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La enseñanza del álgebra:análisis de las prácticas docentes

en la Educación Básica

Cecilia Gaita Iparraguirre

Elizabeth Advíncula Clemente

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ÍNDICE

Resumen 5

Objetivos del taller 7

Estructura del taller 7

Desarrollo del taller 7

� Primera etapa 7

� Segunda etapa 7

Noción clásica de problema aritmético 8Reflexión 8Sobre la comprensión de variable 9Sobre la comprensión de ecuación 10Sobre la naturaleza matemática de «variable» 11Sobre la naturaleza matemática de «igualdad» 11

� Tercera etapa 12Actividad 1 12Actividad 2 14

Referencias 17

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La enseñanza del álgebra: análisisde las prácticas docentes en la

Educación Básica

Cecilia Gaita Iparraguirre

Elizabeth Advíncula Clemente

Pontificia Universidad Católica del Perú- Maestría en Enseñanza de la MatemáticaDirecciones electrónicas: cgaita@pucp.edu.pe; eadvincula@pucp.edu.pe

Resumen

El álgebra escolar constituye uno de los temas centrales tanto en elCurrículo de la Educación Básica como en el ámbito de lasinvestigaciones en Didáctica de la Matemática. Esto básicamentedebido a que el razonamiento algebraico está en el corazón de lasmatemáticas, concebida como la ciencia de los patrones y el orden,y donde la formalización y generalización es un objetivo central.

Los Principios y Estándares para las Matemáticas del NationalCouncil of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) proponen alálgebra como uno de los conocimientos matemáticos que debedesarrollarse en todos los niveles de la educación básica. En un primermomento, se debe desarrollar el pensamiento algebraico a través delestudio de patrones geométricos y numéricos, y de regularidades endistintas áreas. Mientras que en los últimos niveles se debe proponerla identificación de relaciones y funciones, así como la representacióny el análisis de situaciones matemáticas empleando símbolosalgebraicos.

Según el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regulardel Perú, el álgebra se propone desde el nivel inicial hasta el nivelsecundario en la componente denominada Números, Relaciones yOperaciones. Cabe mencionar que esta propuesta no siemprecorresponde con la práctica docente real, en la que la actividadmatemática escolar se da con un marcado carácter pre-algebraico, queorigina la existencia de una matemática desarticulada.

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Por otro lado, se sabe por diversas investigaciones realizadasen el marco de la teoría antropológica de lo didáctico, que elmodelo implícito en las instituciones escolares es que el álgebraresulte de prolongar las prácticas aritméticas. Esto se observaal identificar el álgebra con el lenguaje algebraico y donde elpensamiento se concibe como una supuesta extensión delpensamiento aritmético. Esta interpretación restringida delálgebra en las instituciones escolares sirve como explicaciónde muchos fenómenos didácticos asociados a los procesos deenseñanza y aprendizaje del álgebra.

Como resultado de investigaciones epistemológicas se tieneque el núcleo central de la actividad matemática es lamodelización matemática. Y en este contexto, se propone queel álgebra escolar no sea considerada como una organiza-ciónmatemática al mismo nivel que las demás sino como uninstrumento de modelización de todas las organizacionesmatemáticas escolares. La ausencia del álgebra como herramientade modelización tiene múltiples efectos sobre la enseñanza dela matemática, como por ejemplo, la desarticulación de lamatemática escolar.

En este contexto, es necesario que desde nuestra posición comomatemáticos y educadores contemos con herramientas teóricasque nos permitan analizar los diversos recursos que se utilizanen las clases de matemáticas. En particular, es indispensableidentificar en los textos escolares qué problemas y prácticasasociadas al álgebra se contemplan y cómo se secuencian.Además, identificar qué objetos (lenguajes, problemas,propiedades, conceptos, procedimientos y argumentos)intervienen en las prácticas algebraicas. Luego de este análisisse deben señalar los conflictos semióticos a priori pueden tenerlos estudiantes para la realización de las prácticas matemáticasasociadas al álgebra. Finalmente, desde una postura en dondelos objetos matemáticos deben ser introducidos porque sonnecesarios para abordar determinadas situaciones, es válida laproblemática de identificar aquellas situaciones (en contextosescolares) para las que el álgebra se hace necesaria.

