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La investigacion matematica:el caso de Espana

Colegio Libre de Emeritos, 7 de junio de 2012

Antonio Cordoba La investigacion matematica: el caso de Espana

¿Puras o aplicadas?

El estudio profundo de la Naturaleza es la mina mas fertil dedescubrimientos matematicos.

Joseph Fourier (1768-1830)


Es cierto que Fourier opinaba que el principal objetivo de lasMatematicas radica en su utilidad publica y en la explicacion de losfenomenos naturales; pero un filosofo como el debe saber que elunico objetivo de la ciencia es el honor del espıritu humano y que,desde ese punto de vista, un problema de Teorıa de Numeros estan valioso como otro sobre el sistema del Universo.

Carl Gustav Jacobi (1804-1851)


Matematicas: ¿se crean o se descubren?

El Platonismo matematico afirma que los objetos y conceptostratados por las Matematicas no son simples invenciones,existentes solamente en la mente de los matematicos, sino que sonrealidades objetivas, inmateriales y atemporales.

El formalismo asegura que la imaginacion, la creatividad y lacapacidad de abstraccion humanas, crean matematicasindependientemente de entornos y de caracterısticas personales.

En general los investigadores tienden a ser algo platonicos y sumundo matematico esta habitado, entre otros muchos entes, pornumeros, secciones conicas, funciones analıticas, ecuacionesdiferenciales, procesos estocasticos o espacios topologicos.


Las Matematicas son el idioma de la Naturaleza.

Galileo Galilei (1564-1642)


¿Como es posible que la matematica, un producto del pensamientohumano independiente de la experiencia, se ajuste de modo tanperfecto a los objetos de la realidad fısica?

Albert Einstein (1879-1955)


El milagro de la articulacion entre el lenguaje, la matematica y laformulacion de las leyes de la fısica es incomprensible y hasta deuna exclusividad inmerecida para nosotros los fısicos: valdrıa lapena extenderlo a todas las ramas del conocimiento.

Eugene Wigner (1902-1995), La irrazonable eficacia de las Matematicas


En sentido estricto el objetivo primordial de la investigacionpretende la produccion, creacion o descubrimiento de resultadosnuevos y significativos, que anadir a las Matematicas.

La palabra “problema” tiene en Matematicas un significado algodistinto del que suele tener en otros ambitos. Para un matematicoun problema no es algo malo o fastidioso. Todo lo contrario, losmatematicos estan ansiosos de encontrar o formular buenosproblemas, como una garantıa de un trabajo interesante.


Toda teorıa matematica empieza con uno o varios problemas opreguntas de un interes especial. Por ejemplo,

¿Podemos hallar una formula para calcular las raıces de unpolinomio?

¿Cuantos primos hay en la sucesion Fn = 22n

+ 1?

¿Como se propaga el calor?

¿Cuantas paralelas a una recta dada pueden trazarse desde unpunto exterior?

¿De cuantas maneras distintas puede escribirse un enterocomo suma de cuatro cuadrados?

¿Cual es el conjunto plano de area mınima en el que se puedegirar una aguja hasta invertir su posicion?

¿Acaso tienen velocidad los vientos?


Existen, claro esta, varias posibilidades:

1) Puede ocurrir que el problema nos lleve a una teorıa generalfecunda.

2) Puede ocurrir que el esfuerzo no lleve a ninguna parte, y quela teorıa este todavıa por hacer. O que solo tengamosresultados parciales, quedando aspectos fundamentalestodavıa por entender.

3) O puede ocurrir que las tecnicas usadas en la solucion nossirvan tambien para resolver otros problemas, y el resultadoacabe conocido como un metodo.


Analisis armonico: el metodo de Fourier

El calor fluye de las partes calientes a las frıas, y la relacion eslineal: si nos acercamos a la mitad de distancia recibiremos eldoble de calor.

Calor especıfico: la cantidad de calor que necesita un gramode una substancia para subir su temperatura un grado. Elcalor recibido es proporcional al aumento de temperaturaexperimentado.

u(x , t) es la temperatura de la barra en el punto x en el tiempo t.Midiendo u(x , 0) (la temperatura inicial), ¿podremos predeciru(x , t)?

∂2u

∂x2− κ ∂u

∂t= 0 (κ > 0).


......

......


