UNIVERSIDAD DE PANAMÁUNIVERSIDAD DE PANAMÁFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTA Y TECNOLOGÍAFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTA Y TECNOLOGÍA

MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVAMAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

MATEMÁTICA EDUCATIVA Y NUEVAS TECNOLOGÍASMATEMÁTICA EDUCATIVA Y NUEVAS TECNOLOGÍAS

LA ELIPSELA ELIPSE

POR:POR:ROBERTO ARIASROBERTO ARIASRAQUEL ATENCIORAQUEL ATENCIOEDILMA HIDALGOEDILMA HIDALGONIVIA LEZCANONIVIA LEZCANO

ÁNGEL SOSAÁNGEL SOSA

A CONSIDERACIÓN DELA CONSIDERACIÓN DELMAGÍSTER PAULINO MURILLOMAGÍSTER PAULINO MURILLO

13 DE NOVIEMBRE DE 200413 DE NOVIEMBRE DE 2004

¡Joven! La figura geométrica a estudiar la podrás relacionar con objetos y realidades presentes en tu entorno.

El presente tema el cual titulamos El presente tema el cual titulamos “La Elipse”“La Elipse”está elaborado para ustedes jóvenes que está elaborado para ustedes jóvenes que cursan el cursan el V año del Bachillerato en CienciasV año del Bachillerato en Ciencias, y , y el desarrollo del mismo tendrá una duración de el desarrollo del mismo tendrá una duración de una semana, atendiendo las dudas e una semana, atendiendo las dudas e interrogantes que surjan en el desarrollo y interrogantes que surjan en el desarrollo y comprensión del tema.comprensión del tema.

Nos enmarcamos en los siguientes objetivos:Nos enmarcamos en los siguientes objetivos:

DESCRIPCIÓN

OBJETIVO GENERALOBJETIVO GENERAL

Analizar el concepto de elipse, Analizar el concepto de elipse, sus elementos y propiedades.sus elementos y propiedades.

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS

Definir elipse, sus elementos y Definir elipse, sus elementos y propiedades.propiedades.

Encontrar la ecuación de la elipse Encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, dados con centro en el origen, dados ciertos elementos y viceversa.ciertos elementos y viceversa.

Graficar la elipse con centro en el Graficar la elipse con centro en el origen, dados ciertos elementos.origen, dados ciertos elementos.

CONTENIDOCONTENIDO

La elipseLa elipse• DefiniciónDefinición• ElementosElementos• PropiedadesPropiedades• Ecuación de la elipse con centro en el Ecuación de la elipse con centro en el

origen.origen. EjerciciosEjercicios

• GráficaGráfica• Prueba FormativaPrueba Formativa

ACTIVIDADESACTIVIDADES Lee el texto sobre la elipse sus Lee el texto sobre la elipse sus

propiedades y elementos.propiedades y elementos. Indica los elementos de la elipse dada la Indica los elementos de la elipse dada la

ecuación con centro en el origen.ecuación con centro en el origen. Menciona algunas propiedades de la Menciona algunas propiedades de la

elipse.elipse. Halla la ecuación de la elipse con centro Halla la ecuación de la elipse con centro

en el origen, dados ciertos elementos.en el origen, dados ciertos elementos.

Dibuja la elipse con centro en el origen.Dibuja la elipse con centro en el origen.

DEFINICIONES DE LA ELIPSEDEFINICIONES DE LA ELIPSE

DEFINICIÓN 1DEFINICIÓN 1

Es la curva que Es la curva que se observa al se observa al cortar un cono cortar un cono recto con un recto con un plano oblicuo.plano oblicuo.

DEFINICIÓN 2DEFINICIÓN 2

Es el conjunto de Es el conjunto de puntos puntos PP de un plano de un plano cuya suma de las cuya suma de las distancias de dos distancias de dos puntos fijos puntos fijos F’F’ y y FF es es una cantidad una cantidad constante que se constante que se representa por representa por 2a.2a.

En otras palabras En otras palabras PF + PF’ = 2aPF + PF’ = 2a

F’ F

P

ELEMENTOS DE LA ELIPSEELEMENTOS DE LA ELIPSE Los Puntos F y F’ reciben el nombre de Los Puntos F y F’ reciben el nombre de

focos. focos. Los puntos de corte de la elipse por la Los puntos de corte de la elipse por la

recta que pasa por los focos, V y V’ se recta que pasa por los focos, V y V’ se llaman vértices.llaman vértices.

