Jueves, 10 de Marzo 2011. Astronomía General I Primer Cuatrimestre 2011 Facultad de Matemática...

Jueves, 10 de Marzo 2011

Astronomía General IPrimer Cuatrimestre 2011

Facultad de Matemática Astronomía y Física

Universidad Nacional de Córdoba

Docente Teóricos: Mario G. Abadi

Mario G. Abadi

Email: [email protected]

Teléfono: 4331066 interno 107

Oficina: 107 IATE

Mario G. Abadi

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Docentes Prácticos:

David Algorry Victor ArreguineIván Bustos Fierro

Carlos Donzelli Maximiliano Pivato

Ana Laura O’Mill Walter Weidmann

Información Útil

Clases Teóricas : Lunes y Jueves de 3 a 5hs.

Clases Prácticas: Lunes y Jueves de 5 a 7hs.

2 Parciales y 1 Recuperatorio

1 Examen Final

Condiciones de Regularidad:

2 Parciales Aprobados

80% Asistencia a los Teóricos y Prácticos

Libros:

An Introduction to Modern Astrophysics, Bradley W. Carroll & Dale A. Ostlie, 2007

Universe, William J. Kaufmann III, 1991

Introductory Astronomy & Astrophysics, Michel Zeilik & Stephen A. Gregory, 1998

Páginas de Internet:

http://www.whfreeman.com/universe7e Animaciones, videos, ejercicios interactivos, cuestionarios

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/astropix.htmlImágenes astronómicas, una diferente cada dia

Recursos

Programa

Parte I: HerramientasParte II: EstrellasParte III: PlanetasParte IV: Galaxias

Parte I: Herramientas

Capítulo 1) Observación del Cielo. Movimiento Aparente de los Astros. Modelo Geocéntrico. Distancias y Tamaños Relativos de la Luna y el Sol. Distancias Absolutas. Ordenes de Magnitud. Movimiento Retrogrado de los Planetas. Modelo Heliocéntrico. Periodo Sidéreo y Sinódico. Sistema de Coordenadas. Coordenadas Horizontales. Cambios Diurnos y Estacionales. Coordenadas Ecuatoriales. Precesión. Movimientos Propios. Trigonometría Esférica.

Capítulo 2) Órbitas elípticas. Kepler, Leyes de Kepler. Geometría del Movimiento Elíptico. Galileo. Leyes de Newton. Ley de Gravitación Universal. Centro de Masas.

Capítulo 3) Paralajes Estelares. Magnitudes Aparentes. Flujo y Luminosidad. Magnitud Absoluta. Velocidad de la Luz. Naturaleza de la Luz. Experimento de Young. Color y Temperatura. Cuerpo Negro. Aproximaciones a la Ley de Cuerpo Negro. Función de Plank. Índice de Color y Corrección Bolométrica. Índice de Color.

Capítulo 4) Líneas Espectrales. Leyes de Kirchhoff. Efecto Doppler. Efecto Fotoeléctrico y Comptom. Estructura del Átomo. Líneas Espectrales del Hidrógeno. Átomo de Bohr. Ecuación de Schroedinger.

Parte II: EstrellasCapítulo 5) Estrellas Binarias. Aparentes. Visuales. Astrométricas. Eclipsantes.

Espectrales. Espectroscópicas. Determinación de Masas. Determinación de Radios y Cocientes de Temperaturas. Planetas Extrasolares.

Capítulo 6) Tipos Espectrales Estelares. Clasificación Espectral de Harvard. Intensidad de las Líneas Espectrales. Composición Química de las Estrellas. Mecánica Estadística. Distribución de Velocidades de Maxwell-Boltzmann. Ecuación de Boltmann. Ecuación de Saha. Diagrama de Hertzsprung-Russell. Propiedades Estelares. Función de Luminosidad Estelar.

Capítulo 7) Equilibrio Hidrostático. Conservación de la Masa. Ecuación de Estado de la Presión. Presión de Radiación. Fuentes de Energía Estelar. Contracción Gravitacional. Procesos Químicos. Procesos Nucleares. Ciclo Protón-Protón. Ciclo CNO. Ciclo CNO y PP. Proceso Triple Alfa. Combustión de Carbono y Oxígeno. Transporte de Energía.

