Junta de Andalucía...I.E.S. Francisco de los Cobos Plan Anual de Centro. Curso 2015-2016....

Plan Anual de Centro. Curso 2015-2016. Departamento de Matemáticas.

ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA

PROYECTO CURRICULAR

MATEMÁTICAS ANDALUCÍA

I.E.S. Francisco de los Cobos


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ÍNDICE

ENSEÑANZA SECUNDARIA OBLIGATORIA_______________________________4 Primer Ciclo de ESO_______________________________________________________16

• Contenidos y criterios de evaluación del área en este ciclo_________________________16 • Selección y secuenciación de contenidos/Unidades Didácticas______________________22 • Programación de 1º ESO unidad a unidad______________________________________31 • Programación de 2º ESO unidad a unidad______________________________________60

Segundo Ciclo de ESO_____________________________________________________ 85

• Contenidos y criterios de evaluación del área en este ciclo__________________________87 Selección y secuenciación de contenidos/Unidades Didácticas

• Programación de 3º ESO unidad a unidad_______________________________________103 • Programación de 4º ESO Mat.A unidad a unidad_________________________________125 • Programación de 4º ESO Mat.B unidad a unidad_________________________________159

MATEMÁTICAS I y II BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOG ÍA________188 Matemáticas I. Objetivos, organización y distribución de contenidos______________188

• Unidades__________________________________________________________190

Matemáticas II. Objetivos, organización y distribución de contenidos_____________218 • Unidades__________________________________________________________220

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I y I I____________231 MCS I. Objetivos, organización y distribución de contenidos, etc_________________235

• Unidades__________________________________________________________245

MCS II. Objetivos, organización y distribución de contenidos, etc________________268 • Unidades__________________________________________________________268

TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN 2ºBach.________299 INFORMÁTICA 4º ESO___________________________________________________300



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PRESENTACIÓN

La finalidad fundamental de la enseñanza de las Matemáticas es el desarrollo de la facultad de razonamiento y de abstracción. La capacidad humana de razonar encuentra en las matemáticas un aliado privilegiado para desarrollarse, y ese desarrollo constituye el principal objetivo pedagógico de esta ciencia. Otra finalidad, no menos importante de las Matemáticas, es su carácter instrumental.

Las Matemáticas aparecen estrechamente vinculadas a los avances que la civilización ha ido alcanzando a lo largo de la Historia y contribuyen, hoy día, tanto al desarrollo como a la formalización de las Ciencias Experimentales y Sociales, a las que prestan un adecuado apoyo instrumental. Por otra parte, el lenguaje matemático, aplicado a los distintos fenómenos y aspectos de la realidad, es un instrumento eficaz que nos ayuda a comprender mejor la realidad que nos rodea y adaptarnos a un entorno cotidiano en continua evolución. En consecuencia, el aprendizaje de las Matemáticas proporciona a los adolescentes la oportunidad de descubrir las posibilidades de su propio entendimiento y afianzar su personalidad, además de un fondo cultural necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para acceder a otras ramas de la ciencia.

La enseñanza de las Matemáticas debe configurarse de forma cíclica, de manera que en cada curso coexistan nuevos contenidos, tratados a modo de introducción, con otros que afiancen, completen o repasen los de cursos anteriores, ampliando su campo de aplicación y enriqueciéndose con nuevas relaciones, pretendiendo facilitar con esta estructura el aprendizaje de los alumnos.

La metodología deberá adaptarse a cada grupo de alumnos y situación, rentabilizando al máximo los recursos disponibles. Como criterio general parecen aconsejables las actuaciones que potencien el aprendizaje inductivo, sobre todo durante los primeros años de la etapa, a través de observación y manipulación, y refuercen, al mismo tiempo, la adquisición de destrezas básicas, esquemas y estrategias personales a la hora de enfrentarse ante una situación problemática cercana al alumno, sin perder de vista la relación con otras áreas del currículo. La resolución de problemas debe contemplarse como una práctica habitual, que no puede tratarse de forma aislada, sino integrada en todas y cada una de las facetas que conforman el proceso de enseñanza y aprendizaje.

En los últimos años, hemos presenciado un vertiginoso desarrollo tecnológico. El ciudadano del siglo XXI no podrá ignorar el funcionamiento de una calculadora o de un ordenador, con el fin de poder servirse de ellos, pero debe darles un trato racional que evite su indefensión ante la necesidad, por ejemplo, de realizar un cálculo sencillo cuando no tiene a mano su calculadora. El uso indiscriminado de la calculadora en el primer ciclo impedirá, por ejemplo, que los alumnos adquieran las destrezas de cálculo básicas que necesitan en cursos posteriores. Por otra parte, la calculadora y ciertos programas informáticos, resultan ser recursos investigadores de primer orden en el análisis de propiedades y relaciones numéricas y gráficas y en este sentido debe potenciarse su empleo.



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Educación Secundaria Obligatoria OBJETIVOS GENERALES PARA LA ETAPA (DECRETO de currículo de la Educación Secundaria Obligatoria de la Junta de Andalucía) Los procesos de enseñanza y aprendizaje tendrán como objetivo, en esta etapa educativa, contribuir a desarrollar en los alumnos y alumnas las siguientes capacidades: a) Conocer y comprender los aspectos básicos del funcionamiento del propio cuerpo y la incidencia que tienen diversos actos y decisiones personales, tanto en la salud individual como en la colectiva. b) Formarse una imagen ajustada de sí mismo, de sus características y posibilidades y actuar de forma autónoma valorando el esfuerzo necesario para superar las dificultades. c) Relacionarse con otras personas e integrarse de forma participativa en actividades de grupo con actitudes respetuosas, solidarias y tolerantes, libres de inhibiciones y prejuicios. d) Analizar los mecanismos y valores que rigen el funcionamiento de las sociedades, especialmente los relativos a los derechos y deberes de los ciudadanos. e) Analizar los procesos básicos que rigen el funcionamiento del medio físico y natural, valorar las repercusiones que sobre él tienen las actividades humanas y contribuir activamente a la defensa, conservación y mejora del mismo como elemento determinante de la calidad de vida. f) Conocer y apreciar el patrimonio natural, cultural, lingüístico e histórico de Andalucía y analizar los elementos y rasgos básicos del mismo, así como su inserción en la diversidad de Comunidades del Estado. g) Conocer y valorar el desarrollo científico y tecnológico, sus aplicaciones e incidencia en el medio físico, natural y social. h) Conocer y valorar el patrimonio cultural y contribuir activamente a su conservación y mejora, entender la diversidad lingüística y cultural como un derecho de los pueblos y de los individuos, y desarrollar una actitud de interés y respeto hacia el ejercicio de este derecho. i) Comprender y producir mensajes orales y escritos en castellano, atendiendo a las peculiaridades del habla andaluza, con propiedad, autonomía y creatividad, utilizándolos para comunicarse y organizar el pensamiento. j) Comprender y expresar mensajes orales y escritos contextualizados, en la lengua o lenguas extranjeras objeto de estudio. k) Interpretar y producir con propiedad, autonomía y creatividad mensajes que utilicen códigos artísticos, científicos y técnicos. l) Elaborar estrategias de identificación y resolución de problemas en los diversos campos del conocimiento y la experiencia, contrastándolas y reflexionando sobre el proceso seguido.



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m) Obtener y seleccionar información, tratarla de forma autónoma y crítica y transmitirla a los demás de manera organizada e inteligible. n) Conocer las creencias, actitudes y valores básicos de nuestra tradición y patrimonio cultural, valorarlos críticamente y elegir aquellas opciones que mejor favorezcan su desarrollo integral como persona.



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OBJETIVOS DE MATEMÁTICAS PARA LA ETAPA (Currículo oficial de Andalucía) La educación matemática en esta etapa se orientará a facilitar los aprendizajes necesarios para desarrollar en los alumnos y alumnas las siguientes capacidades: 1.- Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad.

2.- Comprender e interpretar distintas formas de expresión matemática e incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentación habituales.

3.- Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar diferentes estrategias para resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiados.

4.-Reflexionar sobre las propias estrategias utilizadas en las actividades matemáticas.

5. -Incorporar hábitos y actitudes propios de la actividad matemática.

6.- Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos con especial énfasis en los recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones instrumentales de las matemáticas.



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SELECCIÓN DE OBJETIVOS DE MATEMÁTICAS PARA LA ETAPA 1. Interpretar expresiones matemáticas sencillas expresadas en lenguaje matemático (numérico, gráfico, geométrico, lógico, algebraico, probabilístico) (Obj. 2). 2. Expresar situaciones de la vida cotidiana utilizando formas sencillas del lenguaje matemático (numérico, gráfico, geométrico, lógico, algebraico, probabilístico) (Obj. 2). 3.Organizar informaciones diversas de situaciones de la vida cotidiana o contenidos en el enunciado de un problema (Objs. 1, 3). 4. Utilizar la calculadora, el cálculo mental y/o los algoritmos de lápiz y papel para realizar cálculos, seleccionando la técnica más adecuada en función de los intereses (rapidez, precisión, etc.) (Objs. 4, 5, 6). 5. Realizar mediciones de ángulos, áreas y volúmenes de figuras planas y cuerpos geométricos utilizando los instrumentos idóneos y expresando el resultado de las mediciones en las unidades adecuadas. (Objs. 1, 2). 6. Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan números naturales, enteros y racionales, describiendo verbalmente el proceso elegido y las soluciones obtenidas y utilizando correctamente las cuatro operaciones básicas (Objs. 1, 2, 3). 7. Utilizar algoritmos de cálculo y estrategias adecuadas para resolver ejercicios y problemas de ecuaciones de primer grado, incompletas de segundo grado y de proporcionalidad directa e inversa, así como para calcular los parámetros centrales y de dispersión sencillos (Objs. 1, 3). 8. Identificar, interpretar y representar funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa y directa (Objs. 1,2) 9. Utilizar técnicas sencillas de recogida y organización de la información sobre fenómenos y procesos reales, construyendo tablas de frecuencias y representando estas en diagramas de barras, de sectores y polígonos de frecuencias (Objs. 1, 2). 10. Realizar estimaciones sobre cálculos, medidas, probabilidades, etc., y contrastarlas con sus formas exactas (Obj. 1). 11. Identificar en la realidad formas geométricas (planas, poliedros y cuerpos redondos) analizando sus propiedades estableciendo relaciones entre ellas. (Obj. 1). 12. Conocer y aplicar los teoremas de Tales y Pitágoras en diversas situaciones de la vida cotidiana y en la resolución de problemas (Obj.1) 13. Identificar los elementos matemáticos (datos numéricos y estadísticos, porcentajes, gráficos, tablas, etc.) presentes en conversaciones y medios de comunicación (Obj. 2) 14. Apreciar la utilidad de las matemáticas para el análisis de la realidad y la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana (Objs. 4, 5). 15. Conocer y disfrutar del componente lúdico, estético y creativo de las matemáticas a través de la realización de juegos (numéricos, geométricos, probabilísticos, etc.), la construcción de formas geométricas, problemas de ingenio, etc. (Obj. 5). 16. Conocer sus propias habilidades matemáticas y utilizarlas con confianza en las situaciones de la vida cotidiana que lo requieran (Obj. 5).



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Entre paréntesis aparece la relación con los objetivos del currículo oficial. Las competencias básicas en el currículo y la programación La incorporación de las competencias al currículo y a la programación tiene varias intenciones: � Destacar aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles, con un planteamiento

integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos en diferentes situaciones y contextos. Para ello, deben integrarse los diferentes aprendizajes, tanto los formales –de las correspondientes materias- como los informales y los no formales. Por ser imprescindibles, estas competencias han de estar al alcance de la mayoría y se derivan una de una cultura común, socialmente construida.

� Orientar la enseñanza, puesto que permiten identificar los contenidos y los criterios de evaluación

que tienen carácter imprescindible y, con carácter general, inspiran las distintas decisiones –en este caso, la programación- relativas al proceso de enseñanza y de aprendizaje.

� Contribuir, de manera decisiva, a que el alumnado que concluya la Educación Secundaria

Obligatoria pueda lograr su realización personal, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse a la vida adulta de manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar un aprendizaje permanente a lo largo de la vida. Por eso las competencias incluidas en el currículo deben ser relevantes en una gama diversa de ámbitos y desenvolvimientos sociales, además de instrumentales con respecto a otras competencias más específicas y concretas.

La materia de MATEMÁTICAS cuenta con objetivos propios, relacionados con los de la Educación Secundaria Obligatoria, y, con ellos, se facilita la adquisición de las competencias básicas. Sin embargo, tal como se establece en el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria, no existe una relación unívoca entre las enseñanzas de una determinada materia y el desarrollo de ciertas competencias. Antes que esto, cada materia puede contribuir al desarrollo de diferentes competencias, a la vez que cada una de las competencias se logrará como resultado del trabajo en diferentes materias. Asimismo, no sólo las enseñanzas vinculadas a la materia contribuyen a la adquisición de las competencias, sino que la organización y el funcionamiento del centro y de las aulas, las normas de régimen interno, las opciones pedagógicas y metodológicas, los recursos didácticos, la participación del alumnado, la concepción y el funcionamiento de la biblioteca, la acción tutorial, la planificación de las actividades complementarias y extraescolares… pueden predisponer o dificultar el logro de distintas competencias. Objetivos educativos como capacidades y competencias básicas Uno de los análisis más necesarios para acometer la programación se aplica a las relaciones entre objetivos educativos como capacidades y competencias básicas. En primer término, las cuestiones se asocian al grado de jerarquía, o de inclusión, entre unos y otros. Para resolverlas, es necesario precisar los conceptos y convenir su alcance. Con respecto al de capacidad, conviene establecerlo como próximo al potencial o a la aptitud, inherente a todas las personas, de adquirir nuevos conocimientos y destrezas en una dinámica de



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aprendizaje permanente, a lo largo de la vida. Por tanto, antes que alcanzar un nivel predefinido de tales capacidades, se trata de guiar al alumnado para que, a partir de las consideradas relevantes en la educación obligatoria, puedan asumir su propio aprendizaje permanente. Este concepto de capacidad, de objetivos como “capacidades”, avanza con respecto a la consideración de los objetivos en tanto que “comportamientos” o “conductas”. El concepto de competencia, por su parte, remite a dos perspectivas: una funcional, vinculada a la resolución satisfactoria de tareas, y otra estructural, deducida de la actividad mental que se requiere para integrar y poner en juego distintos elementos. En definitiva, la resolución de tareas y de demandas individuales o sociales remite a las competencias apreciadas de manera “externa”; y la combinación de habilidades prácticas y cognitivas, conocimiento, motivación, valores, actitudes o emociones, que hacen posible afrontar las demandas, caracteriza a las competencias consideradas desde el “interior”. En esta descripción de las competencias conviene subrayar, a su vez, que más que la combinación de los elementos, lo que caracteriza a las competencias es la forma en que éstos se combinan, a partir de distintas modos de pensamiento. Por esto mismo, también podría definirse la competencia como la posibilidad, propia de cada individuo, de movilizar, de manera interiorizada e integrada, un conjunto de recursos para resolver, como después de indicará con respecto a las actividades, “situaciones-problema”. Y, según acaba de adelantarse, más que los recursos que se movilizan, interesa la manera en que se movilizan para afrontar situaciones complejas. Diferenciar “capacidades” de “competencias” o tomarlas como términos sinónimos, con los efectos consiguientes, no resulta fácil ante la necesidad de completar modelos teóricos todavía incipientes. Como criterio básico, suele referirse la vinculación de las capacidades y de las competencias con el conocimiento. Así, las primeras, las capacidades, atribuyen valor educativo al conocimiento cuando éste ayuda al desarrollo personal; y las segundas, las competencias, hacen lo propio pero tomando como criterio la adecuada resolución de tareas. De tal manera que las capacidades, en buena medida, se desarrollan mediante la adquisición de competencias. A su vez, en el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria, ya se adelantó, como una de las finalidades de las competencias, la de orientar los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Es oportuno disponer, entonces, tal como se hace en los apartados siguientes, del nivel considerado básico para la adquisición de las competencias al concluir la educación obligatoria y de la contribución de la materia de MATEMÁTICAS al logro de las mismas. Competencias educativas y niveles básicos de logro En el cuadro adjunto se detallan, para cada unas de las competencias, el nivel considerado básico que debe alcanzar todo el alumnado al finalizar la Educación Secundaria Obligatoria, a partir del currículo establecido para estas enseñanzas.

Competencia en comunicación lingüística Competencia matemática

Disponer de esta competencia conlleva tener conciencia de las convenciones sociales, de los valores y aspectos culturales y de la versatilidad del

El desarrollo de la competencia matemática al final de la educación obligatoria conlleva utilizar espontáneamente -en los ámbitos personal y



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lenguaje en función del contexto y la intención comunicativa. Implica la capacidad empática de ponerse en el lugar de otras personas; de leer, escuchar, analizar y tener en cuenta opiniones distintas a la propia con sensibilidad y espíritu crítico; de expresar adecuadamente –en fondo y forma– las propias ideas y emociones, y de aceptar y realizar críticas con espíritu constructivo. Con distinto nivel de dominio y formalización –especialmente en lengua escrita– esta competencia significa, en el caso de las lenguas extranjeras, poder comunicarse en algunas de ellas y, con ello, enriquecer las relaciones sociales y desenvolverse en contextos distintos al propio. Asimismo, se favorece el acceso a más y diversas fuentes de información, comunicación y aprendizaje. En síntesis, el desarrollo de la competencia lingüística al final de la educación obligatoria comporta el dominio de la lengua oral y escrita en múltiples contextos, y el uso funcional de, al menos, una lengua extranjera.

social- los elementos y razonamientos matemáticos para interpretar y producir información, para resolver problemas provenientes de situaciones cotidianas y para tomar decisiones. En definitiva, supone aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas, e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad.

Competencia en el conocimiento

y la interacción con el mundo físico Tratamiento de la información

y competencia digital

Esta competencia supone el desarrollo y aplicación del pensamiento científico-técnico para interpretar la información que se recibe y para predecir y tomar decisiones con iniciativa y autonomía personal en un mundo en el que los avances que se van produciendo en los ámbitos científico y tecnológico tienen una influencia decisiva en la vida personal, la sociedad y el mundo natural. Asimismo, implica la diferenciación y valoración del conocimiento científico al lado de otras formas de conocimiento, y la utilización de valores y criterios éticos asociados a la ciencia y al desarrollo tecnológico. Son parte de esta competencia básica el uso responsable de los recursos naturales, el cuidado del medio ambiente, el consumo racional y responsable, y la protección de la salud individual y colectiva como elementos clave de la calidad de vida de las personas.

El tratamiento de la información y la competencia digital implican ser una persona autónoma, eficaz, responsable, crítica y reflexiva al seleccionar, tratar y utilizar la información y sus fuentes, así como las distintas herramientas tecnológicas; también tener una actitud critica y reflexiva en la valoración de la información disponible, contrastándola cuando es necesario, y respetar las normas de conducta acordadas socialmente para regular el uso de la información y sus fuentes en los distintos soportes.



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Competencia social y ciudadana Competencia cultural y artística

Esta competencia supone comprender la realidad social en que se vive, afrontar la convivencia y los conflictos empleando el juicio ético basado en los valores y prácticas democráticas, y ejercer la ciudadanía, actuando con criterio propio, contribuyendo a la construcción de la paz y la democracia, y manteniendo una actitud constructiva, solidaria y responsable ante el cumplimiento de los derechos y obligaciones cívicas.

El conjunto de destrezas que configuran esta competencia se refiere tanto a la habilidad para apreciar y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales, como a aquellas relacionadas con el empleo de algunos recursos de la expresión artística para realizar creaciones propias; implica un conocimiento básico de las distintas manifestaciones culturales y artísticas, la aplicación de habilidades de pensamiento divergente y de trabajo colaborativo, una actitud abierta, respetuosa y crítica hacia la diversidad de expresiones artísticas y culturales, el deseo y voluntad de cultivar la propia capacidad estética y creadora, y un interés por participar en la vida cultural y por contribuir a la conservación del patrimonio cultural y artístico, tanto de la propia comunidad, como de otras comunidades.

Competencia para aprender a aprender Autonomía e iniciativa personal

Aprender a aprender implica la conciencia, gestión y control de las propias capacidades y conocimientos desde un sentimiento de competencia o eficacia personal, e incluye tanto el pensamiento estratégico, como la capacidad de cooperar, de autoevaluarse, y el manejo eficiente de un conjunto de recursos y técnicas de trabajo intelectual, todo lo cual se desarrolla a través de experiencias de aprendizaje conscientes y gratificantes, tanto individuales como colectivas.

La autonomía y la iniciativa personal suponen ser capaz de imaginar, emprender, desarrollar y evaluar acciones o proyectos individuales o colectivos con creatividad, confianza, responsabilidad y sentido crítico.

I.E.S.”Francisco de los Cobos”


La contribución de la materia de MATEMÁTICAS al logro de las competencias básicas Ya se adelantó que no existe una correspondencia unívoca entre materias y competencias, sino que cada materia contribuye al logro de diferentes competencias. Y éstas, a la vez, se alcanzan como resultado del trabajo en diferentes materias. La concreción que se realiza ahora, en lo que podemos denominar “elementos de competencia”, es de especial interés para la programación de las unidades didácticas, puesto que se relacionan con los objetivos, contenidos y criterios de evaluación de las mismas. Tales elementos, por su parte, tienen que ver con conocimientos, habilidades, destrezas, actitudes, acciones… que, de manera integrada, conforman las competencias educativas. Las competencias y sus elementos constitutivos se establecen para la enseñanza obligatoria. Por esto mismo, su adquisición es progresiva, en función del desarrollo del currículo en cada uno de los cursos. Competencia matemática Es la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática, y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio, contribuye a profundizar esta competencia. La modelización constituye otro referente en esta dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comportamiento, regularidades e invariantes, a partir de las que hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Tratamiento de la información y competencia digital La incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas contribuye a mejorar esta en los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico, como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de los alumnos.



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Competencia en comunicación lingüística Las Matemáticas contribuyen a esta competencia ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y, en particular, en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un léxico de carácter sintético, simbólico y abstracto. Competencia en expresión cultural y artística Las Matemáticas contribuyen a esta competencia porque el mismo conocimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la Geometría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Autonomía e iniciativa personal Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen, de forma especial, a fomentar esta competencia porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Aprender a Aprender Las técnicas heurísticas que desarrolla la competencia de Autonomía e iniciativa personal, constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento, y consolidan la adquisición de destrezas involucradas en esta competencia, tales como: la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar los resultados. Competencia social y ciudadana La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las Matemáticas para describir fenómenos sociales. Las Matemáticas, fundamentalmente a través del análisis funcional y de la Estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios.



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TEMAS TRANSVERSALES

Los temas transversales que deben tratarse en esta etapa son:

• Educación moral y cívica.

• Educación para la paz.

• Educación para la salud.

• Educación para la igualdad de oportunidades entre las personas de distinto sexo.

• Educación ambiental.

• Educación sexual.

• Educación del consumidor.

• Educación vial.

En el área de Matemáticas los temas transversales pueden considerarse elementos motivadores, ya que permiten trabajar los contenidos matemáticos de una forma novedosa, al servir como fuente de utilización de diferentes contextos que proporcionan significados nuevos a los contenidos que se están trabajando. Además, estos temas permiten trabajar de una manera especial los contenidos actitudinales.

1. La educación moral y cívica se aborda al estimular las actitudes de rigor, sentido crítico, orden y precisión, necesarias en el estudio de las matemáticas. También influyen en la formación humana, el esfuerzo y la constancia en la búsqueda de soluciones a las cuestiones y problemas matemáticos. Por último, conviene señalar que la familiaridad y gusto hacia las matemáticas puede contribuir de forma importante al desarrollo de la autoestima, en la medida en la que el alumno llegue a considerarse capaz de enfrentarse, de modo autónomo, a numerosos y diversos problemas.

2. La educación del consumidor se fomenta al desarrollar actitudes como la sensibilidad, el interés y el rigor en el uso del lenguaje gráfico y estadístico. El sentido crítico necesario para consumir de forma adecuada y responsable, se desarrolla al valorar las informaciones sobre la medida de las cosas, de acuerdo con la precisión y unidades con la que se expresan y con las dimensiones del objeto al que se refieren. También influye la disposición favorable a tener en cuenta las informaciones probabilísticas en la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios, la valoración crítica de las informaciones probabilísticas en los medios de información.

3. A la educación para la paz contribuye el desarrollo del espíritu de convivencia y de colaboración a través de actividades de trabajo en equipo y la discusión razonada.

4. La educación para la salud, sobre todo la psíquica, se realiza fomentando el orden y el rigor en las actividades. De esta manera se contribuye a la salud mental.



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5. La educación para la igualdad de oportunidades entre las personas de distinto sexo se tiene en cuenta a la hora de formular problemas y a la hora de formar equipos, procurando que los chicos y las chicas establezcan una relación profesional cordial y relajada.

6. La educación ambiental se fomenta con diversas actividades propuestas en los libros de texto.

7. La educación vial se facilita al educar el sentido espacial, fundamentalmente a través de los contenidos de geometría. El estudio de planos y mapas contribuye a este objetivo.



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PRIMER CICLO DE ESO CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS (Currículo o ficial) 1. Aplicar los conocimientos matemáticos a distintas situaciones.

Realizar mediciones directas e indirectas con las magnitudes mencionadas en el ciclo, controlando la precisión, aproximación y error de acuerdo con la situación problemática objeto de trabajo.

Analizar de forma fundamentalmente cualitativa relaciones de dependencia funcional para explicar de qué forma un cambio en una variable provoca cambios en la otra.

Desarrollar el gusto por la observación de formas y figuras geométricas.

Codificar en lenguaje matemático expresiones y situaciones de la vida cotidiana.

Interpretar y valorar tablas de datos y gráficos estadísticos sobre hechos o noticias de la actualidad.

2. Resolver problemas, controlar los procesos que se están ejecutando y de tomar decisiones.

Resolver problemas sencillos que les permitan ir diferenciando las nociones de incógnita, variable, igualdad y ecuación.

Identificar las dificultades y los errores que surgen en el procedimiento de resolución de problemas.

Explicitar las operaciones que corresponden a una situación determinada y, elaborar enunciados a partir de una operación aritmética dada.

Adquirir confianza en la resolución de ecuaciones lineales usando métodos informales.

3. Comunicar ideas matemáticas y utilizar distintas formas de razonamientos.

Describir de forma precisa las operaciones realizadas.

Analizar situaciones para identificar propiedades y estructuras comunes.

Buscar ejemplos y contraejemplos

Interpretar tablas dadas y diversas representaciones gráficas formulando inferencias y argumentos que se apoyen en el análisis de estos datos y realizar predicciones que se basen en probabilidades experimentales.

4. Usar conceptos y estructuras conceptuales.

Decidir si un número es múltiplo o divisor de otro. Reconocer y obtener múltiplos y divisores. Determinar el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números dados, sin usar necesariamente la descomposición en factores primos. Explicar la decisiones tomadas. Aplicar estos conocimientos en situaciones problemáticas.

Reconocer y manejar igualdades

Establecer relaciones perceptivas entre enunciados, gráficas y tablas (1) decidir, de entre varias gráficas, cuál responde a un enunciado o tabla; (2) decidir, de



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entre varios enunciados o tablas, cuál responde a una gráfica; y (3) describir globalmente el fenómeno que representa una gráfica o una tabla sencilla.

5. Utilizar procedimientos matemáticos, algoritmos y destrezas instrumentales.

Efectuar cálculos de diversas formas: mentalmente, sobre el papel, con calculadora,...

Aplicar las operaciones con los distintos tipos de números (algoritmos tradicionales de suma, resta, multiplicación y división, cálculo mental, calculo aproximado y calculo con calculadora) en diferentes contextos, explicando el proceso seguido y justificando las decisiones tomadas.

Simbolizar cantidades en contextos concretos y expresar relaciones sencillas (patrones, secuencias numéricas, leyes de recurrencia, etc.) mediante expresiones algebraicas.

Representar dependencias gráficamente:

A partir de un enunciado. Sin obtener previamente una tabla, dibujar un boceto de la gráfica. Si es posible obtener la tabla, mejorar el boceto elaborado.

A partir de una tabla. Elegir las unidades, representar los puntos y decidir si pueden unirse.

6. Valorar y potenciar las propias capacidades requeridas para el aprendizaje

Desarrollar la confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y resolver dificultades.

Mostrar una actitud positiva hacia el trabajo y el esfuerzo continuo.

Desarrollar la responsabilidad en la realización de los trabajos propuestos individuales y colectivos.

Participar y colaborar en la dinámica de clase.

Manifestar interés por el propio trabajo, procurando rigor, orden y precisión en los distintos momentos.

Mostrar actitudes críticas frente a las informaciones matemáticas procedentes de la realidad social.



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SELECCIÓN DE CRITERIOS DE EVALUACIÓN PARA PRIMER CI CLO DE ESO 1. Utilizar los números enteros, decimales y fraccionarios y los porcentajes para intercambiar información y resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana. 2. Utilizar en la resolución de problemas los métodos de cálculo (escrito, mental o calculadora) de forma adecuada a cada situación. 3. Estimar y calcular expresiones numéricas sencillas con números enteros y fraccionarios utilizando aproximaciones numéricas, por defecto y por exceso. 4. Construir expresiones algebraicas o funciones sencillas sobre relaciones conocidas de la vida cotidiana e interpretar las relaciones numéricas que se dan implícitamente en una fórmula conocida, ecuación o función. 5. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante la formulación de expresiones algebraicas sencillas y la posterior obtención de valores. 6. Utilizar unidades de medida de ángulos, de tiempo, monetarias y del sistema métrico decimal para estimar y efectuar medidas tanto directas como indirectas, en actividades relacionadas con la vida cotidiana, valorando su precisión. 7. Asignar probabilidades en fenómenos aleatorios de forma empírica. 8. Interpretar y construir gráficas estadísticas sencillas. Calcular y conocer el sentido de la media, la mediana y la moda. 9. Estimar la medida (longitud, superficie y volumen) con una precisión acorde con la regularidad de las formas y con el tamaño. Calcular medidas en superficies regulares (cuadrado, rectángulo, triángulo, rombo, trapecio y círculo) e irregulares limitadas por segmentos y arcos de circunferencia. 10. Identificar figuras planas y cuerpos geométricos en el entorno y utilizar los conceptos de incidencia, ángulos y medida en el análisis y descripción de figuras en una terminología adecuada. 11. Identificar relaciones de proporcionalidad a través del análisis de información numérica, geométrica, gráfica y/o algebraica utilizando procedimientos básicos de proporcionalidad numérica (como la regla de tres o el cálculo de porcentajes) para obtener cantidades proporcionales a otras. 12. Identificar y describir regularidades y pautas observables en conjuntos de números y formas geométricas similares, ordenándolos según criterio utilizando el Teorema de Tales y los criterios de semejanza. 13. Interpretar figuras reales representadas en mapas y planos usando escalas numéricas y gráficas. 14. Utilizar, en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana, estrategias sencillas, como organización de la información en tablas, representación gráfica, búsqueda de ejemplos o métodos de ensayo/error sistemático.



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METODOLOGÍA Y DIDÁCTICA Criterios metodológicos En la elaboración del Proyecto Curricular de Matemáticas para la etapa de Educación Secundaria Obligatoria, se han tenido en cuenta los siguientes criterios metodológicos: La organización de los contenidos. Los contenidos se estructuran, a lo largo de la etapa, teniendo en cuenta la estructura lógica de la materia, pero también las posibilidades de aprendizaje de los alumnos y alumnas, según su edad. Los conocimientos previos. Los alumnos y alumnas han realizado ya unos estudios anteriores de matemáticas, y se han formado unas ideas más o menos precisas sobre los conceptos estudiados. Incluso pueden haberse olvidado de buena parte de esos conocimientos. Se comienza detectando lo que queda de todo ello y corregir, si procede, los errores que pueden obstaculizar el aprendizaje posterior. El aprendizaje significativo. Para que una idea nueva pueda ser asimilada, es necesario que tenga sentido para el alumno, es decir que se apoye en experiencias cercanas a él, bien de su entorno vital o bien correspondiendo a aprendizajes anteriores. A esta idea responden los múltiples ejemplos y situaciones concretas que sirven de soporte a la introducción de los conceptos. El lenguaje matemático. Las ideas y conceptos propios de las matemáticas se expresan en un lenguaje específico compuesto de símbolos. Este es uno de los aspectos que integran el aprendizaje matemático. L a forma de llegar a dominarlo es, como con cualquier lenguaje, dando sentido a las letras, practicando en diferentes situaciones y con un cierto nivel de repetición. La evaluación. Periódicamente, conviene obtener información acerca del grado de consecución de los objetivos, que son los que nos indican lo que se debe evaluar. Pero, los objetivos están enunciados sin la suficiente concreción, por lo que se proponen unos criterios de evaluación para indicar los contenidos básicos que se deben aprender. Las unidades didácticas Los criterios metodológicos se plasman en las unidades didácticas. La página de portada de cada unidad comienza con una introducción que tiene como propósito conseguir la motivación de los alumnos/as, aportar una visión global del contenido de la unidad y promover actitudes positivas para el aprendizaje. · En la primera página de la unidad se actualizan los conocimientos previos directamente relacionados con los contenidos de la unidad. · En el desarrollo de cada contenido, se parte de contextos del entorno del alumno y se promueve la observación de situaciones concretas para obtener conclusiones matemáticas o preparatorias de conceptos matemáticos. Las actividades son variadas y están secuenciadas según el grado de dificultad. Se fomenta la reflexión personal, de forma que los alumnos y alumnas puedan realizar su propia evaluación y subsanar los errores cometidos. En el proyecto, las unidades se cierran con el apartado "Planeta matemático", que ofrece curiosidades matemáticas altamente motivadoras para comprender las aplicaciones de las matemáticas a la vida cotidiana y valorar la importancia de su aprendizaje. · Además de las conexiones que se establecen con otras áreas, a través de una rica variedad de contextos, se aporta una visión cultural de las matemáticas. Para ello se citan datos biográficos y descubrimientos de grandes matemáticos, así como aplicaciones de los contenidos matemáticos a la ciencia y a la técnica, el origen histórico de los símbolos matemáticos, etc.



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ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

Un presupuesto fundamental de la Enseñanza Secundaria Obligatoria es atender a la necesidades educativas de todos los alumnos. Pero estos alumnos tienen distinta formación, distintos intereses, distintas necesidades. Por eso, la atención a la diversidad debe convertirse en un aspecto característico de la práctica docente diaria.

En nuestro caso la atención a la diversidad se contempla en tres niveles o planos: en la programación de aula , en la metodología y en los materiales.

La programación de aula de las Matemáticas debe tener en cuenta aquellos contenidos en los que los alumnos consiguen rendimientos muy diferentes. En Matemáticas este caso se presenta sobre todo en la resolución de problemas y ejercicios.

Aunque la práctica y la utilización de estrategias de resolución de problemas deben desempeñar un papel importante en el trabajo de todos los alumnos, el tipo de actividad concreta que se realice y los métodos que se utilicen variarán necesariamente de acuerdo con los diferentes grupos de alumnos; y el grado de complejidad y la profundidad de la comprensión que se alcance no serán iguales en todos los grupos. Este hecho aconseja organizar las actividades y problemas en actividades de refuerzo y de ampliación, en las que puedan trabajar los alumnos más adelantados.

La programación de aula ha de tener en cuenta también que no todos los alumnos adquieren al mismo tiempo y con la misma intensidad los contenidos tratados. Por eso, debe estar diseñada de modo que asegure un nivel mínimo para todos los alumnos al final de la etapa, dando oportunidades para recuperar los conocimientos no adquiridos en su momento. Éste es el motivo que aconseja realizar una programación cíclica o en espiral. Este método, como se sabe, consiste en prescindir de los detalles en el primer contacto del alumno con un tema, y preocuparse por ofrecer una visión global del mismo.

En el mismo momento en que se inicia el proceso educativo, comienzan a manifestarse las diferencias entre los alumnos. La falta de comprensión de un contenido matemático puede ser debido, entre otras causas, a que los conceptos o procedimientos sean demasiado difíciles para el nivel de desarrollo matemático del alumno, o puede ser debido a que se avanza con demasiada rapidez, y no da tiempo para una mínima compresión, o a que el interés y la motivación del alumno sean bajos.

La atención a la diversidad, desde el punto de vista metodológico, debe estar presente en todo el proceso de aprendizaje y llevar al profesor a:

� Detectar los conocimientos previos de los alumnos al empezar un tema. A los alumnos en los que se detecte una laguna en sus conocimientos, se les debe proponer una enseñanza compensatoria, en la que debe desempeñar un papel importante el trabajo en situaciones concretas.

� Procurar que los contenidos matemáticos nuevos que se enseñan conecten con los conocimientos previos y sean adecuados a su nivel cognitivo.

� Propiciar que la velocidad del aprendizaje la marque el propio alumno.



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� Intentar que la comprensión del alumno de cada contenido sea suficiente para una mínima aplicación y para enlazar con los contenidos que se relacionan con él.

La selección de los materiales utilizados en el aula tiene también una gran importancia a la hora de atender a las diferencias individuales en el conjunto de los alumnos y alumnas.

Como material esencial debe considerarse el libro base que se complementará con el uso de materiales de refuerzo o ampliación, tales como los cuadernos monográficos, que permiten atender a la diversidad en función de los objetivos que nos queramos fijar para cada tipo de alumno.



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SELECCIÓN Y SECUENCIA DE CONTENIDOS 1º CICLO ESO Bloque 1: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA CONCEPTOS El sistema de numeración. Números naturales. Operaciones con números naturales. Propiedades. Potencias de exponente natural. Propiedades de las potencias. Raíces cuadradas exactas y enteras. Múltiplos y divisores de un número. Números primos y números compuestos. Divisibilidad. Divisores comunes a dos números. El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números. Los números enteros. Comparación y ordenación de números enteros. Operaciones con números enteros. Operaciones combinadas. Los números fraccionarios. Equivalencia de fracciones. Operaciones con fracciones. Comparación de fracciones. Números decimales. Operaciones con números decimales. Porcentajes. Igualdades y ecuaciones. Solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes. Ecuaciones con paréntesis. Razón entre dos números. Proporción numérica. Magnitudes directamente proporcionales. Unidades monetarias. El euro. PROCEDIMIENTOS Interpretación expresión y representación gráfica de situaciones de la vida cotidiana en las que intervengan números naturales y enteros Resolución de problemas de números. Realización de operaciones gráfica y numéricamente. Cálculo de potencias de base entera y exponente natural. Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas y utilizando la regla adecuada. Utilización de las cuatro operaciones básicas en la resolución de ejercicios y problemas con fracciones. Utilización de diversas estrategias para buscar fracciones equivalentes a una dada. Identificación de igualdades numéricas. Identificación de ecuaciones. Resolución de ecuaciones de primer grado utilizando las reglas de la suma y del producto. Resolución de ecuaciones. Utilización de la calculadora para efectuar y comprobar cálculos. Cálculo de la razón en una proporción. Identificación de magnitudes directamente proporcionales. Cálculo de un término de dos series proporcionales. Aplicación de la proporcionalidad a la resolución de problemas. Manejo de conversiones monetarias y cambios de divisas. ACTITUDES Tenacidad y· perseverancia en la resolución de problemas. · Interés por buscar estrategias propias de resolución de problemas. · Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos. · Curiosidad por conocer nuevos conceptos, relaciones numéricas y elementos de vocabulario. · Interés por formular hipótesis y hacer comprobaciones. · Valoración crítica de la utilidad de la calculadora. Valoración de los números para representar situaciones de la vida cotidiana.



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Bloque 2: GEOMETRÍA CONCEPTOS Puntos y rectas. Ángulos en el plano Mediatriz y Bisectriz de un segmento. Triángulos y su clasificación. Cuadriláteros y su clasificación. Rectas notables de un triángulo: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas. Polígonos y su clasificación. Teorema de Pitágoras. Distancias en polígonos. Circunferencia y círculo. Posiciones de rectas y circunferencias. Ángulos centrales y arcos. Ángulos inscritos. Longitud de la circunferencia y arcos de circunferencia.

PROCEDIMIENTOS Identificación de rectas y puntos. Posiciones de rectas. Ángulos en el plano. Identificación de ángulos complementarios y suplementarios. Cálculo de la mediatriz y bisectriz de un segmento. Identificación de triángulos. Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Clasificación de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados. Clasificación de los paralelogramos según sus lados y según sus ángulos. Igualdad de triángulos. Cálculo de rectas notables de un triángulo. Mediatrices. Bisectrices. Alturas. Medianas. Identificación y clasificación de polígonos. Suma de los ángulos de un polígono. Teorema de Pitágoras. Comprobación. Reconocimiento de triángulos mediante el teorema de Pitágoras. . ACTITUDES · Reconocimiento y valoración de la importancia y utilidad de la geometría y la medida en la vida cotidiana para comprender y transmitir información sobre elementos del entorno · Incorporación al lenguaje cotidiano de los términos de geometría para describir objetos, espacios y duraciones. · Bloque 3: MEDIDA. CONCEPTOS Medidas directas. Instrumentos de medida. Unidades de longitud. Las unidades de longitud y sus equivalencias. El metro: sus múltiplos y submúltiplos. Las unidades de capacidad y sus equivalencias. El litro: sus múltiplos y submúltiplos. Las unidades de masa y sus equivalencias. El kilogramo: sus múltiplos y submúltiplos. Perímetro de un polígono. Medida de una superficie. Unidades de superficie. Área del rectángulo y del cuadrado; del romboide y del rombo; del triángulo; del trapecio; de un polígono no regular y de un polígono regular. El centímetro cúbico. Volumen del ortoedro y del cubo. decímetro cúbico. El metro cúbico. Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Relación entre las unidades de volumen. Unidades de volumen y capacidad. Relación entre la unidades de volumen y capacidad. PROCEDIMIENTOS Realización de medidas utilizando los instrumentos adecuados a cada caso. Expresión de medidas en las unidades correspondientes. Las unidades de longitud, capacidad y masa y sus equivalencias. Cálculo de distancias en polígonos. Identificación de recintos en el círculo. Posiciones relativas de recta y circunferencia y de dos circunferencias. Ángulo central de una circunferencia. Ángulos inscritos. Cálculo de la longitud de una circunferencia y de un arco de sector circular. Cálculo de áreas de cuerpos geométricos. Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos. Relación entre la unidades de volumen y capacidad. ACTITUDES



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Interés por realizar y expresar las medidas con rigor y en las unidades adecuadas. · Cuidado y precisión en la utilización de los diferentes instrumentos de medida. · Disposición favorable a estimar medidas cuando la situación lo aconseje · Interés por utilizar estrategias personales en la realización de medidas. Bloque 4: ESTADÍSTICA Y GRÁFICAS. CONCEPTOS Ejes de coordenadas. Coordenadas cartesianas de un punto. Gráficas cartesianas y su interpretación. Construcción de tablas con frecuencias absolutas. Construcción de tablas con frecuencias relativas. Gráficos estadísticos. Diagrama de barras y sectores. Media aritmética de datos sin agrupar. Media aritmética de datos agrupados. Probabilidad de un suceso. PROCEDIMIENTOS Representación gráfica e interpretación de puntos en un sistema de coordenadas cartesianas. Interpretación de gráficas cartesianas. Ordenación, agrupación y clasificación de datos estadísticos para confeccionar tablas. Interpretación de gráficas estadísticas · Cálculo de media aritmética de datos agrupados y sin agrupar. Representación de datos en diagramas de barras, diagramas de sectores y polígonos de frecuencias. Utilización de las gráficas y tablas para obtener valores concretos e información global sobre diversos fenómenos. Uso de estrategias y técnicas para calcular la probabilidad de un suceso. ACTITUDES · Reconocimiento de la utilidad del lenguaje gráfico y del lenguaje estadístico para representar situaciones de la vida cotidiana. Valoración de la utilización que se hace del lenguaje gráfico y del lenguaje estadístico en informaciones sociales, políticas y económicas. Reconocimiento de la conveniencia de trabajar en equipo para realizar tareas de tipo estadístico. Valoración de la utilidad del lenguaje gráfico para resolver problemas de la vida cotidiana y del conocimiento científico ·



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UNIDADES DIDÁCTICAS POR BLOQUES DE CONTENIDOS

MATEMÁTICAS 1º DE ESO Bloque I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1. LOS NÚMEROS NATURALES

1. Los números naturales en la vida cotidiana. Escritura de números. Representación y ordenación de números naturales en una recta.

2. Suma y resta con números naturales. Propiedades conmutativa y asociativa. Jerarquía de las operaciones.

3. Multiplicación de números naturales. Propiedades conmutativa y asociativa. 4. División exacta y entera. Jerarquía de las operaciones. 5. Truncamiento y redondeo. Estimación de resultados.

2. POTENCIAS Y RAÍCES

1. Potencias de exponente natural. Potencias de base 10. Propiedades de las potencias. 2. Producto de potencias de la misma base. Cociente de potencias de la misma base.

Potencia de una potencia. 3. Raíces cuadradas exactas. Cálculo de raíces cuadradas exactas. Jerarquía de las

operaciones. 4. Raíces cuadradas enteras. Cálculo de raíces cuadradas enteras.

3. LA DIVISIBILIDAD EN NÚMEROS NATURALES

1. Múltiplos de un número. Divisores de un número. Números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad.

2. Factores de un número. Escritura de los números como producto de factores primos. 3. Divisores comunes a dos números. Cálculo del máximo común divisor. 4. Múltiplos comunes a dos números. Cálculo del mínimo común múltiplo.

4. LOS NÚMEROS ENTEROS

1. Los números enteros. Representación de los números enteros. Ordenación de los números enteros. Valor absoluto.

2. Suma de números enteros con el mismo signo. Suma con distinto signo. Suma de más de dos números enteros. Opuesto de un número entero. Suma de opuestos. Opuesto del opuesto. Diferencia de números enteros.

3. Sumas y restas combinadas. Operaciones con paréntesis. 4. Multiplicación de números enteros. Propiedades de la multiplicación: conmutativa,

asociativa, multiplicación por (-1). División de números enteros. 5. LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

1. Fracciones equivalentes. Obtención de fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación. Comparación de fracciones con el mismo denominador.

2. Comparación de fracciones con el mismo numerador. Comparación de fracciones con distinto denominador y numerador. Reducción a común denominador.

3. Suma de fracciones con el mismo denominador. Suma de fracciones con distinto denominador. Resta de fracciones con el mismo denominador. Resta de fracciones con distinto denominador.