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Objetivos del taller

� Presentar un panorama actual de los resultados en Didáctica de lasMatemáticas respecto al álgebra escolar.

� Presentar una herramienta para el análisis de textos escolares usadosen la educación primaria en el Perú. A través del uso de dichaherramienta se identificará la naturaleza de las actividades propuestasrelacionadas con el álgebra.

Estructura del taller

1. Se presentarán problemas extraídos de textos escolares y de cursosde capacitación para docentes en donde se haga necesario el uso delálgebra y otros donde no lo sea. Se hará una reflexión al respecto.

2. Se comentarán los fenómenos observados en las investigaciones endidáctica de las matemáticas referidos al uso del álgebra en laeducación básica.

3. Se presentarán algunas actividades que sugieren cómo introducir elálgebra en la educación básica.

Desarrollo del taller

Primera etapa

Se analizarán algunos problemas tomados de textos de Matemáticautilizados en la Educación Básica y de cursos de capacitación paradocentes.

Segunda etapa

En el trabajo de Ruiz, Bosch y Gascón (2004) se señala que en un primermomento el álgebra aparece asociada a los problemas aritméticosescolares.

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Noción clásica de problema aritmético: Aquel que puede resolversemediante la aplicación sucesiva de operaciones aritméticas (+, -, ×, /)a cantidades conocidas.

Tipo de problema

Ejemplo ¿Cómo se resuelve? ¿Cómo se justifican las técnicas usadas en la

solución? ¿Se justifican? Problema aritmético

La edad que tendrá Ana el próximo año es 33. ¿Qué edad tiene Ana?

Solución aritmética: 33-1=32 Solución algebraica: x+1=33 x=33-1 x=32

Técnica inversa o método del cangrejo. Por propiedad: x=33-1

La suma de dos números consecutivos es 85. ¿Cuáles son esos números?

Solución aritmética: 85-1=84 El número menor será 84/2=42 y el mayor 42+1=43 Solución algebraica: x+x+1=85 x=42

Técnica inversa. Por propiedad: 2x=85-1 2x=84 x=84/2

La suma de las edades de una madre y de su hija es 52. Si la hija tiene 16 años menos, ¿qué edad tiene su madre’

Solución aritmética: 52-16=36 dos veces la edad de la hija 18=edad de la hija 18+16=34 edad de la madre Solución algebraica: x+x-16=52 x=34

Técnica inversa. Por propiedad: 2x=52+16 2x=68 x=68/2

Reflexión:

¿Era necesaria la introducción del álgebra?¿Las técnicas empleadas para la solución son discutidas?¿Cómo son los problemas que se suelen plantear en este tema, todos tienensolución?

Luego de la discusión de los ejemplos, se puede decir que el álgebra seintroduce como una aritmética generalizada. Esto quiere decir que elálgebra se construye en un contexto numérico, a modo de generalizaciónde cálculos con números y de traducir expresiones numérico-verbales.Las tareas más importantes que se proponen son la traducción deexpresiones del lenguaje natural al lenguaje algebraico, el cálculo algebraico(reglas aritméticas con letras y números) y la solución de ecuaciones.

Este tratamiento del álgebra permite explicar algunos fenómenoscaracterizados en las investigaciones en didáctica de la matemática. Acontinuación se comentarán algunos de ellos.

En los trabajos de Godino y Font (2003) se señala que es necesario teneren cuenta componentes cognitivas y epistémicas para explicar loscomportamientos de los estudiantes al enfrentarse a tareas que implicanel uso del álgebra.

Sobre la comprensión de variable: Se señala que los alumnosrequieren pasar por distintos estadios antes de llegar a comprender queuna letra puede ser usada como una variable. Y por lo general, asumimosque ese paso es trivial. A continuación se mostrarán algunos fenómenosque tiene su explicación en lo anterior.

Estadios Ejemplo Explicación Estadio 1: La letra evaluada

En el problema: Hallar x en 5 + x = 11, dan como respuesta: “Es 6”.

Se asigna mentalmente un valor numérico a la letra.

Estadio 2: La letra ignorada

En el problema: Hallar el valor de x + y + 3, si se sabe que x + y es 10, dan como respuesta: “Es 13”.

Como no hay necesidad de pensar en x e y como variables, se ignoran las letras.

