La Frontera Bekenstein y el Principio Holográfico Como Fundamento de

Algunas Bases para la Geometría Hiper-Dimensional del Multiverso

Citas

“He creado un mundo nuevo y diferente de la nada”

(János Bolyai, carta a su padre acerca de sus hallazgos teóricos en “geometrías curvas no-euclidianas”)

“No me sorprende, ni entiendo porqué me felicita... Sabía que la medida sería exacta: Las ecuaciones son hermosas”

(Albert Einstein, respuesta a un periodista en ocasión de la comprobación por observación astronómica fina de la

desviación del perihelio de la órbita de Mercurio predicha por su Teoría General de la Relatividad)

“A lo largo de espacio hay energía. ... es una mera cuestión de

tiempo hasta que los hombres tengan éxito en sus mecanismos vinculados al aprovechamiento de esa energía”

(Nikola Tesla)

“Que ningún ignorante en Geometría cruce el umbral de esta Academia... La Geometría es la Ciencia de Lo que Siempre Es”

(Platón)

Índice

I

Introducción, Conceptos Elementales sobre Geometría y Física Hiperdimensional: Una

breve Historia de la “Ciencia Hiperdimensional”

II

Las implicaciones de la Frontera Bekenstein y el Principio Holográfico en términos del Nuevo

Paradigma Hiperdimensional del Multiverso emergente a la luz de la Teoría M de

Supercuerdas y la de Bucles Gravitatorios Generalizada o N-Dimensional

III

Teorema Schreiber de la Selectividad Hiperdimensional. Corolarios del Teorema

IV

Teorema Schreiber de la “Paradoja” por Doble Equivalencia entre el Multiverso Macroscópico

N-Dimensional, la “Nada Adimensional” y el “Cosmos Fractal”. Corolario del Teorema

V

Conclusiones y Reflexiones

VI

Dedicatorias y Agradecimientos

VII

Bibliografía y Referencias

I

Introducción, Conceptos Elementales sobre Geometría y Física Hiperdimensional: Una

breve Historia de la “Ciencia Hiperdimensional”

Aunque el concepto abstracto y ciertos procedimientos supuestamente empíricos o instrumentales de “acceso”, “visión psíquica”, “comunicación” e incluso “transporte” a otros posibles Universos “Alternos” o “Paralelos” de diverso Nivel Dimensional que el nuestro – tanto superior como inferior –, se hallan impresos en los arquetipos o “memes maestros” del Inconsciente Colectivo y la Cultura humana desde tiempos ancestrales, su “abordaje” tanto especulativo como hipotéticamente “práctico” se encuadró durante milenios en el campo de la Magia – tanto “natural” como “ritual” y “ceremonial” –, la Filosofía “Metafísica” o la Mística/Teología

religiosa.

Sin embargo, desde el último tercio del siglo XIX hasta la actualidad, tan fascinante, trascendental y excitante tema “saltó” por fin a la esfera racional y científica, primero en el ámbito de las Matemáticas “puras” y unas décadas más tarde en el de la Física Teórica.

Y no solo eso: Pronto cautivó el interés e imaginación de las masas a través de la lectura de algunas excelentes obras divulgativas, relatos, novelas y después películas, reportajes, series de TV, simulaciones de ordenador, webs y blogs en Internet, por ese orden.

Todo se inició en el “sancta santorum” de las más imaginativas, creativas e inteligentes mentes de los matemáticos de vanguardia, como suele ocurrir con los grandes progresos del Conocimiento: En los decenios finales del siglo XIX, una doble revolución algebraico-geométrica analítica cambió para siempre el modo de concebir el espacio desde un punto de vista matemático: El desarrollo de las geometrías no-euclidianas o “curvas”, y el de la hipergeometría analítica o álgebra hiperdimensional diferencial; Ambos generalizaron la Geometría Analítica “hija de Descartes” – que ya había formalizado cuantitativa y algebraicamente la anciana Geometría Euclidiana Clásica –, pero limitada como ella al marco monodimensional o lineal (N=1), el plano o bidimensional (N=2) y el espacial o tridimensional (N=3) como máximo.

Tratemos de esbozar breve y simplemente estos logros.

Nociones Elementales de Hipergeometría Espacial Euclidiana (Espacios No-Curvos)

Consideremos un punto, o “Dimensión Cero” (N=0): Si lo desplazamos idealmente a izquierda y derecha, obtenemos su “desarrollo superior bidimensional o lineal”, su equivalente en un espacio unidimensional, una recta o “segmento lineal” si acotamos su longitud o “extensión espacial”, (N=1); Obviamente, si ahora volvemos a desplazar este línea además en los dos sentidos de un nuevo eje o dimensión adicional perpendicular a la primera, generamos un espacio plano, o una figura limitada plana (polígono), si unimos mediante aristas o “lados” varios de esos puntos “doblemente desplazados” a la par, cual el cuadrado; Pero cuando tomamos esas figuras o polígonos planos y los desplazamos o “elevamos” a su vez en una nueva dimensión o eje (la “altura” en sus dos sentidos, lograremos desarrollar “cuerpos geométricos tridimensionales” (poliedros) en un “espacio de tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares”, u “ortogonal”, como el cubo; Asimismo, podemos llevar a cabo estas dos últimas operaciones eligiendo un eje unidimensional (radio) y la orientación angular respecto a los dos ejes perpendiculares “horizontal” y “vertical”, produciendo un espacio plano en coordenadas circulares (polares), o bien un radio y dos ángulos de orientación (latitud y longitud), representando entonces un espacio tridimensional esférico (coordenadas polares en tres dimensiones, en adelante “3D”); Igualmente, es factible hacerlo en “coordenadas cilíndricas”, “cónicas” o de cualquier simetría útil en cada caso o aplicación puramente matemática, ingenieril, física o químico-molecular, entre otras.

Todo esto era ya bien conocido desde las primeras Civilizaciones antiguas y fue sistematizado por sabios griegos, destacando en ello Euclides, Tales, Pitágoras y Platón; Posteriormente, el matemático, filósofo, físico, inventor y fisiólogo francés René Descartes, en el siglo XVII, le le confirió un tratamiento algebraico riguroso y formal, “traduciendo en ecuaciones la Geometría Euclidiana”: Así nació la “Geometría

Analítica o Cartesiana”, de inmenso impacto, importancia decisiva y gigantesca utilidad en todos los campos científicos en general y en la por entonces “Nueva Física Newtoniana” en particular.

Pues bien, nada esencial impide seguir desarrollando estos “cuerpos o poliedros” tridimensionales desplazando cada uno de sus elementos sobre los dos sentidos de una cuarta dirección o “eje”, produciendo así un “hiper-cuerpo o hiper-poliedro cuatridimensional”: Por ejemplo, un hipercubo o “cubo 4D” (también llamado “teseracto”), o una hiperesfera, en el seno de un teórico espacio de cuatro dimensiones espaciales.

Ilustremos esto gráficamente:

(Fig. 1)

Donde X, Y, Z son los tres ejes tridimensionales “ordinarios” directamente perceptibles o medibles en nuestro Universo, y W el “cuarto eje direccional” perpendicular a la par a estos en un supuesto “espacio o Universo espacialmente tetradimensional”.Visualicemos ahora mediante simuladores gráficos de ordenador este “hipercubo 4D” o “teseracto” en perspectiva o proyección ortogonal – como en el esquema que acabamos de plasmar –, pero con mayor detalle:

(Fig. 2)

O bien, desde otras perspectivas conseguidas “girando” la misma figura:

(Fig. 3)

(Fig. 4)

Y así sucesivamente...

Por otra parte, estas y otras semejantes no son sino proyecciones de proyecciones o “sombras de sombras” de un objeto 4D en 2D (la hoja o el monitor): Si queremos hacernos mejor idea de lo que sería su “sombra simple” proyectada de 4D a 3D, hemos de “desplegar” el hipercubo en sus 24 “caras tridimensionales” y luego “cerrarlo”, de modo análogo a como mediante recortables en el colegio de Primaria todos desplegamos o “desarrollamos” un cubo en sus 6 caras planas cuadradas para a continuación “elevarlo” y “cerrarlo” en tres dimensiones, limitando un volumen:

Desarrollo de un Cubo

(Fig. 5)

Desarrollo de un Hipercubo o “Cubo 4D”

(Fig. 6)

Una maqueta en cartulina u otro material cualquiera del dibujo de esta última figura materializa la “sombra o proyección de un hipercubo 4D o teseracto en nuestro espacio 3D”: Desgraciadamente, no podemos “cerrarlo” físicamente en un hipervolumen, porque nuestro mundo macroscópico, y dentro de él nuestro organismo, cerebro y percepciones se hallan habitualmente “encerrados” en un espacio tridimensional, si bien ahora sabemos que muy probablemente el Universo posea un mínimo de 4 y un máximo de 10 dimensiones espaciales, tres de ellas “desplegadas o desarrolladas”, todas las restantes “comprimidas” a escala ultramicroscópica. Pero eso lo expondremos más adelante, en el capítulo de la “Física Hiperdimensional”.

Este “desarrollo 3D del teseracto” fue utilizado por el genial pintor surrealista español Salvador Dalí en su maravilloso cuadro sobre la crucifixión de Cristo, por razones profundamente simbólico-teológicas y a la vez “hipedimensionalmente científicas”. Por esto se le conoce asimismo como “el hipercubo de Dalí”.

En cuanto a una hiperesfera 4D, su “sombra de sombra” o proyección más sencilla en 2D, dotando teóricamente de “hipervolumen” o un tercer ángulo de variación a una esfera 3D, se nos muestra así, otra vez gracias al poder de nuestros actuales algoritmos o programas gráficos informáticos:

(Fig. 7)

En cuanto a sus respectivos desarrollos:

Desarrollo de una esfera (3D) por giro o revolución de un semicírculo (2D)

(Fig. 8)

(Fig. 9)

(Fig. 10)

Desarrollos de una hiperesfera 4D por giro de una esfera respecto a un cuarto eje perpendicular a los otros tres, desde

dos perspectivas u orientaciones

Como antes, una “maqueta tridimensional” de este esquema equivale a la “sombra simple” o proyección de una hiperesfera 4D sobre nuestro espacio o “Universo” 3D.

De forma parecida, podríamos repetir este proceso para otras figuras geométricas: Prismas, cilindros, conos, toros, toroides, pirámides... Pero no lo haremos, porque los dibujos de “sombras de sombras” se distorsionan mucho cuando los cuerpos o hipercuerpos presentan menor simetría o – lo que es lo mismo – mayor número de elementos diversos (lados, caras, superficies, vértices...), y no aporta nada sustancial a la exposición o comprensión del asunto.

El hecho de que todas estas formas o “cuerpos” hipergeométricos no puedan ser visualizados o “moldeados” físicamente por nuestra mente y nuestras “manos” tridimensionalmente restringidas no preocupó ni preocupa apenas a los matemáticos, porque en cuanto las herramientas cartesianas de la Geometría Analítica – el Álgebra, Topología y Geometría Vectorial – se hallaron lo bastante desarrolladas en el tramo final del decimonoveno siglo de nuestra Era, las ecuaciones podían describir perfectamente tales entes ideales, sin necesidad de trazarlos en un plano o “esculpirlos” en el espacio.

Y, por supuesto, dicha generalización algebraica no se demoró en extenderse a 5, 6, 7.... hasta N dimensiones, sin problemas formales algunos, excepto el de nuestra tosca y constreñida percepción/imaginación espacial.

Por ejemplo, algunas imágenes o “sombras de sombras de sombras” de un hipercubo 5D, generados mediante la “elevación” de un teseracto por un quinto eje perpendicular a los otros cuatro (M), denominado “penteracto”, serían:

(Fig. 11)

(Fig. 12)

(Fig. 13)

“Escalando” de esta manera a números dimensionales cada vez mayores, es curioso “observar” la proyección ortogonal o “sombra de orden 7” de un “decaracto”, o hipercubo de diez dimensiones, el número máximo de ellos que la Teoría M de Supercuerdas asigna al Multiverso... Si todas ellas se encontrasen “extendidas” o “desplegadas”, dicha proyección resultaría algo como:

(Fig. 14)

Nos abstenemos de reflejar otras perspectivas u orientaciones, con el propósito de no marear al ojo y al cerebro más de lo aconsejable para la salud óptica y psíquica.

Un esbozo similar de una hiperesfera 5D – “creada” por rotación de una hiper-semiesfera 4D en torno a un quinto eje ortogonal a los restantes –, es graficado a través de los programas de ordenador según las ecuaciones analíticas correspondientes cual:

(Fig. 15)

Y una hiperesfera 10D:

(Fig. 16)

Como es patente, el nivel de deformación o distorsión sufrido por cada “proyección de proyección” sucesiva a nuestros pobres soportes de 2D o 3D crece exponencialmente.

Aun cuando esto le importa un rábano a las ecuaciones de geometría analítica implicadas.

Por ejemplo, la ecuación de un círculo de radio R centrado en cualquier sistema de referencia u origen de coordenadas planas (0,0) para N=2 es:

x2 + y2 = R2

(Ec. 1)

Por tanto, la de una esfera tridimensional de análogo centro en (0, 0, 0) y radio (N=3):

x2 + y2 + z2 = R2

(Ec. 2)

Y, en general, para una hipersfera ND, en un espacio N-Dimensional cuyos puntos vienen dados por N coordenadas cada uno, que denotaremos: (x1, x2, x3, x4, … , xN), se verifica:

x12 + x2

2 + x32 + x4

2 + … + xN2 = R

(Ec. 3)

Y lo mismo ocurre para los distintos otros elementos básicos de la geometría, cuales ecuaciones de rectas o direcciones de los lados de un polígono o poliedro, distancias entre puntos (a medida de sus segmentos o del radio de una esfera), intersección entre dos rectas (vértices), ángulos entre dos rectas o lados, etc, etc.

Gracias a ello, somos capaces de escribir las ecuaciones

analíticas y graficar al menos distorsionadamente las proyecciones de los objetos geométricos hiperdimensionales, tal cual hemos mostrado sucintamente. Por más que no logremos “visualizarlos real o perceptivamente” en nuestra limitada y tosca mente “encarcelada” en 3D.

Fundamentos de Geometrías No-Euclidianas: “Cuando el espacio se curva...”

Todo lo visto hasta ahora presupone que – por más alto que pueda llegar a ser el Nº Dimensional N – el espacio y los elementos o entes geométricos en su seno definidos obedecen a la “Geometría Clásica” o Euclidiana – también llamada “recta” o “plana” –, basada en que una mínima distancia entre dos puntos es recta o lineal y en el carácter de perpendicularidad entre el menor segmento que corta a la vez dos líneas rectas paralelas, axiomas que conducen a su vez a demostrar Teoremas Fundamentales cuales el de la Suma de Ángulos de un Triángulo cualquiera es igual a 180º, el de Semejanza de Triángulos de Tales o el de Pitágoras: “Para todo triángulo rectángulo, su hipotenusa o lado mayor al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus dos catetos o lados menores”.

En verdad, desde la actual perspectiva mucho más amplia de las “nuevas hipergeometrías diferenciales”, el Primer Axioma o “Axioma Cero” implícito en la Geometría de Euclides es suponer que el “retículo coordenado” o “malla de líneas geodésicas entrecruzadas” que trama el “tejido ideal del espacio” es lineal (recto) o “plano” en el sentido de “liso”,aun siendo tridimensional, semejante a la imagen de una finísima red tupida de cuadrículas rectas y rígidas infinitamente

delgadas.

Un “Universo” así es espacialmente tridimensional pero de curvatura K = 0, o “Plano” en el aspecto esencial descrito.

Sin embargo, a lo largo del siglo XIX, una serie de genios matemáticos propondrían la existencia lógica y auto-coherente de otras Geometrías alternativas, para las cuales el entramado geodésico coordenado del espacio es sustancialmente “curvo” o “deformable”, “elástico”, por así decir: Así, se deduce una Geometría Hiperbólica o “de Curvatura Abierta” (K<0), y otra “Esférica, Esferoidal, Elíptica o en general de Curvatura Cerrada” (K>0), entre otras más “exóticas” todavía como las de tipo toroidal variable o derivadas de las “Cintas de Moebius o Möbius”, que no trataremos aquí para mantener ciertas dosis de sencillez.

El “padre” de las Geometrías No-Euclídeas fue el espléndido matemático, físico, además de sobresaliente gestor académico y extraordinario divulgador ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856), de origen humilde, carácter en extremo serio, trabajador y dotado de la rara combinación de virtudes del más audaz creativo innovador, el estudioso constante y el trabajador de tesón infatigable: Vivió casi todos sus años sobre este mundo en la ciudad de Kazán, en cuya Universidad se graduó, doctoró en ambas especialidades científicas y consiguió los cargos de decano y luego rector por 19 años.

La Génesis de la Geometría Hiperbólica: El “Dilema del Quinto Postulado de Euclides”, o cuando el “cuasi-logro” de un refinado jesuita italiano, Saccheri”, es resuelto por un

modesto descendiente de campesinos eslavos, Lobachevski

En su magna y famosísima obra “Elementos de Geometría”, el

sabio griego Euclides sustenta todo el colosal, imponente y elegante edificio de su geometría deductiva en Axiomas como los ya indicados y otros de semejante índole, “aparentemente evidentes a la razón por intuición directa”, a los que añade otros cinco “supuestos previos” o “certezas a priori”, los que reconoce no son “obvios al entendimiento ni la percepción racional”, aun cuando sí “razonables y por tanto asumibles pues, en caso contrario, conducirían a inconsistencias con evidencias geométricas indubitables...”. Por eso los denominó “Postulados”, pues se “postula o pide aceptarlos” apoyándose en que “fundamentan demostraciones claras y obvias, por más que ellos mismos no sean de evidente verdad – a diferencia de los Axiomas –, ni propiamente demostrables a modo de las deducciones o Teoremas”.

Estos Postulados de Euclides son:

1

Dos puntos cualquiera se encuentran unidos por un único segmento lineal

2

Cualquier segmento lineal prolongado indefinidamente genera una única recta “infinita” en su misma dirección lineal

3

Un punto cualquier (centro) y una distancia cualquiera (radio), definen una única circunferencia, círculo plano o esfera en el

espacio

4

Todos los ángulos rectos definidos por el cruce entre dos rectas o direcciones lineales perpendiculares son idénticos

entre sí

5

Cuando una recta dada al incidir sobre otras dos rectas produce ángulos internos inferiores a dos rectos, esas dos

rectas prolongadas hasta el infinito se cruzarán en el lado en el que se hallan los ángulos menores que dos rectos; O bien,

más simplemente: Por un punto externo a una recta cualquiera, solo se puede trazar o definir una única recta

paralela

“Salta a la vista” – nunca mejor dicho – que los primeros cuatro Postulados sí son al menos perceptiva y sensiblemente “obvios a la Razón”, pero no así el Quinto, tan “artificioso” que “se pasa en su acción de pedirnos concederle certeza inmediata”..., o por así decirlo “postula o pide demasiado”...

Por esta causa, generaciones y generaciones de matemáticos, geómetras y filósofos desde la Grecia Clásica hasta principios del siglo XIX se estrujaron los sesos intentando demostrarlo cual un Teorema, para de esta manera “limpiar de tan fea mancha” el “soberbio templo racional e impoluto de la Geometría Euclidiana”...

Sin resultado alguno digno de mención.

En su último y magnífico si bien a la vez fallido trabajo Euclides ab omni naevo vindicatu, publicado justo tras su muerte en 1773, el matemático italiano de elevado origen burgués familiar , así como destacado miembro de la Orden Jesuita Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733), aborda el “Dilema

del Quinto de Euclides”, mediante un nuevo y renovador enfoque, tan brillante cual original e inédito hasta la fecha:Sospechando con gran acierto e inteligencia que las “aparentes paradojas” como la planteada por este problema no son tales, sino “falsas contradicciones”, se propuso resolver el dilema aplicando no un método directo deductivo, lo que había fracasado repetidamente en todos los intentos anteriores, sino utilizando el procedimiento lógico indirecto o de “reducción al absurdo”: De esta forma, Saccheri parte de negar el Quinto Postulado, razonando desde este supuesto hasta llegar a una contradicción lógico-matemática o formal-geométrica patente y evidente, lo que demostraría que la tesis contraria – es decir, la verdad del Postulado – ha de ser necesariamente correcta o “cierta”.Con este fin, usa un singular objeto geométrico llamado “cuadrilátero birrectángulo de Saccheri”, en rigor un rectángulo mixtilíneo con el lado paralelo a la base sustituido por una línea curva cóncava o convexa:

(Fig. 17)

Esta figura implica asumir como hipótesis que pueden trazarse más de una paralela o ninguna a otra determinada – la base – por los puntos exteriores que trazan el lado curvo superior; Pero en el caso de la opción “obtusa” (ángulos superiores mayores a 90º, dibujo al extremo derecho), conlleva enseguida

a que en su diagrama equivalente de una recta que corta a otras dos los ángulos de corte o incidencia sean mayores a dos rectos, lo que es una contradicción inmediata, descartando entonces dicha posibilidad con rapidez; Satisfecho – pues ya creía haber emprendido el camino correcto para “vindicar a Euclides definitivamente” –, el investigador planteó después la “hipótesis aguda” (ángulos superiores menores a 90º, dibujo al extremo izquierdo): Desarrollando la geometría analítica de la misma, el insigne matemático no consigue observar ninguna deducción contradictoria, pues los ángulos de corte en cuestión siguen permaneciendo más pequeños que dos rectos, pero en cambio ve desplegarse ante sí – pasmado – toda una “nueva geometría no-euclidiana de curvatura positiva o hiperbólica”, en la cual hay infinitas rectas paralelas posibles que pasan por un punto exterior a otra recta cualquiera, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre inferior a 180º, el perímetro de una circunferencia es superior y no igual a π, y el cuadrado de la hipotenusa de todo triángulo rectángulo es invariablemente más grande que la suma de los cuadrados de sus catetos... ¡Una nueva geometría curva abierta, auto-consistente, aunque no-euclidiana!Sobrecogido y aterrorizado – porque no llega a deducción contradictoria alguna – Saccheri, temeroso de que la mera posibilidad intelectual de un “espacio alternativo curvo que desafía a Euclides merme la Fe en la Armonía y Coherencia Racional de Dios”, abandona su excelentísimo estudio, refugiándose en la consoladora y pueril conclusión final de que “este desarrollo a partir de la hipótesis aguda es asimismo imposible, pues repugna a la naturaleza de la línea recta, por lo que ha de ser absolutamente falsa”... Con ello, se auto-engaña, proclamando en su texto haber así “probado” la veracidad del Quinto de Euclides y resuelto para siempre el “dilema de las paralelas”...

Una verdadera pena: Su miedo por apego a viejos “memes

virales caducos” nubló su genial razón, haciéndole perder la soberbia oportunidad de ser recordado como el padre de la Geometría Curva o No-Euclídea, quedando reducido a una modesta nota a pie de página cual “brillante pero no lo suficientemente atrevido e intelectualmente honrado precursor”...

Al final, tristemente, fue más religioso que matemático.

Su labor fue – en contraste – osada y excelentemente culminada por el innovador, valiente y esforzado descendiente de campesinos pobres ruso Lobachevski, publicando un resumen de su riguroso y completo análisis del “cuadrilátero birrectángulo agudo de Saccheri” en 1826, a través de una célebre conferencia impartida en su Universidad. Más tarde, lo divulgó en la revista El Mensajero de Kazán, escribiendo luego tres extensos, completos y admirables tratados al respecto: “Nuevos Fundamentos de la Geometría” (redactado en ruso), “Investigaciones Geométricas Sobre Las Paralelas” (en alemán), y “Pangeometría” (en francés).

Extensión y Generalización de las Geometrías Curvas No-Euclidianas: Un poderoso catedrático alemán (Gauss) y un

aficionado magiar de noble estirpe (Bolyai)

Entretanto, aparece en escena uno de los personajes más relucientes, innovadores e intelectualmente potentes de la Historia de las Matemáticas, la Geometría y la Física, además de más que notable astrónomo: El germano Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Otro genio de humilde cuna, pero cuyo precoz talento infantil le valió ser “adoptado intelectualmente” como protegido por un mecenas tan activo como el duque Wilhelm Ferdinand, bajo cuyo patrocinio inicia sus estudios superiores de Matemáticas en la Universidad de Gotinga en 1795; Su carrera a partir de entonces es fulgurante

y arrolladora, no tardando en convertirlo en un célebre, influyente y aclamado investigador, profesor y catedrático respetado y reverenciado por todos los sabios de Europa: A los 19 años demuestra que es posible dibujar un polígono regular de 17 lados mediante regla y compás; Desde este primer logro hasta los 21 años elabora su obra “Disqusitiones Arithmeticae”, monumental compendio animado además por notorias aportaciones al Cálculo, la Geometría Diferencial y la Teoría de los Números, cuya edición le hace ingresar en el más selecto círculo de los matemáticos reconocidos de su tiempo; Poco más adelante, se hace famoso por calcular la órbita del por entonces recién descubierto planetoide Ceres, empleando el método de mínimos cuadrados; En 1807, obtiene la cátedra de Astronomía por la Universidad de Gotinga, y es nombrado director del Observatorio de esa misma ciudad; Exploró siempre con sobresaliente éxito muy diferentes campos de las Ciencias matemáticas y físicas: Álgebra, teoría numérica, geometría diferencial, geometrías no-euclídeas, geodesia, astronomía, análisis matemático, estadística (la célebre “Campana de Gauss”), teoría de errores, magnetismo, óptica, electricidad (“Teorema de Gauss” para los Flujos de los Campos Centrales de Cuadrado Inverso, como el gravitatorio y el electrostático).En justo homenaje a todo ello, el rey Jorge V de Hannover le otorgó el título honorífico de “Príncipe de los Matemáticos”, y ordenó acuñar unas series de monedas con la efigie del reputado científico y dicha leyenda grabadas en sus superficies.

Dentro del terreno que ocupa este ensayo, la importancia decisiva de Gauss radica en ser el “padre fundador de la Geometría Diferencial”, rama de la Geometría Analítica que aplica el Cálculo Diferencial e Integral al estudio y descripción sistemático y generalizado de las curvas y superficies dentro del marco de la Geometría del espacio euclídeo tridimensional.

Ya desde Newton y Leibniz se usaba el Cálculo para la definición cuantitativa y analítica exacta de las curvas, y con posterioridad fue ampliado al estudio de algunas superficies por Euler y Monge: Pero fue Gauss quien generalizó y sistematizó de modo riguroso y formal tal extensión.En su “Disquisitiones...” establece un novedoso procedimiento para ello, definiendo a las superficies como espacios geométricos en sí mismos, formulados a través de coordenadas (x1, x2), a las que denominó “coordenadas locales de superficie”, en lugar de considerarlas cual simples “fronteras” entre los objetos tridimensionales, tal y como se había hecho hasta la fecha. De esta guisa, el enfoque de la Geometría Clásica describiendo el plano o el espacio como un todo era reemplazado por una visión centrada en las propiedades topológicas específicas de cada curva y superficie, formalizadas a modo de “subespacios geométricos o vectoriales locales”.En esta resolutiva obra, el joven genio de Gauss usa por vez primera el concepto de orientación de una superficie S, determinada por el vector elemental dS n normal o perpendicular a esa superficie en cada punto. Esta potente herramienta matemática permite medir la curvatura de la superficie calculando sencillamente cómo varía la dirección y/o sentido de ese vector normal en el entorno de cada punto de ella.

Gauss definió así dos parámetros de curvatura: K (Curvatura de Gauss, o variación “instantánea” en cada punto), y H (Curvatura Media, o variación finita promedio entre dos puntos arbitrariamente distantes sobre esta); Su desarrollo prueba que la primera es una propiedad “geométricamente intrínseca” o local para una superficie dada – enunciado de su conocido “Teorema Egregio de Gauss” –, mientras que la segunda no, es “extrínseca”, pues depende en parte de la relación de toda la superficie globalmente considerada con el

resto del espacio tridimensional o los objetos “vecinos” que este también alberga; Introdujo asimismo las “líneas curvas del entramado coordenado entre puntos siguiendo la superficie” o “líneas geodésicas de longitud mínima” (equivalentes a las rectas que unen dos o más puntos alineados en la Geometría de “Curvatura Cero” Euclidiana.Aplicando esta “revolucionaria Geometría Superficial Curva”, llegó a resultados o Teoremas de sumo interés, como:

Teorema de Gauss del Triángulo Geodésico

“Cualquier triángulo formado por la intersección de tres líneas de arco geodésicas sobre una superficie curva presenta

sendos ángulos internos cuya suma se desvía de su valor para el triángulo plano correspondiente limitado por rectas – π o

180º – en una medida cuantitativa directamente proporcional en módulo (valor numérico) y sentido (signo) a la Curvatura de

Gauss de dicha superficie en su entorno local”

De manera gráfica:

(Fig. 18)

En términos matemáticos:

∫ K dS = θ1 + θ2 + θ3 – π

(Ec. 4)

Por tanto, cabe deducir la existencia de tres tipos básicos generales de “curvaturas/geometrías locales en espacios tridimensionales”:

Geometrías Planas, Euclídeas

Curvatura de Gauss Nula, K = 0

Cumplen todos los Postulados de Euclides, incluyendo el 5 – por lo cual tan solo existe una única recta paralela a otra

cualquiera que pase por un punto exterior a la segunda –, así como los Teoremas de ellos derivados, por ejemplo, el de

Pitágoras; La suma interna de ángulos de cualquier triángulo definido en sus superficies es 180º:

(Fig. 19)

Geometría Convexa, Curva Abierta o Hiperbólica

Curvatura de Gauss Negativa, K < 0

Cumple los Postulados 1-4 de Gauss; El Postulado 5 se modifica, pues podemos trazar o definir “infinitas” líneas

geodésicas de idénticas curvaturas en cada punto – análogas a rectas paralelas euclídeas – a otra cualquiera dada por un punto exterior a esta última; La suma de los ángulos internos

de cualquier “triángulo geodésico” es menor a 180º; El cuadrado de la hipotenusa de un “triángulo rectángulo

geodésico” es superior a la suma de los cuadrados de los catetos

(Fig. 20)

Geometría Cóncava, Curva Cerrada o Esferoidal

Curvatura de Gauss Positiva, K > 0

Cumple los Postulados 1-4 de Euclides; El 5 se modifica, porque no es posible trazar o determinar línea geodésica

alguna de curvatura idéntica en cada punto a otra dada por un punto exterior a la última; La suma de los ángulos internos de

cualquier “triángulo geodésico” es superior a 180º; El cuadrado de la hipotenusa de un “triángulo rectángulo

geodésico” es inferior a la suma de los cuadrados de sus catetos

(Fig. 21)

Es bastante fácil observar intuitivamente que estas “nuevas geometrías curvas o Gaussianas” son espacios superficiales locales definidos por su Curvatura de Gauss; En ellos, las “líneas rectas” euclidianas son sustituidas por las “curvas geodésicas”, los triángulos por “triángulos curvilíneos o geodésicos”, y así sucesivamente.

Estos espacios deben cumplir los siguientes requisitos: 1) Ser “geodésicamente completos” – esto es, poseer un número de geodésicas ilimitado – lo que garantiza verifican los Postulados 1 y 2 de Euclides para sus elementos análogos geodésicos; 2) Mostrar una Curvatura de Gauss K constante, lo cual deriva de su carácter geométrico intrínseco o “local”, y asegura cumplen también los Postulados 3 y 4 de Euclides respecto a sus componentes equivalentes; El Postulado 5 cambia en cada modelo, pero eso es algo natural, ya que a

estas alturas es patente que no es ni fue nunca un verdadero “Postulado” generalizable, lo que se adivinaba desde hace milenios por su contenido disparatadamente “engorroso” y complejo: En cambio, depende del tipo local de curvatura de forma crítica, tal y como acabamos de explicar.

