Korronte Alternoa

FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 1

FISIKA I: KORRONTE ALTERNOA


GAI ZERRENDA

1. SARRERA

2.ZIRKUITUAK KORRONTE ALTERNOAN

2.1 Zirkuitu Erresistiboak

2.2 Zirkuitu Kapazitiboaka

2.3 Zirkuitu Induktiboak

3. SEINALE PERIODIKOEN BATAZ BESTEKO BALIOA ETA BALIO EFIKAZA

4.FASOREAK ETA DIAGRAMA BEKTORIALA

4.1 Fasoreak

4.2 Fasoreen adierazpena zenbaki konplexuen bidez

4.3 Diagrama Bektoriala

5. IMPEDANTZIA KONPLEXUA

5.1 Inpedantzien arteko Elkarketa

5.2 Potentzia Inpedantzian

6. POTENTZIA FAKTOREA

6.1 Potentzia faktorearen hobetzea


1. Sarrera

- KORRONTE ZUZENA: Bere balioa ez dago denboraren menpe, beraz, konstante mantentzen

da

- KORRONTE ALTERNOA: Bere balioa ez da konstantea eta denborarekin aldatu egiten da

Korronte Zuzena Korronte Alternoa (Sinusoidala)

( ) ( )wtxtx sin0 ⋅=

x(t)

xo

t

( ) txtx ∀⋅= 0

- Korronte alternoko zirkuitu batetako puntu orotan bai tentsioa eta bai korrontea ere alternoak

dira


1. Sarrera. Seinale Alterno Motak

-Seinale alterno batek ez du zertan sinusoidala izan behar. Seinale alternoa izateko bete

beharreko baldintza da denboran zehar seinalea behin eta berriro errepikatzea

x(t)

xm

-xmT

t

x(t)

xm

-xmT

t

x(t)

xm

-xmT

t

KarratuaSinusoidala Trapezoidala

- Ikasgai honetan aztertuko diren zirkuitu alternoetan seinale sinusoidalak bakarrik hartuko

dira kontuan


1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Ezaugarri Nagusiak

- Seinale sinusoidalak ondorengo adierazpen matematikoaren

bidez definitzen dira

x(t)

xm

-xmT

t( ) ( )wtxtx m sin⋅=

-w seinalearen pultsazioa da

[ ]HzT

f1

=

-T seinalearen periodoa da eta seinalearen ziklo batek irauten dituen segunduak adierazten ditu

-f seinalearen maiztasuna da eta segundu batean seinalearen zenbat ziklo errepikatzen diren

adierazten du

==

segrad

Tfw

ππ

22

-Sare Elektrikoko Maiztasuna Europan: f=50Hz Estatu Batuetan:f=60Hz



-Seinale sinusoidal batek balio maximo eta minimo bat

dauzka.

x(t)

xm

-xmT

t

( ) ( )wtxxtx m sin0 ⋅+=

Balio maximoa xm

- Ikasgai honetan aztertuko diren seinaleen bataz besteko balioa zero izango da. Modu honetan

balio maximo eta minimoa berdinak dira baina alderantzizko zeinuarekin

Balio minimoa -xm

x(t)xo+xm

T

t

xo-xm

- Seinale alternoaren bataz besteko balioa ez denean zero, seinaleak “offset” bat daukala esaten da

offseta xo



-Seinale sinusoidalak jarraiak eta deribagarriak dira.

-Seinale sinusoidal baten deribatuaren emaitza beste seinale sinusoidal bat da

-Demagun ondorengo seinale sinusoidala daukagula

-Seinale hau deribatu ezkero

( ) ( )wtxtx m sin⋅=

( ) ( )

+⋅⋅=⋅⋅=2

sincosπ

wtxwwtxwdt

tdxmm

- Seinalearen magnitudea eta fasea aldatu

egiten dira

- Seinale sinusoidalaren deribatua π/2 radianetan aurreratua dago, eta magnitudea

seinalearen pulsazioarekin biderkatua


1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Arteko Erlazioa

-Bi seinale sinusoidal beraien magnitudea eta fasearen arabera erlaziona daitezke

-Demagun irudiko x1 eta x2 seinaleak dauzkagula. x2 seinalea x1 seinalearekiko ∆∆∆∆T segundutan

atzeratua dago

( ) ( )wtxtx m sin11 ⋅= ( ) ( )ϕ−⋅= wtxtx m sin22

-Bi magnitudeak G irabazpenaren bidez erlazionatuak

daude

1

2

m

m

x

xG =

-Bi seinaleen arteko desfasea segundotan

01 ttt −=∆

-Bi seinaleen arteko desfasea gradu eta radianetan

[ ]graduT

t360⋅

∆=ϕ [ ]radian

T

tπϕ 2⋅

∆=


1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Arteko Erlazioa

-Ondoren bi kasu berezi ikus daitezke

-Bi seinaleen arteko desfasea zero denean, bi seinaleak fasean daudela esaten da

-Bi seinaleen arteko desfasea ππππ radianetakoa denean, bi seinaleak kontra fasean daudela esaten da

Seinaleak Fasean Seinaleak Kontra fasean


2. Zirkuituak Korronte Alternoan

-Zirkuitu alternoak iturri, erresistentzi, harila eta kondentsadorez osaturik daude

-Iturriak: korronte alternoko tentsio eta korronte iturriak

-Erresistentziak: Energi xurgatzaileak

-Harilak edo Induktantziak: Energia metatzaileak

-Kondentsadoreak: Energi metatzaileak

v(t)L

i(t)

v(t)C

i(t)

Zirkuitu Erresistiboa Zirkuitu Induktiboa Zirkuitu Kapazitiboa R-L-C Zirkuitu



2.1 Zirkuitu Erresistiboa v(t)R

i(t)

-R ohmiotako erresistentzia bat v(t) tentsio iturri alterno

sinusoidal batetara konektatu ezkero, erresistentziatik i(t)

korronte sinusoidal bat igarotzen da

-Korrontearen magnitudea Ohmen legearen bitartez

kalkulatzen da

( ) ( )wtvtv m sin⋅=

( ) ( ) ( )wtR

vwtiti m

m sinsin ⋅=⋅=

i(t)im

-im t

vm

-vm

v(t)

T

-Korrontea eta tentsioa fasean daude. Hau da, bi seinaleak

une berdinean igarotzen dira zerotik, eta bi seinaleen balio

maximo eta minimoak une berdinean ematen dira



2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia

v(t)R

i(t)

-Erresistentziatik korronte bat igarotzen denean, honek potentzia xahutzen du.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]Wwt

ivwtivtitvtP mmmm

−⋅⋅=⋅⋅=⋅=

2

2cos1sin2

i(t)

im

t

vm

v(t)

T

0.5 vm im

P(t)

ENERGIA

vm im-Hau da,

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]Wwtiv

titvtP mm 2cos12

−⋅

=⋅=

-Xahututako potentzia maximoa korrontea eta tentsioa

maximoak diren unean ematen da

[ ]WivP mm ⋅=max

-Xahututako potentziaren bataz besteko balioa

( ) [ ]Wiv

dttitvT

P

T

mmb ∫

⋅=⋅⋅=

2)(

1



2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia-Erresistentziak xahututako energia potentziaren kurbak mugatzen duen azalera da. Azalera

kalkulatzeko potentzia denboran zehar integratu egin behar da

( ) ( ) [ ]∫ ⋅⋅= JdttitvE

i(t)

im

t

vm

v(t)

T

0.5 vm im

P(t)