Capítulo 8) Formación Estelar. Enrejecimiento. Nebulosas. Protoestrellas. Criterio de Jeans. Colapso Homólogo. Fragmentación. Evolución Pre-Secuencia Principal. Función Inicial de Masa. Evolución Secuencia Principal. El Sol. Gigantes Rojas. La Fusión de Helio. Rama Horizontal. Estrellas AGB. Nebulosas Planetarias. El Ciclo de Vida del Sol. Evolucion Pos-Secuencia Principal. Estrellas Supergigantes. Estrellas de Neutrones. Pulsares. Agujeros Negros.

Parte III: Planetas

Capitulo 9) Sistema Solar. Planetas. Orbitas. Radios. Período de Rotación. Densidad. Planetas Terrestres. Planetas Jovianos. Plutón. Satéllites. Satélites Gigantes. Composición Química. Mercurio. Venus. Tierra. Luna. Fases de la Luna. Formación de la Luna. Marte.

Capítulo 10) Jupiter. Saturno. Urano. Neptuno. Anillos. Ley de Titius Bode. Asteroides. Troyanos. Cinturón de Asteroides. Huecos de Kirkwood. Colisiones. Meteoroides. Cometas. Colas de Cometas. Fragmentos Cometarios. Cinturón de Kuiper. Nube de Oort.

Parte IV: Galaxias

Capítulo 11) Modelos Históricos de la Vía Láctea. Extinción Interestelar. Conteos Estelares. Distancia al Centro Galáctico. Disco. Cociente Masa-Luminosidad. Estructura Espiral. Gas y Polvo Galaxias Satellites. Núcleo. Barra. Halo Estelar. Cúmulos Globulares. Halo de Materia Oscura. Sistema de Coordenadas Galácticas. Sistema de Referencia Local. Curva de Rotación. Centro Galáctico.

Capítulo 12) Clasificación Morfológica de Galaxias. Galaxias Espirales. Galaxias Irregulares. Brillo Superficial. Curvas de Rotación. Relación de Tully-Fisher. Relación Radio-Luminosidad. Masas. Relación Masa-Luminosidad. Colores. Frecuencia Específica de Cúmulos Globulares. Estructura Espiral. Galaxias Elípticas. Relación de Faber-Jackson. Función de Luminosidad.

Capítulo 13) Escala de Distancias. La expansión del Universo. Ley de Hubble.Constante de Hubble.Big Bang.Edad del Universo. Cúmulos de Galaxias. Grupo Local. Supercúmulos. Burbujas. Vacios. Filamentos. Cosmología Newtoniana. Paradoja de Olbers. Principio Cosmologico. Modelos de Universo. Radiación de Fondo de Microndas. Nucleosíntesis.

MarzoDomingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

1 2 3 4 5

6 7Carnaval

8 9 10Capítulo 1a

11 12

13 14Capítulo 1b

15 16 17Capítulo 2a

18 19

20 21Capítulo 2b

22 23 24Memoria

25 26

27 28Capítulo 3a

29 30 31Capítulo 3b

AbrilDomingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

1 2

3 4Capítulo 4a

5 6 7Capítulo 4b

8 9

10 11Capítulo 5a

12 13 14Capítulo 5b

15 16

17 18Capítulo 6a

19 20 21Semana Santa

22 23

24 25Capítulo 6b


29 30

MayoDomingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

1 2Capítulo 7b

3 4 5Capítulo 8a

6 7

8 9Capítulo 8b


13 14

15 16Capítulo 9b


20 21

22 23Semana Mayo

24 25 26Semana Mayo

27 28

29 30Capítulo 10b

31

JunioDomingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

1 2Capítulo 11a

3 4

5 6Capítulo 11b

7 8 9Capítulo 12a

10 11

12 13Capítulo 12b

14 15 16Capítulo 13

17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

Capítulo 1Esfera Celeste

Observación del Cielo. Movimiento Aparente de los Astros. Modelo Geocéntrico. Distancias y Tamaños Relativos de la Luna y el Sol. Distancias Absolutas. Ordenes de Magnitud. Movimiento Retrogrado de los Planetas. Modelo Heliocéntrico. Periodo Sidéreo y Sinódico. Sistema de Coordenadas. Coordenadas Horizontales. Cambios Diurnos y Estacionales. Coordenadas Ecuatoriales. Precesión. Movimientos Propios. Trigonometría Esférica.