Además, estas “geometrías curvas gaussianas elementales” tampoco obedecen a los Postulados 1-4 de Euclides de forma estricta: La esférica, por ejemplo, no verifica el Primer Postulado, debido a que por cualquier par de puntos antipodales – o sea, de puntos de la superficie esférica o esferoidal pertenecientes a planos tangentes paralelos, de ahí el significado común de las “antípodas” –, pasan infinitas líneas geodésicas, no una; Esto se “reajusta” identificando cada punto antipodal de la esfera o esferoide como “visto desde fuera”, pero el resultado es una superficie abstracta exterior al espacio tridimensional, o sea, hiperdimensional D4; Igualmente, un esferoide o pseudoesfera en general no puede estimarse “geodésicamente completo”, habida cuenta de que al tratarse de una superficie limitada no se puede afirmar que admita un “número infinito de líneas geodésicas”; En otras superficies gaussianas bastante corrientes si bien más complicadas, como un toro – la forma de un neumático de un automóvil o un rosco –no se cumple por su lado la constancia de la Curvatura K, ya que en su superficie curva exterior esta es positiva, cóncava o “esferoide”, en la interior negativa, convexa o “abierta” y justo en la zona superior e inferior del “disco” plana o nula, puramente euclídea:

(Fig. 22)

Región Cóncava = AzulRegión Convexa = Rojo

Región Plana = Blanca (la inferior no se aprecia por la perspectiva de la representación)

En suma, la “Nueva Geometría Curva Variable Gaussiana” lleva implícito en su seno más profundo y esencial la necesidad de “ir más allá” del espacio tridimensional para mantener una coherencia interna formalmente equivalente a la de los Postulados de Euclides...

Gauss no se atrevió a dar ese paso, pese a su colosal genialidad – de nuevo por rancios escrúpulos “memético-culturales”, en este caso no religiosos o teológicos, sino físico-teóricos/filosóficos: En su época, el absoluto dominio del Paradigma Mecanicista Newtoniano del “Universo-Máquina” o “Gran Reloj” determinista, firmemente aposentado en la idea de un espacio absoluto 3D como marco de referencia “estático” de los procesos físicos en general y dinámicos en particular –, era tan enorme, que sencillamente el gran

matemático y físico alemán no se atrevió a insinuar tan siquiera la posible realidad de un Cosmos supradimensional.

Así pues, su “Primera Revolución Geométrica del XIX” aportó las “Geometrías Curvas No-Euclidianas”, pero todavía “tridimensionales”, por más que esta restricción conllevase ciertas dificultades conceptuales, cual hemos señalado pocos párrafos más arriba.

No obstante, dejó marcada la senda.

Otros cerebros privilegiados no se demoraron mucho en seguir adelante por ella, liberando la “Segunda Revolución Geométrica del XIX”, la de la “Geometría Curva Variable Hiperdimensional, o Generalizada a N-Dimensiones”.

En el “entreacto”, un notable y peculiar oficial militar del Ejército Austro-Húngaro, de antiguo linaje noble magiar, nacido en la Transilvania Húngara y “tocayo de este autor”, por más señas, János o Johann Bolyai (1802-1860), “subió un peldaño” en la generalización de las geometrías no-euclidianas, compartiendo por ende la gloria de la “paternidad” de las mismas con el eslavo Lobachevsky y el germano Gauss.Su línea paterna procedía de la antigua nobleza guerrera magiar, siendo su padre Farkas un reputado matemático especialista en Geometría, pero mediocre comparado con su hijo: Desgraciadamente, a semejanza de lo ocurrido en las biografías de otros genios en la Historia de la Ciencia, los celos, mezquindad antinatural y empecinamiento de su padre en negarse a aceptar dicha superioridad innata de su hijo envenenó la relación entre ambos, causando un tremendo dolor al joven creador y contribuyendo en gran medida a velar o ensombrecer la difusión y justo reconocimiento de sus excepcionales méritos; También se debió a que János no era graduado ni doctor en Matemáticas, sino un oficial-ingeniero

del Ejército Austro-Húngaro aficionado a la Geometría “Pura” o Teórica: De nuevo, muy lamentablemente, algo asimismo constante en la Historia de los grandes hallazgos revolucionarios de la Ciencia, a causa de un necio academicismo “titulista” tan ciego como corporativista, destructivo y ruin; Recordemos que Mr. Darwin no acabó la carrera de Medicina ni poseía título superior universitario alguno por encima del de sub-graduado en Teología Anglicana, Wegener – quien modernizó la Geología para siempre mediante su Teoría de la Tectónica de Placas – , era meteorólogo, Michel Faraday – el “padre” de la Teoría de Campos en Física – un humilde autodidacta ayudante de laboratorio, John Forbes Nash – creador de la Teoría de Juegos y Premio Nobel de Economía porque no existe el de Matemáticas a causa de que un matemático fue el amante de la esposa de Alfred Nobel –, comenzó su carrera como químico industrial, Santiago Ramón y Cajal fue cirujano de guerra y se sintió sumamente atraído por la psicología profunda, el psicoanálisis y la parapsicología – entonces llamada “metapsíquica” –, para luego consagrarse de manera independiente, heroica y sin apenas medios al estudio microscópico de los tejidos nerviosos y cerebrales, lo que le condujo a descubrir la neurona y fundar la Neurología actual, Sigmund Freud – justo al revés –, le admiraba y por eso inició sus estudios especializados en Medicina en calidad de neurólogo, no de psiquiatra, John Forbes Nash se graduó en Química Industrial antes de sentirse fascinado por las Ciencias Exactas, el príncipe Louis de Broglie se licenció en Historia previamente a verse seducido por la emergente Física Cuántica y presentar por ello su tesis doctoral con su demoledor Principio de Dualidad Onda-Partícula, uno de los cimientos de la Mecánica Cuántica actual que le hizo disfrutar del Premio Nobel de Física, George R. Price – eminente formulador de la Ecuación que lleva su nombre en Genética de Poblaciones y que demuestra la imposibilidad del “altruismo biológico

puramente desinteresado más allá del parentesco o los lazos grupales” –, tampoco tenía formación universitaria en Biología Evolutiva ni Genética – era en su origen físico-químico –... Y no sigo para no aburrir ni aburrirme...

Menos soberbia, menos envidia, menos mendacidad miedosa corporativa..., y más apertura de mente, nobleza y honradez intelectual, señores...

Nacido el 15 de Diciembre de 1802 en la ciudad de la Transilvania Húngara de Kolozsvár – la presente Cluj-Napoca (hoy en Rumanía) –, János Bolyai fue educado por su padre, quien era amigo y colega de Gauss, en privado; A los 19 años, ya dominaba el Cálculo y la Mecánica Analítica, e ingresó por consejo de su progenitor – ignoramos si bienintencionado o todo lo contrario – en el Real Colegio de Ingenieros de Viena, con la meta de convertirse en ingeniero militar, dado – según versión paterna – que el chico gustaba de leer Historia y adoraba la memoria guerrera y heroica de sus antepasados, quienes combatieron valerosa y sangrientamente a los invasores otomanos junto a otros igual o más ilustres linajes magiares transilvanos; Cuales los Drácula, los Mircea, los Báthory – no hace falta que señale el ejemplo de su miembro más famosa, ¿verdad mis Muy Queridos, Amables y Pacientes Lectores?–, los Nádasdy – tampoco hace falta –, los Bocskáy, los Rákóczi – entre los que destacó el misterioso “conde de Saint Germain” –, los Esterházy, los Sarkozy – sí, los antepasados del ex-presidente galo –, los Székhely, los Thurzó... etc.

Como quizás era de prever para un avezado psicólogo – ya fuere titulado o autodidacta – esta peculiar mezcla de genio natural congénito, ensoñaciones legendarias o guerreras y excelente formación matemática superior eclosionó en la mente del muchacho hacia algo mucho más imaginativo e

innovador, aunque igual de riguroso que la aplicación de las Matemáticas a la Ingeniería Militar: János obtuvo un sobresaliente graduado como ingeniero y comenzó su carrera de oficial en el Ejército, pero a la par se obsesionó con el “Dilema de las Paralelas o el Quinto de Euclides”...

Su padre Farkas – probablemente movido por una intrincada mixtura de sincera preocupación consciente por el futuro profesional o social de su retoño y un al menos parcialmente inconsciente impulso de resentimiento envidioso hostil al superior talento de su vástago –, le escribió entonces de esta guisa:

“Por amor de Dios, te lo ruego, olvídalo. Témelo como a las pasiones sensuales, porque lo mismo que ellas, puede llegar a

absorber todo tu tiempo y privarte de tu salud, de la paz de espíritu y de la felicidad en la vida”

Afortunadamente para el Conocimiento, el joven no le hizo caso, y no cejó en sus investigaciones teóricas.

Su inteligencia privilegiada pronto llegó a la misma conclusión que Lobachewsky: El “Quinto Postulado” era sustancialmente independiente de los otros cuatro y – de hecho – una falacia; No era un auténtico “Postulado”, sino un Teorema no-demostrado cambiante según formas alternativas de Geometrías Diferenciales, válido en exclusiva para la “Plana o Euclidiana” de superficies con Curvatura Cero.

Bolyai conocía los trabajos de Gauss a través de la correspondencia de este con su padre y de la fama académica internacional del gran creador alemán, pero no los del autor ruso: Sin embargo, no tan solo desarrolló a partir del inconcluso y fallido estudio de Saccheri la “geometría del ángulo agudo o hiperbólica”, sino también la del “ángulo

obtuso o esferoidal/elipsoidal”, aproximando además un esbozo de generalización para N-dimensiones de las dos, con objeto de superar las dificultades formales de la Geometría Curva de Gauss en 3D, osando a llegar donde el maestro de su padre no se atrevió.

Entusiasmado, el flamante genio envía una misiva en respuesta a su papá:

“He creado un mundo nuevo y diferente de la nada”

Tenía toda la razón...

No obstante, la alianza nefasta de los celos cada vez más manifiestos de su progenitor y su falta de conexión y credenciales académicas con los altos círculos de matemáticos y geómetras teóricos condenaron al maravilloso trabajo de Johann a un mero apéndice final incluido en un libro de texto de Geometría escrito por Farkas, quien realizó esa concesión a su hijo por presión del mismísimo Gauss, el cual al leer los textos originales del joven Bolyai, reconoció con una honradez intelectual que le ensalza:

“No puedo elogiar el trabajo de su hijo sin elogiarme a mí mismo, porque he mantenido puntos de vista similares desde hace muchos años, aunque no me he atrevido a publicarlos”

Más tarde, el prestigioso catedrático alemán remitió varias cartas dirigidas a otros colegas, elogiando el poderoso talento de János Bolyai:

“Considero a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden...”

Esta es la diferencia: Farkas Bolyai era un científico

matemático erudito, Carl Friedrich Gauss – además – un genio creativo y – lo que es más importante aún – un auténtico sabio... Hay un abismo entre ambos conceptos...

A pesar de estos valiosos apoyos del influyente autor alemán, la actitud fría, recelosa y hostil de su padre y la falta de reconocimiento o aprecio público por su obra entre los especialistas acabaron por minar la ilusión de János, un hombre extraordinariamente dotado pero – cual muchos otros genios – sensible, temperamental y emocionalmente vulnerable... No tan tenaz y resistente como los otros Grandes Pioneros de la Hipergeometría Diferencial, Lobachewsky y Gauss, puede que por su origen regalado y elitista, no duro y magro de recursos.

Todavía es capaz de desarrollar un nuevo tratamiento para los números complejos, identificándolos con vectores coordenados de dos componentes – la real y la imaginaria – su notación formal y operacional hoy en día, pero su impulso creador en Matemáticas Puras se fue extinguiendo poco a poco...

Este terrible golpe sumió a Bolyai en una fuerte depresión crónica en ciclos repetitivos, y lo hizo enfermar, sin duda por vía psicosomática: Había sido un hombre lleno de vida, temperamental, altivo, fuerte en cuerpo y mente, sensible y asimismo bien pertrechado para el arte además de su innegable “super-talento” matemático, reuniendo lo mejor de su noble herencia magiar; Sirvió durante 11 años en el cuerpo de oficiales-ingenieros en la Armada del Imperio Austro-Húngaro, destacando en él no en exclusiva por su impecable desempeño profesional, sino también por su excepcional capacidad políglota: Hablaba 9 lenguas extranjeras – incluyendo el chino –. Por si todo esto fuera poco, asimismo fue un virtuoso violinista – como Einstein – bailarín y esgrimista: Se relata que en una ocasión – debido a su

personalidad a la vez brillante, su mentalidad superior a años-luz del promedio de sus compañeros de milicia, su carácter orgulloso y arrogante –, se enemistó por diversas cuitas con hasta otros 13 oficiales de su guarnición, quienes – siguiendo el código de honor usual en la época –, le retaron a duelo al mismo tiempo; János aceptó todos los desafíos simultáneamente, asumiendo enfrentarse a ellos con el florete uno tras otro, exigiendo a cambio la única condición de que se le permitiera tocar una pieza al violín entre cada uno de los combates y el siguiente; Pues bien, así se hizo, y Bolyai desarmó o hirió a todos sus contrincantes sin excepción.Es evidente que sus genes guerreros eran tan potentes como los que alimentaban su genio racional y su talento artístico musical... La sombra de los linajes Nefelim es alargada... (añado este breve comentario en atención a aquellos de mis Muy Queridos, Amables y Pacientes Lectores que estimo cual “navegantes especiales”... A buenos entendedores...).

En 1833 – como ya apuntamos – enfermó de “fiebres recurrentes”, lo que, unido a sus frecuentes choques con colegas militares o superiores y sus reiteradas depresiones, le obligaron a pre-jubilarse de su carrera en la Armada, retirándose a vivir de su pensión y dedicarse a la “investigación matemática por libre”...

La cual, declinante pero jamás abandonada, continuó hasta su muerte, causada por una neumonía, el 27 de Enero de 1860, en la localidad transilvana-húngara de Marosvásárhely, en la actualidad Târgu Mure (Rumanía): Nunca publicó otra cosaș que las sucintas 24 páginas del apéndice al tratado de su padre otorgadas de mala gana por este último, mas jamás dejó del todo de crear, pues en su escritorio de jubilado prematuro se hallaron unas 20000 páginas de textos matemáticos manuscritos originales...

Herido y decepcionado por su negativa experiencia familiar, Johann Bolyai jamás se casó ni tuvo hijos, aunque era un hombre muy atractivo y mantuvo numerosos romances a lo largo de su juventud y primera madurez.

Es triste, injusto e indignante...

Sin embargo, estos papers se guardan hoy con celo y orgullo en la Librería Bolyai-Teleki de la ciudad donde falleció, la Universidad Babeş-Bolyai de Cluj-Napoca, fundada en el año 1959, lleva su nombre, tal cual el János Bolyai Mathematical Institute de la Universidad de Szeged, al igual que numerosas escuelas primarias en toda Hungría, una calle en Budapest (Hungría), y otra en Timi oara (Rumanía) reciben su nombre, laș sociedad profesional de los matemáticos húngaros también, Bolyai es un personaje de la novela de Poul Anderson “Operation Changeling”, un relato de ciencia-ficción escrito en 1969, en el cual las “habilidades únicas” de este personaje permiten a los protagonistas navegar por la “geometría no-euclidiana del Infierno”, existe un premio matemático fallado cada cinco años que se llama Bolyai Prize, el cráter lunar Bolyai también lleva este nombre en su honor, así como el planeta menor 1441 Bolyai, descubierto en 1937 y así bautizado en su memoria.

En agudo y merecido contraste, su padre Farkas Bolyai, le sobrevivió 23 años, solo, anciano, viudo, olvidado, sumido en dolorosos remordimientos, tras derrumbarse en los prematuros funerales de su único hijo... Y hoy día, su nombre como matemático no es más que una pequeña nota a pie de página adjunta a la biografía de su vástago..., muy semejante a las miserables 24 páginas que él “regaló” a János al final de su correcto pero mediocre y previsible trabajo...

A veces, la Justicia de los “dioses” existe, y el “Infierno Hiperdimensional” empieza a cobrarse las deudas en esta “Tierra Euclidiana 3D”.

La “Segunda Revolución Geométrica del Siglo XIX”: Riemann, o el Nacimiento de la Geometría Diferencial Curva Hiper-

Dimensional

Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un matemático y geómetra alemán nacido en Dannenberg (Reino de Hanóver), hoy Breselenz (Alemania), el 17 de Septiembre de 1826, y muerto el 20 de Julio de 1866 en Verbania (Italia). Hijo de un modestísimo pastor protestante, Friedrich, quien había luchado en las Guerras Napoleónicas, era el segundo de seis hermanos; La pobreza de su hogar y tan elevado número de criaturas le condenó a ver morir tempranamente a la mayor parte de estos hermanos y a su madre, además de castigarlo con una salud delicada y una timidez monstruosa de por vida: De hecho, ni en sus momentos de máximo triunfo posteriores fue capaz de hablar en pública sin ponerse nervioso y balbucear de vez en cuando.

Posiblemente, este talante en extremo reservado, desconfiado y frágil también hizo que publicase poco, a despecho de su genialidad y titánica creatividad innovadora, si bien es cierto que todo lo que escribió es de una calidad, profundidad, alcance y carácter revolucionario en el campo de las Matemáticas y la Geometría Analítica, así como con hondas y decisivas implicaciones en la Física Teórica, la Cosmología y la Filosofía más trascendentes.

Riemann consiguió por fin unificar, extender y generalizar de forma rigurosa la Geometría Curva Local, Intrínseca o Diferencial de Gauss para N-Dimensiones: Con su Magna Obra, culmina el arranque de la Nueva Geometría y Física

Hiperdimensionales sin posible vacilación o vuelta atrás...

En 1840, el pequeño Riemann se traslada a Hanóver a vivir con su abuela y visita el Lyceum. Cuando ella muere en 1842, ingresa en el Instituto Johanneum Lüneburg, brillando enseguida como un alumno superdotado en Matemáticas, hasta superar en poco tiempo a sus maestros. En 1846 – para complacer a su padre y ayudar al sostenimiento futuro de la familia – emprende estudios superiores de Filología y Teología en la Universidad de Göttingen, con el objetivo de hacerse pastor como su progenitor. Mientras, acude a varias conferencias libres impartidas por Gauss, quien le cautiva para siempre en un apasionado interés y amor por las Matemáticas y la Geometría.

En 1846 – cumplidos sus 19 años – su padre logra a duras penas reunir el dinero suficiente para pagar a plazos su matrícula en la Facultad de Matemáticas, y luego – un año después – hace factible que el chico – recomendado por sus profesores – se mude a Berlín, donde continúa sus estudios universitarios en dicha materia a cargo de insignes especialistas de su época, cuales Jacobi, Dirichlet y Steiner.

Al estallar en 1848 las revueltas estudiantiles y obreras en todos los reinos, principados y Estados de la por entonces dividida Alemania, Riemann – quien a pesar de su enfermizo retraimiento es un chaval alto, fornido y corpulento –, es reclutado por las milicias de estudiantes de signo conservador – opuestas a la por cierto fallida “Revolución Marxista y Campesina de Marzo” –, llegando a formar parte de un contingente que protege el Palacio del Rey de Prusia.

Esto le vale el favor de los estamentos proclives a la Restauración y el creciente nacionalismo prusiano, afines por otro lado a las familias de religiosos luteranos como la suya, y

le conceden el acceso a ayudas, contactos y apoyos académicos.

En concreto, le abren las puertas al elitista, exquisito e intelectualmente exclusivo y fulgurante “Círculo de Gauss”, el “Príncipe de las Matemáticas” favorito de la Corona, bajo cuya dirección y sabia tutoría presenta su tesis doctoral en la Universidad de Göttingen en 1859, tras superar con excelencia sus cursos en la capital durante dos años más y proseguir de inmediato su carrera bajo tan poderosa e influyente tutela en esta última ciudad.

Gauss se da cuenta muy pronto de que este muchacho es el destinado a rematar la obra que él no osó culminar, y le ayuda, anima y empuja a ello con todas sus fuerzas. No de modo meramente académico y docente, sino enseñándole a cobrar confianza en sí mismo y paliar los traumas que le atormentan con una desmesurada timidez y graves carencias de expresión en público.

Desde 1854, Riemann es inducido por su magistral tutor a dar conferencias ante estudiantes y colegas, exponiendo los avances en su “Geometría Curva Generalizada Riemanniana para N-Dimensiones”.

Este proceso alcanza su cima cuando el joven presenta su tesis doctoral dirigida por Gauss en 1859, a través de una famosa Conferencia en la que muestra los pilares y elementos principales de su “Nueva Geometría No-Euclidiana”...

Su título: “Sobre la Hipótesis en que se Funda la Geometría”.

Un “giro copernicano” más en nuestra cosmovisión global del Cosmos y nuestro lugar en él.

Estos contenidos esenciales son los siguientes:

1) Introducción de los espacios geométricos N-Dimensionales, en forma de variedades diferenciales que generalizan rigurosamente la noción de “superficies gaussianas”, verificando así los análogos a los Postulados 1-4 de Euclides en los nuevos términos o elementos métricos básicos, y cambiando el 5 según la índole de “variedad intrínseca o local” utilizada (geometrías euclidiana o “plana”, hiperbólica, esferoidal, toroidal...)

2) Define un “tensor métrico” (tensor = matriz de vectores), que generaliza el concepto elemental de “distancia” y el análisis de las relaciones métricas de ella derivadas – tales cuales intersección, paralelismo, perpendicularidad, ángulo entre dos líneas geodésicas.... –, aplicable a cualquier “variedad diferencial”, obteniendo así en cada caso diversas fórmulas correspondientes que describen dichos elementos y relaciones.

3) Generalización – por consiguiente – del Parámetro de Curvatura de Gauss y de otros elementos de la Geometría Intrínseca Curva No-Euclidiana de su gran maestro, formalizadas ahora tales “superficies locales” como “variedades de Riemann N-Dimensionales”.

Por tanto, a partir de ese momento, cada variedad diferencial de Riemann queda asociada a localmente a espacios de N magnitudes intrínsecas o “coordenadas locales”, X : x1, x2, x3, x4 ..., xN , así como a las reglas que establecen los cambios de esas coordenadas: Queda definitivamente asentado que cada

“espacio geométrico” – o “variedad diferenciable” –, ya no se encuentra ligada a una “realidad espacial física, perceptiva o intuitivamente evidente o asumible”, sino que puede tratarse de cualquier “ente matemático” que cumpla las condiciones generales exigidas por su definición.

Cada “módulo tangente vectorial de posición” en un punto cualquiera de las líneas geodésicas de superficie viene definido – pues – como:

ds2 = dx12 + dx2

2 + dx32 + dx4

2 + … + dxN2

(Ec. 5)

Esto rompe total e irreversiblemente con todo el pensamiento tradicional tanto filosófico como matemático de la manera más radical y profunda: Mientras que en la Geometría Euclidiana e incluso en la Geometría Gaussiana la noción de “espacio” prosigue vinculada a o implica la de “distancia”, Riemann separa ambas con nitidez: Un “espacio” es una “variedad diferenciable de dimensión N”, una “distancia” no es más que un “operador denotado como Tensor Métrico de Riemann” que describe la definición particular local de esa “distancia entre puntos n-coordenados” y sus relaciones básicas en el seno de una “zona” de esa “variedad”: Por ende, puede haber y de hecho hay diferentes “distancias” determinables en el seno de un mismo “espacio” o “variedad geométrica diferenciable”, cada una de ellas caracterizada por una “curvatura” propia.

La Geometría Riemanniana es – pues – una Nueva Geometría No-Euclidiana en un sentido y alcance mucho más intensos y profundos que la de Gauss y hasta que las de Lobachewsky o Bolyai – pues todas las anteriores – tridimensionales o “abiertas a la multidimensionalidad” – no son en el fondo más

que “versiones deformadas por las curvaturas” de la vieja y rígida “Geometría Clásica de Euclides”: Por el contrario, la de Riemann supone un planteamiento absoluta y esencialmente distinto e independiente de ella, mucho más general, a través del cual tanto la misma geometría euclídea de curvatura cero – hiperdimensional o no – como la cóncava o esferoidal, la convexa o hiperbólica o cualquier otra no constituyen sino “casos particulares” de “espacios o variedades métricas” sujetos además a “diversas definiciones locales de distancias” en función de sus “curvaturas locales”.

La semilla de la Geometría Variable Hiperdimensional del Multiverso que ahora empiezan a vislumbrar las Teorías M de Supercuerdas y la de Bucles Gravitatorios Generalizada, las primeras aproximaciones de la Gran Unificación o “Teoría del Todo”, vamos...

Y no es baladí este comentario, pues el mismo Riemann se percató desde el principio que su modelo “Meta-Geométrico” poseía hondas e indelebles conexiones y consecuencias en nuestra visión de la Realidad Física Fundamental.

Por ello, se empezó a interesar por la Física Teórica cada vez más: Décadas antes que Albert Einstein, intuyó que en su formulación geométrica radicaba el principio elemental para poder unificar en el porvenir las tres fuerzas de campo fundamentales de la Naturaleza conocidas entonces: La gravedad, el magnetismo y la electricidad. Pensó que cada campo o interacción ejerce un tipo de deformación local específica en las líneas geodésicas de curvatura del espacio, una curvatura intrínseca equivalente a otros tantos “tensores métricos” en el seno de la “variedad tridimensional del espacio” que llamamos “Universo”...

Estas precocísimas y maravillosas ideas dignas de un coloso

del pensamiento fueron decisivas para inspirar la unificación macroscópica parcial de los campos eléctrico y magnético demostrada por el escocés James Clerk Maxwell y, más tarde, a un joven Albert Einstein para su Teoría de la Relatividad Especial y la General o del Campo Gravitatorio: En particular, esta última no es otra cosa que un Espacio Métrico o Variedad de Riemann de Cuatro Dimensiones, las tres espaciales “corrientes” más el tiempo, formalizadas mediante un Tensor Métrico especial que conlleva la velocidad de la luz en el vacío c como límite absoluto constante de velocidad.

Tal “Geometría D4 del Espacio-Tiempo” conforma la estructura global del Universo a escala macro, cuya métrica general según la particularización respectiva de (5) viene formulada por:

ds2 = dx12 + dx2

2 + dx32 – c2 dt2

(Ec. 6)

Y en ella las densidades de masas-energías “deforman” tal “trama de líneas geodésicas espacio-temporales” en diversas curvaturas según sus magnitudes y simetrías o distribuciones locales, un Sistema desarrollado cual un caso específico de la Geometría de Riemann por el mismo Einstein en colaboración con el matemático germano Hermann Minkowski: Un campo gravitatorio no es más que el resultado de esa “deformación o curvatura” del “tejido o trama previamente cuasi-lisa” o “plana-euclidiana” del espacio-tiempo cuatridimensional.

“Visualmente”, por ejemplo el campo de atracción Sol-Tierra:

(Fig. 23)

Dada el extraordinario nivel y originalidad de sus trabajos, Riemann fue ascendido a “profesor extraordinario” por la Universidad de Gotinga o Göttingen en 1857, ganando la cátedra ordinaria en su especialidad en 1859.

En 1862 se casó con Elise Koch, falleciendo tan solo cuatro años más adelante en su tercer viaje a Italia por causa de la tuberculosis.

Los “Hipercuerpos” en N-Dimensiones, pero ahora “curvadas”

Utilizando las “nuevas” ecuaciones métricas de Riemann podemos programar algoritmos simuladores por ordenador de diferentes Variedades Espaciales y Tensores Métricos de distancia-curvaturas locales, haciéndonos así una distorsionada pero al menos sustancialmente correcta idea de cómo se muestran las “sombras de sombras” de diversos cuerpos u objetos geométricos en “hiperespacios” dimensionales superiores, variando además el grado intrínseco de curvaturas de las líneas geodésicas o los “N-ejes coordenados”.

Volviendo a considerar a “nuestros viejos amigos” el hipercubo y la hiperesfera, he aquí algunas muestras de ello:

Cubo “Gaussiano” 3D, 1 Eje euclídeo o recto, (Z), 2 Ejes Curvos (X,Y)

(Fig. 24)

Cubo “Gaussiano” 3D, los tres Ejes (X,Y,Z) Curvos

(Fig. 25)

Hipercubo 4D (Teseracto) Euclídeo o “Recto”

(Fig. 26)

Hipercubo 4D “Riemanniano” Curvo (X, Y, Z, W Curvos)

(Fig. 27)

Hipercubo 5D Euclidiano o “Recto”

(Fig. 28)

Hipercubo 5D “Riemanniano” Curvo (X, Y, Z, W, M Curvos)

(Fig. 29)

Esfera “Gaussiana” 3D, 1 Eje Recto, 2 Ejes de Gran Curvatura

(Fig. 30)

Esfera “Gaussiana” 3D, Curva (X, Y, Z Curvos)

(Fig. 31)

Esfera “Gaussiana” 3D Curva desde otra perspectiva

(Fig. 32)

Nota: Por ejemplo: Así (Figs. 31-32) veríamos desde sus proximidades la esfera de una estrella supermasiva bajo la

acción de su fortísimo campo de gravedad

Esfera “Gaussiana” 3D Muy Curva (X, Y, Z Gran Curvatura)

(Fig. 33)

Nota: “Percepción espacial cercana” de una esfera aún más masiva, por ejemplo un agujero negro “mediano”, si pudiese

emitir luz visible

Esfera Gaussiana 3D Ultracurva (X, Y, Z Enorme Curvatura)

(Fig. 34)

Nota: “Visualización” hipotética – si no fuera “casi absolutamente invisible” –, de un agujero negro hiper-masivo,

como el del núcleo galáctico central

Hiperesfera 4D Euclidiana

(Fig. 35)

Hiperesfera 4D Euclidiana, desde otra perspectiva

(Fig. 36)

Nota: Algo parecido a las Figs. 35-36 se contemplaría al observar “desde fuera” a nuestro Universo cuatridimensional, solo que el radio de la hiperesfera crecería sin cesar a lo largo del “eje de tiempos W” en un único sentido (por ejemplo, hacia arriba si asignamos tal “signo positivo” al “futuro”): Según este modelo “cerrado” de Universo de curvatura cóncava dentro de la variedad de Einstein-Minkowsky para la Métrica de Riemann, la densidad media de materia-energía es superior a la crítica y acabaría por ello superando la fuerza expansiva derivada de la

Gran Explosión o Big-Bang original a partir del Estado Cero Singular Primigenio: En consecuencia, la hiperesfera cósmica

se frenaría, dejaría de expandirse y entonces empezaría a contraerse, retrocediendo “hacia abajo” por el eje temporal

desde ese presente al “pasado relativo”, hasta colapsar en un “Big-Crunch” en el centro de la misma... Y quizá así

sucesivamente; No obstante, en la actualidad las evidencias

astrofísicas empíricas parecen indicar que la densidad promedio es ligeramente inferior a la crítica: El Universo sería

pues un hiperboloide 4D abierto de suave convexidad, que acelera su expansión espacio-temporal sin cesar “hacia arriba”

del eje W por acción del misterioso “campo repulsivo de Energía Oscura” (ver Fig. 42, poco más adelante). Ahora bien,

los últimos desarrollos de la Teoría M y la de Bucles Gravitatorios N-Dimensional sugieren que, en realidad, ni el

Big-Bang ni el hipotético Big-Crunch serían verdaderas “singularidades”, sino “puntos de rebote simétricos”, justo al límite de las dimensiones de Planck; La expansión máxima o “Gran Desgarrón” (“Big Rip”) también, pues la muy singular Hipergeometría Cuántico-Relativista Unificada de la Teoría M

predice una simetría en la que si un Universo se ultra-comprime hasta un radio mínimo ultramicroscópico R≃Lp casi

igual a la Longitud de Planck, su física fundamental a escala de sus componentes elementales (supercuerdas) es un “reflejo

especular” de la de un Universo “estirado” al límite más monstruoso admisible, es decir, 1/R : Cada “rebote” significa

un “cambio de fase” en el que un Universo previo en contracción espacio-temporal pasa a expandirse, y viceversa, en Eones de Ciclos Cósmicos eternos, cual imaginó Penrose: Esto no es contradictorio, pues lo que es “abierto” en un nivel

dimensional inferior (N=4), bien puede ser a la par perfectamente “cerrado” a niveles superiores – al igual que la superficie de una esfera parecería “abierta e infinita” a un “ser

plano”, aun cuando resulta “cerrada y finita” para nuestra perspectiva o visión tridimensional –.

