La derivada direccional de f en en la dirección de un vector unitario u= <a,b> es

si el límite existe.

Teorema

Si f es una función diferenciable de y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u= <a,b> y

Nota: Si u= <a,b> es un vector unitario

Demostración: Si definimos una función g de la variable individual h por

g(h) =

entonces, por la definición de una derivada tenemos

Por otra parte podemos escribir g(h) = f (x,y), donde x= , de modo que la regla de la cadena da

si ahora podemos h=0, entonces x = , y= y

g'(0) =

comparando las ecuaciones veremos que

si el vector unitario u= <a,b> forma un ángulo θ con el eje x positivo (como se ve en la siguiente figura)

entonces escribimos u= <cosθ, senθ> y lfa formula se convierte en

Minimización de la derivada direccional

En una funcion "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" cambia mas lento y encontrar la mínima razon de cambio.

Teorema

Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor mínimo de la derivada

direccional es . La dirección de menor incremento en la función

"f" esta dado por

--Kinglacho 23:33 30 sep 2010 (CST)

Maximización de la derivada direccional

En una función "f" de tres variables, existen varias derivadas direccionales en un punto determinado. El siguiente teorema sirve para encontrar la dirección en que "f" tiene una la mayor razón de cambio.

Teorema

Al ser "f" es una función diferencial de tres variables, el valor máximo de la derivada

direccional es . La dirección de mayor incremento en la función "f"

esta dado por

Ejemplo # 1

Encontrar la derivada direccional para:

y u es el vector unitario dado por el ángulo

Cual es ?

Solución

Utilizando la primera ecuación

Por tanto

Ejemplo # 2

Suponer que se está escalando una montaña cuya forma está dada por la

ecuación y sus coordenadas son: . Calcular la dirección que debe tomar al principio para alcanzar la cima con más rapidez y su valor máximo.

Respuesta: Observar que de acuerdo a la definición, la derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores

uEl primer vector en este producto punto se presenta no sólo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, Gradiente de , y una notación especial (grad o tambien , que se lee "el gradiente de " )

a)

b)

Ejemplo # 3

Determinar la derivada direccional de en el punto dado en dirección que indica el ángulo

En el punto: , y

Entonces, sustituyendo obtenemos:

Ejemplo # 4

Resolver:

Entonces, se obtienen los puntos críticos:

Igualamos a 0, y despejando x, nos quedaría x = 1

Igualamos a 0, y despejando y, nos quedaría y = 3

Nuestros nuevos puntos , y finalmente:

Ejemplo # 5

Encuentre la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector

en el punto , siendo:

Primero calculamos el vector gradiente en

Ahora, como v, no es unitario, entonces:

=

Entonces:

Este resultado es la razón de cambio instantáneo cuando estamos en el punto .

Ejemplo # 6

Encontrar la derivada direccional para:

siendo el vector unitario dado por

Cual es ?

Solución

Utilizando la primera ecuación:

Entonces obtenemos:

Ejemplo # 7

Encontrar la derivada direccional para:

siendo el vector unitario dado por en el punto

Solución

Utilizando la primera ecuación :

Entonces:

Ejemplo # 8

Determinar la derivada direccional de la función en el punto dado en dirección que indica el ángulo

en el punto y siendo

Entonces, partiendo de:

Obtenemos:

Ejemplo # 9

Determinar el gradiente de , evaluarlo en el punto y encontrar la razón de cambio de en en la dirección del vector

en el punto , siendo

y sabiendo que: , obtenemos:

Entonces, la razón de cambio en la dirección del vector es:

Obteniendo: y la razón de cambio es:

Ejemplo # 10

Calcular la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector

en el punto y siendo</tex>

Unitarizando a , obtenemos:

Seguidamente:

Y sabiendo que , se obtiene finalmente:

Entonces

Video de Derivadas Direccionales de MIT (ver a partir del minuto 30)

Ejemplo # 11

encuentre la derivada direccional en el punto P, en direccion de V:

unitarizamos el vector de la siguiente manera y solo tomamos los valores reales:

derivadas parciales de la funcion:

sustituimos en Duf y encontramos la derivada dirreccional:

Ejemplo # 12

Encuentre la derivada direccional en direccion de

derivada de la funcion respecto de "x" y "y":

dejamos indicada la respuesta ya q no podemos sustituir los valores de un punto especifico:

--Hersonjmc 13:28 31 ago 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 13

encuentre el gradiente y el valor, maximo de la funcion en el punto A:

derivada respecto de "x" y "Y" de la funcion y sustituimos el punto A:

el gradiente seria:

entonces el valor maximo de la funcion en dicho punto seria el modulo del vector gradiente:

Ejemplo # 14

(a) Si determine la razon de cambio de "f" en el punto en la

direccion de

(b) ¿en que direccion "f" tiene la maxima razon de cambio? ¿cual es esta maxima razon de cambio?

(a) primero calcule el vector gradiente:

El vector unitario en la

direccion de es , de modo que la razón de cambio de “f” en la dirección en la dirección de P a Q es

(b) De acuerdo con el teorema , “f” se incrementa mas rapido en la direccion del vector

gradiente . La razón de máximo cambio es

Ejemplo 15

La temperatura en un punto (x,y,z) en el espacio esta dado por:

donde T esta medido en grados Celsius x, y, z, están medidos en metros ¿en qué dirección aumenta más rápido la temperatura en el punto (1, 1, -2)? ¿cual es la máxima tasa de incremento?

gradiente calculado en un vector:

Ejemplo # 16

Calcule la derivada direccional de: en el punto: con dirección:

Sacamos la derivada parcial respecto de x, y valuamos en el punto

Sacamos la derivada parcial respecto de y, y valuamos en el punto

Por ultimo sacamos la derivada direccional:

Ejemplo #17

Encuentre la derivada direccional de , en el punto , en dirección del vector

Donde

Entonces obtenemos: