LAFORMADELATIERRA.-(Podemosconocerlasoloconlaayudadelasmatemáticas?).

Voyademostrarenestetrabajoconlaúnicaayudadelamecánicaylasmatemáticas,quelaformaquetienelaTierraenlaactualidad,esexactamentelaquetendríanosiendouncuerporígidoorocoso,

debidoalarotaciónalredefordesueje.Loscuerposrígidosincapacesdedeformarse,nosufrencambiosensuformageométricacuandogiran.Sinembargoloscuerposlíquidosofluidos,asícomolosviscosos,cambiandeformadebidoafuerzasdeinercia,quenosoncontrarestadasporlarigidez.

Dividiremosesteescritoendospartes,enlaprimeradeellasnovanaaparecerfórmulasninadaporelestilo,ylopuedeleerquiensoloquieraunainformacióngeneralalestiloperiodístico.Enlasegunda,porsihayalguienquequieraprofundizar,demostraréloexpuestoenlaprimeraparteconalgunaqueotraecuación.

PRIMERAPARTE.-

AlafigurageométricaquetienenuestraTierralallamamosgeoide.Losmeridianosnosoncircunferencias.

LaprimeravezquequesecomprobóestafaltadeesfericidadfuéenelsigloXVIIIpormediodedosexpediciones,unahaciaLaponiayotrahaciaElPerú.Quienquierainformaciónsobreestopuedebuscarlaeninterneten“JorgeJuanylaexpediciónparamedirelarcodemeridiano”,oenescritossimilares.

Antesdeestasmedicioneshabíadosgruposenfrentados,unoqueseguíalaideadeDescartesyotroquecreiaenloquedecíaNewton.ElprimerodecíaquelaTierrateníaformadelimón,alargadaporlospolos,yNewtondefendíalocontrario,esdecir,queeraachatadaporlospolos.

Enlasegundaparteveremosquenohacefaltamontarningunaexpediciónyqueenunamesaconlapiz,papelyalosumounacalculadoradebolsillo,sepuedeobtenerconexactitudlafaltadeesfericidaddelaTierra,lacual,lapodemosdefinirpormediodeunnúmeroR,quesealarazónentrelosradiosyecuatorialradiopolar,R=Re/Rp.

SabemosquelaTierragirayquetardaundíaendarunavueltacompletaalrededordelejequepasaporlospolos.

Sabemosasimismoqueenuntiovivoparado,lascadenasdelasquecuelganloscolumpios,quesuelenestarenelbordeexteriorestánenposiciónvertical.Sieltiovivoseponeenmarchaygira,estascadenasseseparandelavertical.

SilaTierranogirase,laplomada,debidoalafuerzadelagravedadapuntaríaalcentrodelaTierra,peroaligualqueeneltiovivo,algirarlaTierra,laplomadatambiénsedesviadelamismaformayelcablequelasujeta“seabre”pordecirlodealgunaforma.AlserlavelocidadderotacióndeleTierramuchomenorqueladeltiovivo,elánguloformadoporlaplomadaylalíneaqueapuntahaciaelcentrodelaTierra,esmenorqueelqueformanlascadenasdeltiovivoconlavertical,perocomoveremosnoesdespreciable.

Contodoestonospodemospreguntar:¿EntoncessilaplomadanoapuntahaciaelcentrodelaTierra,losedificiosqueconellaseconstruyentampoco?.

Laplomadaesvertical,asícomolosedificiosqueconellacontruimos,yademássonperpendicularesalsuelo,queeshorizontal.Laexplicaciónapareceenlafigura1.Lasproporcionessehanexajeradoparafacilitarlacomprensión.Laverticalnoapuntahaciaelcentrodelatierra,exceptoenlospolosyenelecuador.

Figura1.-

Laverticalidaddeunedificiode60m.dealturaenDonosti,sedesviaenlabasedeledificio,delalineaquevahaciaelcentrodelatierraunos10cm.EnlabasedelatorreEiffelestedesvioesde51cm.Comohemosafirmadomásarriba,vemosqueestedesvíonoesdespreciable.

EnelcentrodelaTierra,ladireccióndelaplomadacolocadaenDonositiapasaa11km.delcentro.

Estedesviodelaplomadaesmáximoparaunalatitudde45º.

SEGUNDAPARTE.-

Vamosapasaralestudioteóricodeloquehemosdichohastaahora.

Antesharemosunpequeñoresumen,paranoperdernosentrefórmulasynúmeros.

EnprimerlugardemostraremosquelaplomadanoapuntaalcentrogeométricodelaTierra.

Acontinuacióndemostraremosqueesadesviacióndelaplomadaesmáximaparalalatitudde45º.

Viendoquelafiguradeunmeridianopuedeasemejarseaunaelipse,vamosaversiesposibleencontrarunaelipse,enlacualparaelángulode45º,laperpendicularalatangentealaelipseenesepuntoformaconelradiovector,elmismoánguloquehabremoscalculadoparalaplomada.

