Juan A. Navarro Gonz´alez 25 de mayo de 2014matematicas.unex.es/~navarro/acb.pdf · 1 Relaciones...

ALGEBRA CONMUTATIVA BASICA

Juan A. Navarro Gonzalez

25 de mayo de 2014

Prologo

En palabras de Sancho Guimera (1927-2011), “la verdadera originalidad en todosaber es siempre paradojicamente la luz nueva que engendra la asimilacion cadavez mas profunda de los fundamentos, no un amontonamiento (que empieza asobrarnos) de datos a la luz de lo ya conocido”. Y las matematicas son el lengua-je1 en que se expresa la nueva luz, la nueva forma de ver y entender un mundodescubierto por los griegos hace mas de 25 siglos:

“... un ambito diafano que aparece ante la conciencia humana, pobladopor objetos y nociones transparentes a la comprension y cuyo ser sedesvela y consiste en su propio sentido, en terminos griegos en su propioΛoγoσ ... El hombre ya no es un simple animal sujeto a la sinrazonde nacer, vivir y morir, sino un ser abierto a un ambito de juicio ysabidurıa no sometido a la contingencia, antes al contrario tribunaldonde la naturaleza y las cosas se juegan su ser como objeto de estasabidurıa.

Con la aparicion de este saber aparece la filosofıa, y es esta situacionla que en frase lapidaria enuncia Parmenides2 diciendo es lo mismo elser de las cosas que su sentido (es decir que su Logos).”

Frase confirmada reiteradamente por el desarrollo de la Ciencia, que al indagarcada vez con mas profundidad la realidad ıntima de las cosas, descubre que estanecesita expresarse en el lenguaje matematico, lo que ya habıa adelantado Platon(427-347 a. de Cristo) al afirmar o Θεωσ γεωµεθρει (el oficio de Dios es hacer geo-metrıa) en un tiempo en que matematicas y geometrıa se identificaban. Estudiarmatematicas tambien es una forma de mirar a Dios, como bien a las claras y nadade soslayo, afirma Alexandre Grothendieck (n. 1928) en La Llave de los Suenos:

... las leyes matematicas. Esas leyes pueden ser descubiertas por elhombre, pero no son creadas por el hombre, ni siquiera por Dios. Que

1¡Bah, nada mas que un lenguaje! diran algunos. ¡Oh, nada menos que un lenguaje! decimosotros.

2Siglo V antes de Cristo.

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ii PROLOGO

dos y dos son cuatro no es un decreto de Dios, que El fuera libre decambiar en dos y dos son tres, o cinco. Siento que las leyes matematicasforman parte de la naturaleza misma de Dios – una parte ınfima, cier-tamente, la mas superficial en cierto modo, y la unica accesible a lamera razon.”

Por eso es tan triste y repugnante dividir las matematicas en mas y mas es-pecialidades desconectadas. Se nos ensancha el alma y alegra la mirada cada vezque dos ramas aparentemente separadas se funden en una misma teorıa, porquesupone un indicio de la esencial unidad de Dios.

A lo largo del siglo XX las matematicas han vivido un extraordinario proceso deunificacion y uno de sus frutos mas logrados son los trabajos realizados en los anos60 por Grothendieck. En lıneas generales, su obra presenta tres grandes procesosde unificacion, cada uno desarrollado en torno a un concepto-clave que recoge,unifica, simplifica y generaliza muchas teorıas dispersas anteriores. Ası, la nocionde esquema afın permite unificar la Aritmetica y la Geometrıa afın, el conceptode esquema recoge ademas la Geometrıa Proyectiva y la Geometrıa Algebraicaabstracta, y los topos proporcionan un ambito comun donde tambien tiene cabidala Topologıa (Algebraica o General). Estos tres conceptos fundamentales no son in-dependientes, sino que estan nucleados por el concepto de haz, idea madre de todosellos, que ha sido el camino seguro que ha permitido aclarar la raız esencialmentecomun de diversas teorıas matematicas desarrolladas en etapas anteriores.

Todo intento de ensenar matematicas en el siglo XXI deberıa transmitir laperspectiva que se alcanza desde estos tres conceptos, y este libro pretende ser elprimero de los tres pasos que deben darse para asimilar la obra de Grothendieck,despojado de todo lo accesorio. Ahora bien, en este primer paso no se intro-duce el concepto de esquema afın porque esencialmente es equivalente al de anilloconmutativo. Por eso este ultimo es el centro del libro y por eso este es un li-bro de Algebra Conmutativa, que deberıa ser continuado por otro de GeometrıaAlgebraica, centrado en la nocion de esquema, y un ultimo de Teorıa de Topos.

El Algebra Conmutativa, entendida como estudio de los anillos conmutativos,se nos presentara como la unificacion de la Aritmetica y la Geometrıa afın, yel objetivo de este libro es situar al lector en posicion de apreciar el significadoaritmetico y geometrico de los diversos temas que se estudian en Algebra Con-mutativa. Por eso consta de dos partes. La primera3, centrada en la teorıa decongruencias o de paso al cociente (que geometricamente significara pasar a uncerrado), estudia el aspecto aritmetico. La segunda4 aborda el lado geometricoy su nucleo es el proceso de localizacion, que geometricamente significa pasar a

3Los capıtulos del 1 al 4.4Los capıtulos del 6 al 9, siendo el quinto un capıtulo de transicion, donde por primera vez se

entremezclan el paso al cociente y la localizacion.

iii

un abierto o a un entorno suficientemente pequeno de un punto. Este libro soloincluye lo que es estrictamente necesario para alcanzar la comprension aritmetico-geometrica del concepto de anillo conmutativo. No obstante, en un intento defacilitar la asimilacion de la teorıa, al final se han incluido ejemplos y ejercicios,ası como diversos apendices que pueden estudiarse a partir de la madurez que seva adquiriendo a traves de los capıtulos del libro.

Por otra parte, la Geometrıa Algebraica, tal y como ha sido fundamentadapor Grothendieck en la nocion de esquema, engloba tanto la Geometrıa Proyectivacomo el Algebra Conmutativa, de forma que la teorıa de anillos conmutativos coin-cide exactamente con el estudio local de los esquemas. La continuacion naturalde este libro es el estudio de la Geometrıa Algebraica, entendida como teorıade esquemas. Por tal motivo, los ultimos capıtulos exponen sistematicamente elproceso de localizacion, que es la clave de la inmersion del Algebra Conmutativadentro de la Geometrıa Algebraica ası entendida.

Agradezco a mi amigo Juan B. Sancho de Salas sus constantes conversacionessobre las paginas que siguen, que tanto le deben, y el permiso para reproducir enun apendice sus notas sobre la clasificacion de modulos sobre dominios de idealesprincipales. Agradezco a Marıa Teresa Sancho de Salas el permiso para incluir enun apendice su trabajo sobre el grupo de Brauer y a Marıa Angeles Mulero Dıazy Pedro Sancho de Salas sus provechosos comentarios sobre esta obra.

Me atrevo a dedicar este libro a mis maestros D. Juan Bautista Sancho Guimeray D. Cristobal Garcıa-Loygorri y Urzaiz, y a mis profesores y companeros de laUniversidad de Salamanca, conmovido por el recuerdo del ambiente en que noseducaron, que tanto bien nos ha hecho.

Ad maiorem Dei gloriam

Badajozmayo del 2003

iv PROLOGO

Indice General

Prologo i

I Teorıa 1

1 Relaciones de Equivalencia 31.1 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Numeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Numeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Grupos 212.1 Grupos y Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Aritmetica Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Morfismos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5 Grupos Cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 El Grupo Simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Anillos 433.1 Anillos y Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Polinomios con Coeficientes en un Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Anillo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Congruencia de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Anillos Euclıdeos 614.1 Anillos Euclıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Extensiones y Raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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vi INDICE GENERAL

4.3 Raıces Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Teorema de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 La Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Factorizacion Unica 835.1 Anillos de Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Fracciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Dominios de Factorizacion Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Modulos y Algebras 956.1 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Sucesiones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3 Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4 Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7 Espectro Primo 1197.1 Espectro Primo y Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.2 Aplicacion Continua Inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 Calculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.4 Variedades Algebraicas Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 Localizacion 1398.1 Localizacion de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Propiedades Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.3 Modulos sobre Anillos Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.4 Anillos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.5 Espacios Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.6 Descomposicion Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9 Calculo Diferencial 1619.1 Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.2 Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.3 Propiedades de las Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Epılogo: Categorıas 169Categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Morfismos de Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176El Funtor de Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Funtores Representables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

INDICE GENERAL vii

II Ejemplos y Ejercicios 191

Ejemplos y Ejercicios 193Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Anillos Euclıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Dominios de Factorizacion Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Modulos y Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Espectro Primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Calculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

III Apendices 289

A Polinomios Simetricos 291A.1 Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.2 Funciones Simetricas de las Raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294A.3 El Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296A.4 El Polinomio Generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

B Irracionales Cuadraticos 299B.1 Irracionales Cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299B.2 Construcciones con Regla y Compas . . . . . . . . . . . . . . . . . 302B.3 Construccion de Polıgonos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 304B.4 Raıces de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

C Modulos Proyectivos, Inyectivos y Planos 309C.1 Modulos Proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309C.2 Modulos Inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310C.3 Modulos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

D Modulos sobre Dominios de Ideales Principales 313D.1 Teoremas de Descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315D.2 Factores Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320D.3 Clasificacion de Endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323D.4 Matrices de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325D.5 Clasificacion de Autoproyectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . 328D.6 Clasificacion de Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

E Modulos Localmente Libres 335

viii INDICE GENERAL

F Grupos Finitos 339F.1 G-conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339F.2 p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341F.3 Subgrupos de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342F.4 Grupos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343F.5 Grupos Resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

G Algebras Finitas 349G.1 Espectro de un Algebra Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349G.2 Algebras Triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351G.3 Puntos de un Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353G.4 Algebras Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

H Teorıa de Galois 361H.1 Extensiones de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361H.2 Teorema de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365H.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372H.4 El Automorfismo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

I Separabilidad 393I.1 Algebras Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393I.2 Metrica de la Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395I.3 Algebras Inseparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397I.4 Algebras Puramente Inseparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

J Extensiones Algebraicas y Trascendentes 403J.1 Cierre Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403J.2 Extensiones Trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

K Grupo de Brauer 407K.1 Algebras Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408K.2 Algebras de Azumaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412K.3 Construccion de las Algebras de Azumaya . . . . . . . . . . . . . . 415K.4 Ideales de las Algebras de Azumaya . . . . . . . . . . . . . . . . . 420K.5 El Grupo de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

L Morfismos Finitos 423L.1 Dependencia Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423L.2 Teorema del Ascenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426L.3 Lema de Normalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429L.4 Teorema del Descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

INDICE GENERAL ix

M Morfismos Finitos Birracionales 437M.1 Anillos de Valoracion Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437M.2 Anillos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439M.3 Finitud del Cierre Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440M.4 Desingularizacion de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

N Teorıa de Numeros 449N.1 Tres Lemas Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449N.2 Tres Teoremas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451N.3 La Funcion Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

Bibliografıa 461

x INDICE GENERAL

Parte I

Teorıa

1

Capıtulo 1

Relaciones de Equivalencia

A lo largo de los cursos nuestra actividad fundamental es la de hablar; bueno seraque examinemos un poco tan asombrosa facultad humana. Cuando utilizamosnombres (papel, hierro, peso, derecha, etc.) normalmente senalamos primero variosseres a los que ponemos tales nombres, para indicar en lo sucesivo otros similares.Pero, aparte de su capacidad para senalar e indicar, al hombre tambien le es posibledelimitar con precision el significado de algunas palabras, de modo que podamosdecidir cuando son convenientes sin necesidad de ver ejemplos particulares previos.Ası, cuando definimos el hidrogeno como elemento de numero atomico 1, no esnecesario haber visto antes hidrogeno para poder decidir si determinada sustanciaque tengamos delante lo es, basta disponer de un procedimiento para hallar elnumero atomico de los elementos. Igualmente, cuando definimos numero primocomo el que solo es divisible por el mismo y la unidad, no necesitamos conocerningun ejemplo de numero primo para decidir si lo es el 11 o el 12. Socrates(469-399 a. de Cristo) quedo fascinado por la posibilidad de este modo superiorde decir y en los Dialogos de Platon (427-347 a. de Cristo) vemos como se entregoa la tarea de someter los conceptos a la prueba de fuego de su expresion en el,convencido plenamente de que todo lo verdadero podra decirse con el nuevo decir(mientras las apariencias se desvaneceran ante sus exigencias) y de que la definicionde cada concepto nos mostrara como sus propiedades no son meras casualidadessino consecuencias necesarias de su verdadero sentido1.

La exposicion de los conceptos que en alguna parcela de la realidad se yer-guen majestuosamente despues del demoledor examen de su significado a la luzde las terribles exigencias de este nuevo decir, junto con el desarrollo de sus con-secuencias absolutamente necesarias, es lo que llamamos teorıa. Para quien hayavivido la exposicion de alguna teorıa, comprender solo puede significar ya el des-

1Por supuesto nada de lo que estamos diciendo ahora lo es en este sentido mas exigente queestamos descubriendo, aun no es teorıa, sino sugerencia, indicacion.

3

4 CAPITULO 1. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

pliegue del saber como teorıa; pues, ante ella, el antiguo modo de decir, que solosenala, aparece casi como un ruido sin sentido imposible de entender2. Mas quela busqueda de lo novedoso, la Ciencia es ante todo una nueva forma de ponersedelante de las afirmaciones comunes. En palabras de Descartes (1596-1650):

“... y no me precio tampoco de ser el primer inventor de ninguna deellas, sino solamente de no haberlas admitido, ni porque las dijeranotros, ni porque no las dijeran, sino solo porque la razon me convenciode su verdad.”

Pero, antes de que la razon examine la verdad, falsedad o carencia de sentido deuna afirmacion, necesita comprender el significado de los conceptos involucrados enla misma. Si decimos que por los vertices de un triangulo pasa una unica circunfe-rencia o que hay infinitos numeros primos, no podemos entender estas afirmacionessin decir (= definir) previamente que es un triangulo, que es una circunferencia yque es un numero primo. El empeno fundamental de las Matematicas, compartidocon las demas Ciencias, es responder con rigor a las preguntas ¿Que es eso quellamamos ...?, definir los conceptos que continuamente usamos de forma imprecisa.

Conviene advertir que definir un concepto no significa senalar algunas propie-dades accidentales que lo caractericen dentro de nuestra experiencia, sino ponerde manifiesto su esencia. Es iluminadora la anecdota de un pensador griego que,tras meditar mucho sobre que es un hombre, en plena plaza publica afirmo su grandescubrimiento: es el bıpedo implume. Los ciudadanos se maravillaron, pues nadiepodıa rebatirle ¡no conocemos bıpedos implumes que no sean humanos!. Alabaronsu inteligencia, con secreta envidia de la eterna fama que su hazana le darıa; aunquemuchos debieron sentir en sus tripas ese rescoldo que ante tal respuesta tambiena nosotros nos susurra: no es eso, no es eso, no es eso, ... Un filosofo, con la rabia delque ha vivido el asombro ante una verdadera definicion, desplumo una pobrecitagallina y, lanzandola en medio de la plaza, le espeto: ¡He ahı tu hombre!, puesdefinir un concepto es desentranar lo que lo constituye verdaderamente como tal.La definicion ha de ser la expresion de su estructura esencial, no una caracterizacionarbitraria o accidental dentro de nuestra limitada experiencia.

Cuando alcanzamos la definicion de algun concepto, en ella incluimos otrosconceptos. Si un concepto B se define a partir de otro concepto A, todas las

2En modo alguno significa esto menospreciar la manera anterior de hablar y comprender, pueses una etapa absolutamente necesaria para llegar a la claridad y rigor que nos proponemos. Sinos preguntamos ¿que es una lınea recta? ¿que es un numero fraccionario? ¿que es la dimensiondel espacio? ¿que es el tiempo? etc., sera imposible alcanzar definiciones precisas de estosconceptos si previamente no nos hemos sumergido de modo intuitivo en los ambitos donde talesconceptos se nos presentan “a la vista”. Aunque carezcan del rigor que a partir de ahora nosexigiremos, nuestros anos de experiencia en Geometrıa, Aritmetica, Fısica, etc., son un tesoroprecioso y requisito imprescindible para entender el desarrollo de la Licenciatura de Matematicas.La pretension de la Ciencia es aclarar y fundamentar muchos conceptos que solo senalamos, yserıa empeno vano si de ellos no tenemos amplia experiencia previa y no los poseemos de formaintuitiva.

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afirmaciones en que intervenga B quedan transformadas en afirmaciones sobre A.Definir un concepto B a partir de otros conceptos anteriores es reducirlo a estos:para entender B basta comprender los anteriores y todas las propiedades de B loson de tales conceptos previos. Ası, al definir la derivada de una funcion f(x) enun punto x = a como el lımite del cociente de incrementos (f(x)− f(a))/(x− a)cuando x → a, el concepto de derivada queda reducido al de lımite. En todasnuestras afirmaciones podrıamos sustituir el termino derivada por la definiciondada sin que por ello cambiase el sentido, por lo que todas las propiedades de laderivada son realmente propiedades del lımite. En este sentido podemos decir queel concepto de derivada queda disuelto en el de lımite. Analogamente, cuandodefinimos la circunferencia como la figura formada por los puntos equidistantes deun punto dado, el concepto de circunferencia queda reducido al de equidistanciade puntos.

Lo que no podemos hacer nunca es reducir un concepto B a otro A cuando en ladefinicion de A se haya utilizado B u otros conceptos que se hayan definido a partirde B. Por ejemplo, si definimos el angulo recto por la condicion de que sus ladossean perpendiculares, ya no podremos definir el concepto de rectas perpendicularespor la condicion de que se corten formando un angulo recto, pues tendrıamosun cırculo vicioso: para comprender el concepto de angulo recto necesitarıamosentender previamente el de perpendicularidad y este a su vez deberıa comprendersea partir del concepto de angulo. En la definicion de un concepto B no puedeintervenir un concepto previamente definido A si en la definicion de A hemosintroducido B. Tampoco son admisibles las autorreferencias: Un concepto nopuede intervenir en su propia definicion.

Si nos proponemos definir ciertos conceptos, en este proceso de reduccion deunos a otros siempre habra, debido a la finitud humana, unos conceptos indefinidosa los que hayamos reducido los restantes. Esta finitud del hombre es la que todonino (tanto mis hijos pequenos como el nino que un dıa fuimos y yace olvidado enun rincon del alma) descubre cuando ve con regocijo la impotencia de sus mayoresante la reiteracion indefinida de la pregunta ¿Por que?3, reiteracion que sus padressolemos cortar abruptamente con un cambio de tema o con una sonrisa en el mejorde los casos. Finitud que sirve de base fundamental a la Ciencia y nos fuerza aelegir, entre todos los conceptos que utiliza, unos conceptos primitivos con losque definiremos los restantes, de modo que sus propiedades no sean mas que elreflejo de algunas propiedades de los conceptos primitivos, que han de ser los mascercanos, claros, seguros y sencillos.

Lo que diferencia radicalmente unas ciencias de otras son los conceptos primi-tivos que se admiten en la fundamentacion de cada una. Por eso las separacionesentre las mismas no son algo estable y perenne, sino sujeto a nuestros avances enla aclaracion de los conceptos basicos de nuestro pensar. Avances que son los mo-

3Ahora estamos involucrados con la pregunta ¿Que es? y no con la pregunta por las causas;pero la finitud humana que se descubre es esencialmente la misma.


mentos estelares en la aventura del conocimiento humano, como afirma Heideggeren Ser y Tiempo:

“El verdadero movimiento de las ciencias es el de revision de los con-ceptos fundamentales,que puede ser mas o menos radical y ver a travesde sı mismo tambien mas o menos. El nivel de una ciencia se deter-mina por su capacidad para experimentar una crisis de sus conceptosfundamentales.”

Algo muy similar ocurre con las demostraciones. Cuando hacemos un razona-miento deductivo4 demostramos que cierta afirmacion B es consecuencia racionalde otra A, que la razon humana no puede comprender5 la falsedad de B si acep-ta la verdad de A. De este modo B queda reducido a A. Si nos proponemosdemostrar ciertas afirmaciones, de nuevo la finitud del espıritu humano exige laexistencia de algunas carentes de demostracion (los principios) a partir de lascuales demostramos las demas. En la demostracion de un enunciado B no puedeintervenir un enunciado previamente demostrado A si la demostracion de A se basoa su vez en B. Tampoco es admisible la utilizacion de un resultado en su mismademostracion: un teorema no puede darse por valido en su propia demostracion.

Todo lo anterior viene a decir que pretendemos seguir el metodo cartesiano:partiendo de los principios simples que nos sean mas claros y evidentes, soloaceptaremos las consecuencias que podamos derivar mediante deducciones rigu-rosas, formadas por sucesivos pasos absolutamente indudables. Formaremos parteası de la magna empresa que propuso Descartes en el Discurso del Metodo donde,a renglon seguido de enunciar las cuatro reglas del metodo, afirma:

“Esas largas series de trabadas razones muy plausibles y faciles, quelos geometras acostumbran emplear, para llegar a sus mas difıciles de-mostraciones, habıanme dado ocasion de imaginar que todas las cosas,de que el hombre puede adquirir conocimiento, se siguen unas a otrasen igual manera, y que, con solo abstenerse de admitir como verdaderauna que no lo sea y guardar siempre el orden necesario para deducirlasunas de otras, no puede haber ninguna, por lejos que se halle situadao por oculta que este, que no se llegue a alcanzar y descubrir.”

4El razonamiento analıtico o deductivo es el que pasa de una afirmacion a sus consecuen-cias mediante una argumentacion logica absolutamente indudable. Demuestra la verdad de unenunciado suponiendo la verdad de otros. Su forma arquetıpica es “Si A es cierto, entonces B escierto”, donde B es la tesis y A la hipotesis. Actualmente solo reciben el nombre de demostracionlas argumentaciones deductivas.

5Es verdaderamente increıble y consolador el hecho de que, a pesar de la multitud de experi-mentos que continuamente se realizan, nunca hayan podido observarse hechos reales con algunaconsecuencia racional que no lo sea. Cuando una teorıa fısica ha tenido alguna consecuencialogica erronea siempre se ha buscado cual de sus principios es falso; pues es inaceptable que sien-do validos sus principios no lo sea alguna consecuencia racional. Esta confianza, muchas vecesinconsciente y siempre maravillosa, la expresamos al decir que la realidad es racional, inteligibley humana.

1.1. CONJUNTO COCIENTE 7

Ahora debemos buscar, entre los conceptos que a diario usamos intuitivamente,los que nos serviran para fundamentar las Matematicas, y hemos de elegir los quesean mas claros, sencillos y seguros.

Actualmente las Matematicas se caracterizan por basarse en los conceptosprimitivos de numero natural (0,1,2,3,..., los numeros que usamos para con-tar) y de conjunto o familia de objetos (lo que puede ser contado). Partiendode ellos y de sus propiedades mas evidentes (es decir, de la aritmetica elementaly la teorıa de conjuntos) se definen todos los conceptos que ahora abarcan lasMatematicas y se demuestran sus teoremas, iniciando ası el cumplimiento de lafantastica afirmacion atribuida a Pitagoras (570?-496? a. de Cristo): Todo es unamusica de numeros. Es asombroso que todos los conceptos que se han incorporadoa las Matematicas (recta, distancia, angulo, dimension, punto, orientacion, cer-canıa, finitud, area, volumen, tiempo, velocidad, aceleracion, puntos imaginariosy del infinito, el calculo literal, las raıces, etc.) no sean mas que un entramadode los conceptos de numero natural y familia de cosas u objetos, y que todas laspropiedades conocidas sean consecuencias logicas de las propiedades mas sencillasy evidentes de estos conceptos primitivos. Es decir, para empezar rechazaremoslos demas conceptos (numeros negativos, fracciones, numeros imaginarios y todoslos conceptos geometricos: recta, area, dimension, etc.) hasta tanto no hayan po-dido definirse a partir de los numeros naturales, al igual que sus propiedades (pormas evidentes que parezcan) hasta que hayan sido deducidas de las propiedadeselementales de los numeros naturales. La empresa que ahora se despliega antecada uno de nosotros es la de volver a entrar, por la fuerza de la razon, en eseParaıso perdido que habitamos cuando eramos pequenos y con pasmosa seguridadnos movıamos entre semejanzas de triangulos. En este primer capıtulo iniciaremoseste proceso de reduccion del saber matematico a los numeros naturales y los con-juntos, proceso que se extendera a lo largo de toda la Licenciatura y, en general,de todo el quehacer matematico.

1.1 Conjunto Cociente

El primer concepto que analizaremos sera el de igualdad, que solemos represen-tar con el sımbolo =. A primera vista pudiera parecer que tal concepto noes problematico, que dos objetos son iguales cuando no se distinguen en na-da. No obstante, afirmamos que 1/2 = 2/4 a pesar de que ambas fraccionestienen numeradores distintos y ante la pregunta de si los numeros 10 y 9′999 . . .son iguales pueden surgir dudas: no tienen ninguna cifra comun y sin embargo9′999 . . . = 3(3′333 . . .) = 3(10/3) = 10. Ante preguntas de este tipo es frecuentedudar o buscar argumentos a favor o en contra de la igualdad en cuestion, sin darsecuenta de que la pregunta carece de sentido mientras no se diga explıcitamenteque debe entenderse por “igual”. Esta caıda en la cuenta de que la igualdad puededecirse de muchos modos, que no es algo dado, que ante un problema tenemos


libertad para elegir la nocion de igualdad y debemos aprender cuales estan mejoradaptadas a cada cuestion, es fundamental para librarse de muchas encerronasy preguntas sin sentido que han atenazado a la humanidad durante siglos y auntorturan a algunos.

Partiendo de la relacion de igualdad mas clara y segura, que es la de igualdadentre los elementos de un conjunto, vamos a estudiar las que puedan reducirsea ella. Si tenemos un conjunto X y fijamos libremente los elementos de X quequeremos considerar “iguales” (aunque en X no sean elementos iguales), nuestroproblema fundamental es saber si existe alguna aplicacion π de X en otro conjuntoque identifique las parejas prefijadas y solo ellas; es decir, que al pasar por π larelacion de “igualdad” fijada se transforme en la relacion de igualdad entre ele-mentos de un mismo conjunto, que conceptualmente es la mas evidente. Veremosque la libertad para fijar tales parejas en X, siendo grande, no es arbitraria, estasometida a ciertas condiciones. Nuestro objetivo es precisamente hallar condicionesnecesarias y suficientes para la existencia de tal aplicacion π.

Definicion: Llamaremos relacion en un conjunto X a todo subconjunto delproducto directo X × X. Dada una relacion R ⊆ X × X en un conjunto X,diremos que dos elementos x, y de X estan relacionados segun R si la pareja(x, y) esta en R, y en tal caso escribiremos xRy.

Definicion: Diremos que una relacion ≡ en un conjunto X es una relacion deequivalencia si tiene las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: x ≡ x para todo x ∈ X.2. Simetrica: Sean x, y ∈ X. Si x ≡ y, entonces y ≡ x.3. Transitiva: Sean x, y, z ∈ X. Si x ≡ y e y ≡ z, entonces x ≡ z.

Toda aplicacion f : X → Y define en el conjunto X una relacion

x ≡ x′ precisamente cuando f(x) = f(x′)

que es una relacion de equivalencia en X:

1. Si x ∈ X, entonces x ≡ x porque f(x) = f(x).

2. Sean x, x′ ∈ X. Si x ≡ x′, entonces f(x) = f(x′); luego f(x′) = f(x) yconcluimos que x′ ≡ x.

3. Sean x, x′, x′′ ∈ X. Si x ≡ x′ y x′ ≡ x′′, entonces f(x) = f(x′) y f(x′) =f(x′′); luego f(x) = f(x′′) y concluimos que x ≡ x′′.

Dada una relacion R en un conjunto X, nuestro proposito es averiguar si pode-mos identificar los elementos relacionados por R y solo ellos; es decir, si existealguna aplicacion f de X en otro conjunto tal que:

xRx′ ⇔ f(x) = f(x′)

1.1. CONJUNTO COCIENTE 9

Es decir, si R es la relacion definida en X por alguna aplicacion f : X → Y .Cuando R no es una relacion de equivalencia, acabamos de ver que tal cosa noes posible. La construccion central de este capıtulo probara que la respuesta esafirmativa para todas las relaciones de equivalencia: Las propiedades reflexiva,simetrica y transitiva caracterizan las relaciones definidas por aplicaciones, son lascondiciones necesarias y suficientes para que exista una aplicacion que identifiqueexactamente los elementos relacionados.

Definicion: Dada una relacion de equivalencia ≡ en un conjunto X, llamaremosclase de equivalencia, respecto de ≡, de un elemento x de X al subconjunto deX formado por todos los elementos equivalentes con x.

La clase de equivalencia de un elemento x suele denotarse x o [x]:

[x] := y ∈ X : x ≡ yDiremos que un subconjunto C de X es una clase de equivalencia de la

relacion ≡ si es la clase de equivalencia de algun elemento de X; es decir, si existealgun elemento x de X tal que [x] = C. Llamaremos conjunto cociente de X por≡ al conjunto de todas las clases de equivalencia de ≡ , y lo denotaremos X/≡ .La aplicacion π de X en el conjunto cociente X/≡

π : X −→ X/≡ ; π(x) = [x]

que transforma cada elemento x de X en su clase de equivalencia x se llamaraaplicacion de paso al cociente o proyeccion canonica6 o estructural, pararesaltar que pertenece a la estructura misma de lo que estamos estudiando.

Teorema 1.1.1 Si ≡ es una relacion de equivalencia en un conjunto X, la proyec-cion canonica π : X → X/≡ , π(x) = [x] , y se verifica que7

x ≡ y ⇔ π(x) = π(y) .

6El adjetivo canonico se usa en matematicas para indicar que algo es natural, como debe ser eindependiente de elecciones arbitrarias, que es absoluto e intrınseco, que no depende de un sistemade coordenadas, que pertenece a la estructura propia de lo que estudiamos. Decir de algo que escanonico significa que no es arbitrario, que todos coincidimos en ello si lo miramos con atencion.Aunque siempre se use en sentido impreciso, es un concepto central en matematicas, ciencia queaspira a desentranar con rigor lo que se entiende por canonico y a sacar la luz todo lo que escanonico. Algunos sinonimos, mas o menos lejanos, son: natural, universal, absoluto, intrınseco,general, estructural, independiente; y algunos antonimos son: relativo, arbitrario, particular,usual, ingenioso, por costumbre o convenio. En definitiva, en matematicas lo canonico es allıdonde con mas claridad percibimos el rastro de Dios, Su aroma.

7Nunca utilizaremos que los elementos del conjunto cociente X/ ≡ son las clases de equi-valencia de ≡, solo que tenemos definida una aplicacion de X en X/≡ con las dos propiedadessiguientes. Cualquier otro conjunto Y con una aplicacion X → Y que tenga esas dos propiedadespuede reemplazar a X/ ≡ y ser considerado como cociente de X por la relacion ≡ ; pero ladefinicion anterior muestra que tal conjunto puede darse a la vez para todas las relaciones deequivalencia sin tener que recurrir a una construccion “ad hoc” en cada caso particular.


Demostracion: π es epiyectiva porque, por definicion, todo elemento de X/≡ esla clase de algun elemento de X.

En cuanto a la otra propiedad, si x ≡ y, al ser reflexiva la relacion, para probarque [x] = [y] bastara ver que [y] ⊆ [x]. Ahora bien, si z ∈ [y], entonces y ≡ z;luego x ≡ z y z ∈ [x].

Recıprocamente, si [x] = [y], como y ∈ [y], tenemos que y ∈ [x];i.e., x ≡ y.

Corolario 1.1.2 Sea ≡ una relacion de equivalencia en un conjunto X. Cadaelemento de X pertenece a una unica clase de equivalencia de la relacion ≡ .

Demostracion: Si x es un elemento de X, entonces [x] es una clase de equiva-lencia de ≡ que contiene a x, porque x ≡ x. Ademas, si x esta en otra clase deequivalencia [y], entonces y ≡ x, de modo que [y] = [x].

1.2 Relaciones de Orden

Definicion: Diremos que una relacion ≤ en un conjunto X es una relacion deorden si tiene las propiedades reflexiva (x ≤ x para todo x ∈ X) antisimetrica(si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y) y transitiva (si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z).

Diremos que una relacion de orden ≤ en un conjunto X es total cuando x ≤ yo y ≤ x para todo par x, y ∈X.

Diremos que un elemento x de un conjunto ordenado (X,≤) es maximal siverifica que x ≤ y ⇒ x = y. Diremos que es minimal cuando y ≤ x ⇒ y = x.Diremos que x es el primer elemento de X si x ≤ y para todo y ∈ X, y diremosque es el ultimo elemento si y ≤ x para todo y ∈X. El primer y ultimo elemento,si existen, son unicos. Se dice que (X,≤) es un conjunto bien ordenado cuandotodo subconjunto no vacıo de X, con la ordenacion inducida por ≤, tenga primerelemento.

Principio de Induccion Completa

El principio de induccion afirma que, para concluir que todos los numerosnaturales mayores o iguales que un numero natural dado r tienen cierta propiedadP , basta probar las dos afirmaciones siguientes:

1. El numero r tiene la propiedad P .

2. Sea n un numero natural mayor que r. Si todos los numeros naturales entrer y n− 1 tienen la propiedad P , entonces n tambien la tiene.

El principio de induccion es una afirmacion sobre los numeros naturales que esevidentemente cierta (ante la consideracion atenta de su sentido nos es imposible

1.3. NUMEROS ENTEROS 11

dudar de su veracidad), por lo que lo incluimos entre las propiedades de los numerosnaturales que utilizaremos en la fundamentacion de las Matematicas8.

Lema de Zorn

Sea Y un subconjunto de un conjunto ordenado (X,≤). Diremos que x ∈ X es unacota superior (respectivamente inferior) de Y si y ≤ x (respectivamente x ≤ y)para todo y ∈Y. Diremos que Y es una cadena si, con la ordenacion inducida, Yes un conjunto totalmente ordenado.

Entre las propiedades de los conjuntos que admitiremos para fundamentar lasMatematicas se encuentra la siguiente9:

Lema de Zorn (1906-1993): Sea (X,≤) un conjunto ordenado no vacıo. Si todacadena de X admite una cota superior, entonces X tiene algun elemento maximal.

1.3 Numeros Enteros

Sea N = 0, 1, 2, 3, . . . el conjunto de los numeros naturales.En el producto directo N× N definimos la relacion

(m,n) ≡ (m′, n′) ⇔ m + n′ = m′ + n

y es una relacion de equivalencia en N×N. El conjunto de los numeros enterosZ se define10 como el conjunto cociente de N × N por la anterior relacion deequivalencia ≡ y, si π : N × N → Z es la proyeccion canonica, pondremos m − nen lugar de π(m,n) y diremos que es la diferencia de m y n.

De acuerdo con el teorema 1.1.1, tenemos que

1. Todo numero entero b es diferencia de dos numeros naturales; es decir, b =m− n para alguna pareja (m,n) de numeros naturales.

8Las primeras veces que se utilice este principio puede presentar alguna dificultad, porque suestructura logica es algo complicada y puede inducir a error. Es un buen ejercicio comprobar quees equivalente a algunas afirmaciones mas claras, como la ordenacion de los numeros naturaleses un buen orden o incluso en toda familia finita y no vacıa de numeros naturales hay uno quees el primero.

9Dijimos que nos basarıamos unicamente en las propiedades sencillas y claras de los numerosnaturales y los conjuntos; pero el lema de Zorn no puede considerarse en modo alguno comoevidente. Puede probarse que es equivalente al axioma de eleccion (el producto directo decualquier familia, finita o no, de conjuntos no vacıos tiene algun elemento) y al principio delbuen orden (todo conjunto admite una buena ordenacion). Mas que su verdad o falsedad, loque no es nada claro es su sentido para conjuntos infinitos (o, al menos, no numerables). Esto,unido al hecho de que nunca importe el conjunto que tengamos sino la estructura que soporte,hace que en la fundamentacion de las Matematicas la teorıa de conjuntos tenga un papel muchomas insatisfactorio (y esperemos que provisional) que los numeros naturales.

10Primero definimos el conjunto Z, luego los numeros enteros como elementos de tal conjunto.


2. m− n = m′ − n′ precisamente cuando m + n′ = m′ + n .

Cada numero natural n define un numero entero

π(n, 0) = n− 0

que tambien denotaremos n. Obtenemos ası una aplicacion inyectiva canonicaN→ Z, que nos permite identificar N con un subconjunto de Z.

Si a y b son dos numeros enteros, existen numeros naturales m,n, r, s tales quea = m− n, b = r − s, y definimos su suma y su producto del siguiente modo:

a + b := (m + r)− (n + s)a · b := (mr + ns)− (nr + ms)

y diremos que a ≤ b cuando m+s sea menor o igual que r+n. Los numeros enterosmayores que 0 se llaman positivos y los menores que 0 se llaman negativos.

Hemos probar que estas definiciones no dependen de los numeros m,n, r, selegidos. Si a = m′ − n′, entonces m + n′ = m′ + n y

m + n′ + r + s = m′ + n + r + s

(m + r)− (n + s) = (m′ + r)− (n′ + s)

ası que la suma a + b es un numero entero que no depende de los representantesm,n, r, s elegidos. Por otra parte tenemos que

mr + n′r = m′r + nr , m′s + ns = ms + n′s

mr + n′r + m′s + ns = m′r + nr + ms + n′s

(mr + ns)− (nr + ms) = (m′r + n′s)− (n′r + m′s)

y concluimos que el producto a · b no depende de los representantes elegidos.Por ultimo, si b = r′ − s′ para otros numeros naturales r′, s′, tenemos que

m + s ≤ n + r ⇔ m + s + m′ + s′ ≤ n + r + m′ + s′ == m + n′ + r′ + s ⇔ m′ + s′ ≤ n′ + r′

ası que la relacion a ≤ b tampoco depende de los representantes elegidos.

De las definiciones anteriores y de las propiedades de los numeros naturales sededuce facilmente que la suma y el producto de numeros enteros son operacionesasociativas y conmutativas, que el producto distribuye respecto de la suma, que larelacion ≤ es una ordenacion total de Z, las igualdades

0 + a = a , 1 · a = a

1.3. NUMEROS ENTEROS 13

y las otras propiedades usuales.La suma, el producto y la ordenacion de numeros enteros coinciden en N con

la suma, el producto y la ordenacion de numeros naturales. Por otra parte, paracada numero entero b existe un unico numero entero, que llamaremos opuestode b y denotaremos −b, cuya suma con b es 0. En efecto, si b = m − n, entoncesb+(n−m) = 0, lo que prueba la existencia del opuesto y, en cuanto a la unicidad,si b + a = 0 y b + c = 0, entonces a = (c + b) + a = c + (b + a) = c. En general, sia, b ∈ Z, diremos que a− b := a + (−b) es la diferencia de a y b.

Esta construccion de los numeros enteros a partir de los numeros naturales re-duce cada enunciado sobre los numeros enteros a un enunciado equivalente sobrelos numeros naturales. La teorıa de numeros enteros es solo una parte, una conse-cuencia logica, de la teorıa de numeros naturales. Si los numeros naturales estanlibres de contradiccion, tambien los numeros enteros estan libres de contradiccion.

Proposicion 1.3.1 El conjunto de los numeros enteros es la union disjunta de Ncon el conjunto de los opuestos de los numeros naturales no nulos:

Z = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .

Demostracion: Si b ∈ Z, entonces existen m,n ∈ N tales que b = m− n.Si n ≤ m, existe r ∈ N tal que m = n + r; luego b = m − n = r − 0 es un

numero natural.Si m < n, entonces n = m+r para algun numero natural no nulo r, y b = m−n

es el opuesto de r = n−m.Por ultimo, la union es disjunta porque si la suma de dos numeros naturales

es nula, ambos sumandos son nulos.

Este resultado permite definir el valor absoluto |b| de un numero enterob como el maximo de b y −b, que siempre es un numero natural, y demostrarfacilmente las siguientes propiedades:

ab = 1 ⇒ a = ±1 y b = ±1ab = 0 ⇒ a = 0 o b = 0 .

Esta ultima muestra la legitimidad de la simplificacion: ab = ac, a 6= 0 ⇒ b = c.

Teorema de Division: Sea d un numero entero no nulo. Para cada numeroentero b existe una unica pareja de numeros enteros c, r (llamados cociente yresto de la division de b por d) tal que:

b = c · d + r , 0 ≤ r < |d|


Demostracion: Veamos primero la existencia de tal pareja c, r. El conjunto denumeros naturales

R = n ∈ N : n = b + sd para algun s ∈ Zno es vacıo (por ejemplo b + (b2d)d esta en R), ası que tiene un primer elementor. Por definicion r ≥ 0 y existe s ∈ Z tal que r = b + sd; luego b = (−s)d + r. Sir ≥ |d|, entonces r − |d| = b + (s± 1)d esta en R y es estrictamente menor que r,en contra de la eleccion de r. Luego r < |d| .

Veamos ahora la unicidad del cociente y el resto. Si c′, r′ son otros numerosenteros tales que b = c′d + r′ y 0 ≤ r′ < |d|, podemos suponer que r ≤ r′, en cuyocaso r′ − r = (c− c′)d es un multiplo no negativo de |d| menor que |d| y se sigueque r′ − r = 0 y cd = c′d. Como d no es nulo, concluimos que r′ = r y c′ = c.

Congruencias modulo un numero natural: Sea n un numero natural. Dire-mos que dos numeros enteros a, b son congruentes modulo n cuando su diferenciab − a sea un multiplo de n (es decir, b − a = cn para algun numero entero c) encuyo caso pondremos

a ≡ b (mod. n)

La relacion de congruencia modulo n es una relacion de equivalencia en elconjunto de los numeros enteros y es compatible con la suma y el producto en elsiguiente sentido:

Si a ≡ a′ y b ≡ b′ (mod. n), entonces a + b ≡ a′ + b′ y ab ≡ a′b′ (mod. n)

Los multiplos de n son exactamente los numeros enteros congruentes con 0modulo n, ası que esta relacion de equivalencia es util para estudiar la divisibilidadpor n.

Corolario 1.3.2 Sea n ≥ 2 un numero natural. La condicion necesaria y sufi-ciente para que dos numeros enteros sean congruentes modulo n es que tengan elmismo resto al dividir por n.

Por tanto, la correspondiente clase de equivalencia [a]n de cualquier numeroentero a esta formada por los numeros enteros que al dividir por n tienen igualresto que a, y el conjunto cociente de Z por la relacion de congruencia modulo ntiene exactamente n elementos, que son

[0]n, [1]n, . . . , [n− 1]n

Demostracion: Sean a, b dos numeros enteros y a = cn + r, b = c′n + r′ susrespectivas divisiones por n.

Veamos primero la necesidad de la condicion. Si a ≡ b (mod. n), entoncesb− a = dn para algun numero entero d. Luego

b = dn + a = (d + c)n + r

1.4. NUMEROS RACIONALES 15

y, de la unicidad del resto de la division por n, se deduce que r = r′.Veamos ahora que la condicion es suficiente. Si r = r′, entonces

b− a = c′n + r′ − cn− r = (c′ − c)n

y concluimos que a ≡ b (mod. n).En consecuencia, cada clase de equivalencia [a]n esta formada por todos los

numeros enteros que tengan igual resto que a al dividir por n (por lo que sueledecirse que [a]n es la clase de restos de a modulo n). Como los posibles restosde la division de un numero entero por n son 0, 1, . . . , n−1; concluimos que talesclases de equivalencia son [0]n, [1]n, . . . , [n− 1]n.

1.4 Numeros Racionales

Sea S el conjunto de los numeros enteros no nulos. En el producto directo Z× Sdefinimos la relacion

(a, s) ≡ (b, t) ⇔ at = bs

y es una relacion de equivalencia en Z×S. Definimos el conjuntoQ de los numerosracionales como el conjunto cociente de Z× S por la anterior relacion de equiv-alencia ≡ . Sea π : Z× S → Q la proyeccion canonica. Pondremos a/s en vez deπ(a, s) y diremos que es el cociente de los numeros enteros a, s. De acuerdo con1.1.1, tenemos que:

1. Todo numero racional es el cociente de dos numeros enteros.

2. a/s = b/t precisamente cuando at = bs.

Cada numero entero b define un numero racional π(b, 1) = b/1 que tambiendenotaremos b. Obtenemos ası una aplicacion inyectiva canonica Z → Q que nospermite identificar Z con un subconjunto de Q.

Si q, r son dos numeros racionales, existen numeros enteros a, s, b, t tales queq = a/s y r = b/t, y definimos su suma y su producto como sigue:

q + r :=at + bs

st

q · r :=ab

st

Estas definiciones no dependen de los representantes a, s, b, t elegidos; pues siq = a′/s′, entonces as′ = a′s y concluimos que

ats′t = a′tst ; luego (at + bs)s′t = (a′t + bs′)stabs′t = a′bst


De las definiciones anteriores y de las propiedades de los numeros enteros sededucen sin dificultad las propiedades usuales de la suma y el producto de numerosracionales.

Diremos que un numero racional q = a/s es positivo cuando as > 0 y diremosque q < r cuando r − q sea positivo. La aplicacion inyectiva canonica Z → Qconserva sumas, productos y la ordenacion.

Si q es un numero racional no nulo, existe un unico numero racional cuyoproducto con q es 1; tal numero se denotara 1/q o q−1 y diremos que es el inversode q. En efecto, si q = a/s no es nulo, entonces a 6= 0 y q(s/a) = 1. Ademas,si qu = 1 y qv = 1, entonces u = u(qv) = (uq)v = v. En general, llamaremoscociente de dos numeros racionales q, r 6= 0 al numero racional q/r = q · r−1.

Esta construccion de los numeros racionales a partir de los numeros enterosreduce los enunciados sobre numeros racionales a enunciados equivalentes sobrenumeros enteros y, por tanto, a enunciados sobre numeros naturales. La teorıade numeros racionales solo es una parte de la teorıa de numeros naturales. Silos numeros naturales no tienen contradicciones, tambien los numeros racionalesestaran libres de contradiccion.

Igualmente, la construccion de los numeros reales que se hace en el curso deAnalisis y la que, a continuacion, daremos para los numeros complejos, reducenlos enunciados sobre numeros reales y complejos a enunciados equivalentes sobrenumeros naturales.

1.5 Numeros Complejos

En el curso de Analisis se construye el conjunto de los numeros reales R como elconjunto cociente de las sucesiones de Cauchy (1789-1857) de numeros racionales11

por la siguiente relacion de equivalencia:

(an) ≡ (bn) ⇔ la sucesion bn − an converge a cero

se definen la suma, el producto de numeros reales y una ordenacion total de R,y se prueban sus propiedades fundamentales. Cada numero racional q define unnumero real π(q, q, . . .), que se denota tambien q, obteniendose ası una aplicacioninyectiva canonica Q→ R que conserva las sumas, los productos y la ordenacion,y que nos permite identificar Q con un subconjunto de R. Sea c un numero real ysea n un numero natural no nulo. En el curso de Analisis se probara que, cuando

11Aunque admitamos numeros reales definidos por sucesiones arbitrarias de numeros racionales,es obvio que solo las que puedan definirse en un numero finito de pasos (incluyendo recurrencias)intervienen en las definiciones, enunciados y demostraciones. Algun dıa esta diferencia crucialentre numeros reales definibles y numeros reales fantasmagoricos sera un pilar fundamental delas Matematicas; pero, hasta que llegue, admitiremos sucesiones cualesquiera.

1.5. NUMEROS COMPLEJOS 17

c no es negativo, existe un unico numero real no negativo cuya potencia n-esimaes c, numero real que denotaremos n

√c .

El conjunto C de los numeros complejos es el conjunto de pares ordenadosde numeros reales a + bi, a, b ∈ R, que se suman y multiplican del siguientemodo:

(a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i(a + bi) · (c + di) := (ac− bd) + (ad + bc)i

A partir de estas definiciones y de las propiedades de la suma y el producto denumeros reales, es inmediato comprobar que tanto la suma como el producto denumeros complejos son operaciones asociativas y conmutativas, y que el productodistribuye respecto de la suma.

Cada numero real x define un numero complejo x+0i que tambien denotaremosx. Obtenemos ası una aplicacion inyectiva canonica R→ C que conserva las sumasy productos, y que permite identificar R con un subconjunto de C.

Sea z = a + bi un numero complejo. Diremos que los numeros reales a y b sonla parte real e imaginaria de z respectivamente, que z = a − bi es el numerocomplejo conjugado de z y que el numero real no negativo

|z| =√

z · z =√

a2 + b2

es el modulo de z. Llamaremos distancia entre dos numeros complejos al modulode su diferencia. Se verifica que:

z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2 , z = z , |z| = |z||z1 · z2| = |z1| · |z2| , |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| , |z| = 0 ⇔ z = 0

y si un numero complejo z no es nulo, existe un unico numero complejo cuyoproducto con z es 1. Tal numero es z/ |z|2 y se denotara 1/z o z−1.

Exponencial Compleja

En el curso de Analisis se definiran las funciones trigonometricas seno y coseno(en radianes) y para cada numero complejo a + bi pondremos

ea+bi := ea(cos b + isen b) .

De las propiedades de las funciones trigonometricas se sigue

e2πi = 1

ez+z′ = ez · ez′

ez = ez′ ⇔ z′ = z + 2πki para algun k ∈ Z


y que para cada numero complejo z de modulo ρ 6= 0 existe un numero real θ talque

z = ρ(cos θ + i · sen θ) = ρeiθ

bi - • z = a + bi

ρ

θ

a0

• z = a− bi

Este numero real θ esta bien definido salvo multiplos enteros de 2π y se llamaargumento de z (medido en radianes). El producto de dos numeros complejosno nulos z = ρeiθ y z′ = ρ′eiθ′ es

z · z′ = ρeiθρ′eiθ′ = (ρρ′)ei(θ+θ′)

ası que el argumento del producto de numeros complejos es la suma de los argu-mentos:

arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)

El angulo (medido en radianes) determinado por dos numeros complejos nonulos z1, z2 se define como el argumento de su cociente z2/z1.

Raıces de la Unidad

Sea n un numero natural no nulo y sea z un numero complejo. Si u es un numerocomplejo tal que un = z, diremos que u es una raız n-esima compleja de z. Porejemplo, una raız n-esima de z = ρeiθ es claramente n

√ρ eiθ/n. En particular una

raız n-esima de la unidad 1 = e2πi es el numero complejo

e2πin = cos 2π

n + i sen 2πn

de modulo 1 y argumento 2π/n, al igual que sus potencias e2πin k, k ∈ Z.

Teorema 1.5.1 Sea n un numero natural no nulo. Hay exactamente n raıcesn-esimas complejas de la unidad, que son

e2πin r = cos 2πr

n + i sen 2πrn , 0 ≤ r ≤ n− 1

1.5. NUMEROS COMPLEJOS 19

Demostracion: Si u = ρeiθ es una raız n-esima de la unidad, la condicion un = 1equivale a que ρn = 1 y nθ = 2πm para algun m ∈ Z. Es decir, ρ = 1 y θ = 2πm/n.Dividiendo m por n obtenemos que

θ =2πm

n=

2π(cn + r)n

= 2πc +2πr

n; 0 ≤ r < n , c ∈ Z

y concluimos que u = ei(2πc+ 2πrn ) = e

2πin r, 0 ≤ r < n. En resumen, las raıces

n-esimas de la unidad son exactamente:

1 = e2πin 0, e

2πin , e

2πin 2 , . . . . . . , e

2πin (n−1)

Teorema 1.5.2 Todo numero complejo no nulo tiene exactamente n raıces n-esimas complejas, y se obtienen multiplicando una cualquiera de ellas por las raıcesn-esimas de la unidad.

Demostracion: Todo numero complejo no nulo z = ρeiθ tiene alguna raız n-esimaα = n

√ρ eiθ/n. Si β fuera otra raız n-esima de z, entonces βn = z y

(β

α

)n

=βn

z=

z

z= 1 ;

β

α= e

2πin r , 0 ≤ r < n

Luego z tiene exactamente n raıces n-esimas, que son

α , e2πin α , e

2πin 2α , . . . , e

2πin (n−1)α

Corolario 1.5.3 Sea z = ρeiθ un numero complejo no nulo. Las raıces n-esimascomplejas de z son los vertices de un polıgono regular de n lados inscrito en elcırculo de radio n

√ρ centrado en el 0:

n√

ρ(ei θ+2πr

n

); 0 ≤ r < n

Definicion: Diremos que una raız n-esima de la unidad e2πin k es primitiva si

todas las raıces n-esimas de la unidad complejas son potencias suyas con exponenteentero, para lo cual basta que lo sea e

2πin de acuerdo con 1.5.1.

Proposicion 1.5.4 Sea u = e2πin k una raız n-esima de la unidad. Las siguientes

condiciones son equivalentes:1. u es una raız n-esima de la unidad primitiva.2. La primera potencia de u que es la unidad es un; es decir, ur 6= 1 para todo

numero natural 1 ≤ r < n.3. Todas las potencias u, u2, . . . , un son distintas entre sı.4. Existe algun a ∈ Z tal que ak ≡ 1 (modulo n).


Demostracion: (1 ⇒ 2) Si ur = 1 para algun exponente 1 ≤ r < n, entonces todaslas potencias de u son raıces r-esimas de la unidad: (um)r = (ur)m = 1. Delteorema 1.5.1 se sigue que las potencias de u no pueden ser las n raıces n-esimasde la unidad.

(2 ⇒ 3) Si ui = uj para algunos exponentes 1 ≤ i < j ≤ n, entonces uj−i = 1y 1 ≤ j − i < n.

(3 ⇒ 4) Como todas las potencias u, . . . , un son raıces n-esimas de la unidad, yson distintas por hipotesis, del teorema 1.5.1 se sigue que son todas raıces n-esimasde la unidad. Luego para algun exponente 1 ≤ a ≤ n tendremos

e2πin =

(e

2πin k

)a

= e2πin ak .

Luego eak−1

n 2πi = 1 y concluimos que ak−1n ∈ Z; i.e., ak ≡ 1 (mod. n).

(4 ⇒ 1) Si existen numeros enteros a, c tales que ak = 1 + cn, entonces(e

2πin k

)ra

= e2πin rak = e

2πin (r+rcn) = e

2πin r

para todo r ∈ Z. Luego e2πin k es una raız n-esima de la unidad primitiva.

Capıtulo 2

Grupos

En el Capıtulo anterior hemos comenzado a desarrollar las Matematicas partiendodel proceso mas humilde: el de contar. Este camino se inicio hace muchos siglos enla India, nos fue transmitido por los arabes y culmina con el Calculo Infinitesimaldescubierto por Leibnitz (1646-1716). Sus exponentes mas logrados son la teorıade funciones de variable compleja y la de ecuaciones en derivadas parciales. Conmas o menos rigor, tambien es este el camino que hemos seguido desde nuestrainfancia. Sin embargo, cuando la Geometrıa irrumpe luminosamente en Grecia, nolo hace en tal direccion. Parece ineludible que el espıritu humano habla sin definirlas palabras que utiliza o, si opta por definirlas, solo tiene dos posibilidades: caeren cırculos viciosos (como ocurre en todos los diccionarios) o reducir todos susconceptos a unos conceptos primitivos que por el momento carezcan de definicion.Posteriormente, tras la consideracion atenta de los mismos, tal vez pueda definirlosa partir de otros mas fundamentales todavıa; pero estos pasarıan a ocupar su lugary siempre habrıa un primer peldano surgiendo de la oscuridad. El genio griegosupero en parte esta situacion cayendo en la cuenta de que es crucial explicitar lasrelaciones mutuas entre los conceptos primitivos de cada teorıa. Ası, alcanzaron adesarrollar toda la geometrıa plana conocida en su epoca a partir de unos conceptos(punto, recta, cırculo, angulo...) y de los cinco postulados de Euclides:

1. Por dos puntos pasa una unica recta.

2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.

3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un cırculo.

4. Todos los angulos rectos son iguales.

5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los angulos internos auna misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadasindefinidamente se encontraran de la parte en que los dos angulos sonmenores que dos rectos.

21

22 CAPITULO 2. GRUPOS

Importa mucho resaltar que las consecuencias logicas de estos axiomas sonvalidas cualquiera que sea la naturaleza de los conceptos, con tal de que veri-fiquen todos los axiomas impuestos. Los conceptos primitivos de la Geometrıaplana quedan definidos por los axiomas: son aquellos que verifiquen los axiomasimpuestos. Este punto de vista no se libera de la limitacion que hemos indicadoal principio, pues en el enunciado de los axiomas han de intervenir conceptos, quepreviamente deben ser definidos... Actualmente (pero no en la Grecia clasica, comose percibe claramente al leer los 5 postulados anteriores) al establecer los axiomasde una teorıa solo admitiremos conceptos que hayan sido definidos previamente apartir de los numeros naturales y los conjuntos.

Este punto de vista griego es crucial por dos razones fundamentales:

Principalmente porque nos permite introducir en cada rama de las Matemati-cas los conceptos mas apropiados, aunque no procedan del desarrollo sistematicodel concepto de numero (que frecuentemente no es lo mas adecuado). Es decir,permite definir conceptos tan sutiles como el de espacio, que en el ejemplo anteriorserıa la estructura definida por los axiomas de la Geometrıa euclıdea.

En segundo lugar, porque las consecuencias logicas de los axiomas son validaspara cualquier teorıa que los verifique, no solo para aquella que nos haya llevado aestablecerlos. Es decir, la consideracion atenta y paciente de cierta estructura quetengamos “a la vista” nos lleva a desentranar las relaciones basicas que la funda-mentan y que explicitamos en forma de axiomas; pero, una vez establecidos, pode-mos estudiar sus consecuencias logicas, que obviamente seran ciertas en cualquierotra estructura que cumpla tales axiomas, y estas pueden ser muy diferentes de laque tenıamos “ante los ojos”. Por ejemplo, una vez establecidos los axiomas de laGeometrıa euclıdea, deberemos entender que sus puntos, rectas, planos, etc., soncualesquiera objetos que esten dotados de relaciones que verifiquen tales axiomasy Hilbert (1862-1943) observo que los puntos de una geometrıa euclıdea puedenser objetos sorprendentemente distintos de los que pudieramos esperar: muchasfunciones verifican, con una adecuada definicion de la incidencia y la perpendicu-laridad, los axiomas de la Geometrıa euclıdea, de modo que en tales espacios defunciones son validos todos los teoremas clasicos de geometrıa. Esta observacionde que muchas funciones son los puntos de una geometrıa euclıdea no es una meracuriosidad, sino que es el punto de arranque del Analisis Funcional y desde princi-pios del siglo XX ha intervenido de una forma u otra en todos los desarrollos delAnalisis y la Mecanica Cuantica (donde los estados de un sistema son los puntosde una geometrıa euclıdea, con la salvedad de que los escalares son los numeroscomplejos y no los reales). Resumiendo, en muchos conjuntos hay definidas rela-ciones que satisfacen los axiomas de la Geometrıa euclıdea, de modo que en ellostambien hay triangulos, parabolas, etc., y se verifican todos los teoremas de laGeometrıa clasica. Este es un ejemplo muy claro de la teorıa aristotelica de lamateria y la forma, donde la materia son los elementos de los conjuntos involucra-dos y la forma viene dada por unas relaciones limitadas por ciertos axiomas. La

23

forma es la estructura y, contra nuestra inveterada tendencia a cosificar y mirarsolo la materia, conviene reiterar el descubrimiento platonico de que la forma eslo que importa. En Matematicas los conjuntos representan ese resto de materiaque es tan difıcil eliminar; pero trataremos de aprehender esa verdad de que laestructura solo es la forma1 definiendo con precision el concepto de iso-morfismoe imponiendonos la exigencia de hablar siempre salvo isomorfismos.

Ciertos conceptos, como el de punto o el de espacio en Geometrıa, no se re-ducen a otros conceptos previos, sino que apuntan directamente a la estructura(por eso son tan cercanos, sutiles y escurridizos cuando se intentan analizar) ydeben definirse por el hecho de estar en determinado ambiente, de existir dentrode una estructura dada por ciertos axiomas. Los conceptos fundamentales presupo-nen una estructura previa en la que adquieren su sentido2. Incluso pueden tenervarios sentidos distintos si la estructura en cuestion admitiera varias posibilidadesno isomorfas, que es lo usual. Esta vision de los griegos abre un nuevo caminoque exige, en cada rama de la Filosofıa (geometrıa, gramatica, etica, mecanica,economıa, musica, etc.) la aclaracion previa de las hipotesis o axiomas que de-terminan la estructura subyacente, del ambito que confiere su sentido a todos losconceptos y afirmaciones de la teorıa en cuestion.

La cultura griega alcanzo a aplicar el metodo axiomatico a la geometrıa, enlos famosos Elementos de Euclides (325?-265? a. de Cristo), y a la estatica,en el libro Del equilibrio de los planos de Arquımedes (287-212 a. de Cristo).Desde el declive de la Filosofıa griega, ninguna otra cultura volvio a vivir estaexigencia de exposicion axiomatica de todos los ambitos del conocimiento, y lasMatematicas siguieron el camino de desarrollar sistematicamente el concepto denumero, aplicandolo a todas sus ramas. En el siglo XVII, Descartes (1596-1650)retoma la vision griega y plantea el “metodo geometrico” como exigencia de todosaber humano verdadero, dando ejemplos de su utilizacion del metodo en los tresapendices Dioptrica, Meteoros y Geometrıa de su Discurso del metodo de 1637.El mejor fruto de los esfuerzos de los filosofos racionalistas por dar cumplimiento

1La estructura en sı misma, sin ningun soporte material que nos la muestre, la llamaba Platon(427-347 a. de Cristo) idea y afirmaba que las cosas multiples caen en el campo de los sentidosy no en el del entendimiento; y, en cambio, las ideas son percibidas por el entendimiento, perono vistas. Un dıa que Antıstenes le comento que habıa visto muchos caballos pero nunca la“caballeidad”, Platon le respondio que eso se debıa a que siempre miraba con los ojos y nuncacon la inteligencia. Ese dıa Atenas vivio una explosion mayor que la de una bomba nuclear, yahora tu y yo estamos sufriendo todavıa la sacudida de su onda expansiva.

2Esto ocurre con casi todos los conceptos importantes de la Ciencia. El razonamiento quepasa de los conceptos a lo que en ellos esta implıcito, de las consecuencias a sus principios,que desentrana las estructuras subyacentes en nuestro pensamiento, que responde a la pregunta¿Que decimos cuando decimos que ...?, recibe el nombre de razonamiento dialectico y es muchomas humilde, pasivo, femenino y silencioso que el razonamiento deductivo. Sin duda tambien esmucho mas importante. Por desgracia, hoy en dıa hay un acuerdo tacito y universal de que enlos textos matematicos formales y acabados solo deben aparecer los razonamientos deductivos,las demostraciones.


a la vision cartesiana es el desarrollo axiomatico de la Mecanica expuesto porNewton (1642-1727) en sus Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687.Descartes considera incluso el desarrollo de cada ciencia a partir de unos principiospropios como una situacion incompleta que nos invita a considerar atentamentetales principios y reducirlos a otros mas generales, claros y simples; aspirando ası ala unificacion de todo el saber humano absolutamente cierto, que deberıa obtenersede un unico punto de partida:

“Si alguna de las cosas de que hablo al principio de la Dioptrica ode los Meteoros producen extraneza, porque las llamo suposiciones yno parezco dispuesto a probarlas, ...... . Y si las he llamado suposi-ciones, es para que se sepa que pienso poder deducirlas de las primerasverdades que he explicado en este discurso; ...”

Las sucesivas aclaraciones de los principios de una ciencia son sus mejoresmomentos, sus grandes avances.

En el caso de la Geometrıa, la exigencia cartesiana de revision de los principiosestablecidos en los Elementos de Euclides comienza a principios del siglo XIX enAlemania. Los estudios de las hipotesis que subyacen en la geometrıa realizadospor Gauss (1777-1855), Riemann (1826-1866) y Klein (1849-1925) inician un girocopernicano en la orientacion de las Matematicas, considerando que cada ramadetermina la estructura que le es propia. Con el cambio de siglo, este movimientode regreso a la vision griega se plantea con total claridad y reconocimiento explıcitode sus exigencias por Hilbert (1862-1943) y, tras la obra de Bourbaki3 a mediadosdel siglo XX, se ha extendido ya a todas las ramas de las Matematicas.

De ahı la gran diferencia que el alumno encontrara entre la forma de exposi-cion de las asignaturas de la Licenciatura y la que ha vivido desde sus primerosestudios. Cada asignatura ha de comenzar por la afirmacion explıcita de los axio-mas que definan la estructura que le es propia para, a lo largo del curso, estudiarlas consecuencias logicas de los axiomas y las posibilidades no isomorfas de talestructura. Por eso los objetos matematicos no se agrupan segun sus semejanzasaparentes, sino por la similitud de sus estructuras subyacentes: los numeros enterosy los polinomios en una indeterminada se estudiaran simultaneamente porque enambos casos hallamos la estructura de anillo euclıdeo, igualmente las ecuacionesdiofanticas de grado 1 y las transformaciones lineales del espacio porque en ambosencontramos la estructura de modulo sobre tales anillos, el concepto de lımite deuna sucesion junto con el de finitud del espacio porque en ambos subyace unaestructura topologica, etc.

En este capıtulo nuestro proposito es iniciar la aclaracion de la estructura im-plıcita en el concepto de numero: ¿que conceptos y relaciones se dan allı donde los

3Autor colectivo frances fundado por A. Weil (1906-1998, hermano mayor de Simone Weil),H. Cartan (1904-2008), J. Dieudonne (1906-1992), C. Chevalley (1909-1984) y C. Ehresmann(1905-1979) entre otros.

2.1. GRUPOS Y SUBGRUPOS 25

hombres hemos llamado numero a lo que tenıamos ante los ojos? Siempre que te-nemos dos numeros, tenemos ya presente un tercero: su suma, y esta operacion desumar es asociativa, conmutativa, admite elemento neutro (el cero) y todo numerotiene un opuesto (salvo en los numeros naturales). La estructura de grupo es laque define cualquier operacion que verifique tales condiciones, excepto la conmu-tatividad4. Aprenderemos a definir y razonar dentro de la estructura de grupo, areconocer estructuras de grupo isomorfas, a relacionar grupos distintos, etc.; paraabordar en cursos posteriores las estructuras involucradas en la Geometrıa y laFısica, que forman el nucleo central de esta renovacion de la Ciencia a que noshemos referido.

2.1 Grupos y Subgrupos

Definicion: Sea X un conjunto. Llamaremos operacion o ley de composicioninterna en X a toda aplicacion X ×X −→ X .

Representaremos las operaciones con los sımbolos + , · , ∗ , etc., en cuyo caso laimagen de cada pareja (x, y) ∈ X×X se denotara respectivamente x+y , x·y , x∗y ,etc. La suma y el producto de numeros naturales, enteros, racionales, reales ycomplejos son operaciones, mientras que la diferencia de numeros naturales y elcociente de numeros enteros no lo son.

Axiomas de Grupo: Diremos que una operacion G × G.−→ G define una

estructura de grupo en el conjunto G si verifica las siguientes condiciones:

Axioma 1 : (Propiedad asociativa) a · (b · c) = (a · b) · c , para todo a, b, c ∈ G.

Axioma 2 : Existe un elemento en G, que se llama neutro5 y se denota 1, tal que1 · a = a · 1 = a para todo a ∈ G.

Axioma 3 : Si a ∈ G, entonces existe un elemento a−1 ∈ G, llamado inverso6 dea, tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.

Si ademas se verifica que a · b = b · a para todo a, b ∈ G, diremos que el grupoes abeliano o conmutativo; en cuyo caso a menudo denotaremos + la operacion

4Aunque nuestro proposito inicial es el estudio de las estructuras de los numeros y en estosla suma siempre es conmutativa, eliminaremos esta condicion para dar cabida al enorme cumulode intuiciones que provienen de todos los contextos en que encontramos simetrıas. En el exce-lente libro Simetrıa de H. Weyl (1885-1955) pueden verse muchos ejemplos donde percibimosregularidad y el autor muestra el grupo que subyace en cada uno.

5El elemento neutro es necesariamente unico, pues si e fuera otro elemento neutro tendrıamose = e · 1 = 1.

6Tal elemento es unico pues si existiera otro elemento b ∈ G tal que a · b = 1, entoncestendrıamos a−1 = a−1 · 1 = a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = 1 · b = b.


del grupo, 0 el elemento neutro y −a el unico elemento de G tal que a + (−a) = 0(y lo llamaremos opuesto en vez de inverso).

El conjunto de los numeros enteros con la suma es el ejemplo basico de grupoconmutativo.

Definicion: Sea (G, ·) un grupo. Si H es un subconjunto de G, diremos que Hes un subgrupo del grupo G cuando H verifique las siguientes condiciones

1. La operacion de G induce una operacion en H: a, b ∈ H ⇒ a · b ∈ H.2. El elemento neutro de G esta en H: 1 ∈ H.3. El inverso de cualquier elemento de H esta en H: a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H.

Por tanto, si H es un subgrupo de un grupo G, la operacion de G define en Huna estructura de grupo.

Proposicion 2.1.1 La interseccion de cualquier familia de subgrupos de un grupoG tambien es un subgrupo de G.

Demostracion: Sea Hii∈I una familia de subgrupos de G y H = ∩iHi.Es claro que 1 ∈ H, porque 1 ∈ Hi para todo ındice i.Si a ∈ H, entonces a ∈ Hi y a−1 ∈ Hi para todo ındice i ∈ I; luego a−1 ∈ H.Si a, b ∈ H, entonces a, b ∈ Hi y ab ∈ Hi para todo ındice i ∈ I; luego ab ∈ H

y se concluye que H es un subgrupo de G. q.e.d.

Como consecuencia directa de esta proposicion tenemos que, si X es un sub-conjunto de un grupo G, la interseccion de todos los subgrupos de G que contienena X es un subgrupo de G y diremos que es el subgrupo de G engendrado o ge-nerado por X (o bien que X es un sistema de generadores de tal subgrupo).El subgrupo de G generado por X es un subgrupo de G que contiene a X y queesta contenido en cualquier otro subgrupo de G que contenga a X: es el menorsubgrupo de G que contiene a X.

Por ejemplo, el subgrupo de Z generado por un numero entero n es

nZ := an : a ∈ Z

y el subgrupo de Z generado por dos numeros enteros m,n es

mZ+ nZ := am + bn : a, b ∈ Z.

2.2 Aritmetica Elemental

Teorema 2.2.1 Si H es un subgrupo del grupo aditivo de los numeros enteros,entonces existe un unico numero natural n tal que H = nZ.

2.2. ARITMETICA ELEMENTAL 27

Demostracion: Veamos primero la existencia de tal numero natural n.

Si H = 0, tomamos n = 0.Si H 6= 0, en H hay numeros naturales positivos porque el opuesto de cada

numero de H tambien esta en H. Sea n el menor numero positivo de H. Pordefinicion n ∈ H, ası que nZ ⊆ H por ser H un subgrupo. Ahora bien, si m ∈ H,existen numeros enteros c y r tales que

m = cn + r , 0 ≤ r ≤ n− 1

Luego r = m− cn ∈ H, porque H es un subgrupo y m,n ∈ H. De acuerdo con laeleccion de n tenemos que r = 0. Se sigue que m ∈ nZ y concluimos que H = nZ.

Por ultimo demostraremos la unicidad del numero natural que genera H. Si my n son dos numeros naturales tales que H = mZ = nZ, entonces m es multiplode n y n es multiplo de m; luego m = n.

Definicion: Sean a, b dos numeros enteros. Diremos que a es multiplo de b (oque b es divisor de a) si a = bc para algun c ∈ Z; i.e., si aZ ⊆ bZ.

Diremos que un numero natural p mayor que 1 es primo cuando no puedadescomponerse en producto de dos numeros naturales mas pequenos (es decir,cuando p > 1 y sus unicos divisores naturales son 1 y p).

Definicion: Sean a, b dos numeros enteros. Diremos que un numero natural es elmınimo comun multiplo de a y b si es un multiplo comun y divide a cualquierotro multiplo comun. Diremos que un numero natural es el maximo comundivisor de a y b si es un divisor comun y es multiplo de cualquier otro divisorcomun. Diremos que a y b son primos entre sı cuando su maximo comun divisorsea la unidad.

Si n es un numero natural no nulo, φ(n) denotara el numero de numeros nat-urales entre 1 y n que son primos con n. Esta funcion φ se llama indicador deEuler (1707-1783) y sus primeros valores son:

φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2, φ(7) = 6, φ(8) = 4φ(p) = p− 1 cuando p es primo

En principio el maximo comun divisor o el mınimo comun multiplo de dosnumeros enteros podrıa no existir; pero veremos que no es el caso:

Proposicion 2.2.2 Sean a y b dos numeros enteros. La condicion necesaria ysuficiente para que un numero natural m sea el mınimo comun multiplo de a y bes que mZ = aZ ∩ bZ. Luego el mınimo comun multiplo de dos numeros enterossiempre existe y es unico.


Demostracion: La condicion es suficiente porque m ∈ mZ.Veamos la necesidad de la condicion. Si m = m.c.m.(a, b), entonces aZ ∩ bZ ⊆

mZ y m ∈ aZ ∩ bZ; luego mZ ⊆ aZ ∩ bZ, porque aZ ∩ bZ es un subgrupo de Z, yconcluimos que mZ = aZ ∩ bZ.

Proposicion 2.2.3 Sean a y b dos numeros enteros. La condicion necesaria ysuficiente para que un numero natural d sea el maximo comun divisor de a y b esque dZ = aZ + bZ. Por tanto, el maximo comun divisor de dos numeros enterossiempre existe y es unico.

Demostracion: La condicion es claramente suficiente.En cuanto a su necesidad, si d = m.c.d.(a, b), entonces aZ + bZ ⊆ dZ porque

a, b ∈ dZ. Ademas, en virtud de 2.2.1, existe c ∈ N tal que aZ+ bZ = cZ, de modoque c es un divisor comun de a y b; luego d es multiplo de c y dZ ⊆ cZ = aZ+ bZ.Se concluye que dZ = aZ+ bZ.

Identidad de Bezout (1730-1783): Sean a y b dos numeros enteros. Si d es elmaximo comun divisor de a y b, entonces existen numeros enteros α y β tales que

d = αa + βb

Corolario 2.2.4 La condicion necesaria y suficiente para que dos numeros enterosa, b sean primos entre sı es que existan numeros enteros α, β tales que

1 = αa + βb

Demostracion: La necesidad de la condicion es la Identidad de Bezout cuandod = 1. En cuanto a la suficiencia, si 1 = αa + βb, entonces 1 ∈ aZ + bZ yZ ⊆ aZ+ bZ. Luego aZ+ bZ = Z y concluimos que 1 = m.c.d.(a, b).

Corolario 2.2.5 La condicion necesaria y suficiente para que la raız n-esima dela unidad e

2πin k sea primitiva es que k y n sean primos entre sı. Por tanto el

numero de raıces n-esimas de la unidad primitivas es φ(n).

Demostracion: Sabemos que e2πin k es primitiva precisamente cuando ak ≡ 1

(modulo n) para algun numero entero a; es decir, cuando 1 = ak + bn, b ∈ Z,y tal condicion equivale a que m.c.d.(k, n) = 1 segun 2.2.4.

Corolario 2.2.6 Si un numero entero divide a un producto de dos numeros en-teros y es primo con un factor, entonces divide al otro factor.

Demostracion: Sean a, b, c ∈ Z. Si bc es multiplo de a, y b es primo con a, entoncesexisten α, β ∈ Z tales que 1 = αa+βb y concluimos que c = αac+βbc es multiplode a por que ambos sumandos lo son.

2.2. ARITMETICA ELEMENTAL 29

Lema de Euclides (325?-265? a. de Cristo): Si un numero primo divide a unproducto de numeros enteros, entonces divide a algun factor.

Demostracion: Sea p un numero primo. Si un numero entero n no es multiplo dep, entonces p y n son primos entre sı, porque los unicos divisores de p son 1 y p.Ahora el lema de Euclides es consecuencia directa de 2.2.6.

Teorema de Descomposicion: Todo numero natural mayor que 1 es productode numeros primos. Esta descomposicion es unica salvo el orden de los factores.

Demostracion: Veamos primero la existencia de la descomposicion. Si un numeronatural n ≥ 2 es primo, no hay nada que probar. Si n no es primo, descomponeen producto de dos numeros menores, n = ab. Si algun factor no es primo,descompone en producto de dos numeros mas pequenos. Reiterando el proceso,en algun momento ha de terminar, pues n tiene un numero finito de divisores, yobtenemos una descomposicion de n en producto de numeros primos.

Veamos la unicidad de la descomposicion. Si n = pmp1 . . . pr es una descom-posicion de un numero natural n en producto de primos, donde suponemos quepi 6= p para todo ındice i, del lema de Euclides se sigue que pm+1 no divide a n, asıque pm es precisamente la mayor potencia de p que divide a n. Luego el numero deveces m que aparece un numero primo p no depende de la descomposicion elegida:esta es unica salvo el orden de los factores.

Corolario 2.2.7 Todo numero natural mayor que 1 es multiplo de algun primo.

Corolario 2.2.8 Hay infinitos numeros primos.

Demostracion: Procederemos por reduccion al absurdo; es decir, partiendo de lanegacion del enunciado que pretendemos probar, obtendremos una contradiccion,lo que nos permite concluir que tal enunciado es verdadero7. Supongamos quesolo hay un numero finito de numeros primos p1, . . . , pr y consideremos el numeron = 1 + p1 · · · pr. Por el corolario anterior, n es multiplo de algun numero primop, que es distinto de todos los primos p1, . . . , pr, pues al dividir n por pi el resto es1, lo que contradice la suposicion de que p1, . . . , pr son todos los numeros primos.

7Los razonamientos por reduccion al absurdo se basan en dos principios fundamentales: unoes nuestra conviccion de que un enunciado y su negacion no pueden ser verdaderos a la vez, elotro la de que una afirmacion o su contraria ha de ser cierta. El principio de no contradiccion,que en nuestro caso se expresa como la imposibilidad de obtener, mediante razonamientos logicos,un enunciado y su negacion a partir de las propiedades elementales de los numeros naturales,no se basa en nuestra experiencia, pues aunque nuestros razonamientos no hayan derivado “dehecho” ninguna contradiccion hasta el presente, solo representan una parte infinitesimalmentepequena de la infinitud de razonamientos posibles, que es sobre la que se afirma tal principio.Es admirable nuestra reiterada confianza en la ausencia de absurdos en el camino de la razonhumana, similar a la de un bebe en sus padres.


Corolario 2.2.9 Si un numero natural n mayor que 1 no tiene divisores primosmenores o iguales que

√n, entonces n es un numero primo.

Demostracion: Probaremos el enunciado contra-recıproco. Si n > 1 no es primo,descompone en producto de dos numeros naturales mas pequenos. Algun factor detal descomposicion ha de ser menor o igual que

√n y, por tanto, cualquier divisor

primo de ese factor es un divisor primo de n menor o igual que√

n.

Corolario 2.2.10 Sea d ≥ 2 un numero natural. Si la raız d-esima de un numeronatural n no es entera, entonces es irracional.

Demostracion: Probaremos el enunciado contra-recıproco: si la raız d-esima deun numero natural n es racional, entonces n es potencia d-esima de algun numeronatural. Sea b/c un numero racional tal que n = (b/c)d. Dividiendo b y c porsu maximo comun divisor podemos suponer que b y c son primos entre sı. Comobd = ncd, del lema de Euclides se sigue que todos los numeros primos que dividena c dividen tambien a b. Luego ningun numero primo divide a c, y el teoremaanterior permite concluir que c = 1, ası que b/c es un numero entero y n es lapotencia d-esima del numero entero b/c.

2.2.11 Todo numero natural n ≥ 2 descompone de la siguiente forma:

n = pn11 · · · pnr

r , ni ≥ 1,

donde p1, . . . , pr son numeros primos distintos, y tal descomposicion es unica salvoel orden de los factores. Del lema de Euclides se sigue que si un numero primo pdivide a n, entonces p = pi para algun ındice i: Los unicos factores primos de nson los numeros p1, . . . , pr.

Si a = pa11 · · · par

r y b = pb11 · · · pbr

r son descomposiciones de dos numeros natu-rales a, b en producto de primos distintos (ai, bi ≥ 0), entonces

b es multiplo de a ⇔ bi ≥ ai para todo ındice i

m.c.d.(a, b) = pd11 · · · pdr

r , di = min(ai, bi)m.c.m.(a, b) = pm1

1 · · · pmrr , mi = max(ai, bi)

En particular, ab = m.c.d.(a, b) ·m.c.m.(a, b).

Algoritmo de Euclides: Sean a, b, c, r ∈ Z. Si a = bc + r, entonces

m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, r)

Demostracion: aZ+ bZ = bZ+ rZ porque a = bc + r esta en bZ+ rZ, y r = a− bcesta en aZ+ bZ.

2.3. MORFISMOS DE GRUPOS 31

Este algoritmo permite calcular rapidamente el maximo comun divisor d dedos numeros enteros no nulos a, b, y los coeficientes de la Identidad de Bezout. Seefectuan las divisiones:

a = c1b + r1 , b = c2r1 + r2 , r1 = c3r2 + r3 , . . . , rn−1 = cn+1rn + 0

hasta que el resto sea nulo, lo que necesariamente ha de ocurrir, pues la sucesionde restos r1, r2, . . . es estrictamente decreciente. Segun el resultado anterior, elmaximo comun divisor de a y b coincide con el maximo comun divisor de dosterminos sucesivos cualesquiera de la sucesion

a , b , r1 , r2 , . . . , rn , 0

Como m.c.d.(rn, 0) = rn, concluimos que el maximo comun divisor d de a y bes el ultimo resto no nulo rn.

Ademas, cuando tengamos una descomposicion d = γri + δri+1 del maximocomun divisor d en suma de multiplos de ri y ri+1, la division de resto ri+1 permitedescomponer d como suma de un multiplo de ri−1 y un multiplo de ri:

d = γri + δ(ri−1 − ciri) = δri−1 + (γ − δci)ri

Al ser d = rn = rn−2 − cnrn−1, procediendo recurrentemente obtenemos unadescomposicion del maximo comun divisor d como suma de multiplos de a y b.

2.3 Morfismos de Grupos

Definicion: Diremos que una aplicacion f : G → G′ entre dos grupos es unmorfismo de grupos cuando para todo a, b ∈ G se verifique

f(a · b) = f(a) · f(b)

Diremos que un morfismo de grupos f : G → G′ es un isomorfismo8 si existeun morfismo de grupos g : G′ → G tal que f g es la identidad de G′ y g f es laidentidad de G, en cuyo caso diremos que tal morfismo g (que claramente es unico,pues es la aplicacion inversa de f) es el morfismo inverso de f y lo denotaremosf−1. Llamaremos automorfismos de un grupo G a los isomorfismos de G en G.

Los morfismos de grupo conservan el neutro y los inversos:

f(1) = 1

f(a−1) = f(a)−1

8Los isomorfismos cambian los elementos de los grupos, pero respetan la operacion, de modoque cualquier afirmacion que se refiera solo a la estructura de grupo (es decir, que se enuncieunicamente con la operacion del grupo) es simultaneamente cierta o falsa en ambos grupos. Sidos grupos son isomorfos, tienen las mismas propiedades en la teorıa de grupos.


porque f(1) = f(1 · 1) = f(1) · f(1) implica que f(1) = 1 y 1 = f(1) = f(aa−1) =f(a) · f(a−1) implica que f(a−1) es el inverso de f(a).

Proposicion 2.3.1 Si f : G → G′ y g : G′ → G′′ son morfismos de grupos, en-tonces su composicion g f : G → G′′ tambien es un morfismo de grupos.

Demostracion: Para todo par de elementos a, b ∈ G tenemos que

(gf)(ab)=g(f(ab))=g(f(a)·f(b))=g(f(a))·g(f(b))=(gf)(a)·(gf)(b)

Definicion: Si f : G → G′ es un morfismo de grupos, diremos que

Ker f = a ∈ G : f(a) = 1Im f = f(a) : a ∈ G

son el nucleo y la imagen de f respectivamente.

La imagen de f esta formada por todos los elementos b ∈ G′ tales que laecuacion f(x) = b tiene alguna solucion x ∈ G. Si la operacion de G′ se deno-ta aditivamente, el nucleo de f esta formado por las soluciones de la ecuacionhomogenea f(x) = 0 .

Proposicion 2.3.2 Si f : G → G′ es un morfismo de grupos, entonces

f es inyectivo ⇔ Ker(f) = 1f es isomorfismo ⇔ f es biyectivo

Demostracion: Las implicaciones directas son inmediatas.En cuanto a las recıprocas, si Ker f = 1 y f(a) = f(b), entonces f(a−1b) = 1;

luego a−1b = 1 y a = b.Si f es biyectivo, entonces existe la aplicacion inversa f−1 tal que f f−1 y

f−1 f son la identidad de G′ y G respectivamente, ası que bastara comprobarque f−1 es morfismo de grupos. Ahora bien, f−1(xy) = f−1(x)f−1(y) porque fes inyectivo y

f(f−1(x) · f−1(y)

)= f

(f−1(x)

) · f (f−1(y)

)= x · y = f

(f−1(xy)

)

Proposicion 2.3.3 Sea f : G → G′ un morfismo de grupos.Si H es un subgrupo de G, entonces

f(H) := f(h) : h ∈ Hes un subgrupo de G′. En particular, Im f es un subgrupo de G′.

Si H ′ es un subgrupo de G′, entonces

f−1(H ′) := a ∈ G : f(a) ∈ H ′es un subgrupo de G. En particular, Ker f es un subgrupo de G.

2.4. GRUPO COCIENTE 33

Demostracion: Veamos primero que f(H) es un subgrupo de G′:1 ∈ f(H) porque f(1) = 1 y 1 ∈ H.Si x, y ∈ f(H), entonces existen a, b ∈ H tales que x = f(a), y = f(x). Luego

xy = f(ab) ∈ f(H), porque ab ∈ H, y x−1 = f(a−1) ∈ f(H) porque a−1 ∈ H.

Veamos ahora que f−1(H ′) es un subgrupo de G:1 ∈ f−1(H ′), porque f(1) = 1 ∈ H ′.Si a, b ∈ f−1(H ′), entonces f(ab) = f(a)f(b) ∈ H ′ y se sigue que su producto

ab ∈ f−1(H ′).Si a ∈ f−1(H ′), entonces f(a−1) = f(a)−1 ∈ H ′ y se sigue que su inverso

a−1 ∈ f−1(H ′).

Por ultimo, Im f = f(G) y Ker f = f−1(1).

2.4 Grupo Cociente

Sea G un grupo. Cada subgrupo H de G define una relacion ≡ en G:

a ≡ b ⇔ a−1b ∈ H

que es una relacion de equivalencia en G:

1. Si a ∈ G, entonces a ≡ a porque a−1a = 1 ∈ H para todo a ∈ G.

2. Sean a, b ∈ G. Si a ≡ b, entonces a−1b ∈ H, luego b−1a =(a−1b

)−1 esta enH y b ≡ a.

3. Sean a, b, c ∈ G. Si a ≡ b y b ≡ c, entonces a−1b, b−1c ∈ H, luego su producto(a−1b)(b−1c) = a−1c esta en H y concluimos que a ≡ c.

Respecto de esta relacion de equivalencia, la clase de equivalencia de cualquierelemento a ∈ G es precisamente

aH = ah : h ∈ H

y el conjunto cociente de G por la relacion de equivalencia inducida por el subgrupoH se denotara G/H.

Definicion: Llamaremos orden de un grupo a su cardinal9. Llamaremos ındicede un subgrupo H de un grupo G al cardinal de G/H; es decir, al numero de clasesde equivalencia de la relacion que H define en G.

9El cardinal de un conjunto finito X es el numero de elementos de X y se denota |X|. Engeneral, aunque los conjuntos sean infinitos, se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinalsi existe alguna biyeccion entre ellos. Los conjuntos numerables son los que tienen el mismocardinal que el conjunto de los numeros naturales N.


Ejemplo: Sea n un numero natural positivo. La relacion de equivalencia que elsubgrupo nZ define en Z es justamente la relacion de congruencia modulo n; asıque Z/nZ es el conjunto de clases de restos modulo n, que tiene n elementos (luegoel ındice de nZ en Z es n):

Z/nZ = [1], [2], . . . , [n] = [0]

Teorema de Lagrange (1736-1813): Si H es un subgrupo de un grupo finito G,el orden de H divide al orden de G y el cociente es el ındice de H en G:

|G/H| = |G| : |H|

Demostracion: Si a ∈ G, entonces aH y H tienen el mismo numero de elementos,porque la aplicacion

Ha·−−→ aH , h 7→ ah

es biyectiva. En efecto, es epiyectiva por definicion de aH y es inyectiva porque,si ax = ay, entonces x = a−1(ax) = a−1(ay) = y .

Se sigue que todas las clases de equivalencia de la relacion de equivalencia queH define en G tienen el mismo numero de elementos que H. Ahora bien, al ser Gla union disjunta de tales clases de equivalencia, concluimos que el orden de G esel producto de |H| por el numero de clases de equivalencia, que es el ındice |G/H|de H en G.

Construccion del Grupo Cociente

Sea H un subgrupo de un grupo G. Veamos cuando existe alguna estructura degrupo en el conjunto cociente G/H tal que la proyeccion canonica π : G → G/Hsea morfismo de grupos. En tal caso H = g ∈ G : π(g) = π(1) serıa el nucleodel morfismo π, ası que verificarıa la siguiente condicion:

Definicion: Sea H un subgrupo de un grupo G. Diremos que H es un subgruponormal de G cuando aHa−1 ⊆ H para todo a ∈ G; es decir:

h ∈ H, a ∈ G ⇒ aha−1 ∈ H

Si un grupo G es conmutativo, todo subgrupo de G es normal en G.

Proposicion 2.4.1 Sea f : G → G′ un morfismo de grupos. El nucleo de f es unsubgrupo normal de G.

Demostracion: Si x ∈ Ker f , entonces f(axa−1) = f(a) · 1 · f(a)−1 = 1 para todoa ∈ G, y se concluye que axa−1 ∈ Ker f .

2.4. GRUPO COCIENTE 35

Teorema 2.4.2 Si H es un subgrupo normal de un grupo G, en el conjunto co-ciente G/H existe una unica estructura de grupo tal que la proyeccion canonicaπ : G → G/H es morfismo de grupos.

Ademas, H = Ker π .

Demostracion: Si x, y ∈ G/H, definimos x · y = π(ab), donde a, b ∈ G, x = π(a),y = π(b):

[ a ] · [ b ] = [ ab ]

Para ver que ası tenemos definida una operacion en G/H es necesario probar quex·y no depende de los representantes a, b elegidos: Si a′, b′ ∈ G y x = [a′ ], y = [b′ ],entonces [a′b′ ] = [ab]:

Si [a′ ] = [a], existe h ∈ H tal que a′ = ah; luego a′b = ahb. Como H esun subgrupo normal de G, se tiene que h′ := b−1hb ∈ H y hb = bh′. Luegoa′b = abh′ ∈ abH y concluimos que [a′b ] = [ab]. Si ademas b′ ∈ bH, es claro quea′b′ ∈ a′bH y [a′b′] = [a′b].

Veamos que esta operacion define en G/H una estructura de grupo:

([ a ]· [ b ])·[ c ]=[ ab ]·[ c ]=[(ab)c ]=[ a(bc)]=[ a ]·[ bc ]=[ a ]·([ b ]·[ c ])

G/H tiene un elemento neutro, que es el [ 1 ]:

[ a ] · [ 1 ] = [ a · 1 ] = [ a ][ 1 ] · [ a ] = [ 1 · a ] = [ a ]

Cada elemento [ a ] ∈ G/H tiene un elemento inverso, que es [ a−1]:

[ a ] · [ a−1] = [ a · a−1] = [ 1 ]

[ a−1] · [ a ] = [ a−1 · a ] = [ 1 ]

y π es un morfismo de grupos porque, por definicion de la operacion tenemosπ(a) · π(b) = [ a ] · [ b ] = [ ab ] = π(ab) para todo a, b ∈ G.

Por otra parte, si ∗ es otra operacion en G/H tal que π : G → (G/H, ∗ ) esun morfismo de grupos, para todo [ a ], [ b ] ∈ G/H tenemos que

[ a ] · [ b ] = π(a) · π(b) = π(ab) = π(a) ∗ π(b) = [ a ] ∗ [ b ]

Por ultimo, Ker π = a ∈ G: π(a) = π(1) = a ∈ G: a ≡ 1 = [ 1 ] = H.

Definicion: Sea H un subgrupo normal de un grupo G. Diremos que el conjuntoG/H, con la unica operacion tal que π : G → G/H es un morfismo de grupos, esel grupo cociente de G por H y lo denotaremos tambien G/H.

Ejemplo: Si G es un grupo conmutativo, todo subgrupo H de G es normal, y elgrupo cociente G/H tambien es conmutativo.


Sea n un numero natural. Como nZ es un subgrupo de Z, en el conjuntocociente Z/nZ tenemos una estructura de grupo conmutativo que viene definidapor la siguiente operacion: [a]n + [b]n := [a + b]n. El neutro de Z/nZ es [0]n y elopuesto de cualquier elemento [a]n es [−a]n.

Propiedad Universal: Sea H un subgrupo normal de un grupo G y π : G → G/Hla proyeccion canonica. Si f : G → G′ es un morfismo de grupos y H ⊆ Ker f ,entonces existe un unico morfismo de grupos φ : G/H → G′ tal que f =φπ :

Gf−→ G′

π φ

G/H

Demostracion: Veamos en primer lugar la existencia de un morfismo de gruposφ : G/H → G′ tal que f = φ π.

Si x ∈ G/H, existe algun a ∈ G tal que x = π(a) y definimos φ(x) = f(a).Veamos que φ es una aplicacion de G/H en G′ (es decir, que φ(x) no depende delrepresentante a ∈ G elegido) cuando H ⊆ Ker f . Si [a] = [b], entonces a ≡ b ya−1b ∈ H ⊆ Ker f ; luego 1 = f(a−1b) = f(a)−1f(b) y concluimos que f(a) = f(b).

Por definicion φ(π(a)) = f(a) para todo a ∈ G, ası que f = φ π y paraconcluir basta probar que φ es morfismo de grupos. Si [a], [b] ∈ G/H , entonces

φ([a] · [b]) = φ(π(ab)) = f(ab) = f(a)f(b) = φ(π(a))φ(π(b)) = φ(x)φ(y)

Por ultimo, si existiera otro morfismo de grupos ψ : G/H → G′ tal que f =ψ π, para todo [a] ∈ G/H tendrıamos que

φ([a]) = f(a) = (ψ π)(a) = ψ([a])

Teorema de Isomorfıa: Sea f : G → G′ un morfismo de grupos. La aplicacionφ : G/Ker f → Im f ; φ([a]) = f(a), es isomorfismo de grupos:

G/Ker f ' Im f

Demostracion: Sea ϕ : G → Im f el morfismo de grupos ϕ(a) = f(a). El nucleo deϕ coincide con el de f , ası que de la propiedad universal del grupo cociente se siguela existencia de un morfismo de grupos φ : G/Ker f → Im f tal que φ([a]) = f(a) .

Veamos que φ es isomorfismo de grupos:

φ es epiyectivo: Si x ∈ Im f , existe a ∈ G tal que x = f(a) = φ([a]); luegox ∈ Im φ .

φ es inyectivo: Si 1 = φ([a]) = f(a), entonces a ∈ Ker f y [a] = 1. Es decir,Kerφ = 1 y, por 3.2, φ es inyectivo.

2.5. GRUPOS CICLICOS 37

Corolario 2.4.3 Si f : G → G′ es un morfismo de grupos epiyectivo, entonces elgrupo G/Ker f es isomorfo a G′.

Teorema Chino del Resto: Si m,n ∈ N son primos entre sı, la aplicacion

φ : Z/mnZ −→ (Z/mZ)×(Z/nZ) , φ([a]mn) = ([a]m, [a]n)

es un isomorfismo de grupos.

Demostracion: Las proyecciones canonicas Z→ Z/mZ y Z→ Z/nZ son morfismosde grupos, de modo que la aplicacion

f : Z→ (Z/mZ)× (Z/nZ) , f(a) = ([a]m, [a]n)

es un morfismo de grupos. El nucleo de f es (mZ) ∩ (nZ) = nmZ, porque elmınimo comun multiplo de m y n es mn, ası que, por 2.4.3, basta probar que fes epiyectivo.

Ahora bien, de acuerdo con el teorema de isomorfıa, el cardinal de Im f es elde Z/nmZ, que coincide con el de (Z/mZ)×(Z/nZ), y concluimos que el morfismof es epiyectivo.

2.5 Grupos Cıclicos

Sea (G, ·) un grupo. Si g ∈ G, el producto de g consigo mismo m veces lo de-notaremos gm, el producto de g−1 consigo mismo m veces lo denotaremos g−m ypondremos que g0 es el neutro de G (cuando la operacion de G se denote aditiva-mente, pondremos mg en lugar de gm). Obtenemos ası una aplicacion

fg : Z −→ G , fg(m) = gm

que es un morfismo de grupos porque gm+n = gm · gn para todo m,n ∈ Z. Suimagen es el subgrupo . . . , g−2, g−1, 1, g, g2, . . ., que es claramente el subgrupogenerado por g y lo denotaremos (g).

Definicion: Diremos que un grupo G es cıclico si esta generado por alguno desus elementos; es decir, si existe g ∈ G tal que (g) = G, en cuyo caso diremos queg es un generador de G.

Por definicion un grupo G es cıclico y g ∈ G es un generador cuando todoelemento de G es de la forma gm para algun numero entero m. Es claro que losgrupos cıclicos son conmutativos.

Clasificacion10 de Grupos Cıclicos: Sea G un grupo cıclico.10Se entiende que la clasificacion es salvo isomorfismos. Clasificar grupos de cierto tipo significa

dar una familia de tales grupos en la que no haya dos isomorfos y tal que cualquier grupo deltipo considerado sea isomorfo a uno de la familia.


1. Si G es infinito, entonces G es isomorfo al grupo Z.

(Si g es un generador de G, la aplicacion φ : Z → G, φ(m) = gm, es unisomorfismo de grupos).

2. Si G es finito y su orden es n, entonces G es isomorfo a Z/nZ.

(Si g es un generador de G, la aplicacion φ : Z/nZ → G, φ([m]n) = gm, esun isomorfismo de grupos).

Demostracion: Sea g un generador de G, de modo que el morfismo fg : Z → G,fg(m) = gm, es epiyectivo. Su nucleo, de acuerdo con 2.2.1, es Ker fg = kZpara algun numero natural k. Ademas, por el teorema de isomorfıa, tenemos unisomorfismo de grupos

φ : Z/kZ ' G , φ([m]) = gm .

Ahora, si G es infinito, entonces ∞ = |Z/kZ|, de modo que k = 0. Luego fg esinyectivo, y por tanto es un isomorfismo de grupos.

Si G es finito de orden n, entonces n = |Z/kZ|, de modo que k = n.

Nota: Este teorema de clasificacion permite dar una nueva definicion del conceptode suma de numeros enteros, mas perfecta que la dada en el capıtulo anterior: Es launica11 operacion que define una estructura de grupo cıclico infinito. Recuperamosası nuestra vision infantil de la suma, cuando no nos importaba que sumabamossino como sumabamos.

Corolario 2.5.1 Sea g un generador de un grupo cıclico finito G de orden n. Lacondicion necesaria y suficiente para que gm genere G es que m y n sean primosentre sı.

Demostracion: De acuerdo con el teorema anterior, basta probar que [m] generaZ/nZ si y solo si m.c.d.(m,n) = 1. Ahora bien [m] genera Z/nZ si y solo si[1] = a[m] para algun numero entero a; es decir, 1 = am + bn para algun b ∈ Z, ytal condicion equivale a que m.c.d.(m, n) = 1 segun 2.2.4.

Definicion: Llamaremos orden de un elemento g de un grupo G al orden delsubgrupo (g) que genera. El orden de un elemento puede ser infinito.

El unico elemento de orden 1 es el neutro del grupo.De acuerdo con el teorema de Lagrange, el orden de cualquier elemento de un

grupo finito divide al orden del grupo.

11o cualquier, tanto da, pues es unica salvo isomorfismos.

2.6. EL GRUPO SIMETRICO 39

Proposicion 2.5.2 Sea g un elemento de un grupo G. Si g es de orden infinito,entonces gn = gm ⇔ n = m. En particular gn = 1 ⇔ n = 0 .

Si g es de orden d, entonces (g) = g, . . . , gd = 1 y gn = gm ⇔ n ≡ m (mod.d). En particular

gn = 1 ⇔ n es multiplo del orden de g

Demostracion: El subgrupo (g) = gm : m ∈ Z siempre es cıclico y esta generadopor g.

Corolario 2.5.3 El orden de un elemento g de un grupo G es el primer numeronatural no nulo d tal que gd = 1, si existe tal numero natural, y en caso contrarioes infinito.

Corolario 2.5.4 Si G es un grupo finito de orden n y g ∈ G, entonces gn = 1.

Demostracion: En virtud del teorema de Lagrange, n es multiplo del orden de (g),que es el orden de g, ası que 2.5.2 permite concluir que gn = 1.

2.6 El Grupo Simetrico

El grupo simetrico Sn es el grupo de todas las permutaciones de un conjun-to X con n elementos, con la estructura de grupo que define la composicion deaplicaciones. Supondremos siempre que n ≥ 2.

Definicion: Dados elementos distintos a1, . . . , ad; d ≥ 2, denotaremos σ =(a1 . . . ad) la permutacion tal que σ(ai) = ai+1, entendiendo que ad+1 = a1. Di-remos que tal permutacion σ ∈ Sn es un ciclo, y su orden es claramente d. Losciclos de orden 2 se llaman trasposiciones.

Diremos que dos ciclos (a1 . . . ad) y (b1 . . . bk) de Sn son disjuntos cuandoai 6= bj para todo par de ındices i, j.

Lema 2.6.1 Si dos ciclos σ y τ son disjuntos, entonces στ = τσ.

Demostracion: Si σ = (a1 . . . ad) y τ = (b1 . . . bk) , entonces las permutaciones στy τσ coinciden en a1, . . . , ad, b1, . . . , bk y dejan fijos los restantes elementos.

Teorema 2.6.2 Toda permutacion σ ∈ Sn distinta de la identidad descompone enproducto de ciclos disjuntos. Salvo el orden de los factores, esta descomposiciones unica.


Demostracion: Sea a1 un elemento tal que σ(a1) 6= a1 y consideremos el primernumero positivo d tal que σd(a1) = a1 (tal numero d existe porque el orden deσ es finito). Sea ai = σi(a1) . Los numeros a1, a2, . . . , ad son todos distintos: siai = aj y j > i, entonces σj−i(a1) = a1 y 0 ≤ j − i ≤ d − 1, en contra de laeleccion del numero d. Luego α1 = (a1 . . . ad) es un ciclo que coincide con σ ena1, . . . , ad; pero no en los restantes elementos, si existen, que no queden fijos porσ. Ahora, la permutacion (α1)−1 ·σ deja fijos a1, . . . , ad y todos los elementos queσ deje fijos. Reiterando el proceso obtenemos ciclos disjuntos α1, . . . , αr tales que(αr)−1 · · · (α1)−1 · σ es la identidad. Luego σ = α1 · · ·αr .

