (Immanuel), Boole(George), lógica.

Introducción

La segunda edición de la Crítica de la razónpura incluye un largo prefacio con la indicaciónde lugar y fecha al final: Konigsberg, abril de1787. El segundo párrafo de este Prefacio ha sidocitado más de una vez como muestra de un errorinsigne cometido por un filósofo famoso:

A continuación Kant acusa a "algunos de losmodernos" de ignorancia cuando introducen enla lógica temas ajenos a dicha ciencia -algo queél mismo hace en su Lógica de 1800-, como losaspectos psicológicos de la imaginación y el inge-nio, los metafísicos relacionados con el origen delconocimiento o con las diferentes clases de certe-za, o antropológicos sobre prejuicios, sus causasy remedios. Los acusa de ignorar que la esfera dela lógica está delimitada con precisión:

(...) su solo propósito es dar una exposiciónexhaustiva y una prueba estricta de las reglasformales de todo pensamiento, sea a priorio empírico, cualesquiera sean su origen uobjeto, y cualesquiera sean los obstáculos,accidentales o naturales, que pueda encon-trar en nuestras mentes.

En resumen tenemos:

(1) Existe una ciencia completa y cerrada que esla lógica aristotélica.

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(2) Cuyo objeto es exponer y probar las reglas for-males de todo pensamiento de cualquier tipo.

(3) Dicha ciencia no ha necesitado ningunacorrección esencial desde Aristóteles.

(4) Ni tampoco ha podido avanzar ni un solopaso.

En el Prefacio que comentamos Kant ubicaa la lógica en el primer lugar entre las ciencias,tanto en el sentido histórico de ser la primeraen aparecer como en cuanto que constituye labase y el modelo para todas las demás. Colocaa continuación las matemáticas y la física, en lasque la razón alcanza el conocimiento teórico ycuyos objetos se determinan a priori, en la pri-mera en forma pura, en la segunda con fuentesparciales de conocimiento que no son la razón.Las matemáticas también alcanzaron la categoríade ciencia con los griegos, pero no les resultó tanfácil como a la lógica, "en la cual la razón tieneque tratar únicamente consigo misma"?

En el primer párrafo del Prefacio tenemosel contraste con la situación opuesta -cuando laciencia está ausente- en cuyo caso los síntomasson lo contrario de lo ocurrido con la lógica:preparaciones elaboradas que se detienen antesde conseguir su cometido, retrocesos para exami-nar los pasos ya andados, ausencia de consensoentre los participantes, así como nuevos enfoquesaplicados sin consenso y sin éxito para tratar deavanzar.3

La primera reacción ante el primer textocitado de la Crítica es preguntarse cómo pudoequivocarse tanto Kant. Para seguir el orden delas implicaciones previamente señaladas, diga-mos que

(la) No existe una uruca ciencia completa ycerrada que podamos llamar lógica aristo-télica. Más bien encontramos en Aristótelesdos enfoques generales en conflicto, a loque se añade la incompatibilidad de otrostantos enfoques en lógica moda!' Además,es esencial para la lógica en sus inicios elaporte posterior de los estoicos y megáricos,particularmente de Crisipo.

(2a) No se puede decir que en Aristóteles el obje-to de la lógica sea exponer y probar las reglasformales de. todo pensamiento de cualquiertipo.

(3a) El aporte más completo de Aristóteles es lasilogística, que hoy consideramos una partede la lógica de predicados de primer orden.Pero es exagerado afirmar que esta parte dela lógica no ha necesitado ninguna correc-ción esencial desde Aristóteles.

(4a) En cuanto a si la lógica ha podido avan-zar algún paso desde Aristóteles, solo sireducimos dicha ciencia a la si logísticaaristotélica e ignoramos los problemas queencontramos en ella podríamos contestarcomo lo hace Kant. Pero dicha reducciónchoca tanto con la visión grandiosa de lalógica que aparece en la Crítica como conel notable desarrollo que tiene esta cienciajustamente después de Kant.

A lo anterior hay que sumar otra crítica:

(5) En su obra de 1800 titulada Lógica, Manualpara Conferencias" Kant no expone la cien-cia lógica aristotélica según él completa ycerrada, sino más bien un enfoque en conso-nancia con otras tradiciones en la enseñanzade la disciplina, como la escolástica tardía yla Lógica de Port-Roya!.

