La conjetura de Poincaré y la forma del universo
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“La conjetura de Poincaré y la forma del universo”
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conjetura, universo
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“La conjetura de Poincaré y la forma del universo”
Presentación preparada por:
Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.
C I M A T
“La conjetura de Poincaré y la forma del universo”
Raúl Gómez Muñoz, Luis Hernández Lamoneday Adolfo Sánchez Valenzuela
Presentación preparada por:
Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.
C I M A T
“La conjetura de Poincaré y la forma del universo”
Raúl Gómez Muñoz, Luis Hernández Lamoneday Adolfo Sánchez Valenzuela
“ T h e s h a p e o f s p a c e ”
d e l a u t o r J e f f r e y R . We e k s
Texto recomendado para los interesados:
P l an i l and i a y E spac io l and i a
P l an i l and i a y E spac io l and i a
Planícolas y Espaciócolas
h a b i t a n t e s
P l an i l and i a y E spac io l and i a
Planícolas y Espaciócolas
h a b i t a n t e s
universo plano(2-D)
P l an i l and i a y E spac io l and i a
Planícolas y Espaciócolas
h a b i t a n t e s
universo plano(2-D)
universo tridim’l(3-D)
Cómo pensar el cambio de dos dimensiones a
tres?
MESAESTUFA
SILLON
TV
CAMA
BURO
SILLA
ESTUFA
SILLON
TV
CAMA
BURO
SILLA
MESA
MESA
DESAPARECE LA
MESA
APARECE LA
MESA
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.18/18
2D vs. 3D
Cómo pensar el cambio de dos dimensiones a
tres?
MESAESTUFA
SILLON
TV
CAMA
BURO
SILLA
ESTUFA
SILLON
TV
CAMA
BURO
SILLA
MESA
MESA
DESAPARECE LA
MESA
APARECE LA
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Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.18/18
2D vs. 3D
Cómo pensar el cambio de dos dimensiones a
tres?
MESAESTUFA
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DESAPARECE LA
MESA
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Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.18/18
2D vs. 3D
Cómo pensar el cambio de dos dimensiones a
tres?
MESAESTUFA
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CAMA
BURO
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ESTUFA
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CAMA
BURO
SILLA
MESA
MESA
DESAPARECE LA
MESA
APARECE LA
MESA
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.18/18
2D vs. 3D
Los planícolas suponían que su universo era un plano
que se extendía infinitamente.
Los planícolas suponían que su universo era un plano
que se extendía infinitamente.
Los planícolas suponían que su universo era un plano
que se extendía infinitamente.
Un físico llamado Albert PLANSTEIN, pensó que las figuras unidimensionales en el plano podrían
ayudarle a entender mejor la forma de planilandia,...
Planstein estudió las rectas y las circunferencias
Planstein estudió las rectas y las circunferencias
y escribió un libro llamado “Rectilandia” donde habitaban los “rectícolas”,...
Planstein estudió las rectas y las circunferencias
y escribió un libro llamado “Rectilandia” donde habitaban los “rectícolas”,...
... y se dió cuenta de que un posible universo unidimensional sin fronteras podía tener longitud finita.
Planstein propuso entonces una teoría sobre la estructura y naturaleza de planilandia,...
Planstein propuso entonces una teoría sobre la estructura y naturaleza de planilandia,...
“El universo planícola tiene una área finita,no tiene frontera alguna
y se ve igual en todas las direcciones.” Albert Planstein
Planstein propuso entonces una teoría sobre la estructura y naturaleza de planilandia,...
“El universo planícola tiene una área finita,no tiene frontera alguna
y se ve igual en todas las direcciones.” Albert Planstein
(figura realizada porun espaciócola)
A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,...
A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,...
Pero había un viajero, Cuadróbal Colón, que pensó:
A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,...
Pero había un viajero, Cuadróbal Colón, que pensó:
La teoría de Planstein podría ponerse a prueba,...
A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,...
Pero había un viajero, Cuadrobal Colón, que pensó:
Podría ser que viajando hacia el oeste regresemos al punto de partida por el este,...
La teoría de Planstein podría ponerse a prueba,...
Cuadróbal Colón realizó su viaje,....
Cuadróbal Colón realizó su viaje,....