Si existieran otros ciclos disjuntos β1, . . . , βs tales que β1 · · ·βs = σ = α1 · · ·αr,cambiando de orden los factores si fuera preciso podemos suponer que β1(a1) 6= a1.En tal caso βi

1(a1) = σi(a1) = αi1(a1) para todo i ≥ 0 y concluimos que β1 = α1.

Luego β2 · · ·βs = α2 · · ·αr y reiterando el argumento concluimos que, despuesde reordenar los factores si fuera preciso, los factores β2, . . . , βs coinciden con losciclos α2, . . . , αr .

Corolario 2.6.3 Todo ciclo de orden d es producto de d− 1 trasposiciones. Portanto, toda permutacion es producto de trasposiciones.

Demostracion: (a1 . . . ad) = (a1a2)(a2a3) · · · (ad−1ad)

Definicion: Sea σ = α1 · · ·αr la descomposicion de una permutacion σ 6= id enproducto de ciclos disjuntos y denotemos di el orden de αi, 1 ≤ i ≤ r. El lema2.6.1 nos permite suponer que d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dr y diremos que d1, . . . , dr es laforma de la permutacion σ.

Proposicion 2.6.4 El orden de cualquier permutacion de forma d1, . . . , dr es elmınimo comun multiplo de d1, . . . , dr .

Demostracion: Si σ = α1 · · ·αr es la descomposicion de σ en producto de ciclosdisjuntos, entonces σi = αi

1 · · ·αir. Luego σi = 1 si y solo si αi

1 = . . . = αir = 1, y

concluimos en virtud de 2.5.2.

Definicion: Sea G un grupo. Diremos que dos elementos x, y de G son conju-gados si existe a ∈ G tal que y=axa−1.

La relacion de conjugacion es una relacion de equivalencia en el grupo G. Doselementos conjugados tienen las mismas propiedades en teorıa de grupos, porqueτa : G → G, τa(x) = axa−1, es un automorfismo del grupo G.

Proposicion 2.6.5 Sean σ, τ ∈ Sn. La condicion necesaria y suficiente para queσ y τ sean conjugadas es que tengan la misma forma.

2.6. EL GRUPO SIMETRICO 41

Demostracion: Sea σ = (a1 . . . ad1)(b1 . . . bd2) · · · (c1 . . . cdr). Si γ ∈ Sn y ponemos

i′ := γ(i), tenemos que

γσγ−1 = (a′1 . . . a′d1)(b′1 . . . b′d2

) · · · (c′1 . . . c′dr)

Signo de una Permutacion

Consideremos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

∆(x1, . . . , xn) =∏

i<j

(xj − xi)

Dada σ ∈ Sn, los factores de ∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) =∏

i<j(xσ(j) − xσ(i)) coinciden,eventualmente salvo el signo, con los de ∆(x1, . . . , xn). Luego

∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) = ±∆(x1, . . . , xn)

Definicion: Llamaremos signo de una permutacion σ ∈ Sn al numero enterosgn(σ) tal que ∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) = sgn(σ) ·∆(x1, . . . , xn).

Por definicion el signo de una permutacion es 1 o −1.

Proposicion 2.6.6 El signo de cualquier producto de permutaciones es el pro-ducto de los signos de los factores.

El signo de cualquier trasposicion es –1.

Demostracion: Sean σ, τ ∈ Sn. Por definicion

∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) = sgn(σ)∆(x1, . . . , xn)

y aplicando τ a los ındices de las indeterminadas x1, . . . , xn de este polinomioobtenemos que

∆(xτσ(1), . . . , xτσ(n)) = sgn(σ) ·∆(xτ(1), . . . , xτ(n))= sgn(σ)sgn(τ) ·∆(x1, . . . , xn)

Luego sgn(τσ) = sgn(τ) · sgn(σ). Ademas, un calculo directo demuestra que elsigno de la trasposicion (12) es –1. Si σ es otra trasposicion, en virtud de 2.6.5existe una permutacion τ tal que σ = τ · (12) · τ−1, y concluimos que

sgn(σ) = sgn(τ)sgn(12)sgn(τ)−1 = sgn(12) = −1

Corolario 2.6.7 El signo de toda permutacion de forma d1, . . . , dr es

(−1)d1+...+dr−r


Demostracion: De 2.6.3 y 2.6.6 se sigue directamente que el signo de todos losciclos de orden d es (−1)d−1.

Corolario 2.6.8 Sea σ = τ1 · · · τm una descomposicion de una permutacion σ enproducto de trasposiciones. Si sgn(σ) = 1, entonces m es par. Si sgn(σ) = −1,entonces m es impar.

Demostracion: sgn(σ) = sgn(τ1) · · · sgn(τm) = (−1)m.

Definicion: Llamaremos permutaciones pares a las de signo 1 e impares a lasde signo –1.

Las permutaciones pares de Sn forman un subgrupo normal de Sn ya que sonlos elementos del nucleo del morfismo de grupos sgn: Sn → ±1. Este subgrupose denota An y recibe el nombre de subgrupo alternado. El ındice de An en Sn

es 2 porque Sn/An ' ±1; ası que el teorema de Lagrange permite concluir queel orden de An es n!/2 .

Capıtulo 3

Anillos

En el primer capıtulo hemos desarrollado el concepto de numero, introduciendolos numeros enteros, racionales, reales y complejos. Este metodo constructivo ogenetico tiene el inconveniente de que frente a un numero entero o racional nodebemos ver “una clase de equivalencia de . . .” sino lo que veıamos de pequenoscuando operabamos inocentemente con ellos, como algo que esta en un ambientedonde hay unas operaciones, una ordenacion, etc., con determinadas propiedades;una estructura en suma. Es decir, lo importante es la estructura que tienen losnumeros racionales y no el conjunto concreto que construimos para que se nosvuelva accesible. En el segundo capıtulo hemos presentado el metodo axiomatico,que es preferible porque pone de manifiesto la estructura y quita toda importanciaa los elementos concretos de los conjuntos en cuestion. Por tanto, serıa deseabledesarrollar el concepto de numero con el metodo axiomatico, como una familia deobjetos dotada de operaciones y relaciones sujetas a ciertas condiciones.

Cuando hablamos de numeros, la suma define una estructura de grupo conmu-tativo; pero claramente en los numeros siempre hay mas estructura pues, dados dosnumeros cualesquiera, ademas de su suma tenemos su producto. En los numerosenteros, racionales, reales y complejos disponemos de dos operaciones, usualmentellamadas suma y producto, con las siguientes propiedades: ambas verifican losaxiomas de grupo conmutativo, excepto la existencia de inverso para el producto,y el producto distribuye respecto de la suma. Esta estructura recibe el nombrede anillo conmutativo con unidad. Vemos ası que en todos los contextos en quetradicionalmente se ha hablado de numeros subyace una estructura de anillo con-mutativo con unidad. Recıprocamente, el objetivo del presente capıtulo es mostrarcomo en cualquier anillo conmutativo con unidad pueden definirse unos numerosideales y desarrollar para ellos una teorıa de la divisibilidad analoga a la de losnumeros naturales, de modo que en todos los anillos conmutativos con unidaddisponemos de una comprension aritmetica de los problemas. Si los elementos

43

44 CAPITULO 3. ANILLOS

de un anillo se extienden1 con tales numeros ideales es inmediata la existencia yunicidad del maximo comun divisor y del mınimo comun multiplo, al igual quela demostracion de sus propiedades usuales. Ademas, desarrollaremos la teorıa decongruencias modulo un ideal, que generaliza la teorıa de congruencias de numerosenteros expuesta en los capıtulos anteriores. Por tanto, en los anillos en que losnumeros ideales se correspondan con los elementos del anillo (anillos que llamare-mos dominios de ideales principales), estos gozan de las mismas propiedades. Estasera una consecuencia crucial de este capıtulo: que en los dominios de ideales prin-cipales es esencialmente valida la teorıa de la divisibilidad que hemos estudiadoen la Aritmetica elemental. Este resultado sera fundamental en el estudio de lasecuaciones algebraicas, porque en el proximo capıtulo veremos que los polinomiosen una indeterminada con coeficientes racionales (o reales o complejos) forman undominio de ideales principales, resultado que nos permitira extraer las raıces de lospolinomios con coeficientes racionales mediante la teorıa de congruencias moduloideales.

3.1 Anillos y Subanillos

Axiomas de Anillo: Diremos que dos operaciones (que llamaremos suma yproducto, y denotaremos + y · ) en un conjunto A definen una estructura deanillo conmutativo con unidad2 si verifican los siguientes axiomas:

Axioma 1. La suma define en A una estructura de grupo conmutativo.

Axioma 2. El producto es asociativo: a · (b · c) = (a · b) · cAxioma 3. (Propiedad distributiva) a · (b + c) = a · b + a · c

(b + c) · a = b · a + c · aAxioma 4. Existe un elemento de A (llamado unidad y que denotaremos 1) talque a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ A .

Axioma 5. El producto es conmutativo: a · b = b · a

De acuerdo con la propiedad distributiva, las aplicaciones Aa·−−→ A son mor-

fismos de grupos respecto de la suma, ası que en todo anillo A se verifican tambienlas siguientes reglas de calculo:

a · 0 = 0 , a · (−b) = −(a · b) , (−a) · (−b) = a · b1Veremos que cada elemento del anillo define un numero ideal; pero, en general, puede haber

ideales que no provengan de ningun elemento del anillo.2Suele reservarse el nombre de anillos para las estructuras que verifican los tres primeros

axiomas, anadiendo el termino “con unidad” o “conmutativo” si verifican ademas el axioma 4 o5 respectivamente. Sin embargo, de ahora en adelante diremos simplemente anillo en lugar deanillo conmutativo con unidad.

3.1. ANILLOS Y SUBANILLOS 45

Ademas, la unidad de un anillo es unica. Diremos que a ∈ A es invertible siexiste algun b ∈ A tal que ab = 1, en cuyo caso tal elemento b es unico y sedenotara b−1 o 1/b. Los elementos invertibles de un anillo A forman un grupoconmutativo respecto del producto de A, grupo que se denota A∗. Diremos queun anillo A 6= 0 es un cuerpo si todo elemento no nulo de A es invertible en A;es decir, si A∗ = A− 0 .

Diremos que un elemento a ∈ A es un divisor de cero si ab = 0 para algunelemento no nulo b ∈ A. Diremos que un anillo A 6= 0 es ıntegro o que es undominio si carece de divisores de cero no nulos, es decir, si tiene la propiedadde que el producto de elementos no nulos nunca es nulo. Todos los cuerpos sonanillos ıntegros: Si en un cuerpo ab = 0 y a no es nulo, entonces 0 = a−1ab = b .

En todo anillo A podemos definir la resta b − a := b + (−a), y la divisiona/b := ab−1, cuando el divisor b es invertible en A.

La estructura de anillo proporciona el ambito natural de los conceptos usadosen el estudio de la divisibilidad, y esta es una de las razones de su importancia.Dados dos elementos a, b de un mismo anillo A, diremos que b es un multiplo de ao que a es un divisor de b si existe c ∈ A tal que b = ca. Diremos que un elementode A es el maximo comun divisor de a y b si es un divisor comun que es multiplode cualquier otro divisor comun, y diremos que es el mınimo comun multiplo sies un multiplo comun que divide a cualquier otro multiplo comun. Diremos que unelemento de un anillo es propio si no es nulo ni invertible. Por ultimo, diremos queun elemento propio p ∈ A es irreducible en A si en toda descomposicion p = abalgun factor es invertible; i.e., si no descompone en producto de dos elementospropios de A.

Sean u, a elementos de un anillo A. Si u es invertible en A, entonces a y uatienen los mismos divisores y los mismos multiplos en A. Por tanto, a es irreducibleen A si y solo si lo es ua. Por la misma razon el maximo comun divisor y el mınimocomun multiplo de dos elementos a, b ∈ A no varıan al sustituir a por ua .

Definicion: Diremos que un subconjunto B de un anillo A es un subanillo si esun subgrupo de A estable por el producto (si a, b ∈ B, entonces ab ∈ B) y contienea la unidad de A.

Es sencillo comprobar que la interseccion de subanillos de un anillo A tambienes un subanillo de A.

Dado un subanillo B ⊂ A y elementos a1, . . . , an ∈ A, el menor subanillo deA que los contiene (existe porque es la interseccion de todos los subanillos que loscontengan) se denotara B[a1, . . . , an], de modo que

B[a1, . . . , an] = ∑i1,...,in

bi1...inai11 . . . ain

n : bi1...in ∈ B

y diremos que B[a1, . . . , an] es el subanillo de A generado por B y a1, . . . , an.


3.2 Ideales

Definicion: Diremos que un subconjunto a de un anillo A es un ideal si es unsubgrupo estable por el producto por elementos arbitrarios de A; es decir:

1. Respecto de la suma, a es un subgrupo de A.

2. Si a ∈ A y b ∈ a , entonces ab ∈ a .

Dados dos ideales a, b de un anillo A, diremos que a divide a b cuando a ⊇ b.

Interseccion de Ideales: Es facil comprobar que la interseccion de cualquierfamilia de ideales de un anillo A es tambien un ideal de A, y es claramente elmayor ideal de A contenido en todos los ideales de la familia dada. Es decir, elideal a ∩ b divide a cualquier otro ideal de A que sea divisible por a y b.

Suma de Ideales: La suma o maximo comun divisor de dos ideales a, b deun anillo A es el ideal

a + b = a + b : a ∈ a, b ∈ by es el menor ideal de A que contiene a los ideales a y b. Es decir, cualquier otroideal que divida a a y a b divide tambien a a + b.

Dados elementos a1, . . . , an ∈ A, el ideal a1A+ . . .+anA es el menor ideal de Aque los contiene y lo denotaremos tambien (a1, . . . , an). Diremos que es el ideal deA engendrado por a1, . . . , an, o bien que a1, . . . , an generan tal ideal. El ideal(a) que genera un elemento a ∈ A esta formado por sus multiplos: (a) = aA .

Producto de Ideales: El producto de dos ideales a, b de un anillo A es el idealgenerado por los productos de elementos de a por elementos de b:

ab = a1b1 + . . . + anbn : a1, . . . , an ∈ a, b1, . . . , bn ∈ bEs facil comprobar que estas operaciones con ideales tienen las siguientes pro-

piedades, que generalizan las propiedades del maximo comun divisor y del mınimocomun multiplo de numeros enteros:

(a + b) + c = a + (b + c) , a + a = a

a + b = b + a , a + 0 = a , a + A = A

(ab)c = a(bc) = abc , ab ⊆ a ∩ b , ab = ba

(a)(b) = (ab) , a · 0 = 0 , a ·A = a

a ∩ (b + c) ⊇ (a ∩ b) + (a ∩ c) , a + (b ∩ c) ⊆ (a + b) ∩ (a + c)a(b ∩ c) ⊆ (ab) ∩ (ac) , (a + b)c = ac + bc

(a1, . . . , an)(b1, . . . , bm) = (a1b1, . . . , a1bm, . . . , anb1, . . . , anbm)

3.2. IDEALES 47

Definicion: Diremos que un ideal m de un anillo A es maximal cuando m 6= A yel unico ideal de A que contiene estrictamente a m es A (es decir, los unicos idealesde A que dividen a m son A = (1) y m). Diremos que un ideal p de un anillo A esprimo cuando p 6= A y se verifica que

ab ∈ p ⇒ a ∈ p o b ∈ p

(si un producto esta en p, algun factor esta en p). Por definicion, si un ideal primodivide a un producto de elementos del anillo, divide a algun factor.

Ejemplo: El ideal 0 de Z es primo, porque si un producto de numeros enteroses nulo, algun factor es nulo. Si un numero entero n 6= 0 no es primo, el idealnZ no es primo. Ademas, si p es un numero primo, el lema de Euclides afirmaprecisamente que el ideal pZ es primo; luego los ideales primos de Z son los idealespZ, donde p es primo, y el ideal 0.

Los ideales maximales de Z son los ideales pZ, donde p es un numero primo.

Morfismos de Anillos

Definicion: Diremos que una aplicacion f : A → B entre dos anillos es un mor-fismo de anillos cuando conserva la suma, el producto y la unidad:

f(a + b) = f(a) + f(b)f(a · b) = f(a) · f(b)

f(1) = 1

Diremos que un morfismo de anillos f : A → B es un isomorfismo de anillossi existe un morfismo de anillos g : B → A tal que f g es la identidad de B y g fes la identidad de A, en cuyo caso diremos que tal morfismo g (que claramente esunico, pues es la aplicacion inversa de f) es el inverso de f y lo denotaremos f−1.Llamaremos automorfismos de un anillo A a los isomorfismos de A con A.

Sea f : A → B un morfismo de anillos. En particular f es un morfismo degrupos, ası que f(0) = 0 y f(−a) = −f(a). Ademas, si u ∈ A es invertible en A,es facil comprobar que f(u) es invertible en B y que f(u−1) = f(u)−1. Tambienes sencillo comprobar que la imagen de f es un subanillo de B. Si h : B → C esotro morfismo de anillos, la composicion h f tambien es morfismo de anillos.

Proposicion 3.2.1 Sea f : A → B un morfismo de anillos.Si b es un ideal de B, entonces f−1(b) es un ideal de A. Por tanto Ker f es

un ideal de A.Si a es un ideal de A y f es epiyectivo, f(a) es un ideal de B.


Demostracion: Si b es un ideal de B, por definicion b es un subgrupo de B, ası quef−1(b) es un subgrupo de A de acuerdo con 2.3.3. Ademas, si a ∈ A y x ∈ f−1(b),entonces f(ax) = f(a)f(x) ∈ b; luego ax ∈ f−1(b) y concluimos que f−1(b) es unideal de A.

Por otra parte, si a es un ideal de A, es un subgrupo de A, ası que f(a) esun subgrupo de B de acuerdo con 2.3.3. Ademas, si b ∈ B y z ∈ f(a), entoncesz = f(x) para algun x ∈ a y existe a ∈ A tal que f(a) = b, porque se supone que fes epiyectivo. Luego bz = f(a)f(x) = f(ax) ∈ f(a), porque ax ∈ a, y concluimosque f(a) es un ideal de B.

3.3 Polinomios

Sea A un anillo. El anillo de polinomios en una indeterminada x con coeficientesen A es el conjunto de las expresiones

∑i aix

i = a0 + a1x + a2x2 + . . .

donde los terminos ai son elementos del anillo A y son todos nulos salvo un numerofinito, con la estructura de anillo que definen las siguientes operaciones:

(∑i aix

i)

+(∑

i bixi)

=∑

i(ai + bi)xi

(∑i aix

i) · (∑j bjx

j)

=∑n≥0

( ∑i+j=n

aibj

)xn

(compruebese que definen una estructura de anillo) y lo denotaremos A[x].

Dado un polinomio p(x) =∑

i aixi, los terminos a0, a1, . . . ∈ A se llaman

coeficientes del polinomio p(x), y lo determinan completamente. Diremos queun polinomio es constante si todos sus coeficientes son nulos, salvo quizas a0.Cada elemento a ∈ A define un polinomio constante que tambien denotaremos a.Obtenemos ası un morfismo de anillos canonico A → A[x].

Si un polinomio p(x) no es nulo, existe un unico numero natural d tal quead 6= 0 y ar = 0 para todo r > d. Tal numero natural recibe el nombre de gradodel polinomio p(x) y se denotara gr p(x). Es facil probar que:

gr p(x) = 0 ⇔ p(x) es un polinomio constante no nulo

gr(p(x) + q(x)

) ≤ max(gr p(x), gr q(x)

)

gr(p(x) · q(x)

) ≤ gr p(x) + gr q(x)

Proposicion 3.3.1 Sea A un anillo ıntegro. El producto de polinomios no nuloscon coeficientes en A nunca es nulo, y su grado es la suma de los grados de losfactores. Por tanto, todo multiplo no nulo de un polinomio p(x) ∈ A[x] tiene gradomayor o igual que el grado de p(x).

3.3. POLINOMIOS 49

Demostracion: Sean p(x) =∑

i aixi y q(x) =

∑j bjx

j dos polinomios con co-eficientes en A. Si d = gr p(x) y r = gr q(x), entonces ad y br no son nulos;luego adbr 6= 0 y, como es un coeficiente de p(x)q(x), se sigue que p(x)q(x) 6= 0y gr

(p(x)q(x)

) ≥ d + r. Como siempre gr(p(x)q(x)

) ≤ d + r, concluimos quegr

(p(x)q(x)

)= gr p(x) + gr q(x) .

Definicion: Sea A un anillo y n un numero natural. Si n ≥ 2, el anillo depolinomios A[x1, . . . , xn] en n indeterminadas con coeficientes en A se defineinductivamente del siguiente modo:

A[x1, . . . , xn] := (A[x1, . . . , xn−1])[xn]

En particular A[x, y] = A[x][y], ası que todo polinomio p(x, y) en dos inde-terminadas x, y con coeficientes en A descompone de modo unico de la siguienteforma:

p(x, y) =∑i≥0

( ∑j≥0

aijxi)yj =

∑i,j≥0

aijxiyj

donde aij ∈ A. En general, cada polinomio p(x1, . . . , xn) ∈ A[x1, . . . , xn] descom-pone de modo unico de la siguiente forma:

p(x1, . . . , xn) =∑

i1,...,in≥0

ai1...inxi11 · · ·xin

n

donde los elementos ai1...in ∈ A son todos nulos, salvo un numero finito, y sellaman coeficientes del polinomio p(x1, . . . , xn). Si b1, . . . , bn ∈ A, pondremos:

p(b1, . . . , bn) =∑

i1,...,in≥0

ai1...inbi11 · · · bin

n .

Si un polinomio p(x1, . . . , xn) no es nulo, su grado es el numero

gr p(x1, . . . , xn) = maxi1 + . . . + in : ai1...in 6= 0y no debe confundirse con el grado de p(x1, . . . , xn) como polinomio en xn concoeficientes en el anillo A[x1, . . . , xn−1]. Diremos que un polinomio p(x1, . . . , xn)es constante si todos sus coeficientes son nulos, salvo quizas a0...0; es decir, lospolinomios constantes no nulos son los de grado cero. Cada elemento a ∈ A defineun polinomio constante que denotaremos a, obteniendo ası un morfismo de anilloscanonico A → A[x1, . . . , xn].

Proposicion 3.3.2 Sea A un anillo ıntegro. El anillo A[x1, . . . , xn] tambien esıntegro y los elementos invertibles de A[x1, . . . , xn] son los polinomios constantesdefinidos por invertibles de A:

A[x1, . . . , xn]∗ = A∗ .


Demostracion: Procedemos por induccion sobre n. Cuando n = 1, se sigue de 3.3.1que el anillo A[x] es ıntegro. Ademas, si p(x) ∈ A[x] es invertible en A[x], entoncesexiste q(x) ∈ A[x] tal que p(x)q(x) = 1; luego gr

(p(x)q(x)

)= 0 y, segun 3.3.1,

tenemos que gr p(x) = gr q(x) = 0. Es decir, existen b, c ∈ A tales que p(x) = b,q(x) = c, de modo que bc = p(x)q(x) = 1 y concluimos que b es invertible en A.

Cuando n > 1, por hipotesis de induccion A[x1, . . . , xn−1] es ıntegro y suselementos invertibles coinciden con A∗. Luego A[x1, . . . , xn−1][xn] es ıntegro y

A[x1, . . . , xn−1][xn]∗ = A[x1, . . . , xn−1]∗ = A∗ .

Teorema de Division: Sea p(x) = a0xn + . . .+an un polinomio con coeficientes

en un anillo A. Si a0 es invertible en A, entonces para cada polinomio q(x) ∈ A[x]existe una unica pareja de polinomios c(x), r(x) ∈ A[x] tales que

q(x) = c(x) · p(x) + r(x) , gr r(x) < gr p(x) o r(x) = 0

Demostracion: Veamos primero la existencia de tales polinomios c(x), r(x). Pro-cedemos por induccion sobre el grado d del polinomio q(x). Si d < n, basta tomarc(x) = 0 y r(x) = q(x).

Si d ≥ n, consideramos los coeficientes de p(x) y q(x):

p(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . . + an

q(x) = b0xd + b1x

d−1 + . . . + bd

donde a0 y b0 no son nulos. El grado de q(x) = q(x)− (b0/a0)xd−n · p(x) es menorque d, ası que, por hipotesis de induccion, existen c(x), r(x) ∈ A[x] tales que

q(x) = c(x) · p(x) + r(x) , gr r(x) < n o r(x) = 0

Luego q(x) = (b0a−10 xd−n + c(x)) · p(x)+ r(x), donde gr r(x) < gr p(x) o r(x) = 0.

En cuanto a la unicidad, si existieran otros polinomios c(x), r(x) ∈ A[x] talesque q(x) = c(x) · p(x) + r(x) y gr r(x) < gr p(x) o r(x) = 0, entonces

p(x)(c(x)− c(x)) = r(x)− r(x) .

Por tanto r(x)− r(x) es un multiplo de p(x) que es nulo o de grado menor que elgrado de p(x), ası que es nulo por ser a0 invertible, y se sigue que r(x) = r(x); luegop(x)(c(x)− c(x)) = 0, de modo que c(x)− c(x) = 0 y concluimos que c(x) = c(x).

Regla de Ruffini (1765-1822): Sea p(x) un polinomio con coeficientes en unanillo A. Si a ∈ A, entonces el resto de la division de p(x) por x− a es p(a). Portanto, la condicion necesaria y suficiente para que p(x) sea multiplo de x − a enel anillo A[x] es que p(a) = 0.

Demostracion: Sea p(x) = q(x)(x− a) + r(x) la division de p(x) por x− a.Como gr r(x) < 1 o r(x) = 0, se sigue que el polinomio r(x) es constante,

r(x) = r, y concluimos que p(a) = q(a) · 0 + r = r.

3.4. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO 51

3.4 Polinomios con Coeficientes en un Cuerpo

Definicion: Sea p(x) = c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn un polinomio con coeficientesen un cuerpo k. Diremos que un elemento a ∈ k es una raız de p(x) en k cuandop(a) = c0a

n + c1an−1 + . . . + cn = 0.

Si p(x) descompone en producto de dos polinomios, p(x) = q(x)r(x), entoncesla condicion necesaria y suficiente para que a ∈ k sea raız de p(x) es que sea raızde q(x) o de r(x), pues p(a) = q(a)r(a) y k es ıntegro.

Teorema 3.4.1 Si un polinomio c0xn +c1x

n−1 + . . .+cn, c0 6= 0, con coeficientesenteros tiene la raız a/b ∈ Q, donde m.c.d.(a, b) = 1, entonces b divide a c0 y adivide a cn.

En particular, si c0 = ±1, todas sus raıces racionales son enteras.

Demostracion: Si a/b es una raız, entonces

c0an + c1a

n−1b + . . . + cn−1abn−1 + cnbn = 0

de modo que c0an = −c1a

n−1b− . . .− cnbn es un multiplo de b y a es un divisorde cnbn = −c0a

m− . . .− cn−1abn−1. Como a y b son primos entre sı por hipotesis,en virtud de II.2.5 concluimos que c0 es multiplo de b y cn es multiplo de a.

Nota: El teorema 3.4.1 permite hallar todas las raıces racionales de cualquierpolinomio con coeficientes racionales, pues podemos suponer que este tiene coe-ficientes enteros y el numero de divisores de un numero entero siempre es finito.Por ejemplo, las posibles raıces racionales del polinomio 3x4 + x3 + x2 + x− 2 son±1,±2,±1/3,±2/3 y sustituyendo en el polinomio se comprueba que sus raıcesracionales son −1 y 2/3.

Teorema 3.4.2 Sea k un cuerpo. Todo polinomio de grado 1 con coeficientes enk es irreducible en k[x] y tiene una unica raız en k.

Demostracion: Sea p(x) = ax + b, a 6= 0. Si p(x) = q(x)r(x) para ciertos poli-nomios q(x), r(x) ∈ k[x], entonces gr q(x) + gr r(x) = gr p(x) = 1, ası que algunfactor tiene grado cero y es invertible en k[x].

Por otra parte, la unica raız de p(x) en k es claramente −b/a.

Proposicion 3.4.3 Todo polinomio irreducible de grado mayor que 1 con coefi-cientes en un cuerpo k carece de raıces en k.

Demostracion: Si un polinomio irreducible p(x) ∈ k[x] admite alguna raız a ∈ k,entonces p(x) = q(x)(x − a) para algun q(x) ∈ k[x]. Como p(x) es irreducible,entonces q(x) ha de ser invertible, luego de grado 0 y concluimos que gr p(x) = 1.


Corolario 3.4.4 Sea p(x) un polinomio de grado 2 o 3 con coeficientes en uncuerpo k. La condicion necesaria y suficiente para que p(x) sea irreducible en k[x]es que no tenga raıces en k.

Demostracion: La necesidad de la condicion se sigue de 3.4.3. Recıprocamente,si p(x) no es irreducible en k[x], tendremos p(x) = q1(x)q2(x) donde algun factortiene grado 1, porque gr q(x) + gr q2(x) = 2 o 3, y por tanto tiene una raız en k.

Nota: El teorema 3.4.1 resuelve el problema de hallar las raıces racionales delos polinomios con coeficientes racionales, ası que 3.4.4 permite determinar la irre-ducibilidad en Q[x] de los polinomios de grado 2 y 3. En cuanto a la irreducibilidadde los polinomios de grado 4 con coeficientes racionales, tambien puede decidirseusando 3.4.1. En efecto, si una cuartica x4+a3x

3+a2x2+a1x+a0 ∈ Q[x] carece de

raıces racionales, para determinar si es irreducible basta comprobar la inexistenciade factores de grado 2:

x4 + a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 = (x2 + b1x + b0)(x2 + c1x + c0) .

Es decir, basta ver si el siguiente sistema de 4 ecuaciones algebraicas carece desoluciones racionales:

a3 = b1 + c1

a2 = b0 + b1c1 + c0

a1 = b0c1 + b1c0

a0 = b0c0

De la primera ecuacion y la ultima obtenemos que c1 = a3−b1 y c0 = a0/b0. Susti-tuyendo en la tercera ecuacion, esta permite despejar b1 en funcion de b0. Susti-tuyendo estos valores en la segunda ecuacion obtenemos una ecuacion polinomicaen la indeterminada b0, polinomio que carece de raıces racionales precisamentecuando la cuartica dada es irreducible.

Corolario 3.4.5 Sea k un cuerpo. Si a1, . . . , ar ∈ k son raıces distintas de unpolinomio p(x) ∈ k[x], entonces p(x) es multiplo de (x− a1) · · · (x− ar) en k[x].

Demostracion: Procedemos por induccion sobre r, pues es la Regla de Ruffinicuando r = 1.

Cuando r > 1, de acuerdo con la Regla de Ruffini tenemos que p(x) = q(x)(x−ar) para algun q(x) ∈ k[x]. Como a1, . . . , ar−1 son raıces de p(x) y no son raıcesde x − ar, han de ser raıces de q(x). Por hipotesis de induccion q(x) es multiplode (x−a1) · · · (x−ar−1) en k[x], y concluimos que p(x) = q(x)(x−ar) es multiplode (x− a1) · · · (x− ar).

Teorema 3.4.6 Si p(x) es un polinomio no nulo con coeficientes en un cuerpo k,el numero de raıces de p(x) en k no supera al grado de p(x).

3.4. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO 53

Demostracion: Si (x−a1) · · · (x−ar) divide a p(x) y p(x) 6= 0, entonces r ≤ gr p(x).

Formula de Interpolacion de Lagrange (1736-1813): Sean a1, . . . , an elemen-tos distintos de un cuerpo k. Para cada sucesion b1, . . . , bn de elementos de k (nonecesariamente distintos), existe un unico polinomio p(x) ∈ k[x] de grado menorque n tal que p(ai) = bi, 1 ≤ i ≤ n:

p(x) =n∑

j=1

bjqj(x)qj(aj)

, qj(x) =(x− a1) · · · (x− an)

(x− aj)

Demostracion: Si p(x), q(x) ∈ k[x] son dos polinomios de grado menor que n talesque p(ai) = q(ai) = bi para todo 1 ≤ i ≤ n, entonces a1, . . . , an son raıces dep(x) − q(x) en k y, por el teorema anterior, concluimos que p(x) − q(x) = 0; esdecir, p(x) = q(x). Por ultimo, con las notaciones del enunciado, es claro queqi(aj) = 0 cuando i 6= j; luego:

∑

j

bjqj(ai)qj(aj)

= biqi(ai)qi(ai)

= bi

Raıces Complejas

Lema 3.4.7 Sea p(x) = c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn−1x + cn un polinomio concoeficientes complejos. Si c es el maximo de los modulos de c1, c2, . . . , cn, entoncespara todo numero complejo z de modulo ρ > 1 se verifica que

ρn

(|c0| − c

ρ− 1

)≤ |p(z)|

Demostracion: |p(z)| ≥ |c0zn| − |c1z

n−1 + . . . + cn|≥ |c0|ρn − c(ρn−1 + . . . + 1) = |c0|ρn − c(ρn − 1)/(ρ− 1)≥ |c0|ρn − cρn/(ρ− 1) = ρn

(|c0| − c/(ρ− 1)).

Corolario 3.4.8 Con las notaciones del lema anterior, el modulo de cualquierraız compleja de p(x) esta acotado por 1 +

(c/|c0|

).

Definicion: Diremos que un cuerpo k es algebraicamente cerrado cuando todopolinomio no constante con coeficientes en k tenga alguna raız en k.

Teorema de D’Alembert (1717-1783): El cuerpo C de los numeros complejoses algebraicamente cerrado.

Demostracion: Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en C y sea run numero real positivo. El disco Dr = z ∈ C: |z| ≤ r es un conjunto cerrado y


acotado de C; luego es compacto y la funcion continua f : Dr → R, f(z) = |p(z)|,alcanza un mınimo en algun punto a ∈ Dr.

De acuerdo con 3.4.7, podemos elegir r de modo que |p(z)| > |p(0)| para todonumero complejo z de modulo r, de modo que el mınimo de f no se alcanza enningun punto de modulo r, por lo que tal mınimo a tiene que ser un punto interiorde Dr. Vamos a probar que p(a) = 0. Si |p(a)| > 0, consideramos la primerapotencia de x que tenga coeficiente no nulo en el polinomio p(a + x):

p(a + x) = p(a) + cdxd + cd+1x

d+1 + . . . + cnxn , cd 6= 0

Como cd 6= 0, podemos fijar el argumento de z ∈ C de modo que el modulo dep(a) + cdz

d sea |p(a)| − |cdzd|. Luego

|p(a + z)| ≤ |p(a)| − |cdzd|+ |cd+1z

d+1 + . . . + cnzn|

es menor que |p(a)| cuando

|cd+1zd+1 + . . . + cnzn| ≤ c(n− d)|z|d+1

sea menor que |cd · zd|, donde c = max|ci|; lo que nos lleva a contradiccion,pues claramente podemos elegir z de modo que a + z este en el disco Dr, tenga elargumento prefijado y c(n− d)|z|d+1 ≤ |cd| · |z|d = |cdz

d|.

Corolario 3.4.9 Los polinomios irreducibles en C[x] son los de grado 1.

Demostracion: Sea p(x) un polinomio irreducible con coeficientes complejos. Porel teorema de D’Alembert p(x) tiene alguna raız compleja α, ası que 3.4.3 nospermite concluir que el grado de p(x) es 1.

Corolario 3.4.10 Los polinomio irreducible en R[x] son los de grado 1 y los degrado 2 sin raıces reales.

Demostracion: Sea p(x) un polinomio irreducible en R[x] de grado mayor que1 y consideremos p(x) como polinomio con coeficientes complejos. Existe algunnumero complejo a + bi que es raız de p(x); luego

0 = p(a + bi) = p(a− bi)

y tambien a− bi es raız de p(x). Al ser b 6= 0, de 3.4.5 se sigue que(x− (a + bi)

)(x− (a− bi)

)= x2 − 2ax + (a2 + b2)

divide a p(x) en C[x]; luego tambien en R[x], pues ambos polinomios tienen coefi-cientes reales. Como p(x) es irreducible en R[x], su grado ha de ser 2.

3.5. ANILLO COCIENTE 55

3.5 Anillo Cociente

Sea a un ideal de un anillo A. Respecto de la suma a es un subgrupo de A, ası quea define una relacion de equivalencia en A (a ≡ b ⇔ b−a ∈ a) y el correspondienteconjunto cociente se denotara A/a. La clase de equivalencia de cualquier elementoa ∈ A respecto de ≡ es

a + a = a + x : x ∈ ay diremos que es la clase de restos de a modulo a. Tal clase de equivalencia sedenotara a o [a] cuando no origine confusion.

Teorema 3.5.1 Sea a un ideal de un anillo A. Existe una unica estructura deanillo en A/a tal que la proyeccion canonica π : A → A/a es morfismo de anillos.Ademas a = Ker π .

Demostracion: Ya sabemos que la operacion [a] + [b] = [a + b] define en A/auna estructura de grupo conmutativo y que a = Ker π . Si u, v ∈ A/a, definimosu · v = [ab] donde [a] = u, [b] = v:

[a] · [b] = [ab]

Veamos que u · v no depende de los representantes a, b elegidos. Si [a] = [a′],entonces existen c ∈ a tales que a′ = a+c; luego a′b = ab+cb ∈ ab+a y concluimosque [a′b] = [ab].

Es inmediato comprobar que esta operacion define en el grupo conmutativoA/a una estructura de anillo conmutativo con unidad, que es [1]. Ademas, esclaro que con esta estructura de anillo la proyeccion canonica π es morfismo deanillos.

Para concluir demostraremos la unicidad. Si ⊕ y ¯ son otras dos operacionesen A/a que tambien definen una estructura de anillo tal que π sea morfismo deanillos, para todo x, y ∈ A/a existen a, b ∈ A tales que x = π(a), y = π(b); luego

x + y = π(a) + π(b) = π(a + b) = π(a)⊕ π(b) = x⊕ yx · y = π(a) · π(b) = π(ab) = π(a)¯ π(b) = x¯ y

Ejemplo: Si n es un numero natural, nZ es un ideal de Z, ası que en Z/nZtenemos una estructura de anillo, definida por las operaciones:

[a]n + [b]n = [a + b]n , [a]n · [b]n = [ab]n

y la condicion necesaria y suficiente para que [m]n sea invertible en Z/nZ es quemb ≡ 1 (mod. n) para algun b ∈ Z; es decir, que m sea primo con n. En tal caso, elinverso de [m]n en Z/nZ puede calcularse con la Identidad de Bezout 1 = αm+βn,pues 1 = [α]n · [m]n, y el inverso de [m]n en Z/nZ es [α]n.


Por tanto, la condicion necesaria y suficiente para que el anillo Z/nZ sea uncuerpo es que el numero n sea primo. Tenemos ası para cada numero primo p uncuerpo finito con p elementos Z/pZ, que denotaremos Fp.

Estos anillos Z/nZ se usan sistematicamente en el estudios de las congruencias.Por ejemplo, dos numeros enteros a, b son solucion de cierta congruencia

∑i,j≥0

aijxiyj ≡ 0 (mod. n)

precisamente cuando sus clases de restos a, b son solucion de la ecuacion∑

i,j≥0

aijxiyj = 0

(es decir,∑

ij aij aibj = 0) porque la proyeccion canonica π : Z→ Z/nZ, π(x) = x,

es morfismo de anillos. En particular, si x = a, y = b es una solucion entera deuna ecuacion diofantica

∑i,j≥0 aijx

iyj = 0, entonces sus clases de restos a, b sonsolucion de la correspondiente ecuacion reducida

∑i,j≥0 aijx

iyj = 0 modulo n,cualquiera que sea el numero natural n. Por tanto, si hallamos todas las solu-ciones en Z/nZ de la ecuacion reducida, estas determinan las posibles clases derestos modulo n de las soluciones enteras de la ecuacion dada. En particular, si laecuacion reducida carece de soluciones en Z/nZ, entonces la ecuacion diofanticaconsiderada carece de soluciones enteras.

Propiedad Universal: Sea a un ideal de un anillo A y π : A → A/a la proyeccioncanonica. Si f : A → B es un morfismo de anillos y a ⊆ Ker f , entonces existe ununico morfismo de anillos φ : A/a → B tal que f = φ π :

Af−→ B

π φ

A/a

Demostracion: Todo anillo A es un grupo (para la suma), todo ideal a de A es unsubgrupo normal de A y todo morfismo de anillos f : A → B es un morfismo degrupos. En virtud de la propiedad universal del grupo cociente A/a, si a ⊆ Ker f ,entonces existe un unico morfismo de grupos φ : A/a → B tal que f = φ π. Paraconcluir bastara probar que φ es de hecho un morfismo de anillos:

φ([a] · [b]) = φ([ab]) = f(ab) = f(a)f(b) = φ([a])φ([b])φ(1) = φ(π(1)) = f(1) = 1

Teorema de Isomorfıa: Si f : A → B es un morfismo de anillos, la aplicacionφ : A/Ker f → Im f , φ([a]) = f(a), es isomorfismo de anillos:

A/Ker f ' Im f

3.5. ANILLO COCIENTE 57

Demostracion: Ya sabemos que φ es un isomorfismo de grupos, y la demostraciondel teorema anterior muestra que φ es morfismo de anillos; luego es isomorfismode anillos.

Corolario 3.5.2 Si f : A → B es un morfismo de anillos epiyectivo, entonces elanillo A/Ker f es isomorfo al anillo B.

Teorema Chino del Resto: Sean a y b ideales de un anillo A. Si a + b = A,entonces a ∩ b = ab, y tenemos un isomorfismo de anillos

φ : A/a ∩ b −→ (A/a)×(A/b) ; φ([x]ab) = ([x]a, [x]b)

Demostracion: Por hipotesis existen a ∈ a y b ∈ b tales que 1 = a + b. Ahora, sic ∈ a ∩ b, tenemos que c = c(a + b) = ca + cb ∈ ab; ası que a ∩ b = ab, pues lainclusion contraria siempre es valida.

Ademas, el morfismo de anillos f : A → (A/a)×(A/b), f(x) = ([x]a, [x]b), esepiyectivo, porque ([c]a, [d]b) proviene de x := bc + ad:

c = (a + b)c ≡ bc ≡ bc + ad (modulo a)d = (a + b)d ≡ ad ≡ bc + ad (modulo b)

Como el nucleo de f es a ∩ b, el corolario anterior nos permite concluir.

Teorema 3.5.3 Sea a un ideal de un anillo A.

a es un ideal primo de A ⇔ el anillo A/a es ıntegroa es un ideal maximal de A ⇔ el anillo A/a es un cuerpo

Demostracion: Si el ideal a es primo, A/a 6= 0 porque a 6= A. Ademas, si [a]·[b] = 0y [b] 6= 0, entonces ab ∈ a y b no esta en a; luego a ∈ a y [a] = 0. Recıprocamente,si A/a es ıntegro, a 6= A porque A/a 6= 0. Ademas, ab ∈ a ⇒ [a] · [b] = [ab] = 0 ⇒[a] = 0 o [b] = 0 ⇒ a ∈ a o b ∈ a.

Si el ideal a es maximal, A/a 6= 0 porque a 6= A. Ademas, si [a] 6= 0, el ideala + aA contiene estrictamente a a; luego A = a + aA y existen x ∈ a, b ∈ A talesque 1 = x + ab. Se sigue que [a] · [b] = 1 y obtenemos que [a] es invertible en A/a.

Recıprocamente, si A/a es un cuerpo, a 6= A porque A/a 6= 0. Ademas, si b esun ideal de A que contiene estrictamente a a, existe algun b ∈ b que no esta en a;luego [b] 6= 0 en A/a y existe algun [a] ∈ A/a tal que [a][b] = 1. Luego (1−ab) ∈ ay 1 = (1− ab) + ab ∈ b, de modo que b = A. q.e.d.

Como todo cuerpo es ıntegro, el teorema anterior implica el siguiente resultado,generalizacion del clasico lema de Euclides (325?-265? a. de Cristo) sobre numerosprimos a los anillos arbitrarios:


Teorema 3.5.4 Todo ideal maximal es primo.

Corolario 3.5.5 Si a1, . . . , an son elementos de un cuerpo k, entonces

m := p ∈ k[x1, . . . , xn] : p(a1, . . . , an) = 0es un ideal maximal del anillo k[x1, . . . , xn]. Ademas m = (x1 − a1, . . . , xn − an)y el morfismo natural k → k[x1, . . . , xn]/m es un isomorfismo de anillos.

Demostracion: El morfismo de anillos natural k → k[x1, . . . , xn]/(x1−a1, . . . , xn−an), a 7→ [a], es inyectivo porque si a ∈ (x1 − a1, . . . , xn − an), a = p1(x − a1) +. . . + pn(x− an), la sustitucion xi = ai muestra que a = 0; y es epiyectivo porque[xi] = [ai] esta en la imagen, y esta es un subanillo. Luego (x1 − a1, . . . , xn − an)es un ideal maximal de k[x1, . . . , xn] de acuerdo con 3.5.3.

Como m es un ideal que contiene a (x1 − a1, . . . , xn − an), y claramente m 6=k[x1, . . . , xn], concluimos que m = (x1 − a1, . . . , xn − an).

Sistemas de Ecuaciones Algebraicas: Cuando planteamos un sistema de ecua-ciones polinomicas, digamos con coeficientes racionales, como pueda ser

−2x3 + x3y2 = y4

x3 − y2 = 1

y a continuacion obtenemos algunas consecuencias

y2 = x3 − 1 , (x3 − 1)2 = −2x3 + x3(x3 − 1) , x3 = −1 , 2 = −y2

todas estas igualdades son obviamente falsas en el anillo de polinomios Q[x, y];pero son ciertas en el anillo cociente

Q[x, y]/(−2x3 + x3y2 − y4, x3 − y2 − 1)

por el ideal a generado por las ecuaciones del sistema considerado, porque laproyeccion canonica π : Q[x, y] → Q[x, y]/a es morfismo de anillos. Las consecuen-cias del sistema son las relaciones que se dan en este anillo cociente y, cuandoexpresan la anulacion de un elemento, vienen dadas por los polinomios del ideala, porque a = Ker π. Por ejemplo, los polinomios x3 + 1, y2 + 2 estan en el ideala: descomponen en suma de un multiplo de −2x3 + x3y2 − y4 y un multiplo dex3 − y2 − 1.

Dos sistemas de ecuaciones deben considerarse equivalentes cuando las ecua-ciones de cada sistema sean consecuencias de las del otro sistema. De aquı la im-portancia crucial de la teorıa de ideales en el estudio de los sistemas de ecuacionesalgebraicas, pues permite definir con rigor el concepto de sistemas equivalentes:Diremos que dos sistemas de ecuaciones polinomicas en n indeterminadas

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

q1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

qs(x1, . . . , xn) = 0

3.6. CONGRUENCIA DE EULER 59

con coeficientes en un anillo A son equivalentes si sus ecuaciones generan elmismo ideal (p1, . . . , pr) = (q1, . . . , qs) en el anillo A[x1, . . . , xn] . Es decir, cuando

pi(x1, . . . , xn) =s∑

j=1

aij(x1, . . . , xn)qj(x1, . . . , xn)

qj(x1, . . . , xn) =r∑

i=1

bji(x1, . . . , xn)pi(x1, . . . , xn)

para ciertos polinomios aij(x1, . . . , xn), bji(x1, . . . , xn) con coeficientes en A. Enparticular, si dos sistemas son equivalentes, tienen las mismas soluciones en A yen cualquier otro anillo B del que A sea subanillo.

3.6 Congruencia de Euler

Sea n un numero natural mayor o igual que 2. Los elementos invertibles del anilloZ/nZ, que son las clases de restos modulo n de los numeros primos con n, formanun grupo con el producto de Z/nZ. Este grupo es conmutativo y su orden es elindicador de Euler φ(n):

(Z/nZ)∗ = [m]n : m.c.d.(m,n) = 1 Propiedades del Indicador de Euler (1707-1783):

φ(pr) = (p− 1)pr−1 si p es un numero primo y r ≥ 1φ(n ·m) = φ(n) · φ(m) si n y m son primos entre sı

Demostracion: La primera igualdad se debe a que los numeros primos con pr sonjustamente los que no son multiplos de p. Luego p, 2p, . . . , pr−1p son los unicosnumeros entre 1 y pr que no son primos con pr.

En cuanto a la segunda igualdad, segun el Teorema chino del resto tenemos unisomorfismo de anillos Z/nmZ = (Z/nZ)× (Z/mZ) , que induce un isomorfismode grupos

(Z/nmZ)∗ = (Z/nZ× Z/mZ)∗ = (Z/nZ)∗ × (Z/mZ)∗

Congruencia de Euler: Si a y n son numeros enteros primos entre sı, entonces

aφ(n) ≡ 1 (mod. n)

Demostracion: Si a es primo con n, entonces [a]n esta en (Z/nZ)∗, que es un grupofinito de orden φ(n), ası que 2.5.4 permite concluir que

[1]n = [a]φ(n)n = [aφ(n)]n


Ejemplo: Si a y n son numeros enteros primos entre sı, las soluciones enteras dela congruencia ax ≡ b (mod. n) son: x = aφ(n)−1b + tn, t ∈ Z .

Congruencia de Fermat (1601-1665): Sea p un numero primo. Si un numeroentero a no es multiplo de p, entonces

ap−1 ≡ 1 (mod. p)

Demostracion: Si a no es multiplo de p, entonces m.c.d.(a, p) = 1, porque p esprimo. Ademas φ(p) = p− 1 cuando p es primo.

Corolario 3.6.1 Si p es primo, entonces ap ≡ a (mod. p) para todo a ∈ Z.

Corolario 3.6.2 Sea p un numero primo impar. Los restos cuadraticos no nulosmodulo p forman un subgrupo de F∗p de orden p−1

2 , y son las soluciones de lacongruencia

xp−12 ≡ 1 (modulo p)

Demostracion: La aplicacion f : F∗p → F∗p, f(x) = x2, es un morfismo de grupos.Su nucleo, que son las raıces del polinomio x2− 1 = (x + 1)(x− 1), es el subgrupo±1, porque Fp es un cuerpo y −1 6= 1 al ser p 6= 2. El teorema de isomorfıapermite concluir que la imagen de f , que esta formada por los restos cuadraticosno nulos, tiene orden p−1

2 .Por otra parte, si a ∈ F∗p es un resto cuadratico, a = b2, entonces a

p−12 = bp = 1

de acuerdo con la congruencia de Fermat. Como el polinomio xp−12 − 1 no puede

tener mas raıces que el grado, concluimos que todas sus raıces en Fp son los restoscuadraticos no nulos modulo p.

Corolario 3.6.3 Sea p un numero primo impar. La condicion necesaria y sufi-ciente para que −1 sea resto cuadratico modulo p es que p ≡ 1 (modulo 4).

Capıtulo 4

Anillos Euclıdeos

Sabemos determinar todas las raıces racionales de cualquier polinomio con coe-ficientes racionales; pero puede ocurrir que un polinomio no tenga ninguna raızracional. En tal caso nuestro proposito es hallar sus raıces en algun cuerpo may-or que Q, de modo analogo al conocido calculo de las raıces de los polinomiosax2 + bx + c de grado 2:

x =−b±√b2 − 4ac

2a

La consideracion atenta de esta formula muestra que, para los polinomios x2 − 2y x2 + 1, solo afirma que

√2 y

√−1 son raıces, donde√

2 y√−1 se han definido

precisamente por el hecho de que sus cuadrados sean 2 y −1 respectivamente,lo que parece una tautologıa. En modo alguno consideramos que no sabemos“resolver” la ecuacion x2 = 2, a pesar de que para cualquier otro polinomio tam-bien podrıamos decir una obviedad analoga sin que por ello podamos considerarresuelta la ecuacion. Esta perplejidad se debe a que de nuevo estamos ignorandouna estructura que pasa desapercibida. En efecto, la formula de las soluciones delas ecuaciones cuadraticas serıa una tautologıa inutil si no fuera precedida por elaprendizaje del calculo con radicales, que nos permite sumarlos, restarlos, multi-plicarlos y dividirlos entre sı y con numeros racionales.

Vemos pues que tal formula incluye dos pasos bien diferenciados. El primero,fundamental e implıcito, es desentranar una estructura de cuerpo: la aritmetica deradicales. El segundo, bien explıcito, es ya la expresion de las raıces mediante ra-dicales y las cuatro operaciones elementales. No es de extranar que, al permanecerimplıcito en gran parte el primer paso, historicamente la cuestion de extraer lasraıces de los polinomios de grado superior se plantease como el problema de suexpresion mediante radicales; pero sin cuestionarse siquiera la conveniencia de laestructura donde limitamos su busqueda. Ahora bien, esta restriccion es artifi-cial y solo puede explicarse por nuestro manejo desde temprana edad del calculo

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62 CAPITULO 4. ANILLOS EUCLIDEOS

aproximado de radicales, hecho que es externo a la cuestion considerada; puesel problema que pretendemos abordar es el de la expresion exacta de las raıcesde los polinomios, y no el de su calculo aproximado (lo que, por otra parte, esposible realizar para cualquier polinomio con coeficientes racionales con metodosde Calculo Numerico, sin necesidad de hallar previamente el valor exacto de lasraıces). Cierto es que la conocida formula de las raıces de los polinomios de grado2 proporciona tanto una expresion exacta de las raıces como un metodo para efec-tuar su calculo aproximado; pero en el caso de polinomios de grado arbitrario seranecesario separar nıtidamente ambas cuestiones. La limitacion de la busqueda delas raıces de los polinomios a su expresion por radicales es un ejemplo claro deencerrona intelectual debida a nuestra gran familiaridad con una estructura par-ticular, que nos impide considerar la posibilidad de estructuras alternativas mejoradaptadas al problema en cuestion1. La pregunta por las raıces de los polinomiosrequiere una pregunta previa sobre la estructura en que se han de explicitar estas,y es un ejemplo claro de lo que afirma Heidegger (1889-1976) en Ser y Tiempo:

“El verdadero progreso de la investigacion no consiste tanto en recogerlos resultados y recluirlos en tratados, cuanto en ese preguntar por lasestructuras fundamentales del dominio del caso, que surge, las mas delas veces como una reaccion, de semejante acumulacion de nocionessobre las cosas.”

Para que tenga sentido hablar de las raıces de un polinomio con coeficientes enun cuerpo, estas deben estar en una extension del cuerpo de coeficientes (es decir,en un cuerpo que lo contenga como subanillo). Por tanto, el problema generalde extraer una raız de cualquier polinomio p(x) con coeficientes en un cuerpo kincluye dos cuestiones. La primera y mas sutil es la construccion de un cuerpo Kque extienda al cuerpo de coeficientes k. La segunda es la determinacion de un ele-mento α de K tal que p(α) = 0. Puestos ya de manifiesto el verdadero problema yla encerrona mental que nos dificultaba su solucion, la respuesta hallada por Kro-necker (1823-1891) es maravillosamente sencilla, precisa y general. Por ejemplo, siq(x) es un polinomio con coeficientes racionales y p(x) es un factor irreducible deq(x), veremos que el anillo cociente Q[x]/

(p(x)

)es un cuerpo que contiene a Q, y

es obvio que α = [x] es una raız de p(x), ya que p(α) = [p(x)] = 0 . Ası este teore-ma de Kronecker pondra en evidencia que el problema de la extraccion de raıcesde polinomios con coeficientes en un cuerpo k se reduce esencialmente al problemade descomposicion en factores irreducibles de polinomios con coeficientes en k yen extensiones finitas de k, problema al que dedicaremos el proximo capıtulo.

1Algo similar ocurrio con la Geometrıa. Durante siglos fue impensable la posibilidad de unaestructura geometrica diferente de la geometrıa euclıdea clasica, hasta que a principios del sigloXIX se descubrio la existencia de geometrıas no euclıdeas y, rompiendo un ferreo cırculo invisibleque nos encerraba, Gauss (1777-1855) planteo la cuestion de la determinacion de la estructurageometrica del Universo, abordada por la teorıa de la relatividad de Einstein (1879-1955).

4.1. ANILLOS EUCLIDEOS 63

4.1 Anillos Euclıdeos

Dado un anillo A, cada elemento a ∈ A define un ideal de A: el ideal aA. Si doselementos a, b ∈ A difieren en un invertible de A (es decir, si existe u ∈ A∗ tal queb = ua), entonces aA = bA. En general, de la igualdad aA = bA no se sigue quea y b difieran en un invertible de A; sin embargo, cuando el anillo A es ıntegro, laigualdad aA = bA implica que b = ua, a = vb para ciertos u, v ∈ A; luego b = uvby b(1 − uv) = 0, de modo que uv = 1 o b = 0. En ambos casos concluimos queb = ua para algun u ∈ A invertible. En los anillos ıntegros, cada elemento a estadeterminado, salvo invertibles, por el ideal aA que genera.

Definicion: Diremos que un anillo A es euclıdeo si es ıntegro y existe unaaplicacion δ : A− 0 → N tal que:

1. δ(a) ≤ δ(ab) para todo par de elementos no nulos a, b ∈A.

2. Si a ∈ A no es nulo, para cada b ∈ A existen2 c, r ∈ A tales que

b = ac + r , δ(r) < δ(a) o r = 0

Ejemplos:

1. El anillo de los numeros enteros Z es euclıdeo, pues basta tomar δ(n) = |n|y aplicar el teorema de division de numeros enteros.

2. El anillo k[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo k es euclıdeo,pues nos basta tomar δ(p(x)) = gr

(p(x)

)y aplicar el teorema de division de

polinomios.

3. El anillo de los enteros de Gauss A = Z[ i ] es euclıdeo. Para probarlodefinimos δ(z) = N(z) = z · z = |z|2 = a2 + b2, donde z = a + bi. Laprimera condicion es inmediata. En cuanto a la segunda, conviene observarque para cada numero complejo u + vi existe algun entero de Gauss a + bital que |(u + vi) − (a + bi)| < 1, pues podemos elegir dos numeros enterosa, b tales que |u − a| ≤ 1/2 y |v − b| ≤ 1/2. Por tanto, si z es un elementono nulo de A, para cada x ∈ A podemos elegir un entero de Gauss c tal que|(x/z)− c| < 1. Luego r = x− cz ∈ A y |r| = |z(x/z − r)| < |z|.

Teorema 4.1.1 Si a es un ideal de un anillo euclıdeo A, existe algun a ∈ A talque a = aA.

Demostracion: Si a = 0, basta tomar a = 0.Si a 6= 0, entre todos los elementos no nulos de a existira alguno a tal que δ(a)

sea mınimo. Entonces aA ⊆ a porque a ∈ a. Por otra parte, si b ∈ a, existen2Notese que no se exige la unicidad del cociente y el resto.


c, r ∈ A tales que b = ac + r y δ(r) < δ(a) o r = 0. Luego r = b− ac ∈ a y r = 0segun la definicion de a, de modo que b = ac ∈ aA. Concluimos que a = aA.

Definicion: Sea p(x) = c0xn + . . . + cn un polinomio de grado n con coeficientes

en un cuerpo k. Diremos que p(x) es unitario si c0 = 1. Como los elementosinvertibles de k[x] son los polinomios de grado cero, para cada polinomio no nulop(x) ∈ k[x] existe un unico invertible u tal que up(x) es unitario. Ademas, losmultiplos de p(x) en k[x] coinciden con los multiplos de up(x).

Corolario 4.1.2 Sea k un cuerpo y sea a un ideal no nulo de k[x]. Si p(x) esel polinomio unitario de menor grado que esta en a, entonces a esta formado portodos los multiplos de p(x).

Divisibilidad en los Anillos Euclıdeos

Sea A un anillo euclıdeo. Las mismas demostraciones que dimos en el caso dela Aritmetica elemental (II.2) prueban la existencia (y unicidad salvo invertiblesde A) del maximo comun divisor de dos elementos cualesquiera a, b ∈ A, pueses el generador del ideal aA + bA, y de su mınimo comun multiplo, que es elgenerador del ideal aA ∩ bA. En estos anillos es valida la Identidad de Bezout: Sid=m.c.d.(a, b), entonces dA = aA + bA y existen α, β ∈ A tales que d = αa + βb.En los anillos euclıdeos, el algoritmo de Euclides sigue proporcionando un metodopara calcular el maximo comun divisor y los coeficientes de la Identidad de Bezout.

Lema de Euclides: Sea p un elemento no nulo de un anillo euclıdeo A. Lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. p es irreducible en A.

2. pA es un ideal maximal de A.

3. pA es un ideal primo de A.

Demostracion: (1 ⇒ 2) Si p es irreducible en A, entonces pA 6= A porque p noes invertible en A. Si b es un ideal de A que contiene a pA, existe b ∈ A tal queb = bA. Luego p = bc para algun c ∈ A y, al ser p irreducible, concluimos que bo c es invertible en A. Si lo es b, entonces b = bA = A. Si lo es c, tenemos queb = bA = bcA = pA.

(2 ⇒ 3) Todo ideal maximal es primo segun afirma 3.5.4.

(3 ⇒ 1) Si pA es un ideal primo de A, entonces p no es invertible en A porquepA 6= A. Si p = ab es una factorizacion de p en A, entonces ab ∈ pA y se sigueque a ∈ pA o b ∈ pA. Si a ∈ pA, existe c ∈ A tal que a = pc y p = ab = pcb; luegobc = 1 y b es invertible en A. Analogamente, si b ∈ pA, entonces a es invertible enA. Concluimos que p es irreducible en A.

4.1. ANILLOS EUCLIDEOS 65

Corolario 4.1.3 Sea p(x) un polinomio con coeficientes en un cuerpo k. La condi-cion necesaria y suficiente para que el anillo cociente k[x]/(p(x)) sea un cuerpo esque p(x) sea irreducible en k[x].

Teorema de Descomposicion: Todo elemento no nulo ni invertible de un anilloeuclıdeo A descompone, y de modo unico salvo el orden y factores invertibles, enproducto de elementos irreducibles de A. (Si b ∈ A no es nulo ni invertible, existenelementos irreducibles p1, . . . , pr ∈ A tales que b = p1 · · · pr. Si b = q1 · · · qs es otradescomposicion en producto de irreducibles, entonces r = s y, reordenando losfactores si es preciso, qi = uipi para ciertos elementos invertibles u1, . . . , ur ∈ A).

Demostracion: Probaremos primero la existencia de tal descomposicion. Si b noes irreducible, existe en A alguna descomposicion b = ac donde ambos factores noson invertibles. Veamos que δ(a) y δ(c) son menores que δ(b). Si δ(a) = δ(b), setiene a = bd + r donde r = 0 o δ(r) < δ(b) = δ(a). Como r = a− bd = a(1− cd),se tiene δ(r) ≥ δ(a) cuando 1 − cd 6= 0; luego 1 = cd contra la hipotesis de que cno es invertible en A. Procediendo por induccion sobre δ(b) podemos suponer queambos factores a, c descomponen en producto de elementos irreducibles, ası que btambien descompone en producto de elementos irreducibles en A.

Veamos la unicidad. Si b = p1 · · · pr es una descomposicion en producto deirreducibles, para cada elemento irreducible p se verifica que el numero de veces quese repite, salvo invertibles, el factor p en la descomposicion es el mayor exponenten tal que pn divide a b. En efecto, si pn divide a b, por el lema de Euclides p dividea algun factor pi; luego p coincide con pi salvo un factor invertible y pn−1 divide ap1 . . . pi . . . pr. Reiterando el argumento, vemos que hay n factores que coincidencon p.

Corolario 4.1.4 Si b = p1 · · · pr, entonces p1, . . . , pr son, salvo factores invert-ibles de A, los unicos divisores irreducibles de b en A.

Corolario 4.1.5 Si p(x) = c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn es un polinomio de gradon ≥ 1 con coeficientes en un cuerpo k, entonces

p(x) = c0 · p1(x)n1 · · · pr(x)nr

donde p1(x), . . . , pr(x) ∈ k[x] son polinomios unitarios irreducibles distintos. Estadescomposicion es unica salvo el orden.

Demostracion: De acuerdo con el teorema anterior existen en k[x] polinomiosirreducibles q1(x), . . . , qs(x) tales que p(x) = q1(x) · · · qs(x). Ahora bien, qi(x) =aipi(x) donde pi(x) es unitario y ai ∈ k, ası que

p(x) = ap1(x) · · · ps(x)


donde a ∈ k y p1(x), . . . , ps(x) son polinomios unitarios irreducibles. Igualandolos coeficientes de grado n concluimos que a = c0.

Definicion: Se dice que un ideal a de un anillo A es principal cuando a = aApara algun a ∈ A. Diremos que un anillo es un dominio de ideales principalessi es ıntegro y todos sus ideales son principales.

El teorema 4.1.1 afirma precisamente que todos los anillos euclıdeos son do-minios de ideales principales. El Lema de Euclides (325?-265? a. de Cristo)y el teorema de descomposicion en factores irreducibles son validos en cualquierdominio de ideales principales A; aunque la demostracion de la existencia de ladescomposicion en factores irreducibles ha de modificarse convenientemente (verapendice D).

4.2 Extensiones y Raıces

Definicion: Sea k un cuerpo. Llamaremos algebra sobre k a todo anillo Adotado de un morfismo de anillos j : k → A. Este morfismo estructural j induceen A una estructura de k-espacio vectorial: λ · a := j(λ)a , λ ∈ k, a ∈ A . Por esono distinguiremos cada elemento de k de su imagen en A por j. Es decir, si λ ∈ k,entonces j(λ) ∈ A se denotara tambien λ siempre que no cause confusion.

Dadas dos k-algebras j : k → A y j′ : k → B, diremos que una aplicacionf : A → B es morfismo de k-algebras si es morfismo de anillos y f(λ) = λ paratodo λ ∈ k (o sea, j′ = f j). Es decir, si f es morfismo de anillos y es unaaplicacion k-lineal. Diremos que un morfismo de k-algebras es un isomorfismo siadmite un morfismo de k-algebras inverso.

Es sencillo comprobar que las composiciones de morfismos de k-algebras tam-bien lo son, y que los isomorfismos de k-algebras son los morfismos biyectivos.

Ademas, el morfismo estructural j : k → A es inyectivo cuando A 6= 0. Enefecto, su nucleo es un ideal de k y los unicos ideales de un cuerpo k son 0 y k, demodo que Ker j = 0, ya que j(1) = 1 6= 0.

Definicion: Sea k un cuerpo. Diremos que una k-algebra j : k → L es unaextension de k cuando L sea un cuerpo. Diremos que una extension L es finitasi lo es la dimension de L como k-espacio vectorial, en cuyo caso tal dimensionrecibe el nombre de grado de L sobre k y se denota [L : k] .

Diremos que una extension es trivial si su grado es 1; i.e., si el morfismoestructural k → L es un isomorfismo.

Sea L una extension de un cuerpo k y α1, . . . , αn ∈ L. Entonces

k(α1, . . . , αn) = a/b : a, b ∈ k[α1, . . . , αn], b 6= 0

4.2. EXTENSIONES Y RAICES 67

es el menor subanillo de L que es cuerpo y contiene a k y a α1, . . . , αn. Comocontiene a k y es un cuerpo, k(α1, . . . αn) es una extension de k, y diremos que esla extension de k generada por α1, . . . , αn. Esta formada por todos los elementosde L que pueden obtenerse a partir de α1, . . . , αn y de elementos de k con unnumero finito de sumas, restas, productos y divisiones por elementos no nulos.

Definicion: Sea p(x) = c0xn + . . .+cn un polinomio con coeficientes en un cuerpo

k. Diremos que un elemento α de una extension L de k es una raız de p(x) en Lsi p(α) = c0α

n + . . . + cn = 0. En tal caso, la regla de Ruffini afirma que p(x) esmultiplo de x − α en L[x] y, si p(x) no es nulo, llamaremos multiplicidad de laraız α al mayor numero natural m tal que (x− α)m divida a p(x) en L[x].

Las raıces de multiplicidad 1 reciben el nombre de raıces simples. Las raıcesque no sean simples se denominan multiples.

Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpo k y seaL una extension de k. Consideremos la descomposicion de p(x) en producto depolinomios irreducibles en L[x]:

p(x) = c(x− α1)m1 · · · (x− αr)mr · q1(x)n1 · · · qs(x)ns

donde x− α1, . . . , x− αr, q1(x), . . . , qs(x) son polinomios unitarios irreducibles enL[x] distintos entre sı, y los factores qi(x) no son de grado 1 (eventualmente ro s puede ser nulo). Las raıces de p(x) en L son precisamente α1, . . . , αr y susmultiplicidades respectivas son m1, . . . mr. Tomando grados concluimos que

m1 + . . . + mr ≤ gr p(x)

y diremos que p(x) tiene todas sus raıces en L cuando se de la igualdad, lo queequivale a que s = 0; es decir, a que en la descomposicion de p(x) en L[x] noexistan factores irreducibles de grado mayor que 1. Resumiendo:

Teorema 4.2.1 Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpok. La suma de las multiplicidades de las raıces de p(x) en cualquier extension L dek no supera al grado de p(x) y la condicion necesaria y suficiente para que coincidacon el grado de p(x) es que p(x) descomponga en L[x] en producto de polinomiosde grado 1.

Corolario 4.2.2 Sea L una extension de un cuerpo k y sea p(x) = c0xn + . . .+cn

un polinomio de grado n ≥ 1 con coeficientes en k que tenga todas sus raıces enL. Si α1, . . . , αn son las raıces de p(x) en L, cada una repetida tantas veces comoindique su multiplicidad, entonces

p(x) = c0(x− α1) · · · (x− αn)


Corolario 4.2.3 Sea p(x) = c0xn + . . . + cn un polinomio con coeficientes com-

plejos de grado n ≥ 1. Si α1, . . . , αn son las raıces complejas de p(x), cada unarepetida tantas veces como indique su multiplicidad, entonces

p(x) = c0(x− α1) · · · (x− αn)

Demostracion: Solo hay que probar que p(x) tiene todas sus raıces complejas. Aho-ra bien, todo polinomio irreducible en C[x] es de grado 1, ası que todo polinomiocon coeficientes complejos no constante descompone en producto de polinomios degrado 1 con coeficientes complejos.

Formulas de Cardano

Las formulas de Cardano (1501-1576) expresan los coeficientes de cada polinomiop(x) en funcion de sus raıces. Son muy utiles porque permiten obtener muchasfunciones de las raıces de un polinomio en funcion unicamente de los coeficientes,lo que permite calcularlas sin necesidad de extraer previamente las raıces. Seap(x) = c0x

n + . . . + cn un polinomio de grado n ≥ 1 con coeficientes en un cuerpok. Si p(x) tiene todas sus raıces en k y α1, . . . , αn son sus raıces, cada una repetidatantas veces como indique su multiplicidad, por 4.2.2 tenemos

c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn−1x + cn = c0(x− α1) · · · (x− αn) .

Igualando coeficientes obtenemos las Formulas de Cardano:

(−1)rcr/c0 =∑

i1<···<ir

αi1 · · ·αir 1 ≤ r ≤ n

4.3 Raıces Multiples

Definicion: Sea p(x) =∑

i aixi un polinomio con coeficientes en un cuerpo k.

Llamaremos derivada de p(x) al siguiente polinomio con coeficientes en k (dondeiai := ai+ i. . . +ai denota la suma i veces de ai en k):

p′(x) =∑

i≥1

iaixi−1

Es facil comprobar que la derivada es una aplicacion k-lineal:

(p(x) + q(x))′ = p′(x) + q′(x)(a · p(x))′ = a · p′(x) , a ∈ k

Teorema 4.3.1 (p(x) · q(x))′ = p′(x) · q(x) + p(x) · q′(x).

4.3. RAICES MULTIPLES 69

Demostracion: Cuando p(x) = xi y q(x) = xj la igualdad se comprueba directa-mente. En el caso general p(x) =

∑i aix

i , q(x) =∑

j bjxj tenemos:

(pq)′ =∑ij

aibj(xixj)′ =∑ij

iaibjxi−1xj +

∑ij

jaibjxixj−1 =

=(∑

i

iaixi−1

)(∑j

bjxj)

+(∑

i

aixi)(∑

j

jbjxj−1

)= p′ · q + p · q′

Teorema 4.3.2 Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpok. La condicion necesaria y suficiente para que una raız de p(x) sea multiple esque sea raız de la derivada p′(x).

Demostracion: Sea α una raız de p(x) en alguna extension K de k y sea m sumultiplicidad, de modo que en K[x] tenemos

p(x) = (x− α)mq(x) , q(α) 6= 0

Si m = 1, entonces

p′(x) = q(x) + (x− α)q′(x) , p′(α) = q(α) 6= 0

de modo que α no es raız de p′(x). Si m ≥ 2, entonces

p′(x) = m(x− α)m−1 + (x− α)mq′(x) , p′(α) = 0

y α es raız de p′(x).

Corolario 4.3.3 Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en un cuer-po k. Las raıces multiples de p(x) son las raıces del maximo comun divisor de p(x)y su derivada p′(x).

Demostracion: Sea d(x) = m.c.d.(p(x), p′(x)). Si α es una raız de d(x) en unaextension de k, entonces α es raız de p(x) y de p′(x) porque ambos polinomios sonmultiplos de d(x), ası que el teorema anterior permite concluir que α es una raızmultiple de p(x).

Recıprocamente, si α es una raız multiple de p(x), el teorema anterior afirmaque tambien es raız de p′(x). Concluimos que α es raız de d(x) porque, segun laIdentidad de Bezout, existen a(x), b(x) ∈ k[x] tales que

d(x) = a(x)p(x) + b(x)p′(x)

Corolario 4.3.4 Sea p(x) un polinomio con coeficientes en un cuerpo k. Si p(x)es irreducible en k[x], entonces todas las raıces de p(x) son simples o su derivadap′(x) es nula.

Demostracion: Salvo constantes no nulas, los unicos divisores de p(x) en k[x] son1 y p(x), ası que el maximo comun divisor de p(x) y p′(x) es 1 o p(x). Si es 1,en virtud del corolario anterior p(x) no tiene raıces multiples. Si es p(x), comodivide a p′(x) y el grado de p′(x) no puede ser mayor o igual que el grado de p(x),concluimos que p′(x) = 0.


Caracterıstica de un Anillo

Si gr p(x) ≥ 1, por definicion de la derivada es evidente que gr p′(x) ≤ gr p(x)− 1;pero el grado de p′(x) puede ser menor que gr p(x)− 1 e incluso puede ocurrir quep′(x) = 0. Esto se debe a que un coeficiente iai puede ser nulo aunque ai no losea, porque en k la suma iterada i veces de la unidad i · 1 := 1+ i. . . +1 puede sernula, suma iterada que denotaremos i cuando no origine confusion con el numeronatural i. Por ejemplo, si k = Fp, la derivada del polinomio xp + 1 es nula, aligual que la de cualquier polinomio p(x) =

∑i aix

pi, pues tenemos que p = 0 enel cuerpo finito Fp.

Definicion: Si A es un anillo, es claro que existe un unico morfismo3 de anillosZ→ A, que transforma cada numero natural n en 1+ n. . . +1 y −n en su opuesto.Su nucleo es un ideal de Z; luego es dZ para cierto numero natural d, que recibeel nombre de caracterıstica de A.

Por definicion, la caracterıstica de A es nula cuando n = 1+ n. . . +1 6= 0 en Apara todo numero natural no nulo n. Por el contrario, la caracterıstica de A espositiva cuando existe algun numero natural positivo n tal que 1+ n. . . +1 = 0 enA y, en tal caso, la caracterıstica de A es el menor de tales numeros.

Ejemplos:

1. Los anillos Z, Q, R y C tienen caracterıstica nula.

2. Si n ∈ N, la caracterıstica del anillo Z/nZ es n.

3. Si B es un subanillo de un anillo A, la caracterıstica de A coincide con lade B. En particular, la caracterıstica de cualquier extension de un cuerpo kcoincide con la de k.

4. Sea b un elemento no nulo de un cuerpo k y m ∈ Z. Entonces mb es nulo si ysolo si m = 0 en k, lo que equivale a que m sea multiplo de la caracterısticade k. Por tanto, si la caracterıstica de k es nula, gr p′(x) = gr p(x)− 1 paratodo polinomio no constante p(x) ∈ k[x] y, en particular, la derivada p′(x)no es nula.

Si la caracterıstica de k es positiva, la igualdad gr p′(x) = gr p(x)− 1 solo esvalida cuando el grado de p(x) no sea multiplo de la caracterıstica de k.

3Esta propiedad universal caracteriza el anillo Z salvo isomorfismos, pues si otro anillo Bla tuviera tambien, existirıan morfismos Z → B y B → Z, que serıan mutuamente inversos envirtud de la unicidad. Obtenemos ası una definicion, nueva y mas profunda, de la suma y elproducto de numeros enteros: Son las unicas operaciones que definen una estructura de anillocon tal propiedad universal.


5. Sea ax2 + bx + c = 0 una ecuacion cuadratica con coeficientes en un cuerpok. La formula usual

x =−b±√b2 − 4ac

2a

para sus raıces solo es valida cuando car k 6= 2, pues exige dividir por 2a.

Caracterıstica Nula

Teorema 4.3.5 Sea p(x) un polinomio con coeficientes en un cuerpo k de carac-terıstica nula. Si p(x) es irreducible en k[x], entonces todas las raıces de p(x) sonsimples.

Demostracion: El grado de p′(x) es gr p(x) − 1 porque la caracterıstica de k esnula, ası que p′(x) 6= 0 y 4.3.4 permite concluir que todas las raıces de p(x) sonsimples.

Teorema 4.3.6 Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpok de caracterıstica nula. Toda raız multiple de p(x) de multiplicidad m es una raızde multiplicidad m− 1 de p′(x).

Demostracion: Sea α un elemento de una extension K de k. Si α es una raız demultiplicidad m de p(x), en K[x] tendremos p(x) = (x−α)mq(x), donde q(α) 6= 0.Por tanto

p′(x) = (x− α)m−1(mq(x) + (x− α)q′(x))

y mq(α)+(α−α)q′(α) = mq(α) 6= 0, porque m 6= 0 en todo cuerpo de caracterısticanula. Luego α es una raız de p′(x) de multiplicidad m− 1.

Regla de Descartes (1596-1650): Sea p(x) = a0 +a1x+ . . .+anxn un polinomiono constante con coeficientes reales. El numero r+(p(x)) de raıces reales positivasde p(x), cada una contada tantas veces como indique su multiplicidad, no supera alnumero de variaciones4 de signo que haya en la sucesion de coeficientes de p(x):

r+

(p(x)

) ≤ V (a0, a1, . . . , an)

y se da la igualdad cuando p(x) tiene todas sus raıces reales.

Demostracion: Procederemos por induccion sobre el grado de p(x), pues la reglaes evidente para los polinomios de grado 1.

Cuando p(x) tiene grado mayor que 1, cambiando de signo p(x) si fuera precisoy quitandole la raız nula si la tuviera, podemos suponer que a0 es positivo. Las

4V (c0, c1, . . . , cn) denotara el numero de variaciones de signo entre terminos consecuti-vos de la sucesion c0, c1, . . . , cn; despues de eliminar los terminos nulos. Ası, por ejemplo,V (1, 0,−1,−2, 1) = V (1,−1,−2, 1) = 2.


raıces reales positivas α1 < α2 < . . . < αr de p(x) tendran ciertas multiplicidadesm1,m2, . . . , mr. Si mi ≥ 2, entonces αi es una raız de p′(x) de multiplicidadmi − 1, segun 4.3.6. Ademas, en virtud del teorema de Rolle, entre cada par deraıces consecutivas αi, αi+1 la derivada p′(x) tiene alguna raız real mas. Se sigueque

r+

(p′(x)

) ≥ r − 1 +r∑

i=1

(mi − 1) =( r∑

i=1

mi

)− 1

Por hipotesis de induccion, tenemos que( r∑

i=1

mi

)−1≤V (a1, 2a2, . . . , nan)=V (a1, . . . , an)=V (aj , aj+1, . . . , an)

donde aj es el primer termino no nulo de la sucesion a1, a2, . . . , an.Si aj es negativo, entonces V (a0, a1, . . . , an) = V (aj , . . . , an) + 1 y

∑i mi esta

acotado por V (a0, . . . , an).Si aj es positivo, entonces p(0) = a0 > 0 y la primera derivada no nula de p(x)

en 0 es positiva, ası que p(x) es creciente a la derecha del 0. Luego el maximode p(x) entre 0 y α1 se alcanza en algun punto intermedio, que sera una raız masde p′(x). En este caso r+(p′) es al menos

∑i mi y, por hipotesis de induccion,

concluimos que∑

i mi ≤ V (a1, 2a2, . . . , nan) = V (aj , . . . , an) = V (a0, a1, . . . , an)

Por ultimo, sea r−(p(x)

)el numero de raıces reales negativas de p(x), cada una

contada tantas veces como indique su multiplicidad, que coincide con r+

(p(−x)

).

Cuando p(x) tiene todas sus raıces reales, tenemos que r+

(p(x)

)+ r−

(p(x)

)= n,

porque p(x) no tiene la raız nula al ser a0 > 0. Si r+

(p(x)

)fuera menor que

V (a0, a1, . . . , an), obtendrıamos la siguiente contradiccion, :

n = r+

(p(x)

)+ r−

(p(x)

)= r+

(p(x)

)+ r+

(p(−x)

)<

< V (a0, a1, . . . , an) + V (a0,−a1, a2, . . . , (−1)nan) ≤ n

Caracterıstica Positiva

Teorema 4.3.7 La caracterıstica de todo anillo ıntegro es nula o es un numeroprimo.

Demostracion: Sea A un anillo ıntegro de caracterıstica positiva d. Si d no fueraun numero primo, entonces d = nm donde n y m son numeros naturales menoresque d. Luego 0 = d = nm en A y, por ser A ıntegro, se sigue que n = 0 o m = 0 enA, en contra de que d es el menor numero positivo tal que d = 0 en A. Concluimosque d es un numero primo.

Corolario 4.3.8 El numero de elementos de cualquier cuerpo finito k es unapotencia de su caracterıstica p = car k, que es un numero primo.


Demostracion: El morfismo natural Z→ k no puede ser inyectivo porque el cuerpok es finito, ası que su caracterıstica p es un numero primo por 4.3.7. Luego k esuna extension finita de Fp y se concluye al observar que el numero de elementosde un Fp-espacio vectorial de dimension d es precisamente pd, como puede versefacilmente sin mas que considerar una base.

Lema 4.3.9 Si la caracterıstica de un anillo A es un numero primo p, para todoa, b ∈ A se verifica que:

(a + b)p = ap + bp

Demostracion: Sea i un numero natural entre 1 y p − 1. Como i! no es multiplode p y p(p− 1) · · · (p− i + 1) es multiplo de p, del Lema de Euclides se sigue que

(p

i

)=

p(p− 1) . . . (p− i + 1)i!

es multiplo de p y, por tanto, es nulo en A. Luego

(a + b)p =p∑

i=0

(p

i

)aibp−i = ap + bp

Nota: El lema anterior permite dar una demostracion directa de la congruenciade Fermat: ap = (1 + . . . + 1)p = 1p + . . . + 1p = a, para todo a ∈ Fp.

Teorema 4.3.10 Sea p un numero primo y sea q(x) un polinomio con coeficientesen Fp. Si q(x) es irreducible en Fp[x], entonces todas sus raıces son simples.

Demostracion: Supongamos que q(x) =∑

i aixi tiene alguna raız multiple. Segun

4.3.4, tenemos que 0 = q′(x) =∑

i iaixi−1. Luego ia = 0 en Fp y se sigue que

ai = 0 cuando i no es multiplo de p. Es decir

q(x) = a0 + apxp + a2px

2p + . . . =∑j≥0

ajpxjp

Como la congruencia de Fermat (1601-1665) afirma que ap = a para todoa ∈ Fp, tenemos que

q(x) =∑j≥0

ajpxjp =

∑j≥0

apjpx

jp =( ∑

j≥0

ajpxj)p

y q(x) no es irreducible en Fp[x], lo que nos lleva a contradiccion.

Ejemplo: Sea k = F2(t) el cuerpo de las fracciones racionales en una indetermi-nada con coeficientes en F2. El polinomio p(x) = x2 − t es irreducible en k[x],porque es de grado 2 y no tiene raıces en k (pruebese). No obstante, todas susraıces son multiples, porque p′(x) = 0. De hecho, si α es una raız de p(x), entoncesα2 = t y x2 − t = (x− α)2.


4.4 Teorema de Kronecker

Lema 4.4.1 Sea p(x) un polinomio de grado d con coeficientes en un cuerpo k.El cociente k[x]/

(p(x)

)es un k-espacio vectorial de dimension d y una base es

[ 1 ] , [ x ] , . . . , [ x ]d−1

Demostracion: Sea V el subespacio vectorial de k[x] generado por los monomios1, x, .., xd−1, de modo que (1, x, . . . , xd−1) es una base de V . La aplicacion

π : V → k[x]/(p(x)

), π

(q(x)

)= [q(x)]

es k-lineal, es inyectiva, porque V no contiene multiplos no nulos de p(x), y esepiyectiva, porque en k[x]/

(p(x)

)cada polinomio coincide con el resto de su di-

vision por p(x) y el grado del resto es menor que d. Por tanto, la dimensionde k[x]/

(p(x)

)coincide con la de V , que es d, y una base de k[x]/

(p(x)

)es

π(1), π(x), . . . , π(xd−1).

Teorema de Kronecker: Sea p(x) un polinomio irreducible con coeficientes enun cuerpo k. Una raız de p(x) es x ∈ k[x]/

(p(x)

). Ademas, si α es otra raız de

p(x) en una extension de k, entonces existe un isomorfismo de k-algebras

k[x]/(p(x)

) ' k(α) , [q(x)] 7→ q(α)

que transforma x en α. Por tanto, si β es otra raız de p(x) en otra extension dek, existe un isomorfismo de k-algebras k(α) ' k(β) que transforma α en β.

Demostracion: Como p(x) es irreducible, sus multiplos forman un ideal maximal(p(x)) de k[x] en virtud del lema de Euclides; luego el anillo cociente k[x]/

(q(x)

)es un cuerpo y, por tanto, es una extension de k. Vamos a probar que x es unaraız de p(x).

Si a ∈ k y [r(x)] ∈ k[x]/(p(x)

), por definicion a[r(x)] = [ar(x)]; luego, si

p(x) =∑

i aixi, tenemos que

p(x) =∑

i ai[x ]i =∑

i ai[xi ] =∑

i[aixi ] =

[∑i aix

i]

= [p(x)] = 0 .

Ahora, si α es otra raız de p(x), el morfismo de k-algebras k[x] → k[α],q(x) 7→ q(α), es epiyectivo y su nucleo contiene por hipotesis al ideal

(p(x)

), que

es maximal segun el lema de Euclides. Luego su nucleo es(p(x)

)y el teorema de

Isomorfıa afirma la existencia de un isomorfismo de k-algebras k[x]/(p(x)

) → k[α],[q(x)] 7→ q(α).

Luego k[α] es cuerpo, porque k[x]/(p(x)

)lo es, y concluimos que k[α] = k(α).

Por ultimo, si β es otra raız, entonces k(α) ' k[x]/(p(x)

) ' k(β).

4.4. TEOREMA DE KRONECKER 75

Corolario 4.4.2 Sea p(x) un polinomio irreducible de grado d con coeficientes enun cuerpo k. Si α es una raız de p(x) en una extension de k, entonces p(x) dividea todos los polinomios con coeficientes en k que admitan la raız α, y k(α) es unaextension finita de k de grado d:

k(α) = k ⊕ kα⊕ kα2 ⊕ . . .⊕ kαd−1

Teorema 4.4.3 Todo polinomio no constante con coeficientes en un cuerpo ktiene todas sus raıces en alguna extension finita de k.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre el grado del polinomio p(x) ∈ k[x].Si p(x) es de grado 1, ya tiene todas sus raıces en k.

Si el grado de p(x) es mayor que 1, considerando un factor irreducible de p(x)en k[x], vemos que el teorema de Kronecker afirma que p(x) tiene una raız α enalguna extension finita K de k. Segun la regla de Ruffini, existe q(x) ∈ K[x] talque p(x) = (x− α)q(x); luego gr q(x) = gr p(x) − 1 y, por hipotesis de induccion,existe alguna extension finita L de K en la que q(x) tiene todas sus raıces. Segun4.2.2, q(x) descompone en L[x] en producto de polinomios de grado 1, ası quep(x) = (x − α)q(x) tambien descompone en L[x] en producto de polinomios degrado 1 y concluimos que p(x) tiene todas sus raıces en L, que es una extensionfinita de k en virtud del siguiente resultado:

Teorema del Grado: Si K es una extension finita de un cuerpo k y L es unaextension finita de K, entonces L es una extension finita de k de grado

[L : k] = [L : K] · [K : k]

Demostracion: Sea (u1, . . . , un) una base de K sobre k y (v1, . . . , vm) una basede L sobre K. Si x ∈ L, entonces x =

∑i λivi para ciertos λi ∈ K. A su vez

λi =∑

j aijuj , aij ∈ k. Luego x =∑

ij aijviuj y concluimos que los elementosviuj generan L como k-espacio vectorial.

Por otra parte, si alguna combinacion lineal∑

ij aijviuj con coeficientes en kes nula, entonces

m∑i=1

( n∑j=1

aijuj

)vi = 0

y se sigue que ai1u1 + . . . + ainun = 0 para todo ındice i. Luego los coeficientesaij son todos nulos, y los elementos viuj son linealmente independientes sobre k.Concluimos que forman una base de L y, en consecuencia, la dimension de L comok-espacio vectorial es nm. q.e.d.

Notese que el teorema de Kronecker (1823-1891) no es meramente existencial,sino que proporciona un metodo efectivo para calcular una raız α de un polinomio


no constante p(x) con coeficientes en un cuerpo k, siempre que se conozca algunfactor irreducible

∑i aix

i de p(x) en el anillo k[x]:

α = [x ](modulo

∑i aix

i)

lo que reduce el problema de la extraccion de raıces al de la descomposicion enfactores irreducibles de los polinomios en una indeterminada (con coeficientes enextensiones finitas de k), cuestion a la que nos dedicaremos en breve. Este teoremaaporta una contribucion fundamental5, y en cierto sentido definitiva, a la resolucionde ecuaciones algebraicas con una incognita.

A tıtulo de ejemplo, veamos como este teorema permite probar que todo poli-nomio no constante p(x) con coeficientes reales tiene alguna raız compleja, y darası una demostracion mas algebraica del Teorema de D’Alembert (1717-1783):

Si gr p(x) = n = 2dm, donde m es impar, procedemos por induccion sobre d.El enunciado es cierto para los polinomios de grado impar segun el Teorema deBolzano (1781-1848), y este es el punto trascendente de la demostracion. Sea L unaextension finita de C donde el polinomio tenga todas sus raıces, que existe en virtudde 4.4.3. Dado a ∈ R, formamos el polinomio de raıces αi + αj + aαiαj , donde αi

y αj recorren las raıces de p(x), que tiene grado n(n− 1)/2 = 2d−1m(n− 1). Suscoeficientes son reales, porque son funciones simetricas de las raıces de p(x) (v.apendice A). Por hipotesis de induccion este polinomio tiene alguna raız compleja:αi + αj + aαiαj ∈ C para ciertos ındices i, j. Luego existen ındices i, j tales que

αi + αj + aαiαj , αi + αj + bαiαj ∈ C

donde a 6= b. Se sigue que αi + αj , αiαj ∈ C y concluimos que αi y αj son raıcesde un polinomio de grado 2 con coeficientes complejos, polinomios que obviamentetienen todas sus raıces complejas: αi, αj ∈ C.

Por ultimo, si p(x) es un polinomio no constante con coeficientes complejosy p(x) denota el polinomio de coeficientes conjugados, entonces p(x)p(x) ∈ R[x];luego p(x)p(x) tiene alguna raız compleja α, que es raız de p(x) o de p(x), en cuyocaso α es raız de p(x).

5La primera vez que nos enfrentamos a este teorema, no es raro que lo percibamos comouna “mera tautologıa”, una “formalidad infecunda”. Ciertamente es una tautologıa, al igual quecualquier otro teorema, y justamente eso es lo que muestra la demostracion que sigue a cadateorema. Ciertamente es una formalidad, presentada con todo el rigor formal del que somoscapaces. Pero, tras la lectura de las restantes paginas de este libro, dejo a juicio del lector laconsideracion que merecen los calificativos de “mera” e “infecunda”. Y es que nuestras preguntas,como pueda ser la busqueda de las raıces de un polinomio, llevan implıcito el horizonte que abarcalas posibles respuestas. La aclaracion de ese horizonte, su ampliacion cuando comprendemosnuestra estrechez de miras, es uno de los momentos fuertes de la aventura del conocimientohumano. Por eso este teorema no es uno mas en este libro, sino un Rubicon que se ha de cruzarpara entender muchas respuestas que los siglos XIX y XX han dado a viejos problemas.

4.4. TEOREMA DE KRONECKER 77

Elementos Algebraicos

Definicion: Sea L una extension de un cuerpo k. Diremos que un elemento α ∈ Les algebraico sobre k si es raız de algun polinomio no nulo q(x) con coeficientesen k, y por tanto de algun factor irreducible pα(x) de q(x) en k[x] que, segun 4.4.2,divide a todo polinomio con coeficientes en k que admita la raız α. Tal polinomiopα(x) es, salvo factores constantes, el unico polinomio irreducible con coeficientesen k que tiene la raız α y diremos que es el polinomio irreducible o polinomiomınimo de α sobre k, pues es el polinomio de menor grado con coeficientes en kque admite la raız α.

Si α ∈ L no es algebraico sobre k, diremos es trascendente sobre k.Diremos que una extension k → L es algebraica cuando todos los elementos

de L sean algebraicos sobre k.

Lema 4.4.4 La condicion necesaria y suficiente para que un elemento α de unaextension de un cuerpo k sea algebraico sobre k es que k(α) sea una extensionfinita de k. En particular todo elemento de una extension finita de k es algebraicosobre k.

Demostracion: La necesidad de la condicion es consecuencia de 4.4.2.Recıprocamente, si k(α) es una extension finita de k, entonces las potencias

de α son linealmente dependientes (i.e.,∑

i aiαi = 0 donde los coeficientes ai ∈ k

no son todos nulos) y concluimos que α es raız de un polinomio no nulo concoeficientes en k.

Corolario 4.4.5 Sea L una extension de un cuerpo k. Si α1, . . . , αn ∈ L sonalgebraicos sobre k, entonces k(α1, . . . , αn) es una extension finita de k.

Demostracion: Procediendo por induccion sobre n (el caso n = 1 se sigue dellema anterior) podemos suponer que k(α1, . . . , αn−1) es una extension finita de k.Ahora, como αn es algebraico sobre k, tambien es algebraico sobre k(α1, . . . , αn−1),ası que k(α1, . . . , αn−1, αn) es una extension finita de k(α1, . . . , αn−1) y el Teoremadel Grado permite concluir que es una extension finita de k.

Teorema 4.4.6 Si L es una extension de un cuerpo k, los elementos de L alge-braicos sobre k forman una extension de k. Es decir, si α, β ∈ L son algebraicossobre k, entonces tambien lo son α + β, αβ y α/β cuando β 6= 0.

Demostracion: Si α, β ∈ L son algebraicos sobre k, entonces k(α, β) es una exten-sion finita de k por el corolario anterior, y 4.4.4 permite concluir que todos suselementos son algebraicos sobre k. En particular lo son α + β, αβ y α/β.

Teorema 4.4.7 Sea K una extension algebraica de un cuerpo k y sea L unaextension de K. Si α ∈ L es algebraico sobre K, entonces α es algebraico sobre


k. En particular, las raıces n-esimas de cualquier elemento algebraico sobre ktambien son algebraicas sobre k.

Demostracion: Si α es raız de un polinomio no nulo c0xn + . . .+cn con coeficientes

en K, entonces α es algebraico sobre k(c0, . . . , cn), que es una extension finita dek por 4.4.5. Luego k(c0, . . . , cn, α) es una extension finita de k(c0, . . . , cn) y elteorema del grado afirma que k(c0, . . . , cn, α) es una extension finita de k. Portanto α, que esta en k(c0, . . . , cn, α), es algebraico sobre k por 4.4.4.

Ejemplo: Segun los teoremas anteriores, todo numero complejo que pueda obten-erse a partir de los numeros racionales mediante un numero finito de sumas, restas,productos, cocientes y radicales es algebraico sobre Q.

Por ejemplo, (( 3√

2/√−3) + 1)−1/5 es algebraico sobre Q.

Extensiones Finitas de R y CEn el capıtulo 1 definimos un producto en las parejas de numeros reales

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

construyendo ası una extension C de R de grado 2. Pudiera pensarse en la posibil-idad de definir en el espacio R3, o en espacios de dimension superior, un productoanalogo. Veremos ahora que tal cosa no es posible si deseamos obtener una ex-tension de R. Ningun producto en Rn, n ≥ 3, puede definir una extension de losnumeros reales: debe violar alguna de las propiedades basicas de la multiplicacionusual (distributiva, asociativa, conmutativa, existencia de unidad y de inverso detodo elemento no nulo). Probaremos incluso que, salvo isomorfismos, el productode numeros complejos es el unico producto en R2 que define una extension de R.

Teorema 4.4.8 Toda extension finita C→ K es trivial: C = K .

Demostracion: Si α ∈ K, de acuerdo con 4.4.4, α es raız de algun polinomiono nulo p(x) con coeficientes complejos. Segun 4.2.3, p(x) tiene todas sus raıcescomplejas; ası que α ∈ C y concluimos que el morfismo C→ K es un isomorfismo.

Teorema 4.4.9 Toda extension finita de R es isomorfa a R o a C.

Demostracion: Sea R → K una extension finita. Si no es un isomorfismo, existealgun α ∈ K que no es real. De acuerdo con 4.4.4, α es algebraico sobre R, asıque es raız de un polinomio irreducible p(x) con coeficientes reales. Por el teoremade D’Alembert, p(x) tiene alguna raız compleja β ∈ C y el Teorema de Kroneckerafirma que existe un isomorfismo R(α) ' R(β), α 7→ β.

Como α no es real, tampoco lo es β y obtenemos que R(β) = C. Luego K esuna extension finita de R(α) ' C y 4.4.8 permite concluir que K ' C.

4.5. LA RESULTANTE 79

4.5 La Resultante

Consideremos dos polinomios con coeficientes en un cuerpo k:

p(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . . + an

q(x) = b0xm + b1x

m−1 + . . . + bm

(no excluimos el caso a0 = 0 o b0 = 0; es decir, el grado de p(x) puede sermenor que n y el de q(x) puede ser menor que m). Daremos ahora criterios paraque ambos polinomios tengan raıces comunes (en alguna extension del cuerpo decoeficientes k).

Teorema 4.5.1 Las raıces comunes de dos polinomios p(x) y q(x) con coeficientesen un cuerpo k son las raıces de su maximo comun divisor. Por tanto, la condicionnecesaria y suficiente para que tengan alguna raız comun es que admitan en k[x]algun factor comun no constante.

Demostracion: Sea d(x) el maximo comun divisor de p(x) y q(x). Toda raızde d(x) es raız de p(x) y q(x), porque ambos polinomios son multiplos de d(x).Recıprocamente, de la Identidad de Bezout (1730-1783)

d(x) = a(x)p(x) + b(x)q(x)

se sigue que toda raız comun de p(x) y q(x) es raız de d(x). Finalmente, si d(x)no es constante, en virtud del teorema de Kronecker tiene alguna raız que, por loanterior, sera una raız comun de p(x) y q(x).

Lema 4.5.2 Si a0 6= 0, los polinomios p(x) y q(x) tienen algun factor comun noconstante en k[x] si y solo si existe alguna relacion

a(x)p(x) + b(x)q(x) = 0

donde a(x) y b(x) son polinomios no nulos con coeficientes en k de grados menoresque m y n respectivamente.

Demostracion: Veamos que es condicion suficiente. Si existe alguna relacion notrivial a(x)p(x) + b(x)q(x) = 0 y factorizamos a(x)p(x) y −b(x)q(x) en factoresirreducibles en k[x], debemos obtener los mismos factores (salvo constantes nonulas). No todos los factores irreducibles de p(x) pueden dividir a b(x) tantasveces como dividen a p(x), porque gr b(x) < n = gr p(x). Luego algun factorirreducible de p(x) aparece en la descomposicion de q(x).

Veamos que es condicion necesaria. Si p(x) = b(x)d(x), q(x) = a(x)d(x), donded(x) ∈ k[x] es un factor no constante comun, entonces a(x)p(x) − b(x)q(x) = 0,donde gr a(x) ≤ m− 1 y gr b(x) ≤ n− 1. q.e.d.


La existencia de tal relacion a(x)p(x) + b(x)q(x) = 0 equivale a decir que lospolinomios

p(x), xp(x), . . . , xm−1p(x), q(x), xq(x), . . . , xn−1q(x)

son linealmente dependientes; esto es, a la anulacion del siguiente determinante:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 . . . . . . an 0 . . . . . . 00 a0 a1 . . . an−1 an 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . . . . . . . . . . . . . an−1 an

b0 b1 . . . . . . bm 0 . . . . . . 00 b0 b1 . . . bm−1 bm 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . . . . . . . . . . . . . bm−1 bm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

donde hay m filas con los coeficientes de p(x) y n filas con los de q(x).Este determinante recibe el nombre de resultante y, cuando a0 6= 0 o b0 6= 0,

su anulacion expresa la existencia de un factor no constante comun de p(x) yq(x), lo que equivale a la existencia de una raız comun en alguna extension de k.En resumen, la resultante se anula precisamente cuando ambos polinomios tienenalguna raız comun o cuando a0 y b0 son nulos. En cualquier caso, si los polinomiosdados tienen alguna raız comun, la resultante se anula.

Eliminacion de Indeterminadas

Sean p(x, y) y q(x, y) dos polinomios en dos indeterminadas x, y con coeficientesen un cuerpo k. Si los consideramos como polinomios en la indeterminada x concoeficientes en el cuerpo k(y):

p(x, y) = a0(y)xn + a1(y)xn−1 + . . . + an(y)

q(x, y) = b0(y)xm + b1(y)xm−1 + . . . + bm(y)

su resultante es un polinomio r(y) con coeficientes en k.

Teorema 4.5.3 Las raıces de la resultante r(y) son las ordenadas de las solu-ciones del sistema de ecuaciones

p(x, y) = 0q(x, y) = 0

en las extensiones de k, junto con las raıces comunes de a0(y) y b0(y).

Demostracion: Sea β un elemento de una extension K de k. Es claro que r(β) esla resultante de los polinomios (con coeficientes en K):

p(x, β) =∑

i ai(β)xn−i , q(x, β) =∑

j bj(β)xm−j

4.5. LA RESULTANTE 81

ası que la anulacion de r(β) equivale a la condicion a0(β) = b0(β) = 0 o a laexistencia de una raız comun α en alguna extension de L; es decir, a la existenciade alguna solucion (α, β) del sistema. q.e.d.

