Determinacin de la Constante de Planckpor el Efecto FotoelctricoGabriela Rojas y Carlos Santander

Resumen. Este informe se presenta los datos obtenidos y el anlisis del resultado del experimento que estudia el efectofotoelctrico a travs de la medicin del voltaje de frenado para diversos haces de luz monocromticos, que inciden en unfototubo, conectado a un circuito elctrico. A travs de la medicin de estos datos obtuvimos un valor para la constante dePlanck (h) igual a (2,8 1015 7 1016)[eV ], cuyo error relativo porcentual es del 25%, y que difiere del valor terico enun 31%. Estos resultados se consideraron suficiente para confirmar la relacin entre la energa y la frecuencia de una ondaelectromagntica.

OBJETIVO

Determinar el valor de la constante de Planck (h), yestimar la funcin trabajo ( ) por medio del anlisisexperimental del efecto fotoelctrico.

INTRODUCCIN

A fines del siglo XIX, Hertz, experimentando conondas electromagnticas para comprobar la teora deMaxwell, descubri por casualidad el efecto fotoelc-trico: not que la chispa producidas en su experimentoaumentaban si se hacan utilizando luz ultravioleta. Estono poda ser explicados por la fsica de aquella pocaporque principalmente estaba centrada en la naturalezaondulatoria de la radiacin, y adems para aquel enton-ces se desconoca la existencia del electrn.

Unos aos despus, en 1900, P. Lenard, conociendolos resultados de Thomson sobre el electrn, logrexplicar que las partculas emitidas bajo la luz ultra-violeta en el experimento de Hertz eran electrones. Asu vez, descubri que la energa mxima de salida delos electrones dependa del color de la luz (es decir,su frecuencia), y que adems esta energa mxima semantena fija independiente de la intensidad de la luz.

Estudios posteriores lograron explicar esto por mediode la teora corpuscular de la luz, la que deca que la luzest compuesta de partculas llamadas fotones. Einsteinpor medio de estudios realizados por Plank, determinque la energa de estos fotones era proporcional a sufrecuencia [1]:

E = h (1)De esta forma, los fotones logran liberar un electrncuando superaban la funcin trabajo 0 (energa que los

liga al metal) de stos. Por la conservacin de la energa,resulta la siguiente ecuacin:

h = 0+ 12 me v2 (2)

Donde el ltimo trmino corresponde a la energa cinti-ca del electrn.

Para ste experimento utilizaremos una celda foto-elctrica donde impactarn estos electrones, generandouna corriente. A su vez utilizaremos un voltaje paradesviar estos electrones liberados. De manera que alcancelar la corriente tendremos la siguiente relacin

e VI=0 = 12 me v2 (3)

Reemplazando (3) en (2), y reordenando los trminosobtenemos la siguiente relacin:

e VI=0 = h 0 (4)A partir de (4) podremos obtener una aproximacin de laconstante de Plank.

MONTAJE EXPERIMENTAL YPROCEDIMIENTO

Instrumentos

Tubo fotoelctrico.Lmpara de mercurio.Filtros pticos de 405 nm, 436 nm, 546 nm y 580nm.Convertidor Voltaje-Corriente.Microampermetro.Multitester.

Soporter universal.Pinza.

Procedimiento

Se dispusieron los instrumentos como indica la ima-gen de la Figura 1. Se encendi la lmpara de mercurio,y no se apag hasta finalizar el experimento.En total se realizaron 24 mediciones, 6 para cada uno delos filtros pticos. En las mediciones se variaba el voltajede tal manera que el microampermetro indicara que lacorriente era nula, una vez que la aguja se estabilizaba setomaban los datos. Posteriormente, para la siguiente me-dicin, se apagaban todos instrumentos (a excepcin dela lmpara) y se realizaba el mismo procedimiento des-crito anteriormente.

Figura 1. 1: Microampermetro. 2: Convertidor voltaje-corriente. 3: Multitester. 4: Filtros pticos. 5: Soporte. 6: Pinza.7: Tubo fotoelctrico. 8: Lmpara de mercurio.

