(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 1

CÁLCULO DE DERIVADAS. FUNCIÓN DERIVADA

Introducción:

Sen este grande avance (intelectual), a ciencia e a tecnoloxía non acadaría o seu desenvolvemento actual.

Foi alá polo século XVII, cando Isacc Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, chegaron por separado e independentemente, ó descubrimento das derivadas.

Cómo xa mencionamos, no tema das funcións elementais, moitos fenómenos ou situacións se podendescribir coas funcións, agora ben, para chegar a estas funcións, tratouse de dar resposta a problemas onde aparecen procesos de cambio ou variacións, o cal lévanos ó concepto de derivada.Moitos fenémenos físicos, biolóxicos, económicos, etc, responden a modelos matemáticos, ecuacións onde aparecen funcións, xunto coas derivadas de dita función, son as chamadas ecuaciónsdiferenciais (que se estudan en cursos de Matemática Superior). Vexamos un modelo deste tipo de ecuación diferencial (moi sinxelo):

y '=k⋅y , que ten por solución a función: y=e k x (compróbase cando saibas derivar , que derivando a función cumple a ecuación diferencial).A ecuación diferencial, interpretámola como: unha certa función que varia respecto da variable independente, de forma proporcional á función dada.

Por exemplo, serve para resolver o problema da desintegración radioactiva, xa que a cantidade de substancia varia co tempo, en relación ou de forma proporcional á cantidade de substancia que temos en cada momento, logo obtense como función que resolve o problema:

N t =N0⋅e−k x , sendo N0 a cantidade de átomos no instante inicial, e k a constante

radioactiva (indica a razón de desintegración de cada elemento).

N0 N(t)=N

0e-kt

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 2

Taxa de variación media (ou razón de cambio promedio):

Dada a función y=f x , a taxa de variación media de f(x) no intervalo [a , b] defínese como o cociente:

TVM f [a, b ]=f b−f a

b−a

A taxa de variación media coincide coa pendente da recta secante á gráfica da función nos puntos:a , f a e b , f b

Exercicio: Calcula as TVM das funcións nos intervalos que se indican:

a) f x=x2−2x , en [0, 1] . b) gx =2x2−1 , en [−1, 1]

Taxa de variación instantánea: Derivada dunha función nun ptunto.

En moitas ocasións, os valores da taxa de variación media no intervalo tenden a un valor numériico constante, debido a que o extremo final do intervalo se achega cada vez máis o extremo inicial a,é dicir trátase dun proceso de paso ó límite, o que leva a definir a taxa de variación instantánea da función f(x) no punto x = a, se expresamos o punto b=ah , facer que b a ⇔ h0 :

TVI f a=limba

f b−f a

b−a= lim

h0

f ah−f a

h

Este número, é a derivada da función f no punto x = a.

E represéntase como f ' a=D [ f a]=d

dxf a .

(a, f(a))

(b, f(b))

b - a

f(b) - f(a)

a b

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 3

Así, a derivada dunha función f no punto x = a é:

f ' a =limba

f b−f a

b−a= lim

h0

f ah−f a

h

(que coíncide coa taxa de variación instantánea). Se o límite anterior existe, dise que a función é derivable en x = a.

INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA DA DERIVADA:

A derivada dunha función f nun punto a , coincide coa pendente da recta tanxente á gráfica no puntode abscisa x=a :

D [ f a]=f ' a=mrecta tanxente en a

Xa que, a pendente das rectas secantes, cando o punto b a , tenden á derivada f ' a ,

posto que: m recta secante1 =f b−f a

b−a⇔ lim

ba

f b −f a

b−a= f ' a e como vemos na

gráfica, as rectas secantes a medida que b se achega a a, tenden á recta tanxente.Así o límite das

pendentes das secantes, b a , tenden á pendente da recta tanxente: f ' a=mrecta tanxente en a .

a b b2

b3

y =f(x)

(a, f(a))

(b, f(b))

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 4

Exemplos: Obter as derivadas das funcións nos puntos que se indican:

a) f x=x2 , en a=1

f ' 1= limh0

f ah−f a

h= lim

h 0

f 1h−f 1

h= lim

h0

1h2−1

2

h

limh0

12hh2−1h

= limh0

2h = 2 ⇔ f ' 1 =2 .