De acuerdo con el teorema anterior, al eliminar una indeterminada x con laresultante, ademas de las ordenadas de las soluciones del sistema se introducenunas raıces adicionales, que son las raıces comunes de los coeficientes a0(y) yb0(y). Si se desea eliminar una indeterminada sin introducir nuevas soluciones,basta efectuar un cambio de variable de la forma y′ = y − λx, λ ∈ k, al menoscuando k es infinito. En efecto, sea

p(x, y) =d∑

i=0

cixiyd−i + terminos de grado menor que d

Al efectuar el cambio y = y′ + λx obtenemos que el coeficiente de xd enp(x, y′ + λx) es precisamente

∑i ciλ

d−i. Si el cuerpo k tiene infinitos elemen-tos, podemos elegir λ ∈ k de modo que tal coeficiente no sea nulo. En tal casodicho coeficiente es un polinomio constante no nulo, ası que no puede tener raıcescomunes con ningun otro polinomio y, si procedemos a eliminar la indeterminada xcon la resultante, obtendremos un polinomio r(y′) en el que no se han introducidossoluciones extranas.

Resolucion de Sistemas

Consideremos un sistema de dos ecuaciones algebraicas

p(x, y) = 0q(x, y) = 0

con coeficientes en un cuerpo k. De acuerdo con 4.5.3, si para cada raız β ∈ k de laresultante r(y) hallamos las raıces comunes en k de los polinomios p(x, β) y q(x, β)las parejas ası calculadas son todas las soluciones en k del sistema inicial. Como3.4.1 permite hallar las raıces racionales de cualquier polinomio con coeficientesracionales, podemos calcular todas las soluciones racionales de cualquier sistema deecuaciones algebraicas con coeficientes racionales en dos incognitas (si la resultanteno es nula) del siguiente modo:

1. Se elimina una indeterminada x, calculando la resultante r(y).

2. Se hallan las raıces racionales βi de la resultante r(y).

3. Se sustituye cada raız βi en el sistema y se determinan las raıces racionalescomunes a los dos polinomios en x obtenidos.


Conviene observar que si un numero racional β es raız de la resultante r(y) deun sistema de ecuaciones p(x, y) = 0, q(x, y) = 0 con coeficientes racionales, no sesigue necesariamente que β sea la segunda componente de alguna solucion racionaldel sistema, sino que la anulacion de r(β) significa que el sistema admite algunasolucion compleja (α, β) o que β es raız comun de los polinomios a0(y) y b0(y).

Por ejemplo, si eliminamos x en el sistema de ecuaciones

x2y2 − x2 + xy + x = 0x2y + xy2 − x2 − x + 2y = 0

la resultante es 2y6 − 2y5 − 2y4 + 6y3 − 4y = 2y(y + 1)2(y− 1)(y2 − 2y + 2), y susraıces racionales son y = 0, 1,−1.

Sustituyendo y por 0 obtenemos los polinomios −x2 + x y −x2− x, que tienenla raız comun x = 0.

Sustituyendo y por 1 obtenemos el polinomio 2x y el polinomio constante 2,que no tienen ninguna raız comun (por tanto y = 1 ha de ser una raız comun dea0(y) y b0(y)).

Sustituyendo y por –1 obtenemos el polinomio nulo y el polinomio −2x2 − 2,que tienen las raıces comunes ±i, de modo que –1 no es la segunda componente deninguna solucion racional del sistema, aunque sı lo es de dos soluciones complejas:(i,−1) y (−i,−1).

Luego el sistema tiene una unica solucion racional: x = 0, y = 0, aunque tieneotras soluciones complejas, por ejemplo x = ±i, y = −1 (como ejercicio puedenhallarse las restantes soluciones complejas de este sistema).

Capıtulo 5

Factorizacion Unica

Hallar una raız de un polinomio p(x) consiste, mas que en expresar “negro sobreblanco” una raız, en determinar efectivamente un procedimiento para realizarsumas y productos de las expresiones algebraicas formadas con tal raız. A lavista del teorema de Kronecker, este resuelve totalmente la cuestion siempre queseamos capaces de calcular un factor irreducible q(x) de p(x). El procedimientoexpuesto para extraer una raız de un polinomio solo es efectivo si disponemos demetodos para descomponer cada polinomio en factores irreducibles.

Es claro que el problema de hallar todos los factores de cierto grado de un poli-nomio dado con coeficientes racionales se reduce al de calcular todas las solucionesracionales de un sistema de ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales, sis-tema del que sabemos que solo tiene un numero finito de soluciones complejas.Tales sistemas pueden siempre resolverse eliminando sucesivamente variables me-diante el uso sistematico de resolventes, cuidando de no introducir soluciones ex-tranas, o bien mediante el calculo de una base de Groebner (1899-1980) del sistemade ecuaciones considerado (ver [5]).

Otro metodo, debido a Kronecker (1823-1892), se basa en el lema de Gauss: aldescomponer un polinomio con coeficientes enteros p(x) en factores irreducibles enZ[x], los factores tambien son irreducibles en Q[x]. Ahora, para determinar todoslos factores de p(x) de cierto grado d basta elegir numeros enteros a0, a1, . . . , ad yobservar que tales factores se encuentran entre los polinomios con coeficientes en-teros que se obtengan al interpolar en los puntos x = a1, . . . , x = ad las sucesionesformadas por divisores de los enteros p(a0), p(a1), . . . , p(ad).

No obstante, todos estos metodos para descomponer en factores irreduciblespolinomios con coeficientes racionales son practicamente imposibles de realizar conlapiz y papel, a pesar de su extrema sencillez teorica. Por eso, al final del capıtulodaremos algunos procedimientos mas rapidos, aunque no generales, que a menudoson utiles.

83

84 CAPITULO 5. FACTORIZACION UNICA

Este capıtulo tiene naturaleza mas tecnica que los anteriores, pues esencialmen-te esta dedicado a la demostracion de que en los anillos de polinomios k[x1, . . . , xn]con coeficientes en un cuerpo k y en los anillos de polinomios con coeficientes en-teros Z[x1, . . . , xn] se verifica la existencia y unicidad (salvo el orden e invertibles)de la descomposicion en factores irreducibles; a pesar de que no son dominiosde ideales principales. En la demostracion de este resultado central utilizaremossistematicamente la construccion de los anillos de fracciones, introducida por Che-valley (1909-1984), similar a la construccion de los numeros racionales, a partir delos numeros enteros, que se expuso en el primer capıtulo. Los anillos de fraccionesiran adquiriendo una importancia creciente, porque proporcionan el fundamentode la estrecha relacion entre el Algebra y la Geometrıa. El punto central de lademostracion es el llamado lema de Gauss (1777-1855). Como consecuencias deeste importante lema veremos algunos criterios de irreducibilidad para polinomioscon coeficientes enteros.

5.1 Anillos de Fracciones

Definicion: Diremos que un subconjunto S de un anillo A es un sistema mul-tiplicativo cuando 1 ∈ S y a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S .

Si S es un sistema multiplicativo de un anillo A, vamos a construir el anillo defracciones con numerador en A y denominador en S; para lo cual consideramos enA× S la siguiente relacion:

(a, s) ≡ (b, t) ⇔ existen u, v ∈ S tales que au = bv y su = tv

que es una relacion de equivalencia en el conjunto A× S.Claramente tiene las propiedades simetrica y reflexiva. En cuanto a la tran-

sitiva, si (a, s) ≡ (b, t) y (b, t) ≡ (c, r), existen u, v, u′, v′ ∈ S tales que au = bv,su = tv y bu′ = cv′, tu′ = rv′. Luego auu′ = bvu′ = cvv′ y suu′ = tvu′ = rvv′.Como uu′, vv′ ∈ S, concluimos que (a, s) ≡ (c, r).

Definicion: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Llamaremos anillode fracciones o localizacion de A por S, y se denota S−1A o AS , al conjuntocociente (A× S)/≡ con la estructura de anillo que definen las operaciones:

a

s+

b

t=

at + bs

st,

a

s· b

t=

ab

st

donde a/s = π(a, s) y π : A×S → (A×S)/≡ es la proyeccion canonica. Para verque estas operaciones no dependen de los representantes elegidos, basta compro-barlo cuando la fraccion a/s se sustituye por au/su:

au

su+

b

t=

(at + bs)ustu

=at + bs

st,

au

su· b

t=

abu

stu=

ab

st

5.1. ANILLOS DE FRACCIONES 85

Es sencillo comprobar que estas dos operaciones definen en (A × S)/ ≡ unaestructura de anillo (conmutativo con unidad). El cero es 0/1, la unidad es 1/1y el opuesto de a/s es (−a)/s. Ademas, una fraccion a/s es nula precisamentecuando ta = 0 para algun t ∈ S.

La aplicacion γ : A → S−1A, γ(a) = a/1, es morfismo de anillos

γ(a + b) = (a + b)/1 = a/1 + b/1 = γ(a) + γ(b)γ(ab) = ab/1 = (a/1)(b/1) = γ(a)γ(b)γ(1) = 1/1

Notese que γ(s) = s/1 es invertible en S−1A para todo s ∈ S, pues su inversoes 1/s. Este morfismo de anillos canonico γ : A → S−1A se llamara, por razonesque se aclararan en los capıtulos VII y VIII, morfismo de localizacion.

Propiedad Universal: Sea γ : A → S−1A el morfismo de localizacion de unanillo A por un sistema multiplicativo S. Si f : A → B es un morfismo de anillostal que f(s) es invertible en B para todo s ∈ S, entonces existe un unico morfismode anillos ψ : S−1A → B tal que f = ψ γ :

Af−→ B

γ ψ

S−1A

Demostracion: Si f(s) es invertible en B para todo s ∈ S, entonces la aplicacion

ψ : S−1A → B , ψ(a/s) = f(a)f(s)−1

no depende del representante a/s elegido, porque

ψ(au/su) = f(au)f(su)−1 = f(a)f(u)f(s)−1f(u)−1 = f(a)f(s)−1

Se comprueba facilmente que esta aplicacion ψ es un morfismo de anillos.Ademas, si a ∈ A, entonces (ψ γ)(a) = ψ(a/1) = f(a)f(1)−1 = f(a).

Teorema 5.1.1 Sea A un anillo ıntegro. S = A − 0 es un sistema multiplica-tivo, el anillo de fracciones S−1A es un cuerpo (llamado cuerpo de fraccionesde A) y el morfismo de localizacion γ : A → S−1A es inyectivo.

Demostracion: Si A es ıntegro, S = A − 0 es un sistema multiplicativo porqueen A el producto de elementos no nulos nunca es nulo y 1 6= 0.

Por otra parte, si a/1 = 0, existe s 6= 0 tal que sa = 0; luego a = 0 y se sigueque γ : A → S−1A es inyectivo. En particular S−1A 6= 0. Ademas, si a/s no esnulo, entonces a 6= 0; luego a ∈ S y s/a ∈ S−1A verifica que (a/s)(s/a) = 1, demodo que a/s es invertible en S−1A y concluimos que S−1A es un cuerpo.


Definicion: Sea k un cuerpo. El anillo de polinomios k[x1, . . . , xn] es ıntegro ysu cuerpo de fracciones se llama cuerpo de fracciones racionales en n indeter-minadas con coeficientes en k, y se denotara k(x1, . . . , xn).

5.2 Fracciones Racionales

Sea k(x) el cuerpo de las fracciones racionales en una indeterminada x con coefi-cientes en un cuerpo k.

Lema 5.2.1 Sean q1(x), . . . , qr(x) polinomios no constantes con coeficientes enk sin factores irreducibles comunes dos a dos. Si p(x) ∈ k[x], entonces existenpolinomios b1(x), . . . , br(x) ∈ k[x] tales que:

p(x)q1(x) · · · qr(x)

=b1(x)q1(x)

+ · · ·+ br(x)qr(x)

Demostracion: Procederemos por induccion sobre r. Cuando r = 1 basta tomarb1(x) = p(x). Si r ≥ 2, los polinomios q(x) = q1(x) · · · qr−1(x) y qr(x) no tienenfactores comunes no constantes. Segun la Identidad de Bezout existen polinomioss(x), t(x) ∈ k[x] tales que

1 = s(x)q(x) + t(x)qr(x)

Luego p(x) = p(x)s(x)q(x) + p(x)t(x)qr(x) y

p

q1 · · · qr=

ptqr

qqr+

psq

qqr=

pt

q1 · · · qr−1+

br

qr

donde br(x) = p(x)s(x). Por hipotesis de induccion, existen polinomios b1(x), . . . , br−1(x)con coeficientes en k tales que:

p(x)t(x)q1(x) · · · qr−1(x)

=b1(x)q1(x)

+ · · ·+ br−1(x)qr−1(x)

Lema 5.2.2 Sea q(x) un polinomio de grado d ≥ 1 con coeficientes en un cuerpok. Para cada polinomio b(x) ∈ k[x] existen polinomios a0(x), . . . , an(x) ∈ k[x], degrado menor que d o nulos, tales que

b(x) = a0(x) + a1(x)q(x) + a2(x)q(x)2 + . . . + an(x)q(x)n

Demostracion: Procederemos por induccion sobre el grado de b(x), pues es obviocuando b(x) es constante.

Si gr b(x) ≥ 1, existen c(x), r(x) ∈ k[x] tales que b(x) = q(x)c(x) + r(x) ygr r(x) < d o r(x) = 0. Si c(x) 6= 0, entonces gr b(x) = d + gr c(x) y, por hipotesisde induccion, tenemos que

c(x) = a1(x) + a2(x)q(x) + a3(x)q(x)2 + . . .

5.2. FRACCIONES RACIONALES 87

para ciertos a1(x), a2(x), a3(x), . . . ∈ k[x] que son nulos o de grado menor qued. Luego todos los polinomios r(x), a1(x), a2(x), a3(x), . . . son nulos o de gradomenor que d y tenemos que

b(x) = r(x) + a1(x)q(x) + a2(x)q(x)2 + a3(x)q(x)3 + . . .

Definicion: Diremos que una fraccion racional en una indeterminada con coefi-cientes en un cuerpo k es simple si es un monomio axn, n ≥ 0, o es de la formap(x)/q(x)n, n ≥ 1, donde p(x), q(x) ∈ k[x], q(x) es irreducible en k[x] y el gradode p(x) es menor que el grado de q(x).

Teorema 5.2.3 Toda fraccion racional en una indeterminada con coeficientes enun cuerpo k descompone en suma de fracciones simples, y tal descomposicion esunica salvo el orden de los sumandos.

Demostracion: Veamos primero la existencia. Sea p(x)/q(x) ∈ k(x) , donde pode-mos suponer que q(x) es unitario, y sea q(x) = q1(x)n1 · · · qr(x)nr la descomposi-cion de q(x) en producto de potencias de polinomios irreducibles en k[x]. Segun5.2.1, tenemos que

p(x)q(x)

=r∑

i=1

bi(x)qi(x)ni

Ahora, segun 5.2.2, existen polinomios ai0(x), ai1(x), . . . ∈ k[x], nulos o de gradomenor que el de qi(x), tales que:

bi(x)qi(x)ni

=ai0(x) + ai1(x)qi(x) + ai2(x)qi(x)2 + . . .

qi(x)ni=

= Polinomio +ni−1∑

j=0

aij(x)qni−ji (x)

que es una suma de fracciones simples.

En cuanto a la unicidad, procedemos por induccion sobre el numero de suman-dos de una descomposicion. Consideremos dos descomposiciones

a(x)qn11 (x)

+ . . . =b(x)

qn11 (x)

+ . . . , a(x) 6= 0

donde qn11 (x) es la potencia de q1(x) de mayor exponente que aparece en estas

descomposiciones y eventualmente b(x) = 0. Multiplicando por el maximo comundivisor de los denominadores de todas las fracciones simples obtenemos una igual-dad de polinomios

(a(x)− b(x)

)qn22 (x) . . . qnr

r (x) = q1(x)c(x)

y obtenemos que q1(x) divide a a(x) − b(x). Como gr a(x) − b(x) < gr q1(x),concluimos que a(x) = b(x) y terminamos la demostracion al aplicar la hipotesisde induccion.


5.3 Dominios de Factorizacion Unica

Definicion: Diremos que un anillo ıntegro A es un dominio de factorizacionunica si todo elemento no nulo ni invertible de A descompone en producto deelementos irreducibles de A y tal descomposicion es unica salvo el orden y factoresinvertibles en A. (Es decir, si a ∈ A no es nulo ni invertible, existen irreduciblesp1, . . . , pr ∈ A, r ≥ 1, tales que a = p1 · · · pr. Si a = q1 · · · qs es otra descomposicionde a en producto de irreducibles, entonces r = s y, despues de reordenar los factoressi fuera preciso, qi = uipi para ciertos invertibles u1, . . . , ur ∈ A).

Sea A un dominio de factorizacion unica. Si a = pn11 · · · pnr

r es una descom-posicion de un elemento a ∈ A en producto de elementos irreducibles de A, dondepiA 6= pjA cuando i 6= j, es sencillo comprobar que, salvo invertibles de A, losdivisores de a en A son:

pd11 . . . pdr

r , 0 ≤ di ≤ ni (convenimos que p0i = 1)

Luego el maximo comun divisor y el mınimo comun multiplo de dos elementos:

a = pn11 . . . pnr

r , b = pm11 . . . pmr

r , mi, ni ≥ 0

siempre existen (y son unicos salvo invertibles de A) y son:

m.c.d.(a, b) = pd11 · · · pdr

r , di = minmi, nim.c.m.(a, b) = pe1

1 · · · perr , ei = maxmi, ni

Diremos que una familia finita a1, . . . , an ∈ A no tiene factores irreduciblescomunes en A si ningun elemento irreducible de A divide a todos los elementos detal familia. En los dominios de factorizacion unica es valido el lema de Euclidesbajo la siguiente forma: Si un elemento irreducible p ∈ A divide a un producto deelementos de A, entonces divide a algun factor (es decir, pA es un ideal primo de A).En efecto, pA 6= A porque p no es invertible en A, y si bc ∈ pA, entonces bc = pa,a ∈ A. En virtud de la unicidad de la descomposicion en factores irreducibles, aldescomponer b y c en producto de irreducibles, algun factor debe coincidir, salvoun invertible, con p; luego b o c es multiplo de p y concluimos que pA es un idealprimo de A. En general, si d divide a bc y no tiene factores irreducibles comunescon b, entonces divide a c.

Por otra parte, si Σ denota el cuerpo de fracciones de A y a/b ∈ Σ, tendremosa = da′, b = db′, donde d = m.c.d.(a, b); de modo que a′ y b′ ya no tienenfactores irreducibles comunes en A y a/b = a′/b′. Es decir, toda fraccion de Aes equivalente a una fraccion cuyo numerador y denominador no tienen factoresirreducibles comunes.

5.4. LEMA DE GAUSS 89

Teorema 5.3.1 Sea p(x) = c0xn +c1x

n−1 + . . .+cn un polinomio con coeficientesen un dominio de factorizacion unica A y sea Σ el cuerpo de fracciones de A. Siα es una raız de p(x) en Σ, entonces α = a/b donde a es un divisor de cn en A yb es un divisor de c0 en A.

Demostracion: Sea α = a/b, donde a, b ∈ A no tienen factores irreducibles comunesen A. Si α es raız de p(x), entonces

c0an + c1a

n−1b + . . . + cn−1abn−1 + cnbn = 0

ası que cnbn es multiplo de a. Como bn no tiene factores irreducibles comunes con ay A es un dominio de factorizacion unica, cn es multiplo de a en A. Analogamentec0a

n es multiplo de b y concluimos que c0 es multiplo de b en A.

Corolario 5.3.2 Cualquier elemento de Σ que sea raız de un polinomio unitariocon coeficientes en A necesariamente esta en A.

5.4 Lema de Gauss

Lema 5.4.1 Si p es un elemento irreducible de un dominio de factorizacion unicaA, entonces

pA[x] = q(x) ∈ A[x] : los coeficientes de q(x) son multiplos de p es un ideal primo del anillo A[x].

Demostracion: El nucleo del siguiente morfismo epiyectivo de anillos es pA[x] :

φ : A[x] −→ (A/pA)[x] , φ(∑

i aixi) =

∑i aix

i

Por el teorema de isomorfıa, A[x]/pA[x] ' (A/pA)[x] y, por 3.5.3, basta probarque el anillo (A/pA)[x] es ıntegro. Ahora bien, el anillo (A/pA)[x] es ıntegro porquelo es A/pA, al ser pA un ideal primo de A cuando p es irreducible en A.

Lema de Gauss (1777-1855): Sea A un dominio de factorizacion unica y sea Σ sucuerpo de fracciones. Si un polinomio q(x) ∈ A[x] descompone, q(x) = q1(x)q2(x),en producto de polinomios con coeficientes en Σ, multiplicando los factores porciertas constantes obtenemos una descomposicion q(x) = q′1(x)q′2(x) en A[x].

En particular, si q(x) es irreducible en A[x], entonces es irreducible en Σ[x].

Demostracion: Reduciendo a comun denominador los coeficientes de q1 y q2 ten-emos

q(x) =1a(a0x

n + . . . + an) · 1b(b0x

m + . . . + bm)

abq(x) = (a0xn + . . . + an)(b0x

m + . . . + bm)


donde a, a0, . . . , an, b, b0, . . . , bm ∈ A. Si p es un factor irreducible de ab, segun5.4.1 ha de dividir a uno de los dos factores del segundo miembro. Despues desuprimir tal factor p en ambos miembros, procedemos del mismo modo con otrofactor irreducible, hasta obtener una descomposicion en A[x]:

q(x) = (a′0xn + . . . + a′n)(b′0x

m + . . . + b′m) .

Corolario 5.4.2 Si el producto de dos polinomios unitarios con coeficientes ra-cionales tiene coeficientes enteros, ambos polinomios tienen coeficientes enteros.

Demostracion: Sean p(x) = xn + . . . y q(x) = xm + . . . polinomios unitarios concoeficientes racionales. Si p(x)q(x) tiene coeficientes enteros, por el lema de Gaussexiste un numero racional c tal que cp(x) = cxn + . . . y c−1q(x) = c−1xm + . . .tienen coeficientes enteros; luego c = ±1 y concluimos que p(x) y q(x) tienencoeficientes enteros.

Teorema 5.4.3 Si A es un dominio de factorizacion unica, los anillos de poli-nomios A[x1, . . . , xn] tambien son dominios de factorizacion unica.

Demostracion: Procediendo por induccion sobre n, bastara probar que A[x] es undominio de factorizacion unica cuando lo es A.

Sabemos que A[x] es ıntegro cuando A es ıntegro, ası que solo hay que de-mostrar que todo polinomio p(x) ∈ A[x] no nulo ni invertible descompone, y demodo unico salvo el orden y factores invertibles, en producto de polinomios irre-ducibles en A[x].

Para demostrar la existencia de la descomposicion procedemos por induccionsobre el grado de p(x). Si gr p(x) = 0, el polinomio es constante, p(x) = c ∈ A y,por hipotesis c descompone en A en producto de elementos irreducibles en A que,obviamente, tambien son irreducibles en A[x]. Si gr p(x) ≥ 1 y d ∈ A es el maximocomun divisor de los coeficientes de p(x), tenemos p(x) = dq(x) donde q(x) esun polinomio cuyos coeficientes estan en A y ya no tienen factores irreduciblescomunes. Si q(x) es irreducible en A[x], entonces p(x) = dq(x) es producto depolinomios irreducibles. Si q(x) no es irreducible, existen q1(x), q2(x) ∈ A[x] queno son invertibles y q(x) = q1(x)q2(x). Ni q1(x) ni q2(x) son constantes, pueslos coeficientes de q(x) no tienen factores irreducibles comunes; luego gr q1(x) <gr q(x) y gr q2(x) < gr q(x). Por hipotesis de induccion q1(x) y q2(x) descomponenen producto de polinomios irreducibles en A[x], luego p(x) = dq1(x)q2(x) tambien.

En cuanto a la unicidad, consideremos dos descomposiciones de un polinomiono nulo ni invertible p(x) ∈ A[x] en producto de polinomios irreducibles en A[x]:

p(x) = p1 · · · prp1(x) · · · ps(x) = q1 · · · qmq1(x) · · · qn(x)

5.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 91

donde pi, qj ∈ A , gr pi(x), gr qj(x) ≥ 1 . Como Σ[x] es un anillo euclıdeo, lospolinomios pi(x) y qj(x) son irreducibles en Σ[x], y los polinomios constantesp1, . . . , pr, q1, . . . , qm son invertibles en Σ[x], se sigue que s = n y, reordenandolos factores si fuera preciso, que qi(x) = (ai/bi)pi(x), para ciertos ai, bi ∈ A quepodemos suponer sin factores irreducibles comunes en A. Luego biqi(x) = aipi(x)y, si bi tuviera algun factor irreducible p, entonces ai no serıa multiplo de p y,por 5.4.1, p dividirıa a pi(x), contra el hecho de que pi(x) es irreducible en A[x].Igualmente se prueba que ai no tiene factores irreducibles. Es decir, ai y bi soninvertibles en A. Luego pi(x) y qi(x) difieren en un invertible de A[x] y p1 · · · pr =(uq1) · · · qm, donde u ∈ A es invertible. Como A es un dominio de factorizacionunica, se sigue que r = m y que, salvo el orden e invertibles, p1, . . . , pr coincidencon q1, . . . , qm. Se concluye que las descomposiciones iniciales coinciden salvo elorden e invertibles de A[x].

Corolario 5.4.4 Si k es un cuerpo, los anillos de polinomios k[x1, . . . , xn] sondominios de factorizacion unica.

Los anillos Z[x1, . . . , xn] son dominios de factorizacion unica.

Corolario 5.4.5 Si dos polinomios p(x, y), q(x, y) con coeficientes en un cuerpok no tienen factores comunes no constantes, entonces el sistema

p(x, y) = 0q(x, y) = 0

tiene un numero finito de soluciones en k.

Demostracion: Por hipotesis ambos polinomios no tienen factores irreduciblescomunes en el anillo k[x, y] y, en virtud del lema de Gauss, tampoco tienen factorescomunes no constantes en el anillo k(y)[x]; luego su resultante r(y) no es nula. Elteorema 4.5.3 afirma que las ordenadas de las soluciones en k del sistema son raıcesde r(y), que tiene un numero finito de raıces en k.

Analogamente la resultante r(x) no es nula y concluimos que solo hay unnumero finito de abscisas de soluciones en k del sistema. Luego el sistema tieneun numero finito de soluciones en k.

5.5 Polinomios Irreducibles

Sea q(x) un polinomio no constante con coeficientes racionales. Existe a ∈ Z talque aq(x) ∈ Z[x] y, si b es el maximo comun divisor de los coeficientes de aq(x),entonces los coeficientes de p(x) = aq(x)/b son enteros y carecen de factores pri-mos comunes. En virtud del Lema de Gauss, q(x) es irreducible en Q[x] si y solo sip(x) es irreducible en Z[x]. Ademas, si p(x) = p1(x) · · · pr(x) es la descomposicion


de p(x) en producto de polinomios irreducibles en Z[x], cada factor pi(x) es irre-ducible en Q[x], ası que q(x) = (bp1(x)/a) · · · pr(x) es la descomposicion de q(x)en producto de polinomios irreducibles en Q[x]. Por tanto, podemos reducirnos aestudiar la irreducibilidad en Z[x] de los polinomios con coeficientes enteros.

Sea q(x) =∑

i aixi un polinomio con coeficientes en un anillo A. Si f : A →

B es un morfismo de anillos, entonces q(x) =∑

i f(ai)xi es un polinomio concoeficientes en B. Obtenemos ası un morfismo de anillos A[x] → B[x], q(x) 7→ q(x).Notese que el grado de q(x) nunca puede ser mayor que el grado de q(x). Porejemplo, cuando p es un numero primo y

f : Z→ Fp , f(a) = a = [a]p

es la proyeccion canonica, q(x) =∑

i aixi es la reduccion del polinomio q(x)

modulo p.Cuando k es un cuerpo y f : k[y] → k, f

(c(y)

)= c(α), es el morfismo definido

por un elemento α ∈ k, el correspondiente morfismo es

k[x, y] −→ k[x]q(x, y) =

∑i ai(y)xi 7→ q(x) = q(x, α) =

∑i ai(α)xi

Criterio de Reduccion: Sea f : A → B un morfismo entre anillos ıntegros y seaq(x) un polinomio con coeficientes en A tal que el grado de q(x) coincida con elgrado de q(x). Si q(x) tiene un factor de grado d en A[x], entonces q(x) tiene unfactor de grado d en B[x].

En particular, si los coeficientes de q(x) no tienen factores propios comunes enA y q(x) es irreducible en B[x], entonces q(x) es irreducible en A[x].

Demostracion: Si q(x) = p(x)r(x), donde p(x), r(x) ∈ A[x], entonces q(x) =p(x)r(x) y gr p(x) ≤ gr p(x), gr r(x) ≤ gr r(x). Como

gr p(x) + gr r(x) = gr q(x) = gr q(x) = gr p(x) + gr r(x)

concluimos que gr p(x) = gr p(x) y gr r(x) = gr r(x). Por ultimo, si q(x) es irre-ducible, entonces p(x) o r(x) es invertible en B[x]; y por tanto de grado 0. Luegop(x) o r(x) es de grado 0, e invertible en A, porque los coeficientes de q(x) notienen factores propios comunes.

Corolario 5.5.1 Sea q(x) = c0xn + . . . un polinomio con coeficientes enteros y

sea p un primo que no divida a c0. Si la reduccion c0xn + . . . de q(x) modulo p es

irreducible en Fp[x], entonces q(x) es irreducible en Q[x].

Demostracion: Consideremos la proyeccion canonica Z→ Fp. Por hipotesis c0 6= 0,ası que gr q(x) = gr q(x) y el criterio anterior permite concluir que q(x) no tienefactores de grado 1, . . . , n−1 en Z[x]; luego tampoco en Q[x] por el lema de Gauss.

5.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 93

Corolario 5.5.2 Sea q(x, y) = c0(y)xn + c1(y)xn−1 + . . . + cn−1(y)x + cn(y)un polinomio en dos indeterminadas x, y con coeficientes en un cuerpo k. Sic0(y), c1(y), . . . , cn(y) no admiten factores comunes no constantes y para algunelemento α de k, que no sea raız de c0(y), se tiene que

q(x, α) = c0(α)xn + c1(α)xn−1 + . . . + cn−1(α)x + cn(α)

es irreducible en k[x], entonces q(x, y) es irreducible en k[x, y].

Demostracion: Consideremos el morfismo de anillos f : k[y] → k, y 7→ α. Porhipotesis c0(α) 6= 0, ası que el grado de q(x, α) es n y se concluye al aplicar elcriterio de reduccion.

Criterio de Eisenstein (1823-1852): Sea q(x) = c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn unpolinomio con coeficientes en un dominio de factorizacion unica A. Si existe algunelemento irreducible p ∈ A tal que

1. c0, . . . , cn no tienen factores irreducibles comunes en A

2. p divide a c1, . . . , cn

3. p2 no divide a cn

entonces q(x) es irreducible en A[x].

Demostracion: Si q(x) no es irreducible en A[x], entonces descompone en productode dos polinomios no constantes con coeficientes en A

q(x) = (a0 + a1x + . . . + arxr)(b0 + b1x + . . . + bn−rx

n−r)

y reduciendo modulo pA obtenemos la siguiente igualdad entre polinomios concoeficientes en el cuerpo de fracciones de A/pA:

c0xn = (a0 + . . . + arx

r)(b0 + . . . + bn−rxn−r)

Como todo divisor de xn coincide, salvo factores constantes, con una potenciade x, se sigue que los dos factores del segundo miembro son arx

r y bn−rxn−r. Luego

a0 y b0 son nulos. Es decir, a0 y b0 son multiplos de p, y por tanto cn = a0b0 esmultiplo de p2, contra la hipotesis de que no lo es.

Corolario 5.5.3 (Gauss 1777-1855) Si p es un numero primo, el polinomio

xp − 1x− 1

= xp−1 + . . . + x + 1

es irreducible en Q[x].


Demostracion: q(x) = xp−1 + . . . + x + 1 es irreducible en Z[x] si y solo si lo es elpolinomio q(x + 1) :

(x + 1)p − 1x

= xp−1 +(

p

1

)xp−2 + . . . +

(p

i

)xp−i−1 + . . . +

(p

p− 1

)

Ahora bien el numero combinatorio(pi

)= p(p−1)...(p−i+1)

1! es multiplo de p

cuando 1 ≤ i ≤ p−1 (porque el numerador lo es y el denominador no) y(

pp−1

)= p

no es multiplo de p2. Luego q(x + 1) es irreducible por el criterio de Eisenstein.

Corolario 5.5.4 Si p es un numero primo, entonces Q(e

2πip

)es una extension de

Q de grado p− 1.

Demostracion: El polinomio irreducible xp−1 + . . . + x + 1 admite la raız e2πi

p yse concluye al aplicar 4.4.2.

Ejemplo: Los polinomios xn−2 son irreducibles en Z[x] por el criterio de Eisens-tein ; luego tambien en Q[x] de acuerdo con el lema de Gauss. Segun 4.4.2, Q( n

√2 )

es una extension de Q de grado n. Vemos ası que Q admite extensiones finitas degrado arbitrario.

Capıtulo 6

Modulos y Algebras

En los capıtulos anteriores hemos visto como en cualquier anillo (conmutativo conunidad) puede desarrollarse una teorıa de la divisibilidad para ideales, analoga ala clasica teorıa de la divisibilidad de numeros naturales. Unos anillos particu-larmente importantes son los anillos de polinomios en varias indeterminadas y eneste capıtulo iniciaremos el estudio sistematico de tales anillos. Veamos primerolos conceptos intuitivos e imprecisos que recoge la correspondiente teorıa de idea-les. Para fijar ideas consideremos el anillo R[x, y] de las funciones polinomicassobre un plano real. Cada lugar geometrico del plano define un ideal a de R[x, y]:el ideal formado por todos los polinomios que se anulan en la figura dada. Porejemplo, el ideal de la recta de ecuacion ax+by = c esta formado por los multiplosde ax+ by− c, el ideal de la parabola de ecuacion y = x2 es (y−x2), el ideal de lacurva x2 +y2 = 1 es (x2 +y2−1) y el ideal del punto x = a, y = b es (x−a, y− b).En estos casos, al igual que en el de las restantes figuras estudiadas en Bachille-rato, el ideal esta generado por las ecuaciones del lugar geometrico considerado.Este ideal es el nucleo del morfismo natural de restriccion R[x, y] → A, donde Adenota el anillo de las funciones algebraicas (es decir, de las funciones definidaspor algun polinomio) sobre la figura en cuestion. De acuerdo con el teorema deisomorfıa, R[x, y]/a ' A. Notese que cuando operamos con la ecuacion de unlugar geometrico, por ejemplo x2 + y2 = 1, no queremos decir que el termino dela izquierda sea el polinomio 1, pues claramente su grado es 2 y no es constante:la ecuacion significa que tal relacion es valida en todos los puntos de la circun-ferencia considerada, que es una igualdad entre funciones reales definidas sobretal circunferencia, que es una igualdad en el anillo cociente A. En resumen, cadalugar geometrico del plano real define un ideal a del anillo R[x, y], formado porlas funciones polinomicas que se anulan en el, y las manipulaciones algebraicasque hacemos con sus ecuaciones tienen plena validez y sentido en el anillo cocienteR[x, y]/a, que es isomorfo al anillo de las funciones algebraicas definidas sobre

95

96 CAPITULO 6. MODULOS Y ALGEBRAS

dicho lugar geometrico.Hemos dado varios ejemplos que pueden considerarse como subconjuntos de

R2, cada uno formado por los puntos en que se anulan ciertos polinomios; peroesta comprension como subconjuntos no da cuenta de expresiones clasicas co-mo la recta doble x2 = 0, la conica imaginaria x2 + y2 = −1, etc. Aunquecause perplejidad pensar que lugar geometrico del plano real quiere indicarse entales casos, es obvio cuales deben ser sus ideales (los ideales (x2) y (x2 + y2 − 1)respectivamente), sus anillos de funciones algebraicas (los anillos R[x, y]/(x2) yR[x, y]/(x2 + y2 − 1) respectivamente) y las funciones algebraicas definidas sobredichos lugares geometricos (los elementos de tales anillos).

Si el lugar geometrico de ecuaciones p1(x, y) = 0, . . . , pr(x, y) = 0 puede pare-cer un concepto confuso e impreciso, no ası el ideal de los polinomios que seanulan en el, que es el ideal (p1, . . . , pr) de R[x, y] generado por sus ecuaciones,ni el anillo de funciones algebraicas sobre el mismo, que es el anillo cocienteR[x, y]/(p1, . . . , pr). Ademas, si entre dos ideales se da una relacion de inclusion(p1, . . . , pr) ⊆ (q1, . . . , qs), entonces se tiene

p1(x, y) = a11(x, y)q1(x, y) + . . . + a1s(x, y)qs(x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pr(x, y) = ar1(x, y)q1(x, y) + . . . + ars(x, y)qs(x, y)

para ciertos polinomios aij(x, y), de modo que los polinomios pi(x, y) se anulannecesariamente donde se anulen todos los polinomios qj(x, y). Debemos considerarque entre dos lugares geometricos definidos por ecuaciones polinomicas se da unarelacion de incidencia precisamente cuando entre sus correspondientes ideales sede la relacion inversa. En particular, la coincidencia entre lugares geometricosdefinidos por ecuaciones polinomicas debe ser equivalente a la de sus ideales, loque lleva a establecer las siguientes definiciones:

Sea k[x1, . . . , xn] el anillo de polinomios en n indeterminadas con coeficientesen un cuerpo k. Diremos que el ideal (p1, . . . , pr) generado en k[x1, . . . , xn] porunos polinomios p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn) es el ideal de la subvariedadde ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

y diremos que un polinomio q(x1, . . . , xn) ∈ k[x1, . . . , xn] se anula en tal subvar-iedad cuando q ∈ (p1, . . . , pr). Llamaremos anillo de funciones algebraicassobre dicha subvariedad al anillo cociente

k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr)

97

y diremos que la clase de restos [q(x1, . . . , xn)] es la funcion definida por el poli-nomio q(x1, . . . , xn) sobre la subvariedad de ecuaciones p1 = . . . = pr = 0, o bienque es la restriccion de q(x1, . . . , x− n) a tal subvariedad.

Diremos que la subvariedad definida por el ideal a contiene a la subvariedaddefinida por el ideal b cuando a ⊆ b. Se llama interseccion de dos subvariedadesa la mayor subvariedad contenida en ambas, ası que el ideal de la intersecciones la suma de los correspondientes ideales. Se llama union de dos subvariedadesa la menor subvariedad que las contiene, de modo que el ideal de la union es lainterseccion de los correspondientes ideales. Los ideales A y 0 son los ideales de lassubvariedades de ecuaciones 1 = 0 y 0 = 0, que se denominan vacıo y espacioafın n-dimensional sobre k respectivamente. Las subvariedades definidas por unaecuacion no constante p(x1, . . . , xn) = 0 (por un ideal principal 6= 0, A) se llamanhipersuperficies. Algunas subvariedades de los espacios afines reales merecen unnombre propio:

Subvariedades de la recta afın real

Nombre Ideal Anillo

punto real x = a (x− a) ' R

puntos imaginariosconjugados x = a± bi

(x2 − 2ax + (a2 + b2)

) ' C

punto x = a doble((x− a)2

) ' R[ ε ], ε2 = 0

n puntos confundidosen el punto x = a

((x− a)n

) ' R[ t ]/(tn)

recta afın 0 R[x]

Subvariedades del plano afın real

punto real (a, b) (x− a, y − b) ' R

dos puntos imaginariosconjugados (α, β), (α, β) p(x, y) : p(α, β) = 0 ' C

recta ax + by = c (ax + by − c) ' R[ t ]

recta ax + by = c doble (ax + by − c)2 ' R[ ε ][ t ]

r-esimo entorno infini-tesimal del punto (a, b) (x− a, y − b)r+1 ' Jr

2


Nombre Ideal Anillo

parabola y = ax2 (y − ax2) ' R[ t ]

hiperbola xy = 1 (xy − 1) ' R[ t, t−1]

par de rectasconcurrentes xy = 0 (xy) R[x, y]/(xy)

par de rectas imaginariasconjugadas x2 + y2 = 0 (y2 + x2) R[x, y]/(y2 + x2)

dos rectas paralelas y2 =1 (y2 − 1) ' R[t]⊕ R[t]

dos rectas imaginariasparalelas y2 = −1 (y2 + 1) ' C[ t ]

Subvariedades del espacio afın real de dimension n

punto real (a1, . . . , an) (x1 − a1, . . . , xn − an) ' R

r-esimo entorno infinite-simal del punto (a1, . . . , an) (x1 − a1, . . . , xn − an)r+1 ' Jr

n

Subvariedad linealn∑

j=1

aijxj = 0 , 1 ≤ i ≤ m

(∑i aijxj

)1≤i≤m

R[ t1, . . . , td ]

donde Jrn = R[t1, . . . , tn]/(t1, . . . , tn)r+1 es el anillo de los desarrollos de Taylor de

orden r en n variables. En resumen, el estudio de los lugares geometricos definidospor la anulacion de polinomios en el espacio afın coincide con la teorıa de idealesen los anillos de polinomios.

Si a es un ideal de un anillo A, es un grupo conmutativo respecto de la suma deA y el producto de A define una aplicacion A×a → a que verifica todos los axiomasde espacio vectorial, salvo la condicion de que los escalares formen un cuerpo; loque resumiremos diciendo que es un A-modulo. En este capıtulo iniciaremos elestudio de la estructura de modulo sobre un anillo A y veremos que casi todas lasdefiniciones del Algebra Lineal (aplicaciones lineales y multilineales, submodulos,cocientes, dual, sumas y productos directos, etc.) pueden generalizarse para losA-modulos; aunque la frecuente existencia de modulos que no admiten bases intro-duzca grandes modificaciones en las hipotesis de los teoremas. La posibilidad de

6.1. MODULOS 99

efectuar muchas operaciones (cocientes, sumas directas, duales, etc.) que carecende sentido en los ideales hace que la teorıa de modulos sea mucho mas flexibley natural, por lo que es preferible estudiar los ideales dentro del contexto masgeneral de los modulos. Esta generalidad no complica las demostraciones, sinoque la posibilidad de usar las operaciones basicas del Algebra Lineal las aclara ysimplifica. Los modulos son los “espacios vectoriales sobre un anillo de escalares”y en ellos es valida todo el Algebra Lineal en que no se utilice la propiedad deque todo escalar no nulo es invertible. Puede decirse que valen las definiciones yno los teoremas (existencia de suplementario, bases, etc.); pero lo importante enuna teorıa, mas que los resultados, son las preguntas, aquello de lo que podemoshablar.

6.1 Modulos

Axiomas de Modulo: Sea A un anillo (conmutativo y con unidad) y sea (M, +)un grupo conmutativo. Diremos que una A×M

·−→ M define en M una estructurade A-modulo cuando

Axioma 1: a · (m + n) = a ·m + a · nAxioma 2: (a + b) ·m = a ·m + b ·mAxioma 3: (ab) ·m = a · (b ·m)

Axioma 4: 1 ·m = m

Es decir, dada una aplicacion A × M → M , cada elemento a ∈ A defineuna aplicacion a· : M → M y el primer axioma expresa que a· es morfismo degrupos. Los tres ultimos axiomas expresan que la aplicacion φ : A → End(M),φ(a) = a· , es morfismo de anillos. Recıprocamente, si M es un grupo abeliano,cada morfismo de anillos φ : A → End(M) define una estructura de A-moduloen M tal que a · m = φ(a)(m) . Resumiendo, dar una estructura de A-moduloen un grupo abeliano M es dar un morfismo de anillos de A en el anillo (noconmutativo en general) de los endomorfismos del grupo M . Los A-modulos sonlas representaciones de A como anillo de endomorfismos de un grupo abeliano.

Ejemplos:

1. Todo ideal a de un anillo A es estable por el producto por elementos deA, ası que el producto de A define en a una estructura de A-modulo. Enparticular, el propio anillo A y el ideal 0 son A-modulos.

2. Sea Mii∈I una familia de A-modulos con ındices en un conjunto I. Suproducto directo se denotara

∏i∈I Mi, mientras que

⊕i∈I Mi denotara el

subgrupo de∏

i∈I Mi formado por los elementos (mi) que tienen todas sus


componentes mi nulas salvo un numero finito y se llamara suma directade tal familia (notese que

⊕i Mi =

∏i Mi cuando el conjunto de ındices es

finito). Tanto la suma directa⊕

i Mi como el producto directo∏

i Mi sonA-modulos con el siguiente producto por elementos de A:

a · (mi)i∈I = (ami)i∈I

Si todos los modulos Mi son iguales a cierto modulo M , el producto directo∏i Mi se denota M I y la suma directa

⊕i Mi se denota M (I ). Cuando el

conjunto I es finito y de cardinal n, ambos modulos coinciden y se denotanMn.

En el caso particular M = A, cada elemento x ∈ I define canonicamenteun elemento de A(I ): aquel cuyas componentes son todas nulas, exceptola correspondiente a x, que es la unidad. Ahora todo elemento de A(I )

descompone, y de modo unico, como una suma finita a1x1 + . . . + anxn,donde xi ∈ I, ai ∈ A. Es decir, A(I ) es el modulo de las combinacioneslineales finitas de elementos de I con coeficientes en el anillo A.

Definicion: Diremos que una aplicacion f : M → N entre dos A-modulos es unmorfismo de A-modulos cuando sea un morfismo de grupos y conserve el productopor elementos de A:

f(m + m′) = f(m) + f(m′)f(a ·m) = a · f(m)

Diremos que un morfismo de A-modulos f : M → N es un isomorfismo deA-modulos si existe algun morfismo de A-modulos h : N → M tal que f h = IdN

y h f = IdM .

La composicion de morfismos de A-modulos tambien es morfismo de A-modu-los, la identidad siempre es morfismo de A-modulos, y los isomorfismos de A-mo-dulos son los morfismos biyectivos.

El conjunto de los morfismos de A-modulos de M en N se denota HomA(M, N).Si f, h : M → N son dos morfismos de A-modulos, su suma f + h, que es laaplicacion

(f + h)(m) := f(m) + h(m)

tambien es morfismo de A-modulos, y el producto af por cualquier elemento a ∈ A,que es la aplicacion

(af)(m) := a(f(m)

)

tambien es morfismo de A-modulos.Con estas operaciones, HomA(M,N) tiene estructura de A-modulo.

6.1. MODULOS 101

Sea f : M ′ → M un morfismo de A-modulos y N un A-modulo. La composicioncon f induce aplicaciones

f∗ : HomA(N,M ′) −→ HomA(N, M) , f∗(h) := f hf∗ : HomA(M, N) −→ HomA(M ′, N) , f∗(h) := h f

que son morfismos de A-modulos. Es claro que f∗ y f∗ son la identidad cuando flo es y que se verifica:

(fh)∗ = (f∗) (h∗) , (af + bh)∗ = a(f∗) + b(h∗)(fh)∗ = (h∗) (f∗) , (af + bh)∗ = a(f∗) + b(h∗)

Ejemplos:

1. Sea mii∈I una familia de elementos de un A-modulo M . Tal familia defineun morfismo de A-modulos f : A(I ) → M

f((ai)i∈I

):=

∑i∈I

aimi

Recıprocamente, si f : A(I ) → M es un morfismo de A-modulos, tenemosque

f((ai)i∈I

)= f

( ∑i∈I

aiei

)=

∑i∈I

aif(ei)

donde ei denota el elemento de A(I ) que tiene todas sus componentes nulassalvo la i-esima, que es la unidad. Luego f es el morfismo correspondientea la familia f(ei)i∈I de elementos de M . Obtenemos ası un isomorfismonatural de A-modulos:

HomA(A(I ),M) = M I

2. Propiedad Universal de la Suma Directa: Sea⊕

i Mi la suma directade una familia Mii∈I de A-modulos. Para cada ındice j ∈ I tenemos unainclusion canonica

uj : Mj −→⊕

i Mi

que es morfismo de A-modulos. Por tanto, si f :⊕

i Mi → N es un morfismode A-modulos, para cada ındice j ∈ I tenemos un morfismo de A-modulosf uj : Mj → N . Recıprocamente, si tenemos un morfismo de A-modulosfj : Mj → N para cada ındice j ∈ I, la aplicacion

f :⊕

i Mi −→ N , f((mi)i∈I

)=

∑i fi(mi)

es un morfismo de A-modulos tal que fj = fuj . Concluimos ası la existenciade una biyeccion natural que es isomorfismo de A-modulos

HomA

( ⊕i∈I

Mi, N)

=∏i∈I

HomA(Mi, N)


3. Propiedad Universal del Producto Directo: Sea∏

i Mi el producto di-recto de una familia Mii∈I de A-modulos. Para cada ındice j ∈ I tenemosla proyeccion canonica

πj :∏

i Mi −→ Mj , πj((mi)i∈I) = mj

que es morfismo de A-modulos. Por tanto, si f : N → ∏i Mi es un morfismo

de A-modulos, para cada ındice j ∈ I tenemos un morfismo de A-modulosπj f : N → Mj .

Recıprocamente, dado un morfismo de A-modulos fj : N → Mj para cadaındice j ∈ I, la aplicacion

f : N −→ ∏i Mi , f(n) = (fi(n))i∈I

es un morfismo de A-modulos tal que fj = πjf . Concluimos ası la existenciade una biyeccion natural que es isomorfismo de A-modulos

HomA

(N,

∏i∈I

Mi

)=

∏i∈I

HomA(N,Mi)

Definicion: Sea M un A-modulo. Diremos que un subgrupo N de M es unsubmodulo si es estable por el producto por elementos de A; es decir:

a ∈ A, m ∈ N ⇒ am ∈ N

En tal caso N hereda una estructura de A-modulo.

M y 0 son submodulos de M . Ademas, la interseccion de cualquier familia desubmodulos de M tambien es un submodulo de M . Por tanto, dada una familiamii∈I de elementos de M , la interseccion de todos los submodulos de M quela contengan es el menor submodulo de M que la contiene y recibe el nombre desubmodulo generado por tal familia.

La imagen del morfismo f : A(I ) → M , f((ai)i∈I

)=

∑i aimi, es un submo-

dulo de M , que claramente es el submodulo generado por la familia (mi)i∈I , y sedenotara ∑

i∈I

Ami = ∑i aimi : ai ∈ A

Modulo Cociente

Si N es un submodulo de un A-modulo M , es un subgrupo normal de M . Essencillo comprobar que en el grupo cociente M/N existe una unica estructura deA-modulo tal que la proyeccion canonica π : M → M/N , π(m) = [m], sea morfismode A-modulos. Tal estructura viene definida por el producto

a · [m] = [am]

6.1. MODULOS 103

La demostracion de la propiedad universal del A-modulo cociente M/N , y ladel correspondiente teorema de isomorfıa, es similar a la dada para morfismos degrupos y anillos:

Propiedad Universal: Sea N un submodulo de un A-modulo M y π : M → M/Nla proyeccion canonica. Para todo A-modulo M ′ se verifica que el morfismo

π∗ : HomA(M/N, M ′) −→ HomA(M, M ′)

es inyectivo, y su imagen esta formada por los morfismos que se anulan en N .

Teorema de Isomorfıa: Sea f : M → N un morfismo de A-modulos. La apli-cacion φ : M/Ker f → Im f , φ([m]) = f(m), es un isomorfismo de A-modulos.

Definicion: Sea m un elemento de un A-modulo M . Llamaremos anulador de mal ideal Ann(m) = a ∈ A : am = 0 , que es el nucleo del morfismo ·m : A → M .De acuerdo con el teorema de isomorfıa

A/Ann(m) ' Am

Llamaremos anulador de un A-modulo M a la interseccion de los anuladoresde sus elementos:

Ann(M) = a ∈ A : aM = 0 Si un ideal a esta contenido en el anulador de M , tenemos en M una estructura

de A/a-modulo, definida por el producto [a] ·m = am .

Teorema 6.1.1 Sea M un A-modulo y sea π : M → M/N la proyeccion canonicaen el cociente por un submodulo N . Si P es un submodulo de M/N , entoncesπ−1(P ) es un submodulo de M que contiene a N . Tenemos ası una biyeccion queconserva inclusiones [

Submodulosde M/N

]=

[Submodulos de Mque contienen a N

]

Demostracion: Es claro que π−1(P ) es un submodulo de M que contiene a Ker π =N y que π−1(P1) ⊆ π−1(P2) cuando P1 ⊆ P2. Por tanto, basta probar quela aplicacion ası obtenida del conjunto de los submodulos de M/N en el de lossubmodulos de M que contienen a N es biyectiva. La aplicacion inversa asignaa cada submodulo P de M que contenga a N el submodulo π(P ) de M/N . Enefecto:

Si un submodulo P de M contiene a N , entonces

P ⊆ π−1(π(P )

) ⊆ P + N ⊆ P

y P = π−1(π(P )

). Recıprocamente, si P es un submodulo de M/N , entonces

π(π−1(P )

) ⊆ P y se da la igualdad porque π es epiyectivo.


Corolario 6.1.2 Sea a un ideal de un anillo A y sea A = A/a. La proyeccioncanonica π : A → A establece una correspondencia biyectiva, que conserva inclu-siones, entre los ideales de A y los ideales de A que contienen a a. Ademas, si bes el ideal de A correspondiente a un ideal b ⊇ a, entonces

A/b ' A/b

En particular, ideales primos se corresponden con ideales primos e ideales maxi-males con ideales maximales.

Demostracion: La primera parte es consecuencia del teorema anterior, pues lossubmodulos del A-modulo A/a son sus ideales.

En cuanto al isomorfismo A/b ' A/b, el morfismo de anillos natural A → A/bes epiyectivo y su nucleo es precisamente el ideal b = π−1(b). Concluimos alaplicar el teorema de isomorfıa para morfismos de anillos.

Teorema 6.1.3 Todo anillo no nulo tiene algun ideal maximal.

Demostracion: Sea A un anillo y sea X el conjunto de sus ideales distintos de A,ordenado por inclusion. Si aii∈I es una cadena de elementos de X, entoncesa =

⋃i ai es claramente un ideal 6= A que contiene a todos los ideales ai. Es decir,

toda cadena de X admite una cota superior. Si A 6= 0, entonces X no es vacıoy el lema de Zorn afirma que X tiene algun elemento maximal, que es un idealmaximal de A.

Teorema 6.1.4 Sea a un ideal de un anillo A. Si a 6= A, entonces a esta con-tenido en algun ideal maximal de A.

Demostracion: Si a 6= A, entonces A/a 6= 0 y, por 6.1.3, el anillo A/a tiene algunideal maximal que, segun 6.1.2, se corresponde con un ideal maximal de A quecontiene a a.

Corolario 6.1.5 La condicion necesaria y suficiente para que un elemento de unanillo A sea invertible es que no pertenezca a ningun ideal maximal de A.

Demostracion: Sea f un elemento de un anillo A. Si f pertenece a un idealmaximal, claramente no puede ser invertible en A. Recıprocamente, si f no esinvertible en A, entonces fA 6= A y, segun 6.1.4, el ideal fA esta contenido enalgun ideal maximal de A.

Corolario 6.1.6 La condicion necesaria y suficiente para que un sistema de ecua-ciones con coeficientes en un cuerpo k

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

6.1. MODULOS 105

no admita soluciones en ninguna extension de k (i.e., que sea incompatible), esque existan polinomios q1, . . . , qr ∈ k[x1, . . . , xn] tales que

1 = q1(x1, . . . , xn)p1(x1, . . . , xn) + . . . + qr(x1, . . . , xn)pr(x1, . . . , xn)

Demostracion: La condicion es evidentemente suficiente.En cuanto a la necesidad, si el ideal (p1, . . . , pr) no contiene a la unidad, el

anillo A = k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) no es nulo y, por 6.1.3, ha de tener algun idealmaximal m. Luego A/m es una extension de k y las clases de restos xi ∈ A/m sonuna solucion del sistema en tal extension.

Modulos Libres

Sea mii∈I una familia de elementos de un A-modulo M . Diremos que formanun sistema de generadores de M cuando M =

∑i Ami; es decir, cuando el

correspondiente morfismo φ : A(I ) → M sea epiyectivo. Diremos que forman unabase de M cuando φ sea un isomorfismo; es decir, cuando cada elemento de Mdescomponga, y de modo unico, como combinacion lineal con coeficientes en A delos elementos mii∈I .

Todo modulo admite sistemas de generadores (la familia formada por todos suselementos, etc.); pero existen modulos que no tienen ninguna base. Por ejemplo,ningun grupo abeliano finito no nulo tiene bases.

Definicion: Diremos que un A-modulo es de tipo finito si admite algun sistemafinito de generadores; es decir, si es isomorfo a un cociente de alguna suma directafinita An.

Definicion: Diremos que un A-modulo es libre si admite alguna base; es decir,si es isomorfo a alguna suma directa A(I ). Cuando A 6= 0, veremos a continuacionque todas las bases de un A-modulo libre L tienen el mismo cardinal, que sellamara rango de L.

Lema 6.1.7 Sea A un anillo no nulo. Si existe algun morfismo epiyectivo de A-modulos A(I ) → A(J ), entonces el cardinal de I es mayor o igual que el cardinalde J . En particular todas las bases de un A-modulo libre tienen igual cardinal.

Demostracion: Sea m un ideal maximal de A y k = A/m su cuerpo residual.Notese que m · A(I ) = m(I ) y que A(I )/mA(I ) ' (A/m)(I ) = k(I ). Si algunmorfismo de A-modulos ϕ : A(I ) → A(J ) es epiyectivo, tambien lo sera el morfismoϕ : A(I )/mA(I ) → A(J )/mA(J ), ϕ([m]) = [ϕ(m)]. Como ϕ es k-lineal, el cardinalde J no puede superar al cardinal de I.


6.2 Sucesiones Exactas

Definicion: Diremos que una sucesion de morfismos de A-modulos

. . . −→ Mn−1fn−→ Mn

fn+1−−−→ Mn+1 −→ . . .

es exacta cuando Im fn = Ker fn+1 para todo ındice n.

Teorema 6.2.1 La condicion necesaria y suficiente para que una sucesion de mor-fismos de A-modulos M ′ i−→ M

p−→ M ′′ → 0 sea exacta es que para todo A-moduloN sea exacta la sucesion

0 −→ HomA(M ′′, N)p∗−→ HomA(M, N) i∗−→ HomA(M ′, N)

Demostracion: Supongamos que Im i = Ker p y que p es epiyectivo.Si f ∈ HomA(M ′′, N) y fp = 0, entonces f se anula en Im p = M ′′; luego f = 0,

lo que muestra que p∗ es inyectivo. Como pi = 0, se sigue que 0 = (pi)∗ = i∗p∗;luego Im p∗ ⊆ Ker i∗. Por ultimo, si h ∈ Ker i∗, entonces el morfismo h : M → Nse anula en Im i = Ker p, ası que h factoriza a traves de la proyeccion canonicaπ : M → M/Ker p ' M ′′ de acuerdo con la propiedad universal del cociente. Esdecir, hIm p∗.

Veamos que la condicion es suficiente. Como p∗ es inyectivo cuando N =M ′′/Im p, se sigue que la proyeccion canonica π : M ′′ → N es nula; es decir,Im p = M ′′ y p es epiyectivo. Ademas, la condicion i∗p∗ = (pi)∗ = 0 implica quepi = (pi)∗(Id) = 0; luego Im i ⊆ Ker p. Por ultimo, si N = M/Im i y π : M → Nes la proyeccion canonica, tenemos que i∗(π) = 0. Luego existe algun morfismof : M ′′ → N tal que π = p∗(f) = f p y concluimos que Ker p ⊆ Kerπ = Im i .

Corolario 6.2.2 La condicion necesaria y suficiente para que un morfismo deA-modulos f : M → M ′′ sea un isomorfismo es que lo sea el morfismo

f∗ : HomA(M ′′, N) → HomA(M, N)

para todo A-modulo N .

Demostracion: Un morfismo de A-modulos g : M1 → M2 es isomorfismo precisa-mente cuando es exacta la sucesion 0 → M1

g−→ M2 → 0.

Teorema 6.2.3 La condicion necesaria y suficiente para que una sucesion de mor-fismos de A-modulos 0 → M ′ i−→ M

p−→ M ′′ sea exacta es que para todo A-moduloN sea exacta la sucesion

0 −→ HomA(N, M ′) i∗−→ HomA(N,M)p∗−→ HomA(N, M ′′)

6.2. SUCESIONES EXACTAS 107

Demostracion: Es sencillo comprobar la necesidad de la condicion. En cuanto a lasuficiencia, basta tomar N = A, pues para todo A-modulo M tenemos un isomor-fismo natural M = HomA(A,M) y, mediante estos isomorfismos, cada morfismof se corresponde con f∗.

Teorema 6.2.4 Sea 0 → M ′ i−→ Mp−→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de morfismos

de A-modulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Existe un morfismo de A-modulos s : M ′′ → M tal que p s = IdM ′′ .

2. Existe un morfismo de A-modulos r : M → M ′ tal que r i = IdM ′ .

3. HomA(N, M)p∗−→ HomA(N,M ′′) es epiyectivo para todo A-modulo N .

4. HomA(M, N) i∗−→ HomA(M ′, N) es epiyectivo para todo A-modulo N .

Ademas, si se verifican estas condiciones, M es isomorfo a M ′ ⊕M ′′.

Demostracion: (1 ⇒ 3) Porque p∗s∗ = (ps)∗ = Id.(3 ⇒ 1) Basta tomar N = M ′′ y considerar la identidad de M ′′.(2 ⇒ 4) Porque i∗r∗ = (ri)∗ = Id.(4 ⇒ 2) Basta tomar N = M ′ y considerar la identidad de M ′.(1 ⇒ 2) Basta ver que πi : M ′ → M/Im s es un isomorfismo, pues si φ es su

inverso y ponemos r = φπ, tenemos que ri = φπi = IdM ′ . Ahora bien, πi esinyectivo porque (Im i) ∩ (Im s) = (Ker p) ∩ (Im s) = 0, y es epiyectivo porque, sim ∈ M , entonces m− sp(m) ∈ Ker p = Im i y [m] = [m− sp(m)] = [i(m′)].

(2 ⇒ 1) Tenemos que (Ker r) ∩ (Ker p) = (Ker r) ∩ (Im i) = 0, y que M =(Ker r) + (Ker p), pues si m ∈ M , entonces m − ir(m) ∈ Ker r. Luego M =(Ker r) ⊕ (Ker p); ası que p : Ker r → M ′′ es un isomorfismo y su inverso defineun morfismo s : M ′′ → M tal que ps = IdM ′′ . Ademas, M = (Im i) ⊕ (Ker r) 'M ′ ⊕M ′′.

Definicion: Las sucesiones exactas 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 se llaman suce-siones exactas cortas. Diremos que una sucesion sucesion exacta corta escindeo rompe si verifica las condiciones equivalentes del teorema anterior. En tal casoM ' M ′ ⊕M ′′ .

Corolario 6.2.5 Sea k un cuerpo. Toda sucesion exacta corta de aplicacionesk-lineales escinde.

Demostracion: Sea p : E → F una aplicacion lineal epiyectiva entre dos k-espaciosvectoriales y sea V un subespacio suplementario en E del nucleo de p. La aplicacionp : V → F es un isomorfismo y su inverso define una aplicacion lineal s : F → Etal que ps = IdF ; luego todas las sucesiones exactas cortas satisfacen la primeracondicion del teorema anterior.


Longitud de un Modulo

Definicion: Diremos que un A-modulo M 6= 0 es simple cuando sus unicossubmodulos son los triviales: 0 y M .

Sea M un A-modulo simple. El morfismo A → M definido por cualquierelemento no nulo de M es epiyectivo, pues su imagen es un submodulo no nulo.Luego M ' A/a para algun ideal a y, de 6.1.2, se sigue que los unicos idealesde A que contienen a a son a y A. Concluimos que los A-modulos simples sonprecisamente los cocientes de A por sus ideales maximales.

Definicion: Sea M un A-modulo. Diremos que una cadena de submodulos

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M

es una serie de composicion de M si los cocientes sucesivos Mi/Mi−1, 1 ≤ i ≤ n,son A-modulos simples; es decir, cuando no pueda refinarse de modo que la sucesionobtenida siga siendo estrictamente creciente. Diremos que un A-modulo M tienelongitud finita si admite alguna serie de composicion, en cuyo caso todas lasseries de composicion de M tienen igual longitud (numero de inclusiones estrictas);longitud comun que se llamara longitud de M y se denotara lA(M) o l(M):

Teorema 6.2.6 Todas las series de composicion de un A-modulo M tienen iguallongitud.

Demostracion: Sea 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M una serie de composicionde longitud mınima n. Procederemos por induccion sobre n; pues M es simplecuando n = 1, y el teorema es obvio para modulos simples.

Si 0 = M ′0 ⊂ M ′

1 ⊂ . . . ⊂ M ′r = M es otra serie de composicion, consideramos la

proyeccion canonica π : M → M/M1 y pondremos N = π(N) para todo submoduloN de M , de modo que 0 = M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M es una serie de composicion de Mde longitud n− 1, y 0 = M ′

0 ⊆ M ′1 ⊆ . . . ⊆ M ′

r = M es otra serie de composicionde M , despues de eliminar las repeticiones.

Ahora bien, si M ′i = M ′

i+1, entonces M ′i ∩ M1 ⊂ M ′

i+1 ∩ M1. Como M1 essimple, tal cosa solo ocurre cuando M ′

i ∩M1 = 0 y M1 ⊂ M ′i+1. Luego solo se da

una repeticion, y los submodulos Mi definen una serie de composicion de M delongitud r − 1. Por hipotesis de induccion concluimos que n− 1 = r − 1. q.e.d.

En el caso particular de los espacios vectoriales sobre un cuerpo k, el conceptode longitud coincide con el de dimension: lk(E) = dimkE . Las demostracionesde muchas propiedades de la dimension de los espacios vectoriales de dimensionfinita permanecen validas en el contexto mas general de los modulos de longitudfinita. Ası:

6.3. PRODUCTO TENSORIAL 109

1) Sea M un A-modulo de longitud finita. Toda sucesion estrictamente cre-ciente de submodulos de M puede completarse hasta obtener una serie de com-posicion de M . Ademas, si N es un submodulo de M , entonces N tiene longitudfinita y l(N) ≤ l(M), dandose la igualdad unicamente cuando N = M .

2) La longitud es aditiva en el siguiente sentido: dada cualquier sucesion exactacorta 0 → M ′ → M → M ′′ → 0, la condicion necesaria y suficiente para que lalongitud de M sea finita es que lo sean las longitudes de M ′ y M ′′, en cuyo caso

l(M) = l(M ′) + l(M ′′) .

6.3 Producto Tensorial

Sean M y N dos A-modulos. Si P es un A-modulo, diremos que una aplicacionf : M ×N → P es A-bilineal cuando

f(m + m′, n) = f(m,n) + f(m′, n)f(m,n + n′) = f(m,n) + f(m, n′)

f(am, n) = a · f(m, n)f(m, an) = a · f(m, n)

El conjunto de todas las aplicaciones A-bilineales de M y N en P se denotaBilA(M,N ;P ) y es un A-modulo con las siguientes operaciones:

(f + g)(m,n) = f(m,n) + g(m,n)(a · f)(m,n) = a · f(m,n)

La condicion de que una aplicacion f : M ×N → P sea A-bilineal expresa quela aplicacion fm : N → P , fm(n) = f(m, n), es morfismo de A-modulos para cadaelemento m ∈ M . Obtenemos ası un isomorfismo natural

BilA(M, N ; P ) = HomA

(M, HomA(N, P )

)

Definicion: Consideremos el A-modulo libre A(M×N). Identificando M ×N conla base usual de A(M×N) obtenemos que cada elemento de A(M×N) descomponede modo unico en la forma

n∑i=1

ai · (mi, ni) , ai ∈ A, mi ∈ M, ni ∈ N

Sea R el submodulo de A(M×N) generado por los elementos de la forma

(m + m′, n)− (m,n)− (m′, n)(m, n + n′)− (m,n)− (m,n′)

(am, n)− a · (m,n)(m, an)− a · (m,n)


Llamaremos producto tensorial de M y N sobre el anillo A al A-modulocociente A(M×N)/R y lo denotaremos M ⊗A N . Para cada elemento (m,n) deM ×N , entendido como elemento de A(M×N), su imagen en M ⊗A N se denotaram ⊗ n. Por construccion, tales elementos m ⊗ n generan el producto tensorialM ⊗A N ; es decir, todo elemento de M ⊗A N descompone (aunque no de modounico) en la forma

n∑i=1

ai(mi ⊗ ni)

En particular, si mii∈I es un sistema de generadores de M y njj∈J esun sistema de generadores de N , entonces mi ⊗ nji∈I, j∈J es un sistema degeneradores de M ⊗A N . Ademas, de acuerdo con la definicion de R, tenemos que

(m + m′)⊗ n = m⊗ n + m′ ⊗ nm⊗ (n + n′) = m⊗ n + m⊗ n′

(am)⊗ n = a(m⊗ n) = m⊗ (an)

de modo que tenemos una aplicacion A-bilineal canonica

M ×N⊗−→ M ⊗A N , (m,n) 7→ m⊗ n

Propiedad Universal: Sean M y N dos A-modulos. Si f : M ×N → P es unaaplicacion A-bilineal, existe un unico morfismo de A-modulos φ : M ⊗A N → Ptal que φ(m⊗ n) = f(m,n) :

HomA(M ⊗A N, P ) = BilA(M, N ; P )

Demostracion: La unicidad de tal morfismo se debe a que los elementos m ⊗ ngeneran M ⊗A N como A-modulo. En cuanto a la existencia, la condicion de quef sea A-bilineal expresa precisamente que el morfismo de A-modulos

f : A(M×N) −→ P , f(∑

i

ai(mi, ni))

=∑i

aif(mi, ni)

se anula sobre los generadores del submodulo R; luego sobre R y, por la propiedaduniversal del modulo cociente, induce un morfismo de A-modulos

φ : A(M×N)/R = M ⊗A N −→ P , φ(m⊗ n) = f(m,n) = f(m,n)

Nota: Una construccion analoga puede hacerse para cualquier familia finita deA-modulos M1, . . . , Mn, obteniendose un A-modulo M1 ⊗A · · · ⊗A Mn con unapropiedad universal similar.

Como ejemplo de utilizacion de tal propiedad universal, veamos el compor-tamiento del producto tensorial frente a los morfismos. Sean f : M → M ′ yg : N → N ′ morfismos de A-modulos. La aplicacion

M ×N −→ M ′ ⊗A N ′ , (m,n) 7→ f(m)⊗ g(n)

6.3. PRODUCTO TENSORIAL 111

es claramente A-bilineal; luego existe un unico morfismo de A-modulos

f ⊗ g : M ⊗A N −→ M ′ ⊗A N ′

tal que (f ⊗ g)(m⊗ n) = f(m)⊗ g(n) . Este producto tensorial de morfismos escompatible, en un sentido obvio, con la suma, el producto por elementos de A yla composicion de morfismos:

(af + bf ′)⊗ g = a(f ⊗ g) + b(f ′ ⊗ g)f ⊗ (ag + bg′) = a(f ⊗ g) + b(f ⊗ g′)

(f ′ f)⊗ (g′ g) = (f ′ ⊗ g′) (f ⊗ g)

Teorema 6.3.1 Existen isomorfismos naturales de A-modulos1. (M ⊗A N)⊗A P = M ⊗A N ⊗A P = M ⊗A (N ⊗A P )

(m⊗ n)⊗ p = m⊗ n⊗ p = m⊗ (n⊗ p)2. M ⊗A N = N ⊗A M , m⊗ n = n⊗m

3. A⊗A M = M , a⊗m = am

4.(⊕

i Mi

)⊗A N =⊕

i(Mi ⊗A N) ,(∑

imi

)⊗ n =∑

i(mi ⊗ n)

Demostracion: En cada caso basta definir los correspondientes morfismos, puesentonces es evidente que sus composiciones son la identidad sobre un sistema degeneradores. En cuanto a la definicion de tales morfismos, haremos las siguientesobservaciones:

1) Para cada elemento p ∈ P , la aplicacion

M ×N −→ M ⊗A N ⊗A P , (m,n) 7→ m⊗ n⊗ p

es A-bilineal, ası que define un morfismo de A-modulos

fp : M ⊗A N −→ M ⊗A N ⊗A P , fp(m⊗ n) = m⊗ n⊗ p

Ahora la aplicacion (M ⊗A N)×P → M ⊗A N ⊗A P , (x, p) 7→ fp(x) es bilineale induce el morfismo de A-modulos (M ⊗A N)⊗A P → M ⊗A N ⊗A P deseado.

3) La aplicacion M → A ⊗A M , m 7→ 1 ⊗m, es un morfismo de A-modulos.Por otra parte, la aplicacion A×M → M , (a, m) 7→ am, es A-bilineal e induce elmorfismo de A-modulos A⊗A M → M deseado.

4) Sea M =⊕

i Mi. La aplicacion A-bilineal

M ×N → ⊕i(Mi ⊗A N) ,

(∑i mi, n

) 7→ ∑i mi ⊗ n

induce el morfismo M ⊗A N → ⊕i(Mi⊗A N) deseado, y las inclusiones canonicas

ji : Mi → M definen morfismos de A-modulos ji ⊗ 1: Mi ⊗A N → M ⊗A N queinducen el morfismo inverso

⊕i(Mi ⊗A N) → M ⊗A N .


Corolario 6.3.2 Si L es un A-modulo libre de base (ei) y L′ es un A-modulo librede base (e′j), entonces L⊗A L′ es un A-modulo libre de base (ei ⊗ e′j).

Demostracion: Las bases dadas definen isomorfismos⊕

i A → L y⊕

j A → L′,que inducen un isomorfismo

⊕i,j(A⊗A A) → L⊗A L′, y A⊗A A = A.

Otra demostracion se obtiene observando que los elementos ei⊗ e′j claramentegeneran el A-modulo L⊗A L′, y que si

∑ij aijei ⊗ e′j = 0, considerando las coor-

denadas xi : L → A, yj : L′ → A en las bases dadas, concluimos que

0 = (xi ⊗ yj)(∑

ij aijei ⊗ e′j)

= aij .

Teorema 6.3.3 Sea M ′ i−→ Mp−→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de morfismos de

A-modulos. Para todo A-modulo N tenemos que la siguiente sucesion es exacta:

M ′ ⊗A Ni⊗1−−−→ M ⊗A N

p⊗1−−−−→ M ′′ ⊗A N −→ 0

Demostracion: Sea E la sucesion exacta inicial. De acuerdo con 6.2.1,

HomA

(E, HomA(N, P )

)= BilA(E, N ;P ) = HomA(E⊗A N, P )

es una sucesion exacta para todo A-modulo P . De nuevo 6.2.1 nos permite concluirque la sucesion E⊗A N es exacta.

Demostracion alternativa: p ⊗ 1 es epiyectiva, porque∑

i m′′i ⊗ ni = (p ⊗

1)(∑

i mi ⊗ ni), donde m′′i = p(mi). Ademas Im(i ⊗ 1) ⊂ Ker(p ⊗ 1) porque

(p⊗ 1)(i⊗ 1) = (pi)⊗ 1 = 0⊗ 1 = 0.Por ultimo, el morfismo natural π : M⊗AN → M := (M⊗AN)/Im(i⊗1) define

una aplicacion bilineal f : M × N → M , f(m,n) = [m ⊗ n], que es nula cuandom ∈ Im i = Ker p. Al ser p epiyectivo, f factoriza por una aplicacion bilinealf : M ′′ × N → M , que define un morfismo de A-modulos π : M ′′ ⊗A N → M talque π(p(m)⊗ n) = π(m⊗ n). Luego Ker(p⊗ 1) ⊂ Kerπ = Im(i⊗ 1).

Corolario 6.3.4 (A/a)⊗A M = M/aM para todo ideal a de A.

Demostracion: La sucesion exacta a → A → A/a → 0 induce una sucesion exacta

a⊗A M −→ A⊗A M −→ (A/a)⊗A M −→ 0

Para concluir basta observar que A⊗A M = M y que la imagen del morfismoa⊗A M → M , a⊗m 7→ am, es el submodulo aM .

Nota: Aunque un morfismo de A-modulos i : M ′ → M sea inyectivo, puede ocurrirque el morfismo i⊗ 1: M ′ ⊗A N → M ⊗A N no lo sea. Por ejemplo, si A = Q[ t ],el morfismo t· : A → A es inyectivo mientras que el morfismo

t⊗ 1: A⊗A (A/tA) −→ A⊗A (A/tA) .

6.4. CAMBIO DE BASE 113

es nulo. No obstante, el producto tensorial ⊗AN sı conserva los morfismos inyec-tivos cuando admiten retracto:

Corolario 6.3.5 Sea 0 → M ′ i−→ Mp−→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de morfis-

mos de A-modulos. Si la sucesion escinde, para todo A-modulo N tenemos que lasiguiente sucesion es exacta y escinde:

0 −→ M ′ ⊗A Ni⊗1−−−→ M ⊗A N

p⊗1−−−−→ M ′′ ⊗A N −→ 0

En particular, si 0 → E′ i−→ Ep−→ E′′ → 0 es una sucesion exacta de espacios

vectoriales sobre un cuerpo k, para todo k-espacio vectorial F tenemos que lasiguiente sucesion es exacta:

0 −→ E′ ⊗k Fi⊗1−−−→ E ⊗k F

p⊗1−−−−→ E′′ ⊗k F −→ 0

Demostracion: Si la sucesion escinde, de acuerdo con 6.2.4 existe un morfismo deA-modulos r : M → M ′ tal que r i = IdM ′ , entonces (r⊗ 1) (i⊗ 1) = IdM ′⊗AN

y concluimos que el morfismo i⊗ 1 es inyectivo y la sucesion escinde.En cuanto a la ultima afirmacion, baste observar que toda sucesion exacta

corta de k-espacios vectoriales escinde porque todo subespacio vectorial admite unsuplementario.

6.4 Cambio de Base

Sea j : A → B un morfismo de anillos y consideremos en B la estructura de A-modulo inducida: a · b = j(a)b .

Si M es un A-modulo, cada elemento b ∈ B define un endomorfismo 1⊗b : M⊗A

B → M⊗A B, y ası obtenemos una estructura de B-modulo en M⊗A B, que vienedada por el siguiente producto:

b · (∑imi ⊗ bi

)=

∑imi ⊗ (bbi)

Definicion: El B-modulo ası definido se denotara MB y diremos que se obtienede M mediante el cambio de base j : A → B.

Tenemos un morfismo de A-modulos canonico

M −→ MB , m 7→ m⊗ 1

llamado morfismo de cambio de base, y diremos que m ⊗ 1 es el elemento mcambiado de base.

Si f : M → N es un morfismo de A-modulos, entonces f ⊗ 1: MB → NB ,(f ⊗1)(m⊗ b) = f(m)⊗ b, es un morfismo de B-modulos y diremos que se obtienede f mediante el cambio de base j : A → B.


Propiedad Universal: Sea A → B un morfismo de anillos y sea M un A-modulo.Si N es un B-modulo y f : M → N es un morfismo de A-modulos, entonces existeun unico morfismo de B-modulos f ′ : MB → N tal que f ′(m⊗ 1) = f(m):

HomA(M,N) = HomB(MB , N)

Demostracion: De acuerdo con la propiedad universal del producto tensorial, exis-te un unico morfismo de A-modulos f ′ : M⊗A B → N tal que f ′(m⊗b) = b ·f(m).Una comprobacion directa muestra que f ′ es morfismo de B-modulos.

Teorema 6.4.1 Sea A → B un morfismo de anillos y sea M un A-modulo. Paratodo B-modulo N se tiene un isomorfismo natural de B-modulos

(MB)⊗B N = M ⊗A N ; (m⊗ b)⊗ n = m⊗ (bn)

donde M ⊗A N es B-modulo con la estructura que definen los morfismos

1⊗ b : M ⊗A N → M ⊗A N

Demostracion: Si n ∈ N , la aplicacion M → M⊗AN , m 7→ m⊗n, es un morfismode A-modulos; ası que, por la propiedad universal del cambio de base, tenemos unmorfismo de B-modulos fn : MB → M⊗AN tal que fn(m⊗b) = b(m⊗n) = m⊗bn.Ahora la aplicacion

MB ×N −→ M ⊗A N , (x, n) 7→ fn(x)

es B-bilineal e induce el morfismo de B-modulos (MB)⊗B N → M ⊗A N deseado.El morfismo inverso viene inducido por la aplicacion A-bilineal

M ×N −→ (M ⊗A B)⊗B N , (m,n) 7→ (m⊗ 1)⊗ n

Corolario 6.4.2 (M ⊗A M ′)B = (MB)⊗B (M ′B)

(m⊗m′)⊗ 1 = (m⊗ 1)⊗ (m′ ⊗ 1)

Demostracion:

(M ⊗A B)⊗B (M ′ ⊗A B) = M ⊗A (M ′ ⊗A B) = (M ⊗A M ′)⊗A B

Corolario 6.4.3 (MB)C = MC , (m⊗ b)⊗ c = m⊗ bc.

Demostracion: (M ⊗A B)⊗B C = M ⊗A C.

6.5. ALGEBRAS 115

Ejemplos:

1. Sea (e1, . . . , en) una base de un A-modulo libre L. El producto tensorialconmuta con sumas directas, de modo que LB es un B-modulo libre de base(e1⊗1, . . . , en⊗1). Ademas, si (a1, . . . , an) son las coordenadas de e ∈ L enla base dada, entonces las coordenadas de m⊗1 en la base ei⊗1i tambienson (a1, . . . , an).

2. Si un A-modulo M esta generado por unos elementos m1, . . . ,mn, entoncesMB esta generado claramente por m1 ⊗ 1, . . . , mn ⊗ 1. Ademas, si las ecua-ciones de un morfismo de A-modulos f : M → N , respecto de ciertos sistemasde generadores, son

f(mi) =∑

j aijnj

entonces las ecuaciones del morfismo f ⊗ 1: MB → NB , respecto de loscorrespondientes sistemas de generadores mi ⊗ 1 y nj ⊗ 1, son

(f ⊗ 1)(mi ⊗ 1) =∑

j aij(nj ⊗ 1)

Es decir, son las mismas ecuaciones, con la diferencia de que los coeficientesaij se consideran en el anillo B y no en A. Por ejemplo, si (aij) es lamatriz de un endomorfismo T : E → E de un R-espacio vectorial E en ciertabase (e1, . . . , en), la matriz del endomorfismo T ⊗ 1: EC → EC en la base(e1 ⊗ 1, . . . , en ⊗ 1) de EC tambien es (aij); pero vista como matriz concoeficientes complejos en vez de como matriz con coeficientes reales.

Dado un problema sobre vectores, matrices, aplicaciones lineales, etc., cam-biar de base es ese proceso, tan frecuente y humilde como crucial, de“cambiar lamirada” con la que percibimos el problema, viendo todos los coeficientes en elnuevo anillo B y no en el anillo inicial A. Sorprende que algo tan ıntimo y sutilpueda ser definido y estudiado con todo rigor y precision.

6.5 Algebras

Definicion: Sea A un anillo. Llamaremos algebra sobre A a todo anillo Bdotado de un morfismo de anillos j : A → B. Dada una A-algebra B, el morfismoestructural j induce en B una estructura de A-modulo: a · b = j(a)b , a ∈ A,b ∈ B . Por eso, cuando no origine confusion, j(a) se denotara a.

Dadas dos A-algebras j : A → B y j′ : A → C, diremos que una aplicacionf : B → C es un morfismo de A-algebras si es morfismo de anillos y f(a) = apara todo a ∈ A (o sea, j′ = f j). Es decir, cuando f sea morfismo de anillos yde A-modulos. El conjunto de los morfismos de A-algebras de B en C se denota

HomA-alg(B,C)


Diremos que un morfismo de A-algebras es un isomorfismo si admite unmorfismo de A-algebras inverso.

Es sencillo comprobar que las composiciones de morfismos de A-algebras tam-bien lo son y que los isomorfismos de A-algebras son los morfismos biyectivos.

Definicion: Diremos que un subanillo C de una A-algebra B es una subalgebracuando a∈C para todo a∈A; es decir, cuando C contiene la imagen del morfismoestructural A → B.

Es facil probar que la interseccion de cualquier familia de subalgebras de unaA-algebra B es una subalgebra, y que la subalgebra de B generada por unoselementos b1, . . . , bn ∈ B (i.e., la menor subalgebra que los contiene) es

A[b1, . . . , bn] := p(b1, . . . , bn) : p ∈ A[x1, . . . , xn]

Diremos que una A-algebra B es de tipo finito si B = A[b1, . . . , bn] paraalgunos elementos b1, . . . , bn ∈ A, y diremos que B es una A-algebra finita cuandosea un A-modulo finito-generado: B = Ab1 + . . . + Abn.

La estructura de algebra permite enunciar ya con claridad la propiedad uni-versal del anillo de polinomios A[x1, . . . , xn] con coeficientes en un anillo A:

Propiedad Universal de los Polinomios: Sea A un anillo. Si B es una A-algebra, para cada sucesion (b1, . . . , bn) ∈ Bn existe un unico morfismo de A-algebras φ : A[x1, . . . , xn] → B tal que φ(x1) = b1, . . . , φ(xn) = bn:

HomA-alg(A[x1, . . . , xn], B) = Bn

Demostracion: Claramente tal morfismo de A-algebras φ es necesariamente

φ( ∑

i1,...,in≥0

ai1...inxi11 · · ·xin

n

)=

∑

i1,...,in≥0

ai1...inbi11 · · · bin

n

Producto Tensorial de Algebras

Sean B y C dos algebras sobre un anillo A.La aplicacion B×C×B×C → B⊗AC, (b, c, b′, c′) 7→ (bb′)⊗(cc′), es claramente

A-multilineal; luego induce un morfismo de A-modulos

B ⊗A C ⊗A B ⊗A C −→ B ⊗A C

que se corresponde con una aplicacion A-bilineal

(B ⊗A C)× (B ⊗A C) ·−→ B ⊗A C

6.5. ALGEBRAS 117

Obtenemos ası una operacion en el A-modulo B ⊗A C, que denotaremos mul-tiplicativamente. Por definicion tenemos que

(∑i

bi ⊗ ci

) · (∑j

bj ⊗ cj

)=

∑i,j

(bibj)⊗ (cicj)

y este producto define en B ⊗A C una estructura de anillo. Ademas, la aplicacionA → B ⊗A C, a 7→ a⊗ 1 = 1⊗ a, es morfismo de anillos. Hemos definido ası unaestructura de A-algebra en B ⊗A C.

Ademas, si f : B → B′ y g : C → C ′ son morfismos de A-algebras, entonces laaplicacion f ⊗ g : B ⊗A C → B′ ⊗A C ′ tambien es morfismo de A-algebras.

Tenemos los siguientes morfismos canonicos de A-algebras:

j1 : B −→ B ⊗A C , j1(b) = b⊗ 1j2 : C −→ B ⊗A C , j2(c) = 1⊗ c

Propiedad Universal: Sea A un anillo. Si f : B → D y g : C → D son morfis-mos de A-algebras, existe un unico morfismo de A-algebras φ : B ⊗A C → D talque f = φ j1 y g = φ j2; es decir, φ(b⊗ 1) = f(b), φ(1⊗ c) = g(c):

HomA-alg(B ⊗A C,D) = HomA-alg(B, D) × HomA-alg(C, D)

Demostracion: La unicidad de φ se debe a que ha de ser

φ(∑

i

bi ⊗ ci

)=

∑i

φ(bi ⊗ 1)φ(1⊗ ci) =∑i

f(bi)g(ci)

En cuanto a la existencia, basta considerar la composicion del morfismo de A-algebras f⊗g : B⊗AC → D⊗AD con el morfismo µ : D⊗AD → D, µ(d′⊗d) = d′d ,inducido por el producto D ×D → D , (d′, d) 7→ d′d .

Corolario 6.5.1 A[x1, . . . , xn]⊗A A[y1, . . . ym] = A[x1, . . . , xn, y1, . . . , ym]p(x1, . . . , xn)⊗ q(y1, . . . ym) = p(x1, . . . , xn)q(y1, . . . ym)

Definicion: Sea A un anillo y C una A-algebra. Si A → C es un morfismo deanillos, el morfismo canonico j2 : C → B⊗A C define una estructura de C-algebraen B ⊗A C. Esta C-algebra se denotara BC y diremos que se obtiene de la A-algebra B por el cambio de base A → C. Tenemos un morfismo de A-algebrascanonico j : B → BC , j(b) = b⊗ 1, llamado morfismo de cambio de base.

Sea f : B → B′ un morfismo de A-algebras. El morfismo de A-algebras

f ⊗ 1: BC −→ B′C , (f ⊗ 1)(b⊗ c) = f(b)⊗ c

es de hecho un morfismo de C-algebras, que se denotara fC y diremos que seobtiene de f mediante el cambio de base A → C.


Propiedad Universal: Sea B una A-algebra y A → C un morfismo de anillos.Si D es una C-algebra y f : B → D es un morfismo de A-algebras, entonces existeun unico morfismo de C-algebras ψ : BC → D tal que ψ(b⊗ 1) = f(b):

HomA-alg(B, D) = HomC-alg(BC , D)

Demostracion: La unicidad se debe a que ψ ha de ser

ψ(∑

i bi ⊗ ci

)=

∑i ψ

(ci · j(bi)

)=

∑i cif(bi)

En cuanto a la existencia, el morfismo f : B → D y el morfismo estructuralC → D inducen un morfismo de A-algebras ψ : B ⊗A C → D que, de hecho, esmorfismo de C-algebras y verifica que ψ(b⊗ 1) = f(b).

Corolario 6.5.2 A[x1, . . . , xn]⊗A C = C[x1, . . . , xn]q(x1, . . . , xn)⊗ c = cq(x1, . . . , xn)

Corolario 6.5.3(A[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr)

)⊗A C = C[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr)[q(x1, . . . , xn)]⊗ c = [cq(x1, . . . , xn)]

Demostracion: Poniendo x = x1, . . . , xn y p = p1, . . . , pr para abreviar,

A[x ]/(p )⊗A C = A[ x ]/(p )⊗A[ x ] A[ x ]⊗A C =

= A[ x ]/(p )⊗A[ x ] C[x] = C[ x ]/(p )

Capıtulo 7

Espectro Primo

Hemos visto que en el anillo k[x1, . . . xn] la teorıa de ideales coincide con el estudiode las subvariedades del espacio afın n-dimensional sobre k definidas por ecuacionespolinomicas. Ademas, la correspondencia natural entre los ideales de un cocienteA/a y los ideales de A que contienen a a, muestra que la teorıa de ideales en el anillok[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) coincide con el estudio de las subvariedades contenidasen la subvariedad de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

;

es decir, con la geometrıa intrınseca (sin referencia al espacio afın que la contiene)de tal subvariedad.

Por otra parte, en todos los anillos conmutativos disponemos de una teorıa dela divisibilidad de ideales. ¿Podremos entender la teorıa de ideales en cualquieranillo conmutativo A como la teorıa de los lugares geometricos de cierta geometrıay comprender los elementos de A como funciones sobre ese espacio? ¿cuales serıanlos puntos de tal espacio? Los puntos deberıan ser los lugares geometricos maspequenos posibles, aquellos que solo contengan al vacıo y a ellos mismos; es decir,los que vengan definidos por los ideales maximales de A, por los ideales cuyosunicos divisores son la unidad A y ellos mismos (¡por los numeros primos!). Noobstante, sabemos que la propiedad esencial de los numeros primos, mas que supropia definicion, es la que senala el lema de Euclides: en los anillos arbitrarios,el concepto que generaliza al de numero primo, mas que el de ideal maximal, esel de ideal primo. Por razones que se iran aclarando a lo largo del capıtulo, en lacomprension geometrica de los anillos conmutativos el concepto que mejor recogela nocion intuitiva de punto es nuevamente el concepto de ideal primo, no solo elde ideal maximal. Tenemos ası en todo anillo conmutativo una aritmetica y unageometrıa que son logicamente equivalentes, pues ambas coinciden con la teorıa de

119

120 CAPITULO 7. ESPECTRO PRIMO

ideales del anillo. Todo problema enunciado en terminos de ideales admite tantouna comprension y un tratamiento aritmetico como geometrico. La teorıa deideales inicia el cumplimiento del sueno de Kronecker (1823-1891): la unificacionde la Aritmetica y la Geometrıa. En esta sıntesis asombrosa los conceptos basicosde numero primo y de punto quedan asumidos en el de ideal primo.

En este capıtulo iniciaremos la comprension geometrica de cualquier anillo con-mutativo A, asociandole un espacio cuyos puntos se corresponden con los idealesprimos de A y entendiendo los elementos de A como las funciones sobre tal es-pacio. Los ideales de A deberan comprenderse entonces como los ideales de lassubvariedades cerradas, entendiendo que una funcion se anula sobre determinadasubvariedad cerrada cuando pertenezca al correspondiente ideal; es decir, el idealde una subvariedad cerrada esta formado por todas las funciones que se anulan enla subvariedad.

Daremos ası los primeros pasos en el estudio de la aclaracion, llevada a cabopor A. Grothendieck (n. 1928) en los anos 60, de dos conceptos fundamentales: elde punto y el de funcion. Desde esta perspectiva los elementos de cualquier ani-llo conmutativo pueden entenderse como funciones, no solo las aplicaciones de unconjunto en R o C (o cualquier otro cuerpo). En ella los numeros enteros, los en-teros de Gauss, etc., son verdaderas funciones y les aplicamos nuestras intuicionesy recursos geometricos. En palabras de Grothendieck:

“Esa vasta vision unificadora puede ser descrita como una geometrıanueva. Es la que, al parecer, Kronecker habıa sonado en el siglo pasa-do1. Pero la realidad (que a veces un atrevido sueno hace presentir oentrever, y nos anima a descubrir...) sobrepasa siempre en riqueza y enresonancia al sueno mas temerario o mas profundo. Seguramente nadie,incluso la vıspera del dıa en que aparecio, hubiera sonado muchas delas partes de esa nueva geometrıa (si no todas) – el obrero mismo nomas que los demas.

Puede considerarse que la nueva geometrıa es ante todo una sıntesisde dos mundos, hasta entonces contiguos y estrechamente solidarios,aunque separados: el mundo “aritmetico”, en el que viven los (asıllamados) “espacios” sin principio de continuidad, y el mundo de lamagnitud continua, en que viven los “espacios” en el sentido propiodel termino, accesibles a los metodos del analista y (por eso mismo)considerados por el como dignos de alojarse en la ciudad matematica.En la vision nueva, esos dos mundos antes separados forman uno solo.

1No conocıa ese “sueno de Kronecker” mas que de oıdas, cuando alguien (quizas fuera JohnTate) me dijo que estaba realizando ese sueno.

7.1. ESPECTRO PRIMO Y DIMENSION 121

7.1 Espectro Primo y Dimension

Definicion: Llamaremos espectro primo de un anillo A al conjunto Spec Ade sus ideales primos2. Sus elementos se llamaran puntos, ası que cada puntox ∈ Spec A se corresponde con un ideal primo de A, que denotaremos px.

Llamaremos funciones a los elementos del anillo A, y diremos que la clase def ∈ A en A/px es el valor de la funcion f en el punto x:

f(x) := [f ] ∈ A/px

de modo que el ideal primo px de un punto x ∈ Spec A esta formado por todas lasfunciones f ∈ A que se anulan en x

px = f ∈ A : f(x) = 0 .

El hecho de que el ideal px de un punto x ∈ Spec A sea primo significa que:

La funcion 0 se anula en todos los puntos, y la funcion 1 en ninguno.Si dos funciones se anulan en un punto, su suma tambien.Si una funcion se anula en un punto, sus multiplos tambien.Si un producto de funciones se anula en x, algun factor se anula en x.

El teorema 6.1.3 afirma que todo anillo no nulo tiene espectro no vacıo y 6.1.5nos dice que las funciones invertibles son las que no se anulan en ningun punto.

Definicion: Sea A un anillo. Llamaremos ceros de una funcion f ∈ A al sub-conjunto (f)0 del espectro de A formado por todos los puntos donde se anule f .Llamaremos ceros de un ideal a de A al subconjunto de Spec A formado por lospuntos donde se anulen todas las funciones de a y lo denotaremos (a)0 :

(a)0 =⋂

f∈a

(f)0 = x ∈ Spec A : f(x) = 0, ∀f ∈ a

= x ∈ Spec A : a ⊆ px =[

Ideales primos de Aque contienen al ideal a

]

Ahora, 6.1.4 afirma que si (a)o = ∅, entonces a = A. Ademas

(0)0 = Spec A ; (A)0 = ∅( ∑i∈I

ai

)0

=⋂i∈I

(ai)0

(a1 . . . an)0 = (a1 ∩ . . . ∩ an)0 = (a1)0 ∪ . . . ∪ (an)0

2Hablando con precision, no serıa necesario pedir que los elementos del espectro sean losideales primos del anillo, sino que nos bastarıa con disponer de una correspondencia biunıvocacon tales ideales; pero no lo haremos buscando la claridad de la exposicion.


donde la ultima igualdad, que basta probar cuando i = 2, se debe a que si enun punto x ∈ Spec A no se anula una funcion f1 ∈ a1 y no se anula una funcionf2 ∈ a2, entonces f1f2 ∈ a1a2 ⊆ a1 ∩ a2 y f1f2 no se anula en x.

Estas igualdades muestran que los ceros de los ideales de A son los cerradosde una topologıa sobre SpecA, llamada topologıa de Zariski (1899-1986). Deahora en adelante consideraremos siempre el espectro de un anillo como un espaciotopologico. Por definicion, si un punto x ∈ Spec A no esta en un cerrado C = (a)0,entonces alguna funcion f ∈ a no se anula en x (y se anula obviamente en C):

Las funciones de A separan puntos de cerrados en Spec A.

Los cerrados de la topologıa de Zariski son las intersecciones arbitrarias deceros de funciones, de modo que los ceros de funciones forman una base de latopologıa de Spec A. Luego una base de abiertos de la topologıa de Zariski deSpec A esta formada por los abiertos

Uf := Spec A− (f)0 = x ∈ Spec A : f no se anula en xque llamaremos abiertos basicos. Esta base de abiertos es estable por inter-secciones finitas, pues

Uf ∩ Ug = Ufg

Por otra parte, 6.1.4 afirma que (a)0 = ∅ precisamente cuando a = A, ası queel Teorema chino de los restos admite la siguiente reformulacion:

Teorema Chino del Resto: Si a y b son ideales de un anillo A sin ceros co-munes, (a)0 ∩ (b)0 = ∅, entonces a ∩ b = ab y tenemos un isomorfismo de anillos

A/a ∩ b = (A/a)×(A/b) .

Corolario 7.1.1 Si m1, . . . , mr son ideales maximales distintos de un anillo A,los morfismos naturales A → (A/mn1

1 )⊕ . . .⊕ (A/mnrr ) son epiyectivos.

Demostracion: Sea xi el punto de Spec A definido por el ideal maximal mi. Como(mn1

1 )0 = (m1)0 = x1 y (mn22 ∩ . . .∩mnr

r )0 = (mn22 )0∪ . . .∪(mnr

r )0 = x2, . . . , xr,segun el teorema chino de los restos tenemos isomorfismos de anillos

A/mn11 ∩. . .∩mnr

r = (A/mn11 )⊕(A/mn2

2 ∩. . .∩mnrr ) = . . . = (A/mn1

1 )⊕. . .⊕(A/mnrr )

que muestran que el morfismo natural A → (A/mn11 )⊕ . . .⊕(A/mnr

r ) es epiyectivo.

Teorema 7.1.2 El espectro de cualquier anillo es un espacio topologico compacto.

Demostracion: Sea A un anillo y consideremos una familia de cerrados (ai)0i∈I

de su espectro con interseccion vacıa

∅ =⋂i∈I

(ai)0 =( ∑

i∈I

ai

)0

7.1. ESPECTRO PRIMO Y DIMENSION 123

De 6.1.4 se sigue que∑

i ai = A . Luego 1 = f1+. . .+fn para ciertas funcionesf1 ∈ ai1 , . . . , fn ∈ ain

, de modo que

(ai1)0 ∩ . . . ∩ (ain)0 = (ai1 + . . . + ain

)0 = (A)0 = ∅y concluimos que una subfamilia finita tiene interseccion vacıa. Es decir, el espectrode A es compacto.

Dimension

Proposicion 7.1.3 El cierre de cada punto x del espectro de un anillo A estaformado por los ceros de su ideal primo:

x = (px)0 .

Luego Spec A es un espacio topologico T0 (puntos distintos tienen cierres distintos)y los puntos cerrados de Spec A se corresponden con los ideales maximales de A.

Demostracion: La condicion de que un cerrado (a)0 de Spec A pase por x significaque a ⊆ px, en cuyo caso (px)0 ⊆ (a)0. Luego (px)0 es el menor cerrado de Spec Aque contiene a x; es decir, (px)0 es el cierre de x en Spec A.

Definicion: Diremos que un espacio topologico es irreducible cuando no puedadescomponerse como union de dos cerrados estrictamente menores. Llamaremoscomponentes irreducibles de un espacio topologico X a los subespacios irre-ducibles maximales de X, es decir, que no esten contenidos estrictamente en otrosubespacio irreducible.

El cierre de un subespacio irreducible tambien es irreducible y, en particular,el cierre de cualquier punto es un cerrado irreducible. Luego las componentesirreducibles de un espacio siempre son cerradas. Todo espacio irreducible es co-nexo, ası que cada componente irreducible de un espacio X esta contenida enuna componente conexa de X; pero un punto de X puede pertenecer a variascomponentes irreducibles, como es el caso del punto x = 0, y = 0 en el par derectas concurrentes SpecC[x, y]/(xy).

Proposicion 7.1.4 Cada cerrado irreducible del espectro de un anillo A es elcierre de un unico punto, llamado punto generico de tal cerrado.

Por tanto, al asociar a cada ideal primo de A sus ceros, obtenemos una corre-spondencia biyectiva:

[Ideales primosdel anillo A

]=

[Cerrados irreducibles

de Spec A

]

que invierte el orden. En particular, las componentes irreducibles de Spec A secorresponden con los ideales primos minimales de A.


Demostracion: Sea Y un cerrado irreducible de Spec A. Si un producto de dosfunciones de A se anula en Y , algun factor se anula en Y , porque Y es irreducible;ası que las funciones de A que se anulan en Y forman un ideal primo p, y tenemosque Y = (p)0 porque las funciones de A separan puntos de cerrados.

De acuerdo con 7.1.3, concluimos que Y es el cierre del punto de Spec A definidopor el ideal primo p. La unicidad de tal punto se debe tambien a 7.1.3.

Definicion: Llamaremos dimension de Krull (1899-1971) de un anillo A alsupremo de las longitudes de las cadenas crecientes de ideales primos de A. Esdecir, un anillo A tiene dimension finita n cuando admita alguna cadena de idealesprimos p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn y cualquier otra cadena de ideales primos de A tengalongitud menor o igual que n.

La dimension de un anillo A solo depende de la topologıa de Spec A, pues es elsupremo de las longitudes de las sucesiones x0, x1, . . . , xn de puntos de Spec A talesque xi esta en el cierre de xi−1 (en cuyo caso se dice que xi es una especializacionde xi−1 o que xi−1 es una generalizacion de xi, y pondremos xi+1 > xi). Por esohablaremos de la dimension de Spec A, entendiendo que es la dimension de A.

7.2 Aplicacion Continua Inducida

Sea j : A → B un morfismo de anillos. Si b es un ideal de B, los elementos deA cuya imagen por j esta en b forman un ideal de A que denotaremos j−1(b) oA ∩ b cuando no cause confusion. Es facil probar que A ∩ p es un ideal primo deA cuando p es un ideal primo de B. Obtenemos ası una aplicacion natural

φ : Spec B −→ Spec A ; φ(p) = A ∩ p

Si φ y φ′ son las aplicaciones inducidas por dos morfismos de anillos j : A → By j′ : B → C, la aplicacion inducida por j′j es φ φ′.

