Jueves 31 de Marzo 2011

Capítulo 4

Líneas Espectrales. Leyes de Kirchhoff. Efecto Doppler. Efecto Fotoeléctrico y Comptom. Estructura del Átomo. Líneas Espectrales del Hidrógeno. Átomo de Bohr. Ecuación de Schroedinger.

Líneas Espectrales

En 1802, William Wollaston (físico y químico británico, 1766-1828), al igual que Newton anteriormente, hizo pasar la luz del Sol por un prisma para producir un espectro de colores como el del arcoiris y descubrió un número de líneas espectrales oscuras sobreimpresas sobre el espectro continuo donde la luz del Sol habia sido absorbida.

Líneas Espectrales

En 1814, el optico aleman, Joseph von Fraunhofer (1787-1826) habia catalogado 475 de estas líneas y determinó que una de esas lineas correspondía a la longitud de onda que emite una llama cuando se le echa sal (línea del Sodio).

Líneas Espectrales

Lineas Espectrales

Robert Bunsen (1811-1899, químico alemán) y Gustav Kirchhoff (1824-1887, físico prusiano) descubrieron que las líneas absorbidas o emitidas por un elemento eran las mismas. Kirchhoff determinó que 70 líneas espectrales oscuras en el Sol correspondían a las líneas de emisión del vapor de hierro. En 1860 desarrollaron la idea que cada elemento produce su propio patrón de líneas espectrales y que puede ser identificado por ellas como si fueran huellas dactilares.

Líneas Espectrales

Robert Bunsen (1811-1899, químico alemán) y Gustav Kirchhoff (1824-1887, físico prusiano) descubrieron que las líneas absorbidas o emitidas por un elemento eran las mismas. Kirchhoff determinó que 70 líneas espectrales oscuras en el Sol correspondían a las líneas de emisión del vapor de hierro. En 1860 desarrollaron la idea que cada elemento produce su propio patrón de líneas espectrales y que puede ser identificado por ellas como si fueran huellas dactilares.

Lineas Espectrales

Robert Bunsen (1811-1899, químico alemán) y Gustav Kirchhoff (1824-1887, físico prusiano) descubrieron que las líneas absorbidas o emitidas por un elemento eran las mismas. Kirchhoff determinó que 70 líneas espectrales oscuras en el Sol correspondían a las líneas de emisión del vapor de hierro. En 1860 desarrollaron la idea que cada elemento produce su propio patrón de líneas espectrales y que puede ser identificado por ellas como si fueran huellas dactilares.

Leyes de Kirchhoff

1) Un gas denso y caliente produce un espectro continuo, sin líneas espectrales2) Un gas difuso y caliente produce líneas espectrales3) Un gas difuso y frío en frente de una fuente de un espectro continuo produce líneas

espectrales oscuras (líneas de absorción) en el espectro continuo.

Effecto Doppler

Una aplicación directa de estos resultados fue el descubrimiento de elementos en las estrellas que no se conocian en la Tierra. Por ejemplo, el Helio fue descubierto espectroscópicamente en el Sol en 1868 y recién en 1895 detectado en la Tierra. Otra aplicación muy importante fue la medición del corrimiento Doppler en la líneas espectrales.

Efecto Doppler

En 1842, el físico austríaco, Christian Doppler (1803-1853) mostró que a medida que una fuente de sonido se mueve a través de un medio como el aire, la longitud de onda se comprime en la dirección del movimiento y se expande en la direccion opuesta. Doppler dedujo que la diferencia entre la longitud de onda observada y la longitud medida en reposo esta relacionada con la velocidad radial (es decir la componente de la velocidad en la dirección del observador).

Efecto Doppler

Esta ecuación es válida solamente en el límite de velocidades bajas es decir v<<c. Para velocidades cercanas a la velocidad de la luz es necesario utilizar la teoría de la Relatividad desarrollada por el fisico alemán Albert Einstein (1879-1955, premio Nobel 1921).

Efecto Doppler

La longitud de onda de una línea espectral importante del Hidrógeno (llamada Hα) es 656.281 nm. Sin embargo, en la estrella Vega es de 656.251 nm. La ecuación anterior permite estimar la velocidad radial de la estrella:

donde el signo menos indica que se está aproximando al Sol.