RESULTADOS EXPERIMENTALES YANLISIS

Los datos obtenidos del experimento se presentanen el Cuadro 1: Sacando el promedio de los Vf renadopara cada , obtenemos los datos del Cuadro 2, con surespectivo error estndar.Estos datos representados en un grfico, junto con la

ecuacin de la tendencia, se muestran en Figura 2.La ecuacin de la mejor recta que se ajusta a los datos

(por mtodo de regresin lineal) est presentada en elmismo grfico, donde los valores de la pendiente (m)y del coeficiente de posicin (n) tienen los siguienteserrores asociados:1

1 Estos errores fueron calculados usando propagacin de error, y queson mayores que los obtenidos usando las frmulas de regresin linealpor mtodo de mnimos cuadrados.

Cuadro 1. Voltajes de frenadoV f r ob-tenidos para seis mediciones de cadalongitud de onda . [nm] V f r0,001 [Volt]405 1,304405 1,303405 1,303405 1,296405 1,294405 1,300436 1,132436 1,134436 1,134436 1,137436 1,136436 1,140546 0,689546 0,690546 0,690546 0,688546 0,759546 0,757580 0,682580 0,695580 0,690580 0,673580 0,683580 0,685

Cuadro 2. Datos reducidos1[m1] V f r[Volt] V f r[Volt]

1724137,9 0,685 0,0031831501,8 0,712 0,0142293578,0 1,136 0,0012469135,8 1,300 0,002

Figura 2. Notar que es la longitud de onda. Los errores delos datos son demasiado pequeos para aparecer en el grfico.

m= 2,1 1007 (5)n= 0,4 (6)

Esta relacin lineal entre las variables estudiadas co-rrobora la ecuacin (4), y as nos permite encontrar losvalores experimentales del trabajo de extraccin asocia-do al material del ctodo del fototubo, y de la constanteh que se indican a continuacin:

h[eV ] = 2,8 10157 1016

[eV ] = 0,80,4Comparando cada uno de los errores con su medida

asociada, vemos que el error porcentual del valor expe-rimental de h es del 25%, y el es del 50%.

El valor de h obtenido del experimento tiene el mismoorden de magnitud que el aportado por la teora, y suscifras son cercanas a las del valor terico. Sin embargo,su diferencia es de una magnitud mayor al error experi-mental encontrado.

El error relativo porcentual de la pendiente nos otorgauna nocin del grado de precisin de nuestros datosy deriva principalmente del proceso de control de lasvariables y medicin de los datos. Observando el cuadro(2) vemos que los errores estndar de los datos del voltajede frenado son relativamente pequeos, salvo el errorestndar del voltaje de frenado propio del haz de luz de456[nm]. Por otro lado el error de los filtros de longitudde onda son demasiado chicos para ser considerados. Deesto podemos asociar el error de nuestros resultados aun error aleatorio que pudo aumentar durante la toma dedatos.

CONCLUSIONES

El error del resultado experimental relativo al valorterico de h es del 31%, lo que le da una exactitud dbila nuestros datos.2

Por otro lado, la magnitud del trabajo de extraccinobtenido para el fototubo est debajo del rango de valo-res conocidos para ciertos metales, y con una diferenciaque es mayor a la magnitud de su error asociado. 3

Considerando lo anterior, y que el valor obtenidopara h deriva del valor de la pendiente presentada en elgrfico (Figura 2) es esperable que el error experimentalrelativo al valor de la pendiente (5) condujera a un errorrelativo notoriamente mayor en el valor del intercepto,ms aun si el menor de los datos medidos se aleja

2 Este error fue calculado de la siguiente forma: hteohexphteo3 Los valores conocidos de para diversos metales fluctan entre2,3[eV ] y 6[eV ] [2]

notoriamente del valor del intercepto.

Considerando que el error de la pendiente pudo deber-se a un error aleatorio, ste debiera estar determinado porlas siguientes limitaciones de nuestro experimento:

Por un lado, aunque antes de iniciar la medida delos datos calibramos el amplificador, notamos que alvariar manualmente el voltaje del circuito para en-contrar el voltaje de frenado, la calibracin del am-plificador se modificaba con facilidad. Esto lo ex-plicamos debido a que la manilla de variacin delvoltaje estaba muy prxima a la manilla de calibra-cin, ambas tenan una rotacin muy suave y fcilde conseguir, y trabajamos con poca luz (para con-trolar la frecuencia de luz que entraba al fototubo)lo que condujo a que no siempre consiguiramos,ya sea por dbil visin o mal pulso, mover la mani-lla del voltaje sin mover ligeramente la manilla decalibracin.El amplificador o el microampermetro no funcio-naban del todo bien, pues para voltajes negativosde mayor magnitud al voltaje negativo de frena-do el microampermetro marcaba el paso de ciertacorriente elctrica, y sabemos por la teora que enestos casos la corriente deba ser cero.La luz ambiental vari durante el experimento. Aesta limitacin se suma el dbil control que tuvi-mos sobre la distancia del fototubo a la lmparade mercurio, causado por movimientos de nuestrosbrazos sobre los aparatos del montaje experimental,por movimientos de la mesa de laboratorio y pornuestra poca precisin manual para mantener estadistancia cada vez que cambiamos los filtros del fo-totubo.A las limitaciones anteriores debemos agregar lapoca variedad de datos, debido a la poca cantidadde filtros que disponamos.