Por definicion, tenemos x = φ(y) precisamente cuando px = j−1(py). Es decir,una funcion f ∈ A se anula en el punto φ(y) justamente cuando j(f) se anula enel punto y ∈ Spec B :

φ−1(f)0 =(j(f)

)0

= (fB)0

Teorema 7.2.1 La aplicacion φ : Spec B → Spec A inducida por cualquier mor-fismo de anillos A → B es continua:

φ−1(a)0 = (aB)0

Demostracion: φ−1(a)0 = φ−1( ⋂f∈a

(f)0)

=⋂

f∈a

φ−1(f)0 =⋂

f∈a

(fB)0 = (aB)0.

7.2. APLICACION CONTINUA INDUCIDA 125

Teorema 7.2.2 Sea a un ideal de un anillo A. La aplicacion continua

i : Spec (A/a) → Spec A

inducida por la proyeccion canonica π : A → A/a establece un homeomorfismo deSpec (A/a) con su imagen, que son los ceros del ideal a:

Spec (A/a) = (a)0

Demostracion: De acuerdo con 6.1.2, la aplicacion i establece una biyeccion entreSpec A/a y los ceros de a, y es continua en virtud del teorema anterior.

Es un homeomorfismo con la imagen porque para cada cerrado basico (f )0 deSpec (A/a) tenemos que i−1(f)0 = (πf)0 = (f)0.

Corolario 7.2.3 Spec (A⊕B) = (Spec A)∐

(Spec B)

Demostracion: Consideremos en el anillo A⊕B los ideales a = A⊕ 0, b = 0⊕B.Como a + b = A ⊕ B y a ∩ b = 0, tenemos que (a)0 ∩ (b)0 = ∅ y (a)0 ∪ (b)0 =Spec (A⊕B); es decir, Spec (A⊕B) = (a)0

∐(b)0.

Para concluir basta observar que, de acuerdo con el teorema anterior,

(a)0 = Spec (A⊕B)/a = Spec B

(b)0 = Spec (A⊕B)/b = Spec A

Notese que cada ideal primo p de A se corresponde con el ideal primo p ⊕ Bde A⊕B, y cada ideal primo q de B con el ideal primo A⊕ q de A⊕B .

Teorema 7.2.4 Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. La aplicacioni : Spec (S−1A) → Spec A inducida por el morfismo de localizacion γ : A → S−1Aestablece un homeomorfismo de Spec (S−1A) con su imagen, que esta formada porlos puntos donde no se anula ninguna funcion f ∈ S:

Spec (S−1A) =⋂

f∈S

Uf

Es decir, los ideales primos de S−1A se corresponden con los ideales primos deA que no cotan al sistema multiplicativo S.

Demostracion: Sea q un ideal primo de AS y sea p = A ∩ q. Es facil probar queq = b/s ∈ AS : b ∈ p = pAS , ası que la aplicacion i considerada es inyectiva.Ademas p no corta a S porque, en caso contrario, q = pAS tendrıa elementosinvertibles y q = AS , contra la hipotesis de que el ideal q es primo.

Por otra parte, si p es un ideal primo de A que no corta al sistema S, entoncesA ∩ (pAS) = p:

a

1=

b

s, b ∈ p ⇒ au = bv ∈ p , u, v ∈ S ⇒ a ∈ p


Se sigue tambien que pAS es un ideal primo de AS ,

(a1/s1)(a2/s2) ∈ pAS ⇒ a1a2 ∈ A ∩ pAS = p ⇒ ai ∈ p ⇒ ai/si ∈ pAS

y concluimos que el morfismo de localizacion γ : A → AS establece una biyeccionentre los ideales primos de AS y los ideales primos de A que no cortan a S.

Esta biyeccion es un homeomorfismo porque para cualquier cerrado basico(f/s)0 de Spec AS tenemos

i−1(f)0 = (f/1)0 = (f/s)0 .

Notacion: Sea A un anillo. Si f ∈ A, denotaremos Af la localizacion de A porel sistema multiplicativo 1, f, f2, . . . , fn, . . ..

Si x es un punto de Spec A y p es su ideal primo, denotaremos Ax o Ap lalocalizacion de A por el sistema multiplicativo S = A− p.

Corolario 7.2.5 El espectro de Af es el complementario de (f)0:

Uf = Spec Af

y Af coincide con la localizacion de A por todas las funciones que no se anulanen ningun punto de Uf . Por tanto, si (f)0 = (g)0, entonces Af = Ag.

Demostracion: El homeomorfismo Uf = Spec Af se sigue directamente del teoremaanterior, porque (f)0 = (fn)0.

Por otra parte, si una funcion g ∈ A no se anula en ningun punto de Uf , de6.1.5 se sigue que g es invertible en Af , ası que Af coincide con la localizacion deA por las funciones que no se anulan en ningun punto de Uf .

Corolario 7.2.6 Los ideales primos de Ap se corresponden con los ideales primosde A contenidos en p. En particular, Ap tiene un unico ideal maximal pAp.

Definicion: Sea a un ideal de un anillo A. Diremos que

r (a) = f ∈ A : fn ∈ a para algun n ∈ N

es el radical de a. Por abuso del lenguaje, el radical del ideal 0, que esta formadopor los elementos nilpotentes (= con alguna potencia nula), suele denominarseradical del anillo A. Diremos que un anillo es reducido si su radical es nulo; esdecir, si carece de elementos nilpotentes no nulos.

Teorema 7.2.7 Las funciones nilpotentes son las que se anulan en todos los pun-tos del espectro. Es decir, el radical de un anillo es la interseccion de todos susideales primos.

7.2. APLICACION CONTINUA INDUCIDA 127

Demostracion: Es claro que los elementos nilpotentes de un anillo A pertenecen atodos sus ideales primos.

Recıprocamente, si alguna funcion f ∈ A se anula en todos los puntos delespectro de A, entonces Spec Af = Uf = ∅ segun 7.2.5. De acuerdo con 6.1.3tenemos que Af = 0; luego 1/1 = 0/1, de modo que existe una potencia fn talque 0 = fn(1− 0) = fn.

Corolario 7.2.8 El radical de un ideal a coincide con la interseccion de los idealesprimos que lo contienen, de modo que su radical r(a) es el mayor ideal cuyos ceroscoinciden con los ceros de a.

Demostracion: Es claro que el radical de a esta contenido en cualquier ideal primoque contenga al ideal a. Recıprocamente, si una funcion f ∈ A pertenece a todoslos ideales primos que contienen al ideal a, entonces f se anula en Spec A/a segun7.2.2. El teorema anterior afirma que alguna potencia de f es nula, fn = 0, yconcluimos que fn ∈ a. Es decir, f ∈ r(a).

Ejemplo: Dados n elementos α1, . . . , αn de una extension K de un cuerpo k, elnucleo del correspondiente morfismo k[x1, . . . , xn] → K es un ideal primo p (nonecesariamente maximal, pues el morfismo puede no ser epiyectivo) que define unpunto del espectro de k[x1, . . . , xn]. Por definicion, un polinomio p(x1, . . . , xn)se anula en este punto si p(α1, . . . , αn) = 0. Por tanto, p define un punto delespectro de A = k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) cuando pi(α1, . . . , αn) = 0 para todoındice 1 ≤ i ≤ r, y diremos que es el punto de Spec A definido por (α1, . . . , αn), obien que es el punto x1 = α1, . . . , xn = αn.

Todos los puntos del espectro de k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) son de esta forma,pues cada ideal primo p de A es el nucleo del morfismo natural A → A/p → κ(p),donde κ(p) denota el cuerpo de fracciones de A/p. Es decir, los puntos del espectrode k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) vienen definidos por las soluciones, en extensiones dek, del sistema de ecuaciones p1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , pr(x1, . . . , xn) = 0; aunquediferentes soluciones puedan definir el mismo punto del espectro de A. Ası, cuandok = R, cada solucion compleja (α1, . . . , αn) define el mismo punto del espectro quela solucion conjugada (α1, . . . , αn).

Corolario 7.2.9 Sea k un cuerpo y a = (p1, . . . , pr) un ideal del anillo de poli-nomios k[x1, . . . , xn]. El radical del ideal a esta formado por los polinomios que seanulan en todas las soluciones (en extensiones de k) del sistema de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

Por tanto, dos sistemas de ecuaciones en n indeterminadas con coeficientes enk admiten las mismas soluciones justamente cuando los ideales que generan enk[x1, . . . , xn] tienen el mismo radical.


Demostracion: Todo punto del espectro de k[x1, . . . xn] es de la forma (α1, . . . , αn)para ciertos elementos α1, . . . , αn de alguna extension K de k. La condicion deque a este contenido en el ideal primo de (α1, . . . , αn) significa que (α1, . . . , αn)es solucion del sistema definido por unos generadores de a. Segun 7.2.7, el radicalde a esta formado por los polinomios q(x1, . . . , xn) que se anulan en todas lassoluciones de tal sistema.

Formula de la Fibra

Definicion: Sea φ : Spec B → Spec A la aplicacion continua inducida por unmorfismo de anillos j : A → B, sea x un punto de Spec A y sea p su ideal primo.Llamaremos fibra de φ sobre x al subespacio de Spec B formado por los puntoscuya imagen por φ es x:

φ−1(x) = y ∈ Spec B : φ(y) = x

Por otra parte, la localizacion del anillo B por la imagen del sistema multi-plicativo A − p se denotara Bx o Bp y diremos que es la localizacion de B en elpunto x o en el ideal primo p.

Lema 7.2.10 φ−1(x) = SpecB/pB cuando el punto x es cerrado.

Demostracion: Como x es cerrado, x = (p)0, y 7.2.1 y 7.2.2 permiten concluir que

φ−1(x) = (φ−1((p)0) = (pB)0 = Spec B/pB

Formula de la Fibra: φ−1(x) = Spec(Bx/pBx

)

Demostracion: Sea q el ideal primo de un punto y de Spec B. La condicionφ(y) = x significa que p = A ∩ q, lo que implica que q no corta a la imagen deA−p en B. Luego, de acuerdo con 7.2.4, la fibra φ−1(x) esta contenida en Spec Bx.

Ahora, el siguiente cuadrado conmutativo

Spec Bx → Spec Byφyφ

Spec Ax → Spec A

prueba que φ−1(x) coincide con la fibra de φ : Spec Bx → Spec Ax sobre el unicopunto cerrado de Spec Ax, definido por pAx. Como (pAx)Bx = pBx , el lemaanterior permite concluir que

φ−1(x) = Spec (Bx/pBx)

7.3. CALCULOS 129

7.3 Calculos

(2) El espectro de Z tiene un punto cerrado por cada numero primo y un puntogenerico pg definido por el ideal 0, que debe entenderse como el numero primogenerico. Es irreducible y de dimension 1:

• • • • • • •2 3 5 7 11 13 pg

(3) El espectro de C[x] . Cada numero complejo a define un punto cerrado,definido por el ideal maximal (x−a). Ademas tiene un punto generico pg definidopor el ideal 0. Es irreducible y de dimension 1 :

p p p •0 1 a pg

(4) El espectro de k[x], donde k es un cuerpo, tiene un punto cerrado por cadapolinomio irreducible y unitario p(x) con coeficientes en k, definido por el idealmaximal

(p(x)

), y un punto generico, definido por el ideal primo 0. Es irreducible

y de dimension 1.

(5) El espectro de k[x]/(p(x)

), donde p(x) es un polinomio no constante con

coeficientes en el cuerpo k, tiene un punto cerrado por cada factor irreducible yunitario de p(x) en k[x]. Su dimension es 0.

(6) El espectro de C [x, y] . Consideremos la proyeccion

φ : SpecC [x, y] −→ SpecC [x]

definida por el morfismo de C-algebras C [x] → C [x, y], x 7→ x. Cada puntode SpecC [x, y] esta en la fibra de un unico punto de SpecC [x], ası que vamosa calcular tales fibras. Los ideales primos de C [x] son el ideal 0 y los idealesmaximales (x− a), donde a ∈ C.

Segun 7.2.10, la fibra del punto x = a coincide con

SpecC [x, y]/(x− a)

Ahora bien, C [x, y]/(x − a) ' C [y], donde el isomorfismo transforma x en a, yconcluimos que los ideales de los puntos de la fibra del punto x = a son el idealprimo (x−a) y los ideales maximales (x−a, y− b), donde b ∈ C. Es decir, la fibradel punto x = a esta formada por los puntos cerrados x = a, y = b junto con elpunto generico de la recta x = a.

Segun la formula de la fibra, la del punto generico de SpecC [x] coincide conel espectro de la localizacion de C [x, y] por todos los polinomios en x no nulos; esdecir, con

SpecC(x)[y]


Ahora bien, por el lema de Gauss, los ideales primos no nulos de C(x)[y] son losideales generados por los polinomios irreducibles en C [x, y] que sean de gradomayor o igual que 1 en y. Luego los ideales de los puntos de la fibra del puntogenerico son el ideal 0 y los ideales primos

(p(x, y)

), donde p(x, y) es un polinomio

irreducible de grado ≥ 1 en y. Es decir, la fibra del punto generico de la rectaafın esta formada por el punto generico del plano y los puntos genericos de talescurvas p(x, y) = 0 .

En resumen, SpecC [x, y] (o en general Spec k[x, y] cuando k es algebraicamentecerrado) tiene dimension 2 y (como los polinomios irreducibles que tienen grado 0en y son, salvo factores constantes, los polinomios x− a) sus puntos son:

–. Los puntos cerrados, que son los puntos x = a, y = b donde a, b ∈ C .–. Los puntos genericos de las curvas irreducibles p(x, y) = 0 .–. El punto generico del plano afın.

El punto generico del plano es denso, mientras que las especializaciones delpunto generico de la curva irreducible p(x, y) = 0 son los puntos cerrados (a, b)tales que p(a, b) = 0 .

Sea q(x, y) un polinomio no constante con coeficientes complejos y sea q(x, y) =p1(x, y)m1 · · · pr(x, y)mr su descomposicion en factores irreducibles que no difieranen factores constantes. Entonces

(q)0 = (p1)0 ∪ . . . ∪ (pr)0

Luego los cerrados de SpecC [x, y] son las intersecciones arbitrarias de unionesfinitas de curvas irreducibles. De acuerdo con la Teorıa de la Eliminacion, doscurvas irreducibles distintas se cortan en un numero finito de puntos cerrados, asıque los cerrados (ademas del vacıo y el total) son las uniones finitas de puntoscerrados y curvas irreducibles.

(7) El espectro de C [x, y]/(q(x, y)

). Sea q(x, y) un polinomio no constante con

coeficientes complejos y sea q(x, y) = p1(x, y)m1 · · · pr(x, y)mr su descomposicionen factores irreducibles que no difieran en factores constantes. De acuerdo con7.2.2 tenemos que SpecC [x, y]/(q) = (q)0, ası que la curva plana de ecuacionq(x, y) = 0 tiene dimension 1 y sus puntos son:

–. Los puntos cerrados (a, b) donde q(a, b) = 0 .–. Los puntos genericos de las curvas irreducibles pi(x, y) = 0 .Por tanto sus componentes irreducibles son las curvas pi(x, y) = 0 .

(8) El espectro de C[x, y]/(p, q). Si dos polinomios p(x, y), q(x, y) ∈ C[x, y] noadmiten factores comunes no constantes, se sigue que

SpecC [x, y]/(p, q) = (p)0 ∩ (q)0

7.4. VARIEDADES ALGEBRAICAS AFINES 131

tiene dimension 0 y esta formado por un numero finito de puntos cerrados, queson las soluciones complejas del sistema de ecuaciones p(x, y) = 0, q(x, y) = 0.

(9) El espectro de Z[x]. Consideremos el morfismo natural Z → Z[x] y lacorrespondiente aplicacion continua

φ : SpecZ[x] −→ SpecZ

Segun 7.2.10, la fibra de cada numero primo p coincide con el espectro deZ[x]/pZ[x]. Ahora bien, tenemos que

Z[x]/pZ[x] ' Z[x]⊗Z Fp ' Fp[x]

donde el isomorfismo transforma [q(x)] en la reduccion de q(x) modulo p. Con-cluimos que los ideales de los puntos de la fibra de p son el ideal primo pZ[x] y losideales maximales (p, q(x)), donde q(x) es un polinomio cuya reduccion modulo psea irreducible en Fp[x].

Segun la formula de la fibra, la del punto generico de SpecZ coincide conSpecQ[x]. De acuerdo con el lema de Gauss, los ideales primos no nulos de Q[x]estan generados por los polinomios irreducibles en Z[x] no constantes. Luego losideales de los puntos de la fibra del punto generico son el ideal 0 y los ideales primos(p(x)) donde p(x) es un polinomio no constante irreducible en Z[x]. Concluimosque SpecZ[x] es irreducible y de dimension 2. Ademas, como los polinomiosirreducibles constantes son, salvo el signo, los numeros primos, concluimos quelos ideales primos de Z[x] son:

–. Los ideales maximales (p, q(x)), donde p es un numero primo y q(x) es unpolinomio cuya reduccion modulo p sea irreducible.

–. Los ideales primos (p(x)) generados por un polinomio p(x) irreducible enZ[x] (lo que incluye los numeros primos).

–. El ideal primo 0.

7.4 Variedades Algebraicas Afines

Definicion: Llamaremos variedad algebraica afın sobre un cuerpo k al par(X,A) formado por una k-algebra de tipo finito A y su espectro X = Spec A.Diremos que la variedad es ıntegra, reducida, de dimension n, etc., si lo es lak-algebra A, y que es conexa, irreducible, etc., si lo es el espacio topologico X.

Si no origina confusion, tal variedad se denota unicamente X, y la correspon-diente k-algebra se denota O(X) o A(X) y se dice que es el anillo de funcionesalgebraicas o el anillo afın de X. Ası, si A es una k-algebra de tipo finito,la variedad algebraica afın (Spec A,A) se denotara SpecA. Llamaremos espacio


afın n-dimensional sobre el cuerpo k a la variedad algebraica afın An,k definidapor el anillo de polinomios k[x1, . . . , xn].

An,k := Spec k[x1, . . . , xn]

Sean X, Y dos variedades algebraicas afines sobre k. Llamaremos morfismosde X en Y a los morfismos de k-algebras de O(Y ) en O(X). El conjunto de talesmorfismos se denotara Homk(X, Y ) :

Homk(X,Y ) = Homk-alg (O(Y ),O(X))

Por definicion un morfismo X → Y esta determinado por un morfismo de k-algebras O(Y ) → O(X); luego induce una aplicacion continua

X = SpecO(X) −→ SpecO(Y ) = Y ,

pero no esta determinado por tal aplicacion continua. Por ejemplo, la identi-dad y la conjugacion compleja son dos morfismos de variedades algebraicas realesSpecC → SpecC que inducen la misma aplicacion continua, pues el espaciotopologico SpecC tiene un unico punto.

La composicion de morfismos entre variedades algebraicas afines se define porser la composicion de los correspondientes morfismos de k-algebras. La identidadde una variedad algebraica X es el morfismo X → X definido por la identidad deO(X). Diremos que un morfismo φ : X → Y es un isomorfismo si existe algunmorfismo ψ : Y → X tal que ψ φ es la identidad de X y φ ψ es la identidad deY . Los isomorfismos de X con Y son los morfismos definidos por isomorfismos dek-algebras de O(Y ) con O(X).

Puntos Racionales: Sea x un punto cerrado de una variedad algebraica afın Xsobre un cuerpo k y sea m el ideal maximal de O(X) formado por las funcionesque se anulan en x. Diremos que x es un punto racional si el morfismo estructuralk → O(X)/m es un isomorfismo; es decir, si O(X)/m es una extension trivial dek. Los puntos racionales de X se corresponden con los morfismos de k-algebrasδ : O(X) → k, pues cada uno de estos morfismos δ esta determinado por su nucleom, ya que δ(f) = a justamente cuando f − a ∈ m . Es decir:

[puntos racionalesde la variedad X

]= Homk-alg

(O(X), k)

= Homk(Spec k, X)

Segun 3.5.5, cada ideal maximal (x1 − a1, . . . , xn − an) del anillo de poli-nomios k[x1, . . . , xn] define un punto racional del espacio afın An,k, que se de-nota (a1, . . . , an). Ası se obtienen todos los puntos racionales de An,k, pues sik = k[x1, . . . , xn]/m y ai = [xi], entonces (x1− a1, . . . , xn− an) ⊆ m y se concluyeque (x1 − a1, . . . , xn − an) = m, al ser (x1 − a1, . . . , xn − an) un ideal maximal.


Ahora, cuando O(X) ' k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr), de acuerdo con 6.1.2, lospuntos racionales de X son las soluciones en k del sistema de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

Es decir, los puntos racionales de una variedad algebraica sobre k son sus puntoscon coordenadas en k, mientras que los restantes puntos vienen definidos porsoluciones del sistema en otras extensiones de k.

Una variedad algebraica puede carecer de puntos racionales sin que por ellosea vacıa, como es el caso de la curva x2 + y2 = −1 sobre los numeros reales, opasar por todos los puntos racionales del plano afın sin que por eso coincida conel plano, como es el caso de la curva xp + yp = x + y sobre el cuerpo finito Fp:

Las variedades algebraicas no estan determinadas por sus puntos racionales.

Subvariedades Cerradas: Sea a = (p1, . . . , pr) un ideal de un anillo de poli-nomios k[x1, . . . , xn]. El teorema 7.2.2 afirma que k[x1, . . . , xn]/a define una es-tructura de variedad algebraica afın sobre (a)0 ⊂ An,k, y diremos que es la sub-variedad cerrada del espacio afın An,k definida por el sistema de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

En general, si consideramos una variedad algebraica afın arbitraria X y unideal a de su anillo de funciones algebraicas O(X), el teorema 7.2.2 muestra queO(X)/a define una estructura de variedad algebraica afın sobre los ceros de a.Diremos que Y = ((a)0, O(X)/a) es la subvariedad cerrada de X definida porel ideal a, y depende del ideal a, no solo del cerrado (a)0.

La restriccion de una funcion algebraica f ∈ O(X) a esta subvariedad cerradaY se define por ser su clase de restos f ∈ O(X)/a, de modo que la restriccion defunciones O(X) → O(Y ) es precisamente la proyeccion canonica. La inclusionnatural Y → X se define por ser el morfismo de variedades algebraicas asociadoal morfismo de restriccion O(X) → O(Y ).

Por ejemplo, el punto t = 0 de la recta afın es el unico cero de cualquiera delos ideales (tn), n ≥ 1. Sin embargo estos ideales definen diferentes estructurasde variedad algebraica afın sobre tal punto, pues las k-algebras k[ t ]/(tn) no sonisomorfas.

No obstante, dado un cerrado Y de una variedad algebraica afın X, de 7.2.7 sesigue que entre todos los ideales a de O(X) cuyos ceros sean Y existe solo uno talque el anillo O(X)/a es reducido, a saber, el ideal formado por todas las funcionesalgebraicas sobre X que se anulan en Y .


Por tanto, cada cerrado de una variedad algebraica afın hereda una estructurabien definida de variedad algebraica afın reducida y, en general, soporta muchasotras subvariedades cerradas que no son reducidas.

Sea X una variedad algebraica afın. Por definicion el anillo de funciones O(X)es una k-algebra de tipo finito; pero admite diferentes sistemas de generadoresξ1, . . . , ξn. Cada uno define un morfismo de k-algebras k[x1, . . . , xn] → O(X),xi 7→ ξi, que es epiyectivo e induce un isomorfismo k[x1, . . . , xn]/a ' O(X). Esdecir, cada sistema de n generadores de O(X) define un morfismo X → An,k queinduce un isomorfismo de X con una subvariedad cerrada de An,k.

Vemos ası que toda variedad algebraica afın es isomorfa a una subvariedadcerrada de un espacio afın, pero lo es de muchos modos y ninguno canonico.Ademas, el menor numero n tal que X pueda sumergirse como subvariedad cerradade An,k es el menor cardinal de los sistemas de generadores de O(X).

Por ejemplo, consideremos la curva plana C de ecuacion y = x2. Su anillo defunciones algebraicas O(C) = k[ξ, η] = k[x, y]/(y − x2) esta generado por ξ y elmorfismo k[ t ] → k[ξ, η], t 7→ ξ, es un isomorfismo, pues su inverso es el morfismok[ξ, η] → k[ t ], ξ 7→ t, η 7→ t2. La curva C es isomorfa a la recta afın.

Abiertos Basicos: Sea U un abierto basico de una variedad algebraica afın X; esdecir, U = Uf = X− (f)0 para alguna funcion f ∈O(X). La localizacion de O(X)por el sistema multiplicativo de las funciones que no se anulan en ningun puntode U es, de acuerdo con 7.2.5, una k-algebra de tipo finito que solo depende de U ,no de f , y cuyo espectro coincide con U . Obtenemos ası una estructura naturalde variedad algebraica afın en todo abierto basico de una variedad algebraica afın.Por definicion

O(U) = O(X)[f−1

]

La restriccion de una funcion algebraica g ∈ O(X) a un abierto basico Uf sedefine por ser su localizacion g/1 ∈ O(X)f , de modo que la restriccion de funcionesO(X) → O(Uf ) es precisamente el morfismo de localizacion.

La inclusion natural Uf → X se define por ser el morfismo de variedadesalgebraicas asociado al morfismo de restriccion O(X) → O(Uf ).

No todos los abiertos de una variedad algebraica afın son basicos. En efecto,sea U el complementario del origen en el plano afın complejo A2,C. Del teoremade D’Alembert se sigue que todo polinomio no constante se anula en algun puntode U , ası que la localizacion de C [x, y] por los polinomios que no se anulan enningun punto de U coincide con el propio anillo C [x, y], de modo que su espectroes todo el plano afın: no es U . Luego U no es un abierto basico de A2,C.

Morfismos: Sea X la subvariedad de An,k definida por un sistema de ecuacionesp1(x1, . . . , xn) = . . . = pr(x1, . . . , xn) = 0, y sea Y la subvariedad de Am,k definidapor otro sistema de ecuaciones q1(y1, . . . , ym) = . . . = qs(y1, . . . , ym) = 0.


Cada morfismo de φ : X → Y viene dado por un morfismo de k-algebrasO(Y ) = k[y1, . . . , ym] → O(X) = k[x1, . . . , xn] , definido por ciertas ecuaciones

y1 = f1(x1, . . . , xn). . . . . . . . .

ym = fm(x1, . . . , xn)

con la condicion de que qh

(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)

)= 0, 1 ≤ h ≤ s.

•(y1, . . . , ym)

&%

'$• (x1, . . . , xn) -

Si consideramos el punto de X definido por ciertos elementos (α1, . . . , αn)de una extension K de k, entonces su imagen por φ es precisamente el punto(f1(α1, . . . , αn), . . . , fm(α1, . . . , αn)), por lo que tambien diremos que φ es el mor-fismo de ecuaciones

φ(x1, . . . , xn) =(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)

)

En efecto, si p es el nucleo del morfismo O(X) → K, xi 7→ αi, entonceses claro que O(Y ) ∩ p es el nucleo de la composicion O(Y ) → O(X) → K ,yj 7→ fj(α1, . . . , αn).

Por ejemplo, hemos visto que el morfismo φ : A1 → C, φ(t) = (t, t2), de la rectaafın en la curva plana y = x2 es un isomorfismo, y el morfismo inverso ψ : C → A1

es el morfismo ψ(x, y) = x.Sea C la curva plana de ecuacion xy = 1 y sea U = Spec k[t, t−1] el abierto

complementario del punto t = 0 en la recta afın. Consideremos los morfismos

φ : U −→ C ; φ(t) = (t, t−1)ψ : C −→ U ; ψ(x, y) = x

Como (φψ)(x, y) = φ(x) = (x, x−1) = (x, y), tenemos que φψ es la identidad.Analogamente (ψφ)(t) = ψ(t, t−1) = t, ası que ψφ tambien es la identidad. Con-cluimos que φ y ψ son isomorfismos mutuamente inversos.

Funciones: Sea X una variedad algebraica afın. Segun hemos visto, cada mor-fismo X → A1 viene dado por una ecuacion t = f(x1, . . . , xn), donde la funcionf ∈ O(X) es arbitraria: el concepto de funcion algebraica coincide con el de mor-fismo valorado en la recta afın:

Homk(X,A1) = Homk-alg

(k[ t ],O(X)

)= O(X)

y la condicion de que f se anule en un punto x ∈ X significa que la imagen de xpor el morfismo f : X → A1 es el punto t = 0 de la recta afın.


Entornos Infinitesimales: Sea x un punto cerrado de una variedad algebraicaafın X y sea m su ideal maximal. La k-algebra O(X)/mr+1 es de tipo finitoy la variedad algebraica afın Ur = Spec (O(X)/mr+1) se llama r-esimo en-torno infinitesimal de x en X. Cada funcion f ∈ O(X) define una funcionf ∈ O(X)/mr+1 = O(Ur) llamada desarrollo de Taylor de orden r de f enx pues, cuando X es un espacio afın real o complejo y x es un punto racional,coincide con el desarrollo de Taylor clasico.

Desarrollar por Taylor hasta el orden r en un punto x es restringir al entornoinfinitesimal Ur de x.

Producto Directo: Sean X, Y dos variedades algebraicas afines sobre un cuerpok. Si O(X) = k[ξ1, . . . , ξn] y O(Y ) = k[η1, . . . , ηm], entonces los productos tenso-riales ξi ⊗ ηj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m generan la k-algebra O(X) ⊗k O(Y ). LuegoO(X)⊗kO(Y ) es una k-algebra de tipo finito y define una variedad algebraica afınque se llama producto directo de X por Y y se denotara X×k Y , o simplementeX × Y si la referencia al cuerpo k se da por supuesta. Por definicion

O(X ×k Y ) = O(X)⊗k O(Y )

y los morfismos naturales j1 : O(X) → O(X)⊗kO(Y ), j2 : O(Y ) → O(X)⊗kO(Y )definen sendos morfismos canonicos

π1 : X ×k Y −→ X , π2 : X ×k Y −→ Y

que reciben el nombre de proyecciones de X × Y sobre sus dos factores.Cada morfismo φ : Z → X×Y de una variedad algebraica afın Z en el producto

directo define, por composicion con las proyecciones sobre los factores, morfismosπ1 φ : Z → X y π2 φ : Z → Y . La propiedad universal del producto tensorialde algebras afirma precisamente que ası obtenemos biyecciones naturales

Homk(Z, X ×k Y ) = Homk(Z, X)×Homk(Z, Y )

de forma que para definir un morfismo de una variedad Z en X×Y basta definir unmorfismo de Z en X y otro de Z en Y . Con precision, dado un par de morfismosf : Z → X, g : Z → Y , existe un unico morfismo f × g : Z → X × Y tal que sucomposicion con π1 es f y su composicion con π2 es g. Notese que cada punto delproducto directo X ×Y define un punto de X y otro de Y , sin mas que tomar susimagenes por las proyecciones sobre los factores; pero no esta determinado por susproyecciones: como conjunto X × Y no coincide con el conjunto de parejas (x, y)donde x ∈ X, y ∈ Y . Por ejemplo, el punto generico del plano afın A2 = A1 × A1

se proyecta sobre el punto generico de cada factor; pero lo mismo le ocurre alpunto generico de la diagonal x = y o de cualquier otra curva plana irreduciblecuya ecuacion dependa de ambas indeterminadas.


Dado un morfismo ψ : X → Y , existe un unico morfismo X → X × Y que esla identidad al componer con la primera proyeccion y coincide con ψ al componercon la segunda proyeccion. Este morfismo X → X×Y recoge nuestra intuicion dela grafica de un morfismo. En particular, cuando Y = X y ψ es la identidad de X,el correspondiente morfismo X → X × X se llama morfismo diagonal y vienedefinido por el morfismo de k-algebras O(X)⊗kO(X) → O(X) , f ⊗ g 7→ fg . Porotra parte, el isomorfismo k[x1, . . . , xn]⊗k k[y1, . . . , ym] = k[x1, . . . , xn, y1, . . . ym]afirma que An,k ×k Am,k = An+m,k.

Union Disjunta: Con las notaciones del apartado anterior, O(X) ⊕ O(Y ) esuna k-algebra generada por los elementos (ξ1, 0), . . . , (ξn, 0), (0, η1), . . . , (0, ηm).La correspondiente variedad algebraica afın se llamara union disjunta de X e Y ,y se denotara X

∐Y . Segun 7.2.3, como espacio topologico X

∐Y coincide con

la union disjunta de X e Y . Por definicion

O(X∐

Y ) = O(X)⊕O(Y )

y los morfismos naturales p1 : O(X)⊕O(Y ) → O(X), p2 : O(X)⊕O(Y ) → O(Y )definen sendos morfismos canonicos

i1 : X −→ X∐

Y , i2 : Y −→ X∐

Y

y cada morfismo φ : X∐

Y → Z de la union disjunta en una variedad algebraicaafın Z induce dos morfismos φ i1 : X → Z, φ i2 : Y → Z. Obtenemos ası unabiyeccion natural

Homk(X∐

Y , Z) = Homk(X,Z)×Homk(Y, Z)

de forma que para definir un morfismo de X∐

Y en Z basta definir un morfismode X en Z y otro de Y en Z. Con precision, dado un par de morfismos ψ : X → Z,ϕ : Y → Z, existe un unico morfismo X

∐Y → Z tal que su composicion con j1 es

ψ y su composicion con j2 es ϕ. En efecto, dado un par de morfismos de k-algebrasj1 : B → O(X), j2 : B → O(Y ), existe un unico morfismo de k-algebras

j1 ⊕ j2 : B −→ O(X)⊕O(Y ) , (j1 ⊕ j2)(b) =(j1(b), j2(b)

)

tal que su composicion con p1 es j1 y su composicion con p2 es j2.Ası, el isomorfismo k[x, y]/(y2 + y) ' k[t] ⊕ k[t] ; x 7→ (t, t), y 7→ (0,−1),

expresa que el par de rectas paralelas y(y + 1) = 0 es la union disjunta de dosrectas afines.

Cambio del Cuerpo Base: Sea X una variedad algebraica afın sobre un cuerpok y sea k → K una extension de k. Si O(X) = k[ξ1, . . . , ξn], entonces O(X)⊗kK =K[ξ1⊗1, . . . , ξn⊗1] es una K-algebra de tipo finito y define una variedad algebraica


afın sobre K, que denotaremos XK y diremos que se obtiene de X por el cambiode base k → K :

O(XK) = O(X)K

Por ejemplo, el isomorfismo natural

k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr)⊗k K = K[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr)

afirma que si X es la subvariedad del espacio afın An,k definida por ciertas ecua-ciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

XK es la subvariedad de An,K definida por las mismas ecuaciones.El isomorfismo k[x1, . . . , xn]⊗k K = K[x1, . . . , xn] afirma que, al cambiar de

base el espacio afın An,k , obtenemos el espacio afın An,K .

Nota: Nos hemos limitado a considerar algebras de tipo finito sobre un cuerpopara simplificar la exposicion; pero esta restriccion es artificial. Los pares (X,A)donde A es un anillo conmutativo con unidad y X es su espectro coinciden esencial-mente con los esquemas afines introducidos por Grothendieck (n. 1928) a finalesde los anos 50. El ambito de los esquemas afines permite tratar de forma unificadala Aritmetica y la Geometrıa afın, pues en el tienen cabida tanto los espacios afinessobre un cuerpo como el espectro de Z o de los otros anillos que intervienen en laAritmetica, e incluso conceptos tan sorprendentes como el de recta afın sobre losnumeros enteros

A1,Z := SpecZ[x]

que permiten abordar geometricamente los problemas aritmeticos. Los resultadosde la teorıa de anillos admiten su reformulacion en terminos de esquemas afines;aunque, por sencillez, solo hayamos considerado el caso de las algebras de tipofinito sobre un cuerpo.

Incluso en el estudio de las variedades algebraicas afines es necesario introducirlos esquemas afines. Por ejemplo, el anillo local Ox = O(X)x de una variedadalgebraica afın X en un punto x, que determina las propiedades de X en el entornode x, casi nunca es una k-algebra de tipo finito, ni (cuando x no es cerrado)las algebras Ox/pr+1

x , que determinan el comportamiento infinitesimal de X enel punto x. Es decir, tanto Spec (Ox) como Spec (Ox/pr+1

x ) no son variedadesalgebraicas afines, aunque sı son esquemas afines.

Capıtulo 8

Localizacion

Uno de los procesos geometricos mas basicos es el de localizar la atencion enun entorno de un punto; pues nos permite distinguir entre propiedades locales yglobales. Una propiedad es local cuando solo depende del comportamiento en unentorno de cada punto. Por ejemplo la continuidad de las funciones consideradasen Topologıa, la derivabilidad de las funciones estudiadas en Analisis, la conexionlocal o la compacidad local de los espacios topologicos son propiedades locales. Porel contrario, una propiedad es global cuando no es local; es decir, cuando dependede todo el espacio considerado. Por ejemplo el concepto de funcion acotada no eslocal, ni el de espacio compacto o conexo. Cuando se pasa a estudiar una cuestionen un abierto U en vez de hacerlo en todo el espacio inicialmente considerado, lasfunciones que no se anulan en ningun punto de U pasan a ser invertibles. Si, comoes lo mas usual, no queremos fijar un entorno de un punto dado x, sino considerarun entorno suficientemente pequeno que dependa de los datos en cuestion y nosolo del punto dado, las funciones que no se anulan en x pasan a ser invertibles.Por tanto, dado un anillo A, las fracciones f/g cuyo denominador no se anulaen cierto punto x ∈ Spec A deben entenderse como funciones definidas en un “en-torno suficientemente pequeno” de x. Aunque no tengamos una definicion rigurosadel concepto “entorno suficientemente pequeno” que tan a menudo usamos paraindicar el significado intuitivo de muchos teoremas, sorprendentemente la construc-cion de los anillos de fracciones permite introducir con toda precision un anillo1

Ax = f/g de “funciones definidas en un entorno suficientemente pequeno de x”.

1De nuevo, al igual que en el caso de las variedades algebraicas, no tenemos una definicion rig-urosa de cierto espacio, en este caso “el entorno suficientemente pequeno de x”; pero disponemosde un anillo de funciones sobre el mismo, que permite introducirlo como el espacio de sus ide-ales primos. Una y otra vez nos encontramos con una observacion crucial: el punto de partidade la Geometrıa no debe ser el espacio, para introducir luego las funciones, sino las funciones,que determinan el espacio y su estructura. En esto la Geometrıa coincide con la Fısica: lasobservaciones determinan la estructura el Universo.

139

140 CAPITULO 8. LOCALIZACION

Este proceso de localizacion nos permitira diferenciar los problemas y propiedadeslocales de los que son globales. Por ejemplo, una propiedad de los modulos (res-pectivamente de sus morfismos) es local cuando la condicion necesaria y suficientepara que un A-modulo M (un morfismo f : M → N) tenga tal propiedad es quela tenga el Ax-modulo M ⊗A Ax (el morfismo f : M ⊗A Ax → N ⊗A Ax) paratodo punto x ∈ Spec A. Es absolutamente necesario distinguir entre problemaslocales (enunciados con propiedades locales) y globales; pues los problemas localesbasta estudiarlos despues del cambio de base A → Ax y el anillo Ax es mucho massencillo que A.

Un resultado central de este capıtulo sera demostrar que la anulacion de unmodulo es una cuestion local y que, por tanto, tambien son locales todos losproblemas que puedan reducirse a la anulacion de un modulo. Ası, la inyectividady epiyectividad de un morfismo de A-modulos f : M → N , que equivalen a laanulacion de Ker f y N/Im f respectivamente, la inclusion N ⊆ N ′ entre dossubmodulos, que se reduce a la anulacion de (N + N ′)/N , etc. Este resultadocoloca en el centro de nuestra atencion los anillos Ax, porque la mayor partede los problemas basta estudiarlos despues de sustituir el anillo inicial A por sulocalizacion Ax en un punto x. Ahora bien, estos anillos Ax no son arbitrarios,sino que estan caracterizados por el hecho de tener un unico ideal maximal: sonlos anillos llamados locales.

Sea O un anillo con un unico ideal maximal m. El resultado fundamental enel estudio de los modulos sobre estos anillos es el sorprendente lema de Nakayama(19121964): La anulacion de un O-modulo de tipo finito equivale a la del (O/m)-espacio vectorial M ⊗O O/m = M/mM , es una cuestion de Algebra Lineal. Estelema explica la enorme potencia del Calculo Diferencial en la resolucion de proble-mas locales. El Calculo Diferencial, que es el estudio de las relaciones despreciandoinfinitesimos de segundo orden, es decir, del espacio vectorial m/m2 (o de los es-pacios vectoriales mr/mr+1 si se consideran derivadas sucesivas), permite obtenerresultados exactos2 en el anillo local O; o sea, absolutamente validos en un entornosuficientemente pequeno del punto considerado x. En resumen, este capıtulo pre-senta un procedimiento sistematico para tratar los problemas locales que puedanenunciarse en terminos de A-modulos y sus morfismos. Primero se reducen a losanillos Ax; luego, mediante el lema de Nakayama, a cuestiones infinitesimales quese resuelven con el Algebra Lineal. Ahora bien, para poder aplicar el lema deNakayama es necesario que los modulos sean de tipo finito, de modo que paraestudiar sistematicamente los ideales con este metodo es necesario suponer quetodos los ideales del anillo son finito-generados. Los anillos que satisfacen talcondicion reciben el nombre de noetherianos, en honor de E. Noether (1882-1935).La gran importancia de estos anillos radica en el fundamental Teorema de la basede Hilbert (1862-1943): los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo

2No solo aproximadamente validos, como pudiera esperarse despues de despreciar terminosmuy pequenos, pero no nulos.

8.1. LOCALIZACION DE MODULOS 141

o en Z son noetherianos, ası como sus cocientes y localizaciones. Vemos ası quela practica totalidad de los anillos involucrados en la Geometrıa Algebraica y laAritmetica son noetherianos, de forma que estos anillos proporcionan el marconatural para desarrollar su estudio unificado. Tambien demostraremos que todoideal de un anillo noetheriano viene definido por condiciones infinitesimales en unnumero finito de puntos del espectro, que es el resultado fundamental de la teorıade ideales en los anillos noetherianos.

8.1 Localizacion de Modulos

Definicion: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Si M es un A-modulo, denotaremos S−1M o MS el cociente de M ×S respecto de la relacion deequivalencia

(m, s) ≡ (n, t) ⇔ existen u, v ∈ S tales que mu = nv y su = tv

y la imagen de cada pareja (m, s) en el cociente S−1M se denotara m/s.Las operaciones

m

s+

n

t=

tm + sn

sta

s· m

t=

am

st

definen en S−1M una estructura de S−1A-modulo y diremos que es la localizacionde M por S. La aplicacion canonica

γ : M −→ S−1M , γ(m) = m/1

es morfismo de A-modulos y diremos que es el morfismo de localizacion.Tambien diremos que γ(m) = m/1 es la localizacion de m por S. Por definicion,

la condicion necesaria y suficiente para que la localizacion de un elemento m ∈ Mpor S sea nula es que sm = 0 para algun s ∈ S.

Cada morfismo de A-modulos f : M → N induce de modo natural una apli-cacion, llamada localizacion de f por S:

S−1f : S−1M −→ S−1N , (S−1f)(m/s) = f(m)/s

que es morfismo de S−1A-modulos.Es inmediato comprobar que la localizacion de morfismos conserva composi-

ciones y combinaciones A-lineales:

S−1(f g) = (S−1f) (S−1g)

S−1(af + bg) = a(S−1f) + b(S−1g)


Propiedad Universal: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A y seaM un A-modulo. Si N es un S−1A-modulo y f : M → N es un morfismo deA-modulos, entonces existe un unico morfismo de S−1A-modulos φ : S−1M → Ntal que f = φ γ; es decir, φ(m/1) = f(m) para todo m ∈ M :

HomA(M,N) = HomS−1A(S−1M, N)

Demostracion: La unicidad es evidente, pues tal morfismo φ ha de ser φ(m/s) =s−1f(m) . En cuanto a la existencia, veamos que tal igualdad define una aplicacionde S−1M en N :

φ(um/us) = (su)−1f(um) = s−1u−1uf(m) = s−1f(m)

Ahora es inmediato comprobar que esta aplicacion φ es morfismo de S−1A-modulos.

Teorema 8.1.1 M ⊗A (S−1A) = S−1M

Demostracion: De acuerdo con la propiedad universal del cambio de base, el mor-fismo de localizacion M → S−1M , m 7→ m/1, define un morfismo de S−1A-modulos

M ⊗A (S−1A) −→ S−1M , m⊗ (a/s) 7→ am/s

Recıprocamente, por la propiedad universal de la localizacion, el morfismo decambio de base M → M ⊗A (S−1A), m 7→ m ⊗ 1, define un morfismo de S−1A-modulos

S−1M −→ M ⊗A (S−1A) , m/s 7→ m⊗ (1/s)

Es sencillo comprobar que ambos morfismos son mutuamente inversos.

Corolario 8.1.2 S−1(⊕iMi) = ⊕i(S−1Mi)S−1(M ⊗A N) = (S−1M)⊗S−1A (S−1N) .

Teorema 8.1.3 Sea M ′ f−→ Mg−→ M ′′ una sucesion exacta de A-modulos. Si S

es un sistema multiplicativo de A, entonces tambien es exacta la sucesion

S−1M ′ S−1f−−−→ S−1MS−1g−−−→ S−1M ′′

Demostracion: Im(S−1f) ⊆ Ker(S−1g) porque

(S−1g) (S−1f) = S−1(g f) = 0

Recıprocamente, si m/s ∈ Ker(S−1g), entonces g(m)/s = 0. Luego 0 =tg(m) = g(tm) para algun t ∈ S y, por hipotesis, existe m′ ∈ M ′ tal quetm = f(m′). Por tanto

m/s = tm/ts = f(m′)/ts = (S−1f)(m′/ts)

8.2. PROPIEDADES LOCALES 143

y Ker(S−1g) ⊆ Im(S−1f). Concluimos que Im(S−1f) = Ker(S−1g) . q.e.d.

Una consecuencia de este teorema es que la localizacion transforma submodulosen submodulos. Con precision, si N es un submodulo de un modulo M y consid-eramos la inclusion N → M , su localizacion S−1N → S−1M es inyectiva e induceun isomorfismo de S−1N con su imagen, que tambien denotaremos S−1N :

S−1N = m ∈ S−1M : m = n/s para algun n ∈ N

Corolario 8.1.4 S−1(M/N) = (S−1M)/(S−1N)S−1(N + N ′) = (S−1N) + (S−1N ′)S−1(N ∩N ′) = (S−1N) ∩ (S−1N ′)S−1(aM) = (S−1a)(S−1M)S−1(Ker f ) = Ker (S−1f)S−1 (Im f ) = Im (S−1f)

Demostracion: La primera afirmacion se obtiene localizando la sucesion exacta

0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0

y la segunda es consecuencia directa de la definicion de S−1N . En cuanto a latercera, si n/s = n′/s′, donde n ∈ N, n′ ∈ N ′, entonces un = u′n′ para ciertosu′, u ∈ S; luego un esta en N ∩N ′ y n/s = (un)/(us) ∈ S−1(N ∩N ′).

La igualdad S−1(aM) = (S−1a)(S−1M) se sigue de las definiciones.Si f : M → N es un morfismo de A-modulos, localizando la sucesion exacta

0 −→ Ker f −→ Mf−−→ N

obtenemos que S−1(Ker f) = Ker (S−1f). La igualdad S−1(Im f ) = Im (S−1f)se sigue directamente de las definiciones.

Ejemplo: Sea M un A-modulo. Si f ∈ A, entonces Mf coincide con la localizacionMU de M por las funciones g ∈ A que no se anulen en ningun punto de U = Uf ,porque Af = AU y S−1M = M ⊗A S−1A

8.2 Propiedades Locales

Definicion: Llamaremos soporte de un elemento m de un A-modulo M al sub-espacio de Spec A formado por los puntos x donde mx 6= 0 y lo denotaremos

Sop (m) = x ∈ Spec A : mx 6= 0y pondremos Sop (M) := x ∈ Spec A : Mx 6= 0 =

⋃m∈M Sop (m) .


Teorema 8.2.1 El soporte de un elemento m de un A-modulo M coincide conlos ceros de su ideal anulador

(Ann (m)

)0

= x ∈ Spec A : mx 6= 0

En particular, la condicion necesaria y suficiente para que m sea nulo es que losea su localizacion en todos los puntos cerrados de Spec A .

Demostracion: Si x ∈ Spec A, la condicion mx = 0 expresa que fm = 0 paraalguna funcion f ∈ A que no se anula en x; es decir, que x no esta en los cerosde Ann(m). Por ultimo, si mx = 0 en todo punto cerrado x ∈ Spec A, entoncesAnn(m) no esta contenido en ningun ideal maximal de A y, segun 6.1.4, tenemosque Ann(m) = A; luego 0 = 1 ·m = m .

Corolario 8.2.2 Sop M ⊆ (Ann M)0 para todo A-modulo M .

Demostracion: Sop M =⋃

m∈M Sop (m) =⋃

m∈M

(Ann (m)

)0⊆ (Ann M)0 .

Corolario 8.2.3 Si M es un A-modulo de tipo finito, su soporte es un cerradoque coincide con los ceros de su ideal anulador: Sop M = (AnnM)0 .

Demostracion: Si M es de tipo finito, M = Am1 + · · ·+ Amn , entonces

Sop M =n⋃

i=1

Sop (mi) =n⋃

i=1

(Ann (mi)

)0

=( n⋂

i=1

Ann (mi))

0= (Ann M)0 .

Corolario 8.2.4 La condicion necesaria y suficiente para que un A-modulo Msea nulo es que lo sea su localizacion en todos los puntos cerrados de Spec A.

Demostracion: Si Mx = 0 para todo punto cerrado x ∈ Spec A, entonces todoelemento de M se anula al localizar en los puntos cerrados de SpecA y concluimosque todo elemento de M es nulo.

Teorema 8.2.5 Sea M ′ f−→ Mg−→ M ′′ una sucesion de morfismos de A-modulos.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. M ′ f−→ Mg−→ M ′′ es una sucesion exacta.

2. M ′x

fx−→ Mxgx−→ M ′′

x es exacta en todo punto cerrado x ∈ Spec A .

Demostracion: 1 ⇒ 2 es un caso particular de 8.1.3.

(2 ⇒ 1) Si la sucesion es exacta en un punto x, tenemos que

(Im gf)x = Im (gf)x = Im (gxfx) = 0

8.2. PROPIEDADES LOCALES 145

y, de acuerdo con 8.2.4, se sigue que Im gf = 0; es decir, Im f ⊆ Ker g . Localizandoahora (Ker g)/(Im f) obtenemos que

(Ker g/Im f)x = (Ker g)x/(Im f)x = (Ker gx)/(Im fx) = 0

en todo punto cerrado x del espectro de A. De nuevo 8.2.4 permite concluir que(Ker g)/(Im f) = 0. Es decir, Ker g = Im f .

Corolario 8.2.6 La condicion necesaria y suficiente para que un morfismo de A-modulos sea inyectivo (respectivamente epiyectivo, isomorfismo) es que lo sea allocalizar en todos los puntos cerrados de Spec A .

Corolario 8.2.7 Sea N y N ′ dos submodulos de un A-modulo M . Se verifica queN ′ ⊆ N si y solo si N ′

x ⊆ Nx en todo punto cerrado x ∈ Spec A .

Demostracion: N ′ ⊆ N si y solo si la inclusion N → N ′ + N es un isomorfismo.

Teorema de Descomposicion: Si el soporte de un A-modulo M esta formadopor un numero finito de puntos cerrados, Sop M = x1, . . . , xn, entonces Mdescompone en suma directa de sus localizaciones en los puntos de su soporte:

M = Mx1 ⊕ . . .⊕Mxn

Demostracion: Los morfismos canonicos M → Mxi definen un morfismo de A-modulos M → Mx1 ⊕ . . .⊕Mxn . Segun 8.2.6, para probar que es un isomorfismobasta verlo despues de localizar en cada punto y ∈ Spec A. Ahora bien,

(Mx1 ⊕ . . .⊕Mxn

)y

= (Mx1)y ⊕ . . .⊕ (Mxn)y =

Mxi cuando y = xi

0 en otro caso

pues en todo punto cerrado x ∈ Spec A tenemos que (Mx)x = Mx, y que (Mx)y = 0cuando y 6= x. En efecto, (Mx)y es un (Ax)y-modulo y su localizacion en todopunto z ∈ Spec (Ax)y es nula, pues tales puntos z se corresponden con los idealesprimos de A contenidos en el ideal maximal de x y en el ideal primo de y, idealesprimos que no pueden ser maximales cuando y 6= x, de modo que Mz = 0.

Corolario 8.2.8 Si un A-modulo M esta anulado por alguna potencia de un idealmaximal m de A, entonces M = Mm .

Demostracion: Por hipotesis Sop M ⊆ (Ann M)0 ⊆ (mn)0 = (m)0 = x, asıque el soporte de M tiene un unico punto x que es cerrado, y el Teorema deDescomposicion permite concluir que M = Mx.


8.3 Modulos sobre Anillos Locales

Definicion: Un anillo es local si tiene un unico ideal maximal.

Lema de Nakayama (1912-1964): Sea O un anillo local y m su unico idealmaximal. Si M es un O-modulo de tipo finito y mM = M , entonces M = 0.

Demostracion: Si M 6= 0, consideramos un sistema finito m1, . . . , mn de gener-adores de M tales que m2, . . . , mn no generen M .

Por hipotesis M = mM = m(Om1 + . . . +Omn) = mm1 + . . . + mmn, ası quem1 = f1m1 + f2m2 + . . . + fnmn para ciertas funciones f1, . . . , fn ∈ m. Luego

(1− f1)m1 = f2m2 + . . . + fnmn

y 1 − f1 no esta en m, que es el unico ideal maximal de O. En virtud de 6.1.5concluimos que 1−f1 es invertible en O y, por tanto, que m1 ∈ Om2 + . . .+Omn .Luego m2, . . . ,mn generan M , lo que implica una contradiccion.

Corolario 8.3.1 Sea O un anillo local, k = O/m el cuerpo residual de su unicoideal maximal m, y sea M un O-modulo de tipo finito.

La condicion necesaria y suficiente para que m1, . . . , mn ∈ M generen el O-modulo M es que m1, . . . , mn generen el k-espacio vectorial M/mM .

Demostracion: Sea N = Om1 + . . . + Omn. La condicion de que m1, . . . , mn

generen el k-espacio vectorial M/mM significa que M = N + mM . Pasando alcociente por N obtenemos que M/N = m(M/N), y el lema de Nakayama permiteconcluir que M/N = 0. Es decir, N = M y m1, . . . ,mn generan el O-modulo M .

Ejemplo: SeaO el anillo local en el origen del espacio afın An = Spec k[x1, . . . , xn]sobre un cuerpo k, y sea m = (x1, . . . , xn) su unico ideal maximal. Segun 8.2.8,m/m2 es un k-espacio vectorial de dimension n generado por x1, . . . , xn. Deacuerdo con el Lema de Nakayama, unos polinomios f1, . . . , fr ∈ m

fi(x1, . . . , xn) = ai1x1 + . . . + ainxn + terminos de grado mayor que 1

generan el ideal m si y solo si sus formas lineales iniciales ai1x1 + . . . + ainxn

generan el espacio vectorial de los polinomios homogeneos de grado 1.

Teorema de Bezout

Lema 8.3.2 Sea k un cuerpo. Toda k-algebra finita ıntegra es un cuerpo. Todoideal primo de una k-algebra finita es maximal.

8.3. MODULOS SOBRE ANILLOS LOCALES 147

Demostracion: Sea A una k-algebra finita. Si a ∈ A no es nulo, la aplicacionlineal ha : A → A, ha(x) = ax, es inyectiva cuando A es ıntegra. Como A es unk-espacio vectorial de dimension finita, se sigue que la dimension de la imagen deha coincide con la de A. Luego ha es epiyectivo y concluimos que 1 = ha(b) = abpara algun b ∈ A. Es decir, a es invertible y A es un cuerpo.

Ahora, si p es un ideal primo de A, entonces A/p es una k-algebra finita ıntegra;luego es un cuerpo y concluimos que p es un ideal maximal.

Teorema 8.3.3 El espectro de una k-algebra finita A es un espacio finito y dis-creto, Spec A = z1, . . . , zn, y A descompone en suma directa de algebras locales:

A = Az1 ⊕ . . .⊕Azn

Demostracion: 7.1.1 muestra que el numero de ideales maximales de A esta aco-tado por dimk A. Por el lema anterior, Spec A es finito y todos sus puntos soncerrados, ası que es discreto y el Teorema de descomposicion permite concluir.

Definicion: Consideremos en el plano afın A2 = Spec k[x, y] dos curvas C1 y C2

de ecuaciones p1(x, y) = 0 y p2(x, y) = 0. Si Oz es el anillo local del plano afın enun punto z, llamaremos multiplicidad de interseccion de las curvas C1 y C2

en el punto z a la longitud del Oz-modulo Oz/(p1, p2):

(C1 ∩ C2)z := l(Oz/(p1, p2)

).

Para que la multiplicidad de interseccion sea nula es necesario y suficiente quep1 o p2 sea invertible en Oz; i.e., que alguna de las dos curvas no pase por z.

La multiplicidad de interseccion es 1 precisamente cuando p1 y p2 generan elideal maximal mz de Oz. Si el punto z es el origen de coordenadas, el Lema deNakayama muestra que la multiplicidad de interseccion es 1 si y solo si ambas cur-vas pasan por z y las formas lineales iniciales de p1(x, y) y p2(x, y) son linealmenteindependientes.

Como el unico Oz-modulo simple es el cuerpo residual κ(z) := Oz/mz del puntoz, tenemos que

dimkOz/(p1, p2) = (C1 ∩ C2)z · [κ(z) : k]

Ahora introducimos tres nuevas indeterminadas x0, x1, x2 y a cada polinomioq(x, y) de grado d le asociamos el polinomio homogeneo de grado d

q(x0, x1, x2) := xd0q(x1/x0, x2/x0) ,

de modo que q(x, y) = q(1, x, y). Diremos que las curvas planas p1(x, y) = 0,p2(x, y) = 0 no se cortan en el infinito cuando la unica solucion (en extensionesarbitrarias de k) del sistema

x0 = 0p1(x0, x1, x2) = 0p2(x0, x1, x2) = 0


sea la solucion trivial x0 = 0, x1 = 0, x2 = 0. De acuerdo con 7.2.9, tal condicionequivale a que el radical del anillo k[x0, x1, x2]/(x0, p1, p2) sea el ideal maximal(x0, x1, x2); i.e., que alguna potencia de este ideal sea nula.

Teorema de Bezout: Sea k un cuerpo y p1, p2 ∈ k[x, y] polinomios de grados d1

y d2 sin factores irreducibles comunes. El numero de puntos de corte de las curvasplanas p1(x, y) = 0, p2(x, y) = 0, contado cada uno con su grado y la multiplicidadde interseccion, es ≤ d1d2:

∑

z∈C1∩C2

(C1 ∩ C2)z · [κ(z) : k] ≤ d1d2

y se da la igualdad cuando las curvas no se cortan en el infinito.

Demostracion: Sea Rn el subespacio vectorial de R = k[x0, x1, x2]/(p1, p2) definidopor los polinomios homogeneos de grado n.

Como p1(x0, x1, x2) y p2(x0, x1, x2) son polinomios homogeneos de grados d1

y d2 sin factores irreducibles comunes, tenemos una sucesion exacta

0 −→ Pn−d1−d2

φ−−−→ Pn−d2 ⊕ Pn−d1

ψ−−−→ Pnπ−−−→ Rn −→ 0

donde Pm denota el espacio vectorial de los polinomios homogeneos de grado men las indeterminadas x0, x1, x2 y φ(q) = (p2q,−p1q), ψ(q1, q2) = p1q1 + p2q2.

Cuando n ≥ d1 + d2, tomando dimensiones sobre k obtenemos que

dimk Rn =(

n + 22

)−

(n− d1 + 2

2

)−

(n− d2 + 2

2

)+

(n− d1 − d2 + 2

2

)

= d1d2

Por otra parte, tenemos un isomorfismo de k-algebras:

k[x, y]/(p1, p2) =⋃n

Rn

xn0

, q(x, y) 7→ q

(x1

x0,x2

x0

).

donde la union se considera en el anillo de fracciones Rx0 . En efecto, tal mor-fismo claramente es epiyectivo, y si q(x1/x0, x2/x0) = 0, entonces q(x0, x1, x2) =xd

0q(x1/x0, x2/x0) = 0 en Rx0 , de modo que xr0q(x0, x1, x2) = 0 en R para alguna

potencia xr0. Luego en el anillo de polinomios k[x0, x2, x2] tenemos una igualdad

xr0q(x0, x1, x2) = a(x0, x1, x2)p1(x0, x1, x2) + b(x0, x1, x2)p2(x0, x1, x2)

y concluimos que q(x, y) = a(1, x, y)p1 + b(1, x, y)p2 es nulo en k[x, y]/(p1, p2).Esta descomposicion del anillo de la interseccion en union creciente de sube-

spacios vectoriales muestra que dimk k[x, y]/(p1, p2) = dimk (Rn/xn0 ) ≤ d1d2 para

8.4. ANILLOS NOETHERIANOS 149

n >> 0. Luego k[x, y]/(p1, p2) es una k-algebra finita. Segun el teorema anterior,la interseccion C1 ∩ C2 = Spec k[x, y]/(p1, p2) esta formada por un numero finitode puntos cerrados z1, . . . , zr y tenemos una descomposicion

k[x, y]/(p1, p2) = Oz1/(p1, p2)⊕ . . .⊕Ozr/(p1, p2)

d1d2 ≥ dimk k[x, y]/(p1, p2) =∑

z∈C1∩C2

dimkOz/(p1, p2)

=∑

z∈C1∩C2

(C1 ∩ C2)z · [κ(z) : k]

Para concluir basta ver que el epimorfismo canonico Rn → Rn/xn0 es un iso-

morfismo para n >> 0 (i.e., ningun elemento de Rn esta anulado por una potenciade x0) cuando ambas curvas no se cortan en el infinito. Tal condicion significaque Rn es nulo en el anillo k[x0, x1, x2]/(x0, p1, p2) = R/x0R cuando n >> 0, demodo que los morfismos x0 : Rn → Rn+1 son epiyectivos. Como ambos espaciostienen la misma dimension, concluimos que son inyectivos; luego tambien lo sonlos morfismos xr

0 : Rn → Rn+r para todo r ≥ 1.

Nota: Del Teorema de Bezout (1730-1783) se sigue que los cuerpos residualesκ(z) son extensiones finitas de k; luego κ(z) = k cuando k es algebraicamentecerrado. En tal caso el numero de puntos comunes, contados con la multiplicidadde interseccion, coincide con el producto de los grados.

8.4 Anillos Noetherianos

Definicion: Diremos que un A-modulo es noetheriano, en honor de EmmyNoether (1882-1935), si todos sus submodulos son de tipo finito. Diremos que unanillo A es noetheriano si lo es como A-modulo; es decir, si todos sus ideales sonde tipo finito.

Si un A-modulo M es noetheriano, es claro que todo submodulo N de Mtambien es noetheriano, al igual que el cociente M/N , ya que cada submodulo deM/N es el cociente de un submodulo de M .

Si un anillo A es noetheriano, tambien lo es cualquier cociente A/a por unideal a. Igualmente la localizacion S−1A por cualquier sistema multiplicativo esun anillo noetheriano, pues cada ideal b de S−1A es la localizacion del ideal A∩ bde A, ası que b es finito-generado cuando lo sea A ∩ b .

Lema 8.4.1 Sea 0 → M ′ i−→ Mp−→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de A-modulos.

La condicion necesaria y suficiente para que M sea un A-modulo noetheriano esque M ′ y M ′′ sean A-modulos noetherianos.


Demostracion: Si un modulo es noetheriano, tambien lo son sus submodulos y suscocientes, ası que bastara probar que es condicion suficiente. Sea N un submodulode M . Tenemos una sucesion exacta de A-modulos

0 −→ M ′ ∩N −→ N −→ p(N) −→ 0

Por hipotesis los modulos M ′ ∩N y p(N) son de tipo finito:

M ′ ∩N = Am′1 + . . . + Am′

n , p(N) = Ap(m1) + . . . + Ap(mr)

y es sencillo comprobar que i(m′1), . . . , i(m

′n), m1, . . . ,mr generan N .

Teorema 8.4.2 Sea A un anillo noetheriano. Todos los A-modulos de tipo finitoson noetherianos.

Demostracion: Si A es noetheriano, procediendo por induccion sobre n y aplicandoel lema 8.4.1 a las sucesiones exactas

0 −→ A −→ An −→ An−1 −→ 0

obtenemos que los A-modulos libres de rango finito son noetherianos. Ahora bien,si un A-modulo M esta generado por n elementos, estos definen un epimorfismoAn → M → 0 y concluimos que M es noetheriano.

Proposicion 8.4.3 Todo ideal de un anillo noetheriano contiene una potencia desu radical.

Demostracion: Sea a un ideal de un anillo noetheriano y sea r su radical. Consid-eremos un sistema finito r1, . . . , rm de generadores de r. Por definicion de idealradical, alguna potencia rni

i de cada generador ri ha de estar en a; luego rn ⊆ acuando n > n1 + . . . + nm −m .

Teorema 8.4.4 La condicion necesaria y suficiente para que un A-modulo seanoetheriano, es que toda sucesion estrictamente creciente de submodulos de Msea finita (es decir, que toda familia no vacıa de submodulos de M tenga algunelemento maximal).

Demostracion: Supongamos que M es noetheriano. Si

N1 ⊆ N2 ⊆ . . . ⊆ Ni ⊆ . . .

es una sucesion creciente de submodulos de M , entonces N =⋃

i Ni es un submo-dulo de M . Luego es de tipo finito: N = Am1 + . . . + Amr. Sea n un ındice talque m1, . . . , mr ∈ Nn, de modo que N ⊆ Nn. Como Nn ⊆

⋃i Ni = N , concluimos

que Nn = N . Es decir, Nn = Nn+j para todo j ≥ 0, y la sucesion estabiliza apartir del ındice n.

8.4. ANILLOS NOETHERIANOS 151

Recıprocamente, si M no es noetheriano, algun submodulo N ⊆ M no es detipo finito. Sea m1 ∈ N . Como N 6= Am1, existe algun m2 ∈ N que no esta enAm1. Como N 6= Am1 + Am2, existe algun m3 ∈ N que no esta en Am1 + Am2.Como N 6= Am1 + Am2 + Am3, etc. Procediendo ası obtenemos una sucesionestrictamente creciente de submodulos de M :

Am1 ⊂ Am1 + Am2 ⊂ Am1 + Am2 + Am3 ⊂ . . .

Nota: En la teorıa de anillos solo hemos usado el lema de Zorn en la demostracionde la existencia de ideales maximales (6.1.3). En los anillos noetherianos la exis-tencia de ideales maximales se sigue de 8.4.4, ası que, en los anillos noetherianos,los resultados de este libro no dependen del lema de Zorn (1906-1993).

Teorema de la Base de Hilbert (1862-1943): Si un anillo A es noetheriano, elanillo de polinomios A[x] tambien es noetheriano.

Demostracion: Sea I un ideal de A[x]. Los coeficientes dominantes (es decir, delos monomios que dan el grado) de los polinomios de I forman un ideal a de A.Por ser A noetheriano, sus ideales son de tipo finito:

a = a1A + . . . + arA

Por definicion a1, . . . , ar son los coeficientes dominantes de ciertos polinomiosp1(x), . . . , pr(x) ∈ I y, despues de multiplicarlos por potencias de x adecuadas,podemos suponer que todos tienen igual grado. Sea d su grado comun y sea J elideal de A[x] generado por p1, . . . , pr.

Sea b el coeficiente dominante de un polinomio p(x) ∈ I. Tenemos que b =b1a1 + . . . + brar para ciertos b1, . . . , br ∈ A y, si el grado n de p(x) es mayor qued− 1, entonces el polinomio

p(x)−r∑

i=1

bixn−dpi(x)

esta en I y su grado es menor que n. Procediendo de este modo podemos irrestando a p(x) polinomios de J hasta obtener un polinomio de I de grado menorque d; es decir

I = J + (I ∩ L)

donde L = A⊕ Ax⊕ . . .⊕ Axn−1 es un A-modulo noetheriano por 8.4.2. LuegoI ∩ L es un A-modulo noetheriano y, en particular, es de tipo finito:

I ∩ L = Aq1(x) + . . . + Aqs(x)

Concluimos que p1(x), . . . , pr(x), q1(x), . . . , qs(x) generan I .


Corolario 8.4.5 Si A es un anillo noetheriano, las A-algebras de tipo finito sonnoetherianas. Por tanto, si X es una variedad algebraica afın sobre un cuerpo, suanillo de funciones algebraicas O(X) es noetheriano.

Demostracion: Si un anillo A es noetheriano, procediendo por induccion sobre nobtenemos que los anillos de polinomios A[x1, . . . , xn] tambien son noetherianos;luego tambien sus cocientes por ideales, que son precisamente las A-algebras detipo finito.

8.5 Espacios Noetherianos

Definicion: Diremos que un espacio topologico X es noetheriano si toda sucesionestrictamente decreciente de cerrados de X es finita.

Si A es un anillo noetheriano, Spec A es un espacio topologico noetheriano.En efecto, si Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . . es una sucesion estrictamente decreciente de cerra-

dos de Spec A, y consideramos los ideales ai := f ∈ A : f se anula en Yi, tenemosuna sucesion estrictamente creciente de ideales a1 ⊂ a2 ⊂ . . . porque las funcionesde A separan puntos de cerrados en SpecA; luego, de acuerdo con 8.4.4, ha de serfinita cuando A es un anillo noetheriano.

Teorema 8.5.1 Todo espacio noetheriano X (en particular, toda variedad alge-braica afın) descompone en union finita de sus componentes irreducibles.

Demostracion: Veamos primero que X es union finita de cerrados irreducibles. Encaso contrario X no es irreducible, ası que es union de dos cerrados mas pequenos,alguno de los cuales tampoco sera union finita de cerrados irreducibles. Reiterandoel argumento con el obtenemos una sucesion infinita estrictamente decreciente decerrados de X, en contra de la noetherianidad de X.

Consideramos ahora una descomposicion X = Y1∪. . .∪Yr en union de cerradosirreducibles tales que no se den inclusiones Yi ⊆ Yj cuando i 6= j. Para cualquiercerrado irreducible Y tenemos que Y = (Y1∩Y )∪ . . .∪ (Yr ∩Y ); luego Y = Yi∩Y ,y por tanto Y ⊆ Yi, para algun ındice i. Es decir, Y1, . . . , Yr son precisamente lascomponentes irreducibles de X.

Corolario 8.5.2 Todo anillo noetheriano A tiene un numero finito de ideales pri-mos minimales y cada ideal primo de A contiene algun ideal primo minimal.

Demostracion: El espacio topologico Spec A es noetheriano, y se concluye alaplicar 7.1.4 y el teorema anterior.

Ejemplo: Toda variedad algebraica afın de dimension 0 (lo que significa que todossus puntos son cerrados) esta formada por un numero finito de puntos aislados.

8.5. ESPACIOS NOETHERIANOS 153

Si es de dimension 1, esta formada por un numero finito de puntos aislados y unnumero finito de curvas irreducibles, y llamaremos curvas algebraicas afines alas variedades algebraicas afines cuyas componentes irreducibles sean todas de di-mension 1. Por tanto, la interseccion en el espacio afın An de una curva algebraicaC con cualquier subvariedad algebraica que no pase por ninguna componente ir-reducible de C esta formada por un numero finito de puntos cerrados.

Teorema 8.5.3 Todo anillo noetheriano A de dimension 0 tiene longitud finita,y descompone en suma directa de sus localizaciones en los puntos del espectro, quees finito y discreto:

A = Az1 ⊕ . . .⊕Azn

Demostracion: Si un anillo tiene dimension 0, todos sus ideales primos son maxi-males; luego tambien son minimales, ası que el espectro de A esta formado por unnumero finito de puntos cerrados z1, . . . , zr, de acuerdo con 8.5.2. El Teorema deDescomposicion afirma que A = Az1 ⊕ . . . ⊕ Azn

, y para demostrar que A es delongitud finita, podemos suponer que A es local.

Sea m el unico ideal maximal de A. Los (A/m)-espacios vectoriales mn/mn+1

son de dimension finita (porque los ideales mn son finito-generados); luego sonA-modulos de longitud finita. Procediendo por induccion sobre n, las sucesionesexactas

0 −→ mn/mn+1 −→ A/mn+1 −→ A/mn −→ 0

permiten obtener que los modulos A/mn, n ≥ 1, son de longitud finita. Como mes el unico ideal primo de A, porque la dimension de A es 0, alguna potencia mr

es nula segun 8.4.3. Concluimos que A = A/mr tiene longitud finita.

Corolario 8.5.4 Los A-modulos de longitud finita son los A-modulos noetheri-anos con soporte en un numero finito de puntos cerrados de Spec A.

Demostracion: Si un A-modulo M es de longitud finita, entonces su longitudl(M) acota la longitud de cualquier cadena de submodulos de M , ası que M esnoetheriano. Ademas, si

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M

es una serie de composicion de M , entonces los modulos Mi/Mi−1 son simples:Mi/Mi−1 ' A/mi para cierto ideal maximal mi, correspondiente a un punto cer-rado zi ∈ Spec A. Luego (Mi)y = (Mi−1)y cuando y 6= zi, y concluimos que

My = (Mn−1)y = . . . = (M1)y = (M0)y = 0

en todo punto y ∈ Spec A distinto de los puntos z1, . . . , zn.Recıprocamente, como todo modulo noetheriano M admite un numero finito

de generadores, M = Am1 + . . . + Amn, es un cociente de Am1 ⊕ . . . ⊕ Amn, y


para ver que M es de longitud finita podemos suponer que M = Am ' A/a. Porhipotesis Sop(M) = (a)0 = Spec A/a es finito y discreto, y el teorema anteriorpermite concluir que A/a es de longitud finita.

Ejemplo: Sea C = Spec A una curva algebraica del espacio afın An sobre un cuer-po k. Si una hipersuperficie algebraica H de ecuacion f(x1, . . . , xn) = 0 no pasapor ninguna componente irreducible de C, entonces A/fA es un anillo noetherianode dimension 0; luego es de longitud finita y tenemos una descomposicion

A/fA = Az1/fAz1 ⊕ . . .⊕Azn/fAzn

donde z1, . . . , zr son los puntos en que H corta a C. Llamaremos multiplicidadesde interseccion de C y H a las longitudes de tales sumandos:

(C ∩H)z := l(Az/fAz)

Proposicion 8.5.5 Sea O un anillo local noetheriano de dimension 1 y sea m suideal maximal. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. O es un dominio de ideales principales.

2. El (O/m)-espacio vectorial m/m2 es de dimension 1.

3. m es un ideal principal: m = tO para algun t ∈ O .

4. Existe t ∈ O tal que todo ideal no nulo de O es de la forma tnO .

Demostracion: (1 ⇒ 2) Si m = tO, entonces m/m2 esta generado por t y, paraconcluir que la dimension de m/m2 como espacio vectorial es 1, basta probar quem/m2 6= 0. En caso contrario, el lema de Nakayama permite concluir que m = 0,de modo que O es un cuerpo, contra la hipotesis de que su dimension es 1.

(2 ⇒ 3) Sea t ∈ m tal que t 6= 0 en m/m2 . Por hipotesis t genera m/m2 y ellema de Nakayama permite concluir que m = tO .

(3 ⇒ 4) Veamos primero que todo ideal principal no nulo aO es una potenciade m. En caso contrario, sea aO un ideal maximal entre los que no lo sean ypongamos a = tb. Entonces bO tampoco es potencia de m; luego bO = aO = tbOpor el caracter maximal de aO, y el lema de Nakayama afirma que bO = 0, lo quees contradictorio. En el caso general de un ideal no nulo a ⊂ O, consideramos elmenor exponente n tal que mn = aO para algun a ∈ a, de modo que mn ⊆ a ya ⊆ mn, y concluimos que a = mn = tnO.

(4 ⇒ 1) Solo hay que probar que el anillo O es ıntegro, y es claro que m = tO.Si a, b ∈ O no son nulos y ab = 0, entonces aO = mn y bO = mm, de modo quemn+m = abO = 0 y dimO = 0, en contra de que su dimension es 1.

8.6. DESCOMPOSICION PRIMARIA 155

Definicion: Los anillos locales O noetherianos de dimension 1 que verifican lascondiciones equivalentes de la proposicion anterior reciben el nombre de anilloslocales regulares de dimension 1, y diremos que t ∈ O es un parametro deuniformizacion o coordenada local, si genera el unico ideal maximal m; esdecir, tO = m . Si una funcion f ∈ O no es nula, entonces fO = mn para algunn ≥ 0, y diremos que tal numero n, que coincide con la longitud del O-moduloO/fO, es el numero de ceros o la valoracion de f , y se denota v(f).

Diremos que un punto cerrado z de una curva algebraica afın C es simplecuando OC,x sea un anillo regular de dimension 1. En caso contrario diremosque x es un punto singular de la curva C. En el caso de un punto simple, lamultiplicidad de interseccion en z de la curva C con una hipersuperficie algebraicaH de ecuacion f = 0 coincide con la valoracion de f :

v(f) = (C ∩H)z

8.6 Descomposicion Primaria

Definicion: Sea A un anillo. Un ideal q 6= A es primario cuando todo divisorde cero en A/q es nilpotente; es decir cuando

ab ∈ q , a /∈ q ⇒ bn ∈ q para algun n ≥ 1

El radical de un ideal primario es un ideal primo.En efecto, sea p el radical de un ideal primario q. Si ab ∈ p y a /∈ p, entonces

anbn ∈ q para algun n ≥ 1. Como an /∈ q, se sigue que alguna potencia de b ha deestar en q, lo que implica que b ∈ p = r(q).

Sea q un ideal primario. Diremos que q es un ideal p-primario o que p es elideal primo asociado a q cuando p es el radical de q. En tal caso, si B → A esun morfismo de anillos, entonces B ∩ q es un ideal (B ∩ p)-primario de B.

Sea m un ideal maximal de un anillo A. Los ideales m-primarios de A sonlos ideales de radical m. En efecto, si m es el radical de un ideal a, es el unicoideal primo de A que contiene a a. Se sigue que el anillo A/a tiene un unico idealprimo; luego todo elemento de A/a es invertible o nilpotente y concluimos que enA/a todo divisor de cero es nilpotente. En particular, todas las potencias mn sonideales m-primarios.

Si el anillo A es noetheriano, cada ideal contiene una potencia de su radical,ası que todo ideal m-primario es de la forma π−1(q) para algun ideal q de A/mr:esta formado por todas las funciones f ∈ A cuyo desarrollo de Taylor f ∈ A/mr

en el punto definido por m satisface las relaciones impuestas por cierto ideal deA/mr. Los ideales primarios de radical maximal son los ideales definidos porcondiciones infinitesimales en un punto cerrado del espectro. En el caso del anillo


A = C [x1, . . . , xn], si consideramos el ideal maximal m formado por los polinomiosque se anulan en cierto punto (a1, . . . , an) y ponemos ti = xi − ai , entonces

A/mr = C [t1, . . . , tn]/(t1, . . . , tn)r =[Polinomios de grado

< r en t1, . . . , tn

]

y la reduccion modulo mr de un polinomio es su desarrollo de Taylor hasta el ordenr−1 en el punto dado. Por tanto, cada ideal m-primario viene definido por ciertasrelaciones lineales entre las derivadas parciales iteradas en el punto (a1, . . . , an).

En general, sea p el ideal primo de un punto x ∈ Spec A. Los ideales de Ax

de radical px = pAx (que deben llamarse ideales de condiciones infinitesimalesen el punto x, pues en el caso noetheriano vienen determinados por los ideales delos anillos Ax/pr+1

x ) son precisamente los ideales px-primarios, porque px es unideal maximal de Ax. Por tanto, si qx es uno de estos ideales, A ∩ qx es un idealp-primario de A. Vamos a probar que ası se obtienen todos los ideales p-primariosde A; es decir, los ideales primarios son los ideales definidos por condiciones in-finitesimales en un punto del espectro:

Proposicion 8.6.1 Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A y sea q unideal p-primario.

1. Si p corta a S, entonces q(S−1A) = S−1A .

2. Si p no corta a S, entonces q(S−1A) es un ideal p(S−1A)-primario y q =A ∩ (qS−1A) . En particular:

q = A ∩ (qAp)

Por tanto, para que dos ideales p-primarios coincidan es suficiente que coinci-dan al localizar en p.

Demostracion: (1) Si s ∈ S ∩ p, entonces q contiene alguna potencia sn, que esinvertible en S−1A; luego q(S−1A) = S−1A.

(2) Si S ∩ p = ∅, entonces p(S−1A) es un ideal primo de S−1A y es facilcomprobar que q(S−1A) es un ideal p(S−1A)-primario. Por ultimo, si f esta enA ∩ (qS−1A), entonces sf ∈ q para algun s ∈ S. Como ninguna potencia des esta en q, se sigue que f ∈ q. Luego q = A ∩ (qS−1A), porque la inclusionq ⊆ A ∩ (qS−1A) es evidente.

Ejemplo: Si un ideal primo p no es maximal, pueden existir ideales de radical pque no son primarios. Fijemos en un plano afın un punto racional y una recta quepase por el. Sea m el ideal maximal del punto y p el ideal primo del punto genericode la recta. Consideremos ahora el ideal a = m2 ∩ p formado por los polinomios


que se anulan en el punto generico de la recta y sus derivadas parciales se anulanen el punto fijado. El radical de a es

r(a) = r(m2) ∩ r(p) = m ∩ p = p

pero el ideal a no es primario: el producto de la ecuacion de la recta fijada por lade otra recta que pase por el punto esta en a, la ecuacion de la recta fijada no estaen a y la ecuacion de la otra recta no esta en p = r(a). Esto se debe a que el ideala no esta definido por condiciones infinitesimales en un solo punto del espectrosino en dos: en el punto fijado y en el punto generico de la recta dada.

Incluso puede darse el caso de que una potencia de un ideal primo no sea unideal primario. Por ejemplo, sea A el anillo de las funciones algebraicas sobre uncono en A3 y sea p el ideal primo de A definido por una generatriz.

El ideal p2 no viene definido por condiciones infinitesimales en el punto genericode tal generatriz; i.e., p2 no coincide con A ∩ p2Ap sino que involucra condicionesen el vertice del cono, pues las funciones de p2 cumplen ademas la condicion deestar en m2, donde m denota el ideal maximal del vertice del cono. En efecto, laecuacion del plano tangente al cono a lo largo de la directriz esta en A ∩ p2Ap;pero no esta en p2 porque no pertenece a m2. Luego el ideal p2 no es primario.

Definicion: Sea a un ideal de un anillo A. Diremos que una descomposicion a =q1 ∩ . . .∩ qn como interseccion de ideales primarios de A es una descomposicionprimaria reducida de a cuando no tenga componentes asociadas a un mismoideal primo (r(qi) 6= r(qj) cuando i 6= j) ni componentes redundantes (es decir,a 6= q1 ∩ . . . ∩ qi ∩ . . . ∩ qn para todo 1 ≤ i ≤ n).

Si un ideal de un anillo puede descomponerse como interseccion finita de idealesprimarios, agrupando los terminos de igual radical obtenemos una descomposicionprimaria en que todos los terminos tienen radicales diferentes. Eliminando en-tonces terminos redundantes si los hubiera se obtiene una descomposicion primariareducida: si un ideal admite una descomposicion primaria, admite una descom-posicion primaria reducida.

Definicion: Diremos que un ideal q de un anillo A es irreducible si no es in-terseccion de dos ideales estrictamente mayores; es decir, si el ideal 0 del anillocociente A/q no es interseccion de dos ideales no nulos.

Lema 8.6.2 Sea A un anillo noetheriano. Todo ideal irreducible q 6= A es pri-mario.

Demostracion: Si b ∈ A/q, consideramos los morfismos bn : A/q → A/q:

Ker b ⊆ Ker b2 ⊆ · · · ⊆ Ker bn ⊆ · · ·Como A/q es noetheriano, Ker bn = Ker bn+1 para algun exponente n. Luego

(Ker b) ∩ (Im bn) = 0. Por ser q irreducible, Ker b o Im bn es nulo:


Si Ker b = 0, entonces b no es divisor de cero en A/q.Si Im bn = 0, entonces b es nilpotente en A/q.

y concluimos que el ideal q es primario.

Teorema de Existencia: Sea A un anillo noetheriano. Todo ideal 6= A esinterseccion finita de ideales primarios de A; es decir, esta definido por condicionesinfinitesimales en un numero finito de puntos de Spec A .

Demostracion: De acuerdo con el lema anterior, bastara probar que todo ideal deA es interseccion finita de ideales irreducibles. En caso contrario, el conjunto delos ideales de A que no son interseccion finita de ideales irreducibles no es vacıoy tiene algun elemento maximal a. Este ideal a no es irreducible, luego a = b ∩ cdonde a ⊂ b y a ⊂ c. Luego b y c descomponen en interseccion finita de idealesirreducibles y, por tanto, tambien a, lo que es contradictorio.

Teorema 8.6.3 Sea A un anillo y 0 = q1 ∩ . . .∩ qn una descomposicion primariareducida del ideal 0. Los divisores de cero de A son las funciones que se anulanen alguno de los puntos definidos por los ideales primos asociados pi = r(qi) :

Divisores de cero de A =n⋃

i=1

pi

Demostracion: Sea a ∈ A un divisor de cero: ab = 0 para algun b ∈ A no nulo.Luego b /∈ qi para algun ındice i, porque la descomposicion primaria es reducida,y concluimos que a ∈ r(qi) = pi.

Recıprocamente, si a ∈ p1, entonces alguna potencia an ∈ q1, de modo queanb = 0 para cualquier b ∈ q2 ∩ . . . ∩ qn no nulo, y a es un divisor de cero.

Lema 8.6.4 Sean p1, . . . , pn ideales primos de un anillo A. Si a es un ideal deA tal que a ⊆ p1 ∪ . . . ∪ pn , entonces a ⊆ pi para algun ındice i. Es decir, siun cerrado Y ⊂ Spec A no pasa por ciertos puntos x1, . . . , xn, existe una funcionf ∈ A que se anula en Y y no se anula en ninguno de los puntos x1, . . . , xn.

Demostracion: Podemos suponer que entre los puntos xi no se dan relaciones deespecializacion. En tal caso, para cada ındice i existe alguna funcion fi ∈ A quese anula en Y y en todos los puntos x1, . . . , xn, salvo en xi, porque xi no estaen el cierre de Y ni de los restantes puntos, y las funciones de A separan puntosde cerrados en Spec A. Luego f = f1 + . . . + fn se anula en Y , y no se anula enninguno de los puntos x1, . . . , xn.

Teorema de Unicidad (de los primos asociados): Si un ideal a de un anillo A ad-mite una descomposicion primaria reducida a = ∩iqi, los ideales primos asociadospi = r(qi) no dependen de la descomposicion.


Demostracion: Veamos primero el caso a = 0. Sean

0 = q1 ∩ . . . ∩ qn = q′1 ∩ . . . ∩ q′m

dos descomposiciones primarias reducidas del ideal 0 y sea p el ideal primo asociadoa una componente de la segunda descomposicion. Bastara ver que p coincide conpi = r(qi) para algun ındice i. Ademas, por 8.6.1, localizando en p podemossuponer que el anillo A es local y que p es su unico ideal maximal m. Ahora

p1 ∪ . . . ∪ pn = m

por 8.6.3, pues ambos terminos coinciden con el conjunto de los divisores de cerode A, y concluimos al aplicar el lema anterior.

En el caso de un ideal a arbitrario, cada ideal q ⊇ a se corresponde con un idealq de A/a, y q es un ideal p-primario precisamente cuando q es un ideal p-primario,porque A/q = (A/a)/q y p es el radical de q. Por tanto, cada descomposicionprimaria reducida a = q1 ∩ . . . ∩ qn define una descomposicion primaria reducida0 = a = q1 ∩ . . . ∩ qn del ideal 0 del anillo A/a. Luego los ideales primos pi nodependen de la descomposicion y concluimos que los ideales primos pi tampoco.

Definicion: Sea A un anillo noetheriano. Llamaremos ideales primos asocia-dos a un ideal a a los radicales de las componentes de cualquier descomposicionprimaria reducida de a.

Sea a = ∩iqi una descomposicion primaria reducida de un ideal a de un anilloA. Como (a)0 = ∪i(qi)0, si un ideal primo p es minimal entre los ideales primos deA que contienen a a, entonces p es el radical de alguna componente qi y diremosque qi es una componente no sumergida. Una componente qj esta sumergidacuando sus ceros estan contenidos en los de alguna otra componente: (qj)0 ⊂ (qi)0 .

Las componentes no-sumergidas corresponden a los puntos genericos de lascomponentes irreducibles de (a)0, mientras que las componentes sumergidas estanasociadas a puntos mas pequenos de (a)0.

Teorema de Unicidad (de las componentes no-sumergidas): Sea a = ∩iqi unadescomposicion primaria reducida de un ideal a de un anillo A. Si p es el idealprimo de alguna componente irreducible de (a)0, entonces p es el radical de algunacomponente qi y

qi = A ∩ (aAp)

Luego tal componente qi no depende de la descomposicion elegida.


Demostracion: Cuando j 6= i, tenemos que qjAp = Ap, porque r(qj) corta alsistema multiplicativo A− p por el que localizamos. Luego

aAp =n⋂

j=1

qjAp = qiAp

y, por 8.6.1.2, concluimos que qi = A ∩ (qiAp) = A ∩ (aAp).

Corolario 8.6.5 Si los ceros de un ideal a de un anillo noetheriano son puntosaislados, la descomposicion primaria reducida de a es unica salvo el orden.

Corolario 8.6.6 Sea A un anillo noetheriano ıntegro de dimension 1. Todo idealno nulo a 6= A descompone, y de modo unico salvo el orden, en producto de idealesprimarios con radicales distintos.

Demostracion: Sea a un ideal no nulo. Todo ideal primo que contenga a a ha deser maximal, pues la dimension del anillo es 1. Luego (a)0 tiene dimension 0 y ladescomposicion primaria reducida a = q1 ∩ . . . ∩ qn es unica salvo reordenaciones.Para concluir, localizando en los puntos cerrados del espectro de A se prueba que

q1 ∩ . . . ∩ qn = q1 · · · qn

Definicion: Diremos que un anillo ıntegro noetheriano A de dimension 1 es unanillo de Dedekind (1831-1916) si su anillo local Ax en cualquier punto cerradox ∈ Spec A es un anillo local regular de dimension 1.

Corolario 8.6.7 Sea A un anillo de Dedekind. Todo ideal no nulo a 6= A des-compone, y de modo unico salvo el orden, en producto de potencias de idealesmaximales distintos.

Demostracion: Sea m un ideal maximal de A. De acuerdo con 8.6.6, bastara probarque todo ideal m-primario q es una potencia de m. De acuerdo con 8.5.5, qAm esuna potencia del unico ideal maximal mAm de Am y, por 8.6.1.2, concluimos queq coincide con la correspondiente potencia de m.

Capıtulo 9

Calculo Diferencial

La comprension de todo anillo B como un anillo de funciones sobre un espacioX = Spec B culmina en la posibilidad de desarrollar un calculo diferencial. Elvalor f(p) de una funcion f(x) ∈ B en el punto p ∈ Spec B definido por un idealprimo p es la clase de f(x) en B/p, por lo que el incremento ∆pf = f(x)−f(p) enp tiene sentido cuando B es un algebra sobre un cuerpo k y p es un punto racional,k = B/mp, porque en tal caso f(p) ∈ k puede entenderse como una funcionconstante vıa el morfismo estructural k → B. El incremento ∆pf es un infinitesimoen p, en el sentido de que esta en el ideal maximal mp, y los infinitesimos de ordensuperior son las funciones de m2

p. Por tanto la diferencial d pf , entendida porLeibniz (1646-1716) como el incremento despreciando infinitesimos de segundoorden, puede definirse como la clase de restos del incremento modulo m2

p:

d pf = [∆pf ] ∈ mp/m2p

Para extender esta definicion al caso general de un morfismo de anillos A → B,entendiendo A como anillo de funciones constantes, y un punto

p : T = Spec C −→ Spec B = X

de X parametrizado por T , el problema radica en que el valor f(p) de f ∈ B enp es una funcion sobre T , y no puede entenderse como funcion sobre X salvo enel caso C = A; es decir, el caso en que el punto p es una seccion del morfismoestructural X → Spec A. No obstante, cambiando de base, es decir, considerandola segunda proyeccion

X ×A T := Spec (B ⊗A C) −→ Spec C = T

el punto considerado p : T → X define una seccion p × Id : T → X ×A T y tieneperfecto sentido considerar la diferencial en p de cualquier funcion f ∈ B:

161

162 CAPITULO 9. CALCULO DIFERENCIAL

1. f se entiende como funcion sobre X ×A T por la proyeccion X ×A T → X.

2. El valor f(p), que es la imagen de f por el morfismo B → C definido por elpunto p, se entiende como funcion sobre X ×A T por la segunda proyeccion,de modo que el incremento de f en p es ∆pf := f ⊗ 1− 1⊗ f(p) ∈ B ⊗A C.

3. El nucleo ∆p del morfismo B⊗A C → C definido por p×Id se entiende comoel ideal de los infinitesimos en p, y la diferencial d pf es la clase de restos delincremento en ∆p/∆2

p.

En el caso de la identidad X → X, el valor de una funcion f ∈ B coincide conf , su incremento es ∆f = f⊗1−1⊗f ∈ B⊗AB, y el ideal de los infinitesimos es elnucleo ∆B/A del morfismo diagonal B⊗A B → B, b1⊗b2 7→ b1b2. En consecuenciala diferencial d f es la clase de restos del incremento f ⊗1−1⊗ f en ∆B/A/∆2

B/A.En este capıtulo veremos como esta definicion de la diferencial permite establecerun calculo diferencial razonable en anillos arbitrarios.

9.1 Derivaciones

Definicion: Sea A → B un morfismo de anillos. Si M es un B-modulo, diremosque una aplicacion D : B → M es una A-derivacion cuando

1. D(b + c) = Db + Dc para todo b, c ∈ B.

2. D(bc) = (Db)c + b(Dc) para todo b, c ∈ B.

3. Da = 0 para todo a ∈ A (donde a denota tambien su imagen en B).

Las A-derivaciones son claramente morfismos de A-modulos, y el conjuntoDerA(B, M) de todas las A-derivaciones de B en M es un B-modulo con lassiguientes operaciones

(D + D′)b = Db + D′b

(bD)c = b(Dc)

Si f : M → N es un morfismo de B-modulos, la aplicacion

f∗ : DerA(B, M) −→ DerA(B, N) , (f∗D)b = f(Db)

tambien es morfismo de B-modulos. Si j : B → C es un morfismo de A-algebras,para todo C-modulo N tenemos el siguiente morfismo de B-modulos:

j∗ : DerA(C, N) −→ DerA(B, N) , (j∗D)b = D(j(b)

)

9.1. DERIVACIONES 163

Ejemplo 9.1.1 En el caso de un algebra A sobre un cuerpo k y un punto racionalp ∈ Spec A, las k-derivaciones D : A → A/mp = k son las aplicaciones k-linealesque verifican

D(fg) = (Df)g(p) + f(p)(Dg) .

Por ejemplo, la diferencial dp : A −→ mp/m2p , dpf := [∆f ] = [f − f(p)] , en

el punto dado p es una k-derivacion, porque (∆f)(∆g) ∈ m2p:

fg =(f(p) + ∆f

)(g(p) + ∆g

)

∆(fg) = f(p)(∆g) + g(p)(∆f) + (∆f)(∆g)dp(fg) = f(p)dpf + g(p)dpf

Ejemplo 9.1.2 En el caso de un anillo de polinomios B = A[x1, . . . , xn] y un B-modulo M , es claro que cada A-derivacion D : A[x1, . . . , xn] → M esta totalmentedeterminada por las derivadas Dxi, ası que tenemos

D =n∑

i=1

(Dxi)∂

∂xi

donde el significado de la derivacion m ∂∂xi

es el evidente cuando m ∈ M . Ademasesta descomposicion es unica, porque si D =

∑j mj

∂∂xj

, entonces es evidente quemi =

(∑j mj

∂∂xj

)xi = Dxi. Es decir,

DerA(A[x1, . . . , xn], M) = M ∂/∂x1 ⊕ . . .⊕M ∂/∂xn

Sucesiones Exactas de Derivaciones

Primera Sucesion Exacta: Si j : B → C es un morfismo de A-algebras y N esun C-modulo, entonces la siguiente sucesion es exacta:

0 −→ DerB(C,N) −→ DerA(C, N)j∗−−−−→ DerA(B,N)

Demostracion: Por definicion, una A-derivacion D : C → N es una B-derivacionprecisamente cuando se anule sobre la imagen de j; es decir, cuando j∗D = 0.

Segunda Sucesion Exacta: Sea p : B → C un epimorfismo de A-algebras denucleo b. Si N es un C-modulo, la restriccion i∗D a b de cualquier derivacionD : B → N es un morfismo de B-modulos, y la siguiente sucesion es exacta:

0 −→ DerA(C, N)p∗−−−→ DerA(B,N) i∗−−→ HomB(b, N) = HomB(b/b2, N)

Demostracion: Si x ∈ b y b ∈ B, tenemos que D(bx) = b(Dx) + x(Db) = b(Dx)porque b anula a todo B/b-modulo. Por ultimo, es claro que la condicion necesariay suficiente para que una derivacion D : B → N factorice a traves de B/b es quese anule en b.


Corolario 9.1.3 Las A-derivaciones de B/b en N se corresponden canonicamen-te con las A-derivaciones de B en N que se anulen en b.

Teorema 9.1.4 Sea A un algebra sobre un cuerpo k. Si p ∈ Spec A es un puntoracional, entonces el morfismo de restriccion induce un isomorfismo k-lineal

Derk(A, A/mp = k) ∼−−→ Homk(mp/m2p, k) .

Demostracion: La segunda sucesion exacta de derivaciones afirma que la aplicacionk-lineal

Derk(A,A/mp = k) i∗−−→ HomA(mp/m2p, k) = Homk(mp/m2

p, k)

es inyectiva. Veamos que es epiyectiva: si ω : mp/m2p → k es una aplicacion k-

lineal, entonces Df := ω(dpf) es una k-derivacion D : A → k, y su restriccion amp coincide con ω claramente.

9.2 Diferenciales

Definicion: Si A → B es un morfismo de anillos, existe un unico morfismo deB-algebras µ : B ⊗A B → B tal que µ(b⊗ c) = bc, llamado morfismo diagonal,y diremos que su nucleo ∆ es el ideal de la diagonal. Llamaremos modulo dediferenciales de B sobre A al B-modulo ΩB/A := ∆/∆2 .

Diremos que la aplicacion d: B → ΩB/A, db = [b⊗1−1⊗ b], es la diferencial,y es una A-derivacion:

d(bd) = [bc⊗ 1− 1⊗ bc] = (c⊗ 1)[b⊗ 1− 1⊗ b] + (1⊗ b)[c⊗ 1− 1⊗ c]= c(db) + b(dc)

porque la estructura de B-modulo de ΩB/A es la misma tanto si el morfismoB → B⊗A B se considera por la derecha como por la izquierda, pues esta anuladopor b⊗ 1− 1⊗ b ∈ ∆.

Lema 9.2.1 El ideal de la diagonal esta generado como B-modulo por los incre-mentos b⊗1−1⊗b y, por tanto, el B-modulo de diferenciales ΩB/A esta generadopor la imagen de la diferencial d: B → ΩB/A.

Demostracion: Si∑

i bi ⊗ ci ∈ ∆, por definicion tenemos que∑

i bici = 0, y portanto

∑i 1⊗ bici = 0. Luego

∑i bi ⊗ ci =

∑i bi ⊗ ci −

∑i 1⊗ bici =

∑i ci(bi ⊗ 1− 1⊗ bi)

Corolario 9.2.2 Si B es una A-algebra de tipo finito, B = A[b1, . . . , bn], entoncesΩB/A es un B-modulo de tipo finito

ΩB/A = Bdb1 + . . . + Bdbn .

9.2. DIFERENCIALES 165

Demostracion: De acuerdo con el lema anterior el B-modulo ΩB/A esta generadopor la diferenciales

d(bd11 . . . bdn

n ) = bd1−11 . . . bdn

n db1 + . . . + bd11 . . . bdn−1

n dbn .

Propiedad Universal: Sea A → B un morfismo de anillos y M un B-modulo.Para cada A-derivacion D : B → M existe un unico morfismo de B-modulosφ : ΩB/A → M tal que φ(db) = Db para todo b ∈ B:

DerA(B, M) = HomB(ΩB/A, M)

Demostracion: La unicidad de tal morfismo φ se sigue de 9.2.1, pues un morfismode B-modulos esta totalmente determinado por las imagenes de un sistema degeneradores.

En cuanto a la existencia, como D es morfismo de A-modulos y M es un B-modulo, por la propiedad universal del cambio de base existe un morfismo deB-modulos h : B ⊗A B → M tal que φ(b⊗ c) = c(Db). La condicion de que D seaderivacion significa que

φ((b⊗ 1− 1⊗ b)(c⊗ 1− 1⊗ c)

)= D(bc)− b(Dc)− c(Db) + bc(D1) = 0

y 9.2.1 permite concluir que φ se anula en ∆2, de modo que φ induce un morfismode B-modulos φ : ∆/∆2 → M tal que

φ(db) = φ(b⊗ 1− 1⊗ b) = Db− b(D1) = Db .

Teorema 9.2.3 El modulo de diferenciales sobre A del anillo de polinomios B =A[x1, . . . , xn] es un B-modulo libre de base dx1, . . . , dxn:

ΩA[x1,...,xn]/A = Bdx1 ⊕ . . .⊕Bdxn

Demostracion: Las diferenciales dx1, . . . , dxn generan el B-modulo ΩB/A de acuer-do con 9.2.2. Si se diera alguna relacion de dependencia lineal

∑pidxi = 0, pi ∈ B,

considerando el morfismo de B-modulos φ : ΩB/A → B que por la propiedaduniversal corresponde a la derivacion ∂/∂j concluimos que 0 = φ(

∑i pidxi) =∑

i pi(∂xi/∂xj) = pj .

Sucesiones Exactas de Diferenciales

(1) Sea j : B → C un morfismo de A-algebras. La composicion de j con ladiferencial d : ΩC/A es una A-derivacion, ası que, por la propiedad universal, existeun unico morfismo de B-modulos j : ΩB/A → ΩC/A tal que j(db) = dj(b). ComoΩC/A es un C-modulo, obtenemos un morfismo de C-modulos

j ⊗ 1: ΩB/A ⊗B C −→ ΩC/A , (j ⊗ 1)(db⊗ c) = cdj(b)


Primera Sucesion Exacta: La siguiente sucesion es exacta:

ΩB/A ⊗B Cj⊗1−−−−→ ΩC/A −→ ΩC/B −→ 0

Demostracion: Para todo C-modulo N tenemos que la sucesion inducida

0 → HomC(ΩC/B , N) → HomC(ΩC/A, N) → HomC(ΩB/A ⊗B C, N)|| || ||

DerB(C, N) DerA(C, N) HomB(ΩB/A, N)||

DerA(B,N)

es la primera sucesion exacta de derivaciones, y 6.2.1 permite concluir.