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4. Multiplicación de fracciones. Inversa de una fracción. División de fracciones.

6. LOS NÚMEROS DECIMALES. 1. Escritura de los números decimales. Ordenación de los números decimales. 2. Suma de números decimales. Resta de números decimales. 3. Multiplicación de un número natural por un número decimal. Multiplicación por 0,1;

0,01; 0,001... y por 10; 100; 1000;...Multiplicación de dos números decimales. 4. División de un número natural por un número decimal. División por 0,1; 0,01;

0,001... y por 10; 100; 1000;... División entre dos números decimales.

7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

1. Igualdades numéricas. Ecuación. Solución de una ecuación. 2. Ecuaciones equivalentes. Regla de la suma. Regla del producto. 3. Despejar la incógnita. 4. Ecuaciones con paréntesis.

8. LA PROPORCIONALIDAD.

1. Razón entre dos números. Proporción numérica. Propiedades de las proporciones. 2. Porcentajes. Formas de expresar un porcentaje. Cálculo de porcentajes. 3. Magnitudes directamente proporcionales. Cálculo de un término de dos series

proporcionales. 4. Unidades monetarias. El euro. Compras con el euro. Conversiones monetarias y

cambios de divisas. Bloque II. GEOMETRÍA 9. RECTAS Y ÁNGULOS.

1. Rectas y puntos. 2. Rectas que se cortan. Rectas que no se cortan. 3. Ángulos en el plano. Ángulos complementarios y suplementarios. 4. Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo.

10.FIGURAS PLANAS

1. Triángulos. Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Cuadriláteros. Clasificación según el paralelismo de sus lados. Clasificación de los paralelogramos según sus lados y según sus ángulos.

2. Igualdad de triángulos. 3. Rectas notables de un triángulo. Mediatrices. Bisectrices. Alturas. Medianas. 4. Polígonos. Clasificación de los polígonos. Suma de los ángulos de un polígono.

11. EL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Teorema de Pitágoras. Enunciado y comprobación. 2. Reconocimiento de triángulos mediante el teorema de Pitágoras. Triángulos:

acutángulo, rectángulo y obtusángulo. 3. Cálculo de distancias en polígonos.

12. CIRCUNFERENCIAS Y CÍRCULOS



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1. Recintos en el círculo: sector circular, segmento circular, zona circular, corona circular y trapecio circular.

2. Posiciones relativas de recta y circunferencia: secantes, tangentes, recta exterior. Posiciones relativas de dos circunferencias: secantes, tangentes exteriores, tangentes interiores,...

3. Ángulo central de una circunferencia. Ángulos inscritos. Longitud de una circunferencia. Longitud de un arco de sector circular. Área del círculo. Área de un sector circular.

Bloque III. MEDIDA 13. SISTEMA DE MEDIDAS

1. Las unidades de longitud y sus equivalencias. El metro: sus múltiplos y submúltiplos. Cambio de unidades.

2. Las unidades de capacidad y sus equivalencias. El litro: sus múltiplos y submúltiplos. Cambio de unidades.

3. Las unidades de masa y sus equivalencias. El kilogramo: sus múltiplos y submúltiplos. Cambio de unidades

14. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS

1. Perímetro de un polígono. Medida de una superficie. Unidades de superficie. 2. Área del rectángulo y del cuadrado. Área del romboide y del rombo. 3. Área del triángulo. Área del trapecio. Área de un polígono no regular. Área de un

polígono regular.

15. EL VOLUMEN: UN LUGAR EN EL ESPACIO

1. Idea de volumen. El centímetro cúbico. Volumen del ortoedro. 2. Volumen del cubo. El decímetro cúbico. 3. El metro cúbico. Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Relación entre las

unidades de volumen. 4. Unidades de volumen y capacidad. Relación entre la unidades de volumen y

capacidad. Bloque IV: ESTADÍSTICA Y GRÁFICAS 16. GRÁFICA, ESTADÍSTICA Y AZAR

1. Ejes de coordenadas. Coordenadas cartesianas de un punto. Gráficas cartesianas y su interpretación.

2. Construcción de tablas con frecuencias absolutas. Construcción de tablas con frecuencias relativas.

3. Gráficos estadísticos. Diagrama de barras y sectores. 4. Media aritmética de datos sin agrupar. Media aritmética de datos agrupados. 5. Cálculo de la probabilidad de un suceso.



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MATEMÁTICAS 2º DE ESO

Bloque I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS

1. Los números enteros. Ordenación de los números enteros. Representación de los números enteros en una recta. Valor absoluto.

2. Suma y diferencia de números enteros. Sin paréntesis y con paréntesis. 3. Multiplicación y división de números enteros. 4. Jerarquía de las operaciones. Operaciones con paréntesis y sin paréntesis.

2. POTENCIAS.

1. Potencias de números enteros. Signo de las potencias. 2. Producto de potencias de la misma base. Potencias de exponente 1. Descomposición

de una potencia en producto de otras dos. 3. Cociente de potencias de la misma base. Potencia de exponente 0. 4. Potencia de una potencia. Potencia de un producto. Descomposición de una potencia

en producto de otras dos.

3. DIVISIBILIDAD

1. Múltiplos y divisores de un número. Expresión de números como producto de factores primos.

2. La divisibilidad por números compuestos. Máximo común divisor de varios números. Cálculo del máximo común divisor por factorización.

3. Mínimo común múltiplo de varios números. Cálculo del mínimo común múltiplo por factorización. Relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

4. LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

1. Suma y diferencia de fracciones con el mismo denominador. Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

2. Multiplicación de un número entero por una fracción. Multiplicación de fracciones. Inversa de una fracción.

3. División de fracciones. Elevar una fracción a una potencia. 4. Producto y cociente de potencias de la misma base. Potencia de otra potencia.

Potencia de un producto y d un cociente.

5. LOS NÚMEROS DECIMALES.

1. Suma de números decimales. Diferencia de números decimales. 2. Multiplicación de un número natural por un número decimal. Multiplicación de un

número decimal por 10, 100, 1000,... y por 0,1; 0,01; 0,001,... 3. Multiplicación de dos números decimales. 4. División de un número decimal entre un número natural. División entre 10, 100,

1000,... y por 0,1; 0,01; 0,001,...División de dos números decimales. 5. Aproximación de resultados. Redondeo. 6.



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6. RAÍCES

1. Raíces cuadradas enteras. Resto. Condiciones que cumple el resto. 2. Algoritmo de la raíz cuadrada de un número entero. Algoritmo de la raíz cuadrada de

un número decimal. 3. Cálculo de la raíz cuadrada de un número entero sacando decimales. 4. Raíz cuadrada de un producto. Raíz cuadrada de un cociente. Raíz cuadrada de una

potencia de exponente par.

7. EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES

1. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Idea de expresión algebraica. Valor numérico de una expresión algebraica.

2. Suma y diferencia de expresiones algebraicas. Monomios. Producto de monomios. 3. Ecuaciones de primer grado. Resolución de ecuaciones de primer grado con

denominadores. 4. Ecuaciones de segundo grado incompletas y completas.

8. SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Solución de un sistema. Sistemas equivalentes.

2. Resolución de un sistema por tablas. 3. Resolución de un sistema por sustitución. 4. Resolución de un sistema por reducción. Con coeficientes iguales y opuestos y con

coeficientes distintos.

9. PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

1. Razón entre dos números. Proporción entre dos números. Propiedad fundamental de las proporciones. Obtención de términos proporcionales.

2. Magnitudes directamente proporcionales. Reducción a la unidad. Regla de tres simple directa. Repartos directamente proporcionales.

3. Porcentajes. Cálculo de porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales. 4. Magnitudes inversamente proporcionales. Reducción a la unidad. Regla de tres

inversa.

Bloque II: FUNCIONES Y GRÁFICAS. ESTADÍSTICA.

10. FUNCIONES

1. Los cuatro cuadrantes. Interpretación de puntos. Gráficas y funciones. 2. Funciones de proporcionalidad directa. Funciones de la forma y = m x. Inclinación y

pendiente. 3. Lectura de tablas y gráficas.

11. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1. Población y muestra. Carácter estadístico cualitativo y cuantitativo. Tablas de frecuencias. Frecuencia absoluta y relativa.

2. Diagrama de barras y polígono de frecuencias. Diagrama de sectores. 3. Media aritmética. Moda. Mediana.



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4. Pictogramas. Diagramas de troncos y hojas. Diagramas de cajas 5. De la frecuencia relativa a la probabilidad.

Bloque III: GEOMETRÍA Y MEDIDA. 12. MEDIDA DEL TIEMPO Y DE LOS ÁNGULOS

1. Medida del tiempo. Expresión compleja e incompleja. Suma de tiempos. Diferencia de tiempos.

2. Multiplicación de tiempos por un número natural. División de tiempos por un número natural.

3. Medida de ángulos. Expresión compleja e incompleja. Suma de ángulos. Diferencia de ángulos.

13. POSICIONES Y MOVIMIENTOS

1. Coordenadas cartesianas y polares 2. Coordenadas y ecuaciones 3. Proyecciones. Simetrías 4. Traslaciones y giros

14. SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES

1. Figuras semejantes. Ampliación y reducción de figuras. Razón de semejanza. Cómo construir figuras semejantes.

2. Teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales. 3. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos. 4. Mapas. Planos. Maquetas. Escalas.

15. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

1. Elementos básicos de la geometría del espacio: planos, rectas y puntos. Posiciones relativas de dos planos. Posiciones relativas de dos rectas. Posiciones relativas de una recta y un plano.

2. Prismas. Desarrollo de un prisma. Pirámides. Desarrollo de una pirámide. 3. Cilindros. Desarrollo de un cilindro. Conos. Desarrollo de un cono. 4. Esfera. Descripción. Figuras geométricas de la esfera.

16. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES

1. Áreas lateral y total del prisma. Áreas lateral y total del cilindro. 2. Áreas lateral y total de la pirámide. Áreas lateral y total del cono. 3. Volumen del prisma. Volumen del cilindro. Volumen de la pirámide. Volumen del

cono. 4. Área de la superficie esférica. Volumen de la esfera.



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I.E.S. FRANCISCO DE LOS COBOS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROGRAMACIÓN

de

Matemáticas 1º ESO



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UNIDAD 1. Números naturales

OBJETIVOS

• Escribir números romanos en el sistema de numeración decimal, y viceversa. • Realizar las operaciones con números naturales (suma, resta, multiplicación y división) y

operaciones combinadas de las anteriores.

• Diferenciar entre división exacta y entera, y establecer la relación entre sus términos.

• Expresar las potencias de base y exponente naturales.

• Efectuar el producto y el cociente de potencias de la misma base y la potencia de una potencia.

• Calcular raíces cuadradas exactas y enteras, así como sus restos.

• Aplicar adecuadamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en las operaciones combinadas.

• Aproximar números naturales por redondeo y por truncamiento, y calcular el error cometido al efectuar una aproximación.

• Resolver situaciones y problemas de la vida cotidiana que requieran el uso de operaciones con números naturales.

CONTENIDOS

Conceptos • Ordenación de los números naturales.

• Operaciones básicas con los números naturales.

• Potencias de exponente natural.

• Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base y potencia de una potencia.

• Raíz cuadrada exacta y entera de un número natural.

• Aproximaciones y error.

Procedimientos, destrezas y habilidades

• Aplicación de las propiedades de las operaciones con números naturales en la resolución de problemas.

• Cálculo del producto y el cociente de potencias de la misma base y la potencia de una potencia.

• Determinación de la raíz cuadrada exacta o entera y el resto de un número natural.

• Cálculo de operaciones combinadas con y sin calculadora.

• Aproximaciones de números naturales por redondeo o truncamiento, y calcular el error cometido.

• Resolución de problemas reales que impliquen el cálculo con números naturales.

Actitudes • Valoración de la precisión y utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones de la vida cotidiana.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas numéricos.

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN EN LA UNIDAD

• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contiene números naturales, relacionarlos y utilizarlos.



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• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números naturales decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando con seguridad el modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones problema y problemas-tipo, planificando adecuadamente el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Aplicar las propiedades fundamentales de la multiplicación.

• Diferenciar entre división exacta y entera y realizar ambas de forma correcta.

• Utilizar la propiedad fundamental de la división exacta y entera.

• Realizar operaciones con potencias de base y exponente natural.

• Calcular el producto y el cociente de potencias de la misma base y la potencia de una potencia.

• Hallar la raíz cuadrada exacta de un número cuadrado perfecto.

• Calcular la raíz cuadrada entera y el resto de un número.

• Realizar operaciones combinadas de números naturales, respetando la jerarquía de las operaciones y los paréntesis.

TIEMPO ESTIMADO: 6 clases.



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UNIDAD 2. Divisibilidad

OBJETIVOS

• Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro número dado.

• Aplicar las propiedades de los múltiplos y divisores para resolver problemas.

• Utilizar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11 en la resolución de problemas.

• Distinguir si un número es primo o compuesto.

• Calcular todos los divisores de un número.

• Factorizar un número.

• Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números, descomponiéndolos en factores primos.

• Resolver problemas de la vida real en los que aparezcan conceptos de divisibilidad.

CONTENIDOS

Conceptos • Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro número dado.

• Aplicar las propiedades de los múltiplos y divisores para resolver problemas.

• Utilizar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11 en la resolución de problemas.

• Distinguir si un número es primo o compuesto.

• Calcular todos los divisores de un número.

• Factorizar un número.

• Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números, descomponiéndolos en factores primos.

• Resolver problemas de la vida real en los que aparezcan conceptos de divisibilidad.


• Determinación de si un número es múltiplo o divisor de otro número dado.

• Obtención de todos los divisores de un número.

• Determinación de si un número es primo o compuesto.

• Descomposición de un número en producto de factores primos.

• Obtención del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de un conjunto

• de números, a partir de su descomposición en producto de factores primos.

Actitudes • Aprecio de la utilidad de la divisibilidad en distintos contextos.

• Sensibilidad e interés ante las informaciones de tipo numérico que aparecen en la vida cotidiana.

• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.


• Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos.

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando adecuadamente el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada, y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.

• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.



35


• Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro número dado.

• Obtener múltiplos de un número.

• Formular y aplicar los criterios de divisibilidad.

• Determinar si un número es primo o compuesto.

• Hallar todos los divisores de un número.

• Calcular la descomposición en factores primos de un número.

• Obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números a partir de su descomposición en factores primos.

• Resolver problemas de divisibilidad en contextos reales, utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.




36

UNIDAD 3. Fracciones

OBJETIVOS

• Conocer y utilizar adecuadamente las diversas interpretaciones de una fracción.

• Distinguir si dos fracciones son equivalentes y calcular fracciones equivalentes a una fracción dada.

• Amplificar y simplificar fracciones.

• Calcular la fracción irreducible de una fracción.

• Reducir fracciones a común denominador.

• Comparar y ordenar fracciones.

• Sumar y restar fracciones con el mismo y con distinto denominador.

• Multiplicar y dividir fracciones.

• Resolver problemas cotidianos donde aparezcan fracciones.

CONTENIDOS

Conceptos • Interpretaciones de una fracción.

• Fracciones propias e impropias.

• Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación.

• Fracción irreducible.

• Comparación de fracciones.

• Reducción de fracciones a común denominador.

• Suma y resta de fracciones.

• Multiplicación de fracciones.

• Fracción inversa. División de fracciones.


• Utilización de las distintas interpretaciones de una fracción.

• Obtención de fracciones equivalentes a una fracción dada.

• Determinación de la fracción irreducible.

• Obtención del común denominador de varias fracciones.


• Operaciones con fracciones.

• Resolución de problemas reales que impliquen la realización de cálculos con fracciones.

Actitudes • Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar o resolver problemas de la vida diaria.



37


• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos y que contiene distintos tipos de números (naturales y fraccionarios), relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación más adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números naturales y fracciones aplicando con seguridad el modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando adecuadamente el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada, y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.


• Utilizar de manera adecuada las distintas interpretaciones de una fracción.

• Determinar si dos fracciones son equivalentes.


• Obtener la fracción irreducible de una fracción dada.

• Ordenar un conjunto de fracciones.

• Reducir un conjunto de fracciones a común denominador.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones, tanto si tienen igual denominador como distinto.

• Realizar operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Resolver problemas reales donde aparezcan fracciones.




38

Unidad 4. Números decimales

OBJETIVOS

• Escribir la expresión polinómica de un número decimal exacto y calcular su fracción decimal.

• Comparar y ordenar números decimales.

• Obtener la expresión decimal exacta o periódica de una fracción cualquiera.

• Hacer sumas y restas de decimales escritos en forma ordinaria o en forma de fracción decimal.

• Efectuar multiplicaciones y divisiones de números decimales.

• Estimar el resultado de operaciones con números decimales mediante el cálculo mental y el redondeo con diversos niveles de aproximación.

• Comprobar con una estimación si el resultado de una operación con decimales es correcto o no.

CONTENIDOS

Conceptos • Parte entera y decimal de un número decimal.

• Comparación de números decimales.

• Números decimales exactos y periódicos.

• Sumas y restas de números decimales. Redondeo y truncamiento.

• Multiplicación y división de números decimales.


• Expresión de un número decimal como fracción decimal.

• Cálculo de la expresión decimal de una fracción cualquiera.

• Comparación de dos números decimales.

• Resolución de sumas y restas de números decimales mediante fracciones decimales o por el método habitual.

• Multiplicación y división de números decimales.

• Redondeo y estimación del resultado de operaciones con números decimales.

Actitudes • Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.



39


• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos, que contiene distintos tipos de números (naturales, fraccionarios y decimales), relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación más adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números naturales, fracciones y decimales, aplicando con seguridad el modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).



• Escribir la expresión polinómica de un número decimal exacto.

• Comparar y ordenar números decimales.

• Calcular la fracción decimal asociada a un número decimal.

• Obtener la expresión decimal exacta o periódica de una fracción cualquiera.

• Calcular sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números decimales.

• Estimar el resultado de operaciones con números decimales mediante el cálculo mental y el redondeo.

• Comprobar mediante una estimación el resultado de una operación.




40

Unidad 5. Números enteros

OBJETIVOS

• Reconocer la presencia de los números enteros en distintos contextos reales.

• Representar números enteros en la recta real.

• Comparar números enteros.

• Obtener el valor absoluto de un número entero.

• Hallar el opuesto de un número entero.

• Utilizar el valor absoluto para sumar números enteros.

• Restar números enteros sumando al primero el opuesto del segundo.

• Realizar multiplicaciones de números enteros utilizando la regla de los signos.

• Dividir números enteros aplicando la regla de los signos.

CONTENIDOS

Conceptos • Números enteros positivos y negativos.

• Valor absoluto de un número entero.

• Opuesto de un número entero.

• Representación y comparación de enteros.

• Suma y resta de números enteros.

• Multiplicación y división de números enteros. Regla de los signos.


• Cálculo del valor absoluto de un número entero.

• Comparación y representación de un conjunto de números enteros.

• Cálculo del opuesto de un número entero.

• Resolución de sumas y restas de números enteros.

• Resolución de operaciones combinadas con números enteros.

• Multiplicación de números enteros.

• Cálculo del resultado de la división de dos números enteros cuando sea posible.

Actitudes • Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas numéricos.

• Respeto y valoración de las soluciones aportadas por los demás.



41


• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos, que contiene distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales), relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación más adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros, fracciones y decimales) decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando con seguridad el modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).



• Interpretar y utilizar los números enteros en distintos contextos reales.

• Representar los números enteros en la recta real.

• Comparar números enteros.

• Obtener el valor absoluto de un número entero.

• Calcular el opuesto de un número entero.

• Sumar, restar y multiplicar números enteros.

• Dividir dos números enteros (determinando primero si es posible hacer esa división), dividiendo sus valores absolutos y usando la regla de los signos.

• Utilizar la jerarquía y propiedades de las operaciones, y las reglas de uso de paréntesis y signos, en cálculos de operaciones combinadas con y sin paréntesis.




42

Unidad 6. Iniciación al álgebra

OBJETIVOS

• Distinguir entre lenguaje numérico y algebraico.

• Obtener el valor numérico de una expresión algebraica.

• Sumar y restar monomios semejantes.

• Diferenciar entre igualdad numérica e igualdad algebraica.

• Reconocer la diferencia entre identidades y ecuaciones.

• Distinguir los miembros y términos de una ecuación.

• Obtener la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

• Resolver problemas reales mediante la resolución

• de ecuaciones de primer grado.

CONTENIDOS

Conceptos • Lenguaje numérico y algebraico.

• Expresión algebraica. Valor numérico.

• Monomios. Coeficiente y parte literal.

• Monomios semejantes. Suma y resta.

• Igualdades algebraicas: identidad y ecuación.

• Resolución de una ecuación.

• Ecuaciones equivalentes.

• Método general de resolución de ecuaciones.

• Resolución de problemas mediante ecuaciones.


• Expresión de enunciados dados en lenguaje usual en lenguaje algebraico, y viceversa.

• Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

• Suma y resta de monomios semejantes.

• Distinción entre ecuaciones e identidades algebraicas.

• Comprobación de la solución de una ecuación.

• Aplicación del método general de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Planteamiento y resolución de ecuaciones para encontrar la solución de problemas sencillos de la vida real.

Actitudes • Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje claro, conciso y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.



43


• Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza expresiones algebraicas sencillas.

• Utilizar, de manera razonada, el método analítico de resolución de problemas mediante ecuaciones y aplicar con destreza los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer grado.

• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como orden, contraste, precisión y revisión sistemática y crítica de los resultados.


• Distinguir entre lenguaje numérico y algebraico, y pasar de uno a otro.

• Obtener el valor numérico de una expresión algebraica.

• Sumar y restar monomios semejantes.

• Diferenciar entre identidades y ecuaciones.

• Distinguir los miembros y los términos de una ecuación.

• Aplicar el método general de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

• Resolver problemas reales mediante ecuaciones de primer grado.




44

Unidad 7. Sistema Métrico Decimal

OBJETIVOS

• Reconocer la necesidad de medir, apreciar la utilidad de los instrumentos de medida y conocer los más importantes.

• Definir el metro como la unidad principal de longitud, el kilogramo de masa, el litro de capacidad, el metro cuadrado de superficie y el metro cúbico de volumen.

• Realizar cambios de unidades en medidas de longitud, masa, capacidad, superficie y volumen.

• Pasar distintas medidas de forma compleja a incompleja, y viceversa.

• Obtener el volumen de un cubo como extensión de las unidades de volumen.

• Reconocer la relación entre las medidas de volumen y de capacidad.

• Utilizar las relaciones entre las unidades de volumen y masa para el agua destilada.

• Resolver problemas cotidianos en los que hay que manejar o convertir diferentes unidades.

CONTENIDOS

Conceptos • Magnitudes. Unidades de medida.

• Unidades de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.

• Formas complejas e incomplejas.


• Utilización de distintas unidades de medida para medir una cantidad de cierta magnitud.

• Transformación de unas unidades de medida en otras.

• Traducción de medidas en forma compleja a forma incompleja, y viceversa.

• Expresión de una medida en la unidad adecuada al contexto.

Actitudes • Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones con las unidades de medida utilizadas.

• Reconocimiento y valoración de las mediciones para transmitir informaciones relativas al entorno.



45


• Resolver situaciones-problema, tanto individualmente como en grupo, que requieran el uso de magnitudes utilizando las unidades en el orden de magnitud adecuado.

• Utilizar, individual y grupalmente, instrumentos, técnicas y fórmulas para medir longitudes, pesos, capacidades, etc.

• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales asumidos por nuestra sociedad.


• Reconocer la necesidad de medir y emplear unidades de medida adecuadas.

• Utilizar las unidades de longitud, masa, capacidad, superficie y volumen.

• Realizar cambios de unidades en medidas de longitud, masa, capacidad, superficie y volumen.

• Reconocer la relación entre las medidas de volumen y de capacidad.

• Utilizar las relaciones entre las unidades de volumen y masa para el agua destilada.




46

Unidad 8. Proporcionalidad numérica

OBJETIVOS

• Averiguar si dos razones forman o no proporción.

• Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.

• Utilizar las razones entre cantidades para resolver problemas en contextos reales.

• Distinguir si dos magnitudes son proporcionales o no.

• Identificar magnitudes directamente proporcionales.

• Identificar magnitudes inversamente proporcionales.

• Calcular tantos por cien y resolver problemas reales donde aparezcan.

CONTENIDOS

Conceptos • Razón entre dos números.

• Proporciones.

• Magnitudes directamente proporcionales.

• Magnitudes inversamente proporcionales.

• Porcentajes.


• Cálculo del término desconocido en una proporción.

• Distinción de la relación de proporcionalidad entre dos magnitudes.

• Elaboración de tablas de proporcionalidad.

• Cálculo de porcentajes.

• Resolución de problemas con porcentajes.

Actitudes • Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con la medida de magnitudes para describir situaciones.

• Gusto por la resolución ordenada de problemas de proporcionalidad.



47


• Identificar relaciones de proporcionalidad numérica (directa e inversa), y resolver problemas en las que se usan estas relaciones haciendo especial hincapié en los problemas-tipo asociados a estas relaciones.

• Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos y alfanuméricos.

• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales asumidos por nuestro entorno.


• Distinguir si dos razones forman o no proporción, y calcular el cuarto y el medio proporcionales.

• Distinguir si dos magnitudes son o no directamente proporcionales.

• Distinguir si dos magnitudes son o no inversamente proporcionales.

• Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.

• Calcular tantos por ciento.

• Resolver problemas reales con tantos por ciento.




48

Unidad 9. Ángulos y rectas

OBJETIVOS

• Distinguir entre recta, semirrecta y segmento.

• Reconocer las distintas posiciones que pueden tener dos rectas en el plano.

• Distinguir los tipos de ángulos y establecer diferentes relaciones entre ellos.

• Sumar y restar ángulos, multiplicar un ángulo por

• un número y dividir un ángulo en dos ángulos iguales.

• Sumar y restar amplitudes y tiempos en el sistema sexagesimal.

• Resolver problemas de la vida real que impliquen operaciones con ángulos y tiempos.

CONTENIDOS

Conceptos • Recta, semirrecta y segmento. Posiciones de dos rectas en el plano.

• Tipos de ángulos y relaciones entre ellos.

• Unidades de medida de ángulos y tiempos.

• Operaciones con ángulos.

• Ángulos complementarios, suplementarios, consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

• Suma y resta en el sistema sexagesimal.


• Sumas y restas de dos o más ángulos dados.

• Multiplicación por un número y cálculo de la bisectriz de un ángulo cualquiera.

• Expresión de la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal.

• Paso de unas unidades de medida de ángulos y tiempo a otras.

• Suma y resta de medidas de ángulos y tiempos en el sistema sexagesimal.

• Cálculo del valor de distintos ángulos en contextos geométricos, conocidos los valores de otros ángulos.

Actitudes • Incorporación al lenguaje cotidiano de los términos de medida para describir amplitudes de ángulos y tiempos.

• Cuidado y precisión en el uso de instrumentos de medida y en la realización de mediciones.



49


• Identificar relaciones de proporcionalidad numérica (directa e inversa) y resolver problemas en las que se usan estas relaciones haciendo especial hincapié en los problemas-tipo asociados a estas relaciones.


• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como orden, contraste, precisión y revisión sistemática y crítica de los resultados.


• Utilizar la terminología y notación adecuadas para describir ángulos, posiciones de rectas y situaciones geométricas.

• Emplear el transportador en la medida y construcción de ángulos.

• Comparar ángulos por superposición y mediante el transportador.

• Realizar gráficamente operaciones sencillas con ángulos.

• Utilizar las operaciones con medidas de ángulos y tiempos en la resolución de problemas.

• Reconocer y buscar relaciones de paralelismo y perpendicularidad de ángulos.




50

Unidad 10. Polígonos y circunferencias

OBJETIVOS

• Clasificar los polígonos según sus lados y según sus ángulos.

• Reconocer las rectas y puntos notables de un triángulo.

• Construir triángulos, dados algunos de sus elementos.

• Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la vida real.

• Clasificar un cuadrilátero.

• Aplicar las propiedades de los paralelogramos en la resolución de problemas.

• Distinguir entre circunferencia y círculo.

• Reconocer las distintas posiciones que pueden tener una recta y una circunferencia, y dos circunferencias.

• Describir los elementos de los polígonos regulares: centro, radio y apotema.

CONTENIDOS

Conceptos • Polígono. Tipos de polígonos.

• Triángulos: clasificación.

• Elementos de un triángulo.

• †eorema de Pitágoras.

• Cuadriláteros: clasificación.

• Paralelogramos: propiedades.

• Rectas y circunferencias. Posiciones relativas.

• Posiciones relativas de dos circunferencias.

• Cálculo del ángulo central de un polígono regular.

• Obtención del ángulo interior de un polígono regular.


• Clasificar un triángulo cualquiera.

• Hallar uno de los lados de un triángulo rectángulo, dados los otros dos.

• Construir un triángulo, conocidos algunos de sus elementos.

• Aplicar las propiedades de los paralelogramos en la resolución de problemas.

• Construir paralelogramos, dados unos datos.

• Reconocer la posición relativa de un punto y una circunferencia.

• Determinar la posición relativa de una recta y una circunferencia.

• Distinguir la posición relativa de dos circunferencias.

Actitudes • Curiosidad e interés por investigar sobre formas y características geométricas.

• Valoración de las medidas para transmitir informaciones relativas al entorno.

• Gusto por la representación clara y ordenada de figuras geométricas.


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas presentes tanto en el medio social como natural y utilizar las propiedades geométricas asociadas a los mismos en las situaciones requeridas.



51

• Visualizar objetos geométricos tridimensionales sencillos, obteniendo distintas representaciones planas, actuando con destreza y creatividad.

• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, ángulos, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.


• Reconocer y clasificar los tipos de polígonos.

• Clasificar los triángulos según sus lados y según sus ángulos.

• Obtener las rectas y puntos notables de un triángulo.

• Utilizar el teorema de Pitágoras en el cálculo del lado de un triángulo rectángulo, conocidos los otros lados, y en la resolución de problemas reales.

• Clasificar un cuadrilátero.

• Resolver problemas aplicando las propiedades de los polígonos.

• Reconocer los elementos de la circunferencia.

• Distinguir las posiciones de una recta y una circunferencia, y de dos circunferencias.

• Describir los elementos de los polígonos regulares.




52

Unidad 11. Perímetros y áreas

OBJETIVOS

• Determinar el perímetro de un polígono.

• Calcular la longitud de una circunferencia.

• Hallar la longitud de un arco de circunferencia cuya amplitud viene expresada en grados.

• Obtener el área de un cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio y de cualquier polígono regular.

• Calcular el área de cualquier triángulo.

• Hallar el área de un círculo.

• Obtener el área de un sector circular expresado en grados.

CONTENIDOS

Conceptos • Perímetro de un polígono.

• Longitud de la circunferencia.

• Longitud de un arco en grados.

• Áreas de paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

• Área de un triángulo.

• Áreas de no paralelogramos: trapecios.

• Área de un polígono regular.

• Área del círculo y del sector circular.


• Utilizar las fórmulas del área de paralelogramos, trapecio y polígono regular.

• Calcular el área de cualquier triángulo.

• Hallar la longitud de una circunferencia y el área de su círculo.

• Determinar el área de una figura plana cualquiera, por descomposición en otras figuras de área conocida.

Actitudes • Confianza en las propias capacidades para percibir figuras planas y resolver problemas geométricos.

• Reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico, algebraico y numérico.

• Gusto por la representación clara y ordenada de figuras geométricas.

• Reconocimiento y valoración de los métodos y términos matemáticos que aparecen en el estudio de la Geometría.

• Interés y gusto por la descripción verbal precisa de formas geométricas.



53


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas presentes tanto en el medio social como natural y utilizar las propiedades geométricas asociadas a los mismos en las situaciones requeridas.

• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, ángulos y áreas de figuras planas.

• Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos geométricos.


• Calcular el perímetro de una figura plana.

• Hallar el área de cualquier paralelogramo conociendo algunos de sus datos.

• Determinar el área de un triángulo.

• Calcular la apotema de un polígono regular.

• Hallar el área de un polígono regular.

• Obtener el área de un círculo y de un sector circular.




54

Unidad 12. Poliedros y cuerpos de revolución

OBJETIVOS

• Distinguir los principales elementos de poliedros regulares, prismas y pirámides.

• Conocer y manejar la fórmula de Euler.

• Reconocer los tipos de cuerpos redondos más sencillos.

• Distinguir los principales elementos de los cuerpos redondos.

CONTENIDOS

Conceptos • Elementos de los poliedros.

• Poliedros regulares.

• Prismas y pirámides.

• Fórmula de Euler.

• Cuerpos redondos o de revolución.


• Utilizar la terminología adecuada para describir cuerpos geométricos, sus elementos y propiedades.

• Determinar las condiciones para que un poliedro sea regular.

• Halla el cuerpo de revolución que determina una figura plana al girar sobre un eje.

Actitudes • Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio, y afrontar y resolver problemas geométricos.

• Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.

• Gusto por la presentación cuidadosa de los trabajos geométricos.


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural y utilizar las propiedades geométricas asociadas a los mismos en las situaciones requeridas.

• Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales sencillos, actuando con destreza y creatividad.

• Valorar el trabajo en grupo e integrarse en él para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales asumidos por nuestra sociedad.


• Distinguir los tipos de poliedros y sus elementos.

• Reconocer los poliedros regulares.

• Identificar prismas y pirámides, así como sus elementos característicos.

• Obtener el desarrollo de prismas y pirámides.

• Reconocer cuerpos redondos y sus elementos.

• Obtener el desarrollo de cuerpos redondos.




55

Unidad 13. Funciones y gráficas

OBJETIVOS

• Representar y localizar puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, utilizando el vocabulario y las técnicas adecuadas.

• Interpretar gráficas de puntos y líneas en un sistema de coordenadas, analizando la información que contienen.

• Trabajar con la expresión algebraica de una función, con una tabla o con un enunciado, y pasar de unas a otras en casos sencillos.

• Realizar actividades en las que se describan e interpreten relaciones entre dos magnitudes, utilizando, cuando sea posible, valores organizados en tablas.

• Conocer si dos variables están relacionadas, y distinguir entre variable dependiente e independiente.

• Investigar e interpretar relaciones funcionales sencillas, en las que se identifiquen las variables que aparecen y que correspondan a fenómenos de la vida cotidiana.

CONTENIDOS

Conceptos • Coordenadas cartesianas.

• Interpretación de gráficas.

• Tablas y expresión algebraica de una función.

• Representación gráfica de funciones.

• Comparación de gráficas.


• Dibujar un punto en un eje de coordenadas a partir de sus coordenadas cartesianas.

• Determinar las coordenadas cartesianas de un punto en el plano.

• Construir tablas de pares de valores ordenados.

• Construir e interpretar gráficas a partir de tablas, fórmulas y descripciones verbales de un problema.

• Interpretar y utilizar gráficas para resolver problemas.

Actitudes • Reconocimiento y valoración de las relaciones entre lenguaje gráfico, algebraico y numérico.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos.



56


• Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas en distintas formas (verbal, tabular, gráfica y algebraica), realizando las transferencias necesarias entre las diversas formas de representación.

• Utilizar de manera comprensiva el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas y relacionar esta forma expresiva con otras: tabular, gráfica, descriptiva, etc.



• Representar y localizar puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

• Interpretar gráficas de puntos y líneas.

• Analizar la información de una gráfica.

• Trabajar con la expresión algebraica de una función, una tabla o un enunciado, y pasar de unas a otras en casos sencillos.

• Resolver actividades donde se describan e interpreten relaciones entre dos magnitudes.

• Distinguir si dos variables están o no relacionadas.

• Reconocer las variables dependiente e independiente.

• Investigar e interpretar con fluidez relaciones funcionales sencillas entre dos variables que reflejen fenómenos de la vida cotidiana.




57

Unidad 14. Probabilidad

OBJETIVOS

• Distinguir entre experimento aleatorio y determinista.

• Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Reconocer los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.

• Aplicar las propiedades de las frecuencias relativas en experimentos aleatorios.

• Definir el concepto de probabilidad a partir

• de las frecuencias relativas.

• Calcular la probabilidad de distintos sucesos aplicando la regla de Laplace.

CONTENIDOS

Conceptos • Espacio muestral.

• Suceso elemental y suceso compuesto.

• Frecuencias absolutas y relativas.

• Ley de los grandes números.

• Probabilidad de un suceso.

• Regla de Laplace.


• Obtener el espacio muestral, los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.

• Determinar las frecuencias absolutas y relativas de distintos sucesos.

• Utilizar la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades de distintos sucesos en contextos de equiprobabilidad.

Actitudes • Análisis crítico de las informaciones sobre fenómenos aleatorios.

• Valoración de la importancia del cálculo de probabilidades en distintos contextos de la vida diaria.



58


• Reconocer situaciones y fenómenos asociados a la probabilidad y el azar, resolviendo problemas a ellos asociados.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando con seguridad el modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).



• Reconocer si un experimento es aleatorio determinista.

• Hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Obtener los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio dado.

• Obtener la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de un suceso aleatorio.

• Utilizar las propiedades de las frecuencias relativas para resolver distintos problemas.

• Aplicar la ley de Laplace para hallar la propiedad de varios sucesos.

• Calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles o incompatibles.




59

A comienzo de curso se dedicarán dos semanas a repasar contenidos de 5º y 6º de Educación Primaria, a

fin de que el profesor vaya conociendo el nivel de cada uno de los alumnos. Después se realizará una

prueba de exploración inicial sobre los mismos contenidos.

La prueba que se realizará este curso se dividirá en dos sesiones de 35 minutos y se desglosa en las

páginas siguientes.

Los últimos días del curso se dedicarán a repasar la asignatura y hacer ejercicios que integren contenidos

de las distintas unidades del temario, a fin de obtener una visión global de la asignatura.



60

I.E.S. FRANCISCO DE LOS COBOS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROGRAMACIÓN

de




61

UNIDAD 1. Números enteros

OBJETIVOS

• Reconocer la presencia de los números enteros en distintos contextos.

• Calcular el valor absoluto de un número entero.

• Ordenar un conjunto de números enteros.

• Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros.

• Calcular y operar con potencias de base entera.

• Hallar la raíz entera de un número natural.

• Realizar operaciones combinadas de números enteros con y sin paréntesis respetando la jerarquía de las operaciones.

• Hallar todos los divisores de un número entero.

• Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números enteros.

CONTENIDOS

Conceptos • Números enteros. Ordenación.

• Sumas y restas de números enteros. Operaciones combinadas.

• Multiplicación de números enteros. División exacta de números enteros.

• Potencias de exponente natural. Operaciones con potencias.

• Raíz cuadrada exacta de un número entero. Raíz cuadrada entera por defecto y por exceso de un número entero. Restos.

• Jerarquía de las operaciones.

• Divisibilidad en los números enteros.


• Representación y ordenación de un conjunto de números enteros.

• Cálculo del valor absoluto y del opuesto de un número entero.

• Suma y resta de números enteros.

• Multiplicación y división de números enteros aplicando la regla de los signos.

• Utilización de las reglas de las operaciones con potencias.

• Cálculo de la raíz cuadrada entera y el resto de un número natural.

• Conocimiento y utilización de la jerarquía de las operaciones, los paréntesis y signos en el cálculo de operaciones combinadas con números enteros.

• Determinación de todos los divisores de un número entero.

• Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos números enteros mediante su descomposición en factores primos.

Actitudes • Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.

• Respeto y valoración de las soluciones aportadas por otros compañeros.

• Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.




62

o Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contiene distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación adecuada en cada caso.

o Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números, decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

o Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Comparar números enteros y representarlos en la recta numérica. • Obtener el valor absoluto y el opuesto de un número entero. • Sumar y restar correctamente números enteros. • Aplicar la regla de los signos en las multiplicaciones y divisiones de números enteros. • Realizar operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones y los paréntesis. • Efectuar divisiones exactas de números enteros. • Calcular potencias de base y exponente naturales. • Utilizar, de manera adecuada, las reglas de las operaciones con potencias respetando la

jerarquía de las operaciones. • Calcular la raíz cuadrada exacta y entera de un número entero. • Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de un conjunto de números enteros mediante descomposición en

producto de factores primos. TIEMPO ESTIMADO: 8 clases.



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UNIDAD 2. Fracciones

OBJETIVOS

• Reconocer y utilizar las distintas interpretaciones de una fracción. • Hallar la fracción de un número. • Distinguir si dos fracciones son equivalentes y calcular fracciones equivalentes a una dada. • Amplificar fracciones. • Simplificar una fracción hasta obtener su fracción irreducible. • Reducir fracciones a común denominador. • Comparar fracciones. • Sumar y restar fracciones. • Multiplicar fracciones, aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común. • Comprobar si dos fracciones son inversas y obtener la fracción inversa de una dada. • Dividir dos fracciones. • Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción. • Resolver problemas de la vida real donde aparezcan fracciones.

CONTENIDOS

Conceptos • Fracción como parte de la unidad, como cociente y como operador. • Fracciones equivalentes. Amplificación y simplificación. • Suma y resta de fracciones. • Multiplicación y división de fracciones.


• Interpretación y utilización de las fracciones en diferentes contextos. • Obtención de fracciones equivalentes y de la fracción irreducible de una

fracción. • Reducción de fracciones a común denominador. • Ordenación de un conjunto de fracciones. • Utilización de los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división de

fracciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana. • Cálculo de potencias y raíces cuadradas exactas de fracciones.

Actitudes • Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.


• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números relacionarlos y utilizarlos eligiendo la representación adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números naturales, enteros y fracciones aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo planificando el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada y mostrando confianza en las propias capacidades.



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• Utilizar, de manera adecuada, las distintas interpretaciones de una fracción. • Determinar si dos fracciones son o no equivalentes. • Amplificar y simplificar fracciones. • Obtener la fracción irreducible de una dada. • Reducir fracciones a común denominador. • Ordenar un conjunto de fracciones. • Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. • Calcular la potencia y la raíz cuadrada de una fracción. • Obtener la fracción inversa de una fracción dada. • Aplicar correctamente la propiedad distributiva y sacar factor común. • Realizar operaciones combinadas con fracciones respetando la jerarquía de las operaciones. • Resolver problemas reales donde aparezcan fracciones.




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UNIDAD 3. Números decimales

OBJETIVOS

• Clasificar números decimales. • Obtener la expresión decimal de una fracción. • Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción según sea su denominador. • Comparar números decimales. • Sumar, restar, multiplicar y dividir números decimales. • Utilizar el algoritmo de la raíz cuadrada para calcular la raíz de un número. • Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación determinado.

CONTENIDOS

Conceptos • Parte entera y parte decimal de un número decimal. • Números decimales exactos y periódicos. • Operaciones con números decimales. • Aproximación de un número decimal por redondeo y/o truncamiento.


• Interpretación y utilización de los números decimales, así como de sus operaciones, en distintos contextos reales.

• Cálculo de la expresión decimal de una fracción cualquiera. • Comparación de números decimales. • Cálculo de la raíz cuadrada de un número. • Redondeo y truncamiento de números decimales.

Actitudes • Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.

• Curiosidad e interés por resolver problemas numéricos realizando cálculos y estimaciones de manera razonada.

• Adopción de una actitud crítica ante el uso de la calculadora para hallar el resultado de operaciones con números decimales.

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN EN LA UNIDAD • Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contiene distintos tipos

de números relacionarlos y utilizarlos eligiendo la representación más adecuada. • Calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros,

fraccionarios y decimales) aplicando el modo de cálculo pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).




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CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Obtener la expresión decimal exacta o periódica de una fracción. • Reconocer el tipo de decimal que corresponde a una fracción según sea su denominador. • Comparar y ordenar un conjunto de números decimales. • Operar correctamente con números decimales. • Calcular la raíz cuadrada de un número. • Redondear y truncar números decimales hasta un nivel de aproximación determinado. • Decidir las operaciones adecuadas en la resolución de problemas con números decimales.




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Unidad 4. Sistema sexagesimal

OBJETIVOS

• Utilizar el sistema sexagesimal para medir tiempos y ángulos. • Distinguir entre expresiones complejas e incomplejas para medir tiempos y ángulos, y pasar

de unas a otras. • Efectuar sumas y restas de medidas de ángulos y de tiempos. • Multiplicar una medida de tiempo o de un ángulo por un número entero. • Dividir una medida de tiempo o de un ángulo entre un número entero. • Aplicar el sistema sexagesimal a cuestiones relacionadas con la vida cotidiana.

CONTENIDOS

Conceptos • Medidas de tiempos y ángulos. Sistema sexagesimal. • Formas complejas e incomplejas para medir tiempos y ángulos. • Suma y resta en el sistema sexagesimal. • Multiplicación y división en el sistema sexagesimal.


• Expresión de un ángulo en grados, minutos y segundos. • Expresión de tiempo en horas, minutos y segundos. • Transformación de una medida de tiempo o angular de forma compleja a

incompleja, y viceversa. • Suma y resta de medidas de tiempo o angulares en el sistema sexagesimal. • Multiplicación y división de medidas de tiempo o angulares. • Operaciones combinadas de medidas de ángulos.

Actitudes • Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidades de medida utilizadas.

• Adopción de una actitud crítica ante el uso de la calculadora científica para resolver problemas.


• Resolver situaciones-problema, tanto individualmente como en grupo, que requieran el uso de magnitudes de medida de tiempo o ángulos, utilizando las unidades adecuadas.

• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir tiempos y ángulos.

• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales.



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• Trabajar con las distintas unidades de medida de ángulos y tiempos. • Expresar medidas de ángulos en grados, minutos y segundos. • Expresar medidas de tiempo en horas, minutos y segundos. • Convertir la medida de un ángulo expresada en forma compleja a forma incompleja, y

viceversa. • Determinar la forma compleja de una medida de tiempo dada en forma incompleja, y

viceversa. • Sumar y restar dos medidas de tiempo o de ángulos en el sistema sexagesimal. • Multiplicar y dividir una medida de tiempo o angular por un número. • Resolver problemas reales donde aparezcan medidas de tiempo o angulares.




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Unidad 5. Expresiones algebraicas

OBJETIVOS

• Operar con monomios. • Reconocer los polinomios como suma de monomios. • Determinar el grado de un polinomio. • Obtener el valor numérico de un polinomio. • Sumar, restar y multiplicar polinomios. • Dividir un polinomio entre un monomio. • Desarrollar las igualdades

CONTENIDOS

Conceptos • Polinomios: grado y valor numérico. • Operaciones con polinomios. • Igualdades notables.


• Obtención del valor numérico de un polinomio. • Suma, resta y multiplicación de polinomios. • División de un polinomio entre un monomio. • Desarrollo de las igualdades notables. • Utilización de las igualdades notables para simplificar distintas

expresiones. Actitudes • Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje conciso y útil para

expresar situaciones cotidianas. • Respeto por las soluciones y planteamientos de otros compañeros. • Realización de los cálculos y operaciones con polinomios de forma

precisa y cuidadosa.


• Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza expresiones algebraicas sencillas.

• Utilizar, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones, y relacionar esta forma de expresión con otras: tabular, gráfica, descriptiva...

• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.


• Identificar el grado, el término independiente y los coeficientes de un polinomio. • Sumar y restar polinomios correctamente. • Multiplicar polinomios. • Calcular el grado del polinomio producto de dos polinomios sin necesidad de operar. • Dividir polinomios entre monomios. • Identificar y desarrollar las igualdades notables. • Simplificar expresiones utilizando las igualdades notables.




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Unidad 6. Ecuaciones de primer y segundo grado

OBJETIVOS

• Distinguir entre identidades y ecuaciones. • Comprobar si un número es o no solución de una ecuación. • Obtener ecuaciones equivalentes a una dada. • Resolver ecuaciones de primer grado. • Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado. • Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.

CONTENIDOS

Conceptos • Igualdad, identidad y ecuación. • Ecuaciones de primer grado. • Ecuaciones equivalentes. • Métodos de resolución de ecuaciones de primer grado. • Ecuaciones de segundo grado.


• Resolución de ecuaciones de primer grado por el método general. • Resolución de ecuaciones de segundo grado. • Identificación y resolución de problemas de la vida real planteando y

resolviendo ecuaciones de primer y segundo grado, y comprobando la validez de las soluciones obtenidas.

Actitudes • Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas algebraicos.

• Perseverancia y flexibilidad a la hora de resolver problemas valorando las opiniones aportadas por los demás.

• Gusto por la presentación ordenada de las soluciones de las ecuaciones.


• Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo y utilizando expresiones algebraicas. • Utilizar, de manera razonada, el método analítico de resolución de problemas mediante

ecuaciones y aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. • Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática,

tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.


• Diferenciar entre identidades y ecuaciones. • Obtener la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. • Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores. • Resolver ecuaciones de segundo grado. • Hallar la solución de problemas reales mediante ecuaciones de primer y segundo grado.




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Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

OBJETIVOS

• Reconocer sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas. • Resolver sistemas de ecuaciones lineales con ayuda de tablas. • Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas aplicando los métodos de

reducción, sustitución e igualación. • Plantear y resolver problemas reales utilizando sistemas de ecuaciones.

CONTENIDOS

Conceptos • Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. • Resolución de sistemas con ayuda de tablas. • Métodos de sustitución, igualación y reducción.


• Reconocimiento de si dos sistemas de ecuaciones son o no equivalentes. • Resolución de un sistema de ecuaciones mediante el uso de tablas. • Resolución de sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de

reducción, sustitución e igualación. • Planteamiento y resolución de problemas mediante la aplicación de expresiones

algebraicas y sistemas de ecuaciones comprobando la validez de la solución. Actitudes • Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas

que requieran planteamientos algebraicos. • Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad de los sistemas de

ecuaciones para resolver situaciones de la vida cotidiana.


• Utilizar razonadamente el método analítico de resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones, y aplicar con destreza los algoritmos de resolución.

• Emplear, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo planificando adecuadamente el proceso de resolución, desarrollándolo ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.



• Determinar si un par de números es o no solución de un sistema de ecuaciones. • Comprobar si dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas son equivalentes o no. • Obtener sistemas equivalentes a uno dado por distintos procedimientos. • Resolver un sistema de ecuaciones mediante tablas. • Resolver un sistema de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción. • Determinar el método más adecuado para resolver un sistema de ecuaciones. • Resolver problemas reales mediante sistemas de ecuaciones.


Unidad 8. Proporcionalidad numérica



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OBJETIVOS

• Determinar si dos razones forman proporción. • Distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales. • Resolver problemas reales que impliquen el uso de una regla de tres simple directa o de la

reducción a la unidad. • Determinar si dos magnitudes son inversamente proporcionales. • Resolver problemas reales que impliquen el uso de una regla de tres simple inversa o de la

reducción a la unidad. • Hallar el tanto por ciento de una cantidad. • Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.

CONTENIDOS

Conceptos • Razón y proporción. • Magnitudes directamente proporcionales. • Regla de tres simple directa y método de reducción a la unidad. • Magnitudes inversamente proporcionales. • Regla de tres simple inversa y método de reducción a la unidad. • Tanto por ciento de una cantidad. • Aumentos y disminuciones porcentuales.


• Distinción entre magnitudes directa o inversamente proporcionales. • Construcción de tablas de proporcionalidad directa e inversa. • Resolución de problemas mediante reglas de tres simples (directas e

inversas) y por reducción a la unidad. • Resolución de problemas de cálculos de porcentajes.

Actitudes • Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con la proporcionalidad numérica, directa e inversa.

• Orden en la resolución y la presentación de los cálculos y soluciones en problemas de proporcionalidad.


• Identificar relaciones de proporcionalidad numérica (directa e inversa), y resolver problemas en los que se usan estas relaciones haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a estas relaciones.

• Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos y alfanuméricos. • Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos

como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales.



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CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Distinguir si dos razones forman proporción. • Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de diferentes

problemas. • Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales. • Distinguir si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales. • Aplicar la regla de tres simple, tanto directa como inversa, en la resolución de problemas

estableciendo cuál debe aplicarse en cada caso. • Utilizar los porcentajes para resolver distintos problemas.




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Unidad 9. Proporcionalidad geométrica

OBJETIVOS

• Calcular la razón de dos segmentos y distinguir si son proporcionales o no. • Reconocer segmentos iguales, comprendidos entre líneas paralelas, y aplicar el teorema de

Tales en distintos contextos. • Dividir un segmento en partes iguales, obtener el segmento cuarto proporcional y dividir un

segmento en partes proporcionales a otros segmentos dados. • Reconocer triángulos en posición de Tales como paso previo a la semejanza de triángulos. • Distinguir y aplicar los criterios de semejanza de triángulos. • Construir polígonos semejantes. • Aplicar las semejanzas en mapas y planos trabajando con escalas.

CONTENIDOS

Conceptos • Razón de dos segmentos. • Segmentos proporcionales. • Teorema de Tales. Aplicaciones. • Triángulos en posición de Tales. • Criterios de semejanza de triángulos. • Polígonos semejantes. • Escalas.


• Obtención de la relación de proporcionalidad entre segmentos. • Aplicación del teorema de Tales en la resolución de distintos problemas

geométricos y de la vida real. • Cálculo del segmento cuarto proporcional a otros segmentos dados. • División de un segmento en partes iguales y en partes proporcionales a

otros dados. • Utilización de los criterios de semejanza de triángulos en distintos

contextos para resolver problemas. • Determinación de la semejanza entre dos polígonos y obtención de su

razón de semejanza. • Construcción de una figura semejante a una figura dada. • Interpretación de mapas hechos a escala calculando longitudes reales a

partir de longitudes en el plano, y viceversa. • Obtención de la escala gráfica correspondiente a una escala numérica

dada, y viceversa. Actitudes • Cuidado y precisión en el uso de los instrumentos de dibujo para realizar

construcciones geométricas. • Sentido crítico ante las representaciones a escala para transmitir distintos

mensajes.



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• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, la semejanza de figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas.

• Distinguir relaciones de proporcionalidad geométrica y resolver problemas en los que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a dichas relaciones.



• Calcular la razón de semejanza entre dos segmentos dados. • Aplicar el teorema de Tales en la resolución de distintos problemas geométricos y de la vida

real. • Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados. • Distinguir si dos triángulos están en posición de Tales o no. • Utilizar los criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para resolver

problemas. • Determinar si dos polígonos son o no semejantes y obtener su razón de semejanza. • Construir una figura semejante a otra dada. • Utilizar las escalas de manera adecuada en el cálculo de longitudes sobre planos o mapas a

partir de longitudes reales, y viceversa.




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Unidad 10. Figuras planas. Áreas

OBJETIVOS

• Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la vida real. • Calcular el área de cualquier polígono. • Obtener el área de figuras circulares. • Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono, y si el polígono es regular, la medida

de cada ángulo y la de su ángulo central. • Definir las clases de ángulos en la circunferencia.

CONTENIDOS

Conceptos • Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. • Área de un polígono. • Área de figuras circulares. • Ángulos en las figuras planas. • Ángulos en la circunferencia.


• Aplicación del teorema de Pitágoras en el cálculo de longitudes desconocidas en distintos contextos.

• Cálculo de áreas de polígonos. • Obtención del área de figuras circulares. • Aplicación de las fórmulas para calcular la suma de los ángulos interiores

de un polígono y, en el caso de polígonos regulares, la medida de un ángulo interior y de su ángulo central.

• Descripción de diferentes tipos de ángulos en una circunferencia. Actitudes • Valoración del razonamiento deductivo en las demostraciones geométricas.

• Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones y operaciones manifestando las unidades de medida utilizadas.

• Valoración de la importancia del cálculo de perímetros y áreas para resolver problemas de la vida cotidiana.


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas.

• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, ángulos y áreas de figuras planas.




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• Aplicar el teorema de Pitágoras para calcular longitudes desconocidas en distintos contextos. • Hallar el área de un polígono cualquiera. • Obtener el área de figuras circulares. • Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono. • Determinar la medida de un ángulo interior de un polígono regular y de su ángulo central. • Identificar los distintos tipos de ángulos de una circunferencia.




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Unidad 11. Cuerpos geométricos

OBJETIVOS

• Distinguir los poliedros regulares, prismas y pirámides y sus elementos. • Calcular el área de prismas y pirámides, y aplicar las fórmulas en la resolución de problemas

geométricos y de la vida cotidiana. • Reconocer los tipos de cuerpos de revolución más sencillos. • Distinguir los elementos de los cuerpos de revolución. • Calcular el área de cilindros y conos, y aplicar las fórmulas en la resolución de problemas

geométricos y de la vida cotidiana.

CONTENIDOS

Conceptos • Elementos de los poliedros. • Poliedros regulares. • Prismas y pirámides. Áreas. • Cuerpos redondos o de revolución. Áreas.


• Utilización de la terminología adecuada para describir cuerpos geométricos, sus elementos y propiedades.

• Identificación de simetrías en cuerpos geométricos. • Cálculo del área de prismas y pirámides aplicando las fórmulas en la

resolución de problemas geométricos de la vida real. • Resolución de problemas de cálculo de áreas de cuerpos geométricos

formados a partir de otros cuerpos más sencillos. • Cálculo del área de cilindros y conos aplicando las fórmulas en la

resolución de problemas geométricos de la vida real. Actitudes • Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio, y afrontar y

resolver problemas geométricos. • Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y

relaciones geométricas. • Gusto por la presentación cuidadosa de los trabajos geométricos.


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural.

• Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales sencillos actuando con destreza y creatividad.

• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales.



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• Distinguir los tipos de poliedros y sus elementos. • Identificar prismas y pirámides, así como sus elementos característicos. • Obtener el desarrollo de prismas y pirámides. • Reconocer los cuerpos de revolución y sus elementos. • Dibujar el desarrollo y los planos, ejes y centro de simetría de un cuerpo de revolución. • Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de prismas, pirámides y cuerpos de

revolución.




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Unidad 12. Volumen de cuerpos geométricos

OBJETIVOS • Medir el volumen de un cuerpo utilizando distintas unidades de medida. • Pasar de unas unidades de volumen a otras. • Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja. • Relacionar las unidades de volumen, capacidad y masa para el agua destilada. • Definir el concepto de densidad. • Resolver problemas donde aparezcan unidades de volumen y de masa de sustancias con

distintas densidades. • Calcular el volumen de los poliedros. • Hallar el volumen de los cuerpos de revolución. • Plantear y resolver problemas reales mediante el cálculo de volúmenes.

CONTENIDOS

Conceptos • Volumen de un cuerpo. Unidades de volumen. • Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa. • Relación entre volumen y densidad. • Volúmenes del ortoedro, cubo, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera.


• Utilización de distintas unidades de medida para medir el volumen de un cuerpo.

• Paso de unas unidades de volumen a otras. • Relación de las unidades de volumen, masa y capacidad para el agua

destilada. • Cálculo de las densidades de diferentes sustancias. • Obtención del volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas

aplicándolo en la resolución de problemas reales. • Obtención del volumen de cuerpos complejos mediante la suma o

diferencia de los volúmenes de cuerpos geométricos más sencillos. Actitudes • Disposición favorable para realizar mediciones, mediante fórmulas, del

volumen de cuerpos geométricos. • Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y resolver

problemas geométricos.


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural.

• Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales obteniendo distintas representaciones planas.




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• Utilizar diferentes unidades de medida para medir el volumen de un cuerpo. • Reconocer la relación entre las medidas de volumen y capacidad, y las de volumen y masa

para el agua destilada. • Expresar el volumen en la unidad adecuada al contexto en el que se trabaja. • Resolver correctamente problemas donde aparezcan unidades de volumen y de masa de

sustancias con distintas densidades. • Calcular el volumen del ortoedro, cubo, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera. • Resolver problemas que impliquen el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.




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Unidad 13. Funciones

OBJETIVOS

• Localizar puntos en el plano y representarlos utilizando coordenadas cartesianas. • Trabajar con la expresión algebraica, la tabla y la gráfica de una función, y pasar de unas a

otras. • Interpretar relaciones funcionales sencillas distinguiendo las variables que intervienen en

ellas. • Determinar las características de las gráficas: dominio, puntos de corte con los ejes,

continuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos... • Representar y reconocer funciones de proporcionalidad directa e inversa. • Reconocer y valorar la utilidad de los lenguajes gráficos para representar y resolver

problemas de la vida cotidiana y del ámbito científico.

CONTENIDOS

Conceptos • Coordenadas cartesianas. • Concepto de función. • Representación de una función mediante una tabla de valores y mediante su expresión algebraica. • Estudio de funciones. • Funciones de proporcionalidad directa e inversa.


• Representación en un sistema de coordenadas cartesianas. • Construcción e interpretación de gráficas a partir de tablas, fórmulas y

descripciones verbales de un problema. • Análisis de las características de una gráfica señalando su dominio, puntos

de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento y sus puntos de máximos y mínimos.

• Representación, reconocimiento y utilización de funciones de proporcionalidad directa e inversa.

Actitudes • Reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico, algebraico y numérico.

• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas y realizar cálculos.

• Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con las gráficas.


• Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas verbal, tabular, gráfica y algebraicamente.

• Emplear, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas, y relacionar esta forma de expresión con otras: tabular, gráfica, descriptiva...




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• Utilizar las coordenadas cartesianas. • Expresar una función mediante textos, tablas, fórmulas y gráficas. • Analizar la información de una gráfica e interpretar relaciones entre magnitudes. • Reconocer las variables dependientes e independientes en una relación funcional. • Distinguir en una gráfica los puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y

decrecimiento, y máximos y mínimos. • Representar y reconocer funciones de proporcionalidad directa e inversa. • Resolver problemas reales que impliquen la utilización y representación de funciones.




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Unidad 14. Estadística

OBJETIVOS

• Obtener el recuento de una serie de datos para formar una tabla y estudiar sus propiedades. • Distinguir entre frecuencia absoluta y relativa de un dato, y calcular ambas frecuencias. • Representar gráficamente un conjunto de datos. • Interpretar gráficas estadísticas. • Determinar la media aritmética de un conjunto de datos. • Calcular la mediana y la moda de un conjunto de datos.

CONTENIDOS

Conceptos • Recuento de datos y construcción de tablas. • Frecuencia absoluta y frecuencia relativa. • Representaciones gráficas. • Media, mediana y moda.


• Realización del recuento de una serie de datos para formar una tabla. • Cálculo de las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos. • Representación gráfica de un conjunto de datos. • Cálculo de la media aritmética, la mediana y la moda.

Actitudes • Reconocimiento y valoración de la utilidad de los lenguajes gráfico y estadístico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana.

• Gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y representación de datos.


• Interpretar y presentar la información estadística a partir de tablas, gráficas y parámetros estadísticos, y calcular las medidas estadísticas básicas utilizando los medios más adecuados en cada caso (lápiz y papel, calculadora u ordenador).

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada y aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).



• Obtener el recuento de una serie de datos. • Elaborar tablas para resumir la información sobre los datos obtenidos. • Distinguir entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa, y calcular ambas frecuencias. • Representar gráficamente un conjunto de datos. • Comparar los diferentes gráficos, pasar de uno a otro y observar en cuál de ellos aparece más

clara la información. • Determinar la media aritmética de un conjunto de datos. • Calcular la mediana y la moda de un conjunto de datos.




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PROYECTO CURRICULAR

DE

MATEMÁTICAS

Educación Secundaria Obligatoria

2º CICLO E.S.O



86

OBJETIVOS DEL 2º CICLO

1. Incorporar al lenguaje las distintas formas de expresión matemática (numérica, gráfica, geométrica, algebraica y estadística) con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa.

2. Utilizar las formas de pensamiento lógico para formular y comprobar conjeturas, realizar inferencias y deducciones y resolver problemas.

3. Conocer las operaciones con los números enteros, racionales e irracionales y utilizarlas en diferentes contextos (mediciones, estimaciones...)

4. Manejar el lenguaje algebraico para simbolizar enunciados y resolver problemas.

5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que generan.

6. Leer y construir tablas y gráficas funcionales y estadísticas.

7. Identificar los elementos matemáticos presentes en noticias, opiniones, publicidad, etc, analizando críticamente las funciones que desempeñan y sus aportaciones para una mejor comprensión de los mensajes.

8. Conocer y utilizar la calculadora y los instrumentos de dibujo habituales en los cálculos, en el trazado de figuras geométricas y en los procesos de resolución de problemas.

9. Actuar, cuando las situaciones lo requieran, de acuerdo con los modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, precisión en el lenguaje, acotación del problema, flexibilidad para modificar el punto de vista, perseverancia en la búsqueda de soluciones, etc.



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CONTENIDOS DEL ÁREA EN EL 2º CICLO

Los contenidos se presentan organizados en cinco núcleos:

• Números y Medidas • Álgebra • Geometría • Funciones y su Representación Gráfica • Tratamiento de la Información Estadística y del Azar

Estos núcleos de contenidos se concretan de la siguiente manera:

Tercer curso NÚMEROS Y MEDIDAS. a) Naturales • Patrones en la divisibilidad. Además de algunos criterios de divisibilidad, se

trabajarán los números que dan el mismo resto al dividirlos por otro número dado. b) Enteros. • Revisión de los números con signo. Este curso profundiza los aprendizajes

realizados durante el ciclo anterior y no introduce contenidos nuevos. c) Fracciones. • Revisión de fracciones, decimales y porcentajes. • Números decimales: periodicidad. Se comienza el manejo de la escritura decimal de

números racionales, se investigan los distintos tipos de periodicidad y su relación con una fracción asociada.

• Fracciones equivalentes. Este concepto es un soporte para una buena comprensión de la suma y la resta de fracciones, de la ordenación y la comparación, de la validez de una aproximación o una estimación y para el futuro uso de la noción de densidad de racionales (curso siguiente). No se trata de construir las clases de equivalencia de racionales a partir de él.

• Números con muchas cifras. Trabajar con situaciones que sitúen en un contexto números con muchas cifras (grandes y pequeños), que permitan tener idea del orden de magnitud de los mismos y de la necesidad de elaborar determinadas notaciones para expresarlos. Utilizar la calculadora para trabajar con este tipo de notación e interpretar los resultados de la misma.

• Operaciones con fracciones. Operar con fracciones en forma decimal y mediante la calculadora, controlando la magnitud del error; mediante los algoritmos tradicionales; mediante procedimientos no estándar, como puede ser el de sustituir una fracción por una expresión más sencilla a través de aproximaciones o equivalencias; mentalmente, en casos sencillos: - Tantos por ciento, por uno, por mil. Como operadores, en distintos contextos y

sin emplear fórmulas.



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- Aproximación, redondeo y acotación de errores. Aproximar distintos tipos de números por otros más sencillos. Redondear números dentro de un contexto, acotando el error cometido. Operar con ellos reconociendo, intuitivamente, la propagación de dicho error.

- Ordenaciones y comparaciones. Ordenar y comparar cantidades representadas de diversas formas y con distintas notaciones.

• Potencias. Construir el significado de la potencia de base racional y exponente natural a partir de contextos concretos que permitan interpretar los resultados y mediante la calculadora.

• Raíces. Existencia y obtención de una raíz de una fracción a partir de contextos concretos que permitan interpretar los resultados, mediante la calculadora.

d) Magnitudes. • Expresión de la cantidad de una magnitud. Uso de una unidad o de varias, reducción

a una sola y comparación de medidas. • Estimación de cantidades. • Relaciones de proporcionalidad entre magnitudes Construir y utilizar relaciones de

proporcionalidad de diferentes formas. • Operaciones con cantidades. Interpretaciones manipulativa y numérica de las

operaciones (suma y resta de dos magnitudes; comparación de dos magnitudes; multiplicación y división de una magnitud por un número) en los casos en que sea posible, con especial referencia al hecho de que la suma, la resta y la comparación necesitan el uso de una unidad común.

ÁLGEBRA. • Traducciones:

- Codificar y descodificar. Trasladar, organizar e interpretar informaciones y enunciados de unos códigos a otros. Expresar algebraicamente el enunciado de un problema y confrontarlo con otros procedimientos de expresión. Buscar una situación que se adecue a una expresión algebraica dada.

- Simbolizar. Utilizar símbolos que sustituyan a objetos con el fin de representar una situación y comunicar información sobre ella. Simbolizar relaciones entre cantidades mediante fórmulas y ecuaciones.

- Generalizar. Encontrar regularidades y relaciones. Expresarlas verbalmente y simbólicamente. Por ejemplo, la expresión simbólica de relaciones entre números figurados se amplía a otros casos en los que sea posible conjeturar partiendo de una manipulación (por ejemplo: números pentagonales, hexagonales)

• Variables, expresiones literales y relaciones entre variable. La experiencia anterior del alumnado con las expresiones literales se limita, frecuentemente, a manejar fórmulas para expresar áreas, perímetros, etc., o a relacionar unidades a partir del sistema métrico. Estos trabajos con letras no suponen una conceptualización de la idea de variable, siendo, en muchos casos, un obstáculo para su aprendizaje. Habitualmente, estas letras se manejan bien como objetos o representaciones taquigráficas, o bien como incógnitas específicas. Es fundamental proponer experiencias que avancen la construcción de variables, propiciando la interpretación de letras como números generalizados y estableciendo relaciones que expresen,



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mediante letras, el grado en que un conjunto de valores varía como resultado de cambios en otro conjunto. - Dar valores numéricos a fórmulas y expresiones literales. - Manipular y simplificar expresiones algebraicas sencillas. Sacar factor común.

Utilizar las identidades notables. • Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolver ecuaciones de primer grado

utilizando diversos procedimientos: elaboración de un gráfico, de una tabla, por ensayo y error, manejo de la calculadora, de programas de ordenador y mediante algún algoritmo. Es recomendable que las ecuaciones aparezcan en situaciones problemáticas y por tanto se interprete la solución en el contexto de la misma.

• Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado utilizando diversos procedimientos: elaboración de un gráfico, de una tabla, por ensayo y error, manejo de la calculadora, de programas de ordenador y mediante algoritmos. Es recomendable que los sistemas de ecuaciones aparezcan en situaciones problemáticas y por tanto se interprete la solución en el contexto de la misma.

• Desigualdades numéricas e inecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolver inecuaciones de primer grado, partiendo de procedimientos espontáneos (como los que usan el tanteo mental y la calculadora) con objeto de irlos mejorando hasta llegar a un procedimiento estándar de resolución que debería acompañarse siempre de una interpretación gráfica en la recta numérica (sin necesidad de hablar de intervalos, pero haciendo referencia a semirrectas y a segmentos).

GEOMETRÍA a) Geometría con coordenadas. • Revisiones del trabajo realizado en el ciclo anterior. • Rectas que cortan al eje OY (forma algebraica llamada punto - pendiente). • Mediatriz de un segmento. b) Geometría de transformaciones. • Revisiones del trabajo realizado en el ciclo anterior. • Aplicaciones de las traslaciones, giros y reflexiones en el plano a la construcción de

rosetones, frisos y mosaicos planos: - Inversa de una traslación dada. - Composición de dos traslaciones dadas. - Inversa de una reflexión dada. - Composición de dos reflexiones. - Inverso de un giro dado. - Composición de dos giros del mismo centro. - Orden de un giro. - Reflexión en deslizamiento.

• Consecuencias del Teorema de Thales: - Semejanza de polígonos (plano). - Acercamiento intuitivo a la razón áurea.

c) Geometría Sintética.



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• Revisiones del trabajo realizado en el ciclo anterior. • Reconocimiento, manipulación, construcciones, relaciones, medidas y propiedades

elementales de lugares geométricos: recta mediatriz, plano mediador; recta bisectriz, plano bisector; arco capaz de un ángulo; circunferencia, esfera. Esta lista de lugares geométricos comunes no debe ocultar la posibilidad de trabajar provechosamente la idea de lugar geométrico en otros contextos.

• Acercamiento intuitivo al número pi. FUNCIONES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. • Revisión de los aprendizajes realizados en el ciclo anterior, como punto de partida y

como proceso de detección de ideas previas. • Análisis de gráficas. En el contexto de fenómenos determinados por gráficas

continuas, continuas a trozos y discretas, se realizarán procesos de lectura, descripción e interpretación, analizando los siguientes aspectos de una gráfica: se espera conseguir que el alumnado, ante la gráfica de una función, analice e interprete, de forma cuantitativa, el fenómeno que representa, sin que los cálculos constituyan un obstáculo para este objetivo: - Variables que se relacionan valorando si son discretas o continuas. - Escalas utilizadas en los ejes. Significado del origen. - Valores de una variable respecto a otra.

• Elaboración de una tabla a partir de la gráfica: - Variaciones (crecimiento y decrecimiento). - Extremos (máximos y mínimos). - Intervalos de validez del fenómeno considerado. - Discontinuidades. Continuidad. - Tendencia. Valorar la posibilidad de prolongar la gráfica a partir de la

información disponible. - Interpretar el significado de los puntos de corte con los ejes coordenados o con

otra gráfica y detectarlos en la gráfica o en la tabla. • Representación gráfica de funciones. La representación de dependencias está

presente en todo el núcleo, con distintos grados de elaboración. Aquí se trata de cultivar la precisión para representar una situación de dependencia, mediante un sistema de coordenadas: - A partir de un enunciado. Sin obtener previamente una tabla, dibujar un

pronóstico de la gráfica. Si es posible obtener la tabla, perfilar y rectificar el boceto elaborado.

- A partir de una tabla. Elegir las unidades, representar los puntos, decidir si pueden unirse. Representar la curva si es posible.

- A partir de una expresión analítica. Construir la tabla, elegir las unidades, representar los puntos y optimizar la gráfica con nuevos valores.

• Traducciones. Se trata de traducir situaciones de dependencia de unos lenguajes a otros. Estos procesos de traducción deben ir haciéndose progresivamente más globales e ir acompañados de una terminología cada vez más adecuada: - Decidir, dadas varias gráficas, cuál responde a un enunciado o tabla. - Decidir, dados varios enunciados o tablas, cuál responde a una gráfica. - Decidir, dadas varias expresiones analíticas, cuál responde a una gráfica o una

tabla. - A partir de una situación verbal o enunciado, de una gráfica, de una tabla o de

una expresión analítica, describir e interpretar el fenómeno que representa.



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• Caracterización de dependencias. Acercarse al reconocimiento de la relación de una variable sobre la otra. La descripción de una relación funcional constituye un buen contexto para reflexionar sobre el tipo de relación entre las variables, así como para construir el perfil de algunas funciones elementales (por ejemplo, constantes y lineales) e irlas caracterizando como modelos que permiten estudiar, de forma más o menos aproximada, distintos grupos de fenómenos.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA Y DEL AZA R • Revisión de las ideas previas del alumnado sobre situaciones de incertidumbre. • Frecuencias relativas. Revisión. El manejo (experimentación o simulación) de

muestras de tamaño creciente, permite acercarse a la comprensión de la estabilización de las frecuencias relativas.

• Medida de la probabilidad. El estudio de la probabilidad permite establecer múltiples conexiones entre diferentes núcleos de esta área: concepto de fracción, fracciones equivalentes, relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes, etc. - Sucesos: sucesos equiprobables; suceso seguro; suceso imposible en el contexto

de una situación de incertidumbre. - Ley de Laplace. La existencia de un número hacia el que tienden a estabilizarse

las frecuencias relativas, permite conjeturar una medida de la probabilidad en el caso de sucesos equiprobables.

• Cálculo de probabilidades elementales. La práctica adquirida mediante simulaciones y asignación de probabilidades experimentalmente, dará paso al cálculo de la probabilidad de sucesos. El cálculo de la probabilidad de un suceso puede requerir que se efectúen recuentos. Se utilizarán preferentemente los diagramas de árbol u otras herramientas que permitan representar los casos posibles y seleccionar, a partir de ellos, los que sean favorables. - Sucesos independientes; sucesos dependientes. Su relación con los sucesos

compuestos. - Probabilidad de un suceso conocida la de su complementario.



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SEGUNDO CICLO Cuarto curso (opción A) NÚMEROS Y MEDIDAS a) Enteros. • Valor absoluto.

El valor absoluto permite recuperar el número natural así como enunciar algoritmos para las cuatro reglas entre enteros, si se construyeron significativamente.

b) Fracciones • Equivalencia de fracciones y acercamiento a la noción de número racional. Noción

intuitiva de número racional sin recurrir al conjunto cociente de las fracciones equivalentes.

• Orden entre números racionales. La escritura como un solo número con cifras decimales periódicas (en base diez) de distintas fracciones equivalentes, permite ordenar dos racionales diferentes; las necesarias aproximaciones de trabajo con números decimales en sentido estricto, permitirán mejorar el conocimiento de la representación de racionales en la recta numérica.

• Densidad de números racionales. Se trata de conseguir que el alumnado sea capaz de construir un racional situado entre otros dos dados.

• Escritura decimal y periodicidad. La intuición de que existen números con escritura decimal no periódica es clave para la construcción conceptual de los números reales. (Estos últimos no se contemplan en el currículo de la etapa).

• Potencias y raíces. Los radicales tienen que ser tratados como los otros números; las construcciones geométricas propician buenos soportes.

c) Magnitudes • Acercamiento al problema de la unidad racional común. Un obstáculo en el

aprendizaje del número irracional lo constituye la errónea intuición de que, dadas dos longitudes, siempre existe una unidad que permite compararlas

• Tratamiento de la proporcionalidad. Se contemplará con mayor detalle las aplicaciones de la proporcionalidad en el campo comercial: porcentajes, interés y descuento simples...

ÁLGEBRA. • Revisión de los aprendizajes realizados. • Discusión de la ecuación de primer grado con una incógnita. • Traducciones:

- Representar situaciones conceptuadas por relaciones entre variables en distintos códigos (enunciados, tablas, gráficas y expresiones algebraicas) y pasar de unas a otras. Expresar un patrón numérico, propio del ciclo, mediante su término general y viceversa.

- Generalizar. Encontrar regularidades y relaciones. Expresarlas verbal y simbólicamente.



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• Practicar técnicas y procedimientos básicos del cálculo algebraico. • Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Dar significado y utilizar expresiones

cuadráticas en distintos contextos (geométricos, analíticos, etc.). Usar diversos procedimientos: elaboración de un gráfico, de una tabla, por ensayo y error, manejo de la calculadora, de programas de ordenador y mediante el algoritmo de completar cuadrados. Interpretar la solución en el contexto del problema.

GEOMETRÍA En este curso no se distinguen explícitamente los tres acercamientos realizados a la geometría. El alumnado debe ser consciente de que, casi siempre, aparecen conjuntamente (bien como posibilidades entre las que se puede elegir o bien como apoyos para resolver problemas). • Geometría en la esfera terrestre. Plano horizontal, altitud; coordenadas geográficas,

rumbo de un barco; aplicaciones a la medida del tiempo, línea de cambio de fecha. • Área de figuras cerradas (sistematización de medidas y del uso de fórmulas). • Ampliación de cuerpos cerrados (sistematización de medidas y del uso de fórmulas). • Consecuencias del Teorema de Thales:

- Trigonometría (en triángulos rectángulos). • Revisión, afianzamiento y sistematización de la geometría estudiada en la etapa. FUNCIONES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. • Revisión de los aprendizajes realizados. • Modelos de dependencia: lineales; lineales a trozos; cuadráticos; proporcionalidad

inversa; exponenciales; periódicas. Muchas de estas dependencias ya han sido trabajadas y analizadas en los cursos

anteriores. Se trata de utilizar todos los aspectos ya aprendidos para caracterizar funciones elementales y establecer, con ayuda del mínimo cálculo que se considere imprescindible, diferencias entre ellas. Este proceso debe hacerse a través de la representación y análisis de situaciones problemáticas, definidas por enunciados, tablas, gráficas y expresiones analíticas elementales. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA Y DEL AZA R Este curso consolida y profundiza el estudio de la estadística iniciado en el ciclo anterior. El uso de las herramientas estadísticas en otras áreas y en actividades extraescolares, propicia el reconocimiento de su utilidad inmediata. Los ordenadores simplifican en gran medida el tratamiento y representación de los datos, dando pie a que el alumnado se acerque a los conceptos y la interpretación de los resultados, sin necesidad de sentirse maniatados o limitados por la servidumbre de los cálculos. a) Estadística descriptiva • Las medidas de dispersión. Estas medidas aportan una mejora y una novedad a la

información sobre las tablas de datos (agrupados o no) trabajadas en el ciclo anterior. Su conveniencia y sus características deben ser tratadas en este curso. Con la desviación típica, es posible valorar la representatividad de la media de una tabla de valores; la desviación típica y la media permiten comparar diferentes listas de datos:



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- Recorrido. - Desviación media. - Varianza. - Desviación típica.

• Revisión, afianzamiento y sistematización de la estadística descriptiva estudiada en la etapa.

b) Probabilidad y azar • Repaso y profundización de lo estudiado en el curso anterior. • Probabilidad condicionada. Acercamiento intuitivo. Se excluye el Teorema de

Bayes. SEGUNDO CICLO Cuarto curso (opción B) NÚMEROS Y MEDIDAS a) Enteros Los números enteros constituyen la primera ampliación de los naturales. En esta ampliación, hay propiedades de los naturales que se mantienen (suma o producto de dos números positivos), mientras que otras deben definirse de manera que haya una compatibilidad entre los dos conjuntos. Uno de los errores más comunes es el que identifica “- x” con “x es negativo”, en lugar de hacerlo con “el opuesto de x”. b) Fracciones • Equivalencia de fracciones. Número racional. • Propiedades de las operaciones con números racionales: Asociativa, Conmutativa,

Distributiva, Cero, Uno, Opuesto, Inverso. - Cierre de las operaciones, excepto en el caso de la división por cero.

• Orden entre números racionales. La escritura como un solo número con cifras decimales periódicas (en base diez) de distintas fracciones equivalentes, permite ordenar dos racionales diferentes; las necesarias aproximaciones de trabajo con números decimales en sentido estricto, permitirán mejorar el conocimiento de la representación de racionales en la recta numérica.

• Densidad de números racionales. Se trata de conseguir que el alumnado sea capaz de construir un racional situado entre otros dos dados.

• Potencias y raíces. Los radicales tienen que ser tratados como los otros números; las construcciones geométricas propician buenos soportes. Las operaciones con radicales deben equilibrar un tratamiento aproximado, controlando el error cometido, y el manejo de propiedades. Se tratarán en diversos contextos y nunca como simples destrezas algorítmicas.

• Los conjuntos numéricos. Distinguir conceptualmente los conjuntos de naturales, enteros y racionales.



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c) Magnitudes • Acercamiento al problema de la unidad racional común. Un obstáculo fundamental

en el aprendizaje del número irracional lo constituye la errónea intuición de que, dadas dos longitudes, siempre existe una unidad que permite compararlas.

d) Sucesiones • Analizar las regularidades más características, con un equilibrio entre lo cualitativo

y lo cuantitativo, sin que los cálculos constituyan un obstáculo que dificulte su comprensión conceptual.

• Subconjuntos numéricos. Identificación del tipo de número (natural, entero, racional) generado por una regularidad numérica.

• Relaciones de recurrencia en contexto. Una fuente de ejemplos lo constituyen las sucesiones de Fibonacci.

• Progresiones aritméticas y geométricas. Se dedicará especial atención a sus aplicaciones en el campo financiero: interés compuesto, amortizaciones...

• Acercamiento a los números irracionales. Mediante sucesiones de números racionales (por aproximaciones sucesivas, enunciando reglas que rompan secuencias periódicas o, incluso, mediante relaciones de recurrencia), se intuye la existencia de números que no pueden ser racionales.

ÁLGEBRA • Revisión de los aprendizajes anteriores. • Traducciones:

- Representar situaciones conceptuadas por relaciones entre variables en distintos códigos (enunciados, tablas, gráficas y expresiones algebraicas) y pasar de unas a otras. Expresar un patrón numérico, propio del ciclo, mediante su término general y viceversa.

- Generalizar. Encontrar regularidades y relaciones. Expresarlas verbal y simbólicamente

• Practicar técnicas y procedimientos básicos del calculo algebraico. Polinomios de primer y segundo grado.

• Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Dar significado y utilizar expresiones cuadráticas en distintos contextos (geométricos, analíticos, etc...). Usar diversos procedimientos: elaboración de un gráfico, de una tabla, por ensayo y error, manejo de la calculadora, de programas de ordenador y mediante el algoritmo de completar cuadrados. Interpretar la solución en el contexto del problema.

• Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Ecuaciones y sistemas. Resolver ecuaciones y sistemas de diversos tipos mediante

procedimientos variados, interpretando las soluciones. • Ampliaciones opcionales:

- Discusión de una ecuación cuadrática con una incógnita. - Discusión de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. - Inecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.



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GEOMETRÍA. En el supuesto de que se considere imprescindible distinguir aún más la geometría de la Opción B, esto se hará en el sentido del grado de dificultad de las tareas y problemas planteados al alumnado, no siendo necesario ampliar la lista anterior de contenidos. • Geometría en la esfera terrestre. Plano horizontal, altitud; coordenadas geográficas,

rumbo de un barco; aplicaciones a la medida del tiempo, línea de cambio de fecha. • Reconocimiento de isometrías que dejan invariante una figura dada o un cuerpo

dado. Se pretende que el alumnado determine algunas isometrías de cualquier figura o cuerpo.

• Tablas de composición de algunas isometrías. Una importante dificultad, es el hecho de que un centro de simetría en el plano es característico de un giro o isometría positiva, mientras que en el espacio, lo es de una isometría negativa. La superación de este obstáculo no es un objetivo de esta etapa, incluso si es el propio alumnado el que descubre la anomalía.

• Ecuación de una circunferencia (coordenadas cartesianas). • Ecuación de una esfera (coordenadas cartesianas). • Área de figuras cerradas (sistematización de medidas y del uso de fórmulas). • Consecuencias del Teorema de Thales: Trigonometría; aplicaciones. • Revisión, afianzamiento y sistematización de la geometría estudiada en la etapa. • Ampliaciones:

- Consecuencias del teorema de Pitágoras: Teoremas del cateto y de la altura; aplicaciones.

FUNCIONES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. • Revisión de los aprendizajes realizados. • Modelos de dependencia: lineales; lineales a trozos; cuadráticos; proporcionalidad

inversa; exponenciales; periódicas. Se trata de reconocer funcional y conceptualmente una función como un modelo para analizar una gran variedad de situaciones de contexto real. Muchas de estas dependencias ya han sido trabajadas y analizadas en los cursos anteriores. Todos los aspectos ya aprendidos, se utilizarán para caracterizar funciones elementales y establecer, con ayuda del mínimo cálculo que se considere imprescindible, diferencias entre ellas. Con otras palabras, se espera llegar a expresar distintos modelos explícitos de dependencia, de manera que se transformen progresivamente en métodos que ayudan a investigar nuevas situaciones problemáticas y vayan dejando de ser objetos de estudio. Este proceso se iniciará a través de la representación y análisis de situaciones problemáticas, definidas por enunciados, tablas, gráficas y expresiones analíticas elementales.

• Ampliaciones: - Función numérica de una variable (Profundización). - Variaciones. Comparación de variaciones entre distintos modelos de

dependencias. - Cambio en los parámetros. Análisis de consecuencias que implica, en la gráfica,

un cambio de parámetros. - Tasa de variación media de una función (modelo conocido) en un intervalo.



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TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA Y DEL AZA R. a) Estadística descriptiva. • Las medidas de dispersión. Estas medidas aportan una mejora y una novedad a la

información sobre las tablas de datos (agrupados o no) trabajadas en el ciclo anterior. Su conveniencia y sus características deben ser tratadas en este curso. Con la desviación típica es posible valorar la representatividad de la media de una tabla de valores; la desviación típica y la media permiten comparar diferentes listas de datos. El alumnado debe comprobar que muy pocos datos de una tabla se distribuyen, alrededor de la media, a una distancia mayor que dos veces la desviación media (Teorema de Chevichev): - Recorrido. - Desviación media. - Varianza. - Desviación típica.

• El proceso de muestreo y el análisis de las afirmaciones estadísticas. Acercamiento intuitivo a la representatividad de una muestra y a la fiabilidad de las afirmaciones que a partir de ella se realizan. Se reconocerán supuestos o se analizarán críticamente afirmaciones de tipo estadístico que se usan en los medios de comunicación (incluyendo los mensajes publicitarios).

• Correlación entre dos variables estadísticas. Acercamiento intuitivo a la correlación. Los ordenadores y algunas calculadoras permiten obtener una de las mejores rectas (recta de regresión) así como el coeficiente de correlación, lo que permite centrarse en la interpretación y predicción de resultados: - Construcción de listas emparejadas. - Representación de la nube de puntos. - Decisión, a la vista de la nube de puntos, acerca de la existencia de una

correlación buena o mala, positiva o negativa. Si la correlación es buena, esbozar la línea, procurando que la dispersión en torno a ella sea mínima.

- Coeficiente de correlación (Pearson). - Recta de regresión.

b) Probabilidad y azar • Repaso y profundización de lo estudiado en el curso anterior. • Probabilidad condicionada. Acercamiento intuitivo. Se excluye el Teorema de

Bayes.



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CRITERIOS DE EVALUACIÓN EN EL 2º CICLO DE ESO

Los criterios de evaluación que se exponen son los correspondientes al Decreto 148/2002, de 14 de mayo.

APLICAR LOS CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS A DISTINTAS SITUACIONES . Se trata de utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad, utilizando recursos habituales en la sociedad entre los que es preciso destacar los tecnológicos (calculadoras, programas informáticos, etc.).

SEGUNDO CICLO

Tercer curso: Identificar y utilizar los números enteros, fracciones y decimales para codificar, recibir y producir información en situaciones reales.

• Interpretar y utilizar modelos geométricos, mapas, planos y deducir datos e informaciones a partir de ellos.

• Aplicar en situaciones reales de incertidumbre los conocimientos adquiridos sobre probabilidad.

• Analizar relaciones de dependencia entre magnitudes en situaciones reales, reconociendo la influencia de una variable sobre otra.

SEGUNDO CICLO Cuarto curso: • Utilizar la estimación, para comprobar lo razonable de los resultados obtenidos al

resolver problemas relacionados con la vida cotidiana. • Interpretar fenómenos del mundo real con modelos funcionales. • Utilizar las nociones geométricas planas y espaciales adquiridas para situarse en la

realidad y resolver situaciones sencillas de su contexto. RESOLVER PROBLEMAS, CONTROLAR LOS PROCESOS QUE SE ESTÁN EJECUTANDO Y TOMAR DECISIONES. Se trata de reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar diferentes estrategias para resolverlos y analizar los resultados obtenidos.



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SEGUNDO CICLO Tercer curso: • Utilizar el Teorema de Pitágoras y las fórmulas usuales para obtener medidas de

longitud, áreas y volúmenes, a través de ejemplos tomados de la vida real o en contextos de resolución de problemas.

• Realizar simulaciones para estimar una probabilidad. • Seleccionar información relevante para resolver problemas. • Reconocer patrones y proponer hipótesis explicativas. • Verificar conclusiones y realizar inferencias, empleando distintas formas de

razonamiento. SEGUNDO CICLO Cuarto curso: • Utilizar diversas estrategias y técnicas de resolución de problemas, comprobando e

interpretando los resultados. • Determinar e interpretar las características básicas (puntos de corte con los ejes,

intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos extremos, continuidad, simetrías y periodicidad) que permiten evaluar el comportamiento de una gráfica sencilla (de trazo continuo o discontinuo).

• Reconocer las variables aleatorias asociadas a determinados sucesos y utilizar la probabilidad experimental o la probabilidad teórica, para representar y resolver problemas no deterministas.



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COMUNICAR IDEAS MATEMÁTICAS Y UTILIZAR DISTINTAS FO RMAS DE RAZONAMIENTOS . Se trata de incorporar ideas matemáticas al proceso de comunicación habitual del alumnado, utilizando de forma correcta algunos tipos de razonamiento que son de uso común y elemental. SEGUNDO CICLO Tercer curso: • Inferir a partir de diagramas, tablas y gráficas que recojan datos de situaciones del

mundo real. • Estimar y calcular expresiones numéricas sencillas, aplicando correctamente las

reglas de prioridad. Valorar el procedimiento seguido, y expresarlo en función de la situación de trabajo.

• Elaborar argumentos válidos sencillos. SEGUNDO CICLO Cuarto curso: • Utilizar propiedades geométricas para realizar razonamientos sencillos • Utilizar las medidas estadísticas de centralización y dispersión como descriptoras de

un colectivo de datos. • Realizar generalizaciones y expresar relaciones verbal y simbólicamente

USAR CONCEPTOS Y ESTRUCTURAS CONCEPTUALES

Se trata de practicar con los conocimientos adquiridos, relacionar distintos aspectos del conocimiento matemático y reflexionar sobre las propias estrategias utilizadas en las actividades matemáticas.

SEGUNDO CICLO Tercer curso: • Interpretar las relaciones numéricas que se dan implícitamente en una fórmula

conocida o en una ecuación. • Reconocer las características básicas de las funciones constantes, lineales y afines en

su forma gráfica o algebraica, y representarlas gráficamente cuando vengan expresadas por un enunciado, una tabla o una expresión algebraica.