Estadio 3: La letra usada como objeto

En el problema: Resolver 3m + 7m, dan como respuesta: “Como 3 manzanas y 7 manzanas son 10 manzanas, entonces la respuesta es 10m”

Cuando el problema se refiere a objetos concretos como por ejemplo manzanas, se entiende la letra como una abreviatura, no como un número.

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Notemos lo importante que son las preguntas y las justificaciones queden los alumnos sobre sus respuestas para poder ubicarlos en undeterminado nivel.

Sobre la comprensión de ecuación: Inicialmente el signo de igualdades usado para dar el resultado de una operación: 5+3=8 o hallar un númerodesconocido para obtener cierto resultado: 3+ ___ = 8. Sin embargo,cuando se introduce el signo igual en las ecuaciones se requiere de unainterpretación distinta. Una ecuación puede interpretarse como unafunción proposicional (en el sentido que puede ser verdadera o falsa) ytambién puede emplearse para relacionar cantidades equivalentes.

¿Hasta qué punto esto está contemplado en la enseñanza de ese tema?

Estadio 4: La letra es usada como una incógnita específica

En un problema, cuando simplifican expresiones y obtienen 3 + 7x, dan como respuesta “ 10” ó “10x”

En este estadio los estudiantes consideran a la letra como un número desconocido pero específico y pueden operar sobre él combinando los elementos sin tener en cuenta la letra.

Estadio 5: La letra usada como un número generalizado

En un problema, cuando se pide resolver la ecuación a + b = 5, dan como respuesta: a = 1; b = 4

No reconocen la necesidad de dar como respuesta todos los valores.

Estadio 6: La letra usada como variable

En el problema: Si se sabe que c < b < 0 < a, determinar qué número es mayor: ó . Aunque puedan valerse de algunos ejemplos para intuir cuál es la relación de orden correcta, en su respuesta siguen un razonamiento general para cualquier grupo de valores de a, b, c y d que cumpla las condiciones. Si solo consideran valores particulares para a y b, estar ían en el estadio 5.

Cuando se reconoce que las letras a y b deben representar un conjunto de valores no especificados

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cb

ba

−

−

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c

b

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Sobre la naturaleza matemática de «variable»: Una variable esun símbolo que puede colocarse en lugar de cualquier elemento de unconjunto, sean de números u otros objetos. Las variables son muyimportantes en matemáticas porque permiten expresar regularidades yestablecer relaciones entre objetos de manera eficiente.

Por ejemplo, a continuación se muestran tres representaciones distintasde una misma propiedad.

� acabcba +=+ )(

� La multiplicación de un número por una suma es igual a la sumade las multiplicaciones del primer número por cada uno de lossumandos.

� La multiplicación es distributiva respecto a la adición.¿Cuál de ellas resulta más familiar?

Los usos que se le suelen dar a las variables en matemáticas son lossiguientes:

� Como incógnitas: cuando se usan para representar un número u otroobjeto matemático desconocido y se manipula como si fuera conocido.

� Como indeterminadas o para expresar patrones generales.� Para expresar cantidades que varían conjuntamente� Como constantes o parámetros.

: El signo igual, =, suele emplearse para denotar que lo que se encuentraa la izquierda de este signo y lo que se encuentra a la derecha de estesigno son dos maneras de designar al mismo objeto. Sin embargo, hayque tener en cuenta que también se emplea para definir nuevas operacionesu objetos matemáticos.

Refiriéndonos únicamente al primer sentido del signo =, y dependiendode la naturaleza de los objetos que aparecen en una igualdad numérica,se obtienen las siguientes variantes:

� Cuando aparecen variables y la igualdad es verdadera para cualquiervalor que ellas tomen se dice que se trata de una identidad.

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� Cuando la igualdad es verdadera solo para algunos valores de la variablese dice que es una ecuación.

Noción de ecuación equivalente� Cuando se usa para expresar una relación de dependencia entre dos

o más variables y en ese caso se denomina fórmula.

Tercera etapa

A continuación presentamos dos actividades que sugieren como introducirel álgebra en la educación básica. La primera tomada de Fripp, A. (2009)y la segunda, de Bosch, M., García, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2006).

