TESIS QUE PARA OPTAR EL GRADO DEMAESTRO EN CIENCIAS EN SISTEMAS DE MANUFACTURA

PRESENTA

JUAN EMILIO PÉREZ HERNÁNDEZ

Asesor: Dr. ALEJANDRO ACEVES LÓPEZ

Comité de tesis: Dr. JESÚS ULISES LICEAGA CASTRO

Dr. REYNALDO FÉLIX ACUÑA

Invitados especiales: Dr. JOSEPH AGUILAR MARTIN

M. en C. VIRGILIO VÁSQUEZ LÓPEZ

Jurado: Dr. JESÚS ULISES LICEAGA CASTRO, PresidenteDr. REYNALDO FÉLIX ACUÑA, SecretarioDr. ALEJANDRO ACEVES LÓPEZ, VocalDr. JOSEPH AGUILAR MARTIN, Vocal

M. en C. VIRGILIO VÁSQUEZ LÓPEZ, Vocal

Atizapán de Zaragoza, Edo. Méx., 05 de Agosto del 2004

DEDICATORIAS

Dedico con cariño este trabajo:

A mis padres: Emilio Pérez y María Teresa Hernández

A mi hermana: Bárbara

A mi novia: Nancy Belinda Bravo

A mis familiares y amigos.

"Solo el mejor momento para ser feliz es ahora "- anónimo

AGRADECIMIENTOS

A DIOS que me permitió hacer realidad algo que alguna vez fuese unsueño.

Al ITESM-CEM por el financiamiento otorgado para estudiar elposgrado.

Al Dr. Aceves por su paciencia y gran don de enseñanza.

Al Dr. Liebermann por su gran apoyo y consejos.

A los miembros del jurado que me han evaluado.

RESUMEN

El Controlador Lógico Natural es una alternativa dentro del control difuso orientado acontrolar procesos multivariables. Aún se encuentra en fase de desarrollo y prueba ensistemas sencillos y monovariables.

Las características principales del Controlador Lógico Natural son: i) utiliza los límiteso restricciones naturales que los procesos poseen para crear los dominios de discursonecesarios que nos permitirán el control del proceso; ii) independientemente del número devariables de entrada, utiliza las reglas difusas completamente opuestas y solo dos conjuntosdifusos por cada variable de entrada.

El sistema utilizado en este trabajo es el viga-bola, un prototipo del laboratorio decontrol del ITESM-CEM.

El ajuste del controlador se hizo en forma experimental e iterativa, arrojando buenosresultados. Una vez desarrollada la propuesta de sintonización o ajuste del ControladorLógico Natural, se procedió a aplicarlo en tiempo real al viga-bola.

Para conocer el grado de robustez del Controlador Lógico Natural y su desempeñocontra controladores Proporcional - Derivativos, se decidió aplicar ciertas pruebas en tiemporeal al prototipo. De ellas se concluyó que el Controlador Lógico Natural es una buenaalternativa de control, con resultados equiparables a los obtenidos con los PD's diseñados conel mismo objetivo, pero con la ventaja de hacer que la acción de control sea mucho más suavey por ende que el gasto de energía sea menor que en estos últimos. Cabe aclarar que no setiene la finalidad de decidir qué tipo de controlador es mejor, solo es un análisis comparativoentre ellos.

Bajo los resultados obtenidos se invita a la continuación del desarrollo de estecontrolador para conocer mejor sus limitantes, incrementando el grado de dificultad de laspruebas o aplicándolo en sistemas de mayor complejidad.

ÍNDICE

LISTA DE FIGURAS 3

LISTA DE TABLAS 4

OBJETIVO GENERAL 5

OBJETIVOS PARTICULARES 5

INTRODUCCIÓN GENERAL 6

PARTE I. ASPECTOS TEÓRICOS 10

CAPITULO 1. GENERALIDADES DEL CONTROLADOR DIFUSO 11

1.1 INTRODUCCIÓN 111.2 FUNDAMENTOS DE LA LÓGICA DIFUSA 12

1.2.1 CONJUNTOS DIFUSOS 121.2.1.1 Conceptos básicos asociados con los conjuntos difusos 17

1.2.2 OPERADORES SOBRE CONJUNTOS DIFUSOS 191.2.2.1 Intersección difusa. Operador de conjunción 191.2.2.2 Unión difusa. Operador de disyunción 201.2.2.3 Complemento difuso 221.2.2.4 Familia de t-normas de Frank 23

1.2.3 RELACIONES DIFUSAS 251.2.4 VARIABLES LINGÜÍSTICAS Y REGLAS SI-ENTONCES 25

1.3 CONTROLADORES DIFUSOS 301.3.1 CONVERTIDOR DE ENTRADAS NUMÉRICAS A ENTRADAS DIFUSAS 311.3.2 BASE DE REGLAS DIFUSAS 321.3.3 INFERENCIA DIFUSA 341.3.4 CONVERTIDOR DE ENTRADAS DIFUSAS A SALIDAS NUMÉRICAS 351.3.5 EL CONTROLADOR DIFUSO DE MAMDANI 361.3.6 EL CONTROLADOR DIFUSO USADO COMO UNA FUNCIÓN NO LINEAL. ...38

1.3.6.1 Los sistemas difusos como aproximadores universales 391.4 ASPECTOS SOBRE EL CONTROL DIFUSO MULTIVARIABLE 41

CAPITULO 2. EL CONTROLADOR LÓGICO NATURAL 43

2.1 ANTECEDENTES 432.1.1 LAS TÉCNICAS QUE UTILIZAN ALGÚN TIPO DE DESACOPLAMIENTO Y/O

REGULACIÓN DESCENTRALIZADA 442.1.2 LAS TÉCNICAS QUE UTILIZAN ALGÚN MECANISMO DE APRENDIZAJE. ..452.1.3 MEDIANTE LA IDENTIFICACIÓN E INVERSIÓN DE UN MODELO DIFUSO. 472.1.4 REDUCIENDO LA COMPLEJIDAD DEL CONTROLADOR DIFUSO 48

2.1.4.1 El controlador difuso de Hao Ying, William Siler y James J. Buckley 502.1.4.2 La propuesta de Vidolov & Mélin 52

2.2 EL CONTROLADOR LÓGICO NATURAL (CLN) 542.1.1 DEFINICIÓN DEL CLN 55

2

2.2.1.1 Subconjuntos difusos 572.2.1.2 Reglas difusas de control 572.2.1.3 Método de inferencia 602.2.1.4 Defuzzyficación 60

PARTE II.-EXPERIMENTACIÓN 63

CAPITULO 3. CONDICIONES PARA LA EXPERIMENTACIÓN CON EL VIGA-BOLA ....64

3.1 INTRODUCCIÓN 643.2 EL MODELO MATEMÁTICO DEL VIGA-BOLA 65

3.2.1 MODELO MATEMÁTICO DEL BLOQUEA 663.2.2 MODELO MATEMÁTICO DEL BLOQUE B 67

3.4 EXPERIMENTACIÓN 703.4.1 FASE DE DISEÑO 703.4.2 FASE DE COMPARACIÓN 713.4.3 FASE DE PRUEBA 71

CAPITULO 4. RESULTADOS Y COMPARACIONES EN EL VIGA-BOLA 74

4.1 INTRODUCCION 744.2 CONTROLADORES CLÁSICOS 76

4.2.1 CONTROLADOR PD DISCRETO PARA EL LAZO INTERNO 794.2.2 CONTROLADOR PD DISCRETO PARA EL LAZO EXTERNO 80

4.3 CONTROL A TRAVÉS DEL CLN 824.3.1 LAS RESTRICCIONES NATURALES DEL ÁNGULO DE LA VIGA 824.3.2 RESTRICCIONES NATURALES PARA LA POSICIÓN DE LA BOLA 86

4.4 EXPERIMENTACION 904.5 METODOLOGIA PROPUESTA PARA SINTONIZAR EL CLN 954.6 RESULTADOS 97

CAPITULO 5. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 99

5.1 CONCLUSIONES GENERALES 995.2 PERSPECTIVAS 101

ANEXO 102

BIBLIOGRAFÍA 104

LISTA DE FIGURAS

Fig. 1. 1 Universo de discurso y conjuntos clásicos 13Fig. 1. 2 Conjuntos difusos joven y adulto 14Fig. 1. 3 Conjunto difuso algunos 15Fig. 1. 4 Temperaturas que corresponden a "fría" desde el punto de vista de dos personas

distintas 15Fig. 1. 5 Tipos estándar de la función de membresía 16Fig. 1. 6 Conjunto singleton 17Fig. 1. 7 Centros de conjuntos difusos 18Fig. 1. 8 Altura de los conjuntos difusos 18Fig. 1. 9 Conjunto difuso convexo de números reales 19Fig. 1.10 La variable lingüística Temperatura con sus valores lingüísticos 26Fig. 1.11 Implicación difusa 29Fig.Fig.Fig.Fig.Fig.Fig.Fig.Fig.Fig.Fig.

. 12 Esquema básico de un controlador difuso 31

. 13 Bloque R, generador de las señales de entrada al Fuzzyficador 31

. 14 Grado de veracidad del peso de David 32

. 15 Fuzzyficador tipo singleton 32

. 16 Base de reglas completa 33

. 17 Defuzzyficación del conjunto verano 35

. 18 Representación del Defuzzyficador de centro de promedios 36

. 19 Controladores difusos tipo PID 40

. 20 Interacción de lazo en un sistema de dos entradas y dos salidas 4121 Sistema difuso tipo MISO 42

Fig. 2. 1 Sistema desacoplado en lazo cerrado 44Fig. 2. 2 Sistema descentralizado 45Fig. 2. 3 Controlador difuso de autoajuste 46Fig. 2. 4 Identificación del proceso por medio de un modelo difuso 48Fig. 2. 5 Inversión del modelo difuso 48Fig. 2. 6 Pasos para la reducción de la complejidad de un sistema difuso 49Fig. 2. 7 El controlador difuso de Hao Ying 50Fig. 2. 8 Conjuntos difusos de las entradas y la salida del controlador difuso 50Fig. 2. 9 Los conjuntos difusos de las entradas e y de para el controlador de Vidolov y Mélin....52Fig. 2. 10 Superficies resultantes de los controladores de a) Ying et. al y b) Vidolov y Mélin,

para dos entradas al controlador 53Fig. 2. 11 Configuración de control del CLN para una sola entrada - una sola salida 54Fig. 2. 12 Partición difusa para el CLN 57Fig. 2. 13 Caso especifico de dos entradas al CLN 61Fig. 2. 14 Superficies resultantes del CLN con dos entradas al variar X y la t-norma 62Fig. 3. 1 Motor, leva y resorte que maneja el ángulo de la viga 65Fig. 3. 2 Diagrama de bloques del viga-bola 65Fig. 3. 3 Gráfica de la posición angular de la viga cuando v(/)=l 67Fig. 3. 4 Bloque A 67Fig. 3. 5 Fuerzas actuantes sobre el sistema 67Fig. 3. 6 Diagrama de bloques del viga-bola 68Fig. 3. 7 Lazo abierto del viga-bola 68Fig. 3. 8 Diagrama de bloques del viga-bola para determinar el valor de G 69

4

Fig. 3. 9 Lugar de las raíces en función de Ke 69Fig. 3. 10 Diagrama de bloques simplificado del viga-bola 70Fig. 3. 11 Prueba 1. Cambio de posición 72Fig. 3. 12 Prueba 2. Perturbación en la acción de control 72Fig. 3. 13 Prueba 3. Perturbación en la salida del sistema 72Fig. 3. 14 Prueba 4. Seguimiento de referencia con variación paramétrica 73Fig. 4. 1 Lazo cerrado del servomotor 74Fig. 4. 2 Diagrama de bloques del viga- bola, en cascada 75Fig. 4. 3 Diagrama de bloques real con la cancelación de las ganancias de la tarjeta de adquisición

de datos 76Fig. 4. 4 Diagrama de bloques para determinar el Bode de lazo cerrado 77Fig. 4. 5 Lazo cerrado del lazo externo 77Fig. 4. 6 Lazo cerrado del lazo interno 78Fig. 4. 7 Diagrama de bloques discreto del sistema en cascada del viga-bola 78Fig. 4. 8 Diagrama de bloques del lazo interno con el controlador PD discreto 79Fig. 4. 9 LGR del lazo interno discreto 79Fig. 4. 10 Simulación de la salida del sistema de control del ángulo de la viga 80Fig. 4. 11 Diagrama de bloques del lazo externo con el PD discreto 80Fig. 4. 12 LGR del lazo externo 81Fig. 4. 13 Simulación de la posición de la bola sobre la viga, utilizando el PD discreto 81Fig. 4. 14 Variables de entrada al CLN 82Fig. 4. 15 Posición de referencia del ángulo de la viga y suposición real 83Fig. 4. 16 Límites naturales de la derivada del error del ángulo de la viga 83Fig. 4. 17 Diagrama de boques y cuadro de parámetros del CLN para la simulación del lazo

interno 84Fig. 4. 18 Simulación resultante del lazo interno con los límites naturales 84Fig. 4. 19 Simulación del viga-bola controlado con el CLN ajustado a una entrada escalón

unitario 86Fig. 4. 20 Restricciones naturales del error 87Fig. 4. 21 La derivada del error de posición de la bola 87Fig. 4. 22 Diagrama de bloques del sistema completo con el CLN 87Fig. 4. 23 Simulación del viga-bola a una entrada escalón unitario con las restricciones naturales

X = 0 y la t-norma Probabilística 88Fig. 4. 24 Simulaciones resultantes con los límites ajustados: para una entrada

escalón unitario 90Fig. 4. 25 Diagrama de flujo propuesto para el ajuste de los intervalos de las restricciones

naturales 96

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. 1 Operador compuesto max-min 23Tabla 1. 2 Familia de t-normas y t-conormas de Frank 24

OBJETIVO GENERAL

Aplicar el Controlador Lógico Natural en un prototipo de laboratorio y comparar sudesempeño contra el obtenido mediante técnicas clásicas de control para sustentar su utilidad enel control de sistemas más complejos.

OBJETIVOS PARTICULARES

• Analizar en simulación y experimentalmente los efectos de los parámetros propios delControlador Lógico Natural y emitir recomendaciones de diseño.

• Comparar los desempeños obtenidos contra controladores clásicos (Proporcional -Derivativos) y entender sus fortalezas.

• Establecer bases para continuar la investigación, desarrollo y uso del Controlador LógicoNatural en procesos más complejos.

INTRODUCCIÓN GENERAL

El control difuso de procesos es una alternativa para el control de sistemas cuando estosúltimos no pueden ser controlados adecuadamente mediante técnicas de control clásico omoderno. Tal es el caso de los sistemas que son fuertemente no lineales o difíciles de modelar, yaque plantear sus modelos matemáticos resulta ser muy difícil o casi imposible de obtener. Comoejemplo tenemos: los hornos de cemento, plantas de tratamiento de agua, procesos demanufactura, incineradores multicapas, entre otros. En estos casos resulta adecuada laimplantación de controladores difusos. El control difuso también es utilizado para controlarsistemas lineales de bajo grado de dificultad o no difíciles de modelar, sustituyendo las accionesde corrección que un "operador experto" realizaría.

Un controlador difuso no requiere de modelos matemáticos complicados para suimplementación, sino más bien de la información cualitativa de la dinámica del proceso que unoperador experto conoce basándose en su experiencia en acciones correctivas aunque sean pocoprecisas. Resulta entonces interesante usar el controlador difuso porque permite combinar lainformación difusa del conocimiento experto con la información precisa proveniente de lossensores para poder realizar tareas de regulación de procesos.

Es importante aclarar que a lo largo de este trabajo de investigación se hará mención alcontrolador difuso como una función no lineal que contiene ciertas dinámicas internas. La formausual de representar al controlador difuso será:

e{t) u(t)

Donde: e(t) es una señal escalar dependiente del tiempo. R representa un conjunto deecuaciones (normalmente lineales diferenciales) que producen un conjunto de señalesdependientes de e(t) y organizadas en un vector columna é. f(.) es una función no lineal estática ysin memoria que combina el vector columna de señales é en un solo escalar u(t).

También es importante señalar que cuando nos refiramos a un sistema difuso, nosreferiremos al mapeo no lineal (estático) representado precisamente por f(.).

Nótese entonces que un controlador difuso será considerado como la combinación de unbloque lineal dinámico R y un sistema difuso estático f. La señal u(í) es la señal de control que seenvía al proceso a controlar, pero también es considerada la salida del sistema difuso. Por otrolado, el vector de señales é es considerado la entrada al sistema difuso pero que depende de unaseñal escalar e(í) construida a partir de las señales provenientes de los sensores del proceso.

En forma general, un controlador difuso está integrado por cuatro bloques: el primero, queconvierte los valores cuantitativos provenientes de la planta en valores cualitativos o difusos; elsegundo, en el cual se concentran todas las reglas que se emplearán para la ejecución de la acciónde control; el tercero, el bloque en donde interactúan los valores o datos difusos de entrada conlas reglas, dando como resultado un valor difuso; y el cuarto bloque, que convierte el valor difusoobtenido en un valor cuantitativo que la planta aceptará como acción de control.

Es importante señalar que la cantidad de parámetros que se requieren definir para unsistema difuso varía en función de la cantidad de variables de entrada al proceso, de las variablesque entrarán al controlador difuso, de los conjuntos difusos que se creen por cada variable delsistema difuso, pero sobre todo por la cantidad de reglas difusas que se necesitarán, las cualesdependen de la cantidad de variables del sistema difuso y de sus conjuntos difusos creados.

Como se observa, son muchos los parámetros que se requieren especificar. Un problemamayor se presenta cuando se requiere regular un proceso multivariable, no solo por la inmensacantidad de parámetros del controlador difuso (R, f) a ajustar, sino también por la dificultad deencontrar a un experto que sea capaz de regular tales procesos. Es por eso que la búsqueda dealternativas resulta indispensable.

Existen alternativas presentadas en la literatura englobadas en cuatro grandes ejes:

i. Las técnicas que utilizan algún tipo de desacoplamiento y/o regulacióndescentralizada [30, 34, 60]. Debido a que todas las entradas de un proceso estánacopladas y afectan a todas y cada una de las salidas, la finalidad del desacoplamientoes hacer que para cada entrada al proceso solo sea afectada su salida correspondienteeliminando así la interacción existente. La descentralización se refiere al hecho de crearun controlador difuso por cada par entrada - salida acoplada o desacoplada.

ii. Las técnicas que utilizan algún mecanismo de aprendizaje [13, 16, 35, 58, 61, 65].En estas técnicas se aplican mecanismos de optimización matemática o de adaptacióncon redes neuronales o algoritmos genéticos, los cuales le dan al sistema la capacidad deadaptarse (o auto-sintonizarse) a la situación real.

iii. Mediante la identificación e inversión de un modelo difuso [24, 62], En estaalternativa se busca crear un modelo de la planta a través de una descripción de la

8

misma por medio de reglas difusas, y una vez creado el modelo, buscar la forma deinvertir su efecto.

iv. Reduciendo la complejidad del controlador difuso [1, 3, 50, 57, 63]. Dos clases detécnicas existen: aquellas que reducen la complejidad de un primer controlador difusomuy complejo, ya sea reduciendo el número de conjuntos difusos por variable y/o elnúmero de reglas difusas; y aquellas que construyen un controlador inicialmente decomplejidad reducida, buscando crear el controlador difuso más simple. En ambos casosla idea principal es disminuir la cantidad de parámetros a ajustar y hacer más fácil lasintonización.

Setnes presentó un algoritmo para reducir la complejidad del controlador difuso [50]. Estapropuesta tiene el inconveniente de tener que conocer de manera inicial una base de reglascompleta, para que a partir de ella se eliminen conjuntos o reglas difusas sin que elfuncionamiento del controlador difuso se vea perjudicado.

Otras investigaciones proponen el uso de controladores difusos inicialmentesimplificados; tal es el caso del trabajo realizado por Hao Ying [63], quien propuso utilizarsolamente dos variables de entrada al controlador difuso con solo dos conjuntos difusos porvariable, creando así la base difusa completa de cuatro reglas difusas. Un trabajo similar alanterior es el de Vidolov & Mélin [57], salvo que ellos consideraron solamente utilizar las reglascompletamente opuestas, obteniendo resultados muy parecidos a los que Hao Ying obtuvo. Por suparte, Aguilar & Hernández crearon un controlador difuso al que denominaron ControladorLógico Natural (CLN) [6]. La característica principal de éste era que poseía solo un conjuntodifuso y una sola regla. En el año de 1999, Aceves & Aguilar analizaron al CLN y concluyeronque presentaba problemas de simetría y de estabilidad, por lo que decidieron definir una segundaversión del CLN [3].

En esta nueva versión se especifican solamente dos conjuntos difusos por variable y solodos reglas difusas. La idea es limitar sabiamente el grado de libertad del controlador difuso paraalcanzar un diseño más sencillo. El presente trabajo se desarrollará en base a esta segundaversión, al controlador se le seguirá llamando Controlador Lógico Natural.

Esta tesis forma parte de una serie de estudios sobre el CLN, éste será diseñado paracontrolar en tiempo real la posición de una bola sobre una viga. La metodología heurística paraajustar los parámetros del CLN es uno de los objetivos de este trabajo, estableciendo así la primermetodología de diseño. La metodología propuesta en esta tesis parte del hecho de conocer lasrestricciones físicas naturales del sistema: la saturación de la acción de control y de los rangos deoperación del sistema.