b) f x=sen x , en a=0

f ' 0 = limh0

f ah−f a

h= lim

h0

f 0h−f 0

h= lim

h0

senh−sen 0

h

⇔ limh0

sen h−0h

= limh0

senh

h= 1 , ⇔ f ' 0 =1

xa que é o limite notable: limx 0

senx

x= 1

c) f x=1x

, en a=−1

f ' −1= limh0

f −1h−f −1

h= lim

h0

1−1h

−1

−1h

= limh0

1−1h−1h

h

limh0

hh−1h

= limh0

1−1h

=−1 , ⇔ f ' −1 =−1 .

Observación: Na práctica, non se acostuma utilizar a definición para obter as derivadas, usaremos as regras e técnicas que estudiaremos máis adiante.

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 5

Función derivada: (Ou derivada primeira de f)

Se unha función ten derivada en todos os puntos do seu dominio, entón pódese construir unha nova función, que asigna a cada punto do dominio a súa derivada:

x∈Dom f f ' x

f ' x =limh0

f xh−f x

h

Esta función chámase función derivada de f ou simplemente, a derivada de f, denotámola por f'.

Observación: Non debemos confundir os conceptos de derivada dunha función nun punto, coa función derivada, no primeiro caso trátase dun número real, e no segundo dunha función. Será o contexto o que nos indicará se se trata dunha ou outra.

Derivadas sucesivas: (ou derivadas de orde superior)

Do mesmo xeito que antes, podemos construir a función que asigna a derivada da función derivadade f, en tal caso falamos da derivada segunda de f, e denotarémola como f ''.

x∈Dom f ' f ' ' x ⇔ f ' ' x =limh0

f ' xh−f ' x

h

O proceso pódese reiterar, logo falaríamos da derivada terceira de f, neste caso: f'''. …,etc.

Derivadas laterais:

Defínese as derivadas laterais pola esquerda e pola dereita, respectivamente, dunha función f no punto x = a, como os límites:

f ' a ⁻ = limh0⁻

f ah−f a

h ; f ' a ⁺ = lim

h0⁺

f ah−f a

h

Así pois, se as derivadas laterais existen e valen o mesmo, entón a función f é derivable en a, e se non coinciden, f non é derivable en a.

Notar: Se unha función ten derivada nun punto, ten recta tanxente non vertical (pois a derivada é unvalor real), nese punto, e non importa por onde nos achegemos ó punto, é dicir, non pode ter dúas tanxentes

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 6

Propiedade: (Toda función derivable, é continua) Se existe f'(a), entón f é continua en a. O recíproco non se cumple, é dicir, ser continua nun punto, non implica que a función sexa derivable nese punto.

Xa que, se existe a derivada temos que: f ' a =limh0

f ah−f a

h , é un número, e como o

denominador tende a cero, o numerador tamén ten que tender a cero, é dicir:

limh0

f ah−f a =0 ⇔ limh0

f ah =f a , logo continua en x = a.

Exemplo: función continua non derivable en x = 0. y=∣x∣={−x , x≤0x , x0

A función valor absoluto, é continua en x = 0, pero non é derivable neste punto, posto que ten dúas tanxentes distintas, cando nos achegamos pola esquerda ten unha pendente -1, e cando o facemos pola dereita ten pendente 1. Esto é ten derivadas laterais distintas, logo non é derivable en x = 0

f ' 0 ⁻ = limh0⁻

−0h−0h

= limh0⁻

−hh

=−1 . E por outra parte,

f ' 0 ⁺ = limh0⁺

0h−0h

= limh0⁺

hh

= 1 .

Este tipo de puntos chámanse angulosos, teñen dúas tanxentes, a gráfica da función se pega ben, logo son continuas nestos puntos, pero non son derivables. ( As tanxentes nos indican que as derivadas laterais non son iguais).

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 7

Exemplo:

Sexa a función f x={ x23 , se x≤1

– x5 , se x1 . Comprobar se é continua e derivable en x = 1.

Solución:

Vexamos que é continua, logo os límites laterais existen e teñen o mesmo valor que a función no punto x =1 :

f 1=123= 4 = limx 1⁻

x23 = 4 = f 1⁻ e tamén: f 1⁺ = limx 1⁺

−x5 = 4

Logo continua no punto x =1.

