UNIVERSIDAD PEDAGOGICA

DE EL SALVADOR

MATEMATICA II

Si C(h,k) es un punto del plano coordenado, se puede

definir a la circunferencia con centro C y radio > 0,

como el conjunto de todos los puntos que equidistan r

unidades de C.

Ecuación de una circunferencia con radio r y centro en

(h,k) o Ecuación Canónica:

P(x,y)

C(h,k)

r Un punto P(x,y) se encuentra

sobre la circunferencia si y solo

si d(P,C) = r

rkyhx 22

222rkyhx

Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el

lugar geométrico de los puntos que equidistan 5

unidades del punto Q(4, 3).

4

3

5

Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar

geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de

este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

De donde, 2534 22 yx

La forma canónica o estándar del círculo de

radio r y con centro en C(a, b) es:

222rbyax

Que se escribe como 534,22 yxQPd

Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior

Esta es la forma general de la

ecuación de la circunferencia.

2222 b2yb-ya2xa-x 2222 ba(-2b)y(-2a)xyx

Notamos que: 222 ba r

Si 222 baF ra2D b2E

0x 22 FEyDxy

Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo

cuya ecuación es

07740y12x-4y4x 22

770y)14(y3x)-4(x 22

4

770y)1(y3x)-(x 22

254

9

4

7725)0y1(y)

4

93x-(x 22

85)(y)2

3-(x 22

Por tanto

El centro es:

El radio es:

,-5

2

3

228

Ejercicio: Deducir una ecuación de la circunferencia que

pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1).

Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la

forma siguiente:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del

círculo por estar en él, tenemos

1+25+D+5E+F=0

4+9-2D+3E+F=0

4+1+2D-E+F=0

Es decir, D+5E+F=-26

-2D+3E+F=-13

2D-E+F=-5

Resolviendo el sistema tenemos,

D=-9/5, E=19/5, F=-26/5

Por lo tanto la ecuación del círculo es:

5x2+5y2-9x-19y-26=0

Encontrando la pendiente del radio que une a P con

el centro que tiene coordenadas (3,12). La pendiente

buscada es m=3/4.

La pendiente de la recta tangente a la cincunferencia

en P es –4/3; por tanto su ecuación es

y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0

6

-5 3

12

Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo(x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).

Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la

recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)

El centro C(xo, yo) debe estar en la recta L que es

perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la

recta dada tiene pendiente ½ , la recta L tiene pendiente

m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0

Por tanto las coordenadas de C satisfacen

2xo+yo-21=0 (1)

Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a la

distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que

Elevando al cuadrado y simplificando tenemos

xo+yo-17=0 (2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por

(1) y (2) encontramos las coordenadas del centro

C(4,13) y el radio r=80

Así la ecuación de la circunferencia es

(x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0

2

0

2

0

2

0

2

091258 yxyx

8

5

4

13