Viajó hacia el oeste y regresó por el este,...
Cuadróbal Colón realizó su viaje,....
Viajó hacia el oeste y regresó por el este,...
Pero los escépticos dijeron:
“ ¡¡Nooaahh!! ... Colón viajó siguiendo una amplia circunferencia,...”
Pero para los optimistas seguidores de Planstein,
el experimento de Cuadróbal Colónapuntaba en una dirección prometedora,...
Pero para los optimistas seguidores de Planstein,
(con una pequeña ayuda de un dibujo espoaciócola)
el experimento de Cuadróbal Colónapuntaba en una dirección prometedora,...
Extendiendo infinitamente al norte y al surla figura anterior la superficie resulta infinita,...
Extendiendo infinitamente al norte y al surla figura anterior la superficie resulta infinita,...
Cuadróbal Colón decidió realizar un nuevo experimento:
Extendiendo infinitamente al norte y al surla figura anterior la superficie resulta infinita,...
viajar hacia el norte, esperando regresar por el sur,...
Cuadróbal Colón decidió realizar un nuevo experimento:
Cuadróbal Colón realizó este nuevo viaje,....
Cuadróbal Colón realizó este nuevo viaje,....
Viajó hacia el norte y regresó por el sur,...
Cuadróbal Colón realizó este nuevo viaje,....
Viajó hacia el norte y regresó por el sur,...
Pero los escépticos dijeron:
“ ¡¡Nooaahh!! ... Colón viajó siguiendo otra amplia circunferencia,...”
Pero los optimistas seguidores de Plansteinse pusieron felices,...
(el universo planícola podría explicarsecon la siguiente imagen espaciócola)
Pero había una gran misterio,...
Pero había una gran misterio,...
A pesar de haber marcado sus rutas de rojo y azul,
Pero había una gran misterio,...
A pesar de haber marcado sus rutas de rojo y azul,
¡ Cuadróbal Colón nunca encontró más de un cruce rojo y azul !
Planstein tuvo que reformular su teoría del universo:
Planstein tuvo que reformular su teoría del universo:
Planilandia no es un plano, ni un cilindro, ni una esfera,...
Planstein tuvo que reformular su teoría del universo:
Planilandia no es un plano, ni un cilindro, ni una esfera,...
Planilandia es,... ¡ un “torito” !
Planstein tuvo que reformular su teoría del universo:
Planilandia no es un plano, ni un cilindro, ni una esfera,...
Planilandia es,... ¡ un “torito” !
(que con ayuda de una imagen espaciócolase puede entender así:)
El “toro”
¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
(Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé)
¡Clasifiquemos todas las posibles formas del universo!
Estructuras algebraicas de las conexas de toros
!
. . . . . . .
• PRIMER TEOREMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES 2-D: CUALQUIER
superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
conexa de toros
• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
El geómetra y topologo H. Plancaré
se dió a la tarea de
clasificar todas las posibles formas de planilandia
Estructuras algebraicas de las conexas de toros
!
. . . . . . .
• PRIMER TEOREMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES 2-D: CUALQUIER
superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
conexa de toros
• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
¡ Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación !
+
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¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
(Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé)
¡Clasifiquemos todas las posibles formas del universo!
Estructuras algebraicas de las conexas de toros
!
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• PRIMER TEOREMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES 2-D: CUALQUIER
superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
conexa de toros
• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
El geómetra y topologo H. Plancaré
se dió a la tarea de
clasificar todas las posibles formas de planilandia
Estructuras algebraicas de las conexas de toros
!
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• PRIMER TEOREMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES 2-D: CUALQUIER
superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
conexa de toros
• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
¡ Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación !
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¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
(Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé)
¡Clasifiquemos todas las posibles formas del universo!
Estructuras algebraicas de las conexas de toros
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• PRIMER TEOREMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES 2-D: CUALQUIER
superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
conexa de toros
• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
El geómetra y topologo H. Plancaré
se dió a la tarea de
clasificar todas las posibles formas de planilandia
Estructuras algebraicas de las conexas de toros
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• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
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• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
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El geómetra y topologo H. Plancaré
se dió a la tarea de
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Estructuras algebraicas de las conexas de toros
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• PRIMER TEOREMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES 2-D: CUALQUIER
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• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
¡ Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación !
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(Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé)
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Estructuras algebraicas de las conexas de toros
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superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
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• Etiqueta de clasificación = # (agujeros)! Espacio moduli = {0} " N
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.5/18
¡ Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación !
El geómetra y topologo H. Plancaré
se dió a la tarea de
clasificar todas las posibles formas de planilandia
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superficie orientada, conexa y compacta, sin frontera ES, una esfera o a una suma
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¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
(Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé)
¡Clasifiquemos todas las posibles formas del universo!
¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
Matemático Planid Hilbert :(Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX)
¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
Matemático Planid Hilbert :(Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX)
Page 1 of 1
Untitled.txt 11/4/06 9:00 AM
``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
¿ Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas ?
Matemático Planid Hilbert :(Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX)
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Untitled.txt 11/4/06 9:00 AM
``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
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``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... ''
`` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. ''
``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los anteriores. ''
``El físico, conforme su teoría se desarrolla, se ve forzado por los resultados de sus experimentos a hacer nuevas hipótesis, y la compatibilidad de las nuevas hipótesis con las viejas depende solamente de estos experimentos o de cierta intuición física; una práctica que en la construcción lógicamente rigurosa de una teoría es inadmisible. ''
Aprendizaje para los espaciócolas:
Pensar que el universo se extiende infinitamente,es solamente una posibilidad entre muchas otras,...
Aprendizaje para los espaciócolas:
Pensar que el universo se extiende infinitamente,es solamente una posibilidad entre muchas otras,...
Aprendizaje para los espaciócolas:
Determinar la posible forma que tiene el universopuede ser el resultado de observaciones y experimentos
Pensar que el universo se extiende infinitamente,es solamente una posibilidad entre muchas otras,...
Aprendizaje para los espaciócolas:
Experimentos pensados (ejercicios):
Determinar la posible forma que tiene el universopuede ser el resultado de observaciones y experimentos
Pensar que el universo se extiende infinitamente,es solamente una posibilidad entre muchas otras,...
Aprendizaje para los espaciócolas:
Experimentos pensados (ejercicios):
1. Pensar en un viaje intergaláctico en el que siguiendo una dirección fija se regrese al mismo lugar.
Determinar la posible forma que tiene el universopuede ser el resultado de observaciones y experimentos
Pensar que el universo se extiende infinitamente,es solamente una posibilidad entre muchas otras,...
Aprendizaje para los espaciócolas:
Experimentos pensados (ejercicios):
1. Pensar en un viaje intergaláctico en el que siguiendo una dirección fija se regrese al mismo lugar.
2. Pensar en observar el firmamento y descubrir que nos vemos a nosotros mismos.
Determinar la posible forma que tiene el universopuede ser el resultado de observaciones y experimentos
Para clasificar las posibles formas que podría tener el universo de los planícolas,
Para clasificar las posibles formas que podría tener el universo de los planícolas,
¡ recurrimos a la TOPOLOGÍA !
Topología.
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades
que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:
son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades
que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:
son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno)
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades
que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:
son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno)
un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos)
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades
que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:
son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno)
un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos)
un subconjunto del espacio (variedades de dimensión tres)
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades
que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:
son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno)
un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos)
un subconjunto del espacio (variedades de dimensión tres)
etc.
Rama de las matemáticas que estudia lasTopología.
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
De entre las “figuras geométricas” que estudia
la topología, una clase importante son las variedades.
Las variedades
que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:
son “espacios” (“cuerpos geométricos”)
un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno)
un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos)
un subconjunto del espacio (variedades de dimensión tres)
etc. Un objetivo de la topología es clasificar las variedadessegún su dimensión.
Las variedades son interesantes porque:
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como:
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como:
a) El conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a una distancia de
5 unidades del origen.
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como:
a) El conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a una distancia de
5 unidades del origen.
b) El conjunto de todas las líneas rectas del espacio que pasan por el origen.
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como:
a) El conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a una distancia de
5 unidades del origen.
b) El conjunto de todas las líneas rectas del espacio que pasan por el origen.
c) El conjunto de todas las posiciones posibles de un péndulo.