Definición

Pitágoras (-582 al -507)

Los seres humanos hemos admirado el firmamento desde tiempos remotos, preguntándonos sobre sus misterios

Numerosas culturas han dejado vestigios de esta aventura

La visión actual del universo está basada en la descripción matemática del mismo, introducida por Pitágoras (filósofo y matemático griego) que intenta describir lo que observamos

Observación del Cielo

Una primera observación del cielo diurno indica que el Sol se mueve de este a oeste

La observación del cielo nocturno a simple vista nos indica que:

Las estrellas se mueven este a oeste

Las estrellas visibles cambian con las estaciones

La Luna se cambia de posición y de fase

Los planetas tiene un movimiento más complejo

Observacion del Cielo

El Sol es amarillo

El cielo diurno es celeste

El cielo del amanecer/nocturno es rojizo

El cielo nocturno es negro

Platon (-428 al -348)

Uno de los grandes filósofos griegos, fue alumno de Sócrates (-470 al -399, filosofo griego) y maestro de Aristóteles (-384 al -322, filósofo y científico griego) propuso un modelo geocéntrico en el que los cuerpos celestes se mueven alrededor de la Tierra con un movimiento constante o uniforme

Las estrellas estan fijas en una esfera celeste que rota respecto de un eje que pasa por el polo Norte y Sur de la Tierra

Stellarium.org

Platon (-428 al -348)

Uno de los grandes filósofos griegos, fue alumno de Sócrates (-470 al -399, filósofo griego) y maestro de Aristóteles (-384 al -322, filósofo y científico griego) propuso un modelo geocéntrico en el que los cuerpos celestes se mueven alrededor de la Tierra con un movimiento constante o uniforme

Las estrellas estan fijas en una esfera celeste que rota respecto de un eje que pasa por el polo Norte y Sur de la Tierra

Aristarco (-310 al -230)

Astrónomo y matemático griego, fue el primero en proponer un modelo heliocéntrico, pero sus ideas no prosperaron.

Estimo las distancias y tamaños de la Luna y del Sol

Distancia y Tamaños Relativos de la Luna y el Sol

€

senα

2=rSdTS=rLdTL

€

senθ =dTLdTS

=rLrS

Durante un eclipse total de Sol, se tiene que

Cuando vemos media Luna iluminada

Aristarco midió (erroneamente) que θ~3°, obteniendo que el Sol era unas 20 veces más grande (y que se encontraba también 20 veces mas lejos ) que la Luna. Sin embargo el método es correcto y, usando el valor de θ~1/6°=10’ aceptado actualmente, se obtiene correctamente que el factor es 400 y no 20.

Diámetro angular del Sol y de la Luna α~1/2°=30’lo que dice que la distancia al Sol (o a la Luna) es unas 1/sen(0.25°)=230 veces su radio.

Distancias Absolutas

Durante un eclipse de Luna

1) La Luna comienza a entrar en el cono de sombra de la Tierra

2) La Luna termina de entrar completamente del cono de sombra de la Tierra

3) La Luna comienza a salir del cono de sombra de la Tierra

Aristarco encontró que el tiempo entre 1 y 3 era un poco más que el doble que entre 1 y 2. Llamando a ese factor n, se tiene que t13=nt12. La distancia que la Luna recorre de 1 a 2 es su diámetro (2rL) y la distancia que recorre de 1 a 3 es el diámetro del cono de sombra, 2rc.

Distancias Absolutas

Ahora, asumiendo que la Luna se mueve a velocidad constante

y utilizando que t13=nt12 se obtiene rc=nrL

Si se supone que el Sol esta en el infinito entonces los rayos llegan paralelos y el cono es en realidad un cilindro de diámetro igual al radio de la Tierra rT y por lo tanto se tiene que rL=rT/n y se puede obtener un valor aproximado para el radio de la Luna a partir de tener el valor del radio de la Tierra. Existen algunas aproximaciones mejores utilizando la forma cónica (y no cilíndrica) del la sombra.

€

VL =2rCt13=2rLt12

Eratóstenes (-276 al -194)

Astrónomo griego de origen caldeo. Determinó la forma y el tamaño de la Tierra. Además, determinó la oblicuidad de la eclíptica.