ENERGIA

vm im-Periodo batetan

-Integrala bi partetan bereiz daiteke

( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∫ ⋅−⋅

=⋅⋅=

T T

mm Jdtwtiv

dttitvE 2cos12

( )

⋅−

⋅= ∫ ∫

T T

mm dtwtdtiv

E 2cos2

-Garatuz

( )

−

⋅= T

oTo

mm wtw

tiv

E 2sin2

1

2



2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia-Balioak ordezkatuz

i(t)

im

t

vm

v(t)

T

0.5 vm im

P(t)

ENERGIA

vm im

( ) ( ) [ ]JTiv

wwT

wT

ivE mmmm ⋅

⋅=

+−−

⋅=

20sin

2

12sin

2

10

2

[ ]JTiv

E mm

2

⋅= Erresistentzia batek xahututako energia periodo batean

-Korronte alternoa denean, erresistentziak xahututako energia

korronte zuzena denean xahututakoaren erdia da

-Korronte Zuzena [ ]JTivE mm ⋅⋅=

-Korronte Alternoa [ ]JTiv

E mm

2

⋅=



2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia-Erresistentzia batek periodo bakoitzean xahututako energia, xahututako potentziaren bataz

besteko balioa da. Hau da,

[ ]JTIVTiv

E rmsrmsmm ⋅⋅=⋅

⋅=

2Erresistentzia batek xahututako energia periodo batean

[ ]WivT

EP mmb ⋅==

[ ]WIViv

P rmsrmsmm

b ⋅=⋅

=2

Erresistentzia batek xahututako potentziaren bataz

besteko balioa zirkuitu alterno batean



2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Korronte eta Tentsioen Balio Efikazak

-Demagun orain arte aztertutako zirkuitu erresistiboa daukagula. Bertan erresistentziak Ea

energia xahutzen du periodo bateab

[ ]JTR

vT

ivE mmma ⋅

⋅=⋅

⋅=

22

2

-Erresistentzia berdina vrms tentsio balio jarrai batekin elikatu

ezkero, erresistentziatik irms korronte jarrai bat igaroko litzateke

eta kasu honetan erresistentziak Ej energia xahutuko luke

[ ]JTR

vE rms

j ⋅=2

-Bi kasuetan xahututako energia berdina izan dadin, vrms

tentsioaren balioa,

[ ]Vv

VEE mrmsja

2=⇒=

v(t)R

i(t)

Ea

vrmsR

irms

Ej



2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Korronte eta Tentsioen Balio Efikazak

-vrms tentsio balio konstantea, vm balio maximoa duen tentsio alternoaren balio efikaz moduan

ezagutzen da, eta adierazten du energia kopuru berdina xahutzeko beharrezkoa den tentsio balio

konstantea

[ ]Vv

v mrms

2= Tentsioaren balio efikaza

Korrontearen balio efikaza

-Planteamendu berdina jarraituz korrontearen balio efikaza kalkula daiteke

[ ]Aii mrms

2=

-Zirkuitu alterno erresistiboak korronte zuzenekoak balira moduan ebatzi daitezke aldagaien balio

efikazak erabiliz



2.1 Zirkuitu Erresistiboa.Ariketa

Irudian azaltzen den erresistentzia Europako sare elektrikora konektatzen da. Hau da, 220V

efikaz eta 50Hz dauzkan tentsio alternora. Polimetro batek balio efikaza neurtzen duela

jakinik, kalkulatu:

a) Polimetroarekin neurtutako tentsioaren balio eta irudikatu sareko tentsioaren aldiuneko

balioa grafiko batean

b) Korrontearen balioa

c) Erresistentziak xahututako energia periodo batean

d) Sareko tentsioaren aldapa maximoa

220v

50Hz 1000Ω

EMAITZAK

a)Vrms=220V / Vmax=311V b) Irms=0.220A / Imax=0.311A c) E=0.97J d)97744.4 V/seg



2.1 Zirkuitu Erresistiboa.Ariketa

-Etxeetako plantxa batek ondorengo ezaugarri dauzka: 220V efikaz eta 1800W. Kalkulatu

plantxak kontsumituko duen korrontea eta plantxaren barne erresistentzia. Aldi berea, kalkulatu

ordu betez plantxatzen egon ostean xahututako energia

EMAITZAK

a) Irms=8.18A b) R=26.89Ω c) 6.48x106 J



Ariketa

-Kalkulatu eta irudikatu ondorengo bi seinale sinusoidalen deribatuak

( ) ( )ttv 2sin220 ⋅= ( )

+⋅=3

2sin100π

ttv



2.2 Zirkuitu Kapazitiboav(t)

C

i(t)

-Kondentsadore bat v(t) tentsio alternoarekin elikatzen denean i(t)

korronte alternoa xurgatzen du

-Definizioz kondentsadore bateko tentsioa eta korrontearen arteko

erlazioa ondorengoa da

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdvCtidtti

Ctv =⇒⋅= ∫

1

-Tentsioa sinusoidala denez,


-Adierazpen hau deribatuan ordezkatuz

( ) ( ) ( )

+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==2

sincosπ

wtwvCwtwvCdt

tdvCti mm

C Kondentsadorearen Kapazitantzia [F]



2.2 Zirkuitu Kapazitiboav(t)

C

i(t)

-Beraz, i(t) korrontearen adierazpen matematikoa

( ) wvCiwtiti mmm ⋅⋅=⇒

+⋅=2

sinπ

-Korrontea sinusoidala da eta tentsioaren maiztasun

berdina dauka. Magnitudea eta fasea ordea aldatu

egiten dira. Korrontea tentsioarekiko aurreraturik

dago ππππ/2 radianetan



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Potentzia Erreaktiboav(t)

C

i(t)

-Honezkero ezaguna zaigu potentziaren definizioa zein den.

( ) ( ) ( )titvtP ⋅=

-Tentsioa eta korrontea denboran aldakorrak

direnez, potentzia ere denboran aldakorra da

-Tentsioa eta korrontearen adierazpenak ordezkatuz

( ) ( ) ( )wtiwtvtP mm cossin ⋅⋅⋅=

-Propietate trigonometrikoez baliatuz,

( ) ( )wtiv

tP mm 2sin2

⋅⋅

=

-Potentziaren maiztasuna korronte eta tentsioaren

maiztasunaren bikoitza da




C

i(t)

-Potentzia positiboa denean, iturritik kondentsadorera

igarotzen da

-Potentzia negatiboa denean, kondentsadoreak

potentzia iturriari itzuli egiten dio

-Iturria eta kondentsadorearen artean nolabaiteko

potentzia trukaketa dago




C

i(t)

-Iturria eta kondentsadorearen artean trukatzen den potentzia

“Potentzia Erreaktiboa” deitzen da.