Como no es posible aplicar métodos analíticos para determinar su grado de robustez, seaplicarán una serie de pruebas en tiempo real para analizar su comportamiento. Con este trabajose espera entender un poco más las ventajas y desventajas del CLN para el control de procesos ydejar las bases para futuros trabajos.

El presente trabajo está dividido en dos partes: los aspectos teóricos del ControladorLógico Natural y, la experimentación. La primera parte de esta tesis se subdivide en doscapítulos: el capítulo 1 presenta un resumen de los principios de la lógica difusa y lasgeneralidades del controlador difuso. De igual forma, el capítulo 2 presenta los antecedentes, ladefinición y características del CLN. La segunda parte de esta tesis está compuesta de lossiguientes capítulos: el capítulo 3 que describe el prototipo del viga-bola: su modelo matemático,la estrategia de control aplicada, los requisitos de diseño y la definición de las pruebas que seaplican a dicho sistema real. El capítulo 4 presenta el diseño de los controladores convencionales,la propuesta de diseño del CLN, los resultados de las pruebas y un análisis comparativo deldesempeño obtenido con el CLN y con los controladores clásicos. El capítulo 5 contiene lasconclusiones y perspectivas a las cuales se han llegado. En este capítulo se establecen bases paracontinuar la investigación, desarrollo y uso del CLN en procesos más complejos. Finalmente enel anexo se presenta el código de Matlab® del programa del Controlador Lógico Naturalutilizado para realizar todas las pruebas tanto en simulación como en tiempo real (utilizando latarjeta AD-512), todo con simulink®.

10

PARTE I. ASPECTOS TEÓRICOS

11

CAPITULO 1. GENERALIDADES DEL CONTROLADORDIFUSO.

1.1 INTRODUCCIÓN.

Los sistemas difusos han sido aplicados en diversos campos, tanto en comunicacionescomo en manufactura, medicina, sicología, sistemas de negocios, etc. Pero en donde ha habido unmayor interés es en el control de procesos. Un sistema difuso puede ser utilizado en sistemas decontrol de lazo abierto o de lazo cerrado. Cuando es utilizado como controlador en lazo abierto,el sistema difuso usualmente ajusta algunos parámetros de control y el proceso funciona deacuerdo a dichos parámetros. Pero cuando se usa como controlador de lazo cerrado, el sistemadifuso mide las salidas del proceso y toma las acciones de control sobre el proceso en formacontinua.

Podemos encontrar ejemplos de aplicaciones de los sistemas difusos en las referencias[19, 32, 46, 59], de entre ellos tenemos los siguientes:

a. Ajuste de equipos electrónicos. Ajusta los potenciómetros de un equipo tomandocomo antecedentes las magnitudes eléctricas medidas.

b. Control de robots móviles autónomos. Controla la tracción y dirección de un robotmóvil para que siga una determinada trayectoria.

c. Lavadoras. Evalúa el tipo y grado de suciedad, la cantidad de ropa, el tipo de tejido yajusta el mejor ciclo de lavado.

d. Reguladores de agua caliente para grifos domésticos. Dependiendo de la temperaturadeseada y el caudal de la misma regula la temperatura del agua.

e. Ascensores. Midiendo el tráfico de usuarios se reduce el tiempo de espera y se precisael aviso de llegada del ascensor.

12

Estas son solo algunas de las aplicaciones que en el campo del control automático se handesarrollado. Pero para poder entender cómo se aplican los sistemas difusos, es preciso conocerlas bases que han hecho de estos sistemas una buena alternativa de control de procesos, así que laintención del presente capítulo es dar a conocer algunos de los principios que rigen al controladordifuso y por consiguiente al Controlador Lógico Natural. Aquí se ven conceptos básicos de lalógica difusa y posteriormente se define al controlador difuso con cada uno de los elementos quelo integran.

1.2 FUNDAMENTOS DE LA LÓGICA DIFUSA.

La palabra difuso tiene la siguiente definición: "Adjetivo. Extenso, poco preciso" [44].Sin embargo, nosotros lo a vamos a ver como un adjetivo técnico ya que los sistemas difusos sonsistemas bien definidos y el control difuso es una clase de control no lineal claramente definido.El nombre de difuso fue propuesto por el profesor Lotfi A. Zadeh, quien formuló las basesiniciales de la Teoría de Conjuntos Difusos y con ello la base de la lógica difusa.

La lógica difusa es una extensión de la lógica clásica. Esta última califica a susenunciados con dos valores: falso o verdadero. Aunque la lógica clásica ha modeladosatisfactoriamente gran parte del razonamiento "natural" del ser humano, es cierto que éste utilizavalores de verdad que no necesariamente son falso o verdadero. Por ejemplo, al calificar que "elcielo es azul", una persona a diferencia de otra puede graduar en base a su criterio qué tan azul loestá, e igualmente, si "un vehículo se mueve rápido", hay que considerar qué tan rápido es elvehículo, aunque esto último no implique necesariamente cuantificar la velocidad del vehículocon toda precisión. Desde un punto de vista optimista, lo difuso puede entenderse como laposibilidad de asignar más valores de verdad a los enunciados que los clásicos/íz/so o verdadero.Si a verdadero se da el valor 1 y a falso el valor 0, en la lógica difusa se permiten valoresintermedios entre 0 y 1, que ni son totalmente falsos ni totalmente ciertos. Se trata entonces deuna lógica multivalor en vez de una lógica clásica con solo dos valores.

Los sistemas difusos y el control difuso tienen su punto de partida en la lógica difusa yésta a su vez en la Teoría de Conjuntos Difusos. A continuación se definen una serie deconceptos, características y propiedades matemáticas para los conjuntos difusos.

1.2.1 CONJUNTOS DIFUSOS.

Un universo de discurso es la colección de todos los elementos que conciernen a uncontexto o aplicación en particular. También es llamado espacio de entrada y se representa conla letra U.

Un conjunto clásico es un grupo en el cual se incluye o se excluye totalmente unelemento del universo de discurso. Los representaremos con una letra mayúscula en cursiva, porejemplo, el conjunto A.

13

Fig. 1. 1 Universo de discurso y conjuntos clásicos.

En la figura anterior se muestra un universo de discurso U y dos conjuntos A y B quecontienen una colección de objetos. Una forma de definir a cada conjunto es por medio de lafunción de membresía.

La función de membresía es una forma de identificar a los elementos de un conjunto, seaclásico o difuso. También es llamada función de pertenencia y es denotada por /.IA(X), de talforma que:

MA(X)=

"1 six e A

J) si x i. A

Definiremos a la variable x como aquella que puede ser igual a cualquier elemento de U yJLÍA(X) tomará el valor 1 si la variable x pertenece a A o adquirirá el valor 0 si no pertenece a A.

Una forma de denotar a un conjunto es a través de la siguiente relación:

= {(x,Mx))\ ) : U

La cual se lee: El conjunto A está compuesto por todas las parejas x, JLIA(X), donde ¿LIA(X) esuna función que relaciona al universo con el conjunto {0,1}.

En un conjunto clásico la función de membresía solo toma los valores opuestos: cero ouno, falso o verdadero, fuera del conjunto o dentro del conjunto. Pero en conjuntos difusos lapertenencia a los conjuntos es gradual.

Por lo tanto, un conjunto difuso en el universo de discurso í /es un conjunto sin límitesabruptos ni claramente definidos y puede contener elementos con solo un grado parcial depertenencia.

Los conjuntos difusos pueden clasificarse como continuos o discretos:

Conjunto difuso continuo. Cuando el universo en discurso es continuo, el conjunto A escomúnmente escrito como:

14

A= ¡MA(X)/X

u

Donde el signo integral denota la colección de todos los elementos x que pertenecen a Uque están asociados con la función de pertenencia JUA(X) * 0.

El siguiente ejemplo tomado de la referencia [59] muestra dos conjuntos difusoscontinuos:

Sea U el intervalo [0, 100] que representa la edad de un humano ordinario. Podemosdefinir los conjuntos difusosyoven y adulto de la siguiente forma:

25 50 r.,.

O 25 ^

"r * - 5 0 2 ,adulto = |(l + ( ) ) Ix

50 5

Cuya gráfica es:

joven adulto

1 ' i | / ^ ~

0,5 ¡

0 J ^-,—

edad

Fig. 1. 2 Conjuntos difusos^ove/i y adulto.

Conjunto difuso discreto. Cuando t/es discreto, A es comúnmente escrito como:

Donde el signo de suma representa la colección de todos los puntos x que pertenecen a Uque están asociados con la función de pertenencia ^(x) ^ 0.

El siguiente ejemplo tomado de la referencia [59] muestra un conjunto difuso discreto:

Sea U el intervalo [0,10] de números enteros. El conjunto difuso algunos puede estardefinido como:

15

algunos = 0-5/ + 0.8/ + 1/ + 1 / + 0.8/ + 0.5^

Cuya gráfica es:

algunos

M

1 . 5

1 -!

0.5 -

0 • — *0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Fig. 1. 3 Conjunto difuso algunos.

El siguiente ejemplo muestra una aplicación de los conjuntos difusos y su relación con lafunción de membresía:

Se desea caracterizar la temperatura "fría" mediante la apreciación de dos personas dediferente región geográfica. El conjunto difuso A será utilizado para caracterizar o modelar todaslas temperaturas bajas.

La función de membresía nos ayuda a caracterizar al conjunto A y relaciona todas lastemperaturas contra su grado de pertenencia al conjunto correspondiente. Una forma sencilla devisualizar una función de membresía es mediante una gráfica, como la que se muestra en la Fig.1.4.

1,1 1.1 -0,9 \ 0 9 -0,7 X 0.7 •.0,5 \ 0.5 i0,3 \ 0.3 ,;

'°'1-10 -5 0 5 10 15 20 x -10 -5 0 5 10 15 20 v

Grados Centígrados Grados Centígrados

Fig. I. 4 Temperaturas que corresponden a "fría" desde el punto de vista de dos personas distintas.

Para una persona, a partir de 15° centígrados comienza a sentirse el frío, en el intervalo decentígrados la temperatura es un poco fría, y desde 5o centígrados hacia abajo, la

temperatura es completamente fría. En cambio para la otra persona, la temperatura fría comienzaa los 5o centígrados, entre esta temperatura y 3o centígrados es un poco más fría, pero a partir dela última ya es completamente fría. De la primer gráfica podemos decir que para x = 3o C.tenemos /ii\(x) =0.7; en cambio en la segunda para el mismo valor de temperatura, JLI,I(X) = I.

16

De lo anterior podemos decir que los conjuntos difusos son una herramienta para modelarmatemáticamente lo impreciso de una observación.

La función de membresía debe ser determinada dependiendo del tipo de aplicación. Sinembargo, esta tarea suele ser tediosa. Para evitar este trabajo se tienen formas de la función demembresía ya estandarizadas como S, Z, triangular, trapezoidal, campana y singleton, las cualesse muestran en la Fig. 1.5.

Función de membresía tipo S

1.5

1

0.5

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Función de membresía tipo Z

juA(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Función de transferencia tipotriangular

1.51

0.5

0

1 3 5 7 9 11 13 15

Función de membresía tipotrapezoidal

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Función de membresía tipo singleton

1.5

1

0.5

0

Función de membresía tipocampana

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Fig. 1. 5 Tipos estándar de la función de membresía.

En la siguiente subsección se definen algunos conceptos útiles asociados a los conjuntosdifusos.

17

1.2.1.1 Conceptos básicos asociados con los conjuntos difusos.

Soporte de un conjunto difuso. Es un conjunto que contiene todos los elementos deluniverso de discurso í/cuya función de membresía es distinta de 0. Esto es:

Supp<Á)={xeU\MA(x)>0}

Como ejemplo tenemos que el soporte del conjunto difuso algunos (Fig. 1.3) es elconjunto de números enteros {3,4,5,6,7,8}.

Si el soporte de un conjunto difuso carece de elementos, se dice que el conjunto difuso esvacío. Si el soporte de un conjunto difuso solo tiene un elemento, se le conoce como conjuntosingleton.

Como ejemplo de un conjunto singleton tenemos: Sea A = {(3,0.6) | JUA(X): U —> {0,1}},cuyo gráfico es:

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Fig. 1. 6 Conjunto singleton.

Centro de un conjunto difuso. El centro de un conjunto difuso se define dependiendodel tipo de conjunto que se trate (ver Fig. 1.7). Cuando el conjunto se extiende hacia el infinitonegativo (A\), el centro es el elemento más grande de todos los elementos que alcanzan elmáximo valor de la función de membresía; cuando el conjunto se extiende hacia el infinitopositivo (A4), el centro es el elemento más pequeño de todos los puntos que alcanzan el máximovalor de la función de membresía; cuando los conjuntos son finitos {Ai y A3), el centro es el valorpromedio o centroide de aquellos que alcanzan el máximo valor de la función de membresía.

Para observar el centro de un conjunto difuso se tiene el siguiente ejemplo:

En la Fig. 1.7 podemos observar que el centro del conjunto A\=3, el centro de A2=\0, elcentro de A-s, = 18 y el centro de .¿4=26.

3 5 8 10 12 15 18 21 24 26 X

Fig. 1. 7 Centros de conjuntos difusos.

Altura de un conjunto difuso. Es el valor máximo que puede obtener JUA(X). Si la alturade un conjunto difuso es igual a uno, se dice que el conjunto difuso es normal.

a) b) sup/^Cx) = 0.8

MÁx)

Fig. 1. 8 Altura de los conjuntos difusos.

Conjunto difuso convexo. Para que un conjunto difuso sea convexo es necesario que sugráfico tenga solamente una cumbre, como por ejemplo la Fig. 1.9.

1.2

1

0.8-I

0.6

0.4

0.2

01 3 5 7 9 11 13 15 17 JC

Fig. 1. 9 Conjunto difuso convexo de números reales.

Un ejemplo de un conjunto difuso no convexo lo visualizamos en la Fig. 1.8 b).

Los conjuntos convexos son muy utilizados en la teoría de control difusa.

Las definiciones anteriores solo son aplicables a un solo conjunto difuso. En la siguientesección se verán las operaciones básicas entre conjuntos difusos.

1.2.2 OPERADORES SOBRE CONJUNTOS DIFUSOS.

Los operadores que se aplican a los conjuntos difusos son los mismos que se aplican en lalógica clásica: Operador de disyunción, de conjunción y de negación. Estos hacen posible obtenerla unión, la intersección y el complemento de los conjuntos difusos.

Definimos los conjuntos difusos A y B dentro del mismo universo de discurso U.

1.2.2.1 Intersección difusa. Operador de conjunción.

La intersección de A y B es un conjunto difuso, denotado como AP\B y su función demembresía es el resultado de un operador matemático entre fxA{x) y ¿UB(X) que se denotará como

Así, la intersección de A y B se puede denotar de la siguiente forma:

Donde el operador / se define como:

20

Y se lee como un mapeo que transforma las funciones de membresía de los conjuntosdifusos Ay B en la función de membresía de la intersección de A y B.

Para que una función t sea considerada como intersección, debe de satisfacer lossiguientes cuatro axiomas [59]:

Axioma t i . Condiciones de frontera y de elemento neutro. t(jiA(x),\) = t(\, f.iA{xj) = //-i(.v)/¿(0,0) = 0.

Axioma t2. Condición de conmutatividad. Í(JJA(X), fdB(x)) = t(jiB(x), MA(X)).

Axioma t3. Condición de no decremento o de monotonía. Si MA{X) ^ f¿A(x ') y /-iB{x) - MB(X '),entonces t(jiA(x), /JB(X)) < t(i¿A(x%

Axioma t4. Condición de asociatividad. t(t(jiA(x), JUB(X)), pidx)) = t(juA{x),t(¿iB(x), /.idx))).

Cualquier función / que satisfaga los axiomas anteriores es llamado operador deconjunción. Estos son conocidos como t-normas o normas triangulares [29].

Existen varias clases de operadores de conjunción [59], pero solamente las siguientes son deutilidad para esta tesis:

a) clase Zadeh o del mínimo.

b) clase Probabilística o producto algebraico.

MAnüix) = juA(x)

c) clase Lukasiewicz o producto limitado.

= max(0, ¿iA(x) + /JB{x) -1)

Podemos encontrar en la literatura más operadores de conjunción, por ejemplo en lareferencia [59].

1.2.2.2 Unión difusa. Operador de disyunción.

La unión de A y B es un conjunto difuso en U, denotado por AVJB y cuya función demembresía es el resultado de un operador matemático entre /.iA(x) y //«(*) que se denotará como

Así, la unión de A y B se puede denotar de la siguiente forma:

21

Donde el operador s se define como:

s: [0,1] x [0,1] ->[0, l]

Lo cual se lee como un mapeo que transforma las funciones de membresia de losconjuntos difusos Ay B en la función de membresia de la unión deAyB

Para que una función 5 sea calificada como una unión, debe satisfacer los siguientes cuatroaxiomas [59]:

Axioma si . Condición de frontera o elemento neutro. s(\,\) - 1;

5(0, /uA(x)) = s(juA(x),0) = fiA(x).

Axioma s2. Condición conmutativa. s(¿iA(x), /.tB(x)) = S(/.IB(X), f.iA{x)).

Axioma s3. Condición de no decremento o de monotonía. Si juA(x) </-iA(x') y JUB(X) </.¿B(X '),entonces s(/.iA{x), juB(x)) < s(juA(x'\ /J.B(X')).

Axioma s4. Condición asociativa. s(s(/.iA(x), /.IB(X)), MC(X)) = s(/.iA(x), S(/IB(X), /.idx))).

Cualquier función 5 que satisfaga esos axiomas es llamado operador de disyunción. Estosoperadores son conocidos como t-conormas o s-normas [29].

Existen varias clases de operadores de disyunción [59], pero solamente las siguientes seránde utilidad para el presente trabajo:

a) clase Zadeh o del máximo.

MA^B(X) = max(j.iA(x),

b) clase Probabilística o suma algebraica.

c) clase Lukasiewicz o suma limitada.

MAVB(X) = min(/.iA(x)

22

1.2.2.3 Complemento difuso.

El complemento o negación de A es un conjunto difuso en U, denotado por Á y cuyafunción de membresía (la más utilizada en sistemas difusos) es el resultado de un operadormatemático denotado como c{.).

El complemento o negación de A se puede denotar de la siguiente forma:

C(JIA(X))= /IA{X)

Donde el operador c se define como:

c: [0 ,1]-* [0,1]

Y se lee como un mapeo que transforma la función de membresía del conjunto difuso A ala función de membresía de su complemento.

Para que la función c sea calificada como un complemento difuso debe satisfacer estostres axiomas [59]:

Axioma el . Condiciones de contorno. c(0) = 1 y c(l) - 0.

Axioma c2. Ordenación inversa. Para toda /¿A(X), MB(X) e [0,1], si f-uix) < MB(X), entonces

c{f.iA{x)) > c{f.iB{x))

Axioma c3. Involución. Para toda juA(x) e [0,1], c(c(juA(x))) = juA(x)

Cualquier función c que satisfaga los tres axiomas anteriores es llamada complementodifuso.

Podemos encontrar diversos tipos de complementos difusos en la referencia [59], pero elque se utilizará en el presente trabajo está definido como:

La intersección difusa de A y B es el conjunto difuso más pequeño que contiene a ambosconjuntos. La unión difusa es el conjunto más grande que contiene tanto a A como a B.

En la lógica clásica la combinación entre la unión, la intersección y el complemento se dapor las leyes de De Morgan, las cuales también se aplican a los conjuntos difusos. Si A y B sondos conjuntos difusos, entonces:

AvB=AnB y AnB=AuB

23

Los operadores de conjunción, de disyunción y de complemento se pueden relacionarentre sí a través de las leyes de De Morgan de la siguiente manera:

c(s(jiA(x), = t{c{fiA{x)), c(juB(x)))

A lo que se conoce como clase asociada o dualidad de las normas [59].

Los operadores de disyunción, de conjunción y el complemento difuso son utilizados paraanalizar la base de reglas difusa. Sin embargo, en ocasiones el criterio evaluado no correspondeni completamente a uno u otro operador. Cuando esto sucede, se utilizan los operadorescompuestos [49]. Estos se denotan por la letra v y se representan como:

Donde X es un parámetro entre cero y uno que puede ser elegido dependiendo de las

necesidades. Como ejemplo, si MA\X)~()A y fiB\x)~^m°t aplicando el operador compuesto

max-min, generamos la siguiente tabla:

X

00.20.40.50.60.81

Tabla 1.1 Operador

X max \fu A (x

00000

compuesto max-min.

))+ (l - ¡V)min (

min(0.4, 0.8) = 0.42(0.8)4(0.8)5(0.8)6(0.8)8(0.8)

+ 0.8(0.4) = 0+ 0.6(0.4) = 0+ 0.5(0.4) = 0+ 0.4(0.4) = 0+ 0.2(0.4) = 0

max(0.4, 0.8) = 0.8

/.iA{x\^H(x))

.48

.56

.60

.64

.72

Otros tipos de operadores compuestos podemos encontrar en [38, 59], pero no seutilizarán en el presente trabajo.

1.2.2.4 Familia de t-normas de Frank.

Desde que se desarrolló la teoría de normas triangulares y conormas triangulares [29]se ha extendido su uso en la teoría de control difuso para ser utilizadas en la intersección y uniónde conjuntos difusos. Muchos investigadores han presentado varios tipos de operadores para elmismo propósito.