• Asignar probabilidades en situaciones equiprobables utilizando la Ley de Laplace y los diagramas de árbol.

SEGUNDO CICLO Cuarto curso: • Identificar y utilizar los conceptos de equivalencia, orden y densidad tratados con

los números racionales en distintas situaciones problemáticas.



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• Construir expresiones algebraicas y ecuaciones a partir de enunciados, relaciones entre variables, patrones, regularidades, e interpretar la relación que se da implícitamente en una fórmula, igualdad o ecuación.

• Reconocer, describir y utilizar los conceptos geométricos relacionados con la esfera terrestre.

UTILIZAR PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS, ALGORITMOS Y DESTREZAS INSTRUMENTALES . Se trata de trabajar los aspectos operativos del conocimiento matemático, desde varios puntos de vista: la ejecución correcta, el saber cuándo aplicarlos y conocer por qué funcionan. SEGUNDO CICLO Tercer curso: • Obtener valores aproximados de longitudes, áreas y volúmenes por medida directa y

por estimación. • Operar y simplificar expresiones algebraicas sencillas. • Explicar los pasos de un procedimiento. • Obtener e interpretar la tabla de frecuencia, dentro de los contenidos del ciclo,

eligiendo la representación más adecuada a la situación problemática objeto de trabajo, así como las medidas de centralización, valorando su representatividad, utilizando la calculadora con sentido numérico.

• Construir expresiones algebraicas y ecuaciones sencillas a partir de enunciados, regularidades numéricas y tablas.

• Adquirir confianza en la resolución de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones, usando métodos concretos y formales.

SEGUNDO CICLO Cuarto curso: • Identificar y utilizar los distintos tipos de números para codificar, recibir y producir

información en situaciones reales y elegir el tipo de cálculo adecuado (algoritmos tradicionales, mental, aproximado, con calculadora), dando significado a las operaciones, procedimientos y resultados obtenidos, de acuerdo con la situación de partida.

• Utilizar correctamente la calculadora para operar con números reales expresados en forma decimal o en notación científica, aproximando adecuadamente y valorando el error cometido

• Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales.

VALORAR Y POTENCIAR LAS PROPIAS CAPACIDADES REQUERI DAS PARA EL APRENDIZAJE Se trata de reconocer la importancia de ciertas actitudes necesarias para alcanzar un desarrollo óptimo y deseable de las capacidades expresadas en los objetivos del área. Los siguientes criterios de evaluación, debido a su carácter transversal, deben estar presentes en cada uno de los niveles educativos, no detallándose por tanto, una secuenciación concreta por ciclo o cursos.



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• Desarrollar la confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y resolver dificultades.

• Mostrar una actitud positiva hacia el trabajo y el esfuerzo continuo. • Desarrollar la responsabilidad en la realización de los trabajos propuestos

individuales y colectivos. • Participar y colaborar en la dinámica de clase. • Manifestar interés por el propio trabajo, procurando rigor, orden y precisión en los

distintos momentos. • Mostrar actitudes críticas frente a las informaciones matemáticas procedentes de la

realidad social.



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PROGRAMACIÓN

Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas

3º ESO



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UNIDAD 1. Números racionales

OBJETIVOS

• Distinguir las distintas interpretaciones de una fracción.

• Reconocer fracciones equivalentes.

• Amplificar fracciones.

• Simplificar fracciones hasta obtener la fracción irreducible.

• Reducir fracciones a común denominador.

• Comparar fracciones.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

• Expresar una fracción en forma decimal y obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto periódico.

• Resolver problemas mediante fracciones.

• Reconocer y utilizar el concepto de número racional.

CONTENIDOS

Conceptos • Interpretaciones de una fracción.

• Fracciones equivalentes. Fracción irreducible.

• Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.

• Número decimal exacto, periódico puro y periódico mixto.

• Número racional.


• Utilización de las distintas interpretaciones de una fracción.

• Cálculo de la fracción de un número.

• Obtención de fracciones equivalentes a una dada.

• Determinación de la fracción irreducible.

• Reducción de fracciones a común denominador.


• Realización de operaciones con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Obtención de la expresión decimal de una fracción.

• Cálculo de la fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico.

• Resolución de problemas reales que impliquen la realización de cálculos con fracciones.

Actitudes • Aprecio de la utilidad de las fracciones para resolver problemas de la vida diaria.

• Gusto por la presentación ordenada, limpia y clara de los cálculos.



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• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros y racionales), decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada y mostrando confianza en las propias capacidades.


• Utilizar las distintas interpretaciones de una fracción.

• Determinar si dos fracciones son o no equivalentes.


• Obtener la fracción irreducible de una dada.

• Ordenar un conjunto de fracciones.

• Realizar operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Obtener la expresión decimal de una fracción y la fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico.

• Resolver problemas reales donde aparezcan fracciones.

• Representar los números racionales en la recta real.

Tiempo estimado: 7 clases.



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UNIDAD 2. Números reales

OBJETIVOS

• Calcular potencias de números racionales con exponente entero.

• Resolver operaciones con potencias aplicando sus propiedades.

• Expresar números muy grandes y muy pequeños en notación científica.

• Realizar operaciones con números en notación científica.

• Reconocer los números irracionales como números decimales no periódicos con infinitas cifras.

• Escribir números irracionales dando cuenta de su regla de formación.

• Clasificar los números decimales en racionales e irracionales.

• Obtener aproximaciones decimales de números racionales e irracionales mediante redondeo y truncamiento, calculando el error absoluto y relativo cometido.

• Representar números racionales e irracionales en la recta real.

• Utilizar los intervalos para expresar conjuntos de números reales.

CONTENIDOS

Conceptos • Potencias de números racionales.

• Propiedades de las potencias de números racionales.

• Notación científica. Operaciones.

• Números irracionales. Números reales.

• Aproximaciones decimales.

• Error absoluto y relativo.

• Intervalos.


• Cálculo de potencias de números racionales.

• Escritura de números muy grandes o muy pequeños en notación científica.

• Expresión de números irracionales dando cuenta de su regla de formación.

• Determinación de los conjuntos numéricos a los que pertenece un número real.

• Obtención de aproximaciones decimales de números racionales e irracionales mediante redondeo y truncamiento, hallando el error absoluto y relativo cometido.

• Representación de números racionales e irracionales en la recta real.

• Expresión de conjuntos de números reales mediante intervalos.

• Resolución de problemas que impliquen la utilización de números decimales, porcentajes, números reales y aproximaciones.

Actitudes • Valoración de la presencia y utilidad de los números reales en distintos contextos.

• Confianza en la propia capacidad para resolver problemas numéricos con y sin calculadora.

• Análisis crítico de porcentajes en diferentes contextos.



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• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros, racionales y reales), decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).



• Calcular y operar con potencias de números racionales y exponente entero.

• Escribir y operar con números escritos en notación científica.

• Diferenciar los números racionales de los irracionales.

• Construir números irracionales, dando cuenta de su regla de formación.

• Determinar los conjuntos numéricos a los que pertenece un número real.

• Calcular aproximaciones decimales de números racionales e irracionales mediante redondeo y truncamiento, calculando el error absoluto y relativo cometido.

• Representar números racionales e irracionales en la recta real.

• Expresar conjuntos de números reales mediante intervalos.

• Resolver problemas reales que impliquen la utilización de números decimales, irracionales y reales, así como de sus aproximaciones.




108

UNIDAD 3. Polinomios

OBJETIVOS

• Operar con monomios.

• Reconocer los polinomios como suma algebraica de monomios.

• Determinar el grado de un polinomio.

• Reconocer el término independiente y los coeficientes de un polinomio.

• Reducir y ordenar polinomios.

• Hallar el polinomio opuesto de uno dado.

• Obtener el valor numérico de un polinomio.

• Sumar, restar y multiplicar polinomios.

• Desarrollar las igualdades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia

y producto de suma por diferencia.

• Simplificar fracciones algebraicas sencillas.

CONTENIDOS

Conceptos • Monomios. Operaciones.

• Polinomios: grado, término independiente y coeficientes.

• Valor numérico de un polinomio.

• Operaciones con polinomios.

• Igualdades notables.

• Fracciones algebraicas.


• Suma y resta de monomios semejantes.

• Multiplicación y división de monomios.

• Determinación del polinomio opuesto de uno dado.

• Obtención del valor numérico de un polinomio.

• Suma y resta de polinomios.

• Multiplicación de polinomios.

• Desarrollo de las igualdades notables.

• Utilización de las igualdades notables para simplificar distintas expresiones.

• Simplificación de fracciones algebraicas.

Actitudes • Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje conciso y útil para expresar resultados.

• Respeto de las soluciones y planteamientos de los demás.

• Realización de las operaciones con polinomios de forma precisa y cuidadosa.



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• Representar relaciones y patrones numéricos mediante expresiones algebraicas sencillas.

• Utilizar de manera comprensiva el lenguaje algebraico para expresar situaciones, y relacionar este lenguaje con otras: tabular, gráfico, descriptivo...

• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática y crítica de los resultados.


• Operar correctamente con monomios.

• Identificar el grado, el término independiente y los coeficientes de un polinomio.

• Calcular el valor numérico de un polinomio.

• Hallar el polinomio opuesto de uno dado.

• Sumar y restar polinomios.

• Multiplicar polinomios y calcular el grado del producto de dos polinomios sin necesidad

• de operar.

• Identificar y desarrollar las igualdades notables.

• Simplificar expresiones utilizando las igualdades notables.

• Simplificar fracciones algebraicas sencillas.




110

UNIDAD 4. Ecuaciones de primer y segundo grado

OBJETIVOS

• Distinguir si una igualdad algebraica es una identidad o una ecuación.

• Reconocer los elementos y el grado de una ecuación.

• Determinar si un número es o no solución de una ecuación.

• Reconocer si dos ecuaciones son o no equivalentes.

• Hallar ecuaciones equivalentes a una dada aplicando la regla de la suma y el producto.

• Resolver ecuaciones de primer grado.

• Reconocer las ecuaciones de segundo grado.

• Resolver ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general.

• Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado analizando el valor del discriminante.

• Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado.

• Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.

CONTENIDOS

Conceptos • Identidad y ecuación.

• Incógnitas, coeficientes, miembros, términos y grado.

• Ecuaciones de primer grado.

• Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

• Discriminante de una ecuación de segundo grado.


• Obtención de ecuaciones equivalentes a una dada por las reglas de la suma y el producto.

• Resolución de ecuaciones de primer grado.

• Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula general.

• Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas aplicando el método más adecuado.

• Utilización de las ecuaciones de primer y segundo grado en el planteamiento y resolución de problemas de la vida real.

Actitudes • Valoración del lenguaje algebraico como un lenguaje claro, conciso y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

• Aprecio de la necesidad de seguir las fases del método de resolución de problemas.


• Utilizar el método de resolución de problemas mediante ecuaciones, y aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de sistemas de ecuaciones.

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.



111



• Determinar si una igualdad algebraica es una identidad o una ecuación.

• Reconocer y hallar ecuaciones equivalentes.

• Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.

• Aplicar la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

• Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado a partir

• de su discriminante.

• Distinguir y resolver ecuaciones de segundo grado incompletas aplicando el método más adecuado.

• Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.




112

UNIDAD 5. Sistemas de ecuaciones

OBJETIVOS

• Reconocer una ecuación lineal de dos incógnitas y obtener algunas soluciones.

• Obtener soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y expresarlas mediante tablas.

• Determinar si un par de números es solución no de un sistema de ecuaciones.

• Clasificar los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas según su número de soluciones.

• Representar gráficamente un sistema de ecuaciones y obtener su solución.

• Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.

• Plantear y resolver problemas reales mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

CONTENIDOS

Conceptos • Ecuación lineal con dos incógnitas.

• Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

• Resolución de un sistema de ecuaciones.

• Sistemas de ecuaciones compatibles, incompatibles y equivalentes.

• Método de sustitución.

• Método de igualación.

• Método de reducción.


• Determinación de soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.

• Obtención de soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y expresión mediante tablas.

• Clasificación de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en función de su número de soluciones.

• Obtención de la representación gráfica de un sistema, análisis del tipo al que pertenece y determinación de sus soluciones.

• Resolución de sistemas de ecuaciones aplicando los métodos de sustitución, igualación y reducción.

• Aplicación de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas al planteamiento y resolución de problemas reales.

Actitudes • Valoración de los sistemas de ecuaciones como un mecanismo sencillo y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

• Gusto por la presentación clara y sistemática de los cálculos realizados.



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• Utilizar el método analítico de resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones, y aplicar con destreza los algoritmos de resolución.

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo de manera clara y ordenada y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.



• Obtener soluciones de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Encontrar la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando tablas de valores.

• Determinar si un número dado es solución de un sistema de ecuaciones.

• Distinguir si un sistema de ecuaciones es compatible o incompatible.

• Resolver un sistema utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción.

• Determinar el método más adecuado para resolver un sistema de ecuaciones.

• Resolver problemas reales determinando los datos y las incógnitas, planteando un sistema de ecuaciones, resolviéndolo y comprobando que la solución cumple las condiciones del enunciado.




114

UNIDAD 6. Proporcionalidad numérica

OBJETIVOS

• Reconocer si dos magnitudes son directamente proporcionales.

• Distinguir si dos magnitudes son inversamente proporcionales.

• Construir tablas de proporcionalidad directa e inversa.

• Resolver problemas mediante la regla de tres simple directa.

• Utilizar la regla de tres simple inversa para resolver problemas.

• Resolver problemas de repartos directamente proporcionales.

• Realizar repartos directa e inversamente proporcionales.

• Resolver problemas de proporcionalidad compuesta.

• Utilizar los porcentajes para resolver distintos problemas.

• Resolver problemas de la vida real donde aparezca el interés simple.

CONTENIDOS

Conceptos • Magnitudes directamente proporcionales.

• Magnitudes inversamente proporcionales.

• Regla de tres simple.

• Repartos proporcionales.

• Proporcionalidad compuesta.

• Porcentajes.

• Interés simple.


• Determinación de la relación de proporcionalidad, directa o inversa, existente entre dos magnitudes.

• Realización de tablas de proporcionalidad directa e inversa, reconociendo la relación que existe entre las dos magnitudes.

• Utilización de la regla de tres simple, directa e inversa, en la resolución de problemas.

• Realización de repartos proporcionales, directos e inversos.

• Aplicación de la proporcionalidad compuesta en la resolución de problemas, reconociendo la relación entre las magnitudes y reduciendo a la unidad.

• Utilización de los porcentajes en la resolución de problemas.

• Resolución de problemas de interés simple.

Actitudes • Sensibilidad ante la presencia de la proporcionalidad en la vida cotidiana.

• Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de proporcionalidad.



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• Identificar relaciones de proporcionalidad numérica (directa, inversa o compuesta) y resolver problemas en los que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a estas relaciones.




• Determinar la relación de proporcionalidad existente entre dos magnitudes.

• Completar tablas de proporcionalidad, determinando qué tipo de relación existe entre las dos magnitudes.

• Aplicar adecuadamente la regla de tres simple, directa e inversa, en la resolución de problemas, estableciendo cuál debe utilizarse en cada caso.

• Realizar repartos directa e inversamente proporcionales.

• Utilizar la proporcionalidad compuesta para resolver distintos problemas, determinando la relación entre la magnitud de la incógnita y las demás magnitudes.

• Utilizar los porcentajes (aumentos y disminuciones porcentuales, y porcentajes encadenados) para resolver distintos problemas.

• Resolver correctamente problemas donde aparezca el interés simple.




116

UNIDAD 7. Progresiones

OBJETIVOS

• Reconocer sucesiones y deducir su regla de formación en los casos en que sea posible.

• Obtener distintos términos en sucesiones recurrentes.

• Distinguir si una sucesión es una progresión aritmética.

• Calcular el término general de una progresión aritmética.

• Hallar la suma de n términos de una progresión aritmética.

• Distinguir si una sucesión es una progresión geométrica.

• Calcular el término general de una progresión geométrica.

• Hallar la suma de n términos de una progresión geométrica.

• Obtener el producto de n términos de una progresión geométrica.

• Hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad.

• Resolver problemas donde aparezcan progresiones que impliquen el uso del concepto de interés compuesto.

CONTENIDOS

Conceptos • Sucesión. Sucesiones recurrentes.

• Progresión aritmética. Término general de una progresión aritmética.

• Suma de n términos de una progresión aritmética.

• Progresión geométrica. Término general de una progresión geométrica.

• Suma y producto de n términos de una progresión geométrica.

• Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica.

• Interés compuesto.


• Identificación de una sucesión y determinación, si es posible, del término general.

• Reconocimiento de las progresiones aritméticas y geométricas.

• Cálculo del término general y de la suma de n términos de una progresión aritmética geométrica.

• Obtención del producto de n términos de una progresión geométrica.

• Cálculo de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad.

• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de capitales, réditos y tiempos en contextos de interés compuesto.

Actitudes • Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.

• Gusto por la presentación clara y sistemática de los cálculos realizados.



117






• Hallar la regla de formación de una sucesión.

• Determinar varios términos en sucesiones recurrentes.

• Diferenciar las progresiones aritméticas y obtener su diferencia.

• Hallar el término general de una progresión aritmética.

• Calcular la suma de n términos de una progresión aritmética.

• Distinguir las progresiones geométricas y obtener su razón.

• Hallar el término general de una progresión geométrica.

• Calcular la suma y el producto de n términos de una progresión geométrica.

• Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad.

• Aplicar correctamente la fórmula del interés compuesto para resolver problemas.




118

UNIDAD 8. Lugares geométricos. Figuras planas

OBJETIVOS

• Determinar distintos lugares geométricos.

• Identificar los puntos y rectas notables de un triángulo.

• Aplicar el teorema de Pitágoras en distintos contextos.

• Calcular el área de paralelogramos y triángulos.

• Hallar el área de polígonos regulares.

• Calcular el área de polígonos cualesquiera, descomponiéndolos en figuras de áreas conocidas.

• Hallar el área del círculo y de las figuras circulares.

• Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de áreas de figuras planas.

CONTENIDOS

Conceptos • Lugares geométricos.

• Puntos y rectas notables de un triángulo.

• Teorema de Pitágoras. Aplicaciones.

• Área de polígonos y figuras circulares.


• Identificación de los puntos y rectas notables de un triángulo.

• Utilización del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana.

• Obtención del área de paralelogramos, triángulos y polígonos regulares.

• Determinación del área de una forma poligonal cualquiera, descomponiéndola en otras figuras más simples.

• Cálculo del área de figuras circulares.

• Resolución de problemas que impliquen el cálculo del área de figuras planas, descomponiéndolas en figuras de áreas conocidas.

Actitudes • Valoración del razonamiento deductivo en Geometría.

• Interés y gusto por la descripción verbal precisa de formas y características geométricas.

• Hábito de expresar los resultados numéricos de los problemas indicando las unidades de medida utilizadas.



119


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a los mismos en las situaciones requeridas.

• Usar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para medir longitudes, ángulos y áreas de figuras planas.



• Identificar lugares geométricos que cumplen determinadas propiedades.

• Reconocer los puntos y las rectas notables de cualquier triángulo.

• Resolver problemas aplicando el teorema de Pitágoras en distintos contextos.

• Calcular el área de paralelogramos, triángulos y polígonos regulares.

• Obtener el área de polígonos cualesquiera, descomponiéndolos en otros más sencillos.

• Hallar el área del círculo y de las figuras circulares.

• Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de áreas de figuras planas.




120

UNIDAD 9. Cuerpos geométricos

OBJETIVOS

• Distinguir los tipos de poliedros y comprobar si cumplen o no la fórmula de Euler.


• Diferenciar los prismas y pirámides, sus elementos y tipos.

• Calcular el área de prismas y pirámides.

• Distinguir los cuerpos redondos y figuras esféricas.

• Calcular el área de cuerpos redondos y figuras esféricas.

• Aplicar el principio de Cavalieri al cálculo de volúmenes.

• Hallar el volumen de prismas, pirámides y cuerpos redondos.

• Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

• Localizar un punto en la esfera terrestre a partir de sus coordenadas geográficas.

CONTENIDOS

Conceptos • Poliedros.

• Poliedros regulares.

• Prismas y pirámides.

• Cuerpos redondos. Figuras esféricas.

• Principio de Cavalieri.

• Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.


• Resolución de problemas aplicando la fórmula de Euler.

• Reconocimiento de los distintos tipos de prismas y pirámides, así como de sus elementos principales.

• Identificación del cilindro, el cono y la esfera como cuerpos de revolución.

• Utilización de las fórmulas del área de prismas, pirámides, cilindros, conos, esferas y figuras esféricas para resolver problemas geométricos y reales.

• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de volúmenes de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

Actitudes • Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y resolver problemas geométricos.

• Gusto por la presentación cuidadosa de los trabajos geométricos.



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• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, figuras planas y cuerpos geométricos presentes tanto en el medio social como natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a los mismos en las situaciones requeridas.

• Visualizar y representar objetos geométricos tridimensionales, obteniendo distintas representaciones planas, con destreza y creatividad.



• Distinguir los poliedros y sus tipos.

• Comprobar si un poliedro cumple o no la fórmula de Euler.


• Diferenciar los elementos y tipos de prismas y pirámides.

• Reconocer los cuerpos redondos y las figuras esféricas, sus elementos y su proceso de formación.

• Calcular el área de prismas, pirámides, cuerpos redondos y figuras esféricas.

• Aplicar el principio de Cavalieri al cálculo de volúmenes.

• Calcular el volumen de prismas, pirámides y cuerpos redondos.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.




122

UNIDAD 10. Funciones

OBJETIVOS

• Distinguir una relación funcional de otra que no lo sea.

• Reconocer la variable independiente y la dependiente en una función.

• Expresar una función mediante tablas, gráficas y fórmulas, pasando de unas a otras.

• Representar gráficamente relaciones funcionales extraídas de situaciones de la vida cotidiana.

• Estudiar la continuidad o discontinuidad de una función, señalando sus puntos de discontinuidad.

• Determinar el dominio y recorrido de una función en casos sencillos.

• Obtener los puntos de corte con los ejes de una función.

• Reconocer los máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica.

• Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, analizando su gráfica.

• Reconocer las simetrías y periodicidad de una función, si las tiene.

CONTENIDOS

Conceptos • Relación funcional.

• Variable independiente y variable dependiente.

• Dominio y recorrido de una función.

• Función continua y función discontinua.

• Función creciente y función decreciente.

• Máximos y mínimos.

• Simetrías y periodicidad.


• Determinación de la relación entre dos variables, señalando si es o no funcional.

• Expresión de una función mediante lenguaje usual, algebraico, numérico y gráfico, y obtención de unas expresiones a partir de las otras.

• Determinación de si una gráfica dada representa o no una función.

• Análisis completo y representación gráfica de una función.

• Reconocimiento de las funciones simétricas y periódicas.

• Resolución de problemas reales, determinando la ecuación de la función correspondiente, realizando un estudio de la misma y representándola.

• Interpretación de gráficas representadas sobre los mismos ejes.

Actitudes • Interés y cuidado a la hora de representar gráficas.

• Valoración de la importancia de las funciones para estudiar situaciones de la vida cotidiana.



123


• Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas en distintas formas (verbal, tabular, gráfica y algebraica), realizando transformaciones entre las diversas formas de representación.

• Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas y relacionar esta forma expresiva con otras: tabular, gráfica, descriptiva...



• Determinar si la relación entre dos magnitudes es o no una relación funcional.

• Expresar una función de distintas formas: mediante textos, tablas, fórmulas y gráficas, y obtener unas a partir de otras.

• Analizar la continuidad de una función y determinar sus máximos y mínimos, si los tiene.

• Obtener el dominio, recorrido y puntos de corte con los ejes de una función.

• Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

• Representar gráficamente una función.

• Determinar si una función es periódica o simétrica.

• Resolver problemas reales que impliquen la utilización y representación de funciones.

• Analizar gráficas de varias funciones representadas en los mismos ejes.




124

UNIDAD 11. Funciones lineales y afines

OBJETIVOS

• Reconocer las situaciones donde aparecen funciones lineales.

• Representar gráficamente funciones lineales.

• Reconocer la pendiente de una función lineal y asociarla con el crecimiento y decrecimiento de la misma.

• Diferenciar las situaciones donde aparecen funciones afines.

• Distinguir la pendiente y la ordenada en el origen de una función afín, y representar las funciones afines.

• Obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

• Hallar el punto de corte de dos rectas secantes de manera gráfica y analítica.

• Reconocer y representar gráficamente funciones constantes.

• Estudiar funciones lineales y afines extraídas de contextos reales, y representarlas gráficamente.

CONTENIDOS

Conceptos • Función lineal, y = mx.

• Pendiente de una recta.

• Función afín, y = mx + n.

• Ordenada en el origen.

• Ecuación de la recta.

• Funciones constantes.


• Reconocimiento y representación de funciones de la forma y = mx.

• Utilización de la relación entre la pendiente de una función y su crecimiento.

• Obtención de la pendiente y ordenada de funciones de la forma y = mx + n, y representación gráfica de las mismas.

• Cálculo de la ecuación de una recta conocidos dos puntos, su pendiente y la ordenada en el origen, o su pendiente y un punto por el que pasa.

• Representación de rectas paralelas al eje X y al eje Y.

• Obtención del punto de corte de dos rectas secantes.

Actitudes • Gusto por la representación limpia y cuidadosa de funciones.

• Valoración de la importancia de las funciones en el estudio de fenómenos.

• Reconocimiento de la presencia de las funciones lineales y afines en distintas situaciones de la vida cotidiana.



125


• Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función lineal), utilizando tanto las técnicas de lápiz y papel como la calculadora u ordenador.




• Reconocer y representar funciones lineales.

• Estudiar si una función lineal es creciente decreciente, utilizando la pendiente de la misma.

• Resolver problemas reales donde aparezcan funciones lineales.

• Reconocer funciones afines y representarlas dadas su pendiente y su ordenada en el origen.

• Obtener la ecuación de una recta a partir de dos puntos por los que pasa, de su pendiente y la ordenada en el origen, o de su pendiente y un punto por el que pasa.

• Hallar el punto de corte de dos rectas secantes.

• Representar rectas paralelas a los ejes.

• Resolver problemas reales donde aparezcan funciones afines.




126

UNIDAD 12. Estadística

OBJETIVOS

• Distinguir los conceptos de población y muestra.

• Clasificar las variables estadísticas.

• Hallar la tabla estadística asociada a un conjunto de datos.

• Calcular las frecuencias absolutas y relativas y las frecuencias acumuladas de un conjunto de datos.

• Representar gráficamente un conjunto de datos estadísticos de la forma más adecuada.

• Distinguir entre medidas de centralización y de dispersión.

• Calcular la media, mediana y moda de un conjunto de datos.

• Hallar el recorrido y la desviación media de un conjunto de datos.

• Calcular la varianza, desviación típica y coeficiente de variación de distintos conjuntos de datos.

• Interpretar las medidas de centralización y dispersión.

CONTENIDOS

Conceptos • Población y muestra.

• Variables estadísticas. Tipos.

• Marca de clase.

• Frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

• Media, mediana y moda.

• Recorrido, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.


• Comprensión y distinción del concepto de población y muestra.

• Diferenciación de las variables en cualitativas o cuantitativas y, dentro de estas, en variables discretas y continuas.

• Construcción de una tabla estadística adecuada al conjunto de datos, calculando frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

• Interpretación y representación de gráficos estadísticos, analizando de manera crítica su adecuación a los datos y al contexto.

• Obtención e interpretación de la media de un conjunto de datos.

• Cálculo e interpretación de la mediana y moda de unos datos.

• Cálculo del recorrido y la desviación media de un conjunto de datos.

• Determinación e interpretación de la varianza, desviación típica y coeficiente de variación de un conjunto de datos.

• Utilización de la calculadora científica.

Actitudes • Análisis crítico de los gráficos estadísticos.

• Valoración de la importancia de un uso correcto de la Estadística en la sociedad para el estudio de variables.



127


• Interpretar y presentar la información estadística a partir de tablas, gráficas y parámetros estadísticos, así como calcular los parámetros estadísticos básicos, utilizando los medios más adecuados (lápiz y papel, calculadora u ordenador) en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones numéricas básicas, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).



• Distinguir los conceptos de población y muestra.

• Reconocer de qué tipo es una variable estadística.

• Elaborar tablas estadísticas de manera correcta.

• Hallar las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

• Determinar la forma de representación gráfica más adecuada para un conjunto de datos, y llevarla a cabo.

• Diferenciar las medidas de centralización y de dispersión.

• Hallar la media, mediana y moda de un conjunto de datos cualquiera.

• Calcular el recorrido y la desviación media de un conjunto de datos.

• Hallar la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de distintos conjuntos de datos.

• Comparar medidas de centralización y dispersión de dos conjuntos de datos.




128

UNIDAD 13. Probabilidad

OBJETIVOS

• Distinguir entre experimento aleatorio y determinista.

• Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Reconocer los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.

• Realizar uniones e intersecciones de sucesos.

• Distinguir entre sucesos compatibles e incompatibles.

• Aplicar las propiedades de las frecuencias relativas en experimentos aleatorios.

• Definir el concepto de probabilidad a partir de las frecuencias relativas.

• Calcular la probabilidad de distintos sucesos aplicando la regla de Laplace.

• Determinar la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles o incompatibles.

• Obtener la probabilidad del suceso contrario a uno dado.

CONTENIDOS

Conceptos • Espacio muestral.

• Suceso elemental y suceso compuesto.

• Suceso seguro y suceso imposible.

• Unión e intersección de sucesos.

• Suceso contrario.

• Sucesos compatibles y sucesos incompatibles.

• Frecuencias absolutas y relativas.

• Probabilidad de un suceso.

• Regla de Laplace.


• Obtención del espacio muestral, los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.

• Cálculo de la unión e intersección de dos sucesos dados.

• Distinción de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios.

• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de distintos sucesos.

• Utilización de la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades de distintos sucesos en contextos de equiprobabilidad.

• Obtención de la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles o incompatibles, y del suceso contrario a uno dado.

Actitudes • Análisis crítico de las informaciones sobre fenómenos aleatorios.

• Valoración de la importancia del cálculo de probabilidades en distintos contextos de la vida diaria.



129


• Reconocer situaciones y fenómenos asociados a la probabilidad y el azar, resolviendo problemas asociados a estos conceptos.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas, decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada y aplicando el modo de cálculo más adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).



• Reconocer si un experimento es aleatorio determinista.

• Hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Obtener los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.

• Determinar el suceso unión y el suceso intersección de dos sucesos aleatorios.

• Determinar si dos sucesos son compatibles incompatibles.

• Obtener la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de un suceso aleatorio.

• Utilizar las propiedades de las frecuencias relativas para resolver distintos problemas.

• Aplicar la ley de Laplace para hallar la propiedad de distintos sucesos.

• Calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles o incompatibles.

• Obtener la probabilidad del suceso contrario a un suceso dado.




130

PROGRAMACIÓN DE AULA

Matemáticas Opción A

4º ESO



131

Unidad 1: Números enteros

OBJETIVOS

1. Reconocer la presencia de los números enteros en distintos contextos.

2. Calcular el valor absoluto de un número entero.

3. Ordenar un conjunto de números enteros.

4. Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros.

5. Calcular y operar con potencias de exponente natural.

6. Realizar operaciones combinadas de números enteros con y sin paréntesis, respetando la jerarquía de las operaciones.

7. Calcular todos los divisores de un número entero.

8. Expresar cualquier número entero como producto de sus factores primos.

9. Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números enteros.

10. Utilizar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en la resolución de problemas con números enteros.

CONTENIDOS

Conceptos

• Números enteros. Ordenación.

• Sumas y restas de números enteros. Operaciones combinadas.

• Multiplicación de números enteros. Regla de los signos.

• División de números enteros. Relación entre dividendo, divisor, cociente y resto.

• Potencias de números enteros. Operaciones con potencias.

• Jerarquía de las operaciones.

• Divisibilidad en los números enteros. Criterios de divisibilidad.

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.


• Representación y ordenación de un conjunto de números enteros.

• Cálculo del valor absoluto y del opuesto de un número entero.

• Operaciones con números enteros.

• Conocimiento y utilización de la jerarquía de las operaciones, los paréntesis y los signos en el cálculo de operaciones combinadas con números enteros.

• Determinación de todos los divisores de un número entero.

• Factorización de números enteros.

• Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos números enteros mediante su descomposición en factores primos.



132

Actitudes

• Valoración de la precisión y utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.

• Respeto y valoración de las soluciones aportadas por los demás.

• Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN

• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando la resolución, desarrollándola ordenadamente y mostrando confianza en las propias capacidades.


1. Comparar números enteros y representarlos en la recta numérica.

2. Obtener el valor absoluto y el opuesto de un número entero.

3. Operar con números enteros.

4. Realizar operaciones combinadas de números enteros, respetando la jerarquía de las operaciones y los paréntesis.

5. Calcular potencias de base entera y exponente natural.

6. Utilizar las reglas de las operaciones con potencias, respetando la jerarquía de las operaciones.

7. Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de un conjunto de números enteros, mediante descomposición en producto de factores primos.




133

Unidad 2: Números racionales

OBJETIVOS

1. Expresar una fracción cualquiera en forma decimal.

2. Distinguir los distintos tipos de números decimales: exactos, periódicos puros y periódicos mixtos, que pueden ser considerados como números racionales en forma decimal.

3. Obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.

4. Entender y utilizar el concepto de fracción equivalente a una fracción dada.

5. Calcular la fracción irreducible de cualquier número racional.

6. Representar gráficamente los números racionales en la recta numérica.

7. Operar con números racionales: suma, resta, multiplicación y división.

8. Calcular potencias de números racionales con exponente entero.

9. Realizar cálculos con números escritos en notación científica.

10. Utilizar la calculadora para realizar operaciones con notación científica.

CONTENIDOS

Conceptos

• Fracción y número decimal.

• Decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.

• Fracción equivalente y fracción irreducible.

• Número racional. Representante canónico de un número racional.

• Potencia de un número racional con exponente entero.

• Notación científica. Operaciones.


• Determinación de los conjuntos a los que pertenece un número dado.

• Cálculo de la expresión decimal de un número racional, señalando de qué tipo es.

• Obtención de la fracción generatriz de un número decimal periódico.

• Ordenación y representación en la recta de cualquier número racional.

• Cálculo de la suma, resta, multiplicación y división de números racionales.

• Potenciación de números racionales con exponente entero.

• Expresión de un número en notación científica.

• Utilización de la calculadora para realizar operaciones con números escritos en notación científica.



134

Actitudes

• Valoración de la presencia y utilidad de los números racionales en distintos contextos de la realidad.

• Confianza en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos.


• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más conveniente en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros y racionales), decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo ordenadamente y mostrando confianza en las propias capacidades.


1. Encontrar la expresión decimal de una fracción.

2. Distinguir los distintos tipos de números decimales que sean expresión de un número racional.

3. Obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.

4. Entender y utilizar el concepto de fracción equivalente a una fracción dada.

5. Calcular la fracción irreducible de cualquier número racional.

6. Representar gráficamente los números racionales en la recta numérica.

7. Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales.

8. Calcular potencias de base un número racional y exponente entero, ya sea positivo o negativo.

9. Realizar cálculos con números escritos en notación científica e interpretar los resultados.




135

Unidad 3: Números reales

OBJETIVOS

1. Reconocer los números irracionales como números decimales ilimitados no periódicos.

2. Representar en la recta real números reales e intervalos.

3. Expresar intervalos de números reales de varias formas.

4. Aproximar números reales mediante redondeo y truncamiento hasta un orden dado.

5. Reconocer las partes de un radical y su significado.

6. Calcular e interpretar el valor numérico de un radical.

7. Obtener radicales equivalentes a uno dado.

8. Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

9. Operar con radicales

CONTENIDOS

Conceptos

• Números irracionales.

• Números reales. Orden en R.

• Redondeo y truncamiento.

• Errores de aproximación

• Radicales. Radicales equivalentes


• Reconocimiento y construcción de números irracionales.

• Ordenación y representación en la recta de números reales.

• Representación de intervalos de números reales y expresión en varias formas.

• Redondeo y truncamiento de cualquier número real, dando cuenta del error absoluto y relativo que se comete, así como de la cota de error.

• Reconocimiento de las partes de un radical y obtención de radicales equivalentes a uno dado.

• Cálculo e interpretación del valor numérico de un radical.

• Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

• Realización de operaciones con radicales

Actitudes

• Valoración de la utilidad de los números reales en distintos contextos.

• Confianza en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos



136


• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contenga distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, decimales, reales, etc.), y relacionarlos eligiendo la representación más conveniente en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números (naturales, enteros, racionales y reales), decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada y aplicando un modo de cálculo adecuado (mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora).

• Aplicar el razonamiento deductivo e inductivo en contextos numéricos


1. Reconocer y construir números irracionales.

2. Ordenar y representar en la recta cualquier conjunto de números reales.

3. Representar intervalos de números reales y expresarlos de varias formas.

4. Redondear y truncar cualquier número real.

5. Obtener aproximaciones racionales de un número irracional.

6. Utilizar la calculadora para obtener aproximaciones.

7. Reconocer las partes de un radical y obtener radicales equivalentes a uno dado.

8. Calcular el valor numérico de un radical.

9. Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

10. Operar con radicales




137

Unidad 4: Problemas aritméticos

OBJETIVOS

1. Reconocer si dos magnitudes son directamente proporcionales.

2. Construir tablas de proporcionalidad directa.

3. Resolver problemas de repartos directamente proporcionales.

4. Utilizar la regla de tres simple directa para resolver problemas.

5. Reconocer si dos magnitudes son inversamente proporcionales.

6. Construir tablas de proporcionalidad inversa.

7. Resolver problemas de repartos inversamente proporcionales.

8. Utilizar la regla de tres inversa para resolver problemas.

9. Aplicar la proporcionalidad compuesta en distintos contextos.

10. Expresar cantidades en tantos por ciento.

11. Reconocer y resolver problemas con porcentajes, así como aumentos y disminuciones porcentuales encadenados.

12. Aplicar los conocimientos adquiridos a los problemas de interés simple e interés compuesto

CONTENIDOS

Conceptos

• Magnitudes directa e inversamente proporcionales.

• Regla de tres simple directa. Repartos directamente proporcionales.

• Regla de tres simple inversa. Repartos inversamente proporcionales.

• Regla de tres compuesta.

• Proporcionalidad compuesta.

• Porcentajes.

• Interés simple y compuesto


• Determinación de la relación de proporcionalidad, directa o inversa, existente entre dos magnitudes.

• Utilización de los repartos proporcionales en la resolución de problemas.

• Uso de la regla de tres simple, directa e inversa, en la resolución de problemas.

• Aplicación de la proporcionalidad compuesta.

• Resolución de problemas que impliquen aumentos y disminuciones porcentuales.

• Resolución de problemas donde aparezcan el interés simple y el interés compuesto



138

Actitudes

• Sensibilidad ante la presencia e importancia de la proporcionalidad en distintas situaciones de la vida cotidiana.

• Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de proporcionalidad


• Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y resolver problemas en los que se usan estas relaciones, haciendo hincapié en los problemas-tipo asociados a dichas relaciones.

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar situaciones-problema y problemas-tipo, planificando el proceso de resolución, desarrollándolo ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.

• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades, como base del aprendizaje matemático, de la formación de la autoestima y de valores sociales asumidos por nuestra sociedad


1. Reconocer si dos magnitudes son directamente o inversamente proporcionales.

2. Trabajar con tablas de proporcionalidad.

3. Resolver problemas de regla de tres simple directa y de repartos proporcionales directos.

4. Resolver problemas de regla de tres simple inversa y de repartos proporcionales inversos.

5. Resolver problemas de proporcionalidad compuesta, determinando la relación entre la magnitud que es la incógnita y las demás magnitudes, y reduciendo después a la unidad.

6. Resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales.

7. Distinguir el interés simple y el interés compuesto, y utilizarlos en la resolución de problemas reales




139

Unidad 5:.Polinomios

OBJETIVOS

1. Realizar sumas y restas de polinomios.

2. Efectuar multiplicaciones y divisiones de polinomios.

3. Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio entre el binomio (x − a).

4. Comprender el concepto de raíz de un polinomio.

5. Utilizar el teorema del resto en distintos contextos: hallar el valor numérico de un polinomio y encontrar sus raíces enteras.

6. Obtener las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

7. Calcular potencias de polinomios.

8. Hallar la potencia de un binomio, utilizando el triángulo de Tartaglia.

9. Factorizar un polinomio.

CONTENIDOS

Conceptos


• Regla de Ruffini.

• Teorema del resto.

• Raíz de un polinomio.

• Factorización de polinomios.


• Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.

• Aplicación de la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre el binomio (x − a).

• Utilización del teorema del resto para resolver problemas.

• Obtención de las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

• Interpretación del concepto de raíz de un polinomio.

• Cálculo de las raíces enteras de un polinomio.

• Factorización de un polinomio.

Actitudes

• Valoración del lenguaje algebraico como un método eficaz para resolver problemas de la vida cotidiana.

• Perseverancia y flexibilidad al enfrentarse a problemas, valorando las opiniones aportadas por los demás.

• Operar con fracciones algebraicas.



140



• Utilizar, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones, y relacionar este lenguaje con otros: tabular, gráfico, descriptivo...



1. Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.

2. Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio entre el binomio (x − a).

3. Utilizar el teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por el binomio (x − a).

4. Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor numérico y las raíces de un polinomio.

5. Obtener las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

6. Factorizar un polinomio.




141

Unidad 6: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

OBJETIVOS

1. Resolver ecuaciones de primer grado.

2. Reconocer las ecuaciones de segundo grado y clasificarlas.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado, completando cuadrados y aplicando la fórmula general.

4. Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado.

5. Reconocer las inecuaciones de primer grado con una incógnita y sus elementos, resolverlas y representar su conjunto solución.

6. Calcular las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.

7. Determinar gráficamente las soluciones de un sistema de ecuaciones.

8. Clasificar un sistema de ecuaciones lineales según su número de soluciones.

9. Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.

CONTENIDOS

Conceptos

• Ecuaciones de primer grado.

• Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

• Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Sistemas de ecuaciones. Clasificación. Métodos de resolución.


• Resolución de ecuaciones de primer grado.

• Reconocimiento y clasificación de las ecuaciones de segundo grado.

• Resolución de ecuaciones bicuadradas.

• Resolución de inecuaciones de primer grado y representación del conjunto solución.

• Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.

• Determinación gráfica de las soluciones de un sistema.

• Resolución de problemas reales con ecuaciones de primer y segundo grado, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Actitudes

• Valoración de los sistemas de ecuaciones como un instrumento útil para representar, comunicar y resolver problemas.

• Interés y cuidado a la hora de realizar los cálculos para resolver las ecuaciones e inecuaciones.



142


• Usar el método de resolución de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones, y aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de inecuaciones.

• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar problemas, planificando la resolución, desarrollándola ordenadamente y mostrando seguridad y confianza en las propias capacidades.



1. Resolver ecuaciones de primer grado.

2. Reconocer ecuaciones de segundo grado y clasificarlas.

3. Resolver ecuaciones bicuadradas.

4. Resolver inecuaciones de primer grado y representar el conjunto solución.

5. Resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

6. Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado e inecuaciones de primer grado.

7. Plantear y resolver problemas reales con ecuaciones de segundo grado, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.




143

Unidad 7: Semejanza

OBJETIVOS

1. Reconocer cuándo dos figuras son semejantes.

2. Encontrar la figura transformada de una figura dada mediante una semejanza.

3. Construir figuras semejantes.

4. Formular y aplicar el teorema de Tales.

5. Reconocer y dibujar triángulos semejantes.

6. Conocer los criterios de semejanza de triángulos.

7. Aplicar criterios para determinar la semejanza en triángulos rectángulos.

8. Resolver problemas de semejanza de figuras planas.

9. Aplicar las técnicas de semejanza en los problemas de cálculo de distancias entre puntos inaccesibles.

10. Estudiar el comportamiento de la razón de semejanza entre las superficies o los volúmenes de figuras semejantes.

CONTENIDOS

Conceptos

• Semejanza y razón de semejanza.

• Teorema de Tales.

• Criterios de semejanza de triángulos.

• Escalas.


• Cálculo de la razón de semejanza de dos figuras, y obtención de figuras semejantes a una figura dada.

• Aplicación del teorema de Tales en distintos contextos.

• Resolución de problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de semejanza.

• Aplicación de la razón de los perímetros y las áreas de dos figuras semejantes en la resolución de problemas.

• Utilización de escalas.

• Cálculo de áreas y volúmenes de figuras semejantes mediante la razón de semejanza.

Actitudes

• Valoración de las herramientas que proporciona el estudio de figuras semejantes para la resolución de numerosos problemas de la vida real.

• Reconocimiento de la utilidad de las relaciones métricas y las cualidades estéticas de los movimientos en la realidad.



144


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, transformaciones geométricas de figuras planas presentes en el medio social y natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas en las situaciones requeridas.

• Identificar relaciones de proporcionalidad geométrica, y resolver problemas mediante estas relaciones.



1. Reconocer figuras semejantes y calcular su razón de semejanza.

2. Obtener figuras semejantes a una figura dada.

3. Aplicar el teorema de Tales en distintos contextos.

4. Resolver problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de semejanza.

5. Conocer las relaciones que se obtienen de los criterios de semejanza en triángulos rectángulos.

6. Utilizar los conocimientos de semejanza en el cálculo de distancias entre puntos inaccesibles.

7. Manejar el concepto de escala entre figuras semejantes.

8. Calcular la razón de semejanza de dos figuras.

9. Relacionar la razón de semejanza de figuras semejantes con la razón de sus perímetros, áreas o volúmenes.




145

Unidad 8: Trigonometría

OBJETIVOS

1. Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

2. Calcular las razones de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

3. Determinar el signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se encuentre.

4. Utilizar las relaciones fundamentales de la trigonometría.

5. Hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado a partir de una de ellas.

6. Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.

7. Resolver un triángulo rectángulo conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.

8. Utilizar la calculadora para resolver problemas trigonométricos.

9. Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas reales.

CONTENIDOS

Conceptos

• Razones trigonométricas de un ángulo.

• Relaciones fundamentales de la trigonometría.

• Resolución de triángulos rectángulos.


• Distinción de las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente, y cálculo de las razones a partir de los datos en distintos contextos.

• Utilización de la calculadora para hallar el seno, el coseno o la tangente de un ángulo.

• Reconocimiento de la utilidad de la circunferencia goniométrica, y determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se encuentre.

• Conocimiento de las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.

