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Capítulo 2

La Diferencial de Fréchet

Iniciamos, con este capítulo, el cálculo diferencial para funciones de va-rias variables reales. Aunque el marco de trabajo será, con frecuencia, el delos espacios normados, nuestro interés se centra en la generalización del con-cepto de derivada, y el estudio de sus propiedades, a las funciones de variasvariables reales.

1. Funciones diferenciablesSi f es una función real de una variable real, sabemos que f es derivable

en el punto a si existe

(2.1) f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)h

.

Es obvio que el concepto anterior de función derivable puede extenderse, sinmodificación alguna, a las funciones de una sola variable, pero que toman va-lores en un espacio normado cualquiera F . En particular si f : A ⊂ R→ Rp,es fácil ver que f ′(a) = (f ′1(a), f ′2(a), . . . , f ′p(a)). Esta fórmula es igualmenteválida si f es una función de 1 variable que toma sus valores en un productofinito de espacios normados. Sin embargo, cuando f es una función variasvariables (o de “variable vectorial"), no podemos definir f ′(a) como en (2.1)pues el “h” por el que habría que dividir no sería, en ese caso, elemento deun cuerpo. Aún sería esto posible para las funciones de variable compleja,pero éstas no son objeto de estudio en este curso. En lo sucesivo, por tanto,el término variable habrá que entenderlo como variable real, y del mismomodo un espacio normado será, siempre, un espacio normado real. No obs-tante, hemos de señalar que no existen diferencias esenciales entre un cálculodiferencial real y un cálculo diferencial complejo.

25

26 La Diferencial de Fréchet 2.1

Antes de proceder a la extensión definitiva del concepto de derivada alas funciones de varias variables, vamos a dedicar un primer una sección laintroducción de dos conceptos básicos, el de derivada parcial y el de deriva-da direccional. Aunque pueda parecer exagerado, se podría afirmar que elCálculo Diferencial en dimensión finita consiste en el cálculo con derivadasparciales.

1.1. Derivadas parciales

Para funciones de una variable disponemos de unas reglas de cálculo dederivadas, las llamadas reglas de derivación. Por ejemplo sabemos que lafunción si f(x) = x2 + x sen x satisface las hipótesis necesarias para poderaplicar estas reglas para calcular su derivada y así obtener que f ′(x) =2x+ sen x+ x cosx. En particular podemos obtener el valor de la derivadaen un punto concreto a sin más que sustituir a en la igualdad anterior, deeste modo f ′(π) = 2π + 0 − π = π. Cuando estas reglas no son aplicablesen algún punto a, aún la función puede admitir derivada en a. Por ejemplosi f(x) =

√x2 + x sen x, x ∈ [−π/2, π/2] y queremos calcular f ′(x), se

puede aplicar la regla de la cadena para hacer este cálculo en todo punto xdistinto de 0. De este modo para x 6= 0 se tiene f ′(x) = 1/2(2x + sen x +x cosx)(2x + sen x + x cosx)−1/2. En cambio no podemos aplicar la reglade la cadena para calcular f ′(0) pues para ello sería necesario que la raízcuadrada (como función de una variable) fuese derivable en 0. Para estudiarla existencia de f ′(0) recurrimos a la definición de derivada en un punto:

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)x− a

.

Entonces para la función del ejemplo tendríamos

f ′(0) = lımx→0

√x2 + x sen x

x={√

2 si x→ 0+

−√

2 si x→ 0−

Una situación idéntica se plantea cuando se tiene una función f de va-rias variables, supongamos para concretar de 2-variables x, y, y se quierecalcular la derivada (parcial) de f respecto a una de las variables. Por ejem-plo si f(x, y) = x2 + y sen y la derivada parcial de f respecto de x en unpunto (x, y) no es otra cosa que la derivada de la función de 1-variableque se obtiene al considerar y en la derivación como una constante. Lue-go ∂f

∂x (x, y) = 2x y análogamente ∂f∂y (x, y) = sen y + y cos y. En particular

podemos obtener el valor de la derivadas parciales en un punto concreto

2.1 La Diferencial de Fréchet 27

(a, b) sin más que sustituir (a, b) en las igualdades anteriores. De igual mo-do si f(x, y) =

√x2 + y sen y, y ∈ [−π/2, π/2], se pueden aplicar en cada

(x, y) 6= (0, 0) las reglas de derivación de las funciones de una variable paradeducir que∂f

∂x(x, y) = x(x2 + y sen y)−1/2; ∂f

∂y(x, y) = 1

2(sen y + y cos y)(x2 + y sen y)12 .

Como antes, no podemos aplicar la regla de la cadena para estudiar la exis-tencia de la derivada parcial respecto a x (o respecto a y) en el punto (0, 0),sino que habremos de recurrir a la definición de derivada parcial respectoa x (o respecto a y) en un punto (a, b), que de acuerdo a lo anterior no esmás que derivada en a de la función de la variable x (o y) que se obtiene alsustituir en la definición de f la variable y (o x) por b (o a) i.e.,

∂f

∂x(a, b) = lım

x→af(x, b)− f(a, b)

x− a; ∂f

∂y(a, b) = lım

y→b

f(a, y)− f(a, b)y − b

Más generalmente,

Definición 2.1 Sea f : A ⊂ Rn → F y sea a ∈oA. Llamaremos derivada

parcial j-ésima de f en a a la derivada en aj de la aplicación de 1-variable

Fj : xj → f(a1, .., aj−1, xj , aj+1, .., an)

La denotaremos por (∂f/∂xj)(a) o, también, Djf(a). Por tanto:

∂f

∂xj(a) = F ′j(aj) = lım

xj→aj

f(a1, . . . , aj−1, xj , aj+1, . . . , an)− f(a)xj − aj

.

Teniendo en cuenta que las derivadas parciales no son más que derivadasde funciones de una variable, podemos aplicar las reglas de derivación yaconocidas para estas últimas para deducir las siguientes reglas de cálculocon derivadas parciales:

1) Si f = (f1, f2, . . . , fp),∂f

∂xj(a) =

(∂f1∂xj

(a), ∂f2∂xj

(a), . . . , ∂fp∂xj

(a)).

2) ∂(f + g)∂xj

(a) = ∂f

∂xj(a) + ∂g

∂xj(a); ∂(λf)

∂xj(a) = λ

∂f

∂xj(a).

3) Si f, g son funciones escalares, ∂(fg)∂xj

(a) = f(a) ∂f∂xj

(a) + ∂g

∂xj(a);

y si además g(a) 6= 0, ∂(f/g)∂xj

(a) = g(a)(∂f/∂xj)(a)− f(a)(∂g/∂xj)(a)g(a)2


Ejemplo (Una función no continua en un punto, que admite en ese puntoderivadas parciales respecto a cualquier índice).

f(x, y) = xy

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Es fácil ver que las dos derivadas parciales de esta función son nulas en(0,0). Por otras parte la función no es continua en (0,0) pues los límitesdireccionales de f en (0,0) existen pero no son todos iguales:

lımx→0

mx2

x2 +m2x2 = m

1 +m2

1.2. Derivadas direccionales

Definición 2.2 Sea f : A ⊂ E → F, a ∈oA y h 6= 0 un vector de E. Se dirá

que f es derivable en el punto a, siguiendo el vector h, si existe

(2.2) Dhf(a) = lımt→0

f(a+ th)− f(a)t

.

Al elemento de F, Dhf(a), se le denominará derivada de f en a, siguiendoel vector h. Cuando f admite derivada siguiendo cualquier vector no nulo,se dirá también que f admite derivadas en todos las direcciones.

Consideremos la recta de ecuación x = a+th, t ∈ R (recta que pasa por ay tiene a h como vector director). Entonces f(a+th) son los valores que tomaf sobre esta recta, y por tanto, por analogía con los límites direccionales,podría pensarse en denominar al límite 2.2, como la derivada de la funciónf en a siguiendo la recta x = a + th. Esto sería correcto, de no ser porquepara cada vector director de esa recta puede resultar un valor distinto paraDhf(a). Concretamente, es fácil ver que

Dλhf(a) = λDhf(a).

2.3 Observemos que las derivadas parciales en un punto no son más que lasderivadas en ese punto siguiendo ciertos vectores particulares, los vectorese1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . .. En efecto,

∂f

∂xj(a) = lım

xj→aj

f(a1, . . . , aj−1, xj , aj+1, . . . , an)− f(a1, . . . , an)xj − aj

= lımxj→aj

f(a+ (xj − aj)ej)− f(a)xj − aj

= lımt→0

f(a+ tej)− f(a)t

= Dejf(a).