-Potentzia erreaktiboaren bataz besteko balioa zero da

-Aldiz, potentzia erreaktiboaren balio maximoa

[ ]VARiv

IVQ mmrmsrms

2

⋅=⋅=

VAR Volt Amperio Erreaktiboak

[ ]VARwCvQ m ⋅⋅⋅=2

2

1Kondentsadorea eta iturriaren

artean trukatutako potentzia

erreaktiboa

-Jada dakigunez im=vmwC,



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Energia Erreaktiboav(t)

C

i(t)

-Energia kalkulatzeko potentzia elektrikoa denboran integratu

beharra dago

( ) [ ]∫ ⋅= JdttPE

-Integrala ebatziz,

-Periodo laurden batetan zehar integratu ezkero,

( ) ( ) [ ]Jdtwtiv

dttPET T mm ⋅⋅

⋅=⋅= ∫ ∫ 2sin

2

25.0

0

25.0

0

( ) Tmm wtw

ivE 25.0

02cos4

⋅⋅

⋅−=

-Denboraren balioak ordezkatuz

( ) ( )( )0cos5.0cos4

−⋅⋅

⋅−= wT

w

ivE mm




C

i(t)

-Jakina denez, wt=2π. Beraz,

( ) ( )( ) [ ]Jw

iv

w

ivE mmmm

⋅

⋅=−⋅

⋅

⋅−=

20coscos

4π

-Dagoeneko dakigunez, im=vmwC. Beraz

-Garatuz

[ ]Jw

CwvvE mm

⋅

⋅⋅⋅=

2

[ ]JvCE m2

2

1⋅⋅=



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Energia Erreaktiboav(t)

C

i(t)

-Bai ziklo oso batean eta bai ziklo erdi batean kalkulatutako bataz

besteko energia E=0J da

-Aldiz, ziklo laurden batean kalkulatutako bataz

besteko energia E≠≠≠≠0J da

-ONDORIOZ:

-Zirkuitu kapazitibo batek ez du energiarik xahutzen

-E>0 denean, kondentsadoreak energia iturritik hartu

eta gorde egiten du

-E<0 denean, kondentsadoreak gordetako energia

iturrira itzultzen du



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Erreaktantzia Kapazitiboav(t)

C

i(t)

-Kondentsadorearen erreaktantziak, kondentsadoreko tentsio eta

korrontearen balio maximoen (edo efikazen) arteko erlazioa

definitzen du

[ ]Ω==rms

rms

m

mC

I

V

i

vX

-Aurretik deduzitu dugu im=wvmC. Adierazpen hau ordezkatuz

[ ]Ω⋅

=⋅

=⇒⋅⋅

=CfCw

XvCw

vX C

m

mC

π2

11

-Kondentsadorearen erreaktantzia balioa korronte eta tentsioaren maiztasuna eta

kondentsadorearen kapazitantzia balioaren menpe dago



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Erreaktantzia Kapazitiboa

-Maiztasunaren arabera muturreko bi kasu aztertzera goaz.

-Maiztasuna zero denean, hau da korronte zuzena daukagunean, kondentsadorearen erreaktantzia

balioa infinitu da. Beraz, egoera honetan zirkuituan ez da korronterik egongo.

-Aldiz, maiztasuna infinitu egiten denean erreaktantzia zero izanen da eta egoera honetan

kondentsadoreak zirkuitu labur bat egingo du zirkuituan, korrontea infinitu eginez.

0=∞= IXC

f=0 denean

v(t)

∞== IXC 0

f=∞ denean



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Laburbilduz

-Zirkuitu kapazitiboak beraien baitan kondentsadore bat (edo gehiago) duten zirkuituak dira.

Kondentsadorea, karga gordetzeko kapazitatea duen elementua da. Kondentsadore hauek energia

elektrikoa gordetzen dute, eta kargatu egiten dira beraietatik korronte elektrikoa igarotzen denean.

-Zirkuitu kapazitibo bati tentsio sinusoidala aplikatzen bazaio, korronte bat ekoiztuko du, eta honek

ere uhin sinusoidalaren forma izango du. Hala ere, korronte kapazitibo hau desfasatuta dago

tentsioarekiko 90º aurreratua.

-Kondentsadore batek ez du energiarik xahutzen, GORDE eta EMAN baizik, beraz, potentzi aktiboa

0 da eta potentzi erreaktiboa besterik ez du maneiatzen.

v(t)C

i(t)



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Laburbilduz

v(t)C

i(t)

[ ]VARwvCX

vQ m

C

rms ⋅⋅⋅==2

2

2

1 Kondentsadorea eta iturriaren artean trukatutako

potentzia erreaktiboa

[ ]JvCE m2

2

1⋅⋅=

Kondentsadorea eta iturriaren artean trukatutako

Energia erreaktiboa

[ ]Ω⋅

=⋅

=CfCw

XCπ2

11Kondentsadorearen Erreaktantzia

Vm tentsio sinusoidalaren balio maximoa

Vrms tentsio sinusoidalaren balio efikaza



2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Adibidea

v(t)C1=10 F

i(t)

C2=10 F

C3=50 F

C4=20 F

C5=80 F

ia(t)

ib(t)

- Kalkulatu kondentsadore bakoitzaren korrontea eta tentsioa, eta iturria eta

kondentsadore multzoaren artean trukatutako potentzia eta energia erreaktiboa.

Irudikatu grafiko batetan iturriaren aldiuneko tentsioa korrontea eta potentzia.

( ) ( ) [ ]Vttv ⋅⋅= 16.314sin311

Emaitzak

( )

+⋅⋅=2

16.314sin6727.1π

tti

VARQ 1.260= JE 8279.0=

( )

+⋅⋅=2

16.314sin4885.0π

ttia

( )

+⋅⋅=2

16.314sin1843.1π

ttib

( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin5.1551 ( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin5.1552

( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin4.753 ( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin5.1884

( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin12.475



2.3 Zirkuitu Induktiboav(t)

L

i(t)

-Harila bat v(t) tentsio alternoarekin elikatzen denean i(t) korronte

alternoa xurgatzen du

-Definizioz harila bateko tentsioa eta korrontearen arteko erlazioa

ondorengoa da

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅=⇒= dttvL

tidt

tdiLtv

1

-Tentsioa sinusoidala denez,


-Adierazpen hau integralean ordezkatuz

( ) ( ) ( )

−

⋅=⋅

⋅−=⋅= ∫ 2

sincos1 π

wtLw

vwt

Lw

vdttv

Lti mm

L Harilaren induktantzia [H]



2.3 Zirkuitu Induktiboa

-Beraz, i(t) korrontearen adierazpen matematikoa

( )Lw

viwtiti mmm

⋅=⇒

−⋅=2

sinπ

-Korrontea sinusoidala da eta tentsioaren maiztasun

berdina dauka. Magnitudea eta fasea ordea aldatu

egiten dira. Korrontea tentsioarekiko atzeraturik

dago ππππ/2 radianetan

v(t)L

i(t)



2.3 Zirkuitu Induktiboa. Potentzia Erreaktiboa

-Potentziaren definizioa

( ) ( ) ( )titvtP ⋅=

-Tentsioa eta korrontea denboran aldakorrak

direnez, potentzia ere denboran aldakorra da

-Tentsioa eta korrontearen adierazpenak ordezkatuz

( ) ( ) ( )( )wtiwtvtP mm cossin ⋅−⋅⋅=

-Propietate trigonometrikoez baliatuz,

( ) ( )wtiv

tP mm 2sin2

⋅⋅

−=

-Potentziaren maiztasuna korronte eta tentsioaren

maiztasunaren bikoitza da

v(t)L

i(t)




-Potentzia positiboa denean, iturritik harilera igarotzen da

-Potentzia negatiboa denean, harilak potentzia iturriari

itzuli egiten dio

-Iturria eta harilaren artean nolabaiteko potentzia

trukaketa dago

v(t)L

i(t)




-Iturria eta harilaren artean trukatzen den potentzia

“Potentzia Erreaktiboa” deitzen da.

-Potentzia erreaktiboaren bataz besteko balioa zero da

-Potentzia erreaktiboaren balio maximoa ordea ez.