Ademas, está a una distancia de 7.76pc y su movimiento propio es μ=0.35077”/yr por lo que la velocidad transversal es

Efecto Doppler

Vega, tiene una paralaje de unos 0.125” lo que implica que está a una distancia de 7.76pc.

Su movimiento propio es μ=0.35077”/yr por lo que la velocidad transversal es:

y su velicidad total es:

Debe tenerse en cuenta que la medición de la velocidad radial de una estrella se complica porque la Tierra se mueve alrededor del Sol a 29.8 km/s lo que hace que la longitud observada de una línea espectral varie sinusoidalmente al lo largo del año.

Lunes 4 de Abril 2011

Espectrógrafos

Intrumento para medir los espectros de estrellas y galaxias.

Red de difracción: es una pieza de vidrio donde se han rayado lineas equiespaciadamente (tipicamente unas miles por mm). Puede tanto reflejar como transmitir la luz y actua como una serie de dobles rendijas. Diferentes longitudes de onda tienen sus máximos a diferentes angulos θ:

donde d es la separación entre las líneas de la red, n es el orden del espectro y θ es el angulo medido desde la perpendicular a la red.

El orden n=0 corresponde a θ=0 y en ese caso no hay dispersión.

Espectrógrafos

La habilidad de resolver 2 longitudes de ondas muy próximas separadas por una diferencia Δλ depende del orden del espectro n, y del numero total de líneas iluminadas N. La diferencia más pequeña es:

La razon Δλ/λ se define como el poder de resolución de la red.

A pesar del gran éxito de las leyes empiricas de Wien, de Stefan-Boltzmann, de Kirchhoff y la espectroscopía, aun hacia falta una explicación teórica acerca de la naturaleza misma de la luz.

Albert Einstein

En 1905 (annus mirabilis=año extraordinario), a los 26 años y mientras trabaja en la oficina de patentes de Suiza, publica 4 artículos notables :

1)Movimiento Browniano (su tesis doctoral de 1906)

2)Efecto Fotoeléctrico (premio Nobel)

3)Relatividad Especial

4)Equivalencia Masa-Energía

Efecto Fotoeléctrico

El comportamiento corpuscular de la luz se evidencia cuando se tiene en cuenta procesos que involucren la interacción entre la luz y la materia.

El efecto fotoeléctrico, descubierto por Einstein demostro la naturaleza corpuscular de la misma. Cuando una superficie metálica es iluminada, se emiten electrones desde la superficie. Einstein razonó que cuando un fotón choca con la superficie metálica, la energía del foton puede ser absorbida por un electrón que la utiliza para para escaparse de la superficie.

Cuantización de Plank:

Efecto ComptomEl efecto Compton, descubierto por el fisico norteamericano Arthur Compton (1892-1962) proveyo de la evidencia mas convincente de la naturaleza corpuscular de la luz. La dispersión de un fotón por un electrón libre, inicialmente en reposo. El electrón es dispersado en la dirección θ y el fotón en la dirección ϕ. Debido a que el fortón ha perdido energía (y el electrón la ha ganado) la longitud de onda del fotón aumenta.

Efecto ComptomEl efecto Compton, descubierto por el fisico norteamericano Arthur Compton (1892-1962) proveyo de la evidencia mas convincente de la naturaleza corpuscular de la luz. La dispersión de un fotón por un electrón libre, inicialmente en reposo. El electrón es dispersado en la dirección θ y el fotón en la dirección ϕ. Debido a que el fortón ha perdido energía (y el electrón la ha ganado) la longitud de onda del fotón aumenta.

Estructura del Atomo

En 1897, el físico inglés Joseph John Thomson (1856-1940, premio Nobel 1906) descubrió el electrón haciendo experimentos con rayos catodicos. Debido a que la materia en general es eléctricamente neutra, los átomos deberían estar constituidos por partículas cargadas negativamente (electrones) y positivamente (protones). Aunque no se sabia como se distribuían espacialmente.

Estructura del Atomo

En 1937, su hijo, George Paget Thomson, fue tambien galardonado con el premio Nobel por demostrar las propiedades de tipo ondulatorio de los electrones.