2.4 La existencia de derivadas en todas las direcciones será una condiciónnecesaria para que una función sea derivable en un punto. Pero de nuevoesta condición es muy débil. Como pasaba con las derivadas parciales, esposible que una función sea derivable en un punto en cualquier dirección yno ser continua en ese punto.

Ejemplo (Una función no continua en un punto, que admite en ese puntoderivadas en todas las direcciones).

f(x, y) = x2y

x4 + y2 si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0.

Si tomamos v = (h, k) y aplicamos la definición para calcular la derivada enel punto (0,0) siguiendo el vector v, resulta

Si k 6= 0, Dvf(0, 0) = lımt→0

f(th, tk)t

= lımt→0

t3h2k

(t4h4 + t2k2)t = h2

k

Si k = 0, Dvf(0, 0) = 0.

Sin embargo, esta función no es continua en (0,0), pues aunque los límitesiterados y direccionales existen todos y valen 0, los límites siguiendo lascurvas y = mx2 son todos diferentes.

1.3. Diferenciabilidad en un punto

Hemos visto que una función de varias variables puede admitir derivadasparciales e incluso direccionales en un punto a sin ser continua en a. Estoindica que si se quiere que las funciones de varias variables que sean deriva-bles en un punto sean continuas en ese punto, no va a bastar que se les exijasólo la existencia de derivadas parciales o direccionales.

Antes de proceder a extender a varias variables la noción de funciónderivable en un punto, conviene establecer un resultado elemental sobreaplicaciones lineales, que habremos de tener en cuenta en lo sucesivo.

Lema 2.5 i) Una aplicación L de Rn en F es lineal si y sólo existen cj ∈F, j = 1, . . . , n tales que L(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn. Sedice que L está determinada por la matriz (c1, c2, . . . , cn).

ii) Toda aplicación lineal L de Rn en F es continua, de hecho lipschit-ziana. (Esto no es verdad para L : E → F y E de dimensión infinita):


Demostración. i) Obviamente cualquier aplicación de ese tipo es lineal. Re-cíprocamente, si L es lineal entonces

L(x1, x2, . . . , xn) = L(∑

xjej) =∑

xjL(ej) = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn,

siendo cj = L(ej).ii) También es inmediato comprobar que si L es lineal entonces es lips-

chitziana, pues ‖L(x) − L(y)‖ = ‖∑cj(xj − yj)‖ ≤ (

∑‖cj‖)‖xj − yj‖∞.

Ejercicio. Probar que toda aplicación lineal y continua entre espacios nor-mados es lipschitziana.

Definición 2.6 Sea f : A ⊂ Rn → F, a ∈oA. Se dice que f es diferenciable

o derivable en a (en el sentido de Fréchet), si admite derivadas parcialesrespecto a cualquier índice en a y además se satisface la siguiente condición:

(2.3) lımx→a

f(x)− f(a)−∑nj=1

∂f∂xj

(a)(xj − aj)‖x− a‖

= 0,

(O equivalentemente, si

(D) lımh→0

f(a+ h)− f(a)−∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj‖h‖

= 0,

Notas. 1. Observemos en primer lugar que la definición anterior es indepen-diente de la norma. Es decir, que si f es diferenciable en a respecto a lasnormas ‖ ‖ de Rn y F y sustituimos estas normas por las normas equivalentes‖ ‖∗, f es también diferenciable en a respecto a las nuevas normas. sabemosque existen dos constantes mayores que 0, α, β, tales que ‖x‖ ≤ α‖x‖∗ paracada x ∈ Rn y ‖y‖∗ ≤ β‖y‖ para cada y ∈ F . Entonces si

‖f(a+ h)− f(a)−∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj‖‖h‖

≤ ε cuando ‖h‖ ≤ δ,

se tiene también que

‖f(a+ h)− f(a)−∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj‖∗

‖h‖∗

≤ αβ‖f(a+ h)− f(a)−

∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj‖‖h‖

≤ αβε cuando ‖h‖∗ ≤ 1/αδ,


2. Para funciones de una variable, la definición anterior coincide conla de función derivable en un punto. En efecto, supongamos que f es unafunción de una variable (con valores en un espacio normado F ). Si f esdiferenciable en a entonces por la definición debe existir (∂f/∂x)(a) = f ′(a).Recíprocamente si f es derivable en a, entonces

lımx→a

f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)|x− a|

= 0

⇔ lımx→a

f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)x− a

= 0

⇔ lımx→a

[f(x)− f(a)

x− a− f ′(a)

]= 0 ⇔ lım

x→af(x)− f(a)

x− a= f ′(a).

Ejemplo 2.7 La función

f(x, y) = x3 − y3

x2 + y2 ; f(0, 0) = 0

es continua y admite derivadas parciales respecto a ambas coordenadas en(0,0) pero no es diferenciable en (0,0).

Proposición 2.8 Sea f : A ⊂ Rn → F y a ∈oA. Son equivalentes:

i) f es diferenciable en a.ii) Existe una aplicación lineal J : Rn → F tal que

(2.4) lımh→0

f(a+ h)− f(a)− J(h)‖h‖

= 0.

Demostración. i) inplica ii). De la definición de función diferenciable se de-duce que la condición f diferenciable en a implica que la aplicación lineal Jcuya matriz asociada es la matriz jacobiana ( ∂f∂x1

(a), . . . , ∂f∂xn(a)), satisface

la condición ii).ii) implica i) De hecho de la condición ii) se deduce:

f es derivable en todas las direcciones.La aplicación J es única, J(h) = Dhf(a) =

∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj .

f es diferenciable en a

En efecto, supongamos que la aplicación lineal J : Rn → F satisface

lımh→0

f(a+ h)− f(a)− J(h)‖h‖

= 0,


entonces para cada h 6= 0 (fijado) se tiene:

lımt→0

f(a+ th)− f(a)− J(th)‖th‖

= 0 = lımt→0

f(a+ th)− f(a)− tJ(h)|t|‖h‖

,

que claramente implica que

lımt→0

f(a+ th)− f(a)− tJ(h)t

= 0

y que, por tanto,

J(h) = lımt→0

f(a+ th)− f(a)t

= Dhf(a).

Se ha probado pues que J no puede ser otra aplicación que la definida porJ(h) = Dhf(a), determinada (en dimensión finita) por la matriz

(J(e1), J(e2), . . . , J(en)) = (De1f(a), . . . , Denf(a)) =(∂f

∂x1(a), . . . , ∂f

∂xn(a)),

es decir J(h) = Dhf(a) =∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj , que nos dice que la condición ii)no es otra cosa que la condición (D) de diferenciabilidad en a.

Definición 2.9 La función f : E → F se dice diferenciable (o derivable) enel punto a ∈

oA si existe una aplicación lineal y continua J : E → F tal que

(D) lımh→0

f(a+ h)− f(a)− J(h)‖h‖

= 0.

Teniendo en cuenta la proposición anterior si f es diferenciable en el puntoa existe única aplicación lineal J con esta propiedad, la aplicación J(h) =Dhf(a), que en lo sucesivo se denotará por Df(a) y se llamará la di-ferencial de f en a. En dimensión finita, es decir cuando E = Rn, yasabemos que Df(a) está determinada por la matriz jacobiana, es decirDf(a)(h) ≡ Df(a)h =

∑nj=1

∂f∂xj

(a)hj .

Proposición 2.10 Una función diferenciable en un punto a es continuaen ese punto. De hecho, existe alguna bola centrada en B(a, r) y algunaconstanteM ≥ 0 tal que si x ∈ B(a, r), entonces ‖f(x)−f(a)‖ ≤M‖x−a‖.


Demostración. Por la diferenciabilidad de f en a existe r > 0 tal que si‖x− a‖ ≤ r entonces

‖f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)‖‖x− a‖

≤ 1

⇒‖f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)‖ ≤ ‖x− a‖.

Sea V = B(a, r) y x ∈ V , entonces teniendo en cuenta que Df(a) es lips-chitziana, se tiene

‖f(x)− f(a)‖ ≤ ‖f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)‖+ ‖Df(a)(x− a)‖≤ (1 +K)‖x− a‖.

Ejercicio. Sean las funciones

f1(x, y, z) = xyz

x2 + y4 + z4 ; f1(0, 0, 0) = 0

f2(x, y, z) = xyz

x2 + y2 + z2 ; f2(0, 0, 0) = 0

f3(x, y, z) = xyz2

x2 + y4 + z4 ; f3(0, 0, 0) = 0.