[ ]VARiv

IVQ mmrmsrms

2

⋅=⋅=

VAR Volt Amperio Erreaktiboak

[ ]VARwLiQ m ⋅⋅⋅=2

2

1 Harila eta iturriaren artean

trukatutako potentzia erreaktiboa

v(t)L

i(t)

- Jada dakigunez im=vmwL,



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Energia Erreaktiboa

-Energia kalkulatzeko potentzia elektrikoa denboran integratu

beharra dago

( ) [ ]∫ ⋅= JdttPE

-Integrala ebatziz,

-Periodo laurden batetan zehar integratu ezkero,

( ) ( ) [ ]Jdtwtiv

dttPET T mm ⋅⋅

⋅−=⋅= ∫ ∫ 2sin

2

25.0

0

25.0

0

( ) Tmm wtw

ivE 25.0

02cos4

⋅⋅

⋅=

-Denboraren balioak ordezkatuz

( ) ( )( )0cos5.0cos4

−⋅⋅

⋅= wT

w

ivE mm

v(t)L

i(t)




-Jakina denez, wt=2π. Beraz,

( ) ( )( ) [ ]Jw

iv

w

ivE mmmm

⋅

⋅−=−⋅

⋅

⋅=

20coscos

4π

-Aurretik demostratu denez, vm=imXL. Beraz

⋅⋅

⋅⋅⋅=

w

LwiiE mm

2

-Eta garatuz

[ ]JiLE m2

2

1⋅⋅=

v(t)L

i(t)



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Energia Erreaktiboa

-Bai ziklo oso batean eta bai ziklo erdi batean kalkulatutako bataz

besteko energia E=0J da

-Aldiz, ziklo laurden batean kalkulatutako bataz

besteko energia E≠≠≠≠0J da

-ONDORIOZ:

-Zirkuitu induktibo batek ez du energiarik xahutzen

-E>0 denean, harilak energia iturritik hartu eta gorde

egiten du

-E<0 denean, harilak gordetako energia iturrira

itzultzen du

v(t)L

i(t)



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Erreaktantzia Induktiboa

-Harilaren erreaktantziak, harilako tentsio eta korrontearen balio

maximoen (edo efikazen) arteko erlazioa definitzen du

[ ]Ω==rms

rms

m

mL

I

V

i

vX

-Aurretik deduzitu dugu im=vm/wL. Adierazpen hau ordezkatuz

[ ]Ω⋅=⋅=⇒⋅⋅

= LfLwXv

vLwX L

m

mL π2

-Harilaren erreaktantzia balioa korronte eta tentsioaren maiztasuna eta harilaren induktantzia

balioaren menpe dago

v(t)L

i(t)



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Erreaktantzia Induktiboa

-Maiztasunaren arabera muturreko bi kasu aztertzera goaz.

-Maiztasuna zero denean, hau da korronte zuzena daukagunean, harilaren erreaktantzia balioa zero

da. Beraz, egoera honetan harilak zirkuitu labur bat egiten du zirkuituan, korrontea infinitu eginez.

-Aldiz, maiztasuna infinitu egiten denean harilaren erreaktantzia infinitu izanen da eta egoera

honetan zirkuituan ez da korronterik egongo.

0=∞= IX L

f=0 denean

v(t)

∞== IX L 0

f=∞ denean



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Laburbilduz

-Zirkuitu induktiboak beraien baitan harila bat (edo gehiago) duten zirkuituak dira. Harila, karga

gordetzeko ahalmena duen elementua da. Harila hauek energia elektrikoa gordetzen dute, eta kargatu

egiten dira beraietatik korronte elektrikoa igarotzen denean.

-Zirkuitu induktibo bati tentsio sinusoidala aplikatzen bazaio, korronte bat ekoiztuko du, eta honek ere

uhin sinusoidalaren forma izango du. Hala ere, korronte induktibo hau desfasatuta dago

tentsioarekiko 90º atzeratua.

-Harila ideal batek ez du energiarik xahutzen, GORDE eta EMAN baizik, beraz, potentzi aktiboa 0

da eta potentzi erreaktiboa besterik ez du maneiatzen.

v(t)L

i(t)



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Laburbilduz

[ ]VARwILIXQ rmsL ⋅⋅⋅=⋅= 22

2

1 Kondentsadorea eta iturriaren artean

trukatutako potentzia erreaktiboa

[ ]JILE 2

2

1⋅⋅= Kondentsadorea eta iturriaren artean trukatutako Energia

erreaktiboa

[ ]Ω⋅=⋅= LfLwX L π2 Kondentsadorearen Erreaktantzia

v(t)L

i(t)



2.2 Zirkuitu Induktiboa. Adibidea

- Kalkulatu harila bakoitzaren korrontea eta tentsioa, eta iturria eta harila

multzoaren artean trukatutako potentzia eta energia erreaktiboa. Irudikatu

grafiko batetan iturriaren aldiuneko tentsioa, korrontea eta potentzia.

( ) ( ) [ ]Vttv ⋅⋅= 500sin10

Emaitzak

( )

−⋅⋅=2

500sin8571.2π

tti

VARQ 28.14= JE 0286.0=

( )

−⋅⋅=2

500sin4286.1π

ttia

( )

−⋅⋅=2

500sin4286.1π

ttib

( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin1429.71( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin7143.02

( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin1429.23 ( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin8571.24


3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza

3.1 Bataz Besteko Balioa- Seinale bat periodikoa dela deritzogu ondorengoa betetzen denean,

( ) ( )kTtxtx +=

X(t)

tx(t) x(t+T)

x(t1)=x(t1+T)

Xb

A1

A2

T

- Seinale periodikoa denboran integratuz gero, seinaleak mugatutako azalera kalkulatzen

da. Hau da bere azalera efektiboa

( )∫ ⋅=−=T

dttxAAA

0

21

- Azalera efektibo berdina lor daiteke Xb balio konstante

batekin

( )∫ ⋅=−=⋅T

b dttxAATX

0

21

- Balio konstante hau seinalearen bataz besteko balio

moduan ezagutzen da

( )∫ ⋅⋅=T

b dttxT

X

0

1



3.2 Balio Efikazaren Zentzua. RMS (Root Mean Square)- Demagun zirkuitu alterno erresistibo bat daukagula. Erresistentziak energia bat xahutzen

du.

- Erresistentziaren tentsio eta korrontea sinusoidalak izan beharrean zuzenak balira, erresistentzian

xahututako energia ondorengoa izango litzateke

[ ]JTR

vT

ivTIVE mmm

rmsrms22

2

=⋅

=⋅⋅=

[ ]JTR

VTIVE rms

rmsrms

2

=⋅⋅=

- Korronte alternoan eta zuzenean xahututako energia berdinak izateko

22

22m

rmsrmsm v

VTR

VT

R

v=⇒⋅=⋅

- Korronte edo tentsioaren sinusoidal baten balio efikaza da periodo batean energia kopuru berdina

ematen duen balio konstantea



3.2 Balio Efikazaren Definizioa. RMS (Root Mean Square)

- Zirkuitu alterno batean seinaleak zeroan zentratuak egon ezkero, hauen bataz besteko balioak

zero dira. Energiaren emaitza ordea ez da zero.

