La geometria amagada darrera la pintura · hem de fixar-nos en algunes característiques que...
63
La geometria amagada darrera la pintura Eulàlia Ribera Fernández Sagrat Cor-Diputació Josep Maria Llull Novell Curs 2010/2011
Transcript of La geometria amagada darrera la pintura · hem de fixar-nos en algunes característiques que...
La geometria amagada darrera la pintura
Eulàlia Ribera Fernández Sagrat Cor-Diputació
Josep Maria Llull Novell Curs 2010/2011
2
3
4
Agraeixo a la Míriam Ribera i al Sergio Gómez per les seves idees i per haver-
me donat ànims en agafar l‟art i la matemàtica com a pilar d‟aquest treball.
Als meus pares pel seu suport durant aquests mesos de treball.
A la Carmen de la Sotilla pel seu interès, per haver-me ensenyat molts pintors
que desconeixia i per donar-me informació sobre la seva galeria d‟art.
A l‟Aleix Forcada per la seva ajuda a l‟hora de centrar el tema en el treball de
recerca.
I per últim al meu tutor del Treball de Recerca, en Josep Maria Llull, pel seu
suport i perquè en els moments més complicats em va donar moltes idees per
poder assolir els meus objectius.
5
Índex
1. Introducció..................................................................................................
2. Lectura d‟una obra d‟art (alfabetització visual)...........................................
2.1 Elements d‟una obra d‟art....................................................................
2.2 Anàlisi d‟un quadre...............................................................................
3. Renaixement...............................................................................................
3.1 Les escoles renaixentistes....................................................................
3.2 Per què pertany a “matemàtiques com a eina?”...................................
4. Neoclassicisme...........................................................................................
4.1 Les acadèmies......................................................................................
4.2 Jacques Louis David.............................................................................
4.3 Jean Auguste Ingres.............................................................................
4.4 Per què pertany a“matemàtiques com a eina?”....................................
5. Cubisme......................................................................................................
5.1 Les avantguardes.................................................................................
5.2 El cubisme............................................................................................
5.3 Per què pertany a “matemàtiques com a eina-inspiració?”..................
6. Abstracció...................................................................................................
6.1 L‟ abstracció en el segle XX.................................................................
6.2 Abstracció lírica....................................................................................
6.3 Abstracció geomètrica..........................................................................
6.4 Per què pertany a “matemàtiques com a inspiració?”..........................
7. Mauritis Cornelius Escher...........................................................................
7.1 L‟artista.................................................................................................
7.2 Per què pertany a “matemàtiques com a inspiració?”..........................
7
9
9
11
14
14
18
21
21
21
22
25
27
27
27
30
31
31
22
34
37
41
41
46
6
8. Art òptic (Op-art).........................................................................................
8.1 L‟Op –art...............................................................................................
8.2 Victor Vasarely......................................................................................
8.3 Perquè pertany a “matemàtiques com a eina-inspiració?”...................
9. Conclusions................................................................................................
10. Bibliografia i webgrafia................................................................................
48
48
48
51
55
58
7
1. Introducció
Des dels nostres orígens, la comunicació ha estat una de les principals necessitats,
entre les quals destaca el llenguatge verbal, el corporal i el que es tractarà en aquest
treball de recerca, el llenguatge visual. Aquest llenguatge ha estat condicionat sempre
pel desenvolupament de la societat, la història, la ciència... per això ha pogut plasmar
a la perfecció les idees i pensaments de cadascuna de les realitats de cada temps.
Des de les pintures rupestres fins a la pintura contemporània, passant pel gòtic, el
renaixement, el barroc, el neoclàssic, el romàntic, les avantguardes... la pintura ha
anat variant, no sols gràficament sinó també en la seva finalitat, la forma d‟entendre
l‟art i la manera de fer-les, les eines, la psicologia de la pintura, la estètica...
En aquest treball ens centrarem en la influència del desenvolupament de la geometria
en la pintura al llarg de la història i les diferents concepcions de la geometria en l‟art.
¿Perquè he escollit aquest tema?
Sempre m‟ha agradat l‟art i sempre m‟han agradat les ciències. Molts cops he escoltat
dir que ambdues tenien quelcom en comú i això m‟interessava fins el punt de voler
endinsar-me més en aquest tema. A més, em vaig fer la pregunta següent: Si barrejo
les dues coses que més m‟agraden, l‟art i la ciència, què surt? I la resposta va ser:
Pintura i Geometria.
Cal dir que mai se m‟hagués ocorregut aquesta idea, si no fos pel meu professor de
dibuix tècnic i matemàtiques de primer de Batxillerat i alhora tutor de treball de recerca,
Josep Maria Llull, ja que el meu interès cap a les matemàtiques va augmentar quan el
vaig tenir a ell de professor. Aquest interès, ajuntant-lo amb el nou món que se m‟obria
gràcies al dibuix tècnic: el disseny, l‟arquitectura, la visualització d‟elements
matemàtics en objectes quotidians... va ser el que formà la idea d‟encarar el tema del
treball cap a la geometria.
Al principi la idea no va ser ben acollida. Uns deien que el concepte era massa ampli i
uns altres que no trobaria suficient informació, però davant el meu entusiasme només
els quedava dir que confiaven en mi, i que ja me‟n sortiria; i així ho he fet.
El primer que em vaig adonar és que realment la meva idea era massa àmplia, i això
em podria donar problemes alhora de buscar informació. Per això, parlant amb un
amic estudiant de Belles Arts i un familiar professor de batxillerat, vaig decidir centrar
el meu treball en els pintors que utilitzaven la matemàtica com una eina per crear les
seves pintures, o els pintors que s’inspiraven en les matemàtiques i a través d‟elles
creaven les seves obres pictòriques. Volia diferenciar les dues vessants, i amb
aquesta motivació, vaig començar la meva recerca a través de la història de l‟art,
especificant les èpoques i els artistes on més es podia diferenciar.
Les hipòtesis que al llarg del treball desenvolupo són:
- Existeixen elements geomètrics dins el món de la pintura.
8
- Els elements geomètrics que es poden trobar dins les pintures es poden
representar amb fórmules matemàtiques.
- La geometria dins la pintura és un fet que sempre ha romangut en tota la
història de la pintura.
- Existeixen diferències entre els pintors que utilitzen la geometria en la pintura
(eina o inspiració).
El que es refereix aquesta última hipòtesi és la diferència de concepcions de la
geometria al llarg dels segles i en els diferents corrents artístics. Aquesta hipòtesi serà
la més important i en la que ens centrarem més en el treball.
- Què s‟entén per “matemàtiques com a eina”?
És la concepció de la geometria com a un cúmul de fórmules o pautes per fer
obres d‟art les quals l‟autor empra per fer les seves creacions a banda de tot el
món emocional. Com diu el seu nom, només utilitza les matemàtiques com a fi,
per aconseguir una bona representació. Els corrents pictòrics que
comparteixen aquest concepte solen crear obres fredes, amb falta de passió,
calculades i rígides a causa de la seva condició matemàtica. Solen ser corrents
que busquen la perfecció en l‟anatomia i en l‟espai.
- Què s‟entén per “matemàtiques com a inspiració”?
És la concepció de la geometria com a mètode d‟expressió sentimental. L‟autor
no empra les matemàtiques com a simples fórmules, sinó com un medi de
comunicació i per això les seves obres solen ser mancades de formes reals
amb gran quantitat de paradoxes, cossos geomètrics simples, efectes òptics,
etc. ja que solen representar sentiments i idees abstractes, no la realitat.
En aquest treball m‟he trobat amb situacions agradables, però també amb situacions
difícils, com per exemple gestionar la gran quantitat d‟informació, però que alhora era
poc específica envers la geometria dins la pintura. Això comporta que en aquest treball
tot el que es refereix a la història de l‟art i d‟artistes està extreta de fonts fiables, però
totes les conclusions i gran part dels termes matemàtics que es poden trobar en el
treball són fruit dels meus apunts de classe de matemàtiques i de dibuix tècnic
(proporció Àurea, perspectives, patrons, representació de funcions...) i també de la
meva acurada observació i estudi de les pintures.
I per últim, la dificultat de classificar alguns corrents artístics en “matemàtiques com a
eina” o en “matemàtiques com a inspiració”. Aquest problema va ser el que em va dur
a una de les conclusions d‟aquest treball.
9
2. Lectura d‟una obra d‟art (alfabetització visual) 1
“Perquè ens considerin verbalment lletrats hem d’aprendre els
components bàsics del llenguatge escrit: les lletres, les paraules, l’ortografia, la
gramàtica i la sintaxi. Allò expressable amb aquests pocs elements i principis de la
lectura i l’escriptura és realment infinit. Un cop dominada la tècnica, qualsevol individu
pot produir, no només una inacabable varietat de solucions creatives per als
problemes
de la comunicació verbal, sinó també un estil personal.”
D.A Dondis
2.1 Elements d’una obra d’art
L‟ésser humà és un ésser social que té la capacitat innata de transmetre idees i
sentiments. Per fer-ho ha anat creant codis, un d‟ells és el llenguatge articulat, amb el
que podem desenvolupar-nos i progressar, un altre és l‟expressió artística, amb el que
l‟autor s‟expressa plàsticament i física. La diferència entre el primer i el segon codi és
que en el llenguatge, el receptor només ha de tenir la capacitat d‟escoltar i la
d‟entendre, és un codi més directe i concís i que a més està a l‟abast de quasi tothom;
en canvi el segon codi es necessita encara que sigui en una petita dosi de sensibilitat
per fer i per comprendre l‟obra d‟art. L‟artista no es limita a la representació, sinó a la
transformació de dades de la naturalesa i ordenar-les d‟una manera diferent, l‟autor no
és un descobridor sinó un creador.
L‟estil que fa referència D.A.Dondis comporta originalitat. Aquesta es pot estudiar a
través dels quadres (si entrem en l‟àmbit de la pintura) observant els elements de
l‟obra pictòrica i la seva composició. Els artistes utilitzen milers d‟elements ordenats
sobre la tela que ocupen cadascú un lloc en particular i que variant aquesta disposició
no només es poden crear milers quadres diferents, sinó que cadascun transmetrà una
sensació o idea diferent.
Si volem educar la nostra sensibilitat o en altres paraules, alfabetitzar-nos visualment,
hem de fixar-nos en algunes característiques que posseeixen totes les obres d‟art.
Informació base: Cal conèixer l‟autor de l‟obra, el títol, el gènere, la data, la ubicació,
el corrent pictòric, el tema i les dimensions per poder començar amb l‟anàlisi més
profund que ve a continuació.
Dibuix: És el conjunt que forma l‟obra i la tècnica amb la que està representada.
DONDIS,D.A. (2008), La sintaxis de la imagen.,20ª edició. Barcelona: GGDiseño. FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte.3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives .
10
Punt: La unitat més simple. Els punts es connecten (fusió visual) fent que
siguin capaços de dirigir la mirada, crear il·lusions de tonalitat i de color.
(fig.2.1.1)
Línia: formada per punts tan pròxims que no poden ser reconeguts. Dóna una
gran sensació de direccionalitat, és precisa i té un gran caràcter de llibertat: pot
ser inflexible i indisciplinada com en l‟esbós, o mecànica i freda com en un
plànol. (fig.2.1.2)
Contorn: és el conjunt de línies que creen una forma. N‟hi ha tres de bàsiques;
el quadrat, la rodona i el triangle. Cada forma té un caràcter i trets específics
atribuïts per la cultura o la percepció psicològica. (fig.2.1.3)
figura 2.1.1 figura 2.1.2 figura 2.1.3
Color: és el component essencial de la pintura, ja que porta gran quantitat d‟informació
simbòlica i a més contribueixen a modificar òpticament l‟espai. La seva combinació
genera la tonalitat si estan totalment barrejats. En canvi, si són dos colors diferents
que simplement estan junts poden crear dues situacions: el contrast o l „harmonia. Això
depèn de quin grup cromàtic (fred, calent) formen part. (figs.2.1.4 i 2.1.5)
figura 2.1.4 figura 2.1.5
Direcció i profunditat: Totes les formes expressen tres direccions i són molt
importants per la intenció compositiva que vol representar l‟autor i per la captació de la
profunditat. La pintura és en realitat un art de dues dimensions, però sempre a volgut
aconseguir captar la tercera creant així la profunditat. Això porta a la creació de volum
dels cossos representats i la perspectiva.
La perspectiva pot fer-se de moltes maneres i ha anat variant al llarg dels segles. Es
pot aconseguir tant amb els jocs de llums (fig.2.1.6) com amb regles exactes a partir
de punts de fuga (fig.2.1.7).
11
Equilibri: És el caràcter més influït per la psicologia humana, que necessita sentir
sensació d‟estabilitat i de fermesa. Si això faltés es crearia una situació de tensió i, per
remeiar-ho, l‟ésser humà aplica un eix horitzontal i vertical per buscar el centre de
gravetat. L‟equilibri està influenciat pel recorregut de la mirada, que va d‟esquerra a
dreta i de dalt a baix, fent que les coses de la dreta pesin més i causin més tensió.
figura 2.1.8 figura 2.1.9
2.2 Ànalisi d’un quadre 2
Informació base:
Las menines de Velázquez
1656-1657, Barroc
318 x 276 cm
Oli sobre tela
Museu del Prado de Madrid
Las menines és un quadre que interpreta
un moment quotidià de la reialesa. En ell es
2 MORA SÁNCHEZ J.A. La Geometría Dinámica para el análisis de obras de arte [en
línia]. http://jmora7.com/Arte/arte.htm [consulta: 14.6.2010]. MARTÍN ARRILLAGA J. A través de un cuadro [en línia]. http://www.artecompo.com/entrada.html [consulta: 14.6.2010]
figura 2.1.6 figura 2.1.7
Figura 2.2.1
12
troba en Velázquez pintant un retrat dels reis, que estan reflectits al mirall del fons, i la
interrupció del grup de les infantes i les seves serventes mentre el pintor fa el seu
treball.