A continuación desarrollaremos brevementecada uno de los cinco puntos señalados. Luegoesbozaremos las principales ideas que revolucio-naron la lógica justamente pocos años después dela muerte de Kant en 1804 y que culminan conlas dos obras de George Boole, Análisis mate-mático de la lógica (1847) y Las leyes del pen-samiento (1854), así como con la Begriffsschrift(Conceptografía) de Frege en 1879. El grandesarrollo de la lógica a partir de comienzos delsiglo XIX, así como los avances en los estudioshistóricos que nos dan una comprensión mejor deAristóteles, han dejado muy atrás las palabras deKant en 1787. Por eso mismo resulta interesantepreguntamos en qué estaba pensando el filósofode Konigsberg cuando las escribió. La hipótesis

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únicamente esbozada aquí es que el esquemaepistemológico de la Crítica de la razón puraexige esa visión de la posición de la lógica tantoen el desarrollo histórico de las ciencias como enla jerarquía de éstas. Dicha visión choca con loshechos de la historia.

(A) Kant y Aristóteles

1. La lógica de Aristóteles: ¿una o varias?

Hay más de un enfoque en la lógica deAristóteles. Citemos al respecto lo dicho por elfilósofo inglés P. T. Geach en la lección inauguralpronunciada en la Universidad de Leeds el 22 deenero de 19685:

La historia de la lógica comenzó conAristóteles, el cual pudo decir con orgulloque había escrito el primer tratado de lógicaformal. Puedo resumir en una sola frase loque voy a decir: Aristóteles, como Adán,comenzó bien, pero se extravió pronto por unmal camino, con consecuencias desastrosaspara su posteridad,"

El origen del problema es fácil de ver: entre elenfoque inicial de los primeros libros De la inter-pretación y Categorías y el que se desarrolla enlos Analíticos hay graves problemas de compatibi-lidad, pero no se pueden separar. En las primerasobras el punto de partida es la teoría gramatical dela relación sujeto-predicado, donde el sujeto ideales un nombre propio que no puede ocupar el pues-to de predicado ni convertirse en predicado. Estateoría es incapaz de explicar proposiciones relacio-nales, problema que arrastró la lógica hasta Fregey que por supuesto afecta a la epistemología delmismo Kant como había afectado antes a Leibniz,pues el análisis de las proposiciones analíticas ysintéticas en ambos autores se basa justamenteen ese modelo de la proposición. Leibniz se diocuenta del problema y trató en vano de resolverlo',Kant en cambio ni siquiera percibió la imposibili-dad de probar validez de argumentos relacionalesusando un esquema proposicional basado en elmodelo gramatical de sujeto y predicado. Poreste motivo, argumentos muy sencillos que invo-lucran relaciones (v.g. "Si Chirac es más alto queBerlusconi y Berlusconi es más alto que Bush,

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entonces Chirac es más alto que Bush") y de cuyavalidez no dudamos no encuentran la regla formalcorrespondiente en la lógica aristotélica y menosen la kantiana. Y como si fuera poco, la validezde un argumento relacional depende del tipo derelación involucrada (simétrica, asimétrica o no-simétrica; transitiva, intransitiva o no-transitiva;refleja, irrefleja o no-refleja) y no es a priori comoconocemos de qué tipo de relación se trata, sinopor la experiencia.

Pero hay otro problema: al llegar a losAnalíticos, Aristóteles aplica un enfoque en elque la mutua convertibilidad de sujeto y predi-cado según reglas es la base para la reducción desilogismos de las otras figuras a silogismos dela primera.é Mientras en las primeras obras delOrganon el nombre propio se toma como modelode sujeto de la oración, en cambio en la silogísticaese mismo nombre propio estorba y lo que predo-mina son los términos de clase, lo que los gramáti-cos a veces llaman con la pintoresca expresión de"nombres comunes" (que no son nombres ni soncomunes). Todos sabemos que el modelo de silo-gismo aristotélico es el de la primera figura conproposiciones universales afirmativas, el famosoBarbara de los medievales, aunque como recordóS. McCall en 19639 y explicó Fred Johnson en1989 y 199310, en Aristóteles la cuantificaciónsuele ir acompañada por la modalidad, por loque la figura perfecta sería la Barbara con tresproposiciones categóricas necesarias (LA-LA-LA, o LLL-Barbara). Pero en Barbara no apare-cen nombres propios, ni es posible introducirloscon éxito en los procedimientos habituales deconversión, obversión y contraposición de losque solían hablar con gran detalle y pérdida detiempo los manuales de lógica todavía afectosal modelo de sujeto-predicado, con modalidad osin ella. Como sabemos esta gran limitación dela lógica aristotélica fue finalmente superada porGottlob Frege en 1879 con su obra Begriffsschrift(Conceptografía), lo que permitió la aparición delos primeros cálculos lógicos de relaciones graciasal norteamericano Charles Sanders Peirce y alalemán Ernst Schróder.