1. Probar que todas las funciones anteriores admiten derivadas en (0, 0, 0)en todas las direcciones.

2. La única función que no es continua en (0, 0, 0) es f1.3. Comprobar que la aplicaciones T2(u) = Duf2(0, 0, 0) no es lineal y por

tanto f2 no es diferenciable en (0, 0, 0).4. Estudiar cuales de las funciones fi satisfacen la igualdadDufi(0, 0, 0) =

∂fi∂x (0, 0, 0)h+ ∂fi

∂y (0, 0, 0)k + ∂fi∂z (0, 0, 0)p, siendo u = (h, k, p).

5. Comprobar que T3(u) = Duf3(0, 0, 0) es lineal, pero f no es dife-renciable en (0, 0, 0) es decir lımu→0

f3(a+u)−f3(a)−Duf3(a)‖u‖ 6= 0, a =

(0, 0, 0); u = (h, k, p).

6. Comprobar que lımu→0f2(a+u)−f2(a)−Duf2(a)

‖u‖ = 0, a = (0, 0, 0); u =(h, k, p), aunque f2 no es diferenciable en (0, 0, 0) (Observar que T2(u) =Duf2(0, 0, 0) no es lineal).


1.4. Operaciones con funciones diferenciables

Todas las operaciones permitidas para las funciones derivables de 1-variable serán válidas para las funciones diferenciables definidas entre es-pacios normados:

2.11 Si f, g son funciones diferenciables en a entonces f+g es diferenciableen a, ya que la aplicación lineal Df(a) + Dg(a) satisface la condición dediferenciabilidad (D) para f+g. Del mismo modo sucede con λf (ejercicio).

2.12 Sea f : A ⊂ Rn → Rp, diferenciable en a ∈oA. Si B ⊃ f(A) y g : B ⊂

Rp → F es diferenciable en b = f(a) ∈oB entonces g ◦ f es diferenciable en

a y se tiene que

(2.5) D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a)) ◦Df(a) (Regla de la Cadena).

Demostración. De acuerdo a la proposición 2.8 sólo tenemos que probar queg ◦ f satisface en a la condición de diferenciabilidad respecto a la aplicaciónlineal y continua J(h) = (Dg(f(a)) ◦Df(a))h, es decir:

lımx→a

(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)− J(x− a)‖x− a‖

= 0.

En efecto, teniendo en cuenta que

(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)− (Dg(f(a) ◦Df(a))(x− a)‖x− a‖

=g(f(x))− g(f(a))−Dg(f(a)

(Df(a)(x− a)

)‖x− a‖

= g(f(x))− g(f(a))−Dg(f(a)(f(x)− f(a))‖x− a‖

+Dg(f(a))

(f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)

)‖x− a‖

,

bastará ver que cada uno de los sumandos en la expresión última tiende a 0cuando x tiende a a. Consideremos la función

ϕ(y) = g(y)− g(b)−Dg(b)(y − b)‖y − b‖

si y 6= b; ϕ(b) = 0.

La diferenciabilidad de g en b implica que ϕ es continua en 0. Por otra parte,teniendo en cuenta que en algún entorno U de a existe un M ≥ 0 tal que


‖f(x)− f(a)‖ ≤M‖x− a‖ se sigue que si x ∈ U∥∥∥∥g(f(x))− g(f(a))−Dg(f(a))(f(x)− f(a))‖x− a‖

∥∥∥∥=∥∥∥∥‖f(x)− f(a)‖‖x− a‖

ϕ(f(x))∥∥∥∥ ≤M‖ϕ(f(x))‖.

Y puesto que lımx→a ϕ(f(x)) = ϕ(lımx→a f(x)) = ϕ(f(a)) = 0, se deduceque el primero de los sumandos tiende a 0 cuando x tienda a a.

Y en cuanto al segundo sumando:

lımx→a

Dg(f(a))(f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)

)‖x− a‖

= lımx→a

Dg(f(a))(f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)

‖x− a‖

)= Dg(f(a))

(lımx→a

f(x)− f(a)−Df(a)(x− a)‖x− a‖

)= Dg(f(a))(0) = 0.

En particular, la igualdad D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a)) ◦Df(a) nos dice queque la matriz jacobiana de g◦f (la matriz de la aplicación lineal D(g◦f)(a))es el producto de las matrices jacobianas de g en f(a) por la jacobiana de fen a.

(∂(g ◦ f)∂x1

(a), . . . , ∂(g ◦ f)∂xn

(a))

=

(∂g

∂y1(f(a)), · · · ,

∂g

∂yp(f(a))

)×

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)∂f2∂x1

(a) · · · ∂f2∂xn

(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂fp∂x1

(a) · · · ∂fp∂xn

(a)

Esta igualdad matricial nos permite escribir entonces lo que podemos llamarla regla de la cadena para derivadas parciales:

∂(g ◦ f)∂xj

(a) =p∑s=1

∂g

∂ys(f(a))∂fs

∂xj(a).

Nota. Observar, no obstante, que la demostración dada para 2.12 es válidaaunque los espacios normados no sean de dimensión finita.


2.13 Una función f = (f1, . . . , fp) es diferenciable en un punto a si y sólosi las funciones coordenadas f1, . . . , fp son diferenciables en a.

Demostración. Es inmediato comprobar que si las funciones fi son diferen-ciables, entonces la aplicación lineal y continua

J(h) = (Df1(a)h,Df2(a)h, . . . ,Dfp(a)h)

satisface la condición de diferenciabilidad en a para la función f = (f1,. . . , fp). Recíprocamente si f es diferenciable en a, entonces cada fi es di-ferenciable en a pues fi = πi ◦ f , donde πi es la proyección i-ésima que eslineal y continua y por tanto diferenciable en todo punto, según el lema quedamos más abajo.

2.14 Si f, g son funciones escalares diferenciables en el punto a entonces elproducto fg y el cociente f/g (si g(a) 6= 0) son diferenciables en a.

Demostración. La aplicación fg se obtiene por la composición x → (f(x),g(x))→ f(x)g(x). La segunda función no es más que la aplicación de R2 enR producto de dos números reales, que veremos en el lema de abajo que esdiferenciable en todo punto. La primera es diferenciable en a pues se tratade una función con dos funciones coordenadas f, g, que por hipótesis sondiferenciables en a. Para el cociente Basta ver que si g(a) 6= 0, entonces laaplicación 1/g es diferenciable en a. Escribiendo 1/g como la composiciónde las aplicaciones

x→ g(x)→ 1g(x) ,

eso se sigue de que la aplicación de R en R, t → 1/t, es diferenciable enR \ {0}.

Lema 2.15 i) Si T es una aplicación lineal y continua entre los espaciosnormados E y F entonces T es diferenciable en cada punto de x ∈ E yDT (x) = T .

ii) La aplicación producto de números reales es una aplicación de R2 enR diferenciable en todo punto.

Demostración. i) Puesto que

T (x+ h)− T (x)− T (h)‖h‖

= 0,


Es obvio que se satisface la condición de diferenciabilidad en x con T =DT (x).

ii) Sea p : R2 → R; p(x, y) = xy. Entonces ∂p∂x(a, b) = b y ∂p

∂y (a, b) = a,por lo que

p((a, b) + (h, k))− p(a, b)− ( ∂p∂x(a, b)h+ ∂p∂y (a, b)k)

‖h‖

= (a+ h)(b+ k)− ab− (bh+ ak)‖h‖

= hk√h2 + k2

.

Puesto que lım(h,k)→(0,0)hk√h2+k2 = 0, se tiene que p satisface la condición de

diferenciabilidad en (a, b).

Nota. No consideraremos aquí la diferenciabilidad de la inversa de una fun-ción, ya que el estudio de funciones inversas será el objeto de otro capítuloposterior.

2.16 Los resultados anteriores nos permitirán construir una extensa familiade funciones diferenciables. Empecemos, por ejemplo, con los polinomios:Como se sabe un polinomio de varias variables es una aplicación de la forma

f(x1, x2, . . . , xn) =∑finita

ai1...inxi11 . . . x

inn , ik = 0, 1, . . .

Puesto que la suma y el producto de aplicaciones diferenciables es una apli-cación diferenciable, es evidente que los polinomios son diferenciables ya quelas aplicaciones

(x1, x2, . . . , xn)→ ai1...in

(x1, x2, . . . , xn)→ xik

lo son, como fácilmente puede verificarse.Aplicando 2.14, las funciones racionales (cocientes de dos polinomios)

son diferenciables sobre el conjunto de puntos donde el polinomio del deno-minador no se anula.