• Resolución de triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o un lado y un ángulo agudo.

• Cálculo del área de un triángulo, conocidos dos de sus lados y la amplitud del ángulo comprendido entre ellos.

• Utilización de la trigonometría para la resolución de problemas geométricos reales

Actitudes

• Reconocimiento de la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.

• Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de trigonometría.



146


• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

• Resolver problemas, individualmente y en grupo, que requieran el uso de las razones trigonométricas.



1. Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

2. Obtener razones trigonométricas con calculadora.

3. Determinar el signo de las razones de un ángulo en función del cuadrante en el que se halle.

4. Utilizar la relación fundamental de la trigonometría.

5. Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

6. Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.

7. Resolver un triángulo rectángulo, conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.

8. Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas geométricos en la vida cotidiana.




147

Unidad 9: Vectores y rectas

OBJETIVOS

1. Obtener las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de los puntos origen y extremo.

2. Hallar el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.

3. Calcular, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un vector por un número.

4. Obtener la distancia entre dos puntos del plano, y calcular el punto medio de un segmento.

5. Reconocer y calcular la ecuación vectorial de una recta.

6. Conocer y determinar las ecuaciones paramétricas de una recta.

7. Identificar y calcular la ecuación continua de una recta.

8. Distinguir y calcular la ecuación general de una recta.

9. Determinar la posición de dos rectas en el plano.

CONTENIDOS

Conceptos

• Vector: dirección, módulo, sentido y coordenadas.

• Vectores equivalentes.

• Operaciones con vectores.

• Ecuación vectorial de una recta.

• Ecuaciones paramétricas de una recta.

• Ecuación continua. Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.

• Ecuación explícita. Ecuación punto-pendiente.

• Ecuación general.

• Posiciones de dos rectas en el plano.


• Determinación de las características de un vector en el plano: módulo, dirección y sentido, así como de sus componentes, y representación gráfica del mismo.

• Cálculo, de manera gráfica y analítica, de sumas y restas de vectores, del producto de un vector por un número y de la traslación de un punto por un vector.

• Obtención de la ecuación vectorial de una recta, dados dos puntos.

• Cálculo de las ecuaciones paramétricas de una recta, dados dos puntos.

• Determinación de la ecuación continua de una recta.

• Cálculo de la ecuación explícita y de la ecuación punto-pendiente de una recta.

• Determinación de las posiciones de dos rectas en el plano.

Actitudes



148

• Reconocimiento de la utilidad de la Geometría analítica para resolver problemas reales.

• Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de Geometría analítica.


• Representar relaciones geométricas y vectoriales, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza expresiones algebraicas sencillas.

• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para determinar posiciones relativas de rectas y circunferencias.



1. Obtener las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de los puntos origen y extremo.

2. Calcular el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.

3. Hallar, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un vector por un número.

4. Reconocer y calcular la ecuación vectorial de una recta.

5. Obtener las ecuaciones paramétricas de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

6. Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.

7. Determinar la ecuación continua de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

8. Calcular la ecuación explícita de una recta, a partir de la ecuación continua.

9. Obtener la ecuación punto-pendiente de una recta, a partir de la ecuación explícita.

10. Calcular la ecuación general de una recta.

11. Distinguir si un punto pertenece o no a una recta.

12. Determinar la posición de dos rectas en el plano.




149

Unidad 10: Funciones

OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de función.

2. Expresar una función de diferentes formas: tablas, gráficas…

3. Obtener una tabla a partir de la gráfica de una función, y viceversa.

4. Hallar el dominio y el recorrido de una función, dada su gráfica o su expresión algebraica.

5. Representar y trabajar con funciones definidas a trozos.

6. Identificar si una función es continua o no, y reconocer los puntos de discontinuidad.

7. Determinar el crecimiento o el decrecimiento de una función.

8. Obtener los máximos y mínimos de una función.

9. Distinguir las simetrías de una función.

10. Reconocer si una función es periódica, e identificar el período.

CONTENIDOS

Conceptos

• Función: variable dependiente e independiente, dominio y recorrido.

• Continuidad de una función.

• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

• Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad.

• Funciones definidas a trozos.


• Obtención del dominio y el recorrido de una función.

• Cálculo de imágenes en una función.

• Determinación de los puntos de corte de una función con los ejes.

• Estudio de la continuidad de una función en un punto.

• Análisis del crecimiento de una función, y obtención de sus máximos y mínimos.

• Determinación de las simetrías de una función respecto del eje Y y respecto del origen, y reconocimiento de si una función es par o impar.

• Análisis de la periodicidad de una función.

• Representación y análisis de funciones definidas a trozos.

Actitudes

• Interés y cuidado a la hora de representar funciones.

• Reconocimiento de la utilidad de las funciones para representar y expresar situaciones de la vida cotidiana.



150


• Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas en distintas formas (verbal, tabular, gráfica y algebraica), realizando transformaciones entre estas formas de representación.

• Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situaciones problemáticas, y relacionar esta forma expresiva con otras: tabular, gráfica, descriptiva...

• Valorar e integrarse en el trabajo en grupo para la realización de actividades de diversos tipos, como base del aprendizaje matemático y de la formación de la autoestima.


1. Hallar el dominio y el recorrido de una función, dada su gráfica o su expresión algebraica.

2. Obtener imágenes en una función.

3. Calcular los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas.

4. Determinar si una función es continua o discontinua en un punto.

5. Determinar el crecimiento y el decrecimiento de una función, y obtener sus máximos y mínimos.

6. Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen, e identificar si una función es par o impar.

7. Reconocer si una función es periódica.

8. Representar funciones definidas a trozos.




151

Unidad 11: Funciones polinómicas, racionales y exponenciales

OBJETIVOS

1. Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de segundo grado, parábolas.

2. Obtener gráficas de funciones de segundo grado mediante traslaciones de la gráfica de la función y = ax2.

3. Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola a partir del estudio de sus características.

4. Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa a partir de una tabla o de su expresión algebraica.

5. Reconocer y representar hipérbolas derivadas de funciones de proporcionalidad inversa.

6. Interpretar y representar la función exponencial del tipo y = ax, con a > 0 y a ≠ 1.

7. Interpretar y representar la función exponencial del tipo y = ak·x, con k ≠ 0.

8. Aplicar la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas.

CONTENIDOS

Conceptos

• Funciones polinómicas de primer grado: rectas.

• Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas.

• Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.

• Funciones exponenciales del tipo y = ax.


• Representación gráfica de una función polinómica de segundo grado, y = ax2 + bx + c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones de la función y = ax2.

• Reconocimiento de las funciones de proporcionalidad inversa, así como de sus propiedades.

• Resolución de problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.

• Representación gráfica de una función racional a partir de transformaciones de la gráfica de

la función con k ≠ 0.

• Interpretación y representación de la función exponencial.

• Aplicación de la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Actitudes

• Gusto por la presentación cuidadosa a la hora de representar funciones.

• Valoración de la utilidad de los distintos tipos de funciones para representar y expresar situaciones de la vida cotidiana.



152


• Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función lineal, parábola, función racional y función exponencial) utilizando las técnicas de lápiz y papel, o la calculadora u ordenador.


• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática y crítica de los resultados


1. Representar gráficamente una función de segundo grado, y = ax2 + bx + c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones de la función y = ax2.

2. Estudiar y representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.

3. Resolver problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.

4. Reconocer las funciones racionales y determinar su dominio.

5. Representar una función racional a partir de traslaciones y dilataciones de la gráfica de la función

6. con k ≠ 0.

7. Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.

8. Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.

9. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales en la resolución de problemas.

10. Aplicar la fórmula del interés compuesto.




153

Unidad 12: Estadística

OBJETIVOS

1. Distinguir entre variables estadísticas cualitativas y cuantitativas.

2. Identificar variables estadísticas discretas y continuas.

3. Construir una tabla de frecuencias.

4. Diferenciar y representar gráficos estadísticos.

5. Calcular las medidas de centralización: media, mediana y moda.

6. Hallar las medidas de posición: cuartiles y percentiles.

7. Obtener las medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

8. Analizar conjuntamente las medidas estadísticas.

9. Utilizar la calculadora científica para obtener medidas de centralización y dispersión.

CONTENIDOS

Conceptos

• Variables estadísticas.

• Tablas de frecuencias.

• Gráficos estadísticos.

• Medidas de centralización: media, mediana y moda.

• Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

• Medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.


• Clasificación de variables estadísticas.

• Cálculo de frecuencias absolutas y relativas, simples y acumuladas.

• Interpretación de gráficos estadísticos: diagrama de barras, histograma, polígono de frecuencias y diagrama de sectores.

• Cálculo de las medidas de centralización: media, mediana y moda.

• Determinación de las medidas de posición: cuartiles y percentiles.

• Obtención de las medidas de dispersión: rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

Actitudes

• Valoración de la utilidad de la Estadística para el estudio de distintas variables relacionadas con actividades cotidianas.

• Sentido crítico al interpretar gráficos estadísticos.

• Interés y cuidado a la hora de realizar cálculos estadísticos.



154


• Interpretar y presentar la información estadística mediante tablas, gráficos y medidas estadísticas, así como calcular las medidas estadísticas básicas, utilizando los medios más adecuados.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones numéricas básicas, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo pertinente.



1. Diferenciar entre variables estadísticas continuas y discretas.

2. Interpretar y construir una tabla de frecuencias.

3. Representar datos mediante gráficos.

4. Calcular las medidas de centralización de un conjunto de datos.

5. Obtener las medidas de posición de un conjunto de datos.

6. Calcular las medidas de dispersión de un conjunto de datos.

7. Utilizar la calculadora científica para obtener medidas estadísticas.




155

Unidad 13: Combinatoria OBJETIVOS

1. Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol como métodos de conteo.

2. Conocer y aplicar las propiedades de los números combinatorios.

3. Utilizar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio (binomio de Newton).

4. Distinguir entre variaciones sin repetición y con repetición.

5. Reconocer las permutaciones como caso particular de las variaciones, y calcular su valor.

6. Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y las permutaciones.

7. Calcular el número de grupos que se forman mediante variaciones, permutaciones y combinaciones.

8. Aplicar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

CONTENIDOS

Conceptos

• Métodos de conteo: método del producto y diagramas de árbol.

• Números combinatorios. Propiedades.

• Binomio de Newton.

• Variaciones sin y con repetición.

• Permutaciones.

• Combinaciones.


• Utilización del método del producto y del diagrama de árbol en la resolución de problemas de la vida real.

• Distinción entre variaciones sin y con repetición.

• Obtención del número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con repetición.

• Reconocimiento de las permutaciones como un caso particular de las variaciones, y cálculo de su valor.

• Utilización de las combinaciones en diferentes contextos, y determinación de los distintos grupos que se forman.

• Uso de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

• Aplicación de la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Actitudes

• Valoración de la utilidad de la combinatoria para resolver problemas reales.

• Atención y cuidado al calcular los distintos grupos que se forman mediante combinatoria.



156



• Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza los distintos métodos de conteo.



1. Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol en situaciones de la vida cotidiana.

2. Distinguir entre variaciones sin repetición y variaciones con repetición.

3. Calcular el número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con repetición.

4. Reconocer las permutaciones como caso particular de las variaciones, y calcular su valor.

5. Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y permutaciones.

6. Aplicar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

7. Utilizar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.




157

Unidad 14: Probabilidad

OBJETIVOS

1. Distinguir entre experimentos aleatorios y deterministas.

2. Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones con ellos.

3. Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles o incompatibles.

4. Utilizar la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

5. Calcular la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

6. Hallar probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.

7. Obtener probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

8. Distinguir entre experimento aleatorio simple y compuesto.

9. Resolver problemas de probabilidad condicionada.

10. Aplicar la regla del producto.

11. Utilizar la probabilidad en situaciones de la vida cotidiana.

CONTENIDOS

Conceptos

• Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones con sucesos.

• Frecuencia y probabilidad. Regla de Laplace.

• Probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles.

• Experimentos compuestos.

• Probabilidad condicionada.

• Regla del producto.

• Probabilidad de sucesos dependientes e independientes.


• Análisis de la aleatoriedad o el determinismo de un experimento.

• Realización de operaciones con los sucesos de un experimento aleatorio.

• Diferenciación entre sucesos compatibles e incompatibles.

• Utilización de la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

• Cálculo de la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

• Obtención de probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.

• Cálculo de probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

• Distinción entre experimentos aleatorios simples y compuestos.

• Resolución de problemas de probabilidad condicionada.

• Cálculo de probabilidades de sucesos independientes y dependientes.

• Aplicación de la regla del producto en problemas de probabilidad.



158

Actitudes

• Análisis crítico de las informaciones referidas a contextos de azar.

• Interés y cuidado al calcular probabilidades.


• Identificar situaciones y fenómenos asociados a la probabilidad y el azar, resolviendo problemas asociados a estos conceptos.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo más adecuado.



1. Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas.

2. Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones entre ellos.

3. Utilizar la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

4. Calcular la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

5. Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles o incompatibles, y hallar sus probabilidades.

6. Obtener probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

7. Distinguir entre experimentos aleatorios simples y compuestos.

8. Resolver problemas en contextos de probabilidad condicionada.

9. Calcular probabilidades de sucesos independientes y dependientes.

10. Aplicar la regla del producto en problemas de probabilidad.




159

Programación del Aula Desarrollo de las Unidades Didácticas


Opción B



160

UNIDAD 1. Números reales

OBJETIVOS

o Expresar una fracción en forma decimal.

o Obtener la fracción generatriz de un número decimal.

o Utilizar la relación entre los números racionales y los números decimales periódicos.

o Representar números racionales en la recta numérica.

o Reconocer los números irracionales como números decimales ilimitados no periódicos.

o Representar números reales e intervalos en la recta real.

o Expresar intervalos de números reales.

o Obtener una secuencia de aproximaciones decimales por defecto y por exceso de un número irracional.

o Aproximar números decimales mediante redondeo y truncamiento hasta un orden dado.

o Hallar el error absoluto y el error relativo de una aproximación.

o Calcular la cota de error de una aproximación.

o Obtener aproximaciones utilizando la calculadora.

o Expresar números en notación científica y operar con ellos.

CONTENIDOS

Conceptos • Números racionales. Números irracionales.

• Números reales. Orden en .

• Redondeo y truncamiento. Error absoluto y relativo.


• Determinación de los conjuntos numéricos a los que pertenece un número.

• Cálculo de la expresión decimal de una fracción.

• Obtención de la fracción generatriz de un número decimal.

• Reconocimiento y construcción de números irracionales.

• Ordenación y representación de números reales en la recta real.

• Representación y expresión de intervalos de números reales.

• Expresión de un número irracional mediante una sucesión de intervalos encajados.

• Redondeo y truncamiento de números reales, determinando el error absoluto y relativo que se comete, así como la cota de error.

• Obtención de aproximaciones de un número irracional.

• Utilización de la calculadora para obtener aproximaciones.

• Expresión de números en notación científica.

Actitudes • Valoración de la utilidad de los números reales en distintos contextos.

• Confianza en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos.



161




• Utilizar, de manera autónoma y razonada, estrategias para abordar problemas, planificando la resolución, desarrollándola ordenadamente y mostrando confianza en las propias capacidades.


• Distinguir los conjuntos numéricos, y determinar los conjuntos a los que pertenece un número.

• Calcular la expresión decimal de un número racional, señalando de qué tipo es.

• Obtener la fracción generatriz de un número decimal.

• Reconocer y construir números irracionales.

• Ordenar y representar en la recta cualquier conjunto de números reales.

• Representar y expresar intervalos de números reales.

• Expresar un número irracional mediante una sucesión de números decimales por defecto, por exceso y por una sucesión de intervalos encajados.

• Redondear y truncar cualquier número real, determinando el error absoluto y relativo que se comete, así como la cota de error.

• Obtener aproximaciones de un número irracional.

• Utilizar la calculadora para obtener aproximaciones.

• Escribir y operar con números en notación científica.

ESQUEMA DE LA UNIDAD



162

UNIDAD 2. Potencias y radicales

OBJETIVOS

• Operar con potencias de base real y exponente natural.

• Determinar el signo de una potencia a partir de su base y su exponente.

• Calcular potencias de exponente entero.

• Operar con potencias de base real y exponente entero.

• Reconocer las partes de un radical y su significado.

• Obtener radicales equivalentes a uno dado.

• Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

• Operar con radicales.

• Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Calcular e interpretar el valor numérico de un radical.

CONTENIDOS

Conceptos • Potencias de base real y exponente entero.

• Radicales. Radicales equivalentes.

• Racionalización.


• Realización de cálculos con potencias de base real y exponente natural.

• Determinación del signo de una potencia a partir de su base y su exponente.

• Obtención del valor de una potencia de exponente entero.

• Realización de cálculos con potencias de base real y exponente entero.

• Reconocimiento de las partes de un radical, y obtención de radicales equivalentes a uno dado.


• Realización de operaciones con radicales.

• Racionalización de expresiones con raíces en el denominador.

• Cálculo e interpretación del valor numérico de un radical.

Actitudes • Aprecio de la utilidad de las potencias y los radicales.

• Valoración de la importancia de los números racionales en las operaciones con radicales.



163






• Operar con potencias de base real y exponente natural.

• Determinar el signo de una potencia a partir de su base y su exponente.

• Desarrollar las igualdades notables.

• Calcular potencias de exponente entero.

• Operar con potencias de base real y exponente entero.

• Reconocer las partes de un radical y obtener radicales equivalentes a uno dado.




• Calcular el valor numérico de un radical.




164

UNIDAD 3. Polinomios y fracciones algebraicas

OBJETIVOS

• Realizar sumas y restas de polinomios.

• Efectuar multiplicaciones y divisiones de polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio entre el binomio

(x − a).

• Comprender el concepto de raíz de un polinomio.

• Utilizar el teorema del resto en distintos contextos: hallar el valor numérico de un polinomio y encontrar sus raíces enteras.

• Obtener las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

• Calcular potencias de polinomios.

• Hallar la potencia de un binomio, utilizando el triángulo de Tartaglia.

• Factorizar un polinomio.

• Identificar y simplificar fracciones algebraicas.

• Realizar operaciones con fracciones algebraicas.

CONTENIDOS

Conceptos • Operaciones con polinomios.



• Raíz de un polinomio.


• Fracción algebraica.


• Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.

• Aplicación de la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre el binomio (x − a).






• Simplificación de fracciones algebraicas.

Actitudes • Valoración del lenguaje algebraico como un método eficaz para resolver problemas de la vida cotidiana.

• Perseverancia y flexibilidad al enfrentarse a problemas, valorando las opiniones aportadas por los demás.



165



• Utilizar, de manera comprensiva, el lenguaje algebraico para expresar situaciones, y relacionar este lenguaje con otros: tabular, gráfico, descriptivo...



• Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio entre el binomio (x − a).

• Utilizar el teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por el binomio (x − a).

• Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor numérico y las raíces de un polinomio.






166

UNIDAD 4. Ecuaciones e inecuaciones

OBJETIVOS

• Reconocer las ecuaciones de segundo grado y clasificarlas.

• Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados y aplicando la fórmula general.

• Resolver problemas mediante ecuaciones de segundo grado.

• Reconocer las inecuaciones de primer grado con una incógnita, y sus elementos, resolverlas y representar su conjunto solución.

• Identificar las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtener su conjunto solución.

• Aplicar las ecuaciones e inecuaciones en la resolución de problemas.

CONTENIDOS

Conceptos • Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

• Ecuaciones con radicales, factorizadas y con fracciones algebraicas.

• Inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.


• Reconocimiento y clasificación de las ecuaciones de segundo grado.

• Resolución de ecuaciones bicuadradas, con radicales, factorizadas y con fracciones algebraicas.

• Resolución de inecuaciones de primer grado, y representación del conjunto solución.

• Identificación de las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtención de su solución.

• Resolución de problemas reales con ecuaciones e inecuaciones.

Actitudes • Valoración de los sistemas de ecuaciones como un instrumento útil para representar, comunicar y resolver problemas.

• Interés y cuidado al realizar cálculos para resolver las ecuaciones de segundo grado e inecuaciones.


• Usar el método de resolución de problemas mediante ecuaciones e inecuaciones, y aplicar los algoritmos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y de inecuaciones.




• Reconocer las ecuaciones de primer y segundo grado y clasificarlas.

• Determinar el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado por su discriminante.



167

• Resolver ecuaciones bicuadradas.

• Resolver ecuaciones con radicales, factorizadas y con fracciones algebraicas.

• Resolver inecuaciones de primer grado, y representar el conjunto solución.

• Resolver problemas mediante ecuaciones de segundo grado e inecuaciones de primer grado.

• Reconocer inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtener soluciones particulares de ellas y su conjunto solución.

• Plantear y resolver problemas reales con ecuaciones e inecuaciones.




168

UNIDAD 5. Sistemas de ecuaciones

OBJETIVOS

• Determinar las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas gráficamente y mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.

• Clasificar un sistema de ecuaciones lineales según su número de soluciones.

• Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

• Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita y representar el conjunto solución.

• Aplicar los sistemas de ecuaciones e inecuaciones en la resolución de problemas.

CONTENIDOS

Conceptos • Sistemas de ecuaciones. Clasificación. Métodos de resolución.

• Sistemas de ecuaciones no lineales.

• Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.


• Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.

• Determinación gráfica de las soluciones de un sistema.

• Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

• Resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, y representación del conjunto solución.

• Resolución de problemas reales con sistemas de ecuaciones e inecuaciones.

Actitudes • Valoración de la importancia de los sistemas de ecuaciones para representar, comunicar y resolver problemas.

• Interés y cuidado al realizar los cálculos para resolver las ecuaciones de segundo grado y las inecuaciones.


• Usar el método analítico de resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones e inecuaciones, y aplicar con destreza los algoritmos de resolución.





169


• Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Clasificar, según su número de soluciones, sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

• Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, y representar el conjunto solución.

• Plantear y resolver problemas reales con sistemas de ecuaciones e inecuaciones.




170

UNIDAD 6. Semejanza

OBJETIVOS

• Reconocer cuándo dos figuras son semejantes.

• Encontrar la figura transformada de una figura dada mediante una semejanza.

• Construir figuras semejantes.

• Formular y aplicar el teorema de Tales.

• Reconocer y dibujar triángulos semejantes.

• Conocer los criterios de semejanza de triángulos.

• Aplicar criterios para determinar la semejanza en triángulos rectángulos.

• Resolver problemas de semejanza de figuras planas.

• Aplicar las técnicas de semejanza en los problemas de cálculo de distancias entre puntos inaccesibles.

• Estudiar el comportamiento de la razón de semejanza entre las superficies o los volúmenes de figuras semejantes.

CONTENIDOS

Conceptos • Semejanza y razón de semejanza.

• Teorema de Tales.

• Criterios de semejanza de triángulos.

• Escalas.


• Cálculo de la razón de semejanza de dos figuras, y obtención de figuras semejantes a una figura dada.

• Aplicación del teorema de Tales en distintos contextos.

• Resolución de problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de semejanza.

• Aplicación de la razón de los perímetros y las áreas de dos figuras semejantes en la resolución de problemas.

• Utilización de escalas.

• Cálculo de áreas y volúmenes de figuras semejantes mediante la razón de semejanza.

Actitudes • Valoración de las herramientas que proporciona el estudio de figuras semejantes para la resolución de numerosos problemas de la vida real.

• Reconocimiento de la utilidad de las relaciones métricas y las cualidades estéticas de los movimientos en la realidad.



171


• Identificar, analizar, describir y construir, con precisión y destreza, transformaciones geométricas de figuras planas presentes en el medio social y natural, y utilizar las propiedades geométricas asociadas a las mismas en las situaciones requeridas.

• Identificar relaciones de proporcionalidad geométrica, y resolver problemas mediante estas relaciones.



• Reconocer figuras semejantes y calcular su razón de semejanza.

• Obtener figuras semejantes a una figura dada.

• Aplicar el teorema de Tales en distintos contextos.

• Resolver problemas de semejanza de triángulos aplicando los criterios de semejanza.

• Conocer las relaciones que se obtienen de los criterios de semejanza en triángulos rectángulos.

• Utilizar los conocimientos de semejanza en el cálculo de distancias entre puntos inaccesibles.

• Manejar el concepto de escala entre figuras semejantes.

• Calcular la razón de semejanza de dos figuras.

• Relacionar la razón de semejanza de figuras semejantes con la razón de sus perímetros, áreas o volúmenes.




172

UNIDAD 7. Trigonometría

OBJETIVOS

• Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Calcular las razones de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

• Determinar el signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se encuentre.

• Utilizar la relación fundamental de la trigonometría.

• Hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado a partir de una de ellas.

• Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.

• Resolver un triángulo rectángulo conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.

• Utilizar la calculadora para resolver problemas trigonométricos.

• Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas reales.

CONTENIDOS

Conceptos • Razones trigonométricas de un ángulo.

• Relación fundamental de la trigonometría.

• Resolución de triángulos rectángulos.


• Distinción de las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente, y cálculo de las razones a partir de los datos en distintos contextos.

• Utilización de la calculadora para hallar el seno, el coseno o la tangente de un ángulo.

• Reconocimiento de la utilidad de la circunferencia goniométrica, y determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se encuentre.

• Conocimiento de las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.

• Resolución de triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o un lado y un ángulo agudo.

• Cálculo del área de un triángulo, conocidos dos de sus lados y la amplitud del ángulo comprendido entre ellos.

• Utilización de la trigonometría para la resolución de problemas geométricos reales.

Actitudes • Reconocimiento de la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.

• Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de trigonometría.



173


• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas para calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

• Resolver problemas, individualmente y en grupo, que requieran el uso de las razones trigonométricas.



• Reconocer y determinar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

• Obtener razones trigonométricas con la calculadora.

• Determinar el signo de las razones de un ángulo en función del cuadrante en el que se halle.

• Utilizar la relación fundamental de la trigonometría.

• Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

• Reconocer y utilizar las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos.

• Resolver un triángulo rectángulo, conociendo dos lados o un lado y un ángulo agudo.

• Aplicar la trigonometría en la resolución de problemas geométricos en la vida cotidiana.




174

UNIDAD 8. Vectores y rectas

OBJETIVOS

• Obtener las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de los puntos origen y extremo.

• Hallar el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.

• Calcular, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un vector por un número.

• Obtener la distancia entre dos puntos del plano, y calcular el punto medio de un segmento.

• Reconocer y calcular la ecuación vectorial de una recta.

• Conocer y determinar las ecuaciones paramétricas de una recta.

• Identificar y calcular la ecuación continua de una recta.

• Distinguir y calcular la ecuación general de una recta.

• Determinar la posición de dos rectas en el plano.

CONTENIDOS

Conceptos • Vector: dirección, módulo, sentido y coordenadas.

• Vectores equivalentes.


• Ecuación vectorial de una recta.

• Ecuaciones paramétricas de una recta.




• Posiciones de dos rectas en el plano.


• Determinación de las características de un vector en el plano: módulo, dirección y sentido, así como de sus componentes, y representación gráfica del mismo.

• Cálculo, de manera gráfica y analítica, de sumas y restas de vectores, del producto de un vector por un número y de la traslación de un punto por un vector.

• Obtención de la ecuación vectorial de una recta, dados dos puntos.

• Cálculo de las ecuaciones paramétricas de una recta, dados dos puntos.

• Determinación de la ecuación continua de una recta.

• Cálculo de la ecuación explícita y de la ecuación punto-pendiente de una recta.

• Determinación de las posiciones de dos rectas en el plano.

Actitudes • Reconocimiento de la utilidad de la Geometría analítica para resolver problemas reales.

• Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de Geometría analítica.



175


• Representar relaciones geométricas y vectoriales, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza expresiones algebraicas sencillas.

• Utilizar instrumentos, técnicas y fórmulas, individual y grupalmente, para determinar posiciones relativas de rectas y circunferencias.



• Obtener las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de los puntos origen y extremo.

• Calcular el módulo de un vector, dadas sus coordenadas.

• Hallar, gráfica y analíticamente, sumas y restas de vectores, y el producto de un vector por un número.


• Obtener las ecuaciones paramétricas de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

• Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.

• Determinar la ecuación continua de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

• Calcular la ecuación explícita de una recta, a partir de la ecuación continua.

• Obtener la ecuación punto-pendiente de una recta, a partir de la ecuación explícita.

• Calcular la ecuación general de una recta.

• Distinguir si un punto pertenece o no a una recta.

• Determinar la posición de dos rectas en el plano.




176

UNIDAD 9. Funciones

OBJETIVOS

• Comprender el concepto de función.

• Expresar una función de diferentes formas: tablas, gráficas…

• Obtener una tabla a partir de la gráfica de una función, y viceversa.

• Hallar el dominio y el recorrido de una función, dada su gráfica o su expresión algebraica.

• Representar y trabajar con funciones definidas a trozos.

• Identificar si una función es continua o no, y reconocer los puntos de discontinuidad.

• Determinar el crecimiento o el decrecimiento de una función.

• Obtener los máximos y mínimos de una función.

• Distinguir las simetrías de una función.

• Reconocer si una función es periódica, e identificar el período.

CONTENIDOS

Conceptos • Función: variable dependiente e independiente, dominio y recorrido.

• Continuidad de una función.

• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.






• Determinación de los puntos de corte de una función con los ejes.

• Estudio de la continuidad de una función en un punto.

• Análisis del crecimiento de una función, y obtención de sus máximos y mínimos.

• Determinación de las simetrías de una función respecto del eje Y y respecto del origen, y reconocimiento de si una función es par o impar.


• Representación y análisis de funciones definidas a trozos.

Actitudes • Interés y cuidado a la hora de representar funciones.




177


• Identificar e interpretar relaciones funcionales expresadas en distintas formas (verbal, tabular, gráfica y algebraica), realizando transformaciones entre estas formas de representación.





• Obtener imágenes en una función.

• Calcular los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas.

• Determinar si una función es continua o discontinua en un punto.

• Determinar el crecimiento y el decrecimiento de una función, y obtener sus máximos y mínimos.

• Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen, e identificar si una función es par o impar.

• Reconocer si una función es periódica.

• Representar funciones definidas a trozos.




178

UNIDAD 10. Funciones polinómicas y racionales

OBJETIVOS

• Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, cuyas gráficas son rectas, y de segundo grado, cuyas gráficas son parábolas.

• Hallar el dominio y el recorrido de una función de segundo grado.

• Identificar los elementos principales de una parábola: vértice y eje de simetría.

• Calcular los puntos de corte de una función de segundo grado con los ejes de coordenadas.

• Determinar el crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.

• Obtener gráficas de funciones de segundo grado mediante traslaciones de la gráfica de la función y = ax2.

• Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola a partir del estudio de sus características.

• Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa a partir de una tabla de su expresión algebraica.

• Reconocer funciones de proporcionalidad inversa y trazar sus gráficas, que son hipérbolas.

CONTENIDOS

Conceptos • Funciones polinómicas de primer grado: rectas.



• Funciones racionales.


• Obtención del dominio y el recorrido de una función de segundo grado.

• Análisis del crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.



• Resolución de problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.

• Representación gráfica de una función racional a partir de transformaciones de la gráfica de la función y = 1 .

x

Actitudes • Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.

• Valoración de la utilidad de los distintos tipos de funciones para representar y expresar situaciones de la realidad.



179


• Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función lineal, parábola y función racional), usando las técnicas de lápiz y papel, o la calculadora u ordenador.




• Obtener el dominio y el recorrido de una función de segundo grado.

• Calcular los puntos de corte de una función cuadrática con los ejes.

• Analizar el crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.

• Representar gráficamente una función de segundo grado, y = ax2 + bx + c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones de y = ax2.

• Estudiar y representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.

• Resolver problemas donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.

• Reconocer las funciones racionales y determinar su dominio.

• Representar una función racional a partir de traslaciones y dilataciones de la gráfica de la función y = 1 .

x




180

UNIDAD 11. Funciones exponenciales y logarítmicas

OBJETIVOS

• Interpretar y representar una función exponencial del tipo y = ax con a > 0 y a ≠ 1.

• Interpretar y representar una función exponencial del tipo f (x) = ak-x, con k ≠ 0.

• Interpretar y representar una función exponencial y = ax + b como una traslación vertical de y = ax.

• Interpretar y representar una función exponencial y = ax+b como una traslación horizontal de y = ax.

• Interpretar y representar una función logarítmica.

• Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la resolución de problemas.

• Aplicar la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas.

CONTENIDOS

Conceptos • Funciones exponenciales del tipo: y = ax, y = ax + b e y = ax+b.

• Interés compuesto.

• Logaritmos: propiedades.

• Función logarítmica.


• Interpretación y representación de una función exponencial.

• Aplicación de la fórmula del interés compuesto en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

• Cálculo del logaritmo de un número, y realización de operaciones con logaritmos en distintas bases.

• Interpretación y representación de una función logarítmica.

• Utilización de las propiedades de los logaritmos para resolver problemas.

• Realización de operaciones con funciones exponenciales y con logaritmos.

• Identificación de la función logarítmica como función inversa de la función exponencial.

Actitudes • Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.




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• Representar y analizar relaciones funcionales sencillas (función exponencial y logarítmica), utilizando las técnicas de lápiz y papel, o la calculadora u ordenador.




• Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.

• Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.

• Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales en la resolución de problemas.

• Utilizar la fórmula del interés compuesto.

• Calcular el logaritmo de un número y operar con logaritmos.

• Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas.





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UNIDAD 12. Estadística

OBJETIVOS

• Distinguir entre variables estadísticas cualitativas y cuantitativas.

• Identificar variables estadísticas discretas y continuas.

• Construir una tabla de frecuencias.

• Diferenciar y representar gráficos estadísticos.

• Calcular las medidas de centralización: media, mediana y moda.

• Hallar las medidas de posición: cuarteles y percentiles.

• Obtener las medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

• Analizar conjuntamente las medidas estadísticas.

• Utilizar la calculadora científica para obtener medidas de centralización y dispersión.

CONTENIDOS

Conceptos • Variables estadísticas.

• Tablas de frecuencias.


• Medidas de centralización: media, mediana y moda.

• Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

• Medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.


• Clasificación de variables estadísticas.

• Cálculo de frecuencias absolutas y relativas, simples y acumuladas.

• Interpretación de gráficos estadísticos: diagrama de barras, histograma, polígono de frecuencias y diagrama de sectores.

• Cálculo de las medidas de centralización: media, mediana y moda.

• Determinación de las medidas de posición: cuartiles y percentiles.

• Obtención de las medidas de dispersión: rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

Actitudes • Valoración de la utilidad de la Estadística para el estudio de distintas variables relacionadas con actividades cotidianas.

• Sentido crítico al interpretar gráficos estadísticos.

• Interés y cuidado a la hora de realizar cálculos estadísticos.



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• Interpretar y presentar la información estadística mediante tablas, gráficos y medidas estadísticas, así como calcular las medidas estadísticas básicas, utilizando los medios más adecuados.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones numéricas básicas, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo pertinente.



• Diferenciar entre variables estadísticas continuas y discretas.

• Interpretar y construir una tabla de frecuencias.

• Representar datos mediante gráficos.

• Calcular las medidas de centralización de un conjunto de datos.

• Obtener las medidas de posición de un conjunto de datos.

• Calcular las medidas de dispersión de un conjunto de datos.

• Utilizar la calculadora científica para obtener medidas estadísticas.




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UNIDAD 13. Combinatoria

OBJETIVOS

• Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol como métodos de conteo.

• Conocer y aplicar las propiedades de los números combinatorios.

• Utilizar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio (binomio de Newton).

• Distinguir entre variaciones sin repetición y con repetición.

• Reconocer las permutaciones como caso particular de las variaciones, y calcular su valor.

• Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y las permutaciones.

• Calcular el número de grupos que se forman mediante variaciones, permutaciones y combinaciones.

• Aplicar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida diaria.

CONTENIDOS

Conceptos • Métodos de conteo: método del producto y diagramas de árbol.

• Números combinatorios. Propiedades.

• Binomio de Newton.

• Variaciones sin y con repetición.

• Permutaciones.

• Combinaciones.


• Utilización del método del producto y del diagrama de árbol en la resolución de problemas de la vida real.

• Distinción entre variaciones sin y con repetición.

• Obtención del número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con repetición.

• Reconocimiento de las permutaciones como un caso particular de las variaciones, y cálculo de su valor.

• Utilización de las combinaciones en diferentes contextos, y determinación de los distintos grupos que se forman.

• Uso de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

• Aplicación de la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Actitudes • Valoración de la utilidad de la combinatoria para resolver problemas reales.

• Atención y cuidado al calcular los distintos grupos que se forman mediante combinatoria.



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• Representar relaciones y patrones numéricos, proponiendo, utilizando y manipulando con destreza los distintos métodos de conteo.



• Utilizar el método del producto y el diagrama de árbol en situaciones de la vida cotidiana.

• Distinguir entre variaciones sin repetición y variaciones con repetición.

• Calcular el número de grupos que se forman en el caso de variaciones sin y con repetición.

• Reconocer las permutaciones como caso particular de las variaciones, y calcular su valor.

• Comprender el concepto de combinaciones y distinguirlas de las variaciones y permutaciones.

• Aplicar las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio.

• Utilizar la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.




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UNIDAD 14. Probabilidad

OBJETIVOS

• Distinguir entre experimentos aleatorios y deterministas.

• Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones con ellos.

• Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles incompatibles.

• Utilizar la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

• Calcular la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

• Hallar probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.

• Obtener probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

• Distinguir entre experimento aleatorio simple y compuesto.

• Resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Aplicar la regla del producto.

• Utilizar la probabilidad en situaciones de la vida cotidiana.

CONTENIDOS

Conceptos • Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones con sucesos.

• Frecuencia y probabilidad. Regla de Laplace.

• Probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles.

• Experimentos compuestos.

• Probabilidad condicionada.

• Regla del producto.

• Probabilidad de sucesos dependientes e independientes.


• Análisis de la aleatoriedad o el determinismo de un experimento.

• Realización de operaciones con los sucesos de un experimento aleatorio.

• Diferenciación entre sucesos compatibles e incompatibles.

• Utilización de la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

• Cálculo de la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

• Obtención de probabilidades de sucesos compatibles e incompatibles.

• Cálculo de probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

• Distinción entre experimentos aleatorios simples y compuestos.


• Cálculo de probabilidades de sucesos independientes y dependientes.

• Aplicación de la regla del producto en problemas de probabilidad.

Actitudes • Análisis crítico de las informaciones referidas a contextos de azar.

• Interés y cuidado al calcular probabilidades.



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• Identificar situaciones y fenómenos asociados a la probabilidad y el azar, resolviendo problemas asociados a estos conceptos.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas, decidiendo si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo más adecuado.



• Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas.

• Reconocer los sucesos de un experimento aleatorio, y realizar operaciones entre ellos.

• Utilizar la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.

• Calcular la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.

• Distinguir cuándo dos sucesos son compatibles incompatibles, y hallar sus probabilidades.

• Obtener probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.

• Distinguir entre experimentos aleatorios simples y compuestos.

• Resolver problemas en contextos de probabilidad condicionada.

• Calcular probabilidades de sucesos independientes y dependientes.

• Aplicar la regla del producto en problemas de probabilidad.




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Matemáticas Bachillerato de Ciencias

MMMaaattteeemmmááátttiiicccaaasss III

Los objetivos generales del área expresan las capacidades que deben desarrollar los alumnos y las alumnas a lo largo del Bachillerato. Estos objetivos, derivan directamente del artículo 26 de la L.O.G.S.E.; para su formulación se ha tenido en cuenta el REAL DECRETO 3474/2000, de 29 de diciembre por el que se modifica el Real decreto 1700/1991, de 29 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato, y el Real Decreto 1178/1992, de 2 de octubre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del bachillerato.

La enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato contribuirá a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades::

1. Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de ciencias o técnicas y adquirir una formación científica general.

2. Aplicar sus conocimiento matemáticos a situaciones diversas, utilizándolas en la interpretación de las ciencias y en las actividades cotidianas.

3. Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales.

4. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos nuevos.

5. Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos.

6. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática, como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas.

7. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

8. Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las enormes posibilidades que nos ofrecen.

9. Aprovechar los cauces de información facilitados por las nuevas tecnologías, seleccionando aquello que pueda ser más útil para resolver los problemas planteados.



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BLOQUES DE CONTENIDO.

Los contenidos seleccionados tienen la intención de aportar una formación matemática que sea suficiente para abordar problemas de la vida real y del mundo científico y laboral, así como proporcionar una información adecuada desde el punto de vista cultural y como base para estudios posteriores.

Los contenidos se agrupan en los siguientes bloques: Aritmética y Álgebra, Geometría, Funciones y gráficas y Estadística y probabilidad.

Estos campos no están inconexos y terminan entrelazándose, problemas geométricos como el de la tangente a una curva y el del área de una región no poligonal, se resuelven mediante herramientas como el cálculo diferencial o integral de funciones. Los números y los conjuntos bidimensionales de datos admiten una representación geométrica y en Análisis el estudio geométrico de curvas y superficies, como representantes de funciones, ha sido de gran apoyo para la comprensión de los conceptos. De igual forma el teorema de Pitágoras va unido a la raíz cuadrada y la geometría de las cónicas al álgebra de las formas cuadráticas. La traducción al lenguaje algebraico de problemas diversos y la resolución de las consiguientes expresiones mediante el cálculo algebraico, hacen que el álgebra sea herramienta imprescindible en otros campos. Del mismo modo, la expresión numérica de las soluciones de muchas situaciones problemáticas hace que los números aparezcan en todos ellos.

El término contenidos sigue teniendo en esta materia del bachillerato la acepción global y el sentido integral propio de anteriores etapas educativas y se refiere, por tanto, al triple ámbito de los conceptos, los procedimientos y las actitudes. Estos tres tipos de contenidos aparecen integrados en los núcleos temáticos que configuran esta materia.

BLOQUES CON LOS QUE SE RELACIONAN LAS UNIDADES DID ÁCTICAS.

BLOQUES UNIDADES DIDÁCTICAS

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1, 2, 3, 4.

GEOMETRÍA 5, 6

FUNCIONES Y GRÁFICAS 7, 8, 9, 10, 11

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 12,13,14



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Unidad 1 Números Reales

OBJETIVOS

• Utilizar los números enteros, racionales e irracionales para cuantificar situaciones de la vida cotidiana.

• Aplicar adecuadamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en las operaciones combinadas de números reales.

• Ordenar y representar los números reales sobre la recta real.

• Conocer y utilizar las distintas clases de intervalos.

• Operar utilizando la notación científica y las aproximaciones.


• Operar con radicales. Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Manejar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Aplicar las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Números racionales, irracionales y reales.

• Ordenación en el conjunto đ. Valor absoluto.

• Notación científica.

• Aproximaciones. Errores absoluto y relativo.

• Potencias de base real y exponente entero.

• Radicales. Radicales equivalentes. Racionalización.

• Logaritmo de un número. Propiedades.

• Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• Comparación de números racionales utilizando la representación de una fracción.

• Reconocimiento y creación de números irracionales.

• Utilización de las propiedades del orden en el conjunto đ en distintos contextos.

• Expresión y representación de un conjunto numérico en forma de intervalo.

• Aplicación del valor absoluto y la distancia entre números reales en la resolución de problemas.

• Utilización de números expresados en notación científica.

• Realización de cálculos con números usando las aproximaciones, y dando cuenta del error cometido.




191

• Realización de operaciones con radicales. Racionalización de expresiones.

• Aplicación de las propiedades de los logaritmos en distintos contextos.

• Reconocimiento y resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

ACTITUDES

• Respeto por las soluciones de problemas numéricos distintas de las propias.

• Gusto por la realización ordenada y cuidadosa de los cálculos.


• Operar con números enteros, racionales y reales, aplicando la jerarquía de las operaciones.

• Reconocer el conjunto numérico mínimo al que pertenece un número dado.

• Resolver situaciones de la vida cotidiana, utilizando las operaciones de números decimales, fraccionarios y reales.

• Expresar resultados usando la representación de números reales y los distintos tipos de intervalos.

• Manejar con soltura la notación científica.




• Utilizar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Emplear las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.



192

UNIDAD 2 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

OBJETIVOS

• Factorizar y simplificar polinomios.

• Simplificar fracciones algebraicas.

• Reducir fracciones algebraicas a común denominador.

• Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas.

• Interpretar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado.

• Resolver ecuaciones bicuadradas, con radicales y con fracciones algebraicas.

• Conocer y aplicar los métodos algebraicos y gráficos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Plantear y resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas, utilizando técnicas algebraicas y gráficas.

• Resolver inecuaciones con una y dos incógnitas.

• Resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, aplicando técnicas algebraicas y gráficas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Raíces de un polinomio y factorización de polinomios.

• Operaciones con fracciones algebraicas.

• Ecuaciones de segundo grado, bicuadradas, con radicales y fracciones algebraicas.

• Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos incógnitas.

• Desigualdades. Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones lineales.


• Descomposición de un polinomio en factores.

• Clasificación de una fracción algebraica como irreducible o reducible.

• Simplificación de fracciones algebraicas reducibles.

• Reducción de un conjunto de fracciones algebraicas a común denominador.

• Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas.

• Utilización de las relaciones entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces para resolver distintos problemas.

• Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, aplicándolos para resolver problemas de la vida real.

• Utilización de diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

• Resolución de inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas y de sistemas con inecuaciones lineales.



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ACTITUDES

• Actitud de sentido crítico ante las soluciones intuitivas.


• Interés por la predicción y el descubrimiento de datos desconocidos.


• Determinar si un polinomio es irreducible o no.

• Obtener fracciones algebraicas equivalentes a una fracción dada, y simplificar y distinguir si una fracción algebraica es irreducible o no.

• Reducir un conjunto de fracciones algebraicas a común denominador.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

• Utilizar la fórmula general, el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver ecuaciones de segundo grado.

• Transformar situaciones reales en ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver, analítica y gráficamente, sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas, y determinar su compatibilidad o incompatibilidad.

• Resolver problemas reales utilizando sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, y determinar la compatibilidad o incompatibilidad de dichos sistemas.

• Hallar el conjunto solución de una inecuación con una incógnita, y representarlo sobre la recta numérica.

• Resolver inecuaciones con dos incógnitas y sistemas con inecuaciones, y representar el conjunto solución de forma gráfica.



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UNIDAD 3 Trigonometría

OBJETIVOS

• Reconocer los sistemas de medida de ángulos.

• Obtener las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, obtenerlas y utilizarlas para resolver problemas.

• Aplicar las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

• Utilizar las razones trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos, así como las razones del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolver triángulos rectángulos y aplicar los teoremas del seno y del coseno en la resolución de problemas.

• Resolver triángulos cualesquiera a partir de determinados datos.