Dibuix: L‟artista delimita els cossos i la sala amb línies variant el grau de nitidesa a
mesura que augmenta la profunditat. El grup de personatges està dividit en tres plans
segons la seva posició respecte els triangles, la infanta que ocupa el més petit però
central és la protagonista indiscutible de l‟obra, rebent la mirada directa de la seva
serventa i essent la interjecció de dues línies de caps, a més d‟estar en l‟eix central de
la composició (fig.2.2.1 i 2.2.2). Una espiral Àurea3 es troba en l‟obra des de la dreta
d‟aquesta fins a la paleta del pintor enquadrant tots els personatges i recordant com
entra l‟aire per la finestra.
figura 2.2.2 figura 2.2.3
Color: Dominen els colors ocres i resten tots en harmonia. Es pot veure un simbolisme
en el vestit de la infanta i el de la nan. El primer és blanc i representa la bondat, i per
això la seva cara és més agraciada que la de la nan el vestit el qual és negre i la seva
cara un grau desfigurada ja que representa la malícia.
Un altre tret que l‟autor ha volgut destacar pintant-lo de vermell és el nen i el gos.
Aquesta parella treu serietat a la protocolarietat de la reialesa i resta atenció a la
infanta, que sinó quedaria massa centrada. A més, dóna un caire més d‟espontaneïtat.
3 Vegeu pàgina 47
13
Direcció i profunditat: La gran sensació de
perspectiva s‟aconsegueix no tan sols amb el punt
de fuga que es troba en la porta del final (fig.2.2.3),
sinó que a més s‟aconsegueix gràcies als quatre
punts de llum que es poden trobar: dos de les dues
finestres de la dreta, que il·luminen la infanta i la
resta del grup, un altre a la finestra del fons i l‟última
la porta on és el punt de fuga. El jocs de llum creen
un gran volum de les formes, sobretot en la cara de
la nan i en el vestit de la infanta. La concepció de la
perspectiva de la sala ubica perfectament els
personatges en l‟espai.
Equilibri: Els elements de la composició es troben
en total equilibri creant una situació d‟harmonia i
dinamisme. Si el quadre tingués una composició
semblant a la de la figura 2.2.5, es trencaria
aquesta sensació ja que tota l‟acció passaria a un
costat i el quadre “cauria”. Psicològicament crearia
situació de tensió, i seria desagradable per l‟ull
humà.
Figura 2.2.5
Figura 2.2.4
14
3. Renaixement 4
3.1 Les escoles renaixentistes
El Renaixement és el període de temps que anà des del segle XV fins el segle XVI a
Itàlia. Aquesta revolució artística fou caracteritzada per l‟interès en la cultura greco-
romana i en l‟home (humanisme), per això busca la representació de l‟home i del seu
ambient donant-li gran protagonisme dins les seves obres. Rafael i Tiziano definiren
les lleis del classicisme com l‟equilibri de totes les seves parts de l‟obra, a falta d‟ella
l‟únic que s‟aconseguia era el turment dels cossos i la desfiguració dels rostres. Un
bon pintor sabia aconseguir aquest equilibri i per això podia arribar a la bellesa.
Dues de les grans diferències que té l‟art renaixentista amb l‟art gòtic són que en el
renaixentista, tenia una gran llibertat respecte els enquadraments de les imatges, ja no
eren esquemes rígids ni prefixats, això no vol dir que no en tingués, sinó que no
encaixaven les imatges, les composaven. L‟altre diferència és la utilització de la
perspectiva i la recerca de la tridimensionalitat deixant d‟una banda la pintura lineal del
gòtic. Aquest fet es devia a la influència de la ciència en la societat; des de llavors
l‟Església havia condicionat la cultura, però ara la ciència arribava directament al
ciutadà i a l‟artista, i l‟art va començar a basar-se en ella. La geometria i altres
branques de les matemàtiques ocuparen un lloc essencial en la nova concepció de la
cultura.
4 CONTI, F. (1984), Como reconocer el arte del Renacimiento. 2ª edició. Barcelona: Editorial Médica y Técnica. BLANCO LÓPEZ S. Renacimiento [en línia].
http://www.monografias.com/trabajos/renacim/renacim.shtml [consulta:17.6.2010]. PORTAL TORRICES F.J. L’art del renaixement: El quattocento i el cinquecento [en línia]. http://www.portalamat.info/renaixement.htm [consulta: 18.6.2010].
La Madonna del Gran Duc de Rafael Sanzio
1505, art renaixentista
Pintura a l‟oli sobre taula
84 x 55 cm
Galería Pitti - Florencia
Mare de Déu dels àngels de Pere Serra
1385, art gòtic
Tremp i daurat amb pa d'or sobre fusta
195,8 x 131 x 11 cm
MNAC - Museu Nacional d'Art de Catalunya
Figura 3.1.1 Figura 3.1.2
15
Si comparem aquest dos quadres de diferents etapes (fig. 3.1.1 i 3.1.2), podem
observar el gran canvi que va ocasionar el Renaixement. Mentre que el primer
quadre les figures són en dos plans,i estan ubicats en un espai finit, les figures
de la segona tenen volum gràcies al joc del clarobscur: l’espai és totalment
opac i les figures estan dotades de gran quantitat de llum. L’expressivitat de la
cara també és un factor diferenciador entre les dues obres: La mare de Déu
dels àngels mira al seu fill i aquest li retorna la mirada, en canvi en La Madonna
del gran duc el joc de mirades no és tan directe, si més no expressa més que el
retaule gòtic, es pot percebre una connexió entre ambdós personatges i gran
quantitat d’humanitat en ells.
Cal dir que les tècniques emprades també són un fet diferenciador, en el
renaixement el daurat deixa d’utilitzar-se i es troben altres mètodes de pintura
diferents al retaule: l’oli sobre tela, la patota, la sanguina... encara que la taula
no deixa d’utilitzar-se, com en la figura 3.1.2.
A finals del segle XVI hi hagué una crisi artística que desenvolupà el barroc; la barreja
d‟ambdues revolucions artístiques formà el manierisme: extravagància en els gestos i
les expressions i l‟allargament desmesurat de les proporcions i contorsions en les
actituds. El pintor Tiziano n‟és un bon exemple.
En aquest quadre
manierista de Tiziano
es pot comprovar
l’evolució de la pintura
renaixentista en els dos
segles que hi va
romandre en tota
Europa. Si en el
cuattrocento la pintura
era equilibrada, serena
i amb proporcions
exactes, al final del
cinquecento
(manierisme) les
figures eren desproporcionades, amb extremitats més allargades del que seria
normal, caps petits, postures extravagants i complicades.
En el quadre d’Adam i Eva es pot veure aquest fet en la posició d’Eva. Està
dreta, però dóna sensació de desequilibri i si no fos perquè Adam l’està
aguantant segurament es cauria. Això es confronta directament amb les
posicions fermes renaixentistes igual que el braç dret d’Eva i l’esquerra
d’Adam, que són més llargs del que haurien de ser.
Durant els dos segles del renaixement es formaren diferents escoles que pautaven la
millor manera de fer obres d‟art. Es divideixen segons el segle i la ciutat on es
desenvolupà:
El cuattrocento, segle XV
Adam y Eva de
Tiziano Vecellio di Gregorio
1550, art manierista
Oli sobre tela
240 x 186 cm
Museu del Prado, Madrid
figura 3.1.3
16
Escola florentina: aportaren nous coneixements i tècniques i a la
vegada es plantejaren problemes de representació visual com el de la
perspectiva. Estigué caracteritzat per l‟estudi directe de la naturalesa, la
força de la pinzellada, l‟impressionisme en els efectes, la llum... La seva
inspiració prové de la mitologia i la noblesa. Els cossos, deformats per
la seva acusada estilització, semblen flotar en l‟espai com si no hi
hagués gravetat. (fig. 3.1.4). Autors: Sandro Botticelli, Masaccio, Gentile
da Fabriano, Paolo Ucello y Andrea del Castagno.
Escola de Perusa: S‟interessen més pels problemes del clarobscur i la
perspectiva que la escola florentina. Utilitzen la lluminositat per a que
les seves figures donin la sensació de lluminositat pròpia, íntima i
radiant. (fig. 3.1.5). Autors: Perugino, Melozzo de Forli.
Escola veneciana: Està caracteritzada per el gran ventall de colors que
empren en les seves pintures. Els seus quadres són apassionats i amb
un toc difuminat, (fig.3.1.6). Autors: Tiepolo, Guardi, Canaleto, Gentil
Bellini, Gian Bellini, Antonello de Mesina, Capaccio, Tiziano, Veronés,
Tintoretto.
Naixement de Venus de Sandro Botticelli
1478, art renaixentista, escola florentina
Tremp sobre tela
172,5 x 278,5cm
Galleria degli Uffizi, Florència
figura 3.1.4
Sant Sebastià de Pietro Perugino
1493-1497, art renaixentista, escola de Perusa
Oli sobre tela
176 x 116 cm
Museu del Louvre, París
figura 3.1.5
17
Escola de Pàdua: S‟interessa per la representació visual de l‟objecte
utilitzant elements arquitectònics grecoromans amb punts de fuga molt
a prop del terra i escorços molt acusats. (fig.3.1.7). Autors: Andrea
Mantegna.
Escola d’Umbria: va ser l‟escola més preocupada per l‟espai obert i la
creació d‟un paisatge ordenat, clar i simètric. (fig.3.1.8).
El Crist mort d‟ Andrea Mantegna
1457-1501, art renaixentista, escola de Pàdua
Oli sobre tela
68x81 cm
Pinacoteca de Breda, Milan
Figura 3.1. 7
Leda i el cigne de Tintoretto
1555, art renaixentista, escola veneciana
Oli sobre tela
147,5 x 147,5 cm
Galleria degli Uffizi, Florència
Figura 3.1.6
Vista de la ciutat ideal de Piero della Francesca
1475, art renaixentista, escola d‟Umbria
Temple sobre fusta
60 x 200cm
Galería Nacional de las Marcas, Urbino
figura 3.1.8
18
El Cinquecento, segle XVI:
Escola milanesa: Els seus quadres tenen suavitat en les formes,
delicadesa en el color, cura en el detall i en el difuminat (esfumato).
Busca la sensualitat, l‟expressió llunyana dels ulls i de l‟elegància i
finesa de les mans de les figures. (fig.3.1.9). Autor: Leonardo da Vinci.
Escola romana: és una síntesi de les millors qualitats de les altres
escoles. Les seves figures són equilibrades i amb volum, els dibuixos
purs i difuminats, la composició ferma i amb gràcia. (fig.3.1.10). Autors:
Rafael Sanzio, Miquel Àngel.
3.2 Per què pertany al grup de “matemàtiques com a eina”?
El fet de que en el renaixement existissin diferents escoles dóna a pensar que els
autors seguien, no té perquè al peu de la lletra, una sèrie de pautes i esquemes per
expressar els seus sentiments; es clar que no tots els pintors feien quadres
exactament iguals, però si que tenien un aire semblant, una recerca que compartien
tots i una manera d‟expressar-se que creà les diferents escoles renaixentistes. Que
seguissin un patró semblant no significa que les seves obres manquessin de calidesa i
passió, simplement les plasmaven dins les seves obres amb serenitat i equilibri
renaixentista.
figura 3.1.10
La Gioconda de Leonardo da Vinci
1503-1505, art renaixentista, escola milanesa
Oli sobre taula
77 x 53 cm
Museu del Louvre, París
figura 3.1.9
Les tres gràcies de Rafael Sanzio
1504-1505, art renaixentista, escola milanesa
Oli sobre taula
17 x 17 cm
Museu Condé, Chantilly, França
19
Podem utilitzar com a exemple el quadre de Piero della Francesca La flagel·lació de
Crist.
En aquest quadre es pot percebre molt fàcilment els elements matemàtics que
es podien emprar en el Renaixement. La presencia de la perspectiva es la
protagonista de l’obra, igual que la serenor i la proporció.
Piero della Francesca era un gran mestre de la profunditat “matemàtica”. Ell no
jugava ni amb el clarobscur ni amb el paisatge en relació als cossos, sinó que
aplicava la llei dels punts de fuga i descomponia la realitat en línies i polígons.
Si analitzem bé la pintura podem veure que:
Totes les línies de
perspectiva van a parar a un
únic punt propi ( es troba en el
pla).
Totes les línies
guarden una relació respecte
el punt: des de les escales del
fons a l’esquerra fins als
edificis del fons a la dreta.
Si dividim el
quadre per la meitat tant
horitzontalment com
vertical, podem observar
que la línia vertical quasi
coincideix amb el punt de
fuga, a més de separar les
dues parts del quadre (la
La flagel·lació de Crist de
Piero della Francesca
1455, art renaixentista, escola d‟Umbria
Oli i temple sobre taula
59 x 82 cm
Galeria Nacional de les Marcas, Urbino
figura 3.2.1
figura 3.2.2 font pròpia
figura 3.2.3 font pròpia
1
2 3 4
20
flagel·lació i els tres jueus parlant). La línia horitzontal però, pauta la proporció
entre les figures del fons i les de primer pla. Mentre que per les del fons és la
línia que delimita el cap, per als del primer pla és la que delimita l’estomac.
Si dividim les dues meitats verticals un altre cop entre dues, podem
veure que la primera vertical coincideix amb l’home 3 que casualment equilibra
el ritme dividint el grup en dues parts iguals (home 1 +home 2/ Crist + home 4).
En l’altre vertical també es crea aquest fenomen coincidint amb el jueu que es
troba enmig. Com s’ha dit abans, això crea ritme a l’obra, o sigui la disposició
harmoniosa dels cossos.