Hiperesfera 4D “Riemanniana”, Curva (X, Y, Z, W Curvos)

(Fig. 37)

Nota: Observen que siguiendo el cuarto eje W – el del tiempo en la “subvariedad de Einstein-Minkowsky” para esta métrica

de Riemann –, es posible “saltar” de un punto a otro del espacio tridimensional (XYZ) distorsionado conformado por los otros tres ejes sin recorrer “distancia ordinaria” alguna en el

subespacio de esas tres dimensiones entre los dos “vórtices”, centros o “bocas” de la figura

tetardimensional: Un Puente de Einstein-Rosen o “agujero de gusano”, ni más ni menos; Así, la Geometría Riemanniana

permite en teoría los viajes interestelares, los tránsitos a otro Universo Alterno o “Paralelo” en el sentido hiperdimensional o

incluso los viajes hacia el Pasado, dependiendo donde se ubiquen esas dos “aberturas simétricas”... Solo si el

“hiperobjeto” es masivo pero no en exceso y de conformación adecuada, en caso contrario colapsa en un punto singular

central “sin salida” parecido a la Fig. 34, pero con una dimensión o eje adicional más, dada su descomunal curvatura

(Revisen [11]). De forma análoga, los hipotéticos “seres planos” ya aludidos antes, habitantes de “Flatland”, el

Universo bidimensional imaginado por Abbott en su famosa novela sobre la que hablaremos un poco al final de este

trabajo, podrían usar “puentes de Einstein-Rosen” o “agujeros de gusano” en su versión tridimensional, semejantes a la

Esfera 3D Curva de la Fig. 31, desplazándose sobre o tangencialmente a “su tercer eje temporal Y” según esta

simulación, sin necesidad de “arrastrarse convencionalmente palmo a palmo” por el espacio plano (XZ) entre los dos puntos distantes de su Mundo, por idénticas razones de simetría, solo que bajando un nivel o número dimensional el razonamiento.

Hiperesfera 5D Euclidiana

(Fig. 38)

Hiperesfera 5D Euclidiana, otra perspectiva

(Fig. 39)

Hiperesfera 5D “Riemanniana”, Curva (X, Y, Z. W, M Curvos)

(Fig. 40)

Semi-Hiperboloide 4D, Cuarto Eje Estrictamente Positivo (Eje de tiempos en la variedad Einstein-Minkowsky para la Métrica

de Riemann), con crecimiento acelerado del eje de expansión temporal por efecto del Campo Repulsivo o Antigravitatorio de

Energía Oscura, Curvatura Convexa: Modelo de Universo actual

(Fig. 41)

Nota: Por simplicidad, el simulador de la NASA ha plasmado o “fusionado” los tres ejes X, Y, Z del espacio tridimensional en

un solo eje horizontal (Radio de Schwarzschild u Horizonte Aparente del Universo, Rs, dado en cada instante por Rs = X2

+ Y2 + Z2), mientras el semieje positivo perpendicular a los tres – “vertical” en el gráfico – equivale al tiempo. Esto es – por

consiguiente – una proyección en un espacio de fases N=2 de la genuina figura del semi-hiperboloide 4D para el espacio o variedad de Einstein-Minkowsky con curvatura convexa de

Geometría Riemanniana para el Universo en N=4. Matemáticamente, ambos sistemas son isomórficos o

equivalentes, por lo que esta simplificación es muy habitual en Física y Geometría Multidimensional.

Comparación de las diversas Curvaturas o Métricas admisibles para el Universo 4D compatibles con la variedad de Einstein-

Minkowsky de la Geometría Riemmaniana, o Teoría General de la Relatividad

(Fig. 42)

Tal cual puede apreciarse en el esquema, a la izquierda extrema tenemos el modelo geométrico riemanniano-einsteniano-minkowskiano para un Universo Cóncavo, Elipsoidal, de Curvatura Cerrada: En él, la densidad de materia-energía es superior a la crítica, predomina la densidad gravitatoria sobre la energía de expansión – exista Potencial de Energía Oscura o no – por lo que acaba frenando, invirtiendo la “triple flecha temporal” (cronológica relativa, entrópica y de “dilatación global”), contrayéndose así hasta un “ Apocalipsis Final por Big Crunch”, ultracaliente, diminuto y de altísima presión, retornando a las condiciones infinitesimalmente previas al Big-Bang; De izquierda a derecha, le suceden tres variedades posibles de Universo Convexo, Hiperboloide o de Curvatura Abierta, cada vez más a medida que nos “movemos” hacia la diestra: El primero es un un Universo Abierto Cuasi-

Plano de Muy Baja Curvatura Hiperbólica: La densidad de masa-energía atractiva es menor a la crítica pero muy próxima a ella, y no hay campo repulsivo de Energía Oscura: Decelera su expansión como el primero, pero mucho más lentamente, hasta que dicho ritmo de crecimiento se hace casi imperceptible en torno a un “tamaño o Radio de Schwarzschild” máximo cuasi-constante, en un estado bastante más “vacío” (cúmulos galácticos y galaxias dentro de él muy alejadas mutuamente entre sí), enorme y helado que el actual, pero esencialmente idéntico a grandes rasgos; Se trata de un “Universo Eterno” virtualmente, que “nunca acaba de morir”, pero cada vez más “desolado y languideciente”; El tercero es un Universo Abierto con “Apocalipsis Final por Muerte Térmica”, bautizado como “Big Chill” o “Big Freeze”: Su densidad gravitatoria es inferior a la crítica “modestamente”, y/o el Campo de Energía Oscura es “débil” en relación a ella: La fuerza de expansión decrece con el tiempo a ritmo suave, pero sensible; Por tanto, se expande y “vacía” cada vez más lentamente, hasta que sufre una “muerte térmica” por “super-enfriamiento” en un estado de máxima entropía y una gélida temperatura media cuasi 0 K (Cero Absoluto). En este escenario, a la larga el Universo se torna carente de estrellas al agotarse ya todas las reservas de combustibles nucleares por la bajísima densidad que impide colapsos locales de gravedad, y queda dominado por los agujeros negros en pausadísima “evaporación” por emisión de radiación de Hawking; El cuarto corresponde a un Universo Abierto de Alta Curvatura o densidad clara y significativamente mayor a la crítica, y/o bien de Curvatura pequeña hiperboloide y más reducida densidad, pero Elevada Intensidad de “Campo Oscuro”: Acelera cada vez más rápido su expansión hasta que – literalmente – se “desgarra el tejido de su espacio-tiempo”, separándose hasta el “infinito” cada partícula elemental de cualquier otras vecina; Es el “Apocalipsis Final por Gran Disolución Universal o Big Rip”, precedido por un espantoso escenario en el cual las

estrellas, galaxias, cúmulos... se van distanciando cada vez más y más, hasta quedar cada Sistema Estelar aislado de cualquier otro en un abrumador vacío negro y uniforme sin estrellas en los cielos nocturnos...

Al principio de la pasada década y hasta hace un par de años o así, la mayoría de los astrofísicos y cosmólogos opinaban que el modelo más ajustado a nuestro Universo es el del extremo derecho, destinado al “Big Rip”: Recientísimas medidas más precisas, finas y de mayor alcance de la densidad promedio de masa-energía – incluyendo la “Masa Oscura” –, así como de la aceleración de expansión cósmica global, evidencian que el Universo acelera su “dilatación”, pero menos de lo que se había aproximado o estimado en principio – o sea, Potencial del Campo de Energía Oscura notable pero no tan poderoso cual lo calculado antes –, y que su densidad es algo inferior a la crítica pero muy poco (Curvatura Hiperbólica pero Cuasi-Plana, un “Espacio de Lobachewsky muy suave”): Estas dos componentes unidas hacen que su modelo sea algo parecido a una mezcla del tercero y el cuarto, aunque la exactitud de las medidas no es suficiente para determinarlo.Otra forma de intentar predecir razonablemente cuál será la modalidad de “Apocalipsis Final del Universo” es medir su edad: Un Universo Cerrado o “poco Abierto” como los dos más a la izquierda serán notoriamente más “jóvenes” que las dos opciones más abiertas, en especial la “condenada al Gran Desgarrón”, como se indica en el eje vertical de los diagramas, más y más largo de izquierda a derecha (ver “Punto Big-Bang” abajo): El perfeccionamiento de las técnicas telemétricas de alta resolución y sensibilidad aplicadas al estudio del fondo de radiación de microondas desde satélites y el muy cercano logro del registro de ondas gravitatorias que puede inaugurar una nueva era de “telemetría gravitatoria”, son buenos “augurios” de que podemos disponer de una excelente cifra estimativa de la Edad real del Universo en no demasiado tiempo: Si este

valor es superior a cierto rango teórico definido pero por debajo del siguiente más elevado, podemos estar razonablemente seguros de que el Universo “morirá de frío o Big-Chill”; En cambio, si la medida rebasa el segundo intervalo, lo más probable es que “perezca por Gran Desintegración o Big Rip”; Cotejando ambos métodos de cuantificación empírica, no tardaremos mucho en saberlo; Las otras dos alternativas serían una horrenda sorpresa: Todas nuestras medidas u observaciones, estimaciones y modelos teóricos más actuales indican lo contrario, hasta teniendo en cuenta el recuento más exhaustivo y actualizado de “Masa Oscura”, cuya proporción (73-75%) es muy grande en comparación a la “bariónica u ordinaria” que forma nuestras partículas fundamentales, átomos y moléculas (21-23%), pero “modesta” en razón a la de “Energía Oscura” intrínsecamente repulsiva (4%): Esto es, su campo no “hunde” en depresiones o “valles” las líneas geodésicas del espacio-tiempo, sino que las “alza” en “lomas o picos”, acelerando siempre la expansión de la fuerza explosiva primordial en su mismo sentido.

Esta descripción de los dos Destinos Finales del Universo más factibles – o una combinación intermedia entre ambos, por cierto no menos horrible, pues sería algo semejante a una “Gran Noche Cósmica Cuasi-Eterna Sin Estrellas” entre ya muy escasos, decadentes y devastadoramente remotos entre sí Sistemas Solares de “Última Generación Estelar” –, equivale a lo que previsiblemente ocurrirá dentro de docenas o cientos de miles de millones de años “visto desde dentro” de nuestro “continuo espacio-tiempo o variedad de Riemann-Einstein-Minkoswsky”, desde “dentro de la Gran Caja Tetradimensional”, por así expresarlo: Según las Nuevas Teorías que aproximan siquiera toscamente la “Gran Unificación”, desde la perspectiva superior hiperdimensional del Multiverso – de 4 espaciales mínimas a 10, sin contar con el tiempo – tanto el Big-Bang como el Big-Crunch, Big Chill o

Big-Rip no son sino “puntos críticos de Gran Rebote” supersimétricamente equivalentes...

Por ejemplo, tanto la Teoría M como la de Bucles Gravitatorios N-dimensional o Generalizada muestran que el Big-Crunch de un Universo de Eón anterior conduciría a un Big-Bang de inmediato por “Simetría R , 1/R” , de modo que el “hiperboloide 4D extenso” o en sus “dimensiones desplegadas” de dicho “Par de Universos Acoplados Especulares”, tan solo “cerrado” considerados a la par como una “unidad”, y que algunos llamamos “Dipolo-Verso” es como:

(Fig. 43)

Por último, reseñar que todos esos modelos de Universos, cualquier forma intermedia entre ellos y muchas más – un número inmenso de ellas, en verdad – son teóricamente admisibles cual otros tantos “estados cuánticos permitidos” de

la “función de onda del Multiverso” según es formulada por un camino u otro por las dos sendas que se acercan a la “Teoría del Todo” a la vanguardia de la Física actual: La Teoría M de Supercuerdas (M-ST) y la de Bucles Gravitatorios o Gravedad Cuántica (QLG).

Algo, que “visualizado” gracias a los algoritmos geométrico-analíticos derivados de las ecuaciones de las mismas y – por supuesto – basados a su vez en las Geometrías No-Euclidianas cuya génesis, evolución histórica y lo más básico de su contenido hemos expuesto, sería algo comparable a:

(Fig. 44)

Fíjense en los “finos hilitos tubulares” que conexionan a los diversos Universos: Agujeros de gusano.

Y contemplen la imagen, contémplenla con atención, sensibilidad y reflexivamente... Imaginen la escala: Puedo

asegurarles que se sobrecogerán.

Bien, hasta aquí nuestro pequeño y sucinto viaje histórico y divulgativo por las maravillas matemáticas y físicas de la Geometría No-Euclidiana y/o Hiperdimensional...

Veamos ahora si este humilde librepensador puede aportar un “quantum de arena” a ella...

II

Las implicaciones de la Frontera Bekenstein y el Principio Holográfico en términos del Nuevo

Paradigma Hiperdimensional del Multiverso emergente a la luz de la Teoría M de

Supercuerdas y la de Bucles Gravitatorios Generalizada o N-Dimensional

Entre mediados de los años 70 y principios de los 80 del siglo anterior se produjo un descubrimiento teórico más tarde confirmado de manera indirecta pero firme en términos experimentales que supone una auténtica revolución conceptual en la Física Fundamental: Hasta el extremo de no ser pocos – y entre ellos los mucho más ilustres que este autor – quienes consideramos que constituye la semilla de un Nuevo Paradigma científico y filosófico de alcance general: El de la Nueva Física de la Información, pues implica que esta

magnitud y no la masa-energía son el Primer Principio de Orden Implicado tras el Caos aparente subyacente en el Cosmos-Multiverso que empiezan a atisbar las más avanzadas teorías que ya bosquejan al menos la Gran Unificación entre la Teoría de la Relatividad que rige el Campo Gravitatorio a macro-escala y la Mecánica Cuántica o Teoría Cuántica de Campos que gobierna el Universo a microescala, donde predominan tanto como el primero a nivel macroscópico los otros tres grandes campos de interacciones de la Naturaleza, dejando aparte la por el momento altamente “enigmática” Energía Oscura; El electromagnético, el nuclear débil y el nuclear fuerte.

Ya he tratado este tema en dos ensayos anteriores (repasen [11] y [15]), por lo que me limito a transcribirles lo ya explicado entonces:

Entropía o Frontera de Bekenstein

A mediados de la década de los 70 del siglo anterior, un entonces joven y brillante talento inglés emergente en Física Teórica relativista y Cosmología, llamado Stephen Hawking, (entonces no tan famoso), solicitó ayuda al algo más veterano e igualmente sobresaliente físico-matemático de doble nacionalidad estadounidense e israelí, Jakob Bekenstein – tristemente fallecido hace poco, el 16 de Agosto de 2015 –, muy interesado en la conexión de los Sistemas físicos con la Teoría Matemática de la Información de Shannon-Weaver, además de experto asimismo en Teoría de la Relatividad de Einstein y en Mecánica Cuántica. Hawking necesitaba su tremenda formación y creatividad matemática porque se hallaba “atrapado” por el problema de cómo estimar o calcular la entropía de los agujeros negros, a modo de un primer paso para después plantear una primera aproximación a la “Termodinámica de la Gravedad Cuántica”, por tosca que esta fuese (repasen [11]). Una vez atesorada la aportación de

Bekenstein, Hawking la utilizó para desarrollar matemáticamente un primer modelo de gravedad parcialmente cuantizada para la termodinámica de los agujeros negros, que predijo la emisión de uno de los miembros de pares de partículas-antípartículas que no pueden aniquilarse al caer una de ellas en el “pozo de potencial infinito” del agujero, más allá de su “horizonte de sucesos”... De lo cual se deduce que los agujeros negros se “evaporan” o “enfrían” lentamente, emitiendo corpúsculos-ondas de muy elevada frecuencia (radiación de Hawking): Esta radiación ha sido detectada recientemente de forma experimental, por lo cual la “Frontera Bekenstein” juega en nuestra argumentación el mismo papel de “apoyo empírico” que las observaciones de Thyco Brahe y Johannes Kepler para la Teoría Gravitatoria de Isaac Newton, por ejemplo...

Bekenstein desarrolló un formalismo general capaz de cuantificar la Frontera o Límite Máximo de Entropía o “Caos/Desorden” – o bien de neguentropía o “entropía negativa”, equivalente a cierta cantidad de información “organizada” o “codificable-decodificable” –, que cualquier Sistema Físico delimitado por un “borde” puede contener o almacenar.

La ecuación que determina tal “Frontera o Entropía de Bekenstein” es la que sigue:

S ≤ 4 π kB E R / h c

(Ec. 7)

Simbolizando:

• S = Nivel o Cantidad de Entropía/Neguentropía (Unidades en el SI: J/K); Nota: Para evitar confundirla con “Sección o Superficie, de ahora en adelante denotaremos a esta última como “área superficial”, A.

• kB = Constante Térmica de Boltzmann = 1.380... x 10 -23

J/K.

• E = Energía-masa disipada por efecto entrópico-caótico o aplicada/consumida en organizar-almacenar la información contenida. (Unidades SI: J).

• R = Medida longitudinal del “borde-límite” del Sistema, definido cual una “esfera óptima equivalente”. (Unidad SI: m).

• h = Constante Fundamental de Cuantización de Planck = 6.626... x 10 -34 J . s .

• c = Velocidad de la Luz en el Vacío (aprox.) = 3 x 10 8 m/s.

Utilizando ahora la Equivalencia o Conversión Masa-Energía de Einstein E = m c2, luego:

S ≤ 4 π kB m c R / h

(Ec. 8)

“Traduciendo” a continuación esta inecuación o desigualdad-límite al equivalente en unidades de cantidad de información I de la neguentropía (por lo que cambiamos el signo), según la Teoría de Shannon:

I ≤ –4 π m c R / h Ln2 = –2.577 x 10 43 m R

(Ec. 9)

Siendo entonces I el Nº de bits contenidos o cifrados por los posibles estados cuánticos del Sistema delimitado por la esfera, cuyo límite máximo de información almacenada se mide a la derecha de la desigualdad. El Ln2 aparece porque la base numérica para la codificación, decodificación y almacenamiento o memoria de la información es binaria.

Límites a la Capacidad de Almacenamiento-Procesado de Información

La fórmula anterior (8-9) significa que la Naturaleza básica del Universo impone un límite o “frontera” máxima a la cantidad de información que cualquier Sistema con una masa-energía finita puede procesar o almacenar.Esto se debe a la propia estructura “granulada” o cuántica a escala submicroscópica de la Realidad Física: Las unidades de información – el “software” de las Redes procesadoras e intercambiadoras de información de cualquier índole – han de ser al fin y al cabo “soportadas” en última instancia por unidades físicas de masa-energía u ondas-partículas cuantizadas o discretas, el “hardware” (q-bits). Cuyos “grados de libertad” o diferentes estados cuánticos permisibles codifican o “cifran” dicha información. Habida cuenta de que cada partícula no puede dividirse por ello en sub-partículas indefinidamente, habrá un momento en que lleguemos al nivel de la escala o métrica de Planck, justo por debajo de la más elemental partícula o quizás “supercuerda” y/o “bucle gravitatorio” definible: Más allá de ella, no podrá codificarse ni decodificarse información alguna, pues sería inferior a 1 bit, o lo que es equivalente decir, en términos físicos el “temblor de la incertidumbre cuántica” haría imposible diferenciar el “estado 0” del “1” en la lógica binaria.

De hecho, más adelante se calculó – aplicando la Mecánica Cuántica – que 1 “nat” (1.44 bits) equivale a cuatro unidades de Planck ([11]).

Igual acontece a escala macroscópica, aunque de forma aparentemente “masiva y continua”: Por ejemplo, el cerebro humano – la red más compleja, densa y capaz en tratamiento de información que conocemos – posee un“radio esférico equivalente” de unos 6.7 cm, correspondientes a sus 1260 cm3 de volumen; Su masa es de unos 1.5 Kg; Ambos en valores promedio, claro: Si introducimos estos datos en (9) , obtenemos que la máxima capacidad de almacenado y procesamiento de información de nuestro cerebro resulta del orden de 2.6 x 10 42 bits. Lo que según la Teoría de la Información supone un nº más elevado de estados cuánticos admisibles de energía-información (q-bits) en nuestra mente viene dado por la inimaginablemente colosal cifra de: O = 2 I

= 10 7.8 x 10^41 .Cantidades fabulosas en ambos conceptos, pero finitas.

Un aspecto sumamente sugestivo de este asunto es que – en principio – puesto que esta “masa” o número de unidades de información es idéntica asimismo a la precisa para “recrear” , “copiar” o “describir” a la perfección un cerebro humano medio en términos mecano-cuánticos, un futuro “ultra-megaordenador opto-cuántico” podría llegar a conseguir la “transferencia psíquica”: Esto es, “bajar, subir o copiar/grabar” el contenido informático íntegro de un cerebro en un soporte cibernético o una “nube” virtual en red de capacidad suficiente. Lo que incluye nuestra memoria, personalidad y cada patrón de nuestras emociones, conductas y pensamientos, materializados por las inmensas pero finitas conexiones y entrelazamientos de “q-bits” soportados por nuestras neuronas a nivel molecular... Así, en un más o menos lejano porvenir – quizás no tan remoto – la “inmortalidad

virtual” sería una realidad.

Otro campo fascinante y casi sobrecogedor donde se aplica la Frontera de Bekenstein es el que originalmente le propuso Hawking: La física o termodinámica básica de los agujeros negros.

Y, además, en este tipo de Sistemas – donde las altísimas densidades de masa gravitatoria y a la par reducidísimos volúmenes de su singularidad central imponen al menos esbozar una primera aproximación de modelos de Gran Unificación o Gravedad Cuántica – el resultado logrado por los análisis de Bekenstein fue tan sorprendente, revolucionario y pasmoso que aún hoy sus profundísimas y reveladoras consecuencias son objeto de fuerte polémica en la comunidad científica de físicos teóricos, astrofísicos y cosmólogos. Y, por derivación, en la de los filósofos y hasta teólogos abiertos de mente.

La Frontera de Bekenstein de un Agujero Negro

Al aplicar su modelo bajo las extremas condiciones citadas, combinándolo con una conjetura aproximada de ciertas “primitivas” teorías cuánticas de gravedad manejadas, entre otros, por Stephen Hawking – muy toscamente, pero hoy por hoy confirmadas por la Teoría M de Supercuerdas y la versión más avanzada de la de Bucles Gravitatorios – repasen [15] y [16]) –, Jakob Bekenstein dedujo lo siguiente:

S(BH) ≤ (2 π kB c 3/h G) A/4

(Ec. 10)

O sea: “La entropía máxima de un agujero negro S(BH), de “black hole”, es directamente proporcional a ¼ del Área

Superficial de su horizonte de sucesos”.

La constante de proporcionalidad directa incluye un conjunto de factores equivalentes al inverso de la Longitud de Planck al cuadrado, o “Área de Planck”, teniendo presente que:

l p 2 = (h G/2 π c 3)

(Ec. 11)

Con lo cual, podemos reescribir (10) como:

S(BH) ≤ (kB /l p2) A/4

(Ec. 12)

Ahora bien, por diversas y muy bien fundadas razones físicas, sabemos que un agujero negro implica la máxima cantidad de entropía posible almacenable en un espacio de su mismo volumen: Lo que significa que (12) puede considerarse una medida efectiva de la máxima de las máximas entropías o entropía máxima absoluta que es posible “confinar” en un espacio delimitado cualquiera... O bien de la misma cantidad justa y cambiada de signo de información que este “destruiría” o “absorbería” al formarse por alcance de una gigantesca densidad de masa-energía crítica en dicha región espacial, lo cual es lo mismo matemáticamente a cuantificar la cantidad neta máxima de información que dicho Sistema definido podría jamás procesar o “guardar” en situaciones de “baja densidad”; Esto implica que por cada 4 unidades de Planck existe al menos un grado de libertad o unidad kB de máxima entropía, es decir, un estado cuántico “permitido”, capaz por ello de cifrar 1 bit (0,1) de información.

De hecho, Bekenstein y Hawking evidenciaron que, al

introducir la densidad crítica por ellos y otros calculada en los modelos relativistas de colapso de un agujero negro de tamaño o Radio de horizonte dado R , las ecuaciones general (8-9) y particular (12) para la “entropía/información máxima absoluta” se tornaban físico-matemáticamente equivalentes o indistinguibles.El valor de tal “densidad crítica” es deducido muy simplemente a partir del Radio de Schwarzschild del Horizonte de Sucesos, R = 2 G M/c 2 (revisen [11] y [15], desarrollándolo por:

R = 2 G M/c 2 = 2 G rV/c 2 = 2 G 4 ρ R 3 / 3 c 2

De ahí basta con despejar y simplificar para llegar a deducir la densidad del agujero negro:

ρ(BH) = 3 c 2/8 p R 2 G = (1.62 x 10 26)/R 2

(Ec. 13)

Recordemos breve y simplificadamente el “concepto visual” del Radio de Schwarzschild o del “Horizonte de Sucesos” de un agujero negro, más allá del cual nunca podríamos “escapar” de su desmesurado campo gravitatorio:

(Fig. 45)

Así, dado el “diminuto tamaño” de la Constante Gravitatoria y el “descomunal” del factor c 2 , los órdenes de magnitud de la densidad de un agujero negro resultan siempre muy grandes, a causa de la “titánica” constante de directa proporcionalidad por ellos compuesta al dividirse la segunda por el primero: Por ejemplo, un agujero negro “típico” cuyo “Radio de Horizonte” mida 30 Km poseerá una densidad crítica de 1.8 x 10 17 Kg/m3

(unas 200 billones de veces más denso que el agua líquida pura, con una masa aproximadamente igual a 10 masas solares), otro “monstruoso” cual el que ocupa el centro de nuestra Galaxia de radio estimado sobre los 3 millones de Km, tendrá una densidad crítica igual a 1.8 x 10 13 Kg/m3 (20000 millones de veces más denso que el agua, y una masa en torno a un millón de masas solares); Finalmente, a un tercer agujero de tipo “modesto” que presentase una masa de magnitud idéntica a la del Sol y un Radio de Horizonte alrededor de 3 Km, le correspondería una densidad crítica de colapso de 1.8 x 10 19 Kg/m3 (casi 20000 billones de veces la densidad del agua).

Y, en efecto, se puede comprobar matemáticamente que las fórmulas (8) y (10) convergen en exclusiva si adoptamos (13) como la densidad crítica de colapso de cualquier agujero negro.Porque, igualando (8) y (10):

4 p kB m c R / h = (2 p kB c 3/h G) A/4

Si expandimos el área A en función del radio R, operamos y eliminamos factores idénticos:

4 p kB m c R / h = 2 p kB c 3 4 p R 2/ 4 h G

4 p kB m c R / h = 2 p 2 kB c 3 R 2 / h G

Simplificando entre ambos lados de la igualdad es fácil inferir que:

2 M = c 2 R/G

O bien:

R = 2 G M/c 2 = Radio de Schwarzschild

Del cual ya nos consta se deduce directamente la “densidad crítica de colapso” (13), definida por:

ρ(BH) = 3 c 2/8 p R 2 G

Una consecuencia teórica conmovedora y “anti-intuitiva”: El “Principio Holográfico” de la Entropía/Información

El “Principio Holográfico” es una interpretación conceptual profunda y conmocionante de los hallazgos antes descritos acerca de la entropía de los agujeros negros – un nuevo “giro copernicano” de la Nueva Física Cuántico-Gravitatoria emergente, el Nuevo Paradigma de la Gran Unificación y la Física de la Información –.Los modelos aproximados de Gravedad Cuántica desarrollados a partir de 1993 por Gerard ' t Hooft – posteriormente refinados, propugnados y propagados por Leonard Susskind desde 1995 – condujeron a este último a concebir su famoso “Principio Holográfico” , el cual puede sintetizarse así:

“Los Agujeros Negros poseen la entropía máxima absoluta capaz de generarse por colapso gravitatorio en un volumen o recinto limitado de espacio cualquiera, o bien de la máxima

cantidad de unidades de información procesable/almacenable en tal región del espacio bajo situaciones de muy inferiores densidades de masa-energía: Por ende, toda la información

máxima posible procesable/almacenable por o en un Sistema cualquiera es directamente proporcional a dicha 'Frontera Bekenstein-Hawking' de máxima entropía, y por ello al Área

Superficial de sus límites o bordes, no a su volumen: Así pues, toda la máxima información que podemos jamás conocer de

un Sistema, o que describe dicho Sistema físico-computacional , sus estructuras, dinámicas y propiedades

integralmente, no es más que un 'holograma virtual'' o 'imagen bidimensional ' del Sistema tridimensional”.

Gráficamente, podemos esquematizarlo así:

(Fig. 46)

A lo que el notable científico no tardó en añadir, de manera ahora ya francamente especulativa:

“En cierto modo, la 'tridimensionalidad' bien podría entonces considerarse como un 'efecto ilusorio de la concentración de masa-energía (gravedad) y el discurrir 'positivo' desde el presente al futuro del tiempo/aumento de entropía del Universo', no su constituyente espacial esencial ” .

Esta última posibilidad lógica empujó a Susskind al extremo de considerar que:“Todo el Universo en su conjunto bien puede ser formulado como un 'recinto' ilimitado en tres dimensiones aparentes, pero finito en términos del espacio-tiempo cuatri-dimensional de la Teoría de la Relatividad (Universo 'Cerrado' o Hiper-Esferoidal), y/o bien 'abierto' pero asimismo 'confinado' para niveles dimensionales de 5 componentes o superiores, en el contexto de la Interpretación del Multiverso de la Mecánica Cuántica de Everetts, así como de los primeros esbozos de las teorías de Gravedad Cuántica: Por tanto, es razonable al menos plantear que el Universo entero es un holograma bidimensional; La 'tercera dimensión espacial'' sería un 'efecto perceptivo/instrumental ilusorio', fruto de la aparente densidad local de masa-energía – incluyendo la del 'potencial de vacío' , así como debida a la par a la expansión del Universo por este sostenida y quizás acelerada – (se refiere a la 'Energía Oscura'), que provocan a su vez el igualmente 'ilusorio o virtual'' fenómeno del incesante incremento de entropía/flujo 'positivo' del tiempo desde el pasado o presente al futuro, a escala macroscópica: Tal 'triple flecha del Tiempo' (cronológica, entrópica o termodinámica y geométrico-expansiva)' y su 'tridimensionalidad espacial asociada', no serían 'reales' en términos físicos fundamentales o cuántico-computacionales-gravitatorios, dado que la 'Frontera Bekenstein' demuestra – de modo radicalmente anti-intuitivo – que toda la información máxima precisa para describir un Sistema físico cualquiera, sus propiedades y su evolución más o menos determinista o probabilística se halla contenida en su

área superficial, y es independiente de su volumen, justo al revés de lo que señala la inercia de nuestros sentidos y procesos cognitivos corrientes, 'encerrados'' en su 'holograma ilusorio tridimensional” .

Mis Muy Queridos, Amables y Pacientes Lectores ya saben que personalmente no acepto en principio esta interpretación 'maximalista' final del eminente físico teórico y sus seguidores, aunque sí por supuesto la rigurosa certeza de la “Frontera de Bekenstein”: Es decir, admito – como todos los físicos y divulgadores bien informados y actualizados –, el enunciado “restringido o minimalista” por así decir del Principio Holográfico en su redacción original, no el “añadido radical-universalizador”, cosmológico o “maximalista” ulterior especulativo realizado por su autor.Las razones tanto científicas como filosóficas para esta opción ya las expuse en [15], y a su consulta o repaso me remito, si les interesan.Y me reafirmo en ello tras los últimos avances logrados a lo largo de las décadas siguientes por la Teoría Unificada de Supecuerdas/M y la de Bucles Gravitatorios Generalizada a N-Dimensiones, las dos evoluciones naturales de las primeros intentos de “gravitación cuántica” que inspiraron a Susskind. Y que quizás (ojalá) no tarden en converger en un Todo complementario y coherente, la auténtica Teoría de la Gran Unificación entre la Mecánica Cuántica y la Teoría del Campo Gravitatorio de la Relatividad General, anhelada desde Einstein: Tanto la una como la otra formulan – es verdad – un Multiverso donde conviven un número inmenso pero finito de Universos, todos ellos emergidos desde una Nada Oscilante Cuántica Adimensional – la “Matriz Eterna e Infinita del Cosmos” –, por Efecto Túnel/Expansión Inflacionaria, cada uno de ellos con un número variables de dimensiones espaciales “extendidas” u “ocultas por replegamiento ultramicroscópico”... Pero en cada “solución” o “colapso global” de la “Función de

Onda Vibracional del Multiverso” – esto es, en cada uno de estos “Universos Permitidos Alternos” de muy variable conformación fundamental –, su número y estructura dimensional es real, matemáticamente consistente, medible y determinable, y de ellas dependen los modos de vibración/oscilación o estados de reticulado cuántico de los lazos/bucles de gravedad de sus respectivos espacio-tiempos locales, y por eso mismo las propiedades de sus partículas básicas componentes asociadas a cada uno de estos, sus “Leyes y Constantes Físicas Fundamentales “ y así pues su configuración desde el nivel molecular, al astrofísico y su evolución cosmológica general. No hay “dimensiones ilusorias”...