Los operadores convencionales "son los de Zadeh (min y max), los cuales han sidoutilizados en casi todos los diseños de controladores difusos. Sin embargo, algunos estudiosexperimentales y teóricos indican que los otros tipos de operadores pueden trabajar mejor en

24

algunas situaciones. Para cada tipo de operación, las funciones correspondientes pueden ser

divididas en dos categorías. Una son las funciones no paramétricas, como la clase Zadeh, la clase

probabilística o la clase Lukasiewicz; y la otra son las funciones paramétricas, en las cuales se

utilizan parámetros para ajustar la fuerza de las operaciones correspondientes. Dentro de esta

última categoría existe una t-norma llamada de Frank, la cual se define como [1]:

= 1 - - - log<P

1 +

mí \n I 9>M¡ i I

U(e ' - l j

Y su t-conorma o s-norma se define como:

/r n\

M<P

Donde [lP e [0,1 ]"

Esta t-norma agrupa en un solo operador las t-normas y s-normas más frecuentementeutilizadas al variar el parámetro (p, creando así la familia de t-normas de Frank:

Tabla 1. 2 Familia de t-normas y t-conormas de Frank.

Zadeh((p-> -oo)

Probabilística(q>->0)

Lukasiewicz((p —> +oo)

t-norma

mhf=1(^))

n^(6*)Í=I

mm a ^ l - w + Z j.ip(e, ),0)

/=!

t-conorma

sv(\ip)

ma?Cl(/^(e*))

m 1 \

i-ni-//P(E/); = l

m

min( Z /uP{&¡ ),1)

Además de esta familia de t-normas existen otras que pueden ser encontradas en [23. 29,531, las cuales no se utilizarán en esta tesis.

Cuando trabajamos con distintos universos de discurso requerimos relacionar losconjuntos de los distintos universos, lo cual se logra a través de las relaciones difusas.

25

1.2.3 RELACIONES DIFUSAS.

El producto cartesiano de dos universos no difusos U y V, denotado por U x V, es elconjunto no difuso de todos los pares (M,V) tales que los u pertenezcan a U y los v a V, es decir[59]:

UxV= {(«,v)|«e U y ve V}

En una forma generalizada, si existen n universos:

U\ x Uix ... x Un ={(i/i, u2,..., un) I u¡ e U\, u2e U2,...„ wn e £/„}

Una relación no difusa Q entre los universos U\, U2,..., Un es un subconjunto delproducto cartesiano U\ x U2 x ... x Un y se puede especificar como:

QiUi.U2...., Un)czUlxU2x...xUtt

Como una relación es en sí un conjunto, podemos aplicarle todas las operaciones ypropiedades mencionadas. Además, podemos utilizar la siguiente función de pertenencia pararepresentar una relación:

f 1 si (MI, M2, ..., un) e Q(U\, U2,..., U,,)llQÍU\,U2,...,Un)= i

[_ 0 de otra forma

Una relación difusa es un conjunto difuso Q definido como:

Q = { ( ( i / i , M2 , ..., U n ) , M Q ( U U U2 , ..., Un)) I ( M i , M2 , ..., II,,) € U\ X f / 2 X . . . X U,,\

Donde:

Cuando solamente hablamos de dos universos, U y V, la relación difusa [/x Kse llamarelación difusa binaria.

El uso de las relaciones difusas se aplica la máquina de inferencia difusa. Pero para poderllegar a esta última es preciso conocer lo que son las variables lingüísticas y la base de reglas queregirán al sistema difuso.

1.2.4 VARIABLES LINGÜISTICAS Y REGLAS SI - ENTONCES.

El control difuso es un sistema basado en un conjunto de reglas de conocimientos, deltipo: "SI pasa esto ENTONCES haz esta acción". De aquí que hablemos de las reglasSI - ENTONCES como parte importante de un sistema difuso. La sintaxis correcta de esta reglaes:

26

SI <propos¡c¡ón difusa> ENTONCES <proposic¡ón difusa>

Antes de entrar en este tema se definen los conceptos de variable lingüística y proposicióndifusa.

En la vida diaria hablamos de variables que pueden ser medibles o no, por ejemplo,podríamos hablar de la variable temperatura, ésta puede tener un valor de 25° C. o cualquier otro,siempre y cuando contemos con un termómetro para saberlo; pero cuando no es así solamentedecimos que la temperatura es alta o regular o baja, pero ¿qué tan alta? o ¿qué tan baja?.

Cuando la variable toma palabras como su valor, estamos hablando de variableslingüísticas. Las palabras son caracterizadas por conjuntos difusos definidos en el universo dediscurso en donde la variable está definida. Una variable lingüística está caracterizada por loselementos x, T, U, M; donde:

x es el nombre de la variable lingüística.

Tes el conjunto de los valores lingüísticos que x puede tomar.

U es el dominio físico en el que la variable lingüística x toma sus valores de cantidad.

Mes la regla que relaciona a cada valor de Tcon un conjunto difuso en U.

Por ejemplo, x es la Temperatura; Tpuede ser {fría, fresca, confortable, cálida, caliente};U podría ser el intervalo [-10°, 35o] y; M relaciona "fría", "fresca", "confortable", ""cálida" y"caliente" con la función de membresía de la Fig. 1.10.

P fría fresca confortable cálida caliente

-10 3 5 12 15 17 22 25 28 35 °C.

Fig. 1. 10 La variable lingüística Temperatura con sus valores lingüísticos.

Definimos una proposición difusa como una oración que va a relacionar una o variasvariables lingüísticas con uno o varios valores lingüísticos. Las proposiciones pueden ser de dostipos:

a) Atómicas:x es A

27

Donde x es la variable lingüística y A es el valor lingüístico de x.

b) Compuestas:

(xesS AND xisNOTF) OR xesM

Son proposiciones atómicas con conectores AND, OR y NOT, estos se representan por losoperadores de conjunción, disyunción y negación respectivamente. Sus variables lingüísticaspueden o no ser diferentes.

Para determinar el valor de la función de membresia de las proposiciones se aplican lassiguientes relaciones.

• Cuando utilizamos el conector AND se usan intersecciones difusas.

Por ejemplo, sean x y y variables lingüísticas en los universos de discurso U y Vrespectivamente; A y B los conjuntos difusos en U y V, entonces la proposicióncompuesta difusa:

x es A AND yesB

Es interpretada como una relación difusa Ar\B en Ux Kcon la función de membresia:

MA^B (x>y) = ^MA (X)>MB (y)]

Donde / es un operador lógico de conjunción.

• Para el conector OR se usan uniones difusas. Si la proposición difusa es:

x es A OR y es B

La relación difusa AuB en U x V tiene la siguiente función de membresia:

Donde 5 es un operador lógico de disyunción.

Para el conector NOT se usa el complemento difuso. Si la proposición difusa es:

x es A

La función de membresia correspondiente es:

28

Donde c es un operador lógico de negación.

Regresando a la sintaxis de una regla difusa:

SI <proposición difusa> ENTONCES <proposición difusa>

Podemos ejemplificarla como:

SI xesA ENTONCES y es B

A la parte SI de la regla (x es A) se le llama antecedente o premisa, mientras que a laparte ENTONCES de la regla (y es B) se le llama consecuente o conclusión.

Tanto el antecedente como el consecuente de una regla difusa pueden tener proposicionescompuestas, como por ejemplo:

SI x es A y y es B yz es C ENTONCES y es B y z es Cy w es D

En cuyo caso todas las proposiciones son calculadas y resueltas simultáneamente usandolos operadores lógicos, resultando en un único valor para el antecedente y un único valor para elconsecuente:

SI xesA' ENTONCES y es B'

Una vez que se conocen los valores del antecedente y del consecuente se aplica laoperación lógica denominada implicación difusa, la cual se especifica como:

A->B

Una regla difusa (o implicación difusa) modela el conocimiento adquirido. Considere lasiguiente expresión que representa el conocimiento: "Un ser humano morirá". Esto significa quecualquier ser que sea identificado como humano tendrá inevitablemente que morir.

Considere ahora el siguiente ejemplo:

"Si la temperatura es baja y el caudal de agua es bajo entonces abrir el agua caliente".

Esta afirmación es cierta pero maneja información imprecisa y por lo tanto puede sermodelada mediante conjuntos difusos.

Una regla difusa o implicación difusa relaciona elementos de un espacio hacia elementosde otro espacio.

29

U VUna regla

Fig. 1.11 Implicación difusa.

En la literatura [59] podemos encontrar diversas funciones de implicación, como porejemplo las siguientes:

Sea SI <FP\> ENTONCES <FP2> una relación difusa QenUxV, donde FP\ y FP2 sonproposiciones difusas. Se asume que FP\ es una relación difusa definida en U = U\ x ... x {/„..FP2 es una relación difusa definida en V- V\ x ... x Vm, y x y y son variables lingüísticas en UyV, respectivamente. Se tienen las siguientes implicaciones:

Implicación de Lukasiewicz. La función de membresía para Q es:

jiio(x,y) = min[l, 1- MFI\ (*) + MFP2 (y) ]

Implicación de Zadeh. La función de membresía para Q es:

Po(x,y) = max[min[ MFI\ M , MFP2 (y) ], 1- MFP, (X) ]

Implicación de Mamdani. La función de membresía para Q es:

Mo(x,y) = min[ MFI\ M , MFP2 (y) ] o bien nQ{x,y) = MFF\ (X) MFP2 (y)

No son los únicos tipos de implicación, pero de todas, la implicación de Mamdani es lamás utilizada en el control difuso.

En los sistemas difusos, el conocimiento humano tiene que ser representado en la formade las reglas difusas SI - ENTONCES y son necesarias varias reglas para especificar qué es loque debe de hacer un sistema. Una vez teniendo todas las reglas evaluadas por separado espreciso tomar todos los conjuntos difusos que representan la salida para cada regla y combinarlosen un solo conjunto; a este paso se le conoce como agregación difusa [7]. El objeto de obtenerun solo conjunto difuso final es el de transformarlo en un valor no difuso para que sea utilizadopor el proceso a controlar.

30

Prácticamente toda la información que se manipula diariamente, ya sea en la casa o en eltrabajo, está frecuentemente incompleta o con un cierto grado de incertidumbre, sin embargo,esto no nos impide tomar decisiones. Todos los conceptos de la lógica difusa estánmatemáticamente bien fundamentados, lo que la hace ser una herramienta muy útil que almanejar grados de verdad permite modelar lo incompleto de una información o lo impreciso deuna observación.

Con estas bases se parte para afirmar que la lógica difusa se puede aplicar en lasupervisión de procesos industriales y en aplicaciones de control. En este último campo, sepueden diseñar controladores difusos, los cuales son otra alternativa de control de procesos. Loque se persigue con ellos es que a través de algún algoritmo matemático se ejecuten lo mejorposible las acciones de control que un operador experto realizaría bajo determinadas condicionesdel proceso. En la siguiente sección se definirá al controlador difuso, sus partes y característicasprincipales.

1.3 CONTROLADORES DIFUSOS.

Los controladores convencionales y los controladores difusos tienen en común que ambosproducen una señal de control u{t) a partir de una señal de error e{t), entre la salida real y(t) y lareferencia r{t). Sin embargo ellos difieren en el tipo de herramientas para su diseño. Los primerosnecesitan una descripción de las dinámicas del proceso mediante ecuaciones diferencialesmientras que los segundos requieren una descripción lingüística de las dinámicas del proceso. Lasvariables y este conocimiento se representan en forma de conjuntos difusos.

En los controladores difusos intervienen cuatro bloques: El que convierte los valoresnuméricos (observaciones) a valores difusos, llamado Fuzzyficador; el que contiene la base dereglas o de conocimientos sobre el sistema que se desea controlar, llamado Base de reglasdifusas; el que genera las salidas difusas en función de las entradas y reglas difusas, llamadoInferencia difusa y; el que convierte las salidas difusas en valores numéricos que serán aplicadosa la planta (conclusiones), llamado Defuzzyficador (Fig. 1.12). A continuación se verá cada unode estos bloques con mayor detalle.

Cabe mencionar que la palabra Fuzzyficador es un término híbrido generalmenteaceptado. Actualmente la comunidad científica de habla hispana aún no se ha puesto de acuerdoen el término más adecuado para su traducción, en inglés es "Fuzzyfier". De igual manera sucedecon la palabra Defuzzyficador ("Defuzzyfier").

31

Fig. 1. 12 Esquema básico de un controlador difuso.

El bloque R recibe la señal del error e del lazo cerrado y genera las señales de entradanecesarias del Fuzzyficador (Fig 1.13). Es función del diseñador elegir las señales adecuadas quealimentarán al Fuzzyficador.

d2e/dr

Fig. 1. 13 Bloque R, generador de las señales de entrada al Fuzzyfícador.

1.3.1 CONVERTIDOR DE ENTRADAS NUMÉRICAS A ENTRADAS DIFUSAS.

Como las entradas a un controlador difuso son valores numéricos reales, necesitamos deun tipo de interfase entre el controlador difuso y dichos valores. Esta es la acción delFuzzyficador. En otras palabras, el Fuzzyficador es un operador que construye un conjuntodifuso a partir de un valor (u observación).

También podemos expresar que el Fuzzyficador es un operador que asigna unadistribución de certitud a una medida o-una expresión. Por ejemplo, la apreciación del peso deuna persona puede ser: David pesa 70 Kg. Sin embargo, el peso exacto de David puede no serexactamente 70 Kg. Para definir el grado de certitud de dicha expresión, se le asigna unadistribución de veracidad:

32

70 w

Fig. 1. 14 Grado de veracidad del peso de David.

La cual captura lo incierto o impreciso de una afirmación u observación.

Por ejemplo la lectura de un termómetro electrónico muy sofisticado puede serT= 32.427° C. Considerando que el instrumento es muy preciso entonces se puede asignar unadistribución de verdad de tipo singleton, la cual modela lo preciso de una medición.

32.427°

Fig. 1. 15 Fuzzyficador tipo singleton.

Para Fuzzyficar un valor real se puede utilizar cualquiera de las funciones de membresíaque se han visto anteriormente. Las funciones de membresía más utilizadas en el control difusoson la gaussiana, la triangular y la singleton, pero esta última es la más comúnmente utilizadaporque simplifica los cálculos que se hacen en la inferencia difusa.

1.3.2 BASE DE REGLAS DIFUSAS.

Para trabajar con sistemas difusos, el conocimiento humano tiene que ser representado enforma de reglas difusas SI - ENTONCES. Son necesarias varias reglas para especificar qué es loque debe de hacer un sistema. A todo el conjunto de reglas difusas se le conoce como Base dereglas difusas. Esta base se puede definir como:

Re(/): SI x, es Al\ y ... y xm es Aln, ENTONCES y es B1

Donde Re'"es la regla /-ésima; A'j, y B1 son conjuntos difusos de los universos de discursoU, c S.K y V c S.H respectivamente para la /-ésima regla; x¡, ;c2, ... , x,, e U son las variableslingüísticas de entrada al sistema difuso y y e Fes la variable de salida del mismo sistema; /V/es

33

el número de reglas en la base de reglas difusas, para / =difusos por cada variable lingüística de entrada.

1,2,..., M; n es el número de conjuntos

La cantidad de reglas Mde la base de reglas difusa depende del número m de variables deentrada y del número de conjuntos difusos n que se formen por cada variable de entrada. Se diceque una base de reglas es "completa" si el número de reglas difusas es igual a la multiplicacióndel número de conjuntos difusos de cada variable. Si el número de conjuntos para cada variablede entrada fuera el mismo, se tendría que M = nm.

Por ejemplo, se puede considerar un sistema difuso con 2 entradas y una salida, con U =U\ x U2 = [0,1] x [0,1] y V - [0,1]. Se definen tres conjuntos difusos S\, M\ y L\ en U\, y dosconjuntos difusos £2 y L2 en U2. Una base de reglas completa está compuesta por todas lasposibles combinaciones entre los conjuntos de U\ y U2. El número de reglas M - 3 x 2 =6reglas y son:

Sljxi es Si y x2 es S2 | ENTONCES | y es B1

SlU, es S\ y x2 es L21 ENTONCES | y es B2

SIJJC, es M\ y x2 es S2\ ENTONCES | y es B3

Sljx, es Mx y x2 es ¿2| ENTONCES \yesB4

SlUi es Li y x2 es 52 1 ENTONCES \yesB3

SlUí es Zj X JQ es I2 j ENTONCES L ü e s ^Antecedente Consecuente

Donde B1 (/= 1,2,...,6) son conjuntos difusos en F, no necesariamente diferentes entre sí.

El proceso por el cual se genera la salida difusa en función de las entradas y reglas difusases conocido como inferencia difusa. Dicho proceso involucra las funciones de pertenencia,operadores lógicos difusos, relaciones difusas y las base de reglas difusas.

U= i/. X V

Fig. 1.16 Base de reglas completa.

34

1.3.3 INFERENCIA DIFUSA.

El proceso por el cual se obtiene una conclusión a partir de una observación y de unconocimiento se le llama inferencia. Por ejemplo, se sabe que "todo ser humano morirá" y sesabe que "Pedro es humano" por lo tanto se puede inferir que "Pedro morirá".

En el caso de observaciones imprecisas y conocimiento impreciso también se puedeinferir una conclusión imprecisa, por ejemplo, sea la siguiente expresión una regla de inferencia:"un tomate rojo está maduro". Considere ahora la siguiente observación: "este tomate está unpoco rojo". Entonces la conclusión inferida es: "este tomate está un poco maduro".

A este proceso también se le conoce como mecanismo de inferencia difusa, motor deinferencia difusa o sistema de inferencia difusa [7].

En la inferencia difusa, los principios de la lógica difusa se utilizan al combinar la base dereglas difusas en el mapeo del conjunto difuso A en U al conjunto de salida B en V. Hemos vistoque una sola regla SI - ENTONCES es interpretada como una relación difusa y emplea lafunción de implicación. Pero como sabemos, necesitamos de más de una sola regla, las cualesvan a inferir en el conjunto difuso de salida.

Al proceso de unir las salidas para cada regla en una sola, es decir, tomar todos losconjuntos difusos que representan la salida para cada regla y combinarlos en un solo conjuntopara después utilizarlo en el proceso de Defuzzyficación, se le conoce como agregación difusa

[7]-

En la agregación todas las reglas de la base de reglas difusa son combinadas para formaruna sola relación difusa del tipo U x V, la cual será vista como una sola regla difusa SI -ENTONCES.

Los pasos para realizar la inferencia difusa y encontrar el conjunto difuso de salida dadoel conjunto difuso de entrada son:

1. Para cada regla determinar la función de membresía del lado del antecedente y dellado del consecuente.

2. Aplicar la implicación para obtener la función de membresía para cada regla.

3. Para realizar la agregación de las reglas se pueden ver inicialmente a cada regla deforma independiente y para combinar las reglas utilizar el operador unión.

Para poder obtener el conjunto difuso de salida, se pueden aplicar los distintos tipos deinferencias difusas que hay en la literatura, los distintos tipos de implicaciones y los diferentesoperadores para las t-normas y sus t-conormas; lo que crea una amplia gama de máquinas deinferencia difusa [23, 59]. Su uso varía entre una y otra aplicación pero en general se busca que

35

sea simple al efectuar los cálculos y que se adecué al razonamiento del humano experto. Lasmáquinas de inferencia más utilizadas en el control difuso son:

Máquina de inferencia del producto, máquina de inferencia del mínimo, máquina deinferencia de Lukasiewicz, máquina de inferencia de Zadeh, entre otras [23,59].

Una vez generado el conjunto difuso de salida, es preciso convertirlo a un valor numéricopara que sea utilizado como acción de control por la planta del sistema, como se verá en lasección siguiente.

1.3.4 CONVERTIDOR DE ENTRADAS DIFUSAS A SALIDAS NUMÉRICAS.

A este proceso se le llama Defuzzyficación. El cual es el paso inverso a la Fuzzyficación,es decir, consiste en eliminar la información que modela la incertidumbre y obtener un valorpreciso y exacto. Algunos autores lo interpretan como el "mejor" escalar que representa a unconjunto difuso.

Por ejemplo, la época de verano se puede modelar mediante un conjunto difuso cuyafunción de membresía podría ser:

1° Junio Io Ju|io Io Agosto Io Sep Dias delaño (d)

10 de Julio

Fig. 1. 17 Defuzzyficación del conjunto verano.

El mejor día que representa al verano puede ser el 10 de julio.

El Defuzzyficador está definido como un mapeo de un conjunto difuso B en V c S.Rproveniente de la máquina de inferencia difusa a un valor numérico real y* e V. En otraspalabras, la tarea del Defuzzyficador es encontrar un valor en V que sea el que mejor representeal conjunto difuso B. De entre los Defuzzyficadores [59], uno de los más utilizados es:

El Defuzzyficador de centro de promedios. Como el conjunto B es la unión ointersección de M conjuntos difusos podemos obtener mejor el peso promedio de los centros delos Mconjuntos difusos por medio de:

y* =

36

Donde y, es el centro del /-ésimo conjunto difuso y w¡ es la altura o valor máximo de la

función de membresía del /-ésimo conjunto difuso (Fig. 1.18).

Fig. 1. 18 Representación del Defuzzyficador de centro de promedios.