La cuerda que une los vértices se denomina La cuerda que une los vértices se denomina eje mayor, y su punto medio C se denomina eje mayor, y su punto medio C se denomina centro de la elipse que se denota porcentro de la elipse que se denota por

C (h , k).C (h , k). La distancia del centro de la elipse a un La distancia del centro de la elipse a un

vértice, CV ó CV’ se llama semieje mayor.vértice, CV ó CV’ se llama semieje mayor. La distancia entre los focos FF’ se llama La distancia entre los focos FF’ se llama

distancia focal.distancia focal. La distancia que separa al centro de cada La distancia que separa al centro de cada

foco, CF ó CF’ se llama semi distancia focalfoco, CF ó CF’ se llama semi distancia focal La cuerda perpendicular al eje mayor y que La cuerda perpendicular al eje mayor y que

pasa por el centro recibe el nombre de eje pasa por el centro recibe el nombre de eje menor BB’menor BB’

La distancia del centro a un extremo menor, La distancia del centro a un extremo menor, CB o CB’ se denomina semieje menor.CB o CB’ se denomina semieje menor.

Las cuerdas que pasan por los focos y son Las cuerdas que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son los lados perpendiculares al eje mayor son los lados rectos de la elipse.rectos de la elipse.

Las rectas que están a cada lado de los Las rectas que están a cada lado de los vértices se denominan directrices, D y D’vértices se denominan directrices, D y D’

V’ V

B

B’

F’ F

C

D’ D

NOTACIONESNOTACIONES Para una mejor comprensión de Para una mejor comprensión de

la elipse utilizaremos las la elipse utilizaremos las siguientes notaciones:siguientes notaciones:

C(0,0) centro el origen, C(0,0) centro el origen, donde h = 0 y k = 0donde h = 0 y k = 0

CF’ = CF= c semi distancia CF’ = CF= c semi distancia focalfocal

FF’= 2c distancia focalFF’= 2c distancia focal

CV’= CV = a semi eje mayorCV’= CV = a semi eje mayor

VV’ = 2aVV’ = 2a eje mayoreje mayor

CB’=CB= b semi eje menorCB’=CB= b semi eje menor

BB’ = 2b eje menorBB’ = 2b eje menor

B(0,b)B(0,b)

B’(0, -b)B’(0, -b)

V(a,0)V(a,0)V’(-a,0)V’(-a,0)

C(0,0)C(0,0)F’(-c,0)F’(-c,0) F (c,0)F (c,0)

PROPIEDADESPROPIEDADES Algunas de las propiedades de la elipse son:Algunas de las propiedades de la elipse son:

• La suma de las distancias que separan un punto P La suma de las distancias que separan un punto P (x, y) de la elipse, de los focos es igual a la longitud (x, y) de la elipse, de los focos es igual a la longitud del eje mayor.del eje mayor.

PF + PF’ = 2aPF + PF’ = 2aPara que haya elipse es necesario que Para que haya elipse es necesario que 2a > 2c2a > 2c, o sea, , o sea,

a>c.a>c. Es decir, que la distancia de los vértices sea Es decir, que la distancia de los vértices sea mayor que la distancia de los focos.mayor que la distancia de los focos.

• El cuadrado del semieje mayor es igual a la suma de El cuadrado del semieje mayor es igual a la suma de los cuadrados del semieje menor y de la semi los cuadrados del semieje menor y de la semi distancia focal. Es decir que:distancia focal. Es decir que:

Esta propiedad es importante, pues a través de ella Esta propiedad es importante, pues a través de ella si conocemos dos valores de si conocemos dos valores de aa, , bb o o cc, podemos , podemos hallar el tercer valor desconocido.hallar el tercer valor desconocido.