(2) Cuando j : B → C es un epimorfismo de A-algebras de nucleo b, la diferenciald⊗ 1: b → ΩB/A ⊗B C es un morfismo de B-modulos porque

d(bf)⊗ 1 = b(df ⊗ 1) + f(db⊗ 1) = b(df ⊗ 1),

ası que induce un morfismo de C-modulos

d⊗ 1: b/b2 = b⊗B C −→ ΩB/A ⊗B C , (d⊗ 1)[f ] = df ⊗ 1

Segunda Sucesion Exacta: La siguiente sucesion es exacta:

b/b2 d⊗1−−−−→ ΩB/A ⊗B C −→ ΩC/A −→ 0

Demostracion: Para todo C-modulo N tenemos que la sucesion inducida

0 −→ HomC(ΩC/A, N) −→ HomC(ΩB/A ⊗B C, N) −→ HomC(b/b2, N)|| || ||

DerA(C,N) HomB(ΩB/A, N) HomB(b, N)||

DerA(B,N)

es la segunda sucesion exacta de derivaciones, y 6.2.3 permite concluir.

Teorema 9.2.4 Sea A un algebra sobre un cuerpo k. Si p ∈ Spec A es un puntoracional, tenemos un isomorfismo k-lineal

d⊗ 1: mp/m2p

∼−−→ ΩA/k ⊗A A/mp

Demostracion: Para ver que esta aplicacion lineal sea un isomorfismo basta probarque lo es su aplicacion traspuesta

Homk(ΩA/k ⊗A k, k) −→ Homk(mp/m2p, k)

||HomA(ΩA/k, A/mp)

||Derk(A, A/mp)

y esta es un isomorfismo k-lineal de acuerdo con 9.1.4.

9.3. PROPIEDADES DE LAS DIFERENCIALES 167

9.3 Propiedades de las Diferenciales

Teorema 9.3.1 Las diferenciales conmutan con cambios de base. Es decir, siA → C es un morfismo de anillos, para toda A-algebra B tenemos un isomorfismode BC-modulos

ΩBC/C = ΩB/A ⊗A C

Demostracion: Por la propiedad universal del cambio de base, el morfismo deB-modulos natural ΩB/A → ΩBC/C induce un morfismo de BC-modulos

ΩB/A ⊗A C = ΩB/A ⊗B (BC) −→ ΩBC/C , (db)⊗ c 7→ d(b⊗ c)

Por otra parte, por la propiedad universal del cambio de base, la A-derivaciond ⊗ 1: B → ΩB/A ⊗A C define una C-derivacion D : BC → ΩB/A ⊗A C tal queD(b ⊗ c) = c(db ⊗ 1) = (db) ⊗ c. Por la propiedad universal de las diferencialesobtenemos un morfismo de BC-modulos

ΩBC/C −→ ΩB/A ⊗A C , d(b⊗ c) 7→ (db)⊗ c

que claramente es el inverso del anterior.

Corolario 9.3.2 ΩB⊗AC/A =(ΩB/A ⊗A C

)⊕ (B ⊗A ΩC/A

).

Demostracion: Las sucesiones exactas de diferenciales asociadas a los morfismosnaturales B → B ⊗A C y C → B ⊗A C son

ΩB/A ⊗A C −→ ΩB⊗AC/A −→ ΩB⊗AC/B −→ 0|| || ||

0 ←− ΩB⊗AC/C ←− ΩB⊗AC/A ←− ΩC/A ⊗A B

ası que cada una define un retracto de la otra, y concluimos que ambas escinden.

Lema 9.3.3 Sea B una A-algebra y S un sistema multiplicativo de B. Si N esun BS-modulo, cada A-derivacion D : B → N factoriza, y de modo unico, a travesdel morfismo de localizacion B → BS:

DerA(BS , N) = DerA(B,N)

Demostracion: La unica A-derivacion D : BS → N que puede coincidir con laderivacion dada sobre B es

D

(b

s

)=

sDb− bDs

s2

y tenemos que probar que esta bien definida. Si b/s = c/t, existe r ∈ S tal querbt = rcs. Derivando con D y multiplicando por r obtenemos r2D(bt) = r2D(cs);


luego D(bt) = D(cs) porque N es un BS-modulo. Es decir, tDb+bDt = sDc+cDsy dividiendo por st se obtiene que

sDb− bDs

s2=

tDc− cDt

t2

Teorema 9.3.4 Las diferenciales conmutan con la localizacion. Es decir, si B esuna A-algebra y S es un sistema multiplicativo de B, tenemos un isomorfismo deBS-modulos (

ΩB/A

)S

= ΩBS/A

Demostracion: Por la propiedad universal de la localizacion, el morfismo de B-modulos ΩB/A → ΩBS/A define un morfismo de BS-modulos (ΩB/A)S → ΩBS/A.Ahora, por el lema anterior, para todo BS-modulo N tenemos que

HomBS(ΩBS/A, N) = DerA(BS , N) = DerA(B, N)

= HomB(ΩB/A, N) = HomBS

((ΩB/A)S , N)

y 6.2.2 permite concluir que(ΩB/A

)S

= ΩBS/A.

Teorema 9.3.5 Las diferenciales conmutan con sumas directas finitas:

Ω(B⊕C)/A = ΩB/A ⊕ ΩC/A

Demostracion: El ideal de la diagonal ∆ en (B ⊕ C) ⊗A (B ⊕ C) = (B ⊗A B) ⊕(B ⊗A C)⊕ (C ⊗A B)⊕ (C ⊗A C)es

∆ = ∆B ⊕ (B ⊗A C)⊕ (C ⊗A B)⊕∆C

∆2 = ∆2B ⊕ (B ⊗A C)⊕ (C ⊗A B)⊕∆2

C

Ω(B⊕C)/A = ∆/∆2 = ∆B/∆2B ⊕ 0⊕ 0⊕∆C/∆2

C = ΩB/A ⊕ ΩC/A

Epılogo

Los conceptos mas importantes, los que estan involucrados en cualquier afirmacionhumana, los que usamos necesariamente al pensar, son los conceptos metafısicos;como cuando decimos que A es verdadero, que A existe o que A es B. Una pro-funda justificacion de las Matematicas es su capacidad para iluminar cuestionestan cruciales, y ya a la entrada de la Academia platonica figuraba la inscripcionMηδεις αγεωµετρητoς εισιτω µoυ την στεγην (Nadie entre sin Geometrıa).

Con la experiencia que hemos acumulado a lo largo de este libro, ya es evidenteque una afirmacion como pueda ser “P es el producto directo de R por R” tienediferentes sentidos segun el contexto en que nos la encontremos:

1. En un texto de teorıa de grupos deberemos entender que P es un grupo, queel producto directo de R por R es el grupo formado por los pares de numerosreales con la operacion definida por la suma componente a componente, yque el predicado es afirma la existencia de un isomorfismo de grupos entreambos grupos.

2. En una clase de Topologıa debemos entender que P es un espacio topologico,que el producto directo de R por R es el espacio topologico formado por lospares de numeros reales con la topologıa usual, y que el predicado es afirmala existencia de un homeomorfismo entre ambos espacios topologicos.

3. En un ejercicio de Algebra Lineal, deberemos entender que P es un espaciovectorial real, que el producto directo de R por R esta formado por los paresde numeros reales con la estructura usual de espacio vectorial real, y queel predicado es afirma la existencia de un isomorfismo lineal entre ambosespacios vectoriales.

4. En el capıtulo 3, dedicado a los anillos, deberıamos entender que P es unanillo, que el producto directo de R por R es el anillo formado por los paresde numeros reales con las operaciones definidas componente a componente,y que el predicado es afirma la existencia de un isomorfismo de anillos entreambos anillos.

5. En un ejercicio sobre variedades algebraicas reales, debemos entender que Pes una variedad algebraica real, que R = SpecR[x], que el producto directo deR por R es R× R = SpecR[x, y], y que el predicado es afirma la existenciade un isomorfismo de variedades algebraicas P ' R × R; es decir, de unisomorfismo de R-algebras R[x, y] ' O(P ).

170 EPILOGO

Ahora vemos claramente que cada vez que hemos enunciado un teorema, este seencontraba en un contexto determinado (teorıa de grupos, de anillos, de modulos,de espacios topologicos, de variedades algebraicas, etc.) que fijaba el sentido dealgunos terminos basicos, como pueden ser los de morfismo, cociente, productodirecto, ... Ante todo, tal contexto precisa el significado de la afirmacion de quecierta estructura A sea tal otra B, por lo que estas teorıas o ambientes dondeexponemos los teoremas y desarrollamos nuestros razonamientos reciben el nombrede categorıas, en memoria de Aristoteles (383-321 a. de Cristo) que cayo en lacuenta de que el ser se predica de diversos modos y llamo κατηγoρ

,ι αι a los

diferentes modos de predicar el verbo ser.

Categorıas

Axiomas de Categorıa: Dar una categorıa C es dar

–. Una familia arbitraria, cuyos elementos llamaremos objetos de C.

–. Unos conjuntos disjuntos HomC(M, N), uno para cada par de objetos M, Nde la categorıa, cuyos elementos llamaremos morfismos de M en N y denotaremoscon el sımbolo M → N .

–. Para cada terna M, N, P de objetos de la categorıa, una aplicacion (llamadacomposicion de morfismos):

HomC(N,P )×HomC(M,N) −→ HomC(M, P ) , (f, g) 7→ f g

Estos tres datos deben satisfacer las siguientes condiciones:

Axioma 1 : La composicion de morfismos, cuando tenga sentido, es asociativa:(f g) h = f (g h)

Axioma 2 : Para cada objeto M de C, existe un morfismo idM : M → M que actuacomo identidad por la izquierda y por la derecha respecto de la composicion demorfismos:

f idM = f para todo morfismo f : M → N

idM g = g para todo morfismo g : N → M

Este morfismo idM : M → M es unico y se llama identidad de M .

Dada una categorıa C, diremos que un morfismo f : M → N es un isomor-fismo si existe algun morfismo g : N → M tal que f g = idN y g f = idM , encuyo caso tal morfismo g es unico y se llama inverso de f . Los isomorfismos deun objeto M en sı mismo reciben el nombre de automorfismos de M .

CATEGORIAS 171

La identidad de cualquier objeto de una categorıa C es un isomorfismo, el inver-so de un isomorfismo es un isomorfismo, y la composicion de isomorfismos, cuandotenga sentido, es un isomorfismo. Por tanto, los automorfismos de cualquier obje-to M de C forman un grupo AutC(M) respecto de la composicion y el elementoneutro es la identidad idM .

Cuando hablamos de teorıa de grupos, teorıa de anillos, teorıa de espaciostopologicos, etc., esa nocion intuitiva de “teorıa” queda recogida y precisada en elconcepto de categorıa. Las categorıas proporcionan los ambientes donde desarrol-lamos nuestros estudios de Matematicas:

1. La categorıa de conjuntos Sets: Sus objetos son los conjuntos, sus morfismosson las aplicaciones y la composicion es la composicion de aplicaciones. Lacategorıa de grupos Gr: Sus objetos son los grupos, sus morfismos son losmorfismos de grupos y la composicion es la composicion de aplicaciones. Lacategorıa de anillos Rings: Sus objetos son los anillos, sus morfismos sonlos morfismos de anillos y la composicion es la composicion de aplicaciones.

2. La categorıa de A-modulos A-mod: Sus objetos son los A-modulos, susmorfismos son los morfismos A-lineales y la composicion es la composicionde aplicaciones. Analogamente se define la categorıa A-alg de A-algebrascon los morfismos de A-algebras. Por el contrario, no es lıcito hablar de lacategorıa de modulos (o de algebras), pues no hemos definido el concepto demorfismo entre modulos o algebras sobre anillos diferentes.

3. La categorıa de espacios topologicos Top: Sus objetos son los espaciostopologicos, sus morfismos son las aplicaciones continuas y la composiciones la composicion de aplicaciones.

4. La categorıa de espacios metricos e isometrıas. La categorıa de espaciosmetricos y aplicaciones continuas.

5. La categorıa de espacios normados con las aplicaciones lineales continuas.

6. La categorıa de conjuntos ordenados Ord: Sus objetos son los conjuntosordenados. Los morfismos de conjuntos ordenados f : X → Y son las apli-caciones que conservan el orden: si x ≤ x′, entonces f(x) ≤ f(x′) .

7. A partir de cualquier categorıa pueden obtenerse nuevas categorıas sin masque restringir los objetos y los morfismos, con la unica condicion de elegirfamilias de morfismos que contengan la identidad y sean estables por lacomposicion. Ası, por ejemplo, tenemos las siguientes categorıas:

(a) La categorıa de conjuntos finitos.

(b) La categorıa de conjuntos y aplicaciones epiyectivas.

172 EPILOGO

(c) La categorıa de extensiones finitas de un cuerpo dado k.

(d) La categorıa de k-espacios vectoriales e isomorfismos k-lineales.

(e) La categorıa de espacios topologicos compactos Hausdorff.

8. Las parejas (A, a) , donde A es un anillo y a es un ideal de A, forman una cat-egorıa, entendiendo que los morfismos j : (A, a) → (B, b) son los morfismosde anillos j : A → B tales que j(a) ⊆ b .

9. Las sucesiones exactas cortas de A-modulos forman una categorıa, entendi-endo que dar un morfismo de una sucesion exacta corta de A-modulos

0 −→ M ′ i−−→ Mp−−→ M ′′ −→ 0

en otra sucesion exacta corta de A-modulos

0 −→ N ′ j−−→ Nq−−→ N ′′ −→ 0

es dar morfismos de A-modulos h′ : M ′ → N ′, h : M → N , h′′ : M ′′ → N ′′

tales que el siguiente diagrama sea conmutativo:

0 −→ M ′ i−−→ Mp−−→ M ′′ −→ 0

↓ h′ ↓ h ↓ h′′

0 −→ N ′ j−−→ Nq−−→ N ′′ −→ 0

10. Cada grupo (G, ·) puede entenderse como una categorıa con un unico objetoM y tal que los elementos de G son los morfismos M → M , siendo lacomposicion de morfismos la operacion de G; es decir, a b = a · b para todoa, b ∈ G .

En este ejemplo la identidad de M es el neutro de G y todos los morfismosson isomorfismos. Ademas, G es el grupo de los automorfismos del unicoobjeto M .

11. Cada relacion R reflexiva y transitiva en un conjunto X puede entendersecomo una categorıa cuyos objetos son los elementos de X y cuyos morfismosse definen del siguiente modo: Dados x, x′ ∈ X, no hay ningun morfismox → x′ cuando x no este relacionado con x′ y hay un unico morfismo x → x′

cuando xRx′.

En particular, toda relacion de equivalencia puede verse como una categorıa,al igual que cualquier conjunto ordenado (X,≤). Ası, los abiertos de unespacio topologico, los subespacios vectoriales de un espacio vectorial, losideales de un anillo, etc., pueden entenderse como categorıas.

FUNTORES 173

12. Dada una categorıa C, su categorıa opuesta o dual Cop es la categorıa quetiene los mismos objetos que C y tal que los morfismos de M en N en lacategorıa Cop son los morfismos de N en M en la categorıa C :

Objetos de Cop = Objetos de C

HomCop(M, N) = HomC(N,M)

siendo la composicion f g de dos morfismos g : M → N , f : N → P en Cop

igual a la composicion g f en C.

Funtores

La mayorıa de nuestras definiciones se expresan imponiendo alguna propiedado condicion (como ocurre con la definicion de numero primo, funcion continua,grupo cıclico, divisor de cero, ideal primario, ...) o estableciendo una aplicacion(la suma de numeros racionales, la derivada, la longitud de un modulo, los idealesprimos asociados, ...); pero algunas de las definiciones mas importantes no sonde esta forma: la construccion del grupo cociente, del espacio dual, del anillo defracciones, del producto tensorial, del espectro, etc. En todas estas construccionesasociamos a cada objeto de cierta categorıa C un objeto de otra categorıa C’, yvamos a ver que las construcciones realmente importantes, las que intervienen ennuestros teoremas, no solo estan definidas para los objetos de una categorıa C,sino tambien para todos sus morfismos:

Definicion: Sean C y C’ dos categorıas. Dar un funtor covariante F : C Ã C’es asignar a cada objeto M de C un objeto F (M) de C′ y a cada morfismof : M → N de C un morfismo F (f) : F (M) → F (N) de C’, de modo que severifiquen las siguientes condiciones:

1. F (idM ) = idF (M) para todo objeto M de C .

2. F (f g) = F (f) F (g) para cualquier par de morfismos Mg−→ N , N

f−→ Pde la categorıa C.

Analogamente se definen los funtores contravariantes, que invierten el sen-tido de los morfismos; es decir, asignan a cada morfismo f : M → N de C unmorfismo F (f) : F (N) → F (M) de C′, sin mas que sustituir la condicion (2) porla de que F (f g) = F (g)F (f) . Dicho de otro modo, los funtores contravariantesde C en C′ son los funtores covariantes de la categorıa opuesta Cop en C’ , porlo que, en el estudio de los funtores, podemos restringirnos al caso covariante sinperdida de generalidad.

174 EPILOGO

Los funtores transforman isomorfismos en isomorfismos. Ademas, los funtorespueden componerse del modo obvio, obteniendose de nuevo un funtor, covarianteo contravariante segun la paridad del numero de funtores contravariantes que in-tervengan en la composicion.

El concepto de funtor intenta recoger y precisar la nocion intuitiva de “cons-truccion natural”:

1. Sea k un cuerpo. La construccion del espacio dual E Ã E∗ define un funtorcontravariante k-mod Ã k-mod , donde la aplicacion lineal f∗ : V ∗ → E∗

asociada a una aplicacion lineal f : E → V es la aplicacion traspuesta:

< f∗(ω), e > = < ω, f(e) > , e ∈ E , ω ∈ V ∗

y el bidual E Ã E∗∗ es un funtor covariante k-mod Ã k-mod . El dualpuede entenderse como un funtor covariante a condicion de restringirse ala categorıa de k-espacios vectoriales con isomorfismos, asignando a cadaisomorfismo lineal τ : E → F el isomorfismo (τ∗)−1 : E∗ → V ∗.

2. La construccion X Ã C(X) del anillo de las funciones reales continuas sobreun espacio topologico X arbitrario define un funtor contravariante Top ÃRings de la categorıa de espacios topologicos en la categorıa de anillos,asignando a cada aplicacion continua h : X → Y el morfismo de anillosh : C(Y ) → C(X) , f 7→ f h .

3. Sea M un A-modulo. La construccion N Ã HomA(M, N) define un funtorcovariante

HomA(M,−) : A-mod Ã A-mod

sin mas que asignar a cada morfismo de A-modulos f : N → N ′ el morfismode A-modulos f : HomA(M, N) → HomA(M, N ′) .

Analogamente, la construccion N Ã HomA(N, M) define un funtor con-travariante

HomA(−,M) : A-mod Ã A-mod

sin mas que asignar a cada morfismo de A-modulos f : N → N ′ el morfismode A-modulos f : HomA(N ′, M) → HomA(N,M) .

4. Sea M un A-modulo. La construccion N Ã N ⊗A M del producto tensorialdefine un funtor covariante

(−)⊗A M : A-mod Ã A-mod

asignando a cada morfismo de A-modulos f : N → N ′ el morfismo de A-modulos f ⊗ 1: N ⊗M → N ′ ⊗M .

FUNTORES 175

5. Sea A → B un morfismo de anillos. El cambio de base M Ã MB defineun funtor covariante A-mod Ã B-mod asignando a cada morfismo de A-modulos f : M → N su cambio de base

fB : MB −→ NB , fB(m⊗ b) = f(m)⊗ b

Analogamente, el cambio de base C Ã CB define un funtor covarianteA-alg Ã B-alg . Por otra parte, la restriccion de escalares define sendosfuntores covariantes B-mod Ã A-mod y B-alg Ã A-alg .

6. El espectro es un funtor contravariante Spec : Rings Ã Top de la categorıade anillos en la de espacios topologicos.

7. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. La localizacion M Ã S−1Mdefine un funtor covariante S−1(−) : A-mod Ã S−1A-mod que transformacada morfismo de A-modulos f : M → N en el morfismo de S−1A-modulosS−1f : S−1M → S−1N .

8. Si asignamos a cada espacio topologico X el retıculo de sus cerrados A(X)y a cada aplicacion continua h : X → Y el morfismo de conjuntos ordenadosh−1 : A(Y ) → A(X), obtenemos un funtor contravariante Top Ã Ord de lacategorıa de espacios topologicos en la de conjuntos ordenados.

9. Si asignamos a cada A-modulo M el retıculo de sus submodulos Submod(M)y a cada morfismo de A-modulos f : M → N el morfismo de conjuntos or-denados f−1 : Submod(N) → Submod(M), obtenemos un funtor contravari-ante A-mod Ã Ord.

10. Si asignamos a cada anillo A el grupo A∗ formado por sus elementos invert-ibles y a cada morfismo de anillos f : A → B su restriccion f : A∗ → B∗, quees un morfismo de grupos, obtenemos un funtor covariante Rings Ã Ab dela categorıa de anillos en la de grupos abelianos.

11. Si a cada anillo (A,+, ·) le asignamos el grupo (A, +) y a cada morfis-mo de anillos f : (A, +, ·) → (B, +, ·) le asignamos el morfismo de gruposf : (A, +) → (B, +), obtenemos un funtor covariante Rings Ã Ab, lla-mado funtor de olvido. Tambien tenemos funtores de olvido Gr Ã Sets ,Rings Ã Sets , A-mod Ã Ab , k-alg Ã Rings , etc.

12. La construccion del A-modulo libre A(I ) de base un conjunto I define unfuntor contravariante Sets Ã A-mod , sin mas que asignar a cada aplicacionf : I → J el morfismo de A-modulos φ : A(J ) → A(I ), φ

(∑j aj

)=

∑i af(i).

13. La construccion del algebra de endomorfismos E Ã Endk(E) de un k-espaciovectorial E define un funtor covariante de la categorıa de k-espacios vecto-riales e isomorfismos en la de k-algebras (no conmutativas), sin mas que

176 EPILOGO

observar que cada isomorfismo lineal τ : E → V induce de modo natural unisomorfismo de k-algebras Endk(E) → Endk(V ), f 7→ τ f τ−1 .

14. Sea C la categorıa formada por las parejas (a, A), donde a es un ideal deun anillo A, y donde los morfismos (a, A) → (b, B) son los morfismos deanillos f : A → B tales que f(a) ⊆ b . La construccion del anillo cociente(a, A) Ã A/a define un funtor covariante C Ã Rings .

15. Sea C la categorıa formada por las pareja (S, A) donde A es un anillo y Ses un sistema multiplicativo de A, entendiendo que los morfismos (S, A) →(T, B) son los morfismos de anillos f : A → B tales que f(S) ⊆ T . La con-struccion del anillo de fracciones (S, A) Ã S−1A define un funtor covarianteC Ã Rings .

16. Si A → B es un morfismo de anillos, M Ã DerA(B, M) es un funtor covari-ante de la categorıa B-modulos en sı misma.

17. Dada una categorıa C, el funtor identidad idC : C Ã C es el funtor covarianteque transforma cada objeto de C el el mismo y cada morfismo de C en sımismo.

Morfismos de Funtores

Al establecer una aplicacion, estara definida entre estructuras previamente con-struidas y, en el apartado anterior, ya hemos senalado que las construccionesmatematicas mas importantes son funtoriales. Es merito fundamental de la Teorıade categorıas poner de manifiesto que las transformaciones F (M) → G(M) entreconstrucciones funtoriales son naturales, que satisfacen la fortısima condicion deser compatibles con todos los morfismos en el siguiente sentido:

Definicion: Sean F, G : C Ã C’ dos funtores covariantes definidos entre ciertascategorıas C y C’. Dar un morfismo de funtores t : F → G es dar, para cadaobjeto M de C, un morfismo tM : F (M) → G(M) de C’, de manera que para todomorfismo f : M → N de C el siguiente cuadrado conmute:

F (M) tM−−−−→ G(M)↓ F (f) ↓ G(f)

F (N) tN−−−−→ G(N)

Sean F, G, H : C Ã C’ funtores covariantes. Dados morfismo de funtorest : F → G, t′ : G → H, su composicion t′ t : F → H se define del modo evidente,

MORFISMOS DE FUNTORES 177

(t′ t)M = t′M tM , y es sencillo comprobar que es un morfismo del funtor F enel funtor H.

Por otra parte, los morfismos identidad idM : F (M) → F (M) definen un mor-fismo de funtores idF : F → F .

Diremos que un morfismo de funtores t : F → G es un isomorfismo de fun-tores cuando tM : F (M) → G(M) es un isomorfismo para todo objeto M de C ; esdecir, cuando existe un morfismo de funtores t−1 : G → F tal que t−1 t : F → Fes la identidad de F y tt−1 : G → G es la identidad de G. En tal caso, es evidenteque (t−1)M = (tM )−1 .

El concepto de morfismo de funtores intenta recoger los terminos imprecisosde “morfismo canonico”, “operacion natural”, ... que utilizamos para indicar elcaracter general y nada artificioso de una definicion; es decir, su pertenencia alambito de la ϕ

,υσις en el sentido originario que esta tenıa en la cultura griega. En

palabras de Heidegger (1889-1976):

Φ,υσις significa la fuerza que impera, brota y permanece regulada por

ella misma.. . . Como manifestacion opuesta los griegos introdujeronlo que llamaban θ

,ε σις, lo puesto, o νoµoς, regla en el sentido de

costumbre.. . . Ya dentro de la filosofıa griega se introdujo pronto unuso mas restringido de ϕ

,υσις, a partir de su oposicion a τ

,εχνη, que

significa “saber”, creacion y construccion, en tanto que produccion apartir de un saber.

Por ejemplo, en los espacios vectoriales, la introduccion de definiciones y de-mostraciones en coordenadas pertenece a la θ

,εσις, la mal llamada base canonica

de kn es νoµoς, y la construccion de un ejemplo que contradiga cierta conjeturafamosa pertenece a la τ

,εχνη; mientras que la identificacion de cada vector con una

funcion lineal sobre el espacio dual es natural, pertenece al ambito de la ϕ,υσις.

Esta distincion, que tan claramente percibimos en las entranas, puede precisarseun poco ahora afirmando que el morfismo E → E∗∗ es funtorial.

1. La aplicacion lineal φE : E → E∗∗ de cualquier k–espacio vectorial en subidual, φE(e)(ω) = ω(e), es natural en el sentido de que es un morfismodel funtor identidad (de la categorıa de k–espacios vectoriales) en el funtorF (E) = E∗∗; es decir, para toda aplicacion k–lineal T : E → F tenemos queel siguiente cuadrado es conmutativo:

EφE−−−→ E∗∗

↓ T ↓ T∗∗

FφF−−−→ F ∗∗

178 EPILOGO

2. La inmersion diagonal ∆X : X → X × X, x 7→ (x, x), de cualquier espaciotopologico X en el producto directo X ×X es natural en el sentido de quees un morfismo del funtor identidad en el funtor F (X) = X ×X ; es decir,para toda aplicacion continua h : X → Y , el siguiente cuadrado conmuta:

X∆X−−−→ X ×X

↓ h ↓ h× h

Y∆Y−−−→ Y × Y

3. La inmersion canonica jE : E → E de cualquier espacio normado E en sucompletacion E es un morfismo del funtor identidad en el funtor completacionE Ã E, entendidos ambos como funtores de la categorıa de espacios nor-mados y aplicaciones lineales continuas en sı misma; es decir, para todaaplicacion lineal continua h : E → F entre espacios normados se tiene que elsiguiente cuadrado es conmutativo:

EjE−−−→ E

↓ h ↓ bhF

jF−−−→ F

4. Cada morfismo de A-modulos g : M1 → M2 induce un morfismo funtorialg ⊗ 1: M1 ⊗A N → M2 ⊗A N ; es decir, para todo morfismo de A-modulosf : M → N se verifica que el siguiente cuadrado conmuta:

M1 ⊗A Mg⊗1−−−−→ M2 ⊗A M

↓ 1⊗ f ↓ 1⊗ f

M1 ⊗A Ng⊗1−−−−→ M2 ⊗A N

5. Cada morfismo de A-modulos g : M1 → M2 induce un morfismo de fun-tores g : HomA(−, M1) → HomA(−,M2) porque para todo morfismo deA-modulos f : M → N se verifica que el siguiente cuadrado conmuta:

HomA(M,M1)g−−−→ HomA(M,M2)

↓ f ↓ fHomA(N,M1)

g−−−→ HomA(N,M2)

Tambien define un morfismo funtorial g : HomA(M2,−) → HomA(M1,−) .

6. Sean S y T sistemas multiplicativos de un anillo A. Si S ⊆ T , los morfis-mos S−1M → T−1M , m/s 7→ m/s son funtoriales, entendiendo S−1(−) yT−1(−) como funtores covariantes A-mod Ã A-mod .


7. La contraccion de ındices Cij : T q

p (E) → T q−1p−1 (E) en los tensores de tipo

(p, q) sobre un espacio vectorial E es un morfismo del funtor T qp (−) en el

funtor T q−1p−1 (−), ambos definidos sobre la categorıa de k-espacios vectoriales

e isomorfismos; es decir, Cij(τT q

p ) = τ(CijT

qp ) para todo isomorfismo lineal

τ : E → V y todo tensor T qp ∈ T q

p (E) .

8. En la teorıa de grupos, el paso al inverso G → G, g 7→ g−1, y elevar alcuadrado G → G, g 7→ g2, son operaciones funtoriales, en el sentido de queson morfismos del funtor de olvido en sı mismo. Vemos ası que la teorıade categorıas nos abre nuevas perspectivas, al hacer posible que podamoscomenzar a plantear con rigor y sentido preciso preguntas tales como

¿Que aplicaciones naturales G → G pueden definirse en los grupos? Es decir,¿que morfismos hay del funtor de olvido Gr Ã Sets en sı mismo?

¿Que morfismos naturales G → G pueden definirse en los grupos? Es decir,¿que morfismos existen del funtor identidad idGr : Gr Ã Gr en el mismo?

¿Que operaciones binarias naturales G × G → G pueden definirse en losgrupos? i.e., ¿que morfismos hay del funtor Gr Ã Sets, G Ã G×G, en elfuntor de olvido Gr Ã Sets ?

y no solo nos permite plantear tales preguntas, sino comenzar a responder-las. Veamos por ejemplo que, en teorıa de grupos, toda aplicacion funtorialt : G → G ha de ser t(g) = gn para algun n ∈ Z. En efecto, consideremos laaplicacion tZ : Z→ Z y sea n = tZ(1). Ahora, dado cualquier elemento g deun grupo G, induce un morfismo de grupos fg : Z→ G, fg(r) = gr, de modoque el siguiente cuadrado es conmutativo:

Z tZ−−→ Z↓ fg ↓ fg

GtG−−−→ G

tG(g) = tG(fg(1)

)= fg

(tZ(1)

)= fg(n) = gn

9. En teorıa de grupos, la operacion G×G → G, (a, b) 7→ b5a8b−9a6 es funtorial,en el sentido de que para todo morfismo de grupos f : G → G′ se tiene quef(b5a8b−9a6) = f(b)5f(a)8f(b)−9f(a)6; pero no podemos decir que es unaoperacion canonica en los grupos, pues en modo alguno podemos conside-rar canonica la sucesion de exponentes 5, 8,−9, 6 sino totalmente arbitraria.Vemos ası que, aunque todo lo canonico debe ser funtorial, los conceptos defuntor y morfismo de funtores no agotan nuestra aguda percepcion de lo queha de ser considerado canonico y natural.

El concepto de isomorfismo de funtores pretende precisar los terminos de “iso-morfismo canonico”, “biyeccion natural”, etc., pues dos construcciones funtorial-mente isomorfas son indistinguibles en Matematicas. Podemos sustituir cualquier

180 EPILOGO

funtor por otro isomorfo en nuestros razonamientos sin que por ello se vean al-terados. Por el contrario, si un isomorfismo entre dos estructuras no es funtorial,estas pueden intervenir de formas bien distintas en las teorıas matematicas, puesnuestros razonamientos involucran constantemente morfismos y la falta de funtori-alidad significa precisamente que ambas estructuras tienen comportamientos biendiferentes frente a los morfismos. Por eso los isomorfismos funtoriales se denotancon el sımbolo =, mientras que se suele reservar el sımbolo ' para los isomorfismosque no son naturales:

1. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Los isomorfismos de S−1A-modulos M ⊗A S−1A = S−1M , m ⊗ (a/s) = (am)/s son funtoriales;es decir, para todo morfismo de A-modulos f : M → N se verifica que elsiguiente cuadrado es conmutativo:

M ⊗A S−1A = S−1M↓ f ⊗ 1 ↓ S−1f

N ⊗A S−1A = S−1N

2. Todas las propiedades del producto tensorial y, en general, todas las igual-dades de este libro son de hecho isomorfismos funtoriales. Por ejemplo, laigualdad M ⊗A N = N ⊗A M puede entenderse como un isomorfismo entrelos funtores (−)⊗A N y N ⊗A (−) , la igualdad M ⊗A (A/a) = M/aM comoun isomorfismo del funtor (−) ⊗A (A/a) con el funtor M Ã M/aM , y asısucesivamente.

3. La biyeccion natural

[Submodulos

de M/N

]=

[Submodulos de Mque contienen a N

]

es un isomorfismo funtorial, donde ambos terminos de la igualdad se en-tienden como funtores contravariantes, definidos sobre la categorıa de pares(N, M), donde M es un A-modulo y N es un submodulo de M , y con valoresen la categorıa de conjuntos ordenados.

4. Todo espacio vectorial de dimension finita es funtorialmente isomorfo a subidual, E = E∗∗, lo que da cuenta del hecho de que en Algebra Lineal nosea necesario involucrar duales iterados E∗∗, E∗∗∗, ... , pues siempre puedensustituirse por el propio espacio E o su dual E∗. En efecto, el isomorfismoφE : E → E∗∗, < φE(e), ω >= < ω, e >, define un isomorfismo natural delfuntor identidad en el funtor bidual E Ã E∗∗; es decir, para toda aplicacionlineal f : E → V entre espacios vectoriales de dimension finita, se verifica


que el siguiente cuadrado es conmutativo:

EφE−−−→ E∗∗

↓ f ↓ f∗∗

VφV−−−→ V ∗∗

< f∗∗φE(e), η > = < φE(e), f∗(η) >= < f∗(η), e >

< φV (f(e)), η > = < η, f(e) > =< f∗(η), e >

para todo e ∈ E, η ∈ V ∗.

5. Por el contrario, cada espacio vectorial de dimension finita E es isomorfo asu dual, pues ambos tienen la misma dimension; pero ningun isomorfismoE ' E∗ puede ser funtorial, lo que explica el hecho de que el dual E∗

no pueda sustituirse en Algebra Lineal por E. En efecto, si existe algunisomorfismo funtorial β : E → E∗ en la categorıa de k-espacios vectoriales dedimension finita e isomorfismos, para todo automorfismo lineal τ : E → E elsiguiente cuadrado ha de ser conmutativo:

Eβ−−→ E∗

↓ τ ↓ (τ∗)−1

Eβ−−→ E∗

Consideremos una base de E y su base dual en E∗, y sea B la matriz de βen tales bases. La conmutatividad del diagrama anterior expresa que

BT = (T t)−1B

para toda matriz invertible T . Tomando determinantes, al ser |B| 6= 0,concluimos que |T | = |T |−1, lo que es imposible que se verifique para todamatriz invertible T , al menos cuando k tiene mas de 3 elementos (es un buenejercicio analizar los casos k = F2 y k = F3, pues todo espacio vectorialE de dimension 1 sobre F2 sı es canonicamente isomorfo a su dual: bastaidentificar el unico vector no nulo de E con el unico vector no nulo de E∗).

Definicion: Diremos que dos funtores covariantes F : C Ã C’ y G : C’ Ã Cdefinen una equivalencia de categorıas si el funtor F G es isomorfo a la identidadidC’ y el funtor G F es isomorfo a la identidad idC .

Si F : C Ã C’ y G : C’ Ã C definen una equivalencia de categorıas, entoncestodo objeto M ′ de C’ es isomorfo a F (M) para algun objeto M de C, pues bastatomar M = G(M ′). Ademas, al tener un isomorfismo natural GF ' idC, se sigueque para cada par de objetos M, N de C la composicion

HomC(M, N) F−−−→ HomC’(FM,FN) G−−−→ HomC(GF (M), GF (N))

182 EPILOGO

es biyectiva. Por tanto, las aplicaciones HomC(M,N) → HomC’(F (M), F (N))inducidas por F , y las aplicaciones HomC’(M ′, N ′) → HomC(G(M ′), G(N ′)) in-ducidas por G, son biyecciones.

Ası como las categorıas son las diferentes estructuras: grupos, anillos, espaciostopologicos, etc., el concepto de equivalencia de categorıas intenta precisar conrigor nuestra nocion intuitiva de definiciones equivalentes de una misma estructura:

1. Cuando decimos que los Z-modulos son los grupos abelianos, expresamos sinprecision el hecho riguroso de que el funtor de olvido Z-mod Ã Ab es unaequivalencia de categorıas. El funtor inverso asigna a cada grupo abelianoG la unica estructura de Z-modulo compatible con su operacion de grupo:

ng = g+ n. . . +g , (−n)g = (−g)+ n. . . +(−g)

2. Cuando decimos que dar un endomorfismo de un espacio vectorial sobreun cuerpo k es lo mismo que dar un k[x]-modulo, expresamos la existenciade una equivalencia de categorıas k[x]-mod Ã C , siendo C la categorıade parejas (E, T ), donde E es un k-espacio vectorial y T : E → E es unendomorfismo, donde los morfismos f : (E, T ) → (E′, T ′) son las aplicacioneslineales f : E → E′ tales que f T = T ′ f .

3. El paso al dual E Ã E∗ define una equivalencia de la categorıa de k-espaciosvectoriales de dimension finita con su categorıa dual, siendo el mismo supropio funtor inverso.

4. Como veremos en la pagina 370, el teorema de Galois (1811-1832) puedeentenderse como una equivalencia de categorıas.

El Funtor de Puntos

Sea X un espacio topologico. Si p denota el espacio topologico con un unico punto,los puntos de X pueden verse como aplicaciones continuas p → X, mientras queuna aplicacion continua arbitraria T → X puede entenderse como un punto deX que depende de un parametro que recorre el espacio de parametros T . Estacomprension de los puntos como morfismos tambien es adecuada en el caso de lacategorıa de las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo k (que es la categorıaopuesta de la categorıa de k-algebras de tipo finito y morfismos de k-algebras).En efecto, si X = Spec k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) es la subvariedad algebraica delespacio afın An de ecuaciones p1 = . . . = pr = 0, entonces los puntos racionales deX se corresponden con los morfismos Spec k → X, y para toda extension L de k

EL FUNTOR DE PUNTOS 183

tenemos que los morfismos Spec L → X se corresponden con las soluciones en Ldel sistema de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . . . . . . . . . . .

pr(x1, . . . , xn) = 0

por lo que bien merecen el nombre de puntos de X con coordenadas en L. Ademas,los morfismos Spec k[ t ] → X se corresponden con los polinomios x1(t), . . . , xn(t)tales que pi(x1(t), . . . , xn(t)) = 0, por lo que bien merecen el nombre de puntos deX parametrizados por la recta afın A1 = Spec k[ t ].

Ahora bien, cuando los puntos se entienden como morfismos, el concepto depunto tiene pleno sentido en cualquier categorıa, lo que es tanto como decir encualquier rama de las matematicas:

Definicion: Fijada una categorıa C, diremos que los morfismos T → X son lospuntos de X parametrizados por T , o bien que son los T -puntos de X. Elconjunto de puntos de X parametrizados por T se denotara

X•(T ) := HomC(T, X) .

Cada morfismo t : S → T define una aplicacion natural

X•(T ) = HomC(T, X) −→ HomC(S,X) = X•(S) , x 7→ x|t := x t

de modo que X• : C Ã Sets es un funtor contravariante, llamado funtor depuntos del objeto X. Diremos que x|t es la especializacion del T -punto x alpunto t del espacio de parametros T .

Definicion: Dado un objeto X de una categorıa C, diremos que la identidadX → X es el punto general de X, porque cualquier otro punto x : T → X esespecializacion del punto general xg, pues xg|x = idX x = x.

Por otra parte, cada morfismo f : X → Y induce aplicaciones naturales

f : X•(T ) −→ Y •(T ) , f(x) := f x

y diremos que f(x) es la imagen del punto x por el morfismo f . Obtenemosası un morfismo de funtores f : X• → Y •, porque estas aplicaciones conservanla especializacion de puntos: f(x|t) = f(x)|t para todo punto t del espacio deparametros T . En efecto, tenemos que

f(x|t) = f (x t) = (f x) t) = f(x)|tTeorema: Cada morfismo de funtores φ : X• → Y • esta definido por un unicomorfismo X → Y :

HomC(X, Y ) = Homfunt(X•, Y •)

184 EPILOGO

Demostracion: Los morfismos de funtores φ : X• → Y • son compatibles con espe-cializaciones, ası que si dos morfismos coinciden en el punto general de X, entoncescoinciden en todo punto de X. Sea f := φ(xg) ∈ Y •(X) = HomC(X, Y ). Elmorfismo de funtores f : X• → Y • inducido por f es φ porque ambos coincidenen el punto general:

f(xg) = f idX = f = φ(xg)

y es el unico morfismo X → Y que puede definir el morfismo de funtores dado φ.

Corolario: Cada objeto X de una categorıa C esta totalmente determinado porsu funtor de puntos X• : C Ã Sets.

1. En la categorıa de espacios topologicos, los T -puntos de un producto directo∏i Xi son las sucesiones (xi) donde cada termino xi es un T -punto de Xi:

(∏

i Xi)•(T ) =∏

i X•i (T )

y el corolario anterior afirma que esta propiedad determina totalmente latopologıa del espacio

∏i Xi.

2. Sean X = Spec A, Y = Spec B dos variedades algebraicas afines sobre uncuerpo k. La propiedad universal del producto tensorial de algebras A⊗k Bafirma que los puntos de X ×k Y := Spec (A ⊗k B) son las parejas (x, y)donde x es un punto de X e y es un punto de Y :

(X ×k Y )• = X• × Y •

3. Segun la propiedad universal del anillo de polinomios k[x], en la categorıade variedades algebraicas afines sobre un cuerpo k, el funtor de puntos de larecta afın A1 = Spec k[x] es

A•1(T ) = O(T )

de modo que las funciones algebraicas f ∈ O(T ) son morfismos f : T → A1,y segun la propiedad universal del anillo A[x1, . . . , xn], el funtor de puntosdel espacio afın An es

A•n(T ) = O(T )n

4. Sea i : Y = (I)0 → X una subvariedad cerrada de una variedad alge-braica afın X = Spec A sobre un cuerpo k. Las aplicaciones naturalesi : Y •(T ) → X•(T ) son inyectivas, ası que los puntos de Y pueden versecomo un subconjunto de los puntos de X. Ahora, si Y1 = (I1)0, Y2 = (I2)0son dos subvariedades cerradas de X, los T -puntos de Y1 ∩ Y2 := (I1 + I2)0son los T -puntos de Y1 que tambien son puntos de Y2:

(Y1 ∩ Y2)• = Y •1 ∩ Y •

2

EL FUNTOR DE PUNTOS 185

5. Sea G una variedad algebraica afın sobre un cuerpo k. Como (G ×k G)• =G• × G•, dar una estructura de grupo en el conjunto de puntos G•(T ), demodo que G• sea un funtor valorado en la categorıa de grupos, equivalea dar una estructura de grupo algebraico en G; es decir, equivale a darmorfismos m : G ×k G → G, 1 : Spec k → G, inv : G → G que verifiquenlos axiomas de grupo, en el sentido de que los siguientes diagramas seanconmutativos:

G×k G×k Gm×id−−−−−→ G×k G

↓ id×m ↓ m

G×k Gm−−−−→ G

Ginv×id−−−−→ G×k G

↓ ↓ m

Spec k1−−−→ G

y los siguientes morfismos sean la identidad:

G = (Spec k)×k G1×id−−−−→ G×k G

m−−→ G

G = G×k (Spec k) id×1−−−−→ G×k Gm−−→ G

6. El funtor de puntos de Ga := Spec k[x], que es Ga(SpecA) = A , admiteclaramente una estructura natural de grupo aditivo, lo que define una es-tructura de grupo algebraico en Ga. Es el llamado grupo aditivo (sobre elcuerpo k).

7. El funtor de puntos de Gm := Spec k[x, x−1], que es Gm(Spec A) = A∗ ,admite claramente una estructura natural de grupo multiplicativo, lo quedefine una estructura de grupo algebraico en Gm. Es el llamado grupomultiplicativo (sobre el cuerpo k).

8. El nucleo del morfismo de grupos Gm(T ) → Gm(T ), a 7→ an, esta formadopor los T -puntos de µn := Spec k[x]/(xn − 1), ası que estos heredan unaestructura natural de grupo, lo que define una estructura de grupo algebraicosobre µn. Es el llamado grupo multiplicativo de las raıces n-esimas de launidad (sobre el cuerpo k).

9. Sea k un cuerpo de caracterıstica positiva p y sea q = pn. El nucleo delmorfismo de grupos Ga(T ) → Ga(T ), a 7→ aq − a, esta formado por losT -puntos de αn := Spec k[x]/(xq − x), ası que estos heredan una estructuranatural de grupo, lo que define una estructura de grupo algebraico sobre αn.

Por otra parte, cada objeto X de una categorıa C tambien define un funtorcovariante HomC(X,−) : C Ã Sets :

T Ã HomC(X,T )

Tf−→ S Ã HomC(X,T )

f−→ HomC(X, S)

186 EPILOGO

que es precisamente el funtor de puntos de X en la categorıa dual Cop.El teorema anterior permite calcular los morfismos entre dos funtores C Ã Sets

cuando sean isomorfos a funtores de la forma HomC(X,−) o HomC(−, X) = X• :

1. Sea k un anillo. Para determinar las operaciones funtoriales A× n. . . ×A → Aque pueden definirse en las k-algebras, basta recordar que el funtor A ÃA× n. . . ×A es el funtor covariante asociado a la k-algebra k[x1, . . . , xn].Luego, de acuerdo con el teorema anterior, las operaciones funtoriales encuestion se corresponden canonicamente con los morfismos de k-algebras

k[x] −→ k[x1, . . . , xn]

que claramente estan determinados por la imagen de x. Luego toda operacionfuntorial A× n. . . ×A → A definida en las k-algebras es de la forma

(a1, . . . , an) 7−→ p(a1, . . . , an)

para algun polinomio p(x1, . . . , xn) con coeficientes en k. En particular, losmorfismos de anillos funtoriales A → A se corresponden con los polinomiosp(x) ∈ k[x] tales que

p(x + y) = p(x) + p(y) , p(xy) = p(x)p(y) , p(1) = 1

Si la caracterıstica de k es nula, la primera condicion implica que p(x) = λxpara algun λ ∈ k, ası que la ultima condicion permite concluir que p(x) = x ;es decir, no hay mas morfismo de anillos funtorial A → A que la identidad.No obstante, cuando la caracterıstica de k es positiva, pueden existir otrosmorfismos de anillos funtoriales. Por ejemplo, si la caracterıstica de k esun numero primo p, los polinomios xpr

satisfacen las condiciones requeridas,de modo que en las k-algebras tenemos los morfismos de anillos funtorialesA → A, a 7→ apr

.

2. Para determinar las operaciones funtoriales X× n. . . ×X → X que puedendefinirse en los espacios topologicos, observamos primero que X× n. . . ×X =HomTop(1, . . . , n, X), donde 1, . . . , n es un espacio topologico discretocon n puntos. De acuerdo con el teorema anterior, las operaciones funtorialesen cuestion se corresponden canonicamente con las aplicaciones continuas1 → 1, . . . , n : En los espacios topologicos no hay mas operaciones fun-toriales que las proyecciones canonicas X× n. . . ×X → X, (x1, . . . , xn) 7→ xi.

3. Sea A un anillo. Vamos a determinar todas las operaciones funtorialesM× n. . . ×M → M que pueden definirse en los A-modulos. Observamosprimero que Mn = HomA(An,M). Segun el teorema anterior, tales ope-raciones funtoriales se corresponden canonicamente con los morfismos deA-modulos A → An . Todas son de la forma (m1, . . . , mn) 7−→ ∑

i aimi paraciertos elementos a1, . . . , an ∈ A .

FUNTORES REPRESENTABLES 187

Funtores Representables

Veamos que la igualdad HomC(X,Y ) = Homfunt(X•, Y •) es valida cuando Y • sesustituye por un funtor contravariante F arbitrario:

Teorema: Sea F : C Ã Sets un funtor contravariante y sea X un objeto de C.Para cada elemento ξ ∈ F (X) existe un unico morfismo de funtores φ : X• → Ftal que φ(xg) = ξ:

Homfunt(X•, F ) = F (X)

Demostracion: La unicidad se debe a que si dos morfismos X• → F coincidenen un punto x, entonces coinciden en sus especializaciones x|t, de modo que cadamorfismo φ : X• → F esta determinado por la imagen φ(xg) del punto general deX. En cuanto a la existencia, cada elemento ξ ∈ F (X) induce aplicaciones

ξ : HomC(T, X) → F (T ) , ξ(f) := F (f)(ξ)

que definen un morfismo natural ξ : X• → F tal que ξ(xg) = F (idX)(ξ) = ξ .

Corolario: Sea F : C Ã Sets un funtor covariante y sea X un objeto de C. Siξ ∈ F (X), entonces existe un unico morfismo de funtores φ : HomC(X,−) → F talque φ(idX) = ξ.

Definicion: Diremos que un funtor contravariante F : C Ã Sets es representa-ble si existe algun objeto X de C tal que F y HomC(−, X) = X• sean funtoresisomorfos. En tal caso, de acuerdo con el teorema anterior, dicho isomorfismode funtores debe estar definido por algun elemento ξ ∈ F (X). Diremos que unapareja (X, ξ), donde ξ ∈ F (X), representa al funtor contravariante F si el corre-spondiente morfismo de funtores ξ : HomC(−, X) → F es un isomorfismo.

Analogamente, diremos que un funtor covariante F : C Ã Sets es repre-sentable si existe algun objeto X de C tal que F y HomC(X,−) sean funtoresisomorfos. En tal caso, de acuerdo con el corolario anterior, dicho isomorfismo defuntores debe estar definido por algun elemento ξ ∈ F (X). Diremos que una pareja(X, ξ), donde ξ ∈ F (X), representa al funtor covariante F si el correspondientemorfismo de funtores ξ : HomC(X,−) → F es un isomorfismo.

Por definicion, decir que un funtor covariante F esta representado por unapareja (X, ξ) significa que para cualquier objeto X ′ de C y cualquier elementoξ′ ∈ F (X ′) existe un unico morfismo f : X → X ′ tal que

ξ′ = F (f)(ξ)

y decir que un funtor contravariante F esta representado por una pareja (X, ξ)significa que para cualquier objeto X ′ de C y cualquier elemento ξ′ ∈ F (X ′) existeun unico morfismo f : X ′ → X tal que ξ′ = F (f)(ξ).

188 EPILOGO

Teorema: Si un funtor covariante o contravariante F : C Ã Sets es representable,su representante es unico salvo isomorfismos canonicos. Con precision, si F estarepresentado por dos parejas (X, ξ) y (X ′, ξ′), entonces existe un unico isomorfismof : X → X ′ tal que ξ′ = F (f)(ξ).

Demostracion: Como F esta representado por (X, ξ), existe un unico morfismof : X → X ′ en C tal que

ξ′ = F (f)(ξ)

y como F esta representado por (X ′, ξ′), existe en C un unico morfismo g : X ′ → Xtal que

ξ = F (g)(ξ′)

Se sigue que F (f g)(ξ′) = ξ′ y F (gf)(ξ) = ξ; luego f g = idX′ y gf = idX .Concluimos que f es un isomorfismo. q.e.d.

Enunciar la propiedad universal de un objeto X de una categorıa C es afirmarque el funtor HomC(X,−) es isomorfo a cierto funtor covariante F : C Ã Sets(o que el funtor HomC(−, X) es isomorfo a cierto funtor contravariante F : C ÃSets); i.e., es afirmar que cierto funtor F es representable y esta representado porX. Pero las propiedades universales no solo afirman la existencia de un isomorfismofuntorial HomC(X,−) → F , sino que determinan un isomorfismo concreto que,segun el teorema anterior, vendra definido por cierto elemento ξ ∈ F (X). Cadapropiedad universal es la afirmacion de que cierto funtor F esta representado pordeterminada pareja (X, ξ). Veamos, en las propiedades universales que conocemos,cual es tal elemento ξ ∈ F (X), que es el que se corresponde con la identidad de Xen la biyeccion HomC(X, X) = F (X) proporcionada por la propiedad universalen cuestion:

1. La propiedad universal del grupo cociente G/H afirma que, en la categorıade grupos, el funtor

F (G′) = f ∈ HomGr(G,G′) : f(H) = 1esta representado por la pareja (G/H, π), donde π ∈ F (G/H) es la pro-yeccion canonica π : G → G/H .

2. La propiedad universal del anillo de polinomios A[x1, . . . , xn] afirma que, enla categorıa de A-algebras, el funtor F (B) = Bn esta representado por lapareja ( A[x1, . . . , xn] , (x1, . . . , xn) ) .

3. La propiedad universal del anillo de fracciones S−1A afirma que, en la cate-gorıa de anillos, el funtor

F (B) = f ∈ HomRings(A, B) : f(S) ⊆ B∗esta representado por (S−1A, γ), donde γ : A → S−1A es el morfismo delocalizacion: γ(a) = a/1 .

FUNTORES REPRESENTABLES 189

4. Sea (Xi)i∈I una familia de espacios topologicos. En la categorıa de espaciostopologicos, el funtor

F (T ) =∏

i HomTop(T, Xi)

esta representado por la pareja(∏

i Xi , (πj)j∈I

), donde las aplicaciones

πj :∏

i Xi → Xj son las proyecciones canonicas: πj

((xi)i∈I

)= xj .

5. La propiedad universal de la suma directa⊕

i Mi afirma que, en la categorıade A-modulos, el funtor

F (N) =∏

i HomA(Mi, N)

esta representado por( ⊕

i Mi , (uj)), donde los morfismos uj : Mj →

⊕i Mi

son las inclusiones canonicas.

La propiedad universal del producto directo∏

i Mi afirma que, en la cate-gorıa de A-modulos, el funtor

F (N) =∏

i HomA(N,Mi)

esta representado por(∏

i Mi , (πj)), donde los morfismos πj :

∏i Mi → Mj

son las proyecciones canonicas.

6. La propiedad universal del producto tensorial de modulos M ⊗A N afirmaque, en la categorıa de A-modulos, el funtor F (P ) = Bil(M, N ; P ) estarepresentado por (M⊗A N,⊗), donde ⊗ : M×N → M⊗A N es la aplicacionbilineal canonica.

7. La propiedad universal del cambio de base MB afirma que, en la categorıa deB-modulos, el funtor F (N) = HomA(M, N) esta representado por la pareja(MB , j) donde j : M → MB es el morfismo de cambio de base: j(m) = m⊗1 .

8. La propiedad universal del producto tensorial de algebras A⊗k B afirma que,en la categorıa de k-algebras, el funtor

F (C) = Homk-alg(A,C)×Homk-alg(B,C)

esta representado por la pareja(A⊗k B , (j1, j2)

), donde j1 : A → A⊗k B y

j2 : B → A⊗k B son los morfismos canonicos: j1(a) = a⊗ 1, j2(b) = 1⊗ b .

9. La propiedad universal del cambio de base AK afirma que, en la categorıa deK-algebras, el funtor F (B) = Homk-alg(A,B) esta representado por la pareja(AK , j), donde j : A → AK es el morfismo de cambio de base: j(a) = a⊗ 1 .

10. La propiedad universal de la localizacion de modulos afirma que, en la catego-rıa de S−1A-modulos, el funtor F (N) = HomA(M, N) esta representado porla pareja (S−1M, γ), donde γ : M → S−1M es el morfismo de localizacion:γ(m) = m/1 .

190 EPILOGO

11. Sea X un conjunto. En la categorıa de A-modulos, el funtor F (M) = MX

esta representado por(A(X), ι

), donde ι : X → A(X) es la identificacion

canonica de X con una base del A-modulo libre A(X) .

12. Sea E un espacio normado. En la categorıa de espacios normados completos,el funtor F (V ) = Aplicaciones lineales E → V continuas esta representa-do por la pareja (E, j), donde j : E → E es la aplicacion canonica de E ensu completacion.

13. Sea A → B un morfismo de anillos. La propiedad universal del modulode diferenciales ΩB/A afirma que, en la categorıa de B-modulos, el funtorcovariante F (M) = DerA(B, M) esta representado por la pareja (ΩB/A, d).

Vemos ası que las propiedades universales nos dicen cuales son los funtoresde puntos de las diversas construcciones que realizamos. En cualquier rama delas matematicas es crucial determinar los puntos de las estructuras involucradas,entendiendo los morfismos T → X como familias de puntos de X parametrizadaspor T . Esta comprension del concepto de punto es una de las mas decisivasaportaciones de Grothendieck (n. 1928), ya que tiene significado en las categorıasarbitrarias y permite iniciar un enfoque geometrico de cualquier categorıa, cul-minando el sueno de Kronecker (1823-1891) – la unificacion de la geometrıa y laaritmetica – con una comprension geometrica de todas las matematicas.

¡Cuanto cambiarıa nuestra vida si se vieraque la geometrıa griega y la fe cristianahan brotado de la misma fuente!

Simone Weil (1909-1943)

Parte II

Ejemplos y Ejercicios

191

Ejemplos y Ejercicios

Relaciones de Equivalencia(*) Estudiemos la divisibilidad por 9 del numero m = 19941996 + 1994.

1994 es congruente con 5 modulo 9, porque 1994 = 221 · 9 + 5, ası que

m ≡ 51996 + 5 (mod. 9)

Para calcular 51996 modulo 9 efectuamos potencias sucesivas de 5:

52 = 25 ≡ −2 (mod. 9)

53 ≡ −2 · 5 ≡ −1 (mod. 9)

56 ≡ (−1)2 = 1 (mod.9)

Por tanto, al ser 1996 ≡ 4 (modulo 6), se sigue que

51996 = 56 · · · 56 · 54 ≡ 54 ≡ −5 (mod.9)

y concluimos que m ≡ −5 + 5 = 0 (mod. 9). Luego m es multiplo de 9.

(*) La finitud de las clases de restos modulo un numero natural no nulo n permiteprobar la imposibilidad de resolver muchas ecuaciones diofanticas. Por ejemplo, sila ecuacion 2x2 − 5y2 = 11 tuviera alguna solucion entera, entonces

2x2 ≡ 1 (mod. 5)

Considerando, modulo 5, todos los casos posibles x ≡ 0, 1, 2, 3, 4 comprobamosque x2 ≡ 0, 1, 4 y que 2x2 ≡ 0, 2, 3. Se sigue que la congruencia 2x2 ≡ 1 (mod. 5)carece de soluciones enteras y, por tanto, tambien la ecuacion 2x2 − 5y2 = 11.

(*) Sea p(x) = xn + c1xn−1 + . . . + cn un polinomio con coeficientes complejos.

Para aumentar las raıces en una constante a ∈ C, formamos el polinomio p(x−a) .Para multiplicar las raıces por un factor no nulo a ∈ C, formamos el polinomio

xn + c1axn−1 + c2a2xn−2 . . . + cnan = anp

(x

a

)

Para cambiar de signo las raıces, formamos el polinomio

(−1)nxn + . . .− cn−1x + cn = p(−x)

Para invertir las raıces, formamos el polinomio

cnxn + cn−1xn−1 + . . . + c1x + 1 = xnp

(1x

)

194 EJEMPLOS Y EJERCICIOS

(*) Raıces Cubicas de la Unidad:Como x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1), las raıces cubicas complejas de la unidad

distintas de 1 son las raıces complejas del polinomio x2 + x + 1, que son 12 ±

√3

2 i.La parte imaginaria de e

2πi3 es positiva y la de e

4πi3 es negativa, ası que las

raıces cubicas complejas de la unidad son

1 , e2πi3 =

12

+√

32

i , e4πi3 =

12−√

32

i

La parte real de dos raıces es 1/2, ası que el lado del triangulo equilateroinscrito en un cırculo es la cuerda perpendicular al radio en su punto medio.

Raıces Cuartas de la Unidad:Como x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 − 1), las raıces cuartas

complejas de la unidad son:

1 , eπi2 = i , eπi = −1 , e

3πi2 = −i .

Raıces Quintas de la Unidad:Sea x = e

2πi5 = cos 2π

5 + isen 2π5 . Vamos a calcular y := x + x−1 = x + x =

2 cos 2π5 . Como x5 = 1 y x 6= 1, tenemos que

0 = x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

0 = x4 + x3 + x2 + x + 1

0 = (y2 − 2) + y + 1 = y2 + y − 1

porque y = x + x−1, y2 = x2 + x−2 + 2. Se sigue que y = −1±√52 . Ahora bien, al

ser y positivo, concluimos que cos 2π5 =

√5−14 . Luego

e2πi5 =

√5− 14

+ i

√1−

(√5−14

)2

e8πi5 =

√5− 14

− i

√1−

(√5−14

)2

Las otras dos raıces e2πi5 2 y e

2πi5 3 pueden hallarse observando que el razon-

amiento anterior tambien prueba que 2 cos 4π5 = −

√5+12 , de modo que

e4πi5 = −

√5 + 14

+ i

√1−

(√5+14

)2

e6πi5 =

√5 + 14

− i

√1−

(√5+14

)2

RELACIONES DE EQUIVALENCIA 195

Raıces Sextas de la Unidad:Como x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1), las raıces sextas complejas de la unidad

son las tres raıces cubicas junto con las raıces complejas del polinomio x3 + 1 =(x + 1)(x2 − x + 1), que son x = −1 y x = 1

2 ±√

32 i. Por tanto, las raıces sextas

de la unidad son

1, eπi3 = 1

2 +√

32 i, e

2πi3 = − 1

2 +√

32 i, eπi = −1, e

4πi3 = − 1

2 −√

32 i, e

5πi3 = 1

2 −√

32 i

y vemos que, dado un cırculo, los extremos de un diametro junto con los de lascuerdas perpendiculares a sus dos radios en los puntos medios, son los vertices deun hexagono regular inscrito en el cırculo dado.

(*) Raıces Primitivas de la Unidad:

1. e2πin y e

2πin (n−1) = e

−2πin son raıces n-esimas de la unidad primitivas.

2. Las raıces quintas de la unidad primitivas son e2πi5 , e

4πi5 , e

6πi5 y e

8πi5 .

3. Las raıces sextas de la unidad primitivas son e2πi6 y e

−2πi6 = e

10πi6 .

4. e2πi3 e

2πi5 = e

16πi15 es una raız decimoquinta de la unidad primitiva.

(*) Logaritmo Neperiano:Si u, z son numeros complejos, pondremos u = ln z cuando z = eu, y diremos

que u es el logaritmo neperiano de z, en honor de J. Neper (1550-1617). Comoez = 1 cuando z es multiplo entero de 2πi, el logaritmo neperiano esta bien definidosalvo la adicion de un multiplo entero de 2πi.

La exponencial ea+bi nunca es nula, pues su modulo es ea 6= 0, ası que el 0no admite logaritmo neperiano. Si z = ρeiθ es un numero complejo no nulo demodulo ρ y argumento θ, entonces

z = ρeiθ = eln ρeiθ = eln ρ+iθ

ln z = ln ρ + (θ + 2kπ)i

Vemos ası que todo numero complejo no nulo z admite infinitos logaritmos nepe-rianos. Ahora las potencias zw, donde w ∈ C, pueden definirse a traves de laexponencial compleja:

zw := (eln z)w := ew ln z .

Ejercicios:

1. Sea n = 19931993 + 1994 · 1995. ¿Es n multiplo de 13? ¿Que resto da aldividir n por 7? ¿y al dividir n por 12?

Hallar la ultima cifra decimal del numero n3.


2. Si a ≡ c , b ≡ d (mod. n), ¿se sigue necesariamente que ab ≡ cd (mod. n)?

3. Si n = c0 + c110+ c2102 + . . .+ cr10r, 0 ≤ ci ≤ 9, es la expresion en notaciondecimal de un numero natural n, probar que

n ≡ c0 modulo 2, 5 y 10n ≡ c0 + c110 modulo 4

n ≡ c0 + c110 + c2102 modulo 8n ≡ c0 + c1 + . . . + cr modulo 3 y 9n ≡ c0 − c1 + c2 − . . . + (−1)rcr modulo 11n ≡ c0 + 3c1 + 2c2 − c3 − 3c4 − 2c5 + c6 + 3c7 + 2c8 − . . . modulo 7

Usar estas congruencias para dar criterios de divisibilidad por los numeros2, 3, 4, . . . , 11 y 12.

4. Probar que 10a + b es multiplo de 13 si, y solo si lo es a + 4b; y que 10a + bes multiplo de 7 precisamente cuando lo sea a − 2b. Usar estos criterios dedivisibilidad para ver si el numero 27824342 es multiplo de 7 y de 13.

5. Determinar los numeros naturales n tales que 2n + 1 sea multiplo de 3.

Determinar los numeros naturales n tales que 2n − 1 sea multiplo de 7.

6. Dar ejemplos de relaciones que verifiquen dos de las propiedades reflexiva,simetrica y transitiva; pero no la tercera.

7. Averiguar si las siguientes relaciones son de equivalencia:

X = Z× Z, (x, y) ≡ (x′, y′) ⇔ x′ − x e y′ − y son numeros imparesX = N× N, (x, y) ≡ (x′, y′) ⇔ x′ = cx, y′ = cy para algun c ∈ NX = Z× N, (x, y) ≡ (x′, y′) ⇔ x′ = x

X = N× N, (x, y) ≡ (x′, y′) ⇔ x′ + y′ = x + y

8. ¿Cuantas relaciones de equivalencia diferentes hay en un conjunto con 2elementos? ¿y con 3 elementos?

9. Probar que ningun numero natural congruente con 2 o 3 modulo 4 es uncuadrado perfecto.

10. Demostrar que la suma de los cuadrados de 4 numeros naturales consecutivosnunca es un cuadrado perfecto.

11. Hallar el resto de la division de (116 + 117117)121 por 8, y de la division de14256 por 17.


12. ¿Es siempre n3 + 11n multiplo de 6? ¿Es siempre 3n5 + 5n3 + 7n multiplode 15?

13. Si un cuadrado perfecto es suma de dos cuadrados perfectos, a2 + b2 = c2,demostrar que a o b es multiplo de 3.

14. Averiguar si alguno de los numeros 11, 111, 1111, . . . es un cuadrado perfecto.

15. Demostrar que ningun numero de la forma 3 + 4n, n ∈ N, es suma de doscuadrados perfectos.

Probar que ningun numero de la forma 7 + 8n, n ∈ N, es suma de trescuadrados perfectos.

16. Si 2, p2, . . . , pn son los n primeros numeros primos, demostrar que su pro-ducto 2p2 · . . . · pn + 1 no es un cuadrado perfecto.

17. Demostrar que las siguientes ecuaciones no tienen soluciones enteras:

x2 − 13y2 = 275 x2 + y2 + z2 = 8t + 7 x2 + y2 − 4z = 3x2 − y2 + 4z = 2 x2 − 3yn = 2 x2 − 17y = 855

y averiguar si las siguientes ecuaciones tienen alguna solucion entera:

3x2 + 2 = y2 7x3 + y3 = 5 3x2 − 7y2 = 2x3 − 3y2 = −11 x2 + 2y2 + 3 = 8z 11x2 − 9y2 = 62x3 − 7y3 = 3 x2 + y2 + 1 = 4z 3x2 − 14y2 = 4

x2 + y2 + 3 = 4z 4x2 + 3 = 5y2 x2 + 21xy + 14y2 = 3

18. Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para que un numero naturaln sea suma de tres cuadrados perfectos es que lo sea 4n.

19. Demostrar que si la ecuacion x3 + y3 = z3 tuviera alguna solucion entera,entonces x, y o z serıa multiplo de 7.

20. Hallar las raıces cuadradas de −4, −2, 3i, −4i, 1+ i, −2+3i, −2− i y 2−3i.(Indicacion: Resolver la correspondiente ecuacion (x + yi)2 = a + bi).

21. Hallar las raıces cuartas de 1, i, −1, −i, 1 + i y −2 + i. Expresarlas conradicales reales.

22. Hallar las raıces cubicas de 1, i, −1 y −i. Expresarlas con radicales reales.

23. Si un numero complejo z de modulo 1 no es real, probar que su argumentoduplica al de z + |z|, y que

√z = ± 1 + z

|1 + z|


24. Si z es un numero complejo no nulo, probar que el argumento de z−1 coincidecon el de z y es el opuesto del argumento de z. Concluir que z/z tiene modulo1 y su argumento es el doble del argumento de z.

25. Sean x, y ∈ Q. Probar que x2 + y2 = 1 si y solo si existen a, b ∈ Q tales que

x + yi =a + bi

a− bi

Hallar infinitas soluciones racionales de la ecuacion x2 + y2 = 1. A partir deellas, obtener infinitas soluciones enteras de la ecuacion x2 + y2 = z2.

26. ¿Cuantos angulos hay cuyo seno y coseno sean numeros racionales?

27. Si z ∈ C, demostrar que z + z es un numero real acotado por 2|z|. Concluirque |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

28. Determinar la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:

ii , ln(−1) , 2i , ln i .

29. Probar que la suma de todas las raıces n-esimas de la unidad complejas es 0y su producto es (−1)n+1.

30. Si u y v son raıces n-esimas de la unidad complejas, probar que tambien loson uv, u−1 y u.

31. Calcular sen (π/n) + sen (2π/n) + sen (3π/n) + . . . + sen ((n− 1)π/n)

Calcular cos(π/11) + cos(3π/11) + cos(5π/11) + cos(7π/11) + cos(9π/11).

32. Expresar con radicales cuadraticos las raıces n-esimas de la unidad complejascuando n = 8, 10 y 12.

33. ¿Es cierto que toda potencia de e2πi/n con exponente entero coincide conalguna potencia de exponente natural?

34. Si u es una raız n-esima de la unidad primitiva, probar que su inverso u−1 ysu conjugado u tambien son raıces n-esimas de la unidad primitivas.

35. Hallar las raıces n-esimas de la unidad primitivas cuando n = 9, 10 y 12.

36. ¿Existe algun numero complejo z de modulo 1 tal que zn 6= 1 para todoexponente natural n ≥ 1 ?

37. Determinar si las siguientes construcciones de polıgonos regulares son exactasy, en caso negativo, acotar el error relativo que se comete.


(a) Dado un cırculo, la cuerda perpendicular a un radio por su punto medioes el lado del triangulo equilatero inscrito en el cırculo dado.

(b) Dado un cırculo, se divide un diametro AB en 5 partes iguales. Concentro en cada extremo de AB se traza el circulo que pasa por el otroextremo. Se traza la recta que une un punto de corte C con la segundadivision del diametro AB. Esta recta corta al cırculo dado en un puntoD tal que la longitud del segmento AD es el lado del pentagono regularinscrito en el cırculo dado.

(c) El lado del hexagono regular inscrito en un cırculo es la cuerda delongitud igual al radio.

(d) Dado un cırculo, con centro en el punto medio de un radio se trazaun cırculo pasando por un extremo A del diametro perpendicular, quecorta al diametro inicial en un punto B. La longitud del segmento ABes el lado del pentagono regular inscrito en el cırculo dado. La longituddel segmento que une B con el centro del cırculo dado es el lado deldecagono regular inscrito.

(e) El lado del heptagono regular inscrito en un cırculo dado es la mitaddel lado del triangulo equilatero inscrito.

(f) Dado un cırculo con centro O, se trazan dos diametros perpendicularesAB y JK. El cırculo con centro K que pasa por O corta al cırculodado en un punto L. Con centro en J se traza el cırculo que pasa porL, que cortara a la prolongacion del diametro AB en un punto M . Elcırculo con centro M y radio MJ corta al diametro AB en un puntoN tal que AN es el lado del polıgono regular de 9 lados inscrito en elcırculo dado.

(g) Dado un cırculo, se traza el lado AB de un pentagono regular inscritoy a continuacion el lado BC de un triangulo equilatero inscrito. Elcırculo con centro C y radio CA corta al cırculo dado en otro puntoA′ tal que AA′ es el lado del polıgono regular de 15 lados inscrito en elcırculo dado.Igualmente la cuerda que pasa por C y es perpendicular al diametroque pasa por A es el lado del polıgono regular de 15 lados inscrito en elcırculo dado.


Grupos

(*) Grupos:

1. (Q,+), (R,+) y (C,+) son grupos conmutativos.

2. El conjunto R+ de los numeros reales positivos con el producto es un grupoconmutativo. Tambien lo es el conjunto 1,−1 con el producto.

3. Los numeros complejos no nulos, con el producto de numeros complejos,forman un grupo conmutativo.

4. Si (G, ·) y (G′, ) son dos grupos, su producto directo G×G′, con la operacion(a, a′) ∗ (b, b′) = (a · b, a′ b′) es un grupo, que es conmutativo si y solo si Gy G′ son conmutativos.

5. Si un grupo solo tiene un elemento, es el neutro, por lo que tal grupo se denota1 o 0, segun que la operacion se denote multiplicativamente o aditivamente.

(*) Grupos simetricos:Sea σ : X → Y una aplicacion biyectiva. Si y ∈ Y , existe un unico elemento

x ∈ X tal que y = σ(x), elemento que denotaremos σ−1(x). Obtenemos asıuna aplicacion σ−1 : Y → X que tambien es biyectiva y verifica que σ−1 σ esla identidad de X y σ σ−1 es la identidad de Y . Por tanto, el conjunto detodas las biyecciones de un conjunto no vacıo X en sı mismo, con la composicionde aplicaciones, es un grupo cuyo elemento neutro es la identidad de X. Estegrupo solo es conmutativo cuando X tiene 1 o 2 elementos. Cuando X tieneun numero finito n de elementos, este grupo se denota Sn y se llama gruposimetrico n-esimo. Sus elementos tambien reciben el nombre de permutacionesde n elementos. Supondremos siempre que n ≥ 2. Numerando los elementos de Xpodemos suponer que X = 1, 2, . . . , n, ası que una permutacion σ ∈ Sn puededenotarse de la siguiente forma:

(1 2 . . . na1 a2 . . . an

)

donde ai = σ(i). Con esta notacion es evidente que el orden del grupo simetricoSn es el factorial n · (n− 1) · · · 2 · 1 = n! .

Tambien es muy usual la siguiente notacion: si a1, . . . , ad son numeros distintosentre 1 y n, denotaremos (a1 . . . ad) la permutacion que transforma ai en ai+1

(entendiendo que ad+1 es a1) y deja fijos los restantes elementos. Esta notacion escomoda, pero tiene el inconveniente de que es ambigua, pues (2135) denota tantoun elemento del grupo S5 como de los grupos Sn con cualquier n ≥ 6. Ademas,(2135) es la misma permutacion que (1352), (3521) y (5213).

GRUPOS 201

(*) Subgrupos:

1. Todo grupo G admite los subgrupos 1 y G, llamados subgrupos triviales.

2. Sea a un numero entero. El conjunto aZ = ab : b ∈ Z, formado por todoslos multiplos de a, es un subgrupo de Z.

3. Z, Q y R son subgrupos del grupo aditivo de los numeros complejos.

4. Los numeros racionales no nulos, los numeros reales positivos y las raıces n-esimas de la unidad son subgrupos del grupo multiplicativo de los numeroscomplejos no nulos.

5. Las permutaciones σ de n puntos dados en un plano que conserven distancias(es decir, tales que la distancia entre P y Q coincida con la distancia entreσP y σQ) forman un subgrupo de Sn, llamado grupo de simetrıa de lafigura dada.

Ası, el grupo de simetrıa de un triangulo equilatero de vertices P1, P2, P3 esclaramente S3. Si el triangulo es isosceles y P1 es el vertice comun de losdos lados iguales, el grupo de simetrıa es Id, (23), mientras que el grupode simetrıa se reduce a la identidad cuando el triangulo es escaleno.

6. Si en un conjunto X tenemos una estructura definida por ciertas relacionesentre elementos de X, las biyecciones X → X que conserven tales relacionesformaran siempre un subgrupo del grupo de todas las biyecciones de X enX. Tal grupo exhibe las simetrıas de la estructura de X y su determinacionforma parte esencial del estudio de la estructura en cuestion. En el estudiode cualquier estructura (matematica, fısica, musical,...) subyace siempre ungrupo: el grupo de todos los automorfismos o simetrıas de tal estructura.

7. Sean α1, . . . , αn todas las raıces complejas de un polinomio p(x) con coe-ficientes racionales. Las permutaciones σ ∈ Sn que conserven todas lasrelaciones algebraicas que existan entre α1, . . . , αn (es decir, si r(x1, . . . , xn)es un polinomio con coeficientes racionales y r(α1, . . . , αn) = 0, entoncesr(ασ(1), . . . , ασ(n)) = 0) forman un subgrupo de Sn, llamado grupo deGalois del polinomio p(x). La teorıa de Galois (1811-1832) mostrara comomuchas propiedades de p(x) dependen de la estructura de su grupo de Galois.

(*) Ecuaciones Diofanticas Lineales:Las ecuaciones con coeficientes enteros se llaman diofanticas, en honor del

matematico griego Diofanto de Alejandrıa (200?-284? a. de Cristo), cuando sebuscan soluciones enteras.

Dados numeros enteros a, b, c, el algoritmo de Euclides (325?-265? a. de Cristo)permite hallar todas las soluciones enteras de la ecuacion diofantica

ax + by = c .


Sea d = m.c.d.(a, b). La proposicion 2.2.3 afirma que la condicion necesaria ysuficiente para que la ecuacion tenga solucion entera es que d divida a c.

Supongamos que a, b 6= 0 y que la ecuacion tiene alguna solucion entera (esdecir, c = dc′ para algun c′ ∈ Z). Si d = αa + βb, entonces x0 = αc′, y0 = βc′ esuna solucion particular de la ecuacion considerada. Todas las soluciones enterasson

x = x0 + (b/d)ny = y0 − (a/d)n

donde n recorre todos los numeros enteros. En efecto, por sustitucion directa secomprueba que son soluciones y, para cualquier otra solucion x, y se tiene

0 = c− c = (ax + by)− (ax0 + by0) = a(x− x0) + b(y − y0)

luego a(x− x0) = −b(y − y0) y (a/d)(x− x0) = −(b/d)(y − y0). De 2.2.6 se sigueque b/d divide a x − x0. Es decir, x − x0 = (b/d)n para algun n ∈ Z, ası quey − y0 = −(a/d)n.

Como ejemplo vamos a resolver la ecuacion diofantica 2000x− 266y = −4 .Primero hallamos el maximo comun divisor de 2000 y 266:

2000 = 8 · 266− 128266 = 2 · 128 + 10128 = 13 · 10− 210 = 5 · 2

y obtenemos que es 2. Como 2 divide a –4, la ecuacion dada tiene solucionesenteras. Para calcular una solucion particular descomponemos 2 en suma de unmultiplo de 2000 y un multiplo de 266:

2 = 13 · 10− 128 = 13(266− 2 · 128)− 128 = −27 · 128 + 13 · 266= −27(8 · 266− 2000) + 13 · 266 = −203 · 266 + 27 · 2000

−4 = (−2) · 2 = (−54) · 2000− (−406) · 266

ası que una solucion es x0 = −54, y0 = −406. Por tanto, todas las soluciones enZ de la ecuacion dada son

x = 133n− 54y = 1000n− 406

(*) Sea n un numero natural. Para determinar todas las soluciones enteras de unacongruencia

ax ≡ b (mod. n) a, b ∈ Z

GRUPOS 203

basta resolver la ecuacion diofantica lineal ax + ny = b y considerar los posiblesvalores de la indeterminada x. Ahora, para resolver un sistema de congruencias

a1x ≡ b1 (mod. n1)a2x ≡ b2 (mod. n2)

se calculan todas las soluciones enteras x = c + dt de la primera congruencia(caso de que admita alguna solucion) y sustituyendo en la segunda se obtiene unacongruencia a2dt ≡ b2 − a2c (mod n2) que se resuelve a su vez.

(*) Morfismos de Grupos:

1. Si H es un subgrupo de un grupo G, la inclusion i : H → G, i(a) = a, es unmorfismo de grupos inyectivo y su imagen es H.

2. Si G es un grupo, existe un unico morfismo de grupos 1 → G, que es inyectivo,y un unico morfismo de grupos G → 1, que es epiyectivo.

3. Sean a, b ∈ Z. La aplicacion f : Z2 → Z, f(x, y) = ax + by, es un morfismode grupos. Su imagen esta formada por todos los numeros enteros c talesque la ecuacion ax + by = c tiene alguna solucion entera, y su nucleo estaformado por las soluciones enteras de la ecuacion ax + by = 0. En general,cada matriz (aij), de m filas y n columnas con coeficientes enteros, defineuna aplicacion

f : Zn −→ Zm

f(x1, . . . , xn) = (∑

j a1jxj , . . . ,∑

j amjxj)

que es un morfismo de grupos. El nucleo de f esta formado por todas lassoluciones enteras del sistema homogeneo de ecuaciones lineales

n∑j=1

aijxj = 0 , i = 1, . . . , m

y la imagen de f esta formada por las sucesiones (b1, . . . , bm) de numerosenteros tales que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene algunasolucion entera:

n∑j=1

aijxj = bi , i = 1, . . . ,m

Las afirmaciones siguen siendo validas si Z se reemplaza por Q, R o C.

4. Sea C∗ el grupo de los numeros complejos no nulos con el producto. Laaplicacion eit : R→ C∗, eit = cos t+ i sen t, es un morfismo de grupos porqueei(t+s) = eiteis. Su imagen son los numeros complejos de modulo 1 y sunucleo esta formado por las soluciones de la ecuacion eit = 1, que son losmultiplos enteros de 2π.


5. El logaritmo neperiano ln: (R+, ·) → (R, +) es un isomorfismo de grupos yel isomorfismo inverso es la funcion exponencial et : (R,+) → (R+, ·) .

6. Sea G un grupo. El conjunto Aut(G) de todos los automorfismos de G, conla composicion de aplicaciones, es un grupo. Cada elemento a ∈ G defineuna aplicacion τa : G → G, τa(x) = axa−1, que es un automorfismo de G.Obtenemos ası una aplicacion τ : G → Aut(G), a 7→ τa, que es morfismo degrupos.

7. Si G y G′ son dos grupos, las proyecciones G × G′ → G y G × G′ → G′

son morfismos de grupos. Tambien lo es la aplicacion i : G → G × G′,i(g) = (g, 1) .

(*) Si m.c.d.(m,n)=1, el Teorema chino de los restos muestra que, para cada parde numeros enteros b, c, el sistema de congruencias

x ≡ b (mod. n)x ≡ c (mod. m)

siempre tiene alguna solucion entera, y esta es unica modulo nm: tal sistema decongruencias tiene una unica solucion 0 ≤ x < nm.

(*) Grupos Cıclicos:

1. El grupo Z es cıclico y sus generadores son 1 y –1.

2. Si G es un grupo finito de orden n, la condicion necesaria y suficiente paraque sea cıclico es que tenga algun elemento de orden n. En tal caso, susgeneradores son precisamente los elementos de orden n.

3. Si n ≥ 1, el grupo Z/nZ es cıclico, pues esta generado por [1]. De acuerdocon 2.5.3, el orden de [a]n en Z/nZ es el primer numero natural r 6= 0 talque ra sea multiplo de n; es decir, tal que ra = m.c.m.(a, n). Luego esn/d, donde d = m.c.d.(a, n). En particular, los generadores de Z/nZ sonlos elementos de la forma [a]n, donde a es primo con n. Luego Z/nZ tieneexactamente φ(n) generadores.

Ahora, de acuerdo con el teorema de clasificacion de grupos cıclicos, todogrupo cıclico finito G de orden n tiene exactamente φ(n) generadores. Masaun, si g es un generador de G, entonces gm es un generador de G precisa-mente cuando m.c.d.(m,n)=1.

4. Si g es un elemento de un grupo G, el subgrupo (g) siempre es cıclico, puesesta generado por g.

GRUPOS 205

5. Si G es un grupo finito de orden primo y g ∈ G, el teorema de Lagrangeimplica que (g) = 1 o (g) = G. Si g 6= 1, tenemos que (g) = G. Es decir,todo grupo finito de orden primo es cıclico y esta generado por cualquierelemento g 6= 1.

6. El grupo µn = z ∈ C: zn = 1 de las raıces n-esimas de la unidad, con elproducto de numeros complejos, esta generado por e

2πin , ası que es un grupo

cıclico de orden n. Sus generadores son las raıces n-esimas de la unidadprimitivas y hay φ(n) raıces n-esimas de la unidad primitivas. En general, siel orden de una raız n-esima de la unidad es d, entonces es una raız d-esimade la unidad primitiva, y el subgrupo que genera esta formado por todaslas raıces d-esimas de la unidad complejas. Como el orden de un elementosiempre divide al orden del grupo, tenemos que

µn =⋃

d|nraıces d-esimas de la unidad primitivas

y vemos ası que n =∑

d|n φ(d).

7. Los giros que dejan invariante un polıgono regular de n lados forman ungrupo cıclico de orden n.

8. Si un morfismo de grupos f : G → G′ es epiyectivo y g es un generador deG, entonces f(g) genera G′. Por tanto, todo cociente de un grupo cıclico Ges cıclico.

Ejercicios:

1. Determinar el grupo de simetrıa de los triangulos, el cuadrado, los rectan-gulos, los rombos, los trapecios y el pentagono regular.

2. Sean a, b, c elementos de un grupo G. Probar que ab = ac ⇒ b = c ,ab = a ⇒ b = 1 , ab = 1 ⇒ b = a−1. Demostrar ademas que (a−1)−1 = ay (ab)−1 = b−1a−1.

3. Sea G un grupo conmutativo. Si H1 y H2 son subgrupos de G, probar que

H1H2 := h1h2 : h1 ∈ H1, h2 ∈ H2es un subgrupo de G, y que es el menor subgrupo de G que contiene a H1 yH2. ¿Es cierto este resultado si se elimina la hipotesis de que G sea abeliano?(Indicacion: Considerar el grupo simetrico S3).

4. ¿Define la operacion x ∗ y = (x + y)/(1 + xy) una estructura de grupo sobrelos numeros reales mayores que −1 y menores que 1?


5. Sea H un subconjunto no vacıo de un grupo G. Probar que las siguientescondiciones son equivalentes:

(a) H es un subgrupo de G.

(b) xy−1 ∈ H para todo x, y ∈ H.

(c) xH = H para todo x ∈ H.

6. Sea H un subconjunto finito y no vacıo de un grupo G. Probar que Hes un subgrupo de G precisamente cuando x · y ∈ H para todo x, y ∈ H.(Indicacion: Si x ∈ H, considerar la aplicacion f : H → H , f(y) := xy).

7. Sean x, y dos elementos de un grupo G. Si x5 = 1, y4 = 1, xy = yx3, probarque x2y = yx, xy3 = y3x2.

8. Demostrar que ningun grupo puede ser la union de dos subgrupos maspequenos.

9. Sean p, n numeros naturales. Si p es primo y no divide a n, demostrar quen y pr son primos entre sı para todo r ≥ 1.

Si b,m, n ∈ Z, demostrar que b es primo con mn si y solo si es primo con my con n. Ademas, m + bn es primo con n si y solo si m es primo con n.

10. Diremos que un numero natural n es perfecto si coincide con la suma de susdivisores, incluyendo el 1 y excluyendo el propio n.

Si la suma de los terminos de la progresion geometrica 1, 2, 22, . . . , 2k es unnumero primo, demostrar que el producto de tal suma por el ultimo terminoes un numero perfecto par (Euclides, proposicion 36 del libro IX). Euler(1707-1783) demostro que todos los numeros perfectos pares son de estaforma; pero aun no se sabe si hay infinitos numeros perfectos ni si existennumeros perfectos impares. Los numeros primos que preceden a una potenciade 2 se llaman primos de Mersenne (1588-1648) y cada uno proporciona unnumero perfecto par.

11. Si 2n − 1 es un numero primo, demostrar que n es primo. Hallar 5 primosde Mersenne y 5 numeros perfectos.

(Indicacion: xd − 1 = (x− 1)(xd−1 + . . . + x + 1)).

12. Si 2n + 1 es un numero primo, demostrar que n es potencia de 2. Losnumeros primos precedidos por una potencia de 2 se llaman primos deFermat (1601-1665). Hallar 5 primos de Fermat.

(Indicacion: Cuando d es impar, xd + 1 = (x + 1)(xd−1 − . . .− x + 1)).

GRUPOS 207

13. Resolver las siguientes ecuaciones diofanticas:

154x + 110y = −22 23x− 17y = 2 66x− 54y = −18(x− 3y)(x− 2y) = 7 x2 − 3xy − 10y2 = −20 x2 − xy − 12y2 = 11

14. ¿Es racional la raız cuadrada de 3/2? ¿Existen numeros racionales no nulosa, b tales que a

√2 + b

√3 sea racional?

15. Probar que existen infinitos numeros primos de la forma 4n + 3.

(Indicacion: Modificar adecuadamente la demostracion de la existencia deinfinitos numeros primos).

16. Probar que si n4 + 64 es un numero primo, entonces n es multiplo de 5.

17. Determinar todos los subgrupos del grupo simetrico S3.

18. Hallar, salvo isomorfismos, todos los grupos con 1, 2 o 3 elementos.

19. Sea c un numero entero. Probar que la aplicacion f : Z→ Z, f(x) := cx, esun morfismo de grupos. Determinar su imagen y su nucleo. ¿Cuando es unisomorfismo?

20. Sea z un numero complejo. ¿Cuando es un isomorfismo de grupos la apli-cacion f : C→ C, f(x) = zx ?

21. Sea n un numero natural y sea C∗ el grupo multiplicativo de los numeroscomplejos no nulos. Probar que la aplicacion f : C∗ → C∗, f(z) := zr, esun morfismo de grupos. Determinar su nucleo y su imagen. Analogamentecuando n es entero. ¿Cuando es un isomorfismo de grupos?

22. Probar que la aplicacion eit : R→ C∗ es morfismo de grupos. Determinar suimagen y su nucleo.

23. Sea G un grupo y sea A un grupo conmutativo. Probar que el conjuntoHom(G,A) formado por los morfismos de grupos G → A tiene estructura degrupo con la operacion

(f · h)(x) = f(x) · h(x) , f, h ∈ Hom(G,A) , x ∈ G

¿Es siempre conmutativo este grupo?

24. Sea f : Q→ Q un morfismo de grupos. Demostrar la existencia de un uniconumero racional c tal que f(x) = cx para todo x ∈ Q.

(Indicacion: Tal numero c ha de ser f(1) necesariamente).

25. Probar que la condicion necesaria y suficiente para que un grupo G seaconmutativo es que su operacion G×G → G sea un morfismo de grupos.


26. Si H1, H2 son subgrupos de un grupo conmutativo G, probar que la apli-cacion f : H1 ×H2 → G, f(a, b) := ab, es un morfismo de grupos.

27. Sea G un grupo finito y sea

1 = G0 ⊂ G1 ⊂ G2 ⊂ . . . ⊂ Gn−1 ⊂ Gn = G

una sucesion creciente de subgrupos de G. Si ri denota el ındice de Gi−1 enGi, demostrar que |G| = r1r2 . . . rn .

28. Si G es un grupo, probar que Z(G) = a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G es unsubgrupo de G. ¿Es siempre Z(G) un subgrupo normal de G ?

29. Si H es un subgrupo de un grupo G, probar que

N(H) = a ∈ G : aHa−1 = H es un subgrupo de G que contiene a H. ¿Es siempre N(H) un subgruponormal de G? ¿Es siempre H un subgrupo normal de N(H)?

30. Determinar todos los subgrupos del grupo Z/nZ cuando n = 3, 4, 5, 6, 7.

31. Sea G un grupo. Demostrar que G/G = 1 y que G/1 es isomorfo a G.

32. Sea H un subgrupo normal de un grupo G. Probar que la condicion nece-saria y suficiente para que el grupo cociente G/H sea conmutativo es que Hcontenga todos los elementos de G de la forma aba−1b−1, donde a, b ∈ G.

33. Sea H un subgrupo de un grupo G. Demostrar que H es normal en G si ysolo si ab ∈ H ⇒ a−1b−1 ∈ H .

34. ¿Es cierto que la interseccion de dos subgrupos normales de un grupo Gsiempre es un subgrupo normal de G ?

35. Sea H un subgrupo de un grupo G. Si gHg−1 ⊆ H para todo g ∈ G, probarque gHg−1 = H para todo g ∈ G

36. Sean H y H ′ subgrupos de un grupo G. Si H es normal en G, ¿se siguenecesariamente que H ′ ∩H es un subgrupo normal de H ′? ¿y que H ′ ∩Hes un subgrupo normal de G ?

37. Sea f : G → G′ un morfismo de grupos. Si H ′ es un subgrupo normal deG′, ¿se sigue necesariamente que f−1(H ′) es un subgrupo normal de G ? SiH es un subgrupo normal de G, ¿se sigue necesariamente que f(H) es unsubgrupo normal de G′?

38. Sea H un subgrupo de un grupo G. Si en el conjunto cociente G/H existealguna estructura de grupo tal que la proyeccion canonica π : G → G/H seamorfismo de grupos, demostrar que H es un subgrupo normal de G.

GRUPOS 209

39. Determinar todos los subgrupos del grupo simetrico S3. ¿Cuales de estossubgrupos son normales?

40. Determinar todos los subgrupos del grupo Z/6Z y del grupo (Z/2Z)×(Z/2Z).

41. Sea φ : G → G′ un isomorfismo de grupos, H un subconjunto de G y H ′ =φ(H). Probar que H es un subgrupo normal de G precisamente cuando H ′

es un subgrupo normal de G′.

En tal caso, demostrar ademas que G/H y G′/H ′ son grupos isomorfos.

42. Sea G un grupo. Probar que el conjunto Aut(G) de los automorfismos de G,con la composicion de aplicaciones, es un grupo.

Si g ∈ G, probar que la aplicacion τg : G → G, τg(x) := gxg−1 es un auto-morfismo de G.

Probar que la aplicacion τ : G → Aut(G), τ(g) := τg, es un morfismo degrupos.

43. Sea C∗ el grupo multiplicativo de los numeros complejos no nulos y sea Uel subgrupo de C∗ formado por los numeros complejos de modulo 1. Probarque

R/Z ' U , C∗/U ' R+

donde R+ denota el grupo multiplicativo de los numeros reales positivos.(Indicacion: La aplicacion R→ C∗, t 7→ e2πit, es morfismo de grupos).

44. Sea µn := z ∈ C : zn = 1 el grupo multiplicativo de las raıces n-esimas dela unidad complejas. Probar que

C∗/µn ' C∗ , U/µn ' U

45. ¿Cuando esta bien definida la aplicacion f : Z/nZ→ Z/mZ, f([x]n) = [x]m?

46. Resolver las siguientes congruencias:

7x ≡ −5 (mod. 17) 6x ≡ 6 (mod. 14)94x ≡ −321 (mod. 997) 22x ≡ 33 (mod. 121)

47. Resolver los siguientes sistemas de congruencias:

x ≡ 3 (mod. 8)x ≡ −1 (mod. 9)

x ≡ 8 (mod. 50)x ≡ 3 (mod. 15)

x ≡ 2 (mod. 1000)x ≡ 14 (mod. 23)

48. Calcular el resto de la division de 51995 por 1000, por 72 y por 180.

49. Probar que la condicion necesaria y suficiente para que un grupo G seaconmutativo es que su operacion G×G → G sea un morfismo de grupos.


50. Sea a, b elementos de un grupo G. Demostrar que ord(a) = ord(bab−1) . ¿Escierto que siempre ord(ab) = ord(ba)?

51. Si todos los elementos de un grupo G, salvo el neutro, tienen orden 2, probarque G es conmutativo. Si ademas G es finito, entonces su orden es unapotencia de 2. (Indicacion: Proceder por induccion sobre el orden y usar elteorema de Lagrange).

52. (Clasificacion de grupos de orden 4 ) Demostrar que todo grupo de orden 4es isomorfo al grupo cıclico Z/4Z o al grupo V = (Z/2Z)× (Z/2Z) , llamadogrupo de Klein (1849-1925). Ademas estos dos grupos no son isomorfos.

53. Determinar si los grupos aditivos Z× Z, Q y R son cıclicos.

54. Sean G1 y G2 dos grupos cıclicos finitos. Probar que la condicion necesariay suficiente para que el grupo G1 × G2 sea cıclico es que los ordenes de G1

y G2 sean primos entre sı.

55. Determinar si los grupos (Z/2nZ)× (Z/3nZ) son cıclicos.

(Indicacion: Estudiar el orden de sus elementos).

56. Determinar que grupos simetricos Sn son cıclicos.

57. Sea G un grupo cıclico finito de orden n. Si d es un divisor de n, probar queexiste un unico subgrupo de G de orden d. Ademas tal subgrupo de G escıclico.

58. Determinar los automorfismos del grupo de las raıces n-esimas de la unidadcuando n = 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

59. Sea b un elemento de un grupo cıclico finito G de orden n y sea m un numeroentero no nulo. Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para queexista algun a ∈ G tal que b = am es que bn/d = 1, donde d = m.c.d.(n,m).

60. Sea H un subgrupo de Sn. Probar que todas las permutaciones σ ∈ H sonpares o la mitad son pares y la otra mitad impares.

61. Demostrar que todo subgrupo de ındice 2 es normal.

(Indicacion: Si g /∈ H, entonces gH y Hg coinciden con G−H).

62. Probar que A4 y V = id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) son los unicos sub-grupos normales no triviales de S4. Concluir que A4 no tiene subgrupos deorden 6 (el recıproco del teorema de Lagrange (1736-1813) es falso).

63. Si los unicos subgrupos de un grupo G 6= 1 son los triviales, 1 y G, entoncesG es un grupo finito y su orden es primo.

GRUPOS 211

64. Si un grupo solo tiene un numero finito de subgrupos, su orden es finito.

(Indicacion: Todo grupo es union de subgrupos cıclicos).

65. Si g es un elemento de orden r de un grupo G, determinar el orden de gm.

66. Sea G un grupo finito que tenga la propiedad de que para cada par desubgrupos H1, H2 se tiene H1 ⊆ H2 o H2 ⊆ H1. Probar que G es cıclico ysu orden es una potencia de un numero primo.

(Indicacion: G esta generado por un elemento de orden maximo.)

67. Sea ≡ una relacion de equivalencia en un grupo G. Si en el conjunto co-ciente G/ ≡ existe alguna estructura de grupo tal que la proyeccion canonicaπ : G → G/ ≡ sea morfismo de grupos, probar la existencia de un subgruponormal H de G tal que ≡ es la relacion de congruencia modulo H.

68. Calcular σ6991 cuando σ = (135)(26478). Calcular z1996 cuando z = e6πi11 .

Calcular A2001 cuando

A =

0 0 −1−1 0 00 1 0

69. Sea σ ∈ Sn y n ≥ 3. Demostrar que si στ = τσ para todo τ ∈ Sn, entoncesσ es la identidad.

70. ¿Esta generado Sn por las trasposiciones (1i), 2 ≤ i ≤ n? ¿y por las trasposi-ciones (i−1, i), 2 ≤ i ≤ n? ¿y por los ciclos (ijk) de orden 3? ¿y por el ciclo(12 . . . n) y la trasposicion (12)? ¿y por el ciclo (23 . . . n) y la trasposicion(12)?

71. Sea G un grupo conmutativo de orden n. Si r es un numero entero primocon n, demostrar que para cada a ∈ G, la ecuacion xr = a admite una unicasolucion en G.

(Indicacion: Considerar el morfismo de grupos f : G → G, f(x) := xr).

¿Y cuando G no es conmutativo? (Indicacion: La identidad de Bezout).


Anillos

(*) Anillos:

1. La suma y el producto usuales definen en Z, Q, R y C estructuras de anillo.El anillo Z es ıntegro, pero no es un cuerpo, mientras que Q, R y C sı soncuerpos. Ademas Z∗ = ±1, Q∗ = Q− 0, R∗ = R− 0 y C∗ = C− 0.

2. Los polinomios en una indeterminada x con coeficientes enteros, con la sumay el producto de polinomios, forman un anillo Z[x]. Analogamente si sesustituye Z por Q, R o C. Estos anillos son ıntegros, pero ninguno es uncuerpo. Ademas Z[x]∗ = ±1, Q[x]∗ = Q∗, R[x]∗ = R∗ y C [x]∗ = C∗.

3. Las fracciones racionales en una indeterminada x con coeficientes racionales,con la suma y el producto de fracciones, forman un cuerpo que denotaremosQ(x). Analogamente si se sustituye Q por R o C.

4. Si A y B son dos anillos, las operaciones (a, b) + (a, b) = (a + a, b + b) y(a, b) · (a, b) = (aa, bb) definen en A×B una estructura de anillo.

5. Si 1 = 0 en un anillo A, todo elemento de A es nulo: a = a · 1 = a · 0 = 0.Es decir, en todo anillo A 6= 0 se verifica que 1 6= 0.

(*) Subanillos:

1. Z es un subanillo de Q, que es un subanillo de R, que es un subanillo de C.

2. Los numeros complejos con parte real e imaginaria entera se llaman enterosde Gauss y forman un subanillo de C, que se denota Z[i ].

3. Z es un subanillo de Z[x]. Igualmente sustituyendo Z por Q, R o C.

4. Q[x] es un subanillo de Q(x). Igualmente sustituyendo Q por R o C.

5. Si α es un numero complejo, el conjunto Z[ α ] de todos los numeros complejosque sean sumas de productos de potencias de α por numeros enteros

Z[ α ] = a0 + a1α + . . . + arαr + . . . : a0, a1, . . . ∈ Z

es un subanillo de C y es el menor subanillo de C que contiene a Z y α. Elanillo de los enteros de Gauss (1777-1855) es precisamente Z[ i ].

6. Si A y B son anillos y B 6= 0, entonces A × 0 no es un subanillo de A × Bporque A× 0 no contiene a la unidad de A×B, que es el par (1,1).

ANILLOS 213

(*) La Ecuacion Diofantica x2 − dy2 = n :Si d ∈ Z es un cuadrado perfecto, d = a2, la ecuacion diofantica

(x + ay)(x− ay) = x2 − dy2 = n

se reduce a resolver los sistemas de ecuaciones diofanticas lineales x − ay = m,x + ay = n/m, donde m recorre los divisores de n.