Dicho lo anterior, para aumentar tanto la precisin comoexactitud de nuestros datos, y as disminuir los erroresde los resultados, proponemos las siguientes mejoraspara el diseo, montaje y medicin de datos de esteexperimento:

Aumentar la variedad y ampliar el rango de filtros delongitud de onda del fototubo; utilizar un amplificadorcuya manilla de calibracin est mejor resguardada delos movimientos y roces propios de la manipulacin delos instrumentos, y que no presente errores de funcio-namiento como el detallado respecto a voltajes msnegativos que el voltaje de frenado; fijar la posicin delfototubo respecto a la lmpara de mercurio, con algunacinta adherente o mecanismo fijador estable; tapar lasventanas del Laboratorio y evitar que se abra la puerta

durante la toma de datos.

Analizada la medida en que los datos obtenidosdurante este experimento confirman la relacin (4) y laefectiva existencia de la constante de Planck, podemosprofundizar en los fenmenos involucrados en el efectofotoelctrico formulando las siguientes observaciones yconclusiones:

Dada una corriente elctrica en el circuito externo delmontaje experimental producida por la incidencia de unhaz de luz monocromtico en el fototubo (compuestode dos electrodos conductores), observamos que simanteniendo constante la frecuencia del haz de luz,disminuamos su intensidad (alejando la lmpara demercurio respecto al fototubo, o acortando el rea trans-versal por donde el haz de luz monocromtico entrabaal fototubo) la intensidad de la corriente fotoelctricatambin disminua; y si de modo inverso aumentbamosla intensidad del haz de luz, manteniendo constante sufrecuencia, la intensidad de la corriente fotoelctricatambin aumentaba.

Aunque no pudimos comprobarlo experimentalmente,puesto que slo contamos con la posibilidad de usarcuatro haz de luz monocromticos distintos que produ-can corriente elctrica desde el fototubo, sabemos de lateora que el hecho descrito en el prrafo anterior ocurreslo cuando el haz de luz monocromtico tiene unafrecuencia sobre la frecuencia umbral, que dependedel material del ctodo del fototubo. Para frecuenciasmenores a la frecuencia umbral, la incidencia de luzen el fototubo no producira corriente elctrica, y por lotanto la relacin anterior no se observara. Ahora si en-tendemos a la luz como una onda electromagntica cuyadensidad de energa depende, segn el vector de Poyn-ting, de su amplitud y no de su frecuencia, es de esperarque la energa que reciben los electrones para salir delctodo y por consiguiente la intensidad de la corrientefotoelctrica, dependan de la intensidad del haz de luzy no de la frecuencia del haz. Sin embargo la evidenciaexperimental sobre el efecto fotoelctrico nos permi-ti observar que, aun cuando para ciertas frecuenciasconstantes efectivamente la intensidad de la luz afecta lacorriente fotoelctrica (como se indic anteriormente),la energa que reciben los electrones s depende de la fre-cuencia, pues bajo la frecuencia umbral mencionadano se produce corriente elctrica, incluso si se aumentala intensidad del haz de luz, y por otro lado, al aumentarla frecuencia del haz, manteniendo la intensidad de luzconstante, tambin aumenta la intensidad de corriente.Esto en un comienzo trajo un conflicto a la Teora quedescribe a la luz como una onda electromagntica,hasta que Einstein resolvi el problema formulandolas leyes fsicas de la realidad cuntica desconocidas

hasta ese entonces, y que explican que la luz ademsde cumplir con las caractersticas de una onda elec-tromagntica, est constituida por pequeos paquetesde energa llamados cuantos, o fotones, que dependende la frecuencia de la onda como lo indica la relacin (1).