- Edozein dela ere seinale periodikoaren itxura (eta ez du zertan sinusoidala izan behar), naiz eta

bere bataz besteko balioa zero izan, seinale honek zero ez den balio efikaz bat edukiko du

- Definizioz, seinale periodiko baten balio efikazaren

karratua, seinalearen karratuaren bataz besteko balioa

da, periodo bat kontuan izanik

( )∫ ⋅=⋅T

rms dttxTX

0

22

X(t)

t

X(t)

X2(t)

X2b

Xrms

- Ebatziz

( )∫ ⋅⋅=T

rms dttxT

X

0

21



X(t)

t

X(t)

X2(t)

X2b

Xrms

Seinale alterno baten bataz besteko balioa( )∫ ⋅⋅=T

b dttxT

X

0

1

Seinale alterno baten balio efikaza( )∫ ⋅⋅=T

rms dttxT

X

0

21

X(t)

tx(t) x(t+T)

x(t1)=x(t1+T)

Xb

A1

A2



- Kalkulatu ondorengo seinale sinusoidalaren balio efikaza

( )

+⋅⋅=4

15.314sin311π

ttx



3.3 Erabilgarritasuna

- Tentsio eta korronteen balio efikazak erabilgarriak dira potentzia eta energiak kalkulatzeko orduan

- Aurretik ikusi da nola erresistentzia batek xahututako potentzia zirkuitu alternoan

[ ]Wiv

P mm

2

⋅=

- Potentzia balio hau zuzenean kalkula daiteke tentsio eta korronteen balio efikazak ezagutu ezkero

[ ]Wiviv

IVP mmmmrmsrms

222

⋅=⋅=⋅=

- Berdin zirkuitu kapazitibo eta induktiboetan ere

rms

rms

I

VR =

rms

rmsC

I

VX =

rms

rmsL

I

VX =

[ ]VARwvCIVQ mrmsrms ⋅⋅⋅=⋅=2

2

1 [ ]VARwiLIVQ mrmsrms ⋅⋅⋅=⋅=2

2

1

- Erresistentzia eta erreaktantzia balioak kalkulatzeko ere erabili daitezke



Ariketa

- Irudian harila eta kondentsadore batek osaturiko zirkuitu alterno “erresonantea” ikus daiteke.

Demagun elikadura iturriak ematen duen tensioaren maiztasuna aldakorra dela. Kalkulatu

zirkuituko korrontea maximo egiten duen maiztasun balioa.

Emaitza

HzLC

f 22512

1==

π( ) ( )wttv sin20 ⋅=



Ariketa

- Lehenik eta behin erreaktantzien balioak kalkulatzen dira. Gogoratu, erreaktantziek harila eta

kondentsadoreen korronte eta tentsioen balio maximo eta efikazak erlazionatzen dituzte.

[ ]Ω==fCwC

XCπ2

11[ ]Ω== fLwLX L π2

- Behin erreaktantzien balioak lortutakoan, zirkuituko korrontearen balio efikaza kalkulatzen da

Ohmen legea aplikatuz

( )[ ]A

XX

v

XX

VI

LC

m

LC

rmsrms

+=

+=

2



Ariketa

- Erreaktantzien baloreak ordezkatuz gero,

0 2000 4000 6000 8000 100000

0.05

0.1

0.15

0.2

Maiztasuna [Hz]

Ko

rro

nte

a [A

]

[ ]ALCw

wCV

wCwL

V

XX

VI rmsrms

LC

rmsrms

11 2 +=

+

=+

=

- Korrontearen balioa w pultsazioaren menpe dago, beraz

maiztasunaren menpe ere bai

- Korrontearen balio maximoa zein pultsaziotan ematen den ebazteko, korrontearen adierazpena

pultsazioarekiko deribatu eta zerorekin berdindu behar da. Berdintza horretatik pultsazioaren balioa

ebatziz

( )( )

[ ]AV

LCw

wLCwCLCwC

dw

dIrms 0

1

2122

2

=+

⋅−+=



Ariketa

- Emaitza zero izateko nahikoa da zenbakitzailea zero izatea

0 2000 4000 6000 8000 100000

0.05

0.1

0.15

0.2

Maiztasuna [Hz]

Ko

rro

nte

a [A

]

- w pultsazioa askatuz gero,

( ) 0212 =⋅−+ wLCwCLCwC

segrad

LCw 14142

1==

- Eta maiztasuna

HzLC

wf 2251

2

1

2===

ππ

( )mA

XX

vI

LC

m 4.1412

max =+

=


4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala

4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala

- Demagun x-y koordenadetan definitutako v bektore edo fasore bat daukagula , eta bektore hau

biraka dabilela w abiadura angeluar konstantearekinvw

tt

vx

vy

vx (t)

vy(t)

x

y

- v bektorea x-y koordenadetan irudikatzen da. vx

seinalea x ardatzeko osagaia da eta vy seinalea y

ardatzeko osagaia

- Bektorea mugimenduan dagoenez, x-y osagaiak

denborarekin aldatu egiten dira

- Demagun bektorearen luzera edo modulua r dela.

Orduan

( )wtrrvx coscos ⋅=⋅= α

( )wtrrvy sinsin ⋅=⋅= α




- Seinale sinusoidalak w abiadura konstantearekin biraka dabilen bektore baten bidez defini

daitezkevw

tt

vx

vy

vx (t)

vy(t)

x

y

- Bektorearen moduluak seinale sinusoidalen

magnitude efikaza definitzen du

- Bektorearen abiadurak seinale sinusoidalen

pultsazioa definitzen du

- Zirkuitu alternoetako tentsio eta korronteak

bektore bidez adierazi daitezke




- Demagun w abiadura angeluar konstantearekin mugitzen diren bi bektore v eta i dauzkagula, eta

beraien artean ϕϕϕϕ angeluko desfasea dagoela

( ) ( )β+⋅= wtvtv sinˆ ( ) ( )α+⋅= wtiti sinˆ

- Seinale sinusoidalak hiru parametroren

bidez defini daitezke: magnitudea,

pultsazioa eta fasea

- Zirkuitu alternoetan seinale guztien

pultsazioak berdinak dira, beraz ez

da beharrezkoa parametro hau

adieraztea

- Zirkuitu alternoetako korronte eta

tentsioak magnitudea eta fasearen

bidez definituko dira




- Zirkuitu alternoetako tentsio eta korronteak fasore edo bektore bidez adierazi daitezke. Bektorearen

modulua seinalearen balio efikaza da eta fasea seinalearen hasierako angelua da

- Aldagaien adierazpen bektoriala erabiliz

zirkuitu alternoen ebazpena asko errazten

da

- Era honetan, seinale sinusoidalen

arteko operazioak, batuketa, kenketa,

biderketa edo zatiketa, bektoreen

arteko operazio bektorial moduan

ebatzi daitezke



4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala. Fasoreen arteko Batuketa

- Kalkulatu v eta i seinale sinusoidalen arteko batuketa.

( ) ( )β+⋅= wtvtv sinˆ ( ) ( )α+⋅= wtiti sinˆ




- Bi seinaleak zuzenean batuz,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )αβ +⋅++⋅=+= wtiwtvtitvtr sinˆsinˆ

- Propietate trigonometrikoak aplikatuz

( ) ( ) ( ) ααββ sincosˆcossinˆsincosˆcossinˆ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+= wtiwtiwtvwtvtitvtr

- Garatuz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wtivwtivtitvtr cossinˆsinˆsincosˆcosˆ ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+= αβαβ

- Defini ditzagun

( )αβθ cosˆcosˆcosˆ ⋅+⋅=⋅= ivrrx

( )αβθ sinˆsinˆsinˆ ⋅+⋅=⋅= ivrry

v

y

i

r

x




- r bektore erresultantearen x osagaia v eta i bektoreen x osagaien arteko batuketa da

αβθ cosˆcosˆcosˆ ⋅+⋅=+=⋅= ivivrr xxx

αβθ sinˆsinˆsinˆ ⋅+⋅=+=⋅= ivivrr yyy

v

y

i

r

x

- r bektore erresultantearen y osagaia v eta i bektoreen y osagaien arteko batuketa da