Existen otros Defuzzyficadores como el del centro de gravedad o el máximo [59], perono serán de utilidad para esta tesis.

Una vez definidos los elementos que integran a un controlador difuso, podemosmencionar un ejemplo de controlador difuso: el controlador de Mamdani, el cual es base delcontrolador que atañe a esta tesis.

1.3.5 EL CONTROLADOR DIFUSO DE MAMDANI.

Una de las primeras aplicaciones de la lógica difusa en el control de procesos fuepropuesta en 1975 por Ebrahim Mamdani y su equipo para el control del motor de vapor. Sucontrolador, conocido como Controlador difuso de Mamdani [7, 49] está basado en la experienciahumana, obtenida de ingenieros de control o por operadores de planta. Esta experiencia estraducida en reglas difusas, con su apropiada interfaz de Fuzzyficación y de Defuzzyficación. Lasreglas de control son expresadas de la forma que ya conocemos:

Re (/): SI jt| es A\ y ... y xn es A'n, ENTONCES y es Bl

Donde x\, ..., xn son la variables reales de entrada al controlador; Aln y Bl son los conjuntos

difusos, y es la variable de salida difusa. Su esquema de funcionamiento es:

• Generación del conjunto difuso correspondiente a cada regla.

• Agregación mediante la unión de los conjuntos difusos de las salidas individuales,generando un conjunto difuso por cada variable de salida.

37

La ventaja del controlador de Mamdani radica en que está ampliamente aceptado dentrodel control difuso [17, 22].

Una vez que se definen las funciones de membresía, las reglas difusas, las funciones deasociación de reglas, el mecanismo de inferencia y la función de defuzzyficación, el controladordifuso se convierte en una función no dinámica y no lineal:

Para definir dicha función, es necesario definir los universos de discurso de cada variable.

Sea u una variable escalar que adquiere valores dentro de un subconjunto convexo de losnúmeros reales:

M € E\j C 5R

Sea x un vector variable de escalares en donde cada escalar adquiere valores dentro de unsubconjunto convexo de los reales:

x¡ e EjCVl

A cada variable escalar se le divide en N subconjuntos difusos, los cuales soncaracterizados por sus respectivas funciones de membresía:

Para*: MÁ-Y Ej ^ [0,1]j=\...N

Paraw: /${.):£{/-> [0,1]

Supóngase que se cuenta con M reglas difusas que relacionan el espacio compuesto de .vcon el espacio de U:

{E\ xE2x ... x En) ->• Eu

Según las reglas de inferencia de la lógica difusa, el grado de veracidad de cada regla esigual al grado de veracidad de cada antecedente.

Para calcular el grado de veracidad de cada antecedente se debe realizar una operación deasociación lógica de ellos mediante:

/.(•): [0,1]" -> [0,1]

Sean entonces W\ los grados de veracidad (o de activación) de cada regla, donde/=1,2,...,M

La función de defuzzyficación es un mapeo:

38

De esta forma se puede escribir que:

VM

= fD

Eu

Primero debemos notar que las operaciones de Fuzzyficación, asociación yDefuzzyfícación están descritas de forma simple mediante una función matemática.

Sin mirar con detalle todo el vocabulario y considerando únicamente el resultado final, elcontrolador difuso es simplemente una función no lineal.

Un controlador difuso puede ser expresado como:

u=fx(x)

Donde x es un vector de dimensión n, X representa todos los parámetros estructurales delcontrolador, y u es un escalar.

El controlador difuso puede ser considerado como una alternativa para representar unafunción no lineal estática.

Se puede considerar que el controlador difuso es una tabla finita de datos que soninterpolados mediante alguna metodología.

Cada regla difusa corresponde a un dato de la tabla; las funciones de membresía, laFuzzyficación, la asociación, la Defuzzyfícación son en su conjunto el mecanismo deinterpolación.

Todos los controladores difusos tienen características no lineales que se derivan de laspropiedades no lineales de la estructura misma del controlador [22].

1.3.6 EL CONTROLADOR DIFUSO USADO COMO UNA FUNCIÓN NO LINEAL.

Toda función que sí cumpla con las propiedades de linealidad {Propiedad aditiva osuperposición y Propiedad de homogeneidad o de escalado) es considerada como función lineal.Si algún elemento de la estructura de la función es no lineal (de acuerdo a las propiedades vistas),se dice que toda la función es no lineal.

Considérese el uso de un controlador difuso con tan solo una regla:

SI x es A ENTONCES u es B

39

Donde A y B son los conjuntos difusos o valores lingüísticos tomados para la variable x yla acción de control u.

La Fuzzyficación de x\ y X2 es hallar /JU(*I) y MA(X2)- Para que sea lineal se requiere que:

MA(XÍ) + MA(X2) =

MA(X\ + xi), lo cual no siempre es cierto.

Queda claro que una fuente de no linealidad del controlador difuso se encuentra en lasfunciones de membresía, pero esta no es la única. Otra fuente importante de no linealidad es lafunción de Defuzzyfícación, pero la más importante se encuentra en las características de cadaregla difusa.

Cada regla difusa nos permite granear un punto de una función, para que exista una muybuena aproximación de un sistema difuso con dicha función, se requiere de un elevado número dereglas difusas que nos permitan granear todos los puntos consecutivos y así tener una exactitudmayor en la aproximación a la función que se esté manejando.

1.3.6.1 Los sistemas difusos como aproximadores universales.

Los controladores difusos son sistemas basados en reglas lingüísticas y se considerancomo un mapeo no lineal, que en algunos casos pueden ser representados por fórmulascompactas, como por ejemplo [59]:

M

i=\

No en todos los casos se pueden representar de esa forma. El problema de loscontroladores difusos radica en que por lo menos existen tres tipos de Fuzzyfícadores, tres deDefuzzyficadores y, cinco máquinas de inferencia difusa, lo cual nos lleva a cuando menos 5 x 3x 3 = 45 posibles combinaciones, sin tomar en cuenta los distintos tipos de implicaciones para lainterpretación de las reglas difusas, ni las diferentes formas de funciones de membresía. Habránalgunas combinaciones que sean efectivas al aplicarlas en determinados casos, mientras que enotros no lo sean. Pero se ha demostrado que el controlador difuso puede ser una buenaaproximación a cualquier función continua no lineal con un cierto grado de exactitud, siempre ycuando se cree un número suficientemente elevado de conjuntos difusos y una base de reglasdifusas lo suficientemente completa para aproximar lo más posible el resultado obtenido alresultado esperado, reduciendo el margen de error sin importar el tipo de aplicación que se le dé.De aquí que el controlador difuso sea considerado como un aproximador universal.

Teorema de Aproximación Universal [59]. Supóngase que el universo de discurso deentrada (/es un conjunto compacto en 9T. Entonces, para cualquier función real continua g(x) enU y una arbitraria exactitud 8 > 0, existe un sistema difusoyí.x) que cumple:

40

Dada una función continua, su aproximación a través de sistemas difusos puede seralcanzada si el número de conjuntos difusos y de reglas difusas se puedan incrementar tangrandes como sea posible. Sin embargo, el alcanzar una mejor aproximación a expensas de unmayor número de conjuntos difusos y de reglas difusas no es deseable en la práctica.

Nótese que el controlador difuso sigue requiriendo la construcción de varias señales apartir de la señal del error entre la salida real y la referencia.

En el caso del diseño de controladores difusos para sistemas de una sola entrada - una

sola salida (SISO), se suelen utilizar las señales

al controlador. TaDerivativo (PID).

, }e(')d' las cuales son inyectadaso"' dt o

al controlador. Tal es el caso de los controladores difusos SISO de tipo Proporcional - Integral -

e(t)

d

dti2

dt2

•

CD

e(t)

d

dt

0

•

CD

e(t)

d

dt

ri2

dt2'

CD • /dt0

Fig. 1. 19 Controladores difusos tipo PID.

No se debe caer en el error de que diseñar un controlador difuso para un sistema SISO escosa trivial, pues se requiere del correcto ajuste de los parámetros del controlador (universo dediscurso, conjuntos difusos, reglas, operadores lógicos, Fuzzyficadores y Defuzzyficadores). Enla práctica se suelen utilizar métodos heurísticos.

Las complicaciones aumentan Quando se desean diseñar controladores difusos parasistemas de múltiples entradas - múltiples salidas (MIMO). Por esta razón se encuentran en laliteratura muy pocos controladores difusos MIMO exitosos.

41

1.4 ASPECTOS SOBRE EL CONTROL DIFUSO MULTIVARIABLE.

Aunque los controladores difusos SISO han sido ampliamente estudiados con éxito, notodos los sistemas de control pueden ser modelados así, ya que una acción de control afectasimultáneamente a varias salidas.

En este tipo de sistemas ocurre un fenómeno llamado interacción de lazo que consiste enque al variar una entrada, varían todas y cada una de las salidas. Por ejemplo, para un sistema desolo dos entradas (u\ y ui) y dos salidas (y\ y yi), la interacción se puede modelar de la siguientemanera:

"2

G,2

G21

í +y¡

+

Fig. 1. 20 Interacción de lazo en un sistema de dos entradas y dos salidas.

Para que la planta sea controlada correctamente, cada variable de entrada tiene que actuara favor de cada salida y se deben de tomar las precauciones necesarias al modelar la planta ydesarrollar los controladores ya que las interacciones de lazo pueden inestabilizar al sistema.

Recordando que el control difuso es una alternativa cuando los sistemas son no linealespero monovariables y que pueden ser controlados mediante un operador experto. Entonces esrelativamente fácil crear reglas lingüísticas a través del conocimiento humano y aplicar la teoríade los sistemas difusos. Aunque esto también ha tenido sus limitantes ya que se puede llegar asituaciones poco prácticas o peligrosas. Un ejemplo de esto es cuando existe una base deconocimiento incompleta o parcialmente incorrecta. Depender completamente del conocimientohumano es poco práctico y peligroso. Además, no existe un sistema definido por el cual seobtenga todo el conocimiento humano. Otro ejemplo se tiene cuando se construye una base dereglas con el conocimiento de dos expertos que pueden proponer reglas que son contradictorias yconflictivas. Estos problemas se acentúan aun más en sistemas multivariables.

El problema de la adquisición de conocimiento es aún mayor cuando el sistema porcontrolar es mutivariable y no lineal. Supongamos por un instante que existe una base de reglasexitosa para controlar uno de estos sisteítias, entonces es prácticamente seguro que ella contieneun número muy elevado de reglas y conjuntos difusos.

42

Desde que la teoría de control difuso fue propuesta por Zadeh, el control difuso ha sidoutilizado con éxito en un gran número de sistemas de control con una sola entrada y una solasalida. Ahora, las investigaciones se han estado desarrollando hacia los sistemas multivariables[4, 27, 38].

Una alternativa de trabajar con sistemas de múltiples entradas y salidas es reduciendo elproblema en varios de múltiples entradas y una sola salida (MISO). Por ejemplo, si se tiene quediseñar un sistema difuso de 4 entradas y 3 salidas, se recomienda transformarlo en tres sistemasde cuatro entradas - una salida separados y después ponerlos juntos, como se muestra en la Fig.1.21.

x4

Sistema difuso de4 entradas, 1 salida

Sistema difuso de4 entradas. 1 salida

Sistema difuso de4 entradas. 1 salida

y\

Fig. 1. 21 Sistema difuso tipo MISO.

Aunque esta descomposición no ayuda a resolver el problema de interacción inherente delos procesos multivariables.

En el capítulo siguiente se describen otras alternativas propuestas por diferentes autorespara atacar el problema multivariable. Las alternativas más destacadas son: las técnicas queutilizan algún tipo de desacoplamiento; las que utilizan algún mecanismo de aprendizaje; las queutilizan una identificación e inversión del modelo difuso y las que reducen la complejidad delcontrolador difuso.

43

CAPITULO 2. EL CONTROLADOR LÓGICO NATURAL

2.1 ANTECEDENTES.

El control difuso es útil cuando es muy difícil plantear un modelo matemático de unproceso que se desea controlar. Su diseño se basa en los conocimientos humanos y por lo tanto elfuncionamiento del controlador depende de la experiencia del diseñador. Durante las décadaspasadas se han desarrollado varios trabajos de investigación y aplicación que han mostradoresultados interesantes para el control de procesos del tipo SISO.

Cuando se desea aplicar el control difuso a procesos multivariables encontramos que ladificultad de diseñar un controlador radica no solo en la inmensa cantidad de parámetros que sedeben de tomar en cuenta para ajustar el controlador difuso, sino también, por la dificultad deencontrar a una persona experta que pueda regular dichos procesos. Surge así la necesidad debuscar alternativas que faciliten el ajuste y manejo de los parámetros del controlador difuso.

Se pueden encontrar en la literatura muchas alternativas para resolver el problema antesplanteado. Estas alternativas las podemos clasificar en cuatro grandes ejes [1]:

1. Las técnicas que utilizan algún tipo de desacoplamiento y/o regulación descentralizada.

2. Las técnicas que utilizan algún mecanismo de aprendizaje.

3. Mediante la identificación e inversión de un modelo difuso.

4. Reduciendo la complejidad del controlador difuso.

Se verán en las subsecciones siguientes las características básicas de cada una de estasalternativas.

44

2.1.1 LAS TÉCNICAS QUE UTILIZAN ALGÚN TIPO DE DESACOPLAMIENTO Y/OREGULACIÓN DESCENTRALIZADA.

El desacoplamiento es un tópico básico de la ingeniería de control y se han hechoinvestigaciones y aplicaciones en este campo. Sin embargo las aplicaciones del desacoplamientoson raras en procesos industriales en comparación con otras ramas de la teoría de control. Larazón de ello es debida a que el desacoplamiento es muy sensible a variaciones de los parámetros[60]. Una forma de resolver este problema es desarrollar métodos menos sensibles, forma que hasido desarrollada dentro y fuera del marco del desacoplamiento. En el campo de los sistemasdifusos se ha venido aplicando esta técnica de desacoplamiento en KUMAR, S. Ray [34] y XU,Chen Wei [60] por ejemplo.

Cuando la planta es de tipo MIMO, todas las variables de entrada y de salida estánacopladas, por lo que si hay variación en alguna de las variables de entrada, se verán afectadastodas las variables de salida (sistema en lazo abierto de la Fig. 2.1). La meta es cortar esainteracción a través de un lazo de control, es decir, desacoplar al sistema vía retroalimentación,como se muestra en la Fig. 2.1.

Sistema enlazo abierto

Controlador

T - \v,(*)

Fig. 2. 1 Sistema desacoplado en lazo cerrado.

Donde ti\(k),..., up(k) yy\(k),...,yp(k) son las entradas y salidas del sistema en el instantede tiempo k, respectivamente. Supóngase que existe una relación multidimensional entre lasentradas u,(k) y las salidas y¡(k). El desacoplamiento consiste en diseñar un controlador quegarantice una relación monovariable entre cada par de entrada u,(k) y saliday¡(k). Para una mayorexplicación de cómo funciona la técnica de desacoplamiento, referirse a [34, 60].

Una vez desacoplado el sistema, a través de la teoría de desacoplamiento, el controldescentralizado se puede llevar a cabo (aunque puede tratarse la descentralización de maneraindependiente al desacoplamiento), creando un controlador difuso para cada par entrada - salidadesacoplado, como se muestra en la Fig. 2.2.

45

U\

—L

Un

J •

y

Controlador 1

•

Controlador n

Vi

•

V2

Sistemaacoplado

0

desacoplado

•

y\

Fig. 2. 2 Sistema descentralizado.

Un problema con esta técnica radica en que en situaciones prácticas los sistemas no sondesacoplables completamente; si los parámetros del sistema varían, el desacoplamiento sedestruye. Otro problema con esta técnica es que requiere obligatoriamente que el número devariables de entrada del sistema sea igual al número de variables de salida.

Hasta ahora las técnicas de desacoplamiento mediante sistemas difusos y control difusodescentralizado solamente han sido probadas exitosamente para sistemas de dos entradas y dossalidas [30].

2.1.2 LAS TÉCNICAS QUE UTILIZAN ALGÚN MECANISMO DE APRENDIZAJE.

El diseño de los controladores difusos básicamente ha sido confiado al conocimientohumano a priori, así que para crear el controlador difuso se depende totalmente en la calidad de laexperiencia. Existen varias propuestas en la literatura para reducir la dependencia del control enla experiencia del diseñador, por ejemplo a través de la extracción automática de reglas o delcontrolador difuso con capacidad de aprendizaje [61]. La extracción automática de reglas ha sidoestudiada por Pedricz y su equipo basándose en las ecuaciones relaciónales difusas. El primercontrolador difuso con capacidad de aprendizaje fue desarrollado por Mamdani. La idea principalde esta propuesta se basa en que las reglas iniciales de control deberían de ser modificadasbasándose en la experiencia pasada hasta que el funcionamiento predeterminado fuese alcanzado.

La ¡dea del autoaprendizaje es que en base a una descripción difusa del proceso, elcontrolador pueda ser modificado en línea utilizando alguna técnica de optimización matemáticapara que la respuesta sea forzada a responder lo más cercana posible al objetivo del diseñador. Enotras palabras, el objetivo del controlador difuso de autoaprendizaje no es diseñar el controlador,sino permitirle aprender las acciones de control apropiadas a través de pruebas iterativas.

46

Los algoritmos de aprendizaje han sido estudiados en el campo del control adaptativodesde hace varios años y han sido complementados por los investigadores a las redes difusas yadaptativas neuronales. Dentro del esquema de control por aprendizaje se utilizan diferentesalgoritmos dependiendo de la aplicación que se tenga. Los algoritmos de aprendizaje máspopulares utilizan redes neuronales artificiales, lógica difusa y sistemas expertos [10].

Un sistema de aprendizaje consiste en tres bloques básicos: la planta o proceso, elcontrolador difuso, y los elementos de aprendizaje [13]. Los elementos de aprendizaje lepermitirán al controlador hacer las modificaciones necesarias en su base de reglas a través deiteraciones.

Otro tipo de controladores que utilizan alguna técnica de aprendizaje son loscontroladores difusos de autoajuste, en los cuales se aplica una estrategia de optimización paraajustar las reglas lingüísticas de control, las funciones de membresía o el factor de escala delcontrolador difuso.

El controlador difuso de autoajuste [65] tiene básicamente la configuración mostrada enla Fig. 2.3.

Supervisor BDC

Conjunto deseguimiento dereglas de ajuste

Conjunto dereglas de ajuste

específicos

Conjunto de reglas de

control

Control de las funciones de

membresía

±±.Fuzzyfícación

3;

Inferencia difusa Defuzzyficación

Proceso

Fig. 2.3 Controlador difuso de autoajuste.

La base dinámica de conocimientos (BDC) está constituida por una arquitectura de reglasmulticapas. La capa más baja es llamada conjunto de reglas de control, la cual es afectadadirectamente por el proceso a controlar; también se encuentra en esta capa el bloque de lasfunciones de membresía que se pueden utilizar. La capa superior es llamada conjunto de reglas de

47

ajuste y es utilizada para ajustar el conjunto de reglas de control y las funciones de membresía delas variables de entrada y de salida del proceso. El conjunto de reglas de ajuste está compuesto dedos grupos: 1) el conjunto de seguimiento de reglas de ajuste y 2) el conjunto de reglas de ajusteespecíficos. En el primer grupo se encuentran las reglas que un experto utilizaría para desarrollarel controlador difuso, sus variables de entrada son tomadas del sistema por controlar, y lasvariables de salida actúan sobre el conjunto de reglas de control y sobre las funciones demembresía, en lugar del sistema en sí. El segundo conjunto estima y ajusta el conjunto de reglasde control y las funciones de membresía en base a las características de la respuesta transitoriadel sistema que se deseen obtener. Sobre el conjunto de reglas de ajuste está un bloque supervisorque maneja a las capas durante la operación en tiempo real.

Aunque son muchos los investigadores que han estado estudiando cómo incorporar elaprendizaje en la arquitectura del control difuso, la mayoría de esos algoritmos son heurísticos ysubjetivos y no existe un procedimiento sistemático para diseñar y analizar controladores difusosde autoajuste [52]. Estos métodos tienen las mismas desventajas de los métodos iterativos:

• La convergencia a la solución global no está garantizada.

• La estabilidad del sistema en lazo cerrado y en cada iteración tampoco estágarantizada.

2.1.3 MEDIANTE LA IDENTIFICACIÓN E INVERSIÓN DE UN MODELO DIFUSO.

Sabemos que las implicaciones difusas son utilizadas para expresar las reglas de control,pero para el control multivariable tenemos gran dificultad de plantearlas ya que en muchasocasiones el experto no puede decir lingüísticamente que clase de acción debe tomar en unasituación determinada. En este aspecto es útil dar un camino para modelar las acciones de controlutilizando datos numéricos. La identificación automática del modelo difuso es un esfuerzo paraextraer un modelo difuso de forma automática a partir de un conjunto de datos de entrada -salida.

En la mayoría de los métodos de identificación de procesos que utilizan datos de entrada ysalida, se asume una estructura funcional entre la entrada y la salida, por ejemplo una relaciónlineal, para después identificar los parámetros del modelo matemático. Pero es difícil encontraruna estructura global para un proceso no lineal y/o multivariable. El modelado difuso está basadoen la idea de encontrar un conjunto de relaciones entrada - salida que describen un proceso. LaFig. 2.4 muestra el esquema de la identificación de un modelo difuso:

48

Generador deseñales

Procesor

Modelodifuso

1-T

Algoritmo deidentificación

Fig. 2. 4 Identificación del proceso por medio de un modelo difuso.