Ara si tornem a dividir les dues meitats horitzontals entre dues, es pot
observar que la primera línia correspon a la posició del ulls dels tres jueus, i
l’altre correspon a l’altura dels genolls (menys el que resta assegut) de tots els
personatges.
En canvi si dividim la pintura en tres parts verticals, la primera línia es
pot veure que cau precisament on es troba la figura de Crist, “el protagonista”
de l’escena i la segona justament cau on acaba la primera figura jueva.
Si es divideix en tres parts horitzontals, la primera línia correspon a la
gola dels tres jueus del primer pla i fins i tot a la de la figura on flagel·len a
Crist. La segona en canvi coincideix amb les cuixes dels primers i amb les
natges dels del fons.
Si allarguéssim dues línies des del punt de fuga fins els dos extrems,
podríem veure que tant el cap de Crist com el cap del segon jueu són tallats
secantment per les dues línies.
Amb aquest estudi es pot comprovar que els elements del quadre es troben en el lloc
ideal i que no podrien haver estat en un altre lloc que aquell, així que estan
composades segons l‟espai, en aquest cas la perspectiva que volia utilitzar l‟autor. El
seu conjunt forma l‟equilibri i la serenitat del quadre i possiblement si un faltés l‟obra
“cauria” i es desequilibraria. L‟autor no juga amb la posició de les figures, simplement
les posa en els seus respectius llocs perquè ha de ser així segons les lleis de la
perspectiva. Està clar Piero della Francesca, igual que alguns companys seus
renaixentistes utilitzaven d‟aquesta manera la geometria com a una simple eina. Per
això aquest apartat pertany a l‟àmbit de les “Matemàtiques com a eina”.
21
4. El neoclassicisme
4.1 Les acadèmies5
Al segle XVIII la gran oposició de les classes mitjanes i populars al sistema polític-
social de l‟aristocràcia (identificat amb el barroc) produí la caiguda de l‟Antic Règim
francès, aquest fet sumat a la troballa d‟importants descobriments arqueològics van
provocar el redescobriment de l‟antiguitat clàssica. L‟epicentre del neoclassicisme fou
França, just en el temps de la Revolució. La pintura passà a ser un medi
propagandístic, on els burgesos escampaven la idea de la lluita contra l‟Absolutisme i
el bé comú sobre el bé individual.
Les acadèmies creades al llarg d‟aquell segle subratllaren el “bon gust” de la societat
clàssica i la clara oposició al barroc: mentre el neoclàssic proclamava la serenitat, la
raó, la lògica, l‟equilibri... l‟altre era instintiu, apassionat, sentimental i fantàstic, ple de
contrasts i de moviment en aquell segle ja ”gastat” . Per això també es coneix com a
academicisme.
Les acadèmies d‟art són responsables de l‟establiment de la formació artística
tipificada i basades en una ensenyança pràctica i teòrica tant en àmbits científics
(geometria, anatomia i perspectiva) com humanístics (història i filosofia). Aquestes
institucions defensen la inexistència del geni: persona moguda per la inspiració divina
o la intuïció i el talent individual. Distingeixen l‟artesania de l‟art, creuen que un artista
no és un artesà, sinó un intel·lectual. També són els capdavanters d‟organitzacions
culturals com exposicions, concursos, premis, pinacoteques i col·leccions, el que
significa que controlen l‟activitat artística i les normes de gust.6
4.2 Jacques Louis David7 (1748-1825)
Inspirat per l‟art clàssic d‟Itàlia, fou el que introduí el neoclassicisme a França
convertint-se així en el seu màxim exponent. Els seus temes eren majoritàriament trets
de fonts antigues i basats en les formes i la gestualitat de l‟escultura romana. El
patriotisme, el moralisme, el dramatisme i la teatralitat són característiques que es
poden trobar en quasi totes les seves obres fins l‟any 1789, data que emprà un alt grau
de realisme per poder registrar escenes importants de la Revolució Francesa. Encara
així, les seves obres sempre han estat neoclassicistes, fredes i calculades.
5 FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte.3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives 6 ENCICLOPEDIA ITAÚ CULTURAL ARTES VISUALES. Academicismo [en línia].
http://www.itaucultural.org.br/aplicexternas/enciclopedia_ic/index.cfm?fuseaction=termos_texto_esp&cd_verbete=4927 [consulta:9.7.2010]. 7 EL PODER DE LA PALABRA. Jacques Louis David [en línia]. http://www.epdlp.com/pintor.php?id=226 [consulta:13.7.2010].
22
En aquest quadre pertanyent a la primera etapa de Jacques Louis David es
poden diferenciar dues parts: el jurament i el patiment de les dones. David va
separar-les mitjançant els arcs del fons, el primer engloba els tres fills, el segon
el pare i el tercer les dones. Els arcs són clàssics, simples i elegants tal com el
cànon del neoclassicisme deia. La seva composició està basada en triangles,
n’hi ha quatre en total, les cames del fill del primer pla, les cames del pare, i la
forma de les dones que també formen dos triangles. El triangle és la figura que
dóna estabilitat, a més de ser simple i bàsic. Com s’ha dit abans, David sovint
utilitzava la teatralitat en els gestos equilibrant amb una lleu dosi de realisme en
la seva època clàssica; aquest n’és un cas: l’anatomia dels personatges és
perfecte seguint el cànon clàssic (set vegades el cap) o sigui que també,
segons el grecs, és bell, equilibrat i harmònic.
Utilitza una de les herències més importants del Renaixement, la perspectiva el
qual el punt de fuga es troba just en les espases incrementant així la
importància d’aquestes armes. Tanmateix l’autor no es basa només en la
perspectiva sinó que també juga amb el clarobscur, donant així volum als
cossos i il·luminant l’acció del quadre. És una obra freda i plàstica,
característiques molt significants del neoclassicisme.8
4.3 Jean Auguste Ingres9 (1780-1867)
Fou estudiant de Jacques Louis David, de l‟Acadèmia de Belles Arts de Toulouse i de
L‟Escola de França de Roma i president d‟aquesta última i de l‟Escola de Belles Arts
de París.
La fascinació pels renaixentistes italians, sobretot per Rafael, per les ruïnes i les
troballes arquitectòniques, va fer que adaptés formes i ambientés quadres
clàssicament. Com a estudiant de David, va aprendre a composar un llenç i a saber la
importància de la grandiositat de la pintura històrica, pintura la qual Ingres volia
dedicar-se.
8 DE LAMO J. Història Contemporània [en línia].
http://socialsescolapies.blogspot.com/ [consulta:13.7.2010]. 9 SANGUINO ARIAS L. Ingres [en línia].
http://www.artehistoria.jcyl.es/genios/pintores/2288.htm [consulta: 23.8.2010]
El jurament dels Horacis de Jacques Louis David
1784-1785, art neoclassicista
Pintura a l‟oli sobre tela
330 x 425 cm
Museu del Louvre, París
Figura 4.2.1
23
Encara que Ingres era academicista, les seves obres, sovint, no eren ben acollides per
certes violacions de la composició, l‟anatomia, etc. Encara això, Ingres és considerat
d‟aquest corrent artístic perquè segueix les normes acadèmiques com el difuminat dels
cossos, serenitat en els quadres, predomini del dibuix sobre el color, minuciositat dels
detalls, joc del clarobscur, etc.
El dibuix era la guia i eina preferida de l‟artista: la seva obra és abundant en retrats i en
nus composats per milers d‟esbossos i dibuixos que asseguraven una correcta
concepció anatòmica de la figura, sovint corregida per aconseguir la perfecció
anatòmica: suavització del ossos, colls llargs, descomposició i recomposició de
cossos...
Un exemple es la seva obra més coneguda, la banyista de Valpinçon.
Aquesta és l’obra més significativa d’Ingres on exposa el seu ideal de bellesa
femenina. En les teles es poden apreciar la minuciositat dels plecs i la llum que
crea una sensació íntima i sensual. El protagonista principal es la línia i el
domini del dibuix. Cromàticament, predominen els colors càlids, contrastant el
color de la pell amb els llençols blancs i les cortines verdes.
Com s’ha dit abans, aquest cos té errors anatòmics fets intencionadament per
l’artista: les cames són massa primes, els peus massa grans, no té malucs i
l’esquena està formada per tres models diferents. Aquesta figura, Ingres la
utilitza en nombroses pintures com en l’obra El bany turc (fig. 4.3.2). 10
10 SANGUINO ARIAS L. Bañista de Valpinçon [en línia].
http://www.artehistoria.jcyl.es/genios/cuadros/2210.htm [consulta: 23.8.2010]
La banyista de Valpinçon de Jean
Auguste Dominique Ingres
1808, art neoclassicista
Pintura a l‟oli sobre tela
146 x 97,5 cm
Museu del Louvre, París
Figura 4.3.1
24
En aquest quadre es pot veure els motius acadèmics d’Ingres. La suavitat dels
contorns, el difuminat i la serenitat que desprèn la composició en són
exemples. A més, un mèrit de l’artista és la postura de la noia: sembla una
postura còmode i agradable, però en realitat, si nosaltres ens poséssim en
aquesta postura veuríem que es incòmode i que fins i tot ens podria doldre
l’espatlla i els malucs. Encara així, la noia té la cara serena i el cos en repòs.
El quadre està dividit en dues parts, l’esquerra i la dreta. La part esquerra d’un
quadre sempre pesa més a causa del recorregut de la vista (d’esquerra a
dreta), això fa que els objectes que estan a l’esquerra pesin més que els de la
dreta; per això Ingres utilitza elements verticals en la part esquerra i en la dreta
ja col·loca el joc dels braços i de la gerra. Si hagués posat la gerra en l’altre
part, aquesta “cauria” i seria un quadre desequilibrat. L’estabilitat d’aquest
quadre no sols es per això, sinó també per la presencia dels triangles que es
formen en les roques i entre el cap de la noia, les flors i el raig d’aigua. El
triangle dóna estabilitat i dinamisme a l’obra.
Aquesta pintura seria totalment vertical (flors, noia dempeus, raig d’aigua,
roques...) si no fos per l’oval que es pot percebre en la part superior. Aquest
oval engloba els braços, la gerra i part del tòrax on es pot veure el recorregut
de la llum que el forma. La verticalitat crea desequilibri, les coses verticals
El bany turc de Jean Auguste Dominique Ingres
1862, art neoclassicista
Pintura a l‟oli sobre tela
108 x 108 cm
Museu del Louvre, París
La font de Jean Auguste Dominique Ingres
1820-1856, art neoclassicista
Pintura a l‟oli sobre tela
163 x 80 cm
Museu d‟Orsay, París
Figura 4.3.2
Figures 4.3.3 i 4.3.4
25
sovint cauen, pensem. Però aquest oval trenca amb això i posa el punt que
falta per l’equilibri total de l’obra, a més d’ajudar en el recorregut de la vista pel
quadre: ulls-gerra-raig d’aigua-terra.
4.4 Per què pertany al grup de “matemàtiques com a eina”?
He considerat que el neoclassicisme pertany a aquest grup per la presència de les
acadèmies. Les acadèmies regien tot el que era considerat art: les escoles, galeries,
concursos, beques, la crítica... havies de “caure bé” a l‟acadèmia per tenir un futur
assegurat, un exemple són David i Ingres; David seguia al peu de la lletra les normes
acadèmiques i fins i tot en va ser un dels majors exponents, venia quadres a la gent
més rica, era promotor de concursos, anava amb la gent més famosa... En canvi
Ingres si que va tindre èxit però no tant com David, Ingres podia agradar o podia ser
criticat perquè no seguia les normes amb tanta fermesa.
Una de les preguntes que poden sorgir davant aquest tema és: Quina és la diferència
entre un pintor academicista i un no-academicista?
La resposta és que els no-academicistes el que busquen tan sols es comunicar els
seus sentiments a partir dels materials que tenen: pintura, tela, composició, colors,
geometria... Si aconsegueixen que els receptors de l‟obra rebin aquests sentiment
d‟alguna manera, ells ja han aconseguit la seva finalitat. Per això innoven i busquen
maneres d‟arribar a la gent, no tenen un altre meta que fer sentir el que ells volen que
sentin.
En canvi els academicistes, no tenen per tan important el que la gent senti o deixi de
sentir, sinó la manera en que ho fan. Ells utilitzen els “trucs” que han après o han
descobert per fer una bona obra d‟art, diguem que busquen l‟èxit material i no el
sentimental com ho fan els no-academicistes. Un exemple són els pintors de la
Rambla, que un dels seus majors objectius és vendre i si un tipus de pintura es ven
molt, en faran més per tal d‟aconseguir l‟èxit financer. Això no significa que no vulguin
expressar els sentiments, sinó que ho deixen en un segon pla.
Un experiment per poder veure això és la composició que jo mateixa he creat:
Figures 4.4.1 i 4.4.2 font pròpia
26
Per crear aquest “quadre”, he utilitzat elements matemàtics que utilitzaven
tant en el Renaixement com en el Neoclassicisme. És una composició simple
però que pot ajudar a entendre la diferència entre l’academicisme i el no-
academicisme.
Un dels elements que més volia que ressaltés perquè va ser un dels grans
descobriments de la pintura renaixentista és la perspectiva. Però per poder
fer-la primerament he volgut dividir el paper en quadrants per facilitar la
matematització de la composició. El punt de fuga es troba en el punt on es
toquen quatre quadrants i on també es troba la cara de l’estàtua; si no hagués
posat aquest element justament en el punt de fuga, la seva importància seria
ínfima i passaria massa desapercebuda i al ser un element gran, quedaria
malament. Totes les línies de direcció van a parar allà, el passadís, les línies
limitadores dels quadres, i fins i tot la línia que uneix els centres de les
circumferències.