- Bi seinale sinusoidalen arteko batuketa bi bektoreen arteko

batuketa bektoriala eginez ebatzi daiteke

- Bektoreekin operatzea seinale sinusoidalekin operatzea baino

askoz ere errazagoa da

- Zirkuitu alternoetan aldagaiak bektore moduan adieraziko dira eta

zirkuituak operazio bektorialen bidez ebatziko dira



4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez

- Bektoreen arteko operazioak, batuketa, kenketa, biderketa edo zatiketa, asko errazten dira

bektoreak zenbaki konplexuen bidez adierazten direnean

yx ijii ⋅+=

- Zenbaki konplexuen bidez bektoreak matematikoki adierazi daitezke y

i

xix

iyI

ix zenbaki konplexuaren zati edo osagai erreala

iy zenbaki konplexuaren zati edo osagai irudikaria

1−=j

- Zenbaki konplexuak bi eratan adierazi daitezke:

- Adierazpen Binomiala

- Adierazpen Polarra

yx ijii ⋅+=

α∠= Ii



4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Adierazpenen arteko transformazioa

- Zenbaki konplexuak adierazpen polarretik binomialera pasatzekoy

i

xix

iy

x

yyx

i

iarctgiiI =+= α22

αα sincos ⋅=⋅= IiIi yx

- Zenbaki konplexuak adierazpen binomialetik polarrera pasatzeko



4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Operazioak

- Batuketa era binomialean ( ) ( ) ( ) ( )dbjcajdcjbazz +++=+++=+ 21

- Kenketa era binomialean ( ) ( ) ( ) ( )dbjcajdcjbazz −+−=+−+=− 21

- Biderketa

-Era Binomialean

-Era Polarrean

( ) ( ) ( ) ( )adbcjbdacjdcjbazz ++−=+⋅+=⋅ 21

2121221121 θθθθ +∠⋅=∠⋅∠=⋅ rrrrzz

- Zatiketa

-Era Binomialean

-Era Polarrean

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2222

2

1

dc

adbcj

dc

bdac

jdcjdc

jdcjba

jdc

jba

z

z

+

−+

+

+=

−⋅+

−⋅+=

+

+=

212

1

22

11

2

1 θθθ

θ−∠=

∠

∠=

r

r

r

r

z

z



4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Zertarako?

- Irudian R-L (erresistentzia eta harila batez osaturikoa) zirkuitu alterno bat ikus daiteke.

Kalkulatu elementu bakoitzetik igarotzen den korrontea eta elementu bakoitzaren bornetan

dagoen tentsioa

iL(t)

iR(t)

V(t)

i(t) ( ) ( )

Ω=

Ω=

⋅⋅⋅=

30

40

502sin120

LX

R

ttv π




- Lehenik eta behin, ohmen legea aplikatuz erresistentziako korrontea ebatziko da

- Ohmen legea aplikatuz beste behin, harilako korrontea kalkulatuko da bigarren urratsean

( ) ( ) [ ]wL

viAwt

wL

v

X

tvti L

LL

ˆˆ

2sin

ˆ=⇒

−⋅==

π

( ) ( ) ( ) [ ]R

viAwt

R

v

R

tvti RL

ˆˆsin

ˆ=⇒⋅==

- Gogratu harila batetan, korrontea tentsioarekiko 90º atzeratua dagoela. Eta kirchoffen

korapiloko legeaz baliatuz, korronte totala ebatziko da

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−⋅+=+=⇒=∑2

sinˆ

sinˆ

0π

wtwL

vwt

R

vtitititi LR




- i(t) korronte totala, iR(t) eta iL(t) korronteen

batura da, hau da, une oro i(t)ren aldiuneko

balioa iR(t) eta iL(t) aldiuneko balioen batura

algebraikoa da.

- Baina i(t)ren balio maximoa ez da iR(t) eta

iL(t) korronteen balio maximoen batura. Hain

zuzen ere, desfasearen ondorioz seinale bien

balio maximoak ez dira aldiune berean

ematen.

t

iR

iL

i i(t)

iL(t)

iR(t)

( ) ( ) ( ) ( )titititi LR +=⇒=∑ 0




- Batuketa bektoreen bidez ebatziko da. Bi korronteak bektore moduan adieraziko dira

( ) ( ) [ ] º0ˆ

sinˆ

∠=⇒⋅=R

viAwt

R

vti RR

r

- Bi bektoreak batuaz

++

+=+= º90sin

ˆº0sin

ˆº90cos

ˆº0cos

ˆ

wL

v

R

vj

wL

v

R

viii LR

rrr

( ) [ ] º90ˆ

2sin

ˆ∠=⇒

−⋅=

wL

viAwt

wL

vti LL

rπ

- Garatuz

wL

Rartg

wL

v

R

vi

wLj

Rv

wL

vj

R

viii LR ∠

+

=⇒

+=+=+=

22ˆˆ11

ˆˆˆ rrrr




- Balioak ordezkatuz, korrontearen magnitudea

AwL

v

R

vI 5

30

120

40

120ˆˆ2222

=

+

=

+

=

- Eta angelua

º13.53==wL

Rartgθ

- Eta bektorea

º13.535∠=ir




- Aurreko adibide berdinarekin jarraituz, aldagai guztiak bektorialki adierazi behar ditugu

º0120∠=vr

- Bektore hauek bi dimentsiotako grafiko

batetan irudikatu daitezke. Grafiko hau

diagrama bektoriala deitzen da

º13.535∠=ir

º03∠=Rir

º904 −∠=Lir

viR

iLi

ºº




θ∠= vv ˆr

Zirkuitu Erresistiboa Zirkuitu Induktiboa Zirkuitu Kapazitiboa

θ∠= ii ˆr

θ∠= vv ˆr

º90ˆ −∠= θiir

θ∠= vv ˆr

º90ˆ +∠= θiir

0∠== Ri

vz r

rr

º90∠== LXi

vz r

rr

º90−∠== CXi

vz r

rr


5. Inpendantzia Konplexua

- Zirkuitu alternoan inpedantziak korrontea eta tentsioa erlazionatzen ditu

- Korrontea eta tentsioa zenbaki konplexuak direnez, inpedantzia ere zenbaki konplexua da

( ) ( )( ) ( ) [ ]Ω+=−+−=−∠=∠

∠== ααθθθθθθ

θ

θsincossincos

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ212121

2

1 jZji

v

i

v

i

v

i

vz r

rr

Z- Inpedantziaren modulua

i

vZ

ˆ

ˆ=

- Inpedantziaren angelua 21 θθα −=

- Inpedantzia era polarrean adierazia [ ]Ω∠= αZzr

[ ]Ω=i

vz r

rr


5. Inpendantzia Konplexua- Erresistentzia baten korronte eta tentsio balioak erresistentzia berak erlazionatzen ditu

- Kondentsadore baten korronte eta tentsio balioak kondentsadorearen erreaktantziak erlazionatzen ditu

- Harila baten korronte eta tentsio balioak harilaren erreaktantziak erlazionatzen ditu

- Hiru kasu hauetan korronte eta tentsio balioak erlazionatzen dituzten hiru parametro hauei izen

berdin batekin deitu ahal zaie: Inpedantzia

0∠== Ri

vz r

rr

LL jXXi

vz =∠== º90r

rr

CL jXXi

vz −=−∠== º90r

rr

Z: InpedantziaP

Â

Z



5.1 Inpedantzien arteko elkarketa

- Inpedantzien elkarketa egiteko erresistentzien elkarketan erabiltzen den prozedura berdina

jarraitu behar da

-Jarraian dauden inpendantzien elkarketa

-Paraleloan dauden inpedantzien elkarketa

[ ]Ω=∑i

iT zzrr

[ ]Ω=∑i iT zzrr11

v(t)Z3

i(t)Z1 Z2

[ ]Ω++= 321 zzzzTrrrr

v(t)

i(t)