222 cba +=

OTRAS PROPIEDADESOTRAS PROPIEDADES La longitud del lado recto se designa La longitud del lado recto se designa

por:por:

El cociente entre la distancia focal y El cociente entre la distancia focal y el eje mayor se denomina el eje mayor se denomina excentricidad (achatamiento de la excentricidad (achatamiento de la elipse) con la condición de 0< e < 1elipse) con la condición de 0< e < 1

a

blr

22=

a

c

a

ce ==

2

2

FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE

MAYOR SOBRE EL EJE XMAYOR SOBRE EL EJE X C(0, 0)C(0, 0)

F’( -c,0) y F( c,0)F’( -c,0) y F( c,0)

V’( -a,0) y V(a,0)V’( -a,0) y V(a,0)

B’(0, -b) y B(0,b)B’(0, -b) y B(0,b)

Ecuaciones de la Ecuaciones de la directriz:directriz:

Para D’ es x=-a/ePara D’ es x=-a/e

Para D es x= a/ePara D es x= a/e

B (o, b)

B’(0, -b)

V’ (-a, 0) V (a, 0)

F’(-c,0) F( c,0)

D’ D

C(0,0)

12

2

2

2

=+b

y

a

x

FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE

MAYOR SOBRE EL EJE YMAYOR SOBRE EL EJE Y C(0, 0)C(0, 0)

F’(0, -c) y F( 0,c)F’(0, -c) y F( 0,c)

V’( 0,-a) y V(0,a)V’( 0,-a) y V(0,a)

B’(-b,0) y B(b,0)B’(-b,0) y B(b,0)

Ecuaciones de la Ecuaciones de la directriz:directriz:

Para D’ es y=-a/ePara D’ es y=-a/e

Para D es y= a/ePara D es y= a/e

C(0,0)

F(0, c)F(0, c)

F’( 0, -c)F’( 0, -c)

V(0, a)V(0, a)

V’(0, -a)V’(0, -a)

B’(-b, 0)B’(-b, 0) B( b, 0)B( b, 0)

D’D’

DD

12

2

2

2

=+a

y

b

x

PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOS A continuación participarás de la resolución de algunos problemas. En la A continuación participarás de la resolución de algunos problemas. En la

medida que se explica si no haz captado ciertos conceptos pregunta, medida que se explica si no haz captado ciertos conceptos pregunta, ¡ ¡ no te quedes con dudas.!no te quedes con dudas.!

EJEMPLO 1: DEJEMPLO 1: Dada la ecuación de la elipse encuentra los ada la ecuación de la elipse encuentra los principales principales

elementos.elementos.

¿Cuál es el centro de la elipse? Observa la ecuación y te ayudará a obtener ¿Cuál es el centro de la elipse? Observa la ecuación y te ayudará a obtener la respuesta. Si haz analizado, el centro está en el origen, o sea, C(0, 0) la respuesta. Si haz analizado, el centro está en el origen, o sea, C(0, 0)

Compara la ecuación de la elipse con la ecuación Compara la ecuación de la elipse con la ecuación dada.dada.

¿Qué observas? ¿Qué puedes decir al respecto?, ¿ Recuerdas que el semieje ¿Qué observas? ¿Qué puedes decir al respecto?, ¿ Recuerdas que el semieje mayor tiene mayor longitud que el semieje menor?, o sea, a mayor tiene mayor longitud que el semieje menor?, o sea, a >>bb , luego, , luego,

Por lo tanto, yPor lo tanto, y

entonces entonces a = 4 (longitud del semieje mayor)a = 4 (longitud del semieje mayor) 2a = 8 (longitud del eje mayor2a = 8 (longitud del eje mayor)) y y b = 3 (longitud del semieje menor)b = 3 (longitud del semieje menor) 2b= 6 (longitud del eje menor)2b= 6 (longitud del eje menor)

1916

22

=+ yx

162 =a 92 =b

12

2

2

2

=+b

y

a

x

22 ba >

CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN

Hay que hallar el valor de la semidistancia focal c.Hay que hallar el valor de la semidistancia focal c.¿Cuál propiedad crees que te ayudará? Si haz ¿Cuál propiedad crees que te ayudará? Si haz

estudiado bien el texto te darás cuenta que a través estudiado bien el texto te darás cuenta que a través de la propiedad encontrarás la de la propiedad encontrarás la respuesta. Es decir respuesta. Es decir

y y

es la semidistancia focales la semidistancia focal Luego, es la distancia focal.Luego, es la distancia focal.