Estructura del Atomo

En 1911, el fisico neozelandes Ernest Rutherford (1871-1937, premio Nobel 1908) probo la existencia del nucleo atomico. Mostro que la particulas cargadas positivamente deberian estar concentradas espacialmente en un volumen muy pequeño del espacio. Utilizando particulas alfa (nucleos de Helio=2 protones+2 neutrones) de alta velocidad, bombardeo laminas de metal muy delgadas y observo que mientras algunas atravesaban el metal sufriendo desviaciones leves, otras rebotaban sobre la lamina. Esto podria ocurrir solo como consecuencia de un choque con un nucleo masivo cargado positivamente. Calculo que el radio del nucleo deberia ser unas 10.000 veces mas pequeño que el atomo mismo: la materia ordinaria estaba hecha fundamentalmente de espacio vacio!

Líneas Espectrales del Hidrógeno

Habian sido encontradas 14 lineas espectrales del Hidrogeno y su longitud de onda medidas muy precisamente. En el rango visible del espectro estan las siguientes:

En 1885, el matematico suizo Johann Balmer (1825-1898) encontro una formula empirica que daba las longitudes espectrales de estas lineas espectrales del Hidrogeno que se conocen como Lineas Espectrales de Balmer:

Donde n=3,4,5…y

Es la constante de Rydberg para el Hidrogeno, denominada asi en honor al espectroscopista suizo Johannes Rydberg (1854-1919)

Rojo Turquesa Azul Violeta

656.3 nm 486.1 nm 434.0 nm 410.2 nm

Hα Hβ Hγ Hδ

Lineas Espectrales del Hidrogeno

Balmer se dio cuenta que su formula se podia escribir tambien como:

donde m<n y ademas ambos son numeros enteros. Cada valor de m da una serie de lineas espectrales:

Sin embargo, no existia una

justificacion fisica para entender de donde provenia.

El modelo atomico de un electro y un proton moviendose alrededor de su centro de masa, sufria del problema basico que de acuerdo a las leyes de Maxwell de la electricidad y magnetismo, una carga acelerada debia emitir radiacion electromagnetica. El electron orbitando deberia por lo tanto perder energia emitiendo luz con frecuencia cada vez mas alta a medida que espiralea hacia el nucleo del atomo. Esto se contradecia con la existencia de lineas espectrales discretas. Ademas, los calculos mostraban que el eletron debia caer al nucleo en una fraccion de segundo convirtiendo a la materia en inestable.

Ultravioleta Visible Infrarrojo Infrarrojo

Lyman Balmer Paschen Brackett

m=1 m=2 m=3 m=4

Atomo de Bohr

En 1913 el fisico danés Niels Bohr (1885-1962, premio Nobel 1922) propuso que el momento angular de los electrones estaba cuantizado. Propuso que

el momento angular orbital de un electrón en órbita alrededor del núcleo podia tomar solo valores discretos y que además no radiaria energía a pesar de la acelearación centrípeta que sufría (tal como lo establecia las leyes de Maxwell).

Propuso además que un fotón se emitía o absorbía cuando un electrón cambiaba de órbita.

Átomo de Bohr

En 1785 fisico frances Charles-Augustin Coulomb (1736-1806) habia establecido que la interacción eléctrica entre dos particulas cargadas q1 y q2 esta dada por la siguiente ecuación

que es análoga a la ley de atracción gravitacional de Newton. Igualando la fuerza eléctrica a la acelaración centrípeta del electrón, se tiene que:

donde μ es la masa del electrón y e es la carga del electrón y del protón.

Átomo de Bohr

La energia cinetica es

La energia potencial es

La energia total es

Esta es la cantidad de energia necesaria para ionizar el atomo (es decir llevar el electro a una distancia infinita del proton).

Atomo de Bohr

que se puede reescribir utilizando el momento angular

como (sacando el signo negativo)

donde

Atomo de Bohr

Resolviendo la ecuacion anterior se tiene que solo los siguientes radios estan permitidos:

donde

y se conoce como radio de Bohr. El electrón pude estar a una distancia a0, 4a0, 9a0,… del protón, pero ninguna otra está permitida.

Reemplazando en la ecuación de la energia se tiene que

Atomo de Bohr

Bohr propuso que un fotón es emitido o absorbido cuando un electrón hace una transición de una órbita a otra. Si un electrón pasa de una órbita nhigh a un órbita nlo, la energía que pierde se la lleva un fotón que se emite de energía:

cuya longitud de onda está dada por:

o equivalentemente:

Atomo de Bohr

Esta ecuación es la generalización de la ecuación empirica propuesta por Balmer. La evaluación de la constante permite encontrar el valor numérico de la constante de Rydberg:

demostrando el éxito del modelo del átomo de Bohr.