• Reconocer y resolver ecuaciones trigonométricas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Ángulos. Medida de ángulos.

• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

• Relaciones trigonométricas fundamentales.

• Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolución de triángulos rectángulos. Teorema del seno. Teorema del coseno.

• Resolución de triángulos cualesquiera.

• Ecuaciones trigonométricas.


• Manejo de los conceptos de ángulo y radián, y utilización de los sistemas de medida de ángulos: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes, pasando de unos a otros.

• Reconocimiento y cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, y utilización de sus relaciones para resolver problemas.

• Aplicación de las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

• Obtención y utilización de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolución de triángulos rectángulos y aplicación de los teoremas del seno y del coseno para resolver problemas.

• Resolución de problemas reales mediante la resolución de un triángulo cualquiera, calculando los ángulos y lados desconocidos a partir de los datos conocidos.

• Identificación, resolución y discusión de ecuaciones trigonométricas.

CRITERIOS DE CORRECCIÓN



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• Utilizar los conceptos de ángulo y radián, y pasar de grados sexagesimales a grados centesimales y radianes, y viceversa.

• Distinguir y hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, y utilizar las relaciones entre ellas para resolver problemas.

• Aplicar las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

• Obtener y utilizar las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolver triángulos rectángulos y aplicar los teoremas del seno y del coseno en la resolución de problemas.

• Resolver problemas reales mediante la resolución de un triángulo cualquiera, calculando los ángulos y lados que faltan a partir de los datos conocidos, y comprobando la solución obtenida.

• Reconocer, resolver y discutir ecuaciones trigonométricas.



196

UNIDAD 4 Números Complejos

OBJETIVOS

• Trabajar con números complejos expresados en forma binómica, determinar su parte real e imaginaria, calcular su opuesto y su conjugado, y representarlos gráficamente.

• Realizar sumas, restas, productos y cocientes de números complejos expresados en forma binómica, así como potencias de la unidad imaginaria.

• Pasar de la expresión binómica de un número complejo a la expresión polar y trigonométrica, y viceversa.

• Multiplicar, dividir y calcular potencias de números complejos en forma polar, utilizando la fórmula de Moivre.

• Calcular las raíces n-ésimas de un número complejo y representarlas gráficamente.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Ampliación del conjunto đ.

• Números complejos en forma binómica. Representación. Operaciones.

• Forma polar y trigonométrica de un número complejo.

• Paso de unas formas a otras. Operaciones en forma polar.

• Potencias en forma polar. Fórmula de Moivre. Radicación de números complejos.


• Resolución de problemas en los que se amplíe el conjunto đ.

• Reconocimiento de los números complejos expresados en forma binómica, determinación de su parte real e imaginaria, cálculo del complejo conjugado y del complejo opuesto, y obtención de la representación gráfica de un número complejo.

• Cálculo de operaciones con números complejos expresados en forma binómica.

• Reconocimiento de los números complejos expresados en forma polar, y determinación de su módulo y argumento.

• Transformación de números complejos de forma binómica en forma polar y trigonométrica, y viceversa.

• Cálculo de productos, cocientes y potencias de números complejos expresados en forma polar, usando la fórmula de Moivre para las potencias.

• Obtención y representación de las raíces n-ésimas de un número complejo.

ACTITUDES

• Valoración de la necesidad de ampliar el conjunto đ.

• Gusto por la realización cuidadosa de los cálculos con números complejos.



197


• Utilizar los números complejos para hallar la solución de problemas que no se pueden resolver en el conjunto đ.

• Trabajar con números complejos expresados en forma binómica, obtener su parte real e imaginaria, hallar el complejo conjugado y el complejo opuesto, y representarlos gráficamente.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos expresados en forma binómica.

• Trabajar con números complejos expresados en forma polar, determinar su módulo y argumento, y representarlos gráficamente.

• Transformar números complejos expresados en forma binómica en forma polar y trigonométrica, y viceversa.

• Operar con números complejos expresados en forma polar, usando la fórmula de Moivre para las potencias de complejos.

• Hallar y representar las raíces n-ésimas de un número complejo.



198

UNIDAD 5 Geometría analítica

OBJETIVOS

• Utilizar los conceptos de vector: módulo, dirección y sentido.

• Distinguir si dos vectores son equivalentes, y calcular los componentes de un vector, dados sus extremos.

• Realizar operaciones de suma de vectores y producto por un número real, así como combinaciones lineales de vectores.

• Distinguir si dos vectores en el plano son linealmente dependientes o independientes y si forman base, y obtener las coordenadas de un vector en una base.

• Obtener el producto escalar de dos vectores, y aplicarlo al cálculo del módulo de un vector y del ángulo que forman dos vectores.

• Reconocer y hallar la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua y la ecuación general de una recta.

• Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Vectores: módulo, dirección y sentido.


• Dependencia lineal. Bases. Coordenadas.

• Producto escalar. Propiedades. Aplicaciones del producto escalar.

• Vector director de una recta.

• Ecuación vectorial de una recta. Ecuaciones paramétricas de una recta.




• Posiciones relativas de dos rectas en el plano.


• Utilización de los conceptos de vector: módulo, dirección y sentido, en distintos contextos y determinación de la existencia o no de equivalencia entre dos vectores.

• Realización de sumas de vectores, del producto de un número por un vector, y obtención de combinaciones lineales de vectores, de forma gráfica.

• Determinación de la relación de linealidad entre dos vectores, y cálculo de las coordenadas de un vector en una base cualquiera.

• Obtención del producto escalar de dos vectores, y utilización de sus propiedades para resolver distintos problemas: cálculo del módulo de un vector, del ángulo de dos vectores...

• Cálculo de la ecuación vectorial y de las ecuaciones paramétricas de una recta.



199

• Obtención de la ecuación continua de una recta.

• Reconocimiento de rectas paralelas y perpendiculares.

• Obtención de la ecuación explícita y de la ecuación punto-pendiente de una recta.

• Determinación de las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de vectores y sistemas de referencia en la realidad.

• Gusto por la realización cuidadosa de los cálculos con vectores.


• Determinar el módulo, la dirección y el sentido de un vector, su equivalencia o no con otro vector, y calcular sus componentes.

• Sumar vectores, multiplicarlos por un número real y obtener combinaciones lineales de vectores, de forma gráfica.

• Determinar la relación de linealidad entre dos vectores.

• Obtener las coordenadas de un vector en una base cualquiera.

• Hallar el producto escalar de dos vectores de forma gráfica y analítica, y utilizar sus propiedades para resolver distintos problemas.

• Calcular la distancia entre dos puntos y el ángulo de dos vectores.


• Determinar las ecuaciones paramétricas de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

• Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.

• Hallar la ecuación continua de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

• Calcular la ecuación explícita de una recta, a partir de la ecuación continua.

• Obtener la ecuación punto-pendiente de una recta, a partir de la ecuación explícita.

• Calcular la ecuación general de una recta.

• Distinguir si un punto pertenece o no a una recta dada.

• Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.



200

UNIDAD 6 Cónicas

OBJETIVOS

• Identificar los lugares geométricos más comunes y razonar su definición.

• Reconocer la elipse y sus elementos característicos, aplicando las diversas formas de expresar su ecuación.

• Distinguir la hipérbola y sus elementos característicos, y aplicar las distintas formas de expresar su ecuación.

• Reconocer la parábola y sus elementos característicos, usando las diferentes formas de expresar su ecuación.

• Definir la circunferencia y sus elementos característicos, y hallar su ecuación en diversas situaciones.

• Reconocer y analizar las distintas posiciones de una recta y una circunferencia, y caracterizar las rectas tangente y normal a la circunferencia.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Lugares geométricos.

• Elipse: definición, elementos, propiedades y ecuación.

• Hipérbola: definición, elementos, propiedades y ecuación.

• Parábola: definición, elementos, propiedades y ecuación.

• Circunferencia: definición, elementos y ecuación.

• Posición relativa de una recta y una circunferencia.


• Utilización de la relación entre los semiejes mayor, menor (o imaginario) y focal en la elipse y en la hipérbola para resolver problemas.

• Obtención de la excentricidad de elipses e hipérbolas, y reconocimiento de la influencia que tiene en la forma de estas cónicas.

• Cálculo de la ecuación de la elipse y la hipérbola con centro en el punto (h, k) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas.

• Representación gráfica y obtención de la ecuación de una parábola de ejes paralelos a los ejes de coordenadas.

• Determinación de la ecuación de una circunferencia en diversas situaciones.

• Estudio de la posición relativa de una recta y una circunferencia.

• Resolución de problemas reales donde aparezcan cónicas.

ACTITUDES

• Reconocimiento de la presencia de cónicas en contextos reales.

• Interés y cuidado al trabajar con cónicas.



201


• Hallar la ecuación de la elipse, conocidos algunos de sus elementos.

• Determinar las coordenadas del centro, vértices y focos de una elipse de centro (h, k), dada su ecuación reducida o general.

• Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (h, k), conocidos algunos de sus elementos.

• Representar y hallar los elementos de distintas parábolas, dada su ecuación reducida.

• Reconocer y calcular la ecuación de una circunferencia en diferentes casos.

• Identificar la posición relativa de una recta respecto de una circunferencia.

• Resolver problemas reales donde aparezcan cónicas en distintos contextos.

UNIDAD 7 Funciones

OBJETIVOS



• Determinar el crecimiento o el decrecimiento de una función, y obtener sus máximos y mínimos absolutos y relativos.



202



• Calcular la función inversa de una función dada.

• Componer dos o más funciones.

CONTENIDOS

CONCEPTOS


• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos absolutos y relativos.


• Función inversa de una función.

• Composición de funciones.




• Análisis del crecimiento de una función y obtención de sus máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Determinación de las simetrías de una función respecto del eje de ordenadas y respecto del origen (funciones pares e impares).


• Cálculo de la función inversa de una función.


ACTITUDES

• Interés y cuidado al representar funciones.

• Reconocimiento de la utilidad de las funciones para representar y expresar situaciones de la vida real.





• Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen, y reconocer si una función es par o impar.

• Determinar si una función es periódica.

• Calcular la inversa de una función.




203

UNIDAD 8 Funciones elementales

OBJETIVOS

• Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de segundo grado, parábolas.


• Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola, a partir del estudio de sus características.



204

• Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, a partir de su expresión algebraica.

• Reconocer y representar hipérbolas derivadas de funciones de proporcionalidad inversa.

• Identificar y representar funciones radicales.

• Interpretar y representar la función exponencial del tipo y = ax, con a > 0 y a ≠ 1.

• Interpretar y representar las funciones exponenciales del tipo y = ak • x, y = ax + b e y = ax+b, como transformaciones de la gráfica y = ax.

• Interpretar y representar la función logarítmica.


• Conocer las principales características de las funciones trigonométricas y representarlas gráficamente.

• Representar funciones definidas a trozos.

CONTENIDOS

CONCEPTOS





• Funciones radicales.

• Funciones exponenciales del tipo: y = ax, y = ax + b e y = ax+b.

• Funciones logarítmicas.

• Funciones trigonométricas.





• Representación gráfica de una función racional a partir de transformaciones de la gráfica de la función y = 1

x • Representación gráfica y estudio de las características de la función radical.


• Interpretación y representación de la función logarítmica.

• Características de las funciones trigonométricas.

ACTITUDES

• Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.




205


• Representar gráficamente una función de segundo grado, y = ax2 + bx + c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones de la función y = ax2.


• Reconocer las funciones racionales y determinar su dominio.

• Representar una función racional a partir de traslaciones y dilataciones de la gráfica de la función y = 1

x • Representar funciones radicales. • Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial. • Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales. • Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas. • Determinar funciones trigonométricas. • Representar gráficamente funciones definidas a trozos.

UNIDAD 9 Límite de una función

OBJETIVOS

• Reconocer sucesiones de números reales, obtener distintos términos a partir de su regla de formación y determinar el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión de números reales.

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y hallar sus límites laterales.



206

• Obtener los límites infinitos y en el infinito de una función.

• Calcular los límites de las operaciones con funciones.

• Resolver las indeterminaciones del tipo α , 0, α y α - α en el cálculo de límites.

• Estudiar la existencia de asíntotas en una función.

• Determinar la continuidad de una función en un punto y estudiar sus discontinuidades, distinguiendo de qué tipo son.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Sucesiones de números reales.

• Límite de una sucesión.

• Cálculo del límite de una sucesión.

• Operaciones con límites.

• Límite de una función. Límites laterales. Indeterminaciones.

• Ramas infinitas y asíntotas.

• Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad.


• Obtención de distintos términos de una sucesión y de su término general.

• Obtención, si existe, del límite de una función en un punto y de sus límites laterales.

• Determinación de los límites infinitos de una función.

• Utilización de las propiedades de los límites para el cálculo de límites de operaciones con funciones.

• Resolución de problemas de indeterminaciones en el cálculo de límites.

• Estudio de funciones en el infinito (ramas infinitas).

• Cálculo de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en una función.

• Determinación de la continuidad de una función en un punto, y estudio de sus discontinuidades.

ACTITUDES


• Interés por la reflexión al realizar cálculos con límites.


• Hallar distintos términos de una sucesión a partir de su regla de formación, y obtener el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión.



207

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos de una función.

• Utilizar las propiedades de los límites para su cálculo.

• Resolver problemas de indeterminaciones.

• Determinar las asíntotas y las ramas infinitas de una función.

• Hallar la continuidad de una función en un punto y estudiar de qué tipo son sus discontinuidades.

UNIDAD 10 Derivada de una función

OBJETIVOS

• Utilizar la variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana.

• Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función dada, así como sus derivadas laterales.

• Calcular derivadas usando las reglas de derivación.



208

• Obtener derivadas de operaciones con funciones.

• Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta.

• Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto.

• Calcular derivadas sucesivas.

• Resolver problemas de optimización.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Variación media de una función.

• Derivada en un punto. Interpretación geométrica. Función derivada.

• Derivadas laterales.

• Derivadas de las funciones elementales.

• Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.

• Rectas tangente y normal a una función.

• Derivadas sucesivas.

• Aplicación de las derivadas.


• Cálculo de la variación media de una función en un intervalo.

• Obtención de la derivada de una función en un punto, y determinación de la función derivada asociada a esa función.

• Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.

• Utilización de la relación entre la derivabilidad y el crecimiento de una función para resolver problemas.

• Determinación de la función derivada de las funciones elementales.

• Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Obtención de la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real.

• Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.


• Hallar la variación media de una función en un intervalo.



209

• Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función derivada asociada a esa función.

• Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Determinar las derivadas laterales de una función en un punto.

• Utilizar la relación entre derivabilidad y crecimiento para resolver problemas.

• Obtener la función derivada de una función elemental.

• Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Calcular derivadas sucesivas de una función.

• Resolver distintos problemas donde aparezca el concepto de derivada de una función.

UNIDAD 11 Integrales

OBJETIVOS

• Establecer la relación existente entre integración y derivación, introduciendo el concepto de primitiva de una función y reconociendo sus propiedades.

• Utilizar métodos elementales de cálculo de primitivas.



210

• Aplicar la regla de Barrow para calcular integrales definidas.

• Interpretar la integral definida de una función como el área encerrada por su gráfica y el eje X.

• Utilizar la integral definida para determinar áreas de recintos planos limitados por funciones y el eje X.

• Usar la integral definida para calcular el área comprendida entre dos curvas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Función primitiva.

• Integral indefinida. Propiedades.

• Integral definida. Propiedades.

• Cálculo de áreas mediante integrales definidas.


• Obtención de integrales mediante el cálculo de una de sus primitivas.

• Cálculo de integrales de funciones elementales.

• Aplicación de las propiedades de linealidad y aditividad de las integrales para resolver problemas en distintos contextos.

• Utilización de la regla de Barrow en el cálculo de integrales entre dos puntos.

• Uso de la integral para el cálculo de áreas de regiones comprendidas entre una curva y el eje X, tanto por encima como por debajo de este.

• Utilización de la integral para hallar áreas comprendidas entre dos curvas.

ACTTUDES

• Valoración de la utilidad de la integración en numerosos contextos reales.

• Interés por las aplicaciones reales de la integral.

• Cuidado al resolver integrales por métodos numéricos.


• Determinar una primitiva de una función.

• Comprender, utilizar y conocer la tabla de integrales inmediatas.

• Identificar el mejor método para resolver una integral y aplicarlo adecuadamente.

• Resolver diferentes problemas mediante las propiedades de las integrales y aplicando el teorema fundamental del cálculo.

• Utilizar la regla de Barrow para resolver integrales definidas entre dos puntos a y b.

• Calcular áreas de regiones comprendidas entre una curva y el eje X, tanto por encima como por debajo de este.

• Determinar, mediante integrales, el área comprendida entre dos curvas.



211

UNIDAD 12 Estadística bidimensional

OBJETIVOS

• Interpretar frecuencias y tablas de variables unidimensionales.

• Encontrar valores representativos de un conjunto de datos, utilizando medidas de centralización y dispersión.

• Reconocer variables estadísticas bidimensionales, y organizar sus datos en una tabla de doble entrada.



212

• Representar e interpretar un conjunto de valores de dos variables mediante un diagrama de dispersión.

• Distinguir si existe dependencia lineal entre las variables que forman una variable bidimensional.

• Determinar el coeficiente de correlación lineal.

• Analizar el grado de relación de dos variables, conociendo el coeficiente de correlación lineal.

• Determinar la recta que mejor se ajusta a una nube de puntos.

• Estimar un valor de una variable, conocido un valor de la otra variable.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Frecuencias y tablas de variables unidimensionales.

• Media aritmética, mediana, moda, varianza y desviación unidimensionales.

• Variables bidimensionales.

• Frecuencias relativas y absolutas de variables bidimensionales. Diagrama de dispersión.

• Tablas de doble entrada.

• Covarianza. Coeficiente de correlación. Rectas de regresión. Estimación.


• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de una variable de un conjunto de datos, expresándolas en forma de tabla.

• Obtención de la media, mediana y moda de un conjunto de datos, agrupados o no.

• Cálculo de la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos.

• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de variables bidimensionales.

• Representación del diagrama de dispersión de una variable bidimensional.

• Obtención de la covarianza de una variable bidimensional.

• Interpretación y obtención del coeficiente de correlación.

• Cálculo de la recta de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

• Obtención de estimaciones a partir de las rectas de regresión.

ACTITUDES

• Aprecio de la utilidad de la regresión para realizar estimaciones y predicciones.

• Razonamiento crítico de los resultados extraídos al estudiar la correlación.


• Expresar, en forma de tabla, las frecuencias absolutas y relativas de una variable de un conjunto de datos.

• Resolver problemas donde intervengan la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos, agrupados o no.



213

• Obtener la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos.

• Representar una variable bidimensional utilizando el diagrama de dispersión.

• Calcular la covarianza de una variable bidimensional y el coeficiente de correlación lineal entre dos variables, a partir de su covarianza y de sus desviaciones típicas.

• Hallar las rectas de regresión de una variable bidimensional, y realizar estimaciones y predicciones utilizando dichas rectas.

UNIDAD 13 Probabilidad

OBJETIVOS

• Distinguir si un experimento es aleatorio o no, y utilizar los conceptos de espacio muestral, suceso, suceso seguro, suceso imposible y suceso complementario.

• Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades.

• Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades.

• Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace.



214


• Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos son dependientes o independientes, y resolverlos.

• Determinar la probabilidad de un suceso, aplicando el teorema de probabilidad total.

• Aplicar el teorema de Bayes en la resolución de problemas donde aparezcan probabilidades «a posteriori».

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos. Propiedades.

• Probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada.

• Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes.

• Probabilidad total. Probabilidades «a posteriori». Teorema de Bayes.


• Reconocimiento de la aleatoriedad o no de un experimento.

• Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realización de operaciones con sucesos.

• Utilización de la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.


• Reconocimiento y resolución de problemas de probabilidad compuesta, y determinación de la dependencia o independencia de dos sucesos.

• Obtención de la probabilidad total de un suceso.

• Reconocimiento y uso de las probabilidades «a posteriori».

• Utilización del teorema de Bayes en la resolución de problemas.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de la probabilidad en la vida real.

• Gusto por la reflexión al resolver problemas de probabilidad.


• Distinguir si un experimento es aleatorio o no.

• Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades.

• Usar la definición de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.

• Hallar probabilidades de forma experimental.



215

• Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta.

• Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos.

• Calcular la probabilidad total de un suceso, utilizando diagramas de sucesos y diagramas de árbol.

• Reconocer y usar las probabilidades «a posteriori».

• Utilizar el teorema de Bayes en la resolución de problemas.

UNIDAD 14 Distribuciones binomial y normal

OBJETIVOS

• Reconocer el concepto de variable aleatoria, sus tipos y las funciones de probabilidad y de densidad.

• Identificar las características de la función de distribución, y utilizar su relación con las funciones de probabilidad y densidad.

• Reconocer la distribución binomial, obtener distintas probabilidades a partir de ella y calcular su media y su varianza.

• Identificar la distribución normal, interpretar la campana de Gauss y tipificar y manejar la tabla N(0, 1) en el cálculo de probabilidades.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en los casos en que sea necesario.



216

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Funciones de probabilidad y de densidad. Función de distribución.

• Distribución binomial. Media y varianza. Distribución normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1).

• Tipificación de la normal. Aproximación de la binomial por la normal.


• Distinción entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Empleo de la función de densidad de una variable aleatoria continua y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificación de la distribución binomial y del valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, cálculo de probabilidades usando las tablas, y obtención del valor de su media o esperanza y su varianza.

• Identificación de la distribución normal y del valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretación de la campana de Gauss, manejo de la tabla N(0, 1) y cálculo de probabilidades mediante la tipificación.

• Ajuste de una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de distribuciones de probabilidad en la vida real.



• Distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilizar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y su función de distribución asociada.

• Emplear la función de densidad de una variable aleatoria continua y su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificar la distribución binomial y el valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza.

• Reconocer la distribución normal y el valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificación.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en distintos caso.



217

MMMaaattteeemmmááátttiiicccaaasss III III

Los objetivos generales del área expresan las capacidades que deben desarrollar los alumnos y las alumnas a lo largo del Bachillerato. Estos objetivos, derivan directamente del artículo 26 de la L.O.G.S.E.; para su formulación se ha tenido en cuenta el Real Decreto 3474/2000, de 29 de diciembre, por el que se establece la estructura del bachillerato, el el Real Decreto 1178/1992, de 2 de octubre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de bachillerato .

La enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato contribuirá a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades:

1. Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de ciencias o técnicas y adquirir una formación científica general.

2. Aplica sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolas en la interpretación de las ciencias y en las actividades cotidianas.

3. Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales.

4. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis , planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos nuevos.

5. Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos.

6. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática, como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas.

7. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

8. Servirse de los medios tecnológicos que se encuentra a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las enormes posibilidades que nos ofrecen.

9. Aprovechar los cauces de información facilitados por las nuevas tecnologías, seleccionando aquello que pueda ser más útil para resolver los problemas planteados.



218

BLOQUES DE CONTENIDOS.

Los contenidos seleccionados tienen la intención de aportar una formación matemática que sea suficiente para abordar problemas de la vida real y del mundo científico y laboral, así como proporcionar una información adecuada desde el punto de vista cultural y como base para estudios posteriores.

Los contenidos se agrupan en los siguientes bloques: Análisis, Álgebra lineal y Geometría.

Estos campos no están inconexos y terminan entrelazándose, problemas geométricos como el de la tangente a una curva y el del área de una región no poligonal, se resuelven mediante herramientas como el cálculo diferencial o integral de funciones. Los números y los conjuntos bidimensionales de datos admiten una representación geométrica y en Análisis el estudio geométrico de curvas y superficies, como representantes de funciones, ha sido de gran apoyo para la comprensión de los conceptos . De igual forma el teorema de Pitágoras va unido a la raíz cuadrada y la geometría de las cónicas al álgebra de las formas cuadráticas. La traducción al lenguaje algebraico de problemas diversos y la resolución de las consiguientes expresiones mediante el cálculo algebraico, hacen que el álgebra sea herramienta imprescindible en otros campos. Del mismo modo, la expresión numérica de las soluciones de muchas situaciones problemáticas hace que los números aparezcan en todos ellos.

El término contenidos sigue teniendo en esta materia del bachillerato la acepción global y el sentido integral propio de anteriores etapas educativas y se refiere, por tanto, al triple ámbito de los conceptos, los procedimientos y las actitudes. Estos tres tipos de contenidos aparecen integrados en los núcleos temáticos que configuran esta materia.

BLOQUES CON LOS QUE SE RELACIONAN LAS UNIDADES DI DÁCTICAS.

BLOQUES UNIDADES DIDÁCTICAS

ÁLGEBRA LINEAL El núcleo propone la sistematización del estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, abstrayendo los conceptos de matriz y determinante

1, 2, 3.

GEOMETRÍA En este núcleo se propone la sistematización de las ideas básicas de la geometría analítica, posibilitando la comprensión de técnicas elaboradas que simplifican y resuelven los problemas métricos del plano y del espacio. El estudio de lugares geométricos del plano se concibe como una introducción a los métodos que permiten construir ecuaciones e identificar curvas definidas por propiedades métricas.

4, 5, 6, 7.

ANÁLISIS El concepto de derivada y las técnicas elementales de derivación permitirán profundizar el estudio local de las funciones. La resolución de problemas de optimización constituye una rica ejemplificación de la aplicabilidad de los métodos matemáticos, sobre todo si su estudio es concebido como proceso que, partiendo de enunciados formulados en contextos científico o técnicos, permite la construcción de fórmulas funcionales, el análisis global de las funciones construidas, la representación de sus gráficas y, cuando proceda, el cálculo de los valores óptimos y su interpretación.

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16.



219

DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOS MATEMATICAS II

TEMA 1. PROBLEMAS LINEALES: SISTEMAS DE ECUACIONES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Ecuaciones lineales.

– Sistemas de ecuaciones lineales.

– El método de Gauss.

– Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

– Eliminación de parámetros.

– Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

– Resolución de ecuaciones lineales diferenciando la solución general de las soluciones particulares.

– Transformación de ecuaciones en otras equivalentes.

– Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos sustitución o de reducción.

– Transformación de sistemas de ecuaciones lineales en otros equivalentes.

– Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss.

– Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

– Eliminación de parámetros de un sistema de ecuaciones lineales, compatible determinado, utilizando el método de Gauss.

– Resolución de problemas aplicando los conocimientos adquiridos sobre las ecuaciones lineales.

– Valorar la utilidad de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

– Reflexionar sobre la validez de las soluciones obtenidas.

– Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de solución a los problemas.



220

TEMA 2. MATRICES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Matriz.

– Tipos de matrices.

– Suma de matrices.

– Producto de un número real por una matriz.

– Multiplicación de matrices.

– Matriz regular.

– Ecuaciones matriciales.

– Matriz de una transformación.

– Representación y manejo de datos estructurados en forma de matriz a partir de tablas y grafos extraídos de contextos reales.

– Distinguir los tipos de matrices: matriz fila, matriz columna, cuadrada, diagonal, unidad, etc.

– Interpretación de las operaciones con matrices y de sus propiedades en problemas que reflejen situaciones reales.

– Resolución de ecuaciones matriciales.

– Obtención de la ecuación matricial y de las ecuaciones analíticas de las transformaciones:.

a) Homotecia de centro el origen.

b) Giros de centro el origen.

c) Simetría central.

– Valoración de la utilidad de las matrices como instrumento para representar conjuntos de datos estructurados, para comunicar y para resolver diferentes situaciones.

– Disposición favorable a incorporar el lenguaje de las matrices a la resolución de problemas de la ciencias y de la tecnología, valorando su precisión y su simplicidad para representar y para comunicar fenómenos diversos.

TEMA 3. DETERMINANTES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Determinantes:

– de segundo orden.

– de tercer orden.

– de orden “n”.

– Propiedades de los determinantes.

– Determinantes de orden superior.

– Matriz inversa.

– Regla de Cramer.

– Resolución de determinantes de:

– de segundo orden.

– Tercer orden.

– Orden “n”.

– Conocimiento y uso de las propiedades de los determinantes.

– Resolución de determinantes de orden superior transformándolos convenientemente en otros de igual valor para simplificar los cálculos.

– Utilización del cálculo de determinantes para obtener la matriz inversa.

– Utilización de las propiedades de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

– Valoración de la utilidad de los determinantes como instrumento para la resolución de problemas.

– Disposición favorable a la incorporación del lenguaje algebraico a la resolución de problemas.

– Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperación al trabajar con los demás.



221

TEMA 4. VECTORES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Vector fijo.

– Vectores equipolentes. Vector libre.

– Coordenadas cartesianas.

– Módulo de un vector.

– Operaciones con vectores:

a) Adición.

b) Multiplicación por un escalar.

– Combianción lineal de vectores.

– Dependencia lineal y determinantes.

– Bases de R2 y R3.

– Recordar y consolidar los conceptos estudiados en el curso de Matemáticas I

– Interpretación geométrica de las operaciones con vectores.

– Estudio de casos de dependencia e independencia lineal de vectores.

– Utilización de las propiedades de los determinantes para determinar si un sistema de vectores es linealmente dependiente o independiente.

– Cálculo de las coordenadas de un vector respecto de una base de R2 o de R3.

– Reconocimiento y valoración de la utilidad de la geometría para conocer y resolver diferentes situaciones relativas al entorno físico.

– Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.

– Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas geométricos, y en la mejora de los ya encontrados.

– Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y resolver problemas geométricos.

TEMA 5. RECTAS Y PLANOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– La recta en el espacio.

– El plano en el espacio.

– Posiciones relativas:

a) De dos rectas en el espacio.

b) De dos planos.

c) De tres planos.

d) De recta y plano.

– Haz de planos.

– Obtención de las ecuaciones de la recta en el espacio en sus diferentes formas: vectorial, paramétricas, continuas e implícitas.

– Obtención de las ecuaciones del plano en el espacio en sus diferentes formas: vectorial, paramétricas e implícita.

– Determinación de un plano en el espacio.

– Estudio de las posiciones relativas en el espacio de:

a) Dos rectas.

b) Dos planos.

c) Tres planos.

d) Recta y plano.

– Obtención de la ecuación correspondiente a un haz de planos.

– Resolución de problemas de posiciones relativas.


– Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos.

– Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas geométricos distintas de las propias.




222

TEMA 6. EL PRODUCTO ESCALAR CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– El producto escalar de dos vectores.

– Propiedades del producto escalar.

– Ángulo de dos rectas.

– Vector director de un plano.

– Ángulo de dos planos.

– Ángulo de recta y plano.

– Utilización de las fórmulas del producto escalar de dos vectores.

– Aplicación de las consecuencias más importantes del producto escalar.

– Conocimiento y uso de las propiedades del producto escalar.

– Determinar el ángulo que forman dos rectas haciendo uso de la fórmula correspondiente.

– Utilización de la condición que debe cumplir el vector director del plano para obtener ecuaciones de rectas perpendiculares a un plano o de planos perpendiculares a otros planos.

– Determinar el ángulo que forman dos planos haciendo uso de la fórmula correspondiente.

– Determinar el ángulo que forman una recta y un plano haciendo uso de la fórmula correspondiente.

– Valoración de la precisión en los datos y en los cálculos realizados con ellos.





223

TEMA 7. PROBLEMAS MÉTRICOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Distancias a un plano:

a) Distancia de un punto a un plano.

b) Distancia del origen a un plano.

c) Distancia entre dos planos paralelos.

d) Distancia de un plano a una recta paralela.

– Distancia de un punto a una recta.

– Distancia entre dos rectas que se cruzan.

– Producto vectorial de dos vectores.

– Módulo del producto vectorial.

– Perpendicular común a dos rectas

– Producto mixto de tres vectores.

– Uso de la fórmulas que permiten calcular la:

a) Distancia de un punto a un plano.

b) Distancia del origen a un plano.

c) Distancia entre dos planos paralelos.

d) Distancia de un plano a una recta paralela.

– Cálculo de la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas que se cruzan en casos concretos.

– Obtención y uso de la fórmula del producto vectorial de dos vectores.

– Utilización de las propiedades del producto vectorial

– Hacer uso de la fórmula correspondiente para hallar el módulo del producto vectorial de dos vectores.

– Interpretación geométrica del producto vectorial.

– Obtención y uso de la fórmula del producto mixto de tres vectores.

– Interpretación geométrica del producto mixto.

– Resolución de problemas geométricos en el espacio utilizando el cálculo vectorial.




– Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperación al trabajar con los demás



224

TEMA 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Límite de una función en un punto.

– Límites laterales.

– Límites en el infinito.

– Límites infinitos.

– Idea intuitiva del límite de una función en un punto.

– Interpretación geométrica del límite de una función.

– Representación gráfica de funciones y cálculo de sus límites laterales.

– Conocimiento y uso de las propiedades de los límites de funciones.

– Análisis de tendencias o comportamientos en el infinito.

– Observación e interpretación de gráficas de funciones

– Valoración de la precisión en los datos y en los cálculos realizados con ellos.

– Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos .

TEMA 9. CÁLCULO DE LÍMITES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Operaciones sobre los límites.

– Límite de un polinomio.

– Casos de indeterminación.

– Conocimiento y uso de las operaciones sobre los límites.

– Cálculo del límite de un polinomio cuando x� ±∞.

– Resolución de ejemplos de los siete casos de indeterminación.

– Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problema, y en la mejora de los ya encontrados.

– Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas distintas de las propias.

– Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperación al trabajar con los demás

TEMA 10. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Continuidad de una función. – Continuidad lateral. – Discontinuidad en un punto. – Continuidad en un intervalo. – Teoremas relativos a la

continuidad en un intervalo. – Operaciones con funciones

continuas. – Continuidad de las funciones

reales más usuales.

– Análisis de situaciones que permitan , o no, asignar comportamientos continuos a las funciones.

– Observación de posibles discontinuidades.

– Conocimiento de las discontinuidades más elementales.

– Justificación geométrica del Teorema de Bolzano.

– Conocimiento y uso de las operaciones con las funciones continuas.

– Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos.

– Consideración de la importancia de los recursos numéricos para la formulación, resolución y expresión de las soluciones de los problemas.



225

TEMA 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Derivada de una función en un punto.

– Interpretación geométrica.

– Función derivada.

– Derivadas de algunas funciones.

– Derivadas de las operaciones:

a) Derivada de la suma

b) Derivada del producto.

c) Derivada de la función cociente.

– Derivada de la función compuesta.

– Derivada de la función logarítmica.

– Derivación logarítimica.

– Derivada de la función potencial-exponencial.

– Derivada de las funciones trigonométricas.

– Utilización de las expresiones de la derivada de una función en un punto para hallar la derivada de funciones sencillas.

– Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

– Conocimiento y uso de las funciones derivada de algunas funciones elementales.

– Obtención de la:

a) Derivada de una suma.

b) Derivada de un producto.

c) Derivada de un cociente.

– Utilización de la regla de la cadena para hallar la derivada de las funciones compuestas.

– Conocimiento y uso de la derivación logarítmica para hallar de manera rápida y sencilla la derivada de algunas funciones.

– Obtención de las derivadas de las funciones trigonométrivcas.

– Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar.


TEMA 12. TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Teorema de Rolle.

– Teorema del valor medio o de los incrementos finitos.

– Teorema del valor medio generalizado o de Cauchy.

– Regla de L’Hôpital.

– Conocimiento de los teoremas:

- Rolle.

- Valor medio.

- Cauchy.

– Aplicación, cuando sea posible , de los teoremas anteriores al estudio de funciones.

– Uso de la regla de L’Hòpital para la resolución de algunos tipos de indeterminaciones.





226

TEMA 13. APLICACIONES DE LA DERIVADA: REPRESENTACIÓ N GRÁFICA DE FUNCIONES

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Crecimiento y decrecimiento de funciones

– Extremos relativos.

– Concavidad y convexidad.

– Punto de inflexión..

– Gráfica de funciones explícitas.

– Utilización de las derivadas para facilitar el estudio las propiedades de algunas funciones:

- Crecimiento / decrecimiento.

- Extremos relativos.

- Concavidad /convexidad.

- Puntos de inflexión.

– Representación gráfica de funciones realizando un estudio de los aspectos siguientes:

- Dominio

- Asíntotas.

- Puntos de corte con los ejes.

- Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.

- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

- Tabla de sistematización.


– Gusto por la presentación ordenada y clara de los resultados y de los procesos gráficos efectuados.


TEMA 14. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: OPTIMIZACIÓ N DE FUNCIONES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Optimización de una función.

– Derivación de funciones implícitas.

– Resolución de problemas de optimización mediante el cálculo de derivadas.

– Obtención de la derivada de funciones implícitas.

– Utilización de la derivación implícita para la resolución de problemas geométricos clásicos:

- Cálculo de la tangente a una circunferencia en un punto.

- Obtención de la tangente y la normal a una hipérbola en un punto.

- Estudio de la monotonía de funciones implícitas.





227

TEMA 15. CÁLCULO DE PRIMITIVAS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– Integral indefinida.

– Propiedades de la integral indefinida.

– Primitivas inmediatas.

– Integrales reducibles a inmediatas.

– Integración por sustitución.

– Integración por partes.

– Integración de algunas funciones racionales.

– Cálculo de primitivas como proceso inverso a la derivación.

– Conocimiento y uso de las propiedades de la integral indefinida.

– Aplicación de las reglas de derivación para comprobar la veracidad de la relación de primitivas inmediatas.

– Cálculo de integrales reduciéndolas , mediante transformaciones simples, a inmediatas.

– Conocimiento y uso de los métodos de integración :

- Por sustitución.

- Por partes.

– Cálculo de integrales de algunas funciones racionales.

– Tenacidad y pensamiento independiente a la hora de investigar .

– Cuestionar las apreciaciones intuitivas y necesidad de verificarlas.

– Autonomía y creatividad para investigar la resolución de problemas.

– Curiosidad por la investigación, aplicando las herramientas matemáticas adecuadas y valorando la utilización de los recursos proporcionados por el cálculo infinitesimal.

TEMA 16. LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

– La integral definida. Regla de Barrow.

– La función integral definida.

– Propiedades de la integral definida.

– Cálculo de áreas planas.

– Valor medio de una función.

– Utilización de la “Regla de Barrow” para hallar el valor de la integral definida de una función.

– Interpretación geométrica de la integral definida.

– Conocimiento y uso de las propiedades de la integral definida.

– Cálculo de áreas de figuras planas utilizando el cálculo integral.

– Tenacidad y pensamiento independiente a la hora de investigar .

– Autonomía y creatividad para investigar la resolución de problemas.

– Curiosidad por la investigación, aplicando las herramientas matemáticas adecuadas y valorando la utilización de los recursos proporcionados por el cálculo infinitesimal.



228

CCCrrr iii ttteeerrr iiiooosss dddeee eeevvvaaallluuuaaaccciiióóónnn

1. Utilizar el lenguaje vectorial y las operaciones con vectores para transcribir y resolver

situaciones y problemas derivados de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito

científico-tecnológico e interpretar las soluciones de acuerdo con los enunciados.

Se pretende evaluar la capacitación alcanzada en la utilización de vectores y operaciones con vectores

par resolver problemas e interpretar las soluciones obtenidas.

2. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento

para representar e interpretar datos, tablas, grafos, relaciones y ecuaciones, y en general para

resolver situaciones diversas.

Se pretende evaluar la capacidad de utilizar las matrices y sus operaciones, y la destreza adquirida en

su aplicación a la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales, o que requieran

representar datos con tablas o grafos.

3. Identificar, calcular e interpretar las distintas ecuaciones de la recta y el plano en el espacio para

resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos y

utilizarlas, junto con los distintos productos entre vectores dados en bases ortonormales, para

calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

Se pretende evaluar la destreza adquirida en el manejo de las distintas ecuaciones de rectas y planos

junto con los productos entre vectores para la resolución de problemas de incidencia, paralelismo y

perpendicularidad, y cálculo de áreas y volúmenes.

4. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas

apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, a las

soluciones obtenidas.

Se pretende evaluar la destreza adquirida en la formulación y resolución algebraica de problemas.

5. Utilizar el concepto y cálculo de límites y derivadas para analizar, cualitativa y cuantitativamente,

las propiedades locales (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte,

asíntotas, intervalos de crecimiento)de una función expresada de forma explícita, representarla

gráficamente y extraer la información práctica en una situación de resolución de problemas

relacionados con fenómenos naturales.

Se pretende verificar la capacidad de utilización de los conceptos y técnicas básicas del cálculo

diferencial para estudiar e interpretar fenómenos de la naturaleza y de la técnica expresables mediante

relaciones funcionales.

6. Aplicar el cálculo de límites, derivadas e integrales al estudio de fenómenos naturales y

tecnológicos, así como a la resolución de problemas de optimización y medida de áreas de

regiones limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables.



229

Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumno para interpretar y aplicar a situaciones del

mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio analítico de

funciones.

7. Utilizar técnicas analíticas para estudiar las propiedades de las funciones y para resolver

problemas de optimización.

Se pretende evaluar la capacidad para, a partir de problemas que requieran la búsqueda de valores

óptimos, construir las funciones necesarias y estudiarlas utilizando técnicas analíticas.

8. Resolver problemas que requieran codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar

estrategias y elegir las herramientas matemáticas adecuadas para la búsqueda de soluciones en

cada caso.

Se pretende evaluar la capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos generales y la capacidad de

tomar decisiones en el marco general de la resolución de problemas.



230

Matemáticas Bachillerato de Humanidades

y Ciencias Sociales

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

INTRODUCCIÓN Las Matemáticas son una herramienta sumamente eficaz para interpretar, representar, analizar, explicar y predecir determinados aspectos de la realidad en todos los ámbitos de la actividad humana. Aplicando modelos matemáticos a fenómenos sociales y económicos, es posible poner de relieve aspectos y relaciones de la realidad no directamente observables y anticipar hechos, situaciones y resultados antes de que se produzcan. Así pues, las Matemáticas tienen una incidencia relevante en la comprensión e interpretación de las Ciencias Humanas y Sociales. Este papel destacado y creciente se refleja en la finalidad de la materia de Matemáticas, la relación con otras materias y con otras enseñanzas transversales que a continuación describiremos. Finalidad de la materia

Las Matemáticas constituyen un conjunto muy amplio de conocimientos que evolucionan en interdependencia con otras esferas del saber y con la necesidad de resolver determinados problemas prácticos. En la actualidad, las Matemáticas se han convertido en un potente y apreciado instrumento de intercomunicación entre los distintos conocimientos. La enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato desempeña un triple papel: - Un papel instrumental y funcional que proporciona habilidades para comprender

y usar diferentes lenguajes matemáticos; técnicas, rutinas y algoritmos particulares; estrategias generales o heurísticas necesarias para resolver problemas



231

y desarrollar la capacidad para tomar decisiones ejecutivas y de control en el planteamiento y la resolución de problemas.

- Un papel formativo que contribuye a potenciar en los alumnos la consolidación de hábitos y estructuras mentales y también de actitudes cuya utilidad trasciende el ámbito de las propias Matemáticas. Forman a los alumnos en la resolución de problemas genuinos cuya dificultad está en encuadrarlos y en establecer una estrategia de resolución adecuada. A la vez, generan en ellos actitudes y hábitos de indagación, les facilitan técnicas útiles para enfrentarse a situaciones imprevistas y fomentan su creatividad. Por otra parte, el aprendizaje de las Matemáticas no se limita al adiestramiento en la resolución de problemas, sino que se completa con la formación en aspectos como la búsqueda de la belleza y la armonía, una visión amplia y científica de la realidad, el desarrollo de la creatividad y de otras capacidades personales y sociales.

- Un papel teórico, que en el caso de las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I, se concreta en conocer y usar correctamente lo que es de más inmediata utilidad en el lenguaje matemático y obviar todo contenido y forma tecnicista. Por el contrario, en las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, contribuye a la adquisición de conocimientos e instrumentos más técnicos y a la fundamentación teórica de éstos.

Relación con las demás materias Las Matemáticas son una de las materias instrumentales básicas del currículo de Bachillerato. El uso de operaciones, con distintos tipos de números para resolver ecuaciones con soluciones en diferentes campos numéricos, es una herramienta imprescindible en el desarrollo de las materias no científicas y contribuye a la estructuración del pensamiento lógico-formal, con lo que facilita el aprendizaje de dichas materias. En las materias de Economía y Economía y Organización de Empresas proporciona los instrumentos y las técnicas que permiten la recogida, la expresión y el análisis de los fenómenos socioeconómicos que en ellas se estudian. La organización y la codificación de informaciones, la selección de estrategias, la comparación y la valoración de éstas, así como la interpretación de informaciones y la elaboración de informes sobre situaciones reales que se presentan en forma de gráficas, tablas… son trabajos comunes de las Matemáticas con las materias de Geografía, Historia del Mundo Contemporáneo, Economía y Organización de Empresas y Economía. Las enseñanzas transversales en la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales El sistema educativo promueve el desarrollo integral de los alumnos. Este carácter integral del currículum implica que hace falta incorporar en las diversas materias elementos educativos básicos contenidos en las enseñanzas transversales. Estas enseñanzas están presentes en la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales por medio de los contextos de los problemas y ejercicios y de las situaciones en las cuales se aplican las Matemáticas.



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A continuación, y de manera muy breve, especificaremos cómo se han incorporado algunas de estas enseñanzas transversales en la materia de Matemáticas aplicadas a las CCSS. Educación del consumidor - Utilizar con autonomía el lenguaje matemático para expresar situaciones de la vida

cotidiana (juegos de azar, quinielas, loterías…), fenómenos, y procesos sociales y humanos.

- Aplicar la notación científica para agilizar los cálculos que permiten resolver problemas susceptibles de ser tratados matemáticamente.

- Interpretar y analizar las informaciones que provienen de distintas fuentes (política, economía, sociedad, sanidad, consumo…), empleando herramientas matemáticas (notación científica, gráficas, parámetros estadísticos…).

- Valorar críticamente las informaciones que provienen de distintas fuentes (medios de comunicación, gráficas y datos estadísticos, fenómenos sociales y económicos…) para elaborar juicios, formarse una opinión propia y así poder expresarse sobre problemas actuales.

- Emplear la notación científica para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas en distintas situaciones de la vida cotidiana.

- Conocer y valorar la utilidad de interpretar el error absoluto y el error relativo en la realización de medidas.

Educación ambiental

- Adquirir una conciencia global del medio ambiente y sensibilizarse respecto a los problemas que lo afectan a partir del manejo de datos estadísticos y la interpretación de éstos.

- Utilizar los conocimientos sobre interpretación de gráficas de funciones y su estudio para interpretar informaciones que vienen expresadas gráficamente.