Ya está bien de “dualismos persas” y sus herencias gnósticas, bogomilas y cátaras, por favor...

La Materia-Energía es Belleza, es Verdad...

Porque no es más que la “otra cara” la “Obra Condensada” de la Información Creadora...

Me da igual en cuántas dimensiones se plasme a partir de sus “planos holográficos bidimensionales”...

Para mí, lo contrario es confundir de forma grave además de reduccionista/espiritualista y “maximalista” “el esquema informacional” , los“Programas o Diseños variantes admisibles en el Multiverso”, con sus Productos Ejecutados” (cada Universo).

Pues detrás de todo Dualismo Radical se esconde el “infeccioso meme viral o parásito” que desprecia lo sensorial y físico, lo “material”, tachándolo de “cárcel engañosa” y “Creación falsa del Mal”...

Algunos, como Einstein y el humilde librepensador que esto firma, somos neo-platónicos, y asumimos que “las ecuaciones son correctas porque son bellas”, pero sin exagerar.

Lo que – en opinión de muchos más cada día – plasma el “Principio Holográfico/Frontera de Bekenstein” en verdad, es que muy probablemente el número mínimo de dimensiones espaciales “desplegadas” preciso para conformar un Universo físico estable y coherente sean dos, los “Mundos Flatlan-Planos”, en los cuales el “plano holográfico-informacional” y su “cosmos local físico ejecutable” coincidirían de modo idéntico en número de dimensiones.; Otro grupo de posibles Universos alternos desarrollaría una tercera dimensión adicional “extendida”, como el nuestro, dotando al “diseño o software virtual” plano” de tales “Mundos/Cosmos” de “profundidad” o relieve, por así expresarlo; Otros más desplegarían cuatro – dos dimensiones aditivas más de la mínima necesaria –, y así sucesivamente. En todas las opciones, la Teoría M predice que el resto de dimensiones espaciales hasta 10, permanecen “replegadas” e indetectables por consiguiente, desde sus más tempranos instantes pre-inflacionarios, y que el tiempo siempre se despliega, pues es lo que hace que “se anime, mueva o evolucione cada geometría N-dimensional variable”, por resumirlo en palabras sencillas y poco técnicas. (Vean o revisen [11] , [15], los que deseen profundizar más). La Teoría M también ha probado matemáticamente que los números más probables de “dimensiones espaciales extendidas o desplegadas” en todo el Multiverso son subconjuntos de Universos de Universos de 2, 3 y 4 dimensiones aparentes a escala microscópica-macroscópica medible. O sea, aparentemente bidimensionales, tridimensionales como el que habitamos o cuatridimensionales, en los tres casos añadiendo el tiempo; Los posibles Universos “monodimensionales” no serían factibles por causas ligadas a la dinámica vibratoria de

las supercuerdas elementales – lo que coincide muy sugerente y convincentemente con el “argumento Bekensteniano del mínimo límite para el “Diseño Informacional” de cualquier Universo –, y los “pentadimensionales” o superiores serían en principio “admisibles”, si bien mucho menos “probables mecano-cuántico/cosmológicamente”, tanto más improbables o poco frecuentes cuanto mayor fuera su número dimensional “desplegado”, asimismo por laboriosos argumentos geométrico-matemáticos-cuánticos cuyo concepto expliqué en [15], y ahora no importa para el objetivo de este trabajo.

Lo que sí importa y mucho es este hecho, que recapitula la conclusión de la “Frontera Bekenstein-Hawking” y el “Principio Holográfico” derivado de ella:

“La Máxima Información que describe cualquier Sistema Físico finito o limitado es directamente proporcional a su Área

superficial confinante”

Reformulando ahora (12) exactamente igual que hicimos con (8-9), en términos informático-computacionales, expresamos cuantitativamente tal Principio:

I(Máx) = – (1/lp2 Ln2 ) A/4

(Ec. 14)

El significado de este Principio en relación a la Geometría y la Física Hiperdimensionales es profundo, radical y tremendamente fascinante: Conlleva que cualquier sector finito o limitado de geometría local definida, o “variedad de Einstein-Minkoswsky” del espacio-tiempo del Universo – o de cualquier otro Universo en el marco de las Nuevas Teorías de Unificación M y QGL) –, caracterizado por N Dimensiones y

una Simetría de Curvatura dada, contiene en su “cáscara o superficie externa”, su “límite-frontera de Bekenstein”, toda la información completa y precisa sobre sus propiedades estáticas y dinámicas fundamentales, así como su probable o determinista evolución temporal futura: Todos esos rasgos y datos esenciales se hallan integralmente “cifrados” y podrían por ello ser codificados y decodificados para “reproducir” el objeto o Sistema por entero en N-1 dimensiones, una dimensión menos de las N dimensiones que posee realmente el mismo.

Así pues, el desarrollo en una dimensión adicional del Sistema o cuerpo no es más que consecuencia directa de la concentración-densidad de masa-energía y el sentido unidireccional de la “triple flecha del tiempo”: cronológico, entrópico hacia mayor desorden y expansivo del “tejido espacio-tiempo” del Universo en cuyo seno se encuentra, no de los campos físicos cuantizados a nivel microscópico y sus estados permisibles, que determinan los q-bits que cifran tal información...

Esto fue confirmado por Maldacena ([11]), al demostrar matemáticamente que, aplicando el Principio de Bekenstein, los primeros modelos de gravedad cuántica de bajas energías – llevados al límite superficial de cualquier Sistema de Partículas finito – equivalían a un espacio algebraico bidimensional – denominado “de Virasoro” en honor al matemático que lo “diseñó” –, análogo al que determina un espacio de Hilbert tridimensional, precisamente el que define el marco de desarrollo de la Teoría Cuántica de Campos para el electromagnetismo, la fuerza nuclear fuerte y la débil, previamente unificados ya desde hace decenios.

En otras palabras: Es la gravedad y la expansión espacio-temporal del Universo lo que generan la tridimensionalidad, no

las otras tres interacciones fundamentales del mismo: A escala submicroscópica-cuántica, el Univero 3D es físicamente indistinguible de “su versión plana o Flatland bidimensional”.

En ello se apoyan Susskind y sus partidarios “hologramistas extremos” para defender que “la tridimensionalidad es una ilusión efecto de la alta densidad de materia, no es real en un sentido esencial”...

De hecho, la obsesión del Dr. Susskind en tal sentido es tan intensa, que en círculos científicos se le apoda “Mr. Antigravity”...

Lo cual – en mi opinión – es un exceso filosófico y conceptual serio.

Pero dejemos eso para otro trabajo.

Ahora centrémonos en el asunto desde un punto de vista matemático-geométrico multidimensional, el objeto de este análisis:

El Principio Holográfico cimentado en la Frontera Bekenstein-Hawking y los resultados de Maldacena parecen sugerir que hay una novedosa “Simetría G-N” o “Gravitatoria-Dimensional”, que podemos enunciar así:

“Cualquier Universo o Sector (Variedad Riemanniana) de él en N-Dimensiones espaciales integrando el Campo de Gravedad es equivalente o físicamente indistinguible de otro Universo o

Sector de él de (N-1) dimensiones espaciales en el cual excluyamos la gravedad, dado que la formulación de sus

Campos Cuánticos no varía en absoluto”

O bien, de modo más sencillo, menos técnico:

“Cualquier Universo o Sector Local de él de N dimensiones espaciales a escala macroscópica, a nivel submicroscópico equivale o es físicamente indistinguible de su “sombra” o “proyección” plasmada en (N-1) dimensiones espaciales”

Esta sugestiva y crucial nueva Simetría Fundamental de la Naturaleza ya apuntada en los estudios de Maldacena ha sido generalizada recientemente por los últimos y más potentes desarrollos de la M-ST y la QLG-N (N dimensional), no solo para “nuestro Universo” o cualquier otro “dimensionalmente semejante” (entre N=3 y N=2 dimensiones), sino de forma estrictamente genérica, tal cual aparece en el texto.

En concreto, en el formalismo de la M-ST, una “supercuerda elemental”, cada uno de cuyos modos cuánticos permitidos de vibración y/o traslación determinan o se asocian a un tipo de partícula fundamental componente del Universo – incluyendo el gravitón que media el campo gravitatorio, por eso lo “unifica” con la Teoría Cuántica de Campos –, es en principio “monodimensional” a “bajas energías” y “pequeñas constantes de acoplamiento” (consulten [11]) o tamaño diminuto – contexto de la Teoría Cuántica de Campos –... ; Al “inyectarle” densidades de masas-energías o potenciales de interacción mayores se “transmuta” en una superficie oscilante plana (2-brana o “brana”), y entonces puede “integrar” la interacción gravitatoria a escala macroscópica de “escasa densidad” (sube el acoplamiento pero no significativamente la concentración de masa-energía)...; Pero para situaciones a la par ultra-compactas en densidad o super-gravedad y ultramicroscópicas – cuales las supuestas “Singularidades” del Big-Bang o el centro de un agujero negro más allá de su “horizonte de sucesos” –, tanto la densidad de energía potencial como el acoplamiento han de ser enormes, y en tal caso las 2-branas se transforman en auténticas “membranas tridimensionales”

extendidas (3-branas), cada una de las cuales “encierra” un Universo en expansión inflacionaria más o menos moderada al enfriarse después...

Esto puede ocurrir también para otros Universos con un nº mayor de dimensiones espaciales “desplegables”, hasta 10, por eso la Teoría habla de “p-branas” en general, donde aquí p es su número dimensional.

En general, este modelo de la Teoría M admite que las tres interacciones de los campos cuánticos en cada “solución permitida” o Universo determinado operan a través de partículas-fuente y de intercambio ligadas a cuerdas “abiertas” en N-branas – por ejemplo 2-branas en la “superficie de nuestro Universo”, mientras que la gravedad – y por ende el gravitón y su onda asociada de gravedad que interactúa entre cualesquiera dos masas – lo hace, en cambio, mediante cuerdas cerradas “no-ancladas” pues por ser cerradas como “minúsculos anillos” pueden “salir” y “entrar” en la superficie de la 2-brana, y así se propagan o mueven en todas las direcciones posibles en cada Universo o “variedad geométrico-cuántica”, es decir, en nuestro caso a través de una tercera dimensión adicional (3-branas o “membrana cósmica”, provista de “grosor”). De hecho, algunos postulamos que la Masa Oscura no es sino la medida del efecto gravitacional de las membranas de uno o más Universos “vecinos”, y la Energía Oscura que acelera su expansión por su carácter antigravitatorio procederían de la “gravedad especular o antigravedad” del “Universo Espejo” que se contrae al mismo ritmo hacia su Big-Crunch según la Fig. 43.

Un esbozo:

(Fig. 47)

El artista o ilustrador – haciendo gala de unas buenas dotes didácticas – representa los campos electromagnéticos a través de una persona (los procesos químicos y metabólicos son de índole esencialmente electromagnética a escala molecular y celular) y del Sol (la luz, una onda electromagnética), los nucleares fuerte y débil con un átomo – además de la fuerza eléctrica entre protones y electrones, claro –, transmitiendo aparte con ello la idea de que “nuetra brana” abarca todo el Universo que habitamos, desde la escala más macroscópica de los cúmulos de Galaxias hasta las partículas fundamentales. Pero vean que la gravedad – plasmada mediante el gravitón y sus ondas gravitacionales muy recientemente confirmadas o detectadas empíricamente –, no solo actúa o irradia sobre la Brana-Mundo de nuestro Universo, sino asimismo perpendicularmente a ella. Esto genera la “tridimensionalidad” que no es necesaria para describir el Universo y sus Leyes Físicas limitándonos a los otros tres campos – por eso la figura de nuestra brana es plana, aunque en verdad lo es siguiendo o envolviendo el inmenso contorno curvo 3D del mismo, a modo de una superficie de Gauss – . Una pequeña simplificación comprensible, no se trata de dibujar nada más que un “trocito”

de nuestro “Mundo-Universo”... Esa misma cuerda cerrada/campo gravitatorio posibilita que todo nuestro Universo pueda interactuar con otros “próximos” a escala hiperdimensional (el hiperespacio del Multiverso, que presentaría un Nº de dimensiones mínimo de 5 a máximo de 10, al que denominan “bulk”, literalmente, “bulto”). Esta “difusión extradimensional” del gravitón o su cuerda asociada explicaría además la increíble debilidad intrínseca del campo de gravedad en comparación a los otros tres, uno de los grandes atractivos de la hipótesis.

De hecho, muchos y cada vez más físicos teóricos y cosmólogos creen que el propio Big-Bang, el “Big Bounce” o “Gran rebote” previamente expuesto, así como otros “Grandes Cataclismos Cósmicos creadores/destructores/renovadores” bien pueden ser debidos a “choques” entre “Branas-Mundo vecinas” (Cosmología de Branas):

Choque Primigenio entre Branas = Big Bang

(Fig. 48)

Después: “Rebote” o Expansión/Contracción Cósmica

(Fig. 49)

De esto se deriva asimismo un modelo que permite justificar la etapa de violenta y rapidísima expansión inicial del Universo justo tras el Big-Bang (fase inflacionaria).

Meditemos lo lejos que nos han llevado las Geometrías No-Euclidianas Hiperdimensionales y el Principio Holográfica en más o menos 150 años...

Pero volvamos al principio de nuestra exposición;

“Toda la información máxima procesable, almacenable, codificable o decodificable sobre un Sistema físico finito

cualquiera se concentra en su superficie, de modo que la entropía/información – considerada en valor absoluto –

correspondiente obedece a:

S = (1/lp2 Ln2 ) A/4 ”

Partiendo de ahí, es hora de demostrar mi Teorema.

III

Teorema Schreiber de la Selectividad Hiperdimensional

• Hipótesis:

1

Entropía Mecano-Estadística de Boltzmann, en unidades de información

S = (1/Ln2) log Ω

Ω = Nº de estados de información o “grados de libertad” posibles en el Sistema limitado y finito (q-bits)

(Ec. 15)

2

Frontera de Bekenstein-Hawking, Máxima Información contenida en un Sistema limitado y finito

S = (1/lp2 Ln2 ) A/4

(Ec. 16)

3

Elementos de un Hipercubo Euclidiano

(Extractado de “Regular Polytopes” [2], del matemático canadiense Harold Scott McDonald Coxeter (1947)

Nota: “Politopo = Polígono o poliedro regular euclidiano N-Dimensional

Todos sabemos que un cuadrado (cubo 2D), presenta 4 lados iguales, 4 vértices o aristas y una única cara; Un cubo, por su parte, muestra 6 caras cuadradas, 8 vértices y 12 lados; Por

idénticos y elementales razonamientos analógicas evidentes, un hipercubo, cubo 4D o teseracto tendrá 8 cubos o “caras cúbicas tridimensionales”, 24 caras cuadradas planas, 16 vértices y 32 lados: Es decir, el cuadrado suma 9 elementos, el cubo 27 y el teseracto 81.

Considerando al punto como “cubo de dimensión 0”, y al segmento “cubo de dimensión 2”, podemos escribir la siguiente Tabla más general:

Di/EgD= DimensiónE= Elementos

Vértices Lados Caras Cubos Hiper-cubos

n(Nº de

elementos)

0 (Punto) 1 0 0 0 0 11 (Segmento) 2 1 0 0 0 32 (Cuadrado) 4 4 1 0 0 9

3 (Cubo) 8 12 6 1 0 274 (Hipercubo) 16 32 24 8 1 81

Tabla 1

Con un pequeño esfuerzo matemático, podemos calcular fácilmente el nº de elementos de un N-Cubo cualquiera, de manera genérica.

Sea E(K,N) la cantidad de K-Cubos que existe en un N-Cubo, siendo N mayor que K, y ambos números enteros, por supuesto.

El número de K-Cubos que se apoyan o inciden en un vértice dado cualquiera se estima de la forma que sigue: De cada vértice salen N lados, y para definir un K-Cubo que toca dicho

vértice precisamos tomar K de esos lados, luego el nº de K-Cubos que que se sustentan en tal vértice será idéntico al nº de posibles maneras de agrupar K lados o aristas dentro del conjunto de los N lados que nacen en el vértice. Esta cifra es igual al nº combinatorio C(K,N) cuantificado por:

C(K,N) = N! / K! (N - K)!

(Ec. 17)

Donde N! = “Factorial de N” = N (N-1) (N-2) (N-3)... x 3 x 2 x 1 y lógicamente K! = K (K-1) (K-2) (K-3)... x 3 x 2 x 1

Puesto que hay siempre 2N vértices (comprobar con la Tabla 1), parece entonces que a simple vista el nº de K-Cubos que buscamos vendrá dado por:

2N C(K,N)

Sin embargo, debemos pensar que cada K-Cubo comprende a su vez 2K vértices, por lo cual hay que dividir por ese valor, ya que en caso contrario estamos contando cada K-Cubo 2K

veces.

Por consiguiente:

E(K,N) = 2N C(K,N) / 2K

Sin más que reducir a potencia de la misma base:

E(K,N) = 2(N - K) C(K,N)

(Ec. 18)

Generalizando para todos los elementos de un N-Cubo que a su vez incluye dentro todos los K, K-1, K-2-Cubos hasta los 0-Cubos (cada uno de sus puntos), tendremos que:

E(N,N) = E(0,N) + E(1,N) + E(2,N) + E(3,N) + … + E(K,N) + … + E(N-1,N) + E(N,N)

Para: K=0,1,2,3 … N

(Ec. 19)

Sustituyendo (18) en (19), obtenemos:

E(N,N) = 2N + 2(N-1) C(1,N) + 2(N-2) C(2,N) + 2(N-3) C(3,N) + … + 2 C(N-1,N) + C(N,N)

Desarrollo en serie que coincide con el Binomio de Newton dado por (2 +1)N = 3N, por lo cual:

E(N,N) = E(N) = 3N

(Ec. 20)

Pueden corroborar los valores de la Tabla 1 utilizando (20).

Nº de Elementos, Secciones o “Trazos” M de Dimensión K (K≤N) contenidos en un Hipercubo de Dimensión N

(Extractado de “Regular Polytopes” [2], del matemático canadiense de la Universidad de Toronto Harold Scott

McDonald Coxeter (1948)

Es la fórmula que permite obtener los resultados de la Tabla 1 y generalizarlos para cualesquiera Números Dimensionales K y N, siempre que el primero sea inferior o igual al segundo, jamás superior:

EM(K,N) = 2(N – K) C(K, N)

(Ec. 21)

Naturalmente, se trata de la misma (Ec. 18) ya generalizada.

Por ejemplo, el número de segmentos o aristas (K=1) incluidas en un cuadrado (N=2) es: 2 x (2!/1! x 1!) = 4; Y en un cubo (N=3): 22 x (3!/1! x 2!) = 12; Asimismo, la cantidad de cuadrados o caras de un cubo (K=2, N=3), vendrá dada mediante: 2 x (3!/1! x 2!) = 6; Así el nº de aristas o lados de un teseracto o Cubo 4D (K=1, N=4) se calcula como: 23 x (4!/3! x 1!) = 32; El de sus caras cuadradas (K=2, N=4): 22 x (4!/2! x 2!) = 24; Y el de sus cubos 3D (K=3, N=4): 2 x (4!/1! x 3!) = 8; Del mismo modo, las cifras para el número de vértices (K=0) de un segmento o “Cubo 1D” (N=1) es obviamente: 2 x (1!/1! x 0!) = 2 – recordemos que 0!=1 en Combinatoria –; Por ende, la cantidad de vértices de un cuadrado o “Cubo 2D” (N=2) es ciertamente: 22 x (2!/2! x 0!) = 4; Y los contenidos por un cubo “ordinario” (N=3): 23 x (3!/3! x 0!) = 8; Siendo por ello el nº de vértices de un teseracto o Cubo 4D (N=4) igual a: 24 x (4!/4! x 0!) = 16.

De nuevo podemos verificar los datos de la Tabla 1 aplicando (21).

Hagamos notar que si las “Secciones” o “Trazos” elegidos son del mismo número dimensional que el hipercubo o en general politopo considerado (K=N), en todo caso se obtendrá: 20 x (N!/0! X N!) = 1: Esto es evidentemente lógico, pues el nº de elementos de cualquier ente o cuerpo geométrico contenidos en él mismo ha de resultar necesariamente idéntico a la unidad, por el mismísimo y axiomático Principio de Identidad.

Una vez definidas estas relaciones preliminares asumidas cual

hipótesis ya demostradas, pasemos a desarrollar el Teorema:

Tesis

Para cualquier Hiper-Volumen N-Cúbico unitario mínimo elemental de un recinto Hiper-Espacial Euclídeo Limitado o

Finito, la Fracción Útil de Entropía/Información Máxima almacenable, procesable y reproducible en su seno es igual al

inverso del doble del Número Dimensional inmediatamente inferior, o Número Dimensional de su “Hiper-Área” o Sección Hiper-Superficial-Frontera (N-1); Ello implica que tal Fracción

Útil disminuye continuamente al aumentar este Nº Dimensional N: En el límite, para números hiperdimensionales “grandes”, esta fracción tenderá asintóticamente a cero, por lo cual la

práctica totalidad de su Hiper-Superficie únicamente contendrá “ruido informático”, o “fracción de entropia/información inútil”;

Ello implica que existe una “Ley de Selectividad Hiperdimensional en el Multiverso”, al menos a la escala

macroscópica y de bajas densidades de masa-energía que conlleva la geometría “cuasi-euclídea”, de forma que los

Números Dimensionales “Desplegados” a nivel macrofísico Efectivos Óptimos o más frecuentes-probables

estadísticamente en el contexto del Paradigma del Multiverso oscilan entre un mínimo de N=2 y un máximo de N=5, “siendo

generosos”; Cualquier Universo cuyo Nº de dimensiones espaciales “extendidas” sea mayor o igual a 6 hasta 11 – en el

contexto de la Teoría M-ST o la QLG-N – sería por tanto extraordinariamente inestable y hostil a permitir evolución de

Sistemas de materia-energía altamente organizada o compleja a escala macroscópica en su seno por abrumador exceso de “ruido informático”, siendo de esta manera extremadamente

poco frecuentes o probables.

Demostración

Sea un volumen hipercúbico de Dimensión N.

Su nivel de entropía/información máxima S(N) será directamente proporcional al logaritmo decimal de su número de estados cuánticos (q-bits) discretos diversos o “grado de libertad” Ω, según la “Ecuación de la Entropía Mecano-Estadística de Boltzmann”, el cual para tal valor máximo absoluto ha de coincidir con el Nº total de elementos hipergeométricos que lo definen E(N), (Ec. 20).O sea, “traduciendo la Ecuación de Boltzmann” en términos informáticos:

S(N) = kB logΩ = (1/Ln2) logΩ = (1/Ln2) log(3N)

(Ec. 22)

Esta formulación se puede reducir a otra más sencilla, cambiando de la base decimal del logaritmo a base 3, y aplicando una de las propiedades fundamentales de los logaritmos:

S (N) = (1/Ln2) (log3 3N/log310) = (1/Ln2 log310) N

(Ec. 23)

Por otra parte, esta entropía/información máxima absoluta debe ser idéntica a la análoga de la determinada por la “Frontera de Bekenstein” en N=3 (16) para dicho hipercubo (16), cuya expresión general generalizada en N dimensiones será, por (21) y (22):

S (N) = (1/Ln2) K(N-1)

log 3(N-1) = (K(N-1)/Ln2 log310) (N-1)

(Ec. 24)

En ella, K(N-1) simboliza la fracción de la hipersuperficie o “Frontera de Bekenstein” de dimensión (N-1) a la que es directamente proporcionada la entropía/información de cualquier recinto finito de hipervolumen dimensional N limitado por ella. Si N=3, y 3(N-1) el Nº máximo o elementos geométricos de estados diferenciables admisibles en el seno de dicha hipersuperficie: Por ejemplo, si N=3 y por ello (N-1)=2 – el caso de nuestro Universo tridimensional euclidiano a escala macroscópica de bajas energías – ya sabemos que K(N-1)

= ¼ y 3(N-1)= 32=9 (el número de estados o elementos geométricos diversos distinguibles en un cuadrado), y por tanto, la “Frontera Bekenstein” es directamente proporcional a ¼ del área cuadrada que contiene esos elementos (o directamente proporcionada al área superficial del cubo respectivo dividida por 4, A/4, o en consecuencia al poseer 6 caras: 6/4=3/2=1.5, a el valor de una cara y media del susodicho cubo; Lógicamente, para hiperespacios de dimensiones distintas, tal constante proporcional cambiará.

No obstante, de forma general – puesto que en virtud del Principio Holográfico Generalizado toda la información almacenable, procesable o reproducible para describir la física básica o propiedades del hipercubo se hallará cifrada en la citada fracción de su hipersuperficie “fronteriza” limitante, siempre será válido igualar ambos modos de calcular su entropía/información máxima (23) y (24), a saber:

(1/Ln2 log310) N = (K(N-1)/Ln2 log310) (N-1)

Eliminando factores idénticos y aislando la Fracción Constante de Proporcionalidad para la Frontera de Bekenstein Generalizada o Hiperdimensional, nos queda:

K(N-1) = N/(N-1)

N > 1

(Ec. 25)

Es obvio que para puntos (N=0) o segmentos (N=1) esta ecuación es absurda, porque en Dimensión Cero no puede existir “frontera superficial” de orden dimensional inferior alguna – por lo cual la fórmula arroja un valor negativo carente de sentido geométrico –. Y para segmentos o espacios monodimensionales (N=1) la “superficie de puntos” que los “recubre” o limita jamás puede actuar como “soporte de entropía/información de ningún tipo, porque al ser estos elementos de dimensión 1 su Nº de estados posibles o grados de libertad son 3(1-1)=30=1. lo que implica la incapacidad de cifrar ni tan siquiera un único q-bit (1,0), que requiere 2 estados diferenciables – lo que hace que utilizando (26) la constante fraccional nos resulte “infinita”: Esto puede interpretarse en el sentido de que harían falta todos los infinitos puntos que pueden “alojarse” sobre un segmento para contener cualquier cantidad de información por mínima que esta sea, pero entonces es imposible distinguir ese estado cuántico de cualquier otro y nunca podrá constituir el cifrado de código significante alguno, para el que es imprescindible discriminar entre al menos dos estados binarios por unidad elemental o q-bit. En esta opción concluimos que un hipotético “Universo-Línea” o Monodimensional conllevaría un estado permanente de “ruido informático infinito”: Vemos que – de

momento – este razonamiento ya nos “restringe” o “selecciona” un mínimo Nº Dimensional para generar “Universos capaces de contener o procesar información”, y este número es 2, el “Universo Plano o Flatland” ideado por el erudito, profesor y pastor anglicano inglés Edwin Abbott Abbott en 1884, en su magnífica novela “Planilandia, una novela de muchas dimensiones”.

En efecto, si N=2 y (N-1)=1, K1=2, lo que significa que hacen falta dos segmentos o aristas para almacenar o cifrar toda la información que describe o reproduce las propiedades de cualquier Sistema físico o recinto cuadrado en un Universo bidimensional: La “Frontera Bekenstein” que cuantifica el “Principio Holográfico” en “Flatland” obedece – pues – a:

S(2) = (1/Lp Ln2) 4L/2 = (1/Lp Ln2) 2L = (1.443/Lp) 2L

(Ec. 26)

Donde Lp es la Longitud de Planck – la mínima admisible a nivel geométrico-cuántico en cualquier Universo, pues se supone que por debajo el “temblor cuántico de incertidumbre” produce un “caos o ruido ilimitadamente monstruoso”, y L el lado del cuadrado que determina el Sistema finito o “recinto” dentro del espacio bidimensional.

Además, habida cuenta del ínfimo tamaño de Lp, se deduce de inmediato que la cantidad de información máxima almacenable o cifrable en cualquier cuerpo o Sistema macroscópico en los “Universos-Flatland” – directamente proporcional a su perímetro como acabamos de mostrar según el Principio Holográfico aplicado para un nivel o “escalón” dimensional menos que en nuestro Universo o cualquier otro alterno pero tridimensional a gran escala –, es abrumadoramente enorme, y tan solo mengua a valores de

entropía/información muchísimo más moderados o incluso “pequeños” si las dimensiones de ese lado o perímetro contenedor son de orden submicroscópico o ultramicroscópico, respectivamente. Esto sugiere que las mínimas unidades soporte-portadoras de información en términos geométrico-cuánticos son las supercuerdas/p-branas y/o bucles o “lazos” gravitatorios elementales – nudos y tramas de “redes de espín”, refrescar [12], [13] y [16] –, de tallas muy por debajo de las hasta ahora consideradas “partículas elementales” cuales los quarks, los electrones o sus corpúsculos-ondas de intercambio de fuerzas de campo (retomar [11]). Así, el Principio Holográfico – hijo de los primeros y “groseros” intentos de supergravedad o gravedad cuántica – apoya ahora a las dos teorías más avanzadas “herederas” de la primera. Lo que es muy coherente y esperanzador.

Este efecto se ve incrementado más y más al “subir” de números dimensionales N, pues el factor Lp se va elevando en cada caso a un exponente igual al (N-1).

De esta manera, para Universos 3D Euclídeos a Macro-Escala bajo régimen de densidades de masas-energías No-Relativistas tales cuales el que habitamos – N=3, (N-1)=2 –, y ya sabemos que K3 = 3/2 y, por eso mismo:

S(3) = (1/Lp2 Ln2) A/4 = (1.443/Lp2) A/4

(Ec. 27)

Siendo Lp2 el Área de Planck y A el Área de la Superficie Plana limitante del Sistema o Volumen Cúbico en cuestión.

Ahora podemos emplear nuestras relaciones genéricas para estimar la “Frontera Bekenstein” del Principio Holográfico en

hiperespacios euclídeos cuyas variedades respondan a posibles Universos con Números Dimensionales superiores.

Para los tetradimensional N=4, (N-1)=3 – cualquier región asimilable a un Cubo-4D o teseracto exhibirá K3=4/3, y como la cantidad de “hipersuperficies cúbicas” de dicho politopo es igual a 8, tal fracción supondrá que la entropía/información máxima acumulable en su frontera tridimensional superficial es directamente proporcionada a (4/3):8=1/6=0.166... veces el Volumen Total de estos ocho cubos, o el correspondiente a 1.333... de esos volúmenes cúbicos V iguales entre sí:

S(4) = (1/Lp3 Ln2) V/6 = (1.443/Lp3) V/6

(Ec. 28)

Aquí Lp3 indica el Volumen de Planck.

En un Universo de hiperespacio pentadimensional “desplegado”, N=5, (N-1)=4, K4=5/4, para una hipersuperficie cuatridimensional compuesta por 10 teseractos (ec. 25); Por ende, puesto que (5/4):10=1/8, llegamos a:

S(5) = (1/Lp4 Ln2) V4/8 = (1.443/Lp4) V4/8

(Ec. 29)

Aquí Lp4 es el Hipervolumen del Teseracto o Cubo-4D de Planck y V4 el del Cubo-5D del recinto o Sistema finito definido en el hiperespacio pentadimensional: En en caso, la entropía/información máxima concentrable en él resulta directamente proporcional a la hipersuperficie 4D de 1 . 25 de esos 10 teseractos que comprende.