Por último, mediante la composición de las funciones anteriores con fun-ciones de una variable y diferenciables, se obtienen nuevas funciones de variasvariables y diferenciables

sen (x2 + y2), log(1 + x2 + y2), 11 + cos2(xyz) , . . .


1.5. Interpretación geométrica de la diferenciabilidad

Es bien conocido que una función de una variable f es derivable en unpunto a si y sólo si su gráfica admite una recta tangente (no vertical) enel punto (a, f(a)). De igual forma el hecho de que una función (escalar)z = f(x1, . . . , xn), de n-variables, sea diferenciable en un punto a significaen términos geométricos que existe un hiperplano de Rn+1 de ecuación z =f(a1, . . . , an) + J(x1 − a1, . . . , xn − an) (J lineal), tangente a la gráfica def en el punto c = (a, f(a)). Previamente debemos formalizar la noción detangencia, a fin de que la condición de diferenciabilidad: existe J tal que

lımh→0

f(a+ h)− f(a)− J(h)‖h‖

= 0,

pueda interpretarse en el sentido geométrico anterior.

Definición 2.17 Llamaremos curva de Rk (k > 1) a toda aplicación con-tinua γ : I ⊂ R → Rk, donde I es un intervalo de R. Podemos pensar enγ(t) = (x1(t), . . . , xk(t)) como en la posición de un móvil en el instante detiempo t. Al subconjunto de Rk imagen de γ

T (γ) = {(x1(t), . . . , xk(t)) : t ∈ I}

se le denomina la traza de la curva.(Idéntica definición para curva en un espacio normado).

Si γ es derivable en un punto t0 ∈oI diremos que el vector γ′(t0) =

(x′1(t0), . . . , x′k(t0)) es tangente a la curva en c = γ(t0). Es fácil ver que elvector γ′(t0) es, conforme a la idea intuitiva que se tiene de tangencia, unvector tangente a la traza.

Ejemplo 2.18 Si la función de 1-variable f : I ⊂ R→ R es continua en elintervalo I entonces su gráfica es la traza de una curva de R2.

Obviamente la gráfica de f, Gr(f) = {(x, f(x)) : x ∈ I}, es la traza dela curva γ : I ⊂ R→ R2, γ(x) = (x, f(x)).

Definición 2.19 Un vector w de Rk se dirá tangente al conjunto M ⊂ Rken el punto c ∈ M , si existe alguna curva γ : I ⊂ R → Rk contenida en Mque pasa por c y tiene a w como vector tangente en c i.e.,

i) γ(t) ∈M para cada t,ii) existe t0 ∈ I tal que γ(t0) = c,iii) γ es derivable en t0 y γ′(t0) = w.


Geométricamente, un vector tangente a M en c es pues un vector tan-gente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 2M parauna definición más general de vector tangente.) Al conjunto de vectorestangentes a M en el punto c ∈M se le denotará por Tc(M).

Proposición 2.20 Sea f : A ⊂ R2 → R una aplicación diferenciable en elpunto a = (x0, y0) ∈

oA,M la gráfica de f y c = (a, f(a)) = (x0, y0, f(x0, y0)).

Entonces el conjunto de vectores tangentes a M en c, Tc(M), es el planovectorial director del plano afín Ac(M) que pasa por c y tiene de ecuación

z = f(a) +Df(a)(x− x0, y − y0) = f(a) + ∂f

∂x(a)(x− x0) + ∂f

∂y(a)(y − y0).

Demostración. Es claro que el plano vectorial director de Ac(M) es L ={(x, y, z) : z = Df(a)(x, y). Veamos primero que L ⊂ Tc(M). En efecto, seaw = (h, k, p) ∈ L es decir tal que p = Df(a)(h, k) y consideremos la curva

γ(t) = (x0 + th, y0 + tk, f(x0 + th, y0 + tk)).

Obviamente γ es una curva contenida enM que pasa por c = (x0, y0, f(x0, y0)).Geométricamente podemos obtenerla mediante la intersección de M con elplano perpendicular alXY y contiene a la recta x = x0+th; y = y0+tk; z =0. Observemos que γ es derivable en t = 0,

γ′(0) =(h, k, lım

t→0

f(x0 + th, y0 + tk)− f(x0, y0)t

)= (h, k,D(h,k)f(a)) = (h, k,Df(a)(h, k)) ∈ Tc(M).

Veamos ahora que Tc(M) ⊂ L. Sea w = (h, k, p) ∈ Tc(M) y, portanto, sea γ : I ⊂ R → R3 : γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una curva cuyatraza esté contenida en M es decir z(t) = f(x(t), y(t)) y tal que en al-gún punto t0 ∈

oI γ(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)) = c = (x0, y0, f(x0, y0)) y

γ′(t0) = (x′(t0), y′(t0), z′(t0)) = (h, k, p).Se trata pues de ver que de lo anterior se deduce que p = Df(a)(h, k).

En efecto, puesto que z(t) = f(x(t), y(t)), aplicando la regla de la cadena setiene que p = z′(t0) = Df(x(t0), y(t0))(x′(t0), y′(t0)) = Df(x0, y0)(h, k).

Observar que el plano vectorial Tc(M) de la función f no contiene alvector (0, 0, 1). Por eso, la interpretación geométrica que acabamos de dardel hecho de que f sea diferenciable en a suele expresarse diciendo que lagráfica de f admite un plano tangente no vertical en el punto c = (a, f(a)).

40 La Diferencial de Fréchet 2B

La proposición anterior se extiende a más variables y a funciones entreespacios normados con idéntica demostración. El enunciado preciso es elsiguiente:

Proposición 2.21 Si f : A ⊂ E → F es una aplicación diferenciable enel punto a ∈

oA, M ⊂ E × F es la gráfica de f y c = (a, f(a)), entonces el

conjunto de vectores tangentes a M en c, Tc(M), es un subespacio vectorialde E×F isomorfo a E, que no contiene vectores de la forma (0, v) con v 6= 0.Tc(M) es asimismo el espacio vectorial director de la variedad afín de E×Fde ecuación z = f(a) +Df(a)(x− a).

Ejercicios2A Estudiar continuidad y existencia de derivadas parciales para las funciones

1. f(x, y) ={

ln(1 + (x− y)2) si x− y > 1x− y + ln 2 si x− y ≤ 1

2. f(x, y) =√x4 + sen 2xy

3. f(x, y) =

x3

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

4. f(x, y) ={

senx−sen yx−y si x 6= y

cosx si x = y

2B Supongamos que f es una función escalar de dos variables, continua en el punto(0,0), y sea g(x, y) = xf(x, y). Probar que g es diferenciable en (0,0).

2C Sean E,F espacios normados, f : A ⊂ E → F y a ∈oA.

(a) Si f es diferenciable en a, probar que

lımh→0

f(a+ h)− f(a)‖h‖

={

0 si Df(a) = 0No existe si Df(a) 6= 0

(b) Probar que si f admite derivadas en a siguiendo cualquier vector y

(∗) lımh→0

‖f(a+ h)− f(a)‖‖h‖

= α 6= 0

entonces ‖Dhf(a)‖ = α‖h‖, para todo h ∈ E.

2F La Diferencial de Fréchet 41

(c) Deducir de (b) que si dimE > dimF y f satisface (∗) entonces f no puedeser diferenciable en a.Indicación. De ser diferenciable en a, existiría algún vector no nulo en elnúcleo de Df(a).

(d) Si f es diferenciable en a, entonces son equivalentes:

i) Existe lımh→0‖f(a+ h)− f(a)‖

‖h‖ii) ‖Df(a)h‖ = ‖Df(a)‖‖h‖ para todo h ∈ E.

(e) Considerar las funciones

f1(x, y) =√x2 + y2 ; f2(x, y) =

{√x2 + y2 si x ≥ 0

−√x2 + y2 si x < 0

Probar que ambas funciones satisfacen la condición (∗) en (0,0), cuando seconsidera la norma euclídea en R2. Ninguna de las dos funciones son di-ferenciables en (0,0), pero mientras que la función f1 no admite derivadasdireccionales, la función f2 sí.

2D Probar que la función f(x) = x3/2sen 1/x, f(0) = 0 es derivable en 0, perono es lipschitziana en ningún entorno de 0.