Escribimos:

u(x , 0) = a0 +(a1 cos(2πx) + b1 sin(2πx)

)+

+ · · ·+(an cos(2πnx) + bn sin(2πnx)

)u(x , t) = a0 +

(a1 cos(2πx) + b1 sin(2πx)

)e−4π

2t/κ+

+ · · ·+(an cos(2πnx) + bn sin(2πnx)

)e−4π

2n2t/κ

Pregunta: ¿puede toda funcion f ser escrita como una serietrigonometrica?


Analisis Armonico

Verde,verde esmeralda,azul turquesa,azul ultramar,ındigo, violeta:Sıntesis de luz.

Ondas, vibraciones, trigonometrıa,espirales, remolinos, puntos de fuga.Venus de proporciones divinas.Fuego que da la vida,el calor y el color.Amarillo, naranja,rojo, carmın.


Algunas aplicaciones:

propagacion del sonido;

propagacion de la luz;

tratamiento de senales;

fotografıa digital;

prospeccion petrolıfera;

TAC.


Teorıa de Riemann

Supongamos que la serie trigonometrica∑n

(an cos(2πnx) + bn sin(2πnx)

)se anula en todo punto x del intervalo (0, 1). ¿Podemos deducirque todos los coeficientes an y bn son nulos?

(G. Cantor) Un conjunto U es de unicidad si toda serietrigonometrica que converge a 0 fuera de U tiene que ser,necesariamente, la serie nula.

Problema: ¿quienes son los conjuntos de unicidad?


Conjunto ternario de Cantor

C tiene medida cero,

∞∑n=0

2n

3n+1=

1

3· 1

1− 2/3= 1,

y, sin embargo, no es numerable.

Teorema (A. Rajchman)

C es un conjunto de unicidad.


Antoni Zygmund (1900-1992) Paul Cohen (1934-2007)

La hipotesis del continuo.

Logica matematica.

Teorıa de la Computacion.


Investigacion: grosso modo

El numero de matematicos realmente activos en investigacionen el mundo, es relativamente pequeno, en torno a 10.000.Por el contrario, el numero de areas (y sub-areas) segun laMathematics Subject Classification 2000, es superior a 100.

El volumen total de publicaciones anuales en matematicasesta en torno a unos 25.000 artıculos publicados en las,aproximadamente, 200 revistas recogidas en el ındice ISI.

El numero de tesis doctorales leıdas durante el pasado ano,2011, fueron, aproximadamente: 7000 en USA, 150 en Espana.

El porcentaje de publicaciones en las que un autor es espanolesta en torno al 4 % en 2012. Se estimo en 0.04 % en 1980.


Revistas clasicas y actuales

Acta Eruditorum

(fundada por Otto Mencke y Gottfried Leibniz en 1682)


Journal de Mathematiques Pures et Appliquees

(Journal de Liouville, 1836)


Journal fur die reine und angewandte Mathematik

(Crelle’s Journal, 1826)


Acta Mathematica

(Gosta Mittag-Leffler, 1882)


American Journal of Mathematics

(James J. Sylvester, 1878)


Annals of Mathematics

(Princeton-IAS, 1874)


Revista Matematica Iberoamericana


Arbol genealogico


Antoni Zygmund →

J. MarcinkiewiczA.P. CalderonP. CohenE.M. Stein...


Linking numbers

Antonio Cordoba↓

J. Cilleruelo↓

I. Ruzsa↓

E. Strauss↓

A. Einstein↓

H. Minkowski↓

K. F. Gauss


A. Cordoba A. Cordoba A. Cordoba↓ ↓ ↓

L. Seco L. Caffarelli C. Fefferman↓ ↓ ↓

V. Ivrii H. Brezis M. Ash↓ ↓ ↓

M. Shubin J. Coates P. Erdos↓ ↓

M. Gromov A. Wiles↓

G. Perelman


Demostraciones

Teorema√

2 es irracional

Hipotesis:

√2 =

a

b, con mcd(a, b) = 1 (sin factores en comun).

Entonces, 2 = a2

b2=⇒ 2b2 = a2. Ası que a debe ser par: a = 2c .

De manera que 2b2 = 4c2 =⇒ b2 = 2c2.

Lo que nos dice que b tambien ha de ser par. ¡Contradiccion!


Teorema (Pitagoras)

En un triangulo rectangulo, a2 + b2 = c2.

¡Sin palabras!


Teorema

Casi todos los numeros son normales.

¡Pero nadie podra identificar a uno concreto de ellos!


Teorema (Appel-Haken, 1976)

Todos los mapas del plano pueden ser coloreados con solo cuatrocolores (sin que dos regiones adyacentes tengan el mismo color).


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