En este esquema se trata de aproximar lo mejor posible el modelo al proceso, generandoseñales de entrada y comparado las salidas hasta lograr el objetivo. Otras alternativas paraencontrar un modelo difuso son las técnicas que se basan en redes neuronales y algoritmosgenéticos [63].

Una vez obtenido el modelo (MD), se procede a invertirlo para generar las dinámicasdeseadas en el sistema de lazo cerrado que controlen a dicho sistema [24].

Controlador

Dinámicasdeseadas

MD' Proceso

Fig. 2. 5 Inversión del modelo difuso.

El gran problema con estos métodos radica en que la inversión de un modelo no siempreexiste o conlleva a acciones de control muy violentas (singularidades).

2.1.4 REDUCIENDO LA COMPLEJIDAD DEL CONTROLADOR DIFUSO.

Un controlador difuso necesita la definición de universos de discurso, número deconjuntos difusos, funciones de membresía, operadores lógicos, Defuzzyficador y la base dereglas. Por lo tanto, el diseño de un controlador difuso para sistemas multivariables y no linealesresulta ser muy tedioso. La idea principal de estas técnicas es limitar sabiamente el grado delibertad de los controladores difusos para poder obtener un diseño más sencillo. Las opciones queencontramos en la literatura son:

Reduciendo el número de subconjuntos difusos.

49

• Limitando el número de reglas difusas.• Eligiendo operadores lógicos o de Defuzzyficación más simples.

El mecanismo para reducir la complejidad de un sistema propuesto por Setnes [50] esmostrado gráficamente en la siguiente figura:

Actualizar la base dereglas

Seleccionar el par de conjuntosdifusos más similar

Fusionar losconjuntos difusos

seleccionados

si

no

Eliminar conjuntos difusossimilares al conjunto

universal

Fusionar reglas conpremisas iguales

Fig. 2. 6 Pasos para la reducción de la complejidad de un sistema difuso.

Este tipo de métodos supone que existe una base de reglas muy grande y que puede sersimplificada.

El problema con esta forma de trabajo radica en que para sistemas multivariables, crearesta base de reglas inicial es muy difícil, por lo que se han desarrollado otras formas de diseño, enlas cuales se proponen el uso de controladores "inicialmente" simplificados, como por ejemplo elcontrolador difuso de Ying [63], y el controlador difuso de Mélin & Vidolov [57]; los cuales hanservido como antecedentes del controlador que se habrá de utilizar en este trabajo.

50

2.1.4.1 El controlador difuso de Hao Ying, William Siler y James J. Buckley.

La mayoría de los controladores difusos usan el error y la razón de cambio del error de la

variable de entrada al sistema como entradas al controlador difuso (CD), como se muestra en la

Fig. 2.7.

. e(t)

) 1l •

d

dt

CD

u(i)• Planta

y{t)

Fig. 2. 7 El controlador difuso de Hao Ying.

En esta propuesta de control, se intenta diseñar el controlador difuso más sencillo posible,

el cual consiste de dos entradas: el error e y la razón de cambio del error de, una salida u y cuatro

reglas difusas de control. Las variables e y de tienen dos conjuntos difusos (Negativos, Positivos)

mientras que la salida tiene tres conjuntos difusos (Negativos, Zero y Positivos) como se muestra

en la Fig. 2.8 (Los conjuntos serán representados por su letra inicial).

Planteando la base de reglas completa tenemos:

ri Si e es P y de es P entonces u es P

i2. Si e es P y de es N entonces u es Z

Ty Si e es N y de es P entonces u es Z

r4 Si e es N y de es N entonces u es N

El lector podrá reconocer fácilmente que se trata de un controlador difuso tipo PD.

Para simplificar las explicaciones se considerará que los universos de discursos de lasvariables del controlador están dentro del intervalo [-1, 1]

Para las entradas difusas:u

N

de

Para la salida difusa:

N Z

\

-1

\ i

V-i o

p

Fig. 2. 8 Conjuntos difusos de las entradas y la salida del controlador difuso.

Las funciones de membresía de error y su primer derivada se definen como:

51

MP(e)=2(\ + sat(e)) /uN (e) = - (1 - sat(e))

Mp (de) = i (1 + sat(afe)) ¿i, (<fe) = * (1 - sat(rfe))

Donde la saturación está definida como:

sat(e) = max(-1, min(e,l)) sat(de) = max(-1, min(de,l))

Nótese que los conjuntos difusos de las entradas forman una partición difusa, por lo tanto:

/.ip(e) + f.iN(e) = 1 nP(de) + /dN(de) = 1 Mp(u) + Mz(u) + M,v(") = 1

La asociación de los antecedentes se hace con el operador lógico producto, y laimplicación difusa queda:

/.ip(u) = i¿p(e) x

/.íz(u) = jup(e) x f.iN(de)

/uz(n) = MN(e) x f.ip(de)

¿uN(u) = f.iN(e) x f.iN(de)

La Defuzzyficación se realiza por medio del método del centro de gravedad:

u -jup (e)fj.p (de) + fip (e)jLiN (de) + /uN (e)jup (de) + //;V (e)juN (de)

Susti tuyendo las expresiones de las funciones de membresía para e y de, la acción de

control u queda como:

1 [1 + sat(e)] l [1 + sat(ífe)] - l [1 - sat(e)] l [1 - sat(ífc)|u = 2 _ ___ 2______ ______ 2 2

MP(e)\fip(de) + juN(de)\-

[sat(e) + sat(í/e)]

Si tanto e como de están dentro del intervalo de [-1,1], la señal de control se convierte en:

u= — (e + de)

Es decir, es el promedio de ambas entradas.

52

Aceves en su tesis demostró que para el caso extendido a m entradas, la acción de controlsería la suma ponderada de todas las entradas [1]:

1 m

u = — V entradas«7

2.1.4.2 La propuesta de Vidolov & Mélin.

Esta propuesta fue desarrollada por Borislav Vidolov y Christian Mélin [57] cuyo diseñose basa en la formulación de una base de reglas de solo dos reglas difusas y para la definición delos conjuntos difusos Positivos y Negativos no utiliza la función saturación sino la funcióntangente hiperbólica.

De la base de reglas mostrada para el controlador de Ying, en esta propuesta se toman laprimera y cuarta regla, generando así la base de reglas de este controlador:

n: Si e es P y de es P entonces u es Pvi Si e es N y de es N entonces u es yV

Los conjuntos difusos Positivos y Negativos se definen como:

H,, (de) = ^- (1 + tgh(ífe)) y nN (de) = ^- (1 - tgh(ífe))

Y se grafican de la siguiente forma:

N ti P

e

- 1 0 1 de

Fig. 2. 9 Los conjuntos difusos de las entradas e y de para el controlador de Vidolov y Mélin.

La inferencia difusa es a través de la inferencia tipo Mamdani y el método deDefuzzyllcación es el método del máximo. Por lo que la acción de control es:

53

u = nP (e)MP (de) - n N (e)nN (de)

u = 1 [1 + tgh(<0] * [1 + - ^ [1 - tgh(e)] ~ [1 - tgh(de)]

Que es estructuralmente el mismo resultado que con el controlador de Ying. Aceves en sutesis demostró que para valores pequeños de e y de de, nuevamente se tiene que la acción decontrol es el promedio de los valores de las entradas [1]:

u = — (e + de) : e—>0, de—> 0

Las dos propuestas de control difuso presentadas (Ying et. al. y Vidolov - Mélin) han sidoaplicadas a! control de procesos SISO lineales de forma exitosa [57, 63].

No resulta difícil entender porque fueron exitosas puesto que ellas se parecen mucho auna simple acción de control lineal.

Si existiera una ventaja por incorporar ciertas características no lineales a la acción decontrol, ellas deberán producir transiciones suaves entre acciones de control semejantes. Paraobservar claramente las no linealidades de los controladores de complejidad reducida expuestos,se han dibujado las superficies resultantes en el caso de dos entradas al controlador.

0.5

" 0

-0 5

1

0.5-

•0 5

\ \

„ \

di.

a) b)

Fig. 2. 10 Superficies resultantes de los controladores de a) Ying et. al y b) Vidolov y Mélin, para dos entradasal controlador.

54

2.2 EL CONTROLADOR LÓGICO NATURAL (CLN).

La propuesta presentada en esta tesis es realizada por los doctores Alejandro AcevesLópez y Joseph Aguilar Martín [1,3]. Es una modificación realizada al controlador de Aguilar &Hernández, quienes habían creado un controlador difuso al que denominaron Controlador LógicoNatural (CLN), el cual poseía solo un conjunto difuso y una sola regla [6]. En 1999, Aceves &Aguilar lo analizaron y llegaron a la conclusión de que el CLN presentaba problemas de simetríay de estabilidad, por lo que decidieron definir una nueva versión del CLN.

En esta nueva versión se consideran dos principales modificaciones al controlador difusooriginal de Mamdani. La primera consiste en definir solo dos conjuntos difusos para cada señalde entrada al controlador difuso. Y la segunda consiste en definir solo dos reglas difusas extremas[1,3].

Considérese la aplicación del CLN a un proceso de una entrada - una salida, como semuestra a continuación (para facilitar la lectura, se ha omitido la dependencia con el tiempo detodas las señales):

Fig. 2. 11 Configuración de control del CLN para una sola entrada - una sola salida.

Donde:

>Ve/es la referencia de entrada al sistema;^ es la salida del mismo.

e es el error del sistema en lazo cerrado, definido como e =yref-y.

{K\ - Km) son las ganancias normalizantes necesarias para obtener lasvariables de entrada al controlador difuso: z\ ,z\,...,z"m para m variables.

55

e* es el vector de señales de entrada al controlador difuso, definido como:

e =

Ku es la ganancia desnormalizante necesaria para obtener la acción decontrol no difusa.

u es la acción de control que genera el controlador difuso y es un valor nodifuso que actúa sobre el proceso.

2.1.1 DEFINICIÓN DEL CLN.

Esta nueva propuesta de control propone varios aspectos novedosos [1, 3]:

• Determinar los universos de discurso (ganancias de normalización) en función de lasrestricciones naturales del proceso.

• Solo dos conjuntos difusos para cada variable del controlador.

• Utilizar solo la primera y última regla difusa de la base de reglas completa (que sonlas opuestas para cualquier número de entradas).

• El operador de asociación de los antecedentes será de tipo mixto.

Para calcular las ganancias normalizantes del CLN se utilizan las restricciones naturales

del proceso por controlar: las restricciones naturales de las variables de entrada S( y las

restricciones de saturación de la acción de control u.

Para definir los universos de discurso de las variables del controlador, se parte de la ideade que todo sistema real tiene limitaciones físicas y valores límite que se deben de respetar paraque el proceso funcione de manera adecuada y no llegue a sufrir de averías o pueda causar dañosa terceros tanto en una situación normal y ni mucho menos en una situación anómala. Aguilar -Hernández distinguieron dos tipos de restricciones para los procesos [1, 3]: a) la saturación de laacción de control y b) el dominio de trabajo de las variables observables.

Para entender el significado de las restricciones naturales de una variable, considere los

siguientes ejemplos. Sea £i la señal de error:

56

Si esta señal está dentro de un cierto rango entonces asumimos que el proceso está en una

situación normal; pero si ei está fuera del rango, entonces se debe aplicar la máxima energía que

regrese a ei al rango de valores especificado, en otras palabras:

ei debe pertenecer a [-E\ max, Ei™**] c 9Í de cualquier otra forma, u debe ser máxima.

Sea s 2 la primera derivada del error. Se dice que el error presenta una dinámica aceptable

si s2 está dentro de un cierto rango, pero si e2 es muy grande entonces se debe utilizar toda la

energía disponible para frenar su dinámica, así que:

E2 debe pertenecer a [-E2max, Ei™*] c 5R de cualquier otra forma, u debe ser máxima.

Podemos extender esta idea a cualquier variable observable y decir que:

£/ debe pertenecer a [-£,max, £,max] c 9? de cualquier otra forma, u debe ser máxima.

La ganancia de normalización K¡ se define como la inversa del límite máximo permisiblede cada variable:

Las variables normalizadas del controlador se definen entonces como:

La saturación de la acción de control también es considerada una restricción natural.

La saturación implica que la acción efectiva de control estará dentro de un intervalocomúnmente simétrico denotado por:

ue[-Umax,Um"\

La ganancia de desnormalización Ku se define como:

Ku=Umax

La acción de control obtenida del CLN se expresa como «*, pero para que sea utilizada enel proceso se ve afectada por la ganancia de desnormalización:

u - Ku*

57

De esta forma se pueden normalizar y desnormalizar las ganancias de cada variable y dela acción de control utilizando las restricciones naturales. Una vez habiendo encontrado losuniversos de discurso de la acción de control y de las variables involucradas, se procede asintonizar el sistema.

En las siguientes subsecciones se describe la configuración del CLN.

2.2.1.1 Subconjuntos difusos.

Como se desea reducir al máximo la complejidad del controlador difuso, se define lapartición difusa más simple, es decir, solo dos subconjuntos difusos: Negativos y Positivos,representados por Ny P respectivamente. Sus funciones de membresía son (Fig. 2.12):

-

Donde el operador sat está definido como:

sat(£v*) = max(-l,min (f*,!))

Nótese que todas las particiones difusas son semejantes porque los respectivos universosde discursos han sido previamente normalizados.

N

-1

Fig. 2. 12 Partición difusa para el CLN.

2.2.1.2 Reglas difusas de control.

Para un controlador difuso con m señales de entrada y dos conjuntos difusos por variable,la base de reglas completa consta de 2m reglas diferentes, pero solamente se utilizan las dosreglas opuestas:

58

Primer regla:SI < s*esP >|/=1 m ENTONCES <u*esP>

Última regla:SI<e;esAf>Uu.mENTONCES <u*esN>

La primer regla nos dice que si todas las variables s* están dentro del subconjuntoPositivo, entonces la acción de control estará dentro del subconjunto Positivo. Y la última reglaespecifica que si todas las variables e* están dentro del subconjunto Negativo, entonces la acción

de control estará dentro del subconjunto Negativo. Para el caso particular de un CLN con dosentradas {e , de} las reglas serán:

r¡: Si < e* es P > © < de* es P > entonces < u es P >r2: Si< e* es N>®<de es N > entonces < u esN>

Donde © puede ser el operador lógico de conjunción o de disyunción.

Cada regla es una implicación difusa, A-+B, donde A es la situación del sistema y B es sucorrespondiente acción de control.

Como se ha mencionado anteriormente, la principal simplificación del CLN se encuentraen la base de reglas: en lugar de hacer la inferencia de las 2m reglas, solamente se utilizan laprimera y última regla. La justificación de esta acción es porque las dos reglas extremascorresponden al controlador clásico Todo - Nada. Pero al aplicarlas usando la lógica difusa seobtiene una acción de control suavizada.

Para la implicación de cada regla podemos interpretar cada antecedente de dos formas:

a) Tomando la conjunción de todas las proposiciones difusas elementales:

< £l es P > Y < £2 es P > Y ... < &m es P >

La veracidad de cada expresión lingüística atómica < e* es P > se obtiene con

/.¿pie]) y la asociación de todas ellas se obtiene con t(\lp), donde

b) Tomando la disyunción de todas ellas:

*esP>Ó"< e2 esP>0... < &m esP>

59

De la misma manera, la asociación se obtiene con s(\ip), donde

El primer caso corresponde a la actitud más estricta, en la cual todos los antecedentesdeben de ser verdaderos para poder implicar la acción de control máxima. El segundo casocorresponde a la actitud menos estricta, en la cual solo una proposición difusa elemental senecesita que sea verdadera para implicar la acción de control máxima. Para tomar en cuenta todaslas demás combinaciones de las reglas se sugiere utilizar una interpolación convexa entre esasdos actitudes extremas a través del operador lógico mixto, definido como:

Donde: /(.) y s(.) son respectivamente una t-norma y su t-conorma correspondiente y Xe [0, 1].

Para darle una mayor flexibilidad al operador anterior, se utiliza la familia de t-normas deFrank ya que agrupan en un sólo operador las t-normas más frecuentemente utilizadas: Zadeh,Probabilística y Lukasiewicz. El uso de una t-norma o de otra dentro de la familia de Frank va adepender del valor de (p (ver tabla 1.2).

El grado de veracidad de la primera regla es:

El grado de veracidad de la última regla es:

Donde:

El grado de verdad de los antecedentes está gobernado por X:

a) si X = 0, la asociación de los antecedentes es a través del operador AND (conjunción).

b) Si X = 1, la asociación de los antecedentes es a través del operador OR (disyunción).

c) Si X = otro valor entre 0 y 1, la asociación correspondiente es lineal y convexa entreellas.

60

2.2.1.3 Método de inferencia.

El método de inferencia del CLN es el de Mamdani, salvo que solo se usan la primera yúltima regla. El grado de verdad de la primera (1"R) y la última regla (uaR) se expresa comosigue:

Donde la función de membresía de la acción de control normalizada es:

2.2.1.4 Defuzzyficación.

Para la Defuzzyficación se propone una variante del método de Defuzzyficación porcentro de promedios:

u =>—

La función completa del CLN es expresada de la siguiente forma [1,3]:

Donde:

* r * * -\T

e =[e l v . . ,e j

X G [0,1](flp ) es u na de l a s t-normas de la familia de Frank.Como un caso específico, para dos entradas (e = [e , de*]T), el CLN se define como:

Fig. 2. 13 Caso especifico de dos entradas al CLN.

61

A continuación se muestra la simulación del comportamiento de la acción de controlnormalizada con respecto a dos variables de entrada, al modificar X y la t-norma:

X = 0 y la t-norma de Zadeh A. = I y la t-norma de Zadeh

X = 0 y la t-norma Probabilística X = I y la t-norma Probabilística

X = 0 v la t-norma de Lukasiewicz X — I v la t-norma de Lukasiewicz

62

X = 0.5 sin importar la t-norma de Frank quese aplique

Fig. 2. 14 Superficies resultantes del CLN con dos entradas al variar A. y la t-norma.

El CLN es una función no lineal estática, sin memoria y dependiente de (p y de X, utilizael operador lógico mixto para combinar todas las observaciones de la planta y su diseño dependede las restricciones naturales de la acción de control real y de los intervalos aceptables para cadavariable observable del proceso.

Esta alternativa de control evita la gran cantidad de reglas para un sistema multivariable,permitiendo tiempo más cortos de cómputo y un diseño más sencillo por los pocos parámetrosque se deben sintonizar.

El CLN es una nueva propuesta de control, la cual sigue en fase de investigación. Senecesita obtener una metodología que facilite el ajuste de las restricciones naturales del sistemapara lograr el control del mismo. Se deben conocer las ventajas y desventajas del CLN conrespecto del desempeño de otros controladores en base a pruebas experimentales aplicadas asistemas reales, como es el caso del viga-bola.

En base a los resultados que se obtengan se propondrán nuevas líneas de investigaciónpara este controlador. Como se recordará, el presente trabajo es parte del estudio del CLN para suaplicación en sistemas multivariables, solo que antes de poder decidir si se aplica en ellos, espreciso probarlo en sistemas SISO.

La aplicación del CLN se hace a través de diagramas de bloques en simulink de Matlab.Se utiliza un bloque s-function, el cual contiene el algoritmo del CLN. Este programa se anexa alfinal de la tesis y se llama nclnsim.m. Dicho programa fue creado por el Dr. Alejandro Aceves.

63

PARTE II.- EXPERIMENTACIÓN

64

CAPITULO 3. CONDICIONES PARA LAEXPERIMENTACIÓN CON EL VIGA-BOLA

3.1 INTRODUCCIÓN.

El Controlador Lógico Natural es una nueva metodología propuesta para el control deprocesos y potencialmente interesante para controlar sistemas multivariables y/o no lineales. Sinembargo es necesario probar y validar el uso del Controlador Lógico Natural en situacionessencillas para que con base a los resultados se continúe con el desarrollo de esta técnica ensituaciones más complejas, situaciones que se acerquen cada vez más a las que se viven en elcampo industrial.

Para validar la utilidad del Controlador Lógico Natural se ha decidido utilizar el prototipoacadémico viga-bola.

El viga-bola es un prototipo de laboratorio, en el cual se desea controlar la posición deuna bola metálica que se desliza libremente sobre un riel formado por dos alambres tensados.Cuenta con un motor de CD (el cual recibe el voltaje de alimentación) acoplado a una leva. Algirar el motor y la leva se modifica la posición angular de la viga. La viga siempre está encontacto con la leva debido a la acción de un resorte retenedor. Este resorte hará que la viga caigamás rápido hacia la derecha que hacia la izquierda (ver Fig. 3.1). La posición de la bola esmodificada al manipular el ángulo de la viga. El objetivo es mandar la bola a una determinadaposición de la viga en un tiempo determinado y mantener esa posición a pesar de haberperturbaciones en el sistema.

65

Seguidor de la leva

Ángulo dela viga, 9

Resorteretenedor

Entrada devoltaje al motor

Leva

Fig. 3. 1 Motor, leva y resorte que maneja el ángulo de la viga.