Eratóstenes (-276 al -194)

Sabia que durante el sosticio de verano en el hemisferio norte, los pozos de la ciudad de Siena (hoy Asuan) no proyectaban sombras. Esto indicaba que el Sol estaba en el cenit. Sin embargo, en ese mismo momento en Alejandría un edificio si proyectaba sombra. Esto indicaba que la Tierra era redonda y no plana. Además, midiendo la longitud de la sombra determinó la diferencia de latitud entre las dos ciudades y midiendo finalmente la distancia entre ambas, calculó el radio.

Escalas de Distancias en km

Radio Luna 1,734 km ~ 2 mm

Radio Tierra 6,371 km ~ 6 mm

Distancia Tierra-Luna 384,403 km ~ 40 cm

Radio Sol 695,500 km ~ 70 cm

Distancia Tierra-Sol 149,597,887 km ~150 mt

Si imaginamos una maqueta a escala donde

1000 km=1mm tendremos una compresión de un factor mil millones = 109

Monedas de Curso Legal en Argentina

Nombre Factor Desde-Hasta Acumulativo

Peso Moneda Nacional 100 (1881-1969) 100=102

Peso Ley 18,188 10,000 (1970-1983) 1,000,000=106

Peso Argentino 1,000 (1983-1985) 1,000,000,000=109

Austral 10,000 (1985-1992) 10,000,000,000,000=1013

Peso Convertible (1992- )

PreciosComprar Precio en Dólares

Estadounidences Espesor del Fajo en Billetes de 100 u$s

Saco 100=102 0,1 mm

Computadora 1,000=103 1 mm

Auto 10,000=104 1 cm

Casa 100,000=105 10 cm

Edificio 1,000,000=106 1 mt

Centro 1,000,000,000=109 1 km

Carlos Slim 100,000,000,000=1011 100 km

Lunes, 14 de Marzo 2011

Movimiento Retrogrado

El movimiento de las estrellas errantes (planetas) era mucho más complicado de explicar que el de las estrellas fijas.

Un planeta como Marte se mueve lentamente de oeste a este respecto al fondo fijo de las estrellas.

Sin embargo, en un determinado momento, cambia el sentido de su movimiento por algún período de tiempo, para retomar posteriormente su sentido de movimiento previo.

Este fue el principal problema astronómico por aproximadamente 2000 años.

Este Oeste

Hiparcos (-190 al -120)

Quizás el más notable de los astrónomos griegos

Propuso un sistema de círculos para explicar el movimiento retrógrado de los planetas llamados epicíclos.

Creo el primer catálogo estelar.

Desarrolló el sistema de magnitudes que se usa en la actualidad.

Contribuyó al desarrollo de la trigonometría.

Claudio Ptolomeo (90-168)

Ptolomeo (astrónomo egipcio que vivió bajo el imperio de los romanos) perfeccionó el modelo de los epicíclos de Hiparcos introduciendo los ecuantes, corrió la Tierra del centro, e incluso permitió el movimiento del círculo deferenteSin embargo, el atractivo del modelo de Platón (movimiento circular y uniforme) quedó significativamente comprometido

Nicolas Copérnico (1473-1543)

En el siglo XVI la simplicidad del modelo Ptolomeico habia desaparecido.

Copérnico, astrónomo polaco, sugiró un modelo heliocéntrico que condujo a una descripción mucho más simple de los movimientos de los planetas y las estrellas.

Temiendo severas críticas de la iglesia católica, que decretó que la Tierra era el centro del Universo, la publicación de su libro “De Revolutionibus Orbitum Coelestium” apareció por primera vez el año de su fallecimiento

Recordar que Aristarcos (-280) propuso un modelo heliocéntrico, pero en ese entonces no habia evidencia convincente que la Tierra podia estar en movimiento

Modelo Heliocéntrico

Fue posible establecer de ordenar todos los planetas desde el Sol, como así también sus distancias relativas y su períodos orbitales

El simple hecho de que mercurio y Venus no se ven nunca a más de 28° y 47° respectivamente al este o al oeste del Sol establece que sus orbitas estan ubicadas dentro de la órbita terrestre

Los planetas exteriores (Marte, Júpiter y Saturno conocidos por Copérnico) pueden verse separados hasta 180° del Sol

El modelo también predecia que solo los planetas inferiores podian cruzar el disco solar

Moviemiento Retrógrado Revisado

Copérnico asumió que los planetas exteriores se movian más rapidamente que los planetas interiores.Cerca de la oposición, Marte parece moverse en sentido contrario, cuando está más cerca de la Tierra y por lo tanto parece más brillante.Además, como no todas las órbitas de los planetas estan en el mismo plano, las órbitas dibujan lazos.