- Manejar el lenguaje matemático (simbología, gráficas, parámetros…) con el fin de expresar la evolución de distintos indicadores que nos informan sobre el estado del medio ambiente (contaminación, meteorología, recursos energéticos, cambios en la naturaleza, evolución de epidemias…).

Educación para la paz

- Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar las situaciones que requieren su empleo.

- Conocer y valorar las estrategias de resolución de problemas para afrontar problemas de la vida cotidiana susceptibles de ser resueltos matemáticamente.

- Reconocer y valorar el trabajo en equipo como la manera más eficaz para resolver determinados problemas de la vida cotidiana (toma de datos, estudios estadísticos…).

- Apreciar el desarrollo y la evolución de los conocimientos matemáticos como un proceso en continuo cambio.



233

- Interpretar el conocimiento matemático como una herramienta de trabajo al servicio de otras materias.

- Mostrar una actitud flexible y abierta ante las opiniones de los demás en el momento de resolver un problema.

- Manifestar actitudes propias de la actividad matemática (visión crítica y actitud abierta a nuevas ideas) en la resolución de problemas.

- Contrastar las propias estrategias matemáticas para la resolución de problemas, de forma que les permita enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía y creatividad.

METODOLOGÍA

Enfoque metodológico Los contenidos de la materia de Matemáticas se caracterizan por utilizar un lenguaje universal por su estructura y su uso. Así, la adquisición de estos conocimientos se convierte en un eficaz instrumento de intercomunicación entre los distintos ámbitos del saber. El enfoque que se da a las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales no se reduce tan sólo a la adquisición de conocimientos matemáticos, sino a que el alumno/a domine las destrezas y las expresiones matemáticas del saber hacer Matemáticas. De este modo, además de los contenidos conceptuales están presentes en la actividad matemática los procedimientos que se refieren a:

a) Habilidades en la comprensión y en el uso de diferentes lenguajes matemáticos. b) Técnicas, rutinas y algoritmos particulares que tengan un propósito concreto. c) Estrategias generales necesarias en la resolución de problemas. d) Decisiones ejecutivas y de control utilizadas al hacer un plan y llevarlo a cabo

para plantear y resolver un problema, así como tomar decisiones sobre los conceptos, los algoritmos o las estrategias que se van a emplear.

La Resolución de problemas, relacionados con los contenidos estudiados, pretende desarrollar hábitos y actitudes propios del modo de hacer matemático, a la vez que permite formular preguntas, seleccionar estrategias y tomar las decisiones ejecutivas pertinentes. Estos contenidos se han enfocado con un marcado carácter transversal a lo largo de la etapa.



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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I OBJETIVOS 1. Emplear las herramientas propias de la aritmética y el álgebra básica en la

manipulación de magnitudes numéricas y en la resolución de ecuaciones y sistemas. 2. Aproximarse al concepto de función como modelo matemático de un fenómeno que

relaciona diversas magnitudes e interpretar situaciones cotidianas expresadas mediante relaciones funcionales.

3. Aplicar las técnicas de la estadística bidimensional en el estudio de datos procedentes del ámbito de las ciencias sociales y humanas.

4. Utilizar las leyes de la probabilidad en la asignación de grados de certeza a situaciones sencillas.

5. Elegir las estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación y aplicarlas correctamente, valorando los resultados.

6. Adquirir destreza en la comprensión de fenómenos nuevos susceptibles de un tratamiento aritmético, algebraico, funcional, estadístico o probabilístico.

7. Desarrollar un criterio personal acerca de situaciones propias de las ciencias sociales y humanas, basándose en la aplicación de técnicas matemáticas.

8. Comprender la importancia de la diversidad de ideas y opiniones como fuente de mejora y enriquecimiento propios.

9. Actuar de acuerdo con los modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje y la flexibilidad para modificar el punto de vista.

10. Emplear las reglas del pensamiento lógico en la formulación y la comprobación de conjeturas, en la realización de inferencias y deducciones, así como en la organización y la relación de informaciones diversas.

11. Aplicar las técnicas de formalización matemática para elaborar una estrategia de actuación ante situaciones problemáticas.

12. Aplicar el método deductivo para articular lógicamente razonamientos que justifiquen la validez de intuiciones e hipótesis informales.

13. Reconocer la utilidad y el valor del vocabulario matemático para expresar de forma concisa la realidad.

14. Incorporar al propio lenguaje los modos de expresión matemática con el objetivo de comunicarse de manera rigurosa y precisa.

15. Simbolizar, según los formalismos matemáticos habituales, conceptos, relaciones y procesos.

16. Emplear los elementos propios del lenguaje gráfico para transmitir información. 17. Valorar las Matemáticas como herramienta útil en la construcción y el desarrollo del

conocimiento humano en los diversos campos sociales, culturales y económicos. 18. Apreciar el desarrollo de las Matemáticas como un proceso evolutivo que se imbrica

en el devenir histórico de la humanidad. 19. Habituarse a trabajar mediante calculadora científica para la expresión de números

mediante notación científica y cálculos aritméticos como potencias o radicales. 20. Conocer la expresión compleja e incompleja de un ángulo, los tipos de unidades de

los ángulos y el cálculo de las razones trigonométricas mediante el empleo de una calculadora científica.

21. Emplear los medios tecnológicos adecuados, calculadora y ordenador, para la recogida de datos y la obtención de los parámetros estadísticos que permitan su posterior interpretación y análisis.



235

22. Desarrollar hábitos de búsqueda y análisis de la información a partir de diferentes fuentes (diarios, revistas, publicaciones especializadas…).

23. Conocer y desarrollar la búsqueda y el análisis de la información a partir de fuentes de las nuevas tecnologías (Internet e información digital).

24. Interpretar en su contexto informaciones estadísticas, probabilísticas o de tipo funcional expresadas en forma numérica o gráfica.

25. Utilizar herramientas aritméticas y algebraicas básicas para contrastar la coherencia numérica de la información analizada.

CONTENIDOS Bloque I: Aritmética y álgebra Conceptos Números reales. Introducción a los números irracionales obtenidos mediante radicales.

Números irracionales de especial interés: π, e y φ

El conjunto de los números reales. Definición de número real. Propiedades de los números reales. Operaciones con números reales. Números irracionales. Medidas irracionales.

Los números π, e y φ.

Estimaciones y aproximaciones de números racionales e irracionales Métodos de aproximación decimal de los números reales. Redondeo. Truncamiento. Errores. Error absoluto. Error relativo. Cotas de error. Notación científica Notación científica. Operaciones con cantidades expresadas en notación científica. Polinomios y fracciones equivalentes Monomios. Polinomios. Operaciones elementales. Regla de Ruffini. Descomposición factorial. Fracciones algebraicas.



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Ecuaciones Terminología asociada a las ecuaciones y los sistemas: miembros, términos, incógnitas, solución… Ecuaciones equivalentes. Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Inecuaciones Inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Progresiones y matemática comercial Término inicial, razón y término general de una progresión geométrica. Suma y multiplicación de los n términos de una progresión geométrica. Suma infinita de los términos de una progresión geométrica. Interpolación de términos geométricos. Capital inicial y capital final. Tipo de interés. Interés. Proceso de capitalización. Anualidades de capitalización: cuentas de ahorro y planes de pensión. Proceso de amortización. Anualidades de amortización: hipotecas.

Procedimientos Resolución por métodos algebraicos y gráficos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y ecuaciones de segundo grado. Resolución de problemas de enunciado verbal utilizando técnicas algebraicas Resolución gráfica y algebraica de ecuaciones de segundo grado. Resolución gráfica de ecuaciones de segundo grado. Resolución algebraica de ecuaciones de segundo grado. Resolución gráfica y algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución de problemas de enunciado verbal utilizando técnicas algebraicas. Traducción de problemas de enunciado verbal a una representación simbólica. Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado. Resolución de problemas mediante sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Utilización de los números reales en diferentes contextos, eligiendo la notación más adecuada a cada caso



237

Identificación de números racionales e irracionales. Realización de operaciones con números reales expresados en forma de radical. Utilización de los números racionales e irracionales mediante estimaciones y aproximaciones, controlando los márgenes de error acordes con las situaciones estudiadas Estimación de cantidades expresadas con números reales. Determinación del error absoluto y del error relativo ocasionados al tomar aproximaciones de números reales. Determinación del error propagado al operar con aproximaciones de números reales. Utilización de la notación científica para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas. Expresión de un número real en notación científica. Realización de operaciones con números expresados en notación científica. Utilización de la calculadora para efectuar operaciones con números expresados en notación científica. Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas Representación gráfica e interpretación de una inecuación lineal con una incógnita. Representación gráfica e interpretación de una inecuación lineal con dos incógnitas. Aplicación de la representación gráfica e interpretación de una inecuación lineal con dos incógnitas en sistemas lineales con una incógnita e inecuaciones de segundo grado. Cálculo con progresiones geométricas Cálculo del término general y la suma de n términos de una progresión geométrica. Cálculo del número de términos y de la razón. Cálculo de los diferentes elementos en procesos de interés compuesto Cálculo del capital final, capital inicial, tipo de interés y tiempo de un proceso de interés compuesto. Cálculo de la anualidad de capitalización, capital final, tipo de interés y tiempo de un proceso de capitalización. Cálculo de la anualidad de amortización, capital final, tipo de interés y tiempo de un proceso de amortización. Interpretación de diversos tipos de operaciones y ofertas financieras del mercado, sometidas a procesos de interés compuesto Interpretación de las condiciones ofertadas por las entidades financieras en depósitos bancarios. Interpretación de las condiciones ofertadas por las entidades financieras en créditos y préstamos.



238

Actitudes

Disposición favorable a incorporar el lenguaje algebraico a la resolución de los

problemas de las ciencias sociales y humanas, valorando su precisión y su simplicidad

para representar y comunicar fenómenos diversos

Interés por conocer el lenguaje algebraico.

Valoración positiva de la utilidad, la precisión y la simplicidad del lenguaje algebraico.

Uso habitual del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en el ámbito

de las ciencias humanas y sociales.

Valoración de la importancia de los diferentes tipos de números y de su utilidad para resolver diferentes problemas Interés por conocer los diferentes tipos de números, la necesidad de su introducción y su aplicación para resolver problemas surgidos de diferentes contextos. Análisis del tipo de números más adecuado para resolver una situación determinada. Utilización del tipo de números más adecuado para la resolución de un problema. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara de las operaciones con números o expresiones algebraicos Comprensión de la necesidad del orden y la precisión en las operaciones con números o expresiones algebraicos. Hábito de presentar los cálculos numéricos o algebraicos de forma clara y ordenada. Reconocimiento y valoración crítica del uso de la calculadora y el ordenador para la resolución de problemas numéricos o algebraicos Interés por conocer las posibilidades que ofrece la utilización de la calculadora y el ordenador para la realización de cálculos numéricos y algebraicos. Valoración crítica de la utilidad de la calculadora y del ordenador para la realización de cálculos numéricos o algebraicos en una situación determinada.

Bloque II: Funciones Conceptos Funciones en forma de tablas y gráficas Conceptos generales de dependencia funcional. Formas de expresar una función. Tabla de valores. Gráfica. Operaciones con funciones Dominio, crecimiento y decrecimiento, valores extremos, y tendencia de funciones y



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gráficas. Idea gráfica de continuidad Dominio y recorrido. Extremos absolutos y relativos. Crecimiento y decrecimiento. Tendencias. Continuidad Derivadas Tasa de variación media de una función. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Crecimiento de una función derivable. Interpolación lineal Interpolación lineal. Expresión analítica y gráfica de algunas funciones (polinómicas, exponencial y logarítmica, periódicas y racionales del tipo f(x)= k/x) Funciones algebraicas. Expresiones algebraicas. Funciones polinómicas. Funciones racionales. Funciones exponenciales y logarítmicas. Funciones exponenciales. Funciones logarítmicas. Funciones periódicas. Características.

Procedimientos Análisis del dominio, el crecimiento y el decrecimiento, los valores extremos, la tendencia y la continuidad de una función Identificación de los elementos que definen una función desde una óptica global: dominio y recorrido. Estudio del crecimiento y el decrecimiento, los valores extremos, la tendencia y la continuidad de una función a partir de su gráfica. Utilización de herramientas informáticas para la representación y el estudio de funciones. Cálculo de la derivada de una función en un punto. Cálculo de la fórmula de la función derivada de una función Cálculo de la derivada de una función en un punto mediante el cálculo del límite correspondiente. Cálculo de la derivada de una función en un punto mediante la obtención previa de la función derivada. Estudio del comportamiento de la derivada respecto de las operaciones. Estudio del crecimiento de una función derivable.



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Obtención de valores no conocidos de funciones en forma de tabla mediante interpolación lineal Obtención de la recta interpolante. Cálculo de valores desconocidos mediante la recta interpolante. Identificación de la expresión analítica y de la gráfica de algunas familias de funciones a partir de sus propiedades. Utilización de éstas para la descripción de fenómenos sociales y de la naturaleza Reconocimiento de las gráficas de las funciones elementales y sus expresiones analíticas. Interpretación de las propiedades de las funciones en relación a los fenómenos que modelizan. Elaboración de tablas y construcción de gráficas a partir de la descripción de una situación real o de su expresión algebraica. Actitudes Reconocimiento y valoración de la importancia del lenguaje de las funciones y de las gráficas para representar e interpretar distintas situaciones reales, y resolver problemas relacionados con las ciencias sociales y humanas 1. Interés por el lenguaje de las funciones y de las gráficas. 2. Valoración de las ventajas y los inconvenientes que plantea la utilización de este

lenguaje. 3. Disposición favorable a utilizar apropiadamente este lenguaje para representar e

interpretar situaciones reales, y resolver problemas relacionados con las ciencias sociales y humanas.

Valoración crítica de las informaciones gráficas que representen una situación de dependencia funcional 1. Curiosidad por interpretar las informaciones que utilicen el lenguaje de las

gráficas. 2. Actitud receptiva ante las informaciones gráficas que representen una situación de

dependencia funcional. 3. Adopción de una actitud crítica ante las informaciones expresadas en forma

gráfica. Valoración crítica de la utilidad de las nuevas tecnologías para el tratamiento, la representación y el estudio de las gráficas de funciones 1. Interés por conocer las posibilidades que ofrece la utilización de los nuevos

medios tecnológicos en el tratamiento, la representación y el estudio de funciones. 2. Valoración crítica de la incidencia y la utilización de los nuevos medios

tecnológicos en el tratamiento de las gráficas de funciones. 3. Utilización, siempre que sea posible, de los nuevos medios tecnológicos

(calculadora y/o ordenador) para el tratamiento y el estudio de relaciones funcionales.

Curiosidad por la investigación de relaciones entre magnitudes, aplicando las herramientas matemáticas adecuadas. 1. Reconocimiento de las relaciones entre magnitudes presentes en situaciones

cotidianas y de la utilidad de diversas herramientas matemáticas para su estudio.



241

2. Valoración de la importancia que tiene el estudio de las relaciones entre magnitudes para resolver diferentes situaciones cotidianas.

3. Hábito de investigar las relaciones entre magnitudes, aplicando las herramientas matemáticas adecuadas.

Bloque III: Estadística y probabilidad Conceptos Estadística unidimensional 1. Conceptos básicos: población, individuo, variable estadística, muestra. 2. Tablas estadísticas y gráficos. 3. Parámetros estadísticos Distribuciones bidimensionales. Nube de puntos. Grado de relación entre dos variables. Correlación y regresión lineal 1. Distribución bidimensional. 2. Tablas y gráficos. 2.1. Tablas de datos. 2.2. Nube de puntos.

3. Dependencia funcional y estadística. Correlación. 4. Covarianza y coeficiente de correlación lineal. 5. Recta de regresión. Distribuciones de probabilidad binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades a sucesos. 1. Variable aleatoria. 2. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. 3. Distribución binomial. Tablas. 4. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. 5. Distribución normal. 5.1. Distribución normal tipificada. Tablas. 5.2. La distribución normal como aproximación continua de la distribución

binomial. 5.3. Tests de normalidad.

Procedimientos Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervenga una variable a partir de tablas estadísticas y gráficos 1. Construcción de tablas para variables cualitativas y cuantitativas discretas. 2. Construcción de tablas para variables cuantitativas continuas. 3. Expresión de las tablas estadísticas mediante gráficos. 4. Interpretación de los datos recogidos mediante parámetros estadísticos. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervengan dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos. Estudio del grado de relación entre dos variables 1. Representación de nubes de puntos.



242

2. Estimación del grado, el tipo y el sentido de la relación entre dos variables a partir de la observación de una nube de puntos.

3. Cálculo del coeficiente de regresión y la recta de regresión. 4. Utilización de la recta de regresión para realizar predicciones. Utilización de las distribuciones binomial y normal para asignar probabilidades 1. Identificación de variables aleatorias que sigan una distribución binomial o normal. 2. Manejo de las tablas de la distribución binomial. 3. Manejo de las tablas de la distribución normal tipificada. Aproximación de una distribución binomial mediante la normal. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial o normal. 1. Ajuste de datos a una distribución binomial. 2. Ajuste de datos a una distribución normal. Aplicación de tests de normalidad. 3. Aproximación de una distribución normal por una binomial. 3.1. Determinación de las condiciones de validez de la aproximación. 3.2. Asignación de probabilidades teniendo en cuenta la corrección de Yates.

Actitudes 1. Interés por la aplicación de la estadística en el estudio de los fenómenos sociales. 2. Apreciación de la utilidad de la estadística en la descripción, el análisis y la

interpretación de diferentes fenómenos sociales. 3. Hábito de utilizar métodos estadísticos en el estudio de los fenómenos sociales. 4. Toma de conciencia de la utilidad de los métodos probabilísticos en la toma de

decisiones sobre fenómenos aleatorios. 5. Confianza en los resultados obtenidos, utilizando métodos probabilísticos como

base para la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios. 6. Hábito de utilizar métodos probabilísticos para tomar decisiones en situaciones con

varias alternativas no discernibles a priori. 7. Interés por reconocer e identificar el uso de la estadística y la probabilidad en los

medios de comunicación. 8. Aprecio por la información transmitida con soporte estadístico y probabilístico. 9. Actitud crítica ante la información presentada en los medios de comunicación,

analizando la información presentada y rechazando la incorrecta. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Organizar información utilizando matrices.

• Efectuar operaciones básicas con matrices en la resolución de problemas reales relacionados con el tratamiento de datos.

• Interpretar el resultado de los cálculos realizados con matrices de acuerdo con la situación estudiada.

• Traducir problemas enunciados en lenguaje usual a su representación simbólica, utilizando con corrección y soltura el lenguaje algebraico.

• Seleccionar las herramientas algebraicas adecuadas y aplicarlas correctamente en la resolución de problemas (matrices, sistemas de ecuaciones lineales, programación lineal bidimensional…).



243

• Interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas de acuerdo con la situación estudiada.

• Calcular límites y derivadas de funciones sencillas.

• Aplicar el estudio de límites y derivadas al estudio de funciones relacionadas con situaciones propias de las ciencias sociales y humanas.

• Extraer conclusiones sobre situaciones reales, susceptibles de ser modeladas funcionalmente (curvas de oferta y demanda, curvas de coste y beneficio…), a partir de un estudio analítico de sus propiedades locales.

• Expresar algebraicamente las relaciones y las restricciones propias de un problema de optimización.

• Resolver problemas de optimización, extraídos de situaciones reales de carácter económico y social, utilizando el cálculo de derivadas, e interpretar los resultados.

• Utilizar diferentes técnicas (conteo directo, diagramas de árbol o recursos combinatorios sencillos) para asignar probabilidades a sucesos.

• Calcular probabilidades condicionadas, totales y a posteriori (teorema de Bayes).

• Tomar decisiones ante situaciones que exijan un estudio probabilístico de varias alternativas no discernibles a priori, enmarcadas en un contexto de juego o investigación.

• Planificar un estudio estadístico: elaboración de la encuesta, selección de la muestra, recogida de datos y análisis de la información.

• Aplicar los conceptos básicos de estadística inferencial para obtener información sobre una población y valorar la validez de las conclusiones extraídas.

• Demostrar una actitud crítica ante las informaciones que, revestidas de un formalismo estadístico, intentan deformar la realidad.

• Localizar errores o manipulaciones en la presentación de datos en tablas o gráficas, así como en los parámetros obtenidos a partir de ellas.

• Modelizar matemáticamente diversas situaciones de la vida real.

• Utilizar la reflexión lógico-deductiva y los modos de argumentación propios de las Matemáticas para realizar investigaciones y enfrentarse a situaciones nuevas.

• Seleccionar estrategias y planificar el trabajo en situaciones de resolución de problemas.

• Aplicar las destrezas y los recursos técnicos matemáticos adecuados a cada situación.



244

Unidad 1 Números Reales

OBJETIVOS

• Utilizar los números enteros, racionales e irracionales para cuantificar situaciones de la vida cotidiana.

• Aplicar adecuadamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en las operaciones combinadas de números reales.

• Ordenar y representar los números reales sobre la recta real.

• Conocer y utilizar las distintas clases de intervalos.

• Operar utilizando la notación científica y las aproximaciones.


• Operar con radicales. Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Manejar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Aplicar las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Números racionales, irracionales y reales.

• Ordenación en el conjunto đ. Valor absoluto.

• Notación científica.

• Aproximaciones. Errores absoluto y relativo.

• Potencias de base real y exponente entero.

• Radicales. Radicales equivalentes. Racionalización.

• Logaritmo de un número. Propiedades.

• Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.


• Comparación de números racionales utilizando la representación de una fracción.

• Reconocimiento y creación de números irracionales.

• Utilización de las propiedades del orden en el conjunto đ en distintos contextos.

• Expresión y representación de un conjunto numérico en forma de intervalo.

• Aplicación del valor absoluto y la distancia entre números reales en la resolución de problemas.

• Utilización de números expresados en notación científica.

• Realización de cálculos con números usando las aproximaciones, y dando cuenta del error cometido.


• Realización de operaciones con radicales. Racionalización de expresiones.



245

• Aplicación de las propiedades de los logaritmos en distintos contextos.

• Reconocimiento y resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

ACTITUDES

• Respeto por las soluciones de problemas numéricos distintas de las propias.



• Operar con números enteros, racionales y reales, aplicando la jerarquía de las operaciones.

• Reconocer el conjunto numérico mínimo al que pertenece un número dado.

• Resolver situaciones de la vida cotidiana, utilizando las operaciones de números decimales, fraccionarios y reales.

• Expresar resultados usando la representación de números reales y los distintos tipos de intervalos.

• Manejar con soltura la notación científica.




• Utilizar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Emplear las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.



246

UNIDAD 2 Aritmética mercantil

OBJETIVOS

• Resolver problemas con porcentajes.

• Distinguir entre interés simple y compuesto y aplicarlo a situaciones reales.

• Determinar las fórmulas necesarias para aplicar a situaciones de anualidades de amortización y de capitalización.

• Interpretar noticias en las que intervengan conceptos actuales como la TAE, el IPC y la EPA.

• Asimilar los conceptos que intervienen en la matemática financiera, necesarios para desenvolverse en situaciones cotidianas que los precisen.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Porcentajes: aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes encadenados.

• Interés simple y compuesto.

• Anualidades de amortización y capitalización: tablas de amortización, amortizaciones inversas.

• Tasa anual equivalente (TAE).

• Números índices. Índice de Precios de Consumo (IPC). Poder adquisitivo.

• Encuesta de Población Activa (EPA).


• Cálculo con porcentajes en situaciones reales.

• Resolución de problemas reales que impliquen los conceptos de interés simple y compuesto, y donde haya que calcular capitales, réditos o tiempos.

• Obtención de anualidades de capitalización y amortización.

• Elaboración de tablas de amortización.

• Cálculo de amortizaciones inversas.

• Cálculo de la tasa anual de equivalencia (TAE) en distintos contextos reales.

• Elaboración de tablas utilizando los números índice.

• Conocimiento del concepto de IPC, sus características y forma de determinación y resolución de problemas reales de cálculo de variaciones en distintos períodos de tiempo.

• Resolución de problemas que impliquen el concepto de poder adquisitivo, determinando su variación en distintos contextos.

• Conocimiento de las características de la EPA y cálculo de sus conceptos asociados.



247

ACTITUDES

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas del mundo financiero en situaciones cotidianas.

• Interés por conocer e interpretar conceptos tan repetidos en los medios de comunicación como el IPC y la EPA.

• Valoración de los indicativos sociales y económicos como muestra del nivel de desarrollo de un país.


• Resolver problemas de porcentajes utilizando los conceptos de aumentos y disminuciones porcentuales y porcentajes encadenados.

• Calcular intereses en problemas de interés simple y compuesto.

• Determinar cuotas para espacios de tiempo determinados en problemas de amortización y capitalización.

• Elaborar tablas de amortización con cuotas para espacios de tiempo determinados.

• Calcular la TAE de depósitos y préstamos financieros.

• Determinar la pérdida o aumento del poder adquisitivo en relación con el IPC anual.

• Interpretar la Encuesta de Población Activa y determinar características asociadas a ella.



248

UNIDAD 3 Polinomios y fracciones algebraicas

OBJETIVOS

• Realizar operaciones con polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio por el binomio x − a.

• Utilizar el teorema del resto en distintos contextos: hallar el valor numérico de un polinomio y encontrar sus raíces enteras.

• Calcular potencias de polinomios. Potencia de un binomio.

• Comprender el concepto de raíz de un polinomio.



• Manejar las fracciones algebraicas y sus operaciones.

CONTENIDOS

CONCEPTOS




• Raíces de un polinomio.


• Fracciones algebraicas.

• Operaciones con fracciones algebraicas.


• Realización de operaciones con polinomios.

• Aplicación de la regla de Ruffini para dividir un polinomio por el binomio x − a.






• Realización de operaciones con fracciones algebraicas.

ACTITUDES

• Valoración del lenguaje algebraico como un método eficaz para resolver numerosos problemas de la vida cotidiana.

• Perseverancia y flexibilidad a la hora de enfrentarse a problemas, valorando las opiniones aportadas por los demás.



249


• Realizar operaciones con polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio por el binomio x − a.


• Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor numérico y las raíces de un polinomio.

• Utilizar el teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por el binomio x−a.


• Realizar operaciones con fracciones algebraicas.



250

UNIDAD 4 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

OBJETIVOS

• Interpretar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado.

• Resolver ecuaciones bicuadradas, con radicales y con fracciones algebraicas.

• Conocer y aplicar los métodos algebraicos y gráficos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Conocer y manejar el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Plantear y resolver sistemas de ecuaciones no lineales, utilizando técnicas algebraicas y gráficas.

• Resolver inecuaciones con una y dos incógnitas.

• Resolver sistemas de inecuaciones aplicando técnicas algebraicas y gráficas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Ecuaciones de segundo grado, bicuadradas, con radicales y fracciones algebraicas.

• Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

• Método de Gauss.

• Desigualdades. Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones lineales.


• Utilización de las relaciones entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces para resolver distintos problemas.

• Planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones, aplicándolos para resolver problemas de la vida cotidiana.

• Utilización del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Utilización de diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

• Resolución de inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas y de sistemas con inecuaciones lineales.

ACTITUDES

• Actitud de sentido crítico ante las soluciones intuitivas.


• Interés por la predicción y el descubrimiento de datos desconocidos.



251


• Utilizar la fórmula general, el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver ecuaciones de segundo grado.

• Transformar situaciones reales en ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver, analítica y gráficamente, sistemas lineales de ecuaciones, y determinar su compatibilidad incompatibilidad.

• Resolver problemas reales utilizando sistemas no lineales de ecuaciones, y determinar la compatibilidad incompatibilidad de dichos sistemas.

• Hallar el conjunto solución de una inecuación con una incógnita, y representarlo sobre la recta numérica.

• Resolver inecuaciones con dos incógnitas y sistemas con inecuaciones, y representar el conjunto solución de forma gráfica.



252

UNIDAD 5 Funciones

OBJETIVOS




• Analizar la concavidad y la convexidad de una función.



• Obtener funciones a partir de la transformación de otras.

• Manejar operaciones con funciones.


• Calcular la función inversa de una función dada.

CONTENIDOS

CONCEPTOS


• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Concavidad y convexidad.



• Función inversa de una función.




• Análisis del crecimiento de una función y obtención de sus máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Estudio de la concavidad de una función.

• Determinación de las simetrías de una función respecto del eje de ordenadas y respecto del origen (funciones pares e impares).


• Obtención de funciones a partir de la transformación de otras.

• Determinación de la composición de funciones.

• Cálculo de la función inversa de una función.



253

ACTITUDES

• Interés y cuidado al representar funciones.






• Estudiar la concavidad y la convexidad de una función.

• Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen, y reconocer si una función es par o impar.

• Determinar si una función es periódica.

• Transformar funciones para obtener otras funciones a partir de ellas.


• Calcular la inversa de una función.



254

UNIDAD 6 Funciones elementales

OBJETIVOS

• Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de segundo grado, parábolas.


• Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola, a partir del estudio de sus características.

• Interpolar y extrapolar valores de una función polinómica desconocida a partir de datos conocidos.

• Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, a partir de su expresión algebraica.

• Reconocer y representar hipérbolas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa.

• Identificar y representar funciones con radicales.

• Interpretar y representar las funciones exponenciales y logarítmicas.


• Conocer las principales características de las funciones trigonométricas y representarlas gráficamente.

• Representar funciones definidas a trozos: valor absoluto y parte entera.

CONTENIDOS

CONCEPTOS



• Interpolación y extrapolación.



• Funciones con radicales.

• Funciones exponenciales.

• Funciones logarítmicas.

• Funciones trigonométricas.

• Funciones definidas a trozos: valor absoluto y parte entera.


• Representación gráfica de funciones polinómicas de primer y de segundo grado.

• Utilización de las técnicas de interpolación y extrapolación para obtener, de forma aproximada, los valores que toma una función polinómica desconocida a partir de datos conocidos.

• Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa.

• Representación gráfica y estudio de las características de la función radical.




255

• Interpretación y representación de la función logarítmica.

• Características de las funciones trigonométricas.

ACTITUDES

• Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.



• Representar gráficamente funciones polinómicas de primer y de segundo grado

• Calcular, de forma aproximada, los valores que toma una función polinómica desconocida a partir de datos conocidos utilizando la interpolación y la extrapolación.


• Representar funciones radicales.

• Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.

• Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.

• Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas.

• Determinar funciones trigonométricas.

• Representar gráficamente funciones definidas a trozos.



256

UNIDAD 7 Límite de una función

OBJETIVOS

• Reconocer sucesiones de números reales, obtener distintos términos a partir de su regla de formación y determinar el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión de números reales.

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y hallar sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos y en el infinito de una función.

• Calcular los límites de las operaciones con funciones.

• Resolver las indeterminaciones del tipo y y ∞ - ∞ en el cálculo de límites.

• Estudiar la existencia de asíntotas en una función.

• Determinar la continuidad de una función en un punto y estudiar sus discontinuidades, distinguiendo de qué tipo son.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Sucesiones de números reales.

• Límite de una sucesión.

• Operaciones con límites.

• Límite de una función. Límites laterales. Indeterminaciones.

• Ramas infinitas y asíntotas.

• Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad.


• Obtención de distintos términos de una sucesión y de su término general.

• Cálculo del límite de una sucesión.

• Obtención, si existe, del límite de una función en un punto y de sus límites laterales.

• Determinación de los límites infinitos de una función.

• Utilización de las propiedades de los límites para el cálculo de límites de operaciones con funciones.

• Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites.

• Estudio de funciones en el infinito (ramas infinitas).

• Cálculo de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en una función.

• Determinación de la continuidad de una función en un punto, y estudio de sus discontinuidades.



257

ACTITUDES


• Interés por la reflexión al realizar cálculos con límites.


• Hallar distintos términos de una sucesión a partir de su regla de formación, y obtener el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión.

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos de una función.

• Utilizar las propiedades de los límites para su cálculo.

• Resolver diferentes tipos de indeterminaciones.

• Determinar las asíntotas y las ramas infinitas de una función.

• Hallar la continuidad de una función en un punto y estudiar de qué tipo son sus discontinuidades.



258

UNIDAD 8 Derivada de una función

OBJETIVOS

• Utilizar la tasa de variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana.

• Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto.

• Calcular derivadas usando las reglas de derivación.

• Obtener derivadas de operaciones con funciones.

• Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta.

• Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera.

• Calcular derivadas sucesivas.

• Resolver problemas de optimización.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Tasa de variación media de una función.

• Derivada en un punto. Interpretación geométrica.

• Rectas tangente y normal a una función.

• Función derivada.

• Derivadas de las funciones elementales.

• Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.

• Derivadas sucesivas.

• Aplicaciones de las derivadas.


• Cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

• Obtención de la derivada de una función en un punto, y determinación de la función derivada asociada a esa función.

• Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Obtención de la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Determinación de la función derivada de las funciones elementales.

• Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Utilización de la relación entre la derivada y el crecimiento de una función para resolver problemas.

• Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.



259

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de las derivadas en la vida cotidiana.

• Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.


• Hallar la tasa de variación media de una función en un intervalo.

• Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función derivada asociada a esa función.

• Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Obtener la función derivada de una función elemental.

• Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Utilizar la relación entre derivada y crecimiento para resolver problemas.

• Calcular derivadas sucesivas de una función.

• Resolver problemas de optimización en los cuales aparece el concepto de derivada de una función.



260

UNIDAD 9 Estadística unidimensional

OBJETIVOS

• Comprender y manejar correctamente los conceptos estadísticos necesarios para sentar las bases de posteriores desarrollos.

• Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos a partir de situaciones reales.

• Utilizar las propiedades de las medidas de centralización para analizar y resolver problemas.

• Encontrar valores representativos de un conjunto de datos utilizando medidas de posición y de dispersión.

• Interpretar conjuntamente las medidas estadísticas de un conjunto de datos.

• Manejar con soltura la calculadora científica.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Población y muestra.

• Frecuencias y tablas.


• Medidas de centralización.

• Medidas de posición.

• Medidas de dispersión.


• Reconocimiento de las diferencias entre población y muestra en situaciones diversas extraídas de contextos reales.

• Distinción de los tipos de variables estadísticas unidimensionales.

• Organización de un conjunto de datos en forma de tabla y cálculo de porcentajes, frecuencias absolutas y relativas, así como acumuladas.

• Construcción, interpretación y análisis crítico de todo tipo de gráficos estadísticos: diagramas de barras, diagramas de sectores, histogramas, pictogramas, pirámides de población…

• Cálculo de las medidas de centralización: media, mediana y moda, de un conjunto de datos, utilizando las propiedades de cada una para resolver distintos problemas.

• Obtención de las medidas de posición de un conjunto de datos mediante cálculos numéricos o de manera gráfica.

• Obtención de las medidas de dispersión de un conjunto de datos.

• Utilización de la calculadora científica para realizar distintos cálculos estadísticos.



261

ACTITUDES

• Valoración de los procesos estadísticos como instrumentos importantes para describir y estudiar la realidad.

• Actitud crítica ante informaciones, presentadas de forma estadística, aparecidas en los distintos medios de comunicación.

• Gusto por la investigación sistemática de fenómenos cotidianos.


• Diferenciar las variables estadísticas unidimensionales.

• Organizar un conjunto de datos en forma de tabla y calcular porcentajes y frecuencias.

• Elaborar, interpretar y analizar críticamente todo tipo todo tipo de gráficos estadísticos: diagramas de barras, diagramas de sectores, histogramas, pictogramas, pirámides de población…

• Calcular e interpretar correctamente medidas de centralización, posición y dispersión.

• Efectuar los cálculos complejos y repetitivos aprovechando las características de la calculadora científica.



262

UNIDAD 10 Estadística bidimensional OBJETIVOS

• Reconocer variables estadísticas bidimensionales, y organizar sus datos en una tabla de doble entrada.

• Representar e interpretar un conjunto de valores de dos variables mediante un diagrama de dispersión.

• Distinguir si existe dependencia lineal entre las variables que forman una variable bidimensional.

• Determinar el coeficiente de correlación lineal.

• Analizar el grado de relación de dos variables, conociendo el coeficiente de correlación lineal.

• Determinar la recta que mejor se ajusta a una nube de puntos.

• Estimar un valor de una variable, conocido un valor de la otra variable.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Variables bidimensionales.

• Frecuencias relativas y absolutas de variables bidimensionales.

• Diagrama de dispersión.

• Tablas de doble entrada.

• Covarianza. Coeficiente de correlación.

• Rectas de regresión.

• Estimación.


• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de variables bidimensionales.

• Representación del diagrama de dispersión de una variable bidimensional.

• Obtención de la covarianza de una variable bidimensional.

• Interpretación y obtención del coeficiente de correlación.

• Cálculo de las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

• Obtención de estimaciones a partir de las rectas de regresión.

ACTITUDES

• Aprecio de la utilidad de la regresión para realizar estimaciones y predicciones.

• Razonamiento crítico de los resultados extraídos al estudiar la correlación.


• Representar una variable bidimensional utilizando el diagrama de dispersión.

• Calcular la covarianza de una variable bidimensional y el coeficiente de correlación lineal entre dos variables, a partir de su covarianza y de sus desviaciones típicas.

• Hallar las rectas de regresión de una variable bidimensional, y realizar estimaciones y predicciones utilizando dichas rectas.



263

UNIDAD 11 Probabilidad

OBJETIVOS

• Distinguir si un experimento es aleatorio o no, y utilizar los conceptos de espacio muestral, suceso, suceso seguro, suceso imposible y suceso complementario.

• Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades.

• Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades.

• Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace.


• Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos son dependientes independientes, y resolverlos.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos.

Propiedades.

• Probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada.

• Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes.


• Reconocimiento de la aleatoriedad o no de un experimento.

• Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realización de operaciones con sucesos.

• Utilización de la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.


• Reconocimiento y resolución de problemas de probabilidad compuesta, y determinación de la dependencia o independencia de dos sucesos.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana.




264


• Distinguir si un experimento es aleatorio o no.

• Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades.

• Usar la definición de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.

• Hallar probabilidades de forma experimental.

• Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta.

• Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos.



265

UNIDAD 12 Distribuciones binomial y normal

OBJETIVOS

• Reconocer el concepto de variable aleatoria, sus tipos y las funciones de probabilidad y de densidad.

• Identificar las características de la función de distribución, y utilizar su relación con las funciones de probabilidad y densidad.

• Reconocer la distribución binomial, obtener distintas probabilidades a partir de ella y calcular su media y su varianza.

• Identificar la distribución normal, interpretar la campana de Gauss y tipificar y manejar la tabla N(0, 1) en el cálculo de probabilidades.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en los casos en que sea necesario.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Funciones de probabilidad y de densidad. Función de distribución.

• Distribución binomial. Media y varianza.

• Distribución normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1).

• Tipificación de la normal. Aproximación de la binomial por la normal.


• Distinción entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Empleo de la función de densidad de una variable aleatoria continua y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificación de la distribución binomial y del valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, cálculo de probabilidades usando las tablas, y obtención del valor de su media o esperanza y su varianza.

• Identificación de la distribución normal y del valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretación de la campana de Gauss, manejo de la tabla N(0, 1) y cálculo de probabilidades mediante la tipificación.

• Ajuste de una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de distribuciones de probabilidad en la vida real.




266


• Distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilizar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y su función de distribución asociada.

• Emplear la función de densidad de una variable aleatoria continua y su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificar la distribución binomial y el valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza.

• Reconocer la distribución normal y el valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificación.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.



267

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SEGUNDO CURSO

Unidades didácticas

1. Matrices

2. Programación lineal

3. Límites de funciones

4. Continuidad de funciones

5. Derivadas

6. Aplicaciones de las derivadas

7. Combinatoria

8. Probabilidad

9. Muestreo y estimación

10. Contraste de hipótesis



268

UNIDAD 1: Matrices

Objetivos didácticos - Conocer el concepto de matriz numérica y la nomenclatura asociada a ella (dimensión, fila, columna...),

así como sus características fundamentales y la manera de representarla.

- Identificar los diferentes tipos de matrices según su dimensión y según sus elementos.

- Conocer el concepto de rango de una matriz y calcularlo mediante la aplicación de transformaciones elementales.

- Manejar con destreza los algoritmos de las operaciones con matrices: calcular la matriz suma de dos matrices, la matriz multiplicación de una matriz por un número real y la matriz producto de dos matrices; asimismo, conocer las propiedades de estas operaciones.

- Conocer el concepto de matriz inversa de una matriz y su representación, y calcularla, en el caso de que exista, por diversos métodos.

- Obtener la matriz traspuesta de una matriz y conocer las propiedades de dicha trasposición.

- Utilizar las matrices para organizar la información, representar relaciones...

- Usar la calculadora para efectuar operaciones con matrices.

- Aplicar las fórmulas que regulan todos los algoritmos de cálculo sin que eso impida atender a las regularidades o simplificaciones que aconsejen las características propias de cada procedimiento.

- Valorar la utilidad de las matrices para almacenar información y de las operaciones con ellas para manejar dicha información.

Contenidos Conceptos - Matriz.

- Matriz numérica.

- Igualdad de matrices.

- Matriz cuadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identidad y nula.

- Matriz escalonada.

- Rango de una matriz escalonada.

- Transformaciones elementales.

- Matrices equivalentes.

- Rango de una matriz.

- Matriz suma, matriz diferencia, matriz producto por un número real y matriz producto.

- Propiedades de las operaciones con matrices.

- Matriz inversa.

- Trasposición de matrices y matriz traspuesta.

- Grafo y matriz asociada a un grafo.

- Matriz input-output.

Procedimientos

- Representación de matrices.



269

- Clasificación de matrices según su dimensión y sus elementos.

- Obtención del rango de una matriz.

- Hallar la matriz suma, la matriz diferencia, la matriz producto por un número real y la matriz producto de dos matrices.

- Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición.

- Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

- Resolver ecuaciones matriciales.

- Obtención de la matriz traspuesta de una matriz.

- Asociación de una matriz a un grafo.

- Interpretación de una matriz asociada a un grafo y de su cuadrado.

- Descripción de la economía de un país o empresa mediante una matriz input-output.

- Utilización de la calculadora para efectuar operaciones con matrices.

Valores, actitudes, normas

- Valoración de la utilidad de las matrices como herramienta para organizar información, representar relaciones...

- Reconocer la importancia de los algoritmos de cálculo que facilitan el trabajo con matrices.

Actividades de aprendizaje Matrices numéricas

Se parte de la observación de una matriz de dimensión 2 X 3 para introducir el concepto de matriz y su nomenclatura asociada: fila, columna, dimensión. A continuación, se indica cómo representar una matriz y sus elementos y se enuncia la característica que deben tener dos matrices para ser iguales.

Seguidamente, se clasifican las matrices según su dimensión y según sus elementos, dando la definición de cada tipo y un ejemplo.

Finalmente, se introduce el concepto de rango de una matriz. El procedimiento seguido para ello es:

- Presentar varias matrices escalonadas, definir este concepto y el de rango.

- Ver que existen una serie de operaciones con las filas de una matriz que permiten transformarla en una matriz escalonada.

- Definir el concepto de matrices equivalentes.

- Definir el rango de una matriz como el rango de una matriz escalonada equivalente.

Operaciones con matrices

- Se presentan las operaciones de adición de matrices, multiplicación de una matriz por un número real, multiplicación de matrices y trasposición de matrices.

- En la multiplicación de matrices, se define el producto de una matriz fila por una matriz columna, y a continuación se amplía al caso general. Al observar que existe una matriz elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas, se le da el nombre de matriz identidad y se simboliza.

- Se introduce, a partir de la matriz identidad, la matriz inversa. Seguidamente, se explican dos métodos para el cálculo de la matriz inversa: a partir de la definición, planteando un sistema de ecuaciones lineales, y por el método de Gauss-Jordan.



270

- Se presenta la trasposición de matrices, destacando los elementos de una fila de una matriz y la situación de los mismos elementos en la traspuesta. A continuación, se enuncian las propiedades de la trasposición.

- Se introducen dos tipos de matrices, la simétrica y la antisimétrica.

Aplicaciones de las matrices

- Se presentan dos nuevas aplicaciones de las matrices: su utilidad como herramienta para representar una relación entre los elementos de un conjunto y para el estudio de transacciones:

- En primer lugar se da un ejemplo de una relación matemática y después dos aplicaciones, en forma de ejemplo resuelto: una a la sociología, para el estudio de las relaciones entre individuos, y otra para el estudio de las redes de comunicación.

- En segundo lugar se presenta un tipo de matrices destinadas a representar la economía de un país o de una empresa: las matrices input-output.

- Se explica el funcionamiento general de una calculadora preparada para trabajar con matrices.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las matrices. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a) Resolver una ecuación matricial por dos métodos diferentes: mediante el planteo de un sistema y utilizando la matriz inversa.

b) Resolver un problema de economía de una empresa a través de la elaboración y aplicación de una matriz input-output.

c) Representar el enunciado de un problema con matrices y obtener su resolución con ellas.

Actividades de evaluación − Definir matriz numérica, fila, columna y dimensión de una matriz.

− Identificar, dado un conjunto de matrices, los diferentes tipos que existen: cuadrada, diagonal...

- Conocer el rango de una matriz escalonada y calcular, por el método de Gauss, el rango de una matriz no escalonada.

- Efectuar diversas operaciones con matrices (suma, resta, producto por un número real, producto y trasposición) y enunciar las propiedades de estas operaciones.

- Indicar la condición necesaria para que exista la matriz inversa de una matriz cuadrada, explicar dos métodos diferentes para calcularla y obtener la matriz inversa de una matriz determinada.

- Interpretar la matriz asociada a un grafo y escribir la correspondiente a una relación determinada.

- Formular la matriz input-output que describe una situación y utilizarla para responder cuestiones relacionadas con dicha situación.

- Reconocer la utilidad de la calculadora como herramienta que facilita los cálculos con matrices.

- Utilizar las matrices para almacenar información, valorando su utilidad.



271

UNIDAD 2: Programación lineal

Objetivos didácticos - Determinar el semiplano solución de una inecuación lineal con dos incógnitas.

- Determinar la región del plano solución de un sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas.

- Traducir al lenguaje algebraico y resolver problemas utilizando inecuaciones y sistemas de inecuaciones, y analizar la validez de las soluciones en el contexto del problema.

- Expresar matemáticamente los enunciados de problemas de programación lineal.

- Resolver problemas de programación lineal por el método algebraico.

- Resolver problemas de programación lineal por el método gráfico.

- Identificar problemas que puedan resolverse mediante una programación lineal, como los de transporte y los de dieta.

- Valorar la utilidad del lenguaje algebraico en general, y de la programación lineal en particular, para plantear y resolver problemas en diferentes ámbitos, y reconocer su precisión y simplicidad.