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como:
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como:
a) El conjunto de todas las soluciones de la ecuaciónx2 + y2 ! z2 = 9
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como:
a) El conjunto de todas las soluciones de la ecuaciónx2 + y2 ! z2 = 9
b) El conjunto de todas las soluciones de la ecuaciónd2f
dt2+ 25f = 0
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como:
C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como:
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como:
C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como:
a) El ADN circular es un nudo
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como:
C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como:
a) El ADN circular es un nudo
b) El universo en el que vivimos es una variedad (¿?)
Las variedades son interesantes porque:
A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como:
B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como:
C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como:
a) El ADN circular es un nudo
b) El universo en el que vivimos es una variedad (¿?)
Ejemplo de variedad de dimensión uno.
Ejemplo de variedad de dimensión uno.
Ejemplo de variedad de dimensión uno.
Ejemplo de variedad de dimensión uno.
Ejemplo de variedad de dimensión uno.
Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.
Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.
Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.
Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.
¡Hay un punto cerca del cual la figura no luce como un subconjunto de la recta!
Ejemplo de variedad de dimensión dos.
Ejemplo de variedad de dimensión dos.
Ejemplo de variedad de dimensión dos.
Ejemplo de variedad de dimensión dos.
Ejemplo de variedad de dimensión dos.
Ejemplo de variedad de dimensión dos.
Las variedades pueden constar de varios trozos,cada uno de los cuales es una variedad.
Las variedades pueden constar de varios trozos,cada uno de los cuales es una variedad.
Las variedades pueden constar de varios trozos,cada uno de los cuales es una variedad.
(ejemplo de variedad “cerrada” o “compacta”)
Las variedades pueden constar de varios trozos,cada uno de los cuales es una variedad.
(ejemplo de variedad “abierta” o “infinita”)
Las variedades pueden constar de varios trozos,cada uno de los cuales es una variedad.
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo
Si cualquier par de puntos se pueden unir con unatrayectoria completamente contenida en la variedad
Equivalentemente:
¡Estos dos puntos no se pueden unir con una trayectoria contenida en la variedad!
Recordar lo que dijimos de la topología:
Es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
Recordar lo que dijimos de la topología:
Es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
Recordar lo que dijimos de la topología:
Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman
Es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
Recordar lo que dijimos de la topología:
Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman
“topológicamente equivalentes”
Es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
Recordar lo que dijimos de la topología:
Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman
“topológicamente equivalentes”
Por ejemplo,
Es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de figuras geométricas que no cambian
cuando se les somete a deformaciones.
Recordar lo que dijimos de la topología:
Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman
“topológicamente equivalentes”
Por ejemplo,
y
También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el
siguiente procedimiento:
También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el
siguiente procedimiento:
a) Cortamos una variedad sin desconectarla.
También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el
siguiente procedimiento:
a) Cortamos una variedad sin desconectarla.
b) La deformamos.
También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el
siguiente procedimiento:
a) Cortamos una variedad sin desconectarla.
b) La deformamos.
c) La volvemos a pegar en el mismo lugar.
También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el
siguiente procedimiento:
a) Cortamos una variedad sin desconectarla.
b) La deformamos.
c) La volvemos a pegar en el mismo lugar.
Ejemplo: las siguientes dos figuras son top. equiv.
También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el
siguiente procedimiento:
a) Cortamos una variedad sin desconectarla.
b) La deformamos.
c) La volvemos a pegar en el mismo lugar.
Ejemplo: las siguientes dos figuras son top. equiv.
y
Demostración.
Partir de un círculo.
Partir de un círculo.
Demostración.
Escoger un punto donde cortar
Demostración.
Cortar y estirar
Demostración.
Estirar un poco más.Cortar y estirar
Demostración.
Cortar y estirar Estirar un poco más.
Estirar más para anudar.
Demostración.
Cortar y estirar Estirar un poco más.
Estirar más para anudar.
Pegar nuevamenteen el mismo lugar
Demostración.
Para variedades conexas de una dimensión, Teorema.
Para variedades conexas de una dimensión, Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.
En consecuencia, solamente hay dos tipos de variedades conexas de una dimensión:
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.
En consecuencia, solamente hay dos tipos de variedades conexas de una dimensión:
A. La recta real (variedad abierta).
Para variedades conexas de una dimensión,
A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.