Período Sidéreo y Sinódico

El tiempo en completar una órbita respecto a las estrellas de fondo, se denomina período sidéreo (T=365.256308 dias Tierra y T=686.971 dias Marte)El tiempo entre dos oposiciones (o conjunciones) se denomina período sinódico (T=2.135 años para la Tierra-Marte)

Relación entre Período Sidéreo y Sinódico

La relación entre velocidad angular y el período para un movimiento circular uniforme es ϖ=2π/T

El modelo Copernicano no fue más existoso (aunque si más simple) para predecir las posiciones con mayor precisión que el modelo Ptolomeico debido a que continuo utilizando el concepto de órbitas circulares

Día Solar y Sidéreo

Ya que la Tierra tiene un período sidéreo de 365.26 dias, quiere decir en un dia recorre aproximadamente 1° ya que la circunferencia tiene 360°. Luego, la Tierra tiene que rotar aproximadamente 361° para tener 2 pasajes consecutivos del Sol por el meridiano. Como la Tierra demora 24 horas (=24×60 minutos) en recorrer 360°, luego en recorre ese 1° adicional demorara 4 minutos (=24×60/360) másEl día solar se define como el intervalo promedio entre dos cruces concecutivos del Sol por el meridianoEl día sidéreo se define como el intervalo promedio entre dos cruces consecutivos de una estrella por el meridiano

Movimiento Aparente del SolEsta animación muestra el movimiento aparente annual del Sol a lo largo de la Eclíptica desde el 29 de Septiembre de 2000 hasta el 4 de Octubre de 2001. El Ecuador celeste y el sistema de coordenadas celestes se muestran en rojo, mientras que la Eclíptica aparce en verde como así también las 12 constelaciónes clásica del Zodíaco.

Nótese que en esta animación se ha omitido la dispersión de la luz por la atmósfera, lo que normalmente no permite ver dichas constelaciones mientras el Sol esta allí.

Nótese los planetas moviéndose cerca del Sol, siendo Venus el más brillamte.

Creditos: Animación realizada por Rick Pogge utilizando Starry Night (v3.0)

http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast161/Movies/

Cambios Diurnos y Estacionales

Los cambios estacionales se deben al movimiento orbital de la Tierra acoplado con los 23.5° de inclinación de su eje de rotación.

La trayectoria del Sol (Eclíptica) se mueve al norte y al sur del Ecuador celeste (definido como el plano que pasa por el Ecuador terrestre y corta a la esfera celeste).

Dos veces al año, el Sol cruza el Ecuador celeste, una vez moviendose hacia el norte y otra vez hacia el sur. Esos instantes se conocen como Equinoxios.

El mayor alejamiento del Sol hacia el norte se conoce como Solsticios.

Cambios Diurnos y Estacionales

Los cambios estacionales se deben al movimiento orbital de la Tierra acoplado con los 23.5° de inclinación de su eje de rotación.

La trayectoria del Sol (Eclíptica) se mueve al norte y al sur del Ecuador celeste (definido como el plano que pasa por el Ecuador terrestre y corta a la esfera celeste).

Dos veces al año, el Sol cruza el Ecuador celeste, una vez moviendose hacia el norte y otra vez hacia el sur. Esos instantes se conocen como Equinoxios.

El mayor alejamiento del Sol hacia el norte se conoce como Solsticios.

Animaciones de las Estaciones

Sistema de coordenadas horizontales

Para observar objetos en el cielo, es preciso dar 2 coordenadas angulares, no distancias

Esta basado en el horizonte local de observadorAltitud h es el angulo medido desde el horizonte hasta el objeto a lo largo de un círculo máximo que pasa por el objeto y el punto que esta directamente arriba del observador, llamado cenit.

Círculo máximo: es la curva que resulta de la intersección de una esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera.