El siguiente problema tiene que ver justa-mente con la modalidad. En las obras lógicas deAristóteles no encontramos un esquema de nocio-nes modales, sino dos. Por un lado tenemos los

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capítulos 12 Y 13 de De la interpretación, dondese toman como nociones básicas las de posible eimposible, y por otro tenemos los capítulos 8 al22 de la Analítica primera, donde la distinciónbásica es entre necesario y no necesario. A lapregunta de si es posible lo necesario la respuestaes afirmativa si se define lo necesario como loque no puede no ser, pero es negativa si lo nece-sario se concibe como lo opuesto a lo meramenteposible. La lógica modal contemporánea toma elprimer camino, pero no está claro en Aristótelescuál es el camino a seguir.

2. El objeto de la lógica en Aristóteles:¿todo tipo de pensamiento o solamente la

inferencia?

En las líneas finales del capítulo 34 y últimode los Argumentos sofísticos Aristóteles se atri-buye la paternidad de la ciencia del razonamiento,de la que no encontró "ninguna obra antigua quecitar". Hasta donde sabemos Aristóteles no hablade una ciencia de todo tipo de pensamiento, ylas primeras líneas de la Analítica primera dejanclaro el objeto del estudio: "Lo que aquí inquiri-mos se refiere a la demostración y corresponde ala ciencia demostrativa".

En el mismo Prefacio en el que Kant identificaa la lógica aristotélica con la lógica, como primeraciencia cerrada y completa, nos dice que la lógicanos da las reglas formales "de todo pensamiento,sea a priori o empírico", y según lo dicho un pocomás abajo "abstrae de todos los objetos del conoci-miento y sus formas, dejando al entendimiento nadaque tratar excepto el mismo entendimiento y suforma".'! Como ocurre con la metafísica, que pro-mete grandes cosas pero sus frutos son modestos,así la grandiosa concepción de la lógica que tieneKant choca con la realidad de sus resultados, muchomás humildes. Quizá algún día podamos conocerlas reglas formales de todo pensamiento -si es queexisten- pero no se puede acusar a Aristóteles deintentar hacerlo en los libros del Organon.

3. La lógica de Aristóteles: ¿ha sido necesariaalgnna corrección posterior?

Puesto que la lógica aristotélica es apenasun pequeño capítulo que se subsume dentro de

la lógica contemporánea, la pregunta solo tienesentido si nos limitamos al aporte del Estagirita,es decir, a la silogística acompañada de modali-dad y algunos tipos de razonamiento llamadossilogismo s en un sentido amplio del término,como el hipotético. Bástenos señalar un punto enel que el tratamiento aristotélico ha sido corregi-do, el de los silogismos con conclusión particularcuyas premisas son universales afirmativas. Así,en la tercera figura el modo de silogismo AAI (elDarapti de los escolásticos) se admite como váli-do en la lógica aristotélica, cuando solo lo es bajola presuposición de que las clases de que estamoshablando no son vacías, es decir, cuando en vezde un silogismo categórico tenemos un entimemaal que le falta una premisa existencia!. Así, de lasdos premisas "todos los peces viven en el agua"y "todos los peces son vertebrados" podemosconcluir "algunos vertebrados viven en el agua"únicamente si le añadimos una tercera premisa,"existen peces".

4. ¿Tiene razón Kant al decir que no hahabido avances en la lógica después de

Aristóteles?