A las siguientes secciones se definirán las condiciones para trabajar con el prototipo viga-bola: su modelo matemático, la estrategia de control y la definición de los diversos experimentosque se aplicarán al sistema. Los objetivos de esta tesis consisten en comparar los beneficios ylimitaciones de aplicar el CLN; comparar su desempeño contra el desempeño de controladoresconvencionales; a partir de estas comparaciones emitir recomendaciones para generar un métodosistemático de diseño.

3.2 EL MODELO MATEMÁTICO DEL VIGA-BOLA.

A partir del manual de operación del viga-bola [11] y conociendo las característicasparticulares del aparato, se propone modelarlo matemáticamente mediante funciones detransferencia en cascada:

Bloque A...

Voltaje de jentrada almotor, v

Subsistemaque manejael ángulo de

la viga

Ángulodélaviga, 0

Sensor delángulo de lí

viga

Voltajeequivalente del!ángulo de laviga, ve

. BPosiciónde la bola,

Posiciónde la bola

sobre la viga

Sensor dela posiciónde la bola

Voltajeequivalentede laposición dela bola, vr

•

Fig. 3. 2 Diagrama de bloques del viga-bola.

El Bloque A contiene el modelo matemático del movimiento angular de la viga 6{t) y elsensor que transforma el ángulo de la misma en señal de voltaje. El bloque B contiene el modelomatemático de la posición de la bola sobre la viga x{t) y el sensor que transforma la posición de labola en voltaje. Se analiza a continuación el modelo matemático del Bloque A.

66

3.2.1 MODELO MATEMÁTICO DEL BLOQUE A.

En la sección 3.1 se ha mencionado que un motor eléctrico hace que la viga se incline através de la acción de una leva que está acoplada al mismo, además, un resorte está acoplado a laviga para asegurar que la leva y el seguidor de la leva estén siempre en contacto. Esto esimportante cuando hay cambios rápidos del ángulo de la viga porque se hará reaccionar conrapidez a la viga al existir una perturbación, esta característica se ve reflejada al obtener lasrestricciones naturales del sistema, las cuales son la base del CLN.

La velocidad angular de la leva es proporcional al voltaje de entrada del motor. Es posibleentonces imponer la relación siguiente, la cual es una aproximación lineal del conjunto motor -leva:

Donde gm es una constante que depende de la ganancia del motor y de la geometría de laleva, 6 es el ángulo de la viga, y v es el voltaje de entrada al motor. Tomando la transformada deLaplace de la ecuación 3.1 se obtiene la función de transferencia del motor y de la viga:

Se sabe que el voltaje del sensor es proporcional a la posición angular de la viga, por lotanto la ganancia del sensor del ángulo de la viga (Ke) afecta de forma directa a esta ecuación,quedando como:

GÁS) ( 3 2 )

F(s) s s

Donde Gm = gmKe.

El valor de Gm se ha obtenido experimentalmente al hacer oscilar la viga con una entradacuadrada de amplitud unitaria y de muy baja frecuencia, tal que:

át Gm l

Del gráfico generado se obtuvo la pendiente del ángulo de la viga, cuyo valor correspondeal de G,,,.

67

10.80.60.40.2

0-0.2-0.4-0.6-0.8

-1 -«—iooCSI

y*1OoCN

Fig. 3. 3 Gráfica de la posición angular de la viga cuando v(/)=l.

Cuya pendiente es: a = — = = 3 33x 0.6

Por lo tanto, el diagrama representativo del bloque A es:

Fig. 3. 4 Bloque A.

3.2.2 MODELO MATEMÁTICO DEL BLOQUE B.

Las dinámicas de la bola rodando sobre la viga se pueden obtener de forma sencillanotando que la fuerza que afecta a la bola es una componente de su propio peso y actúa a lo largode la viga, como se ve en la Fig. 3.5.

Componente tangencial del peso

Componente axial del peso

Peso= mg

Fig. 3. 5 Fuerzas actuantes sobre el sistema.

Vi»a

68

Considerando que la bola rueda sobre dos finos hilos de acero, se puede simplificar elmodelo matemático y asumir que la bola se desliza sin fricción a lo largo de la viga. De las leyesde Newton tenemos que:

Fuerza = (Masa)»(Aceleración)

mgsen 0 = m x (3.3)

Para ángulos pequeños se puede escribir que send =9. Aplicando esta igualdad en laecuación 3.3, queda que:

mg 6 = m x (3.4)

Con la transformada de Laplace de la ecuación 3.4 se obtiene la función de transferenciade la posición de la bola respecto al ángulo de la viga:

(3.5)40(8) S2

Donde 0 es el ángulo de la viga, X es la posición de la bola y g es la constantegravitacional en m/s".

Se sabe que el voltaje del sensor de posición de la bola también es proporcional a suposición a lo largo de la viga. Nótese que la función de transferencia anterior se ve afectada porlas ganancias de los sensores de la posición de la bola Kx y del ángulo de la viga Ke:

F(s)

Bloque A

Sm ys Kti

Vis)

Bloque B

g KVAs)

Fig. 3. 6 Diagrama de bloques del viga-bola.

gKAplicando la siguiente sustitución G = —~ los bloques anteriores quedan como

K.a

V(s)

Bloque A

Gm

s

Vds)•

Bloque B

G->

S"

VA*)

Fig. 3. 7 Lazo abierto del viga-bola.

Para obtener el valor de G se parte de la Fig. 3.8.

69

L ' i

Gm

sGs2

Y(s)

Fig. 3. 8 Diagrama de bloques del viga-bola para determinar el valor de G.

Cuya función de lazo cerrado es:

*(s)~

GmKpG

Realizando la siguiente sustitución: Ke = GmKp, se obtiene la ecuación características3 + Kc[s2 + G)= 0, cuyo lugar geométrico de las raíces se muestra en la Fig. 3.9. Nótese que la

planta tiene tres polos en el origen y dos ceros en ± G .

Im

Re

-Ja

Fig. 3. 9 Lugar de las raíces en función de Ke.

Si Ke es suficientemente grande, entonces los polos en lazo cerrado tienden a ±./ c y elsistema de la Fig. 3.8 muestra oscilaciones a la salida Y(s) cuya frecuencia es casi:

G

Entonces se tiene que:

271

71(3.6)

Para obtener el valor de Tn se puso a oscilar el sistema con un valor muy grande para Kp.

70

El periodo de las oscilaciones observadas fue de 4.748 segundos. Sustituyendo este valoren la ecuación 3.6, queda finalmente que G =1.757.

Por lo tanto, el diagrama completo del viga-bola:

Bloque A Bloque B

Fig. 3. 10 Diagrama de bloques simplificado del viga-bola.

Con este diagrama de bloques se explicará en el próximo capítulo la estrategia de controly el diseño de los controladores para controlar al viga-bola. A continuación se definen lascondiciones de la experimentación.

3.4 EXPERIMENTACIÓN.

Con el fin de poder medir y comparar el rendimiento del CLN contra diferentes tipos decontrol se precisa estandarizar las pruebas que se aplicarán al prototipo. Primeramente esnecesario trabajar con un problema simple pero realista para enfocarse en las características,ventajas y desventajas del CLN, logrando con ello una validación inicial del CLN.Posteriormente a esta primera validación se debe pasar a pruebas de mayor grado de dificultadpara determinar los umbrales en los cuales el CLN se vuelve inefectivo. Bajo este marco se hanpropuesto considerar: perturbaciones externas, dinámicas no modeladas, variaciones en la planta,ruido y retardos.

Los requerimientos de diseño, criterios de comparación y las pruebas que se aplicaron sedefinen en las subsecciones siguientes.

3.4.1 FASE DE DISEÑO.

Se utilizarán los mismos requerimientos de diseño para el sistema que los propuestos porel manual de operación [11], los cuales son:

• Para la posición de la bola sobre la viga:

• Tiempo de establecimiento (ts) menor a 5 segundos.

• Máximo sobreimpulso (Mp) inferior a 25 %.

• Para el ángulo de la viga:

• El tiempo de establecimiento alrededor de 1 segundo.

71

• Sin sobreimpulso.

• La bola que se ha utilizado para el diseño de los controladores tiene las siguientesdimensiones: Diámetro de 1.1 cm. Masa de 28.1 grs.

3.4.2 FASE DE COMPARACIÓN.

Los criterios de comparación de los desempeños del sistema para todas las pruebas son:

2Sseg

1. El error cuadrático de la posición de la bola, \e 2

%scg

ISseg

2. La energía gastada por el sistema. \u2

tseg

3. Error en estado estacionario de la bola sobre la viga medido a los 28 segundos.

4. Deflexión máxima de la viga.

5. El máximo sobreimpulso porcentual de la posición de la bola sobre la viga.

6. Tiempo de establecimiento de la posición de la bola (± 2 % de tolerancia).

3.4.3 FASE DE PRUEBA.

Estas pruebas han sido diseñadas tomando las ideas generales presentadas por Masten &Cohén [42]. Para obtener una estimación del grado de robustez del sistema utilizando el CLN ycomparar su desempeño contra el controlador PD, se han diseñado y aplicado una serie depruebas:

La bola que se ha utilizado para las tres primeras pruebas es la misma que con la que sediseñaron los controladores.

• PRIMERA PRUEBA: Cambio de posición de cero a un valor (seguimiento dereferencia).

Partiendo de 0 cm (0 volts), se enviará la bola a ±30cm (±6 volts). Elcambio de posición será a los 10 segundos de iniciada la prueba.

72

106v

I (seg)

„ -6v 40 10 /(seg)

Fig. 3. 11 Prueba 1. Cambio de posición.

SEGUNDA PRUEBA: Perturbación en la acción de control (rechazo deperturbaciones).

Las perturbaciones son señales tipo pulso, con duración de 0.5 segundos;amplitudes de: ±0.5, ±1, ±2 y ±3 volts, aplicadas a los 10 segundos. Posicióninicial: 1 volt (5 cm).

amp.

5,

n F(s) Veis)

10 10.5 f(seg)

333s

1.757~2

Fig. 3. 12 Prueba 2. Perturbación en la acción de control.

i* TERCER PRUEBA: Perturbación en la salida del sistema (rechazo deperturbaciones).

Las perturbaciones son señales tipo pulso, con duración de 0.5 segundos;amplitudes de: ±0.5, ±1, ±2 y ±3 volts, aplicadas a los 10 segundos. Posicióninicial: 1 volt (5 cm).

ampV(s)

3.33s

1.757s"

10 10.5 /(seg)

Fig. 3. 13 Prueba 3. Perturbación en la salida del sistema.

73

CUARTA RUEBA: Seguimiento de referencia con diferentes bolas (variaciónparamétrica).

El objeto de esta prueba es observar el efecto de cambiar la bola y deaplicar el seguimiento de referencia. Inicialmente se trabaja con la bola dedimensiones: diámetro de 1.1 cm., masa de 28.1 grs. Después la primer variantecon dimensiones: diámetro de 0.8 cm., masa de 16.4 grs. Y por último la segundavariante con dimensiones: diámetro de 1.7 cm., masa de 22.0 grs. Las tres bolasse someten al cambio de posición de +25 cm a -25 cm (+5 v a -5 v ). El cual seaplica a los 10 segundos de iniciada la prueba.

5v

-5v --

5v

10 t (seg)-5v

10 (seg)

Fig. 3. 14 Prueba 4. Seguimiento de referencia con variación paramétrica.

En el próximo capítulo se diseñan y aplican los controladores convencionales y difusos alviga-bola bajo el mismo marco de referencia que se ha presentado en este capítulo.

74

CAPITULO 4. RESULTADOS Y COMPARACIONES ENEL VIGA-BOLA

4.1 INTRODUCCIÓN.

De entre las técnicas de control convencional y moderno (espacio de estados, un solo lazocerrado, sistema en cascada, etc.) se utiliza la estrategia de sistema de control en cascada con elsiguiente fundamento:

Considerando que el prototipo viga-bola nos proporciona información de la posición de laviga y de la bola y que el modelo matemático está compuesto por un par de funciones detransferencias en cascada, entonces se pueden considerar dos lazos de control, uno interno con elángulo de la viga y otro externo con la posición de la bola [11].

Como el ángulo de la viga es medido con un potenciómetro y el motor maneja la viga, esposible poner este sistema en un lazo cerrado para controlar el ángulo de la viga, como semuestra en la Fig.4.1.

Controlador del

ángulo de la vigaG,(s) G2(s)

Fig. 4. 1 Lazo cerrado del servomotor.

75

Si el lazo de control del ángulo de la viga es diseñado para responder rápida yexactamente, entonces el lazo externo de control de la posición de la bola Vx(s), puede serdiseñado considerando Vé(s) como la entrada de control. El controlador de la posición de la bolaforma un lazo externo como se muestra en la Fig. 4.2.

JControlador

délaposición de

la bola áJControlador

del ángulo dela viga

3.33

s

Lazo interno

1.757

s2

Vx(s)

Lazo externo

Fig. 4. 2 Diagrama de bloques del viga- bola, en cascada.

El lazo interno es llamado lazo esclavo y al lazo externo se le conoce como lazo maestro,ya que éste determina la entrada de referencia para el lazo interno. A todo el sistema se le conocecomo sistema de control en cascada y es utilizado comúnmente cuando un lazo interno senecesita para controlar un actuador, como es el caso el motor de la viga. El propósito del lazointerno es tener un rápido y buen control del ángulo de la viga.

Como se puede observar, la identificación del modelo se ha hecho en el plano continuo,pero como se utiliza la PC para controlar al prototipo real se debe discretizar el sistema. Paraelegir adecuadamente el periodo de muestreo se ha hecho un primer diseño del PD en el planocontinuo con el fin de obtener el ancho de banda de la señal de salida. Basándose en estainformación se ha elegido el periodo de muestreo. Con el periodo de muestreo establecido se hadiseñado el PD para garantizar las condiciones de diseño (Mp y ts).

Para controlar digitalmente y en tiempo real al viga-bola se utiliza la tarjeta de adquisiciónde datos AD-512. Las ganancias de esta tarjeta influyen en el control del sistema real, por lo quese ha optado por eliminar su efecto colocando unas ganancias en forma digital a la entrada ysalidas de los puertos de la tarjeta. La señal que sale de la tarjeta de adquisición de datos a travésdel canal I es amplificada cinco veces, mientras que las señales de entrada a la tarjeta sonatenuadas diez veces; por lo que se necesitan las ganancias de corrección que se muestran en laFig. 4.3.

76

Vxr

•OControlador de la

posición de labola

Controlador delángulo de la viga

Ve

vu

0.2 J^i> •Salida 1 de la

AD-512 al motor

Entrada 1 de la

AD-512, 6

Entrada 2 de ia

AD-512, .r

Fig. 4. 3 Diagrama de bloques real con la cancelación de las ganancias de la tarjeta de adquisición de datos.

Debido a que las funciones de transferencia del viga-bola tienen polos en el origen, se hapropuesto el diseño de dos controladores tipo Proporcional-Derivativo (PD). La configuración delCLN que se utilizará tanto en el lazo interno como en el extemo del viga-bola también será detipo Proporcional-Derivativo, con la finalidad de que las comparaciones entre los dos tipos deconfiguraciones de control sean justas.

4.2 CONTROLADORES CLASICOS.

Para estabilizar la posición de la bola sobre la viga es necesario diseñar un controladorque se anticipe al movimiento de la bola y haga el ajuste necesario del ángulo de la viga. Estaacción se logra a través de una acción Proporcional-Derivativa (PD).

Para discretizar al sistema se parte de la siguiente consideración: si la dinámica del lazointerno es muy rápida en comparación con la del lazo extemo entonces se puede diseñar el lazoextemo considerando una aproximación estática del lazo interno. Se busca que la gananciaestática del lazo interno sea unitaria. Por lo que se puede decir que Voris) ~ VQ (S) y se considerasólo el siguiente lazo para obtener el tiempo de muestreo para discretizar al sistema.

77

Fig. 4. 4 Diagrama de bloques para determinar el Bode de lazo cerrado.

En el capítulo 3.4.1 se han establecido los requerimientos de diseño para el sistema (Mp <25 % y ts < 5 segundos). Para cumplir con ellos se ha diseñado un controlador PD utilizando elLugar Geométrico de las Raíces (LGR), el cual resultó ser:

PD(s) = 1 .1.36

Por lo que el sistema en lazo cerrado externo equivalente se ha convertido en:

VXriS)

¿*2.3895 s +

s2

1.8448

Fig. 4. 5 Lazo cerrado del lazo externo.

El ancho de banda de lazo cerrado (cob) de este sistema resultó ser de 3.4551 rad/seg. Lafrecuencia de muestreo (cor) puede estar entre cinco y veinte veces el ancho de banda. El tiempode muestreo (7) se define como:

2nT =

cor

aplicar:Se han obtenido dos tiempos de muestreo y se ha escogido de entre ellos el tiempo a

T, = = =0.363 segundos5cob 17.2755

_ 27i 2n

20co b 69.102= 0.090 segundos

Se ha seleccionado un tiempo de muestreo de 0.1 segundos.

78

No se debe olvidar que existe un lazo interno con las dinámicas más rápidas que el lazoexterno, por lo que se ha verificado que el tiempo de muestreo seleccionado fuese tambiéneficiente en el lazo interno, para ello se ha diseñado un PD para este lazo y se obtuvieron (deforma análoga al lazo externo) los valores que puede tomar el tiempo de muestreo (7V y Ti1).

Con un PD(s) = 0.3(s + 9.5), el lazo cerrado del lazo interno ha quedado como se

muestra a continuación:

Vxr(s)s + 9.5

Vx(s)

Fig. 4. 6 Lazo cerrado del lazo interno.

El ancho de banda de este sistema ha sido de 6.69 rad/seg. Por lo que TV y TS resultaron

ser:

T]

T'

2n 2TT= 0.187 segundos

5cob 33.45

= = 0.046 segundos20cob 133.8

El tiempo de muestreo de 0.1 segundos quedó dentro de estos dos tiempos, por lo tanto esútil para ambos lazos de control.

En ambos sistemas de lazo cerrado se ha tenido especial cuidado en cumplir con elrequisito7 de diseño.

La planta discretizada con este tiempo de muestreo y considerando retenedor de ordencero queda como se muestra en la Fig. 4.7.

PD discretopara controlarla posición de

la bolaJ w

i

PD discretopara controlarel ángulo de la

viga

U(z) 0.33

2 - 1

V,K-) 0.0087 (z + 1)

(- - O2

(••.<--)

Fig. 4. 7 Diagrama de bloques discreto del sistema en cascada del viga-bola.

En las siguientes subsecciones se muestra el diseño de los controladores convencionalestanto para el lazo interno como para el lazo externo.

79

4.2.1 CONTROLADOR PD DISCRETO PARA EL LAZO INTERNO.

El diseño del PD para el lazo interno se ha realizado utilizando el LGR del diagrama debloques del lazo interno que se muestra en la Fig.4.8.

VoÁz)

•O-Kb(z-Ka) 033

z-1

Fig. 4. 8 Diagrama de bloques del lazo interno con el controlador PD discreto.

Donde:

KTKu = '- =0.04 Kb = d T = 3

Por lo que la función de transferencia se ha convertido en:

Lo cual significa que el controlador del lazo interno garantiza la misma señal de salidaque de entrada pero retrasada un periodo de muestreo.

El LGR y la respuesta a una entrada escalón unitario se muestran en las figuras 4.9 y 4.10.

0 6 -

0 4 -

0 2

•0 6 -

-08

Fig. 4. 9 LGR del lazo interno discreto.

80

Fig. 4. 10 Simulación de la salida del sistema de control del ángulo de la viga.

Mediante estas gráficas hemos verificado que con este PD, el tiempo de establecimientoes de 0.3 segundos y el sobreimpulso es nulo, resultados consistentes con los deseados.

4.2.2 CONTROLADOR PD DISCRETO PARA EL LAZO EXTERNO.

De forma equivalente, se ha diseñado el PD para el lazo externo utilizando el LGR deldiagrama de bloques del lazo externo:

i — 7

1

-0.0087(- + l)

Lazo externo

Fig. 4. 11 Diagrama de bloques del lazo externo con el PD discreto.

El PD diseñado es:I2(z- 0.945)

El lugar geométrico de las raíces se muestra en la Fig. 4.12.

81

•06

-0.B

-1 -0 8 -06 -0.4 -0 2 O 0 2 0.4 0 6 0 8Real Axis

Fig. 4.12 LGR del lazo externo.

La respuesta a una entrada escalón unitario se muestra en la Fig. 4.13.

S tep Response

E<

Time (sec)

Fig. 4. 13 Simulación de la posición de la bola sobre la viga, utilizando el PD discreto.

Se puede observar un sobreimpulso del 23.6 % y un tiempo de establecimiento de 4.5segundos. Con este PD diseñado se han hecho las pruebas referidas en el capítulo 3.4. Acontinuación se describe el procedimiento del diseño del Controlador Lógico Natural.

82

4.3 CONTROL A TRAVÉS DEL CLN.

Para controlar la posición de la bola sobre la viga se utiliza un programa que se encuentraen un archivo de Matlab denominado nclnsim.m [51]. El archivo contiene la estructura del CLNen forma de algoritmo matemático codificado para su uso en el bloque de s-function. En estebloque se manejan los rangos de valores de las variables de entrada al controlador, el límite desaturación y el tipo de t-norma a utilizar.

Como variables de entrada al CLN se utilizan: el valor del error y de su primer derivada,como se observa en la Fig. 4.14

e(t)

dt

CLN u(t)

Fig. 4. 14 Variables de entrada al CLN.