2E Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadasdireccionales y diferenciabilidad en el origen de coordenadas, para cada una de lasfunciones siguientes. (Supondremos que todas estas funciones toman el valor 0 enel origen)

1. f(x, y) = x4 + x2y2 + y5

x2 + y4 2. f(x, y) = x3 − y3

x2 + y2

3. f(x, y) = x4 + y4

x2 + y2 4. f(x, y) = sen (x3 + xyz)x2 + y2 + z2

5. f(x, y) = ln(1 + xy)√x2 + y2

6. f(x, y) = ln(1 + xy)3√x2 + y2

7. f(x, y) = (x2 + y3)(x2 + y2)x2 + y4 8. f(x, y) = xy

x2 +√x2 + y2

2F 1. Estudiar la diferenciabilidad de la función f(x, y) = sen |x2 − y2|, en lospuntos (0,0) y (1,1).

2. Estudiar la diferenciabilidad en (0,0) de la función f(x, y) = |xy|α, según losvalores de α ≥ 0.

42 La Diferencial de Fréchet 2F

3. Estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de deri-vadas direccionales y diferenciabilidad en los puntos (0,0) y (0,1), para lafunción

f(x, y) ={√

x4 + sen 2(xy) si x ≥ 0−√x4 + sen 2(xy) si x < 0

2G Demostrar que la función

f(x, y) = x5 − y3√x6 + y4

; f(0, 0) = 0

es diferenciable en (0,0).Indicación: Probar que

0 ≤√x6 + y4 − y2 ≤ |x|3, ∀x, y.

2H En este ejercicio g y ϕ serán en todos los casos una función escalar diferenciableen todo punto (aunque no siempre del mismo número de variables). Supuesto esto, setrata de probar que la función h construida a partir de g es también diferenciable yde calcular sus derivadas parciales en términos de las funciones g y ϕ y sus derivadasparciales:

1. h(x, y, z) = g(x2 − z, sen xyz) 2. h(x, y, z) = g(x+ y − z2)3. h(x) = g(x3, sen x, x− 1) 4. h(x) = g(x2, g(x, sen x))5. h(x, y) = g(x2, g(x, sen y)) 6. h(x, y, z) = xg(xy) + yg(xz) + zg(yz)7. h(x) = xg(x+ g(x)) 8. h(x, y, z) = g(x, y) + g(x, z) + g(y, z)9. h(x, y) = g(x+ ϕ(x, y)) 10. h(x, y) = g(x, yϕ(x, y))

2I Como en el ejercicio anterior, g y ϕ denotarán funciones escalares diferenciablesen todo punto. Sean:

(a) h(x, y, z) = g(xy, ϕ(yz)), con

ϕ(0) = 0 ; ϕ′(0) = 1 ; Dg(0, 0) ≡ (2, 3)

Calcular las derivadas parciales de h en (0, 1, 0).(b) h(x, y) = x · g(x, y, y), con

g(1, 0, 0) = 1 ; Dg(1, 0, 0) ≡ (1, 2,−2).

Calcular las derivadas parciales de h en (1, 0).

2M La Diferencial de Fréchet 43

(c) h(x, y, z) = g(xz, g(y, z)), con

g(0, 1) = 0 ; Dg(0, 0) ≡ (1, 2) ; Dg(0, 1) ≡ (−3, 4).

Calcular las derivadas parciales de h en (0, 0, 1).

2J Probar que la función

h(x, y) =∫ x+y

0e−t

2+xdt

es diferenciable en cada punto y calcular su diferencial.Indicación: Tener en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral: Si f esuna función continua en el intervalo [a, b], entonces la función F (x) =

∫ xaf(t)dt es

derivable y su derivada es F ′(x) = f(x).

2K Considerar la función f(x, y) = x2 − 2y.

(a) Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (0,1,-2).(b) Calcular la derivada de f en (0,1) siguiendo el vector v = (2, 3).(c) Encontrar alguna curva sobre la gráfica de la función f , que pase por el punto

(0,1,-2) y tenga como vector tangente en ese punto a (2, 3, D(2,3)f(0, 1)).

2L Estudiar la existencia de derivadas direccionales en (0,0) para las funciones

f1(x, y) = 3√x3 + y3; f2(x, y) = 3

√x3 + y4

¿Son diferenciables en (0,0)?Indicación: Para estudiar la diferenciabilidad de f2 en (0,0), puede resultar útilsaber que, si r es un número real > 0 y denotamos por g a la función g(u) =3√u+ r− 3

√u, entonces g es no negativa y alcanza un máximo absoluto en el punto

u = −r/2.

2M (Una definición más general de vector tangente) SeaM un subconjuntode un espacio normado G, c ∈ M y v ∈ G. Se dirá que v es tangente a M en c, siexiste una sucesión {zn} de puntos de M y una sucesión de escalares {λn > 0} talque:

zn → c, λn(zn − c)→ v.

Se denotará por Tc(M) al conjunto de vectores tangentes a M en c.

(a) Probar que un vector no nulo v es tangente a M en c si y sólo si existe unasucesión {zn} ⊂M, zn 6= c tal que

zn → c,zn − c‖zn − c‖

→ v.

44 La Diferencial de Fréchet 2M

(b) Sea γ : (a, b) ⊂ R → G una curva contenida en M que pasa por el puntoc ∈ M . Para concretar, sea c = γ(t0). Probar que si γ es derivable en t0entonces el vector v = γ′(t0) es un vector tangente a M en c.

(c) Sean E,F espacios normados y f : A ⊂ E → F una aplicación continua yderivable siguiendo un vector h en el punto a ∈

oA. Probar que el vector

(h,Dhf(a)) es un vector tangente en el punto c = (a, f(a)) a la gráfica de lafunción f .

(e) Sea f : A ⊂ E → F una función diferenciable en un punto a y M su gráfica:1. Demostrar que el conjunto de los vectores tangentes a M en el puntoc = (a, f(a)) es el subespacio vectorial isomorfo a E,

Tc(M) = {(h,Df(a)h) : h ∈ E}.

2. Demostrar que el vector v es tangente a M en c = (a, f(a)) si y sólo si ves tangente en c a alguna curva contenida en M que pasa por c.


2. El Teorema del Valor MedioComenzaremos esta sección recordando dos versiones del teorema del

valor medido para funciones de 1-variable y por tanto ya conocidas:

2.22 Sea f : [a, b] ⊂ R → R una función continua en [a, b] y derivable en(a, b). Entonces:

(i) Existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).(ii) Si además existe alguna constante M tal que |f ′(x)| ≤ M para todo

x ∈ (a, b), entonces |f(x)− f(y)| ≤M |x− y|, ∀x, y ∈ [a, b] (Fórmulade los incrementos finitos)

En este tema extenderemos a las varias variables la fórmula de los incre-mentos finitos. Esta extensión, a la que nos referiremos como teorema delvalor medio estará presente en mayor o en menor medida, como sucedía para1-variable, en gran parte de los resultados del Calculo Diferencial en variasvariables. En el enunciado del teorema necesitaremos referirnos a la nociónde segmento:

Definición 2.23 En un espacio vectorial E se denomina segmento de ex-tremos a, b, al conjunto

[a, b] = {a+ t(b− a) : t ∈ [0, 1]} = {(1− t)a+ tb : t ∈ [0, 1]}.

Llamaremos segmento abierto de extremos a y b al conjunto (a, b) = [a, b] \{a, b}. El conjunto A se dirá convexo si para cada par de puntos de A, elsegmento que los une está totalmente contenido en A.

Proposición 2.24 Toda bola es un conjunto convexo.

Demostración. Sean x, y dos puntos de la bola B(a, r) y sea z = (1−t)x+tyun punto del segmento [x, y]. Entonces

‖z − a‖ = ‖(1− t)x+ ty − ((1− t)a+ ta‖≤ (1− t)‖x− a‖+ t‖y − a‖ < (1− t)r + tr = r.

El primero de los resultados (2.22 (i)) se extiende tal cual a funcionesescalares de varias variables. Pero no es cierto, en general, para funcionesvectoriales.


Teorema 2.25 Sea [a, b] un segmento de Rn y f : A ⊂ Rn → R una funcióncontinua en [a, b] ⊂

oA y derivable en (a, b). Entonces existe algún punto

c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = Df(c)(b− a).