ObtendremosqueelvalorquetienequetenerResunodeterminado,ycomprobaremosqueeselmismoquerealmentesededucedelasmedicionesefectuadassobrelaformadelaTierra.

Acontinuaciónrealizaremosotranuevacomprobación,dequeenestaelipseladesviaciónmáximadelaperpendicularalatangentesedaenelpuntoenqueX=Y,esdecira45º.Conestasdos“coincidencias”podemosasegurarquelosmeridianossonelipses,enlasquelarelacionentrelosradiosmayorymenoreslaRcalculada.LaTierratienepueslaformadeunelipsoidederevolución.

Trasesteresumenvamosaponernosmanosalaobra.

Enlafigura2vemosunaplomadasuspendidadeuncablequegiraconlaTierraarazóndeunavueltaaldía.

Lasdosúnicasfuerzasqueactuansobreelpesodelaplomadason,laatracciónhaciaelcentrodelaTierraA,ylatensiónejercidaporelcableT.

ComolaplomadaestágirandoacompañandoalaTierraconunavelocidadangularW,lafuerzatotalsobreelpesoeslacentríepetaFc,dirigidahaciaelcentrodegirodevalorm·W2r.Ladireccióndelaplomadanoesladelradioterrestre,sinoqueestádesviadaelánguloa.ParaestablecerelequilibriodeestasfuerzasvamosaproyectarlassobrelosXeY.LasumadelosvectoresAyTeslafuezaFc,A+T=Fc(estaesunaecuaciónvectorial).

TeselpesodelcuerpoesdecirT=m·g,yLlalatitud.

ProyectandosobreXm·W2·r·senL=A·senaysobreelejeY,m·g+m·W2·r·cosL=A·cosa,obtenemosestasdosecuaciones,dividiendolaprimeraecuaciónentrelasegunda,

W2·r·senL/(g+W2·r·cosL)=tga.(1)

Ladeduccióndeestaecuaciónsepuedeencontrarencualquierlibrodetextodemecánica.Sinembargo,noocurrelomismoconloquevieneacontinuación.

Vamosamodificaralgoestaecuación.

Eneldenominadortenemosg+W2·r·cosL,W2·r·cosLtienecomovalormáximoW2·R·1,siendoRelradiomediodelaTierraR=6.360km.yW=2(pi)rad/86400seg.LuegoW2·R·cosLesmenorqueW2·R=0,0084quecomparadocong=9,82m/s2,esmásdemilvecesmenor.Podemospuesconunerrormuypequeñotomarcomovaloraproximadodeldenominadorelvalorg.

Deestaformalafórmula(1)quedareducidaalasiguiente:tg(a)=W2r·senL/g,peror=R·cosL,porlotantotga=W2·R·senL·cosL/g.Yutilizandolafórmuladelsenodelángulodoble,

tga=W2·R·sen2L/2·g(2)

Podemosyacalcularcuandoelángulo(a)dedesviaciónesmáximo,esdecircuandosuderivadarespectodelalatitudes0.dtga/dL=W2·R·2·cos2L/2·g=0,luegotienequesercos2L=0esdecir2L=90ºyL=45º.

Comohemosdichoenlaprimeraparte,demostramosahoraconesto,quelamáximadesviacióndelaplomadasedáparaunalatitudde45º.Estamosahoraencondicionesdecalcularcualesesteángulomáximodedesviaciónparaunalatitudde45º.Paraellocalculemostgasustituyendolosvaloresenlafórmula(2).W=2(pi)rad/86.400s.R=6.360km.yg=9,82m/seg2obtenemostga=0,00171.Paraunaplomadaoedificiode60m.eldesvioenelsueloserad=0,00171·60·100=10,27cm.EnDonosti,queestáa43ºdelatitud,estedesvíoesde10,24cm.

Vamosatratardeencontrarlaecuacióndelascurvasquesonlosmeridianos.Deestascurvassabemosvariascosas,quetantoenelecuadorcomoenlospolos,lalíneaperpendicularalarectatangentealacurvapasaporelcentrodelaTierra.Tambiensabemosquelaperpendicularalatangentealosmeridianosparaunalatitudde45ºformaconelradiodelaTierraunángulomáximo,ytambiénsabemossuvalor,tga=0,00171.

Veamossipodemosencontrarunaelipsequecumplaconloquesabemosqueocurreconlosmeridianos:1ºquelatangentealacurvaformaconelradiovectora45ºunánguloasiendotg(a)=0,00171y2ºqueesteánguloseamáximoenesemismopunto.

Enlafigura3hemosrepresentadolaelipse,cuyafaltadeesfericidadestamosbuscando,comoasimismohemostambienrepresentadosussemiejesAyByvariosángulos,(L)eslalatitud,(a)eldesviodelaperpendicularalarectatangentealaelipse,ybeselánguloqueformalatangentealaelipseconelejedeabscisas.