Podíamos seguir haciendo esto de dimensión en dimensión

creciente, hasta alcanzar N=10, el mayor Nº de Dimensiones espaciales que plantea la Física de Supercuerdas: Para una hipotética variedad de Universos con esa cantidad de dimensiones espaciales “extendidas” a su escala macroscópica euclídea, K9=10/9, y teniendo en cuenta que por (25) cada Cubo-10 D integrará 20 hipersuperficies o Cubos-9 D iguales, deducimos que:

S(10) = (1/Lp9 Ln2) V9/18 = (1.443/Lp9) V9/18

(Ec. 30)

Generalizando para N dimensiones:

S(N) = (1/Lp(N-1) Ln2) [K(N-1)/EM(N-1,N)] V(N-1)

N = 2, 3, 4, 5...

(Ec. 31)

En la cual:

• S(N) = Entropía/Información Máxima Almacenable

• LpN = Hipervolumen N-Dimensional de Planck

• K(N-1) = Fracción Constante de Proporcionalidad para la Frontera de Bekenstein Generalizada o Hiperdimensional

• EM(N-1,N) = Nº de “Trazos, Elementos o Caras Hipersuperficiales” (N-1)-Cubos Dimensionales que componen la “Frontera-Límite” del Recinto o Hipercubo-N Finito que define la región hiperespacial dada

• V(N-1) = Hipersuperficie o Hipervolumen total de esos tales

(N-1)-Cubos que limitan la N-Región o N-Volumen considerada dentro del Hiperespacio N-Dimensional

Desarrollando ahora (31) por (21) cuando K=(N-1) y (25):

S(N) = (1/Lp(N-1) Ln2) [N/(N-1)/2 C(N-1, N)] V(N-1)

(Ec. 32)

Ahora bien, el doble de las “combinaciones de N elementos en grupos de (N-1) componentes” – es decir, la cantidad de segmentos o lados de un cuadrado, cuadrados de un cubo, cubos de un teseracto, 4-Cubos de un 5-Cubo y así sucesivamente – son siempre idénticas a:

EM (N-1, N) = 2 C(N-1,N) = 2 N!/[1! (N-1)!] = 2 N (N-1) (N-2) … 1/(N-1) (N-2) … 1 = 2 N

(Ec. 33)

Por ejemplo, las 2x2=4 aristas de un cuadrado, 2x3=6 caras cuadradas de un cubo, 2x4=8 cuadrados de un teseracto, 2x5=10 cubos de un Cubo-5D..., o los 2x10=20 Cubos-9D de un Cubo-10D.

Llevando (33) a (32):

S(N) = (1/Lp(N-1) Ln2) [N/(N-1)/2 N ] V(N-1)

Sin más que simplificar el cociente de factores en función de N, obtenemos la:

Frontera Bekenstein Generalizada

S(N) = (1/Lp(N-1) Ln2) [1/2(N-1)] V(N-1) = (1.443/Lp(N-1) ) [1/2(N-1)] V(N-1)

(Ec. 34)

En esta ecuación, es fácil percatarse que, de toda la “hipersuperficie o hipervolumen (N-1) que limita una N-Zona o recinto N-Dimensional Finito determinado, V(N-1), en exclusiva la fracción 1/2(N-1) de la misma concentra o contiene la Entropía/Información Máxima Absoluta almacenable o cifrable en la misma; Definimos a tal parámetro, fracción o cociente como:

FUS/I (N) = 1/2(N-1) = Fracción Útil N-Dimensional de Entropía/Información

(Ec. 35)

Por fortuna, una sucesión racional polinómica de Primer Grado del Número Dimensional N en extremo sencilla.

El resto de la Hipersuperficie Total limitante (N-1) dimensional del Sistema o Recinto Hiperespacial N-Dmensional Finito equivaldrá, medirá o será directamente proporcional al “ruido informático mínimo del Sistema”, dado evidentemente por el valor (1-FUS/I), al que denominaremos “Fracción de Ruido Infromático N-Dimensional”, FI N(N), de “Noise=Ruido, en inglés, la “lengua internacional de la Ciencia”, nos guste o no.

Mediante ellas, podemos cuantificar dichas fracciones de inmediato para cualquier Hiperespacio/Variedad de Universo N-Dimensional, operación que reflejamos en la siguiente Tabla:

N FUs/I FUS/I (%) FI N % FI N

2 ½ 50% ½ 50%3 ¼ 25% ¾ 75%4 1/6 16.7% 5/6 83.3%5 1/8 12.5% 7/8 87.5%6 1/10 10% 9/10 90%... ... ... ... ...

10 1/18 5.55% 17/18 94.45%

Tabla 2

Tal cual puede apreciarse numéricamente en la Tabla, la fracción de Entropía/Información Útil Almacenable o Procesable mantiene unas proporciones aceptables relativas a la del Ruido de Fondo Informático Mínimo en cualquier volumen cúbico euclidiano macroscópico en exclusiva para N-Espacios o “Universos” comprendidos entre Dimensión 2 y 5 – o como mucho 6 –, por encima de la cual procesos como la condensación, formación o evolución de Sistemas locales complejos organizados de alta “neguentropía”, baja entropía o elevada tasa de organización interna a escala macro – desde Estrellas a Galaxias o Cúmulos, desde átomos o moléculas a cristales minerales u organismos vivos –, se torna grotescamente difícil y “costosa” en términos entrópico-informáticos: Para Números Dimensionales superiores a 6, los porcentajes equivalentes útiles menguan tanto y los de ruido crecen tan disparatadamente que la constitución de los mismos se hace sumamente improbable, pues precisaría ingentes “Hipervolúmenes-N” absolutos para lograr acumular una pequeñísima cantidad de orden en sus Fronteras o “Hipersecciones Superficiales (N-1)”.

Enunciado de otro modo: Parece existir una profunda y poderosa “Ley Meta-Cosmológica General de Selección Estructural de Universos Multidimensionales”, que selecciona como “razonablemente probables o frecuentes estadísticamente” aquellos de los cuales cuyos Números de Dimensiones Espaciales Extendidas varía entre 2 a 5, menguando con gran rapidez los posibles “Universos Permitidos” de Orden Dimensional mayor hasta el máximo admisible por la Teoría M Unificada de Supercuerdas, 10; De

hecho, aun cuando una modelo teórico futuro más refinado de Gran Unificación admitiera números dimensionales más grandes todavía a nivel ultramicroscópico, este Teorema consecuencia directa y analógica del Principio Holográfico sustentado por la Frontera Bekenstein-Hawking los “condena” también a la práctica inexistencia en términos de probabilidad-frecuencia estadística a escala macroscópica, aun de manera más rotunda que su “sentencia” para los Universos “posibles” según la M-ST y la QGL-N comprendidos entre N=6 y N=10.Por otro lado, es patente que tanto las Fracciones Útiles como de Ruido Entrópicos están acotadas inferiormente por N=1, dado que para dicho Número Dimensional “Desplegado” (Universos-Línea o Monodimensionales), la Frontera Bekenstein para cualquier “Volumen-1” finito se hace “infinita” (infinitos puntos de “Superficie-0”); Asimismo, es patente que no puede haber “Macro-Universos Extendidos de Dimensión Cero”, por definición obvia a la Razón, aparte de que en ellos no es posible definir una dimensión (N-1) para sus “Fronteras de Bekenstein”; En suma, la Selección N-Dimensional también “prohíbe” los Universos Macroscópicos de Dimensiones 0 y 1: Los más “simples” posibles son los de tipo “Flatland” o “Universos-Planilandia”, cuya fracción de entropía/información útil sería además máxima (el 50%), lo que supone según este modelo teórico que además serían los más “abundantes” o probables en el seno del Multiverso... Otra cuestión es si los más “idóneos” para la organización material compleja inorgánica y sobre todo orgánica, pero ya especularemos sobre ello siguiendo a Abbott y otros en un siguiente ensayo al respecto.

Q. E. D.

Corolario I del Teorema, o “Corolario Schreiber de la Distribución Hiperbólica para los Universos Macroscópicos en

el seno del Multiverso, o de la 'Escasez Cosmológica de

Elevada Hiperdimensionalidad'”

“La Ley de Selectividad N-Dimensional de los Posibles N-Universos Macroscópicos en el marco del Paradigma del

Multiverso Hiperdimensional que acabamos de demostrar a partir del Principio Holográfico, derivado a su vez de la

Frontera Bekenstein, implica una distribución estadística hiperbólica para la envolvente o “polígono de frecuencias” de

la probabilidad-frecuencia de existencia de tales Universos admisibles en función de la variable discreta entera positiva N,

su Número Dimensional Espacial extendido a escala macroscópica. En términos técnicos estadísticos o de Teoría

de Probabilidades, es muy semejante a la análoga a una Función de Distribución Continua de Pareto para la variable

discreta (N-1) o 'Ley de Distribución de Zipf, con exponente en este caso estrictamente igual a 1; Ello implica que sigue un

excelente ajuste lineal bilogarítmico de pendiente decreciente o negativa unidad para los puntos si representamos el logaritmo decimal cambiado de signo pF(N) (para que la

escala resulte +) de la Frecuencia en el eje vertical y el de la variable estocástica (N-1) en el horizontal”

Analizaremos en un capítulo posterior este último aspecto relacionado con la Ley de Zipf, pues posee matices “filosóficos” tan sugestivos teóricamente cual “hermosos estéticamente”, casi poéticos. Incluirlo aquí constituiría una disgresión en exceso larga y nos desviaría de nuestra línea argumental principal.

En un sentido más práctico, esto equivale a decir que la distribución estadística de los posibles Universos admisibles a escala macroscópica concentra la mayor parte de los mismos para un Número Dimensional Extendido N=2 (Universos Flatland), con una probabilidad o frecuencia estadística máxima directamente proporcional al 50% de su Entropía Útil

de Bekenstein Máxima, para después acumular una cantidad algo menor pero notable de ellos de estructura tridimensional N=3 (como el “nuestro”), cuya frecuencia será relativamente proporcionada al 25% de dicho límite entrópico, una fracción inferior aunque todavía sensible – en razón directa al 16.7% de su “Frontera Bekenstein Útil” – espacialmente tetradimensionales (N=4), pocos de ellos – proporcional al 12.5% del “límite Bekenstein Útil – macroscópicamente pentadimensionales o de N=5, un poco más escasos – en razón al 10% de dicha “frontera útil”– para N=6, y con probabilidades o frecuencias crecientemente despreciables o “trazas” si N rebasa el nivel hexadimensional.Sin embargo, nada afirma el Teorema acerca de su carácter hiperdimensional esencial: Según la M-ST – por ejemplo – todos ellos poseerían un número M=(10-N) de dimensiones espaciales “super-arrolladas” o “hiper-crompimidas” a escala ultramicroscópica próxima a la métrica de Planck, debido a la naturaleza íntima de las supercuerdas/p-branas elementales vibrantes; Y además hemos de adicionar el tiempo en cada caso como “dimensión adicional extendida”, “expansivo-positivo” o “comprimido-negativo”, además, u oscilante en Eones Cósmicos centrados en el Gran Rebote..., cual ya esbozamos antes. Pero ello no es contradictorio con este Teorema, exclusivamente aplicable en términos euclidianos estáticos y – por ende – espaciales macroscópicos o “dimensionalmente desplegados”.

Aclarado este punto fundamental, la Tesis de este Corolario o consecuencia del Teorema conlleva matemáticamente a suponer que la Función de Densidad o Distribución de Probabilidades de la Frecuencia Relativa o Proporción Estadística de Universos Macroscópicos respecto a la variable estocástica N,

Puesto que esta Frecuencia Máxima se encuentra

proporcionada al 50% (½) de su Fracción de Entropía de Bekenstein Máxima Útil según nuestros datos, y habida cuenta de que la suma total de tales fracciones entrópicas puede calcularse en los términos de nuestro modelo cual: FUS/I (T) = [1/2(2-1)] + [1/2(3-1)] + [1/2(4-1)] + … + [1/2(10-1)]

= ½ + ¼ + 1/6 + … + 1/18 = Σ i=2 i=10 1/2(i-1) ≃ 1.4145

Este – pues – será el factor por el que habremos de dividir las Fracciones de Entropías Útiles Máximas con objeto de normalizarlas en una escala de 0 a 1 de Frecuencias o Probabilidades de Existencia de los diferentes Universos de Dimensión N, que llamamos ahora F(N) por simplicidad, operación cuyo resultado plasmamos en la nueva Tabla:

N FUS/I F(N) = FUS/I /1.41452 ½ = 0.5 0.35 (35%)3 ¼ = 0.25 0.17 (17%)4 1/6 ≃0.17 0.12 (12%)

5 1/8 = 0.125 0.0884 (8.84%)6 1/10 = 0.1 0.071 (7.1%)7 1/12 = 0.08333... 0.059 (5.9%)8 1/14 ≃ 0.071 0.0505 (5.05%)

9 1/16 = 0.0625 0.0442 (4.42%)10 1/18 = 0.0555... 0.0393 (3.93%)

(Tabla 3)

Pueden comprobar que – sumando todas las cifras de la tercera columna en el extremo derecho (frecuencias acumuladas) – prácticamente igualan a 1 o el 100%, la leve

diferencia por defecto se debe al inevitable redondeo de los decimales periódicos e irracionales.

Luego – entonces – la Frecuencia Máxima en cuestión, ya normalizada – es del 35%, la abundancia relativa de los “Universos Flat-land” o Bidimensionales (N=2).

Puesto que la función discreta de distribución estadística de frecuencias o probabilidades es hiperbólica estrictamente decreciente carece de moda, media y mediana, y tampoco tiene sentido medir su dispersión mediante varianza o desviación típica alguna.

Utilizando una hoja de cálculo – en mi caso la de Open Office – con varias opciones de salida o presentación gráfica de resultados, tal distribución genera este diagrama de barras:

(Fig. 50)

Barras Rojas: % de Frecuencias o Probabilidades de Existencia

PlanoTridi

TetraPenta

HexaHepta

OctaEnea

Deca

0

5

10

15

20

25

30

35

40

de los Universos N-Dimensionales en el seno del Multiverso, %F(N)

Barras Azules: Número Dimensional Macroscópico o Extendido de los mismos, N

Nuestra Función de Distribución de Probabilidades o Frecuencias N-Dimensionales del Multiverso para la variable estocástica o estadística discreta, entera y positiva N, queda por tanto definida por la serie de puntos del polígono de frecuencias obtenido uniendo los centros de los intervalos de anchura constante entre sus valores posibles (de 2 a 10).

O, cambiando la salida gráfica de la tabla de datos a un diagrama circular de sectores, otra herramienta visual muy útil y didáctica en Estadística descriptiva elemental:

(Fig. 51)

Morado: Universos 2-D (Planos)

Verde Claro: Universos 3-D (Tridimensionales)

Negro: Universos 4-D (Tetradimesnionales)

Azul: Universos 5-D (Pentadimensionales)

Marrón: Universos 6-D (Hexadimensionales)

Verde Oscuro: Universos 7-D (Heptadimensionales)

Amarillo-Naranja: Universos 8-D (Octadimensionales)

Rojo: Universos 9-D (Eneadimensionales)

Azul Oscuro: Universos 10-D (Decadimensionales)

Con ello, queda perceptiblemente claro la el significado y resultados cuantitativos de la “Ley de Selección N-Dimensional del Multiverso” que hemos deducido generalizando el Principio Holográfico.

Q. E. D.

Corolario II del Teorema, o “Corolario Schreiber de los Colosos o 'Monstruos Solitarios' Altamente Hiperdimensionales”

Esta consecuencia del Teorema principal es en cierta forma similar a la anterior, pero aplicada a los presuntos “pobladores” tanto inertes como orgánicos, auto-conscientes , racionales o no, “habitantes” todos ellos en el seno de los hipotéticos Mundos Hiperdimensionales, y no a sus N-

Universos macroscópicos en conjunto.

Volvamos al ejemplo del “Límite de Bekenstein” en relación con una Red compleja almacenadora/procesadora de información como el cerebro humano. Utilizando la primera versión general de la fórmula de Bekenstein (8-9), estimamos la capacidad máxima informática potencial de nuestro órgano pensante, partiendo de los hechos contrastados siguientes: Posee un “radio esférico equivalente” de unos 6.7 cm, correspondientes a sus 1260 cm3 de volumen; Su masa es de unos 1.5 Kg; Ambos en valores promedio, claro: Si introducimos estos datos en (9) , obtenemos que la máxima capacidad de almacenado y procesamiento de información de nuestro cerebro resulta del orden de 2.6 x 10 42 bits. Lo que según la Teoría de la Información supone que el nº más elevado de estados cuánticos admisibles de energía-información (q-bits) en nuestra mente viene dado por la inimaginablemente colosal cifra de: O = 2 I = 10 7.8 x 10^41 .

Algo inmenso, pero finito.

Si hubiésemos utilizado (27) o (34) para N=3, habríamos obtenido el mismo resultado, pues ya se probó que ambas expresiones son idénticas para la densidad de un agujero negro del mismo radio R.

La cuestión es que al generalizar la “Ecuación de la Frontera Bekenstein” (31), la fracción de la (N-1) superficie-límite que la constituye cambia en cada caso, al variar el Número Dimensional N, por lo cual – para lograr una misma capacidad máxima de soporte y tratamiento de información en Universos con una cantidad diferente de dimensiones espaciales “desplegadas” –, la superficie limitante de la Red o cualquier Sistema finito – en nuestro ejemplo el cerebro humano –, debe poseer una magnitud asimismo distinta.

Equivalencia Métrico-Informativa entre Universos N y (N+1) Dimensionales cualesquiera

Examinaremos la relación entre la Frontera de Bekenstein limitante de un recinto precisas en un Universo N-Dimensional para igualar la cantidad máxima absoluta de entropía/información codificable por el Límite de Bekenstein Equivalente de otro Universo (N+1)-Dimensional.

Por (34) para N y (N+1), e igualando ambas cantidades análogas equivalentes de entropía/información:

VN/VN-1 = N/N-1

(Ec. 36)

Ya que los respectivos factores geométrico-cuánticos 1/Lp(N-1) e (1/LpN) son equivalentes e iguales a la unidad en unidades de la métrica N-dimensional de Planck, derivada de la diversidad de “talla esencial o elemental mínima” de cada Universo en su propio nivel dimensional: Indican en cada uno de ellos el tamaño mínimo del límite-frontera “(N-1)-superficial” capaz de mantener una geometría macroscópica continua no-cuántica – euclidiana o Riemanniana – estable, sin que la tasa de “temblor cuántico de incertidumbre” la “destroce”, exigiendo unificar los tres campos cuánticos descritos por un Álgebra-Espacio Analítico (N-1) con el de gravedad, cuya densidad de masa-energía “desarrolla o diferencia” la dimensión adicional extensa que completa N, según ya sabemos por Bekenstein-Hawking, Susskind y Maldacena (ver [11] y [15]). Por ello, en términos relativos a esa unidad-límite cuántica definible para su escala geométrica continua o euclidiano/riemanniana, basta identificar el resto de las ecuaciones en la igualdad (39), tal cual es común en la Nueva Física de la

Entropía/Información.

Este cociente (36) – al que definimos cual: BRD – de “razón de escala dimensional de Bekenstein” en inglés, en honor al gran científico –, adopta la serie de valores proporcionales a medida que crece el Número Dimensional N que mostramos a continuación tabulada:

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10BRD 2 3/2=1.5 4/3=1.3... 5/4=1.25 6/5=1.2 7/6=1.17 8/7=1.14 9/8=1.125 10/9=1.1...

(Tabla 4)

Por lo que es obvio que su límite para “números dimensionales elevados” tiende a 1.

Por otra parte, este resultado coincide con el cálculo geométrico N-Euclidiano genérico y por entero independiente de la razón entre las áreas superficiales o hipersuperficiales entre dos hipercubos de dimensiones sucesivas, dada por:

VN/VN-1 = 2N LN-1/2(N-1) LN-2 = (N/N-1) L

(Ec. 37)

Conclusión que es la misma, solo que en nuestro razonamiento hemos utilizado las unidades métricas de Planck.

De ambas formas implica que, para espacios o Universos de Nº Dimensional Macroscópico grande, la diferencia entre la cantidad máxima útil de entropía/información o “neguentropía” que puede almacenar un volumen cúbico cualquiera de arista L en su frontera al aumentar en unidades discretas positivas y enteras tal número dimensional

“desplegado” de N a N+1, N+2..., va disminuyendo más y más, hasta que en el límite las cantidades de dicha magnitud serán idénticas, por más que crezca N: Comprueben en la tabla que esa proporción es al principio – para números de dimensiones “bajos”, como entre 2 y 3 – significativa, pero después va menguando con rapidez hasta que para N=10 la citada relación se aproxima mucho a la unidad, indicando que la capacidad máxima de almacenaje y tratamiento de información del borde de un Cubo 10-D es casi igual a la de un Cubo 9-D.

Naturalmente, esta singular propiedad conecta con otras dos, asimismo propias de los “Espacios/Universos de Alta Dimensión”: 1) La progresiva e hiperbólico-pseudogaussiana pérdida de su “eficacia informática” o valor de la fracción útil de máxima entropía/información proporcionadas por sus Fronteras de Bekenstein ya demostrada: Puesto que al rebasar 10 dimensiones a escala macro no se “ganaría nada en términos de entropía/información”, en términos no ya relativos – lo cual ya se corroboró al estimar la veloz caída de la fracción útil entrópico-informática al subir N –, sino tampoco absolutos, lo que sí ocurre hasta ese nivel dimensional, es lógico que la Naturaleza no tan solo vaya limitando o reduciendo la población o frecuencia de estos “Universos Ultradimensionales”, sino eliminándolos del todo: Este razonamiento explicaría la causa profunda de que las Ecuaciones de la Física Fundamental Unificada de las Supercuerdas no admitan soluciones coherentes más allá de 10 dimensiones espaciales “extendidas” o no; Se conoce en Gnoseología o Teoría/Filosofía del Conocimiento como “Principio de Economía del Cosmos o la Naturaleza”: Lo inútil, sencillamente no existe; 2) El hecho hipergeométrico de sobra y hace mucho tiempo matemáticamente probado de que un hipercubo o N-Cubo distribuye su volumen de manera que este se concentra cada vez más en sus límites o bordes

superficiales cuanto más elevado sea su Nº Dimensional N (consulten [1] y [2]). Por esto las figuras que expusimos de “sombras de sombras” de hipercubos e hiperesferas – por más distorsionadas que se hallen al proyectarlas en 2 o 3 dimensiones y/o por efectos de las curvaturas gaussianas/riemannianas –, muestran “huecos internos” y “aplanamientos” “monstruosos”, tal cual puede barruntarse al contemplar dichas representaciones simuladas por ordenador.

Estos dos rasgos de la Hipergeometría/Física de Altas Dimensiones son también fácilmente generalizables para cualquier tipo de “hiper-cuerpos” o politopos.

Como ven, “todo encaja” en la Armonía del Multiverso Hiperdimensional...

Consideremos ahora un N-Cubo general de N-Volumen dado, y otro (N-1)-Cubo, con capacidades entrópico-informáticas equivalentes entre ellos, y ambos de gran hiperdimensionalidad macroscópica (N muy elevado, por ejemplo 10): El hipervolumen VN del N-Cubo es igual a LN

N, mientras que su hipersuperficie VN-1 de frontera o borde, que presenta una unidad u orden dimensional inferior, obedece a 2N LN

(N-1) ; Mientras que el (N-1)-Cubo mostrará un hipervolumen LN-1

(N-1) y una hipersuperficie-límite 2(N-1) LN-1(N-2);

Los subíndices de los lados son distintos porque se trata de dos hipercubos diversos en dos espacios o Universos dimensionalmente diferentes, pero con igual capacidad de contener entropía/información por hipótesis.Debido a que ambos poseen grandes números dimensionales, podemos asegurar por lo ya evidenciado que sus idénticas capacidades entrópico/informáticas apenas variarán si se calculan empleando a voluntad el área-frontera de uno y el del otro, puesto que los dos acumulan casi todo su volumen en los bordes o, dicho de otra forma, su volumen efectivo casi iguala

cuantitativamente a su área.

Esto es, que podemos sustituir la hipersuperficie del uno por el hipervolumen del otro o viceversa en (36) – puesto que el cumplimiento de esta última ecuación lo garantiza el hecho de que tanto el primero como el segundo almacenan la misma cantidad máxima de entropía/información, por más que sus longitudes de arista difieran a causa de su diversa dimensionalidad –. En rigor, tan “exótica operación” geométricamente anti-intuitiva podemos realizarla siempre, en unidades métricas de Planck, incluso para Nºs Dimensionales “pequeños”, porque el Principio Holográfico demuestra que “añadir la dimensión de volumen adicional” no suma cantidad de entropía/información útil o significativa alguna, dado que esta solo depende del área del borde o perímetro del recinto: Por ende, la fórmula que deduciremos acto seguido es entrópico-informáticamente equivalente a (36) en cualquier opción o valor de N, y su fracción responde a la “Relación de Escala Volumétrica de Bekenstein” entre dos niveles dimensionales sucesivos; Aun cuando únicamente si estos números de dimensiones son “grandes” implica además una cuasi-identidad métrica o física entre áreas- frontera y volúmenes. Tal concepto es lógico aunque no lo parece, porque deriva de la Frontera Bekenstein-Hawking, un resultado analítico “opuesto al sentido común”, tal y como ya explicamos, pero válido y riguroso, ratificado por la emisión de radiación de los agujeros negros: “Ligeras” consecuencias de empezar a combinar la Gravedad de Einstein y la Mecánica Cuántica...

Matemáticamente:

VN/VN-1 = LNN/2N LN-1

(N-1) = N/N-1

Reordenando factores:

LNN/LN-1

(N-1) = 2N2/N-1

(Ec. 38)

Si bien es patente que el cociente del miembro izquierdo de la igualdad equivale asimismo a la razón de hipervolúmenes de ambos N-Cubos, por definición. Denotamos ahora este parámetro como “Razón de Escala Volumétrica Dimensional de Bekenstein”:

RBVDS= VN/VN-1 = 2N2/N-1

(Ec. 39)

Se trata de una función o mejor dicho sucesión racional polinómica de primer grado, con asíntota vertical “al infinito” para N=1 – cuyas razones ya nos constan pues son las mismas que las de la Fracción Útil de Entropía/Información –, y monótona o estrictamente creciente, dado que el Número Dimensional N solo puede adoptar valores enteros positivos.

No hay más que dar valores a N para evidenciarlo:

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10RBVDS 8 9 32/3=10.7 25/2=12.5 72./5=14.4 49/3=16.33.. 128/7=18.28 81/4=20.25 200/9=22.2..

(Tabla 5)

La interpretación físico-geométrica de esta serie es a la par asombrosa y “demoledora”, además de inquietante: Supone que – volviendo al ejemplo de partida – un “cerebro promedio plano de uno de los habitantes de la Planilandia de Abbott”, provisto con igual o muy similar capacidad informática que el

nuestro, ha de medir tan solo un “volumen bidimensional o área” 1/9 de nuestro volumen promedio; En contraste, un cerebro o red computacional de cualquier índole dotada con análoga capacidad, alojada en un hipotético “ser tetradimensional”, exigiría un hipervolumen equivalente a 10.7 (casi 11) veces el volumen tridimensional de los propios de nuestra especie u otras de comparable poder mental de nuestro Universo; Otro “ente cognitivo” de semejante escala evolutiva de naturaleza pentadimensional precisaría un “órgano procesador pensante” de hipervolumen 12.5 veces más “voluminoso” en D-5 que el de su “homólogo funcional” en D-4; Un “poblador inteligente” de parecido poder intelectual y complejidad psíquica en un Universo D-6 (hexadimensional), necesitaría otro “hipercerebro” que multiplicara el “anterior” volumen D-5 informáticamente equivalente por un factor de 14.4..., y así en lo sucesivo...; Finalmente, un “ser ultradimensional” de nada menos que 10 dimensiones espaciales “extensas”, se vería obligado a contar con una “computadora viviente” de tamaño hiperespacial equivalente a 22.2 hipervolúmenes 9-D de su “homólogo en 9 dimensiones”...

Fijémonos que las cifras son acumulativas como productos factoriales: Así – a modo de “botones de muestra” – un “ser pentadimensional” con el mismo orden de facultades cognitivas máximas potenciales que nuestra especie, fuere cual fuere la “forma” de materia-energía de su soporte – debería disponer de un “hipercerebro” u “órgano funcional análogo” en dicho soporte cuyo volumen 5-D sea 12.5x 10.7=133.75 veces mayor que el volumen informáticamente equivalente en nuestro “Mundo 3-D”; Un segundo ente que disfrute el mismo rango de “prestaciones” aunque en un Universo Macroscópicamente 6-D, no las podría desarrollar si su “hipercerebro” no alcanzase un hipervolumen equivalente 14.4x12.5=180 más “dilatado” que la media del típico entre el

primero, habitante de un “Mundo 4-D”... Y a su vez, 14.4x12.5x10.7=1926 veces más grande en la volumetría de su dimensión que nuestro “encéfalo tipo” en la nuestra; Y así en todas las posibilidades...; ¡Esto implica que un “ultracerebro” decadimensional (morador de un Universo 10-D), debería ocupar un hipervolumen 22.2 veces más elevado en términos relativos de su escala de Planck frente al de otro funcionalmente análogo en un Universo 9-D, 449.55 veces más que el de su equivalente 8-D, aproximadamente 8218 más que el 7D, 134224 más que el 6D, 1932820 más que el 5D, 24160256 más que el 4D, 258514739 más que el 3D (del orden del característico de los seres humanos), y 2326632653 veces más “ultravoluminoso” que el promedio igualmente operativo de área cerebral bidimensional entre los “Sims-Planos” de “Flatland”, o “Universo 2-D”!

¿Imaginan un ser u “organismo” de cualquier índole con un “cerebro” de semejante talla?

Aunque sea muy complicado y especulativo tratar de concebir la anatomía, biología y fisiología de un ser multidimensional – no digamos ya su psicología – parece obvio que si posee un cuerpo, este ha de ser algo – aunque sea poco – más grande o “hipervoluminoso” que su cerebro, pues ha de contenerlo... Repasen las cifras y piensen...Y ahora intenten “visualizar” un “hiperplaneta” poblado por sociedades o colectivos más o menos numerosos de esos colosales “hiperindividuos”, a los que sumar los de otras muchas “hiperespecies”, un “hiperecosistema” y una “hipereconomía” así conformada, y multiplíquenlo por una variablemente elevada pluralidad de “hipersistemas estelares” e “hipergalaxias”...

Es más, aun cuando nos inclinemos a esquemas mentales mucho más “místicos” y “fantasiosos”, aunque postulemos que – para tales niveles de “Alta Dimensionalidad” – los

“ultraseres” no sean otra cosa que “energía pura” o “espíritus” pensantes “flotando en su hiperespacio”, comunicados entre sí por una suerte de “telepatía instantánea por entrelazamiento cuántico natural”, por ejemplo, el Principio Holográfico nos fuerza a admitir que – como mínimo – su red energético-ondulatoria oscilante del análogo “hiperetéreo” a nuestras conexiones neuronales ha de extenderse volumétricamente en su Universo cientos de miles, millones, docenas de millones o cientos de millones de veces más que nuestros soportes físicos mentales de potencialidad equivalente respecto a nuestro espacio 3D...

Hablamos – en consecuencia – de “Ultra-Mega-Titanes”, genuinos “Monstruos” hiperdimensionales individuales...

Lo que implica que la talla, magnitud y abundancia de cualesquiera que fueren los recursos de energía o masa-energía a los que hayan de acudir como “alimento” en el seno de su Universo N-D habría de ser tan increiblemente inmensa que, por pura lógica, en cualquier clase de Universo hiperdimensionalmente finito, tiene que limitar severa y drásticamente su número de población... – Y obligatoriamente han de necesitar alguna modalidad de “combustible metabólico” por “exótico y sutil” que este sea, pues es obvio “que no hay software sin hardware”, ni “mensaje sin canal”, cual conoce a la perfección cualquier mero aficionado a las bases mínimas de la Teoría Matemática de la Información –.