Demostración. Consideremos la aplicación λ : [0, 1] ⊂ R → [a, b] ⊂ Rn defi-nida por λ(t) = a + t(b − a) = (a1 + t(b1 − a1), . . . , an + t(bn − an)). Estaaplicación es claramente derivable en [0,1], siendo λ′(t) = b−a. Sea g = f ◦λ,g es una función escalar de una variable que es continua en [0, 1] y derivableen (0, 1), pues f es continua en cada punto λ(t) con t ∈ [0, 1] y derivable enλ(t) con t ∈ [0, 1]. Aplicando la regla de la cadena se tiene que

g′(t) =∑ ∂f

∂xj(λ(t))(bj − aj).

Aplicando ahora el teorema de valor medio para funciones escalares de unavariable a la función g en [0, 1], se tiene que existe algún θ ∈ (0, 1)

f(b)−f(a) = g(1)−g(0) = g′(θ) =∑ ∂f

∂xj(λ(θ))(bj−aj) = Df(λ(θ))(b−a).

En cuanto al segundo de los resultados (2.22 (ii)) se extiende, sin ningunarestricción, a funciones con valores en un espacio normado F , aunque aquísólo lo demostraremos para F = (Rp, ‖ ‖∞):

Teorema 2.26 Sea [a, b] un segmento de Rn y f : A ⊂ Rn → Rp una funcióncontinua en [a, b] ⊂

oA y derivable en (a, b). Si para para algún M ≥ 0 se

tiene ∣∣∣∣∣ ∂fi∂xj(x)∣∣∣∣∣ ≤M, ∀x ∈ (a, b); i = 1, . . . , p ; j = 1, . . . , n.

Entonces

(2.6) ‖f(b)− f(a)‖∞ ≤M ‖b− a‖1.

Demostración. Es una consecuencia directa del teorema anterior (Teorema2.25) aplicado a cada función coordenada de la función f . En efecto si f =(f1, f2, ..., fp), entonces para cada i = 1, . . . , p, existe algún punto ci ∈ (a, b)tal que fi(b)− fi(a) =

∑ ∂fi∂xj

(ci)(bj − aj), luego

‖f(b)− f(a)‖∞ = max1≤i≤p

|fi(b)− fi(a)| ≤∑

M |bj − aj | = M‖b− a‖1.


El siguiente teorema no es una extensión a varias variables de alguno yaconocido para 1-variable:

Teorema 2.27 Sea [a, b] un segmento de Rn y f : A ⊂ Rn → Rp una funcióncontinua en [a, b] ⊂

oA. Supongamos que existe algún abierto U tal que [a, b] ⊂

U ⊂ A en el que las derivadas parciales de f existen y están acotadas, esdecir existe M ≥ 0 tal que∣∣∣∣∣ ∂fi∂xj

(x)∣∣∣∣∣ ≤M, ∀x ∈ U ; i = 1, . . . , p ; j = 1, . . . , n.

Entonces ‖f(b)− f(a)‖∞ ≤M ‖b− a‖1.

Demostración. Puede suponerse que f es una función escalar, pues si elteorema fuese cierto para funciones escalares, entonces para una funciónvectorial, f = (f1, f2, ..., fp), se tendría también:

‖f(b)− f(a)‖∞ = max1≤i≤p

|fi(b)− fi(a)| ≤M ‖b− a‖1.

(i) Etapa 1:Supongamos en primer lugar que el segmento [a, b] está contenido en

algún n-rectángulo cerrado R contenido a su vez en U . Por definición, unn-rectángulo (cerrado) es un producto cartesiano de n intervalos (cerrados)de R, es decir un conjunto de la forma

R = [c1, d1]× . . .× [cn, dn].

Por tanto un punto z = (zi) está en R si y sólo si ci ≤ zi ≤ di , para todo i.Entonces

f(a)− f(b) =f(a1, a2, . . . , an)− f(b1, a2, . . . , an)+ f(b1, a2, . . . , an)− f(b1, b2, a3, . . . , an)(2.7)..................................................

+ f(b1, b2, . . . , bn−1, an)− f(b1, . . . , bn).

Evidentemente cada uno de los nuevos puntos que utilizamos en esta des-composición pertenecen a R, y en cada paso los dos puntos que aparecensólo se diferencian en una de las coordenadas. Entonces, la existencia de de-rivadas parciales en cada punto de R, nos permite aplicar en cada uno de lospasos anteriores el teorema de valor medio para funciones de una variable,en efecto vayamos al primer paso y consideremos la función de la variable


x1, F1 : x1 → f(x1, a2, . . . , an). Obviamente esta función y su derivada estábien definida en [c1, d1] ya que F ′1(x1) = ∂f

∂x1(x1, a2, . . . , an) y las derivadas

parciales existen en cada punto de R ⊂ U . Puesto que a1, b1 ∈ [c1, d1] y|F ′1(x1)| ≤ M si x1 ∈ [c1, d1], aplicando a F1 el teorema del valor medio(2.22)(ii) se tiene que

|f(a1, a2, . . . , an)− f(b1, a2, . . . , an)| = |F1(a1)− F1(b1)| ≤M |a1 − b1|

Procediendo de igual modo con cada línea de (2.7) obtendríamos

|f(b1, . . . , bj−1, aj , . . . , an)− f(b1, . . . , bj , aj+1, . . . , an)|≤∑

M |aj − bj | = M‖a− b‖1.

Etapa 2:Veamos ya que la desigualdad anterior se verifica en el caso general. Para

ello vamos a utilizar el siguiente

Lema 2.28 Si el segmento [a, b] está contenido en el abierto U , entoncesexiste algún λ > 0 tal que para todo x ∈ [a, b], el n-cubo (cuadrado en R2)B∞[x, λ] está contenido en U .

En consecuencia es fácil ver que si p es un número natural tal que1p‖b− a‖∞ ≤ λ, los puntos del segmento [a, b]:

a = c0, c1 = c0 + 1p

(b− a), c2 = c1 + 1p

(b− a), . . . , cp = cp−1 + 1p

(b− a) = b

tienen la propiedad siguiente: Cada dos consecutivos pertenecen a un mis-mo n-cubo cerrado contenido en U . Entonces, conforme a lo probado en laEtapa 1 , se tiene:

‖f(a)− f(b)‖∞ ≤ ‖f(c0)− f(c1)‖∞ + ‖f(c1)− f(c2)‖∞ + · · ·≤M‖c1 − c0‖1 +M‖c2 − c1‖1 + · · ·

= M(1p‖a− b‖1 + 1

p‖a− b‖1 + · · · )

= M‖a− b‖1.

Demostración del Lema. Supongamos que para cada p existe un dp ∈ [a, b]y un yp ∈ B∞[dp, 1

p ] tal que yp ∈ U c. Sea dp = a + tp(b − a) con tp ∈ [0, 1].Puesto que [0, 1] es compacto la sucesión {tp} tiene una subsucesión {tpk

}


que converge a un punto s de [0, 1] y por lo tanto {dpk} converge al punto

d = a+ s(b− a) de [a, b] (comprobarlo como ejercicio). También

‖ypk− d‖∞ ≤ ‖ypk

− dpk‖∞ + ‖dpk

− d‖∞ ≤1pk

+ ‖dpk− d‖∞ → 0,

lo que nos dice que la sucesión {ypk} de puntos de U c converge a d. Pero esto

es absurdo, pues como d ∈ U y U es abierto cualquier sucesión que converjaa d debe tener sus términos a partir de uno en adelante contenidos en U .

Nota. Los teoremas 2.26 y 2.27 pueden extenderse a funciones con valores enun espacio normado de cualquier dimensión (F, ‖ ‖). En tal caso la hipótesissobre las derivadas parciales habría habría de ser

‖ ∂f∂xj

(x)‖ ≤M,

para cada x bien en (a, b) o en algún abierto conteniendo a [a, b], segúnestemos en las condiciones del Teorema 2.26 o en las del Teorema 2.27. Laconclusión, la misma:

‖f(b)− f(a)‖ ≤M‖b− a‖1.