Si d no es un cuadrado perfecto, x2 − dy2 no puede descomponerse en factorescon coeficientes enteros; pero sı admitiendo coeficientes en el anillo Z[

√d ]:

(x +√

d y)(x−√

d y) = x2 − d y2 = n

Ahora bien, Z + Z√

d = x + y√

d : x, y ∈ Z es un subanillo de C, pues es unsubgrupo respecto de la suma, contiene a la unidad y

(x + y√

d )(u + v√

d ) = (xu + dyv) + (xv + yu)√

d

Este subanillo de C contiene a Z y a√

d, y esta contenido en Z[√

d ], ası que

Z[√

d ] = Z+ Z√

d

Ademas, como√

d no es un numero racional, cada numero complejo z ∈ Z[√

d ]descompone de modo unico en la forma z = x + y

√d ; x, y ∈ Z, y llamaremos

norma de z = x + y√

d en el anillo Z[√

d ] al numero entero:

N(z) = (x + y√

d )(x− y√

d ) = x2 − d y2

(Si d es negativo, N(z) es el cuadrado del modulo del numero complejo z). Secomprueba directamente que N(z1z2) = N(z1)N(z2).

La condicion necesaria y suficiente para que una pareja de numeros enteros x, ysea solucion de la ecuacion dada x2 − d y2 = n es que x + y

√d tenga norma n en

Z[√

d ]; es decir, las soluciones enteras de la ecuacion x2−dy2 = n se correspondencon los elementos del anillo Z[

√d ] de norma n.

Por ejemplo, una solucion de la ecuacion diofantica x2−2y2 = −1 es x = y = 1.Por tanto la norma de z = 1 +

√2 en Z[

√2 ] es –1 y la norma de zr es (−1)r,

lo que nos permite hallar nuevas soluciones de la ecuacion dada y tambien de laecuacion diofantica x2 − 2y2 = 1:

z2 = 3 + 2√

2 , z4 = 17 + 12√

2 , z6 = 99 + 70√

2 , . . .

(3,2), (17,12), (99,70), ... son soluciones de x2 − 2y2 = 1

z3 = 7 + 5√

2 , z5 = 41 + 29√

2 , z7 = 239 + 169√

2 , . . .

(7,5), (41,29), (239,169), ... son soluciones de x2 − 2y2 = −1

y estas soluciones son diferentes entre sı porque zn 6= 1 para todo n 6= 0.


Ahora, conocida una solucion entera x = a, y = b de alguna ecuacion diofanticax2− 2y2 = n, n ∈ Z, podemos hallar nuevas soluciones multiplicando a + b

√2 por

potencias de z2 = 3 + 2√

2. vemos ası que la ecuacion x2 − 2y2 = n carecede soluciones enteras no nulas o tiene infinitas. Por ejemplo, una solucion de laecuacion x2 − 2y2 = 8 es x = 4, y = 2; ası que la norma de v = 4 + 2

√2 en Z[

√2 ]

es 8. Como la norma de z2 = 3 + 2√

2 es 1, concluimos que la norma de z2nv es 8para todo n ∈ Z, lo que proporciona nuevas soluciones:

z2v = 20 + 14√

2 , z4v = 116 + 82√

2 , z6v = 676 + 478√

2 , . . .

(20,14), (116,82), (676,478), ... son soluciones de x2 − 2y2 = 8

Estas observaciones no sirven para hallar una solucion, solo para calcular massoluciones cuando ya se conoce una. Si supieramos calcular los divisores zi de nen el anillo Z[

√d ], bastarıa resolver los sistemas de ecuaciones lineales

x +√

d y = zi , x−√

d y = n/zi

para hallar las posibles soluciones enteras de la ecuacion x2 − dy2 = n. Si eneste anillo fuera cierto que todo elemento descompone de modo unico, salvo elorden y factores invertibles, en producto de elementos irreducibles, los divisoresde un elemento serıan (salvo factores invertibles) los productos de los factoresirreducibles de su descomposicion; pero pocos de estos anillos tienen tal propiedad.No obstante, en los anillos pueden introducirse unos numeros ideales y sı es ciertoque en muchos de los anillos asociados a ecuaciones diofanticas cada ideal no nulodescompone, de modo unico salvo el orden, en producto de ideales primos. Estefue el origen historico de la teorıa de ideales desarrollada por Kummer (1810-1893)y Dedekind (1831-1916).

(*) Ideales:

1. Si A es un anillo, los subgrupos 0 y A son ideales de A, llamados idealestriviales.

2. Sea A un anillo. Si b ∈ A, sus multiplos forman un ideal de A que deno-taremos bA = ba : a ∈ A, o simplemente (b) cuando el anillo A se supone.Es el ideal de A mas pequeno que contiene a b y no debe confundirse con elsubgrupo de A generado por b, que en el capıtulo anterior tambien se denoto(b).

3. Todo ideal de Z es un subgrupo de Z, ası que, en virtud de 2.2.1, si a es unideal de Z, existe un unico numero natural n tal que a = nZ: Los ideales deZ se corresponden con los numeros naturales.

4. La condicion necesaria y suficiente para que un anillo A 6= 0 sea un cuerpoes que no tenga mas ideales que los triviales: 0 y A.

ANILLOS 215

5. Los polinomios con coeficientes racionales que admiten la raız√

2 forman unideal del anillo Q[x]. En general, dado un numero complejo α, los polinomioscon coeficientes racionales que admiten la raız α forman un ideal de Q[x].

6. Sea A un anillo. Si u ∈ A es invertible, entonces todo elemento de A esta enuA. Luego un elemento a ∈ A es invertible precisamente cuando aA = A.

7. En el anillo de polinomios Z[x] el ideal (x) es claramente primo; pero no esmaximal, porque esta contenido estrictamente en el ideal (2, x) 6= Z[x].

(*) Morfismos de Anillos:

1. Si B es un subanillo de A, la inclusion B → A es morfismo de anillos.

2. Si A es un anillo, existe un unico morfismo de anillos Z→ A, que transformacada numero natural n en la suma de n terminos iguales a la unidad 1 de Ay transforma −n en la suma de n terminos iguales a –1.

3. La conjugacion compleja τ : C→ C, τ(z) = z, es un automorfismo de C.

4. Si α ∈ C, la aplicacion Z[x] → C que asigna a cada polinomio p(x) su valoren α es un morfismo de anillos. Su nucleo esta formado por los polinomioscon coeficientes enteros que admiten la raız α, y su imagen es precisamenteel subanillo Z[α].

5. Si A y B son anillos, las proyecciones naturales de A × B en A y B sonmorfismos de anillos; pero las inclusiones A → A×B y B → A×B no.

6. Sea I = [a, b] un intervalo cerrado de R y sea C(I) el anillo de todas lasfunciones continuas de I en R. Si x0 ∈ I, la aplicacion C(I) → R que asignaa cada funcion su valor en x0 es un morfismo de anillos epiyectivo cuyo nucleoesta formado por las funciones continuas en I que se anulan en x0.

7. Si φ : I → I ′ es una aplicacion continua entre dos intervalos, entonces laaplicacion C(I ′) → C(I), f 7→ f φ, es morfismo de anillos.

(*) Segun el teorema 3.4.1, los unicos numeros racionales que pueden ser raıces delpolinomio p(x) = 6x4 + x3 + 11x2 + 2x− 2 son ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.Por comprobacion directa se obtiene que solo –1/2 y 1/3 son raıces de p(x), asıque estas son las unicas raıces racionales de p(x).

(*) Calculo de Raıces con Radicales:

Veamos como pueden expresarse con radicales las raıces de un polinomio concoeficientes complejos cuando el grado es ≤ 4 :


Ecuacion Cuadratica: ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.

Como 4a(ax2 + bx + c) = (2ax + b)2 − (b2 − 4ac), las unicas soluciones son

x =−b±√b2 − 4ac

2a

y b2 − 4ac recibe el nombre de discriminante, pues es 6= 0 precisamente cuando laecuacion considerada admita dos soluciones complejas distintas.

Ecuacion Cubica: x3 + c1x2 + c2x + c3 = 0.

Mediante el cambio de variable x = y − c1/3 se obtiene una ecuacion de laforma

(∗) y3 + py + q = 0

ası que las soluciones de la ecuacion inicial se obtienen restando c1/3 a las solu-ciones de (∗). Si p = 0, sus soluciones son las raıces cubicas de −q.

Si p 6= 0, con el cambio de variable y = z−(3z)−1p se transforma en la ecuacion

0 = z6 + qz3 − p3

27= u2 + qu− p3

27, u = z3

ası que cada raız α de z6 + qz3 − p3/27 da una solucion α − 3/pα de (∗). Con-siderando las tres raıces cubicas α, ωα, ω2α de una de las raıces del polinomiou2 + qu − p3/27 obtenemos tres soluciones de (∗). Si se consideran las raıcescubicas β, ωβ, ω2β de la otra raız de u2 + qu − p3/27 se obtienen las mismassoluciones de (∗), porque, eligiendo β de modo que αβ = p/3, es claro que β(respectivamente ωβ, ω2β) proporciona la misma solucion que α (respectivamenteω2α, ωα).

Ecuacion Cuartica: x4 + c1x3 + c2x

2 + c3x + c4 = 0.

Las soluciones de esta ecuacion son las abscisas de las soluciones del sistema

0 = y2 + c1xy + c2y + c3x + c4

y = x2

lo que reduce el problema al de la determinacion de los puntos de corte de dosconicas, cuestion que puede resolverse del siguiente modo:

Entre las conicas del haz (y2 + c1xy + c2y + c3x+ c4)+λ(x2−y) = 0, λ ∈ C, seelige una que este formada por un par de rectas (esto exige resolver una ecuacioncubica en λ); es decir, tal que su ecuacion sea (y − ax − b)(y − a′x − b′) = 0, loque significa que, considerada como polinomio en y con coeficientes en el cuerpoC(x), tenga en C(x) las raıces ax + b, a′x + b′. Cortando las rectas y = ax + b,y = a′x + b′ con una conica cualquiera del haz (por ejemplo con la conica y = x2)

ANILLOS 217

se obtienen los puntos de corte de las dos conicas consideradas, y sus abscisas sonlas soluciones de la cuartica dada.

(*) Vamos a calcular, con el metodo anterior, las soluciones complejas de laecuacion x4 + x + 2 = 0, que son las abscisas de las soluciones del sistema y = x2,y2 + x + 2 = 0:

y2 + x + 2 + λ(y − x2) = y2 + λy + (−λx2 + x + 2) = 0

y = −λ+√

λ2+4(λx2−x−2)

2

y la condicion de que estas raıces sean polinomios de grado 1 en x significa que4λx2 − 4x + λ2 − 8 debe ser el cuadrado de algun polinomio de grado 1; es decir,su discriminante ha de ser nulo:

0 = 16− 16λ(λ2 − 8) = λ3 − 8λ− 1

Si α ∈ C es solucion de esta ecuacion, entonces 4αx2 − 4x + α2 − 8 = (cx + d)2.Igualando coeficientes se sigue que c = 2

√α, d = −1/

√α; es decir, las soluciones

se obtienen cortando la conica y = x2 con las dos rectas

y =−α± 2

√αx∓ 1√

α

2

Las soluciones son las raıces de los dos polinomios 2x2 ∓ 2√

αx + α ± 1/√

α, queson los 4 numeros complejos

x =±√α±

√−α∓ 2√

α

2

(*) Congruencias:

1. El anillo Z/4Z no es ıntegro, porque [2] · [2] = 0 y [2] 6= 0. En general, si unnumero natural n ≥ 4 no es primo, el anillo Z/nZ no es ıntegro. Por otraparte, si p es un numero primo, el anillo Z/pZ es un cuerpo (luego ıntegro).

2. Consideremos la posibilidad de descomponer un numero natural dado n ensuma de dos potencias cuartas de numeros enteros: x4 + y4 = n.

Si reducimos esta ecuacion modulo 5, al ser x4 = 1 para todo elemento nonulo x del anillo Z/5Z, se sigue que la ecuacion reducida no tiene solucionesen Z/5Z cuando n = 3 o n = 4. Es decir, la ecuacion inicial no tienesoluciones enteras cuando n es congruente con 3 o 4 modulo 5. Ademas,cuando n = 0, la unica solucion en Z/5Z de la ecuacion reducida es x = 0,y = 0; de modo que si a, b es una solucion entera de la ecuacion inicial y nes un multiplo de 5, tambien a y b son multiplos de 5: si un multiplo de 5es suma de dos potencias cuartas, necesariamente es multiplo de 54 = 625.


(*) Consideremos el morfismo de anillos f : R[x] → C que a cada polinomio concoeficientes reales p(x) le asigna el numero complejo p(i). Este morfismo es epiyec-tivo, pues cada numero complejo a + bi proviene del polinomio a + bx, y su nucleoesta formado por los polinomios que admiten la raız x = i. Ahora bien, si unpolinomio con coeficientes reales tiene la raız i, tambien tiene la raız −i y ha deser multiplo de (x − i)(x + i) = x2 + 1. En resumen, el nucleo de f es el ideal(x2 + 1) y el teorema de isomorfıa permite concluir que C se obtiene al adjuntara R una indeterminada x que verifique la relacion x2 = −1 :

R[x]/(x2 + 1) ' C , [x] 7→ i

(*) Congruencia de Wilson (1741-1793): Si p es un numero primo, entonces

(p− 1)! ≡ −1 (mod. p).

Los elementos de Fp que coinciden con su inverso son precisamente las raıces delpolinomio x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) en Fp; ası que son x = ±[1] (y son distintoscuando p 6= 2, lo cual supondremos en adelante, pues la congruencia es obviacuando p = 2). Luego en el producto

[(p− 1)!] = [1] · [2] · · · [p− 1]

los factores desde el [2] hasta el [p− 2] pueden agruparse cada uno con su inversoy concluimos que

[(p− 1)!] = [1] · [p− 1] = [−1] .

Una demostracion alternativa, que me ha comunicado J. Arboleda Castilla, sebasa en la congruencia de Fermat (1601-1665), que afirma que los elementos nonulos de F∗p son raıces de xp−1 − 1; luego, de acuerdo con 3.4.5, tenemos

xp−1 − 1 = (x− 1)(x− 2) . . . (x− (p− 1))

en Fp[x], y la congruencia de Wilson (1741-1793) se obtiene al igualar los coefi-cientes de grado cero (que estan en Fp):

−1 = (−1)p−1(p− 1)!

(*) Un buen metodo para calcular el indicador de Euler (1707-1783) de un numeronatural n consiste en descomponerlo en producto de numeros primos:

φ(2000) = φ(2453) = φ(24)φ(53) = 2352(5− 1) = 2552

φ(1995) = φ(3 · 5 · 7 · 19) = 2 · 4 · 6 · 18 = 864

(*) Para calcular el resto de n = 292022 modulo 92, podemos utilizar la congruenciade Euler porque 29 y 92 son primos entre sı. Como φ(92) = φ(4 · 23) = φ(22) ·φ(23) = 2 · 22 = 44, en el anillo Z/92Z tenemos que [29]44 = 1; luego:

[n] = [29]2022 = [29]46·44−2 = [29]46·44 · [29]−2 = [29]−2

ANILLOS 219

El inverso de 29 modulo 92 se calcula con la Identidad de Bezout (1730-1783):

1 = 6 · 92− 19 · 29 .

En el anillo Z/92Z tenemos que [29]−1 = [−19] y concluimos que

[n] = [29]−2 = [−19]2 = [361] = [85]

(*) Partes de un Conjunto: Fijado un conjunto X, cada subconjunto A ⊆ Xesta totalmente determinado por su funcion caracterıstica χA : X → 0, 1:

χA(x) :=

1 cuando x ∈ A

0 cuando x /∈ A

y obtenemos ası una biyeccion natural entre el conjunto P(X) de subconjuntos deX y el conjunto de las funciones sobre X valoradas en el cuerpo F2 = Z/2Z. Lasoperaciones usuales con subconjuntos admiten la siguiente traduccion en terminosde funciones (donde la funcion caracterıstica de cada subconjunto se denota conla correspondiente letra minuscula):

Funcion caracterısticaAc = X −A 1 + a

A ∩B abA ∪B a + b + ab

A−B = A ∩Bc a(1 + b)A M B = (A−B) ∪ (B −A) a + b

X 1∅ 0

Ahora, para demostrar igualdades entre subconjuntos, basta comprobar la co-incidencia de sus funciones caracterısticas, con la ventaja de nuestra gran famil-iaridad con el calculo de funciones. Ademas, de regalo tenemos que f2 = f yf + f = 0 para toda funcion valorada en F2 = 0, 1. Por ejemplo, el caracterasociativo de la suma de funciones, (a+b)+c = a+(b+c), demuestra la propiedadasociativa de la diferencia simetrica: (A M B) M C = A M (B M C); y la ley deMorgan (1806-1871) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) se sigue directamente delcalculo de las correspondientes funciones caracterısticas:

A ∩ (B ∪ C) a(b + c + bc) = ab + ac + abc

(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ab + ac + abac = ab + ac + abc

Este procedimiento tambien puede usarse para demostrar inclusiones entresubconjuntos, pues la condicion A ⊆ B equivale a la igualdad A∩B = A. Ademas,permite dar condiciones necesarias y suficientes para que sea valida cierta igualdad


entre subconjuntos, pues equivale a la igualdad de sus funciones caracterısticas.Ası, el calculo de las funciones caracterısticas de (A−B)− C y A− (B − C):

(A−B)− C a(1 + b)(1 + c) = a + ab + ac + abc

A− (B − C) a[1 + b(1 + c)] = a + ab + abc

muestra que (A−B)− C = A− (B − C) precisamente cuando

a + ab + ac + abc = a + ab + abc , ac = 0

es decir, cuando A ∩ C = ∅.(*) Calculo Proposicional: Si 0 y 1 representan los valores logicos verdadero yfalso, los enunciados de una teorıa pueden entenderse como funciones valoradas enel cuerpo F2 = 0, 1, y las operaciones logicas como operaciones con funciones (osea, con funciones sobre (F2)n, donde n es el numero de variables que intervenganen la operacion):

Funcion asociada¬p 1 + p

p ∨ q pqp ∧ q p + q + pqp ⇒ q (1 + p)qp ⇔ q p + q

Las tautologıas son las operaciones logicas con funcion asociada identicamentenula.

Por ejemplo, a (p ∧ q) ⇔ (¬r) le corresponde la funcion sobre (F2)3:

p + q + pq + r + 1 = (1 + p)(1 + q) + r ,

y proporciona directamente su tabla de valores logicos (recuerdese que 0=ver-dadero, 1=falso):

p q r (p ∧ q) ⇔ (¬r)0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

Ademas, la funcion δa1,...,an = (p1−a∗1) . . . (pn−a∗n), donde a∗i = 1+ai, se anulasiempre, salvo cuando p1 = a1, . . . , pn = an, lo que permite resolver el Problema de

ANILLOS 221

Post : la determinacion de una operacion logica f que tenga una tabla de valorespredeterminada:

f =∑

a1,...,an

f(a1, . . . , an) δa1,...,an .

Ejercicios:

1. Hallar los elementos invertibles en los anillos Z, Q, R, C, Z[x], Q[x], Q(x) yZ[ i ]. Probar que el anillo Z[

√2 ] tiene infinitos elementos invertibles.

2. Si A es un anillo, probar que el producto de A define una estructura de grupoconmutativo en A∗. Ademas (A×B)∗ = A∗ ×B∗.

3. Determinar los elementos irreducibles de los anillos Z , Q y R .

4. Sea b un elemento de un anillo A. Si u ∈ A es invertible en A, probar que bes irreducible en A precisamente cuando ub sea irreducible en A.

5. Determinar las relaciones de inclusion entre los siguientes subanillos de losnumeros complejos:

Z , Z[ i ] , Z[ 2 ] , Z[ 2i ] , Z[ i− 2 ] , Z[1− 2i ] , Z[ i/2 ] , Z[1/2 ]

y probar que 3√

2 no esta en Z[√

2 ]. (Indicacion: Z[√

d ] = Z+ Z√

d ).

6. Determinar el numero de soluciones enteras de las ecuaciones:

x2 − 3y2 = 1 x2 − 3y2 = −1 x2 − 5y2 = −1 x2 − 5y2 = 1x2 − 4y2 = −1 x2 − 7y2 = −1 x2 − 8y2 = −2 x2 − 8y2 = 4x2 − 5y2 = −11 x2 − 7y2 = 7 x2 − 20y2 = −11 x2 − 7y2 = 18x2 − 3y2 = 16 x2 − 3y2 = 18 x2 − 5y2 = 20 x2 − 5y2 = 55

7. Sea d un numero entero que no sea cuadrado perfecto. Pruebese que lacondicion necesaria y suficiente para que un numero complejo z ∈ Z[

√d ] sea

invertible en Z[√

d ] es que su norma en Z[√

d ] sea 1 o –1.

8. Si la norma de un elemento z ∈ Z[√

d ] es un numero primo, probar que z esirreducible en el anillo Z[

√d ].

9. Demostrar que un numero primo p es irreducible en Z[√

d ] precisamentecuando las ecuaciones x2 − dy2 = p , x2 − dy2 = −p no tienen solucionesenteras.

10. ¿Son irreducibles en el anillo Z[√

2 ] los numeros 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17?

11. ¿Son cuerpos los anillos Z[√

2 ] y Q[√

2 ]?

¿Coincide Q[√

2 ] con Q+Q√

2 = z ∈ C : z = a + b√

2; a, b ∈ Q?


12. Determinar un generador de cada uno de los siguientes ideales del anillo Z:((6) ∩ (22)

)+ (15) , (6, 15) ∩ (22) ,

((6) ∩ (22)

)+

((6) ∩ (15)

).

13. Sea a un ideal de un anillo A. Probar que la condicion necesaria y suficientepara que a = A es que a contenga algun elemento invertible en A.

14. Si a1, . . . , an, b1, . . . , bm son elementos de un anillo A, demostrar que

(a1, . . . , an) = a1A + . . . + anA(∑

i

aiA) · (∑

j

bjA)

=∑i,j

aibjA

15. Si la union de dos ideales de un anillo A es un ideal de A, probar que unode los dos ideales esta contenido en el otro.

16. Consideremos en el anillo A = Z[ 2i ] los ideales a = 2A, b = 2iA. Determinarlas relaciones de inclusion entre los siguientes ideales de A:

a , b , 4A , a2 , b2 , ab , a + b , a ∩ b

17. Probar que 4 = 2 ·2 = (−2i)(2i) son, salvo invertibles, descomposiciones dis-tintas del numero 4 en producto de elementos irreducibles del anillo Z[

√−4 ],y que 6 = 2·3 = (1+

√−5 )(1−√−5 ) son, salvo invertibles, descomposicionesdistintas del 6 en producto de elementos irreducibles de Z[

√−5 ]. Ademas,en el anillo Z[

√−5 ], el ideal a = (2, 1 +√−5 ) no esta generado por un

elemento y su cuadrado es el ideal (2).

18. Sea p un numero primo. ¿Es irreducible el numero 2 en el anillo A =Z[√−p ]? ¿Es primo el ideal 2A?

(Indicacion: 1 + p = (1 +√−p )(1−√−p ) es par cuando p es impar.)

19. Sea p un elemento no nulo de un anillo ıntegro A. Probar que si el ideal pAes primo, entonces p es irreducible en A. ¿Es cierto el recıproco?

(Indicacion: El ejercicio anterior).

20. Probar que si un ideal primo p divide a un producto ab de dos ideales,entonces divide a a o a b. Si un ideal primo p divide al mınimo comunmultiplo a1 ∩ . . . ∩ an de unos ideales, entonces p divide a ai para algunındice i.

21. Sean a, b dos elementos de un anillo ıntegro A. Demostrar que: aA = bA ⇔b = ua para algun elemento u ∈ A invertible.

22. La condicion necesaria y suficiente para que un anillo A sea un cuerpo esque tenga exactamente dos ideales (los ideales triviales: 0 y A ).

ANILLOS 223

23. Probar que todo anillo ıntegro finito A es cuerpo.

(Indicacion: Considerar las aplicaciones A·a−−→ A ).

24. Sea f : A → B un morfismo de anillos. ¿Es cierto que la imagen de f essiempre un ideal de B? ¿y un subanillo de B? Responder a las mismaspreguntas para el nucleo de f .

25. Demostrar que el unico automorfismo de anillos del cuerpo Q es la identidad.¿Es cierta esta afirmacion para los cuerpos R y C ? (Indicacion: Probar quetodo automorfismo de R transforma numeros positivos en numeros positivos).

26. Sea f : A → B un morfismo de anillos. Averiguar si son ciertas las siguientesafirmaciones?

Si p es un ideal primo de B, entonces f−1(p) es un ideal primo de A.

Si m es un ideal maximal de B, entonces f−1(m) es un ideal maximal de A.

27. Sea f : A → B un morfismo epiyectivo de anillos.

Si p es un ideal primo de A que contiene al nucleo de f , probar que f(p) esun ideal primo de B.

Si m es un ideal maximal de A que contiene al nucleo de f , probar que f(m)es un ideal maximal de B.

28. Sean p(x) y q(x) polinomios con coeficientes racionales. Si p(x) es multiplode q(x) en C[x] ¿se sigue que p(x) es multiplo de q(x) en Q[x]?

Si un polinomio con coeficientes enteros p(x) es multiplo de x3 − 3 en C[x],¿se puede concluir que p(x) es multiplo de x3 − 3 en Z[x]?

29. Sea k un cuerpo y a ∈ k. Demostrar que p(x) es irreducible en k[x] si y solosi lo es p(x + a).

30. Hallar todas las raıces racionales de los siguientes polinomios: x3+2x2+x+2 ,2x3 − 4x2 − x− 15 , 6x4 − x3 − 7x2 + x + 1 , x2(1 + x)2 + x2 − 8(1 + x)2 .

31. Si p1, . . . , pr son numeros primos diferentes, probar que (p1 · · · pr)1/m es irra-cional para todo numero natural m ≥ 2.

32. Determinar si los siguientes polinomios son irreducibles en el anillo Q[x]:x3 − x− 1, 2x3 + x + 2, 3x3 − 3x + 2, 4x3 − 3x− 1/2, x4 − x− 1, 2x4 + 1,x4 +x3 +1, x4 +3x2 +44, x4 +4, x4−x2−1, x4 +3x3 +1, x4−x2 +18x+7.

33. ¿Es cierto que todo polinomio de grado 4 con coeficientes racionales y sinraıces en Q es irreducible en Q[x]?

34. Sea p(x) ∈ Q[x]. Si p(xn) es multiplo de x−1, concluir que p(xn) es multiplode xn − 1.


35. Hallar un polinomio con coeficientes racionales de grado ≤ 3 que tome losvalores –3, 7, 35, 125 cuando x = 1, 2, 3, 4.

36. Sea p(x, y) un polinomio con coeficientes en un anillo A. Probar que p(x, x) =0 precisamente cuando p(x, y) es multiplo de y − x en A[x, y].

37. Sea ≡ una relacion de equivalencia en un anillo A. Si existe una estructurade anillo en el conjunto cociente A/ ≡ tal que la proyeccion canonica π : A →A/ ≡ es morfismo de anillos, probar la existencia de un ideal a de A tal que≡ es la relacion de congruencia modulo a.

38. Hallar todos los restos cuadraticos y cubicos modulo 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.

39. Demostrar que 19931993 ± 993 no es un cubo ni un cuadrado perfecto.

40. Determinar los posibles valores entre 1 y 10 que puede tomar la funcionx3 + y3 + z3 cuando x, y, z son numeros enteros.

41. Hallar todos los polinomios irreducibles de grado menor que 5 en (F2)[x].

Hallar todos los polinomios irreducibles de grado menor que 4 en (F3)[x].

42. Probar que R[x]/(x2 +x+1) ' C , k[x]/(x−a) ' k y R[x]/(x2−1) ' R⊕R43. Demostrar que k[x, y]/(x − a) ' k[y] . Concluir que en el anillo k[x, y] se

verifica(p(x, y), x− a

)=

(p(a, y), x− a

).

44. Sea p un numero primo. Demostrar que las ecuaciones x2 − dy2 = ±p notienen soluciones enteras cuando el numero entero d no es resto cuadraticomodulo p.

45. En el anillo Z/993Z, hallar el inverso de [248] y de [4]13. Calcular el restode la division de 2481993 por 993.

46. Calcular todas las soluciones de la reduccion modulo 11 de las ecuaciones:

14x2 − 5y2 = 22 11x2 − 17y2 = −313x2 − 6x + 22y2 = 4 4x2 + 7xy − 5y2 = 33

47. Sea n un numero natural mayor que 1. Si an−1 ≡ 1 (mod. n) para todonumero entero a que no sea multiplo de n, probar que n es un numero primo.

48. Sea n un numero natural mayor que 1. Si (n − 1)! ≡ −1 (mod. n), probarque n es un numero primo.

49. Sea q(x) = (2x − 3)(3x − 2). Si pr es una potencia de un numero primo,probar que la congruencia q(x) ≡ 0 (mod. pr) tiene alguna solucion entera.Concluir, usando el teorema chino de los restos, que todas las congruenciasq(x) ≡ 0 (mod. n) tienen solucion entera, aunque la ecuacion q(x) = 0 carecede soluciones enteras.

ANILLOS 225

50. Sea p un numero primo. Si a, b ∈ Fp no son restos cuadraticos, probar queab sı es un resto cuadratico modulo p.

Probar que el polinomio q(x) = (x2 − 17)(x2 + 1)(x2 + 17) no tiene raıcesracionales y que su reduccion q(x) modulo p tiene alguna raız en Fp paratodo numero primo p.

Probar que el polinomio q(x) = x8 − 16 no tiene raıces racionales y que sureduccion q(x) modulo p tiene alguna raız en Fp para todo numero primo p.

(Indicacion: Sus raıces complejas son funciones racionales de√

2, i y√

2i.)

51. Demostrar que el numero 17 es resto cuadratico modulo 2n para todo n ≥ 1.

(Indicacion: Proceder por induccion sobre n.)

Sea p un numero primo impar. Si un numero entero a es resto cuadraticomodulo p, probar que a tambien es resto cuadratico modulo pn para todon ≥ 2.

Usando el teorema chino de los restos y el ejercicio anterior, concluir que elpolinomio q(x) = (x2−17)(x2 +1)(x2 +17) no tiene raıces racionales aunquela congruencia q(x) ≡ 0 (modulo n) tenga soluciones para todo numeronatural n ≥ 2.

52. Sea p un numero primo impar. Demostrar que:

(a) Si p− 1 no es multiplo de 3, todo elemento de Fp es resto cubico.

(b) Si p−1 es multiplo de 3, en Fp hay exactamente (p−1)/3 restos cubicosno nulos. (Indicacion: Si p − 1 = 3d, probar que xp−1 − 1 es multiplode x3 − 1 y aplicar la congruencia de Fermat).

53. Demostrar que el polinomio q(x) = (x3 − 2)(x2 + x + 1) no tiene raıcesracionales y que su reduccion q(x) modulo p tiene alguna raız en Fp paratodo numero primo p.

54. Sean A y B dos anillos. Probar que todo ideal de A×B es de la forma a× bpara ciertos ideales a ⊆ A, b ⊆ B. Ademas:

(A×B)/a× b = (A/a)× (B/b)

55. De los siguientes sistemas en dos incognitas con coeficientes reales, determi-nar los que son equivalentes:

x2 − y2 = x3

y + x = 0

x = 0y = 0

x3 = 0

y + x = 0

x3 = 0y2 = x2

x2 = 0y + x = 0

x2 + y2 = x3

y + x = 0

x = y

−x = y

x3 = 0x = y

−x = y


56. De los siguientes sistemas en dos incognitas con coeficientes racionales, de-terminar los que son equivalentes:

xy − x = 1x2 + y2 = 1

x(y − 1) = 1

x4 + 2x + 1 = 0

xy − x = 1

y4 − 2y3 + 2y = 0

57. Considerese en C[x, y] el ideal a =(xy, (x + y)2 − x

). Determinar si estan

en a los siguientes polinomios: x, y, (x− y)2−x, (x− y)2, x2−x, x2−xy .

58. Sean a, b elementos de un anillo A. Si a es multiplo de ab en A, ¿se siguenecesariamente que b es invertible en A? (Indicacion: Considerar en el anillocociente Z[x, y, z]/(x− xyz) los elementos a = x, b = y.)

59. Demostrar las siguiente igualdades:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B M C) = (A ∩B) M (A ∩ C)(A M B)− C = (A− C) M (B − C)

(A ∩B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩A) = (A ∪B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪A)

60. Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) A M (B ∩ C) = (A M B) ∩ (A M C)

(b) A ∩B = A ∩ C

(c) A M (B ∪ C) = (A M B) ∪ (A M C)

61. ¿Como ha de ser un subconjunto A ⊆ X para que A∪ (B M C) = (A∪B) M(A ∪ C) para cualesquiera subconjuntos B,C ⊆ X?

62. Se dice que un anillo A es de Boole (1815-1864) cuando a2 = a para todoa ∈ A. En tal caso, probar que 2a = 0, que todo ideal primo p de A esmaximal y que A/p = F2 .

ANILLOS EUCLIDEOS 227

Anillos Euclıdeos

(*) Sea ω = (−1+√

3i)/2, que es una raız cubica primitiva de la unidad. Veamosque el anillo Z[ω] = a + bω : a, b ∈ Z es euclıdeo. Para probarlo definimos

δ(z) = z · z = |z|2 = (a + bω)(a + bω) = a2 − ab + b2 ∈ N ,

y la comprobacion de que el anillo Z[ω] es euclıdeo es analoga a la dada para Z[ i ],pues de nuevo todo numero complejo dista menos de la unidad de algun elementode Z[ω].

(*) Vamos a calcular el maximo comun divisor, en el anillo euclıdeo F5[x], de lospolinomios p(x) = x4 + 2x3− x2 + 2x + 2 y q(x) = 2x2− 1, aplicando el algoritmode Euclides (325?-265? a. de Cristo):

p(x) = q(x)(3x2 + x + 1) + (3x− 2)q(x) = (3x− 2)(4x + 1) + 1

Luego p(x) y q(x) son primos entre sı, y la Identidad de Bezout (1730-1783) es

1 = q(x)− (4x + 1)(3x− 2) = q(x)− (4x + 1)(p(x)− q(x)(3x2 + x + 1)

)

= (x− 1) · p(x) + (2x3 + 2x2 + 2) · q(x)

(*) Para calcular el maximo comun divisor de 5 + 5i y 3 + 6i en el anillo euclıdeoZ[ i ], dividimos 5 + 5i por 3 + 6i. Como

5 + 5i

3 + 6i=

(5 + 5i)(3− 6i)45

=1− i

3

dista menos de la unidad de los enteros de Gauss 1 y 1 − i, el cociente de taldivision es 1 o 1− i. Si elegimos 1, el resto es 5 + 5i− (3 + 6i) = 2− i. Dividiendoahora 3 + 6i por 2− i obtenemos que 3 + 6i = (3i)(2− i) y el resto es nulo. Luegoel maximo comun divisor de 5 + 5i y 3 + 6i en Z[ i ] es 2− i .

(*) Clases de Restos de Polinomios:Sea p(x) = xn + c1x

n−1 + . . . + cn un polinomio con coeficientes en un cuerpok. Para determinar si un polinomio q(x) ∈ k[x] es multiplo de p(x) no es necesarioefectuar la division de q(x) por p(x), que suele ser laboriosa. Basta calcular laimagen [q(x)] de q(x) en el anillo cociente K = k[x]/

(p(x)

), pues la condicion de

que q(x) sea multiplo de p(x) equivale a que la clase de restos de q(x) modulo p(x)sea nula. Sea α = [x] y denotemos c la clase [c] de cualquier constante c ∈ k. Paracalcular [q(x)] = q([x]) = q(α) utilizamos reiteradamente la relacion

αn = −(c1αn−1 + . . . + cn−1α + cn)


que nos permite expresar las sucesivas potencias αm, m ≥ n, como combinacioneslineales de 1, α, . . . , αn−1 con coeficientes en k. Obtendremos ası que

[q(x)] = [a0 + a1x + . . . + an−1xn−1]

donde ai ∈ k, de modo que a0 + a1x + . . . + an−1xn−1 es precisamente el resto de

la division de q(x) por p(x) y su anulacion significa que p(x) divide a q(x).Del lema de Euclides se sigue que K es un cuerpo precisamente cuando el

polinomio p(x) es irreducible en k[x]. En tal caso, el inverso de cualquier elementono nulo

∑i aiα

i puede calcularse mediante la Identidad de Bezout: Como a(x) =∑i aix

i no es multiplo de p(x) y p(x) es irreducible en k[x], el maximo comundivisor de p(x) y a(x) en k[x] es 1; luego 1 = a(x)b(x) + p(x)q(x) para ciertospolinomios b(x), q(x) ∈ k[x] y concluimos que 1 = a(α)b(α) en K. Es decir, b(α)es el inverso de a(α) en el cuerpo K.

(*) Consideremos los polinomios p(x) = x2 +x+1, q(x) = x6 +x4 +x3 +x+1 concoeficientes en el cuerpo F2. Para averiguar si q(x) es multiplo de p(x) calculamoslas potencias necesarias de α = [x] en el anillo F2[x]/

(p(x)

), partiendo de la

relacion α2 = −α− 1 = α + 1 :

α3 = α2 + α = 2α + 1 = 1

α4 = α

α6 = α3 = 1

Ahora [q(x)] = q(α) = α6 + α4 + α3 + α + 1 = 1 + α + 1 + α + 1 = 2α + 3 = 1y concluimos que q(x) no es multiplo de p(x), pues el resto de la division es 1.

(*) Sumas de Dos Cuadrados Perfectos:La posibilidad de descomponer un numero natural n en suma de dos cuadra-

dos perfectos esta relacionada con el anillo de los enteros de Gauss Z[ i ] porquela condicion n = a2 + b2 equivale a que n = (a + bi)(a − bi) descomponga enproducto de un entero de Gauss por su conjugado. Ahora, en virtud del teoremade descomposicion en factores irreducibles en el anillo euclıdeo Z[ i ], hemos dedescomponer primero n en producto de enteros de Gauss irreducibles y estudiarluego la posibilidad de agrupar los factores de modo que se obtenga un entero deGauss (1777-1855) y su conjugado.

En cuanto al primer paso, descomponiendo n en producto de numeros primos,basta saber efectuar la descomposicion de los numeros primos. Ahora bien, si unnumero primo p es suma de dos cuadrados perfectos, p = a2 +b2 = (a+bi)(a−bi),entonces no es irreducible en Z[ i ], y ambos factores a+ bi y a− bi son irreduciblesporque su norma es un numero primo. Recıprocamente, si un numero primo pno es irreducible en Z[ i ], p = (a + bi)(c + di), tomando normas obtenemos quep2 = (a2 + b2)(c2 + d2); luego p = a2 + b2 es suma de dos cuadrados perfectos.


Por ejemplo, para descomponer 14625 en suma de dos cuadrados perfectosde todas las formas posibles, hallamos primero su descomposicion en productode enteros de Gauss irreducibles, para lo cual lo descomponemos en producto denumeros primos y luego cada factor primo que sea suma de dos cuadrados perfectosse descompone en producto de dos enteros de Gauss irreducibles:

14625 = 32 · 53 · 13 = 32(2 + i)3(2− i)3(3 + 2i)(3− 2i)

Ahora ponemos 14625 como producto de un entero de Gauss por su conjugado:

3(2 + i)3(3 + 2i)·3(2− i)3(3− 2i)=(−48 + 111i)(−48− 111i)=482 + 1112

3(2 + i)3(3− 2i)·3(2− i)3(3 + 2i)=(84 + 87i)(84− 87i)=842 + 872

3(2 + i)2(2− i)(3 + 2i)·3(2− i)2(2 + i)(3− 2i)=602 + 1052

3(2 + i)2(2− i)(3− 2i)·3(2− i)2(2 + i)(3 + 2i)=1202 + 152

Para aplicar este algoritmo conviene disponer de un criterio para saber cuandoun numero primo p es irreducible en Z[ i ].

Veamos que un numero primo p no descompone en suma de dos cuadradosperfectos (i.e., es irreducible en Z[ i ]) precisamente cuando p ≡ 3 (modulo 4):

En efecto, si p es suma de dos cuadrados perfectos, p = a2 + b2, entoncesa2, b2 ≡ 0, 1 (mod. 4) y concluimos que p no es congruente con 3 modulo 4.

Recıprocamente, si p ≡ 0, 1, 2 (mod. 4), entonces el caso p ≡ 0 es imposibleporque p es primo, el caso p ≡ 2 implica que p = 2 = 12 + 12 es suma de doscuadrados, y en el caso p ≡ 1 tenemos que −1 es resto cuadratico modulo p deacuerdo con 3.6.3. Luego existen numeros enteros n, c tales que cp = n2 + 1 =(n + i)(n− i). Si p fuera irreducible en Z[ i ], por el lema de Euclides tendrıamosn ± i = p(a + bi) para algun entero de Gauss a + bi, lo que es contradictorio, yconcluimos que tambien en este caso p es suma de dos cuadrados perfectos.

En resumen, la condicion necesaria y suficiente para que un numero natural seasuma de dos cuadrados perfectos es que al descomponerlo en producto de numerosprimos sean pares los exponentes de los primos congruentes con 3 modulo 4.

(*) Operadores: Sea T : E → E un endomorfismo de un k-espacio vectorial(usualmente de dimension infinita). Si p(x) = a0x

d + a1xd−1 + . . . + ad es un

polinomio con coeficientes en k, pondremos p(T ) := a0Td + a1T

d−1 + . . . + adI,donde I es la identidad. Cuando dos polinomios p(x), q(x) ∈ k[x] son primos entresı, la identidad de Bezout 1 = a(x)p(x) + b(x)q(x) muestra que tenemos

e = a(T )p(T )e + b(T )q(T )e

para todo e ∈ E; luego 0 = Ker p(T ) ∩ Ker q(T ). Ademas, a(T )p(T )e ∈ Ker q(T )y b(T )q(T )e ∈ Ker p(T ) cuando e ∈ Ker p(T )q(T ), ası que

Ker p(T )q(T ) = Ker p(T )⊕Ker q(T ) m.c.d.(p(x), q(x)

)= 1


Por ejemplo, las sucesiones de Fibonacci (1170–1250) son las sucesiones (yn)tales que cada termino es la suma de los dos anteriores: yn+2 = yn+1 + yn.Para resolver esta ecuacion en diferencias finitas introducimos el C-espacio vec-torial E de todas las sucesiones de numeros complejos y consideramos el operador“siguiente” ∇ : E → E, ∇(yn) := (yn+1). Ahora nuestra ecuacion es

(∇2 −∇− 1)(xn) = 0 .

Si x2 − x− 1 = (x− α)(x− β), la igualdad

Ker (∇2 −∇− 1) = Ker (∇− α)⊕Ker (∇− β)

afirma que cada sucesion de Fibonacci (xn) descompone, y de modo unico, ensuma de una progresion geometrica de razon α y otra de razon β:

xn = λ

(1 +

√5

2

)n

+ µ

(1−√5

2

)n

Vemos ası que, cuando las raıces del polinomio p(x) = xd + a1xd−1 + . . . + ad

son simples, p(x) = (x− α1) . . . (x− αd), las soluciones de la ecuacion homogeneayn+d + a1yn+d−1 + . . . + adyn = 0 descomponen en suma de progresiones geo-metricas de razones α1, . . . , αd. En el caso general, cuando p(x) tenga raıcesmultiples, la ecuacion se reduce al calculo del nucleo de los operadores (∇−α)r. Notrataremos este caso; pero diremos que tal nucleo esta generado por las sucesiones(αn), (nαn), . . . , (nr−1αn).

Por otra parte, si E denota el C-espacio vectorial de las funciones complejasde variable real y clase C∞, y consideramos el operador “derivada” D : E → E,Df(t) = f ′(t), tenemos que las soluciones de la ecuacion (D − α)y = 0 son lasfunciones y(t) = λeαt, donde α, λ ∈ C. En efecto, si y′(t) = αy(t), es inmediatocomprobar que D(y(t)e−αt) = 0. Vemos ası que, cuando las raıces del polinomiop(x) = xd+a1x

d−1+. . .+ad son simples, p(x) = (x−α1) . . . (x−αd), las solucionesde la ecuacion diferencial lineal y(n+d + . . . + ad−1y

′ + ady = 0 son combinacioneslineales con coeficientes complejos y(t) = λ1e

α1t + . . . + λdeαdt.

En el caso general, cuando p(x) tenga raıces multiples, la ecuacion se reduceal calculo del nucleo de los operadores (D − α)r. Tampoco trataremos este caso;pero diremos que tal nucleo esta generado por las funciones eαt, teαt, . . . , tr−1eαt.

(*) Extensiones:

1. El morfismo natural Q → R es una extension infinita, porque todo espaciovectorial de dimension finita sobre Q es de cardinal numerable, mientras queel cardinal de R no es numerable.

2. El morfismo natural R → C es una extension finita de grado 2, porque unabase de C como espacio vectorial sobre R es 1, i.


3. Si k es un cuerpo, la identidad k → k es una extension de grado 1, y todaextension de k de grado 1 es isomorfa a esta extension trivial.

4. Si k es un cuerpo y k(t) es el cuerpo de las fracciones racionales en unaindeterminada t con coeficientes en k, el morfismo natural k → k(t) es unaextension infinita, porque las potencias de t forman una familia infinita li-nealmente independiente sobre k.

5. Si α ∈ C, el menor subanillo de C que es cuerpo y contiene a Q y a α es

Q(α) = p(α)/q(α) : p(x), q(x) ∈ Q[x], q(α) 6= 0Como Q(α) es un cuerpo que contiene a Q, la inclusion Q → Q(α) es unaextension de Q. Por definicion, la extension Q(α) esta formada por todoslos numeros complejos que puedan obtenerse a partir de α y de numerosracionales con un numero finito de sumas, restas, productos y cocientes.

6. Si p(x) es un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo k, losmultiplos de p(x) en k[x] forman un ideal maximal; luego k[x]/(p(x)) esun cuerpo y el morfismo natural k → k[x]/(p(x)), c 7→ [c], es una extensionde k.

7. Si K es un cuerpo de caracterıstica 0, entonces existe un unico morfismo deanillos Q → K (porque el unico morfismo de anillos Z → K es inyectivo),de modo que todo cuerpo de caracterıstica 0 es una extension de Q. Estapropiedad universal caracteriza al cuerpo Q, lo que nos da una nueva y masprofunda definicion de la suma y producto de numeros racionales: Son lasunicas operaciones que definen una estructura de cuerpo de caracterıstica 0que admite un unico morfismo de anillos en cualquier otro cuerpo de carac-terıstica nula.

8. Si K es un cuerpo de caracterıstica positiva p, entonces pZ es el nucleo delunico morfismo de anillos Z→ K. Luego este morfismo induce un morfismode anillos Fp → K y vemos ası que K es una extension de Fp.

(*) Consideremos el polinomio p(x) = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4 con coeficientesracionales. Para hallar sus raıces multiples calculamos el maximo comun divisorde p(x) y su derivada p′(x) mediante el algoritmo de Euclides:

p(x) =(

x

4+

18

)(4x3 + 6x2 + 10x + 4) +

74(x2 + x + 2)

p′(x) = 4x3 + 6x2 + 10x + 4 = (4x + 2)(x2 + x + 2) + 0

Obtenemos que el maximo comun divisor de p(x) y p′(x) es x2 + x + 2; luegolas raıces multiples de p(x) son precisamente las raıces del polinomio x2 + x + 2.


(*) Consideremos el polinomio p(x) = x6 + x2 + x con coeficientes en el cuerpoF3. De acuerdo con 4.3.2, la raız x = 1 es multiple, porque p′(x) = −x + 1. Dehecho es una raız doble: p(x) = (x− 1)2(x4 − x3 + x).

(*) En el caso de un polinomio ax2 + bx + c de grado 2, de raıces α1, α2 , lasformulas de Cardano son

−b/a = α1 + α2

c/a = α1α2

y, en el caso de un polinomio unitario x3 + px2 + qx + r de grado 3, de raıcesα1, α2, α3 , las formulas de Cardano son

−p = α1 + α2 + α3

q = α1α2 + α1α3 + α2α3

−r = α1α2α3

(*) Sea p un numero primo y sea d un divisor de p− 1. Veamos que la condicionnecesaria y suficiente para que un numero entero n primo con p sea resto d-esimomodulo p es que n(p−1)/d ≡ 1 (mod. p).

Si [n] = ad para algun a ∈ Fp, entonces a 6= 0 y [n(p−1)/d] = ap−1 = 1 segunla congruencia de Fermat. Recıprocamente, si n(p−1)/d ≡ 1 (mod. p) y α es unaraız del polinomio xd − [n] en una extension finita de Fp (que existe en virtud delTeorema de Kronecker), αp−1 = [n(p−1)/d] = 1. Luego α es una raız de xp−1 − 1,que tiene todas sus raıces en Fp segun la congruencia de Fermat, ası que α ∈ Fp.Como [n] = αd, concluimos que n es resto d-esimo modulo p.

(*) Sea p un numero primo y sea k el cuerpo de las fracciones racionales en unaindeterminada t con coeficientes en Fp. Consideremos el polinomio p(x) = xp − tcon coeficientes en k. Este polinomio no tiene raıces en k: si a(t)/b(t) ∈ k fuerauna raız, donde a(t), b(t) ∈ Fp[t] pueden elegirse sin factores irreducibles comunes,tendrıamos a(t)p = b(t)pt, luego a(t) serıa multiplo de t, a(t)p multiplo de tp, b(t)p

multiplo de t y b(t) multiplo de t, contra el hecho de que a(t) y b(t) no tienenfactores irreducibles comunes.

Veamos que p(x) = xp − t es irreducible en k[x]. En virtud del teorema deKronecker, p(x) tiene una raız α en alguna extension K de k. Como αp = t,tenemos que xp − t = (x − α)p en K[x]. Si p(x) tuviera en k[x] algun factor noconstante q(x) de grado menor que p, que podemos suponer unitario, en K[x] setendrıa q(x) = (x−α)i para algun 1 ≤ i ≤ p−1. Como (x−α)i = xi−iαxi−1+. . .,se seguirıa que iα ∈ k y, al ser i 6= 0 en k, concluirıamos que α ∈ k y p(x) tendrıauna raız en k. Por tanto p(x) es irreducible en k[x] y, al ser p′(x) = 0, todas lasraıces de xp−t son multiples. De hecho xp−t tiene una unica raız de multiplicidadp, pues si α es una raız de xp − t, entonces xp − t = (x− α)p segun 4.3.9.


(*) Veamos que el polinomio xy+x+y no pertenece al ideal (x2+x−y, x2y−y2−1)del anillo Q[x, y]. Una solucion del sistema de ecuaciones

x2 + x = yx2y − y2 = 1

es x = α, y = α2+α, donde α es una raız de x3+x2+1, ası que bastara comprobarque no es solucion de la ecuacion xy + x + y = 0.

Consideremos la raız α = [x] (mod. x3+x2+1) que nos proporciona el teoremade Kronecker, de modo que 1, α, α2 son linealmente independientes sobre Q :

α(α2 + α) + α + (α2 + α) = α3 + 2α2 + 2α =

= (−α2 − 1) + 2α2 + 2α = α2 + 2α− 1 6= 0

(*) Elementos Algebraicos:

1. Todos los elementos de un cuerpo k son algebraicos sobre k, pues c ∈ k esobviamente raız del polinomio x− c ∈ k[x].

2. Las raıces de cualquier polinomio no nulo con coeficientes en k son elementosalgebraicos sobre k.

3. Las raıces n-esimas de la unidad e2πin k son algebraicas sobre Q.

4. El numero real π es trascendente sobre Q (teorema de Lindemann 1852-1939)y el numero real e tambien es trascendente sobre Q; pero en este libro nodaremos demostraciones de estos resultados.

5. Es sencillo comprobar que el cardinal del conjunto de los numeros realesalgebraicos sobre Q es numerable, porque lo es el cardinal de Q[x] y cadapolinomio con coeficientes racionales tiene a lo sumo un numero finito deraıces reales. Como el cardinal de R no es numerable, se concluye que elcardinal del conjunto de los numeros reales trascendentes sobre Q no esnumerable.

6. n√

2 es raız del polinomio xn − 2, que es irreducible en Q[x] segun el criteriode Eisenstein. Luego el polinomio irreducible de n

√2 sobre Q es xn − 2.

7. Sea p un numero primo. El polinomio (xp − 1)/(x− 1) = xp−1 + . . . + x + 1es irreducible en Q[x] segun 5.5.3 y admite la raız x = e

2πip ; luego es el

polinomio irreducible de e2πi

p sobre Q.

8. Sea α el numero real√

2−√3. Como tenemos que

2 = (α +√

3)2 = α2 + 2√

3α + 3

0 = (α2 + 2√

3α + 1)(α2 − 2√

3α + 1) = α4 − 10α2 + 1


α es raız del polinomio p(x) = x4 − 10x2 + 1 y p(x) es multiplo del poli-nomio irreducible pα(x) de α sobre Q. Es sencillo comprobar que Q(α) =Q(√

2,√

3) y que el grado de Q(√

2,√

3) sobre Q(√

2) es 2. Del teorema delgrado se sigue que el grado de Q(α) sobre Q es 4, luego el grado de pα(x) es4 y tenemos que pα(x) = p(x). En particular p(x) es irreducible en Q[x].

9. El concepto de elemento algebraico o trascendente depende del cuerpo basek considerado. Por ejemplo, todos los numeros complejos son algebraicossobre R aunque muchos sean trascendentes sobre Q.

(*) Teorema de Galois:El Teorema de Kronecker (1823-1891) permite dar una presentacion elemental

del teorema de Galois (1811-1832), al menos para cualquier cuerpo k de carac-terıstica nula, hipotesis que mantendremos en todo este apartado.

Dadas dos extensiones k → K, k → L de un mismo cuerpo base k y unmorfismo de k-algebras τ : K → L, si α ∈ K es raız de un polinomio

∑i aix

i concoeficientes en k, entonces τ(α) es raız del mismo polinomio porque τ(ai) = ai:

0 = τ(∑

i aiαi)

=∑

i τ(ai)(τα)i =∑

i ai(τα)i .

Dado un polinomio no constante p(x) ∈ k[x], diremos que una extension finitak → L es un cuerpo de descomposicion de p(x) sobre k si p(x) tiene todas susraıces en L y estas generan L sobre k. Es decir:

L = k(α1, . . . , αn) , p(x) = (x− α1) . . . (x− αn)

Tal extension siempre existe, pues basta considerar la extension generada por lasraıces de p(x) en una extension donde tenga todas sus raıces. Por ejemplo, cuandok = Q, el cuerpo de descomposicion de un polinomio p(x) es la extension generadapor todas las raıces complejas de p(x). Una propiedad fundamental del cuerpode descomposicion es que si un polinomio irreducible q(x) con coeficientes en kadmite una raız α = r(α1, . . . , αn) en L, entonces tiene todas sus raıces en L,porque divide al polinomio

∏

σ∈Sn

(x− r(ασ(1), . . . , ασ(n))

)

ya que este tiene coeficientes en k, pues son funciones simetricas de α1, . . . , αn,(vease el apendice A) y admite la raız α; luego es multiplo de q(x) por 4.4.2.

Llamaremos grupo de Galois de p(x) sobre k al grupo de los automorfismosde k-algebras de su cuerpo de descomposicion. La definicion tiene sentido porqueel cuerpo de descomposicion es unico salvo isomorfismos:

(1) Si L y L′ son dos cuerpos de descomposicion de p(x) sobre k, entonces existealgun isomorfismo de k-algebras L ' L′.


Procedemos por induccion sobre el grado [L : k]. Si k = L, entonces p(x) tienetodas sus raıces en k y, como la extension L′ esta generada por raıces de p(x),concluimos que L′ = k.

Si k 6= L, consideramos un factor irreducible q(x) de p(x) de grado > 1 y sendasraıces α ∈ L, α′ ∈ L′ de q(x). Por el Teorema de Kronecker existe un isomorfismok(α) ' k(α′). La extension k(α) ' k(α′) → L′ es un cuerpo de descomposicionde p(x) sobre k(α). Como tambien lo es L y [L : k(α)] < [L : k], por hipotesisde induccion existe un isomorfismo de k(α)-algebras L ' L′, que tambien es unisomorfismo de k-algebras.

Aplicando este mismo razonamiento al caso en que L′ = L y α, α′ son dosraıces de un mismo polinomio irreducible con coeficientes en k, obtenemos que

(2) Si un polinomio irreducible q(x) con coeficientes en k tiene una raız α ∈ L (ypor tanto q(x) tiene todas sus raıces en L), entonces el grupo de Galois G actuatransitivamente sobre las raıces de q(x) en L (i.e., si β ∈ L es otra raız de q(x),entonces β = σ(α) para algun σ ∈ G).

Ahora bien, como la caracterıstica de k es nula, todas las raıces de q(x) sonsimples (4.3.5), y al transformar α con el grupo de Galois G obtenemos tantoselementos distintos como el grado de q(x). Luego

|G| = |H| · gr q(x) = |H| · [k(α) : k]

donde H = τ ∈ G : τ(α) = α es el grupo de Galois de p(x) sobre k(α). Proce-diendo por induccion sobre el grado del cuerpo de descomposicion obtenemos queel orden del grupo de Galois es el grado del cuerpo de descomposicion:

|G| = [L : k] .

(3) Teorema de Galois: Sea L el cuerpo de descomposicion sobre k de unpolinomio p(x) ∈ k[x], y sea G su grupo de Galois. Si a cada subgrupo H de Gle asignamos el cuerpo intermedio LH := α ∈ L : τ(α) = α, ∀τ ∈ H, obtenemosuna biyeccion [

Subgruposde G

]−→

[Cuerpos intermedios

entre k y L

]

que invierte inclusiones. La biyeccion inversa asigna a cada cuerpo intermedio L′

el subgrupo Aut(L/L′) := τ ∈ G : τ(α) = α, ∀α ∈ L′. Ademas |H| = [L : LH ].

Demostracion: Si L′ es un cuerpo intermedio, entonces L es el cuerpo de descom-posicion de p(x) sobre L′ y H = Aut(L/L′) es el grupo de Galois de p(x) sobre L′.Por tanto, si α ∈ LH , se sigue del punto 2 que el polinomio irreducible de α sobreL′ tiene una unica raız; luego es de grado 1 por 4.3.5 y concluimos que α ∈ L′. Esdecir, L′ = LH . Ademas, por el punto 2 tenemos que

|H| = [L : L′] = [L : LH ] .


Por otra parte, sea H un subgrupo de G y sea σ ∈ Aut(L/LH). Si α ∈ L, elpolinomio

qα(x) :=∏

τ∈H

(x− τ(α)

)

tiene sus coeficientes en LH , ası que son invariantes por σ, y σ(α) es una raız deqα(x). Luego σ(α) = τ(α) para algun τ ∈ H:

L =⋃

τ∈H Ker (σ − τ) .

Como el cuerpo k es infinito, porque car k = 0, ningun k-espacio vectorial es unionfinita de subespacios vectoriales propios (G.4.2), ası que Ker (σ − τ) = L paraalgun τ ∈ G; es decir, σ = τ ∈ H y concluimos que H = Aut(L/LH).

(*) Eliminacion:La teorıa de la Eliminacion permite resolver multiples problemas. Veamos

algunos ejemplos:

(1) Para hallar todas las soluciones racionales del sistema de ecuaciones

4 = 2x2y + 2xy2 − 4xy + x2 + y3

0 = 2x2 + y2 + 2xy − 5x + 2

eliminamos x, para lo que formamos la resultante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2y + 1 2y2 − 4y y3 − 4 0

0 2y + 1 2y2 − 4y y3 − 4

2 2y − 5 y2 + 2 0

0 2 2y − 5 y2 + 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= y4 + 13y3 + 56y2 + 80y

Las raıces racionales no nulas de este polinomio dividen a 80. Por comprobaciondirecta vemos que las raıces racionales de la resultante son y = 0,−4,−5.

Sustituyendo y = 0 en el sistema inicial obtenemos x2 = 4, 2x2 − 5x + 2 = 0,que solo tienen en comun la raız x = 2.

Sustituyendo y = −4 obtenemos −7x2 +48x− 64 = 4, 2x2− 13x+18 = 0, quesolo tienen en comun la raız x = 2.

Sustituyendo y = −5 obtenemos −9x2 + 70x − 125 = 4, 2x2 − 15x + 27 = 0,que solo tienen en comun la raız x = 3.

Concluimos que las soluciones racionales del sistema son (2, 0), (2,−4), (3,−5).

(2) Dado un polinomio de grado 5 con coeficientes racionales, la determinacionde sus factores de grado 2 puede hacerse resolviendo un sistema de 2 ecuacionesalgebraicas con dos incognitas, lo que nos permite descomponer el polinomio dado


en factores irreducibles. Por ejemplo, el polinomio x5 + x4 + x3 − 1 no tienefactores de grado 1 en Q[x] porque no tiene raıces racionales. Para hallar losposibles factores de grado 2

x5 + x4 + x3 − 1 = (x3 + ax2 + bx + c)(x2 + (1− a)x− 1/c)

determinamos las soluciones racionales del sistema

1 = c−1 + a(1− a) + b0 = −ac−1 + b(1− a) + c0 = −bc−1 + c(1− a)

De la ultima ecuacion obtenemos b = c2(1− a) y sustituimos en las otras dos

0 = −ca2 + (c− c3)a + c3 − c + 10 = c3a2 − (2c3 + 1)a + c3 + c2

Eliminamos a formando la resultante∣∣∣∣∣∣∣∣

−c c− c3 c3 − c + 1 00 −c c− c3 c3 − c + 1c3 −2c3 − 1 c3 + c2 00 c3 −2c3 − 1 c3 + c2

∣∣∣∣∣∣∣∣= c11 + c9 + c8 + 2c6 + 2c5 + c4 + c2 + c

cuyas raıces racionales son c = 0, c = −1. Sustituyendo c = 0 obtenemos 0 = −1,0 = −a, que no tienen ninguna solucion comun. Sustituyendo c = −1 obtenemos0 = a2 − 1, 0 = −a2 + a, que tienen en comun la raız a = 1, y de la igualdadb = c2(1− a) se sigue que b = 0. El polinomio admite la descomposicion

x5 + x4 + x3 − 1 = (x3 + x2 − 1)(x2 + 1)

(3) Dado un polinomio p(x) ∈ k[x] de raıces α1, . . . , αn y un polinomio q(x) ∈k[x], para hallar un polinomio no nulo con coeficientes en k que admita las raıcesq(α1), . . . , q(αn) basta eliminar x en el sistema:

p(x) = 0q(x) = y

Por ejemplo, si α, β, γ son las tres raıces complejas del polinomio 2x3 − 3x + 1,un polinomio no nulo con coeficientes racionales que admita las raıces q(α), q(β),q(γ), donde q(x) = x2/(1 + x), se obtiene eliminando x en el sistema

2x3 − 3x + 1 = 0x2/(1 + x) = y

2x3 − 3x + 1 = 0(1 + x)y − x2 = 0


La resultante es∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 −3 1 00 2 0 −3 1−1 y y 0 00 −1 y y 00 0 −1 y y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −4y3 − 18y2 + 12y − 1

(4) Sean α y β raıces de sendos polinomios p(x) y q(x) con coeficientes en uncuerpo k. para hallar un polinomio no nulo con coeficientes en k que admita laraız f(α, β), donde f(x, y) ∈ k[x, y], basta eliminar x e y en el sistema

p(x) = 0q(y) = 0

f(x, y) = z

Por ejemplo, para calcular un polinomio con coeficientes racionales que tenga laraız 3

√2−ω 3

√2, donde ω denota una raız cubica primitiva de la unidad, eliminamos

x e y en el sistemax2 + x + 1 = 0

y3 − 2 = 0y − xy = z

Como y = z/(1− x), sustituyendo en la segunda ecuacion eliminamos y:

x2 + x + 1 = 02x3 − 6x2 + 6x + z3 − 2 = 0

Ahora, para eliminar x, formamos la resultante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 0 00 1 1 1 00 0 1 1 12 −6 6 z3 − 2 00 2 −6 6 z3 − 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= z6 + 108

(*) Racionalizacion de Expresiones Algebraicas:Sea α una raız de un polinomio no constante p(x) con coeficientes en un cuerpo

k. Si q(x) ∈ k[x] y q(α) 6= 0, el problema de racionalizar la expresion algebraica1/q(α) es el de hallar un polinomio b(x) ∈ k[x] tal que 1/q(α) = b(α).

Dividiendo p(x) y q(x) por su maximo comun divisor, podemos suponer queno tienen factores comunes no constantes y, en tal caso, el algoritmo de Euclides(325?-265? a. de Cristo) permite hallar polinomios a(x), b(x) ∈ k[x] tales que:

1 = a(x)p(x) + b(x)q(x)


Sustituyendo ahora x por α concluimos que 1/q(α) = b(α), porque p(α) = 0.El hecho de que el inverso de todo elemento no nulo de k[α] ya este en k[α]

significa que k[α] es un cuerpo. Es decir, k[α] = k(α).Cuando p(x) es irredcible en k[x] y de grado d, segun 4.4.2 tenemos que una

base de k(α) sobre k es 1, α, . . . , αd−1. Por tanto, para racionalizar 1/q(α) bastaresolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con d incognitas a0, . . . , ad−1:

q(α)(a0 + a1α + . . . + ad−1αd−1) = 1

(1) Por ejemplo, para racionalizar (quitar los radicales del denominador) la expre-sion β = 1/( 3

√4+2 3

√2+2), observamos que β = 1/q(α), donde q(x) = x2 +2x+2

y α = 3√

2 es raız del polinomio x3− 2, que tiene coeficientes racionales. Medianteel algoritmo de Euclides obtenemos la identidad de Bezout (1730-1783):

1 =(

x2 − x

2

)q(x)−

(x + 1

2

)p(x)

1 =(

α2 − α

2

)q(α)

β =1

q(α)=

α2 − α

2=

3√

4− 3√

22

Tambien podemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1 = (2 + 2α + α2)(a + bα + cα2)

= (2a + 2b + 4c) + 2(a + b + c)α + (a + 2b + 2c)α2

1 = 2a + 2b + 4c0 = a + b + c0 = a + 2b + 2c

y obtenemos que a = 0, b = −1/2, c = 1/2. Luego q(α)−1 = ( 3√

4− 3√

2)/2.

(2) Otro procedimiento para racionalizar una expresion con radicales consiste en ireliminando sucesivamente los diferentes radicales. Por ejemplo, para racionalizar1/( 3

√2 + 5

√3) consideramos primero el cuerpo k = Q( 5

√3) y α = 3

√2, de modo que

α es raız del polinomio x3 − 2 ∈ k[x] y tenemos que racionalizar 1/q(α), dondeq(x) = x + 5

√3 ∈ k[x]. La Identidad de Bezout para x3 − 2 y x + 5

√3 es:

5√

27 + 2 = (x2 − 5√

3x + 5√

3)(x + 5√

3)− (x3 − 2)

13√

2 + 5√

3=

1α + 5

√3

=3√

4− 5√

3 3√

2 + 5√

35√

27 + 2


Para concluir se racionaliza el denominador 1/( 5√

27 + 2):

1 = (x + 2)x4 − 2x3 + 4x2 − 8x + 16

59− x5 − 27

591

5√

27 + 2=

5√

274 − 2 5√

273 + 4 5√

272 − 8 5√

27 + 1659

Ejercicios:

1. Sea b un elemento no nulo de un anillo euclıdeo A. Probar que δ(1) ≤ δ(b)y δ(1) = δ(b) si y solo si b es invertible en A.

2. Determinar los elementos invertibles de Z , Z[ i ] , Z[ω] .

3. Demostrar que Z[√−2 ] es un anillo euclıdeo.

4. ¿Es invertible 3√

2 en el anillo Z[ 3√

2 ] ?

5. ¿Es cierto que Z[α] = Z+ Zα cuando α =√

2/2, 2√

2, 2 +√

2, 3√

2 ?

6. Demostrar que los enteros de Gauss irreducibles son los de la forma a + bidonde su norma a2 + b2 es un numero primo, y los de la forma ±p o ±pidonde p es un numero primo que no descompone en suma de dos cuadradosperfectos.

7. Demostrar que dos descomposiciones n = a2 + b2 = c2 + d2 de un numeronatural n en suma de dos cuadrados perfectos coinciden (es decir a2 = c2 oa2 = d2) precisamente cuando a+ bi difiere de c+di o de c−di en un enterode Gauss invertible.

8. Demostrar que ningun numero primo puede descomponerse de dos formasdistintas en suma de dos cuadrados perfectos.

9. Hallar las descomposiciones de 1991, 1992, 1993, 157300, 100, 1000 y 11111en producto de enteros de Gauss (1777-1855) irreducibles. Calcular todassus descomposiciones en suma de dos cuadrados perfectos.

10. ¿De cuantos modos distintos puede descomponerse 10n en suma de doscuadrados perfectos?

(Indicacion: 1 + i y 1− i difieren en un entero de Gauss invertible.)

11. Sea n ≥ 2 un numero natural. Si p es un factor primo impar de n2 + 1,probar que (p− 1)/2 es par. Concluir que existen infinitos numeros primosde la forma 4m + 1.


12. Sean n,m numeros naturales primos entre sı. Demostrar que todo numeroprimo que divida a n2 + m2 es suma de dos cuadrados perfectos.

13. Sea d un numero impar mayor que 1. Probar que el anillo Z[√−d ] no es

euclıdeo. (Indicacion: (1 +√−d )(1−√−d ) es par).

14. Sea A = Q[x]/(x3−x− 1) y α = [x]. ¿Es 3α+1 el inverso de α2 +2α+1 enel anillo A? Hallar el inverso de α+2 en A. ¿Es 2 el cubo de α+2? Calcularun polinomio no nulo p(x) con coeficientes racionales tal que p(α2 + 1) = 0.

15. Sea K = Q[x]/(x2 − 2x − 2) y sea α = [x]. Probar que K es una extensionde Q de grado 2 y que 1, α es una base de K como Q-espacio vectorial.Determinar si el opuesto de 1 + α es el inverso de 1 − α y si (2 + α)3 es launidad. Hallar las raıces en K de los polinomios x2 − 2, x2 − 3, x2 + 1 yx3−3. Calcular un polinomio no nulo con coeficientes racionales que admitala raız α + α2.

16. Probar que K = Q[x]/(x3 − 6x − 6) es una extension de Q. Sea α = [x].Comprobar si α + 1 es raız de x2 − 3, si α2 − α − 4 es raız de x3 − 2 y siα2− 2α− 4 es raız de x3 +4. Calcular un polinomio no nulo con coeficientesracionales que admita las raıces 1− α y α2 + 2.

17. Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para que una extensionj : k → K tenga grado 1 es que j sea un isomorfismo.

18. Si p(x) = (x− α1) · · · (x− αn), entonces p(x)p(−x) es un polinomio en x2:

p(x)p(−x) = q(x2)

y q(x) es el polinomio de raıces α2i ; es decir, q(x) =

∏i(x− α2

i ).

19. Si α, β, γ son las raıces complejas de x3 − 3x + 1, determinar un polinomiocuyas raıces sean α + α−1, β + β−1 y γ + γ−1.

20. Si α, β, γ son las raıces complejas del polinomio x3 + 2x2 − x + 1, hallar

α2β2 + α2γ2 + β2γ2 , αβγ3 + αβ3γ + α3βγ , (α + β)2 + (α + γ)2 + (β + γ)2

21. Si α1, . . . , α5 son las raıces complejas del polinomio x5 − x− 1, calcular

5∑

i=1

α2i ,

5∑

i=1

α−1i ,

5∑

i=1

α−2i

22. Sea p(x) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo. Si p(x)tiene una raız simple ¿es cierto que todas sus raıces son simples? Si p(x)tiene una raız multiple ¿es cierto que todas sus raıces son multiples?


23. Hallar las raıces multiples de los siguientes polinomios con coeficientes ra-cionales, ası como sus respectivas multiplicidades ¿y si los coeficientes estanen F2? ¿y en F3?

x6 + x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 4 , 2x6 − 9x4 + 20x3 − 24x + 28

24. Si d ∈ Q no es un cuadrado, demostrar que Q(√

d ) es una extension de grado2 de Q. Si a, b ∈ Q, demostrar que Q(

√a ) = Q(

√b ) precisamente cuando

a/b sea un cuadrado en Q.

25. Demostrar que [Q( 3√

2 ) : Q] = 3. ¿Esta√

2 en Q( 3√

2 )?

26. Demostrar que una base de Q( 4√

2 ) sobre Q es 1, 4√

2,√

2, 4√

8 .

27. Determinar las relaciones de inclusion entre los siguientes subcuerpos de C:

Q , Q(1/2) , Q(√

2 ) , Q( 3√

2 ) , Q(i) , Q(i +√

2 ) , Q(√−2 )

28. ¿Estan x3 + 1 y x4 − 1 en el ideal (xy − x− 1, x2 + y2 − 1) de Q[x, y] ?

29. Determinar si en el ideal (x2 +y2−x, x2y2−x) de Q[x, y] estan los siguientespolinomios:

x4 − x3 + x , x3 − x2 + 1 , x3 + y3 − x− yy4 − x(y2 − 1) , (x2y2 + y)2 − xy(2 + xy)

30. Hallar todas las soluciones racionales de los siguientes sistemas de ecuaciones:

2x2 + 2xy + y2 − 5x = −22xy2 + 2xy2 + y3 + x2 − 4xy = 4

x3 + y2 − x = 0x2 + y2 + y = 1

x2 + y4 = 0yx3 + y3x = −1

x2y2 + y4 + 1 = 0

x2y + xy2 + y3 = 0

x2y2 + y5 = 0

x2y + y2x + 1 = 0

31. Racionalizar ( 3√

4 + 4√

3 )−1 , ( 5√

2−√3 + 1)−1 , ( 6√

10−√2− 1)−1 .

32. Determinar si los siguientes polinomios son irreducibles en Q[x]: x5 − x− 1,x5 + 4, x5 − x2 − 1, x5 + 3x3 + 1, x5 − x2 + 18x + 7.

33. Sea p(x) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo k. Si el gradode una extension finita k → L no es multiplo del grado de p(x), probar quep(x) no tiene raıces en L.

34. Hallar el grado de Q(√

3 +√

5 ) sobre Q.


35. Demostrar que x3−3 no tiene raıces en k = Q(√

2). Concluir que Q(√

2, 3√

3 )es una extension de grado 6 de Q y hallar una base sobre Q.Sea α =

√2 + 3

√3. Probar que el grado de un polinomio irreducible en Q[x]

que admita la raız α es 1, 2, 3, o 6. Analizando las relaciones de depen-dencia lineal entre las sucesivas potencias de α, concluir que α es raız deun polinomio irreducible de grado 6 con coeficientes racionales. Calcular talpolinomio.

36. Hallar el grado sobre Q y una base de las siguientes extensiones:

Q(√

2,√

3 ) , Q(√

3,3√

2 ) , Q(i,√

2 )

37. ¿Esta i en la extension Q(ω, 3√

2 )? ¿Esta√

2 en Q(√

3, 3√

2 )?

38. Determinar un polinomio irreducible con coeficientes racionales que admitala raız

√2 +

√3 . Analogamente para√

3 + 4√

3 ,√

2 + i , 3√

2 + ω 3√

2 ,3√

7 + 5√

23√

1 +√

2i ,√

6 + 4√

3 ,√

21 + 12√

3 , 3√

2− 2ii− ω , 2i + ω, iω , i/ω , i/(2ω + 1)√−2

1+√

2,

√3√2−√2 ,

√3

3√2− 1 , 1

i−√2, ω

1− 3√−2

39. Construir un cuerpo con 4 elementos, otro con 8 y otro con 9.

40. Hallar los numeros racionales q tales que sen qπ es algebraico sobre Q.

41. Si dos numeros complejos son trascendentes sobre Q, entonces su suma o suproducto es tambien trascendente sobre Q.

42. Si p es un numero primo, todo cuerpo de cardinal p es isomorfo a Fp.

43. Sea k → L una extension de grado 2. Si la caracterıstica de k no es 2, probarque L = k(

√a ) para algun a ∈ k. ¿Es cierto tambien cuando car k = 2 ?

44. Dado un sistema de ecuaciones

p(x, y) = 0q(x, y) = 0

con coeficientes en un cuerpo k, probar que su resultante r(y) esta en el ideal(p, q) de k[x, y] :

r(y) = a(x, y)p(x, y) + b(x, y)q(x, y)

Indicacion: Sean C0, . . . , Cm+n las columnas de la matriz que nos propor-ciona la resultante. Calcular C = xm+n−1C0 + . . . + 1 · Cm+n y utilizarque

r(y) = det(C0, . . . , Cm+n) = det(C0, . . . , Cm+n−1, C)


Factorizacion Unica

(*) Anillos de Fracciones:

1. El cuerpo de fracciones de Z es Q, y el de Z[ i ] es Q( i ).

2. Los numeros impares forman un sistema multiplicativo S en Z y el corres-pondiente anillo de fracciones S−1Z es el subanillo de Q formado por todoslos numeros racionales que pueden representarse con una fraccion cuyo de-nominador sea impar.

En general, si p es un numero primo, entonces S = Z − pZ es un sistemamultiplicativo de Z y el anillo de fracciones S−1Z es el subanillo deQ formadopor todos los numeros racionales que pueden representarse con una fraccioncuyo denominador no sea multiplo de p.

3. Sea k un cuerpo. En el anillo A = k[x, y] los polinomios no nulos en xforman un sistema multiplicativo S = q(x) 6= 0 y el correspondiente anillode fracciones S−1A es isomorfo al anillo de polinomios en una indeterminadacon coeficientes en el cuerpo k(x); es decir, S−1A ' k(x)[y] .

4. Si S es un sistema multiplicativo de un anillo A y a ∈ A, entonces a/1 = 0en S−1A si y solo si existe s ∈ S tal que sa = 0. Es decir, el nucleo delmorfismo de localizacion γ : A → S−1A esta formado por los elementos de Aque estan anulados por algun elemento de S. En particular, si A es ıntegroy el 0 no esta en S, el morfismo de localizacion γ es inyectivo.

(*) Descomposicion en Fracciones Simples:Para descomponer la fraccion racional (x4 +1)/(x4 +x2) en suma de fracciones

simples en R(x)

x4 + 1x4 + x2

= 1 +1− x2

x4 + x2= 1 +

ax + b

x2 + 1+

c

x+

d

x2

basta identificar coeficientes en la igualdad

1− x2 = (ax + b)x2 + cx(x2 + 1) + d(x2 + 1)

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales ası obtenido concluimos que a = 0,b = −2, c = 0 y d = 1.

Para descomponer la fraccion racional (x2 +1)/x2(x3−x2 +1) con coeficientesen el cuerpo F7

x2 + 1x2(x3 − 2)

=ax2 + bx + c

x3 − 2+

d

x+

e

x2

DOMINIOS DE FACTORIZACION UNICA 245

basta resolver en F7 el sistema de ecuaciones lineales

x2 + 1 = (ax2 + bx + c)x2 + dx(x3 − 2) + e(x3 − 2)

Si no se desea resolverlo por los metodos usuales del Algebra Lineal, podemosdar los valores x = 0, x = α y x = 1, donde α es la raız de x3 − 2 que nosproporciona el teorema de Kronecker (la clase de restos de x modulo x3 − 2, deforma que α3 = 2 y 1, α, α2 son linealmente independientes sobre F7):

1 = −2e ; e = −1/2 = 3

α2 + 1 = (aα2 + bα + c)α2 = cα2 + 2aα + 2b ; c = 1, a = 0, b = 1/2 = 42 = (a + b + c)− d− e ; d = a + b + c− e = 4 + 1− 3 = 2

(*) Dominios de Factorizacion Unica:

1. Todos los cuerpos y todos los anillos euclıdeos (Z, Z[ i ], k[x], . . .) son domi-nios de factorizacion unica.

2. Consideremos el anillo Z[√

d ], donde d es un numero entero que no seacuadrado perfecto. Si d es par, entonces 2 divide a d =

√d ·√

d mientras que2 no divide a

√d en Z[

√d ]. Si d es impar, 2 divide a 1−d = (1+

√d )(1−

√d ),

mientras que 2 no divide a 1 +√

d ni a 1 −√

d en Z[√

d ]. Luego Z[√

d ] noes un dominio de factorizacion unica cuando 2 sea irreducible en Z[

√d ], lo

que equivale a que la ecuacion x2 − d y2 = ±2 no tenga soluciones enteras.

En efecto, si 2 = ±(x + y√

d )(x− y√

d ) tiene alguna solucion entera, clara-mente 2 no es irreducible en Z[

√d ]. Recıprocamente, si

2 = (a + b√

t )(u + v√

t )

y ningun factor es invertible en Z[√

d ], al tomar normas obtenemos que22 = (a2 − b2d)(u2 − v2d). Luego a2 − b2d = ±2, porque a2 − b2d 6= ±1 yu2 − v2d 6= ±1, al no ser a + b

√d ni u + v

√d invertibles en Z[

√d ].

En resumen, si la ecuacion x2 − d y2 = ±2 carece de soluciones enteras,el anillo Z[

√d ] no es un dominio de factorizacion unica. Por ejemplo, tal

ecuacion carece de soluciones enteras cuando d ≤ −3. Tampoco tiene solu-ciones enteras cuando d ≡ 1 modulo 4, porque su reduccion modulo 4 notiene soluciones en Z/4Z.

3. En el cuerpo de fracciones del anillo ıntegro A = Z[ni ], esta i = ni/n, que esraız del polinomio x2 + 1 ∈ A[x]. Como i no esta en Z[ni ] cuando n ≥ 2, ental caso 5.3.2 proporciona otra demostracion de que Z[ni ] no es un dominiode factorizacion unica.


4. Consideremos el polinomio y2 − x2n+1 con coeficientes en un cuerpo k. Envirtud del lema de Gauss (1777-1855), este polinomio es irreducible en k[x, y],porque y2 − a2n+1 es irreducible en k(a)[ y ], ya que es de grado 2 y no tieneraıces en k(a). Luego A = k[x, y]/(y2−x2n+1) = k[ξ, η] es un anillo ıntegro.En su cuerpo de fracciones k(ξ, η) tenemos que

(η/ξ)2 = ξ2n−1

ası que η/ξ es raız del polinomio unitario p(t) = t2 − ξ2n−1 ∈ A[ t ]. Ahorabien, η/ξ no esta en A, pues en tal caso tendrıamos η = ξq(ξ, η) para algunq(ξ, η) ∈ A; luego y − xq(x, y) serıa un multiplo de y2 − x2n+1 en k[x, y], loque llevarıa a contradiccion igualando los coeficientes de y. De acuerdo con5.3.2, concluimos que A no es un dominio de factorizacion unica.

(*) Polinomios Irreducibles:

(1) Veamos que el polinomio q(x) = x4−x3+x2+1 es irreducible en Z[x]. No tienefactores de grado 0 porque sus coeficientes no tienen factores primos comunes. Notiene factores de grado 1 porque no tiene raıces en Q. Si tuviera algun factor degrado dos, q(x) = (x2 + ax ± 1)(x2 + bx ± 1) , entonces b = −a, y el coeficientede x3 en q(x) serıa nulo. En virtud del lema de Gauss, q(x) tambien es irreducibleen Q[x].

(2) Veamos que los polinomios x2 + yn − 1 son irreducibles en C[x, y]. Considere-moslos como polinomios q(x) en una indeterminada x con coeficientes en el anillode polinomios A = C[a] en otra indeterminada, que no denotaremos y sino a pararesaltar que A es ahora el anillo de las constantes. Es decir

q(x) = x2 + an − 1

Sus coeficientes 1, 0, an−1 claramente no tienen factores irreducibles comunesen A (pues la unidad no tiene factores irreducibles). Este polinomio q(x) es irre-ducible en Σ[x], donde Σ = C(a) es el cuerpo de fracciones de A = C[a], porque Σes un cuerpo y q(x) es un polinomio de grado 2 sin raıces en Σ, dado que an − 1no es un cuadrado en Σ (por ejemplo porque tiene una raız simple). El lema deGauss permite concluir que x2 + yn − 1 es irreducible en C[x, y].

(3) El polinomio p(x) = x5 − x2 + 1 es irreducible en Z[x] y en Q[x], porquesus coeficientes no tienen factores primos comunes y su reduccion modulo 2 esirreducible en F2[x]. En efecto, p(x) no admite factores de grado 1 en F2[x] porqueno tiene raıces en F2, ası que, si no fuera irreducible tendrıa algun factor irreduciblede grado 2. Ahora bien, el unico polinomio irreducible de grado 2 con coeficientes


en F2, que es x2 + x + 1, no divide a x5 + x2 + 1, pues no es nula la clase de restosde x5 + x2 + 1 modulo x2 + x + 1. En efecto, poniendo α = [x] tenemos:

α2 = α + 1 , α4 = α2 + 1 = α , α5 = α2

α5 + α2 + 1 = α2 + α2 + 1 = 1 6= 0

(4) El polinomio con coeficientes enteros p(x) = x5 − 6x4 + 2x3 + 5x2 − x− 2 notiene raıces racionales, ası que no admite factores de grado 1 en Q[x] y, por tanto,tampoco en Z[x]. Su reduccion modulo 2 es el polinomio

p(x) = x5 + x2 + x = x(x4 + x + 1)

que no admite factores de grado 2, pues x4 + x + 1 es irreducible en F2[x]. Luegop(x) no admite factores de grado 2 en Z[x] y concluimos que p(x) es irreducibleen Z[x] y, en virtud del lema de Gauss, tambien es irreducible en Q[x] .

(5) Consideremos el polinomio p(x) = −5x6 + 6x4 − 3x2 − 6x + 7. Su reduccionmodulo 2 no admite factores de grado 1 ni 2 en F2[x] :

x6 + x2 + 1 = (x3 + x + 1)2

En consecuencia, p(x) no admite factores de grado 1 ni 2 en Z[x]. Por otraparte, la reduccion de p(x) modulo 3 no admite factores de grado 3 en F3[x] :

x6 + 1 = (x2 + 1)3

Luego p(x) no admite factores de grado 3 en Z[x] y concluimos que p(x) notiene factores de grado 1,2 ni 3 en Z[x]. Como sus coeficientes no tienen factoresprimos comunes, p(x) no tiene factores irreducibles de grado cero, ası que p(x) esirreducible en Z[x] y tambien es irreducible en Q[x].

(6) Veamos, usando el criterio de reduccion, que el polinomio x5 + y3 − 1 esirreducible en Q[x, y]. Si se considera como polinomio en una indeterminada y concoeficientes en el anillo de polinomios A = Q[a] en otra indeterminada

p(y) = y3 + (a5 − 1)

sus coeficientes 1, 0, 0, a5 − 1 no tienen factores irreducibles comunes en Q[a]. Alconsiderar el caso particular a = −1 obtenemos el polinomio p(y) = y3− 2, que esirreducible en Q[y], y concluimos que y3 + a5 − 1 es irreducible en A[y] = Q[a, y].

(7) Si un numero entero d es multiplo de un numero primo p y no es multiplode p2, el criterio de Eisenstein (1823-1852) prueba que los polinomios xn − d sonirreducibles en Z[x] y, por tanto, tambien en Q[x].

Por ejemplo, los polinomios xn − 2, xn + 3 , . . . son irreducibles en Q[x]


Ejercicios:

1. Sea S un sistema multiplicativamente cerrado de un anillo A. Probar que

(a) a/s = b/t si y solo si r(ta− sb) = 0 para algun r ∈ S.

(b) El morfismo canonico de localizacion A → S−1A es un isomorfismoprecisamente cuando todo elemento de S es invertible en A.

(c) La condicion necesaria y suficiente para que S−1A = 0 es que 0 ∈ S.

2. Sean S y T dos sistemas multiplicativos de un anillo A. Probar que (AS)T =AST . Si S ⊆ T , concluir que AT = (AS)T .

3. ¿Es cierto que el cuerpo de fracciones de Z[x] es isomorfo a Q(x)?

Si α ∈ C, ¿es cierto que el cuerpo de fracciones de Z[α] es isomorfo a Q(α)?

4. Sea p un numero primo y d un numero entero. Si d es resto cuadraticomodulo p y las ecuaciones x2 − dy2 = ±p carecen de soluciones enteras,demostrar que el anillo Z[

√d ] no es un dominio de factorizacion unica.

Cuando p = 2, comprobar que la hipotesis se verifica en los casos d =−5, −4, 5, 8, 10.

5. Si k es un cuerpo, determinar los elementos de k(x1, . . . , xn) que son alge-braicos sobre k.

6. Calcular el grado sobre Q de la extension que generan las raıces complejasdel polinomio x4 − 2. Analogamente para x3 + 3, x5 − 1 y x4 + 1.

7. Calcular un polinomio irreducible con coeficientes en Q(i) que admita la raız4√

2. Analogamente sustituyendo Q(i) por Q(√

2 ), Q( 3√

2 ) y Q(√

3 ).

8. Hallar el grado sobre Q de la extension que generan todas las raıces complejasdel polinomio x3 + 2. Analogamente para los polinomios x4 − 3, x4 + 3,x4 − x2 + 1, x4 + x2 − 2, x3 − 4x2 + 5, x4 + 3, x4 − 3.

9. Descomponer en factores irreducibles los siguientes polinomios con coefi-cientes complejos (respectivamente en F2 y en F3 ): x2 + y2− 1, xy2 +x2y−x− y, y2 + x2 − y3, x2y2 − x2z2 − y2z2 + z2, x3 + y3 + 1, x3y3 + 1, x6 − y3,x3y + yz3 + x− z.

10. Estudiar la irreducibilidad en Q[x] del polinomio x5 − nx− 1, donde nZ.

11. Sea α una raız racional de un polinomio con coeficientes enteros p(x). Siα = a/b, donde a y b son numeros enteros primos entre sı, demostrar quetodos los coeficientes de p(x)/(bx − a) son enteros. Concluir que p(1) esmultiplo de a− b y p(−1) lo es de a + b .


12. Sea k un cuerpo y p(x) ∈ k[x]. Probar que y2− p(x) es irreducible en k[x, y]si, y solo si, p(x) no es un cuadrado en k[x].

13. Descomponer en factores irreducibles los siguientes polinomios con coefi-cientes racionales: x4y4 +x2y3−x4−x2 +y2−1, x4 +3x3 +x2 +x+(2n+1),x5 − x2 + 1, x5 − 2x3 + x2 − 3x + 1, x6 − 6x5 − 5x3 + 4x2 + 3x + 2.

14. Sea p(x) = x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 3.

Descomponer en factores irreducibles la reduccion de p(x) modulo 2 y 3.

Descomponer p(x) en factores irreducibles en Z[x] y en Q[x] .

15. Sea p(x) = 33x5 − 6x4 + 3x2 − 3x + 6.

Descomponer en factores irreducibles la reduccion modulo 2 de p(x).

Descomponer p(x) en factores irreducibles en Z[x] y en Q[x] .

16. Criterio de Nietsnesie (3281-2581): Sea a0 + a1x + . . . + anxn un polinomiono constante con coeficientes enteros. Si sus coeficientes no admiten factoresprimos comunes y existe un numero primo p que divide a a1, . . . , an y p2 nodivide a an, entonces el polinomio es irreducible en Z[x] y en Q[x].

17. Sea q(x) un polinomio irreducible con coeficientes racionales y sea k =Q[x]/(q(x)). Dado un polinomio p(x) con coeficientes racionales, probarque los siguientes problemas pueden reducirse al de calcular todas las solu-ciones racionales de un numero finito de sistemas de ecuaciones algebraicascon coeficientes racionales:

(a) Hallar todas las raıces de p(x) en k.

(b) Decidir si p(x) es irreducible en k[x].

(c) Hallar la descomposicion de p(x) en producto de polinomios irreduciblesen k[x].


Modulos y Algebras

(*) Modulos:

1. Si k es un cuerpo, los k-modulos son los k-espacios vectoriales.

2. Sea j : A → B un morfismo de anillos. El producto a · b = j(a)b define en Buna estructura de A-modulo. En general, en todo B-modulo N tenemos unaestructura de A-modulo, definida por el producto a · n = j(a)n; y diremosque tal estructura de A-modulo se obtiene por restriccion de escalares.

En particular, si a es un ideal de un anillo A, la proyeccion canonica A → A/adefine en A/a una estructura de A-modulo: a · [ b ] = [ab] . Si S es un sistemamultiplicativo de A, el morfismo de localizacion A → AS define en AS unaestructura de A-modulo: a · (b/s) = (a/1)(b/s) = ab/s .

3. Cada grupo abeliano G admite una unica estructura de Z-modulo, pues paracada n ∈ N, g ∈ G el producto n · g ha de ser la suma iterada n veces deg, y (−n) · g ha de ser el opuesto de n · g. En resumen, los Z-modulosson los grupos conmutativos. Cuando un grupo abeliano se considera comoZ-modulo, los submodulos son los subgrupos.

4. Sea a un ideal de un anillo A. La inclusion a → A y la proyeccion canonicaA → A/a son morfismos de A-modulos.

5. Sea M un A-modulo. Cada elemento a ∈ A define una aplicacion a· : M → Mque es morfismo de A-modulos. La aplicacion natural A → HomA(M,M)ası obtenida es un morfismo de A-modulos.

6. Los submodulos del anillo A son precisamente los ideales de A.

7. Sea f : M → N un morfismo de A-modulos. Si M ′ es un submodulo deM , entonces f(M ′) es un submodulo de N . Si N ′ es un submodulo de N ,entonces f−1(N ′) es un submodulo de M . En particular, Im f = f(M) esun submodulo de N y Ker f = f−1(0) es un submodulo de M .

8. Sea a un ideal de A y M un A-modulo. El subgrupo

aM = m =∑

i aimi : ai ∈ a, mi ∈ Mgenerado por los productos de elementos de a por elementos de M es unsubmodulo de M .

9. Sean N1, N2 submodulos de un A-modulo M . Los morfismos de inclusionnaturales Ni → M definen un morfismo de A-modulos N1

⊕N2 → M . En

consecuencia, su imagen N1 + N2 = n1 + n2 : ni ∈ Ni es un submodulode M y claramente es el submodulo generado por N1 y N2.

MODULOS Y ALGEBRAS 251

(*) Geometrıa Intrınseca de las Subvariedades:Consideremos la subvariedad del espacio afın n-dimensional sobre un cuerpo k

definida por un ideal a de k[x1, . . . , xn]. El corolario 6.1.2 muestra que las rela-ciones de incidencia entre las subvariedades contenidas en ella estan determinadaspor el anillo k[x1, . . . , xn]/a. En este sentido el anillo de funciones algebraicasdetermina la geometrıa intrınseca de cada subvariedad. En particular, si el anillok[x1, . . . , xn]/a es isomorfo a un anillo de polinomios k[t1, . . . , td], dichas relacionesde incidencia coinciden con las de las subvariedades de un espacio afın de dimensiond. Veamos unos ejemplos:

1. Consideremos la curva plana y = ax + b sobre un cuerpo k. Las ecuaciones

x = ty = at + b

definen un isomorfismo k[x, y]/(y − ax − b) ' k[ t ]. Tal curva es una rectaafın.

Si k = R, la interseccion de la curva x2 + y2 = 1 con la recta y = 1, que esla subvariedad definida por el ideal (x2 + y2 − 1, y − 1), se corresponde conla subvariedad de la recta afın definida por el ideal (t2 + 1 − 1) = (t2): secortan en dos puntos confundidos en t=0. La interseccion con la recta y = xes la subvariedad definida por el ideal (t2 + t2 − 1) = (

√2 t − 1)(

√2 t + 1):

son los dos puntos reales t = ±1/√

2. La interseccion con la recta y = 2 esla subvariedad definida por el ideal (t2 + 3): es el par de puntos complejosconjugados t = ±√3 i.

2. El isomorfismo k[x, y, z]/(z−ax−by−c) ' k[ t1, t2] definido por las ecuaciones

x = t1y = t2z = at1 + bt2 + c

muestra que la subvariedad z = ax + by + c es un plano afın.

Si k = R, la interseccion de la superficie x2 + y2 + z2 = 1 con el plano z = 1es la subvariedad definida por el ideal (t21 + t22 + 1− 1) = (t21 + t22): es el parde rectas imaginarias conjugadas t21 + t22 = 0.

3. Consideremos la curva plana de ecuacion y = x4. Las ecuaciones

x = ty = t4

definen un isomorfismo k[x, y]/(y − x4) ' k[ t ]. La interseccion de estacurva con la de ecuacion y = −x4 esta definida por el ideal (y − x4, y + x4),y se corresponde con la subvariedad de la recta afın definida por el ideal(t4 + t4) = (t4): se cortan en 4 puntos confundidos en t = 0.


(*) Sea a un ideal de un anillo A. El anulador del A-modulo A/a es a. En general,si M es un A-modulo, el anulador de M/aM contiene al ideal a.

(*) Sea m un ideal maximal de un anillo A. El A-modulo m/m2 esta anulado por elideal m, ası que el producto a · [x] = a[x] = [ax] define en m/m2 una estructura deespacio vectorial sobre el cuerpo residual A/m. En general, si M es un A-modulo,M/mM es un espacio vectorial sobre A/m con el producto a · [m] = a[m] = [am].

(*) Consideremos el grupo abeliano (Z/6Z)⊕Z. El anulador de cualquier elemento(a, b) es 0 cuando b 6= 0. El anulador de (1, 0) y (5, 0) es 6Z, el anulador de (2, 0) y(4, 0) es 3Z, el anulador de (3, 0) es 2Z y el anulador de (0, 0) es Z. En particularel anulador de este grupo abeliano es 0.

(*) Sea M un A-modulo. Cada morfismo A → M viene definido por algun ele-mento m ∈ M y la condicion necesaria y suficiente para que su nucleo contengacierto ideal a es que m este anulado por a. En virtud de la propiedad universaldel modulo cociente concluimos que

HomA(A/a, M) =[Elementos de Manulados por a

]

(*) Sea I un conjunto. El A-modulo A(I ) es libre y una base esta formada por loselementos de I (que se identifican canonicamente con elementos de A(I )). Luegoel rango de A(I ) coincide con el cardinal de I.

(*) Sea A un anillo ıntegro. Si a 6= 0 es un ideal principal de A, entonces a =aA para algun elemento no nulo a ∈ A. Luego el morfismo a· : A → a es unisomorfismo de A-modulos y concluimos que a es un A-modulo libre de rango 1.Recıprocamente, si un ideal no nulo a de A es un A-modulo libre, su rango ha deser 1 (pues dos elementos a, b de una base verificarıan la relacion ba − ab = 0) yconcluimos que a es un ideal principal de A. Es decir, los ideales de A que sonmodulos libres son precisamente los ideales principales y todos, salvo el 0, son derango 1.

Cuando A es un anillo de polinomios sobre un cuerpo k, obtenemos que lasunicas subvariedades del espacio afın cuyo ideal es un modulo libre no nulo son lashipersuperficies.

(*) El anulador de cualquier A-modulo libre no nulo es el ideal 0. Si el anillo Aes ıntegro, el anulador de cualquier elemento no nulo de un modulo libre es 0.

(*) Sea a un ideal no nulo de un anillo A. El A-modulo cociente A/a nunca es libre,porque su anulador es a, que no es nulo. Sin embargo, A/a es un A/a -modulolibre de rango 1.

(*) El anulador del grupo abeliano (Z/nZ)⊕ Z es el 0; pero no es un grupo librecuando n ≥ 2, porque (1, 0) no es nulo y su anulador es nZ 6= 0.


(*) Sea A un anillo ıntegro que no sea cuerpo y sea a ∈ A un elemento no nulo deA que no sea invertible; es decir, tal que el morfismo a· : A → A no sea epiyectivo.Para todo A-modulo libre no nulo L es claro que el morfismo a· : L → L tampocoes epiyectivo. Sea Σ el cuerpo de fracciones de A. Como el morfismo a· : Σ → Σes epiyectivo, concluimos que Σ no es un A-modulo libre.

En particular, Q no es un grupo abeliano libre. Si k es un cuerpo, el cuerpode fracciones racionales k(x1, . . . , xn) no es un k[x1, . . . , xn]-modulo libre.

(*) Calculos de Longitudes:

(1) Sea p(x) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo k. Los idealesdel anillo k[x]/(p(x)n) se corresponden con los ideales de k[x] que contienen ap(x)n, que son precisamente los ideales generados por sus divisores:

(p(x)n

) ⊂ (p(x)n−1

) ⊂ · · · ⊂ (p(x)2

) ⊂ (p(x)

) ⊂ k[x]

Luego la longitud de k[x]/(p(x)n) es exactamente n.Si p1(x), . . . , pr(x) son polinomios irreducibles en k[x], primos entre sı dos a

dos, entonces k[x]/(p1(x)n1 · · · pr(x)nr ) ' k[x]/(p1(x)n1)⊕ · · · ⊕ k[x]/(pr(x)nr ) y,por la aditividad de la longitud, concluimos que

l(k[x]/

(p1(x)n1 · · · pr(x)nr

))= n1 + . . . + nr

(2) Consideremos la recta de ecuacion y = ax + b sobre un cuerpo k. La parame-trizacion x = t, y = at + b define un isomorfismo k[x, y]/(y − ax − b) ' k[ t ], asıque para cada polinomio p(x, y) con coeficientes en k tenemos un isomorfismo

k[x, y]/(y − ax− b, p(x, y)

) ' k[ t ]/(p(t, at + b)

)

que nos permite calcular la longitud del anillo de funciones algebraicas de la in-terseccion de la curva plana p(x, y) = 0 con cualquier recta.

Por ejemplo, el anillo de la interseccion de la curva plana x2 + y2 = 1 con larecta x = 1 es isomorfo a k[ t ]/(t2) y su longitud es 2, lo que recoge nuestra ideaintuitiva de que tal recta la corta en dos puntos infinitamente proximos.

(3) La parametrizacion x = t, y = t2 define un isomorfismo R[x, y]/(y−x2) ' R[ t ].Luego el anillo de funciones algebraicas de la interseccion de la parabola y = x2

con la circunferencia centrada en el punto (0, 1/2) que pasa por el origen es

R[x, y]/(y − x2, x2 + y2 − y) ' R[ t ]/(t4)

y su longitud es 4; recogiendo ası nuestra intuicion de que ambas conicas se cortanen 4 puntos confundidos en t = 0.

(4) Sea k un cuerpo y consideremos el anillo k[ξ, η] = k[x, y]/(x2, y2). Su dimen-sion como k-espacio vectorial es 4, pues una base es 1, ξ, η, ξη. Todo ideal es


un subespacio vectorial, ası que la longitud de k[ξ, η] no puede ser mayor que 4.Ahora bien, los ideales de este anillo se corresponden con los ideales de k[x, y]que contienen a (x2, y2). La siguiente sucesion estrictamente creciente de idealesmuestra que la longitud de k[ξ, η] es 4:

(x2, y2) ⊂ (x, y)2 ⊂ (x, y2) ⊂ (x, y) ⊂ k[x, y]

(5) La longitud de cualquier anillo ıntegro A que no sea cuerpo es infinita porqueadmite cadenas de ideales de longitud arbitraria:

· · · ⊂ fnA ⊂ · · · ⊂ f2A ⊂ fA ⊂ A

donde f ∈ A no es nulo ni invertible. Ademas, cualquier ideal no nulo de A tienelongitud infinita, pues contiene algun ideal principal no nulo, que es isomorfo alpropio anillo A y, por tanto, de longitud infinita.