Figura3.-

Sabemosquetgb=dy/dx,queesnegativaaserlafuncióndecrecienteenesepunto.EnlafigurasepuedeobservarqueC+D=90º,alserCunánguloexterior,suvaloresigualalasumadelosdosinterioresnoadyacentesesdecirC=a+L,luegoa+L+D=90º.

Despejandoa=90-(D+L),Dybtienenelmismovalorabsoluto,peroDespositivo,esdecirtgD=-tgb

LlamemosaA/B=Rcoeficientedecircularidad,queeslarelaciónquetratamosdeencontrar,yqueparaunacircunferenciaesR=1.

LaecuacióndeunaelipsedesemiejesAyBes(X/A)2+(Y/B)2=1

Despejando,Y2=(A2·B2-B2·X2)/A2=B2-X2/R2.

DerivandorespectodeXobtenemos2Y·dY/dX=-2X/R2luego,tgb=dY/dX=-X/Y·R2ytgD=-tgb=X/Y·R2.

Lastangentesdedosánguloscomplementariossoninversas,esdecirtg(90-(D+L))=1/(tg(D+L).

Calculandoahoralatangentedelasumadeángulostg(D+L)=(tgD+tgL)/(1-tgD·tgL),luego,latangentedelánguloquebuscamostga=(1-tgD·tdL)/(tgD+tgL).(3)

SustituyendoenestaexpresiónlosvaloresdetgL=Y/XytgD=X/Y·R2,

tga=(1-1/R2)/(X/R2·Y+Y/X)(3),paraL=45º,esdecir,paraY=Xqueremosquetgasea0.00171,

0,00171=(1-1/R2)/(1+1/R2)=(R2-1)/(R2+1),0,00171R2+0,00171=R2-1,1,00171=0,99829R2deaquíobtenemosR=1,00171queeslarelaciónquetienenquetenerlosejesdelaelipse,paraqueladesviaciónseatga=0,00171paraL=45º.

Comparandoestevalorconelqueseobtienedelarelacióndelosejesterrestres,6.378km/6.356km=1,00346,vemosquesonpracticamenteiguales,ladiferenciaesmenordeundospormil,yhayquerecordarqueenelcaminohemoshechoalgunaaptoximacióndelordendelunopormilparasimplificarlasecuacionesyfacilitarsutratamiento.

LaformadelaTierraespuesladeunelipsoidederevoluciónylosmeridianossonelipses.

Paracorroboraraúnmáslacoincidenciadelelipsoideteòricoconelgeoideobtenidomediantemediciones,podemoscalcularparaquélatituddelelipsoidesedaelánguloamáxmo,esdecircuandoseanuladtga/dL=0.

Poniendoen(3)aenfuncióndeL,tga=(1-1/R2)/((1/R2tgL)+tgL),modificandoysimplificandotga=tgL(R2-1)/(R2tgL2+1).AhorayapodemosderivartgarespectodeL,yverparaquevalordeLestgamáximo,esdecircuandoseanulaestaderivada.

VamosallamarNalnumeradoryPaldenominadorparapodertrabajarmásfácil.dtga/dLesladerivadadeuncociente,quecomosabemosesigualaladerivadadelnumeradorporeldenominador,menoselnumeradorporladerivadadeldenominadorytodoellodivididoporelcuadradodeldenominador.Paraqueestaderivadavalga0tienequeser0eldividendo,esdecir(P·dN/dL)-(N·dP/L)=0,obien(P·dN/dL)=(N·dP/L),siendoN=tgL(R2+1)yP=R2tgL2+1

RecordemosdedtgL=1/cos2Lydtg2L=2senL/cos3L

P·dN/dl=(R2tg2L+1)(R2+1)/cos2LyN·dP/dL=tgL(R2+1)2R2senL/cos3L,(R2tg2L+1)(R2+1)/cos2L=tgL(R2+1)2R2senL/cos3L,simplificandoR2tg2L+1=2R2tg2L,R2tg2L=1

SustituyedoRporelvalorobtenidoanteriormentede1,00171,seobtienefinalmenteparaL=0,7845radianes,queequivalena45º.

EstacomprobacióndequelaformadelaTierraseaexactamentelaquedeberíatenersinofueseunsólidorígido,esdecirsifueseuncuerpoviscoso,nosdemuestraqueaunqueloscontinentessonrelativamenterígidos,asícomolosfondosdelosocéanos,elinteriordelaTierraestáformadopormaterialesdeformables.

Lasmatemáticasaplicadasalamecánica,nosolonoshanservidoparadescubrirlaformadelaTierra,(nosutamaño),sinotambiénparaconoceralgosobresuconsistenciainterior.

AnttondelCampo.