La demostración de este hecho se deduce claramente del siguiente

Lema 2.29 Sea F un espacio normado y f : [a, b] ⊂ R → F una fun-ción continua en [a, b] y derivable en (a, b). Supongamos que existe al-guna constante M tal que ‖f ′(t)‖ ≤ M para todo t ∈ (a, b), entonces‖f(b)− f(a)‖ ≤M(b− a)

Hay varias demostraciones para este lema. Una de ellas, tomada básicamentedel libro de T.M. Flett [12], puede verse en Manual (Lema 8.10(2) y Teorema8.12). Otra puede verse en el libro de H. Cartan [5]. La demostración quedamos a continuación, quizá la más corta, es la que se basa en el potenteresultado del Análisis Funcional conocido como teorema de Hahn-Banach:

2.30 [Hahn-Banach] Sea (E, ‖ ‖) un espacio normado, L un subespaciovectorial de E y ϕ : L → R una forma lineal continua sobre L tal que|ϕ(u)| ≤ ‖u‖ para cada u ∈ L. Entonces ϕ puede extenderse a una formalineal y continua en todo E y tal que |ϕ(x)| ≤ ‖x‖ para cada x ∈ E.

http://matematicas.unex.es/~montalvo/Grado en Matematicas/bib.pdf

http://matematicas.unex.es/~montalvo/Analisis_Varias_Variables/apuntes/cap08.pdf

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Demostración Lema 2.29 Sea h = f(b)− f(a) ∈ F , L =< h > el subespaciovectorial de F generado por h y ϕ : L → R definida por ϕ(th) = t‖h‖. Esobvio que ϕ es lineal y continua sobre L y para cada u ∈ L, |ϕ(u)| = ‖u‖.Sea ϕ : F → R la extensión a F que nos proporciona el teorema de Hahn-Banach y, por tanto, satisfaciendo la desigualdad |ϕ(x)| ≤ ‖x‖ para todox ∈ E. Puesto que toda aplicación lineal y continua es diferenciable en cadapunto, la aplicación g = ϕ ◦ f es una función continua en [a, b] y derivableen (a, b) y que toma sus valores en R. Además,

|g′(t)| = |Dϕ(f(t))(f ′(t))| = |ϕ(f ′(t))| ≤ ‖f ′(t)‖ ≤M.

Por tanto, de 2.22(ii) se deduce que

‖f(b)− f(a)‖ = |ϕ(f(b)− f(a))| = |g(b)− g(a)| ≤M(b− a).

2.1. Consecuencias

2.31 Sea U un conjunto abierto convexo de Rn y f : U → Rp una funciónque admite derivadas parciales acotadas en U . Entonces f es lipschitzianaen U.

Demostración. Basta aplicar el apartado (i) del teorema anterior en el seg-mento [x, y] para cada x, y ∈ U .

2.32 Si todas las derivadas parciales de una función f : U ⊂ Rn → Rp sonnulas en el abierto conexo U , entonces f es constante sobre U .

Demostración. Por definición el abierto U se dice conexo si no se puededescomponer como unión de otros dos abiertos no vacíos y disjuntos. Seaa ∈ U y B = {x ∈ U : f(x) = f(a). Se trata de probar que B = U . Paraello, veamos en primer lugar que B es abierto, es decir que si x ∈ B entoncesB es entorno de x. Puesto que U es abierto, U es entorno de x y por tantoexiste alguna bola centrada en x, B(x, r(x)) contenida en U . Para que B seaentorno de x bastará ver que esta bola está contenida en B. Puesto que lasderivadas parciales son nulas (acotadas, por tanto, por M = 0) la funciónf debe ser, según 2.25, lipschitziana de constante de Lipschitz M = 0 encada abierto y convexo contenido en U , en particular en la bola B(x, r(x)).Es decir que si y ∈ B(x, r(x)) entonces ‖f(y) − f(x)‖ ≤ 0‖x − y‖, luegof(y) = f(x) y, como f(x) = f(a) ya que x ∈ B, se tiene que y ∈ B.

Con el mismo argumento se prueba que también U \ B es abierto, porlo que U se escribe como unión de los abiertos disjuntos B y U \ B. ComoU es conexo y B 6= ∅(a ∈ B), se tiene que U \B = ∅ o sea que B = U .


Proposición 2.33 Un conjunto abierto U de Rn es conexo si y sólo si esconexo por arcos i.e., si para cada x, y ∈ U existe una curva r : [α, β]→ Rnde extremos x = r(α); y = r(β) cuya traza está contenida en U .

Demostración. Ver Manual (Proposición 1.10).

2.34 [Condición suficiente de diferenciabilidad] Sea f : A ⊂ Rn →Rp, y a ∈

oA. Si f admite derivadas parciales, respecto a cualquier índice, en

un entorno del punto a y éstas son aplicaciones continuas en a, entonces fes lipschitziana en alguna bola centrada en a y diferenciable en a.

Demostración. Puesto que suponemos que las aplicaciones

∂fi∂xj

: x→ ∂f

∂xj(x)

son continuas en a debe existir alguna B(a, rij) tal que si x ∈ B(a, rij)entonces∣∣ ∂fi∂xj

(x)− ∂fi∂xj

(a)∣∣ ≤ 1 ⇒

∣∣ ∂fi∂xj

(x)∣∣ ≤ 1+

∣∣ ∂fi∂xj

(a)∣∣ ≤M = (1+max

i,j

∣∣∂fi∂xi

(a)∣∣).

Tomando r = mın rij , de 2.31 se deduce entonces que f es lispchitziana enB(a, r).

Para que f sea diferenciable en a hemos de ver que

(2.8) lımx→a

f(x)− f(a)−∑nj=1

∂f∂xj

(a)(xj − aj)‖x− a‖

= 0.

Para ello vamos a aplicar de nuevo 2.31 a la función

g(x) = f(x)− f(a)−n∑j=1

∂f

∂xj(a)(xj − aj).

Es claro que∂gi∂xj

(x) = ∂fi∂xj

(x)− ∂fi∂xj

(a).

Por tanto, aplicando el hecho de que las derivadas parciales de f son con-tinuas en a, se tiene que para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que six ∈ V = B(a, δ) entonces

∣∣ ∂gi∂xj

(x)∣∣ =

∣∣ ∂fi∂xj

(x)− ∂f

∂xj(a)∣∣ ≤ ε, ∀i, j.

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Se deduce, pues, que la función g cumple en V las hipótesis de 2.31, luegoes lipschitziana en V . En particular, si x ∈ V

‖g(x)− g(a)‖∞ =∥∥f(x)− f(a)−

n∑j=1

∂f

∂xj(a)(xj − aj)

∥∥∞ ≤ ε‖x− a‖1,

que, obviamente, significa que f satisface la condición 2.8.

Nota. Obsérvese que del hecho de que la función g de la demostración an-terior sea lipschitziana en V , se deduce que

lım(x,y)→(a,a)

f(x)− f(y)−∑nj=1

∂f∂xj

(a)(xj − yj)‖x− y‖

= 0.

Una función que satisface la condición anterior se dice que es estrictamentediferenciable en a. Por lo tanto, se ha demostrado que si f es una funcióncuyas derivadas parciales son continuas en a, entonces f es algo más dediferenciable en a, es estrictamente diferenciable en a.

Consecuencia inmediata del teorema anterior es el siguiente

Corolario 2.35 Si todas las derivadas parciales de una función f son con-tinuas en un abierto U de Rn entonces f es locamente lipschitziana y dife-renciable en U .

Definición 2.36 (Función de clase C1) Sea A un subconjunto de Rn.Una función f se dice de clase C1 sobre A, lo cual lo expresaremos conla notación f ∈ C1(A), si f admite derivadas parciales en algún abierto quecontiene a A y éstas son continuas en cada punto de A.

El siguiente corolario es consecuencia directa del teorema anterior:

Corolario 2.37 Si f es una función de clase C1 sobre A entonces f esdiferenciable en cada punto de A.

2Q La Diferencial de Fréchet 53

Ejercicios2N (a) Probar que si ‖ · ‖ es una norma cualquiera sobre Rn, entonces la apli-

cación x → ‖x‖ es una aplicación lipschitziana que no admite derivadasdireccionales en 0.

(b) Sea U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} \ {0} × [0, 1], y consideremos la funciónf definida sobre U por

f(x, y) ={y2 si x > 0 e y ≥ 00 en otro caso

Probar que U es un abierto conexo (no convexo) sobre el que f es continua,admite derivadas parciales acotadas, pero no es lipschitziana.

2Ñ (a) Probar que si f es una función lipschitziana sobre un abierto U de Rn yadmite derivadas parciales, respecto a cualquier índice, en todo punto de U ,entonces sus derivadas parciales están acotadas en U .

(b) Estudiar si la función f(x, y, z) = sen(x2 − y2 + z2) es lipschitziana o local-mente lipschitziana en R3.

2O (a) Probar que toda aplicación lipschitziana f : A ⊂ E → F, donde E y Fson espacios de Banach, se extiende a una aplicación lipschitziana sobre A.