(6) Veamos que el anillo A = C[x, y]/(p(x, y)

)de funciones algebraicas de una

curva plana compleja p(x, y) = 0 tiene longitud infinita. Si q(x, y) es un factorirreducible de p(x, y), tenemos que C[x, y]/

(q(x, y)

)= A/qA, ası que podemos

suponer que p(x, y) es irreducible, en cuyo caso A es ıntegro y para concluir bastaraprobar que no es cuerpo. En virtud del Teorema de D’Alembert, existen numeroscomplejos a, b tales que p(a, b) = 0, de modo que (x − a, y − b) define un idealmaximal de A. Ahora bien, es claro que x− a o y − b no es nulo en A, ası que Atiene un ideal maximal no nulo y concluimos que no es un cuerpo.

(7) Sea G un grupo abeliano de longitud finita. Si g ∈ G no es nulo, su orden hade ser finito, pues en caso contrario (g) ' Z serıa un subgrupo de G de longitudinfinita. Luego el subgrupo (g) es finito y, procediendo por induccion sobre lalongitud, la sucesion exacta corta

0 −→ (g) −→ G −→ G/(g) −→ 0

nos permite concluir que G es un grupo finito. Los grupos abelianos de longitudfinita son precisamente los de orden finito.

(*) Producto Tensorial de Espacios Vectoriales: Sea E un espacio vectorialde dimension finita n sobre un cuerpo k, y sea T q

p E el espacio de los tensores detipo (p, q) sobre E; es decir, de las aplicaciones multilineales

T qp : E× p. . . ×E × E∗× q. . . ×E∗ −→ k ,

Cada sucesion (ω1, . . . , ωp, e1, . . . , eq) de p formas lineales y q vectores defineun tensor de tipo (p, q):

(ω1⊗ . . . ωp⊗ e1 . . .⊗ eq)(v1, . . . , vp, η1, . . . , ηq) := ω1(e1) . . . ωp(vp)η1(e1) . . . ηq(eq)


y la aplicacion E∗× p. . . ×E∗×E× q. . . ×E → T qp E ası definida es A-multilineal. La

propiedad universal del producto tensorial permite obtener una aplicacion lineal

E∗⊗kp. . . ⊗kE∗ ⊗k E⊗k

q. . . ⊗kE −→ T qp E

que es un isomorfismo porque ambos espacios vectoriales tienen dimension np+q yla imagen contiene una base de T q

p E (por ejemplo los productos tensoriales de losvectores de una base de E y de su base dual). Estos isomorfismos permite definirde manera muy directa la contraccion de ındices. En efecto la aplicacion

E∗× p. . . ×E∗ × E× q. . . ×E −→ T q−1p−1 E

(ω1, . . . , ωp, e1, . . . , eq) 7→ ω1(e1)(ω2 ⊗ . . .⊗ ωp ⊗ e2 ⊗ . . .⊗ eq)

es multilineal, ası que define una aplicacion lineal C11 : T q

p E → T q−1p−1 tal que

C11 (ω1 ⊗ . . .⊗ ωp ⊗ e1 ⊗ . . .⊗ eq) = ω1(e1)(ω2 ⊗ . . .⊗ ωp ⊗ e2 ⊗ . . .⊗ eq)

Por ejemplo, tenemos que EndkE = T 11 E = E∗ ⊗k E y la aplicacion lineal

C11 : EndkE = T 1

1 E → T 00 E = k es precisamente la traza de los endomorfismos.

(*) Algebras:

1. Sea A un anillo. El cociente A/a por un ideal a y el anillo de fraccionesS−1A por un sistema multiplicativo S son A-algebras.

2. Sea k un anillo y A una k-algebra. Si B es una A-algebra, la composicionde los morfismos estructurales k → A → B define en B una estructura de k-algebra y diremos que se obtiene por restriccion de escalares. En particular,todos los cocientes y localizaciones de una k-algebra son k-algebras.

3. Cada anillo A admite una unica estructura de Z-algebra; pues existe ununico morfismo de anillos j : Z → A, que es el morfismo que transformacada numero natural n en la suma iterada n veces de la unidad de A y −nen la suma iterada n veces de −1. Ademas todo morfismo de anillos es unmorfismo de Z-algebras. El concepto de Z-algebra coincide con el de anillo.

4. Sea A = k[x1, . . . xn]/a y denotemos ξi la clase de restos de xi modulo a.La k-algebra A es de tipo finito porque los elementos ξ1, . . . , ξn forman unsistema de generadores de A = k[ξ1, . . . , ξn]. Recıprocamente, si una k-algebra A admite un sistema de generadores con n elementos, estos definenun morfismo epiyectivo k[x1, . . . , xn] → A y por tanto

A ' k[x1, . . . , xn]/a

para algun ideal a. Es decir, las k-algebras de tipo finito son precisamentelos cocientes por ideales de los anillos de polinomios con coeficientes en k.


El anillo de funciones algebraicas de cualquier subvariedad de un espacioafın sobre un cuerpo k definida por ecuaciones polinomicas es una k-algebrade tipo finito, y la condicion de ser de tipo finito caracteriza las k-algebrasde funciones algebraicas de tales subvariedades, lo que nos permitira reducirtotalmente el estudio de las variedades algebraicas afines al de las k-algebrasde tipo finito. Esta reduccion es absolutamente crucial.

5. Sea k un anillo. Cada morfismo de k-algebras

f : k[y1, . . . , ym]/b −→ k[x1, . . . , xn]/a

esta totalmente determinado por las imagenes fi(x1, . . . , xn) = f(yi) de losgeneradores y1, . . . , ym de k[y1, . . . , ym]/b, en cuyo caso diremos que

y1 = f1(x1, . . . , xn). . . . . . . . .

ym = fm(x1, . . . , xn)

son las ecuaciones del morfismo f considerado. La propiedad universal delanillo cociente afirma que las ecuaciones de un morfismo son totalmentearbitrarias, con la unica condicion de que se verifique

qh

(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)

)= 0

para un sistema de generadores qh(y1, . . . , ym) del ideal b.

(*) En el isomorfismo natural de K-algebras del corolario 6.5.3(k[x1, . . . xn]/(p1, . . . , pr)

)⊗k K = K[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr)[q(x1, . . . , xn)]⊗ λ = [λq(x1, . . . , xn)]

ha de entenderse que, en el segundo termino de esta formula, los coeficientes delos polinomios pi(x1, . . . , xn) se han sustituido por sus imagenes segun el morfismoestructural k → K. En particular, cuando q(x) es un polinomio con coeficientesenteros y q(x) denota su reduccion modulo un numero primo p, tenemos que

Z[x]/(q(x)

)⊗Z Fp = Fp[x]/(q(x)

)

(*) Sean A = k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) y B = k[y1, . . . , ym]/(q1, . . . , qs). Deacuerdo con 6.5.3, tenemos que

A⊗k B = k[x1, . . . , xn, y1, . . . , ym]/(p1, . . . , pr, q1, . . . , qs)[p(x1, . . . , xn)]⊗ [q(y1, . . . , ym)] = [p(x1, . . . , xn)q(y1, . . . , ym)]

(*) Los numeros complejos son las sumas formales a+bi, donde i2 = −1 y a, b ∈ R.Cambiar de base a C esta R-algebra significa considerar la C-algebra de las sumas


formales α+βi, donde i2 = −1 y α, β ∈ C. La determinacion de este anillo C⊗RCse realiza con el teorema de Kronecker y el teorema Chino de los Restos:

C⊗R C =(R[x]/(x2 + 1)

)C = C[x]/(x2 + 1) = C[x]/(x− i)(x + i) =

= C[x]/(x− i)⊕ C[x]/(x− i) = C⊕ Cdonde α⊗ β = (αβ, αβ), y el producto en C⊕ C es componente a componente.

(*) Algebra Tensorial de un Modulo: Si M es un A-modulo, pondremosT dM := M⊗A

d. . . ⊗AM (entendiendo que T 0M = A y T 1M = M), de modo queel producto tensorial de elementos define en

T •M :=⊕d≥0

T dM

una estructura de A-algebra graduada con unidad (¡pero no conmutativa!). Elmorfismo natural t : M → T •M , t(m) = m ∈ T 1M , claramente tiene la propiedaduniversal de que todo morfismo de A-modulos f : M → B en una A-algebra B (nonecesariamente conmutativa) factoriza de modo unico a traves de t:

Mt−−→ T •M

φ−−→ B

i.e., f = φt, donde φ es morfismo de A-algebras.

(*) Algebra Simetrica: Si M es un A-modulo, el algebra simetrica S•M deM es el cociente del algebra tensorial T •M por el ideal (bilatero) que generan loselementos x⊗ y − y ⊗ x:

S•M := T •M/(x⊗ y − y ⊗ x)

Es claro que S•M es una A-algebra graduada conmutativa, y que el morfismode A-modulos canonico σ : M → S•M , σ(m) = [t(m)], tiene la propiedad universalde que todo morfismo de A-modulos f : M → B en una A-algebra conmutativa Bfactoriza de modo unico a traves de σ:

Mσ−−→ S•M

φ−−→ B

i.e., f = φσ donde φ es morfismo de A-algebras. De esta propiedad universal sesigue directamente que1

S•(M ⊕N) = (S•M)⊗A (S•N)S•(⊕nA) = A[x1, . . . , xn](S•AM)B = S•B(MB)

1En particular, obtenemos una definicion del concepto de polinomio mas satisfactoria que decir“las expresiones de la forma ...”: El anillo de polinomios en n indeterminadas con coeficientes enun anillo A es el algebra simetrica de un modulo libre de rango n.


Cuando E es un espacio vectorial de dimension finita sobre un cuerpo k decaracterıstica nula, si consideramos el espacio vectorial TSdE de los tensores con-travariantes simetricos de orden d, tenemos que el morfismo natural

TSdE −→ T dE −→ SdE

es un isomorfismo lineal, como puede comprobarse directamente, sin mas que elegiruna base en E. Estos isomorfismos canonicos inducen un producto conmutativoen los tensores simetricos.

Sin embargo, cuando la caracterıstica de k es positiva, aunque la potenciasimetrica SdE tenga igual dimension que el espacio vectorial TSdE de los ten-sores contravariantes simetricos de orden d, no es posible definir isomorfismosintrınsecos TSdE = SdE. Por ejemplo, si la caracterıstica de k es 2, los tensoreshemisimetricos son simetricos; ası que, cuando E es un plano, TS2E contiene unarecta invariante por la accion natural del grupo lineal Gl(E), mientras que el es-pacio S2E de los polinomios homogeneos de grado 2 no contiene rectas invariantes(al menos cuando todo polinomio homogeneo se anule en algun vector no nulo,como es el caso cuando k es algebraicamente cerrado).

Ejercicios:1. Sea C = (a, b) ∈ R2 : ab = 1. Demostrar que todo polinomio con coefi-

cientes reales que se anule en todos los puntos de C es divisible por xy− 1 yque el anillo R[x, y]/(xy− 1) es isomorfo al anillo de las aplicaciones C → Rdefinidas por polinomios con coeficientes reales.

Analogamente para el polinomio x2−y2 y el conjunto C = (a, b) : a2 = b2.2. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas:

(a) La union de la recta x = 0 con la recta y = 0 es el par de rectas xy = 0.(b) La interseccion de la curva y = x2 con la recta y = 0 es el punto

x = y = 0.(c) La interseccion del par de rectas xy = 0 con el par de rectas y(x−y) = 0

es la recta y = 0.(d) La interseccion de dos rectas planas paralelas es vacıa.(e) La interseccion de la curva x2 + y2 = 1 con la recta x = 2 es vacıa.(f) La interseccion de la curva x2+y2 = 1 con la recta x = 0 es la union del

punto x = 0, y = 1 con el punto x = 0, y = −1. (Indicacion: Aplicarel Teorema chino del resto a los ideales de ambos puntos).

(g) La interseccion del par de rectas xy = 0 con el par de rectas y(x+y−1) =0 es la union de la recta y = 0 con el punto x = 0, y = 1. (Indicacion:Sea m el ideal del punto (0, 1). Probar que (xy, y(x + y − 1)) = ym).


(h) La interseccion de la curva x2+y2 = 1 con la recta doble x2 = 0 coincidecon su interseccion con el par de rectas paralelas y2 = 1.

(i) La interseccion del par de planos zx = 0 con el par de planos zy = 0es la union del plano z = 0 con la recta x = 0, y = 0. (Indicacion: Elideal (x, y) es primo).

3. Si k es un cuerpo, demostrar que k[x, y]/ (y − p(x)) ' k[ t ] y que

k[x, y]/ (q(x)y − p(x)) ' S−1k[ t ] ,

donde S = q(x)n, n ∈ N, cuando p(x) y q(x) son primos entre sı.

Indicacion: Si 1 = ap + bq, entonces q−1 = a(p/q) + b.

4. Sea A un anillo y sea A = A/aA. Probar que A/(aA + bA) ' A/bA.

5. Determinar si el ideal (x2 + x− y, y2 + y − x4 − 3x− 2) de Q[x, y] contienelos siguientes polinomios: xy + y − (x3 + x + 2) , x2 + y2 − (2xy + 1) ,y2 − 2xy − y + x− 1 , x2y − 2y − x3 + 2x + 1 .

6. Determinar si en el ideal (xy+y−1, x2y2−4y3+3y2+y−1) del anillo R[x, y]estan los siguientes polinomios: x2 − 1 , x2 − 2x− 1 , 2y − 1 , y2 − 4y + 1 .

7. Sean α1, . . . , αn numeros complejos, no todos reales. Demostrar que lospolinomios con coeficientes reales p(x1, . . . , xn) tales que p(α1, . . . , αn) = 0forman un ideal maximal m de R[x1, . . . , xn] y que R[x1, . . . , xn]/m ' C,donde [q(x1, . . . , xn)] se corresponde con q(α1, . . . , αn).

Hallar un sistema finito de generadores de m cuando los numeros complejosson 2 y 1 + i. Analogamente cuando son −i y −1 + i.

8. Demostrar que todo modulo es cociente de un modulo libre. ¿Es cierto quetodo modulo libre de tipo finito tiene rango finito? ¿y que cualquier sistemalinealmente independiente con n elementos en un modulo libre de rango n esuna base?

9. Si L es un A-modulo libre, probar que toda sucesion exacta de morfismos deA-modulos 0 → N → M → L → 0 escinde.

10. Demostrar que una sucesion exacta de A-modulos 0 → M ′ → M → M ′′ → 0escinde precisamente cuando M ′ admite un suplementario en M (i.e. unsubmodulo N ⊆ M tal que M ′ ∩N = 0 y M ′ + N = M).

11. Demostrar que (N + N ′)/N = N ′/(N ∩N ′) y que

M/(N + N ′) =(M/N)

(N + N ′)/N


12. Demostrar que M1 ⊕M2)/(N1 ⊕N2) = (M1/N1)⊕ (M2/N2) .

13. Demostrar que (Z/nZ)⊗Z (Z/mZ) = Z/dZ, donde d =m.c.d.(m,n).

14. Si E es un k-espacio vectorial, probar que el producto tensorial ⊗kE trans-forma sucesiones exactas de aplicaciones k-lineales en sucesiones exactas.

15. Sean E y F dos k-espacios vectoriales de dimension finita. Probar la exis-tencia de un isomorfismo lineal canonico Homk(E, F ) = E∗ ⊗k F .

16. Sea L un A-modulo libre y 0 → M ′ → M → L → 0 una sucesion exacta deA-modulos. Probar que la sucesion 0 → M ′⊗AN → M⊗AN → L⊗AN → 0es exacta para todo A-modulo N .

17. Sea k un cuerpo. Si m es un ideal maximal de k[x1, . . . , xn] tal que la k-algebra k[x1, . . . , xn]/m es isomorfa a k, probar que existen a1, . . . , an ∈ ktales que m = (x− a1, . . . , x− an). Analogamente, si m es un ideal maximalde una k-algebra de tipo finito k[ξ1, . . . , ξn] y k[ξ1, . . . , ξn]/m ' k, probarque m = (ξ1 − a1, . . . , ξn − an) para ciertos a1, . . . , an ∈ k.

18. Sean a y b ideales de un anillo A y sea M un A-modulo. Si a+b = A, aplicarel teorema chino de los restos para probar que tenemos un isomorfismo deA-modulos natural M/abM = (M/aM)⊕ (M/bM) .

19. Demostrar la existencia de isomorfismos de anillos:

C⊗R C ' C⊕ CQ( 3√

2 )⊗Q R ' R⊕ CQ(ω)⊗Q Q( 3

√2 ) ' Q(ω,

3√

2 ) , ω2 + ω + 1 = 0

Q( 3√

2 )⊗Q Q( 3√

2 ) ' Q( 3√

2 )⊕Q(ω,3√

2 )

20. Determinar los elementos invertibles, los divisores de cero, los nilpotentes ylos idempotentes de los siguientes anillos:

Q(√

2)⊗Q Q(i) , Q(√

2)⊗Q Q(√

2) , Q(√

2)⊗Q Q(√−2)

21. Sea A un algebra sobre un cuerpo k. Probar que el morfismo de cambio debase A → AK es inyectivo para toda k-algebra K.

22. Sean p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn), q(x1, . . . , xn) polinomios con coefi-cientes en un cuerpo k y sea K una extension de k. Si q(x1, . . . , xn) perteneceal ideal generado por p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn) en K[x1, . . . , xn], de-mostrar que q(x1, . . . , xn) esta en el ideal de k[x1, . . . , xn] generado por lospolinomios p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn).(Indicacion: Considerar el morfismo natural A → AK , donde A es el anillode funciones algebraicas de la subvariedad p1 = 0, . . . , pr = 0).

ESPECTRO PRIMO 261

Espectro Primo

(*) Puntos del Espectro:

1. Consideremos un anillo de polinomios k[x1, . . . , xn] con coeficientes en uncuerpo k. Si a1, . . . , an ∈ k, el ideal m = (x − a1, . . . , x − an) es maximal,luego define un punto cerrado del espectro del anillo k[x1, . . . , xn] y diremosque es el punto (a1, . . . , an). Un polinomio q(x1, . . . , xn) se anula en estepunto cuando q(a1, . . . , an) = 0 . Notese que k[x1, . . . , xn]/m = k.

2. Sean α1, . . . , αn numeros complejos y supongamos que algun αi no es real.En tal caso el correspondiente morfismo de anillos R[x1, . . . , xn] → C esepiyectivo, ası que su nucleo m es un ideal maximal y R[x1, . . . , xn]/m = C.Luego m define un punto cerrado del espectro de R[x1, . . . , xn] que no es delos construidos en el ejemplo anterior. Analogamente, m define un puntocerrado del espectro de R[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) cuando pj(α1, . . . , αn) = 0para todo 1 ≤ j ≤ r. Notese que α1, . . . , αn definen el mismo punto que susconjugados α1, . . . , αn.

3. Sea p(x1, . . . , xn) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo k.El ideal (p(x1, . . . , xn)) del anillo k[x1, . . . , xn] es primo y define por tantoun punto de su espectro. Su cierre (p)0 esta formado por todos los puntos enque se anula p(x1, . . . , xn), ası que es el punto generico de la hipersuperficiede ecuacion p(x1, . . . , xn) = 0 .

El ideal 0 tambien es primo, porque el anillo k[x1, . . . , xn] es ıntegro, y sucierre es todo el espectro. En general, si un anillo es ıntegro, su espectro esirreducible y su punto generico viene definido por el ideal 0, que es primo.

4. Sea k un cuerpo y H = (q)0 el cerrado del espacio afın An,k definido por laanulacion de un polinomio no constante q(x1, . . . , xn). Si

q(x1, . . . , xn) = pm11 · · · pmr

r

es su descomposicion en producto de potencias de polinomios irreduciblesque no difieran en factores constantes, entonces

(pm11 · · · pmr

r )0 = (pm11 )0 ∪ . . . ∪ (pmr

r )0

Como (pmii )0 = (pi)0, tenemos que H = (p1)0 ∪ . . . ∪ (pr)0. Ahora bien,

el ideal (pi) del anillo k[x1, . . . , xn] es primo, ası que sus ceros forman uncerrado irreducible del espectro, y concluimos que H es union de los cerradosirreducibles (p1)0, . . . , (pr)0, que son por tanto las componentes irreduciblesde H.


5. Vamos a calcular el espectro del anillo Z[√−5 ] ' Z[x]/(x2 + 5) aplicando la

formula de la fibra a la aplicacion continua natural SpecZ[√−5 ] → SpecZ.

Por el lema 7.2.10, la fibra de cada numero primo p es el espectro de

Z[√−5 ]/pZ[

√−5 ] ' Z[x]/(p, x2 + 5) ' Fp[x]/(x2 + 5)

Cuando la reduccion modulo p de x2 + 5 sea irreducible (es decir, cuando –5no sea resto cuadratico modulo p, lo que ocurre en los primos p = 11, 13, . . .)la fibra de p tiene un unico punto, definido por el ideal maximal pZ[

√−5 ].

Cuando la reduccion de x2 + 5 tenga una raız doble en Fp (lo que ocurresolo en los numeros primos p = 2, 5) la fibra de p tiene un unico punto; peroel ideal pZ[

√−5 ] no es maximal. Si p = 2, tal punto viene definido por elideal maximal (2, 1 +

√−5 ). Si p = 5, esta definido por el ideal maximal(5,√−5) = (

√−5 ).

Cuando la reduccion de x2 + 5 tenga dos raıces simples (lo que ocurre en losnumeros primos p = 3, 7, . . .), la fibra de p tiene dos puntos, definidos porlos ideales maximales (p,

√−5+a) y (p,√−5−a), donde a2 ≡ −5 (mod. p).

Segun la formula de la fibra, la del punto generico de SpecZ coincide con elespectro de Q[

√−5] = Q(√−5), ası que tiene un unico punto, definido por

el ideal 0. Los ideales primos no nulos de Z[√−5 ] son maximales, y son:

(2, 1 +√−5 ) , (

√−5 )

(p) , si –5 no es resto cuadratico modulo p

(p,√−5 + a) , (p,

√−5− a) donde a2 ≡ −5 (mod. p).

(*) Conexion del Espectro: De acuerdo con 7.2.3 cada descomposicion A =B1 ⊕ B2 de un anillo en suma directa induce una descomposicion de su espectroen union disjunta de dos abiertos:

Spec A = (Spec B1)∐

(Spec B2)

Recıprocamente, cada descomposicion Spec A = U∐

V del espectro en uniondisjunta de dos abiertos induce una descomposicion de A en suma directa de dosanillos.

En efecto, como U y V son cerrados, tenemos que U = (a)0 y V = (b)0 paraciertos ideales a, b de A. Luego (a + b)0 = U ∩ V = ∅ y se sigue que a + b = A; esdecir,

1 = f + h , f ∈ a , h ∈ b .

ası que f y h no pueden tener ceros comunes. Luego f se anula en todos los puntosde U y no se anula en ningun punto de V , mientras que h se anula en todos los

ESPECTRO PRIMO 263

puntos de V y no se anula en ningun punto de U . En particular fh se anula en todoslos puntos del espectro, y es nilpotente por el teorema 7.2.7; es decir, fnhn = 0.Ahora bien, como (fn)0 ∩ (hn)0 = U ∩ V = ∅, el Teorema chino de los restospermite concluir que el morfismo natural A = A/fnhnA → (A/fnA) ⊕ (A/hnA)es un isomorfismo. En particular U y V son abiertos basicos de Spec A.

(*) Variedades Algebraicas: Cuando hablamos de modo impreciso e intuitivode algun lugar geometrico, lo que casi siempre tenemos claro son sus ecuaciones, asıque podemos definirlo rigurosamente como variedad algebraica. Del grupo de lasraıces n-esimas de la unidad, lo que es obvio es que viene definido por la ecuacionxn = 1. Por tanto, la variedad algebraica µn de las raıces n-esimas de la unidadsobre un cuerpo k debe definirse como

µn = Spec k[x]/(xn − 1)

y sus puntos racionales son las raıces n-esimas de la unidad en k; pero puede tenerotros puntos, como ya ocurre cuando k = Q, debido a la existencia de otras raıcesn-esimas de la unidad en extensiones no triviales de k.

Un polinomio a0 +a1x+ . . .+anxn de grado ≤ n con coeficientes en un cuerpok viene dado por sus coeficientes (a0, a1, . . . , an), ası que la variedad algebraicade los polinomios de grado menor o igual que n sobre un cuerpo k debe definirsecomo el espacio afın Spec k[a0, a1, . . . , an] donde a0, . . . , an son indeterminadas.Ahora, los polinomios de grado n vienen dados por la condicion an 6= 0, ası que lavariedad algebraica de los polinomios de grado n sobre un cuerpo k debe definirsecomo el abierto basico Uan = Spec k[a0, a1, . . . , an, a−1

n ]. La variedad algebraica delos polinomios de grado n con alguna raız multiple, caracterizados por la anulaciondel discriminante ∆(a0, a1, . . . , an), debe definirse como

Spec k[a0, . . . , an, a−1n ]/(∆)

y la variedad algebraica de los polinomios de grado n sin raıces multiples se definecomo

Spec k[a0, . . . , an, a−1n , ∆−1]

Como ultimo ejemplo citemos el grupo lineal general Gln (el grupo de lasmatrices n× n invertibles) que claramente debe definirse como

Gln = Spec k[ aij , |aij |−1] , 1 ≤ i, j ≤ n

donde |aij | denota el determinante de la matriz (aij), y el grupo unitario Un, quees la subvariedad de Gln de ecuacion |aij | = 1; es decir,

Un = Spec k[aij , |aij |−1]/(|aij | − 1)

(*) Algebras de Boole: Un algebra de Boole (1815-1864) es un conjunto A dota-do de dos operaciones ∧, ∨ que verifican las propiedades del calculo proposicional(ver pagina 220):


1. Ambas operaciones son asociativas, conmutativas, y admiten neutro:

a ∧ 0 = a , a ∨ 1 = A

2. Distributiva: a∨ (b∧ c) = (a∨ b)∧ (a∨ c) , a∧ (b∨ c) = (a∧ b)∨ (a∧ c).

3. Absorcion: a ∨ 0 = 0 , a ∧ 1 = 1.

4. Idempotencia: a ∨ a = a , a ∧ a = a.

5. Negacion: Si a ∈ A, existe a ∈ A tal que a ∧ a = 1 y a ∨ a = 0.

El ejemplo fundamental de algebra de Boole lo proporcionan el algebra P(X)de las partes de un conjunto X, donde ∧ es la interseccion y ∨ es la union, demodo que 0 = X, 1 = ∅ y a es el complementario de a . Tambien los enunciadosde cualquier teorıa logica formalizada (que incluya los conectores “no”, “y”, “o”)siempre que se identifiquen los enunciados equivalentes (i.e., identificamos α y βcuando α ⇔ β sea un teorema de tal teorıa).

En las algebras de Boole se definen la implicacion ⇒ y la equivalencia ⇔ delsiguiente modo:

a ⇒ b := a ∨ b , a ⇔ b := (a ∨ b) ∧ (a ∨ b)

y es sencillo comprobar que en todo algebra de Boole (A;∨,∧), las operaciones

a + b := a ⇔ b , a · b := a ∨ b

definen una estructura de anillo conmutativo con unidad en el que todo elementoes idempotente: a2 = a. Tales anillos reciben el nombre de anillos de Boole.Recıprocamente, si (A; +, ·) es un anillo de Boole, obtenemos en A una estructurade algebra de Boole (donde la negacion es a = 1 + a) sin mas que definir

a ∧ b := a + b + ab , a ∨ b := a · b

Los anillos de Boole son de caracterıstica 2 porque 22 = 2. Ademas, todo anillode Boole ıntegro es el cuerpo F2, porque la condicion a(a−1) = a2−a = 0 implicaque a = 0 o a = 1. Luego en todo anillo de Boole A los ideales primos p sonmaximales y de cuerpo residual A/p = F2.

Como cada morfismo de anillos A → F2 esta totalmente determinado por sunucleo, tenemos que

Spec A = Hom(A,F2)

Es decir, los puntos x ∈ X := Spec A del espectro de un anillo de Boole A se corres-ponden con los morfismos vx : A → F2, que son las valoraciones o interpretacionescoherentes de A como familia de proposiciones verdaderas o falsas. Por tanto, cadaelemento f ∈ A define una funcion f : X → F2, sin mas que poner f(x) := vx(f),que se anula precisamente en (f)0. Si consideramos en el cuerpo F2 la topologıa

ESPECTRO PRIMO 265

discreta, estas funciones son continuas, pues Uf = (1+f)0. Ademas, ası se obtienetoda funcion continua X → F2, porque dar tal funcion equivale a descomponer elespectro como union de dos cerrados disjuntos, X = Y0

∐Y1, de modo que Y0 son

los ceros de algun f ∈ A, segun se ha visto en el apartado anterior.Como la condicion f2 = f claramente implica que todo elemento nilpotente de

un anillo de Boole A es nulo, el teorema 7.2.7 muestra que cada elemento de A estatotalmente determinado por la funcion que define sobre el espectro, de modo queA puede entenderse como el anillo de las funciones continuas sobre su espectro Xcon valores en F2. Como ademas cada funcion con valores en F2 esta determinadapor sus ceros, vemos ası que todo algebra de Boole A es un algebra de partes desu espectro X (a saber, los cerrados abiertos de X).

Segun 7.2.8 cada ideal I de un anillo de Boole A esta formado por todas lasfunciones continuas X → F2 que se anulan en el cerrado (I)0. Ası pues, fijada unafamilia de axiomas B ⊂ A, el ideal que genera B esta formado por las funcionesf ∈ A que se anulan en el cerrado

⋂b∈B(b)0; i.e., por los enunciados que son

verdaderos en cualquier interpretacion coherente que verifique los axiomas fijados:

v(f) = 0 siempre que v(b) = 0 para todo b ∈ B

f es verdadero siempre que lo sea todo b ∈ B

En principio eso no significa que el enunciado f pueda derivarse de los axiomasfijados y tautologıas (el 0), usando solo el “Modus Ponens”; enunciados que formanel menor subconjunto B′ que, incluyendo a B y al 0, tenga la siguiente propiedad:

Si a ∈ B′ y (a ⇒ b) ∈ B′ , entonces b ∈ B′

Tal conjunto B′ esta contenido en el ideal de A generado por B, pues claramentelos ideales tienen la propiedad anterior, ya que (a ⇔ b) = a + b y b = a + (a + b).De hecho B′ coincide con el ideal generado por B; es decir, B′ es un ideal:

Si a ∈ A y b ∈ B′, como b ⇒ (a ∨ b) es nulo, tenemos que ab = (a ∨ b) ∈ B′.Si a, b ∈ B′, como a ⇒ (b ⇒ (a ⇔ b)) es nulo, tenemos que b ⇒ (a ⇔ b) esta

en B′ y concluimos que a + b = (a ⇔ b) ∈ B′.En resumen, si un enunciado es cierto en todas las interpretaciones coherentes

que satisfagan la familia de axiomas B, entonces puede deducirse en un numerofinito pasos usando tautologıas y el “Modus Ponens”.

Ejercicios:

1. Sea A un anillo reducido. Probar que Spec A es irreducible si y solo si Aes ıntegro. ¿Es cierto el resultado si se elimina la hipotesis de que A seareducido?


2. Probar que la condicion necesaria y suficiente para que un punto x′ sea unaespecializacion de un punto x es que x este en todos los entornos de x′.

3. Sea A un anillo y f, g ∈ A. Probar que Uf ⊆ Ug ⇔ g divide a algunapotencia de f .

4. Sea a un ideal de un anillo A. Probar que la condicion necesaria y suficientepara que Spec (A/a) = Spec A es que el ideal a este generado por elemen-tos nilpotentes. Concluir que Spec A es irreducible precisamente cuando elcociente de A por su radical sea un anillo ıntegro.

5. Hallar el espectro, determinar sus componentes irreducibles, sus compo-nentes conexas y calcular la dimension de los anillos:

R[x]/(x4 + x2) , R[x]/(x4 + x2)⊗R C , C[x]/(x4 + x2)⊗C C[y]/(y2 + 1) ,

C[x, y]/(x2 + y2) , C[x, x−1] , Q( 3√

2)⊗Q R , C[x, y]/(y2 + x, y2 − xy + x) ,

C[x, y]/(xy + 2, x3 − x + y2x) .

6. Demostrar que todo elemento de un ideal primo minimal es un divisor decero. (Indicacion: Localizar en el punto definido por el ideal primo).

7. Si un morfismo de anillos A → B es epiyectivo y a es su nucleo, probar que lacorrespondiente aplicacion continua Spec B → Spec A es un homeomorfismode Spec B con (a)0.

8. Si un morfismo de anillos j : A → B es inyectivo, probar que la correspon-diente aplicacion continua φ : SpecB → Spec A tiene imagen densa.

(Indicacion: Si un cerrado (a)0 contiene a la imagen de φ, entonces aB ⊆radB y por tanto a ⊆ rad A).

9. Sea φ : SpecB → Spec A la aplicacion continua inducida por un morfismo deanillos A → B. Probar que el cierre de la imagen de φ es (Ker j)0.

En general, si b es un ideal de B, el cierre de φ(b)0 coincide con (b ∩A)0.

10. Sea A un anillo y X = Spec A. Probar que un punto x ∈ X es densoprecisamente cuando su ideal primo px coincide con el radical r(A) de A.Concluir que X tiene un punto denso si y solo si r(A) es un ideal primo.

11. Sean a y b dos ideales de un anillo A. Demostrar que (a)0 ⊆ (b)0 precisa-mente cuando r(b) ⊆ r(a).

12. Sea A un anillo. Si una funcion f ∈ A es idempotente, f2 = f , demostrarque sus ceros son un abierto cerrado de Spec A. Concluir que SpecA no esconexo cuando existe algun idempotente f 6= 0, 1.

ESPECTRO PRIMO 267

13. Probar, usando el lema de Zorn, que todo espacio topologico es union desus componentes irreducibles. Concluir que todo ideal primo de un anillo Acontiene algun ideal primo minimal de A.

14. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Probar que el morfismocanonico γ : A → AS es un isomorfismo precisamente cuando la aplicacioncontinua Spec AS → Spec A inducida por γ es un homeomorfismo.

15. Sean S y T dos sistemas multiplicativos de un anillo A. Probar que siSpec AS = Spec AT (como subespacios de SpecA), entonces AS = AT .

16. Sea m el ideal maximal de A definido por un punto cerrado x ∈ Spec A.Probar que Ax = A1+m.

17. Hallar la fibra de todos los puntos en los siguientes morfismos entre varieda-des algebraicas complejas:

(a) La parametrizacion x = t2, y = t3 de la curva y2 = x3.

(b) La parametrizacion x = t2 − 1, y = t3 − t de la curva y2 = x3 + x2.

(c) La proyeccion π : A2 → A1, π(x, y) = xy .

18. Calcular el espectro del anillo Z[√

d ] cuando d = 2, 3, 5,−1,−2,−3. Calcularel espectro de Z[ω], donde ω denota una raız cubica primitiva de la unidad,y las fibras del morfismo natural SpecZ[ ω ] → SpecZ[

√−3 ].

19. Sean I, J ideales de un anillo A. Probar que el morfismo natural

A/(I ∩ J) −→ (A/I)×A/(I+J) (A/J)

es un isomorfismo, donde

(A/I)×A/(I+J) (A/J) := (a, b) ∈ (A/I)× (A/J) : a = b en A/(I + J)

Sean Y1 = (I1)0, Y2 = (I2)0 dos subvariedades algebraicas cerradas de unavariedad algebraica afın X. Dadas funciones algebraicas f1, f2 sobre Y1 eY2 respectivamente, que coincidan en Y1 ∩ Y2 (la subvariedad definida porI1 + I2), probar que existe una unica funcion algebraica sobre Y1 ∪ Y2 (lasubvariedad definida por I1 ∩ I2) que coincide con f1 en Y1 y con f2 en Y2.

20. Sea µ6 = Spec k[x]/(x6 − 1) el grupo de las raıces sextas de la unidad sobreun cuerpo k. Determinar si es una variedad ıntegra o reducida, y calcular elnumero de componentes irreducibles cuando k = Q, R, C, F2, F3, F5.

21. Sea P2 = Spec k[ a, b, c, a−1] la variedad algebraica de los polinomios de gradodos at2+bt+c con coeficientes en un cuerpo k y sea X la subvariedad cerradade P2 de ecuacion b2 = 4ac (es decir, la subvariedad de los polinomios de


grado 2 con alguna raız multiple). Determinar si X es ıntegra o reducida,y calcular sus componentes conexas y sus componentes irreducibles cuandok = Q, R, C, F2, F3, F5.

Definir la variedad P1 de los polinomios de grado 1 con coeficiente en k yel morfismo “elevar al cuadrado” φ : P1 → X. Calcular la fibra de φ sobreel punto racional de X correspondiente al polinomio t2 + 2t + 1 y sobre elpunto generico de X. ¿Es φ un isomorfismo?

22. Sea U2 = Spec k[ b, c ] la variedad algebraica afın de los polinomios unitariost2 + bt + c de grado 2 con coeficientes en un cuerpo k y sea Y la subva-riedad cerrada de ecuacion b2 = 4c. Definir la variedad algebraica U1 delos polinomios unitarios de grado 1 con coeficientes en k y comprobar si elmorfismo “elevar al cuadrado”U1 → Y es un isomorfismo. Calcular la fibrade cada punto en el morfismo U1 ×U1 → U2 definido por el producto depolinomios cuando k = C, y la fibra del punto correspondiente al polinomiox2 + 1 cuando k = F2.

23. Sea X una variedad algebraica afın ıntegra sobre un cuerpo. Si dos morfismosde X en otra variedad algebraica afın Y coinciden en un abierto basico novacıo de X, probar que coinciden en X.

24. Sea C la curva plana y2 = x2− 2x. Si consideramos el punto de interseccionvariable con las rectas y = tx, ¿en que abierto U de Spec k[ t ] tenemosdefinido un morfismo U → C ? Analogamente para las curvas y2 = x2 − x3,xn = yn+1, xn+1 = yn.

25. Sea C una curva p(x, y) = 0 del plano afın complejo. Si a cada punto de C leasignamos la recta y = tx que pasa por el, ¿en que abierto U de C tenemosdefinido un morfismo U → SpecC [ t ]? (discutir separadamente el caso enque C pase por el origen).

26. Definir la variedad algebraica afın Gm de los elementos no nulos de un cuer-po k, y los morfismos Gm × Gm → Gm, Gm → Gm correspondientes alproducto y el paso al inverso.

Analogamente para el grupo aditivo Ga definido por la suma de k. Si lacaracterıstica de k es 3, demostrar que P : Ga → Ga, P(x) = x3 − x, es unmorfismo de grupos. Calcular su nucleo y la fibra del punto generico de Ga.

LOCALIZACION 269

Localizacion

(*) Localizacion:

1. Sea A un anillo. Los elementos de A que no son divisores de cero forman unsistema multiplicativo S en A, y la localizacion S−1A se llama anillo totalde fracciones de A.

2. Sea j : A → B un morfismo de anillos y sea S un sistema multiplicativo de A.La localizacion de B por S coincide con la localizacion de B por el sistemamultiplicativo j(S); es decir, S−1B = j(S)−1B.

En particular, la localizacion Bx de B en un punto x ∈ Spec A coincide conla localizacion del A-modulo B por el sistema multiplicativo de las funcionesf ∈ A que no se anulan en x.

3. Si a es un ideal de un anillo A, entonces S−1a es un ideal de S−1A, quecoincide con a(S−1A). Ası se obtienen todos los ideales de S−1A: si b es unideal de S−1A, entonces b = S−1a, donde a = b ∩A.

En particular, si A es un dominio de ideales principales (respectivamente unanillo noetheriano), tambien lo es S−1A.

4. En la correspondencia entre ideales primos de un anillo A que no corten acierto sistema multiplicativo S e ideales primos de S−1A (ver 7.2.4), cadaideal primo p de A que no corte a S se corresponde con el ideal primoS−1p = p(S−1A) del anillo S−1A.

5. Sea A un anillo y U un abierto basico de Spec A. La localizacion de unA-modulo M por el sistema multiplicativo de las funciones f ∈ A que no seanulan en ningun punto de U se denotara MU . Diremos que dos elementosde M coinciden en el abierto U cuando coinciden en MU .

Sea x un punto de Spec A y p su ideal primo. La localizacion de M porel sistema multiplicativo A − p de las funciones f ∈ A que no se anulanen x se denotara Mx o Mp y diremos que es la localizacion de M en elpunto x o en el ideal primo p. La imagen de cada elemento m ∈ M por elcorrespondiente morfismo de localizacion se denotara mx. Por definicion, lacondicion mx = 0 significa que fm = 0 para alguna funcion f ∈ A que nose anula en x; de modo que m se anula en MUf

. Por tanto, la condicionnecesaria y suficiente para que la localizacion de m en x sea nula es que mse anule en algun entorno basico de x. Las relaciones que se dan en Mx sonlas relaciones validas en algun entorno de x. Diremos que Ax es el anillolocal en el punto x. A la luz de esta comprension, el paso de Z a Q, deimportancia evidente, significa pasar de todo el espectro de Z a un entornosuficientemente pequeno del numero primo generico.


6. Sea C(X) el anillo de las funciones reales continuas sobre un espacio metri-zable X. Sea U un abierto de X y consideremos el sistema multiplicativo Sformado por las funciones que no se anulen en ningun punto de U . Si g ∈ S,la restriccion gU de g a U es invertible, ası que el morfismo de restriccionC(X) → C(U) induce un morfismo de anillos

S−1C(X) −→ C(U) ; f/g 7→ fU (gU )−1

que es un isomorfismo. En efecto, si fU = 0, entonces fd = 0, donde ddenota la funcion “distancia a X −U”, y concluimos que f/1 = 0. Ademas,si h ∈ C(U), entonces la funcion

g = min(d, (1 + h2)−1

)

prolongada por 0 fuera de U , es continua y no se anula en ningun punto deU . Tambien la funcion f = hg, prolongada por 0 fuera de U , es continua yclaramente tenemos que h = fU (gU )−1.

Por otra parte, se dice que dos funciones continuas definidas en algun en-torno de un punto x ∈ X tienen el mismo germen en x si coinciden enalgun entorno x. Del razonamiento anterior se sigue que, bajo las hipotesisconsideradas, cada funcion continua definida en algun entorno de x tiene elmismo germen en x que un cociente de dos funciones continuas sobre X,donde el denominador no se anula en x. Ahora es facil concluir que el anillode los germenes en x de funciones continuas coincide con la localizacion deC(X) por el sistema multiplicativo S = f ∈C(X) : f(x) 6= 0.

7. Sea X una variedad algebraica afın sobre un cuerpo. El anillo local en unpunto x ∈ X se denota OX,x, o bien Ox si no hay lugar a confusion. Pordefinicion OX,x es la localizacion de O(X) por las funciones sobre X que nose anulan en el punto x, ası que cada elemento g/f ∈ Ox viene dado por unafuncion algebraica definida en algun entorno basico Uf de x.

Cuando el anillo O(X) es ıntegro, el anillo local de X en su punto generico,que es el cuerpo de fracciones de O(X), lo denotaremos ΣX y diremos que esel cuerpo de funciones racionales de X. Cada funcion racional g/f ∈ ΣX

viene dada por una funcion algebraica definida en algun abierto no vacıo deX, pues todo abierto basico no vacıo es un entorno del punto generico de X.En este caso los morfismos de localizacion son inyectivos, por lo que podemosconsiderar los anillos O(Uf ) y los anillos OX,x como subalgebras de ΣX .

(*) Anillos Locales de Curvas Planas:Sea k[ξ, η] el anillo de funciones algebraicas de una curva plana C sobre un

cuerpo k de ecuacion p(x, y) = 0 y supongamos que esta curva pasa por un puntoracional (a, b), de modo que m = (ξ−a, η−b) es un ideal maximal de k[ξ, η]. Veamosla simplificacion que supone pasar del anillo k[ξ, η] al anillo local O de la curva C

LOCALIZACION 271

en el punto (a, b). La condicion de que una funcion q(ξ, η) se anule al localizar ental punto es que q(x, y)r(x, y) sea multiplo de p(x, y) para algun polinomio r(x, y)que no se anule en (a, b). Considerando una descomposicion p(x, y) = p1 · · · pr

en producto de factores irreducibles, concluimos que la localizacion de q(ξ, η) esnula precisamente cuando q(x, y) sea multiplo del producto de todos los factoresirreducibles pi(x, y) que se anulen en (a, b). Si en la descomposicion no aparecenfactores que difieran en una constante, esta condicion equivale a que q(ξ, η) seanule en todas las componentes irreducibles de la curva que pasen por el punto(a, b). Al localizar en un punto nos desentendemos del comportamiento de lasfunciones en las componentes irreducibles que no pasen por tal punto.

(*) Formula de la Fibra:Sea x un punto del espectro de un anillo A y sea p su ideal primo. Llamaremos

cuerpo residual del punto x al cuerpo de fracciones del anillo ıntegro A/p y sedenota κ(x) o κ(p) :

κ(x) = (A/p)x = Ax/pAx

Si B es una A-algebra, se llama anillo de la fibra de x a la κ(x)-algebra

B ⊗A κ(x) = (B/pB)x = Bx/pBx

pues, de acuerdo con la formula de la fibra, la fibra de la aplicacion continuaφ : Spec B → Spec A inducida por un morfismo de anillos A → B coincide con elespectro del anillo de la fibra:

φ−1(x) = Spec(B ⊗A κ(x)

)

En el caso de una variedad algebraica afın X sobre un cuerpo k, un punto x ∈ Xes racional precisamente cuando k = κ(x). Si X es la subvariedad de un espacioafın An definida por un sistema de ecuaciones y x es el punto de X definido porcierta solucion (α1, . . . , αn) del sistema en una extension de k, entonces

O(X)/p ' k[α1, . . . , αn]κ(x) ' k(α1, . . . , αn)

Ademas, si φ : Y → X es un morfismo de variedades algebraicas afines, laκ(x)-algebra O(Y )⊗O(X) κ(x) es de tipo finito y define sobre la fibra φ−1(x) unaestructura de variedad algebraica afın sobre el cuerpo residual κ(x). Las fibras delos puntos racionales son variedades algebraicas sobre k, mientras que las fibras delos otros puntos son variedades algebraicas sobre extensiones del cuerpo base k.

(*) Sea m un ideal maximal de un anillo A y sea x el correspondiente punto cerradode Spec A. De acuerdo con 8.2.8:

mr/mn = mrx/mn

x , n ≥ r


En particular A/mn = Ax/mnx . Luego mn = A ∩ mnAx y vemos que el problema

de decidir si una funcion f ∈ A pertenece a cierta potencia de m es una cuestionlocal en x: basta resolver el problema en la localizacion Ax.

Por ejemplo, consideremos el anillo local Op del espacio afın An,k en un puntoracional p = (a1, . . . , an). Poniendo ti = xi − ai tenemos que

Op/mr+1Op = k[x1, . . . , xn]/mr+1 =[Polinomios de grado≤ r en t1, . . . , tn

]

y la clase de restos f de cualquier funcion f ∈ Op en Op/mr+1Op se llama desa-rrollo de Taylor (1685-1731) de f hasta el orden r en el punto p pues, cuandok = C, de hecho f = h(x1, . . . , xn)/q(x1, . . . , xn) define una funcion (en el sentidodel Analisis) en un entorno de (a1, . . . , an) y el desarrollo de Taylor clasico deorden r de esta funcion en tal punto difiere de f en un elemento de mr+1.

Sgun el Lema de Nakayama, para que mrOp este contenido en un ideal dado adel anillo Op es necesario y suficiente que

mr/mr+1 = Polinomios homogeneos de grado r en t1, . . . , tn

este contenido en el ideal a de Op/mr+1 formado por los desarrollos de Taylor has-ta el orden r de las funciones de a (es decir, a es la imagen de a por la proyeccioncanonica π : Op → Op/mr+1Op). Notese que a esta formado por las combina-ciones lineales con coeficientes en k de los desarrollos de Taylor de un sistema degeneradores de a y sus productos por monomios en t1, . . . , tn de grado ≤ r.

(*) Anillos Noetherianos:

1. Los cuerpos y dominios de ideales principales son anillos noetherianos.

2. Sea C(X) el anillo de las funciones reales continuas sobre un espacio topolo-gico metrizable X, sea x un punto de X y sea m el ideal maximal de C(X)formado por las funciones que se anulan en x. Si f ∈ m, entonces

f = f+−f− =(√

f+

)2

−(√

f−)2

, f+ = sup(f, 0) , f− = sup(−f, 0)

Luego f ∈ m2 y obtenemos que m = m2. Si mO fuera un ideal finito-generado, el lema de Nakayama (19121964) permitirıa concluir que mO = 0,donde O = C(X)m denota el anillo de germenes en x de funciones continuas.Ahora bien, si el germen en x de la funcion continua “distancia a x” es nulo,entonces x es un punto aislado de X. En resumen, si algun punto x de Xno esta aislado, entonces el ideal mO no es finito-generado y los anillos O yC(X) no son noetherianos.

LOCALIZACION 273

3. Todo elemento no nulo ni invertible de un anillo noetheriano ıntegro A des-compone en producto de elementos irreducibles. En efecto, en caso contrarioentre los ideales generados por elementos no nulos ni invertibles para los quefuera falsa tal afirmacion habrıa alguno maximal aA. Luego a descomponeen producto de dos elementos no invertibles, a = bc. Por ser A ıntegro, losideales bA y cA contienen estrictamente al ideal aA, ası que b y c descompo-nen en producto de elementos irreducibles y lo mismo ha de ocurrir con a, loque lleva a contradiccion. En particular, todo dominio de ideales principaleses un dominio de factorizacion unica, pues la demostracion de la unicidad dela descomposicion en factores irreducibles dada en los anillos euclıdeos siguesiendo valida en los dominios de ideales principales.

(*) Ideales Primarios:

1. Los ideales primarios de Z son los ideales engendrados por una potencia deun numero primo. Los ideales primarios del anillo de polinomios k[x] concoeficientes en un cuerpo k son los ideales engendrados por una potencia deun polinomio irreducible. En general, los ideales primarios de un dominiode ideales principales son los ideales engendrados por una potencia de unelemento irreducible.

2. Toda interseccion q1 ∩ . . .∩ qn de ideales p-primarios es un ideal p-primario.En efecto, tenemos que

r(q1 ∩ . . . ∩ qn) = r(q1) ∩ . . . ∩ r(qn) = p ∩ . . . ∩ p = p

y, si ab ∈ q1 ∩ . . . ∩ qn y a /∈ qi para algun ındice i, entonces b ∈ r(qi) = pporque el ideal qi es primario.

3. Sea A un dominio de factorizacion unica y p un elemento irreducible de A.El ideal p = pA es primo y los ideales prA, r ≥ 1, son p-primarios, pues suradical es pA y si un producto ab es multiplo de pr y un factor no lo es, elotro factor ha de ser multiplo de p. Mas aun, estos son los unicos idealesp-primarios de A: si pr es la primera potencia de p que esta en un idealp-primario q, entonces q = prA, pues si apm ∈ q y a /∈ pA, entonces pm ∈ q,de modo que m ≥ r y apm ∈ prA .

En particular, si p(x1, . . . , xn) es un polinomio irreducible con coeficientes enun cuerpo k, los unicos ideales (p)-primarios de k[x1, . . . , xn] son los ideales(pr). Es usual decir que los polinomios del ideal (pr) son los que se anulanr veces en la hipersuperficie p(x1, . . . , xn) = 0.


(*) Ideales de C [x, y] :De acuerdo con el teorema de existencia de descomposiciones primarias, todo

ideal no nulo a de C [x, y] es de la forma:

a = (pn11 ) ∩ . . . ∩ (pnr

r ) ∩ q1 ∩ . . . ∩ qs

donde p1(x, y), . . . , pr(x, y) son polinomios irreducibles en C[x, y] y q1, . . . , qs sonideales primarios cuyos radicales mi = r(qi) son ideales maximales, de modo quecada uno de estos ideales mi esta formado por todos los polinomios que se anulenen cierto punto (ai, bi). Es decir, el ideal a esta formado por los polinomios quese anulen determinado numero de veces en unas curvas irreducibles pj(x, y) = 0 ycuyos desarrollos de Taylor en unos puntos (ai, bi) verifiquen ciertas condiciones.La condicion de que la componente qi este sumergida significa que alguna de lascurvas pj(x, y) = 0 pasa por el punto (ai, bi) .

(*) Sea a un ideal de un anillo noetheriano A y sean x1, . . . , xr los puntos genericosde las componentes irreducibles de sus ceros (a)0. En cualquier descomposicionprimaria reducida de a aparecen unas componentes qi asociadas a los puntos xi,y no dependen de la descomposicion, pues qi = A ∩ aAxi . Sin embargo, si a nocoincide con q1 ∩ . . .∩ qr, en cualquier descomposicion primaria reducida de a hande aparecer otras componentes sumergidas, asociadas a otros puntos de (a)0, yestas sı pueden depender de la descomposicion elegida. Por ejemplo, sea a el idealde C [x, y] formado por los polinomios p(x, y) que se anulan en la recta x = 0 yque se anulan en el origen junto con sus derivadas parciales ∂p/∂x, ∂p/∂y :

a = (x, y)2 ∩ (x)

Los ceros de a coinciden con la recta x = 0, de modo que la componente (x)debe aparecer en cualquier otra descomposicion primaria reducida de a. No ası lacomponente sumergida (x, y)2, pues su radical, que es el ideal maximal del origen,no corresponde a una componente irreducible de los ceros de a. En efecto, si unpolinomio p(x, y) se anula en la recta x = 0, necesariamente su derivada ∂p/∂y seanula en el origen; luego la componente (x, y)2 se puede sustituir por el ideal delos polinomios que se anulen en el origen junto con su derivada ∂p/∂x:

a = (x2, y) ∩ (x)

(*) Sea m un ideal maximal de un anillo noetheriano A. Si q es un ideal m-primario, entonces q contiene alguna potencia mn. Para determinar si q contienecierta potencia mn dada, de acuerdo con el lema de Nakayama (19121964) bastadesarrollar por Taylor (1685-1731):

mn ⊆ q ⇔ π(mn) ⊆ π(q) en A/mn+1

LOCALIZACION 275

En efecto, si π(q) contiene un sistema de generadores de mn/mn+1, el Lema deNakayama afirma que mnAm ⊆ qAm y, al ser q un ideal m-primario, concluimosque mn ⊆ q.

(*) Consideremos en el anillo A = C [x, y] el ideal a = (xy ,−y + x2 + y2) . Susceros son los puntos z1 = (0, 0) y z2 = (0, 1), ası que su descomposicion primariareducida no tiene componentes sumergidas y ha de ser

a = q1 ∩ q2

donde (q1)0 = z1 y (q2)0 = z2. Sea O2 el anillo local del plano en z2. El idealaO2 es el ideal maximal m2 de O2, porque las curvas xy = 0, x2 + y2 − y = 0 sonsimples en z2 y tienen rectas tangentes distintas. Luego q2 es el ideal de todos lospolinomios que se anulan en z2:

q2 = A ∩ (aO2) = A ∩m2 = (x, y − 1)

Sea ahora O1 el anillo local del plano en z1 y sea m1 su ideal maximal. Vamosa determinar la primera potencia de m1 contenida en aO1.

El ideal a de O1/m31 formado por los desarrollos de Taylor de orden 2 en el

punto z1 de las funciones del ideal aO1 es:

a =< xy,−y + x2 + y2,−xy,−y2 > =< −y + x2, xy, y2 >

y no contiene a m21/m3

1 = < x2, xy, y2 >, ası que aO1 no contiene a m21.

Los desarrollos de Taylor de orden 3 en el punto z1 de las funciones del idealaO1 forman el siguiente ideal de O1/m4

1 :

< x2y, xy2, xy, y3,−xy + x3, y2,−y + x2 >

que claramente contiene a m31/m4

1. Segun el Lema de Nakayama, aO1 contienea m3

1 y obtenemos que aO1 esta formado por todas las funciones f ∈ O1 cuyodesarrollo de Taylor en z1 hasta el orden 2 esta en a ⊂ O1/m3

1. Ahora bien, comoq1 = A ∩ aO, concluimos que

q1 = −ay + ax2 + bxy + cy2 + terminos de grado mayor que 2

(*) Ideales en Curvas Simples:Diremos que una curva algebraica C es simple cuando carezca de puntos sin-

gulares. Cuando la curva es ıntegra, tal condicion equivale a que su anillo defunciones algebraicas O(C) sea un dominio de Dedekind (1831-1916), en cuyocaso todo ideal no nulo a de O(C) es de la forma:

a = mr11 · · ·mrn

n = mr11 ∩ . . . ∩mrn

n


para ciertos ideales maximales m1, . . . , mn de O(C), que definen ciertos puntoscerrados x1, . . . , xn de la curva C. Es decir, a esta formado por las funcionesf ∈ O(C) que se anulen al menos ri veces en cada punto xi. En efecto, la igualdad8.6.1

mri = O(C) ∩ (miOC,xi

)r

expresa precisamente que cada potencia mri esta formada por las funciones f que

se anulan al menos r veces en el punto xi.

(*) Multiplicidades de Interseccion de Curvas Planas:Sean C y C ′ dos curvas planas, de ecuaciones p(x, y) = 0 y p′(x, y) = 0 respec-

tivamente, sin componentes irreducibles comunes. Si se cortan en un punto z, lamultiplicidad de interseccion

(C ∩ C ′)z = l(k[x, y]/(p, p′)

)z

= l(O/p′O)

= l(O′/pO′)

(donde O y O′ denotan los anillos locales de C y C ′ en z respectivamente) esfinita en virtud del teorema de Bezout. Si z es un punto no singular de C, lamultiplicidad de interseccion puede calcularse determinando el primer termino nonulo del desarrollo de Taylor de p′(x, y) = art

r + . . . , donde t es una coordenadalocal de C en z, pues en tal caso (C ∩ C ′)z = l(O/trO) = r.

En general, las multiplicidades de interseccion pueden calcularse a partir dela descomposicion primaria del ideal (p, p′) = q1 ∩ . . . ∩ qr, pues los ceros de losideales primarios q1, . . . , qr son los puntos de corte, de modo que

k[x, y]/(p, p′) = k[x, y]/q1 ⊕ . . .⊕ k[x, y]/qr

y las multiplicidades de interseccion son las longitudes de los anillos k[x, y]/qi.

Ejercicios:

1. En MS , probar que m/s = n/t si y solo si r(tm− sn) = 0 para algun r ∈ S.

2. Sean S y T dos sistemas multiplicativos de un anillo A, y sea M un A-modulo. Demostrar que S−1(S−1M) = S−1M , y que T−1(S−1M) = T−1Mcuando S ⊆ T .

3. Sea C una curva plana de ecuacion p(x, y) = 0 que pase por el punto (0, 0).Probar que el anillo local de C en el origen no es un cuerpo.

4. Sea O el anillo local de la recta afın A1,k en el origen. Determinar si el anillolocal del plano afın A2,k en el origen es isomorfo a O ⊗k O.

LOCALIZACION 277

5. Si a es un ideal de un anillo A, entonces S−1a es un ideal de S−1A. Cuandoa = a1A + . . . + anA, probar que S−1a = a1(S−1A) + . . . + an(S−1A) ; esdecir, un sistema de generadores de S−1a se obtiene localizando un sistemade generadores de a.

6. Sea p(x1, . . . , xn) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpok y sea O el anillo local del espacio afın An en el punto generico de lahipersuperficie p(x1, . . . , xn) = 0. Probar que O es un anillo local regular dedimension 1.

7. Sea a un ideal de un anillo A y sea x un punto de Spec A. Probar que lassiguientes condiciones son equivalentes:

(a) (A/a)x = 0

(b) ax = Ax

(c) Alguna funcion f ∈ a no se anula en x.

(d) El punto x esta en el abierto complementario de (a)0.

8. Sea a un ideal de un anillo A y sea x un punto de Spec A. Probar que lassiguientes condiciones son equivalentes:

(a) ax = 0

(b) (A/a)x = Ax

(c) Cada funcion del ideal a se anula en algun entorno de x.

Ademas, si el ideal a es finito-generado, estas condiciones equivalen a que xeste en el interior del cerrado (a)0.

9. Probar que todo abierto cerrado U del espectro de un anillo A es basico:U = Uf para alguna funcion f ∈ A. Ademas, (Af )x = Ax cuando x ∈ Uf , y(Af )x = 0 en caso contrario.

(Indicacion: Si U = (a)0 y U c = (b)0 , entonces a + b = A y 1 = a + b paraciertos a ∈ a, b ∈ b. Tomar f = b).

10. Si el espectro de un anillo A no es conexo, Spec A = U1

∐U2, probar que los

abiertos cerrados Ui son basicos, Ui = Ufi , donde f1f2 es nilpotente.

Si x ∈ Spec A, deducir que fi es nilpotente en Ax cuando fi se anula en x, yobtener que

(Afi)x =

Ax cuando x ∈ Ui

0 cuando x ∈ Uj = (fi)0 , i 6= j

Concluir que el morfismo natural A → Af1 ⊕Af2 es un isomorfismo.


11. Demostrar que una variedad algebraica afın X es conexa si y solo si todafuncion algebraica f ∈ O(X) idempotente es f = 0 o 1.

12. La condicion de pertenecer a un submodulo dado es local. Con precision,sea N un submodulo de un A-modulo M y sea m ∈ M . Si mx ∈ Nx paratodo x ∈ Spec A, demostrar que m ∈ N .

13. Sean a y b dos ideales de un anillo A. Si ax ⊆ bx en todo punto x ∈ Spec A,probar que a ⊆ b.

14. Si A es un anillo ıntegro, probar que (la interseccion se considera en el cuerpode fracciones Σ de A):

A =⋂

x∈Spec A

Ax

(Indicacion: Si a/b ∈ Σ esta en todos los anillos Ax, probar que bA ⊆ aA).

15. Demostrar que la condicion necesaria y suficiente para que un sistema deecuaciones lineales diofanticas tenga alguna solucion entera es que, para cadanumero primo p, admita alguna solucion racional con denominadores que nosean multiplos de p.

16. Sea a un ideal de un anillo A y sea M un A-modulo finito-generado. Probarque aM = M precisamente cuando M1+a = 0.

17. Demostrar que cualquier sistema de n generadores de un A-modulo libre derango n forman una base. (Indicacion: Aplicar el lema de Nakayama alnucleo del epimorfismo An → An para demostrar que es nulo).

18. Sea M un A-modulo de tipo finito y sea N un A-modulo. Si M ' M ⊕N ,probar que N = 0. ¿Es cierta esta afirmacion si se elimina la hipotesis deque M sea finito-generado.

19. Probar que si existe un morfismo de A-modulos inyectivo Am → An, entoncesm ≤ n. (Indicacion: Localizando en un primo minimal, puede suponerse queA tiene un unico ideal primo p, y en tal caso el morfismo (A/p)m → (A/p)n

es inyectivo).

20. Sea p(x, y) un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpo k. De-mostrar que todas las componentes irreducibles de C = Spec k[x, y]/(p(x, y))tienen dimension 1.

21. Probar que si el anillo A[x] es noetheriano, entonces el anillo A tambien esnoetheriano.

22. Sean N y N ′ dos submodulos de un A-modulo M tales que M = N ′ + N .Probar que M es un A-modulo noetheriano si y solo si N y N ′ son A-modulosnoetherianos.

LOCALIZACION 279

23. Sean N y N ′ dos submodulos de un A-modulo M tales que 0 = N ′ ∩ N .Probar que M es un A-modulo noetheriano si y solo si M/N y M/N ′ sonA-modulos noetherianos.

24. Sea M un A-modulo noetheriano y N un A-modulo de tipo finito. Probarque HomA(N,M) es un A-modulo noetheriano.

25. ¿Es noetheriano el anillo∏∞ Z?

26. Probar que todo endomorfismo epiyectivo f de un A-modulo noetheriano esun isomorfismo. (Indicacion: Considerar los submodulos Ker fn.)

27. Sea a el ideal anulador de un A-modulo M . Si M es finito-generado, probarque A/a es un submodulo de M ⊕ . . . ⊕ M . Concluir que el anillo A/a esnoetheriano cuando M es un A-modulo noetheriano.

28. Probar que todo espacio noetheriano es compacto, y todo subespacio de unespacio noetheriano es noetheriano.

29. Probar que un espacio topologico es noetheriano precisamente cuando todossus abiertos son compactos.

30. Dar un ejemplo de un anillo no noetheriano A tal que su espectro sea unespacio topologico noetheriano.

31. Probar que el soporte Sop (M) de un A-modulo noetheriano es un subespaciocerrado noetheriano de SpecA.

32. Sea Ufi un recubrimiento de Spec A por abiertos basicos. Probar que unA-modulo M es noetheriano si y solo si Mfi es un Afi-modulo noetherianopara todo ındice i.

33. Sea n el ideal de C∞(R) formado por las funciones que se anulan en algunentorno del punto x = 0. Demostrar que el ideal n no es finito-generado yconcluir que los anillos C∞(Rn) no son noetherianos cuando n ≥ 1.

34. Sea m el ideal maximal de C∞(R) formado por las funciones que se anulanen el punto x = 0. Probar que O = C∞(R)m es el anillo de germenes defunciones diferenciables en el punto x = 0. Sea I el ideal O formado porlos germenes cuya serie de Taylor en x = 0 es nula. Probar que xI = I yconcluir que el anillo O no es noetheriano.

35. Hallar los puntos singulares de las siguientes curvas planas complejas: y2 =x3 , y2 = x(x − a)(x − b) , y2x3 + ax2 + bx = 0 , 1 = xn + yn , 3axy =x3 + y3 , x3 = y2(a− x) , y2(a− x) = x2(a + x) , (x2 + y2)2 = (x2 − y2).


36. Hallar un generador del ideal maximal del anillo local de la curva planacompleja y2 = x2 + x3 en el punto (−1, 0).

Analogamente en los puntos (1,−√2), (1,√

2), (−2,−2i).

37. Calcular el desarrollo de Taylor en el origen hasta el orden 3, cuando k =C, Q y F2, de las funciones racionales

2 + x2

(1 + y)(1− x3),

x2 − y2

1− x3 + y3,

11− y + x2

38. Elegir un generador t del ideal maximal m del anillo local O en el origen dela curva plana x−2xy+y3−y4 +x3 = 0 y calcular el desarrollo de Taylor enel origen hasta el orden 6 de la funcion x sobre tal curva. ¿Para que valoresa ∈ k pertenece la funcion xy2 + ay5 al ideal m6 ?

39. Sea O el anillo local en el origen del plano afın sobre un cuerpo k. Determinarsi el ideal maximal m deO esta generado por x+y+x2, x+y3 . Analogamentepara 1 + x + y4, x + y2 y para x/(1− y + x2), y/(2 + x− y) .

Hallar la primera potencia de m contenida en el ideal (y− x2, xy). Analoga-mente para los ideales (x2 + y2 − 2y, y + x2) ,

(x/(1 + y), (x + y2)/(1− x)

).

40. Probar que la funcion x genera el ideal maximal m del anillo local en el origende la curva plana compleja y = x2 + y3, calcular el desarrollo de Taylor en elorigen hasta el orden 5 de las funciones y, y + x2y, y− x2, xy− x3 sobre talcurva, y determinar la potencia de m que genera cada una de estas funciones.

41. Sea a un ideal con ceros aislados de un anillo noetheriano A y sea a = q∩ . . .una descomposicion primaria reducida de a. Sea m el radical de q. Probarque q = a + mr para algun exponente r ≥ 1. De hecho, podemos tomarr como el exponente de la primera potencia de mO que este contenida enaO. Ademas, mrO ⊆ aO precisamente cuando mr ⊆ a + mr+1 (Indicacion:Aplicar el lema de Nakayama para demostrar que a ∩mr genera mr).

42. Hallar la componente primaria correspondiente al origen del ideal (p, q) delanillo C [x, y], y la multiplicidad de interseccion en el origen de la curvap(x, y) = 0 con la curva q(x, y) = 0, en los siguientes casos:

p(x, y) = y2 − x2 + x3 , q(x, y) = y2 − x3

p(x, y) = y2 − x2 + x3 , q(x, y) = x2 − y3

p(x, y) = y − x2 , q(x, y) = y + yx− x2 − y2

p(x, y) = y + x + y2 + 2xy , q(x, y) = y + x− y2 − 2xy

43. Sea A el anillo de funciones algebraicas de la curva plana compleja x3 + x =y2. Probar que A es un dominio de Dedekind y calcular la descomposicion

LOCALIZACION 281

en producto de potencias de ideales maximales del ideal de A generado porcada una de las funciones x, y, x + y, xy, x2 + y2, x3 + y, ası como del idealgenerado por dos de tales funciones.

44. Sean a = ma11 · · ·man

n y b = mb11 · · ·mbn

n , ai, bi ≥ 0, las descomposiciones enproducto de potencias de ideales maximales de dos ideales de un dominio deDedekind. Probar que

a + b = md11 · · ·mdn

n , di = min(ai, bi)a ∩ b = mm1

1 · · ·mmnn , mi = max(ai, bi)

a · b = ma1+b11 · · ·man+bn

n

a · b = (a + b) · (a ∩ b)

45. Sea A un anillo noetheriano. Probar que los ideales primos asociados alideal 0 son los ideales primos de A que coinciden con el anulador de algunelemento de A. (Indicacion: Si p = Ann(a), entonces

p =⋂

a/∈qi

pi

Recıprocamente, sea a ∈ q2 ∩ . . .∩ qn no nulo. Entonces q1 ⊆ Ann(a) ⊆ p1 yAnn(a) contiene alguna potencia de p1. Sea pr

1 la primera potencia contenidaen Ann(a) y sea b ∈ pr−1

1 , b 6∈ Ann(a). El anulador de ab es p1).

46. Hallar la descomposicion primaria del ideal generado en C[x, y] por las ecua-ciones de un par de rectas y una recta. Igualmente para una recta doble yuna recta, una conica no singular y una recta, una conica no singular y unpar de rectas, una conica no singular y una recta doble.

47. Determinar si los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes racionalesson equivalentes al sistema x2 + y2 = 1, x2y2 = 0 :

x2 + y2 = 1x4 − x2 = 0

x2 − y2 = 1

x2y2 = 0

x2 − y2 = 1x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1(x + y + 1)2(x + y − 1)2 = 0

x2 + y2 = 1

(x + y + 1)2(x + y − 1) = 0

x2 + y2 = 1(x + y + 1)(x + y − 1)(x− y + 1)(x− y − 1) = 0

48. En la curva plana compleja de ecuacion x2 +y2 = 9, determinar si la funcionf(x, y) = (y − 3)(x − 5) divide a la funcion g(x, y) = x(y2 − 16) ¿dividef(x, y) a alguna potencia de g(x, y)? ¿y si sustituimos el cuerpo de losnumeros complejos por el de los numeros racionales?


49. Calcular la multiplicidad de interseccion en el origen de la curva y2 = x2+y3

con las curvas x = 0, y = 0, y = x2 + y3, x + y = x3 + y4, x2 = −y3.

CALCULO DIFERENCIAL 283

Calculo Diferencial

(*) Desarrollos de Taylor:Sea p = (a1, . . . , an) un punto racional del espacio afın Spec k[x1, . . . , xn] sobre

un cuerpo k. Segun 3.5.5 su ideal maximal es mp = (x1 − a1, . . . , xn − an). Comodpxi = [∆pxi] = [xi − ai] ∈ mp/m2

p, se sigue que dpx1, . . . , dpxn es una base delk-espacio vectorial mp/m2

p.Ademas la diferencial dp : A → mp/m2

p , dpf = [∆pf ] , es una k-derivacion, ypor 9.1.2 tenemos que

dpf =n∑

i=1

∂f

∂xi(a1, . . . , an) · dpxi

Por otra parte, realizando la sustitucion ti = xi − ai = ∆pxi vemos que

k[x1, . . . , xn]/mr+1 =[ Polinomios en t1, . . . , tnde grado menor que r + 1

]

y la expresion de cualquier polinomio f(x1, . . . , xn), modulo mr+1p , como polinomio

de grado ≤ r en ∆px1, . . . , ∆pxn es el desarrollo de Taylor (1685-1731) de ordenr de f(x1, . . . , xn) en el punto p = (a1, . . . , an) :

f(x1, . . . , xn) ≡∑

i1+...+in≤r

ci1...in(x1 − a1)i1 · · · (xn − an)in (mod. mr+1p )

En el caso particular en que f ∈ mrp y f /∈ mr+1

p , la clase de restos de un poli-nomio f(x1, . . . , xn) en mr

p/mr+1p recibe el nombre de forma inicial de f en el pun-

to p = (a1, . . . , an) y es un polinomio homogeneo de grado r en ∆px1, . . . , ∆pxn:

f(x1, . . . , xn) ≡∑

i1+...+in=r

ci1...in(x1 − a1)i1 · · · (xn − an)in (mod. mr+1p )

En el caso de una curva plana f(x, y) = 0 que pase por un punto racionalx = a, y = b, la forma inicial descompone en producto de factores de grado 1

∑i+j=r

cijtiuj =

r∏i=1

(λit + µiu)

donde t = x− a, u = y − b, y los coeficientes λi, µi estan en una extension finitade k. Diremos que las rectas λi(x − a) + µi(y − b) = 0, 1 ≤ i ≤ r son las rectastangentes a la curva f(x, y) = 0 en el punto p = (a, b).

Notese que, por definicion, r = 1 precisamente cuando dpf 6= 0, de modo quela curva tiene una unica recta tangente en p cuando la diferencial dpf no es nula.


(*) Puntos Simples de Curvas Planas:Sea k[ξ, η] = k[x, y]/

(f(x, y)

)el anillo de funciones algebraicas de una curva

plana f(x, y) = 0 que pase por el punto racional p = (a, b), sea m = (ξ − a, η − b),y sea m = (x− a, y− b) el correspondiente ideal maximal de k[x, y]. Tenemos unasucesion exacta de k-espacios vectoriales:

0 −→ < dpf > −→ m/m2 −→ m/m2 −→ 0

Como m/m2 =< dpx, dpy > es un espacio vectorial de dimension 2, vemos quedpf 6= 0 si y solo si la dimension de m/m2 es 1. Ademas, si Op denota el anillolocal en p de la curva dada, en virtud de 8.2.8 tenemos que m/m2 = mOp/m2Op, yde 8.5.5 se sigue que la condicion de que p sea un punto simple de la curva equivalea que la diferencial dpf no sea nula.

En tal caso el ideal mOp es principal y, de acuerdo con el lema de Nakayama,esta generado por cualquier polinomio t ∈ m cuya diferencial dpt no sea propor-cional a dpf . Luego mnOp = tnOp , de modo que todos los espacios vectorialesmnOp/mn+1Op tienen dimension 1. Ahora, si h ∈ Op = k + mOp, tendremosh = c0 + th1 donde c0 ∈ k, h1 ∈ Op, y por tanto

h = c0 + t(c1 + th2) = c0 + c1t + t2h2 = c0 + c1t + c2t2 + t3h3 = . . .

k[ t ]/(tn) = Op/mnOp = k[ξ, η]/mn

lo que determina la estructura de los entornos infinitesimales Spec (k[ξ, η]/mn) delpunto simple p. Cuando h = cmtm + cm+1t

m+1 + . . . , cm 6= 0, tenemos que h estaen mmOp y genera mmOp/mm+1Op. El lema de Nakayama permite concluir quehOp = mmOp, ası que el numero de ceros o valoracion en p es v(h) = m.

(*) El origen de coordenadas es un punto simple de la curva 0 = y−x2 +xy2. Unparametro local es la funcion x, porque la recta x = 0 no es tangente a la curva ental punto, ası que v(x) = 1. Si queremos determinar la valoracion de otra funcionh(x, y), iniciamos su desarrollo en serie de potencias del parametro x. Para ello essuficiente desarrollar la funcion y:

y = x2 − xy2 = x2 − x(x2 − xy2)2 =

= x2 − x5 + 2x4(x2 − xy2)2 − x3(x2 − xy2)4 =

= x2 − x5 + 2x8 + terminos de orden ≥ 11

pues cualquier otro polinomio h puede desarrollarse conociendo el desarrollo de yhasta un orden adecuado:

y2 − x2y + x8 = (x2 − x5 + 2x8 + . . .)2 − x2(x2 − x5 + 2x8 + . . .) + x8

= −x7 + x8 + 3x10 + terminos de orden ≥ 11

7 = v(y2 − x2y + x8)


(*) Puntos Singulares en AritmeticaEn general, dado un anillo A y un punto cerrado x ∈ Spec A, definido por

un ideal maximal m de A, la diferencial en x de una funcion f solo podemosdefinirla cuando esta se anula en el punto, f ∈ m, porque en tal caso f coincidecon su incremento en x y podemos definir dxf como la clase de f en m/m2,que es un espacio vectorial sobre el cuerpo residual κ(x) = A/m. Ahora, si A =A/(f1, . . . , fn), donde las funciones fi se anulan en x, tenemos una sucesion exacta

0 −→ < dxf1, . . . , dxfn > −→ m/m2 −→ m/m2 −→ 0

que permite calcular la dimension de m/m2. Por ejemplo, veamos los puntossingulares del espectro del anillo Z[

√5 ] = Z[x]/(x2−5). De acuerdo con el calculo

de SpecZ[x] realizado en la pagina 131, los puntos cerrados de SpecZ[√

5 ] secorresponden con los siguientes ideales maximales de Z[x]:

my = (p, x2 − 5) donde x2 − 5 es irreducible modulo p

mz = (p, x− a) donde a2 ≡ 5 (mod. p)

En el primer caso my/m2y es un espacio vectorial de dimension 2 generado por

dyp y dy(x2−5); luego la diferencial de x2−5 no es nula y concluimos que en estecaso my/m2

y es de dimension 1. Tal punto y ∈ SpecZ[√

5 ] es simple en el sentidode que Z[

√5 ]y es un anillo local regular.

En el segundo caso mz/m2z es un espacio vectorial de dimension 2 sobre el

cuerpo residual Z[x]/(p, x − a) = Fp, generado por dzp y dz(x − a). Ahora, sia2 = 5 + bp, tenemos

x2 − 5 = (x− a)(x + a) + bp = (x− a)2 + 2a(x− a) + bp

de modo que dz(x2 − 5) = 2adz(x − a) + bdzp, y obtenemos que z es un puntono singular de SpecZ[

√5 ], salvo cuando 2a y b sean multiplos de p. Si p 6= 2,

entonces a es multiplo de p y 5 tambien. Pero cuando p = 5, tenemos que a ≡ 0;luego b ≡ −1 no es multiplo de p. Cuando p = 2, tenemos que a ≡ 1 y b ≡ 0.Concluimos que el unico punto singular de SpecZ[

√5 ] esta definido por el ideal

maximal m = (2, x− 1).

(*) Derivaciones de Funciones Diferenciables:Sea p = (a1, . . . , an) un punto de un abierto U de Rn y sea mp el ideal maxi-

mal de C∞(U) formado por las funciones que se anulan en p. La diferencial dpfde cualquier funcion infinitamente diferenciable f ∈ C∞(U) es la clase de restosdel incremento f − f(p) en mp/m2

p. Desarrollando por Taylor (1685-1731) en pcualquier funcion diferenciable

f(x1, . . . , xn) = f(a1, . . . , an) +n∑

i=1

(xi − ai)fi , fi ∈ C∞(U)


vemos que el ideal mp esta generado por los incrementos xi − ai de las coorde-nadas xi. Luego mp/m2

p esta generado por las diferenciales dpxi. De hecho sonlinealmente independientes, porque tenemos derivaciones

(∂

∂xi

)

p

: C∞(U) −→ C∞(U)/mp = R ,

(∂

∂xi

)

p

f :=∂f

∂xi(p)

que, entendidas mediante 9.1.4 como aplicaciones lineales sobre mp/m2p, verifican

que (∂/∂xi)p(dpxj) = δij . En resumen:

mp/m2p = Rdpx1 ⊕ . . .⊕ Rdpxn

DerR(C∞(U), C∞(U)/mp

)= R(∂/∂x1)p ⊕ . . .⊕ R(∂/∂xn)p

En particular, una R-derivacion Dp : C∞(U) → C∞(U)/mp = R es nula precisa-mente cuando se anula en las coordenadas x1, . . . , xn. Ahora cada R-derivacionD : C∞(U) → C∞(U) induce una R-derivacion Dp : C∞(U) → C∞(U)/mp = R,Dpf := (Df)(p), y vemos que D = 0 si y solo si Dx1 = . . . = Dxn = 0. Por tanto

D = (Dx1)∂

∂x1+ . . . + (Dxn)

∂

∂xn

porque ambas derivaciones coinciden sobre las coordenadas x1, . . . , xn, y con-cluimos que DerR

(C∞(U), C∞(U))

es un C∞(U)-modulo libre de base las deriva-ciones ∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn.

Ejercicios:

1. Sea A una k-algebra y M un A[x]-modulo. Si D : A → M es una k-derivacion,para cada elemento m ∈ M existe una unica k-derivacion D : A[x] → M queextiende a D y Dx = m.

2. Calcular DerZ(Q,Q) y DerZ(Z[ i ],Z[ i ]).

3. Sea k un cuerpo, A = k[x, y]/(x − y2 − y3) y m el ideal maximal del puntox = 0, y = 0. ¿Existe alguna k-derivacion D : A → A/m tal que Dx = 1?

Estudiar tambien los casos A = k[x, y]/(x2−y2−y3), A = k[x, y]/(x−y−y3).

4. Sea A = Z[ i ] y m = (1 + i)A. Calcular DerZ(A,A) y DerZ(A,A/m).

5. Calcular ΩC/R, Ωk(x)/k y ΩZ[ i ]/Z.

6. Sea p(x) un polinomio con coeficientes en un anillo A y sea B = A[x]/(p(x)

).

Demostrar que ΩB/A =(B/p′(x)B

)dx.


7. Sean A → B y A → C morfismos de anillos. La aplicacion natural

DerA(B ⊗A C, M) −→ DerA(B, M)×DerA(C, M)

es biyectiva para todo B ⊗A C-modulo M . Obtener ası otra demostraciondel isomorfismo de B ⊗A C-modulos

ΩB⊗AC/A =(ΩB/A ⊗A C

)⊕ (B ⊗A ΩC/A

)

8. Sea B → C un morfismo de A-algebras. La condicion necesaria y suficientepara que la sucesion

0 −→ ΩB/A ⊗B Cj⊗1−−−−→ ΩC/A −→ ΩC/B −→ 0

sea exacta y escinda, es que toda A-derivacion B → M en un C-modulo Mpueda extenderse a una A-derivacion C → M .

9. Si A → B es un morfismo de anillos y C = B[x1, . . . , xn], entonces

ΩC/A = (ΩB/A ⊗A C)⊕ Cdx1 ⊕ . . .⊕ Cdxn

10. Si B = A[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr), entonces ΩB/A es el cociente del B-modulolibre de base (dx1, . . . , dxn) por el submodulo generado por los elementos

(∂pi/∂x1)dx1 + . . . + (∂pi/∂xn)dxn , 1 ≤ i ≤ r

11. Sea k un cuerpo y A = k[x, y]/(x2 − y3). Calcular ΩA/k y determinar si esun A-modulo libre y si su torsion es nula.

Analogamente cuando A = k[x, y]/(1− x2 − x2y2).

12. Sea k un cuerpo, k → k(α) una extension, E un k(α)-espacio vectorial yD : k → E una derivacion. Si α es trascendente sobre k, demostrar que paracada vector e ∈ E existe una unica derivacion D : k(α) → E que extiende aD y Dα = e.

13. Sea k un cuerpo, k → k(α) una extension, E un k(α)-espacio vectorial yD : k → E una derivacion. Supongamos que α es algebraico sobre k y seap(x) =

∑i aix

i ∈ k[x] su polinomio irreducible.

(a) Cuando p′(x) 6= 0, existe una unica derivacion D : k(α) → E que ex-tiende a D.

(b) Cuando p′(x) = 0 y∑

i αi(Dai) 6= 0, no existe ninguna derivacionD : k(α) → E que extienda a D.


(c) Cuando p′(x) = 0 y∑

i αi(Dai) = 0, para cada vector e ∈ E existe unaunica derivacion D : k(α) → E que extiende a D y Dα = e.

14. Sea k un cuerpo de caracterıstica nula y k → L una extension. La condicionnecesaria y suficiente para que un elemento α ∈ L sea trascendente sobre kes que exista alguna k-derivacion D : L → L tal que Dα 6= 0.

(Indicacion: El Lema de Zorn y los dos ejercicios anteriores).

15. Sea C(X) el anillo de funciones reales continuas sobre un espacio topologicoX y sea mp el ideal maximal de C(X) formado por las funciones que seanulan en un punto dado p ∈ X. Demostrar que mp = m2

p y que por tantotoda R-derivacion D : C(X) → C(X)/mp = R es nula. Concluir que todaR-derivacion D : C(X) → C(X) es nula.

(Indicacion: Toda funcion continua es diferencia de dos cuadrados).

16. Sea p un punto de un espacio topologico X y sea O el anillo de germenes enp de funciones reales continuas definidas en algun entorno de p en X. Si ungermen f ∈ O no es constante, probar la existencia de un ideal primo p ⊂ Otal que la clase de restos f ∈ O/p no es nula, en cuyo caso f es trascendentesobre R. Obtener la existencia de una R-derivacion O → Σ que no se anulaen f , donde Σ denota el cuerpo de fracciones de O/p.

Concluir que el nucleo de la diferencial d : O −→ ΩO/R esta formado por losgermenes constantes.

Parte III

Apendices

289

Apendice A

Polinomios Simetricos

A.1 Teorema Fundamental

Definicion: Diremos que un polinomio p(x1, . . . , xn) con coeficientes en un anilloA es simetrico cuando, para toda permutacion σ ∈ Sn se tenga

p(xσ(1), . . . , xσ(n)) = p(x1, . . . , xn)

Definicion: En A[x1, . . . , xn] llamaremos funciones simetricas elementales alos polinomios simetricos

s1(x1, . . . , xn) = x1 + . . . + xn

. . . . . . . . . . . .

sr(x1, . . . , xn) =∑

i1<...<ir

xi1 · · ·xir

. . . . . . . . . . . .

sn(x1, . . . , xn) = x1 · · ·xn

Ejemplos:

1. Los polinomios σr(x1, . . . , xn) = xr1 + . . . + xr

n son simetricos.

2. Si p(x) ∈ A[x], los polinomios p(x1) + . . . + p(xn) y p(x1) · · · p(xn) sonsimetricos.

3. El polinomio ∆(x1, . . . , xn) =∏

i<j(xj − xi) no es simetrico; pero ∆2 sı.

4. Todos los polinomios constantes son simetricos. Ademas las sumas y pro-ductos de polinomios simetricos en las mismas indeterminadas tambien sonpolinomios simetricos. Luego, si q(x1, . . . , xn) ∈ A[x1, . . . , xn], entonces elpolinomio q(s1, . . . , sn) es simetrico.

291

292

5. El polinomio x1 + x2 es simetrico en A[x1, x2]; pero no en A[x1, x2, x3].Cuando hablamos de polinomios simetricos, debe quedar claro el numero deindeterminadas que consideramos.

Teorema de los Polinomios Simetricos: Si p(x1, . . . , xn) es un polinomiosimetrico con coeficientes en un anillo A, existe un unico polinomio q(x1, . . . , xn)con coeficientes en A tal que

p(x1, . . . , xn) = q(s1, . . . , sn) , sr := sr(x1, . . . , xn)

Demostracion: Veamos primero la existencia de tal polinomio q(x1, . . . , xn), paralo que ordenamos los monomios segun su grado y, a igualdad de grado, segun elorden lexico-grafico. Es decir, decimos que xm1

1 . . . xmnn es mayor que xr1

1 . . . xrnn

cuando su grado sea mayor o, caso de ser iguales sus grados, cuando la sucesion deexponentes (m1, . . . , mn) sea mayor que (r1, . . . , rn) en el orden lexico-grafico (enel sentido de que la primera diferencia mi − ri no nula es positiva). Llamaremosmonomio inicial de un polinomio al mayor (en esta ordenacion) de sus monomioscon coeficiente no nulo.

En esta ordenacion es claro que el numero de monomios menores que ciertomonomio dado siempre es finito, pues es finito el numero de monomios de gradomenor que cierto numero dado, ası que podemos demostrar el teorema procedi-endo por induccion sobre el monomio inicial xm1

1 . . . xmnn del polinomio simetrico

p(x1, . . . , xn), de modo que

p(x1, . . . , xn) = axm11 . . . xmn

n + terminos con monomios menores ,

y necesariamente m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mn porque p(x1, . . . , xn) es simetrico. Porotra parte, el monomio inicial de sr1

1 sr22 . . . srn

n es claramente

xr1+r2+...+rn1 xr2+...+rn

2 . . . xrnn .

Eligiendo adecuadamente los exponentes r1, . . . , rn podemos conseguir que elmonomio inicial de sr1

1 . . . srnn coincida con el de p(x1, . . . , xn), de modo que el

monomio inicial del polinomio simetrico

p(x1, . . . , xn)− asr11 . . . srn

n

sea estrictamente menor que xm11 . . . xmn

n . Por hipotesis de induccion, existe unpolinomio q(x1, . . . , xn) con coeficientes en A tal que

p(x1, . . . , xn)− asr11 . . . srn

n = q(s1, . . . , sn)

y concluimos que p(x1, . . . , xn) = q(s1, . . . , sn), donde

q(x1, . . . , xn) := axr11 . . . xrn

n + q(x1, . . . , xn) .

Por ultimo, la unicidad es consecuencia directa del siguiente teorema:

293

Teorema A.1.1 Sea q(x1, . . . , xn) ∈ A[x1, . . . , xn]. Si q(s1, . . . , sn) = 0, entoncesq(x1, . . . , xn) = 0.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre n, pues es evidente cuando n = 1.Si n ≥ 2, suponemos que el teorema es falso y consideramos un polinomio no

nulo q(x1, . . . , xn) ∈ A[x1, . . . , xn] de grado mınimo en xn tal que q(s1, . . . , sn) = 0:

q = q0(x1, . . . , xn−1) + q1(x1, . . . , xn−1)xn + . . . + qd(x1, . . . , xn−1)xdn

Sustituyendo ahora xn por 0 en la identidad q(s1, . . . , sn) = 0, obtenemos laigualdad q0(s1, . . . , sn−1) = 0, donde sr := sr(x1, . . . , xn−1). Por hipotesis deinduccion q0(x1, . . . , xn−1) = 0; luego

q(x1, . . . , xn) = xn · (q1 + . . . + qdxd−1n ) = xn · h(x1, . . . , xn)

y concluimos que h(x1, . . . , xn) es un polinomio no nulo con coeficientes en A, degrado menor que q(x1, . . . , xn), tal que h(s1, . . . , sn) = 0, en contra de la eleccionde q(x1, . . . , xn).

Ejemplos:

1. σ2(x1, . . . , xn) = x21 + . . . + x2

n = s21 − 2s2.

2. Sigamos la demostracion del teorema cuando p(x1, x2) = x41 + x4

2. En talcaso el monomio inicial es x4

1, que es el monomio inicial de s41, y tenemos que

p(x1, x2)− s41 = x4

1 + x42 − (x1 + x2)4 = −4x3

1x2 − 6x21x

22 − 4x1x

32

= −(4x21 + 4x2

2 + 6x1x2)x1x2

= −(4s21 − 8s2 + 6s2)s2 = 2s2

2 − 4s21s2

Luego σ4(x1, x2) = s41 + 2s2

2 − 4s21s2.

3. Consideremos σ3 = x31+. . .+x3

n. Como sr11 . . . srn

n es un polinomio homogeneode grado r1 + 2r2 + . . . + nrn, de acuerdo con el teorema de los polinomiossimetricos existen a, b, c ∈ Z tales que σ3 = as3

1 + bs1s2 + cs3.

Tomando 1 = x1 y 0 = x2 = . . . = xn obtenemos que a = 1, tomando1 = x1 = x2 y 0 = x3 = . . . = xn obtenemos que 2 = 8 − 2b, y tomando1 = x1 = x2 = x3 y 0 = x4 = . . . = xn se obtiene que 3 = 27− 9b− c. Luegob = −3, c = 3, y concluimos que σ3 = s3

1 − 3s1s2 + 3s3.

294

A.2 Funciones Simetricas de las Raıces

Sea p(x) un polinomio de grado n con coeficientes en un cuerpo k y sean α1, . . . , αn

las raıces de p(x), cada una repetida tantas veces como indique su multiplicidad,en una extension de k donde p(x) tenga todas sus raıces. Si r(x1, . . . , xn) es unpolinomio simetrico con coeficientes en k, el teorema de los polinomios simetricosafirma la existencia de un polinomio q(x1, . . . , xn) con coeficientes en k tal quer(x1, . . . , xn) = q(s1, . . . , sn). Por las formulas de Cardano, tenemos que

r(α1, . . . , αn) = q(−c1/c0, . . . , (−1)ncn/c0

)

y concluimos que r(α1, . . . , αn) es una funcion racional de los coeficientes del poli-nomio dado p(x) = c0x

n +c1xn−1 + . . .+cn, ası que puede calcularse sin necesidad

de hallar previamente las raıces αi. Veamos ahora el calculo de algunas de lasfunciones simetricas mas importantes de las raıces de un polinomio:

Formula de Girard: Vamos a calcular las sumas de las potencias de las raıces

σr =n∑

i=1

αri , r ∈ N

donde convenimos que α0i = 1; es decir, que σ0 = n. Como α1, . . . , αn son todas

las raıces de p(x), cada una contada con su multiplicidad, tenemos que

p(x) = c0(x− α1) · · · (x− αn)

p′(x)p(x)

=n∑

i=1

1x− αi

Es inmediato comprobar que1:

1x− αi

=1x

+αi

x2+

α2i

x3+ . . . =

1x·( ∑

r≥0

αri

xr

)

y obtenemos la formula de Girard (1590–1634) para el calculo de las sumas depotencias de las raıces de un polinomio:

p′(x)p(x)

=σ0

x+

σ1

x2+

σ2

x3+ . . . , σr :=

n∑i=1

αri

Ejemplo: Si p(x) = x3 + 2x + 1, entonces

p′(x)p(x)

=3x2 + 2

x3 + 2x + 1=

3x− 4

x3− 3

x4+ . . .

y obtenemos que σ0 = 3, σ1 = 0, σ2 = −4, σ3 = −3, . . .

1La siguiente igualdad afirma que 1 = (x−αi)(1/x+αi/x2 + . . .), donde el producto de seriesformales con coeficientes en un cuerpo k se realiza segun la definicion del producto de polinomios.A diferencia de los polinomios, las series formales pueden tener infinitos coeficientes no nulos.

295

Ejemplo: Sea k un cuerpo y Σ = k(x1, . . . , xn) el cuerpo de fracciones racionalescon coeficientes en k en n indeterminadas. El siguiente polinomio p(x) con coefi-cientes en Σ

p(x) =n∏

i=1

(x− xi) = xn +n∑

r=1(−1)rsr(x1, . . . , xn) · xn−r

tiene en Σ las raıces x1, . . . , xn. En este caso σr = xr1+. . .+xr

n, ası que podemos ex-presar estos polinomios simetricos en funcion de los polinomios simetricos elemen-tales sr(x1, . . . , xn) dividiendo p′(x) = nxn−1−(n−1)s1x

n−2 +(n−2)s2xn−3− . . .

por p(x) = xn − s1xn−1 + s2x

n−2 − . . ..

Formulas de Newton: La formula de Girard afirma que

p′(x) =n−1∑i=0

(n− i)cixn−i−1 =

(n∑

i=0

cixn−i

)( ∑j≥0

σjx−j−1

)

Igualando los coeficientes de xn−r−1, r ≥ 1, obtenemos que

(n− r)cr =∑

i+j=r

ciσj =r∑

i=0

ciσr−i , 1 ≤ r ≤ n− 1

0 =∑

i+j=r

ciσj =n∑

i=0

ciσr−i , r ≥ n

que son las formulas de Newton (1643–1727):

c0σr + c1σr−1 + . . . + cr−1σ1 + rcr = 0 , r ≤ n

c0σr + c1σr−1 + c2σr−2 + . . . + cnσr−n = 0 , r ≥ n

Ejemplos:

1. Para el polinomio x3 + x2 − 1 las formulas de Newton dan

σ1 + 1 = 0 , σ1 = −1σ2 + σ1 = 0 , σ2 = 1

σ3 + σ2 − 3 = 0 , σ3 = 2σ4 + σ3 − σ1 = 0 , σ4 = −3σ5 + σ4 − σ2 = 0 , σ5 = 4

. . . . . . . . . . . .

2. En el caso del polinomio xn − 1, las formulas de Newton son

σ1 = 0 , σ2 = 0 , . . . , σn−1 = 0 , σn − n = 0σn+1 − σ1 = 0 , σn+2 − σ2 = 0 , . . . , σ2n−1 − σn−1 = 0 , σ2n − σn = 0

. . . . . . . . . . . . . . .

296

ası que σr = 0 cuando r no es multiplo de n y σr = n cuando r es multiplode n.

3. Para cualquier polinomio de grado dos x2 − s1x + s2 tenemos

σ1 − s1 = 0 , σ1 = s1

σ2 − s1σ1 + 2s2 = 0 , σ2 = s21 − 2s2

σ3 − s1σ2 + s2σ1 = 0 , σ3 = s31 − 3s1s2

σ4 − s1σ3 + s2σ2 = 0 , σ4 = s41 − 5s2

1s2 + 2s22

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Para cualquier cubica x3 − px2 + qx− r tenemos que

σ1 − p = 0 , σ1 = p

σ2 − pσ1 + 2q = 0 , σ2 = p2 − 2q

σ3 − pσ2 + qσ1 − 3r = 0 , σ3 = p3 − 3pq + 3r

σ4 − pσ3 + qσ2 − rσ1 = 0 , σ4 = p4 − 4p3q + 4pr + 2q2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.3 El Discriminante

Definicion: Sea p(x) = c0xn + . . . + cn un polinomio de grado n ≥ 1 con coefi-

cientes en un cuerpo k y sean α1, . . . , αn las raıces de p(x) en una extension K dek donde tenga todas sus raıces, cada una repetida tantas veces como indique sumultiplicidad. Llamaremos discriminante de p(x) a

∆ = c2n−20

∏i<j(αj − αi)2

de modo que la condicion necesaria y suficiente para que p(x) tenga alguna raızmultiple es que su discriminante sea nulo. Segun el teorema de los polinomiossimetricos, existe un polinomio con coeficientes enteros D(x1, . . . , xn) tal que

∏i<j(xj − xi)2 = D(s1, . . . , sn)

Por las formulas de Cardano, ∆ = c2n−20 D(−c1/c0, c2/c0, . . . , (−1)ncn/c0) y se

concluye que el discriminante ∆ es un elemento del cuerpo de coeficientes k queno depende de la extension elegida K. De hecho tenemos que

∆ = c2n−20

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 .. 1α1 α2 .. αn

· · .. ·αn−1

1 αn−12 .. αn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣·

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 α1 .. αn−11

1 α2 .. αn−12

· · .. ·1 αn .. αn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣=

297

= c2n−20

∣∣∣∣∣∣∣∣

n σ1 .. σn−1

σ1 σ2 .. σn

· · .. ·σn−1 σn .. σ2n−2

∣∣∣∣∣∣∣∣Discriminante de la Cubica x3 − px2 + qx− r.

σ1 = p, σ2 = p2 − 2q, σ3 = p3 − 3pq + 3r, σ4 = p4 − 4p2q + 4pr + 2q2; luego:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

3 σ1 σ2

σ1 σ2 σ3

σ2 σ3 σ4

∣∣∣∣∣∣= −4p3r − 27r2 + 18pqr − 4q3 + p2q2

En particular, el discriminante de la cubica x3 + qx− r es ∆ = −4q3 − 27r2.

Discriminante de la Cuartica x4 − px3 + qx2 − rx + s.Si α1, α2, α3, α4 son las raıces de una cuartica (cada una repetida tantas veces

como indique su multiplicidad), llamaremos cubica resolvente de la cuartica alpolinomio unitario cuyas raıces son

ϑ1 = α1α2 + α3α4 , ϑ2 = α1α3 + α2α4 , ϑ3 = α1α4 + α2α3

Es decir, la cubica resolvente es

(y − ϑ1)(y − ϑ2)(y − ϑ3) = y3 − qy2 + (pr − 4s)y − (s(p2 − 4q) + r2)

y el discriminante de la cuartica coincide con el de su cubica resolvente:

(ϑ2−ϑ1)(ϑ3−ϑ1)(ϑ3−ϑ2) = (α1−α4)(α3−α2)(α1−α3)(α4−α2)(α1−α2)(α4−α3)

A.4 El Polinomio Generico

Definicion: Sea k un cuerpo y n un numero natural no nulo. El polinomio

n∑i=0

cixn−i = c0x

n + c1xn−1 + . . . + cn−1x + cn

con coeficientes en el cuerpo k(c0, c1, . . . , cn) de fracciones racionales en n + 1indeterminadas se llamara polinomio generico de grado n con coeficientes en k(aunque no sea un polinomio con coeficientes en k).

Tambien diremos que xn+c1xn−1+. . .+cn es el polinomio unitario generico

de grado n con coeficientes en k.

Sea L = k(x1, . . . , xn) el cuerpo de fracciones racionales en n indeterminadascon coeficientes en el cuerpo k, y sean s1, . . . , sn las funciones simetricas elemen-tales en x1, . . . , xn. El morfismo de anillos k[c1, . . . , cn] → k(x1, . . . xn) que trans-forma cr en (−1)rsr y es la identidad sobre k, es inyectivo en virtud del teorema

298

de los polinomios simetricos; luego induce un morfismo de anillos

Σ = k(c1, . . . , cn) → k(x1, . . . , xn) = L

cuya imagen es k(s1, . . . , sn). De acuerdo con las formulas de Cardano

xn + c1xn−1 + . . . + cn = (x− x1) · · · (x− xn)

y concluimos que el polinomio unitario generico tiene todas sus raıces en L y quesus raıces son x1, . . . , xn. Por tanto, las raıces del polinomio unitario generico degrado n con coeficientes en un cuerpo k son simples.

Si L = k(c0, x1, . . . , xn) es el cuerpo de fracciones racionales en n + 1 in-determinadas con coeficientes en un cuerpo k, analogamente se define un mor-fismo de anillos k(c0, c1, . . . , cn) → k(c0, x1, . . . , xn) = L que transforma cr en(−1)rsr(x1, . . . , xn)c0 y c0 en c0, de modo que

c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn = c0(x− x1) · · · (x− xn)

y concluimos que el polinomio generico de grado n tiene todas sus raıces en L.Tambien las raıces del polinomio generico de grado n con coeficientes en un cuerposon simples.

Teorema A.4.1 El polinomio generico de grado n con coeficientes en un cuerpok es irreducible

Demostracion: El polinomio generico es irreducible en k(c0, . . . , cn−1, x)[cn] por-que es de grado 1 en cn. Luego es irreducible en k[c0, . . . , cn, x] y el lema de Gauss(1777-1855) permite concluir que es irreducible en k(c0, . . . , cn)[x].

Apendice B

Irracionales Cuadraticos

B.1 Irracionales Cuadraticos

Definicion: Diremos que un numero complejo α es un irracional cuadraticosi existen numeros complejos α1, . . . , αn tales que α ∈ Q(α1, . . . , αn) y α2

i esta enQ(α1, . . . , αi−1) para todo ındice 1 ≤ i ≤ n.