Se utiliza un sistema en cascada semejante al expuesto en el capítulo 4.1, por lo cual esnecesario diseñar un CLN para cada lazo. Se inicia como en los controladores anterioresdiseñando el CLN para el lazo interno y posteriormente se diseñará el CLN para el control lazoexterno. Se hace el diseño del control con el CLN bajo este mismo esquema para hacer lascomparaciones equitativas con los PD's.

Hasta el momento no existe una metodología sistemática para diseñar al CLN. Se partedel hecho de que necesitamos conocer las restricciones naturales del sistema para definir al CLNpero se requiere de una verificación de las características del sistema en lazo cerrado con el CLN,pues no existe garantía alguna de que sean aceptables.

4.3.1 LAS RESTRICCIONES NATURALES DEL ÁNGULO DE LA VIGA.

Si se supone que la referencia está en un extremo (5.5°) y la viga está en el otro extremo(-5.5°), el error máximo posible es de -11° que equivalen a -20 volts, y viceversa, si lareferencia está en -5.5° y la viga está en 5.5°, el error máximo es de 1 Io que equivalen a 20 voltsen la salida del sensor. Por lo que los límites naturales del error para el voltaje relativo al ángulode la viga son: [-20 20] volts.

83

'real

Fig. 4. 15 Posición de referencia del ángulo de la viga y su posición real.

Para obtener los límites de la rapidez del cambio del error se ha graficado la velocidad demovimiento de la viga utilizando la señal máxima de entrada al motor (5 volts). Los registrosmáximos fueron de 35 volts cuando la viga caía en sentido horario, y de -60 volts cuando caía ensentido antihorario.

Esta diferencia es perfectamente comprensible porque la leva impulsa la viga hacia arriba,pero un resorte de retención jala la viga hacia abajo (ver Fig. 3.1). Por lo que los límites naturalesde la derivada del error son: [-60 35] volts.

/=0; v=0

Fig. 4. 16 Límites naturales de la derivada del error del ángulo de la viga.

Los límites de la saturación de la acción de control se obtuvieron al considerar que elvoltaje de salida de la tarjeta de adquisición de datos se satura en ± 5 volts. Por lo que los límitesnaturales de la saturación de la acción de control para el lazo interno son también [-5 5] volts.

Una vez identificadas las restricciones naturales del lazo interno, se ha simulado larespuesta a una entrada escalón unitario utilizando solo la t-norma Probabilística.

El diagrama de bloques y el cuadro de diálogo de los parámetros del CLN se muestran enla Fig. 4.17.

84

«CUCnid!

EmUout

Ijmbdi

Anón di antnl

31!

BfxCLN Ángulo

deljvigj

Block Pafameters: newCLN viqaboia

- Sifcsystm [matk]

-Pataratwi-[Eh1irinEin1mm;...l

|J 20 2014-60 35D

[ftnSat_mn fcnSaljrax]

JF55JNomefl •2adeh'>í>rcb'>1.uck')

0K: | Cancel | Help | a

Fig. 4. 17 Diagrama de boques y cuadro de parámetros del CLN para la simulación del lazo interno.

En la Fig. 4.18 se muestra la simulación de la respuesta a una entrada escalón unitario y laacción de control en el lazo interno con el CLN con los intervalos naturales, X=0 y la t-normaProbabilística (N=2):

\5 10 15 15 30 25 30

Posición de la viga Acción de controlFig. 4. 18 Simulación resultante del lazo interno con los límites naturales.

Se puede observar que no existe sobreimpulso, pero el tiempo de establecimiento y elerror en estado estacionario son elevados; por tanto, es necesario ajustar los límites del error y desu primer derivada.

Se propone una metodología experimental para lograr el mejor ajuste de las "restriccionesnaturales". Se pretende reducir el error en estado estacionario a cero y el tiempo deestablecimiento menor que un segundo.

Los pasos que se han realizado para ajustar los intervalos de las restricciones naturales delCLN para el lazo interno fueron los siguientes:

I. Se fijaron: lambda igual con cero y la t-norma Probabilística. Se hicieron simétricos loslímites de la derivada del error. Se corrió la simulación. El resultado fue un error enestado estacionario nulo y sin sobreimpulso.

85

Conclusión: Hacer simétricos los intervalos (restricciones naturales) ayudó a que el erroren estado estacionario fuese igual a cero.

Se redujo simétricamente el intervalo de la derivada del error, manteniendo constantes losdemás intervalos. Se corrió la simulación. Se observó una reducción del tiempo deestablecimiento. Se continuó reduciendo el intervalo de la derivada del error,disminuyendo con ello el tiempo de establecimiento hasta que este último comenzó aaumentar. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

e

-20 20

de

-60 60-35 35-20 20-25 25

u

-5 5

Mp(%)

0000

ts(seg)

52182522

eeefina|

(%)00

00

Se constató que al hacer simétricos el intervalo de de se eliminan el sobreimpulso máximoy el error en estado estacionario.

3. Se disminuyó simétricamente el intervalo del error, manteniendo constantes los demásintervalos. Se corrió la simulación. Con ello también se redujo el tiempo deestablecimiento. Se continuó reduciendo este intervalo hasta que el tiempo deestablecimiento aumentó. Los resultados obtenidos son:

e

-20 20-15 15-10 10-5 5-2.5 2.5-1.5 1.5

de

-35 35

Mp(%)

0

0

0000

ts(seg)

18

1812

6

2.52.5

eee{-m:i\

0

00

0

00

Al llegar a este último intervalo, el tiempo de establecimiento ya no cambia, por lo que seprocede a reducir el intervalo de de (paso No. 2) manteniendo constantes los demásintervalos. Resultando que:

e

-1.5 1.5

de

-30 30-20 20-15 15-18 18

Mp(%)

000

0

ts(seg)

1.81.82

1.8

eeer¡nai

0000

86

Lo más que se logró reducir el tiempo de establecimiento es a 1.8 segundos, sinsobreimpulso, ni error en estado estacionario.

Por lo que los límites de los intervalos del lazo interno han quedado de la siguiente

manera:

e = [-0.5 0.5] ¿fe = [-18 18] « = [-5 5]

La respuesta a una entrada escalón unitario y la acción de control con las restriccionesobtenidas para X = 0 y TV =2 se muestran en la Fig. 4.19.

0 0.5

Posición de la viga Acción de control

Fig. 4. 19 Simulación del viga-bola controlado con el CLN ajustado a una entrada escalón unitario.

Se puede observar que sí se cumple con los criterios de diseño.

4.3.2 RESTRICCIONES NATURALES PARA LA POSICIÓN DE LA BOLA.

Para controlar la posición de la bola sobre la viga se ha diseñado otro CLN. Para su diseñoes preciso conocer las restricciones naturales que limitan la función de la bola sobre la viga.

Se ha partido de que la viga mide un metro de largo, está graduada con el cero al centro,hacia la derecha están los valores positivos y hacia la izquierda los negativos, se observa que elmáximo valor hacia cada lado es 50 cm (9.5 volts). Si se fija como referencia la posición de labola en +50 cm. y si ésta estuviera en -50 cm., en ese momento se encuentra el valor máximo delerror; e igualmente sería si el punto de referencia fuera -50 cm. y la bola se encontrara en +50 cm.Por lo que en cualquiera de los casos, el error máximo es de 1 metro, equivalente a 19 volts.

volts.Los límites naturales del error para la posición de la bola sobre la viga son: [-19 19]

87

-0.5 m-9.5 v

0.5 m9.5 v

Fig. 4. 20 Restricciones naturales del error.

Los límites naturales de operación para la derivada del error de la posición de la bola sehan obtenido experimentalmente al hacer correr libremente la bola sobre la viga en ambasdirecciones desde el punto más alto al más bajo de la viga con el máximo ángulo de la viga. Segráfico la derivada de la posición de la bola y se obtuvieron los límites máximos de velocidad,que son: [-33 28] volts.

=0; v=0

=tfinal', V-Vm

Fig. 4. 21 La derivada del error de posición de la bola.

De la Fig. 4.2 se puede notar que la salida del lazo interno (Vg(s)) es la acción de controlpara el lazo externo, por lo que los límites naturales de la acción de control para este último lazoson determinados por la máxima deflexión del ángulo de la viga. Para -5.5°, un valor de -10volts y para 5.5°, un valor de 10 volts. Por lo que el rango de acción de control es de: [-1010] volts.

El diagrama de bloques completo del viga-bola con los Controladores Lógico Naturales semuestra en la Fig. 4.22.

Vais)

^ - . -o\h ] (s)

t.

m

Ll

X

— •

Ein

Eout

lambda

£2(s)

x -

fe,

m

u

X

Fig. 4. 22 Diagrama de bloques del sistema completo con el CLN.

88

Una vez determinados los intervalos de las restricciones naturales de la posición de la bolasobre la viga, se ha simulado la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario, generandolos siguientes gráficos:

3!

25¡

5 10 15 Z> 25 3)-Q2I •

0 5

Posición de la bola Acción de control

Fig. 4. 23 Simulación del viga-bola a una entrada escalón unitario con las restricciones naturales X = 0 y la t-norma Probabilística.

Se observa que el sistema tiende a estabilizarse, pero con un gran error en estadoestacionario, un tiempo de establecimiento muy grande y con mucho sobreimpulso.

Para que la respuesta no exceda de un sobreimpulso del 25 % y tenga un tiempo deestablecimiento menor a 5 segundos (como se especificó en el capítulo 3.4.1) se han realizado lossiguientes pasos:

1. Se dejaron fijos los intervalos de las restricciones naturales ajustadas del lazo interno, conA. = 0 y la t-norma Probabilística.

2. Se establecieron X - 0 y la t-norma Probabilística para el CLN del lazo externo.

3. Se hicieron simétricos los rangos de e y de de con el fin de reducir el error en estadoestacionario y el máximo sobreimpulso.

4. Se redujeron simétricamente los límites de la derivada del error para que el tiempo deestablecimiento disminuya. Se simuló cada cambio realizado y se repitió este paso hastaque el tiempo de establecimiento se incrementó. Se cuidó que el máximo sobreimpulsoestuviera dentro de las especificaciones.

El ajuste lo podemos ver a través de la siguiente tabla:

89

e

-19 19

de

-33 28-28 28-20 20-15 15-10 10-5 5

u

-10 10

Mp(%)320524633150

ts(seg)

sin3825201412

eeefmai

(%)Alto510000

Al pasar del intervalo de [-5 5] el tiempo de establecimiento aumenta, por lo que se dejaconstante el intervalo anterior y se procede a disminuir el del error.

5. Se redujo el intervalo del error para que el tiempo de establecimiento disminuyera. Sesimuló cada cambio realizado repitiendo este paso hasta que el tiempo de establecimientose incrementó. Se cuidó que el máximo sobreimpulso estuviera dentro de lasespecificaciones.

e

-19 19-15 15-10 10-9 9

de

-5 5

Mp(%)0000

ts(seg)

128

4.57

eeeimai

0000

Podemos observar que con [-9 9] como intervalo del error, ts aumenta. Por lo que losintervalos quedan de la siguiente manera:

<? = [-10 10] de = [-5 5] « = [-10 10]

La simulación de la respuesta del sistema a un escalón unitario con estos intervalos semuestra en la Fig. 4.24.

90

os.

06.

Posición de la bola Acción de control

Fig. 4. 24 Simulaciones resultantes con los límites ajustados: X-0 y N=2 para una entrada escalón unitario.

Se observa que el máximo sobreimpulso está en el orden del 2 % y tiempo deestablecimiento en 5 segundos, por lo que sí se cumple con los requerimientos del sistema. Conlos intervalos ajustados se ha experimentado en forma real bajo el mismo marco de referenciadescrito en el capítulo anterior.

Es importante notar que se pueden restringir los intervalos naturales a intervalos máscerrados, pero no se debe hacer lo contrario porque se violarían las restricciones reales de losprocesos.

Por lo tanto, los valores de los intervalos de diseño son:

Para el lazo interno:

e = [-0.5 0.5]efe = [-18 18]

« = [-5 5]^ = 0N=2

Para el lazo externo:

e = [-\0 10]de = [-5 5]

« = [-10 10]x = oN=2

Con estos valores se han efectuado las pruebas mencionadas en el capítulo 3.4.

4.4 EXPERIMENTACIÓN.

Una vez diseñados los controladores convencionales y los Lógico Naturales, se haprocedido a aplicarlos para el control en tiempo real del viga-bola.

En las siguientes figuras se muestran algunos gráficos resultantes de cada una de laspruebas realizadas al sistema real controlado primero con el PD y después con el CLN (convalores de k = 0 y la t-norma Probabilística).

91

Prueba 1: Seguimiento de referencia. De 0 a 30 cm. (De 0 a 6 volts)

PD

/ •

TÍ ""/ ;

Posición de la bola

CLN

a

S

-

.../....

i -

Posición de la bola

Ángulo de la viga

Ei -

Ángulo de la viga

Acción de control

1i L

í

5 ID 15 20 S

Acción de control

PDCLN

Error cuadrático470.9006675.4199

Energía gastada47337.4356

109.9890

eee a los 28 seg.0.28710.2528

Ángulo máx.4.843.67

Mp%10

te (seg.)45

El CLN tiene un error cuadrático de 1.43 veces más que el del PD. Este último gasta434.3 veces más energía que el CLN. El error en estado estacionario es similar en ambossistemas. Con el PD la viga tiene una mayor deflexión. En ambos casos no hay sobreimpulso y eltiempo de establecimiento de la bola está dentro de los 5 segundos.

Prueba 2: Perturbación en la acción de control, con amplitud de 2 volts.

PD

92

zr

ifi: • • ; • " • ) •

: 1

V

5 i ; 15 JJ 25 30

Posición de la bola

•dd- Jfc1 •

! . :

0 S 10 1S 20 25 30

Ángulo de la viga

' :';:

•• 1

ni i,

5 ID 15 20 25 30

Acción de control

CLN

-I \ i ;'\ ; ; ;

í •"" |

I 25 D

E

4

2

f>

J

n

i!

1\

—*Afl r

10 IS 20 25 30

3 : i : :

om¡., : 1 i ¡i i ,

'"1.

Posición de la bola Ángulo de la viga

í 5 10 15 20 3

Acción de control

PDCLN

Error cuadrático1681.80755.3841

Energía gastada454.0284106.9578

eee a los 28 seg.0.14060.039

Ángulo máx.10

3.4084

Mp%862166

ts (seg.)8.610

El error cuadrático del PD es 30.3 veces mayor que el del CLN, además consume 4.2veces más energía, deflexiona 2.94 veces más la viga y tiene un sobre impulso 5.19 veces mayorque el del CLN; en cambio el tiempo de establecimiento de la bola en el PD es menor por 2segundos.

93

Prueba 3: Perturbación en la salida del sistema, con amplitud de 3 volts.

PD

8

6

1

D

Posición de la bola

CLN

3

"í1

J3"t"

h 10 15 20 2S 30

Posición de la bola

4

2

4

S

k-r

i

T

mu

S 10 15 20 25 30

Ángulo de la viga

10 15 2Ü S 30

5 10 15 20 3 30

Acción de control

5 10 16

Ángulo de la viga Acción de control

PDCLN

Error cuadrático59.975286.0534

Energía gastada25094.0822

164.4104

eee a los 28 seg.0.165

-0.0498

Ángulo máx.4.10144.0234

Mp%290

326

ts (seg.)4

5

El error cuadrático del CLN es 1.43 veces mayor que el del PD, pero este último gasta152.63 veces más energía que el CLN. El sobreimpulso máximo es 1.12 veces mayor en el CLNque en el PD. En ambos sistemas los tiempos de establecimiento de la bola y la deflexión de laviga son similares.

94

Prueba 4: Seguimiento de referencia, de +25 cm a -25 cm (5 v a -5 v) con bola grande.

PD

1

\

^

- - i '• i '•• i -

5 10 15 X 25 JO

Posición de la bola

CLN

- - _

.TJ S X

mH

15 20 25 X

Ángulo de la viga

i.;

: ; : :"" 1; . . j

i ; i i ' " "

Posición de la bola

10 15 20 25 30

Ángulo de la viga

0 5 10 15 20 a 30

Acción de control

Acción de control

PDCLN

Error cuadrático1451.42831874.9746

Energía gastada133540.8471

217.0986

eee a los 28seg0.1270.0146

Ángulo máx-6.7383-2.6465

Mp%30

ts (seg)98

El CLN tiene un error cuadrático mayor 1.29 veces que el PD; en cambio el PD consume615 veces más energía que CLN. El error en estado estacionario es bajo en ambos sistemas. ElPD deflexiona la viga 2.5 veces más que el CLN. El sobreimpulso es casi nulo en ambossistemas. El tiempo de establecimiento de la bola es de casi 10 segundos para los dos sistemas.

95

4.5 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA SINTONIZAR EL CLN.

Se propone la siguiente metodología para ajustar los intervalos de las restriccionesnaturales en base a la experiencia obtenida del presente trabajo. Se parte de haber encontrado larelación entre los valores físicos de las restricciones naturales y su referencia en voltaje:

1. Fijar lambda en un valor entre cero y uno (propuesta inicial A.=0).

2. Determinar la t-norma por utilizar (propuesta inicial t-norma Probabilística).

3. Hacer simétricos los intervalos de las restricciones naturales.

4. Reducir simétricamente el intervalo de la derivada del error manteniendo constanteslos demás intervalos. Grafícar la respuesta. Observar el comportamiento del tiempo deestablecimiento y del máximo sobreimpulso, estos deben reducir sus valores.Continuar la reducción del intervalo de la derivada del error hasta que el tiempo deestablecimiento deje de disminuir o el máximo sobreimpulso aumente.

5. Disminuir simétricamente el intervalo del error manteniendo constante los demásintervalos. Grafícar la respuesta. Observar el comportamiento del tiempo deestablecimiento y del sobreimpulso. Continuar disminuyendo el intervalo hasta que eltiempo de establecimiento o el máximo sobreimpulso aumente.

6. Si es necesario, repetir la disminución del intervalo de la derivada del error.

7. Si es necesario, repetir la disminución del intervalo del error.

8. Continuar con estos pasos hasta lograr la respuesta deseada.

Esta metodología se presenta también como un diagrama de flujo en la Fig. 4.25.

96

Fig. 4. 25 Diagrama de flujo propuesto para el ajuste de los intervalos de las restricciones naturales.

97

4.6 RESULTADOS.

Los resultados que se han presentado en la sección anterior son parte de las pruebas que serealizaron. En general, para cada prueba se puede concluir lo siguiente:

Prueba 1:

El PD resultó ligeramente mejor bajo el criterio del error cuadrático; mientras queel CLN redujo significativamente el consumo de energía. El PD provocó unadeflexión mayor en la viga. El sobreimpulso en ambos sistemas fue nulo y lostiempos de establecimiento de la bola estuvieron dentro de los 5 segundos.

Prueba 2:

Cuando se aplicaron las perturbaciones positivas, el CLN tuvo mejor rendimientoque el PD en base al los criterios cuadráticos. En cambio para las perturbacionesnegativas, el criterio del error cuadrático hizo mejor al CLN, pero el criterio de laenergía gastada fue mejor para el PD. Fue más bajo el máximo sobreimpulso alaplicar el PD, aunque la deflexión de la viga resultó mayor al aplicar estecontrolador. Los tiempos de establecimiento de la bola fueron menores a 10segundos.

Prueba 3:

Por el criterio del error cuadrático el PD fue mejor, aunque al aumentar el valor dela perturbación se disminuyó la diferencia entre éste y el CLN. En cambio, por elcriterio de la energía gastada fue mejor el CLN, al aumentar el valor de laperturbación se acrecentó la diferencia entre los controladores. Los sobreimpulsosson bajos en todos los casos aunque mejores en el PD. El tiempo deestablecimiento de la bola resultó mayor en el CLN que con el PD.

Prueba 4:

En los tres casos de variación paramétrica el error cuadrático fue 1.25 veces mayoren el CLN que en el PD, pero la energía gastada resultó menor en el CLN que enel PD. La deflexión máxima fue 5 veces mayor en el PD que en el CLN. Lostiempos de establecimiento de la bola fueron similares aunque alcanzaron los 10segundos.

El sistema con el CLN se vio poco afectado al cambiar el tipo de bola, aunque conla bola chica el error cuadrático resultó mayor. En cambio, con el PD elcomportamiento del sistema fue similar sin importar el tipo de bola que se utilizó.

En base a los resultados obtenidos de las pruebas realizadas, se puede concluir que:

98

• Con respecto al criterio del error cuadrático, el PD resultó ligeramente mejor en lamayoría de los casos.

• El CLN tuvo un gasto de energía mucho menor que el PD en casi toda las pruebas.

• El CLN sobrepasó al PD en el criterio de la deflexión máxima de la viga debido a quedesde un principio el CLN no generó sobreimpulso.

• El tiempo de establecimiento y el error en estado estacionario fueron similares en losdos sistemas de control.

• El Controlador Lógico Natural (CLN) es una buena alternativa de control para elviga-bola bajo las condiciones establecidas. Su desempeño es comparable al obtenidomediante el uso de PD's, superándolo en varias ocasiones.

El modelo matemático del viga-bola considera nulo el efecto de la fricción, sin embargo,en la práctica se observó que este efecto sí afectó al sistema, provocando en ambos sistemas decontrol un error estacionario de la bola sobre la viga.