(b) Sean A, B dos conjuntos no vacíos de un espacio normado, con B ⊂ A, ysupongamos que cada uno de los conjuntos B,A \ B y A es convexo. Pro-bar entonces que una aplicación f es lipschitziana sobre A si y sólo si eslipschitziana sobre B y sobre A \B.

(c) Estudiar si las aplicaciones

f(x, y) = sen |x− y|, g(x, y, z) = sen |x2 + y2 − z2|

son lipschizianas o localmente lipschitzianas.

2P Consideremos la función

f(x, y) ={x sen ln(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Probar que f es una función continua en todo punto, que admite derivadas parcialesacotadas en R2 \ (0, 0) ¿Es lipschitziana?

2Q (a) Sea U un abierto convexo de Rn y supongamos que f, g : U → Rp sondos funciones tales que, en cada punto x ∈ U , ∂fi/∂xj(x) = ∂gi/∂xj(x),cualesquiera que sean los índices i, j. Probar entonces que las funciones f yg se diferencian en una constante.

54 La Diferencial de Fréchet 2Q

(b) Determinar las funciones f : R2 → R que satisfacen las ecuaciones

∂f

∂x(x, y) = 1 ; ∂f

∂y(x, y) = y, ∀(x, y).

2R Sea I un intervalo abierto de R, U un abierto de Rn y f : (t, x) ∈ I×U → f(t, x)una función escalar. Demostrar que si

∂f

∂t(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ I × U

entonces f no depende de t, es decir f(t1, x) = f(t2, x) cualesquiera que seant1, t2, x.


3. Derivadas parciales de orden superior

Conviene tener presente que, por convenio, una función f derivable (aun-que sea parcialmente) en un punto a debe estar definida en un entorno dea. Recordemos también que la derivada parcial ∂f/∂xj(a), coincide con laderivada en el punto aj de la aplicación:

xj → f(a1, . . . , aj−1, xj , aj+1, . . . , an).

Sea f : A ⊂ Rn → F, a ∈oA. Llamaremos derivada parcial segunda de

f respecto a xi y xj en el punto a, a la derivada respecto xi de la función∂f/∂xj en el punto a. Abreviadamente

∂2f

∂xi∂xj(a) = ∂

∂xi

( ∂f∂xj

)(a).

Se deduce, pues, que la función f es derivable respecto a las variables xi yxj en el punto a, si y sólo si la aplicación

∂f

∂xj: x→ ∂f

∂xj(x)

está definida en algún entorno de a y admite derivada parcial respecto a xien el punto a.

Más generalmente, si j1, j2, . . . , jr son números naturales (independientesentre sí) comprendido entre 1 y n, definiremos inductivamente

∂rf

∂xj1 . . . ∂xjr(a) = ∂

∂xj1

( ∂r−1f

∂xj2 . . . ∂xjr

)(a).

Cuando el resultado final de una derivación parcial sólo dependa del númerode veces que se deriva respecto a cada variable, y no del orden en que serealiza tal proceso (esto no sucederá siempre), cabe utilizar una notaciónabreviada para designar a las derivadas parciales de orden superior. Así, enese caso, utilizaremos la expresión

∂rf

∂xi11 ∂xi22 . . . ∂x

inn

(a),

para denotar al resultado de efectuar r derivaciones parciales: in respecto axn , in−1 respecto a xn−1, etc. y por último i1 derivaciones respecto a x1.Por tanto i1 + i2 + · · ·+ in = r. Algunos de los ik pueden ser iguales a 0, lo


que expresará que no se realiza derivación alguna respecto a la variable xk(en cuyo caso omitiremos en la expresión anterior el término ∂xikk ).

El teorema más clásico en relación al problema de la permutabilidad delas derivadas es el conocido como teorema de Schwarz o de las derivadasparciales segundas cruzadas.

Teorema 2.38 (Schwarz) Sea f una función escalar de dos variables. Su-pongamos que para cada (x, y) de alguna bola centrada en el punto (a, b),existen

∂f

∂x(x, y), ∂f

∂y(x, y), ∂2f

∂x∂y(x, y),

y que la aplicación ∂2f

∂x∂yes continua en (a, b). Entonces también existe la

otra derivada cruzada en (a, b), y se verifica que

∂2f

∂y∂x(a, b) = ∂2f

∂x∂y(a, b).

Una útil consecuencia del teorema de Schwarz es el siguiente resultadopara funciones de n-variables:

Corolario 2.39 Si todas las derivadas parciales de orden r de la funciónescalar f de n-variables existen en algún entorno de un punto a y son fun-ciones continuas en a, entonces cada derivada parcial de orden r de f en aes independiente del orden en que se efectúen las derivaciones.

(Ver Apuntes 2010: Teoremas de Schwarz).Observemos que la condición del corolario anterior para r = 1 es justa-

mente la que denominábamos çondición suficiente de diferenciabilidad"(2.34).En la proposición siguiente vemos qué consecuencias se derivan ahora de estacondición sobre las derivadas de orden r.

Proposición 2.40 Sea f : A ⊂ Rn → Rp, y a ∈oA. Si todas las derivadas

parciales de orden r de la función f existen en algún entorno del punto a yéstas son aplicaciones continuas en a, entonces:

1. Cada derivada de orden r−1 de f , ∂r−1f , es una función lipschitzianaen algún entorno de a (luego continua en cada punto de ese entorno)y diferenciable en a.

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2. f y cada derivada parcial de orden s < r− 1 es diferenciable en algúnentorno de a.

Demostración. Consideremos una derivada de orden r−1, ∂r−1f . Llamemos,por ejemplo, ϕ a esta aplicación. Entonces la función ϕ satisface la condiciónsuficiente de diferenciabilidad, ya que ∂ϕ

∂xjno es otra cosa que una derivada

parcial de orden r de f (que por hipótesis es continua en a):

∂ϕ

∂xj= ∂

∂xj(∂r−1f) ≡ ∂rf.

Por tanto, según (2.34) ϕ(= ∂r−1f) es lipschitziana en alguna bolaB(a, δ) y diferenciable en a.

Con el mismo argumento, aplicado ahora a cada ∂r−1f , que es continuaen cada punto x ∈ B(a, δ), se tiene que cada ∂r−2f es diferenciable enx. Y así sucesivamente, cada ∂r−3f, . . . , ∂f∂xj

y, finalmente, también f , sondiferenciables en cada x ∈ B(a, δ).

Definición 2.41 (Función de clase Cr) Sea A un subconjunto de Rn.Una función f se dice de clase Cr (r ∈ N \ {0}) sobre A, lo cual lo ex-presaremos con la notación f ∈ Cr(A), si f admite derivadas parciales deorden r en algún abierto que contiene a A y éstas son continuas en cadapunto de A.

De acuerdo con el resultado tipo teorema de Schwarz del corolario ante-rior y la Proposición pro:condicion Tr es obvio que

Corolario 2.42 Si f es una función de clase Cr sobre un conjunto A, en-tonces en el cálculo de la las derivadas parciales de orden r de la función fen cada punto de A o en el las derivadas de orden s < r en cada punto x dealgún abierto que contiene a A, no importa el orden en que se efectúen lasderivaciones.

58 La Diferencial de Fréchet 2S

Ejercicios2S Comprobar si en las funciones siguientes se da la igualdad entre las derivadasparciales cruzadas en (0, 0). Estudiar en cada caso si se satisfacen las condicionesdel teorema de Schwartz.

1. f(x, y) = xyx2 − y2

x2 + y2 ; f(0, 0) = 0.

2. f(x, y) = x2y2 cos 1/x ; f(0, y) = 0.

3. f(x, y) = x2y2 sen 1xy2 ; f(x, 0) = f(0, y) = 0.

2T Consideremos los operadores diferenciales

∇ f = ( ∂f∂x1

, . . . ,∂f

∂xn) ; ∆f = ∂2f

∂x21

+ · · ·+ ∂2f

∂x2n

H f = x1∂f

∂x1+ · · ·+ xn

∂f

∂xn; div(F1, . . . , Fn) = ∂F1

∂x1+ · · ·+ ∂Fn

∂xn

rot(F1, F2, F3) = ∇× F =(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)A los operadores anteriores se les conoce, en el orden en que han sido definido, comooperador: Gradiente, Laplaciano, Hamiltoniano, Divergencia y Rotacional.

Supuesto que se pueden permutar las derivaciones, demostrar que

1. ∆ f = div∇f 2. div(rotF ) = 0.3. H ∆−∆ H = −2 ∆ 4. ∆ f = 0 ⇒ ∆ ∆((x2

1 + · · ·+ x2n)f) = 0.

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