Uns altres elements són les figures de la composició: les circumferències
concèntriques, que separen els grups de cossos de la pintura, ajuda a fer els
arcs de la volta i a més donen moviment intern suau, rítmic i elegant. També
es poden trobar triangles tant en el terra, que també separa els grups de
cossos i que ajuda a saber on finalitza l’arc de la volta. L’altre triangle és el
que va de el llum a l’estàtua i a la persona que camina. A part de ser una
còpia de el recorregut que faria la llum que surt de la làmpada, crea estabilitat
i trenca amb la circularitat del quadre, que en excés dóna sensació de
desequilibri.
Per últim, i el que senyala més la separació que volia mostrar, és la intenció
de fer aquesta composició. L’únic que volia aconseguir era poder explicar la
diferència entre una composició academicista i no-academicista; un fet
purament científic, no he volgut ni expressar els meus sentiments, ni tants
sols que a la gent li agradi. Clar que aquesta és una manera molt radical de
marcar la diferència, però és veritat que els academicistes, darrere de la
bellesa, de l’elegància, de la serenitat de les seves pintures, tenen altres
objectius que volen assolir, ja sigui l’acceptació social, l’aconseguir la
perfecció de manera matemàtica i tipificada (com la proporció àuria), els
diners... Les seves pintures estan totalment enquadrades en el temps que
viuen, i amb això vull dir que satisfan les exigències de la societat; per
exemple David i les pintures que feia de la Revolució Francesa, fets que
passaven en el seu temps.
A més, jo no sóc artista, encara que he fet un quadre, no tinc el talent que té
un autèntic artista; l’únic que he fet és utilitzar uns elements que he treballat i
que tenen relació amb les matemàtiques.
Veient aquesta diferència es pot arribar a la conclusió que l‟academicisme pertany a
aquest grup per la utilització de formes, maneres, geometries, temes... tipificades;
quasi tot és calculat i deixa poc espai a la passió, la intuïció i la figura del geni. Es
podria dir que aquests pintors eren mancats de talent ja que seguien aquestes pautes i
formaven obres fredes i plàstiques, moltes vegades sense sentiment i poc
innovadores. Això podria ser un dels motius de la falta de coneixement dels tants
pintors neoclàssics, que només sabien utilitzar el que havien après sense fer més enllà
27
i buscant per ells mateixos noves maneres de fer art, dins de l‟academicisme és clar.
Els únics que van aconseguir això van ser David i Ingres i no és casualitat que fossin
els més coneguts.
5 El cubisme
5.1 Les avantguardes11
Els avenços de la matemàtica del segle XX van produir un canvi decisiu en el segle,
sobretot el fet de pensar que tot es pot reduir a fórmules; la publicació per Whitehead y
Bertrand Russell de Principia Mathematica suposa una revolució en una ciència
considerada fins llavors exacta e intocable. Des de llavors la geometria i l‟àlgebra
grega es posen en dubte. Al mateix temps succeeix la revolució de la física per mans
d‟Einstein amb la seva Teoria de la relativitat i de la medicina per les doctrines de
Freud. Això provoca el desconcert dels pintors del segle XX ja que tot el que es coneix
canvia de manera vertiginosa: l‟espai es una realitat curvilínia segons Einstein, la
realitat de l‟home es molt més complexa i el pintor ha de poder percebre la seva
angoixa, l‟estructura de la matèria és més complicada del que els nostres ulls poden
percebre... Per això han d‟aprendre a innovar, a aconseguir arribar a les persones dins
la nova realitat que es va creant dins el segle XX.
5.2 El cubisme12
L‟aparició del cubisme entre els anys 1907 i 1920, va provocar que l‟art deixés de ser
l‟intèrpret de la naturalesa exterior.
Va ser un moviment intel·lectual i mental que retorna al rigor analític del Renaixement.
Reivindica el paper de l‟art per ell mateix, com a medi per expressar les idees i intenta
captar l‟essència de les coses més enllà de l‟aparença utilitzant les paraules “els
sentits tan sols perceben el que passa, la intel·ligència el que roman”, per això les
interpreten de forma racional i geomètrica, per omplir els forats que l‟ull humà no pot
percebre.
Els pintors cubistes consideren la perspectiva convencional com artificiosa, ells volen
aconseguir la quarta dimensió o la suma de perspectives superposant plans i enfocant
11 FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte. 3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives. 12 ARTE EN LA GUÍA 2000. Cubismo (I)i (II) [en línia].
http://arte.laguia2000.com/pintura/el-cubismo-i [consulta: 25.8.2010]
28
objectes des de diferents punts de vista, com si volguessin captar tots els possibles
angles i punts de vista d‟un objecte, inclús dels invisibles.
Donen més importància a la línia i a la forma que al color i a la llum, ja que són els
aspectes racionals de tot objecte. Per això els colors que utilitzen són neutres com el
gris, el blanc, el verd clar... i no hi ha llum.
En aquesta composició de Juan Gris, es pot apreciar clarament la
descomposició i recomposició de la guitarra en formes geomètriques i els plans
superposats per donar sensació de volum. En la guitarra de la composició
(fig.5.2.1) hi ha trossos que l’ull humà seria incapaç de veure, com la part baixa
o el lateral dret de la guitarra, encara així, el cubisme treu tots el plans del cos
per trobar la abans ja dita, quarta dimensió o suma de perspectives.
Si ens fixem, el quadre és mancat de perspectiva i joc de clarobscur, però no
ho és de volum. Això és gràcies a la composició de la guitarra i a efectes
visuals com les línies que formen la taula, el joc de colors entre blanc, negres i
ocres, la superposició de plans...
Dins del cubisme es poden diferenciar dues vessants: el cubisme analític i el cubisme
sintètic.
La guitarra de Juan Gris
1914, cubisme analític
Pintura a l‟oli sobre tela
61 x 50 cm
Museu Thyssen Bornemisza, Madrid
Figures 5.2.1 i 5.2.2 font pròpia
29
L‟analític es caracteritza per la descomposició de les figures en formes geomètriques,
que després es reordenen com si fos un puzle. Les estructures geomètriques
apareixen fragmentades com si contempléssim un mirall trencat, els objectes
apareixen descomposts per efecte dels múltiples punts de vista i els fons i les figures
s'unifiquen. L'atenció se centra en la forma de l'objecte, però no en el seu color, per
això s‟utilitzen colors neutres.
Per un altre banda, en el sintètic el pintor ja no parteix de l'anàlisi d'un motiu en
particular, sinó dels materials pictòrics amb els quals organitza el motiu. Creen
collages, quadres que a més d'imatge incorporen elements materials en relació amb el
tema representat. Contrasten textures i busquen representar millor l'essència dels
objectes.
Aquí podem veure uns exemples de les dues vessants:13 14
Aquí podem veure les diferències entre un quadre cubista analític i un de
sintètic.
13ARTE EN LA GUÍA 2000. Los tres músicos [en línia].
http://arte.laguia2000.com/pintura/los-tres-musicos-de-picasso [consulta: 26.8.2010]
14 CAMPÀS MONTANER J. George Braque: casas en l’Estaque [en línia]. http://cv.uoc.edu/~04_999_01_u07/percepcions/perc106a.html [consulta:26.8.2010]
Els tres músics de Pablo Picasso
1921, cubisme sintètic
Pintura a l‟oli sobre tela
200,7 x 222,9 cm
Museu d‟art modern, Nova York.
Cases en l’Estaque de Georges Braque
1908, cubisme analític
Pintura a l‟oli sobre tela
73 x 60 cm
Kunstmuseum, Berna.
Figura 5.2.3 Figura 5.2.4
30
En el primer, Braque (fig.5.2.3) descompon els cossos i els redueix a formes
geomètriques, en aquest cas en cubs, per donar volum i els il·lumina un per un,
no com a conjunt, sinó com a individualitat i de manera arbitrària, negant-se al
principi d’un sol focus de llum. Elimina el fons i superposa cossos i plans, efecte
que dóna aquesta tridimensionalitat, ja que es forma un efecte òptic en el que
els objectes tiren cap endavant.
Aquest quadre, al pertànyer a una fase inicial del cubisme, Braque experimenta
amb les figures, els seus volums, l’espai i els plans per apropar-se a la
plasmació de la forma tridimensional dels objectes. Ell mateix diu: "No n'hi ha
prou amb aconseguir que la gent vegi el que un pinta, ha d'aconseguir també
que ho toqui".
En el segon en canvi, Picasso (fig.5.2.4) no es centra tant en els volums dels
cossos com a conjunt d’un quadre, sinó com a individuals, per això té en
compte els materials que utilitza, principalment el collage i com el poden ajudar
a composar una obra. Aquí es pot observar que realment el quadre de Braque
té més sensació de volum que el de Picasso, perquè és el que realment busca.
En aquesta obra podem veure els músics de perfil i de cara a la vegada,
gràcies a la superposició de plans, fet semblant de l’altre cubisme, però hi ha
una diferència i és el color. El cubisme sintètic utilitza colors llampants, com si
semblessin papers enganxats donant així una alegre vivacitat inclús arribant a
donar moviment dintre el quadre. S’utilitzen aquest tipus de colors perquè no
intenta mostrar la importància en les formes ni en el volum, sinó en el com està
fet.
5.3 Per què pertany al grup de “matemàtiques com a eina-inspiració”?
He considerat que el cubisme pertany a aquest apartat perquè experimenta amb la
geometria i les formes per innovar i per trobar el que més l‟importa: la quarta dimensió.
Però a més, està inspirat pels cossos tridimensionals com cubs, prismes, esferes,
cilindres...
Es diferencia amb els corrents “inspirats” perquè no està interessat en expressar els
seus sentiments als altres, sinó que ho està per crear i trobar nous camins de l‟art. El
seu interès està fora de tot l‟emocional.
Agafant l‟afirmació de Braque, "No n'hi ha prou amb aconseguir que la gent vegi el que
un pinta, ha d'aconseguir també que ho toqui", un pot veure que el que busca Braque
no és que la gent senti quelcom quan veu el seu quadre, sinó que sigui capaç de
percebre el volum, de “tocar” el quadre, la tridimensionalitat; elements purament
formals.
Una altra característica del cubisme són les pautes. No són instruccions ni sempre són
així, però és la manera més fàcil d‟aconseguir fer un quadre cubista (fig. 5.3.1):
1. Aconseguir totes les vistes del cos que vols representar.
2. Posar la cara central o la més important en l‟espai on el vols representar.
3. Afegir TOTES les cares. Fins i tot les que l‟ull humà no podria percebre.
4. Unir-les encara que formi cossos incoherents.
31
Amb aquest cos no he intentat expressar com em sento; ha sigut un experiment
purament científic per crear una forma cubista seguint unes pautes. Això no significa
però, que tothom pugui ser un pintor cubista. Encara que la meva intenció no ha sigut
molt diferent a la seva, hi ha una diferència enorme, i és que ells al capdavant
cercaven anar més enllà de la pintura a través de la intel·ligència.
6 Abstracció15
6.1 L’abstracció en el segle XX
L‟experimentació en la pintura de l‟objecte havia passat per tots els corrents
avantguardistes durant el segle XX: en el fauvisme s‟havia reduït a color, en el
cubisme s‟havia geometritzat, en l‟expressionisme s‟havia distorsionat, dinamitzat en el
futurisme i somiat en el surrealisme. Però en l‟art abstracte definitivament s‟elimina.
El propòsit dels artistes abstractes és prescindir de tots els element figuratius per
concentrar les forces expressives en formes i colors que no estiguessin relacionats
amb la realitat visual, la que nosaltres veiem. Ja no representa, sinó que expressa
simplement amb la combinació de formes i colors, o sigui un llenguatge sense formes
com el de la música. Fins i tot a vegades es prescindeix del títol per eliminar tota
relació amb la realitat. La concepció de bellesa ha canviat, ara l‟obra d‟art ha d‟ésser
bella per ella mateixa i no per com la representa l‟autor.
Una frase que resumeix bé aquesta idea és la que digué el pintor Kandinsky: “ En la
pintura una taca rodona pot ser més significativa que una figura humana”.
15 FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte.3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives.
Figura 5.3.1 font pròpia
32
Es poden trobar dos tipus d‟abstracció: la lírica i la geomètrica.16
6.2 L’abstracció lírica
Arribà, entre 1910 i 1912 i fou caracteritzada per l‟alt grau de sentimentalisme
destinada a despertar l'emoció en l'espectador. El color s‟ordena lliurement per la
inspiració, no de forma matemàtica entre les formes com en altres corrents abstractes.
Dos dels pintors més importants de l‟abstracció lírica són:
Wassily Kandinsky (1866-1944)17
Pintor rus considerat un dels innovadors i teòric més important i brillant de l‟art
modern per la seva investigació sobre l‟art abstracte. Va ser autor de llibres
sobre el sentimentalisme en les obres com en De l’espiritual en l’art (1912), o
de ruptura dels elements pictòrics tradicionals i la recerca de noves tècniques
com en El genet blau o Punt i línia sobre el pla.
Formà part del grup artístic de Munich que es creà a l‟any 1913 i a El genet
blau on també hi formaren part els pintors Paul Klee, Franz Marc i Kokoschka.
Kandisky es formà com a pintor i mostrà la seva concepció de l‟art com una
expressió mitjançant colors i emocions, semblant a la música que plasma
emocions mitjançant el llenguatge dels sons. Així doncs, Sadler, el seu
traductor, descriu Kandinsky amb una frase “Kandinsky pinta música”. També
destaca la idea que compartia amb tot el grup de El genet blau: la vitalitat del
quadre no depèn de teories de la composició sinó de la manera de sentir;
“crear formes significa viure”.