- Conocer diversas aplicaciones de la programación lineal y valorar su utilidad en la elaboración de planes, proyectos..., en diversos ámbitos.

Contenidos Conceptos

- Inecuación lineal con dos incógnitas.

- Sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas.

- Función objetivo.

- Región factible.

- Resolución de un problema de programación lineal.

Procedimientos

- Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita.

- Representación gráfica de las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas.

- Cálculo de sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita.

- Representación gráfica de las soluciones de un sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas.

- Resolución de problemas mediante sistemas de inecuaciones.

- Traducción al lenguaje matemático de problemas de programación lineal.

- Determinación de la función objetivo y de las restricciones de un problema de programación lineal.

- Obtención de la región factible.

- Resolución de un problema de programación lineal bidimensional por el método algebraico.

- Resolución de un problema de programación lineal bidimensional por el método gráfico.

- Clasificación de las soluciones de un problema de programación lineal a partir del método gráfico de resolución.

- Identificación y resolución de problemas de transporte.

- Identificación y resolución de problemas de dieta.



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- Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes ámbitos, y reconocimiento de su precisión y simplicidad.

- Valoración de la utilidad de los métodos de la programación lineal para la estimación de la viabilidad de planes, proyectos, inversiones...

Actividades de aprendizaje

Inecuaciones

El estudio de las inecuaciones lineales con dos incógnitas es necesario para el trabajo posterior de resolución de problemas de programación lineal bidimensional.

El proceso seguido para enseñar la resolución de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas es el siguiente:

a) En primer lugar se define la inecuación lineal con dos incógnitas y la solución de la inecuación y se observa que los resultados son los puntos de un semiplano. A continuación se describe el procedimiento general para resolver una inecuación lineal con dos incógnitas y se presentan dos ejemplos.

b) En segundo lugar, se define el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas y se observa cuál es la representación gráfica de sus soluciones. Finalmente, se muestra, mediante un ejemplo, los pasos que se deben seguir para resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas.

Se esquematiza en una tabla la resolución de un problema mediante un sistema de inecuaciones y se desarrolla un ejemplo de manera paralela para que pueda observarse cómo se aplica el procedimiento.

Introducción a la programación lineal

- Se presentan dos problemas típicos: uno sobre maximizar el beneficio y otro acerca de minimizar el coste.

- Se enseñan los métodos algebraico y gráfico para resolver un problema de programación lineal bidimensional.

- Se muestran, a partir de la resolución gráfica, los diferentes tipos de solución que puede tener un problema de programación lineal (solución única, infinitas soluciones y sin solución).

Aplicaciones de la programación lineal

- Se presentan dos situaciones clásicas cuya formulación conduce a un problema de programación lineal: el problema del transporte y el de la dieta. En ambos casos se formula la cuestión en general y a continuación se plantea y resuelve un ejemplo concreto.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los problemas de programación lineal. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a) Buscar el sistema de inecuaciones que tiene por solución una región del plano determinada.

b) Resolver un problema de programación lineal sin solución por no existir región factible.

c) Resolver un problema de programación lineal algo más complejo que los trabajados anteriormente.

d) Solucionar un problema de programación lineal entera, es decir, un problema de programación lineal del cual sólo interesan las soluciones enteras. En este caso, el procedimiento seguido para su resolución es el mismo de siempre, pero si la solución es un punto de coordenadas decimales, se deben analizar los puntos próximos de coordenadas enteras, puesto que la solución buscada se halla en uno de estos puntos.



273

Actividades de evaluación - Solucionar inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

- Traducir al lenguaje algebraico problemas en los que intervienen inecuaciones y resolverlos.

- Resolver problemas de optimización de funciones de dos variables sujetos a restricciones, dadas la función objetivo y las restricciones, tanto por el método algebraico como por el gráfico.

- Organizar los datos de un problema de programación lineal, escribir la función objetivo y las restricciones y resolverlo.

- Explicar en qué consiste un problema de transporte y uno de dieta, inventar un enunciado de cada tipo y resolverlo.

- Enumerar situaciones en las que pueda aplicarse la programación lineal, valorando su utilidad.



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UNIDAD 3: Límites de funciones

Objetivos didácticos - Adquirir la noción intuitiva y visual, comprender el concepto y conocer las definiciones formales de

límite de una función en un punto, tanto finito como infinito.

- Adquirir la noción intuitiva y visual, comprender el concepto y conocer las definiciones de límite de una función en el infinito, tanto finito como infinito.

- Entender el concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha de una función, así como la relación existente entre el límite y los límites laterales.

- Conocer las propiedades y operaciones con límites.

- Calcular de manera sistemática límites de funciones polinómicas, racionales y definidas a trozos.

- Hallar los límites de funciones utilizando las propiedades adecuadas.

- Entender el concepto de indeterminación, reconocer los diferentes tipos de indeterminación y saber resolverlos en los casos indicados.

- Conocer el concepto de asíntota de una función y reconocer gráficamente asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

- Calcular las ecuaciones de las asíntotas de una función a partir de la expresión analítica de ésta.

- Valorar la importancia del cálculo de límites como herramienta para el estudio de funciones.


- Límite finito de una función en un punto.

- Límites laterales finitos de una función en un punto.

- Límite infinito de una función en un punto.

- Límites laterales infinitos de una función en un punto.

- Límite finito de una función en el infinito.

- Límite infinito de una función en el infinito.

- Propiedades de los límites.

- Indeterminación.

- Tipos de indeterminación.

- Operaciones con límites.

- Asíntotas verticales de una función.

- Asíntotas horizontales de una función.

Procedimientos

- Cálculo de límites de funciones en un punto mediante tablas de valores.

- Cálculo de límites de funciones en un punto a partir de su gráfica.

- Cálculo de límites de funciones en un punto utilizando las propiedades adecuadas.

- Cálculo de límites de funciones polinómicas, racionales y definidas a trozos.

- Cálculo de límites de funciones utilizando las operaciones entre límites.



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- Resolución de indeterminaciones.

- Obtención de las asíntotas verticales de una función.

- Obtención de las asíntotas horizontales de una función.


- Valoración de la utilidad del cálculo de límites en el estudio de funciones.

- Reconocimiento del valor que tienen los límites de funciones para resolver problemas de índole real.


Límite finito de una función en un punto

- Se introduce intuitivamente el concepto de límite de una función en un punto mediante la observación de una tabla de valores y de la gráfica de una determinada función en el entorno de un punto concreto para llegar, finalmente, a la definición formal de límite.

- Se explica el concepto de límites laterales de una función en un punto siguiendo el mismo proceso que en el caso del límite de una función en un punto y se establece la relación existente entre el límite y los límites laterales.

Límites infinitos y en el infinito

- Se muestra en un cuadro el concepto intuitivo de límite infinito de una función en un punto mediante la observación de una tabla de valores y de la gráfica de una determinada función en el entorno de un punto concreto que ilustra los casos de límite más y menos infinito.

- Se da la definición general de límite infinito de una función en un punto.

- Se define el concepto de límites laterales infinitos de una función en un punto y la relación entre éstos y el límite.

- Se introducen los conceptos de límite finito e infinito de una función en el infinito.

Propiedades de los límites

- Se presentan algunas propiedades de los límites finitos de funciones en un punto que permiten el cálculo sistemático de estos.

Indeterminaciones

- Se comenta que las propiedades citadas anteriormente también son válidas si una de las funciones o ambas tiene límite infinito, o bien, si la variable x tiende a más o menos infinito.

- Se observa que, al operar con límites, pueden aparecer indeterminaciones, indicando los diferentes tipos que existen.

Límites de funciones polinómicas, racionales y definidas a trozos

- Se consideran en una tabla los diferentes límites de una función polinómica con las fórmulas que dan el valor de éstos, acompañándose de un ejemplo. Este mismo esquema se repite con las funciones racionales. En el caso de las funciones definidas a trozos se expone, también en una tabla, el procedimiento de cálculo de los diferentes límites y se proporciona un ejemplo.



276

Cálculo de límites

- Se resumen las diferentes operaciones entre límites en tres tablas: suma y resta, multiplicación y división, y potenciación.

- Se muestra mediante varios ejemplos cómo aplicar la información contenida en estas tablas.

- Seguidamente, se indica cómo resolver los diferentes tipos de indeterminación en los casos más sencillos, a excepción de dos de los tipos que se indican.

Asíntotas de una función

- Se presentan los tres tipos de asíntotas: verticales y horizontales.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a) Procedimiento para resolver indeterminaciones que proceden de funciones racionales.

b) Obtención de la tendencia del importe de la factura de una compañía de suministro de agua cuando el consumo tiende a cierto valor.

c) Obtención de la tendencia del coste de fabricación de cada unidad obtenida en un proceso de elaboración al crecer el tiempo indefinidamente.

Actividades de evaluación - Dada la gráfica de una función, determinar el límite en diferentes puntos y en el infinito y comprobarlo

con la construcción de tablas de valores adecuadas.

- Explicar la relación que existe entre el límite y los límites laterales de una función en un punto y aplicarlo para calcular el límite de una función definida a trozos.

- Enunciar las propiedades de los límites finitos en un punto.

- Calcular sistemáticamente límites de funciones polinómicas y racionales, así como también de funciones obtenidas a partir de operaciones con otras funciones.

- Explicar qué es una indeterminación e indicar los diferentes tipos de indeterminación que pueden presentarse en el cálculo de límites.

- Resolver diferentes tipos de indeterminación.

- Reconocer, dada la gráfica de una función, las asíntotas verticales y horizontales y hallar sus ecuaciones a partir de la expresión analítica de la función.

- Resolver problemas de índole real y valorar la aplicación de los conceptos aprendidos en la unidad para la resolución de éstos.

- Apreciar el valor de las técnicas de análisis matemático en el estudio de funciones.



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UNIDAD 4: Continuidad de funciones Objetivos didácticos

- Adquirir la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto.

- Conocer las condiciones para que una función sea continua en un punto.

- Comprender el concepto de continuidad lateral de una función en un punto y la relación que existe entre ésta y la continuidad.

- Estudiar la continuidad de una función en un intervalo.

- Conocer los distintos tipos de discontinuidades que puede presentar una función en un punto.

- Reconocer los puntos de discontinuidad de una función, tanto visual como analíticamente, y saber clasificarlos.

- Entender las propiedades de las funciones continuas.

- Conocer la continuidad de las funciones elementales y aplicarla para estudiar la de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.

- Valorar la importancia que tiene el estudio de la continuidad en el comportamiento de muchos fenómenos de la naturaleza.


- Continuidad de una función en un punto.

- Continuidad lateral de una función en un punto.

- Continuidad de una función en un intervalo.

- Discontinuidad de una función en un punto.

- Tipos de discontinuidades.

- Propiedades de las funciones continuas.

- Continuidad de las funciones elementales.

Procedimientos

- Comprobación de la continuidad o no de una función en un punto a partir de las tres condiciones de continuidad.

- Estudio de la continuidad lateral de una función en un punto.

- Estudio de la continuidad de una función en un intervalo.

- Determinación y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función.

- Estudio de la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.


- Reconocer la importancia de la continuidad para el estudio de las funciones.

- Valoración de la continuidad para el estudio del comportamiento que siguen muchos fenómenos de la naturaleza.



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Continuidad de una función en un punto

- Se inicia el estudio de las funciones continuas en un punto relacionando la idea de continuidad con una situación concreta de la vida real.

- Se introduce la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto a partir de la observación de la gráfica de diversas funciones.

- Se da la definición formal de continuidad en un punto aprovechándola para introducir la definición de función discontinua en un punto, y se comprueba la continuidad de una función en un punto.

- Se introduce el concepto de continuidad lateral de una función en un punto y se observa la relación que existe con la continuidad de la función en dicho punto, a partir de la relación existente entre límites laterales y límite de una función en un punto.

- Se define la continuidad en un intervalo.

- Se proporciona una tabla con la clasificación de los diferentes tipos de discontinuidades.

- Se observa que, si la función presenta una discontinuidad evitable en un punto, se puede definir una nueva función que coincide con la primera en todos los puntos de su dominio salvo en el punto considerado, en caso de que pertenezca, y evita la discontinuidad en este punto.

Propiedades de las funciones continuas

- Como consecuencia de las propiedades vistas para los límites, se obtienen algunas de las propiedades de las funciones continuas.

- Se comprueba la continuidad en su dominio de algunas de las funciones elementales (potenciales, polinómicas, racionales e irracionales).

- Se presentan en una tabla otras funciones elementales (exponenciales, logarítmicas ), observando, a partir de su gráfica, que son continuas en todo su dominio.


a)Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para que sea continua en un punto o en todo su dominio.

b)Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para que ésta presente una discontinuidad evitable en un punto.

Actividades de evaluación - Reconocer visualmente si una función es continua en un punto.

- Comprobar si una función es continua en un punto mediante la verificación de las tres condiciones de continuidad.

- Indicar la relación que existe entre continuidad lateral de una función en un punto y continuidad en ese punto y estudiar la primera.

- Poner un ejemplo de función continua en un intervalo abierto que no lo sea en el intervalo cerrado.

- Enumerar los distintos tipos de discontinuidad que puede presentar una función indicando las características de cada uno y reconocerlos visualmente.

- Hallar los puntos de discontinuidad de una función y determinar el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de ellos.

- Enumerar las propiedades de las funciones continuas.



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- Analizar, teniendo en cuenta la continuidad de las funciones elementales, la de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.

- Reconocer el valor que tiene la continuidad de funciones para la comprensión de numerosos problemas de índole real.



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UNIDAD 5: Derivadas

Objetivos didácticos - Comprender el significado de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

- Entender el significado de la derivada de una función en un punto y conocer su definición formal.

- Interpretar geométricamente la tasa de variación media de una función en un intervalo y la derivada de una función en un punto.

- Determinar la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.

- Comprender el concepto de función derivada de una función y calcular derivadas sucesivas.

- Conocer la función derivada de las funciones elementales.

- Conocer la derivabilidad de las funciones elementales y las reglas que permiten derivar funciones que son el resultado de operar con otras funciones derivables.

- Conocer el concepto de diferencial de una función en un punto, su interpretación geométrica y su aplicación para efectuar cálculos aproximados.

- Valorar la importancia de la derivada en el estudio de la variación de una función y su aplicación en diferentes contextos: física, economía...

- Comprender la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instrumento en el campo científico y social.


- Tasa de variación media de una función.

- Recta secante a la gráfica de una función por dos puntos dados.

- Interpretación geométrica de la tasa de variación media.

- Derivada de una función en un punto.

- Recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

- Función derivada.

- Derivada de funciones elementales.

- Función derivada y operaciones.

- Diferencial de una función.

Procedimientos

- Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

- Cálculo de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos.

- Determinación de la velocidad media de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

- Obtención de la derivada de una función en un punto.

- Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

- Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

- Determinación de la velocidad instantánea de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

- Obtención de la derivada de funciones elementales.



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- Consecución de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la función producto y de la función cociente.

- Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta.

- Cálculo de derivadas de orden superior a partir de la definición formal.

- Obtención de valores aproximados de funciones utilizando el concepto de diferencial de una función.


- Valoración de la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instrumento en el campo científico y social.


Tasa de variación media

- Se introduce el concepto de tasa de variación media de una función en un intervalo de extremos a y b a partir de un ejemplo y se observa su coincidencia con la pendiente de la recta secante a la curva por los puntos de abscisa x = a y x = b.

- En el ejemplo dado, el alumno/a aplica a una función algebraica conocida el concepto de TVM (tasa de variación media), y su interpretación geométrica.

Derivada de una función en un punto

- Se considera el ejemplo de una función polinómica de segundo grado y se calcula el límite de la TVM cuando el intervalo considerado tiende a cero.

- Se obtiene la ecuación punto-pendiente de la recta tangente a la función en un punto.

Función derivada

- Se define la función derivada de una función f.

- Se obtiene la derivada de una función concreta a partir de la definición formal.

- Se demuestra que el cálculo de la función derivada simplifica el proceso de cálculo del valor de la derivada en diferentes puntos y se recogen en una tabla las derivadas de las principales funciones: constante, potencial, exponencial, logarítmica, seno y coseno.

- Se muestra la relación entre continuidad y derivabilidad. Es conveniente abordar estos conceptos de una forma intuitiva, observando primero gráficamente los casos más frecuentes de continuidad y no derivabilidad, para proponer en segundo lugar la condición analítica.

- Se exponen en una tabla las reglas para derivar la función suma, producto, cociente y compuesta, y se aplican las fórmulas obtenidas para derivar funciones concretas.

- Se define la función derivada segunda de una función de forma análoga a como se define función derivada y reiterando el proceso, se muestra cómo se pueden definir todas las derivadas de orden superior.

Diferencial de una función

- Se introduce la notación de incrementos para la derivada de una función en un punto y, con ayuda de una interpretación gráfica de la situación, se obtiene una aproximación de la variación de la función a partir de la derivada de la función en un punto y el incremento de la variable considerado desde dicho punto.



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- Se muestra cómo esta aproximación puede utilizarse para calcular valores aproximados de la función.


a) Obtener la tasa de variación media del Producto Nacional Bruto en diferentes períodos y deducir en cuál de ellos se obtuvo un mayor crecimiento medio.

b) Hallar la recta tangente a la gráfica de una función y que cumple unas determinadas condiciones.

c) Calcular el valor aproximado del coste, ingreso y beneficio marginal de producir cierta unidad en un proceso de producción.

Actividades de evaluación - Hallar la tasa de variación media de una función polinómica y de una racional entre dos puntos dados, y

calcular la pendiente de la recta secante que pasa por ellos.

- Definir la derivada de una función en un punto y dar su interpretación geométrica.

- Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

- Calcular velocidades medias e instantáneas de movimientos rectilíneos uniformemente acelerados y justificar que son ejemplos de tasas de variación media e instantáneas, respectivamente.

- Obtener la función derivada de alguna función elemental a partir de la definición de función derivada.

- Calcular, dadas dos funciones, la función derivada de su suma, producto, cociente y composición.

- Resolver problemas para valorar los conocimientos adquiridos en el estudio de la derivabilidad para afrontar problemas de ámbito científico y social.



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UNIDAD 6: Aplicaciones de las derivadas

Objetivos didácticos - Utilizar el concepto de derivada para determinar el crecimiento y decrecimiento de una función en un

punto y en un intervalo.

- Reconocer la existencia de máximos y mínimos relativos.

- Usar el concepto de derivada segunda para determinar la concavidad y convexidad de una función en un punto y en un intervalo.

- Identificar los puntos de inflexión.

- Obtener la representación gráfica de funciones.

- Resolver problemas de optimización.

- Valorar la aplicación de las derivadas en el estudio de funciones y en la resolución de problemas de otros campos: social, económico, tecnológico...

Contenidos Conceptos - Relación entre crecimiento (decrecimiento) de una función en un punto y el signo de la derivada.

- Extremos relativos.

- Relación entre la curvatura (convexidad) de una función en un punto y el signo de la derivada segunda.

- Puntos de inflexión.

Procedimientos

- Utilización de la derivada primera de una función para estudiar la monotonía de una función en un punto o en un intervalo.

- Determinación de los extremos relativos de una función.

- Uso de la derivada segunda de una función para estudiar la curvatura de una función en un punto o en un intervalo.

- Determinación de los puntos de inflexión de una función.

- Organización mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una función.

- Representación gráfica de una función a partir de los aspectos esenciales de su análisis.

- Planteo y resolución de problemas de optimización.

- Utilización de la calculadora gráfica para la representación gráfica de funciones.


- Sistematización y orden en la presentación de datos para la representación gráfica de una función.

- Interés por contrastar las soluciones obtenidas con los datos iniciales.

- Reconocimiento del valor que tiene el estudio de funciones y la optimización de las mismas para resolver problemas de índole real.



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Actividades de aprendizaje Derivada y monotonía de una función

- Se inicia la unidad recordando la definición de derivada de una función en un punto y obteniendo a partir de ésta las condiciones que ha de cumplir la función para que sea estrictamente creciente o decreciente en un punto.

- Se justifica la condición necesaria de existencia de extremo relativo. En este punto se observa que esta condición es necesaria, pero no suficiente.

- Se introduce el concepto de máximo y mínimo.

- Se establece el criterio para encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

- Se explica cómo utilizar la calculadora gráfica para obtener la gráfica de una función.

Derivada y curvatura de una función

- Se inicia el análisis de la curvatura de una función definiendo los conceptos de convexidad y concavidad en un punto a partir de las posiciones relativas entre la gráfica de la función y la recta tangente a ésta en dicho punto.

- Se razonan intuitivamente las condiciones que ha de cumplir la derivada segunda de la función en un punto para que éste sea de convexidad o concavidad.

- Se presenta el concepto de punto de inflexión de una función y se justifica la condición necesaria de existencia de éste. Luego se da una condición suficiente de punto de inflexión.

- Se generaliza la determinación de puntos extremos relativos o de inflexión cuando se anulan derivadas sucesivas.

Representación gráfica de funciones

- Se analizan los siguientes aspectos: dominio, puntos de corte con los ejes, signo, simetría y periodicidad, asíntotas y ramas infinitas, intervalos de monotonía y extremos relativos, intervalos de curvatura y puntos de inflexión.

- Se explica el procedimiento para diseñar el gráfico de una función.

Optimización de funciones

- Se comenta la utilidad del cálculo de extremos relativos no sólo en problemas de tipo matemático sino también en ámbitos más generales cuyas situaciones se representan mediante funciones.

- Se enumeran los pasos que se deben seguir para la resolución de un problema de optimización.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a) Determinar una función polinómica de la que se conoce algún extremo relativo y punto de inflexión.

b) Determinar la gráfica aproximada de una función a partir del gráfico de su función derivada.

Actividades de evaluación - Determinar el crecimiento o decrecimiento de una función en un punto y hallar los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de la función.

- Determinar la concavidad o convexidad de una función en un punto y hallar los intervalos de concavidad y convexidad de la función.



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- Obtener los extremos relativos y puntos de inflexión de una función.

- Efectuar el estudio global y la representación gráfica de una función polinómica o racional.

- Dibujar la gráfica de una función de la que se conoce la representación gráfica de su derivada.

- Resolver un problema de optimización en una situación de la vida real.

- Interpretar geométricamente el resultado.

- Explicar en qué consiste la optimización de funciones y citar ejemplos en que ésta pueda aplicarse.



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UNIDAD 7: Combinatoria

Objetivos didácticos - Conocer los conceptos de número factorial y de número combinatorio y sus propiedades.

- Utilizar las propiedades de los números factoriales y combinatorios para operar con ellos y simplificar expresiones que los contengan.

- Obtener el desarrollo de la potencia enésima de la suma o resta de un binomio aplicando la fórmula del binomio de Newton y dar la expresión de un término cualquiera de dicho desarrollo.

- Utilizar diagramas en árbol para efectuar recuentos de configuraciones en casos sencillos.

- Conocer las características que definen los principales tipos de configuraciones (variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición) y las fórmulas que permiten obtener el número de éstas de manera rápida.

- Resolver problemas de combinatoria, tanto simples como compuestos.

- Reconocer la utilidad de las técnicas de recuento para resolver situaciones cotidianas.

- Valorar y respetar los diferentes métodos empleados por los compañeros para efectuar un recuento.

- Mostrar una actitud favorable a la revisión y mejora de los resultados de un recuento.


- Números factoriales.

- Números combinatorios.

- Propiedades de los números combinatorios.

- Variaciones ordinarias.

- Variaciones con repetición.

- Permutaciones ordinarias.

- Permutaciones con repetición.

- Combinaciones ordinarias.

- Combinaciones con repetición.

Procedimientos

- Utilización de las propiedades de los números factoriales y combinatorios.

- Desarrollo de la potencia enésima de la suma o resta de un binomio mediante el binomio de Newton.

- Cálculo del número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k.

- Cálculo del número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

- Cálculo del número de permutaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k.

- Cálculo del número de permutaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

- Cálculo del número de combinaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k.

- Cálculo del número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k.

- Identificación del tipo de configuración correspondiente a un determinado problema.

- Resolución de problemas de combinatoria simples y compuestos.



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- Valoración y respeto por los diferentes métodos empleados para efectuar un recuento.

- Revisión de los resultados de un recuento.


Números factoriales y números combinatorios

- Se presenta una serie de productos que se identifican como números factoriales.

- Se da la definición general y la de uno factorial y cero factorial.

- Se presenta una serie de cocientes de números factoriales que permiten la introducción del concepto de número combinatorio y su procedimiento de cálculo.

- Se enuncian, demuestran y ejemplifican las propiedades de los números combinatorios.

Técnicas de recuento

- Se presentan las diferentes técnicas de recuento: variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias, permutaciones con repetición, combinaciones ordinarias y combinaciones con repetición. El esquema utilizado en todas ellas es el mismo: a) Se plantea una situación sencilla para cuya resolución sea preciso efectuar un recuento.

b) Se construye un diagrama en árbol con las diferentes configuraciones que son solución del problema y se establecen los criterios que se han tenido en cuenta para formarlas.

c) Se definen las configuraciones correspondientes (variaciones ordinarias, variaciones con repetición...).

d) Se observa cómo calcular, a partir del ejemplo, el número de configuraciones y se generaliza el resultado obtenido para dar la expresión general del número de dichas configuraciones.

e) Se presentan ejemplos de problemas en cuya resolución se debe aplicar la técnica de recuento correspondiente, haciendo hincapié en las características que definen dicha configuración.

f) Se plantean ejercicios en cuya resolución deberá utilizarse la misma técnica de recuento.

Problemas de contar

- Se presenta un esquema para reconocer el tipo de configuración que hay que considerar en cada caso y a continuación se presentan ejemplos en los que se aplica dicho esquema.

- Se presenta un ejemplo de resolución de un problema en que las configuraciones constan, a su vez, de subconfiguraciones.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice en el cálculo con números factoriales y combinatorios y en la resolución de problemas de combinatoria. Para ello se presentan distintos modelos de ejercicios y problemas:

a) Simplificar dos expresiones con números factoriales.

b) Determinar el valor de una suma de números combinatorios a partir del desarrollo del binomio de Newton.

c) Calcular permutaciones circulares.

d) Hallar el número de caminos posibles para ir de un lugar a otro en un plano.

e) Calcular permutaciones ordinarias.



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f) Calcular la suma de los números que pueden obtenerse en unas determinadas condiciones.

Actividades de evaluación - Identificar números factoriales y combinatorios y obtener su valor.

- Efectuar operaciones con números factoriales y combinatorios y aplicar sus propiedades para simplificar expresiones que los contengan.

- Construir el diagrama en árbol correspondiente a un recuento determinado e identificar el tipo de configuración correspondiente según sus características.

- Obtener el número de los diferentes tipos de configuraciones (variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición) mediante la aplicación de la fórmula correspondiente.

- Resolver problemas de combinatoria, tanto simples como compuestos, identificando previamente el tipo de configuraciones que intervienen.

- Apreciar el valor de las técnicas de recuento como herramienta para resolver situaciones cotidianas.

- Revisar los resultados de sus recuentos y respetar los posibles diferentes métodos empleados por sus compañeros.



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UNIDAD 8: Probabilidad

Objetivos didácticos - Diferenciar entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas.

- Expresar el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

- Conocer los conceptos de suceso y verificación de un suceso.

- Reconocer diferentes tipos de sucesos: suceso seguro y suceso imposible.

- Realizar operaciones con sucesos y aplicar las propiedades de estas operaciones.

- Distinguir entre sucesos compatibles e incompatibles.

- Conocer las definiciones experimental y axiomática de la probabilidad.

- Reconocer las principales propiedades de la probabilidad y utilizarlas para el cálculo de probabilidades.

- Aplicar la regla de Laplace en el cálculo de probabilidades.

- Desarrollar el diagrama en árbol de un experimento compuesto.

- Conocer el concepto de probabilidad condicionada.

- Distinguir entre sucesos dependientes y sucesos independientes.

- Aplicar el teorema de la probabilidad total en el cálculo de probabilidades.

- Aplicar el teorema de Bayes en el cálculo de probabilidades.

- Mostrar una disposición favorable a la utilización de los métodos de la teoría de las probabilidades en la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios.


- Experimentos aleatorios y deterministas.

- Espacio muestral.

- Sucesos.

- Tipos de sucesos.

- Operaciones con sucesos: propiedades.

- Sucesos compatibles e incompatibles.

- Sistema completo de sucesos.

- Definición experimental y definición axiomática de probabilidad.

- Principales propiedades de la probabilidad.

- Regla de Laplace.

- Diagrama en árbol.

- Probabilidad condicionada: sucesos dependientes e independientes.

- Teorema de la probabilidad total.

- Teorema de Bayes.

Procedimientos



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- Identificación de experimentos aleatorios y deterministas.

- Construcción del espacio muestral de un experimento aleatorio.

- Descripción de diferentes tipos de sucesos.

- Realización de operaciones con sucesos.

- Aplicación de las propiedades de la probabilidad al cálculo de probabilidades.

- Asignación de probabilidades mediante la regla de Laplace.

- Desarrollo de un diagrama en árbol para determinar la probabilidad de sucesos en un experimento compuesto.

- Utilización de la expresión de la probabilidad condicionada para el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos.

- Resolución de problemas mediante los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.


- Disposición favorable a utilizar la probabilidad para analizar situaciones problemáticas relacionadas con el azar y tomar decisiones.

Actividades de aprendizaje Sucesos

- Se presentan los conceptos básicos de experimento determinista y aleatorio, espacio muestral y suceso.

- Se describen en forma de tabla dos tipos especiales de suceso (seguro e imposible) y se presentan las operaciones básicas con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento.

- Se presentan en forma de tabla sus propiedades.

Definición y propiedades de la probabilidad

- Se muestra dos definiciones de probabilidad (una intuitiva, como es la experimental, y otra rigurosa, como es la axiomática) y la relación que existe entre ellas.

- Se presentan y se ejemplifican las principales propiedades de la probabilidad que se derivan directamente de la definición axiomática.

Cálculo de probabilidades

- Se justifica la regla de Laplace en condiciones de equiprobabilidad, se enuncia dicha regla y se ejemplifica su uso.

- Se demuestra la regla de Laplace.

- Se desarrollan los diagramas en árbol para experimentos compuestos.

Probabilidad condicionada

- Se estudian la probabilidad condicionada, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.

- Se enuncian las propiedades de la probabilidad condicionada.

- Se presenta el concepto de dependencia e independencia de sucesos.

- Se generaliza, a partir de una situación concreta, el resultado llegando al enunciado del teorema de la probabilidad total.

- Se presenta el teorema de Bayes siguiendo el mismo esquema.



291

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice en la probabilidad. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a) Utilizar herramientas combinatorias sencillas en el cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace.

b) Calcular probabilidades usando las propiedades de las operaciones con sucesos y la regla de Laplace.

c) Profundizar en la aplicación del concepto de probabilidad condicionada.

d) Reconocer situaciones problemáticas típicas a las que se aplican el teorema de Bayes y el teorema de la probabilidad total.

Actividades de evaluación - Reconocer un experimento aleatorio, construir su espacio muestral, definir diversos sucesos y determinar

su verificación a partir del resultado de dicho experimento.

- Describir el significado del suceso seguro y del suceso imposible.

- Identificar diferentes tipos de sucesos y operar con ellos aplicando las propiedades del álgebra de Boole.

- Determinar si dos o más sucesos son compatibles o incompatibles.

- Atribuir probabilidades a sucesos a partir de la definición experimental de probabilidad o la regla de Laplace (de acuerdo con consideraciones de equiprobabilidad).

- Asignar probabilidades a sucesos en experimentos compuestos mediante diagramas en árbol, las propiedades de los experimentos compuestos y la regla de Laplace.

- Diferenciar en situaciones reales sucesos dependientes y sucesos independientes.

- Utilizar las expresiones de la probabilidad condicionada, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes en el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos.

- Mostrar una disposición favorable a la utilización de métodos probabilísticos para analizar y tomar decisiones en situaciones de incertidumbre.



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UNIDAD 9: Muestreo y estimación

Objetivos didácticos - Diferenciar los conceptos de población y muestra, así como los de parámetro y estadístico.

- Entender la necesidad del uso de muestras y la importancia de que éstas sean representativas.

- Conocer las principales técnicas de muestreo aleatorio y aplicarlas en casos sencillos.

- Conocer el concepto de distribución muestral y saber cuáles son las distribuciones de muestreo de los estadísticos de uso más frecuente (media, proporción, diferencia de medias) en ciertos supuestos.

- Saber qué significa estimar un parámetro y diferenciar estimación puntual de estimación por intervalos de confianza.

- Entender qué son el nivel de confianza y el nivel de significación en una estimación.

- Obtener intervalos de confianza en casos sencillos (medias, proporciones ) e interpretar los resultados.

- Conocer el error máximo cometido al efectuar una estimación, con un nivel de significación dado.

- Adecuar el tamaño de una muestra para que el error máximo cometido no sea mayor que el que se esté dispuesto a asumir.

- Interpretar la ficha técnica correspondiente a un estudio estadístico.

- Valorar la utilidad de la inferencia estadística en el ámbito de las ciencias sociales y humanas.


- Muestra, estadístico y parámetro.

- Principales tipos de muestreo: aleatorio simple, aleatorio sistemático y aleatorio estratificado proporcional.

- Distribución muestral de un estadístico: de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias.

- Estimación de un parámetro: puntual y por intervalos de confianza.

- Nivel de confianza y de significación en una estimación por intervalos de confianza.

- Error de estimación en una estimación por intervalos de confianza.

Procedimientos

- Obtención de muestras representativas por muestreo aleatorio: simple, sistemático y estratificado proporcional.

- Resolución de problemas mediante el uso de la distribución muestral de las medias y de las proporciones.

- Determinación del intervalo de confianza en casos sencillos: para la media y para la proporción .

- Elección del tamaño de la muestra en un estudio estadístico, fijado el error de estimación.

- Interpretación de los datos que aparecen en la ficha técnica de un estudio estadístico.


- Valoración de la utilidad de las técnicas de la inferencia estadística para el estudio de datos procedentes del ámbito de las ciencias sociales y humanas.



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Muestreo

- Se define cuándo aparece la necesidad de tomar una muestra de la población para la realización del estudio estadístico.

- Se comenta cómo inferir, a partir de la muestra considerada, información relativa a la población.

- Se observa la necesidad de que la muestra sea representativa para que los datos obtenidos a partir de ella sean fiables.

- Se describe lo que es la estadística descriptiva y la inferencial.

- Se presentan en una tabla los tipos de muestreo aleatorio más usuales: simple, sistemático y estratificado proporcional. Se describe el procedimiento general acompañándose, en cada caso, de un ejemplo.

Distribuciones de muestreo

- Se presenta el concepto de distribución muestral.

- Se particulariza este procedimiento considerando parámetros concretos:

a)La media poblacional: se indica que se estudia a partir del estadístico media muestral, se define la variable aleatoria media muestral y se considera su distribución, a la que se le llama distribución muestral de las medias. A continuación se relacionan los parámetros poblacionales media y desviación típica con los parámetros media y desviación típica de la distribución muestral de las medias.

Las propiedades de la distribución muestral de las medias permiten efectuar problemas de la media poblacional.

b)La proporción poblacional: se indica que se estudia a partir del estadístico proporción muestral y se considera la distribución muestral de las proporciones. A continuación se relaciona el parámetro poblacional proporción con los parámetros media y desviación típica de la variable asociada a la distribución muestral de las proporciones.

Estimación

- Se presenta la definición de estimación como la aproximación de parámetros a partir de estadísticos.

- Se presentan las dos formas de estimación más usuales: puntual y por intervalos de confianza. Respecto a la primera, o aproximación directa del valor de un parámetro por el de un estadístico obtenido de una muestra, se plantea la necesidad de controlar de alguna forma la fiabilidad de tal aproximación.

- Se define el concepto de estimador y se describen las propiedades que se han de estudiar en él, sesgo, eficiencia y consistencia, para saber si dará buenas estimaciones.

- Se empieza por definir el concepto de nivel de confianza y el de nivel de significación respecto a la estimación por intervalos de confianza, u obtención de un intervalo a partir de una muestra que contenga el parámetro buscado con probabilidad elevada.

- Se presenta el método general para obtener el intervalo de confianza de un parámetro cualquiera, con nivel de confianza o nivel de significación dados, bajo ciertas hipótesis de normalidad.

- Se obtiene la expresión general del intervalo de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias.

Error de estimación y tamaño muestral

- Se deduce la expresión del error máximo (error de estimación) que puede cometerse al aproximar un parámetro a partir de un intervalo de confianza con un nivel de significación dado, y en el margen se dan las expresiones correspondientes a los dos casos particulares tratados en la unidad: media y proporción.



294

- Tras observar que dicho error depende del tamaño de la muestra con la que se trabaja, se plantea el problema consistente en hallar el tamaño adecuado para que el error sea el que nosotros deseemos.

Interpretación de una ficha técnica

- Se muestra una aplicación práctica de los conocimientos adquiridos en la unidad.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice en los contenidos de la unidad. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a)Seleccionar una muestra por muestreo aleatorio sistemático y otra por muestreo aleatorio estratificado proporcional, estimar un parámetro utilizando ambas muestras y extraer conclusiones.

b) Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores superiores o inferiores a uno dado y, recíprocamente, determinar el valor k tal que P (X ( k) o P (X ( k) tome un valor prefijado.

c) Calcular el error cometido al estimar una proporción por intervalos de confianza y determinar el tamaño de la muestra para que dicho error de estimación tome un valor predeterminado.

Actividades de evaluación - Explicar la diferencia entre población y muestra, y entre parámetro y estadístico.

- Describir los principales tipos de muestreo.

- Seleccionar muestras por muestreo aleatorio simple, sistemático y proporcional en casos sencillos, y extraer conclusiones.

- Definir distribución muestral y describir de la media y de la proporción.

- Resolver problemas de aplicación de las distribuciones muestrales de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias, y valorar la utilidad de la inferencia estadística en las ciencias sociales y humanas.

- Explicar en qué consiste la estimación de parámetros, tanto puntual como por intervalos de confianza. Indicar ventajas e inconvenientes de uno y otro tipo de estimación.

- Decir cuáles son las características que han de valorarse para determinar la bondad de un estimador.

- Definir nivel de confianza y nivel de significación y calcular el intervalo de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias, con un nivel de confianza o con un nivel de significación dados.

- Hallar el error máximo cometido al efectuar una estimación por intervalos de confianza de la media y proporción.

- Determinar el tamaño que debe tener una muestra para que el error de estimación cometido sea uno prefijado.

- Analizar la coherencia de los datos de una ficha técnica e interpretarla.



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UNIDAD 10: Contraste de hipótesis

Objetivos didácticos - Saber qué es una decisión estadística.

- Conocer los conceptos de hipótesis nula y de hipótesis alternativa, asociados a toda decisión estadística, y lo que significa aceptar o rechazar dichas hipótesis.

- Saber en qué consisten el error de tipo I y el de tipo II en una decisión estadística.

- Conocer el concepto de nivel de significación asociado a un test de hipótesis.

- Saber qué son el estadístico de contraste, la región de aceptación y la región crítica en un test de hipótesis.

- Resolver los dos tipos de tests de hipótesis relativos a la media y a la proporción.

- Saber en qué consiste un control de calidad.

- Valorar la utilidad de los tests de hipótesis en el ámbito de las ciencias sociales y humanas.


- Decisión estadística.

- Hipótesis nula e hipótesis alternativa.

- Test de hipótesis.

- Error de tipo I y error de tipo II.

- Nivel de significación y potencia de un test de hipótesis.

- Estadístico de contraste.

- Región crítica.

- Test unilateral y test bilateral.

Procedimientos

- Pasos para la realización de un test de hipótesis.

- Determinación de la región crítica asociada a un test bilateral, unilateral por la derecha y unilateral por la izquierda.

- Resolución de tests de hipótesis bilateral, unilateral por la derecha y unilateral por la izquierda, relativos a la media, a la proporción y a la diferencia de medias.

- Construcción e interpretación de tablas de control de calidad.


- Valoración de la utilidad de los tests de hipótesis para el estudio de datos procedentes del ámbito de las ciencias sociales y humanas.



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Decisiones estadísticas

- Se introduce el término decisión estadística y se advierte del riesgo de error que supone tomarla.

- Se definen hipótesis nula e hipótesis alternativa, y se plantea el problema de saber cuándo aceptar o rechazar una u otra, lo que conduce al concepto de test de hipótesis.

- Se definen conceptos asociados a todo test de hipótesis: error de tipo I, error de tipo II, nivel de significación, potencia...

- Se describen los principales aspectos que deben tenerse en cuenta a la hora de elaborar un buen test de hipótesis.

- Se explica el criterio que se debe seguir para elegir la hipótesis nula.

Tests de hipótesis

- Se explica el procedimiento que se debe seguir para realizar un test de hipótesis, en el caso en el que lo que se quiere decidir es si un parámetro poblacional es igual, menor o mayor que cierto valor, y, como sólo se han considerado hipótesis alternativas complementarias a la hipótesis nula, esto da lugar a tres tipos de test, llamados, respectivamente, tests tipo 1, tipo 2 y tipo 3. Dicho procedimiento consta de cuatro etapas.

- Para la realización del segundo paso el estadístico de contraste ha de ser insesgado y ha de tener distribución normal.

- Se deduce la forma de la región de rechazo para los dos tests considerados, clasificándolos según la forma que adopta dicha región.

Control de calidad

- Se concluye la unidad con una aplicación práctica de los tests de hipótesis: el control de calidad en los procesos industriales.

- Tras presentar el problema de manera general, se explica más detalladamente el caso del control de calidad para la media.

- Finalmente, se comenta cómo se hace uso, en un control de calidad, de uno de los tipos de test vistos para la proporción.

En la Resolución de ejercicios y problemas se pretende que el alumno/a profundice en los contenidos de la unidad. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

a) Realizar un test de hipótesis a partir de los datos obtenidos de una muestra.

b) Estudiar los valores del estadístico correspondiente a una muestra dada que harían aceptar o rechazar cierta hipótesis nula.

c) Obtener la región de aceptación de determinados tipos de test a partir de los intervalos de confianza.

Actividades de evaluación - Explicar qué es una decisión estadística.

- Definir hipótesis nula e hipótesis alternativa, poner ejemplos y decir qué significa aceptar o rechazar H0 en cada caso.



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- Explicar qué es un test de hipótesis y definir error de tipo I, error de tipo II, nivel de significación y potencia de un test de hipótesis.

- Describir el proceso que se debe seguir para elaborar un test de hipótesis, definiendo estadístico de contraste y región crítica.

- Dar la región crítica tipificada asociada a los tres tipos de test estudiados en la unidad.

- Realizar tests de hipótesis relativos a la media, a la proporción y a la diferencia de medias, como los vistos a lo largo de la unidad, y valorar la estadística como instrumento importante a la hora de contrastar una afirmación sobre cierta característica de una población, así como su aplicación a diversos ámbitos de las ciencias sociales y humanas.

- Resolver un ejercicio de control de calidad y valorar la utilidad de los tests de hipótesis en el ámbito de las ciencias económicas y sociales.



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TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y DE LA COMUNICACIÓN 1º y 2º DE BACHILLERATO. Distribución de contenidos Unidad 1: Nuevas tecnologías de la información y de la comunicación en la sociedad. Unidad 2: Hardware.Sistema operativo. Unidad 3: Redes e Internet. Unidad 4: Procesadores de texto. Unidad 5: Presentaciones digitales. Unidad 6: Bases de Datos. Unidad 7: Hojas de cálculo. Unidad 8: Imagen digital. Unidad 9: Creación de páginas Web. Unidad 10: Programas de cálculo matemático: Derive y Wiris. TEMPORALIZACIÓN 1ª Evaluación : Temas 1, 2, 3 y 4. 2ª Evaluación : Temas 5,6 y 7 3ª Evaluación : Temas 8, 9 y 10. Criterios de evaluación La calificación se obtendrá de la siguiente forma:

� Se calculará una calificación inicial ponderando un 60% de las calificaciones de los trabajos realizados en la asignatura y un 40% de las posibles pruebas escritas que se realicen. Si no se realizan pruebas escritas la calificación inicial se obtendrá exclusivamente con los trabajos realizados.

� La calificación final se obtendrá restando a la calificación anterior los siguientes conceptos: � 0,5 puntos por cada falta injustificada. � 0,25 puntos por cada falta justificada si el número de éstas es superior a tres. � 0,5 puntos por cada actitud negativa del alumno/a en clase. (No atender o molestar durante las explicaciones del profesor o de algún compañero/a, encender el ordenador o conectarse a Internet sin permiso del profesor, visitar páginas personales sin acabar la tarea diaria etc.)



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INFORMÁTICA 4º E.S.O.

Distribución de contenidos Unidad 1Procesadores de texto. Unidad 2: Presentaciones digitales. Unidad 3: Bases de Datos. Unidad 4: Hojas de cálculo. Unidad 5: Imagen digital. Unidad 6: Programas de cálculo matemático: Wiris. TEMPORALIZACIÓN 1ª Evaluación : Temas 1 y 2.. 2ª Evaluación : Temas 3 y 4. 3ª Evaluación : Temas 5 y 6. Criterios de evaluación La calificación se obtendrá de la siguiente forma: � Se calculará una calificación inicial ponderando con un 60% las calificaciones de

los trabajos realizados en la asignatura y con un 40% las posibles pruebas escritas que se realicen.

� Si no se realizan pruebas escritas la calificación inicial se obtendrá exclusivamente con los trabajos realizados.

� La calificación final se obtendrá restando puntos a la calificación anterior por los siguientes conceptos:

� 0,5 puntos por cada falta injustificada. � 0,25 puntos por cada falta justificada, si el número de éstas es superior a

tres. � 0,5 puntos por cada actitud negativa del alumno/a en clase:

• No atender o molestar durante las explicaciones del profesor o de algún compañero/a. • Encender el ordenador o conectarse a Internet sin permiso del profesor. • Usar indebidamente el material del aula de Informática. • Dejar de realizar las tareas antes de que finalice la clase. • Visitar páginas personales sin acabar la tarea diaria. • Alterar el ritmo de la clase levantándose del puesto de trabajo. • Molestar a otros compañeros mientras trabajan, • Provocar alboroto en los pasillos mientras se acude al aula o se espera para entrar en ella. • Cualquier conducta contraria a las normas de convivencia recogida en nuestro Reglamento de Organización y Funcionamiento.

Junta de Andalucía...I.E.S. Francisco de los Cobos Plan Anual de Centro. Curso 2015-2016....

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