Teorema.
sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:
B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.
En consecuencia, solamente hay dos tipos de variedades conexas de una dimensión:
A. La recta real (variedad abierta).
B. El círculo (variedad cerrada).
Variedades de dimensión dos
Variedades de dimensión dos
Ejemplos compactos:
Variedades de dimensión dos
Ejemplos compactos:
Variedades de dimensión dos
Ejemplos compactos:
Variedades de dimensión dos
Ejemplos compactos:
Ejemplos no compactos:
Variedades de dimensión dos
Ejemplos compactos:
Ejemplos no compactos:
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
Ejemplos compactos:
Ejemplos no compactos:
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Ejemplos orientables:
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Ejemplos orientables:
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Ejemplos orientables:
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Ejemplos orientables:
Ejemplos no orientables:
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Ejemplos orientables:
Ejemplos no orientables:
Superficies No-Orientables
Ejemplo típico: La Banda de Moebius
La frontera es 1 circulo
Tira de papel
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.7/18
Variedades de dimensión dos
Además de dividirse en “abiertas” (o infinitas)y “cerradas” (o compactas) como las de dim = 1,
las hay “orientables” y “no orientables”.
Ejemplos orientables:
Ejemplos no orientables:
Superficies No-Orientables
Ejemplo típico: La Banda de Moebius
La frontera es 1 circulo
Tira de papel
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.7/18
Cómo deshacernos de la frontera?
(zipper)
Pensar circulo como un "cierre"
Y subir el cierre
El efecto en es . . .
Matematicas y Topolog´ıa Para Todos– p.15/18
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Notar que hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, desconectan la variedad:
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Notar que hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, desconectan la variedad:
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Notar que hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, desconectan la variedad:
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas,
NO desconectan a la variedad
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas,
NO desconectan a la variedad
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas,
NO desconectan a la variedad
Variedades de dimensión dos compactas y orientables
Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas,
NO desconectan a la variedad
¡ Observar que no se desconectó !
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
¿a lo largo de qué curva cerrada podemos cortarsin desconectar a la supericie en dos pedazos?
¡Esto NO sucede en la superficie de la esfera!
La razón es que cualquier curva cerrada en la esfera,se puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada.
En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.
En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.
En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.
En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.
En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.
En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.
Observar que si se corta a lo largo del lazo rojo,o si se corta a lo largo del lazo azul,
¡ la variedad no se desconecta !
Una variedad en la que cualquier curva cerradase puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada,
se dice que es “simplemente conexa”
Una variedad en la que cualquier curva cerradase puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada,
se dice que es “simplemente conexa”
Una variedad de dimensión 2 que no es simplemente conexatiene curvas cerradas que, cuando se corta a su alrededor
la variedad no se desconecta.
Una variedad en la que cualquier curva cerradase puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada,
se dice que es “simplemente conexa”
Una variedad de dimensión 2 que no es simplemente conexatiene curvas cerradas que, cuando se corta a su alrededor
la variedad no se desconecta.
Cuando este es el caso, se puede practicar una “cirugía”
Una variedad en la que cualquier curva cerradase puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada,
se dice que es “simplemente conexa”
Una variedad de dimensión 2 que no es simplemente conexatiene curvas cerradas que, cuando se corta a su alrededor
la variedad no se desconecta.
Cuando este es el caso, se puede practicar una “cirugía”y después de una serie de cirugías llegar a unavariedad de dimensión 2 simplemente conexa.
Practicar una cirugía = ¡ Liposucción !Ejemplo:
Practicar una cirugía = ¡ Liposucción !Ejemplo:
Practicar una cirugía = ¡ Liposucción !Ejemplo:
Primer paso: cortamos a lo largo de una trayectoria cerrada que no desconecte a la variedad
¡ Observar que no se desconectó !
Segundo paso: permitimos la deformación( = “remoción de grasa excedente” y“desinflamación”)
Tercer paso: cerramos las “heridas”
Cuarto paso: permitimos la deformación( = “desinflamación de las heridas”)
Quinto paso: “cicatrización”
Cirugía = ¡ Liposucción !
Resultado: ¡ una llanta menos !
¿ Y si practicamos una cirugía mas ?