Encara que les seves primeres obres s'emmarquen dins d'una línia naturalista,
a partir de 1909, després d'un viatge a París en el que va quedar profundament
impressionat per les obres dels fauvistes i dels postimpressionistes, la seva
pintura es va fer més colorista i va adquirir una organització més lliure.
16 ENCICLOPEDIA LIBRE UNIVERSAL EN ESPAÑOL. Arte abstracto [en línia].
http://enciclopedia.us.es/index.php/Arte_abstracto [consulta: 31.8.2010] 17 CIUDAD DE LA PINTURA. La mayor pinacoteca virtual [en línia].
http://pintura.aut.org/SearchAutor?Autnum=11.083 [consulta: 31.8.2010].
Murnau. La sortida de la Johannistrasse de Wassily Kandisky
1908, art avantguardista pos-impressionista
Oli sobre cartró
70 x 48,5 cm
Museu Thyssen- Bornemisza, Madrid
Figura 6.2.1
33
Cap a 1913 va començar a treballar en les quals serien considerades les
primeres obres totalment abstractes dins de l'art modern, no feien cap
referència a objectes del món físic i s'inspiraven en el món de la música, on
prenien els títols, i totes elles eren caracteritzades pel brillant colorit i la
complexitat del disseny.
Va ser professor en l'Acadèmia de Belles arts de Moscou entre 1918 i 1921, i
entre 1922 i 1933 de la Bauhaus en Dessau, Alemanya, juntament amb Klee.
Després de la I Guerra Mundial les seves abstraccions es van tornar cada
vegada més geomètriques i elegants, a mesura que s'allunyava de l'estil fluït de
la seva primera època per introduir traços de perfil molt marcat i dissenys clars i
complexos caracteritzats pel seu bellíssim equilibri i harmonia entre el conjunt
de línies, cercles, arcs i altres formes geomètriques simples.
Paul Klee (1879-1940)18
Pintor suís nascut en una família de músics i considerat un dels representants
més originals de l‟art modern. Estudià a Munich on totes les tendències del
moment convivien en el modernisme alemany, també dit Jugendstil; aquesta
etapa de la seva vida influeix en la seva pintura donant més predomini a la
linealitat, expressionisme i caricaturització de les figures normalment
fantàstiques. Entrà el 1911 en El genet blau, on es va veure eclipsat per tots els
altres artistes com Wassily Kandinsky, August Macke, Franz Marc... Un viatge a
Túnez va ser el que l‟ensenyà el color a Klee fins arribar a un punt que ell
mateix es descrivia com a “posseït pel color”.
Durant els següents 20 anys, les seves pintures i aquarel·les van mostrar el
domini d'harmonies cromàtiques delicades, composicions senzilles i semi
abstractes o fins i tot efectes com el mosaics (fig.6.2.3), o els elements
metàl·lics (fig.6.2.4). El seus temes eren el somni, la música i la poesia.
18 EL PODER DE LA PALABRA. Paul Klee [en línia]. http://www.epdlp.com/pintor.php?id=284 [consulta:1.9.2010].
Composició VIII de Wassily
Kandisky
1923, art avantguardista abstracte líric
Oli sobre tela
140 x 201 cm
The Solomon R. Guggenheim Museum, Nueva York
Figura 6.2.2
34
Les guerres mundials i la malaltia progressiva que finalment matà al pintor influí
en les seves obres amb pessimisme i estil clar, senzill, caracteritzades per
línies gruixudes com de carbonet i grans àrees de colors matisats.
6.3 L’abstracció geomètrica
També dit neoplasticisme, es va elaborar a partir del cubisme. Aquest reduïa les
formes a traços horitzontals i verticals i emprava colors purs i bàsics relacionats
matemàticament entre ells i les formes, deixant d‟una banda la inspiració i l‟instint (en
el color, no en la composició).
Estudiaven la relació entre les formes i colors, les bases matemàtiques de la
composició, els vincles estructurals dins el llenç i pretenien planificar una obra sobre
principis racionals, aconseguint l‟objectivitat la precisió i la composició lògicament
estructurada, utilitzant elements geomètrics per eliminar la capacitat sensitiva i
expressiva de les formes.
Piet Mondrian (1872-1944)19
Conegut com el pare de l‟abstracció geomètrica, va ser una figura fonamental
en la revolució de l‟art modern del segle XX per les seves teories sobre
19 FRATICOLA P. Image and art: Piet Mondrian [en línia]. http://www.imageandart.com/tutoriales/biografias/mondrian.htm [consulta:2.9.2010].
Pastoral (Ritme) de Paul Klee
1927, art avantguardista abstracte líric
Temperes sobre tela sobre fusta.
69,3 x 52,4 cm
Museu d‟art modern de Nova York
La màquina de trinar de Paul Klee
1922, art avantguardista abstracte líric
Aquarel·la, llapis i tinta sobre oli i paper de carbó
64,1 x 48,3 cm
Museu d‟art modern de Nova York
Figura 6.2.3 Figura 6.2.4
35
l‟abstracció i la simplicitat, que no influïren tan sols en la pintura, sinó que
també ho van fer en l‟arquitectura, el disseny industrial i les arts gràfiques.
En la universitat va conèixer la Teosofia, això va fer que al llarg de la seva vida
intentés arribar i descobrir la veritat a través de l‟art, de la geometria i de la
simplificació radical tant en la composició com en el color.
Les seves primeres obres eren de caire naturalista, però al llarg dels anys va
anar deixant aquest estil per tornar-se més abstracte. Va desenvolupar una
teoria en la que sostenia que l‟art no s‟havia d‟implicar en la reproducció
d‟imatges d‟objectes reals, sinó expressar únicament l‟absolut i universal que
s‟oculta darrere de la realitat. Per això no acceptava les qualitats sensorials de
la textura, superfície i color, utilitzant així colors primaris, elements plans només
amb línies i angles rectes absent totalment de línies corbes.
Això es pot veure en la figura 6.3.1, només composta per línies i blocs de color molt
ben equilibrats, creant un efecte monumental encara que l‟autor no utilitzés,
voluntàriament, quasi ningun medi per crear-lo.
Composició en groc, vermell, blau i negre de Piet Mondrian
1921, art avantguardista abstracte geomètric
Oli sobre llenç
59,5 x 59,5 cm
Museu Gemeente, La Haya
Figura 6.3.1
Línia transversal de Wassily Kandinsky
1923, art avantguardista abstracte líric
Oli sobre llenç
141 x 202 cm
Kunstsammlung Nordrhein-Westfalen. Dusseldorf. Alemania.
Figura 6.3.2
36
Si comparem els dos quadres, un líric (fig.6.3.2) i l’altre geomètric (fig.6.3.3) o
neoplàstic, podem veure la diferència tant de colors com de composició.
En el primer, Kandinsky s’inspira en la música, per això utilitza formes
ondulades i circumferències aportant d’aquesta manera tant dinamisme. A més,
la posició de les línies negres de la dreta recorden a un pentagrama igual que
la línia central. Encara que no té colors llampants, sí que hi ha una gran varietat
cromàtica sense relació, deixant a la inspiració aquesta tasca. No cal dir que
les formes són geomètriques: triangles, circumferències, quadrats, línies... totes
elles planes i simples, però que en conjunt no donen sensació de pobresa o
simplicitat, sinó equilibri, harmonia i moviment.
El segon quadre va ser l’últim que va fer Mondrian. Està inspirat en el seu
viatge a Estats Units on es trobà una ciutat plena d’optimisme i alegria. L’autor
de l’obra, plasmà tot el moviment i vivacitat de Broadway sense deixar el seu
estil geomètric, utilitzant el ritme del bogie-woogie, ball típic d’aquell moment,
donant al quadre una successió de tons i colors purs superposats en traços
breus, disposant-los com els carrers i avingudes de la ciutat americana, amb el
ritme del tràfic i la seva agitació.
Per tant, la primera diferència que podem trobar entre les dues composicions
és el subjecte d’inspiració: mentre un és la música, l’altre és el bullici d’una
ciutat. La segona diferència és la sensació de profunditat que ens donen les
dues: la primera, a pesar de ser bidimensional, la seva superposició de formes,
creen en l’ull humà una sensació de profunditat que la segona composició no
aconsegueix a causa de la seva composició majoritàriament quadrada. El que
sí cal destacar és que les dues figures compleixen, malgrat ser tant diferents,
un gran dinamisme, creat a partir dels element geomètrics emprats.
Pot semblar fàcil fer aquest tipus de quadres, però ha d’haver dues coses que
han de quedar clares: la primera és que els artistes abstractes tenen el mèrit de
ser els primers en utilitzar i inventar aquest art, i la segona es que els artistes
són els únics que poden aconseguir formar composicions que siguin capaces
de commoure amb la seva bellesa.
Broadway Bogie Woogie de Piet Mondrian
1942-1943, art avantguardista abstracte geomètric
Oli sobre llenç
127 x 127 cm
Museu d‟art Modern de Nova York
Figura 6.3.3
37
Abstracció lírica:
6.4 Perquè pertany a l’apartat “matemàtiques com a inspiració”?
Per desenvolupar aquest apartat, s‟ha formulat una pregunta sobre l‟art objecte
d‟aquesta part del treball:
Hi ha alguna relació matemàtica i geomètrica en l‟art abstracte?
La pregunta pot trobar resposta si s‟analitza qualsevol quadre disposant de dos eixos x
i y, es poden transformar simples rectes, circumferències, triangles, quadres,
paràboles... en funcions matemàtiques. Jo he volgut fer la prova utilitzant un quadre de
Kandinsky i amb l‟ajuda del programa informàtic de representació de funcions
“wplotsp”, he pogut observar la relació i treure‟n resultats.
Per dur a terme aquesta representació, primerament s‟ha agafat el quadre a
representar, s‟ha descrit els eixos x i y, i s‟ha passat bona part de les representacions
a fórmules amb l‟ajuda dels eixos.
En el cas de les funcions, les he dividit en quatre grups seguint quatre criteris: els
quartans, la grandària de la funció, l‟exponent i el protagonisme.
Grup vermell: quartans 3 i 4 / exponent=1 / línies poc importants.
Aseg (-25.5,8.3) a (-19.4,-9.4)
Bseg (-19.4,-9.4) a (-1.5,12.4)
Cseg (-1.5,12.4) a (-12,14.5)
Dseg (-12,14.5) a (-25.5,8.3)
Eseg (-14,-2.7) a (-8.5,10.4)
Fseg (-23,2.2) a (-14,-2.7)
Gseg (-8.5,10.4) a (-20,8.6)
Hseg (-20,8.6) a (-23,2.2)
Iseg (-21.5,14.4) a (-11.4,20.9)
Jseg (-22.4,22.4) a (6.4,27.8)
Figura 6.4.1 font pròpia
38
Kseg (-16.4,26) a (-13.6,19.8)
Lseg (-13.6,19.8) a (-8,26.2)
Mseg (-8,26.2) a (-13.8,28.8)
Nseg (-13.8,28.8) a (-16.4,26)
Oseg (-10,21.5) a (-5.2,27.8)
Pseg (-5.2,-1.3) a (-3.3,-6.7)
Qseg (-3.3,-6.7) a (1.8,-0.4)
Rseg (1.8,-0.4) a (-0.5,1.8)
Sseg (-0.5,1.8) a (-5.2,-1.3)
Tseg (-12.4,13.8) a (8.1,24.6)
Grup verd: quartans 1 i 2 / exponent=1 / línies poc importants.
Aseg (0.6,2.4) a (16.1,-0.7)
Bseg (2.7,3.0) a (12.6,1)
Cseg (6.3,-3.3) a (6.6,5.3)
Dseg (7.2,-0.3) a (9.1,-6.1)
Eseg (8.9,-0.9) a (10.6,-6.5)
Fseg (2.5,15) a (13.3,-6.3)
Gseg (4.3,13.8) a (13.9,-4)
Hseg (15,1.3) a (20.1,-5.6)
Iseg (17,0.1) a (28.6,-8.4)
Jseg (16.8,1.4) a (24.4,-3.5)
Kseg (5.8,8.4) a (20.3,0)
Lseg (6.3,8.7) a (23.5,0)
Mseg (10.1,2.7) a (23,5)
Nseg (8.6,5.8) a (12.3,7.4)
Oseg (12.3,7.4) a (12.3,8.6)
Pseg (12.3,8.6) a (10.9,8.8)
Qseg (10.9,8.8) a (11.3,13.3)
Rseg (11.3,13.3) a (23.7,6.5)
Grup blau: exponent=2 (exponent=1 si hi ha segments implicats en les formes)/ figures
amb importància
A (xx)+(yy)+5x-34.4y+295.33=0
B (xx)+(yy)-41.8x-54.2y+(116.866)10=0
C (xx)+(yy)-23.5x-30.4y+(36.766)10=0
D (xx)+(yy)-37.2x-37y+(68.721)10=0
E (xx)+(yy)-40.8x-30.6y+620=0
F (xx)+(yy)-35.6x-15.6y+374.44=0
G (xx)+(yy)-40x-19.8y+425.76=0
H (xx)+(yy)-44.2x-24.4y+634.36=0
I (xx)+(yy)-50.8x-25.6y+802.75=0
J (xx)+(yy)-40x-20y+496=0
K (xx)+(yy)-39.6x-22.8y+405.36=0
L (xx)+(yy)-42.2x-23.8y+548.8=0
M (xx)+(yy)-42.4x-23.8y+527.05=0
Nseg (17.7,20.1) a (20.4,15.4)
Oseg (-21.8,-9.7) a (23,28.8)
Qseg (19.5,29.8) a (22.1,23.4)
Grup Taronja: exponent=1 i exponent=2/figures grans i amb importància.