Vexamos si é derivable, esto é, se coinciden as derivadas laterais:

f ' 1⁻ = limh0 ⁻

1h23−1²3

h= lim

h0 ⁻

12hh23−1−3h

= limh0⁻

2h =2

f ' 1⁺ = limh0 ⁺

−1h5−−15

h= lim

h0⁺

−1−h51−5h

= limh0⁺

−hh

=−1 , polo tanto, como as derivadas laterais son distintas a función non é

derivable no punto x =1.

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 8

REGRAS DE DERIVACIÓN:

Derivada dunha suma (ou resta): f x±g x ' = f ' x ±g ' x

Non é máis, que ter en conta as propiedades dos límites de funcións:

Chamemos F x=f xg x logo

F ' x =limh 0

F xh−F x

h=lim

h0

f xhgxh−f x −gx

h =

limh0

f xh−f x g xh−g x

h= lim

h0

f xh−f x

h lim

h0

g xh−g x

h= f ' xg ' x

Esto é, a derivada dunha suma (resta) é igual á suma (resta) das derivadas.

Derivada dunha constante por unha función: F x=k⋅f x , sendo k∈ℝ

F ' x= k⋅f ' x

Xa que:

F ' x =limh 0

F xh−F x

h=lim

h0

k⋅f xh−k⋅f x

h=lim

h 0k

f xh−f xh

=

= k⋅limh0

f xh−f xh

= k⋅f ' x .

Esto é, a derivada dun número por unha función, é o número pola derivada da función.

Derivada do cadrado dunha función: F x=[ f x ]2 ⇒ F ' x =2 f x ⋅f ' x

Aplicamos a definición:

F ' x =limh 0

F xh−F x

h=lim

h0

f 2 xh−f 2 x

h=lim

h0

f xhf x f xh−f x

h

Pois temos unha diferenza de cadrados, que é o mesmo que suma por diferenza; e aplicando as propiedades dos límites:

= limh0f xh f x ⋅lim

h0

f xh−f xh

= 2 f x⋅f ' x

Partimos, de que a función é derivable , logo é continua, por isto o primeiro límite tende a 2 f(x).

(Esta propiedade tamén se pode deducir, unha vez que vexamos a derivada da función potencia e daregra da cadea.)

(1º BAC. Mat. Aplicadas). - TEORÍA: Derivadas.- 9

Función potencia: Se f x =xn ⇒ f ' x =n⋅xn−1

(Este resultado é válido, aínda que o expoñente non sexa un número natural.)

f ' x =limh0

f xh−f xh

=limh0

xhn−xn

h=lim

h0

xnn xn−1 hh2 ⋯−xn

h

Tendo en conta o binomio de Newton: abn=n0 ann1a

n−1⋅bn2a

n−2⋅b2⋯nnb

n .

Así, logo de simplificar, todas as potencias de orde superior a 1 en h tenden a cero, logo só nos queda o termo con h, é dicir:

f ' x =limh0

n xn−1 hh2⋯

h=lim

h0n xn−1

h2⋯

h=nxn−1 .

A derivada do producto: f x⋅gx '=f ' x⋅g x f x⋅g ' x

Vexamos como deducir esta expresión:

Se temos en conta o cadrado da suma: [ f xgx 2 ]

', podemos derivar de dúas formas, se

desenvolvemos o cadrado ou sen desenvolver:

f 22 f⋅gg2 ' =2 f⋅f '2 f⋅g '2 g⋅g '

e tamén:

2 f g⋅f g '=2f g⋅ f 'g ' =2 f f '2 f g '2 g f '2 gg '

De onde igualando as expresións, e dexpesando:

2 f f '2 f g '2g f '2 gg '= 2 f⋅f '2 f⋅g'2g⋅g ' ⇒ f⋅g ' = f '⋅g f⋅g '

A derivada do cociente: f xg x

'

=f ' x⋅g x −f x⋅g ' x

gx 2

Vexamos, posto que podemos expresar: f =fg⋅g e derivando este producto, resulta:

f ' = fg⋅g

'

=fg⋅g 'g⋅ f

g '

⇒ fg

'

=

f '−fg⋅g '

g=

f ' g−f g '

g2