LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

LA

CIRCUNFERENCIA

SUS ELEMENTOS

Y

ÁNGULOS

Otros elementos de la circunferencia

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

T

Punto de tangencia

Q

P

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

R L

LR LR

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R MQ PM PQ R

Si : AB // CD m AC = m DC

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

A B

C D

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas equidistan del

centro

mCD mAB CD AB : Si mCD mAB CD AB : Si

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

R

d = Cero ; d : distancia d = Cero ; d : distancia

Rr

Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

d > R + rd > R + r

R r

d = R + r d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.

r

R

R r

Punto de tangencia


d

R

d = R - rd = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

R r

( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )


06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2


rR

07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

R

r

d

d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PBAP = PB

A

B

P

R

R

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CDAB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB CDAB CD

A

B

C

DR

R

r

r

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradio

Circunradio

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

a + c = b + d a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadrilátero circunscrito

TEOREMA.- En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los ángulos opuestos son suplementarios

α + = 180º + = 180º

α + = 180º + = 180º

Cuadrilátero inscrito

Ángulos Características

El vértice del ángulo central coincide con el centro de la circunferencia.

El vértice del ángulo interior es un punto interior a la circunferencia.

El vértice del ángulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes.

El vértice del ángulo semi-inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia.

El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser:

Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes

Ángulo central

Ángulo interior

Ángulo inscrito

Ángulo semi-inscrito

Ángulos exteriores

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

A

B

C

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

2

mBA

2

mBA

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

A

B

C

2

mBA

2

mBA

A

BC

2

mCBA

2

mCBA

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

A

C

B

D

5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

2

mCDmAB

2

mCDmAB

A

B

C O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

+ mBA = 180° + mBA = 180°

2

mBA - mACB

2

mBA - mACB

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB

2

mCD-mAB

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

2

mCB -mBA

2

mCB -mBA

Algunas propiedades importantes…….

1.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia

2.- Si de un punto ¨P¨ exterior a una circunferencia. Se dibujan 2 segmentos tangentes a la circunferencia llamados PA y PB , estos segmentos resultan congruentes

P

A

B

O

P

B

A

AB OP

PA PB

Algunas propiedades importantes……..3.- Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral y bisectriz del ángulo del centro comprendido entre los extremos de la cuerda.

4.- En toda circunferencia a ángulos del centro congruentes le corresponden cuerdas y arcos congruentes.

O

C D

B

A

A

D

C

B

O

AB CD

AB CD entonces:a) CE ED) COE EOD

E

Algunas propiedades importantes……..

5.-En una circunferencia , cuerdas congruentes equidistan del centro.

6.- Los arcos comprendidos entre rectas paralelas o cuerdas paralelas son congruentes.

A

B

CD

O

A B

C D

AB CD OE = OF

AB // CD arc AB arc CD

7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

180º

90º

Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

Algunas propiedades importantes……..

Si desde un punto exterior P se trazan dos rectas tangentes a la circunferencia PA y PB. Entonces al unir dicho punto exterior con el centro de una circunferencia O, se determina que m 1 = m 2 y que PB PA.

Teorema 1Teorema 1

Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el producto de un segmento secante con su respectivo segmento exterior es igual al otro segmento secante con su respectivo segmento exterior.

Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: El cuadrado del segmento tangente en igual al producto del segmento secante por el segmento exterior.

Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia:

El producto de los dos segmentos formados por una cuerda y el punto de intersección es igual al producto de los segmentos formados por la otra cuerda y el punto de intersección.

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°X = 30°

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2

mSRQPQSm

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.

20°

70°X

X = 40°X = 40°R

Q

H

En el triángulo rectángulo RHS

140°

Se sabe que:

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

2

mQRº70

mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

mQsR = 220°

º402

140º - 220º x º40

2

140º - 220º x

x130°

A

C

B

DX = 40°X = 40°

2

50 130X

50°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

PResolviendo:

APD = xMedida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

902

130 mBCmBC = 50°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

x

X = 18°X = 18°

2

X 54X

M

N

54°

xx

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

PAB

APN = xSe traza el radio OM:

o

Dato: OM(radio) = PM

Luego triángulo PMO es isósceles

Ángulo central igual al arco

Medida del ángulo exterior

Resolviendo:

En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la mAPN.

x

70°

Medida del ángulo inscrito:

X = 55°X = 55°

2

110X

A

B

C

PQ

R

110°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Resolviendo:

70° + mPQ = 180° mQP = 110°

En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ.

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X P

Resolución

RESOLUCIÓN



70°

B

A

X PC

140º

220º- 140º = x

2Resolviendo: X = 40º

2º70mBA

mBA=140º

220º

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

B

A

X P130º

Resolución

RESOLUCIÓN

B

A

X P130º C


En la circunferencia:

260º


X = 80º

2

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 180º

260º + mACB = 360º

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

Problema Nº 08

2

5 5A

B

C

Resolución

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Luego el perímetro: (p) = a + b + 10 = 14 + 10

(p) = 24

RESOLUCIÓN

2

5 5A

B

C

a b

a + b = 14 (1)(2)

Reemplazando (1) en (2)

(p) = 14 + 10

X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80º Pa

a

Problema Nº 09

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos QS y SR sean congruentes. Si el arco RQ mide 80º, calcular mQPR .

Resolución

2a + 80º = 360º a = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa

80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

a

P

Q

R

S

2

3

PLANTEAMIENTO

Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR

Resolución

Teorema de Poncelet:

a b

cd

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm

PSR c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUCIÓN

P

Q

R

S

2

3

12 = 2PR

• Primero: debemos encontrar el valor X. Como ya sabemos que los radios de una circunferencia son iguales formulamos la siguiente ecuación: 2X = 20, por lo tanto X = 10.

• Al saber que X = 10, determinamos que AP =30. Según la propiedad AP = BP, por lo tanto BP también vale 30, así obtenemos los valores de AP y BP .

• Segundo: Se quiere encontrar el valor del ángulo 1. Si observamos bien el arco AC es igual a 50°, por lo tanto el AOP también es igual a50°. Y como OAP es igual a 90°, podemos formular la siguiente ecuación: 90° + 50° + APO = 180°, por lo tanto APO = 40°

• Según la propiedad OP es bisectriz, por el APO es igual al OPB, también vale 40°-

Problema Nº 11

Encuentra los valores de PA, PB y la medida del ángulo 1

• Primero. Se quiere encontrar el valor de X. Para lo cual debemos encontrar el valor Y. Como AP es igual a 40, podemos determinar y según la siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo tanto obtenemos que Y = 10.

• De esta manera sabemos los valores de AB = 30 y BP = 10

• Segundo. Se quiere encontrar el valor de X. Según la propiedad AP • BP = DP • CP, por lo tanto, podemos plantear la siguiente ecuación: 40 • 10 = (X + 6) • 6, de esta manera obtenemos que X es igual a 60.6.

Problema Nº 12Encuentra los valores de X e Y

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