Z1 Z2 Z3

[ ]Ω++=321

1111

zzzzTrrrr



5.1 Inpedantzien arteko elkarketa. Adibidea

- Kalkulatu irudian azaltzen den RL zirkuitu alternoaren inpedantzia totala




- Lehenik eta behin elementu ezberdinen inpedantziak kalkulatuko dira

[ ]Ω∠= º01 Rzr

[ ]Ω∠= º902 LXzr

- Inpedantziak jarraian daudenez

Ω+=∠+∠=+= LLT jXRXRzzz º90º021

rrr

- Era polarrean adieraziz

[ ]Ω∠= θTT Zzr

22LT XRZ += R

Xarctg L=θ




- Kalkulatu irudian azaltzen den RL zirkuitu alternoaren inpedantzia totala




- Lehenik eta behin elementu ezberdinen inpedantziak kalkulatuko dira

[ ]Ω∠= º01 Rzr

[ ]Ω∠= º902 LXzr

- Inpedantziak paraleloan daudenez

LLT jXRXRzzz

11

º90

1

º0

1111

21

+=∠

+∠

=+= rrr

- Garatuz

L

L

L

L

L

TjXR

jXR

jXR

jXR

jXR

z+

⋅=

⋅

+=

+

=1

11

1r




- Beraz,

- Apur bat gehiago garatuz

22

22

L

LL

L

L

L

LT

XR

XjRRX

jXR

jXR

jXR

jRXz

+

+=

−

−

+=

r

- Beraz

L

L

L

L

L

TjXR

jXR

jXR

jXR

jXR

z+

⋅=

⋅

+=

+

=1

11

1r

22

2

22

2

L

L

L

LT

XR

XRj

XR

RXz

++

+=

r




v(t)

L=7mH

i(t)R=2

- Kalkulatu ondorengo R-L zirkuituan alde batetik xahutu eta bestetik metatu egiten den potentzia

( )

+=4

200sin50π

ttv




- Lehenik eta behin elementu bakoitzaren

inpedantzia kalkulatuko da

- Eta inpedantzia totala

º3544.24.12 ∠=+=+= jjXRz LT

r

Ω=∠= 2º01 Rzr

Ω==∠= 4.1º902 jjwLXz L

r

- Behin inpedantzia totala ebatzia dagoela, iturriak ematen duen korrontea kalkula daiteke Ohmen

legea aplikatuz

Az

vi

T

º105.20º35º4544.2

50

3544.2

º4550∠=−∠=

∠

∠== r

rr




- Korronte eta tentsioak diagrama bektorialean adieraziz Ai º105.20 ∠=r

Vv º4550∠=r

- Balio efikazetan Ai º105.14º102

5.20∠=∠=

r

Vv º4535.35º452

50∠=∠=

r




- Ondoren elementu bakoitzeko potentzia kalkulatuko da. Erresistentziaren kasuan, honek xahututako

potentzia aktiboa

WIRP rmsR 5.4195.142 22=⋅=⋅=

- Eta harilak metatu edo gordetako potentzia erreaktiboa

VARIXQ rmsL 6.2935.144.1 22=⋅=⋅=

- Iturriak alde batetik potentzia aktiboa ematen du eta bestetik potentzia erreaktiboa




- Inpedantzia baliokidearen potentzia Itxurazko Potentzia moduan

ezagutzen da eta bere balioa ondorengo adierazpenaren bidez

kalkulatzen da

[ ]VAivS *rrr

⋅=

- Zirkuituko inpedantzia baliokidearen potentzia kalkulatu nahi da. Korrontea eta tentsioa era

bektorialean adieraziz

α∠=Vvr

β∠= Iir

β−∠= Ii *r

- Tentsioa eta korrontearen balioak ordezkatuz

[ ]VAIVIVIVS rmsrmsrmsrmsrmsrms ϕβαβα ∠⋅=−∠⋅=−∠⋅∠=r




- Inpedantzia baliokidearen potentzia Itxurazko Potentzia deitzen da eta bi osagai dauzka. Bata

erreala eta bestea irudikaria

- Osagai erreala erresistentziak xahututako potentzia aktiboa da

- Osagai irudikaria harilan metatutako potentzia erreaktiboa da

jQPS +=r

[ ]VAIVS rmsrms ϕ∠⋅=r

[ ]WIRIVP rmsrmsrms2

cos ⋅=⋅⋅= ϕ

[ ]VARIXIVQ rmsLrmsrms2

sin ⋅=⋅⋅= ϕ

Potentzi Triangelua




- Adibideko balioak ordezkatuz:

-Potentzia Aktiboa

-Potentzia Erreaktiboa

WIRP rms 5.4205.142 22 =⋅=⋅=

VARIVQ rmsrms 35.294º35sin5.1435.35sin =⋅⋅=⋅⋅= ϕ

Potentzi Triangelua

WIVP rmsrms 5.420º35cos5.1435.35cos =⋅⋅=⋅⋅= ϕ

VARIXQ rmsL 35.2945.144.1 22=⋅=⋅=



5.2 Potentzia Inpedantzian. Inpedantzia Erresistiboa

- Zirkuitu erresistibo batek potentzia aktiboa baino ez du xahutzen

- Potentzia erreaktiborik ez dago. Beraz itxurazko potentzia eta potentzia aktiboa berdinak dira

[ ]WIRIRIzS rmsrmsrms222

º0 ⋅=⋅∠=⋅=rr [ ]WIVIVP rmsrmsrmsrms ⋅=⋅⋅= 0cos

[ ]VARIVQ rmsrms 00sin =⋅⋅=



5.2 Potentzia Inpedantzian. Inpedantzia Induktiboa

- Zirkuitu induktibo batek potentzia erreaktiboa baino ez du xahutzen

- Potentzia aktiborik ez dago. Beraz itxurazko potentzia eta potentzia erreaktiboa berdinak dira

v(t)

XL

i(t)

i

Q=S

v

º

[ ]VARIjXIXIzS rmsLrmsLrms222

º90 ⋅=⋅∠=⋅=rr [ ]WIVP rmsrms 090cos =⋅⋅=

[ ]VARIVIVQ rmsrmsrmsrms ⋅=⋅⋅= 90sin




- Zirkuitu kapazitibo batek potentzia erreaktiboa baino ez du xahutzen

- Potentzia aktiborik ez dago. Beraz itxurazko potentzia eta potentzia erreaktiboa berdinak dira

[ ]VARIjXIXIzS rmsCrmsCrms222

90 ⋅−=⋅−∠=⋅=rr ( ) [ ]WIVP rmsrms 090cos =−⋅⋅=

( ) [ ]VARIVIVQ rmsrmsrmsrms ⋅−=−⋅⋅= 90sin


6. Potentzia Faktorea

- Potentzia faktoreak potentzia aktiboa eta itxurazko potentziaren arteko erlazioa definitzen du

S

PPF == ϕcos

[ ]WIVP rmsrms ϕcos⋅⋅=

[ ]VARIVQ rmsrms ϕsin⋅⋅=

[ ]VAIVS rmsrms ⋅=

( ) 100% ⋅=S

PPF

- P≤Q denez beti, potentzia faltorea PF ≤ 1 izanen da beti



6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea

- Sare elektrikora konektatzen diren karga gehienak induktibo-erresistibioak izan ohi dira. Horrek esan

nahi du, sarean potentzia aktiboaz gain potentzia erreaktibo baten transferentzia dagoela

- Potentzia erreaktiboak ez du lanik egiten, baina sarean korronte gehigarri bat suposatzen du

- Korronte gehigarri honen ondorioz sareko eroaleetan ematen diren Joulen galerak handitu egiten

dira

- Sareko potentzia erreaktiboa Q=0 izatea komeni da era honetan sareko efizientzia hobetzeko

[ ]WIVP rmsrms ϕcos⋅⋅=

[ ]VARIVQ rmsrms ϕsin⋅⋅=

Sortu Xahutu

Rief2



6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea

- Karga induktibo batek sarean sortzen duen potentzia erreaktiboa kondentsadoreak gehituz ezabatu

daiteke.

