La intersección de dos cilindros

La interseccin de dos cilindros

La interseccin de dos cilindrosProblema: Hallar el volumen comn a dos cilindros, cada uno de radio

INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET


INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/eq0001MP.gif" \* MERGEFORMATINET

, si los ejes de los cilindros se intersecan formando ngulos rectos.

Solucin: Lo primero es hacer un anlisis geomtrico de la situacin y considerar desde arriba la interseccin de los dos cilindros. La clave del problema est en hacer cortes horizontales del volumen comn de los dos cilindros y en observar que se generan secciones cuadradas. Esto se puede apreciar en las distintas grficas siguientes (Figuras A y B):

Figura A

Figura B

Las grficas elaboradas a mano por Manuel son excelentes. Sin embargo, las siguientes figuras realizadas en Maple 7 pueden ayudar a comprender an ms el problema.

La interseccin de los dos cilindros.(grfica realizada en Maple 7)Para calcular el volumen de la interseccin de los dos cilindros se integran todos los volmenes de las secciones cuadradas. Se coloca el origen de las coordenadas en el punto de interseccin de los ejes de los cilindros tal como se hace en la Figura C. Las secciones cuadradas estn limitadas por la circunferencia


INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , que tiene radio

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INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET y centro en



INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET . La semicircunferencia de la derecha est dada por la funcin



INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET que aparece representada en rojo en dicha figura.

Figura C

Es claro entonces que el lado de la seccin cuadrada que est situada a una altura

INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/eq0006M.gif" \* MERGEFORMATINET



INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET mide



INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET . Por lo tanto su rea est dada por:




INCLUDEPICTURE "http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/dos_cilindros/dos_cilindros_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET .

As pues el volumen de la interseccin de los dos cilindros est dado por la integral:

La respuesta entonces es


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