En este punto argumentaremos por reducciónal absurdo. Entre Aristóteles y Kant tenemos,por citar solo algunas cosas, la formulación deaxiomas de lógica proposicional que aparecenen Crisipo con el nombre de "indemostrables" yque luego reaparecen en Ockham y Leibniz (entreotros), la discusión entre Filón y Diodoro sobre lascondiciones de verdad del condicional, la comple-ja teoría de la proposición propia de los estoicos,la noción y división de la suposición en Ockham,los sistemas modales en varios autores del sigloXIV, y la gran discusión en ese mismo siglo sobreel condicional, los insolubles, los contrafácticos ylos futuribles.P Ahora bien, si Kant tiene razón,tendríamos que decir de lo anterior, o que

(a) Se trata de asuntos psicológicos, metafísi-cos o antropológicos y, por tanto, ajenos ala ciencia de la razón limitada a sí mismaque examina todas las reglas del pensa-miento; o que

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(b) Se trata de asuntos propios de la lógica peroque se encuentran en Aristóteles.

Ninguna de estas dos opciones es posible:

(a') Todos los temas mencionados, y otros muchosque aparecen en la historia de la lógica des-pués de Aristóteles y antes de Kant, tienenque ver con la validez o invalidez de razo-namiento y, por tanto, con lo que Aristótelesconsidera el objeto de la lógica. No se puededecir de ellos que sean problemas psicológi-cos, metafísicos ni antropológicos.

(b') Aunque en Aristóteles hay algunos atisbosde la lógica proposicional (sobre todo enAnalítica primera, libro 2, capítulo 4) yaparecen con él las nociones modales, noencontramos en sus obras lo que con razónse consideran aportes de Crisipo, Ockhamy otros medievales, Leibniz y algunos otrosautores anteriores a Kant.

5. ¿Es aristotélica la Lógica de Kant?

No. Basta con fijamos en la definición de lalógica que da Kant en las mismas páginas en quenos habla de la lógica aristotélica como la lógicaacabada y perfecta que no necesita mejoras. Si Kantpiensa que la lógica nació perfecta con Aristóteles,su obra publicada en 1800 con el título de Lógica,Manual para Conferencias -en la que se repitencasi al pie de la letra las palabras del Prefacio-debería reflejar este convencimiento. Sin embargo,esta pequeña obra empieza con una definición de laciencia que sería extraña al padre de la misma:

La lógica es una ciencia de la razón no soloen cuanto a la mera forma sino también encuanto a la materia; una ciencia a priori delas leyes necesarias del pensamiento; no, sinembargo, en relación con objetos particu-lares sino en relación con todos los objetosen general; es una ciencia, por tanto, del usocorrecto del entendimiento y de la razón encuanto tal, no subjetivamente, es decir, nosegún principios empíricos (psicológicos) decómo el entendimiento piensa, sino objetiva-mente, es decir, de acuerdo con principios apriori de cómo debe pensar.P

Después de una introducción en la que Kantempieza hablando de leyes en todo cuanto existey pasa luego a hablar de los temas que justamentenos ha dicho en el Prefacio de 1787 que no sedeben introducir en la lógica porque al hacerla semuestra ignorancia sobre el objeto de la cienciaestudiada (prejuicios, ignorancia, edad correctapara la especialización, uso de enciclopedias,diferencia entre pedantería y galantería, etc.) pasaluego a la doctrina general de los elementos. Estaparte está dividida en tres secciones dedicadas aconceptos, juicios y conclusiones. En ésta últimaaparecen los silogismos, y lo que encontramossolo introduce una variante en cuanto a la inter-pretación del principio dictum de omni, dictum denullo, que Kant considera derivado de otro másprimitivo. Después del silogismo encontramosuna teoría del método, compuesta por sendosestudios sobre la definición y división de concep-tos. La obra termina con cuatro líneas dedicadasa la meditación. Es difícil evitar la pregunta dedónde están las reglas formales de todo tipo depensamiento, supuestamente ya descubiertas enforma acabada y completa.

(B) George Boole, Aristóteles y Kant

Hemos visto que en el Prefacio de 1787 lalógica es anterior en todo sentido a las matemá-ticas. Por tanto, a la pregunta de si es posiblereducir la lógica a las matemáticas la respuestakantiana tendría que ser enfáticamente negativa.Sin embargo, eso es precisamente lo que haceGeorge Boole con la silogística aristotélica y conla conectiva condicional en lógica proposicional.