222 cba +=222 bac −=

9162 −=c

72 =c 7=c 6.2≈

2.5722 ≈=c

SIGAMOS CON EL CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS:SIGAMOS CON EL CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS:

Ahora con los valores de a, b y c podemos calcular los demás elementos.Como ya sabes que el eje mayor está sobre el eje x, los vértices y los focos

son: V(-a, 0) , V(a, 0) y F(-c, 0), F(c, 0) respectivamente. Es decir: V(-4, 0) , V(4, 0) y F(- 2.6 , 0) , F(2.6 , 0) Las intersecciones con el eje menor son: B(0, -b) y B(0, b), es decir B(0, -3) y B(0, 3) Excentricidad e = c/a, o sea, e = 2.6/4 = 0.6

Lado recto luego

Las ecuaciones de las directrices cuando el eje mayor está sobre el

eje x son: Si reemplazas los valores de a

y e y resuelves encontramos que:

De esta forma hemos resuelto el ejercicio. ¡VÍSTES QUÉ FÁCIL!

a

bLr

22= 5.42

9

4

)9(2 ===Lr

e

axy

e

ax −==

6.66.0

46.6

6.0

4 ==−=−= xyx

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSECONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSEMÉTODO DE PUNTOSMÉTODO DE PUNTOS

Te invitamos a Te invitamos a dibujar la elipse .dibujar la elipse .

Necesitas hoja Necesitas hoja cuadriculadacuadriculada

compáscompás reglaregla lápiz lápiz y mucho entusiasmoy mucho entusiasmo

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSECONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE MÉTODO DE LOS PUNTOSMÉTODO DE LOS PUNTOS A partir de uno de los focos y A partir de uno de los focos y

hasta el centro de la elipse hasta el centro de la elipse dividimos el eje mayor VV’ dividimos el eje mayor VV’ en segmentos en segmentos complementarios cuya suma complementarios cuya suma es 2a.es 2a.

V1 + 1V’ = V2 +2V’ = V3 + 3V’ V1 + 1V’ = V2 +2V’ = V3 + 3V’ = 2a= 2a

De un mismo punto. Hallamos De un mismo punto. Hallamos los puntos que distan V1 de los puntos que distan V1 de un foco y 1V’ del otro, y así un foco y 1V’ del otro, y así con los demás segmentos.con los demás segmentos.

Luego unimos los puntos Luego unimos los puntos manualmente, hasta dibujar manualmente, hasta dibujar la elipsela elipse

V V’

B’

B

F F’

1 2 3

AL APLICAR EL MÉTODO DE PUNTOS PASO A PASO Y CON AYUDA AL APLICAR EL MÉTODO DE PUNTOS PASO A PASO Y CON AYUDA DEL CENTRO, LOS VÉRTICES , FOCOS DEL CENTRO, LOS VÉRTICES , FOCOS

Y LOS EXTREMOS DEL EJE MENOR, OBTENEMOS LA GRÁFICA DEL Y LOS EXTREMOS DEL EJE MENOR, OBTENEMOS LA GRÁFICA DEL EJEMPLO 1 DESARROLLADO PREVIAMENTE.EJEMPLO 1 DESARROLLADO PREVIAMENTE.

V’(-4,0) v(4, 0)

B(0,3)

B’(0,-3)

C(0,0)F’(-2.6,0) F(2.6,0)

x

y

X=-6.6 X= 6.6

CON HOJA DE PAPEL TAMBIÉN PODEMOS CON HOJA DE PAPEL TAMBIÉN PODEMOS CONSTRUIR LA ELIPSE.CONSTRUIR LA ELIPSE.

Construye la elipse utilizando papel blanco encerado. Construye la elipse utilizando papel blanco encerado. ¡Hazlo, anímate !¡Hazlo, anímate ! Aquí están los pasos.Aquí están los pasos.

Dibuja una circunferencia en una hoja de papel.Dibuja una circunferencia en una hoja de papel.

Dibuja un punto dentro de la circunferencia (que no coincida Dibuja un punto dentro de la circunferencia (que no coincida con el centro).con el centro).

Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado.circunferencia coincida con el punto dibujado.

Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El punto dibujado es uno de los focos, el otro foco es el centro punto dibujado es uno de los focos, el otro foco es el centro de la circunferencia.de la circunferencia.

¡ MUY BIEN ! , ¿ VEZ QUE PUDISTES ? ¡ MUY BIEN ! , ¿ VEZ QUE PUDISTES ?