Primer paso: cortamos a lo largo de una trayectoria cerrada que no desconecte a la variedad
¡ observar que no se desconectó !
Segundo paso: permitimos la deformación( = “remoción de grasa excedente” y“desinflamación”)
Tercer paso: cerramos las “heridas”
Cuarto paso: permitimos la deformación( = “desinflamación de las heridas”)
Cuarto paso: permitimos la deformación( = “desinflamación de las heridas”) y
Quinto paso: “cicatrización”
¿ Y si practicamos una cirugía mas ?
¡ No hay donde cortar sin desconectar !
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
Primer paso: determinar los sitios donde se “pegará el asa”
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
Primer paso: determinar los sitios donde se “pegará el asa”
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
Segundo paso: remover las “tapas” (discos) donde se “pegará el asa”
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
Tercer paso: pegar el asa y permitir deformación( “desinflamar” )
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
“ Lipoinyección ” = ¡ una llanta más !
Proceso inverso = anticirugía = “pegar una asa”
PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las “llantas” o “asas”, terminaremos con
una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazosa lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.
PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las “llantas” o “asas”, terminaremos con
una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazosa lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.
PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las “llantas” o “asas”, terminaremos con
una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazosa lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.
El producto final es entonces: ¡ una variedad simplementeconexa de dimensión 2 !
PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las “llantas” o “asas”, terminaremos con
una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazosa lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.
El producto final es entonces: ¡ una variedad simplementeconexa de dimensión 2 !
PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las “llantas” o “asas”, terminaremos con
una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazosa lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.
El producto final es entonces: ¡ una variedad simplementeconexa de dimensión 2 !
PREGUNTA: ¿ Se podrádeformar enuna esfera?
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
Es decir,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
Es decir,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
y
Es decir,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
y
Es decir,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
y
Es decir,
¡ deben ser topológicamente equivalentes !
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración: La conjetura de Poincaré dice que,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración: La conjetura de Poincaré dice que,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración:
toda cadena de liposucciones termina en la esfera.
La conjetura de Poincaré dice que,
“ Pequeña conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2,es una deformación continua de la esfera.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración:
toda cadena de liposucciones termina en la esfera.
La conjetura de Poincaré dice que,
Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración:
toda cadena de liposucciones termina en la esfera.
La conjetura de Poincaré dice que,
Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.
=
Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración:
toda cadena de liposucciones termina en la esfera.
La conjetura de Poincaré dice que,
Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.
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Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración:
toda cadena de liposucciones termina en la esfera.
La conjetura de Poincaré dice que,
Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.
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Consecuencia importante. Toda superficie cerrada yorientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.
Demostración:
toda cadena de liposucciones termina en la esfera.
La conjetura de Poincaré dice que,
Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.
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Se puede dar la lista devariedades compactas
orientables de dim = 2.
Se puede dar la lista devariedades compactas
orientables de dim = 2.
Se puede dar la lista devariedades compactas
orientables de dim = 2.
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Se puede dar la lista devariedades compactas
orientables de dim = 2.
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¡ Esto produce todas las posibilidades compactasy orientables del universo planícola!
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¡ Esto pone al descubierto la relevancia de laconjetura de Poincaré para variedades de dim =3 !
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¡ Esto pone al descubierto la relevancia de laconjetura de Poincaré para variedades de dim =3 !
“ Conjetura de Poincaré ” :
¡ Esto produce todas las posibilidades compactasy orientables del universo planícola!
¡ Esto pone al descubierto la relevancia de laconjetura de Poincaré para variedades de dim =3 !
“ Conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 3,es una deformación continua de la esfera 3-dim’l.
¡ Esto produce todas las posibilidades compactasy orientables del universo planícola!
¡ Esto pone al descubierto la relevancia de laconjetura de Poincaré para variedades de dim =3 !
“ Conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 3,es una deformación continua de la esfera 3-dim’l.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
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¡ Esto pone al descubierto la relevancia de laconjetura de Poincaré para variedades de dim =3 !
“ Conjetura de Poincaré ” :
Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 3,es una deformación continua de la esfera 3-dim’l.
TEOREMA. ¡ Esta conjetura es cierta !
Demostración: Perelman, 2002-2006.