Establecer las restricciones naturales del proceso no resultó complicado, las restriccionesdel error parten de las restricciones físicas de prototipo; las restricciones de la derivada del errorse obtuvieron de forma experimental y las restricciones de la acción de control se obtuvieron alconocer el voltaje de alimentación del motor principal.

El método de ajuste del CLN propuesto, consiste en fijar lámbela en cero y se utilizar la t-norma Probabilística y después ajustar las restricciones naturales de forma iterativa hasta obtenerel desempeño deseado. El ajuste de los intervalos de las restricciones naturales se hizodisminuyendo los mismos, no aumentándolos, puesto que esto iría en contra de la propianaturaleza del proceso.

Una vez determinadas las restricciones naturales del sistema, la metodología de ajustepropuesta fue sencilla de aplicar.

99

CAPITULO 5. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

5.1 CONCLUSIONES GENERALES.

En este trabajo de tesis se ha presentado un ejemplo de aplicación del CLN, el cual utilizalas restricciones naturales del proceso para diseñar el controlador. Sin embargo, la utilización dedichas restricciones naturales no garantiza el buen funcionamiento del sistema en lazo cerrado, nose puede garantizar algún tipo de característica de desempeño, ni siquiera la estabilidad. Estehecho ha motivado la proposición de una metodología iterativa y completamente heurística paraajustar el CLN de tal forma que el sistema en lazo cerrado funcione adecuadamente.

Por los resultados obtenidos en el presente trabajo, se puede afirmar que el ControladorLógico Natural es una buena propuesta de control. Aunque no conocemos del todo sus alcances ylimitantes, se puede inferir que sí es posible controlar procesos en base a sus limitantes físicas yvalores límite, los cuales se deben respetar para que el proceso funcione de manera adecuada, sinque sufra averías o pueda causar daños tanto en una situación normal como en una anómala. Losresultados obtenidos en esta tesis motivan la continuación de las investigaciones encaminadashacia el campo industrial, desarrollando un método sistemático para sintonizar el controlador ybuscando el control de procesos multivariables.

El diseño del CLN depende de las restricciones naturales. Los dos tipos de restriccionesnaturales para los procesos son: a) la saturación de la acción de control y b) el dominio de trabajode las variables observables. Algunas veces las restricciones naturales pueden obtenersesimplemente de la observación del dominio de trabajo de las variables del proceso; en otrasocasiones a través de la experimentación (como fue el caso en esta tesis para la derivada deleiTor); pero en otras, las restricciones naturales deberán ser encontradas a través de métodosmatemáticos, ya sea porque no es fácil realizar pruebas experimentales o porque resultan costosasy/o peligrosas.

El parámetro cp permite seleccionar un tipo de t-normas dentro de una familia, las cualesson las más representativas para el control difuso (Zadeh, Probabilística, Lukasiewicz). No sepuede generalizar que una t-norma sea mejor que otra, ya que su estructura matemática es distintaal igual que lo puede ser su campo de aplicación.

100

El parámetro X permite controlar el tipo de asociación de los antecedentes de las reglasdifusas. Cuando A. es igual a cero, corresponde a la actitud más estricta, en la cual todas lasproposiciones del antecedente deben ser verdaderas para poder implicar la acción de controlmáxima; cuando X es igual a uno, corresponde a la actitud, menos estricta, en la cual solo unaproposición difusa elemental se necesita que sea verdadera para implicar la acción de controlmáxima. Para tomar en cuenta todas las demás combinaciones de las reglas, se utiliza el operadorde asociación de los antecedentes de tipo mixto.

El diseño del CLN se realizó en el dominio continuo pero se probó con ayuda de unacomputadora y una tarjeta de adquisición de datos para poder aplicarlo en tiempo real. Comopropuesta queda el análisis de las propiedades del CLN en el dominio discreto. El utilizar la t-norma Probabilística y lambda igual a cero fue una elección propia, ya que recordemos quelambda puede tener cualquier valor entre cero y uno, mientras que existen tres tipos de t-normas.De esta forma, hay bastantes combinaciones de estas dos variables que se hubieran podidoaplicar. Es posible que no todas las combinaciones de lambda y t-norma resulten favorables parael control del prototipo utilizado, o tal vez alguna de ellas resulte mucho mejor en base a loscriterios de comparación. Queda abierta la continuación de estas pruebas para conocer susresultados.

En este trabajo de tesis ha propuesto una metodología para ajustar los intervalos de lasrestricciones naturales disminuyendo los mismos, ya que no podemos aumentar las restriccionesnaturales de ningún sistema.

El prototipo académico que se eligió para este trabajo fue el viga-bola, un sistemamonovariable que ha sido controlado por controladores clásicos y es representativo de procesosque son de naturaleza inestable.

En el sistema de control en cascada observamos que se tienen dos lazos cerrados, en cadauno de ellos existen polos en el origen, lo que permite que en cada lazo cerrado exista el efecto dela acción integral: mandar el error en estado estacionario a cero. Por esta razón se diseñaronsolamente PD's para el control de ambos lazos. Con el fin de hacer justas las comparaciones entrelos PD's y los CLN's, se utilizaron en estos últimos señales de entrada Proporcional -Derivativas.

Las pruebas para conocer las ventajas y desventajas del CLN nos dan una idea delcomportamiento del mismo. Podemos hablar de una cierta robustez del CLN bajo las pruebasrealizadas. Es interesante conocer hasta que punto puede soportar perturbaciones o variacionesparamétricas. Por lo que se propone que se continúe con este prototipo hasta tener una idea másgeneralizada de la robustez del CLN.

El desempeño del CLN como controlador para el viga-bola bajo los criterios decomparación en las pruebas realizadas resultó ser bastante eficiente, en ocasiones mejoró losresultados obtenidos con los PD's diseñados para el mismo propósito. Con ello no podemos deciren forma generalizada que el CLN sea mejor que los controladores convencionales. Simplementees una nueva técnica de control que debe continuar siendo investigada.

101

Los resultados favorecen e invitan a la continuación del estudio de este controlador paraconocer mejor el alcance y las limitantes que puede presentar. Por lo que se plantean lassiguientes perspectivas.

5.2 PERSPECTIVAS.

Aunque en este trabajo se recomienda utilizar lambda en cero, sería conveniente compararel desempeño del CLN con diferentes valores de lambda y establecer las diferencias. También sepodrían comparar las dinámicas generadas al utilizar las distintas t-normas.

En este trabajo se utilizó el método de control en cascada para el viga-bola, pero se podríacrear un solo sistema de lazo cerrado que incluya los modelos matemáticos de la viga y de laposición de la bola e intentar controlarlo como un sistema de dos entradas - una salida.

Sería interesante analizar las propiedades del CLN para sistemas en el dominio discreto.Solo se ha trabajado en el dominio continuo con buen resultado.

En base a la metodología propuesta para la sintonización del CLN se propone desarrollaruna alternativa automática de sintonización por medio de un algoritmo computacional.

El camino que se ha iniciado para probar el CLN es en base de aplicación yexperimentación en tiempo real con un prototipo de laboratorio. Se propone continuar con lainvestigación en más prototipos de laboratorio, incrementando cada vez el grado de dificultad delos mismos. Se propone el uso del péndulo invertido, del levitador magnético, o de otro prototipoque se encuentre dentro del laboratorio de control del ITESM-CEM.

Aplicar el CLN en experimentos para conocer su robustez, ventajas y desventajas contraotros tipos de controladores es un camino que se puede recorrer, otro seria desarrollar un métodoanalítico para asegurar la robustez del CLN.

Aun hay mucho por realizar en este campo del control difuso para lograr el objetivoprincipal de controlar sistemas multivariables. El presente trabajo es solo parte de ese camino quese tiene que recorrer, así que la invitación está abierta para todo aquel que desee conocer el áreadel control difuso y más específicamente la técnica del Controlador Lógico Natural.

102

ANEXO

La codificación del CLN está en el programa de Matlab denominado nclnsim.m y sepresenta a continuación. Está hecho para trabajar con bloques s-functions de simulink.

function [sys,xO,str,ts] = nclnsim(t,x,u,flag,limEnt,limSat,norme)% Definición del CLN para Simulink

switch flagcase 0

sizes = simsizes;sizes.NumContStates = 0;sizes. NumDisc States = 0;sizes.NumOutputs = 1;sizes.Numlnputs =-1;sizes.DirFeedthrough = 1;sizes. NumSampleTimes = 1;sys = simsizes(sizes);xO = [];str=[];ts =[0 0];

case ! 1,2,4,9}sys=[];

case 3% fuzzificacion = saturación + normalizaciónmp=u(l:length(u)-l);fot" i=l:length(mp)

sat=max(limEnt(i,l),min(u(i),limEnt(i,2)));mp(i)=(sat-limEnt(i, 1 ))/(limEnt(i,2)-limEnt(i, 1));

end;% Evaluación de reglas con conectivo mixtolambda=u(length(u)); t=mp(l); s=mp(l);for i=2:length(mp)

if norme==l t=min(t,mp(i)); s=max(s,mp(i)); end;if norme==2 t=t*mp(i); s=s+mp(i)-s*mp(i); end;

103

if norme==3 t=max(t+mp(i)-l,0); s=min(s+mp(i),l); end;end;mup=(l-lambda)*t +lambda*s;mun=( 1 -lambda)*( 1 -s)+lambda*( 1 -t);% defixzzyfícacionif (1 -mup+1 -mun)==0 sys=(limSat(2)+limSat(l ))/2;else sys=(( 1 -mup)*limSat( 1)+(1 -mun)*limSat(2))/( 1 -mup+1 -mun);end;

otherwiseerror(['Unhandled flag = ',num2str(fiag)]);

end;

104

BIBLIOGRAFÍA

[1] ACEVES López, Alejandro. Nouvelle approache de la commande non linéaire souscontraintes: le Contróleur Logique Naturel. Tesis doctoral. Universidad Paul Sabatier.Noviembre 2000.

12] ACEVES López, Alejandro. "Usos y abusos de la LÓGICA DIFUSA para el control deprocesos: Una alternativa para modelar lo incompleto de la información y lo impreciso deuna observación". Con mantenimiento productivo. Año 2, No. 8, Abril/Mayo 2001,México D.F., pp. 12-17.

[3] ACEVES López, Alejandro y Aguilar M. J. "A new simplified versión of the fuzzycontroller: the natural logic controller". 3rd IMACS International Multiconference on:Circuits, Systems, Communications and Computers CSCC'99. 4-8 July 1999. AthensGreece. pp. 198-204.

[4] ACEVES López, Alejandro y Cuauhtémoc Carbajal Fernández. Control difuso porobjetivos jerarquizados. México, ITESM-CEM. 1995.

[5j ALBERTOS, P. et.al. Control engineering solutions: A practica! approach. Institution ofElectrical Engineers. Inglaterra. 1997. 297 p.

[6] AGUILAR M. J. Y J.C. Hernández. "Conectivos mixtos de la lógica borrosa para lacoordinación en control fuzzy". / Jornadas sobre Transferencia de Tecnología Fuzzy.Universidad de Murcia. 1995.

[7| BERGAZA Pascual, Luis Miguel. "Práctica No. 1. Diseño y simulación de un controladorborroso de un péndulo invertido en torno a Matlab". Laboratorio de control neuronal yborroso. Departamento de - Electrónica. Universidad de Alcalá. 39 p.hltp://vvvvvv.depeca.alcala.es/docencia/AUT-CONTROL/cnb/documentos/Practical.pdl' (Enero,2002).

105

[8] BISHOP, Robert. Modern control systems analysis and design using MATLAB &SIMULINK. Estados Unidos, Adison Wesley. 1997. 251 p.

[9] BOLTON, William. Control engineering. 2 ed. Estados Unidos, Longman. 1998. 397 p.

[10] BROWN, Martin y Harris Chris. Neurofuzzy adaptative modelling and control. EstadosUnidos. Prentice Hall. 1994.

[11] CE106: Ball and Beam. Manual del usuario. TecQuipment Ltd. 1999.

[12] CHEN, Jen Yang y Ying-Hao Lin. "A self-tuning fuzzy controller design". IEEEInternational Conference on Neural Networks. Volume. 3. 1995. pp. 1358 -1362.

[13] CHEN, Yung-Yaw, et.al. "A self-leaming fuzzy controller". IEEE InternationalConference on Fuzzy Systems. 1992. pp. 189- 196.

[14] Control difuso, http://prf.usb.ve/montbru/ps2320/fuzzy/fuzzv.html. (Mayo 4, 2001).

[15] Control tutorials for Matlab. CTM Exatnple: Ball & Beam. The University of Michigan.http://www.enain.umich.edu/CTOup/ctm/examples/ball/ball.html. (Febrero, 2002).

[16] DASSEN, Willem RM. et.al. "Identifying 3-vessel and main stem disease during pain atrest using self-learning techniques". Computers in Cardiology. Estados Unidos.Septiembre, 1994. pp. 537 - 540.

[17] Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá. Controles borrosos.http://www.depeca.alcala.es/docencia/AUT-CONTROL/cnb/documentos (Enero, 2002).

[18] Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá. Control neurona! y borroso.Estudio de la estabilidad de sistemas de control borroso.http://www.depeca.alcala.es/docencia/AUT-CONTROL/cnb/documentos (Enero, 2002).

[19] Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá. Lógica borrosa.http://www.depeca.alcala.es/docencia/AUT-CONTROL/cnb/documentos (Enero, 2002).

[20] DING, Yingshens, et.al. "Necessary conditions for general MISO fuzzy systems asuniversal approximators". IEEE International Conference on Systems, Man, andCybernetics. Vol. 4. Esatdos Unidos. Octubre, 1997. pp. 3176 - 3181.

[211 DORF, Richard C. y Robert H. Bishop. Modern control systems. 8 ed. Estados Unidos,Adison Wesley. 855 p.

[22] DRIANK.OV, Dimiter, et.al. An introduction to Fuzzy Control. Estados Unidos, Springer.1996. 316 p.

106

[23] DUBOIS, Didier y Henn Prade. Fuzzy seis and systems: theory and applications. EstadosUnidos, Academic Press. 1980.

[24] FILEV, Dimitar P. "Inversión of fuzzy models: Practical issues". The 1988 IEEEInternational Conference on Fuzzy Systems Proceedings. Vol. 2. 1988. pp. 1658 - 1663.

[25] FILEV, Dimitar, et.al. Fuzzy Control: Síntesis and Analysis. Estados Unidos, Wiley.2000.

[26] FRANKLIN, Gene F y J. David Powell. Digital control & systems. Estados Unidos,Addison Wesley. 1990.

[27] FREUDENBERG, Jim y Rick Middleton . "Design rules for multivariable feedbacksystems". Proceedings of the 35' IEEE Conference on Decisión and Control. Vol. 2.Japón. Diciembre, 1996. pp. 1980 - 1985.

[28] GOLTEN, Jack Verwer. Control systems design and simulation. Estados Unidos,McGrawHill. 1991.

[29] GUPTA, M. M. y J. Qi. "Theory of T-norms and fuzzy inference methods". Fuzzy Setsand Systems. Vol. 40. Holland. 1991. pp. 431 -450 .

[30] GÜNDES, A. Nazli y M. Güntekin Kabuli. "Reliable decentralized control". AmericanControl Conference. Maryland, Estados Unidos. Vol. 4. Junio - Julio, 1994. pp. 3359 -3363.

[31] KAMEN, Edward W. Introduction to industrial controls and manufacturing. EstadosUnidos, Academc Press, 1999. 230 p.

[32] KLIR, G.J. et.al. Fuzzy set theory: foundations and applications. Estados Unidos, PrenticeHall. 1997. 245 p.

[33] KOSKO, B. "Fuzzy systems as universal approximators". IEEE International Conferenceon Fuzzy Systems. Estados Unidos. 1992. pp. 1153 - 1162.

[34] KUMAR, S. Ray y Dutta Majumder. "Fuzzy logic control of a nonlinear multivariablesteam generating unit using decoupling theory". IEEE Transactions on Systems, Man, andCybernetics. Vol. 15. Julio - Agosto, 1985. pp 539 - 545.

[35] JANG, J.S.R, et.al. Neuro -fuzzy and soft computing: approach to learning and machineintelligence. Estados Unidos. Prentice Hall. 1997. 614 p.

[36] Laboratorio de Control. ITESM-CEM. Práctica 5. Tarjeta de adquisición de datos.1TESM - CEM. 2002.

107

[37] LEONARD, Naomi Ehrich y William S. Levine. Using Matlab to analyze and designcontrol systems. 2 ed., Estados Unidos, Benjamin/Cumming Pub Co.1995. 212 p.

[38) LEONDES, Comelius T. Fuzzy theory systems: techniques and applications. Vol.l.Estados Unidos, Academia Press. 1999. pp. 48-49, 112-114, 349-351,406-408.

[39] LEWIS, Paul H. y Chang Yang. Sistemas de control en ingeniería. España, PrenticeHall. 1999. 450 p.

[40] LIN, Ching-Teng y C. S. George Lee. Neural fuzzy systems. Estados Unidos. PrenticeHall. 1996. 797 p.

[41] Lógica difusa, http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/ldifl/ldifl.html. (Febrero, 2002).

[42] MASTEN, Michael K. Y Herbert E. Cohén. "An advanced showcase of adaptativecontroller designs". International Journal of adaptative control and signa! processing.Vol. 4. 1990. pp. 89-98.

[43] NAVARRA, Mirko. "Characterization of measures based on strict triangular norms".Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 236. 1999. pp. 370- 383.

[44] Nuevo diccionario Larousse manual ilustrado. México. Larousse. 1984. 997 p.

[45] OGATA, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. 2 ed. México. Prentice Hall, 1993.1020 p.

[46] Omron. Fuzzy logic: A 21st century technology. An introduction to fuzzy logic and itsapplication in control systems. Omron. 1991.

[47] PEDRICZ, Witold. Fuzzy control and fuzzy systems. 2 ed. Estados Unidos, Wiley. 1993.350 p.

[48] PÉREZ, Juan Emilio. Apuntes del curso de Control del procesos industriales (nopublicados). ITESM-CEM. 2001.

[49) PIERA, N. et.al. "Mixed connectives berween min and max". Proceedings of theEighteenth International Symposium on Múltiple - Valued Logic. 1988. pp. 244 - 247.

[50] SETNES, M. et.al. "Similarity measures in fuzzy rule base simplification". IEEETransactions on Systems, Man and Cybernetics - Part B: Cybernetics. Vol. 28. No. 3.1998. pp. 376-386.

[511 S-functions.http://www.inathworks.com/access/helpdesk/help/pdf doc/simulink/sfunctions.pcir(Marzo, 2002).

108

[52] SHIEH, C-Y y Satish S. Nair. "A new self tuning fuzzy controller design andexperiments". Seeond IEEE International Conference on Fuzzy Systems. Vol.l. 1993. pp.309-314.

[53] STOICA, A. "Synaptic and somatic operators for fuzzy neurons: which T-norms tochoose?". Fuzzy Information Processing Society. NAFIPS. Biennial Conference of theNorth American. Estados Unidos. Junio, 1996. pp. 55 - 58.

[54] SUGENO, Michio. Fuzzy modeling and control: selected works of M. Sugeno. EstadosUnidos, CRC Press. 1999, 426 p.

[55] SUGENO, M. y G. T. Kang. "Structure identifícation of fuzzy model". Fuzzy Sets andSystems. Vol. 28. Holland. 1988. pp. 15-33.

[56] TAKAGI, T. y Suegno M. "Fuzzy identifícation of systems and its applications tomodeling and control". IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. vol. 15.No. 1 Enero - Febrero, 1985. pp 5116 - 132.

[57] VIDOLOV, Borislav y Christian Mélin. "An approach to the Obtaining of KnowledgeBases for MIMO fuzzy control: application to a nonlinear thermal system control".Proccedings of the sixth IEEE International Conference on Fuzzy Systems. Vol. 1. 1997.pp. 99-103.

[58| WANG, B.H. y G. Vachtsevanos. "Learning Fuzzy logic control: an indirect controlapproach". IEEE International Conference on Fuzzy Systems. 1992. pp. 297 - 304.

[59] WANG, Li-Xin. A course in fuzzy systems and control. Estados Unidos, Prentice Hall.1997. 424 p.

[60] XU, Chen Wei. "Decoupling fuzzy relational systems: an output feedback approach ".IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. Vol. 19. No. 2, March - April1989. pp. 414-417.

[61 ] XU, Chen-Wei y Yong-Zai Lu. "Fuzzy model identifícation and self-learning for dynamicsystems". IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. Vol. 17. Julio- Agosto,1987. pp 683-689.

[62] YEN, John, et.al. "A method for automatic generation of a fuzzy model". ThirdInternational Conference on Industrial Fuzzy Control and Intelligent. Texas, EstadosUnidos. Diciembre, 1993. pp. 88 - 92.

[63] Y1NG, Hao, et.al. "Fuzzy control theory: a nonlinear case". Automática. Vol. 26. No. 3.1990. pp. 513-520.

109

[64] YING, Hao, et.al. "Necessary conditions for general MISO fuzzy systems as universalapproximators". IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics. Vol.4. USA. Octubre, 1997. pp. 3176 - 3181.

[65] ZHENG, Jin. et.al. "STFC - Self tuning fuzzy controller". IEEE International Conferenceon Systems, Man, and Cybernetics. Vo. 2. 1992. pp. 1603 - 1608.