Ello conduce a la conclusión general de que – no tan solo a mayor Número Dimensional N menor probabilidad o frecuencia estadística para un Universo N-D en el conjunto del Multiverso –, sino también muy inferior todavía cantidad de pobladores complejos en general, y mucho menor aún de los complejos “cognitivos o auto-conscientes” del mismo...

Estos últimos – desaforadamente colosales, vastos, “aplastados y amorfos, llenos de enormes huecos internos de puro vacío”, al acumulase casi todo su volumen y densidad de energía o masa-energía en sus “mega-extendidos” bordes, se nos trazan cual entes muy parecidos a los “monstruos supradimensionales” imaginados por el genial H. P. Lovecraft...

“Monstruos ultragigantescos y solitarios vagando por los hiperespacios de elevada dimensión en busca de su versión de 'comida' para sostener, alimentar y muy probablemente replicar el contenido de sus océanicamente enormes cerebros o mentes...” ; Por ello titulé de esa manera este Corolario...

El “dictamen final” matemático que “prohíbe” la continuación de esta “disparatada y anti-económica carrera al mega-ultra-titanismo hiperdimensional” es simple y rotundo: El límite de la sucesión (39) cuando N crece indefinidamente o “tiende a infinito” es una tasa de BRVDS o incremento proporcional volumétrico igualmente “infinito”...

En simbología matemática:

límN ∞ (2N2/N-1) = ∞

(Ec. 40)

En la práctica, según la Teoría M-ST, tal “límite superior” se halla situado para N=10...

Al respecto, es muy sugerente destacar que – en un principio – durante la “Primera Revolución de las Supercuerdas”, antes de que sus cinco aproximaciones o teorías diferentes de Cuerdas Elementales Vibrantes fueran unificadas en la Teoría

Supersimétrica M de las mismas (revisen [11] y [15]), hubo modelos en su Física fundamental en que se admitían modos vibratorios estables en 26 dimensiones, otro de los “misteriosos números mágicos de Ramanujan”, además del más pequeño de ellos, 10, para los cuales las funciones modulares creadas por tan prodigioso genio natural y autodidacta arrojan soluciones coherentes. Pero entonces aparecían corpúsculos taquiónicos y otras “paradojas” incompatibles con los datos de la Teoría Cuántica de Campos en su desarrollo de las propiedades básicas de las partículas fundamentales derivadas de estos modos permitidos de oscilación cuántica de las supercuerdas... Problemas que la Teoría M eliminó, en el marco de un Multiverso de “solo” 10 dimensiones.

Prueben a sustituir N=26 en (39)..., y observen por sí mismos lo que ocurre...

Q. E. D.

Así pues – si consideramos acto seguido el Multiverso en su globalidad como el “Ecosistema Hiperdimensional Máximo”..., deducimos el siguiente “Gran Mega-Escenario de los Escenarios Darwinianos”: Pocos Universos de Alto Número Dimensional (6 o 7-10), cada vez menos poblados por cada vez más escasos “ultra-monstruos solitarios” ansiosos de magros recursos energético-entrópico-informacionales o “neguentrópicos”, con los cuales mantenerse y reproducirse... Muy longevos, cual todos los organismos o seres vivos de número de población reducido... Longevos, con desmesurados periodos temporales locales de “aletargamiento”, pero despiadados y ferozmente “voraces” en los de actividad... Puros “mega-estrategas de la K” y “depredadores oportunistas”; En agudo contraste, otro grupo muchísimo más abundante o frecuente de Universos de Baja Dimensionalidad

(N entre 2 y 4), habitados por seres que precisan mucho menos espacio o volumen propio individual para sostener su capacidad sensible o cognitiva, y en coherencia con ello, incomparablemente menos recursos en orden a sostener su orden o neguentropía interna y reproducirse o “replicar” sus códigos informáticos mentales y biológicos u orgánicos, análogos o tales como nuestros genes y memes... Por consiguiente, extremadamente más numerosos en las multiformes, abigarradas y plurales poblaciones de sus muchos mundos dentro de Mundos... La lógica racional darwiniana y todo lo que sabemos sobre los Sistemas Replicantes Complejos lleva a la misma y terrible pero impecable inferencia: Los “Ultradimensionales” de “gran Número N (de 6 o 7 a 10)” tenderán a parasitar a los “Mesodimensionales” de 5 o (5-6) y más aún a los “Hipodimensionales” de N=2, N=3 y N=4; Y los habitantes de Universos 4-D y 5-D jugarían un papel “intermedio” y más variable en sus “hipernichos ecológicos”: Algunos de ellos o a veces parásitos, otros productores y otros consumidores, comensales, cooperativos, endosimbióticos... “Transdimensionalmente”, queremos decir...

Las posibles interacciones y “canales de comunicación o transferencia” entre los Universos serían análogos a agujeros de gusano de modesta o reducida talla, lo que explicaría además “de un plumazo” los “fenómenos paranormales” en general y los de naturaleza más “siniestra y terrorífica” en particular, como por ejemplo los del “síndrome de posesión demonopática” y la “impregnación psicofísica”.

Y por eso les dije que asimismo, este Corolario II era “inquietante”...

Pero ya no se trata de la desaforada fantasía – o quizás intuición visionaria – de un extraño y retraído escritor de

Nueva Inglaterra, sino de la combinación de las dos lógicas más férreas, “transuniversales” u “multidimensionales” que hemos conseguido atisbar: La de las Matemáticas de la Hipergeometría Analítica y la Darwiniana Evolutiva...

Corolario III

Corolario Schreiber de la “Paradoja Hipergeométrica Arista/Volumen para Alta Dimensionalidad”

Partiendo de un punto del desarrollo razonado del Corolario previo, se escribirá la ecuación o sucesión que rige la tasa proporcional entre aristas de un N-Cubo y un (N-1)-Cubo con capacidades de almacenamiento entrópico/informático máximo equivalentes, y se deducirá su “límite al infinito” para “Muy Altas Dimensiones”, al que definimos como “Razón de Escala Lineal Dimensional de Bekenstein”, BLHDS

En concreto, retornamos a la secuencia de la argumentación anterior expresada por la (Ec. 38):

LNN/LN-1

(N-1) = 2N2/N-1

(Ec. 41)

Aislamos la Longitud de Arista para el N-Cubo en función de la del (N-1)-Cubo:

LN = (2N2/N-1)1/N LN-1N-1/N

Tomamos ahora el límite correspondiente:

límN ∞ LN = límN ∞ [(2N2/N-1)1/N LN-1N-1/N]

Puesto que “el límite del producto es el producto de los límites”:

límN ∞ LN = [límN ∞ (2N2/N-1)1/N] [límN ∞ LN-1N-1/N]

Aplicando otra propiedad del álgebra básica de límites: “el límite de la potencia es la potencia del límite”:

límN ∞ LN = [límN ∞ (2N2/N-1) límN ∞ (1/N) ] [LN-1límN ∞(N-1/N) ]

(Ec. 42)

Resultando en primera aproximación directa:

límN ∞ LN = ∞0 LN-1

(Ec. 43)

El segundo factor se resuelve de modo inmediato, no así el primero, que arroja una indeterminación o discontinuidad del “tipo evitable por convergencia al límite con el nº 'e'”.

Este método de cálculo estimado del “límite en el infinito” para esta clase de indeterminaciones se apoya en la siguiente serie convergente general:

límN ∞ (1 + 1/aN)aN = e

(Ec. 44)

Comenzamos por la base de nuestro límite aún indeterminado, y le sumamos y restamos la unidad, por lo cual es patente que la sucesión no varía:

1+ ( 2N2/N-1) – 1

Operamos la diferencia entre los dos términos finales, reduciendo a denominador común y agrupando:

1 +(2N2-N+1/N-1)

Invertimos la fracción del segundo sumando, formulándolo como “la inversa de la inversa”, por lo que tampoco cambia su valor:

1 + [1/(N-1/ 2N2-N+1)]

(Ec. 45)

Llamanos ahora aN a la sucesión obtenida al invertir en el denominador:

aN = (N-1/ 2N2-N+1)

(Ec. 46)

Llevamos a continuación (46) a (45) y elevamos toda la base – que sigue siendo de igual valor a a la original – al exponente de esa misma sucesión aN, volviendo de inmediato a elevar a su inversa, con el fin de que tampoco altera su valor equivalente:

[(1 + 1/aN)]aN1/aN

(Ec. 47)

Sustituimos (47) en el factor no-determinado de (42), utilizando la propiedad de la potencia de límites una vez más:

límN ∞ [(2N2/N-1) límN ∞ (1/N) ] = límN ∞ [(1 + 1/aN)]aN límN ∞ ( 1/aN N)

(Ec. 48)

El límite de la base – por tanto – converge en “e”, según (44), quedando:

límN ∞ [(2N2/N-1) límN ∞ (1/N) ] = e límN ∞ ( 1/aN N)

(Ec. 49)

Reemplazando (46) sobre el exponente de (49) y operando:

límN ∞ [1/2N2-N+1/(N-1) N] = límN ∞ [1/ 2N2-N+1/N2-N]

O bien:

límN ∞ (N2-N/ 2N2-N+1) = ½

(Ec. 50)

Lo cual resuelve o evita la indeterminación ∞0 y, trasladado a (43):

límN ∞ LN = e1/2 LN-1

Sin más que reordenar:

BLHDS = límN ∞ (LN/LN-1) = e1/2 = e = Cte.

(Ec. 51)

En espectacular y “desorientador” contraste con lo ocurrido para la Tasa Volumétrica Dimensional, para altos Números Dimensionales N la razón entre las magnitudes lineales o

aristas de los hiper-cubos no crece cada vez más de forma “monstruosa” y acumulativa, sino mediante un pequeño valor o pendiente positiva invariable entre cada dos niveles dimensionales sucesivos ( e = 1.648721271... ).

Expresado en palabras sencillas: Parece existir una “Paradoja Hipergeométrica” brutalmente “anti-intuitiva”: ¡Llevando al límite “desmesurado” el aumento del Nº Dimensional, el incremento relativo del hipervolumen de los N-Cubos se torna igualmente “infinito”, pero no así el de sus aristas, que permanece uniforme y tan solo algo superior (aproximadamente un 9%) a 3/2=1.5...!

Una vez más, tan aparente contradicción se debe a las limitaciones psicológicas y perceptivas de nuestro “sentido común euclidiano tridimensional”, no hay “paradoja real” desde el punto de vista formal y objetivo de las Matemáticas o la Geometría Analítica Hiperdimensional; Y por el mismo motivo esencial ya puntualizado antes: Al concentrarse más y más fracción del hipervolumen total en la periferia o borde “fronterizo” de los N-Cuerpos a medida que sube el Nº de sus Dimensiones, en dicho límite casi el 100% de este se localizará en tal frontera, y únicamente una parte infinitesimal en sus múltiples “huecos” o “vacío interior”: Dicho de otro modo, ese colosal crecimiento acumulativo de talla se produce en un 99.999999.......% de su magnitud dilatando “titánicamente” el área superficial de las “caras” (N-1) dimensionales del hipercubo, no su “altura” o perímetro lineal (suma de la longitud de sus aristas). De nuevo se antoja “absurdo” para nuestra “visualización ordinaria”, pero perfectamente lógico y corroborado por varios resultados independientes hipergeométricos, incluyendo este que nos ocupa, derivado de la generalización del Principio Holográfico/Frontera Bekenstein...

Tal fenómeno es fácilmente extensible para cualquier N-Cuerpo o Politopo, hiperesferas incluidas, como ya se reseñó.

El resultado – para N>10 – serían formas o cuerpos hiper-dimensionales tan “deformes, retorcidos y monstruosos” que, si los imaginamos “rellenos” de masa y/o energía en cualquier manifestación concebible es – esta vez sí – evidente a nuestra Razón que no podrían soportarse a sí mismos a escala macroscópica, ni mucho menos conservar una mínima estructura compleja, organizada y estable.

Y esto considerando solo N-Geometrías multidimensionales “extremadamente grandes”, pero “idealmente euclidianas”: En rigor, para tales hipervolúmenes “inmensos” dotados de masa-energía, la Teoría de la Relatividad de Einstein asegura que las líneas geodésicas de tales hipersuperficies han de hallarse en extremo distorsionadas o curvadas: Lo que acentúa más todavía tal y como ya dijimos su “aberrante deformidad”.

Otra demostración hipergeométrico-matemática de la imposibilidad de existencia de Universos y/o “hiperseres” con mayor número de dimensiones “desplegadas” que 10, justo lo que expone la Teoría M-ST.

Q. E. D.

Corolario IV

Corolario Schreiber del “Multiverso/Babel de las Lenguas Vibrantes de las Supercuerdas”

El prestigioso lingüista y filólogo George Kingsley Zipf – de la Universidad de Harvard – publicó en 1940 un pronto famoso y muy difundido artículo en el cual enunciaba su “Ley Empírica

de Zipf”, fruto de sus minuciosas y originales investigaciones estadísticas sistemáticas acerca de la prevalencia o predominio en la génesis, uso y evolución de las diversas palabras en el seno de las diversas lenguas.

El científico resumió su descubrimiento por medio de este enunciado:

“En cualquier lengua, las frecuencias estadísticas o probabilidad de aparición de las distintas palabras –

ordenadas de la máxima o más frecuente a la menos utilizada – siguen siempre una distribución tal que a la mayor

frecuencia le sucede la segunda con un valor aproximadamente igual a la mitad o ½ de la primera, a la

tercera 1/3, a la cuarta ¼... , y así sucesivamente”.

Las fracciones decrecientes pueden cambiar ligeramente sus cifras por exceso o por defecto – lo que se traduce en limitadas alteraciones en el valor de la constante de proporcionalidad y el exponente P –, en función de variables complejas de su entorno lingüístico/histórico/cultural o evolutivo/adaptativo, (raíz o rama “familiar” de la lengua en cuestión, mayor o menor número de préstamos procedentes de otras lengua a causa de factores culturales, históricos tales cuales conquistas, guerras, invasiones, intercambios comerciales...), pero ambas desviaciones son pequeñas frente a 1, al tratarse de una propiedad estructural del lenguaje humano.

En forma matemática:

F(N) ≈ κ/NP

κ, P ≃1

(Ec. 52)

Más adelante, el insigne y genial matemático francés Benôit Mandelbrot – el “inventor” de los fractales – dedujo teóricamente una versión más precisa de esta fórmula, derivada a partir de ciertos trabajos en la Teoría Matemática de la Información de Claude Shannon.

Y no es casual – como nada de lo que ocurre mínimamente relevante – que surjan estos dos decisivos y talentosos nombres, pues es evidente la íntima y honda relación entre la Teoría de la Información y el campo de estudio de este ensayo; Respecto a la geometría fractal, su también profunda conexión se revelará en el siguiente Teorema.

La Ley de Zipf se verifica para casi todas las lenguas del mundo, con leves variaciones del exponente alrededor de la unidad y ajustándola mediante específicas constantes de proporcionalidad; Incluso es válida en el esperanto, pese al origen “artificial” y “sincrético” de esta última.

Como cualquiera de Vds. puede apreciar (ver Ec. 35 y Tabla 3) , esta distribución es formalmente idéntica para nuestra Ley Normalizada de Distribución de las Frecuencias de los Universos N-Dimensionales, si redifinimos la variable independiente del Número de Orden Dimensional a partir de un origen igual a 1 en vez de 0, dado que en realidad únicamente posee sentido a partir de “Universos Planos-Flatland” con N=2, además de incorporar nuestra Constante de Normalización, ya usada para elaborar la susodicha tabla, y de tomar el exponente exactamente idéntico a la unidad:

N* = N-1 = Número Efectivo de Dimensiones de los Universos

P = 1

κ = 1/2x1.4145 = 0.3535

F(N) ≈ 0.3535/N*

(Ec. 53)

Si tomamos logaritmos:

logF(N) ≈ log0.3535 – logN*

(Ec. 54)

Definiendo:

pF(N) = - logF(N)

Así, llevando sobre (54), el valor absoluto o positivo del logaritmo de las frecuencias – incluida la de N*=1, corte con el eje vertical u “ordenada en el origen”, por eso la escribimos con signo opuesto –, y el el logaritmo del Nº Dimensional Efectivo guardarán la relación:

pF(N) ≈ -log0.3535 – logN*

pF(N) = 0.451 - logN*

(Ec. 55)

Obtenemos una sucesión linealizada de pendiente -1 a escala doblemente logarítmica, tal y como ya adelantábamos.

Introduciendo en ella los datos de frecuencias normalizadas de nuestro “Modelo Estadístico de Multiverso Hiperdimensional”, redondeando a la centésima:

N N* - logN* F(N) pF(N)2 1 0 0,35 0,463 2 -0,3 0,17 0,84 3 -0,48 0,12 0,925 4 -0,6 0,09 1,056 5 -0,7 0,07 1,167 6 -0,78 0,06 1,228 7 -0,85 0,05 1,39 8 -0,9 0,04 1,4

10 9 -0,95 0,04 1,4

(Tabla 6)

(Fig. 52 )

Donde el grado de ajuste o correlación lineal es muy visiblemente casi perfecto.

En concreto, aplicando cualquier programa de ajuste por correlación lineal – método de los mínimos cuadrados – de los múltiples a libre disposición en Internet, o en su lugar una calculadora científica de “prestaciones a nivel de carrera universitaria, se calcula muy simplemente la:

Ecuación Lineal de Regresión

pF(N) = 0.467 – 0.9905 logN*

(Ec. 56)

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 00

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

Cuyos parámetros ajustados son:

Media de y = pF(N) = 1.078...

Media de x= - logN* = - 0.618

Desviación Típica de “y” = σy = 0.309

Desviación Típica de “x” = σx = 0.312

Covarianza = σxy = - 0.096

Ordenada en el Origen (Corte con el eje “y”) = 0.467

Pendiente = σxy/ σx2 = - 0.9905

Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson = r = - 0.997

Lo que demuestra rigurosamente y cuantifica el excelente ajuste lineal decreciente logrado: Observen – comparando (55) y (56) – la escasa desviación o error relativo entre pendiente (0.95%, por defecto en valor absoluto) y ordenada en el origen (1.6%, por exceso): Lo que mide asimismo el coeficiente de correlación lineal, en extremo próximo a 1.

La conclusión es diáfana: Este Corolario prueba que la Ley de Distribución de los Universos N-Dimensionales en el seno del Multiverso Hiperdimensional o Multidimensional sigue un patrón análogo al que rige la frecuencia o probabilidad de aparición de las palabras en las lenguas humanas, o “Ley de Zipf”...

Teniendo presente el fuerte paralelismo dinámico y estructural existente entre el genoma y su evolución, o del lenguaje humano y la evolución cultural con la evolución biológica –

basados a su vez en el existente entre genes y “memes” - repasen [18] – uno de los pilares de nuestro modelo –, este fascinante y profundo resultado no debe extrañarnos; No hace más que expresar lo mismo a “Mega-Escala Meta-Cosmológica”: Sencillamente – cual ya sabían los arcanos cabalistas desde Salomón y antes que él, así como todos los genuinos sabios antiguos – “Al Principio Fue La Palabra”... Las vibraciones cuánticas armónicas permisibles de las Supercuerdas – traducimos hoy a nuestra “jerga” científica –, cuyo “pulso vibrante” en muy diversas pautas engendra la “Multiforme Música o Babel” de los Universos posibles dentro del Multiverso...; Cada Universo, cual una Grandiosa Familia de Lenguas con un tronco común, cada Mundo, una Lengua...

Q. E. D.

Todas nacidas de la Matriz de la Gran Madre Oscura, la Nada Adimensional del Vacío Cuántico agitado por la Incertidumbre, cuyas “contracciones de parto/efecto túnel” (consulten [11], [15] y] [19]) engendran los Mundos llenos de Mundos... Sin cesar...

¿No les parece algo tan hondamente sublime, majestuoso, bello, poético, incluso... reverencial o...“sagrado”?

Lo es, no nos quepa la menor duda...

Independientemente, por encima y mucho más allá de las religiones, ecos deformes y monstruosos – tanto como los “ultraseres de muy alta dimensionalidad” –, de esta Gran Verdad=Belleza Suprema.

IV

Teorema Schreiber de la “Paradoja” por Doble Equivalencia entre el Multiverso Macroscópico

N-Dimensional, la “Nada Adimensional” y el “Cosmos Fractal”. Corolario del Teorema

Podemos enunciarlo así:

“En un sentido físico-geométrico en exclusiva para Universos de Nº Alto de Dimensiones Macroscópicas o 'desplegadas', y

de modo general en términos puramente entrópico/informáticos, el Multiverso Hiperdimensional en su

conjunto equivale a la “Nada Adimensional” (un Punto de Dimensión Cero) y/o a un Espacio Cosmológico de Dimensión

Fractal igual a ½”.

En verdad, este último desarrollo o razonamiento es un Corolario o consecuencia más del Teorema principal que centra este trabajo, o de alguno de sus anteriores Corolarios. De hecho, se trata del más sencillo o elemental de todos desde la óptica matemática.

Sin embargo, he decidido conferirle el “rango” de otro Teorema porque sus implicaciones y alcance tanto teóricos y conceptuales como filosóficos son aún si cabe más pasmosos, admirables y conmovedores que los del primero y sus “ramificaciones”.

Veamos:

Ya se ha demostrado que – para “Muy Altas Dimensiones

Extendidas o Macroscópicas” – la razón entre los N-Volúmenes y sus (N-1)-Superficies de cualesquiera hipercubos pueden ser estimadas tanto empleando (36) – la formulación general deducida del Principio Holográfico o Frontera de Bekenstein Generalizados – o (39), su particularización para el caso de Nºs Dimensionales elevados en términos físicos o geométricos, aunque a la par válida siempre también en un sentido entrópico-informacional, por más “paradójico” que pueda ser para nuestra torpe y deficiente percepción macroscópica euclidiana tridimensional del Mundo –.

Igualando – por tanto – las dos ecuaciones indicadas:

2N2/N-1 = N/N-1

Simplificando factores idénticos:

2N2 = N

Igualando a cero, llegamos a la que “bautizamos”:

Ecuación Schreiber de la “Paradoja” por Doble Equivalencia entre el Multiverso Macroscópico N-Dimensional, la “Nada

Adimensional” y el “Cosmos Fractal”

2N2 – N = 0

(Ec. 57)

Una simple y asombrosamente sencilla ecuación de 2º grado incompleta que se resuelve sin más que factorizar su miembro izquierdo:

N (2N – 1) = 0

Lo cual conduce a dos únicas soluciones igualmente ciertas y distintas:

N1 = 0

N2 = ½

Q. E. D.

Significado del Teorema

I

Significado Teórico/Conceptual

I.1

Interpretación de la “Solución 1”, N = 0

La Generalización del Principio Holográfico asentado sobre la Frontera Bekenstein/Hawking implica que – en un sentido puramente entrópico o informático – cualquier Universo N-Dimensional, “limitado” por una P-Brana según la M-ST, o todo “recinto o Sistema limitado” dentro de él, lo que es esencialmente equivalente, resulta físicamente indistinguible desde el punto de vista del álgebra/geometría de sus campos cuánticos de su “frontera” o “borde” superficial de dimensión (N-1). Tan solo al “adicionar o integrar” de algún modo el campo de gravedad – o lo que significa lo mismo – una al menos significativa densidad o concentración de masa-energía, estas superficies o hipersuperficies e “desarrollan” adquiriendo “relieve” y a la vez “proyección temporal” en la “triple flecha del tiempo: cronológica, entrópica positiva y expansiva” ( o quizás en algunos casos cronológica invertida,

entrópica negativa y contractiva)... Lo que es análogo matemático-geométricamente a “añadir” una dimensión espacial “extendida” más, aparte de la temporal.

Por tanto, en toda “línea unidimensional vibrante = supercuerda elemental” se encuentra confinada la totalidad de la información que alberga o puede almacenar/procesar – o que describe las propiedades físicas fundamentales – del “Universo Plano-Flatland” que se desarrolla a partir de él al añadir el campo gravitatorio, transformando las supercuerdas lineales en “branas” bidimensionales; En cualquier brana reside toda la información que define al Universo tridimensional que puede generarse al “inyectar” densidad suficiente de masa-energía gravitatoria en ella para así convertirla en una “tribrana o 3-brana”..., y así sucesivamente.

En un sentido entrópico-informacional – por ende – la igualdad entre (36) y (39) que relaciona el cociente entre N-Volúmenes y (N-1)-Superficies codificadoras o soportadoras de cantidades relativas de informacíón iguales en sus respectivas unidades de Planck se cumple siempre o para cualesquiera niveles o números dimensionales, y por ello también la Ecuación “falsamente paradójica” (57)...

Lo que conlleva a inferir que el Multiverso Hiperdimensional en su conjunto equivale matemático-geométricamentente a la par a un “Espacio” o Estado Primordial Adimensional o de Dimensión Cero – la Solución 1 de la ecuación –.

Es decir, la “Nada o Vacío Cuántico” cuyas “palpitaciones de Incertidumbre” generan los Universos Inflacionarios por “Efecto Túnel”..., tal cual asimismo conjeturan los últimos avances en la Teoría M de Supercuerdas y la de Bucles Gravitatorios N-Dimensional (ver [11]-[13]).

Esto es en el fondo muy natural y lógico, porque si todos los Universos o “Mundos de Mundos” del Multiverso proceden de dicha “Matriz de la Nada Cuántica”, por fuerza la totalidad de su entropía/información han de encontrarse de alguna forma “contenidas” en Su Seno “Infinito y Eterno”..., más allá del espacio-tiempo local desarrollado por “Explosión/Contracción” en cada uno de los “Universos Inflacionarios Bebés” nacientes...

No obstante – en términos físico-geométricos – esta Identidad Esencial Nada Cuántica = Multiverso formulada por (57) no se “manifiesta” de manera objetiva hasta que el Nº Dimensional N de los Universos no crece mucho, debido a lo siguiente: Para cantidades de dimensiones espaciales “extendidas” bajas (de 2 a 5, aproxiamadamente), la proporción geométrica entre superficies-borde y volúmenes en cada nivel se mantiene al menos “razonablemente” equilibrada: Al crecer las áreas-frontera, lo hacen también significativamente los perímetros aunque cada vez relativamente menos a medida que aumenta N, incluso bajo condiciones relativistas de fuerte concentración de masa-energía curvadoras del espacio; A partir de N=6 o 7 – por el contrario –los incrementos de volumen implican cada vez más y más monstruosas “dilataciones” de las hipersuperficies-límite, acompañadas por elongaciones de sus perímetros mínimas en comparación, progresivamente más “ridículas” en cifras relativas: Esta desmesurada acumulación del hiper-volumen en sus bordes hipersuperficiales deforma y tensiona de manera tan grotesca a los hiper-cuerpos de elevado número dimensional aun bajo una simple aproximación euclidiana-estática, que considerada dinámicamente y “rellenándolos” de masa-energía lleva a tal grado de distorsión de la curvatura espacio-temporal y de sus propias estructuras que es fácil concluir que limita superiormente el Nº de Dimensiones macroscópicas o

“extendidas” admisibles para cualquier Universo, restringiéndolo a 10 u 11 si “adicionamos” el tiempo, justo lo que además predice la M-ST: Por encima de esos valores – esto es, en el límite práctico expresado en un sentido físico-geométrico por (57) – sencillamente tales “Universos N-Dimensionales Macroscópicamente Desarrollados” no pueden existir, por lo que equivalen a Dimensión Cero...

A lo que – por otro lado, en su aspecto entrópico/informático –equivalen siempre a modo de un “Cambio de Fase del Vacío Cuántico”, solo diferenciado de él por la acción “transversal y Multi-Universal” de las supercuerdas de los gravitones, capaces de atravesar las P-Branas Cósmicas superficiales limitantes “en todas direcciones”...

Así pues, lo que llamamos “Multiverso” o “Realidad Física Hiperdimensional” no es más que “un cambio de fase temporal múltiple del Estado Primigenio/Final Eterno e Infinito de Nada Cuántica Oscilante”... Un número inmenso e incesante de “colapsos particulares” en otros tantos estados-solución o “Universos” de la “Gran Mega-Función de Onda Cuántica del Multiverso”...

De “la Potencia Total” al “Acto Total”..., y vuelta a empezar, como lo hubiera comprendido muy bien el gran sabio Aristóteles...

“Nada Más”... , y “Nada Menos”, nunca mejor dicho.

I.1

Interpretación de la “Solución 2”, N = ½

Antes de proceder con esta discusión o Corolario del Teorema

que nos ocupa, es preciso que sinteticemos algunos conceptos fundamentales sobre geometría fractal.

Un fractal es – tal y como lo definió Benoît Mandelbrot, el “padre” de tales entes matemáticos – cualquier cuerpo geométrico o conjunto que posee al mismo tiempo tres características mutuamente relacionadas o dependientes entre sí:

1) Dimensión Fractal o fraccionaria distinta de su Dimensión Topológica u “Ordinaria” entera (o sea, 1-Lineal, 2-Plana, 3-Tridimensional, 4-Tetradimensional...). En casi todos los casos, este Número Dimensional es superior al de su Dimensión Topológica, pero no siempre: El “Conjunto de Cantor” (consulten [5]), posee un Nº de Dimensiones mayor que 1 aunque menor que 2, su dimensión topológica.

2) Auto-Similitud: Si un fractal se divide o fracciona en varias partes a escala, las propiedades o elementos constituyentes de su simetría se reproducen en cada uno de los fragmentos más pequeños, ya sea exactamente – fractales “regulares” – o al menos en términos estadísticos significativos – fractales “irregulares”. Los “irregulares” se clasifican por su lado en “complejos” y “caóticos”, de menor a mayor “irregularidad”. Y viceversa al “integrarlo” a niveles o factores de escala cada vez más grandes.

3) En contraste con lo ocurrido en la Geometría Euclidiana o incluso la Riemanniana en cualquiera de sus Variedades o Espacios Curvos, los Fractales no se obtienen aplicando fórmulas ni ecuaciones analíticas, sino iteraciones o algoritmos recursivos: Una misma “Ley de Composición” repetida una cantidad arbitrariamente

enorme de veces: A mayor repetición, mayor escala, y más “espectacular” visionado mediante simuladores gráficos de ordenador de sus rasgos “auto-similares” repetitivos.

La Geometría Fractal también se acostumbra a llamar “Geometría de la Naturaleza”, porque la práctica totalidad de las formas y Sistemas espontáneos fruto de la génesis y libre evolución de los entes que conforman nuestro Universo, sus mundos y nuestros organismos es tan compleja y detallada que goza de las tres propiedades antes enunciadas que definen a los fractales: Desde los patrones de crecimiento y diferenciación de nuestros tejidos embrionarios, la topología de nuestras redes neuronales, sanguíneas y linfáticas, la estructura de nuestros conductos biliares, pulmones y bronquios y la configuración molecular del “solenoide-unidad” de la cromatina – ADN+proteínas histonas que componen nuestros cromosomas –, o la progresión de ciertos tumores cancerosos, así como las diferencias entre sus superficies celulares respecto a las de células sanas (utilizada con éxito en la detección temprana de leucemias), al crecimiento vegetativo de las ramas y hojas de las plantas, pasando por los rasgos sexuales secundarios o anatómicos que producen la “instintiva selección/atracción por la belleza”, la geometría de las conchas marinas u otras corazas o exoesqueletos, el diseño de los panales de abejas y su sucesión generacional, el crecimiento de las tramas cristalinas o la topografía y relieve de las costas y demás formaciones geográficas – entre otras muchas –, hasta alcanzar las “mega-macro-regularidades dentro de las anisotropías por condensación de masa” del Cosmos observable: Supracúmulos, cúmulos “locales”, galaxias, sistemas estelares... Si contemplamos todos estos “objetos” desde sus escalas más ínfimas a las más grandes, sus factores básicos de simetría se mantienen constantes en mayor o menor grado de precisión estadística: Es más, la

cuantificación de sus áreas y perímetros – ya sea exacta de los más simples o estimada de los más intrincados – guarda una “embrujadora” sorpresa: Puesto que es factible reducir la “escala-unidad de recubrimiento o medida todo lo que podamos sin que se pierdan ninguno de sus elementos de geometría por la “Auto-Similitud” intrínseca a a los mismos, un fractal topológicamente 2-D o 3-D tiende a poseer en el límite teórico o esencial de incertidumbre cuántico, o mucho “antes”, al nivel de escala práctico de medida sensible, un “perímetro o borde lineal cuasi-infinito”, mientras que su área es obviamente limitada: Este singularísimo carácter es generalizable para N-Dimensiones, lo que conlleva – si se detienen a pensarlo – la propiedad justamente inversa a la de los N-Cuerpos de Dimensiones Topológicas Muy Elevadas, los cuales, como ya se demostró, propenden a exhibir perímetros en extremo reducidos frente a sus “monstruosas (N-1)-hipersuperficies”. Esto es muy coherente con nuestra tesis: La Alta Dimensionalidad sería el Estado o Fase de Tensión Elástica Máxima Admisible de las Supercuerdas/P-Branas; En cambio, el “Estado de Vacío Dimensional Cero, o “Adimensional” si prefieren, el de Tensión Nula o “Relajación Máxima”; Y el de Fractal D = ½ una especie de “transición de fase o interfase” intermedia e inestable por fragmentación para dichos “Cambios de Fase” en el seno del Multiverso...