Series Espectrales

Átomo de Bohr

Ahora la interpretacion de las leyes de Kirchhoff se volvio mas clara:

1) Un gas denso y caliente produce un espectro continuo, sin lineas espectrales. Este es el espectro continuo de radiacion de cuerpo negro descripto por la ley de Plank

1) Un gas difuso y caliente produce lineas espectrales brillantes. Lineas de emision se producen cuando un electron hace una transicion de un nivel de energia alto a uno mas bajo emitiendo un foton con la correspondiente diferencia de energia.

2) Un gas difuso y frio en frente de una fuente de un espectro continuo produce lineas espectrales oscuras (lineas de absorcion) en el espectro continuo. Lineas de absorcion se producen cuando un electron hace una transicion de un nivel de energia bajo a uno mas alto, absorbiendo un foton de la correspondiente diferencia de energia.

Jueves 7 de Abril 2011

Mecánica Cuántica

Asi como el experimento de Young de la doble rendija con luz, estableció la naturaleza ondulatoria de la luz, el mismo experimento puede realizarse con electrones protones o neutrones estableciendo la naturaleza ondulatoria de los mismos.

http://www.youtube.com/watch?v=elQYG5brROY

Experimento de Young con Electrones

En el experimento de la doble rendija, los fotones o los electrones, deben pasar por ambas rendijas para poder crear el patrón de interferencia. La onda que los representa, no puede tener información de donde esta el fotón o el electrón, sino de la probabilidad de donde podria estar.

En ese sentido es una onda de probabilidad. El cuadrado de la amplitud de la onda |ψ|2, en un cierto lugar, da la probabilidad de encontrar al fotón o al electrón en ese lugar.

Mecánica Cuántica

Louise de Broglie, (1892-1987) un físico y príncipe francés y premio Nobel 1929, en su tesis doctoral de 1927, extendió la dualidad onda-partícula de la luz a todas las partículas.

Propuso utilizar las ecuaciones que relacionan la frecuencia y la longitud de onda de un fotón con su energía y momento para cualquier partícula masiva o objeto tal como un electron, protón, neutrón, átomo, molécula, persona, planeta, estrella, galaxias, etc. Esta idea ha sido confirmada por numerosos experimentos.

Principio de Incerteza de Heisemberg

La onda de la izquierda es un seno, con una longitud de onda precisa λ, luego el momento p=h/λ de la partícula descripta por esa onda se conoce exactamente. Pero, como la amplitude de la onda |ψ|2 consiste en un número de picos todos de la misma altura que se extiende desde x=+/-∞, la posición de la partícula es incierta.

La posición de la partícula puede ser confinada, si se suman diferentes ondas seno con diferentes longitudes de onda, como se muestra en la figura de la derecha. En ese caso, la posición puede ser determinada con precisión, pero no el momento porque es la superposicón de muchas ondas de distintas longitudes.

Principio de Incerteza de Heisemberg

El físico alemán, Wernes Heisemberg (1901-1976, premio Nobel 1932) estableció esa imposibilidad de tener simultaneamente la posición y velocidad como resultado de la dualidad onda-partícula inherente de la naturaleza, dentro de un marco teórico firme conocido como Principio de Incerteza que establece que:

La incerteza en la posición de una partícula multiplicada por la incerteza en su momento, debe ser al menos ħ

o similarmente entre la incerteza de una medición de la enegía y el intervalo de tiempo sobre el cual se realiza la medición de dicha energia.

El átomo de la Mecánica Cuántica

Este resultado tuvo una enorme implicancia para, por ejemplo el modelo del átomo de Bohr ya que al ser imposible determinar precisa y simultáneamente la posición y velocidad, los electrones en realidad no pueden tener órbitas en el sentido clásico.

En lugar de ese modelo de órbitas, la distribución de electrones debe imaginarse como nubes de probabilidad que son más densas donde es más factible encontrarlos.

Ecuación de Schrodinger

A pesar del gran éxito del átomo de Bohr, el modelo no es del todo correcto. Erwin Schrodinger (1877-1961), físico austríaco, premio Nobel 1933, desarrolló una ecuación que describe la onda de probabilidad de la energía y momento angular (entre otras variables). Su solución da exactamente los niveles de energía propuestos por Bohr. Sin embargo, para el momento angular da dos números nuevos cuánticos adicionales que describen el estado del electron: l y ml. En vez de la cuantización propuesta por Bohr se encuentra que:

Ecuación de Schrodingerdonde

Con n el número cuántico principal que determina el nivel de energía.