Cuando Boole escribió su pequeña obraAnálisis matemático de la lógica (1847) muchocamino se había recorrido ya. Leibniz había sen-tado las bases del proyecto lógico señalando quenecesitaría dos partes complementarias, un cál-culo para razonar automáticamente (lo que justa-mente empieza Boole) y un lenguaje característi-co (que aparece por primera vez en Frege, quiencita a Leibniz a este respecto). El mismo Leibnizse había dado cuenta de que todos los númerosse pueden representar usando únicamente dossímbolos, O y I.i4 Varios matemáticos de princi-pios del siglo XIX habían ampliado la aplicaciónde los símbolos del álgebra liberándolos de una

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interpretación puramente numérica.P Los trabajosde Hamilton sobre cuantificación del predicadohabían transformado las proposiciones categóricasde los silogismos aristotélicos en ecuaciones.!"

Lo primero que hace Boolel7 es reducir lasi logística a una parte de las matemáticas de lasiguiente manera:

(a) Los silogismos expresan relaciones entreclases (Boole usa class en inglés, nunca set).Usemos las letras x, y, : para representar laoperación de seleccionar miembros de lasclases X, Y Y Z.

(b) Si 1 representa el universo entero, l-x represen-ta todo lo que no es x. Si x son las ovejas, l-x estodo lo que queda cuando quitamos las ovejas.

(c) xy representa la intersección de ambas cla-ses. Si x son las ovejas y y son las cosasnegras, xy son las ovejas negras. Obviamentexy=yx.

(d) x + y junta dos clases sin miembros encomún, mientras x-y quita a x los miembrosque sean y. También es obvio que x+y=y+x.

(e) z(x+y) es igual a zx+zy, Europeos (hom-bres + mujeres) es lo mismo que europeoshombres+europeos mujeres. (Todos estosejemplos son de Boole.)

(f) Si x representa la operación de seleccionarmiembros de la clase X, entonces xxex , puesla repetición de la variable x no introducenada nuevo. En términos generales, xn=x,ecuación bautizada por Boole como Ley delÍndice. El siguiente paso que da Boole es"pequeño para un ser humano pero grandepara la humanidad": la Ley del Índice secumple solamente en dos casos, a saber,cuando x=I y x=O, 1 y O tienen la propiedadcomún de que siguen siendo 1 y O cuando seelevan a cualquier potencia.

(g) Las cuatro proposiciones categóricas aristo-télicas se representan entonces de la siguien-te forma:

(A) x(l-y)=O(E) xy=O(I)xy=v(O)x(l-y)=v

donde v significa "algunos", pero puede sersustituido con ventaja con el símbolo "* O. Asítenemos:

(A) "Todos los x son y" se representa como"Los x que no son y son igual a O".(E) "Ningún x es y" se representa como"Los x que son y son igual a O".(1) "Algún x es y" se representa como "Hayalgún x que es y" o "Los x que son y no sonigual a O".(O) "Algún x no es y" se representa como"Hay algún x que no es y" o "Los x que noson y no son igual a O".

A continuación Boole representa cada formasilogística utilizando los símbolos indicados yresuelve la validez o invalidez en cada caso apli-cando conocidas reglas de las matemáticas. Si laconclusión se desprende de las premisas median-te procedimientos matemáticos, el silogismo esválido. De lo contrario es inválido.

Hecho lo anterior, Boole aplica las mismasnociones al condicional y, por tanto, se libera dela si logística para entrar a la lógica proposicional,que es más básica. Podemos resumir su razona-miento en tres pasos:

(a) 1 Y O pueden representar también los valoresde verdad y falsedad respectivamente. Lasvariables x, y, : serán entonces variables pro-posicionales, es decir, serían sustituibles porproposiciones. Si a 1 le restamos una variableasumimos que la proposición representadapor esa variable es falsa. Así, l-y indicaríaque la proposición y es falsa.

(b) La expresión x(l-y)=O se lee ahora de otraforma, a saber, "los casos en que la proposi-ción x es verdadera y la proposición y es falsason iguales a O".