Aseg (-7.9,23.1) a (-5.6,21.3)
Bseg (-5.6,21.3) a (-9,19)
Cseg (-9,19) a (13.7,-8.2)
Dseg (-1.4,-6.9) a (3.8,-2.8)
39
Eseg (-1.4,-6.9) a (-7.9,28.2)
Fseg (-7.9,28.2) a (10.5,16.3)
Gseg (0.7,21.6) a (1.3,25.6)
Hseg (1.3,25.6) a (5.7,22)
Iseg (0.7,21.6) a (5.7,22)
J (xx)+(yy)-22.2x-33.4y+269.85=0
K (xx)+(yy)-21x-31.6y+225.33=0
L (xx)+(yy)-19.6x-29.2y+174.64=0
M (xx)+(yy)-22.6x-19y+73.94=0
N (xx)+(yy)-40x-6y+59.31=0
Oseg (-2,4.5) a (-1.9,8.9)
Pseg (-1.9,8.9) a (1.6,7.8)
Qseg (-2,4.5) a (1.6,7.8)
Després de fer l‟esquelet de la composició, s‟ha matitzat algunes circumferències per
augmentar la seva harmonia i equilibri, com en el cas d‟algunes que només sortia mig
circumferència.
Y finalment s‟ha aplicat una de les característiques més significatives de l‟abstracció
lírica: el color
Figura 6.4.2 font pròpia
Figura 6.4.3 font pròpia
Amb aquest resultat queda clar que partint de simples expressions matemàtiques es
pot crear una composició (més rígida per la condició de la funció) semblant a la de
qualsevol artista abstracte. Si més no, això no significa que els autors la utilitzin com a
eina només, ja que per arribar a la creació d‟un art tant palpablement matemàtic ha
hagut d‟ésser inspirat per ella mateixa i ja ha quedat ben clar que els abstractes lírics
no són ni calculadors ni freds, sinó que es deixen portar per la passió en els colors, en
el gruixut de les línies, inclús hi ha algunes que ha sigut impossible plasmar-les
funcionalment, ja que no seguien ningun criteri geomètric.
A més, una de les preocupacions dels pintors abstractes era que la gent, en una
exposició o en un museu davant d‟un dels seus quadres, pogués sentir les seves
pròpies emocions, i no les de la persona del costat o les de l‟autor, sinó les de ell
mateix; i això només s‟aconseguia a través de l‟abstracció de figures i la seva
construcció inspirades en la geometria.
Per això he qualificat aquest tipus d‟abstracció com a “inspirat”.
Quadre objecte de la representació.
Dades: fig.6
Figura 6.4.4
41
7 Mauritis Cornelius Escher (1898-1972)20
7.1 L’artista
Pintor holandès considerat l‟artista que gràficament ha reflectit millor el pensament
matemàtic modern. Fou un artista inusual, per això no se l‟ha atribuït a ninguna corrent
artística. Sempre decidit a resoldre problemes que interessaven més als matemàtics
que als artistes, es considerava a vegades més científic que pintor, encara que no
tingués conceptes teòrics de matemàtiques: “sovint em trobo més a prop dels
matemàtics que dels meus col·legues els artistes”.
Els conceptes geomètrics, la perspectiva dels espais curvilinis, la divisió del pla, la
simetria... són els protagonistes de totes les seves obres que ell qualifica com a jocs:
“Tots els meus treballs són jocs. Jocs seriosos.” Utilitzava aquests medis per arribar a
trencar les limitacions del pla en l‟art; volia demostrar que una superfície bidimensional
és capaç de produir il·lusions òptiques de gran profunditat.
Al principi de la seva vida com a pintor, dibuixava gravats naturalistes (fig. 7.1.1), ja
que al viatjar molt per Europa, sobretot per Itàlia, descobrí la bellesa dels paisatges.
Però quan ja no va tenir aquesta oportunitat i va haver de quedar-se a la ciutat Baarn,
Holanda, per causa de la Segona Guerra Mundial, es trobà que els paisatges no
l‟inspiraven, i començà a centrar-se en el seu pensament. Aquesta va ser l‟etapa més
fructífera de la seva carrera.
Algunes de les seves característiques matemàtiques va ser:
Partició del pla21: reomplir el pla amb un mateix motiu. Escher es fixà en els mosaics
de l‟Alhambra i descobrí un sistema per representar particions periòdiques del pla, a
més dels disset grups de simetria plana que es troben en l‟Alhambra.
20SIBILA, M.E.; RUIZ LACARCEL, J. M.C.Escher [en línia] http://personal.telefonica.terra.es/web/jack/escher/escher.htm [consulta: 3.9.2010]
Tres móns de Mauritis Cornelius Escher
1955
Gravat
Museu Escher, la Haya
Superfície ondulant de Mauritis Cornelius Escher
1950
Gravat
Col·lecció Cornelius van Schaak Roosevelt
Figura 7.1.1
i 7.1.2
42
Per fer les seves creacions utilitzava figures geomètriques, normalment quadrats,
triangles equilàters, paral·lelograms i hexàgons. Aquestes figures només les utilitzava
com a punt inicial, després les anava modificant creant una figura patró que al repetir-
la encaixava amb les demés reomplint el pla sense deixar espais lliures.
Com es pot veure en aquest mosaic, Escher agafa un hexàgon i el descompon
per transformar-lo en un rèptil mitjançat eixos de rotació de 120º en les potes
del rèptil central i un cap, una cua i quatre trossos de potes dels rèptils
continus.
Aquesta manera de recompondre recorda molt a la llei de la conservació de la
matèria de Lavoisier: “la massa total de les substàncies que reaccionen és igual
a la massa total de les que s’han obtingut.” La superfície de l’hexàgon inicial és
igual a la superfície resultant de la descomposició.
21 MORA PARDO, M. Matemáticas y Escher [en línia] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0224-02/part.html [consulta: 3.9.2010]
Reptils de Mauritis Cornelius Escher
1943, mosaic
Litografia
Museu Escher, la Haya
Figura 7.1.3
Figures 7.1.4, 7.1.5 i 7.1.6
43
Escher solia fer dos particions en el pla diferents: el mosaic, si la
repetició era en dues direccions; i el fris, si la repetició era en una sola.
L’infinit: Escher sempre ha sentit curiositat per l‟infinit i de la idea del “res”. Influït pels
seus anteriors treballs sobre la partició del pla, intenta plasmar artísticament l‟infinit
dibuixant figures encaixades sense ningun espai que van variant gradualment el tall
seguint una raó :1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... que si són sumades fa 1. Així es pot dibuixar una
sèrie de figures infinites en un espai finit.
Cercle de Mauritis Cornelius Escher
1938, fris
Litografia
Museu Escher, la Haya
Un dels temes més importants dins
l’estil de a partició del pla era la
metamorfosis, que consisteix en
figures que poc a poc es van
transformant en unes altres i a
vegades tornen al seu punt inicial.
Serps de Mauritis Cornelius Escher
1969
Museu Escher, La Haya
Figura
7.1.7
Figures 7.1.8 i 7.1.9 font pròpia
44
La paradoxa: Una de les característiques més notables dels quadres d‟Escher són les
paradoxes; fets que semblen irreals i contradictoris, però que són vertaderes perquè
estan representats en un espai concret. Les paradoxes són les que creen inquietud i
curiositat en els jocs visuals de l‟artista: el nostre subconscient no acaba mai
d‟assimilar el que presenta el quadre. Encara que sapiguem com s‟ha fet, el mètode
que s‟ha utilitzat, mai ho veurem com un fet normal, perquè no ho és i el nostre
subconscient ho sap. La paradoxa no sols és un mètode matemàtic, sinó també
psicològic.
Cascada de Mauritis Cornelius Escher
1961
Xilografia
Museu Escher, la Haya
Figures 7.1.10 i 7.1.11
font pròpia
Figura 7.1.12
Reptils de Mauritis Cornelius Escher
1938
Litografia
45
Cinta de Moebius: és una superfície amb una sola cara i un sol cantó que té la
propietat matemàtica de ser un objecte no orientable.
Punts de vista: El joc dels sistemes de referència també es un factor característic de
l‟artista. En el següent quadre (figura 7.14), el receptor de la imatge pot interpretar com
que ell es troba en el sostre, en una paret o en el terra.
Les zones de color són les diferents perspectives que es poden trobar en aquest
quadre, en total tres. La vermella és la que pertany al punt de vista des del sostre, però
en angle cap a l’esquerra. La groga, pertany també a la del sostre però en l’angle cap a
la dreta i finalment la verda que el seu punt de vista és des del terra.
Si ens fixem, podem veure que les dues zones corresponents a la perspectiva del
sostre, estan contraposades i en el lloc que els pertoca segons l’angle que tenen: la de
l’angle cap a la dreta es troba a la dreta i la de l’esquerra a l’esquerra. Aquest fet crea un
equilibri que si fos al revés no hi hauria. En canvi el que pertany al punt de vista des del
La cinta de Möbius per Escher significava l’infinit perquè en aquest cas les formigues no pararien de caminar mai per la cinta i per l’única capa que hi ha en la cinta. Si es recorre el trajecte d’aquestes es pot veure que sempre tornaran al punt d’inici passant per tota la superfície de la banda.
Cinta de Möbius de Mauritis Cornelius
Escher
1963
Col·lecció Cornelius van Schaak Roosevelt
Figura 7.1.13
Figura 7.1.14 i 7.1.15 font pròpia
Figura 7.1.13
46
terra es troba al centre i ocupa bastant part de dalt. Les figures dempeus de la zona
verda ens donen estabilització, perquè són els cossos més “normals” de la composició.
7.2 Perquè pertany al grup de matemàtiques com a inspiració?22
He considerat que Escher pertany a aquest grup del treball, perquè utilitza clarament
els termes matemàtics per composar els seus gravats d‟una manera meticulosa i molt
palpable, i encara que sí que les utilitzi com a eina, pesa molt més la part inspiradora.
Les seves obres són innovadores, mai fetes ni pensades per altres. El seu tema
principal és la racionalitat i la seva intenció sempre és la d‟observar més enllà dels
sentits (vista, tacte, oïda...) i obligar a mirar els seus quadres a través de la raó. Per
això genera mil jocs diferents per exercitar-la: paradoxes, mosaics infinits, efectes
òptics... És un inspirat en la visió matemàtica de l‟home.
També una característica molt important del pensament que tenia Escher era la poca
importància que tenia la tècnica del dibuix davant l‟expressió de sentiments i
pensaments. La primera etapa de la seva vida va centrar-se en el com fer, com
dibuixar de la manera més adient i de com fer un dibuix bonic. Però quan va veure, en
la segona etapa, que els paisatges no l‟inspiraven i que havia de fer-ho amb el seu
propi pensament, ve veure que el mètode no era un d‟estipulat, no importava com
havia d‟expressar-se, sinó què expressava; així com quan més cuides la tècnica,
menys llibertat d‟expressió tens, igual que un contorn delimita una figura.
Un exemple de la bellesa sense utilització de grans mètodes tècnics són els mosaics. I
Escher n‟és un gran admirador d‟aquest tipus d‟art.
Un mosaic és una composició de formes simples geomètriques que encaixen entre si
seguint un motiu, ja sigui per rotació, per col·locació en sèrie, seguint altres formes
internes... El cas és que encara que siguin figures simples i sense gran complexitat
aparent, són belles i s‟utilitzen molt en decoració i disseny per la seva harmonia i el
seu equilibri matemàtic acompanyats normalment amb colors primaris essent font de
gran expressió.
22 ESCHER,M.C. (2002) Estampes i dibuixos (sèrie menor). 1ª edició. Barcelona: Taschen Benedikt.
47
Per fer aquest mosaic, s’ha seguit unes pautes geomètriques bastant visibles.
Primerament s’ha dividit l’hexàgon en sis parts seguint les diagonals, i en hexàgons
concèntrics seguint la raó d’Escher per aconseguir la sensació d’infinit: 1/2, 1/4, 1/8,
1/16,...
Seguidament s’ha construït la figura en forma d’ocell partint d’un trapezoide i
composada segons les línies diagonals i perpendiculars d’aquests. Tot seguit la figura
s’ha repetit al llarg de l’hexàgon fins arribar al punt propi23
.
La disposició dels colors en canvi, ha sigut totalment arbitrària i instintiva, al gust de la
creadora.
S’ha de tenir en compte que no es pot comparar un mosaic fet per mi que fet per Escher
o un de l’Alhambra. Però la intenció d’aquesta creació no ha sigut pas la de comparar-se
amb la d’aquest artista, sinó que ha sigut merament científic; amb aquest mosaic es pot
veure amb facilitat la simplicitat de la composició, la puresa i bellesa que poden
aconseguir quatre figures ben disposades i l’equilibri que aconsegueixen les formes
geomètriques. La tècnica no és de les més treballades ni admirables, però no es pot
negar que té un encant especial.
23 Punt propi: punt de l‟infinit gràficament visible.
Figura 7.2.1 i 7.2.2
font pròpia
48
8 Art òptic (Op-art)24
8.1 l’Op-art
L‟art òptic és una corrent artística abstracte nascuda als anys seixanta. Està basada
en la recerca d‟efectes òptics en un espai bidimensional mitjançant mètodes rigorosos
científics, permetent a l‟espectador interactuar i provocar sensació dinàmica i volum
com convexitats i concavitats o d‟altres efectes com vibracions o confusions.
Algunes característiques d‟aquest tipus d‟art són les composicions de patrons repetits
de línies, cubs i cercles concèntrics; la contraposició de colors com el blanc i el negre o
de llums i ombres; utilització de formes geomètriques simples com triangles,
rectangles, quadrats...; les pintures llises, netes i molt ben definides, utilitzant sobretot
l‟acrílic.
8.2 Victor Vasarely25 (1908-1997)
Pintor hongarès dels anys 60 i 70, considerat el fundador de l‟op-art i gran
influenciador de l‟arquitectura, la tecnologia i la moda del moment. La seva pintura està
feta combinant les lleis de la física, de la geometria i coneixements sobre la
perspectives sense l‟ús de punts de fuga. El seu art no buscava la bellesa de les
formes, sinó la sorpresa visual que produeixen motivada per l‟engany perceptiu.