Además, la componente z del momento angular cumple

donde ml puede tomar cualquiera de los 2l+1 enteros que hay entre –l y l. De esta forma, el vector momento angular puede apuntar en 2l+1 direcciones diferentes. Electrones con el mismo valor de n, pero diferentes valores de l y ml se dicen que tienen valores degenerados.

Electrones que hacen una transición desde un nivel orbital a cualquiera de los distintos valores degenerado, produce la misma línea en el espectro ya que a todos les correponde el mismo cambio de energía.

Efecto Zeeman

Sin embargo, Pieter Zeeman (1865-1943, físico holandés y premio Nobel 1902 conjuntamente con Lorentz) descubrió que los electrones que hacen transiciones entre estos niveles degenerados, cuando son sometidos a un campo magnético producen líneas espectrales con frecuencias (y longitudes de onda) ligeremante diferentes.

El efecto Zeeman se debe a la orientación relativa del campo magnético respecto a las (2l+1) posibles orientaciones del electrón que estan dadas por el número cuántico ml

Efecto Zeeman

El caso más simple corresponde a l=1, por lo que ml=-1,0,+1, dando 3 frecuencias ligeramene diferentes:

Donde ν0 es la frecuencia que corresponde al caso sin campo magnético, B es la magnitud del mismo y μ la masa reducida del sistema.

Este desdoblamiento de las líneas espectrales permite la medición de campos magnéticos en las estrellas.

Spin

En 1925, tratando de explicar algunas anomalías observadas en el efecto Zeeman, se llegó al descubrimiento de un cuarto número cuántico denominado spin que le asigna a un electrón un vector de magnitud constante:

donde la componente z de ese vector es:

y donde mS pude tomar solo dos valores posibles: -1/2 o +1/2

Principio de Exclusión de Pauli

Wolfgang Pauli (1900-1958, físico austríaco premio Nobel 1945) estableció que 2 electrones del mismo átomo no pueden tener los mismos valores de números cuánticos.

Este principio permite interpretar la configuración electrónica de los átomos proveyendo una explicación a la tabla periódica de elementos.

Por ejemplo el Helio tiene 2 electrones con (n,l,m,s)=(1,0,0,-1/2) y (1,0,0,+1/2)

El Litio tiene 3 electrones, entonces el 3er electron no puede entrar en el nivel de energía mas baja (correspondiente a n=1) y debe ocupar el nivel siguiente.

Tabla Periódica de Elementos

Tabla Periódica de Elementos

Ordenamiento de los elementos quimicos

Elementos ordenados en orden creciente de número átomico (cantidad de protones en el núcleo átomico)

Cada número cuántico principal corresponde a una capa o cáscara de electrones (se denotan por K,L,M,N)

El segundo número cuántico está dado por l=0,….,(n-1) y se denotan por (s,p,d,f)

Ecuación de DiracPaul Dirac (1902-1984, físico británico premio Nobel 1933 con Schrodinger) combinó la ecuación de onda Schrodinger con la teoria de la relatividad de Einstein. Encontró que que la solución incluia el spin del electrón.

Generalizó el principio de exclusión de Pauli dividiendo el mundo de las partículas en dos grupos fundamentales:

Fermiones: electrones, protones, neutrones spin 1/2, 3/2, 5/2..y obedecen el Principio de Exclusión de Pauli

Bosones: fotones con spin 0,1,2,..y que no obedecen el Principio de Exclusión de Pauli

Predijo, además, la existencia de las antipartículas (identica a una partícula pero con carga electríca opuesta) que se aniquilan entre sí cuando se encuentran liberando energía.

Espectros

Dado los números cuanticos que describen el estado de cada electrón en un átomo, el número de niveles de energía posibles aumenta rápidamente con el número de electrones. Esto hace que el espectro se vuelva muy complicado.

En la figura se muestran los niveles de energía para el átomo de Helio.

Debe señalarse que no todas las transiciones entre niveles de energía en un átomo son igualmente probables. Algunas ocurren espontaneamente en escalas de tiempo del orde 10-8 s, mientras que otras son llamadas prohibidas por las largas escalas de tiempo que involucran