(c) Este es justamente el caso interesante de la tablade verdad del condicional (mal llamado "implica-ción", a veces con el adjetivo "filoniana" o "mate-rial") tal como se usa en lógica proposicional.

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Usando el mismo simbolismo Boole puedeexpresar matemáticamente el principio de nocontradicción de la siguiente manera: x(1-x)=O.

Regresamos, pues, a la misma conclusión:es posible reducir la lógica conocida a una partede las matemáticas, a saber, a la que usa única-mente O y 1.

En su obra de 1854 Las leyes del pensamientoBoole completa sus ideas añadiendo una seccióndedicada al cálculo de probabilidades. Mientras lalógica se encarga de las leyes necesarias del pensa-miento (y en la definición de la lógica -pero úni-camente en la defmición- Boole curiosamente eskantiano), la teoría de las probabilidades da cuentadel resto del conocimiento, que es contingente.

Se puede argüir, con toda razón, que lo únicoreducido a las matemáticas en George Boole es lasilogística aristotélica desprovista de modalidad y,por supuesto, sin nombres propios, más la tabla deverdad de una de las conectivas del cálculo propo-sicional, el condicional. Además, hay que recordarque con Gottlob Frege empieza en 1879 el proyectoen sentido contrario, el que intenta reducir todaslas matemáticas a la lógica, que lleva el nombrede logicismo y se prolonga hasta 1932 con los teo-remas de Goedel. Pero el punto que nos interesasigue siendo válido: lo reducido a las matemáticaspor Boole es justamente la lógica aristotélica queKant considera cerrada y completa, previa a lasmatemáticas por ser más básica que ella. Por siacaso queda alguna duda oigamos lo que dice Kanten su Lógica de 1800, hacia el final de la segundaparte de la larga Introducción:

Hay solo unas pocas ciencias que puedenalcanzar un estado permanente más alládel cual no tienen ningún cambio. A éstaspertenece la lógica y también la metafísica.Aristóteles no ha omitido ningún momentodel entendimiento [...J.18

Esa sección termina con las siguienteslíneas

En los tiempos presentes no hay ningúnlógico famoso, y ciertamente no necesita-mos ninguna invención nueva para la lógica,pues ésta contiene meramente la forma delentendirniento.l?

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En ese momento Bernard Bolzano (1781-1848), seguidor de Leibniz, tenía 19 años y prontosaldría de su pluma una novedosa teoría de losmodelos de formas sentenciales que le permitiríadefinir con más precisión las nociones lógicasbásicas. William Hamilton (1788-1856) teníaapenas 12 años, por lo que podemos suponerque aún no había pensado en la cuantificacióndel predicado que aparece en Lectures on Logic(Edinburgo y Londres, 1861). Dos años despuésde la muerte de Kant nació Augustus de Morgan(1806-1871), cuyas obras First Notions o/ Logic(1839) y Formal Logic (1847) claramente seinscriben dentro de la revolución que dio comofigura señera a George Boole (1815-1864). Elsiglo XIX, en el que Kant no quería ningunainvención para la lógica, llegará a conocer al quemuchos consideran el más grande lógico desdeAristóteles, Gottlob Frege (1848-1925).

Notas

1. Traducción propia. Usamos la edición completapreparada por Norman Kemp Smith (Nueva York:St. Martin's y Toronto: Macmillan, 1929), queincluye los textos de las dos primeras ediciones,señalando los lugares donde difieren.

2. Bx-Bxi en la edición de Kemp.3. Cualquier parecido entre esta descripción y la

etapa pre-paradigmática descrita por Thomas S.Kuhn en su Estructura de las revoluciones cien-tíficas de J 962 no parece mera coincidencia.

4. Usamos aquí la versión en inglés traducida y conuna larga introducción de Robert S. Hartman yWolfgang Schwarz (Nueva York: Dover, 1974).

5. Esta conferencia inaugural es el origen del artícu-lo "Historia de las Corrupciones de la Lógica" queapareció en la revista española Themata, publi-cada por las universidades de Málaga y Sevilla,número 2, 1985, pp. 41-53. Puede verse tambiénen inglés como parte del libro de Geach LogicMatters (Oxford: Blackwell, 1972),pp. 44-61.