24 MY OPERA. Arte òptico [en línia].
http://my.opera.com/enlacesatspace/blog/2007/03/14/arte-optico [consulta:17.10.2010]. 25 VASARELY M. Vasarely, the official artist web site [en línia]. http://www.vasarely.com/site/site.htm [consulta: 24.9.2010]. BIOGRAFÍA Y VIDAS. Victor Vasarely [en línia].
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/v/vasarely.htm [consulta: 21.11.2010]. LIMBOSTARR. Vasarely [en línia]. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/v/vasarely.htm [consulta:17.10.2010].
Temple del groc radiant de Richard
Anuszkiewicz
1985, op-art
Acrílic sobre tela
61 x 50 cm
Museu d‟art modern de Nova York, Estats Units
Deuton-A de Victor Vasarely
1966, op-art
Acrílic sobre tela
Figura 8.1.1
Figura 8.2.1
75 x 75 cm
Museu Vasarely, Budapest
49
Una gran atribució de Vasarely a l‟art del segle XX va ser aconseguir fer la fusió del
món de la tecnologia amb el món artístic, dos móns que en aquells temps semblaven
incompatibles. Això es va donar per la creació d‟un alfabet plàstic; una mena de base
de dades on classificava tots els elements que podien ser utilitzats en una composició:
escales de colors i classificació de formes seguint milers de patrons diferents que
permetien fer infinitat de combinacions i que es podien guardar en la memòria d‟un
ordinador. Amb aquest alfabet construïa tots els esquemes de les seves obres.
Figura 8.2.2
D‟esquerra a dreta i de dalt a baix: Figura 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5 i 8.2.6
Zebres de Victor Vasarely
1960, op-art
Litografia
60 x 75 cm
Museu Vasarely, Budapest
50
En aquest grup de figures, la fig.8.2.3 és la classificació de formes que creà
Vasarely. Està designada per números tant romans com aràbics i per colors
segons la forma i l’angle que forma. La fig.8.2.4 és una escala de colors de
vint cadascuna i la fig.8.2.4, apart de ser escales, és el fruit de l’estudi que va
fer sobre la combinació i contraposició de tonalitats.
Per últim, la fig.8.2.5 és un esquema d’una de les seves obres. En ell es pot
veure com composava els seus quadres amb números i lletres, seguint el seu
propi alfabet. Es pot dir que aquest artista donava gran importància a l’estudi
rigorós dels colors, els cossos i l’espai on estaven distribuïts.
La fig.8.2.2 és una de les seves composicions fetes seguint un esquema com
el de la fig.8.2.5.
Una de les seves preocupacions primordials era l‟art en el futur, “L‟art de demà serà un
tresor col·lectiu o no serà pas art”. Li preocupava l‟art en el futur, que perdés
importància o fins i tot que desaparegués; la seva visió de futur era àmplia i molts
prototips que va profetitzar Vasarely ara mateix formen part de les nostres vides, com
per exemple el que va dir l‟any 1950:
“En el futur assistirem a exposicions projectades per artistes contemporanis.
Dos dies seran suficients per enviar una gran exposició en una carta d‟una part
del globus a l‟altre. I en una espècie de document adjunt en clau, l‟artista
presentarà les condicions vertaderes i inicials de la seva creació.”
Una visualització bastant aproximada de la nostra època, on només es necessiten cinc
minuts per enviar qualsevol informació d‟una banda a un altre del planeta, on existeix
els “pen-drives”, i on les obres d‟art ja no tenen perquè ser sobre paper.
Per contraposar aquest possible futur on desapareixeria l‟art, Vasarely va posar al
servei de la gent el seu art, altrament dit art social, adaptant-lo a les necessitats de les
persones i als seus gustos, a l‟arquitectura, a la tecnologia, a la moda... no era pas
coincidència l‟alta influència sobre la societat, sinó desig del propi Vasarely.
Figura 8.2.7 Figura 8.2.8
51
Fig.8.2.7: influència en la moda i en la fotografia.
Fig.8.2.8 i 8.2.9: edifici corresponent al museu de Vasarely de França.
Influència en l’arquitectura i en el disseny.
8.3 Perquè pertany a l’apartat “matemàtiques com a eina-inspiració”?
Una de les causes de que es consideri a Victor Vasarely un artista que utilitza la
matemàtica com una eina, és perquè va ser l‟artífex de l‟organització dels elements de
la composició de la pintura creant una base de dades aplicable a l‟ordinador mobilitzat
per la idea de que l‟art s‟havia d‟acomodar a l‟actual societat i als avenços tecnològics i
científics. També és considerat inspirat perquè la seva forma de veure les
matemàtiques: com el futur, i per això vol que la gent s‟interessi per la ciència a través
del seu art, vol arribar a ells a través de la emoció.
A més en tota la seva carrera artística es pot contemplar l‟alta influència de la ciència,
la geometria, la física, això si, utilitzant l‟estètica com a objectiu. Sense l‟ús de lleis
matemàtiques, Vasarely mai hauria aconseguit els resultats que buscava i segurament
no s‟hauria guanyat el nom de “pare de l‟op-art”, ni hagués tingut tanta repercussió en
la història de l‟art.
Si estudiem les seves obres acuradament, podrem percebre gran quantitat d‟elements
de caire científic, però només ens centrarem en un que crec que és el més destacat:
Proporció Àurea26: altrament dita “la divina proporció”, és la relació que hi ha entre un segment donat amb la major part d‟ell, i és exactament la mateixa que la major part amb la menor. S‟expressa amb el número ϕ (phi) tal que:
26 HEMENWAY, P. (2008) El código secreto. La misteriosa fórmula que rige el arte, la naturaleza y la ciencia. 1ª edició. Köln: Evergreen. LocTeam, Barcelona.
Figura 8.2.9
52
gràficament
Per tant:
I sabent que
Arribem a la conclusió que:
Una de les característiques de la proporció Àurea és que el que queda de segment (a-
x) és la part Àurea de la part Àurea, formant així una cadena d‟Àuries infinita. Cada
segment té la seva part Àurea.
Una altre característica, que és la que l‟ha feta més famosa és l‟harmonia, l‟equilibri i la
simetria que aporta aquesta proporció estèticament. En la naturalesa, en l‟arquitectura,
en la pintura, en els carnets, en el cos humà... es poden trobar aquestes proporcions,
fet que a obert molts debats místics sobre la perfecció; ha creat molts cànons de
bellesa, per exemple El David de Miquel Àngel o el Modulor de Le Corbusier; ha fet
sorgir dubtes històrics sobre l‟Antiga Grècia, ja que el Partenón conté aquestes
proporcions i es debat si realment el grecs sabien de la seva existència, o si era una
simple coincidència.
No és estrany doncs, que gran quantitat d‟artistes utilitzin les proporcions Àuries en les
seves obres, com ho va fer Víctor Vasarely.
Al observar la pintura de Vasarely (fig.8.13), i després d‟estudiar-la profundament, es
va veure que entre els radis de les circumferències existia la “perfecta relació”, i
seguint les instruccions per trobar dita proporció s‟ha pogut construir la següent figura:
HEMENWAY, P. (2008) El código secreto. La misteriosa fórmula que rige el arte, la naturaleza y la ciencia. 1ª edició. Köln: Evergreen. LocTeam, Barcelona.
53
Si partim d’un segment donat, per exemple el radi, podem aconseguir tota la
gamma de proporcions Àuries d’aquell segment, com ja s’ha dit abans:
Blau: radi. (R=4)
Lila: segment el qual el radi és la part àurica. (4· phi = 6,472).
Verd: part àurica del radi. (4:phi = 2,472).
Cal dir que la disposició dels segments envers la circumferència inicial de radi
quatre està col·locada de manera que quedi estèticament harmònic, i que el
punt on les circumferències es tallen és un punt qualsevol, que només
determina la distància entre els quadrats que es formen a posteriori. El que és
realment important és que els seus centre (punts vermells) mantenen relació
amb el número Phi.
Figura 8.3.1 font pròpia
Figura 8.3.2 Figura 8.3.3
54
L’efecte dels colors igual que la de llums i ombres és un gran factor a l’hora de
crear volums, i Vasarely amb el seu alfabet plàstic, ho aconseguia amb
resultats molt satisfactoris com els de la fig.8.3.2 , seguint l’esquema de la
mateixa obra (fig.8.3.1).
Veient aquest terme matemàtic, es pot argumentar que Vasarely utilitzava la geometria
com una eina per crear les seves obres pictòriques, igual que el seu alfabet plàstic;
malgrat això, s‟inspira en ella, li arriba l‟entusiasme a través de la matemàtica i a través
del concepte de l‟art òptic, o sigui que el que l‟empeny a pintar és el propi art, la
recerca de l‟engany òptic i l‟innovar. Per això utilitza esquemes tan fidels i organitza
tots els components de la pintura.
55
9. Conclusions
Al llarg del treball de recerca i de tots aquests mesos he pogut estudiar a fons la
pintura i la seva branca més científica. Aquest treball de recerca, malgrat tractar d‟un
tema poc explorat en l‟àmbit de la pintura i de l‟escassa informació que es podria
trobar, ha sigut per mi una gran font de coneixement i de satisfacció. Aquest tema que
semblava poc centrat i una mica exotèric, ha esdevingut una agradable sorpresa que
aconseguia augmentar cada vegada més ràpid el meu interès juntament amb les
ganes d‟anar cada vegada més lluny, d‟experimentar amb la pintura i el dibu ix i de
contemplar amb gran profunditat i paciència tot el que em rodeja, no tan sols les obres
pictòriques sinó també la naturalesa, els elements quotidians, l‟arquitectura,
l‟escultura...
Durant aquest treball s‟ha volgut resoldre les següents hipòtesis plantejades a la
introducció:
- Existeixen elements geomètrics dins el món de la pintura.
- Els elements geomètrics que es poden trobar dins les pintures es poden
representar amb fórmules matemàtiques.
- La geometria dins la pintura és un fet que ha romangut en tota la història de la
pintura.
- Existeixen diferències entre els pintors que utilitzen la geometria en la pintura
(eina o inspiració).
Les conclusions a les hipòtesis són:
1. Sí, existeixen elements geomètrics dins la pintura, i es pot comprovar a
través de totes les figures que romanen en el treball de recerca i a través de
l‟estudi fet en les conclusions de tots els apartats. Aquesta hipòtesis era la més
fàcil de verificar, però la més important, ja que era la base del meu treball de
recerca.
2. No tots els element geomètrics poden ser representats amb fórmules
matemàtiques, ja que moltes estan lligades a la capacitat de l‟ull humà i al
món dels sentits que són imperfectes. O sigui, si suposem que fem un quadre
matemàticament perfecte, és possible que a primera vista no ens doni sensació
d‟equilibri, ja que l‟ull humà no és perfecte: recordem que els elements de la
dreta pesen més que els de l‟esquerra degut a del recorregut de la mirada. Per
això els pintors, empren els elements matemàtics, però en comptes de guiar-se
al peu de la lletra de les fórmules, s‟escapen per aconseguir l‟harmonia i
l‟equilibri possiblement vist per l‟ésser humà. Això no significa que alguns
conceptes com la proporció Àurea, la perspectiva, les proporcions... es puguin
representar amb números.
3. La geometria sempre ha sigut un element en la història de la pintura que
s‟ha utilitzat algunes èpoques més que en d‟altres, però sempre hi ha estat des
de la seva descoberta fins ara. Encara que amb el meu treball de recerca hagi
començat pel Renaixement, la influència de la matemàtica en la vida quotidiana
sempre ha existit. Si això no hagués estat així, quasi no hagués tingut material
per fer aquest treball.
56
4. Existeixen diferències entre els diferents pintors de les dues branques
que mostra el treball. Aquestes són:
a. La finalitat. La diferència és que per uns, els que utilitzen la matemàtica
com a eina, és agradar, i la dels altres, que utilitzen la matemàtica com
a inspiració, és la de commoure. La diferencia és qualitativa27: uns
pertanyen a l‟àmbit dels sentits (si és bonic, agradable, si no
desentona...), mentre que els altres pertanyen a l‟àmbit de les emocions
(fa sentir angoixa, passió, confusió, harmonia...).
b. La visió. És la diferència que es troba en mirar a primer cop d‟ull el
quadre. En aquells que pertanyen a la matemàtica com a eina hi ha una
tendència a “amagar” els elements matemàtics i camuflar-los perquè no
se sàpiga que han estat utilitzats. La raó és estètica: a la gent li agrada
més un quadre que representi la realitat que no pas un quadre que
representi formes matemàtiques. Com que els inspirats en les
matemàtiques no comparteixen aquest punt de vista estètic, ells sí que
empren una visió més lliure que els permet no amagar les
matemàtiques dins el quadre.
c. El perquè s‟utilitzen les matemàtiques per dur a terme la finalitat. Aquest
apartat és el més important i el més difícil d‟atribuir, perquè és el que
decanta cap a un grup o un altre el corrent artístic o l‟artista. Gràcies a
aquest punt s‟ha pogut estudiar una nova hipòtesis en aquest treball:
Existeix un terme mig entre les dues finalitats plantejades en tot el
treball de recerca.