Asimismo, hay abundantes ejemplos de “fractales ideados por el ser humano”, o bien resultantes de su actividad social: Por ejemplo, entre los “lineales o simples regulares”, algunos muy célebres como los ya citados “Conjuntos de Cantor”, a los que acompañan la “Curva de Koch”, la “Curva de Hilbert”, el “Triángulo de Sierpinsky”, el “Cuadrado de Sierpinsky” y la “Alfombra de Sierpinsky”, conocidos por los nombres de los matemáticos que los idearon; También existen otros “complejos” muy famosos, tales cuales el “Conjunto de Mandelbrot” y su “familia” (“Conjuntos de Julia”), todos ellos de

variable numérica compleja (número z obtenido al combinar en un plano cartesiano una componente real de unidad 1 y otra “imaginaria” de unidad i= -1 , esto es: z = a + bi, siendo

entonces su “módulo” o valor absoluto igual a ∣z∣ = a 2+b2 ), además de una rica variedad de un tercer grupo importante de ellos de tipo “caótico”, como algunos de los “Conjuntos de Lorentz” y similares... Dentro de estos últimos destacan los que describen patrones evolutivos de Sistemas de Alta Complejidad y cantidad de interacciones variables y fuerte componente azaroso, o “Turbulentos”, cuales los climáticos o meteorológicos – de donde procede el más que célebre “Efecto Mariposa” estudiado por el físico y meteorólogo norteamericano Edward N. Lorentz del MIT en 1963, cuyo enunciado más popular reza: “El aleteo de una mariposa en África puede desencadenar una serie de sucesos que acaben produciendo un tornado en el Caribe” –. Parecido grado de “sutilmente ordenado desorden” parecen obedecer determinadas pautas periódicas de las curvas financieras de la Bolsa y las fluctuaciones de mercado..., siendo el pionero de esta índole de trabajo el estadístico y economista experto en análisis técnico Markowitz en 1952, además del propio Mandelbrot. A esta clase de Sistemas Fractales se les suele denominar “atractores extraños”...

El Análisis Fractal se aplica además a campos tan variados como la música y pintura o diseño visual virtual fractal, simuladores de “realidad virtual 3D” que imitan de manera excelente y realista los procesos, paisajes y entornos naturales – nuestros video-juegos y películas de cine favoritas actuales no serían los mismos sin los fractales “pasados por computadora” –, la compresión de archivos de imágenes digitales de alta densidad informática – pues el “área del archivo” en memoria es, por lo que ya sabemos gracias a Bekenstein, directamente proporcional el nº de bits de su

contenido y finita, mientras el perímetro resulta “inmenso” en una unidad fractal, no se si “cogen la idea” –, diseño de antenas de teléfonos móviles...

No obstante, pese a tan imponente grado de diversidad, todos los fractales cumplen las tres definiciones de Mandelbrot.

Y, de ellas, la primigenia y esencial de la que derivan las demás es que exhiben una “Dimensión Fractal” D no-entera diferente a su “Dimensión Topológica” N.

O sea, que suponen una nueva definición más general y de más amplio alcance de la noción de “Número Dimensional”. En los fractales más complicados o “irregulares” – no digamos los “caóticos” o “atractores extraños” cuales los de Lorentz o Julia, resulta – de hecho – imposible calcular el valor de D, solo se “estima” con un nivel de aproximación directamente proporcional a la finura, sensibilidad o “pequeñez” del factor de escala que logremos llegar a poder medir o al menos simular estadística y/o informático-gráficamente..

Por fortuna, para los “fractales lineales regulares”, su simplicidad, y la fácil formulación consiguiente de su “algortimo recurrente”, nos permiten hacerlo mediante una ecuación exacta y general, denotada por lo común cual “Dimensión de Hausdorff-Besicovitch”, en homenaje a los dos matemáticos-geómetras que la definieron originalmente.

Esta ecuación es una generalización que incluye a los fractales y a los “cuerpos geométricos euclidianos corrientes”, o sus “versiones riemannianas distorsionadas”, a modo de “casos particulares”, de ahí su interés, validez y vigencia.

Para comprender este aspecto, empecemos imaginando un

“trozo” finito cualquiera de una línea recta (N=D=1, pues como una línea no es un fractal su dimensión topológica y la de Hausdorff-Besicovitch han de coincidir): La seccionamos en dos segmentos iguales: Hemos duplicado su Nº de Elementos de idénticas propiedades (n=2), reduciendo a la par su escala en un factor ε = ½; Ahora repetimos la operación dividiendo el segmento inicial en tres partes iguales (n=3), menguando su factor de escala en ε = 1/3; Y así sucesivamente... En general, si deseamos fraccionar la línea o elemento-unidad monodimensional inicial en n partes idénticas ello nos exigirá disminuir su factor de escala en una proporción ε = 1/n.

A continuación, hacemos lo mismo pero con una hoja o sección plana cuadrada (N=D=2), dividiéndola hasta duplicar sus mismos elementos geométricos a la menor escala máxima posible: Es patente que necesitaremos al menos formar n=4 nuevos cuadrados idénticos y reducir hasta un factor de escala ε = ½ para conseguir el citado “duplicado”; Igualmente, si repetimos la operación nos harán falta n=9 cuadrados más pequeños de escala idéntica a ε = 1/3, y de este modo siempre: Así pues, para dividir el cuadrado-unidad original en n réplicas equivalentes, hemos de reducir su escala en una razón ε = 1/n1/2.

Proseguimos ahora con un cubo-unidad tridimensional (N=D=3): Precisamos en la primera división un total mínimo de 8 cubos a escala ½, en la segunda 27 a escala 1/3, etc: Por consiguiente, n cubos más reducidos para una escala 1/n1/3.

Pues bien, si expresamos estas relaciones de manera totalmente genérica, es evidente deducir que:

1/ε = n1/D

(Ec. 58)

Tomando logaritmos – decimales, por ejemplo – a ambos lados de la igualdad:

(1/D) logn = 0 – logε

O bien:

D = - logn/logε

Por tanto:

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

D = logn/log(1/ε)

(Ec. 59)

Comprueben que – independientemente de la cantidad de veces que “iteremos” o repitamos el “algoritmo” u operación de fraccionamiento para cada nivel dimensional – el Número Dimensional D (para estas figuras o cuerpos euclidianos idéntico a su dimensión topológica N) coincide con el que es evidente para cada uno de ellos.

En efecto:

Segmento Lineal

D = log2/log2 = 1

D = log3/log3 = 1

…

D = logn/logn = 1

Cuadrado

D = log4/log2 = 2

D = log9/log3 = 2

…

D = logn/log(n1/2) = 2 logn/logn = 2

Cubo

D = log8/log2 = 3

D = log27/log3 = 3

…

D = logn/log(n1/3) = 3 logn/logn = 3

Usando esta misma fórmula, ya validada en su certeza de modo obvio, si bien en este momento para algunos casos de fractales simples lineales o regulares, corroboraremos que su Dimensión de Hausdorff-Besicovitch resulta fraccionaria:

Conjunto de Cantor

(Fig. 53)

Se obtiene dividiendo cualquier segmento lineal en tres partes iguales, eliminando la central: Así tenemos 2 segmentos iguales duplicados reducidos a escala 1/3; Se repite este proceso de nuevo con los dos segmentos idénticos de los extremos, generando de esta forma 4 “réplicas auto-similares” a escala 1/9...; Y así se va iterando el algoritmo indefinidamente, hasta n veces: En general, para n fracciones auto-similares tendremos 2n “copias reducidas” por cada factor de escala 1/3n.

Aplicando una serie recurrente por (59), a semejanza de lo llevado a cabo con los elementos euclidianos:

D = log2/log3 = 0.6309...

D = log4/log9 = 0.6309...

…

D = log(2n)/log(3n) = n log2/n log3 = 0.6309...

En esta ocasión, la Dimensión Fractal de Hausdorff-Besicovitch es, desde luego, fraccionaria, pero no superior a la Dimensión Topológica N=1, una única y rara excepción en el “mundo de los fractales”: Por esa razón, el mismo Hausdorff y otros matemáticos no aceptan incluir al Conjunto de Cantor como “auténtico fractal”, pues adoptan la definición más estricta de los mismos cuales “conjuntos, elementos geométricos o Sistemas cuya Dimensión de Hausdorff-Besicovitch es fraccionaria y mayor que su Dimensión Topológica o Euclídea”.

No obstante, sí verifica cada requisito de la definición más genérica y conceptual de Mandelbrot, criterio que permite concederle tal “estatuto” en opinión de muchos otros autores y divulgadores, incluyendo a quien esto firma: Sencillamente, se trata de un “fractal de muy baja dimensión no-entera”, a “poco más de medio camino entre el punto – al que converge rápidamente al aumentar el nº de iteraciones recurrentes – y la línea monodimensional de la que parte.

De hecho, algo muy similar – como poco después veremos – constituye “nuestra supercuerda elemental fraccionada” en la que basamos la interpretación de la Solución 2 de mi aparentemente “paradójica” ecuación (57), solo que además “afectado por la alta incertidumbre cuántica”, tal cual luego explicaremos.

Curva de Koch

(Fig. 54)

Aquí el algoritmo o Ley de Recurrencia consiste en empezar a fraccionar un segmento hasta configurar una “punta estrellada” o “triángulo equilátero” carente de base, “apoyada” en otros dos segmentos horizontales más cortos que el primordial, de igual longitud a sus “lados”, reproduciendo a ambos lados desde el centro a los extremos la misma figura plana para tamaños cada vez más reducidos pero de iguales proporciones; Por consiguiente, durante la primera etapa completa creamos 4 “réplicas iguales” a escala 1/3, en la segunda iteración 16 reducidas por un factor de 1/9, con la tercera 64 formas auto-similares 27 veces más pequeñas en

proporción a las originales... etc.

Es decir:

D = log4/log3 = 1.2618...

D = log16/log9 = 1.2618...

D = log64/log27 = 1.2618

…

D = log(4n)/log(3n) = n log4/n log3 = 1.2618...

Este “monstruo” no-euclidiano muestra una Dimensión Fractal comprendida entre la línea y el plano, algo más próxima a la primera.

El más difundido y estudiado de los “Fractales de Variable Compleja”: El Conjunto de Mandelbrot

Surge – al igual que su “familia más general”, los “Conjuntos de Julia – en los análisis de problemas dinámicos o evolutivos para Sistemas de Poblaciones, tanto de índole biológico como socio-económico; Y, tal cual los segundos, es tan intrincado que únicamente tras el desarrollo de la tecnología computacional de cálculo y representación o simulación gráfica digital al menos mínimamente avanzadas a partir de la década de los 80 del siglo pasado, fue imposible en rigor tanto cuantificarlo como “trazarlo”.

Evitando entrar en tecnicismos matemático-topológicos excesivos e innecesarios en el contexto de este trabajo, podemos definir un Conjunto de Mandelbrot M como el

obtenido mediante el siguiente algoritmo:

Qc(z) = z2 + c

z, c = Nºs Complejos

(Ec. 60)

De manera que, para cada Nº Complejo z definimos “órbita de z por Qc” a la sucesión generada iterando:

Qcn = Qc, Qc2, Qc3, …, Qcn

n = 1, 2, 3...

(Ec. 61)

Benôit Mandelbrot probó mediante un primer Teorema que solo era posible determinar un Conjunto M obtenido de modo recurrente y con propiedad de auto-similitud si este era un Subconjunto de los Nºs Complejos formado por todos los valores c tales que sus órbitas de z=0 por Qc está acotada: Esto es, se mantiene siempre inferior a un valor dado finito, por más que el Nº de Iteraciones n crezca desmesuradamente o “tienda a infinito”, lo que equivale a decir que la sucesión Qc

n (0) sea convergente.

Posteriormente, el matemático galo Gaston Julia extendió esta clase de fractales complejos a una familia topológica de conjuntos mucho más amplia – los “Conjuntos de Julia” –, en los cuales las formas de la Ley Recursiva del algoritmo son polinómicas pero más variadas y/o complicadas, demostrando además junto a su colega P, Fatou, [5]-[6], que dicha condición en general asegura que un “Conjunto de Julia” Jc sea “Conexo”, lo cual significa que no puede “separarse” en dos secciones

“disjuntas” o distintas; En términos fractales, ello implica que por mucho que cambie o se reduzca la escala a la que lo consideremos – o, lo que es lo mismo, aumente la cantidad de iteraciones – se conserva “auto-coherente” y por ende “auto-similar”.

Adicionalmente, aplicando su Teorema generalizado al Conjunto de Maldenbrot dedujeron que esta “Condición de Conexo” suponía que para todo c y n:

∣Qcn(0) ∣≤ 2

(Ec. 62)

Llevando esta condición a (60) resulta obvio que:

∣c ∣≤ 2

(Ec. 63)

Pues, por (60), Qc(0) = c, luego si ∣c∣>2 es evidente que

∣Qc(0)∣>2, así como: ∣Qcn(0)=[Qc

n-1(0)]2+c∣> …

>∣Qc3(0)=(c2+c)2+c∣>∣Qc

2(0)=c2+c∣>∣Qc(0)=c∣>2, lo que asegura que si el número n de iteraciones sube

indefinidamente la serie ∣Qcn(0) ∣ diverge o “se dispara” al

“infinito”, antes o después; Por otra parte, no resulta menos

claro que, cuando c=0, ∣Q0(0)∣=0, de lo cual se infiere que la Sucesión Recurrente que define el Fractal o Conjunto de Mandelbrot se encuentra siempre acotada dentro de una

“bola”, círculo o intervalo cerrado de centro 0 y radio ∣2∣.De modo que podemos usar este Teorema para analizar si cualquier punto, “coordenada” o número del Conjunto Complejo pertenece o no al Subconjunto de Julia del Fractal de Mandelbrot así delimitado, sin más que ejecutar unas sencillas operaciones.

Como “botones de muestra”:

c=i

Qi(0) = i, Qi2(0) = (-1+i)*, Qi

3(0) = -i, Qi4(0) =(-1+i) …

(*): Debido a que i2=( -1) 2 = -1

Y a partir de ahí se repite la secuencia, por lo cual la serie es oscilante y acotada entre 0 y 2 para sus valores absolutos o “módulos”, que siempre corresponden a 1 o 2 : En consecuencia, c=i pertenece al Conjunto de Mandelbrot.

c=-1

-1, 0, -1, 0 …

Oscilante de nuevo y jamás mayor que 2: Por consiguiente, el punto c= -1 también forma parte del Subconjunto de Julia de Mandelbrot.

c=1

1, 2, 5, 26 …

Diverge, ergo c=1 se halla excluido del Conjunto de

Mandelbrot.

c=-i

-i, (-1-i), -3i, -9-i …

Vemos que el valor absoluto del cuarto término o iteración ( 10 ) ya rebasa la cota superior, por lo que es patente que el valor c = - i es un punto externo al Fractal de Mandelbrot.

De esta manera, un sencillo programa de ordenador puede calcular con suma facilidad y hoy por hoy razonable rapidez si cualquier número o punto complejo se halla “dentro” o “fuera” del Conjunto de Mandelbrot, iterando el algoritmo un número muy grande si bien finito de veces; Una asimismo sencilla aplicación gráfica asignará un color de píxel a cada “punto divergente”, proporcional en su intensidad a la “velocidad de escape” con la cual “se dispara al infinito”, mientras emplea otra gama cromática bien constrastada con los puntos que convergen dentro de la “bola o intervalo acotado” del fractal: El resultado es un gráfico del fractal, tanto más impresionante y nítidamente expositor de su propiedad de auto-similitud y de la Dimensión Fraccionaria de su borde o perímetro cuanto más cantidad de sucesivas iteraciones sea capaz de cuantificar el ordenador. En la actualidad, a más de 500 recurrencias por píxel, se logran imágenes muy bellas, útiles y suntuosas, tanto del Conjunto de Mandelbrot como de los Conjuntos de Julia, los Atractores de Lorentz y otros “hermosos monstruos topológicos no-euclidianos” de su especie.

En el caso del Fractal de Mandelbrot, he aquí un ejemplo:

(Fig. 55)

Resolución: 500 iteraciones/píxel

Gama negro-amarillo/verdoso: Puntos Convergentes o Pertenecientes al Conjunto de Julia del Fractal de Mandelbrot,

desde su centro hacia los bordes o “perímetro/frontera límite”(“dendritas” filamentosas tintadas en esos últimos

colores)

Gama de rojo-malva-morado-azul pálido-azul intenso: Puntos Divergentes o Exteriores, desde el entorno del borde hacia

fuera, en orden a “velocidad creciente de escape”

Aparte de que la “Auto-Similitud” esencial del Sistema “salta a la vista”, también se aprecia de forma diáfana otra propiedad clave de los Fractales en general y los complejos muy en

particular: Su área acotada es notoriamente finita, pero su perímetro crece de manera indefinida e “inmensa” con el nº de iteraciones o resolución del mismo: Una “paradoja” opuesta a la de los “colosos N-Dimensionales” de N elevado, aun cuando igualmente “desconcertante” para nuestro viejo y obsoleto “sentido común congénito del Paleolítico”... Y, por la misma causa, totalmente irrelevante desde el punto de vista de las Matemáticas y sus Nuevas Geometrías... Y de las estructuras y dinámicas de la Naturaleza operantes tras ellas...

Asimismo, se intuye al contemplar la atractiva simulación que la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch del Fractal de Mandelbrot tiende a D=2 en el límite: ¡Es tan intrincado que su dimensión fraccionaria “casi roza” la del nivel topológico máximo que puede ocupar una figura plana!

En efecto, si se estima su valor por métodos estadísticos habituales en este tipo de fractales – conteo de la cantidad de bolas o cajas unitarias a escalas cada vez más finas necesarias para “recubrir por entero su borde perimetral” en función del grado de resolución o número de iteraciones aplicado –, se observa que dicho Nº de Dimensión Fractal D obedece a la serie: D = 1.9, 1.99, 1.999, 1.999, 1.9999, … , 2, a medida que tal nivel de recurrencia sube.

Esto coincide con avances teóricos recientes en la aproximación de nuevas fórmulas análogas a la de Hausdorff-Besicovitch para Conjuntos de Julia de la Variedad Polinómica Cuadrática, “linaje de la familia” cuyo representante más “célebre” y analizado es el de Mandelbrot: Así, el belga-francés David Ruelle – de la Universidad Libre de Bruselas y Princeton, actualmente profesor emérito y visitante de la Rutgers University, creador del concepto de “atractor extraño” en colaboración con el alemán Floris Taken – y el norteamericano Curt McMullen – de la Universidad de Harvard

– [6]-[10], han conseguido formalizar y corroborar, contrastando sus modelos con los más potentes e innovadores algoritmos informáticos de cálculo estimado de este parámetro, las siguientes relaciones:

Ecuación de Ruelle

D(Jc) ≈ 1 + ∣c2∣/4 log2

Para ∣c ∣ “pequeños” (entre c = -1 y c = ½, ambos inclusive, sobre puntos z muy cercanos al centro, z = 0)

(Ec. 64)

Ecuación de McMullen

D(Jc) ≈ 2 log2/log∣c∣Para ∣c ∣ “grandes” (próximos a c = 2)

(Ec. 65)

Es muy sencillo verificar que (64) tiende a 1 en el límite cuando c lo haga a 0, así como, en el “extremo opuesto”, (65) converge a 2 en el límite máximo admisible para c = 2.

Así pues, los Conjuntos de Julia de Algoritmo Recurrente Polinómico Cuadrático presentan Nºs Dimensionales Fractales oscilantes entre una cota inferior cuasi-monodimensional (D = 1.0000...001, 1 .0001, 1 .001....) para muy bajas iteraciones y/o puntos extraordinariamente próximos a su centro-origen, y estos van aumentando de forma compleja según incrementamos la cantidad de iteraciones y/o nos acercamos

a los “bordes”, hasta “casi” tornarse bidimensionales (1 .999, 1 .9999, 1 .9999 … 999...).

Se deduce entonces de inmediato que su Límite Máximo Dimensional a “enorme grado de recurrencia/desarrollo” vendrá dado por:

D(Max) = 2

Tal y como habíamos “barruntado” por “inspección visual” de la gráfica del Conjunto de Mandelbrot.

Una vez aclarados y/o refrescados estos conceptos básicos, sobre Geometría y Análisis Fractal, retomemos nuestra secuencia de argumentación principal:

Solución N = ½, o la “Supercuerda Fractal”

He de confesar que a mí mismo me sorprendió este resultado: El primero en cierto modo me lo esperaba: Todo el que atesore ciertos conocimientos básicos en la Nueva Cosmología o Física Cuántico-Gravitatoria de Supercuerdas/Branas y/o Gravedad Cuántica de Bucles puede llegar a entender que – físico-geométricamente hablando – un hipotético estado tan excepcionalmente tensionado o deformado como el implícito para Nºs Dimensionales Macroscópicos o “Desplegados” Altos (superiores a 10) provoque la “ruptura” de las supercuerdas o P-Branas vibrantes elementales, al rebasar su enorme pero finito punto elástico crítico, lo que supone en principio su “desvanecimiento” físico, generando un Estado de Nada o Potencial Cuántico Oscilante de Dimensión Cero.

Proceso que – desde el punto de vista puramente entrópico/informático, a causa del Principio Holográfico –

equivale a un mero cambio de estado o fase desde la “Nada Adimensional N=0 a cualquier “solución/Universo” Macroscópico de Dimensión Extendida N...

Cosmológico-cuánticamente, dichos escenarios extremos corresponderían a las “Singularidades” cuánticas o relativistas no-unificadas, cuales el “Big-Bang”, el “Big-Crunch” o el “Big-Rip”, análogas en rigor todas ellas a sendos “Big-Bounces” o “Grandes Rebotes” desde la óptica geométrica hiperdimensional ofrecida por las nuevas Teorías aproximadas de Gran Unificación.

Ahora bien, pensé tras una esforzada reflexión de casi 48 horas, “ruptura” supone asimismo “fragmentación”, por lo cual no es absurdo plantear que a la par, – no digo “a la vez” porque, en dichas circunstancias, el mismo “tiempo”, así como el “espacio” en sus conceptos habituales tanto euclidianos como riemannianos carecen de sentido –, tal situación equivalga a un “Espacio Fractal” de Nº Dimensional intermedio o fraccionario entre “el punto” o 0-Dimensional y la “supercuerda elemental vibratoria mínima” monodimensional o 1-Dimensional de longitud unitaria del orden de la de Planck: Esto es, un Espacio Fractal de Dimensión ½, justo lo que indica nuestra “Solución 2”.Tal estado sería muy probablemente “inestable” – y de nuevo no podemos emplear el calificativo “fugaz” por las mismas razones que antes –, en cierta forma parecido – aun cuando “por debajo” o “más allá” del marco continuo espacio-temporal “habitual” o cualquier otro “paralelo” para cualquier Nº Dimensional entero posible –, al de un complejo activado de una reacción química, o a las palpitaciones de la cola de una lagartija si es seccionada del cuerpo del animal, sostenido por la “energía residual de oscilación cúantica de vacío por elevada incertidumbre”.

Si consideramos – por ejemplo, siguiendo la hipótesis más simple – que cada una de esas P-Branas se “rompen” en sus unidades “lineales” más sencillas o elementales, las Supercuerdas (ST), y estas a su vez en dos “trozos” a escala 1/ε, entonces al ser su “Dimensión Fractal” D= ½ según determina nuestra ecuación (57), se cumplirá por (59) que:

DST = ½ = log2/logε

(Ec. 66)

Despejando el inverso del factor de reducción de escala, o “factor de aumento de escala”:

logε = 2 log2 = 0.6020...

ε = 4

1/ε = ¼

Tal vez pueda parecernos extraño que al dividirse una “supercuerda elemental” en dos partes su escala mengue cuatro veces, pero por enésima ocasión dicha perplejidad procede de las tremendas limitaciones euclidiano-tridimensionales reinantes en nuestro cerebro por herencia biológica y cultural, no a causa de nada esencial ni decisivo para las Matemáticas y las Geometrías Diferenciales No-Euclídeas – ya sean Riemanniano-Minkowskianas o Fractales – que gobiernan o conforman múltiples facetas tanto macroscópicas como submicroscópicas de la Naturaleza y el Cosmos Multiverso Hiperdimensional: En realidad, una vez “fragmentada”, una “supercuerda elemental” deja de ser – por definición – “supercuerda” y “elemental”; Se transmuta en una suerte de “forma ultramicroscópica intermedia entre una pareja de partículas puntuales adimensionales y dos

segmentos lineales inconcebiblemente diminutos”, justo a la mitad de desarrollo dimensional entre ambos entes geométricos, para ser exactos, lo que determina su Dimensión fraccionaria ½ : Podemos intentar imaginarlas cuales una especie de “puntos distorsionados” o “dilatados por sus bordes”, de modo que estos se tornan “cuasi-longitudinales”, o poseen un “perímetro infinito” frente al “contenido cuasi-nulo” de sus “centros tendentes a la dimensión cero”, análogo al “área” para este subnivel dimensional, al igual que tal “pseudo-perímetro” equivale a la “frontera”... Ello explica que su escala relativa se empequeñezca 4 veces, mientras que la cantidad de fracciones, secciones o “copias” de la supercuerda monodimensional original tan solo sean 2, algo “absurdo” en términos euclidianos “corrientes”, pero perfectamente lógico y auto-consistente para Dimensión Fractal fraccionaria idéntica a ½.

Esta imagen mental nos ayudará a comprender que – aplicando bajo estas condiciones topológicas el Principio Holográfico de Susskind derivado del Límite de Bekenstein – aun estos “trozos residuales” de las supercuerdas podrían todavía almacenar o cifrar toda la cantidad máxima de entropía/información precisa para “describir” las propiedades físicas básicas del Universo que “antes” constituyeron: De hecho, esta se acumularía en tales “bordes pseudo-lineales”, de “tamaño desmesurado” en razón a sus “zonas interiores pseudo-adimensionales/puntuales”... He aquí lo que nos garantizan el maravilloso y fascinante “Principio Holográfico/Frontera Bekenstein”: La “auto-similitud fractal” se traslada al campo de la Física entrópico/informática del Cosmos-Multiverso.

Por descontado, nada nos impide suponer que este fraccionamientose se produce o “prosigue”, generando 3, 4, 5, 6 … n fragmentos por cada supercuerda o “sección previa” de

ella durante esta “interfase de transición inestable hacia la adimensionalidad N=0” desde su estado inicial monodimensional N=1, pues en esta opción la Dimensión Fractal puede mantenerse constante e igual a ½ tal y como exige nuestra ecuación, sin más que ir disminuyendo más y más el factor de escala de las susodichas “particiones” recurrentes, según (59-66).

Se obtiene así una muy simple sucesión dada por:

logε = 2 logn = logn2

ε = n2

1/ε = 1/n2

(Ec. 67)

Dando valores, la representamos mediante una Tabla más:

n (nº de fragmentaciones de la Supercuerda) 1/ε (Factor de reducción de escala)

2 ¼ = 0.253 1/9 = 0.1111. ...4 1/16 = 0.06255 1/25 = 0.046 1/36 = 0.027777 ...... ...n 1/n2

(Tabla 7)

En forma gráfica:

(Fig. 56)

Es patente que esta serie converge en 0 si hacemos crecer sin fin el Nº de iteraciones n del algoritmo o Ley de Recurrencia, lo cual es absolutamente coherente con nuestro planteamiento teórico: En el límite “infinito”, la supercuerda primordial N=1 se ha dividido tantas veces que prácticamente se ha convertido en una serie “inmensa” de puntos adimensionales N=0: El fin del “estado transicional inestable” fractal D=½ para el cambio de estado entre cualquier Universo N-Dimensional y el “Vacío o Nada Cuántica Primigenia Adimensional”.

Denomino a esto el “Fractal-Supercuerda Elemental Fraccionada de Schreiber”, que para eso me costó casi dos días de “exprimirme los sesos” a fondo...

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,50

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Naturalmente, puesto que dicho proceso supone la “existencia virtual”, por expresarlo “coloquialmente”, de subestados transicionales altamente inestables sucesivos de “fracciones de supercuerdas” cada vez menores a la Longitud de Planck, para ellos el espacio-tiempo, ni tan siquiera a escala cuántica cual “espacios de Hilbert” o “álgebras de Maldacena-Virasoro”, no digamos en términos “continuos gravitatorios relativistas o riemanniano-minkowskianos”, simple y llanamente ya no existe: Por ende, tales “residuos menguantes de supercuerdas” no oscilan a nivel ultramicroscópico según sus modos estables de vibración responsables o determinantes de las propiedades de las partículas de materia “ordinaria” o antipartículas fundamentales de antimateria submicroscópicas conocidas y sus posibles “compañeras supersimétricas”, cual corresponde a un “Universo tensionado y/o comprimido hasta su desaparición” en el marco de la Teoría M de Supercuerdas; Y, contemplado desde la óptica de la Teoría de Bucles Gravitatorios N-Dimensional, el “panorama” se revela todavía más “surrealista” o “heavy”, pero empujando “in extremis” a la misma conclusión sustancial: Puesto que en el contexto de dicha teoría, los análogos a las supercuerdas elementales son bucles o lazos cuánticos discretos de gravedad/redes de espines rotatorios curvados de espacio-tiempo mismo: El propio espacio-tiempo se halla “granulado”: Así pues, al “romperse” o “dividirse” el “mínimo lazo-unidad equivalente a un gravitón” los mismísimos espacio y tiempo se fraccionan, dejan de existir estructural y dinámicamente.

Estos “estados adimensionales” o “Singularidades” de la “Nada/Vacío Cuántico” no serían abordables – por consiguiente – desde ningún modelo algebraico-topológico o geometría analítica diferencial concebida hasta ahora, ni de número de dimensiones enteras ni fraccionarias o fractales.

Los más preclaros físicos y cosmólogos teóricos especialistas

en la M-ST o la QGL-N los denominan “estados pimigenios adimensionales” o Matriz Cósmica Infinita y Eterna del Multiverso” – de ahí uno de los significados de la “M” de la Teoría Unificada de Supercuerdas –, a la par “previos/posteriores/preexistentes” al Big-Bang, Big-Rip, Big-Crunch o cualquier otro escenario intermedio en las “vidas y evoluciones espacio-temporales multidimensionales y variables de los Universos”.

