LA ELIPSE

• La primera ley de Kepler está relacionada con la forma de las órbitas de los planetas: Los planetas siguen órbitas elípticas en torno al Sol, que se encuentra en uno de los focos de la elipse descrita.

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante

• Una elipse es como una circunferencia aplastada con dos focos. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a cada foco es constante

• Eje mayor = 2a• Eje menor = 2b

• La distancia OF es la semidistancia focal c.

• d(F,F')=2c<2a

Propiedades notables

• Sobre el «eje mayor» existen dos puntos F1 y F2 que se llaman «focos».

El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

•La longitud desde F1 al punto Q sumada a la longitud desde F2 a ese mismo punto Q , es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor» trazo AB.

• A las rectas correspondientes a los trazos QF1 y QF2 , se las llama «radios vectores».

• Los dos «focos» equidistan del centro O.

•El área de la elipse es:

Del triángulo rectángulo se cumple: a2=b2+c2

Excentricidad

• A la cantidad c/a se llama excentricidad de la elipse e. Se cumple: 0<e<1.

• El grado de aplastamiento de una elipse se mide con la excentricidad, que varía entre 0 y 1, cuanto mayor sea la excentricidad más separados estarán los focos y más alargada será la elipse. Por el contrario, si la excentricidad vale 0, los focos están juntos en el centro de la elipse y ésta se convierte en una circunferencia.

Elipse de eje focal horizontal

Los elementos que vamos a encontrar en una elipse de eje focal horizontal son: 

• los vértices: A (a,0) , A' (-a,0), B (0,b) y B' (0,-b)

• los focos: F (c,0) y F' (-c,0) • eje focal: distancia entre los vértices AA' =

2a  • eje no focal:  distancia entre los vértices

BB' = 2b

• distancia focal 2c: distancia entre el foco F y F'

• dPF = distancia entre un punto de la elipse y el foco F

• Dpf´ = distancia entre un punto de la elipse y el foco F'

Con centro en el origen

Con centro en (p, q)

Elipse de eje focal horizontal

• Elipse de eje focal vertical

Elipse de eje focal vertical: a < b ===> b² = a² + c²

Los elementos que vamos a encontrar en una elipse de eje focal vertical son:  • los vértices: A (a,0) , A' (-a,0), B (0,b) y B' (0,-b)

• los focos: F (0,c) y F' (0,-c) • eje no focal: distancia entre los vértices AA' = 2a 

•

• eje focal:  distancia entre los vértices BB' = 2b • distancia focal 2c: distancia entre el foco F y F' • radio vectores: dPF y dPF' • dPF = distancia entre un punto de la elipse

y el foco F • dPF = distancia entre un punto de la elipse

y el foco F'

• Se cumplen las siguientes propiedades:• Para cualquier punto de la elipse: dPF + dPF´ =

2b

Con centro en el origen

Con centro en (Xo, Yo)

Elipse de eje focal vertical