Aquesta proposició va sorgir davant la gran problemàtica que es va tenir
amb dos corrents que no sabia ben bé on ubicar-los, el cubisme i l‟art
òptic. A l‟estudiar-los es va poder veure que tots dos corrents utilitzaven
les matemàtiques d‟una manera científica, sense entrar en l‟àmbit de les
emocions; pertanyien a l‟àmbit dels sentits, però no amb la finalitat
d‟agradar, sinó d‟innovar, sense donar importància als gustos de la
gent. A més, la seva visió de la matemàtica era pura, no intentaven
amagar-la dins els quadres, sinó que la mostraven obertament i per
últim, confiaven plenament en la matemàtica, però deixaven alhora un
lloc a la inspiració. Per això vaig arribar a la conclusió que existia un
terme mig que l‟anomeno “matemàtiques com a eina-inspiració”, ja que
per exemple en el cas del cubisme, el pintor ha sigut capaç de fer les
seves obres gràcies a la inspiració que té al veure els volums
geomètrics de la vida quotidiana, i a la vegada utilitza aquesta inspiració
com una eina rigorosa, freda i calculadora.
Així doncs, la classificació, juntament amb les seves característiques, de tots els
corrents artístics que han sigut treballats en aquest treball recerca és:
27
Diferències que pertanyen a ordres diferents o realitats diferents.
57
Matemàtiques com a eina
Matemàtiques com a eina inspirada
Matemàtiques com a inspiració
Renaixement Finalitat Sortir de la bidimensionalitat de l‟art gòtic i arribar a l‟equilibri i harmonia clàssica. Visió Elements matemàtics difícils de captar en les pintures. Els interessava representar figures reals. Perquè s‟utilitzen les matemàtiques Seguir les pautes de les escoles renaixentistes per aconseguir la perfecció.
Cubisme
Finalitat Innovar i trobar nous camins en l‟art. Visió Elements matemàtics palpables en les pintures i emprats amb rigor. Perquè s‟utilitzen les matemàtiques Matemàtica com a font de desenvolupament.
Abstracció lírica
Finalitat Despertar l‟emoció de l‟espectador Visió Elements matemàtics visibles però factors deixats a la inspiració (colors) Perquè s‟utilitzen les matemàtiques La matemàtica és l‟única que permet crear quadres equilibrats sense utilitzar figures reals. Influència de les noves troballes científiques.
Neoclàssic Finalitat Assolir la perfecció i harmonia clàssica. Visió Elements matemàtics difícils de captar en les pintures. Els interessava representar figures reals. Perquè s‟utilitzen les matemàtiques Seguir les pautes de les acadèmies per aconseguir favors, poder i clients.
Art òptic Finalitat Actualitzar l‟art. Visió Elements matemàtics palpables en les pintures i emprats amb rigor, seguint l‟alfabet plàstic. Perquè s‟utilitzen les matemàtiques Augment de la influència de la ciència en la societat.
Escher
Finalitat Aconseguir que la gent observi més enllà dels sentits, desenvolupar la capacitat racional. Visió Elements matemàtics meticulosos i palpables. Perquè s‟utilitzen les matemàtiques Gràficament, la matemàtica és l‟única que pot treballar la capacitat racional.
58
Bibliografia i webgrafia
Lectura d’una obra d’art:
Informació
- DONDIS,D.A. (2008), La sintaxis de la imagen.,20ª edició. Barcelona:
GGDiseño. - FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte.3ª edició.
Barcelona: Vicens-Vives . - MORA SÁNCHEZ J.A. La Geometría Dinámica para el análisis de obras de
arte [en línia]. http://jmora7.com/Arte/arte.htm [consulta: 14.6.2010]. - MARTÍN ARRILLAGA J. A través de un cuadro [en línia].
http://www.artecompo.com/entrada.html [consulta: 14.6.2010] Figures
- 2.1.1: ARTE Y MATEMATICAS, puntillismo, [en línia]. http://www.mediaciones.net/arteymatematicas/?p=841 [consulta: 14.6.2010]
- 2.1.2: F. GALAZ, Vasili Kandinsky, [en línia].
http://franchugalaz.blogspot.com/2010/05/cuando-el-pasado-no-se-ha-olvidado-se.html [consulta: 14.6.2010]
- 2.1.4 : MOMA, Vang gogh: The starring night, [en línia]. http://www.moma.org/collection/object.php?object_id=79802 [consulta:14.6.2010]
- 2.1.5: Font propia - 2.1.6: ESTEFAN, Perspectiva cónica, [en línia].
http://estefi16.wordpress.com/2007/05/16/perspectiva-conica/ [consulta: 14.6.2010]
- 2.1.7: ARTES VISUALES, claroscuro, [en linia]. http://artesvisualesi.blogspot.com/2008/10/claroscuro.html [consulta: 14.6.2010]
- 2.1.8 i 2.1.9: Font propia - 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 i 2.2.5: MORA SÁNCHEZ J.A. La Geometría Dinámica
para el análisis de obras de arte [en línia]. http://jmora7.com/Arte/arte.htm [consulta: 14.6.2010]
Renaixement:
Informació
- CONTI, F. (1984), Como reconocer el arte del Renacimiento. 2ª edició.
Barcelona: Editorial Médica y Técnica. - BLANCO LÓPEZ S. Renacimiento [en línia].
http://www.monografias.com/trabajos/renacim/renacim.shtml [consulta:17.6.2010].
- PORTAL TORRICES F.J. L’art del renaixement: El quattocento i el cinquecento [en línia]. http://www.portalamat.info/renaixement.htm [consulta: 18.6.2010]. Figures:
59
- 3.1.1: MNAC, Mare de Déu dels àngels [en línia]. http://art.mnac.cat/?&lang=ca
[consulta: 17.6.2010]
- 3.1.2: PALACIO PITTI, Madonna del gran duque [en línia].
http://www.palazzopitti.it/ [consulta17.6.2010]
- 3.1.3: MUSEO NACIONAL DEL PRADO, Adam i Eva [en línia].
http://www.museodelprado.es/ [consulta: 17.6.2010]
- 3.1.4 i 3.1.6: GALLERIA DEGLI UFFIZI, Naixement de Venus [en línia]. http://www.florenceart.it/booking/?google-uffizi-rete-ricerca-2 [17.6.2010]
- 3.1.5 i 3.1.9: MUSEU DEL LOUVRE, Sant Sebastià [en línia]. http://www.louvre.fr/llv/commun/home.jsp. [18.6.2010]
- 3.1.7: PINACOTECA DI BRERA, El Crist mort [en línia]. http://www.brera.beniculturali.it/ [18.6.2010]
- 3.1.8 i 3.2.1: PALAZZO DUCALE DI UYRBINO NATIONAL GALLERY OF MARCHE, Vista de la ciutat ideal [en línia].
http://www.galleriaborghese.it/nuove/einfourbino.html [18.6.2010] - 3.1.10: MUSEU CHANTILLY, Les tres gràcies [en línea].
http://www.chateaudechantilly.com/fr/ [18.6.2010] - 3.2.2 i 3.2.3: Font pròpia
Neoclàssic:
Informació
- FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte.3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives
- ENCICLOPEDIA ITAÚ CULTURAL ARTES VISUALES. Academicismo [en
línia]. http://www.itaucultural.org.br/aplicexternas/enciclopedia_ic/index.cfm?fuseaction=termos_texto_esp&cd_verbete=4927 [consulta:9.7.2010].
- EL PODER DE LA PALABRA. Jacques Louis David [en línia]. http://www.epdlp.com/pintor.php?id=226 [consulta:13.7.2010].
- DE LAMO J. Història Contemporània [en línia].
http://socialsescolapies.blogspot.com/ [consulta:13.7.2010].
- SANGUINO ARIAS L. Ingres [en línia]. http://www.artehistoria.jcyl.es/genios/pintores/2288.htm [consulta: 23.8.2010]
- SANGUINO ARIAS L. Bañista de Valpinçon [en línia]. http://www.artehistoria.jcyl.es/genios/cuadros/2210.htm [consulta: 23.8.2010] Figures:
- 4.2.1, 4.3.1 i 4.3.2: MUSEU DEL LOUVRE, Jurament dels Horacis [en línia]. http://www.louvre.fr/llv/commun/home.jsp. [13.7.2010]
- 4.3.3: MUSEU ORSAY, la Font [en línia]. http://www.musee-orsay.fr/ [consulta:
23.8.2010] - 4.3.4, 4.4.1 i 4.4.2: font pròpia
Cubisme:
Informació:
60
- FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte. 3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives.
- ARTE EN LA GUÍA 2000. Cubismo (I)i (II) [en línia]. http://arte.laguia2000.com/pintura/el-cubismo-i [consulta: 25.8.2010]
- ARTE EN LA GUÍA 2000. Los tres músicos [en línia].
http://arte.laguia2000.com/pintura/los-tres-musicos-de-picasso [consulta:
26.8.2010]
- CAMPÀS MONTANER J. George Braque: casas en l’Estaque [en línia].
http://cv.uoc.edu/~04_999_01_u07/percepcions/perc106a.html
[consulta:26.8.2010]
Figures:
- 5.2.1: MUSEU THYSSEN BORNEMISZA, La guitarra [en línia]. http://www.museothyssen.org/en/thyssen/home [26.8.2010]
- 5.2.2 i 5.3.1: font pròpia
- 5.2.3: KUNSTMUSEUM, Cases en l’estaque [en línia].
http://www.kunstmuseumbasel.ch/ [26.8.2010]
- 5.2.4: MOMA, The three musicians [en línia]. http://www.moma.org/collection/object.php?object_id=79802 [consulta:26.8.2010]
- 5.3.1: Font pròpia
Abstracció:
Informació:
- FERNÁNDEZ,A.; BARNECHEA,E.; HARO,J. (1992), Historia del arte.3ª edició. Barcelona: Vicens-Vives.
- ENCICLOPEDIA LIBRE UNIVERSAL EN ESPAÑOL. Arte abstracto [en línia].
http://enciclopedia.us.es/index.php/Arte_abstracto [consulta: 31.8.2010] - CIUDAD DE LA PINTURA. La mayor pinacoteca virtual [en línia].
http://pintura.aut.org/SearchAutor?Autnum=11.083 [consulta: 31.8.2010]. - EL PODER DE LA PALABRA. Paul Klee [en línia].
http://www.epdlp.com/pintor.php?id=284 [consulta:1.9.2010].
- FRATICOLA P. Image and art: Piet Mondrian [en línia].
http://www.imageandart.com/tutoriales/biografias/mondrian.htm
[consulta:2.9.2010].
Figures:
- 6.2.1: MUSEU THYSSEN BORNEMISZA, Murnau. La sortida de la
Johannistrasse [en línia]. http://www.museothyssen.org/en/thyssen/home
[consulta: 31.8.2010]
- 6.2.2: GUGGENHEIM MUSEUM, Composition VIII [en línia].
http://www.guggenheim.org/new-york [consulta: 31.8.2010]
- 6.2.3, 6.2.4 i 6.3.3: MOMA, pastoral (ritme) [en línia]. http://www.moma.org/collection/object.php?object_id=79802 [consulta:1.9.2010]
- 6.3.1: GEMEENTE MUSEUM, Composició en groc, vermell, blau i negre [en
61
línia]. http://www.gemeentemuseum.nl/index.php?id=1&langId=en [1.9.2010] - 6.3.2: KUNSTSAMMLUNG NDW, línia transversal [en línia].
http://www.kunstsammlung.de/ [consulta: 1.9.2010] - 6.4.1,6.4.2, 6.4.3 i 6.4.4: Font pròpia.
Escher:
Informació:
- SIBILA, M.E.; RUIZ LACARCEL, J. M.C.Escher [en línia] http://personal.telefonica.terra.es/web/jack/escher/escher.htm [consulta: 3.9.2010]
- MORA PARDO, M. Matemáticas y Escher [en línia]
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0224-02/part.html [consulta:
3.9.2010]
- ESCHER,M.C. (2002) Estampes i dibuixos (sèrie menor). 1ª edició. Barcelona:
Taschen Benedikt.
Figures:
- 7.1.1, 7.1.2, 7.1.7, 7.1.12, 7.1.13 i 7.1.14: ESCHER IN HET PALEIS, three worlds [en línia].http://www.escherinhetpaleis.nl/ [consulta: 3.9.2010]
- 7.1.3, 7.1.4, 7.1.5 i 7.1.6: MORA SÁNCHEZ, J.A., M.C. Escher. 1943. Boceto
para Reptiles. [en línia]. http://jmora7.com/Arte/arte.htm [consulta: 3.9.2010]
- 7.1.8, 7.1.9, 7.1.10, 7.1.11, 7.1.15, 7.2.1 i 7.2.2: font pròpia
Art òptic:
Informació:
- MY OPERA. Arte òptico [en línia]. http://my.opera.com/enlacesatspace/blog/2007/03/14/arte-optico [consulta:17.10.2010].
- VASARELY M. Vasarely, the official artist web site [en línia]. http://www.vasarely.com/site/site.htm [consulta: 24.9.2010].
- BIOGRAFÍA Y VIDAS. Victor Vasarely [en línia]. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/v/vasarely.htm [consulta: 21.11.2010].
- LIMBOSTARR. Vasarely [en línia]. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/v/vasarely.htm [consulta:17.10.2010].
- HEMENWAY, P. (2008) El código secreto. La misteriosa fórmula que rige el arte, la naturaleza y la ciencia. 1ª edició. Köln: Evergreen. LocTeam, Barcelona.
Figures:
- 8.1.1: MOMA, temple del groc radiant [en línia]. http://www.moma.org/collection/object.php?object_id=79802 [consulta: 17.10.2010]
- 8.2.1, 8.2.2: VASARELY MUZÉUM, Deuton-A [en línea]. http://www.vasarely.tvn.hu/ [consulta: 17.10.2010]
- 8.2.3, 8.2.4, 8.2.5, 8.2.6, 8.2.7, 8.2.8, 8.2.9 i 8.3.3: VASARELY M. Vasarely, the official artist web site [en línia]. http://www.vasarely.com/site/site.htm
[consulta: 24.9.2010]. - 8.3.1 i 8.3.2: Font pròpia
62
63