- Era honetan potentzia erreaktiboa kondentsadore eta induktantzien artean mugitzen da eta ez da

saretik hartzen.

V

Ief

Zirkuitua

Z= R+jX

V

Ief

Zirkuitua

Z= R+jX

C

P

Q

S

θθθθ

Aprobetxagarria - > LANA

P

Q

S

θθθθ

QC

Q’

S’

θθθθ’

S=VefIef



6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea. Adibidea

- Demagun irudian azaltzen den zirkuitu induktibo-erresistiboa daukagula. Kalkulatu gehitu beharreko

kondentsadorearen balio kapazitiboa iturriak emandako potentzia erreaktiboa zero izan dadin

V L

R

i

iR iL º30220∠=vr

Ω= 20R

mHL 40=

Hzf 50=




- Lehenik eta behin zirkuituko inpedantzia baliokidea kalkulatuko da

22

2

22

2

||

L

L

L

LL

XR

XRj

XR

XRjXRz

+

⋅+

+

⋅==

rº86.5764.10 ∠=∠= θZz

r

- Iturriak ematen duen korrontea

Az

vi º86.2767.20

º86.5764.10

30220−∠=

∠

∠== r

rr




- Itxurazko potentzia

VAivS º86.574547º86.2767.20º30220* ∠=−∠⋅∠=⋅=rrr

- Potentzi aktiboa

S

º

P

Q

WSP 2419º86.57cos4547cos =⋅=⋅= ϕ

- Eta potentzia erreaktiboa

VARSQ 3850º86.57sin4547sin =⋅=⋅= ϕ




- Kondentsadorearen potentzia erreaktiboa QC=3850VAR izan behar da zirkuituko potentzia erreaktibo

osoa zero izan dadin

VARVCwX

VQ C

C

CC 3850

22

=⋅⋅==

V L

R

i

iR iL

C

iC

- Kondentsadorearen kapazitatea askatuz

FfVw

QC

C

C 6

22102.253

2202

3850 −×=⋅⋅

=⋅

=π




- Kondentsadoreko korrontea

AVCwX

V

z

vi

CC º1205.17º120

º90

º30

3

∠=∠⋅⋅=−∠

∠== r

rr

- Iturriak ematen duen korrontea korapiloko korronteen arauarekin kalkula daiteke

º1205.17º89.2767.20 ∠+−∠=+= CRL iiirrr

- Batuketa era binomialean

( ) ( ) 432.536.91.159.8668.926.18 jjji +=+−+−=r

- Era polarrean

º3082.10 ∠=ir


Irudian azaltzen den transformadore monofasikoa aztertu nahi da. Horretarako ondorengo puntuak

jorratuko dira:

a) Transformagailuaren inpedantzia

b) Sekundarioko boltaiaren kalkulua

ARIKETA. Transformadore monofasikoa

( ) ( ) ( ) [ ]Vttvtvp ⋅⋅⋅== 15.314sin22021

1000=pN

109=sN

mml 400=2100 mmA =


a) Transformadorearen Inpedantzia

- Sekundarioko tentsioa kalkulatzeko zirkuitu magnetikoa aztertu beharra dago

lA

vp

ip

Np Ns NpIp

pmml 400=

2100 mmA =

A

l

orµµ

1=ℜ

- Sekundarioan ez dago kargarik, beraz, ez dago korronterik. Orduan zirkuitu magnetikoan indar

magneto-eragile bakarra dago. Hain zuzen ere primarioko korronteak sorturikoa

- Zirkuituko fluxu magnetikoa hopkinsonen legea aplikatuz kalkula daiteke

( )( )

( )( )

l

AtiNtiN

tiNt

pporpp

ppp

µµ=Λ=

ℜ=Φ


- Harilaren induktantzia definizioz,

- Hasiera batean harila ideala suposatuk da. Hau da, harilak ez dauka inolako erresistentziarik eta

bere inpedantzia guztiz induktiboa da.

l

ANN

iNL

porp

p

ppp

22 µµ

=Λ=Φ

= r

a) Transformadorearen Inpedantzia

º90∠== ppp wLjXzr

vp

ip


b) Transformadorearen sekundarioko tentsioa

- Primarioko korrontea alternoa da. Horrek esan nahi du fluxu magnetikoa ere alternoa dela

- Primarioko korronteak sortutako fluxu magnetiko alternoak sekundarioko harila zeharkatzen du.

Horrela, Faradayren legearen arabera sekundarioko harilean tentsio bat induzituko da

º0ˆº90ˆˆ ∠Λ=+∠Φ⋅⋅=∠=⇒Φ

⋅= ppspsssp

ss INwNwNVvdt

dNv αβ

r

r

r

- Primarioko korrontea

º90ˆ

º90

º0ˆ−∠=

∠

∠==

p

p

p

p

p

pp

X

V

X

V

z

vi r

rr

( ) ( )tiNt ppp Λ=Φ º90ˆ

−∠Λ=Λ=Φp

pp

p

ppp

X

VN

z

vN r

rr

α∠Φ=Φ ppˆ

r



- Primarioko eta sekundarioko tentsioak

º0ˆº90ˆº90 ∠=−∠⋅∠=⋅= ppppppp IwLIXizvrrr

º0ˆ ∠Λ= ppss INwNvr

- Nola2

pp NL ⋅Λ=

- Sekundarioko tentsioa

º0ˆ ∠= ppp

ss IL

N

Nwv

r

- Bi tentsioen arteko erlazioa

s

p

ppp

s

pp

s

p

N

N

ILN

Nw

IwL

v

v=

∠

∠=

º0ˆ

º0ˆ

r

r



- Transformadorearen primario eta sekundarioko tentsioak harilen buelta kopuruen araberakoak dira

s

p

s

p

N

N

V

V=

ˆ

ˆ


Propietate Trigonometrikoak

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )babasinbsina

sinbsinababa

sinbabsinabasin

aa

aasin

asinaasinaa

asinaasin

asina

asina

aa

asinsina

+⋅−−⋅=⋅

⋅−⋅=+

⋅+⋅=+

+=

−=

−=−=−=

⋅=

+=

−=

−=

−−=

cos2

1cos

2

1

coscoscos

coscos

2

2cos1cos

2

2cos1

211cos2cos2cos

cos22

º90cos

º90cos

coscos

2

2

2222

( ) ( )

( ) ( )

2cos

2cos2coscos

2cos

22

cos2

1

2

1coscos

2

1

2

1cos

bababa

babasinsinbsina

babasinba

basinbasinbsina

−⋅

+⋅=+

−⋅

+⋅=+

−++⋅=⋅

−⋅++⋅=⋅

Korronte Alternoa

Documents

Transcript of Korronte Alternoa