EJEMPLO 2EJEMPLO 2 Encuentra la ecuación de la elipse de forma que Encuentra la ecuación de la elipse de forma que

satisfaga la siguiente condición.satisfaga la siguiente condición. Focos F’(0,-8) y F(0,8),vértices V’(0,-17) y V(0, 17)Focos F’(0,-8) y F(0,8),vértices V’(0,-17) y V(0, 17) Observa las formas de los focos y de los vértices. ¿A qué Observa las formas de los focos y de los vértices. ¿A qué

ecuación de la elipse corresponden? ¿Qué opinas? Si ecuación de la elipse corresponden? ¿Qué opinas? Si analizas son de la forma.analizas son de la forma.

F’(0,-c) , F’(0,c) y V’(0,-a), V(0, a) donde el eje mayor está F’(0,-c) , F’(0,c) y V’(0,-a), V(0, a) donde el eje mayor está sobre el eje de las Y. Por lo que la ecuación es de la forma: sobre el eje de las Y. Por lo que la ecuación es de la forma:

Si ya tienes las coordenadas de los focos y los vértices entonces Si ya tienes las coordenadas de los focos y los vértices entonces Cuáles son los valores de Cuáles son los valores de aa y de y de c ? ¡Claro!, son c ? ¡Claro!, son a = 17 y c = 8a = 17 y c = 8

Calculamos a través de la fórmulaCalculamos a través de la fórmula

Por lo tanto la ecuación pedida es:,Por lo tanto la ecuación pedida es:,

12

2

2

2

=+a

y

b

x

22564289817 22222 =−=−=−= cab

2b

1289225

22

=+ yx

PRUEBA FORMATIVAPRUEBA FORMATIVA

Después de haber realizado la lectura sobre la elipse con centro Después de haber realizado la lectura sobre la elipse con centro en el origen, resuelve los siguientes problemas:en el origen, resuelve los siguientes problemas:

I. Hallar los elementos de las siguientes elipses (centro, vértices, I. Hallar los elementos de las siguientes elipses (centro, vértices, extremos del eje menor, focos, lado recto, excentricidad, extremos del eje menor, focos, lado recto, excentricidad, directrices), y dibuja la curva correspondiente.directrices), y dibuja la curva correspondiente.

1) 2)1) 2) II. Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dados II. Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dados

los siguientes elementos.los siguientes elementos. 3) Tiene centro el origen y un vértice en V(-3,0) y un extremo 3) Tiene centro el origen y un vértice en V(-3,0) y un extremo

del eje menor en B(0,2)del eje menor en B(0,2) 4) Tiene centro en el origen, y uno de sus vértices es el punto 4) Tiene centro en el origen, y uno de sus vértices es el punto

V(0, 8) y el lado recto es 4; y el eje mayor está sobre el eje Y.V(0, 8) y el lado recto es 4; y el eje mayor está sobre el eje Y. 5) Los focos están en F(0, -5) y F(0, 5), y la suma de las 5) Los focos están en F(0, -5) y F(0, 5), y la suma de las

distancias a los focos desde un punto cualquiera de la elipse es 14distancias a los focos desde un punto cualquiera de la elipse es 14

Si has tenido alguna dificultad, Si has tenido alguna dificultad, ¡no te desanimes!¡no te desanimes! Vuelve a leer elVuelve a leer el textotexto. . En caso contrarioEn caso contrario, , sigue adelantesigue adelante..¡¡ FELICIDADES!FELICIDADES!

1259

22

=+yx 110064

22

=+yx

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

KINDLE, H Joseph, KINDLE, H Joseph, GEOMETRÍA ANALÍTICAGEOMETRÍA ANALÍTICA, McGraw-, McGraw-Hill impreso en México 1991, 150 Págs.Hill impreso en México 1991, 150 Págs.

FUENLEBRADA, Samuel, FUENLEBRADA, Samuel, GEOMETRÍA ANALÍTICAGEOMETRÍA ANALÍTICA, , McGraw-Hill, segunda edición, impreso en México McGraw-Hill, segunda edición, impreso en México 2000, 221 Págs.2000, 221 Págs.

http:// soko.com.ar/mctem/matematica/conicas.htmhttp:// soko.com.ar/mctem/matematica/conicas.htm http://www.dynamics.unam.edu/preparatoria8/conichttp://www.dynamics.unam.edu/preparatoria8/conic

as/elipseas/elipse