Azimut A es el ángulo medido a lo largo del horizonte desde el norte hacia el esteCírculo meridiano es aquel que pasa a través del cenit del observador e intersecta al horizonte en los puntos norte y sur

Es un sistema facil de definir, pero no muy práctico ya que depende de la posición del observador localNótese que z+h=90°

Sistema de coordenadas ecuatoriales

Es un sistema de coordenadas que mantiene aproximadamente constantes los valores para los objetos celestes, independientemente de los movimientos diurnos y anuales de la Tierra.

Esta basado en el sistema de Latitud y Longitud terrestre, pero no participa de la rotación.

La Declinacion δ es el equivalente de la latitud y se mide en grados al norte o sur del Ecuador celeste.

La Ascención Recta α es el análogo de la longitud y se mide desde el punto vernal γ hasta el círculo horario del objeto, en direccion hacia el este.

El círculo horario es el círculo máximo que pasa por el objeto y el polo celeste

Sistema de coordenadas ecuatoriales

lLa ascención recta se mide en horas, minutos y segundos. (1hs=15°).

lEl tiempo sidéreo local de un observador se define como la cantidad de tiempo que ha trascurrido desde que el punto vernal cruzo el meridiano.

lEl ángulo horario H se define como el ángulo entre un objeto celeste y el meridiano del observador medido en la dirección de movimiento del objeto en la esfera celeste.

lEl tiempo sidéreo local es equivalente al ángulo horario del punto vernal.

Jueves, 17 de Marzo 2011

Precesión

Es el bamboleo lento que sufre el eje de rotación de la Tierra debido a su forma no perfectamente esférica y a la atracción gravitacional del Sol y de la Luna.

Es un efecto análogo a la precesión de un trompo.

El período de precesión de la Tierra es de 25.770 años y causa que los polos celeste dibujen un lento círculo en la esfera celeste centrado en el polo de la eclíptica

Precesión

Debido a que la Tierra no es un objeto sólido, la rotación diurna de la misma, produce un achatamiento de la misma en los polos y un ensanchamiento en el Ecuador. Radio Ecuatorial 6378km, Radio Polar 6327km, diferencia 51km, diferencia relativa 0.3%

Como el ecuador esta inclinado 23.27° respecto de la eclíptica, una parte del ecuador esta al norte de la eclíptica y una parte al sur.

Durante el sosticio de diciembre (junio), la parte del ecuador que esta al norte (sur) de la eclíptica esta más cerca del sol generando un torque.

Durante los equinoxios, la parte del ecuador que esta al norte de la eclíptica esta a la misma distancia que la parte que esta al sur y el efecto desaparece.

Si el eje de rotación varia, entonces varia también la intersección de la eclíptica con el ecuador y por lo tanto cambia la posición del punto vernal (50.26”/año)

Correción Precesión

Movimientos Propios

Las velocidades intrinsécas de los objetos generan cambios en sus coordenadas ecuatoriales. Las estrellas se mueven unas respecto de las otras con velocidades relativas muy alta. Sin embargo, las enormes distancias que las separan hacen que este efecto sea muy dificil de medir. La velocidad de un objeto puede ser descompuesta en 2 componetes perpendiculares: una a lo largo de la línea de la visión y otra perpendicular a esta. La componente de la velocidad a lo largo de la línea de la visión se denomina velocidad radial. La componente perpendicular a la línea de la visión se demonina velocidad tranversal o tangencial.

Movimientos Propios

Esta velocidad trangencial se manifiesta como un cambio angular lento en sus coordenadas ecuatoriales, que se conoce como movimiento propio (que se expresa usualemente en segundos de arco por año). En un intervalo de tiempo Δt una estrella se habra movido una distancia

Si la estrella se encuentra a una distancia r del observador, entonces el cambio en su posicion angular sera

El movimiento propio es:

Trigonometría Esférica

Debe aplicarse para resolver la relacion entre un cambio en la posicion angular ΔΘ y el cambio en las coordenadas ecuatoriales Δα y Δδ

Un triangulo esferico esta compuesto por 3 segmentos de circulos maximos que se intersectan.

Cumplen con las siguientes 3 leyes:


Teorema de la Cotangente

cos B cos c=sin B cot A - sin c cot a

Verificar los signos!

Teorema de los cinco elementos

sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A

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