Actividad 1

Marcela tiene dibujado un cuadrado en una hoja de papel cuadriculadoy comienza a pintar alrededor de él como muestran estas figuras:

1a vuelta Pinta 8 cuadraditos 2a vuelta Pinta 16 cuadraditos 3a vuelta Pinta … cuadraditos 4a vuelta Pinta … cuadraditos 5a vuelta Pinta … cuadraditos

Si tienes en cuenta el trabajo que está haciendo Marcela, podrás completaresta tabla:

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¿Cuántos cuadraditos pintará Marcela en la vuelta número 20?

Esta es una actividad de generalización que exige que los alumnos tenganque descubrir una regla general para determinar la cantidad de cuadraditospintados en cada una de las vueltas. Según Godino (2003), este seríaun contexto adecuado para iniciar a los alumnos en el razonamientoalgebraico y funcional, ya que al descubrir y describir el modelo o patrónque sigue la secuencia mostrada en la tabla anterior, podrán determinarlos valores que continúan en la secuencia.

Una alumna de 5to. grado llega a la siguiente conclusión:

Luego, utilizando esta regla determina que Marcela en la vuelta número20 pintará 8x20 = 160 cuadraditos.

Otra solución sería utilizando símbolos, tal como se muestra acontinuación:

Sean C = cantidad de cuadraditos en cada vueltaV = número de vueltas

Luego, C = 8.VComo V = 20, entonces C = 8.20 = 160.

Por tanto, en la vuelta número 20, Marcela pintará 160 cuadraditos.

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En las dos soluciones mostradas, los alumnos llegan a una regla generalpara determinar la cantidad de cuadraditos (regla aplicable para cualquiercantidad de vueltas). La única diferencia en ambas soluciones es el usoo no de símbolos.

Ante esto, es importante reflexionar sobre la introducción temprana deluso de símbolos algebraicos en la educación escolar, pues enfatizar eluso de estos símbolos sin una comprensión de los mismos podría generaruna manipulación sin sentido por parte de los alumnos.

Por esta razón, es importante asegurarnos que el alumno encuentre sentidoa las fórmulas que pueda producir al generalizar, poniendo énfasis en queexpliciten las reglas generales que obtengan, en lugar de insistir en el usode símbolos. Es decir, debemos insistir en que el alumno sea conscientede los procesos o modos de pensamiento algebraico involucrados.

Actividad 2

Esta actividad incluye tres problemas, que muestran cómo puede utilizarseel instrumento algebraico a través de un proceso progresivo.

Problema 1: Piensa un número, súmale el doble de su consecutivo,suma 15 al resultado y finalmente resta el triple del número pensadoinicialmente. ¿Qué resultado se obtiene? ¿Qué pasa si se cambia el númeropensado inicialmente?

Si bien este problema puede responderse parcialmente siguiendo lasinstrucciones, la justificación con las técnicas aritméticas para explicarpor qué se obtiene siempre el mismo resultado no es trivial. Se hacenecesario traducir el problema a una formulación escrita empleando unaexpresión algebraica (uso de paréntesis) y trabajar las técnicas desimplificación para poder resolver el problema.

Sea n el número pensado, el cálculo se puede escribir como:((n + 2(n + 1) + 15)-3n

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Utilizando técnicas de simplificación, se obtiene:

((n+2(n+1))+15)-3n = ((n +(2n +2))+15)-3n = ((3n +2)+15)-3n = (3n+17)-3n = (3n -3n)+17 = 0+17 = 17

En esta parte, hay que tener cuidado porque al parecer los númerosnegativos se hacen imprescindibles. Y esto implicaría que se introdujeransimultáneamente con la introducción del instrumento algebraico. Así porejemplo, si un alumno piensa en el número 100 y sigue todas lasinstrucciones, obtiene lo siguiente:

100+2(101)+ 15-3(100)

Si el alumno decide empezar la simplificación por 15-3(100), tendría querealizar una operación con números negativos.

Problema 2: Marta piensa un número. Le suma el doble de suconsecutivo, le resta 17 al resultado y finalmente divide todo entre 3.Si el resultado final es 8 unidades menor que el doble del número pensado,¿se puede determinar qué número pensó Marta?

Notemos que la solución de este problema requiere no solo simplificarsino introducir el signo de igualdad y hacer operaciones para restituir elvalor original del número (álgebra: al-jabr: restauración). Se requieremanipular un nuevo objeto matemático, la ecuación. Esto implicará haceroperaciones para convertirla en otra ecuación equivalente. A esto se ledenomina cálculo ecuacional.