6. Lugar citado, p. 41.7. Entre otras, puede verse al respecto la obra de

H. Ishiguro Leibniz's Philosophy 01 Logic andLanguage (Londres: Duckworth, 1972).

8. "Es posible reducir todos los silogismos a lossilogismos universales de la primera figura" diceAristóteles en la Analítica primera, libro 1, capí-tulo 7.

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9. S. McCall, Aristotle's modal syllogism(Amsterdam: North-Holland, 1963).

10. Fred Johnson, "Models for Modal Syllogisms",en Notre Dame Journal of Formal Logic, vol.30, # 2, 1989, pp. 271-284; Fred Johnson, "ModalEcthesis", en History and Philosophy of Logic, 14(1993) 171-182.

11. Bix en la edición de Kemp.12. Benson Mates, La lógica de los estoicos

(Madrid: Tecnos, 1985); Ernest Moody Truth andConsequence in Medieval Logic (Amsterdam:North-Holland, 1953); Mikko Yrjosuuri (ed.)Medieval Formal Logic, Obligations, Insolublesand Consequences (Dordrecht-Boston-London:Kluwer Academic Publishers, 2001).

13. Traducción propia de la traducción al inglés deRobert S. Hartmann y Wolfgang Schwarz (NuevaYork: Dover, 1974), p. 18. La versión preparadapor estos dos traductores viene precedida por unaintroducción más extensa que la obra de Kant.

14. Véase la columna "Mathematical Games" deMartin Gardner en Scientific American, enero1974,108-113.

15. Se encuentra una defensa del uso no numérico de lossímbolos del álgebra en la obra de George PeacockA Treatise on Algebra (2 vols. Londres, 1842-1845).Véase al respecto la Encyclopedia of Philosophyeditada por Paul Edwards (London: Collier, NewYork: Macmillan, 1967), vol. I1, p. 552.

16. William Hamilton, Lectures on Logic (Edinburgoy Londres, 1861).

17. Hay una versión en español de The MathematicalAnalysis of Logic, El análisis matemático de lalógica (Madrid: Cátedra, 1979). Lamentablementetiene algunos errores tipográficos en las fórmulasThe Laws of Thought, publicado en la EditorialDover de Nueva York en 1958, ha sido traducidoal español (Madrid: Paraninfo, 1982).

18. Página 23 de la edición en inglés en Dover.19. Página 24.

Bibliografía

(a) Fuentes

Para la Crítica de la razón pura hemos usado laversión en inglés, con traducción y notas de

Norman Kemp Smith (Nueva York: St. Martin'sy Toronto: Macmillan, 1929), famosa no solopor su precisión sino también por incluir lasvariaciones que aparecen en la segunda edi-ción, así como observaciones allí donde el textoda muestras de problemas gramaticales. Parala Lógica, Manual para Conferencias hemosusado la traducción al inglés hecha por RobertS. Hartman y Wolfgang Schwarz (Nueva York:Dover, 1974). Esta versión incluye una introduc-ción más larga que el texto de Kant. De la obrade George Boole A Mathematical Análisis ofLogic hay una traducción reciente al español enla colección Cátedra (Madrid: 1979), con varioserrores en los símbolos. Tenemos noticia de unatraducción anterior hecha en Chile de la que nohemos podido localizar ninguna referencia. TheLaws of Thought apareció en la editorial Doveren 1958.

(b) Bibliografía secundaria

Gardner, Martin. "Mathernatical Games". ScientificAmerican, enero 1974, pp.l08-113.

Geach, Peter. "Historia de las Corrupciones de laLógica". Themata, publicada por las univer-sidades de Málaga y Sevilla, número 2, 1985,pp. 41-53. Puede verse también en inglés comoparte del libro de Geach Logic Matters (Oxford:Blackwell, 1972, pp. 44-61).

Ishiguro, H. l.eibniz's Philosophy of Logic andLanguage. Londres: Duckworth, 1972.

Johnson, Fred. "Modal Ecthesis". History andPhilosophy of Logic, 14, 1993, 171-182.

______ . "Models for Modal Syllogisms". NotreDame Journal of Formal Logic, vol. 30, # 2, 1989,pp. 271-284.

Mates, Benson. La lógica de los estoicos. Madrid:Tecnos, 1985.

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