Se han realizando ya dificultosos esfuerzos por parte de los cerebros más privilegiados y brillantes de la vanguardia física actual por penetrar algo de luz en la “Misteriosa Oscurodad” de los citados “Estados Primordiales Adimensionales”: Reproduzco lo escrito en mi trabajo al respecto basado en la magnífica obra divulgativa sobre la Teoría de Supercuerdas y el Paradigma del Multiverso Hiperdimensional de Brian Greene (ver [11] y [15]); Utilizo otro tipo de letra para destacarlo y diferenciarlo:

“Para asimilar esto hemos de utilizar una vez más una comparación “ordinaria”, brindada de nuevo por el excelente talento didáctico de Brian Greene: Todos sabemos que una porción cualquiera de un tejido textil – como los que confeccionan nuestras ropas, por ejemplo – es el producto final de un cuidadoso entretejido de hilos, siendo estos hilos la materia prima de la tela. Estos trenzados pueden ser muy variables, en función del tipo de prenda que vayan a constituir, aun cuando la materia prima básica de las mismas sean iguales, como la lana o un

material sintético. Análogamente, cada una de las formas o patrones de entrelazamiento vibracional de resonancias en estado coherente para las supercuerdas conformarán otros tantos conjuntos de partículas-fuente y de intercambio distintas, unas de índole gravitacional, otras electromagnéticas, nucleares fuertes o nucleares débiles, pero la materia prima que compone el “tejido fundamental del espacio-tiempo” ha de ser la misma: Es decir, que la “sustancia o materia prima del espacio-tiempo serían estas configuraciones de cuerdas elementales que no se han llegado a trenzar o “coaligarse” en los modos o pautas resonantes coherentes características de cada una de las partículas e interacciones fundamentales de la Naturaleza, permaneciendo en su estado “virgen” más “embrollado”, desorganizado o indeferenciado. El enorme problema es que nuestra lógica habitual y “sentido común” tienden a imaginar que toda “cuerda” o tensor vibrante – por el mismo hecho de pulsar u oscilar – ha de hacerlo en un espacio (longitud de oscilación) y tiempo determinados (frecuencia de la misma). Por el contrario, en una situación en la que no se encuentran

determinadas las propiedades singulares de las partículas fuentes e interacciones de campo que derivan de los patrones organizados y coherentes de estos entes vibratorios elementales sus masas-energías específicas y – por ende en términos relativistas y cuánticos a la par – tampoco su espacio-tiempo quedan matemáticamente definidos. ¡En dicho escenario, de hecho, por más extraño e “incomprensible” que se antoje a nuestra intuición y lógica “habitual”, no hay ninguna clase de concepto, expresión o formulación inteligible de espacio y tiempo!, dado que estos dependen de la masa-energía y viceversa, cual Einstein demostró, y la masa-energía en movimiento se asocia a sus permisibles estados ondulatorios, como prueba el Principio de Dualidad de la Mecánica Cuántica. Nuestro lenguaje común – traducción de nuestro pensamiento “corriente” inseparable de la extensión espacial y el flujo temporal, después de todo – no es lo suficientemente “sutil” como para expresar esto, puesto que en dichos estados “primarios de las supercuerdas” no existirían ni tan siquiera la noción de “posición, extensión, antes, ahora o después”: Lo más aproximado que podemos

hacer es describir tal “materia prima elemental de las cuerdas ultramicroscópicas” a modo de “fragmentos del espacio-tiempo” aislados y “deshilachados”, antes (o después, tanto da), de que sus mutuas “vibraciones simpáticas resonantes entren en coherencia de fase” y “entretejan” la urdimbre activa de las masa-energías diferenciadas y el espacio-tiempo estructurado tal y como lo entendemos.Y aquí es donde las dos “hermanastras” tan distintas “convergen” o se “abrazan complementariamente” en “feliz endosimbiosis”: Pues resulta obvio que estos “trozos desorganizados” o “paquetes mínimos desordenados de supercuerdas elementales” “aespaciales – por ello asimismo “adiemsnionales” – y “atemporales”, serían equivalentes a los “cuantos o paquetes discretos de espacio-tiempo” y “lazos/bucles de masa-energía o gravedad primordial” propuestos por la Teoría de Bucles Gravitatorios cuales “materia prima proteica o absolutamente primaria o desestructurada” del Cosmos.La lógica “exótica” pero implacable que hay detrás de todo ello es que – en rigor – desde sus mismos orígenes, la ST ha supuesto que el espacio-

tiempo se hallaba de algúna manera ya “incluido” en las supercuerdas al poseer estas masa-energía o tensión vibrante, pero esto es un “falso axioma”, porque sencillamente procede de dos marcos teóricos parciales e incompletos ya superados al integrarlos entre sí por las mismas Teorías de Cuerdas/Teoría M. No obstante, debido a que la ST/M “redibuja” desde el principio toda la Física Fundamental de “arriba a abajo”, desde lo más diminuto a lo más inmenso, lo adecuado y natural es esperar que consiga deducir o predecir la estructura básica y las propiedades del espacio-tiempo y la masa-energía desde “cero”, desde una “pizarra limpia”... O sea, desde una “situación” carente de espacio y tiempo tal cual los definimos. Este tan difícil de imaginar “estado proteico ultra-primigenio” ( o “ultraposterior”) a cualquier génesis, fin o evolución cosmológica intermedia para cualquier “versión” de Universo, este escenario “pre-Big Bang” o “Post-Big Rip” u otra modalidad concebible de “Apcalipsis Cósmico Terminal, sería el marco a partir del cual la Teoría M, desarrollada en plenitud como “Teoría del Todo”, debería poder hacer emerger de “forma espontánea y natural” los

idóneos fondos coherentes de vibraciones de cuerdas capaces de configurar este y otros posibles “Universos”... Y, por tanto, sus respectivos patrones de masas-energías vibrantes y “tejidos espacio-temporales” con variables topologías dimensionales “arrolladas” y “extendidas” en cada caso.Las investigaciones teóricas de vanguardia más extrema realizadas hace muy poco por especialistas en ST/M de primerísimo nivel cuales Edward Witten, Tom Banks, Stephen Shenker, William Fischler, Leonard Susskind y otros, han demostrado matemáticamente que existe un elemento o ente algebraico-topológico adecuado para describir ese “estado de no-espacio y no-tiempo” totalmente “proteico” ,“atávico” e “informe”: Las Cero-Branas; Esto es, Branas adimensionales o de dimensión nula. Pueden “visualizarlas” como “branas puntuales”, porque en cierto modo – contempladas desde una perspectiva “lejana” o submicroscópica pero de orden superior a la escala de Planck –, serían por entero indistinguibles de “ultramicroscópicas partículas puntuales”; Pero, “observadas” con

mayor detalle o resolución, se revelan como una especie de “puntos adimensionales internamente vibratorios”... Solo que estas “vibraciones” – a causa de su naturaleza topológica adimensional o de “dimensión 0” –, no se “extiende” longitudinalmente ni se “desarrolla” en el tiempo. Es imposible “visualizar” tales estados para nuestro “rudimentario cerebro” preso en su “cárcel espacio-temporal y dimensional finita”, pero matemáticamente son perfecta y coherentemente formulables. Los análisis llevados a cabos en los espacios algebraico-topológicos definidos por las “Cero-Branas” prueban que cualquier tipo de “geometría convencional” fundamentada en los conceptos “habituales” de distancia e intervalo temporal – ya fuere euclídea, curva o riemanniana, la de los “espacios de Hilbert” apropiados para describir los estados y operadores de los campos cuánticos, la propia de los “Espacios de Calabi-Yau”, las variadas formas de “espacios fractales” o cualquier otra por “extraña” que sea –, queda “abolida” en este “plano sin planos” o “esfera sin esferas”... En su seno – por así decir – ya que nuestro lenguaje es por completo inepto a la hora de tan siquiera atisbar su descripción –, estas

nociones “ordinarias” de longitud y periodos temporales “se funden” y “desaparecen”, articulando un “paisaje topológico” radical e integralmente distinto que no podemos expresar de forma verbal o escrita ni esbozar tan siquiera gráficamente. Este novedosísimo, extraordinariamente abstracto y “desconcertante” campo del Álgebra Topológica se llama “geometria no-conmutativa”, y ha sido creado y desarrollado sustancialmente por el brillante matemático francés Alain Connes. Pese a ello, los físicos teóricos han inferido que cuando rebasamos la escala métrica de Planck, las “Cero-Branas” se transmutan en “Supercuerdas o Uni-Branas”, de un modo en esencia análogo al que una “cuerda unidimensional” se transforma en una “bi-Brana” o “membrana bidimensional elemental” al considerar más elevadas densidades de masa-energía o tensiones internas. Así, el marco geométrico y dimensional con distancias espaciales e intervalos temporales “extensos” emerge de forma “natural” desde la “proteica matriz adimensional o materia prima más primigenia concebible del tejido espacio-temporal”, a la par que las interacciones o acoplamientos

entre resonancias en patrones coherentes “organizados” o diferenciados.Este fascinante e insólito terreno de investigación acaba de iniciarse, pero sin discusión es maravillosamente interesante y prometedor”.Este escenario descriptivo de la “Matriz Primordial de la Nada Cuántica/Madre Oscura Adimensional del Multiverso” que apenas ahora empezamos a vislumbrar no se halla “absolutamente vacío”, pues la Mecánica Cuántica determina que se encuentre sometida a las oscilaciones cuánticas de alta incertidumbre o “temblor cuántico”. Gracias a ello de su Eterno e Infinito Seno pueden emerger por amplificación resonante/efecto túnel esas supercuerdas elementales vibrantes “re-ensambladas” justo en la escala métrica de Planck, dando inicio a un nuevo Ciclo/Eón de un “Universo-Bebé Inflacionario”, cuya entropía/información se ha conservado desde el Ciclo Cósmico anterior/posterior – de nuevo recordemos que en su Estado Cero no existe el tiempo – , cual demuestra nuestra ecuación por aproximación-límite hipergeométrica generalizando el espléndido Principio Holográfico/Frontera de Bekenstein.

No me hallo lo suficientemente formado en Matemáticas Superiores para manejar el Álgebra No-Conmutativa y las Cero-Branas, pero sí puedo probar que – al menos en la interfase “transitoria” del Gran Cambio de Fase desde Dimensión Cero (la “Nada Primordial”) a Dimensión Uno (la “Supercuerda Elemental”) –, la cantidad máxima neta de entropía/información pemanecería “intacta”...

Corolario del Teorema, o Corolario Schreiber del Fractal- Supercuerda Holográfico, o Conservador de

Entropía/Información

Puesto que nuestro “Fractal-Supercuerda” fraccionada ha de obedecer el Principio de Incertidumbre o Indeterminación de Heisenberg:

∣∆p ∣∣∆L ∣ h/2π (Ec. 68)

Siendo:

• ∣∆p ∣ = Error Absoluto o Indeterminación en la medida de la cantidad de movimiento o momento lineal – producto de la masa por la velocidad de vibración – del fragmento de Supercuerda o “Fractal-Supercuerda”

• ∣∆L ∣ = Error Absoluto o Indeterminación en la medida de la longitud del “fragmento de Supercuerda o “Fractal-Supercuerda”

• h = Constante Universal de Cuantización de Planck

Ahora bien, el error o incertidumbre de la longitud del “Fractal-Supercuerda” viene dado por el de la Serie que define sus múltiples estados posibles de “partición” o “reducción de escala”, puesto que para cada uno de ellos, la “longitud fraccionada” de la Supercuerda sería igual a:

L = Lp/ε

Lp = Longitud de Planck

(Ec. 69)

Por lo cual, si por ejemplo la “Supercuerda elemental” original se divide una sola vez en dos “segmentos” menores, el “pseudo-perímetro” del Fractal será idéntico a:

L = 2 Lp/4 = ½ Lp = 0.5 Lp

Si vuelven a fragmentarse cada uno de ellos en otros dos:

L = 4 Lp /16 = ¼ Lp = 0.25 Lp

O si se repite el proceso:

L = 8 Lp/256 = 1/32 Lp = 0.03125 Lp

…

Para m iteraciones o “roturas” de este tipo:

L = 2m Lp/(22m) = m/2(2m-1) Lp

Pero nada impide en principio que se seccione de “tres en tres” particiones, generando entonces “pseudo-perímetros” iguales a:

L = 3 Lp/9 = 1/3 Lp = 0.333 … Lp

L = 9 Lp/81 = 3/27 Lp = 0.111 … Lp

…

L = m/3(2m-1) Lp

O de “cuatro en cuatro”:

L = 4 Lp/16 = ¼ Lp = 0.25 Lp

L = 16 Lp/256 = 1/16 Lp = 0.0625 Lp

…

L = m/4(2m-1) Lp

Y de este modo, hasta fracciones de “n en n”:

L = n Lp/n2 = Lp/n

L = n2 Lp/n4 = Lp/n2

…

L = n m Lp/n2m = m Lp/n(2m-1)

No podemos saber de cuáles de estas formas ni en qué proporción o frecuencia cada una se seccionarán las supercuerdas en los “estados extremos transicionales” semi-adimensionales que nos ocupan, aunque “intuyamos” que sea más común lo hagan en “pocos” fragmentos (n) un número “enorme de veces” (m); Pero – en todo caso – es evidente que en principio es posible que ocurra a la par en todas ellas con diversos coeficientes de probabilidad.No obstante, sea como sea, la “Función del Pseudo-Perímetro del Estado Cuántico Fractal-Supercuerda” vendrá definida por una expresión de este tipo:

L = k11 Lp/2 + k12 Lp/4 + … +k1m m/2(2m-1) Lp + k21 Lp/3 + … + k2m m/3(2m-1)

Lp + k31 Lp/4 + … + k3m m/4(2m-1) Lp + … + kn1 Lp/n + … + knm m Lp/n(2m-1)

(Ec. 70)

Siendo k11, k12, … k1n, k21, k22, …, k2m, …, kn1, …, knm los coeficientes estadísticos o probabilísticos indeterminados ya indicados.

Extrayendo factores comunes:

L = Lp Σi=1i=mΣj=1

j=n ki,j m/n(2m-1)

(Ec. 71)

Esta serie – sean cuales fueren los valores de distribución proporcional de sus coeficientes indeterminados ki,j

comprendidos entre 0 y 1 – tiende manifiestamente a cero cuando el Nº de iteraciones m crece indefinidamente: En consecuencia, si el proceso de tránsito al “estado dimensional o fase dimensional N=0” se completa, resulta obvio que dicha medida lineal tenderá siempre a 0, pues el fractal converge en un conjunto de “infinitos” puntos adimensionales.

Sin embargo, ello mismo implica que, justo en dicho límite, el Sistema “se precipita” a un estado de Dimensión Nula, respecto a la cual cualquier pseudoperímetro, por infinitesimal o cuasi-cero que esta sea, se torna “indefinidamente inmenso”... : ¡Dicho de otro modo: en tal situación-límite, la magnitud de Longitud de la Supercuerda-Fractal es a la par “infinita” y 0, lo cual conlleva más que patentemente una indeterminación o error absoluto en su medida “descomunal”, “disparado” a “infinito” asimismo...

En lenguaje o simbolismo matemático:

∣∆L ∣ ∞

Trasladando este resultado a (68), se concluye enseguida que:

∣∆p ∣ 0

“El error absoluto o incertidumbre en la medida de la cantodad de movimiento de la “Supercuerda-Fractal” se aproxima

infinitesimalmente a 0”

Esta deducción es muy lógica, pues cualquier fracción situada por debajo de la Longitud de Planck se halla – por definición – fuera del espacio-tiempo: No posee ya en rigor ni longitud de onda ni frecuencia o tiempo de vibración, tan solo la “residual” inducida por el “temblor cuántico o energía del Pinto Cero-Vacío” en virtud del Principio de Indeterminación: Se encuentra – por ende – “cuasi congelada”, por describirlo en términos “familiares”.

Hablamos de “energía”, porque es bien sabido que el momento lineal o cantidad de movimiento de cualquier onda-partícula es en cierta manera “análogo” a su energía-masa cinética, así como el tiempo a la posición-longitud: Es más, utilizando el “Principio de Dualidad Onda-Partícula de De-Broglie”, que ha de cumplir toda onda-corpúsculo aun en exclusiva sometida a la “agitación cuántica de vacío”, la inecuación o desigualdad (68) que cuantifica o estima el Principio de Heisenberg puede sencillamente transformarse en esta otra versión equivalente:

∣∆E ∣∣∆t ∣ h/2π

(Ec. 72)

Y puesto que la indeterminación de la longitud o pseudo-perímetro de nuestro fractal es prácticamente “infinita”, asimismo lo será la del tiempo, periodo o frecuencia de oscilaciones de la “Supercuerda elemental o bucle gravitatorio mínimo fragmentado”, cual ya se razonó: Consiguientemente, el error absoluto o incertidumbre en la determinación de la energía cinética del Sistema tenderá a cero.

A su vez, dado que en estas circunstancias y por la misma causa no tiene sentido considerar le existencia de campo de gravedad ni ningún otro, la suma de energías potenciales será igualmente nula, por lo cual es obvio que la energía total coincidirá con la única y “remanente” fuente de energía “superviviente a la cascada de seccionamientos hacia la adimensionalidad”: La de la entropía del Punto Cero por temblor cuántico de Incertidumbre.

Y también es evidente que según (72) el error absoluto en la medida de dicha “energía entrópica” se acercará infinitesimalmente a 0, pues, análogamente a lo ocurrido con la forma (68) alternativa del mismo Principio Cuántico Fundamental de Indeterminación:

∣∆t ∣ ∞

Luego:

∣∆E ∣ 0

“La cantidad de energía interna y por tanto la

entropía/información de la Supercuerda-Fractal muestra un error absoluto o incertidumbre en su medida cuasi-nulo: Es

decir, se halla casi totalmente determinada o cuantificable de manera infinitesimalmente próxima al 100% de su valor

exacto”

Además, esa magnitud perfectamente determinada de entropía/información ha de ser “enorme”, nada más que aplicar la Termodinámica más elemental, ya que en tal “escenario”:

S = E/T

T 0

S ∞

“Al provenir la única energía de las oscilaciones cuánticas ultramicroscópicas del Punto Cero del Vacío, la Temperatura Absoluta (K) tiende al Cero Absoluto, por definición: Así pues,

aun cuando la citada cantidad neta de energía de la 'Supercuerda Fractal' sea mínima o extraordinariamente

'minúscula', ha de ser finita: Luego el valor de su entropía crece monstruosa e indefinidamente al dividir esa magnitud

por un valor tendente a cero”

Q. E. D.

Una vez más, los argumentos puramente físicos convergen con los matemático-geométricos no-euclidianos: La “Frontera Bekenstein” o “Principio Holográfico Generalizado” aplicado a un fractal de Dimensión justamente intermedia entre las

dimensiones topológicas 0 y 1 conlleva a la concentración del máximo de entropía/información útil al “borde” del mismo, esto es, su “inmenso perímetro pseudolineal”, mientras que sus “zonas centrales” cuasi-adimensionales permanecen prácticamente “vacías”. Al fin y al cabo, cualquier “fracción de supercuerda-bucle elemental” por minúsculo que sea sigue siendo “infinita” respecto a un número asimismo “infinito” de puntos de Dimensión Cero...

V

Conclusiones y Reflexiones

¿Y para el “Estado Meta-Estable Primigenio de Nada/Vacío Cuántico”?

Aun cuando cual ya les advertí carezco de la formación altamente especializada en “Nuevas Topologías o Geometrías No-Conmutativas” requerida para indagar por el momento en tan inédito y fascinante “terreno”, sí podemos especular usando simplemente la lógica algunos posibles aspectos básicos del mismo: Por ejemplo, ¿podríamos también en su marco utilizar el Principio Holográfico?

Examinemos conceptual o filosóficamente la cuestión, sin formalismos matemáticos: El Análisis o Álgebra No-Conmutativa es el fundamento de una “Geometría sin puntos” o coordenadas; De forma que cada operador habitual en cualquier Geometría Conmutativa o Analítica Diferencial –

euclídea, fractal o riemanniana en todas y cada una de sus Variedades, como el Espacio Tridimensional “ordinario”, los Conjuntos de Julia, el Espacio-Tiempo de Einstein-Minkowsky o los Espacios de Hilbert –, o sea los vectores, matrices o tensores, las ecuaciones de distancias y ángulos, los algoritmos recurrentes, las derivadas tangentes o las integrales de área y volumen, son sustituidos por otros tantos entes y operadores “equivalentes” a los primeros si se particularizan “añadiendo” la propiedad conmutativa bajo cada una de las condiciones de cada “variedad espacial o topológica”, pero a la vez conformadores y descriptores en general de “espacios abstractos adimensionales” cuyos Conjuntos y Subconjuntos no son “Grupos Abelianos”; Es decir, que no poseen o cumplen la propiedad conmutativa – el orden de operaciones no cambia el resultado – para el producto escalar y la suma, propios de los “Conmutativos” o sus vectores, matrices o tensores de números tanto reales como complejos, de ahí su nombre técnico. Ni tampoco “elementos neutros” que al operarse con uno dado no lo varíen; Así, en estos “Conjuntos No-conmutativos” a + b no es igual a b + a, ni a * b = b * a, y ni tan siquiera hay “elementos neutros” tales cuales a + 0 = a o a *1 = a.

Extraño, todavía más lejos de nuestro “obsoleto sentido común” que las Hipergeometrías, Geometrías Curvas o los Fractales, pero perfectamente auto-coherente en términos lógico-matemáticos.

Luego, si no hay “puntos coordenados”, ni tan siquiera pueden ser definidos “puntos de Dimensión Cero”... No existen ni “puntos congelados fuera del espacio-tiempo” a modo de “residuos de residuos” de “fragmentos de supercuerdas elementales”...

Por consiguiente, en el Álgebra o Geometría No-Conmutativa

de Connes – o en el límite inferior esbozado por los atisbos de la “Cosmología de Cero-Branas” que lucha por aplicar tan innovadora rama de las Matemáticas o la Geometría Analítica a la Física – el Nº Topológico “Dimensional” asignado al “Vacío o Nada Cuántica” no es 0, sino N = -1 .

Expresándolo en palabras “sencillas”, “una Nada Pura”, libre incluso de “puntos adimensionales”...

Pues estos – aun cuando a nuestra torpe y limitadísima percepción sensorial y mental se les antojan desprovistos de cualquier magnitud o tamaño – son de hecho “algo” en términos matemático-geométricos formales...

Y la “Nada Pura” no puede albergar “algo”, por sutil, “vacío” y abstracto que ello sea. Ni un único y “solitario” Punto Singular...

Al menos a escala macroscópica: Pues lo interesantísimo y más que sugerente “embrujador” del asunto es que los desarrollos formales y Teoremas del “Álgebra No-Conmutativa” son compatibles con la Mecánica Cuántica de Matrices de Heisenberg: ¡Dicho de otro modo, en esa “Nada Absoluta o Pura” persistiría el “temblor u oscilaciones cuánticas por Incertidumbre” al nivel ultra-microscópica inferior a la métrica de Planck! No se trata de una “Nada Topológica” absolutamente “lisa” de Dimensión Exacta N = -1, como sí lo es a escala macroscópica y submicroscópica o incluso ultramicroscópica hasta el nivel de la métrica del “Punto de Planck”, o límite “infinito inferior” por subdivisiones sucesivas de la “Longitud de Planck” que ilustra nuestro “Fractal-Supercuerda”... Por el contrario, a escala aún más ultramicroscópica, es una “Nada Rugosa”, cuyas “ligeras irregularidades azarosas” equivalen a los efectos del “temblor cuántico” en su Seno.

De lo que se infiere que – a tal nivel ultramicroscópico mínimo – su Dimensión de Hausdorff-Besicovitch sería fraccionaria y variablemente intermedia entre -1 y 0: Por eso los grandes genios creativos más audaces de la “Segunda Revolución de Supercuerdas” que han explorado este campo definen a la “Matriz/Madre” del Multiverso como “Nada Cuántica Fractal”...

Por tanto, poseería o albergaría “entropía/información”, aunque nos parezca “alucinante”...

¿Verificaría – pues – esta Matriz/Nada Cuántica Fractal asimismo el Principio Holográfico?

La sobrecogedora, alentadora y emocn conseionante respuesta es. ¡Sí!

Pues algebraico-geométricamente, en un “Conjunto No-Conmutativo”, una Dimensión Fractal D entre -1 y 0 es respecto a su Dimensión Topológica N = -1 como en el álgebra conmutativa una Dimensión Fractal D intermedia entre 0 y 1 a la Dimensión Topológica de su cota inferior N = 0, cual el caso de la “Supercuerda Fragmentada”, o como cualquier otro fractal frente a las cotas inferiores y superiores respectivas de su Número Dimensional: Ese “borde fractal” de Dimensión Fraccionaria Máxima más cercana a 0 concentraría casi toda su magnitud o “pseudo-extensión cuasi-puntual” (la “rugosidad” de la Nada Cuántica), mientras que su “centro o interior” equivaldría a un “vacío liso perfecto casi absoluto” de Dimensión tendente a -1 : ¡En consecuencia, en el límite, tal “borde cuasi-puntual” resultaría “infinito” en razón a la “Nada cuasi-Pura central”, cumpliendo las condiciones generales de la “Frontera Bekenstein”, lo que le permite contener la máxima entropía/información del Universo del que procede por “Gran Colapso”, “Gran Desgarro” o cualquier otra modalidad de

génesis de “aparentes Singularidades Globales” …!

La Nada/Matriz/Madre Cuántica Fractal generaría así Universos o “Mundos de Mundos” múltiples por ampliación eventual inflacionaria/efecto túnel de sus “rugosidades fractales/temblores cuánticos” en su Seno Ultramicroscópico Eterno y Adimensional... ¡Pero además gozaría de “memoria” para su “diseño”! ...

Creo que no hace falta añadir nada más.

Piensen, imaginen, mediten, maravíllense... Y sientan la más profunda y trascendental Reverencia...

Solo me queda dar gracias a Ella por haberme concedido nacer en una época en la cual tan siquiera poder vislumbrar que, en efecto, la vanguardia de las vanguardias de “avanzadilla” de la Ciencia confirma lo que ya supo intuir y creyó firmemente el sabio Platón:

Belleza = Verdad

Y su más selecto discípulo no menos genial, Aristóteles:

Potencia = Acto

Y lo lograron con las más simples herramientas de la Geometría de Euclides y sin tecnología instrumental ni ordenadores, con el solo poder de su pensamiento y sensibilidad estéticos, lógicos y racionales...

Hasta la próxima, mis Muy Queridos, Amables y Pacientes Lectores.

VI

Dedicatorias y Agradecimientos

Dedicatorias

A los “Grandes Geómetras” o “Maestros de las Formas Puras” en el más hermoso sentido “platónico-griego clásico”;

Buscadores incesantes e iluminados, aplaudidos a veces, otras incomprendidos y hasta despreciados y perseguidos, de la “Belleza = Verdad” o Esencia de la Gran Madre Cósmica:

Euclides, Pitágoras, Platón,Thales, Descartes, Gauss, Poincaré, Lobachewsky, Bolyai, Riemann, Einstein-Minkowsky, Kaluza-Klein, Bekenstein-Hawking, Susskind, Mandelbrot, Witten,

Greene, Connes... Pues sin “Forma o Borde” no hay “Contenido o Profundidad”, sin “Hardware”, no hay “Software”

Agradecimientos

Al magnífico editor de divulgación National Geographic, cuya revista re-edición especial de 2016 titulada “LA CUARTA DIMENSIÓN, ¿Es nuestro universo la sombra de otro?”

constituye el material inspirador inicial de este trabajo; Y a su autor, Raúl Ibáñez Torres, catedrático de Geometría de la

Universidad del País Vasco, director del portal DivulgaMAT y colaborador divulgativo de Radio Euskadi desde 2006: Un

admirable y ameno profesor, quien combina el rigor científico, la claridad didáctica y una extensa cultura contextual histórica,

literaria y cinematográfica acerca de la “fascinante aventura hiperdimensional del pensamiento y el arte humanos”

Al anónimo primer “Chamán o Chamana de Atapuerca” que trazó la “primera línea de Altamira”, empleando ambos

topónimos de forma simbólico-metafórica o “representativa”: El prodigioso genio pionero que inició el Largo Camino

Hiperdimensional del alma humana...

VII

Bibliografía y Referencias

• [1]: Ibáñez Torres, Raul (2010): LA CUARTA DIMENSIÓN. ¿Es nuestro universo la sombra de otro?. National Geographic España, RBA revistas, Segunda Edición Especial, 2016.

• [2]: Coxeter, H. S. M. (1947): REGULAR POLYTOPES. Dover Publications (1948), Edición Digital, www.scribd.com

• [3]: Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature W.H. Freeman and Co., San Francisco, 1977.

• [4]:Reyes, Miguel, Dpto. de Matemática Aplicada, Facultad de Informática, Universidad Politécnica de Madrid. Una introducción a la Geometría Fractal y su aplicación a la compresión de imágenes , Boletín de la Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas 52 (1999), 32-55.

• [5]: Montesdeoca Pérez, Pablo. Longitud y Área de Curvas Fractales. Dimensión Fractal. Edición Digital,

www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/aph/ficheros/resolver/ficheros/ fractales .pdf , Enero 2005.

• [6]: Moreno Rocha, Mónica. Dimensión y conjuntos de Julia. Edición Digital, Ideas@CONCYTEG, Año2, pp. 469-479, Num.25, 14/09/2007.

• [7]: Beardon, A. (1991) Iteration of rational functions. New York: Springer-Verlag.

• [8]: Falconer, K. J. (1985). The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge University Press, 4.

• [9]: Ruelle, D. (1982). Repellers for real analytic maps. Erg. Th. Dyn. Sys. 2 99108.

• [10]: McMullen, Curtis T. Hausdorff dimension and conformal dynamics III. Computation of dimension. (3/10/1997). Amer. J. Math., 1998, 120, 691-721;Edición Digital,http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/dimIII/dimIII.pdf

• [11]: Greene, Brian (1999). El universo elegante. Supercuerdas, dimensiones ocultas y la búsqueda de una teoría final. Primera Edición original: W.W. Norton (Nueva York), 1999; Primera Edición revisada y actualizada por el autor en DRAKONTOS BOLSILLO (en castellano, para España y América), EDITORIAL CRÍTICA, S.L. (Grupo Planeta), Barcelona, Mayo de 2006; Traducción castellana por Mercedes Garía Garmilla.

• [12]: C. Rovelli. Loop Quantum Gravity (2003). Quantum Gravity, Physics World, November 2003.

• [13]: Antonio Olmedo Nieto, Javier (2012). Inflación e inhomogeneidades en Cosmología Cuántica de Lazos (tesis doctoral). Universidad Complutense de Madrid, Departamento de Física Teórica II, e Instituto de Estructura de la Materia (Madrid), 2012. Director de tesis: Dr. Guillermo A. Mena Marugán.

• [14]: Penrose, R (2010), Cycles of Time: An Extraordinary New View of the Universe. Bodley Head (London, 2010).

• [15]: Schreiber, Juan (14-09-2015): La “Bella Teoría M”, una primera aproximación “morfo-estática” a la anhelada “Teoría del Todo” : Supercuerdas para la “Sinfonía Hiperdimensional” del “Multiverso Elegante”. (Internet, disponible en: www.scribd.com.). Para consultas al autor: enviar e-mail a: mago-juan@outlook.com

• [16]: Schreiber, Juan (23-09-2015): La Teoría de Gravedad Cuántica de Lazos o Bucles (GCL), la “linda hermanastra pequeña” de la “Bella Teoría” M de Supercuerdas y Branas (Internet, disponible en: www.scribd.com.). Para consultas al autor: enviar e-mail a: mago-juan@outlook.com

• [17]: Schreiber, Juan (28-09-2015): Esbozando un punto de partida para la “Teoría del Todo” en el “Multiverso Flatland”(Internet, disponible en: www.scribd.com.). Para consultas al autor: enviar e-mail a: mago-juan@outlook.com

• [18]: Schreiber, Juan (01-05-2011): Genes y Memes (II): Analogía estructural y funcional entre el código genético y el lenguaje humano. El Principio de Coherencia como nuevo Paradigma Holográfico del ADN(Internet, disponible en: www.scribd.com.). Para consultas al autor: enviar e-mail a: mago-juan@outlook.com

• [19]: Schreiber, Juan (02-11-2015): Un modelo simple para la “Creación”, o Emergencia Cosmológico-Cuántica del Universo(Internet, disponible en: www.scribd.com.). Para consultas al autor: enviar e-mail a: mago-juan@outlook.com

Por:

Juan Schreiber

Bioquímico y librepensador

En

Madrid,

a

29/06/2016

06:48 A.M.