Gracias a los descubrimientos de Einstein podemosentender la transferencia de energa entre la luz y elelectrn, como una transferencia que no es continua,como esperaba la Teora Clsica, sino que en paquetescompletos dependientes slo de una constante (h), y lafrecuencia de la luz. Esta energa al ser transferida aun electrn realiza el trabajo de liberarlo del ctodo delfototubo y le otorga una energa cintica para moverseal nodo (ver 2). La energa mxima que puede recibircada electrn a partir de un haz de luz monocromtico,puede determinarse identificando el voltaje para el cualla corriente fotoelctrica se detiene, llamado potencialde frenado (ver 3). De los datos obtenidos duranteel experimento (Cuadro 1), se pudo observar que elVoltaje de Frenado vara con respecto a la longitud deonda del haz monocromtico, y por consiguiente conrespecto a su frecuencia. La relacin entre estas magni-tudes podemos observarla en el Cuadro 2 y el grafico(Figura 2), donde es clara la tendencia lineal entre lafrecuencia y el potencial de frenado. Ante esta situacincabe preguntarse si el potencial de frenado vara con laintensidad luminosa. Para respondernos esta preguntavariamos la intensidad del haz de luz manteniendosu frecuencia constante. Observamos que el potencialentre los electrodos del fototubo variaba en la mismadireccin que la intensidad del haz de luz, siempreque el potencial entre los electrodos fuera de mayormagnitud al potencial de frenado. En cambio, cuandopara un mismo haz de luz monocromtico buscamos supotencial de frenado, observamos que este era el mismoindependiente de la intensidad del haz luminoso. Estotambin fue un conflicto para la Teora Clsica que noaceptaba la idea del cuanto de energa, y esperaba quea mayor energa de la onda de luz, mayor fuera la energacintica del electrn al salir del ctodo y por ende mayorla magnitud del voltaje de frenado. Pero dada la relacin(2) sabemos que esto ocurre debido a que cada fotninteracta con un solo electrn, y por ende la energacintica mxima del electrn jams depender de ladensidad de energa de la onda electromagntica [3].

Todo lo deducido por el efecto fotoelctrico, permitepredecir que si en vez de utilizar un haz de luz, sebombardeara con partculas de alta energa un metal,no necesariamente se observara emisin de electrones,porque para que un electrn sea emitido, necesita laenerga suficiente para salir del metal, y tener energacintica. Las partculas debido a su gran masa, y cargaelctrica, al incidir en un metal, principalmente ionizan

los tomos del metal, produciendo cierto movimientode electrones, pero sta interaccin no es suficiente paraaportarle la energa necesaria para salir del material.Algo similar ocurre para las partculas , que an cuan-do pueden producir mayor movimiento de electrones enel material, su interaccin con los tomos no alcanzafcilmente a otorgarle la energa necesaria al electrnpara salir.En cambio, la emisin de rayos es precisamenteradiacin electromagntica compuesta por fotones dealta frecuencia, y por lo tanto puede otorgarle la energanecesaria a los electrones para salir a travs del efectofotoelctrico, el efecto Compton, o incluso la produccinde pares [4].

Son conocidos ciertos rangos de energa en que lasaproximaciones no relativistas son suficientemente bue-nas. Por ejemplo cuando el electrn tiene una energamenor a 5,11[eV ]; la ecuacin no relativista para un mo-mento de electrn tiene un error del 1%, y por ende seconsidera razonablemente buena. 4

REFERENCIAS

1. Tipler, Paul A., and Ralph A. Llewellyn. Modern Physics.5th ed. New York, NY: W.H. Freeman, 2008. 127-128.

2. Lide, David R. CRC Handbook of Chemistry and Physics:A Ready-reference Book of Chemical and Physical Data.90th ed. Boca Raton, Fla.: CRC Press, 2009.

3. Young, Hugh D., and Roger A. Freedman. FsicaUniversitaria Con Fsica Moderna. Vol. 2. 12th ed.Mxico: Addison Wesley Iberoamericana, 2009.

4. Rickards, Jorge, and Ricardo Cameras. II. INTERACCINDE LA RADIACIN CON LA MATERIA."LAS RADI-CACIONES II. EL MANEJO DE LAS RADICACIONESNUCLEARES. February 28, 2002. Accessed April 6,2015. http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/094/htm/sec_6.htm.

4 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/relativ/rellim.html