Sea n el número pensado, el cálculo que hace Marta se puede escribircomo:

3

17)1(2 −++ nn

Como no conocemos este resultado, no se obtiene ninguna respuesta.Pero, la condición del problema se expresa como la siguiente igualdad:

823

17)1(2−=

−++n

nn

��

Transformando los dos miembros de la igualdad, obtenemos una nuevaecuación equivalente a la anterior:

n – 5 = 2n – 8n – 5 + 8 = 2n – 8 + 8n + 3 = 2nn – n + 3 = 2n – n3 = n

¿Es el mismo procedimiento que se siguió en el problema 1?

Notemos que el grupo de problemas representado por el problema 1 estáincluido en este grupo de problemas 2.

Hay otros problemas como por ejemplo, hallar la altura h de un triánguloisósceles dada su área A y la longitud de sus lados iguales c.

En este problema, es necesario resolver la siguiente ecuación bicuadradaen h:

2

)252(2

hhA

−=

02224 =+− Ahch

Problema 3: En un banco nos proponen el siguiente plan de inversiones:nos dan un 5% cada trimestre y nos descuentan el 1% al final del añopor concepto de comisión. ¿Cuál será el capital al final del año si lainversión inicial ha sido de 1000 soles? ¿Y de aquí a 3 años? ¿Qué capitalinicial debería invertir para que este se hubiese triplicado al final del año?¿Qué porcentaje deberíamos negociar con el banco cada trimestre paraduplicar el capital inicial a final de año? ¿Cuánto tiempo ha de pasar paraque el capital inicial se triplique?

Para resolver este problema aparece la necesidad de modelizaralgebraicamente el sistema planteado y el uso de técnicas algebraicassofisticadas.

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El modelo que permite resolver, no solo las cuestiones planteadas en esteproblema, sino futuras cuestiones a abordar, se sintetiza en la siguientefórmula:

nskf drCC )(0=

donde 0C es el capital inicial, fC es el capital final obtenido, r es larentabilidad que ofrece el banco (en este caso r = 1,05), d es elimpuesto que el banco aplica (en este caso d = 0,99), k es elnúmero de veces que se aplica la rentabilidad en un año (en este casok = 4), s es el número de veces que se aplica el impuesto en unaño (en este caso s = 1) y, finalmente, n es el número de añostranscurridos.

Resumiendo, se muestra que es posible hacer un planteamiento a nivelescolar donde el álgebra tenga una razón de ser, que no solo se limitea simplificar el trabajo aritmético mediante el cálculo ecuacional. Sinoque sea interpretado como instrumento de modelización que permita tratarcon diversos problemas (Godino y Font, 2003; Ruiz, 2004).

Referencias

1. Bosch, M., García, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2006). La modelización matemáticay el problema de la articulación de la matemática escolar. Una propuesta desdela teoría antropológica de lo didáctico. Educación Matemática. 18 (2), 37-74.

2. Fripp, A. (2009) ¿Álgebra en la escuela primaria? En: Quehacer educativo, N°.93. Federación Uruguaya de Magisterio - Trabajadores de Educación Primaria.Disponible en, http://www.quehacereducativo.edu.uy/docs/ad980451_qe%2093%20008.pdf

3. García, F. (2007) El álgebra como instrumento de modelización. Articulación delestudio de las relaciones funcionales en la educación secundaria. Investigación enEducación Matemática XI, pp. 71-90.

4. Godino, J. D. y Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica paramaestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada.ISBN: 84-932510-7-0. [61 páginas; 1,8 MB] (Recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino/)

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5. Godino, J. D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2008). Análisis didáctico de procesosde estudio matemático basado en el enfoque ontosemiótico. Publicaciones, Vol.38: 25-49.

6. Ruiz, N., Bosch, M. y Gascón, J. (2004). La algebrización de los programnasde Cálculo Aritmético y la introducción del álgebra en secundaria. Disponibleen, www4.ujaen.es/.../22%20-%20Ruiz_Bosch_Gascon_congres_TAD_2.pdf

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Esta edición consta de 0500 ejemplares

Lima, agosto del 2010

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