Diremos que un polinomio con coeficientes racionales es resoluble por radi-cales cuadraticos si todas sus raıces complejas son irracionales cuadraticos.

Ejemplos:

1. Los irracionales cuadraticos son los numeros complejos que pueden expre-sarse, a partir de los numeros racionales, mediante un numero finito desumas, productos, cocientes y raıces cuadradas. Segun 4.4.6 y 4.4.7, todoirracional cuadratico es algebraico sobre Q.

2. Toda ecuacion cuadratica ax2 + bx+ c = 0 es resoluble por radicales cuadra-ticos, porque sus raıces son (−b± (b2 − 4ac)1/2)/2.

3. Toda ecuacion bicuadrada ax4 + bx2 + c = 0 es resoluble por radicalescuadraticos, pues sus raıces son ±√z1 y ±√z2, donde z1 y z2 son las raıcesde az2 + bz + c.

4. Toda cuartica recıproca ax4+bx3+cx2+bx+a = 0 es resoluble por radicalescuadraticos. En efecto, no tiene la raız nula porque a 6= 0 y, dividiendo porx2, obtenemos:

a(x2 + x−2) + b(x + x−1) + c = 0

a(y2 − 2) + by + c = 0 y = x + x−1

299

300

y concluimos que las raıces de la cuartica dada son las soluciones de lasecuaciones cuadraticas x2 − y1x + 1 = 0, x2 − y2x + 1 = 0; donde y1, y2 sonlas raıces de ay2 + by + c− 2a. Luego son irracionales cuadraticos.

5. Las raıces de la unidad e2πi3 , e

2πi4 , e

2πi5 y e

2πi6 son irracionales cuadraticos,

porque son raıces de los polinomios x2 + x + 1, x2 + 1, x4 + x3 + x2 + x + 1y x2 − x + 1 respectivamente.

Lema B.1.1 Sea K una extension de un cuerpo k. Si existe α ∈ K tal queK = k(α) y α2 ∈ k, entonces el grado de K sobre k es 1 o 2.

Demostracion: Sea a = α2 ∈ k. Como α es raız de x2 − a ∈ k[x], su polinomioirreducible pα(x) sobre k divide a x2−a y por tanto su grado es 1 o 2. Concluimosya que [k(α) : k] = gr pα(x) de acuerdo con 4.4.2.

Teorema B.1.2 Los irracionales cuadraticos forman una extension de Q establepor raıces cuadradas. Ademas, el grado sobre Q de cualquier extension generadapor un numero finito de irracionales cuadraticos es una potencia de 2.

Demostracion: Sean α, β dos irracionales cuadraticos. Por definicion α esta en laextension de Q generada por unos numeros complejos α1, . . . , αn, donde

α2i ∈ Q(α1, . . . , αi−1)

y β esta en la extension generada por ciertos β1, . . . , βm, donde

β2j ∈ Q(β1, . . . , βj−1) .

Es claro que el cuadrado de cada termino de la sucesion α1, . . . , αn, β1, . . . , βm

esta en la extension generada por los anteriores. Como α + β, αβ y α/β estan enQ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm) se sigue que son irracionales cuadraticos. Es decir, losirracionales cuadraticos forman una extension de Q.

Ademas, es evidente que√

α es un irracional cuadratico cuando α lo es.

Por otra parte, si K es una extension de Q generada por un numero finito deirracionales cuadraticos, el argumento anterior muestra que

K ⊆ Q(α1, . . . , αn)

donde α2i ∈ Q(α1, . . . , αi−1) para todo ındice i. Segun el lema anterior, el grado de

Q(α1, . . . , αi) sobre Q(α1, . . . , αi−1) es 1 o 2; ası que el teorema del grado pruebaque el grado de Q(α1, . . . , αn) sobre Q es potencia de 2. De nuevo el teorema delgrado afirma que el grado de K sobre Q divide al grado de Q(α1, . . . , αn), lo quenos permite concluir que el grado de K sobre Q es potencia de 2.

301

Corolario B.1.3 El grado del polinomio irreducible de cualquier irracional cua-dratico es una potencia de 2.

Demostracion: Sea α un irracional cuadratico. El grado del polinomio irreduciblede α sobre Q coincide con el grado de Q(α) sobre Q, que es una potencia de 2segun el teorema anterior.

Corolario B.1.4 Si un polinomio irreducible es resoluble por radicales cuadrati-cos, su grado es potencia de 2.

Demostracion: Todo polinomio irreducible en Q[x] es el polinomio irreduciblesobre Q de cualquiera de sus raıces.

Corolario B.1.5 Si un polinomio es resoluble por radicales cuadraticos, entoncesel grado de la extension generada por sus raıces complejas es potencia de 2.

Ejemplos:

1. El numero complejo e2πi7 no es un irracional cuadratico, porque su polinomio

irreducible sobre Q, que es x6 + . . . + x + 1 en virtud de 5.5.3, tiene grado 6,que no es potencia de 2.

2. El numero complejo e2πi9 es raız del polinomio p(x) = x6 + x3 + 1 porque

(e2πi9 )3 = e

2πi3 es raız del polinomio x2 +x+1. La reduccion de p(x) modulo

2 es irreducible porque no tiene raıces en F2, no es multiplo de x2 + x + 1,x3 +x+1 ni x3 +x2 +1, que son los unicos polinomios irreducibles de grado2 y 3 con coeficientes en F2.

Luego p(x) es irreducible en Z[x] y, por el lema de Gauss, en Q[x]; ası quep(x) es el polinomio irreducible de e

2πi9 sobre Q. Como su grado no es

potencia de 2, se concluye que e2πi9 no es un irracional cuadratico.

3. Sean α1, α2, α3, α4 las cuatro raıces complejas de la cuartica irreducible

p(x) = x4 − x3 + x2 + 1

Su cubica resolvente es y3 − y2 − 4y + 3, que no tiene raıces racionales yes por tanto irreducible. Una raız de la cubica resolvente es ϑ = α1α2 +α3α4, ası que el grado de Q(ϑ) sobre Q es 3. Como Q(ϑ) esta contenidoen Q(α1, α2, α3, α4), el teorema del grado permite concluir que el grado deQ(α1, α2, α3, α4) sobre Q es un multiplo de 3. Luego el polinomio p(x) noes resoluble por radicales cuadraticos.

Notese que los numeros complejos αi no son irracionales cuadraticos, a pesarde que su polinomio irreducible, que es p(x), tiene grado 4.

302

B.2 Construcciones con Regla y Compas

Definicion: Dado un segmento OP en un plano euclıdeo, los puntos, rectas ycırculos constructibles con regla y compas a partir de O y P se defineninductivamente mediante la aplicacion reiterada de un numero finito de las con-strucciones siguientes:

1. Los puntos dados O y P son constructibles.

2. Si dos puntos distintos son constructibles, la recta que pasa por ellos esconstructible.

3. El cırculo con centro en un punto constructible y radio congruente con unsegmento determinado por dos puntos constructibles es constructible.

4. Los puntos de corte de dos lıneas (rectas o cırculos) constructibles distintasson constructibles.

Las siguientes construcciones pueden realizarse con regla y compas:

–. Trazar la perpendicular por su punto medio a un segmento dado.–. Trazar la paralela a una recta dada por un punto exterior dado.–. Trazar el cırculo que pasa por tres puntos dados no alineados.–. Trazar la bisectriz de un angulo dado.

Dado un segmento de extremos O, P en un plano euclıdeo, la recta OP ysu perpendicular por el punto O forman unos ejes cartesianos en el plano, demodo que cada punto A se corresponde con un par ordenado de numeros reales(a, b) y, por tanto, con un numero complejo a + bi. Identificaremos sin mas cadapunto del plano con el correspondiente numero complejo y diremos que un numerocomplejo α ∈ C es constructible cuando el correspondiente punto del plano seaconstructible con regla y compas a partir de O y P .

El punto O se identifica con el numero 0, el punto P con el numero 1, los puntosde la recta OP con los numeros reales y los puntos de la recta perpendicular a OPpor O con los numeros imaginarios puros.

Lema B.2.1 La condicion necesaria y suficiente para que un numero complejoa + bi sea constructible es que lo sean a y b.

Demostracion: Es consecuencia directa de la posibilidad de trazar paralelas yperpendiculares con regla y compas.

Lema B.2.2 Los numeros complejos constructibles forman una extension de Qestable por raıces cuadradas. Por tanto, todos los irracionales cuadraticos sonconstructibles.

303

Demostracion: Veamos primero que los numeros complejos constructibles formanun cuerpo. Como los numeros 0 y 1 son constructibles, basta probar que si dosnumeros complejos a, b son constructibles, a − b y a/b tambien lo son. Segun ellema anterior podemos suponer que a y b son numeros reales. La diferencia a− bes obviamente constructible. En cuanto al cociente a/b, el cırculo con centro en Oque pasa por ai, −b y −i corta al eje real en a/b.

Para concluir veremos que la raız cuadrada de cualquier numero complejo con-structible tambien lo es. Si el numero es real y positivo, basta observar que elcırculo con centro en (a − 1)/2 que pasa por −1 corta al eje imaginario en

√ai.

En el caso de un numero complejo arbitrario z, basta cortar las bisectrices de larecta que lo une con el origen y el eje real, con el cırculo centrado en el origen yde radio igual a la raız cuadrada del modulo de z.

Lema B.2.3 Si el punto de coordenadas (a, b) es constructible con regla y compas,entonces los numeros reales a y b son irracionales cuadraticos.

Si la recta de ecuacion y = ax + b o x = ay + b es constructible con regla ycompas, entonces los numeros reales a y b son irracionales cuadraticos.

Si el cırculo de ecuacion x2 + y2 + ax + by + c = 0 es constructible con regla ycompas, entonces los numeros reales a, b, c son irracionales cuadraticos.

Demostracion: Los puntos dados O y P , que tienen coordenadas (0,0) y (1,0),verifican el enunciado porque 0 y 1 son irracionales cuadraticos.

Procediendo inductivamente, bastara probar que si unos puntos, rectas o cırcu-los constructibles verifican el enunciado y se efectua alguna de las construccionesde la definicion, los puntos, rectas o cırculos que se obtienen tambien verifican elenunciado:

1) Sean (a, b) y (c, d) dos puntos distintos. La ecuacion de la unica recta quepasa por ellos (cuando c 6= a) es y = b + (d− b)(x− a)/(c− a), ası que todos suscoeficientes son irracionales cuadraticos cuando a, b, c, d lo son.

2) La ecuacion del cırculo con centro en un punto de coordenadas (a, b) y radiocongruente con el segmento determinado por dos puntos de coordenadas (c, d) y(e, f) es (x− a)2 + (y − b)2 = r, donde r = (e− c)2 + (f − d)2, ası que todos suscoeficientes son irracionales cuadraticos cuando a, b, c, d, e, f lo son.

3) Si ax+by = c , dx+ey = f son dos rectas distintas, entonces las coordenadasde su punto de corte son (ce−bf)/(ae−bd) y (af−bc)/(ae−bf), que son irracionalescuadraticos cuando a, b, c, d, e, f lo son.

4) Sean y = ax + b , x2 + y2 + cx + dy + e = 0 una recta y un cırculo. Lascoordenadas de sus puntos de corte son (α, aα + b), donde α recorre las raıcesreales del polinomio (1 + a2)x2 + (c + 2ab + ad)x + (b2 + bd + e) = 0; luego sonirracionales cuadraticos cuando a, b, c, d, e lo son.

304

5) Si x2 + y2 + ax + by + c = 0 y x2 + y2 + dx + ey + f = 0 son dos cırculosdistintos, sus puntos de corte son los de uno de ellos con la recta

(x2 + y2 +ax+ by + c)− (x2 + y2 + dx+ ey + f) = (a− d)x+(b− e)y +(c− f) = 0

Si a, b, c, d, e, f son irracionales cuadraticos, tambien lo son los coeficientes dela ecuacion de esta recta; luego, segun el apartado anterior, concluimos que lascoordenadas de todos los puntos de corte son irracionales cuadraticos.

Teorema B.2.4 La condicion necesaria y suficiente para que un numero complejosea constructible es que sea un irracional cuadratico.

Demostracion: El lema B.2.2 afirma que tal condicion es suficiente.Recıprocamente, si α = a + bi ∈ C es constructible, B.2.3 afirma que a y b son

irracionales cuadraticos; luego tambien lo es α = a + bi.

Ejemplos:

1. Construir el lado de un cubo con volumen doble que el de un cubo de ladodado OP significa construir un segmento cuya proporcion con OP sea la raızcubica de 2, lo que equivale a construir el punto correspondiente al numero3√

2. Tal construccion solo es posible si 3√

2 es un irracional cuadratico, loque no es el caso: no es posible duplicar un cubo con regla y compas.

2. Construir el lado de un cuadrado de area igual a la de un cırculo de radiodado equivale a construir el punto correspondiente a

√π. La trascendencia

de π (teorema de Lindemann (1852-1939) que no probaremos en este libro),implica que

√π es trascendente y, por tanto, no es un irracional cuadratico:

La cuadratura del cırculo con regla y compas es imposible.

3. Construir un angulo de α radianes equivale a construir el punto que corres-ponde al numero complejo cos α+ i sen α. El angulo de 2π/3 radianes puedeconstruirse con regla y compas, porque

cos(2π/3) + i sen (2π/3) = e2πi3 = (−1 +

√3i)/2

es un irracional cuadratico. Sin embargo, el angulo de 2π/9 radianes nose puede construir con regla y compas, porque e

2πi9 no es un irracional

cuadratico: Es imposible trisecar todos los angulos con regla y compas.

B.3 Construccion de Polıgonos Regulares

Dado un numero natural n ≥ 3, construir con regla y compas un polıgono regu-lar de n lados inscrito en un cırculo de radio dado equivale a construir el punto

305

correspondiente al numero complejo e2πin = cos(2π/n) + i sen (2π/n), que es una

raız n-esima primitiva de la unidad. En consecuencia, la condicion necesaria ysuficiente para que la construccion de tal polıgono sea posible es que e

2πin sea un

irracional cuadratico.El triangulo equilatero inscrito en un cırculo de radio dado puede construirse

con regla y compas, pues e2πi3 = (−1 +

√3i)/2 es un irracional cuadratico. Como

la parte real de e2πi3 es −1/2, para construir tal triangulo basta cortar el cırculo

dado con la perpendicular por el punto medio al segmento de extremos −1 y 0.Las raıces quintas de la unidad primitivas son las soluciones complejas de la

ecuacion recıproca x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0, que con el cambio y = x + x−1 setransforma en y2+y−1 = 0. Las raıces de este polinomio son y1, y2 = (−1±√5)/2,ası que las raıces quintas de la unidad primitivas son

yi ±√

y2i − 4

2

que son irracionales cuadraticos. Por tanto, se puede construir con regla y compasel pentagono regular inscrito en un cırculo de radio dado.

Esta determinacion de las raıces quintas de la unidad puede utilizarse para daruna construccion efectiva del pentagono regular. Notese que la parte real de e

2πi5

es α = (−1 +√

5)/4. Dado un segmento OP , se construye el punto C = −i/2.Como la distancia entre P y C es

√5/2, el punto equidistante de C en el segmento

OQ es B = 2αi. Luego el cırculo con centro en O que pasa por el punto mediode OB corta al segmento OP en el punto A = α y la perpendicular a OP en Acorta al cırculo de radio OP en D = e

2πi5 , que es un vertice del pentagono regular

inscrito con vertice en P (Una construccion mas sencilla se obtiene observandoque PB es congruente con el lado del pentagono):

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...

•

PO

Q D

B•

A•

C

La posibilidad de trazar bisectrices con regla y compas muestra que, si elpolıgono regular de n lados es constructible, tambien lo es el polıgono regular

306

de 2n lados. Por otra parte, si n y m son numeros naturales primos entre sı,entonces

e2πin e

2πim = e

2πinm (n+m)

es una raız nm-esima primitiva de la unidad y, por tanto, e2πinm es una potencia

de e2πin e

2πim ; luego e

2πinm es un irracional cuadratico cuando e

2πin y e

2πim lo son.

Es decir, si los polıgonos regulares de n y m lados son constructibles con regla ycompas, tambien lo es el polıgono regular de nm lados. En resumen: Los polıgonosregulares de 2n, 2n3, 2n5 y 2n15 lados inscritos en un cırculo de radio dado puedenconstruirse con regla y compas.

Teorema B.3.1 Sea p un numero primo. Si puede construirse con regla y compasel polıgono regular de p lados inscrito en un cırculo de radio dado, entonces p esun primo de Fermat (es decir, esta precedido por una potencia de 2).

Demostracion: Si el polıgono regular de p lados inscrito en un cırculo de radiodado es constructible con regla y compas, entonces e

2πip es un irracional cuadratico.

Luego el grado de su polinomio irreducible sobre Q, que es xp−1 + . . . + x + 1, esuna potencia de 2.

Corolario B.3.2 Es imposible construir con regla y compas los polıgonos regularesde 7, 11, 13, 19, 23, 29,. . . lados inscritos en un cırculo de radio dado.

B.4 Raıces de la Unidad

Sea n un numero natural no nulo. Las raıces n-esimas de la unidad complejasforman, respecto del producto de numeros complejos, un grupo cıclico de orden nque denotaremos µn. Los generadores de µn son las raıces n-esimas de la unidadprimitivas .

El numero de raıces n-esimas de la unidad primitivas es el indicador de Eulerφ(n). Una raız n-esima de la unidad primitiva es e

2πin = cos(2π/n) + i sen (2π/n),

ası que las raıces n-esimas de la unidad primitivas son e2πin m, donde 1 ≤ m ≤ n y

m es primo con n.

Definicion: Llamaremos polinomio ciclotomico n-esimo al polinomio unitarioΦn(x) que tiene como raıces simples las raıces n-esimas de la unidad primitivas:

Φn(x) =∏

m.c.d.(m,n) = 11 ≤ m ≤ n

(x− e2πin m)

Sea d un divisor de n. Las raıces d-esimas de la unidad primitivas son loselementos de orden d del grupo µn. Como el orden de cualquier elemento de µn

307

es un divisor de n, concluimos que

µn =⋃d|n raıces d-esimas de la unidad primitivas

y esta union es disjunta. Luego:

xn − 1 =∏

α∈µn

(x− α) =∏d|n

Φd(x) (B.1)

Ejemplos: Φ1(x) = x − 1, Φ2(x) = x + 1, Φ3(x) = x2 + x + 1, Φ4(x) = x2 + 1,Φp(x) = xp−1 + xp−2 + . . . + x + 1, Φ2p(x) = Φp(−x) = xp−1 − xp−2 + . . .− x + 1,donde p denota un numero primo impar.

Teorema B.4.1 (Kronecker 1823-1891) Los polinomios ciclotomicos son poli-nomios irreducibles con coeficientes enteros.

Demostracion: Para demostrar que Φn(x) tiene coeficientes enteros para todon ≥ 1 procedemos por induccion sobre n, porque es evidente cuando n = 1.Cuando n ≥ 2, tenemos

xn − 1 = Φn(x) ·∏d Φd(x)

donde d recorre los divisores positivos de n menores que n. Por hipotesis deinduccion, q(x) =

∏d Φd(x) tiene coeficientes enteros y es unitario; luego Φn(x)

tiene coeficientes enteros, porque es el cociente de un polinomio con coeficientesenteros por un polinomio unitario con coeficientes enteros.

En cuanto a la irreducibilidad de Φn(x) en Z[x], consideremos la descomposi-cion de Φn(x) en producto de polinomios irreducibles en Z[x] y el factor irreducibleq(x) que tenga la raız e

2πin . Podemos suponer que q(x) es unitario y bastara probar

que q(x) = Φn(x). Como ambos polinomios son unitarios, es suficiente demostrarque todas las raıces n-esimas de la unidad primitivas son raıces de q(x). Ahorabien, tales raıces primitivas son de la forma e

2πin m donde m es un numero natural

primo con n, ası que m es producto de numeros primos que no dividen a n y bas-tara probar que: si α es una raız de q(x) y p es un numero primo que no dividea n, entonces αp tambien es raız de q(x).

Supongamos que αp no es raız de q(x). En tal caso, si xn − 1 = q(x)c(x), sesigue que αp es raız de c(x), porque es raız de xn − 1. Luego α es raız de c(xp),ası que c(xp) y q(x) no son primos entre sı en Q[x] y, al ser q(x) irreducible enQ[x], obtenemos que c(xp) = q(x)r(x) para algun r(x) ∈ Q[x] que, por 5.4.2, tienecoeficientes enteros. Reduciendo modulo p (vıa el morfismo Z[x] → Fp[x] inducidopor la proyeccion canonica Z→ Fp) tenemos:

q(x) · r(x) = c(xp) = c(x)p

308

donde la ultima igualdad se debe a la congruencia de Fermat:

c(x) =∑

iaixi

c(xp) =∑

iaixpi =

∑iai

p(xi)p =(∑

iaixi)p

= c(x)p

Por tanto, cualquier factor irreducible de q(x) divide a c(x), y el polinomioxn − 1 = q(x)c(x) no es primo con su derivada nxn−1, lo que implica que n = 0en Fp, en contra de la hipotesis de que n no es multiplo de p.

Corolario B.4.2 El polinomio irreducible de e2πin sobre Q es Φn(x) y el grado de

Q(e

2πin

)sobre Q es φ(n). Por tanto, si φ(n) no es potencia de 2, entonces e

2πin

no es un irracional cuadratico.

Teorema B.4.3 Si el polıgono regular de n lados inscrito en un cırculo de radiodado es constructible con regla y compas, entonces n es producto de una potenciade 2 y de numeros primos de Fermat distintos.

Demostracion: Si el polıgono regular de n lados inscrito en un cırculo de radiodado es constructible con regla y compas, entonces e

2πin es un irracional cuadratico

y el grado de su polinomio irreducible Φn(x) sobre Q ha de ser una potencia de 2.Sea n = 2mpaqb · · · la descomposicion de n en producto de potencias de primosdistintos. Tenemos que

φ(n) = 2m−1pa−1(p− 1)qb−1(q − 1) · · ·

y, cuando φ(n) es potencia de 2, se sigue que 1 = a = b = . . . y que p−1, q−1, . . .son potencias de 2; es decir, los factores primos impares de n son primos de Fermaty ninguno esta repetido.

Nota: Si 2n + 1 es un numero primo, es sencillo probar que n es potencia de 2.Los unicos primos de Fermat (1601-1665) conocidos son 3, 5, 17, 257 = 28 + 1y 216 + 1 = 65537. La teorıa de Galois (1811-1832) permitira probar que lacondicion necesaria y suficiente para que e

2πin sea un irracional cuadratico es que

[Q(e

2πin

): Q] = φ(n) sea potencia de 2. Luego una consecuencia de tal teorıa (ver

H.3.3) es la posibilidad de construir con regla y compas los polıgonos regulares dep lados, inscritos en un cırculo de radio dado, cuando p es un primo de Fermat (enparticular la de construir el polıgono regular de 17 lados).

Apendice C

Modulos Proyectivos,Inyectivos y Planos

C.1 Modulos Proyectivos

Definicion: Sea A un anillo. Diremos que un A-modulo P es proyectivo si elfuntor HomA(P,−) conserva sucesiones exactas; es decir, si para toda sucesionexacta corta de A-modulos

0 −→ M ′ i−→ Mp−→ M ′′ −→ 0

se verifica que la correspondiente sucesion

0 −→ HomA(P, M ′) i∗−→ HomA(P, M)p∗−→ HomA(P, M ′′) −→ 0

tambien es exacta. Como la anterior sucesion siempre es exacta salvo por lo quese refiere a la epiyectividad del morfismo p∗ : HomA(P, M) −→ HomA(P,M ′′),la condicion de que P sea un A-modulo proyectivo equivale a que, para todoepimorfismo de A-modulos p : M → M ′′, tambien sea epiyectivo el correspondientemorfismo p∗ : HomA(P,M) −→ HomA(P,M ′′) .

Proposicion C.1.1 La condicion necesaria y suficiente para que una suma direc-ta P =

⊕i Pi de A-modulos sea un A-modulo proyectivo es que cada sumando Pi

sea un A-modulo proyectivo.

Demostracion: Esta afirmacion es consecuencia del isomorfismo natural

HomA

(⊕i Pi,M) =

∏i HomA(Pi, M)

que muestra que el funtor HomA(P,−) es exacto si y solo si todos los funtoresHomA(Pi,−) son exactos.

309

310

Corolario C.1.2 Todo A-modulo libre es proyectivo.

Demostracion: El A-modulo A es proyectivo, porque HomA(A,M) = M para todoA-modulo M , y la proposicion anterior nos permite concluir.

Proposicion C.1.3 La condicion necesaria y suficiente para que un A-modulo Psea proyectivo es que escinda toda sucesion exacta corta de A-modulos

0 −→ M ′ −→ M −→ P −→ 0

Demostracion: Sea 0 → M ′ −→ Mp−→ P → 0 una sucesion exacta. Si P es

proyectivo, por definicion existe un morfismo de A-modulos s : P → M tal quep s = idP y concluimos que la sucesion exacta escinde.

Para demostrar el recıproco consideramos un epimorfismo p : L → P donde Les un A-modulo libre. La sucesion exacta 0 → Ker p → L → P → 0 escinde porhipotesis, ası que P es un sumando directo de L y concluimos que P es proyectivoen virtud de la proposicion C.1.1.

C.2 Modulos Inyectivos

Definicion: Sea A un anillo. Diremos que un A-modulo I es inyectivo si elfuntor HomA(−, I) conserva sucesiones exactas; es decir, si para toda sucesionexacta corta de A-modulos

0 −→ M ′ i−→ Mp−→ M ′′ −→ 0

se verifica que la correspondiente sucesion

0 −→ HomA(M ′′, I)p∗−→ HomA(M, I) i∗−→ HomA(M ′, I) −→ 0

tambien es exacta. Como la anterior sucesion siempre es exacta salvo por lo quese refiere a la epiyectividad del morfismo i∗ : HomA(M, I) −→ HomA(M ′, I), lacondicion de que I sea un A-modulo inyectivo equivale a que, para todo morfismode A-modulos inyectivo i : M ′ → M , sea epiyectivo el correspondiente morfismode A-modulos i∗ : HomA(M, I) −→ HomA(M ′, I) .

Proposicion C.2.1 Si un A-modulo I es inyectivo, entonces escinden todas lassucesiones exactas de la forma

0 −→ I −→ M −→ M ′′ −→ 0

Demostracion: Se prueba de modo analogo al caso de los modulos proyectivos.

311

Criterio del Ideal: Sea I un A-modulo. Si para cada morfismo de A-modulosf : a → I, donde a es un ideal de A, existe algun x ∈ I tal que f(a) = ax paratodo a ∈ a, entonces I es un A-modulo inyectivo.

Demostracion: Sea i : M ′ → M un morfismo inyectivo de A-modulos y h : M ′ →I un morfismo de A-modulos arbitrario. Sustituyendo M ′ por i(M ′) podemossuponer que M ′ es un submodulo de M , y hemos de extender h hasta obtener unmorfismo de A-modulos M → I.

Consideremos el conjunto X de todas las parejas (N, g) donde N es un submo-dulo de M que contiene a M ′ y g : N → I es una extension de h. Este conjuntono es vacıo porque en el esta la pareja (M ′, h) . Si definimos en X la relacion deorden

(N, g) ≤ (N ′, g′) cuando N ⊆ N ′ y g′ = g en N

es claro que satisface las hipotesis del lema de Zorn, ası que en X existen elementosmaximales. Sea (N, g) un elemento maximal de X.

Si N = M , entonces g es la extension de h buscada. Si N 6= M , existem ∈ M tal que N ′ = N + Am contiene estrictamente a N . Consideremos el ideala = a ∈ A : am ∈ N y el morfismo f : a → I, f(a) = g(am). Por hipotesisexiste x ∈ I tal que f(a) = ax , lo que permite construir una aplicacion

g′ : N ′ −→ I , g′(n + am) = g(n) + ax

bien definida: Si n + am = n + bm, entonces n− n = (a− b)m y a− b ∈ a; luegog(n−n) = (b−a)x y concluimos que g(n)+ax = g(n)+bx . Es sencillo comprobarque g′ es morfismo de A-modulos, ası que (N, g) < (N ′, g′) en contra del caractermaximal de (N, g) .

Corolario C.2.2 Sea A un dominio de ideales principales. La condicion necesariay suficiente para que un A-modulo I sea inyectivo es que sea divisible; es decir,que el morfismo a· : I → I sea epiyectivo para todo a ∈ A no nulo.

Demostracion: Supongamos que un A-modulo I es inyectivo. Si a ∈ A no es nulo,define un morfismo inyectivo a : A → A; luego es epiyectivo el morfismo

I = HomA(A, I) a−−→ HomA(A, I) = I

Recıprocamente, si I es divisible y f : a → I es un morfismo de A-modulos,donde a = aA es un ideal no nulo de A, por hipotesis existe x ∈ I tal que f(a) = ax.Luego f(ab) = abx para todo ab ∈ aA y el criterio del ideal permite concluir queI es un A-modulo inyectivo.

312

C.3 Modulos Planos

Definicion: Diremos que un A-modulo N es plano si el funtor N ⊗A (−) esexacto; i.e., si para toda sucesion exacta 0 → M ′ i−→ M

p−→ M ′′ → 0 de A-modulosse verifica que tambien es exacta la sucesion

0 −→ N ⊗A M ′ 1⊗i−−→ N ⊗A M1⊗p−−→ N ⊗A M ′′ −→ 0

Como la anterior sucesion siempre es exacta salvo por lo que se refiere a lainyectividad del morfismo 1 ⊗ i : N ⊗A M ′ → N ⊗A M , la condicion de que Nsea plano significa que para todo morfismo inyectivo i : M ′ → M se tiene que elmorfismo 1⊗ i : N ⊗A M ′ → N ⊗A M tambien es inyectivo.

-. El isomorfismo natural A⊗A M = M muestra que el A-modulo A es plano.-. El producto tensorial conmuta con sumas directas. Luego una suma directa

de A-modulos es plana si y solo si lo es cada sumando. En particular todos losA-modulos libres y proyectivos son planos.

-. El isomorfismo natural (N1⊗A N2)⊗A M = N1⊗A (N2⊗A M) muestra queel producto tensorial de A-modulos planos tambien es plano.

-. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. El funtor de localizacionS−1(−) es exacto, de modo que el isomorfismo natural M ⊗A (S−1A) = S−1Mmuestra que S−1A es un A-modulo plano.

-. Si B es una A-algebra plana y C es una B-algebra plana, entonces C es unaA-algebra plana, como demuestra el isomorfismo natural (MB)C = MC .

Proposicion C.3.1 Los modulos planos son estables por cambios de base. Esdecir, si N es un A-modulo plano, para todo morfismo de anillos A → B severifica que NB es un B-modulo plano.

Demostracion: Para todo B-modulo M tenemos que (NB)⊗B M = N ⊗A M , asıque el funtor (NB)⊗B (−) es exacto cuando lo sea el funtor N ⊗A (−) .

Proposicion C.3.2 La condicion necesaria y suficiente para que un A-modulo Nsea plano es que Nx sea un Ax-modulo plano para todo x ∈ Spec A .

Demostracion: Si N es plano sobre A, entonces Nx = N ⊗A Ax es plano sobre Ax

de acuerdo con la proposicion anterior.Recıprocamente, sea i : M ′ → M un morfismo de A-modulos inyectivo. En

todos los puntos x ∈ Spec A se tiene que ix : M ′x → Mx es inyectivo; luego, por

hipotesis, tambien es inyectivo el morfismo

(1⊗ i)x : (N ⊗A M ′)x = Nx ⊗Ax M ′x −→ (N ⊗A M)x = Nx ⊗Ax Mx

Como la inyectividad de un morfismo es una cuestion local, concluimos que elmorfismo 1 ⊗ i : N ⊗A M ′ → N ⊗A M es inyectivo, lo que significa que N es unA-modulo plano.

Apendice D

Modulos sobre Dominios deIdeales Principales

Este apendice reproduce las notas de unas lecciones que a principios de los anos 90impartio Juan B. Sancho de Salas en el 2o curso de la Licenciatura de Matematicasde la Universidad de Extremadura.

Definicion: Un dominio de ideales principales es un anillo ıntegro dondecada ideal es principal, es decir, esta generado por un elemento.

En este apendice A denotara un dominio de ideales principales.Ejemplos de dominios de ideales principales son los anillos euclıdeos, en par-

ticular Z, Z[ i ] y el anillo de polinomios k[x] con coeficientes en un cuerpo k . Lalocalizacion de un dominio de ideales principales tambien es un dominio de idealesprincipales. El anillo local de una curva ıntegra en un punto cerrado es un dominiode ideales principales cuando el punto es simple.

Definicion: Un elemento propio (no nulo ni invertible) se dice que es irreduciblesi no descompone en producto de dos elementos propios. Se dice que dos elementospropios son primos entre sı si carecen de divisores propios comunes.

Notese que un elemento a es divisor de otro b si y solo si bA ⊆ aA .Dados elementos a, b ∈ A, consideremos un generador d del ideal aA + bA.

Como a, b ∈ aA + bA = dA, resulta que d es divisor de a y b. Por otra parte, sic es divisor de a y b, entonces dA = aA + bA ⊆ cA, luego c es divisor de d. Enconclusion, d es el maximo comun divisor de a y b en A.

De la igualdad dA = aA + bA se deduce directamente la

313

314

Identidad de Bezout (1730-1783): Sea d el maximo comun divisor de dos ele-mentos a, b. Existen elementos α, β ∈ A tales que

d = αa + βb

Como caso particular resulta:

Corolario D.0.3 Si a, b son primos entre sı, existen α, β ∈ A tales que

1 = αa + βb .

Lema D.0.4 Si a divide a bc y es primo con b, entonces divide a c.

Demostracion: Sean α, β ∈ A tales que 1 = αa + βb. Multiplicando por c resultac = αac + βbc ; como a divide a los dos sumandos se concluye que divide tambiena la suma c.

Lema de Euclides (325?-265? a. de Cristo): Si un elemento irreducible divideun producto, divide algun factor.

Proposicion D.0.5 Toda cadena de ideales de A estabiliza.

Demostracion: (Esta propiedad es valida en los anillos noetherianos; pero vamosa probarla en este caso particular). Dada una cadena de ideales a1 ⊆ a2 ⊆ . . .consideremos el generador c del ideal ∪iai . Se cumple c ∈ an para algun n. Lasinclusiones an ⊆ an+j ⊆ ∪iai = cA ⊆ an prueban que an = an+j para todo j > 0.

Teorema de Descomposicion: Todo elemento propio a ∈ A descompone enproducto de factores irreducibles: a = p1 · · · pn. Ademas, la descomposicion esunica salvo el orden y factores invertibles.

Demostracion: Si a es irreducible no hay nada que decir. En caso contrariodescompone en producto de dos factores propios a = q1q2 . Si tales factoresson irreducibles acabamos, en caso contrario los descomponemos a su vez: a =(q11q12)(q21q22). Y ası sucesivamente. El proceso termina porque en caso con-trario tendrıamos una cadena infinita de ideales aA ⊂ qiA ⊂ qijA ⊂ qijkA ⊂ · · ·en contradiccion con la proposicion anterior.

Veamos ahora la unicidad. Sean a = p1 · · · pn = q1 · · · qm dos descomposiciones.Por el lema de Euclides, q1 divide algun factor pi, luego coincide con el (salvo unfactor invertible) por ser pi irreducible. Pongamos q1 = p1 (salvo invertibles).Simplificando la identidad original tenemos p2 · · · pn = q2 · · · qm . Razonando conq2 como hicimos antes con q1 llegamos a que q2 coincide con algun pi. Reiterandoel argumento obtendremos que las dos descomposiciones son iguales (salvo el ordeny factores invertibles).

315

D.1 Teoremas de Descomposicion

Denotaremos Σ el cuerpo de fracciones de A; es decir, Σ es la localizacion de A porel sistema multiplicativo S = A−0. Luego los elementos de Σ son las fraccionesa/b de elementos de A (con b 6= 0) modulo la relacion usual de equivalencia defracciones.

Definicion: Se llama rango de un A-modulo M a la dimension de S−1M comoespacio vectorial sobre Σ. Notese que para un A-modulo libre L = A⊕ r. . . ⊕A elrango es justamente el numero r de sumandos isomorfos a A.

Proposicion D.1.1 Todo submodulo M de un A-modulo libre L de rango finitoes tambien libre de rango finito.

Demostracion: Procederemos por induccion sobre el rango r de L.Si r = 1, entonces L ' A y en consecuencia M es isomorfo a un ideal aA de

A. Como aA = 0 o aA ' A se concluye.Si r > 1, descomponemos L en suma directa de dos libres de rango menor que

r, digamos L = L′ ⊕ L′′. Llamando π : L → L′′ a la proyeccion natural, tenemoslas sucesiones exactas

0 −→ L′ −→ Lπ−→ L′′ −→ 0

∪ ∪ ∪0 −→ M ∩ L′ −→ M

π−→ π(M) −→ 0

Por hipotesis de induccion, M ∩L′ y π(M) son libres de rango finito. Ademas,por ser π(M) libre, la segunda sucesion exacta rompe, luego M es suma directade dos libres de rango finito y se concluye.

Corolario D.1.2 Todo submodulo M ′ de un A-modulo finito generado M tambienes finito generado.

Demostracion: Por ser M finito generado, existe un epimorfismo π : L → M siendoL libre de rango finito. Por la proposicion anterior, el submodulo L′ = π−1(M ′) eslibre de rango finito; en particular L′ es finito generado. Como M ′ es un cocientede L′ (es decir, π : L′ → M ′ es epiyectivo) se concluye que M ′ tambien es finitogenerado.

Definicion: Un elemento m de un A-modulo M se dice de torsion si existe unelemento no nulo a ∈ A tal que am = 0; es decir, cuando el morfismo A → ·m Mno es inyectivo. Tal condicion equivale a que la localizacion m/1 sea nula, allocalizar por el sistema multiplicativo S = A− 0.

El conjunto T (M) de los elementos de torsion de M es un submodulo, llamadosubmodulo de torsion, pues coincide con el nucleo del morfismo natural delocalizacion M → S−1M = M ⊗A Σ.

316

Diremos que un A-modulo M es de torsion si M = T (M). Diremos que Mcarece de torsion si T (M) = 0.

Las siguientes propiedades son elementales:

1. T (M ⊕N) = T (M)⊕ T (N)

2. M/T (M) carece de torsion.

3. Todo A-modulo libre L carece de torsion: T (L) = 0 .

4. M es de torsion precisamente cuando MΣ = 0.

Proposicion D.1.3 Todo A-modulo M finito generado y sin torsion es libre.

Demostracion: Bastara probar que M se inyecta en un A-modulo libre de ran-go finito. Como M carece de torsion, tenemos una inyeccion M → S−1M . Sim1, . . . , ms es un sistema de generadores de M , entonces m1/1, . . . , ms/1 es unsistema de generadores de S−1M como espacio vectorial sobre Σ. De dicho sistemade generadores podemos extraer una base, digamos m1/1, . . . , mr/1. Podemos es-cribir entonces:

mi

1=

r∑

j=1

aij

bij

mj

1con aij , bij ∈ A

y reduciendo a comun denominador podemos suponer que todos los bij son iguales,digamos bij = b, ası que

mi

1=

r∑

j=1

aij

b

mj

1

Se concluye entonces que los generadores de M se inyectan en el A-modulolibre L = A(m1/b)⊕ . . .⊕A(mr/b) , luego M ⊆ L .

Primer Teorema de Descomposicion: Todo A-modulo finito generado des-compone de modo unico (salvo isomorfismos) en suma directa de un A-modulolibre y un A-modulo de torsion. En concreto, si r es el rango de M , se verifica

M ' (A⊕ r. . . ⊕A)⊕ T (M)

Demostracion: Consideremos la sucesion exacta

0 −→ T (M) −→ M −→ M/T (M) −→ 0

Por la proposicion anterior M/T (M) es libre, ası que esta sucesion exacta rompey obtenemos la descomposicion buscada:

M ' (M/T (M))⊕ T (M)

317

Veamos ahora la unicidad de la descomposicion: Sea M ' L ⊕ T donde L eslibre y T es de torsion. Localizando por S resulta S−1M ' S−1L , luego M yL tienen el mismo rango; es decir, L ' A⊕ r. . . ⊕A donde r es el rango de M .Finalmente, tomando torsion en la descomposicion M ' L⊕ T resulta

T (M) ' T (L)⊕ T (T ) = 0⊕ T = T .

Definicion: Sea M un A-modulo. Diremos que a = a ∈ A : aM = 0 es el idealanulador de M , y el generador de a se llamara anulador de M .

Por definicion aM = 0, ası que el A-modulo M admite una estructura naturalde A/a-modulo: [ a ] ·m := am .

Como el generador de un ideal es unico salvo un factor invertible, resulta queel anulador de un modulo esta bien definido salvo un factor invertible.

Es claro que el ideal anulador de A/a es a.La siguiente propiedad sera utilizada mas adelante: El anulador de M1 ⊕M2

es el mınimo comun multiplo de los anuladores de M1 y M2:

Ann(M1 ⊕M2) = Ann(M1) ∩Ann(M2)

Lema D.1.4 Sea M un A-modulo de anulador a = pq, siendo p y q primos entresı. Entonces M descompone de modo unico en suma directa de un submodulo deanulador p y otro submodulo de anulador q. En concreto se verifica

M = ker p⊕ ker q

Demostracion: Veamos primero la existencia de la descomposicion. De acuerdocon la Identidad de Bezout existen λ, µ ∈ A tales que 1 = λp + µq. Luego paracada m ∈ M se cumple

m = 1 ·m = λpm + µqm

donde λpm ∈ ker q porque q(λpm) = λam = 0, y analogamente µqm ∈ ker p . Porconsiguiente M = ker p + ker q .

Veamos ahora que ker p ∩ ker q = 0 . Si m ∈ ker p ∩ ker q entonces

m = 1 ·m = λpm + µqm = 0 + 0 = 0

De todo lo anterior se deduce que M = ker p⊕ ker q .Determinemos ahora los anuladores de ker p y ker q . Denotemos por p′ y q′ los

respectivos anuladores. Como p anula a ker p se cumple p = αp′ (y analogamenteq = βq′). Por otra parte p′q′ anula a M = ker p⊕ ker q, ası que

p′q′ = γa = γpq = γαβp′q′

y α, β son invertibles. Luego p′, q′ coinciden con p, q (salvo factores invertibles).

318

En cuanto a la unicidad de la descomposicion, sea M = Mp⊕Mq donde Mp esun submodulo de M de anulador p y Mq es un submodulo de anulador q. EntoncesMp ⊆ ker p y Mp ⊆ ker p, y ninguna de estas inclusiones puede ser estricta porqueentonces tambien serıa estricta la inclusion

M = Mp ⊕Mq ⊂ ker p⊕ ker q = M

lo que es absurdo.

Segundo Teorema de Descomposicion: Sea a = pn11 · · · pns

s la descomposicionen factores irreducibles del anulador de un A-modulo M . Entonces M descomponede modo unico en suma directa de submodulos Mi de anuladores respectivos pni

i .En concreto se cumple

M = ker pn11 ⊕ . . .⊕ ker pns

s

Demostracion: Basta aplicar el lema anterior sucesivamente:

M = ker pn11 ⊕ ker (pn2

2 · · · pnss ) = · · · = ker pn1

1 ⊕ . . .⊕ ker pnss .

q.e.d.

A partir de ahora p sera un elemento irreducible de A.

Lema D.1.5 Los ideales de A/pnA son de la forma (p m) con 0 ≤ m ≤ n .

Demostracion: Sea π : A → A/pnA el morfismo de paso al cociente. Si a es unideal de A/pnA, entonces a = π−1(a) es un ideal de A que contiene a pn (porqueπ(pn) = 0). Por lo tanto, el generador de a debe ser un divisor de pn, luegoa = pmA para algun 0 ≤ m ≤ n. En conclusion, a = π(a) = π(pmA) = (p m) .

Lema D.1.6 Se cumple que A/pnA es un (A/pnA)-modulo inyectivo.

Demostracion: Usemos el criterio del ideal. Sea f : a = (p m) → A/pnA unmorfismo de (A/pnA)-modulos. El generador p m de a esta anulado por p n−m,ası que lo mismo ocurrira con su imagen f(p m). Luego f(p m) = ap m para alguna ∈ A/pnA . Es claro que la homotecia f : A/pnA → A/pnA de razon a extiendea f , esto es f(b) = ab .

Definicion: Un A-modulo M se dice monogeno si esta generado por un elemento.Tales modulos son de la forma M ' A/aA siendo a el anulador de M . En efecto,sea m un generador de M y consideremos el morfismo π : A → M definido porπ(b) = bm . Es claro que π es epiyectivo y que su nucleo es el ideal anulador deM , con lo que se concluye.

319

Tercer Teorema de Descomposicion: Sea M un A-modulo finito generadode anulador pn. Entonces M descompone de modo unico (salvo isomorfismos) ensuma directa de monogenos

M ' (A/pn1A)⊕ . . .⊕ (A/pnsA)

con n = n1 ≥ · · · ≥ ns .

Demostracion: Consideremos un sistema minimal de generadores de M y sea mun elemento de tal sistema de anulador pn (¡existe!). En la sucesion exacta

0 −→ Am = A/pnA −→ M −→ M/Am −→ 0

los terminos estan anulados por pn, ası que pueden ser considerados como (A/pnA)-modulos. Por el lema anterior Am = A/pnA es un (A/pnA)-modulo inyectivo,luego la sucesion exacta rompe y resulta

M ' A/pnA ⊕ M/Am

Procediendo por induccion sobre el mınimo numero de generadores, podemossuponer que el teorema es cierto para M/Am y se obtiene una descomposicion

M ' (A/pn1A)⊕ . . .⊕ (A/pnsA)

Veamos ahora la unicidad de la descomposicion. Sea k := A/pA y observemosque (piA/pjA) ⊗A k ' k para todo 0 ≤ i < j. Si denotemos por νj el numero desumandos iguales a A/pjA que aparezcan en una descomposicion de M , tenemos

dimk(M ⊗ k) = ν1 + . . . + νn

dimk((pM)⊗A k) = ν2 + . . . + νn

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

dimk((pn−1M)⊗A k) = νn

Estas igualdades permiten despejar las νj a partir de las dimensiones de losespacios vectoriales (piM)⊗A k; luego tales numeros no dependen de la particulardescomposicion de M elegida.

Definicion: Segun el primer teorema de descomposicion, todo A-modulo M fini-to generado descompone en suma directa de un modulo libre y otro de torsion.Aplicando a la parte de torsion el segundo y tercer teoremas de descomposicion,resulta que todo A-modulo M finito generado descompone de modo unico (salvoisomorfismos) en la forma

M ' (A⊕ r. . . ⊕A)⊕( ⊕

i,j

A/pnij

i A)

320

donde los pi son elementos irreducibles de A y r es el rango del modulo M . Ademasconsideramos los exponentes ordenados de mayor a menor: ni1 ≥ ni2 ≥ · · · paracada ındice i. A las potencias p

nij

i se les llama divisores elementales del moduloM . Notese que estan bien definidos salvo factores invertibles.

Como consecuencia directa de la descomposicion obtenida para los modulosfinito generados resulta el siguiente

Teorema de Clasificacion (1a version): Dos A-modulos finito generados sonisomorfos si y solo si poseen el mismo rango y los mismos divisores elementales.

D.2 Factores Invariantes

Teorema Chino del Resto: Sea a = pn11 · · · pns

s la descomposicion en factoresirreducibles de un elemento a ∈ A. Existe un isomorfismo de A-modulos

A/aA = (A/pn1A)⊕ . . .⊕ (A/pnsA)

Demostracion: Por el segundo teorema de descomposicion, aplicado a A/aA, setiene

A/aA = ker pn11 ⊕ . . .⊕ ker pns

s

Ahora bien, cada sumando ker pnii es un cociente de A/aA y por lo tanto es

monogeno. Como el anulador de ker pnii es pni

i se concluye que ker pnii = A/pni

i A.

Proposicion D.2.1 Dado un A-modulo M finito generado, existe una unica suce-sion creciente de ideales φ1A ⊆ φ2A ⊆ . . . ⊆ φmA tal que

M ' A/φ1A⊕ . . .⊕A/φmA .

Demostracion: Sabemos que

M ' (A⊕ r. . . ⊕A)⊕( ⊕

i,j

A/pnij

i A)

siendo los pnij

i los divisores elementales de M y r el rango. Definamos

φ1 = · · · = φr = 0 , φr+j = pn1j

1 · · · pnsjs

Agrupando sumandos en la descomposicion de M por medio del teorema chinodel resto se obtiene directamente que

M ' A/φ1A⊕ . . .⊕A/φmA

Para la unicidad se razona a la inversa descomponiendo cada sumando de laigualdad de arriba por medio del teorema chino del resto.

321

Definicion: A los elementos φ1, · · · , φm de la proposicion anterior (cada unomultiplo del siguiente y bien definidos salvo factores invertibles de A) se les llamafactores invariantes del modulo M .

Notese que φ1 es el anulador del modulo, y que la sucesion de factores invari-antes puede considerarse infinita sin mas que tomar 1 = φm+1 = φm+2 = · · · . Enla demostracion de la proposicion anterior hemos definido los factores invariantesa partir del rango y de los divisores elementales. Recıprocamente, es evidente quelos factores invariantes determinan el rango y los divisores elementales del modulo.Luego podemos reenunciar el teorema de clasificacion de la siguiente manera:

Teorema de Clasificacion (2a version): Dos A-modulos finito generados sonisomorfos si y solo si poseen los mismos factores invariantes.

Calculo de los Factores Invariantes

Consideremos un A-modulo finito generado M y una presentacion de M con unasucesion exacta

0 −→ L′nψ−→ Lm −→ M −→ 0

donde L′n y Lm son A-modulos libres (los subındices indican los rangos). Fijadassendas bases (e′1, . . . , e

′n) y (e1, . . . , em) de L′n y Lm, escribimos ψ(e′j) =

∑i aijei ;

ası que (aij) es la matriz de ψ. Definimos entonces los siguientes ideales:

Definicion: Se llama i-esimo ideal de Fitting (1906-1938) de M al ideal Fi(M)generado por los menores de orden m−i de la matriz de ψ (entendiendo que Fi = 0cuando m− i > n, y que Fi = A cuando m− i < 1).

Veamos que los ideales de Fitting de un modulo no dependen de las baseselegidas: Consideremos otra base (e1, . . . , en) de L′n y escribamos ψ(ej) =

∑i aijei,

ası que la nueva matriz de ψ es (aij). Denotemos Fi(M) y Fi(M) a los respectivosideales i-esimos de Fitting de las matrices (aij) y (aij). Cada ej es combinacionlineal de la antigua base (e′1, . . . , e

′n) y, por lo tanto, cada columna de (aij) es

combinacion lineal de las columnas de (aij). En consecuencia, los menores deorden m − i de (aij) son combinacion lineal de los menores de (aij), es decir,Fi(M) ⊆ Fi(M) . Por simetrıa tambien se cumple Fi(M) ⊆ Fi(M); luego enconclusion Fi(M) = Fi(M) . Si la que cambiamos es la base de Lm se razona demodo similar (por filas en vez de por columnas).

Denotemos ci al generador del ideal Fi(M), es decir, ci es el maximo comundivisor de los menores de orden m− i de la matriz de ψ (entendiendo que ci = 0cuando m− i > n, y ci = 1 cuando m− i < 1).

322

Proposicion D.2.2 Para todo A-modulo finito generado M se verifica

ci = φi+1 · · ·φm

φi =

ci−1/ci cuando ci 6= 00 cuando ci = 0

Demostracion: Dos elementos de A son iguales si al localizar en cada punto cerradodel espectro son iguales. Por lo tanto podemos suponer que A es un anillo local. Ental caso A tiene un unico ideal maximal y en consecuencia solo existe un elementoirreducible (salvo invertibles), que denotaremos p.

Los factores invariantes se escribiran en la forma

φ1 = . . . = φr = 0 , φr+1 = pn1 , . . . , φr+s = pns

con n1 ≥ . . . ≥ ns . Por lo tanto

M = A⊕ r. . . ⊕A⊕A/pn1A ⊕ . . .⊕ A/pnsA

Tomemos un sistema mınimo de generadores m1, . . . ,mr+s de M (un gene-rador en cada sumando), y consideremos tambien la presentacion dada:

0 −→ L′nψ−→ Lm

π−→ M −→ 0

Como el morfismo natural Lm/pLm → M/pM es epiyectivo, el lema de Nakaya-ma nos permite elegir una base (e1, . . . , em) de Ln tal que π(ei) = mi, 1 ≤ i ≤ r+s.El resto de los elementos de la base verificaran relaciones, digamos

π(er+s+j) =∑

i aijmi .

Cambiando los elementos er+s+j por er+s+j −∑

i aijei obtenemos una basee1, . . . , em de Lm que verifica π(ei) = mi para i ≤ r + s, y π(er+s+j) = 0 paraj > 0. Es claro entonces que los elementos e′i = pnier+i , e′s+j = er+s+j formanuna base de kerπ = L′n . La correspondiente matriz de ψ es

0 . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . .

0 . . . . . . . . . . . . 0pn1

. . .pns

1. . .

1

323

Recordando que n1 ≥ . . . ≥ ns , es facil comprobar que el maximo comundivisor ci de los menores de orden m− i de esta matriz es nulo cuando i < r (luegocoincide con φi+1 · · ·φn) y, cuando i ≥ r, vale

cr+j = pnj+1 · · · pns · 1 · · · 1 = φr+j+1 · · ·φn

Corolario D.2.3 El mınimo numero de generadores de M coincide con el numerode factores invariantes.

Demostracion: La proposicion anterior muestra que el numero de generadores macota al numero de factores invariantes. Por otra parte, si φ1, . . . , φm son losfactores invariantes, entonces M ' A/φ1A ⊕ . . . ⊕ A/φmA claramente admite unsistema de m generadores.

Observacion: De la proposicion anterior se deduce que los ideales Fi(M) nodependen de la presentacion particular elegida. No es difıcil probar que tal afir-macion tambien es valida para presentaciones L′n → Lm → M → 0 con L′n → Lm

no necesariamente inyectivo.

D.3 Clasificacion de Endomorfismos

Sea E un espacio vectorial de dimension finita sobre un cuerpo k.

Definicion: Se dice que dos endomorfismos T, T ′ de E son equivalentes o se-mejantes si existe un automorfismo lineal τ de E tal que T ′ = τ T τ−1. Estaigualdad significa la conmutatividad del cuadrado

ET−→ E

↓ τ ↓ τ

ET ′−→ E

Cada endomorfismo T induce una estructura de k[x]-modulo en E del siguientemodo

p(x) · e = p(T )(e)

y en particular x · e = T (e) . Este k[x]-modulo se denotara ET .

Proposicion D.3.1 Dos endomorfismos T, T ′ son equivalentes si y solo si in-ducen estructuras de k[x]-modulos isomorfas sobre E.

Demostracion: Si T y T ′ son equivalentes, existe un automorfismo lineal τ tal queτ T = T ′ τ . Veamos que τ : ET → ET ′ es un isomorfismo de k[x]-modulos.

324

Como τ es un isomorfismo k-lineal, bastara ver que conmuta con la multiplicacionpor x :

τ(x · e) = τ (T (e)) = T ′ (τ(e)) = x · τ(e)

Para el recıproco se razona de modo similar. q.e.d.

Segun la proposicion anterior la clasificacion de endomorfismos se reduce a lade k[x]-modulos. Llamemos factores invariantes de un endomorfismo T de un k-espacio vectorial de dimension finita E a los factores invariantes del k[x]-moduloET , que es finito generado. El teorema de clasificacion de k[x]-modulos implicadirectamente el siguiente

Teorema de Clasificacion: Dos endomorfismos de un k-espacio vectorial dedimension finita E son equivalentes si y solo si poseen los mismos factores inva-riantes.

Calculo de los Factores Invariantes

Sea E un k-espacio vectorial de dimension n. Consideremos un endomorfismo Ty la correspondiente estructura de k[x]-modulo sobre E. Sea (λij) la matriz de Ten una base (e1, . . . , en) de E. Vamos a determinar los factores invariantes de T apartir de su matriz.

Consideremos la sucesion exacta

0 −→ k[x, y](x−y)·−−−−→ k[x, y] −→ k[x] −→ 0

Mediante el isomorfismo k[x]⊗k k[x] = k[x, y], x⊗1 7→ x, 1⊗x 7→ y, la sucesionanterior se expresa en la forma

0 −→ k[x]⊗k k[x](x⊗1−1⊗x)·−−−−−−−−→ k[x]⊗k k[x] −→ k[x] −→ 0

Consideremos k[x] ⊗k k[x] como k[x]-modulo por el segundo factor. Entoncesla sucesion anterior es una sucesion exacta de k[x]-modulos que rompe porque elultimo termino es libre. Aplicando ahora (−)⊗k[x] ET resulta la sucesion exacta

0 −→ k[x]⊗k E(x⊗1−1⊗T )·−−−−−−−−→ k[x]⊗k E −→ ET −→ 0

Considerando k[x]⊗k E como k[x]-modulo por el primer factor resulta ser librede base (1⊗ e1, . . . , 1⊗ en). Por lo tanto, la sucesion anterior es una presentacionde ET como k[x]-modulo. La matriz del morfismo (x⊗ 1− 1⊗ T )· es xId− (λij).Luego

325

Teorema D.3.2 Sea (λij) la matriz n × n de un endomorfismo T . Sea ci(x) elmaximo comun divisor de los menores de orden n− i de la matriz xId− (λij) . Severifica

ci(x) = φi+1(x) · · ·φn(x)φi(x) = ci−1(x)/ci(x)

siendo φ1(x), . . . , φn(x) los factores invariantes de T .

Observaciones:

1. El polinomio c0(x) = det(xId− (λij)

)se llama polinomio caracterıstico

de T . Segun el teorema anterior, el polinomio caracterıstico es igual alproducto de los factores invariantes.

2. Un caso particular es el Teorema de Hamilton-Cayley (1805-1865 y 1821-1895): El polinomio caracterıstico de un endomorfismo es multiplo del poli-nomio anulador, y ambos tienen los mismos factores irreducibles.

3. Si el polinomio caracterıstico de un endomorfismo no tiene factores irre-ducibles repetidos, entonces coincide con el polinomio anulador, y los res-tantes factores invariantes son la unidad: φ2 = . . . = 1.

D.4 Matrices de Jordan

Cuerpo Algebraicamente Cerrado

Lema D.4.1 1, (x− λ), . . . , (x− λ) n−1 es una base de k[x]/((x− λ)n

).

Demostracion: Las clases 1, y, . . . , y n−1 forman una base de k[y]/(yn) . Haciendoel cambio y = x− λ concluimos.

Sea ahora T un endomorfismo de un k-espacio vectorial E. Supongamos queET es monogeno, es decir, se cumple:

ET ' k[x]/((x− λ)n

)

Tomemos entonces la base ej = (x− λ)j−1 con 0 ≤ j ≤ n− 1 . Se tiene

T (ej) = x · (x− λ)j−1 = (x− λ)(x− λ)j−1 + λ(x− λ)j−1 = ej+1 + λej

Por lo tanto, la matriz de T vale

λ1 λ

. . . . . .1 λ

326

En el caso general, la descomposicion de E sera

ET '⊕i,j

k[x]/((x− λi)nij

)

siendo (x−λi)nij los divisores elementales del endomorfismo T . Tomando una baseen cada sumando k[x]/

((x−λi)nij , elegida como en el caso monogeno, obtendremos

una base de E en la que la matriz de T es de la forma de Jordan (1838-1922)

(B11). . .

(Bij). . .

siendo (Bij) la siguiente matriz nij × nij

(Bij) =

λi

1 λi

. . . . . .1 λi

El Cuerpo RLema D.4.2 Sea E un espacio vectorial complejo de base (e1, . . . , en). Entonces(e1, ie1, . . . , en, ien) es una base de E como espacio vectorial real.

Demostracion: Teniendo en cuenta que C = R1⊕ Ri, resulta

E = Ce1 ⊕ . . .⊕ Cen = (Re1 ⊕ Rie1)⊕ . . .⊕ (Ren ⊕ Rien)

lo que permite concluir. q.e.d.

Consideremos un numero complejo α = a + bi y su conjugado α = a − bi ,donde se supone b 6= 0 . Observemos que (x− α)(x− α) = x2 − 2ax + (a2 + b2) esun polinomio irreducible con coeficientes reales.

Lema D.4.3 Existe un isomorfismo de R[x]-modulos

R[x]/((x− α)n(x− α)n

)= C[x]/

((x− α)n

)

Demostracion: Ambos modulos tienen dimension 2n sobre R. Sea < 1 > el R[x]-submodulo de C[x]/

((x−α)n

)generado por la clase 1. Determinemos el anulador

de esta clase: Por una parte, es claro que (x − α)n(x − α)n anula a 1; por otraparte, el anulador debera ser multiplo de (x−α)n y, dado que todo polinomio con

327

coeficientes reales que tiene una raız compleja tiene tambien la conjugada (conigual multiplicidad) se concluye que el polinomio anulador es (x− α)n(x− α)n .

Se tiene entonces una inclusion

R[x]/((x− α)n(x− α)n

)=< 1 >⊆ C[x]/

((x− α)n

)

y como ambos espacios son de la misma dimension sobre R se concluye que laanterior inclusion es una igualdad. q.e.d.

Sea ahora T un endomorfismo de un espacio vectorial real E.Supongamos primero que ET es monogeno, de la forma

ET ' R[x]/((x− α)n(x− α)n

)= C[x]/

((x− α)n

)

Tomemos la base ej = (x− α)j−1, e′j = i(x− α)j−1. Calculemos:

T (ej) = x · (x− α)j−1 = (x− α)j + α(x− α)j−1 =

= (x− α)j + a(x− α)j−1 + bi(x− α)j−1 = ej+1 + aej + be′jT (e′j) = x · i(x− α)j−1 = i(x− α)j + iα(x− α)j−1 =

= i(x− α)j + ai(x− α)j−1 − b(x− α)j−1 = e′j+1 + ae′j − bej

luego la matriz de T vale

(a −bb a

)

(1 00 1

) (a −bb a

)

. . . . . .(1 00 1

) (a −bb a

)

En el caso general, la descomposicion de E en monogenos sera de la forma

ET '⊕i,j

R[x]/(pi(x)nij

)

donde los polinomios pi(x) son irreducibles y por lo tanto son de la forma pi(x) =x−λi o bien pi(x) = (x−αi)(x− αi) con αi = ai + bii . Tomando como antes unabase en cada monogeno R[x]/

(pi(x)nij

)obtendremos una base de E en la que la

matriz de T es reducida (matriz de Jordan):

(B11). . .

(Bij). . .

328

donde el valor de la matriz (Bij) depende de pi(x)nij . Si pi(x) = x− λi entonces(Bij) es la siguiente matriz nij × nij

(Bij) =

λi

1 λi

. . . . . .1 λi

Si pi(x) = (x− αi)(x− αi) entonces (Bij) es la siguiente matriz 2nij × 2nij

(Bij) =

(ai −bi

bi ai

)

(1 00 1

) (ai −bi

bi ai

)

. . . . . .(1 00 1

) (ai −bi

bi ai

)

D.5 Clasificacion de Autoproyectividades

Denotaremos T : P(E) → P(E) la proyectividad inducida por un automorfismolineal T : E → E .

Definicion: Diremos que dos proyectividades T , T ′ son equivalentes si exis-te alguna proyectividad τ tal que T ′ = τ T τ−1. Esta igualdad significa laconmutatividad del cuadrado

P(E) T−→ P(E)↓ τ ↓ τ

P(E) T ′−→ P(E)

La igualdad T ′ = τ T τ−1 significa que los representantes lineales verifi-can λT ′ = τ T τ−1 para cierta constante no nula λ ∈ k . Por consiguiente,los endomorfismos T y λT ′ son equivalentes. La equivalencia de endomorfismosviene determinada por los factores invariantes, ası que nos es necesario determinarcomo varıan los factores invariantes cuando se multiplica el endomorfismo por unaconstante.

Lema D.5.1 Sean φi(x) los factores invariantes de un endomorfismo T y seanφ′i(x) los factores invariantes de λT (con λ 6= 0). Se verifica

φ′i(x) = φi(x/λ)

329

Demostracion. Considerando en E la estructura de k[x]-modulo inducida por Tse cumple

E ' k[x]/(φ1(x)

)⊕ . . .⊕ k[x]/(φn(x)

)

Realizando el cambio de variable x = y/λ obtenemos el siguiente isomorfismode k[y]-modulos

E ' k[y]/(φ1(y/λ)

)⊕ . . .⊕ k[y]/(φn(y/λ)

)

Como y = λx, la estructura de k[y]-modulo que posee E en el isomorfismoanterior es justamente la correspondiente al endomorfismo λT . El isomorfismoanterior nos dice entonces que los factores invariantes de λT son los polinomiosφi(y/λ) . q.e.d.

Es facil comprobar que las raıces de φi(x/λ) son las de φi(x) multiplicadas porla constante λ. Por lo tanto, al multiplicar un endomorfismo por una constantesus factores invariantes quedan multiplicados en sus raıces por la constante.

Como consecuencia del ultimo lema y de la clasificacion de endomorfismos,obtenemos directamente el siguiente

Teorema de Clasificacion: Dos proyectividades T , T ′ de un espacio proyectivoP(E) son equivalentes si y solo si existe una constante no nula λ ∈ k tal que

φ′i(x) = φi(x/λ)

siendo φi(x), φ′i(x) los respectivos factores invariantes de los representanteslineales T y T ′.

D.6 Clasificacion de Grupos Abelianos

Todo grupo conmutativo (G, +) tiene una estructura natural de Z-modulo:

n · g = g+ n. . . +g

(−n) · g = −g− n. . . . . . −g

donde g ∈ G y n ∈ N. Recıprocamente, todo Z-modulo posee por definicionuna estructura subyacente de grupo abeliano. Ademas, los morfismos de grupos(abelianos) son justamente los morfismos de Z-modulos. Por lo tanto, la clasifi-cacion de grupos abelianos equivale a la clasificacion de Z-modulos. Ası pues, todogrupo abeliano finito generado G viene determinado (salvo isomorfismos) por susfactores invariantes:

G ' Z/φ1Z ⊕ · · · ⊕ Z/φmZ

330

Teorema de Clasificacion: Dos grupos abelianos finito generados son isomorfossi y solo si poseen los mismos factores invariantes.

Corolario D.6.1 Todo grupo abeliano finito generado descompone, y de modounico, en suma directa de grupos cıclicos infinitos y de grupos cıclicos de ordenespotencias de numeros primos.

Corolario D.6.2 Todo grupo abeliano finito G descompone, y de modo unico, ensuma directa de grupos cıclicos de ordenes potencias de numeros primos.

Corolario D.6.3 Si un numero natural d divide al orden de un grupo abelianofinito G, entonces G tiene algun subgrupo de orden d.

Demostracion: pn−iZ/pnZ es un subgrupo de Z/pnZ de orden pi.

Corolario D.6.4 Si G es un grupo abeliano finito-generado, las siguientes condi-ciones son equivalentes:

1. G es un grupo finito.

2. El rango de G es nulo.

3. El primer factor invariante φ1 (i.e. el anulador) de G no es nulo.

en cuyo caso su orden es el producto de los factores invariantes: |G| = φ1 . . . φm.

Corolario D.6.5 Un sistema de ecuaciones diofanticas lineales AX = B admitesolucion entera precisamente cuando el rango r de la matriz A coincide con el dela matriz ampliada (A|B) y el ideal de Fitting Fr(A) coincide con Fr(A|B).

Demostracion: Consideremos el morfismo Z-lineal f : Zn → Zm, f(X) = AX, ysu conucleo M = Zm/Im f , de modo que rg(M) = m − rg(A). Ademas, segunD.2.2, el orden φr+1 · · ·φm del subgrupo de torsion de M coincide con cr(A).

Si el sistema tiene alguna solucion entera, entonces B ∈ Im f y tenemos queM = M/ZB. Ahora D.2.2 permite concluir que Fi(A) = Fi(A|B) para todo ındicei. En particular Fr(A) = Fr(A|B).

Recıprocamente, si el sistema no tiene solucion entera, entonces B 6= 0 en M .Si B no es de torsion en M , entonces rg(M/ZB) = rg(M) − 1 y concluimos querg(A|B) = rg(A)+1. Si B es de torsion en M , entonces rg(A|B) = rg(A) = r; peroel orden del subgrupo de torsion de M/ZB (que coincide con cr(A|B) en virtudde D.2.2) es estrictamente menor que el orden cr(A) del subgrupo de torsion deM . Luego Fr(A) 6= Fr(A|B).

331

Transformaciones Elementales

Veamos otro metodo para clasificar un grupo abeliano G (o, mas en general, unmodulo sobre un anillo euclıdeo) a partir de una presentacion

L′f−−−→ L −→ G −→ 0

Elegidas bases (e1, . . . , em) y (e′1, . . . , e′n) de los grupos libres L y L′, el morfismo

f vendra dado por una matriz A = (aij) de m filas y n columnas con coeficientesenteros: f(e′j) =

∑i aijei . Las siguientes operaciones con las columnas Cj de A,

que corresponden a cambios de base en L′, y con las filas Fi de A, que correspondena cambios de base en L, se llaman transformaciones elementales:

Transformacion Elemental Cambio de BaseTrasponer Ci y Cj Trasponer e′i y e′jTrasponer Fi y Fj Trasponer ei y ej

Sustituir Ci por Ci + λCj Sustituir e′i por e′i + λe′jSustituir Fi por Fi + λFj Sustituir ej por ej − λei

donde i 6= j y λ ∈ Z. A veces tambien es comodo considerar como transforma-ciones elementales los cambios de signo de columnas o filas, pues claramente secorresponden con los cambios de signo de los vectores de las bases elegidas.

Mediante transformaciones elementales (i.e., cambios de base en L′ y L) pode-mos conseguir que todos los coeficientes aij de la matriz de f sean multiplos dea11, y por tanto anular los restantes coeficientes de la primera fila y columna.Obtenemos ası matrices invertibles con coeficientes enteros B y C tales que

A = C−1AB =

a1 0 ·a2 · ·

. . . · ·am 0 ·

es una matriz diagonal donde ai+1 es multiplo de ai. En particular, los factoresinvariantes de L/Im f ' G coinciden con los coeficientes de la diagonal de A (com-pletados con ceros cuando m > n); es decir, φ1 = am, φ2 = am−1, . . . , φm = a1.

Por otra parte, para resolver un sistema de ecuaciones diofanticas linealesAX = Y , basta calcular las soluciones X del sistema trivial AX = Y , dondeY = C−1Y , pues las soluciones del inicial son X = BX, y la matriz de cambio debase B se calcula aplicando a la base inicial de L′ las transformaciones elementalespor columnas que se hayan realizado (i.e. los cambios de base en L′).

Ejemplo: Para hallar las soluciones del sistema de ecuaciones diofanticas lineales

5x1 − 2x2 − 11x3 = 23x1 + 2x2 − 5x3 = −2

332

reducimos la matriz del sistema mediante transformaciones elementales:

1 0 00 1 00 0 1

5 −2 −11

... 2

3 2 −5... −2

1 0 0−1 1 00 0 1

7 −2 −11

... 2

1 2 −5... −2

”

1 2 −5

... −2

7 −2 −11... 2

”

1 2 −5

... −2

0 −16 24... 16

1 −2 5−1 3 −50 0 1

1 0 0

... −2

0 −16 24... 16

B =

1 3 −41 −2 10 1 −2

1 0 0

... −2

0 8 0... 16

de modo que el sistema inicial es equivalente al sistema AX = Y :

(1 0 00 8 0

)

x1

x2

x3

=

(−216

)

Sus soluciones son x1 = −2, x2 = 2, x3 = λ, y las del sistema inicial son

x1

x2

x3

= BX =

1 3 −41 −2 10 1 −2

−22λ

,

x1 = 4− 4λx2 = −2 + λx3 = 2− 2λ

, λ ∈ Z

Nota: Para estudiar la compatibilidad de un sistema, no es necesario calcular lamatriz de cambio de base B. Ası, para estudiar la compatibilidad del sistema

5x1 − 2x2 − 11x3 = a3x1 + 2x2 − 5x3 = b

333

realizando transformaciones elementales5 −2 −11

... a

3 2 −5... b

, . . . . . . ,

1 0 0

... b

0 8 0... a− 7b

vemos que el sistema dado es equivalente al sistema

(1 0 00 8 0

)

x1

x2

x3

=

(b

a− 7b

)

que solo es compatible cuando a − 7b es multiplo de 8. El sistema dado es com-patible precisamente cuando a + b sea multiplo de 8.

Ejemplo: Para hallar las matrices de cambio de base B y C tales que A = C−1AB,efectuamos las transformaciones elementales en las bases de L′ y L (segun que seantransformaciones de A por columnas o filas). Obtenemos ası las coordenadas dela nueva base de L′ en la inicial (i.e., la matriz B) y las de la base inicial de L enla nueva base (i.e., la matriz C−1):

1 0 00 1 00 0 1

A =

(5 −2 −113 2 −5

) (1 00 1

)

1 0 0−1 1 00 0 1

7 −2 −111 2 −50 0 1

”

”(

1 2 −57 −2 −11

) (0 11 0

)

”(

1 2 −50 −16 24

) (0 11 −7

)

1 −2 5−1 3 −50 0 1

(1 0 00 −16 24

)”

B =

1 3 −41 −2 10 1 −2

A =

(1 0 00 8 0

) (0 11 −7

)= C−1

334

Ejemplo: Sea G el grupo abeliano generado por 3 elementos con las relaciones

8a + 10b + 12c = 08a + 4b + 6c = 0

i.e., G es el conucleo del morfismo f : Z2 → Z3, f(x1, x2) = x1(8, 10, 12) +x2(8, 4, 6). Aplicando transformaciones elementales a la matriz de f :

A =

8 810 412 6

,

−2 410 412 6

,

−2 010 2412 30

,

−2 00 240 30

,

2 00 60 0

= A

vemos que G = Z3/Im f ' (Z/2Z) ⊕ (Z/6Z) ⊕ Z. Los factores invariantes de Gson φ1 = 0, φ2 = 6 y φ3 = 2; es decir, G es un grupo abeliano de rango r = 1 ysus divisores elementales son 2, 2, 3. Un metodo alternativo es calcular el maximocomun divisor ci de los menores de orden 3− i de la matriz A:

c0 = 0c1 = m.c.d.(−48, −48, 12) = 12c2 = m.c.d.(8, 10, 4, 12, 6) = 2c3 = c4 = . . . = 1

de modo que φ1 = c0/c1 = 0, φ2 = c1/c2 = 6, φ3 = c2/c3 = 2.En particular, G es un grupo infinito de rango 1, no es un grupo cıclico (de

hecho, no puede ser generado con menos de 3 elementos), su anulador es 0 y susubgrupo de torsion T (G) ' (Z/2Z)⊕ (Z/6Z) tiene 12 elementos.

Apendice E

Modulos Localmente Libres

Definicion: Sea M un A-modulo de tipo finito. Diremos que un sistema finito degeneradores de M es mınimo si no contiene estrictamente ningun otro sistema degeneradores de M .

Sea O un anillo local, m su ideal maximal y k = O/m. En virtud del lema deNakayama, la condicion necesaria y suficiente para que una familia m1, . . . , mrde elementos de un O-modulo de tipo finito M sea un sistema mınimo de gener-adores es que m1⊗ 1, . . . , mr⊗ 1 formen una base del k-espacio vectorial M ⊗O k ;es decir, que el morfismo Or → M definido por m1, . . . , mr induzca un isomorfismo

Or ⊗O k = kr ' M ⊗O k

Por tanto, todos los sistemas mınimos de generadores de M tienen el mismonumero de elementos y este numero comun, que coincide con la dimension delk-espacio vectorial M ⊗O k , lo denotaremos g(M) .

Ejercicio: Si M es un A-modulo de tipo finito, la funcion f(x) := g(Mx) essemicontinua sobre SpecA ; es decir, Un := x ∈ Spec A : g(Mx) < n es unabierto de Spec A para todo numero natural n.

Lema E.0.6 Sea M un modulo de tipo finito sobre un anillo local O. Si el mor-fismo natural a ⊗A M → M es inyectivo para todo ideal finito-generado a de O,entonces M es un O-modulo libre.

Demostracion: Sea m1, . . . , mr un sistema mınimo de generadores de M . Dadauna relacion a1m1 + . . . + armr = 0, consideramos el ideal a = (a1, . . . , ar), quees de tipo finito. Por hipotesis el morfismo natural a⊗O M → M es inyectivo, asıque a1 ⊗ m1 + . . . + ar ⊗ mr = 0 . Cambiando de base al cuerpo residual k del

335

336

unico ideal maximal m de O, obtenemos la relacion a1 ⊗ m1 + . . . + ar ⊗ mr = 0en el k-espacio vectorial

(a⊗O M)⊗O k = (a/ma)⊗k (M/mM) =r⊕

i=1

(a/ma)⊗k (kmi)

Luego a1 = . . . = ar = 0 . Es decir, a/ma = 0 y, en virtud del lema deNakayama, concluimos que a = 0 . Es decir, a1 = . . . = ar = 0 y el epimorfismoOr → M definido por m1, . . . ,mr es un isomorfismo.

Criterio de Platitud del Ideal: Sea M un A-modulo de tipo finito. Si elmorfismo natural a ⊗A M → M es inyectivo para todo ideal finito-generado a deA, entonces M es un A-modulo plano.

Demostracion: En cada punto x ∈ Spec A tenemos que el morfismo natural

ax ⊗Ax Mx = (a⊗A M)x −→ Mx

es inyectivo. Como cada ideal finito-generado de Ax es la localizacion de un idealfinito-generado de A, el lema anterior permite concluir que Mx es un Ax-modulolibre y, por tanto, plano. Luego M es un A-modulo plano porque la platitud esuna propiedad local.

Teorema E.0.7 En los modulos de tipo finito sobre un anillo local O, las condi-ciones de ser libre, proyectivo y plano son equivalentes.

Demostracion: Solo hay que probar que todo O-modulo de tipo finito plano M eslibre. Ahora bien, para cualquier ideal a de O se verifica que el morfismo naturala⊗O M → M es inyectivo, porque lo es la inclusion a → O y M es plano. El lemaanterior permite concluir que M es un O-modulo libre.

Definicion: Diremos que un A-modulo M es de presentacion finita si admitealguna presentacion As → Ar → M → 0 , es decir si existe algun epimorfismoAr → M cuyo nucleo sea de tipo finito.

En particular, todo modulo de presentacion finita es de tipo finito. Cuando elanillo A es noetheriano, todo A-modulo de tipo finito es de presentacion finita.

Lema E.0.8 Sea M un A-modulo de presentacion finita. Para todo A-modulo Ny todo punto x ∈ Spec A tenemos que HomA(M, N)x = HomAx(Mx, Nx) .

Demostracion: El enunciado es claramente cierto cuando M es un A-modulo librede rango finito. En el caso general, por hipotesis existe una presentacion finita

337

As → Ar → M → 0 y concluimos al considerar el siguiente diagrama conmutativode filas exactas:

HomA(As, N)x ←− HomA(Ar, N)x ←− HomA(M, N)x ←− 0|| || ↓

HomAx(As

x, Nx) ←− HomAx(Arx, Nx) ←− HomAx

(Mx, Nx) ←− 0

Teorema E.0.9 En los A-modulos de presentacion finita, la condicion de serproyectivo equivale a la de ser plano.

Demostracion: Todo modulo proyectivo es siempre plano.Recıprocamente, si un A-modulo de presentacion finita M es plano, entonces

Mx es un Ax-modulo plano en todos los puntos x ∈ Spec A . Por el teoremaanterior, Mx es un Ax-modulo proyectivo, ası que el funtor

N Ã HomAx(Mx, Nx) = HomA(M, N)x

es exacto. Luego HomA(M,−) es un funtor exacto, porque la exactitud de unasucesion es una propiedad local, y M es un A-modulo proyectivo.

Definicion: Diremos que un A-modulo M es localmente libre si cada puntox ∈ Spec A admite un entorno basico U tal que MU sea un AU -modulo libre.

Teorema E.0.10 Si M es un A-modulo de tipo finito, las siguientes condicionesson equivalentes:

1. M es proyectivo.2. M es localmente libre.3. M es plano y la funcion f(x) := g (Mx) es localmente constante sobre el

espectro de A.

Demostracion: Si M es un A-modulo plano de tipo finito, en cada punto x tenemosque Mx es un Ax-modulo libre de rango finito. Sean m1, . . . , mr elementos de Mque formen un sistema mınimo de generadores de Mx y sea φ : Ar → M el cor-respondiente morfismo, de modo que φx : Ar

x → Mx es un isomorfismo. Tenemosuna sucesion exacta:

0 −→ N −→ Ar φ−−→ M −→ K −→ 0

donde Nx = Kx = 0 . Como K es de tipo finito (por ser un cociente de M , que esde tipo finito) de acuerdo con 8.2.3 tendremos KU = 0 en algun entorno basico Ude x. Es decir, la siguiente sucesion es exacta

0 −→ NU −→ ArU

φU−−−→ MU −→ 0

Ahora bien, si M es proyectivo, entonces MU es un AU -modulo proyectivo yesta sucesion exacta escinde. Luego NU es un AU -modulo de tipo finito y, al ser

338

Nx = 0, podemos sustituir U por un entorno basico de x mas pequeno de formaque NU = 0 . En tal caso Ar

U → MU es un isomorfismo y concluimos que 1 ⇒ 2 .

Por otra parte, si la funcion f(x) = g(Mx) es localmente constante, sustituyen-do U por un entorno basico mas pequeno si fuera necesario, podemos suponer quef(x) es constante en U . En tal caso, en cualquier punto y ∈ U tenemos queφy : Ar

y → My es un epimorfismo entre Ay-modulos libres del mismo rango; luegoes un isomorfismo. Se sigue que φU : Ar

U → MU es un isomorfismo y 3 ⇒ 2 .

La implicacion 2 ⇒ 3 es inmediata, pues si MU es un AU -modulo libre entoncesMx es un Ax-modulo libre para todo x ∈ U y la funcion f(x) es constante en U .

Para concluir basta probar que 2 ⇒ 1 . Si M es de tipo finito, existe algunauna sucesion exacta 0 → N → Ar → M → 0. Si ademas M es localmentelibre, al ser Spec A un espacio compacto, admite un recubrimiento abierto finito,Spec A = U1∪ . . .∪Un , tal que cada Mi es un Ai-modulo libre (donde el subındicei denota la localizacion por todas las funciones que no se anulen en ningun puntode Ui). Por tanto, las sucesiones exactas

0 −→ Ni −→ Ari −→ Mi −→ 0

escinden. Luego Ni es un cociente de Ari , de modo que Ni es un Ai-modulo de tipo

finito. Elegimos ahora elementos n1, . . . , ns ∈ N que, al localizar en cada abiertoUi, generen el Ai-modulo Ni. El correspondiente morfismo As → N es epiyectivo,porque lo es en un recubrimiento abierto de Spec A , ası que N es de tipo finito.Luego M es de presentacion finita y el teorema anterior permite concluir que Mes proyectivo.

Nota: La condicion 3 puede sustituirse por la siguiente: M es plano y g(Mx) eslocalmente constante sobre el subespacio de puntos cerrados de Spec A .

Ejemplo: Todo ideal a de un dominio de Dedekind A satisface claramente lacondicion 3 del teorema anterior, luego a es un A-modulo proyectivo.

Ejemplo (M. Pisonero): Sea C(X) el anillo de las funciones reales continuas sobreun espacio metrizable X, sea m el ideal maximal de C(X) formado por las funcionesque se anulan en un punto dado x ∈ X y sea Ox = C(X)m. Entonces:

1. El morfismo de localizacion C(X) → Ox es epiyectivo y su nucleo es el idealnx =f ∈ C(X) : f se anula en un entorno de x.

2. Si x no es un punto aislado (nx 6= mx), entonces Ox es un C(X)-moduloplano de tipo finito que no es proyectivo.

3. Sea a un ideal de C(X). El C(X)-modulo C(X)/a es plano si y solo si existeun cerrado Y de X tal que a =

⋂y∈Y ny. (Indicacion: Sea Y el cerrado de X

formado por los puntos donde se anulen todas las funciones de a. Si C(X)/a esplano, entonces aOx = 0 cuando x ∈ Y , mientras que aOx = Ox cuando x /∈ Y ).

Apendice F

Grupos Finitos

F.1 G-conjuntos

Definicion: Sea G un grupo y X un conjunto. Llamaremos accion (por laizquierda1) de G en X a toda aplicacion G×X

.−−−→ X tal que

1. (g1g2) · x = g1 · (g2 · x) para todo g1, g2 ∈ G, x ∈ X.

2. 1 · x = x para todo x ∈ X.

Dar una accion de G en X es dar un morfismo de grupos ρ : G → Biy(X),ρ(g)(x) = g · x, en el grupo Biy(X) de todas las biyecciones de X, en cuyo casodiremos que X es un G-conjunto.

Si X e Y son G-conjuntos, diremos que una aplicacion f : X → Y es unmorfismo de G-conjuntos cuando f(g · x) = g · f(x) para todo g ∈ G, x ∈ X.Los isomorfismos de G-conjuntos son los morfismos biyectivos.

Cada accion de un grupo G en un conjunto X define una relacion de equiva-lencia en X sin mas que considerar equivalentes dos elementos x, y ∈ X cuandoexista algun g ∈ G tal que y = gx. Llamaremos orbita de x ∈ X a su clase deequivalencia

Gx := gx : g ∈ Gy Llamaremos subgrupo de isotropıa de x ∈ X al subgrupo

Ix := g ∈ G : gx = x .

1Analogamente puede definirse el concepto de accion por la derecha; pero solo es necesarioestudiar una de estas dos clases de acciones, porque las acciones por la izquierda y por la derechade G en X se corresponden sin mas que poner g · x = x · g−1.

339

340

De la definicion se sigue directamente la igualdad

Igx = gIxg−1 (F.1)

Diremos que una accion es transitiva cuando tenga una unica orbita, y diremosque x ∈ X es un punto fijo o invariante cuando Gx = x; es decir, cuando Ix = G.El conjunto de puntos fijos se denotara XG.

Ejemplos:

1. G actua en sı mismo por traslaciones: g · a = ga. Esta accion es transitivay sin puntos fijos (salvo cuando G = 1). Ademas la isotropıa es trivial,Ia = 1, y por tanto el morfismo de grupos G → Sn que define esta accion esinyectivo: Todo grupo finito es isomorfo a un subgrupo de un gruo simetrico.(Teorema de Cayley 1821-1895).

2. G actua en sı mismo por conjugacion: g · a := gag−1. El centro de G:

Z(G) := a ∈ G : ab = ba, ∀b ∈ G ,

que es un subgrupo normal de G, coincide con el conjunto de puntos fijos deesta accion.

3. G actua en el conjunto de sus subgrupos por conjugacion: g ·H = gHg−1.La orbita de un subgrupo H esta formada por los subgrupos conjugados deH, y el subgrupo de isotropıa es el normalizador de H en G:

N(H) := g ∈ G : H = gHg−1 ,

que es el mayor subgrupo de G tal que H ¢ N(H) (el sımbolo H1 ¢ H2

significa que H1 es un subgrupo normal de H2).

4. Si H es un subgrupo de G, entonces G actua en el conjunto cociente G/Hdel siguiente modo: g · [a] := [ga]. Esta accion es transitiva y el subgrupo deisotropıa de [a] es precisamente aHa−1.

5. Si H es un subgrupo de G, todo G-conjunto hereda una estructura de H-conjunto sin mas que restringir a H la accion de G. En particular H actuaen G/H ′ cualquiera que sea el subgrupo H ′.

Teorema F.1.1 Si X es un G-conjunto, para todo x ∈ X se tiene un isomorfismode G-conjuntos

G/Ix = Gx , [g] 7→ gx .

En particular, si G es un grupo finito, el cardinal de cualquier orbita es un divisordel orden de G.

341

Demostracion: La aplicacion G/Ix → Gx, [g] 7→ gx, esta bien definida porqueIxx = x, es claramente morfismo de G-conjuntos y es epiyectiva por definicion deGx. Para concluir, veamos que es inyectiva:

g1x = g2x ⇒ g−11 g2x = x ⇒ g−1

1 g2 ∈ Ix ⇒ [g1] = [g2]

Formula de Clases: Si un grupo finito G de orden n actua en un conjunto finitoX, entonces

|X| = |XG|+∑xi

[G : Ixi] = |XG|+

∑

i

di , 1 < di|n

donde xi tiene un punto en cada orbita de cardinal mayor que 1.

Demostracion: X es la union disjunta de las orbitas, porque son las clases deequivalencia de una relacion de equivalencia, |XG| es el numero de orbitas conun unico punto, y por el teorema anterior los cardinales de las restantes orbitascoinciden con los ındices di = [G : Ixi ], que dividen a n por el teorema de Lagrange.

Corolario F.1.2 Si el orden de un grupo finito G es potencia de un numero primop, entonces para todo G-conjunto finito X tenemos que

|X| ≡ |XG| (modulo p)

Teorema de Cauchy (1789-1857): Si un numero primo p divide al orden de ungrupo finito G, entonces G tiene algun elemento de orden p; i.e., G tiene algunsubgrupo de orden p.

Demostracion: El grupo Z/pZ actua en X = (g1, . . . , gp) ∈ Gp : g1 . . . gp = 1permutando cıclicamente los factores:

g1 . . . gp = 1 ⇒ g1 . . . gp−1 = g−1p ⇒ gpg1 . . . gp−1 = 1

Como el cardinal |X| = |G|p−1 es multiplo de p, F.1.2 permite obtener que|XZ/pZ| ≡ 0 (modulo p). Luego existe algun punto fijo (g, . . . , g) ∈ X que no es(1, . . . , 1). Es decir, gp = 1 y g 6= 1; luego el orden de g es p.

F.2 p-grupos

Definicion: Sea p un numero primo. Diremos que un grupo finito es un p-gruposi su orden es potencia de p.

Teorema F.2.1 Si G 6= 1 es un p-grupo, su centro no es trivial: Z(G) 6= 1.

342

Demostracion: Si consideramos la accion de G en sı mismo por conjugacion, en-tonces Z(G) es el conjunto de puntos invariantes y F.1.2 permite obtener que elorden del centro es multiplo de p. Luego |Z(G)| 6= 1.

Teorema F.2.2 Si G es un p-grupo, existe una sucesion creciente de subgruposnormales

1 = H0 ⊂ H1 ⊂ . . . ⊂ Hn−1 ⊂ Hn = G

tales que Hi es de orden pi.

Demostracion: Por F.2.1 tenemos que Z(G) 6= 1, y el teorema de Cauchy (o bienD.6.3, pues Z(G) es abeliano) asegura la existencia de un subgrupo H ⊆ Z(G) deorden p, que es normal en G. Consideremos la proyeccion canonica π : G → G/H.Procediendo por induccion sobre el orden de G, podemos suponer la existencia deuna sucesion de subgrupos normales de G/H

1 = H0 ⊂ H1 ⊂ . . . ⊂ Hn−1 = G/H

tal que |Hi| = pi. Los subgrupos Hi = π−1(Hi−1) son normales en G y Hi/H 'Hi−1, de modo que |Hi| = pi, 1 ≤ i ≤ n.

Corolario F.2.3 Si G es un p-grupo y pi divide al orden de G, entonces existealgun subgrupo normal de G de orden pi.

F.3 Subgrupos de Sylow

Definicion: Sea p un numero primo. Si pn es la mayor potencia de p que divideal orden de un grupo finito G, llamaremos p-subgrupo de Sylow (1832-1918) deG a todo subgrupo de orden pn.

Primer Teorema de Sylow: Si G es un grupo finito y p un numero primo,existen p-subgrupos de Sylow de G.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre el orden de G y usamos la formulade clases para la accion de G en sı mismo por conjugacion:

pnm = |G| = |Z(G)|+∑

i

[G : Ixi ]

Si algun sumando [G : Ixi ] no es multiplo de p, entonces |Ixi | = pnm′ ycualquier p-subgrupo de Sylow de Ixi , que existe por hipotesis de induccion, tam-bien es un p-subgrupo de Sylow de G.

En caso contrario la formula de clases muestra que p divide al orden de Z(G).Por el teorema de Cauchy (o por D.6.3, al ser Z(G) abeliano) existe un subgrupo

343

H ⊆ Z(G) de orden p, que sera normal en G. Consideremos el grupo cocienteπ : G → G/H. Por hipotesis de induccion, existe un p-subgrupo de Sylow P deG/H, y π−1(P ) es un p-subgrupo de Sylow de G.

Corolario F.3.1 Si una potencia pi de un numero primo p divide al orden de ungrupo finito G, entonces G tiene algun subgrupo de orden pi.

Demostracion: Se sigue directamente del primer teorema de Sylow y de F.2.3.

Segundo Teorema de Sylow: Si G es un grupo finito y p un numero primo,entonces todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.

Demostracion: Sean P y P ′ dos p-subgrupos de Sylow de G. Como el cardinalde G/P no es multiplo de p y P ′ actua en G/P , la formula de clases muestra laexistencia de algun punto fijo [g] ∈ G/P . Como el subgrupo de isotropıa de [g]para la accion de G sobre G/P es gPg−1, se sigue que P ′ ⊆ gPg−1 y concluimosque P ′ = gPg−1 al tener ambos subgrupos el mismo orden.

Tercer Teorema de Sylow: Si p es un numero primo y G un grupo finito deorden pnm, donde p - m, entonces el numero de p-subgrupos de Sylow de G divideal ındice comun m y es congruente con 1 modulo p.

Demostracion: Sea X el conjunto de p-subgrupos de Sylow de G y sea P un p-subgrupo de Sylow de G. La accion de G en X por conjugacion es transitiva, porel segundo teorema, y el subgrupo de isotropıa de P es su normalizador N(P ).Por F.1.1 tenemos que |X| = [G : N(P )], que divide a [G : P ] = m.

Consideremos ahora la accion de P en X por conjugacion y veamos que el unicopunto fijo es P . En efecto, si gP ′g−1 = P ′ para todo g ∈ P , entonces P ⊂ N(P ′);luego P y P ′ son p-subgrupos de Sylow de N(P ), y el segundo teorema afirma queP ′ = P . Usando F.1.2 concluimos que |X| ≡ |XP | = 1 (modulo p).

F.4 Grupos Simples

Definicion: Diremos que un grupo G es simple si todo subgrupo normal N ¢ Ges trivial: N = 1 o N = G.

Ejemplos:

1. Todo grupo de orden primo es simple en virtud del teorema de Lagrange.De hecho es cıclico e isomorfo a Z/pZ.

2. Por el teorema de Cauchy, todo grupo abeliano simple tiene orden primo.Los grupos abelianos simples son los grupos cıclicos de orden primo.

344

3. Los grupos simetricos Sn no son simples, cuando n ≥ 3, porque An es unsubgrupo normal no trivial de Sn.

4. Usando los teoremas de Sylow, puede comprobarse caso a caso que todogrupo simple de orden menor que 60 es de orden primo, y por tanto abeliano.

5. El grupo alternado A4 no es simple, porque un subgrupo normal de A4 es elgrupo de Klein V = id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) ; pero a continuacionveremos que A5 es un grupo simple de orden 60.

6. Si un grupo G tiene un subgrupo no trivial H de ındice n, la accion de G enX = G/H define un morfismo de grupos G → Biy(X) = Sn cuyo nucleo esla interseccion de todos los subgrupos conjugados de H. Ahora bien, cuandon! < |G|, tal morfismo no puede ser inyectivo, y concluimos que tal nucleoes un subgrupo normal no trivial de G: Un grupo simple G no puede tenersubgrupos no triviales de ındice n cuando n! < |G|.En particular, el grupo simple A5 no tiene subgrupos de ındice 2, ni 3 ni 4.

Lema F.4.1 Si n ≥ 3, toda permutacion par es producto de ciclos de orden 3

Demostracion: Bastara probar que el producto (a1a2)(b1b2) de dos trasposicionessiempre es producto de 3-ciclos. Ahora bien, tenemos que

(a1a2)(b1b2) = (a1a2b1)(a2b1b2) cuando las trasposiciones son disjuntas(a1a2)(b1b2) = (a2a1b2) cuando a1 = b1

Teorema F.4.2 El grupo alternado An es simple cuando n 6= 4.

Demostracion: Si n ≤ 3, el orden de An es 1 o 3, ası que los unicos subgrupos deAn son los triviales.

Si n ≥ 5 y H 6= 1 es un subgrupo normal de An, vamos a probar que H = An.Sea α un elemento de H que deje fijos el mayor numero de elementos, exceptuandola identidad, y consideremos su descomposicion en producto de ciclos disjuntos.Volviendo a numerar los elementos si fuera preciso podemos suponer que

α = (1, 2, . . . , d1)(d1 + 1, . . . , d1 + d2)(. . .

y que d1, d2, . . . es una sucesion decreciente. Sea s ≥ 1 el numero de elementosque α no deja fijos. Es claro que s ≥ 3 y vamos a ver que s ≥ 4 es imposible:

s ≥ 5. Sea β = (345). Como β ∈ An y H es un subgrupo normal de An,βαβ−1 ∈ H y βαβ−1α−1 ∈ H. Ahora bien, βαβ−1α−1 deja fijos el 2 y tambientodos los elementos que α deje fijos; luego βαβ−1α−1 = 1 y αβ = βα. Se sigueque α(2) 6= 3, de modo que α(2) = 1 y α = (12)(34)(56) . . . ⇒ αβ(3) 6= βα(3);luego αβ 6= βα y concluimos que este caso es imposible.

345

s = 4. En este caso α = (12)(34) porque la permutacion (1234) es impar.Sea β = (345). De nuevo βαβ−1α−1 ∈ H y βαβ−1α−1 = (354) deja fijos maselementos que α, en contradiccion con la eleccion de α. Este caso tambien esimposible.

Luego α = (123) y concluimos que H contiene un ciclo de orden 3.De acuerdo con el lema anterior, para concluir que H = An basta probar que

H contiene todos los 3-ciclos. Sea σ = (ijk) un 3-ciclo 3 y consideremos unapermutacion τ que transforme 1,2,3 en i, j, k:

τ =(

1 2 3 4 5 . . .i j k l m . . .

)

Intercambiando l y m si fuera preciso podemos suponer que τ es par; luegoσ = (ijk) = τ(123)τ−1 = τατ−1 ∈ H y todos los 3-ciclos estan en H.

Corolario F.4.3 Si n 6= 4, el unico subgrupo normal no trivial de Sn es An.

Demostracion: Si H ¢ Sn, entonces (H ∩An) ¢ An y pueden darse dos casos:

1. H ∩An = An . En este caso An ⊆ H y concluimos que H = An o H = Sn,porque el ındice de An en Sn es 2.

2. H ∩ An = 1 . En este caso los elementos de H, salvo la identidad, sonpermutaciones impares. Luego H solo puede tener un elemento σ 6= 1, asıque toda permutacion que tenga la misma forma que σ coincide con σ, locual es imposible cuando n ≥ 3. Concluimos que H = 1.

Corolario F.4.4 Cuando n > 4, el unico subgrupo no trivial de Sn de ındicemenor que n es An.

Demostracion: Si H es un subgrupo de ındice m, la accion de Sn en Sn/H defineun morfismo de grupos Sn → Sm, que no puede ser inyectivo cuando m < n.Luego su nucleo es An o Sn en virtud del corolario anterior. Como evidentementetal nucleo esta contenido en H, concluimos que H = An o H = Sn.

Nota: Los unicos subgrupos normales no triviales del grupo simetrico S4 son A4

y V = id, (12)(34), (13)(24), (14)(23), llamado grupo de Klein (1849-1925).Por otra parte, cualquier 2-subgrupo de Sylow (1832-1918) de S4 tiene ındice

3.

F.5 Grupos Resolubles

Todo grupo finito G admite una sucesion 1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn−1 ¢ Hn = G desubgrupos tal que los cocientes sucesivos Hi/Hi−1, 1 ≤ i ≤ n, son grupos simples.

346

En este sentido todo grupo finito esta compuesto de grupos simples, y los queesten compuestos por grupos simples abelianos se llaman resolubles:

Definicion: Un grupo finito G es resoluble si existe alguna sucesion de subgrupos

1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn−1 ¢ Hn = G

tal que los cocientes sucesivos Hi/Hi−1, 1 ≤ i ≤ n, son grupos cıclicos de ordenprimo. Tales sucesiones reciben el nombre de resoluciones de G.

Los grupos S2 y S3 son claramente resolubles, y una resolucion de S4 es

1 ¢ id , (12)(34) ¢ V ¢ A4 ¢ S4 .

Teorema F.5.1 El grupo simetrico Sn no es resoluble cuando n ≥ 5.

Demostracion: Es obvio a partir de F.4.2 y F.4.3; pero tambien es consecuenciadirecta de que todo 3-ciclo (ijk) es el conmutador de otros dos 3-ciclos:

(ijk) = στσ−1τ−1 , σ = (ijl) , τ = (ikm)

Si existiera una sucesion de subgrupos 1 = H0 ¢H1 ¢ . . .¢Hd−1 ¢Hd = Sn tal quelos cocientes Hi/Hi−1 fueran abelianos, entonces Hi−1 contiene el conmutador dedos elementos cualesquiera de Hi para todo 1 ≤ i ≤ d. Luego Hi−1 contiene todoslos 3-ciclos cuando Hi los contiene, y se llegarıa al absurdo de que el subgrupo 1contiene todos los 3-ciclos.

Teorema F.5.2 Si un grupo finito es resoluble, todos sus subgrupos tambien sonresolubles.

Demostracion: Sea 1 = H0 ¢H1 ¢ . . .¢Hn = G una resolucion de un grupo finitoG. Si H es un subgrupo de G y ponemos H ′

i = Hi ∩ H, entonces H ′i−1 es un

subgrupo normal de H ′i y H ′

i/H ′i−1 es (isomorfo a) un subgrupo de Hi/Hi−1 para

todo 1 ≤ i ≤ n. Como el orden de Hi/Hi−1 es primo, el teorema de Lagrangeafirma que H ′

i/H ′i−1 = 1 o H ′

i/H ′i−1 = Hi/Hi−1. Eliminando las repeticiones en

la cadena 1 = H ′0 ⊆ H ′

1 ⊆ . . . ⊆ H ′n = H obtenemos una sucesion cuyos cocientes

sucesivos son de orden primo, y concluimos que H es resoluble.

Teorema F.5.3 Sea H un subgrupo normal de un grupo finito G. La condicionnecesaria y suficiente para que G sea resoluble es que H y G/H sean resolubles.

Demostracion: Si G es resoluble, H es resoluble por F.5.2. En cuanto a G/H,consideremos una resolucion 1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn = G, la proyeccion canonicaπ : G → G/H, y pongamos Hi := π(Hi). Entonces Hi−1 es un subgrupo normal deHi y Hi/Hi−1 es (isomorfo a) un cociente de Hi/Hi−1 para todo 1 ≤ i ≤ n. Como

347

el orden de Hi/Hi−1 es primo, el teorema de Lagrange (1736-1813) afirma queHi/Hi−1 = 1 o Hi/Hi−1 = Hi/Hi−1. Eliminando ahora las posibles repeticionesen la cadena 1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn = G/H obtenemos una sucesion cuyoscocientes sucesivos son de orden primo, y concluimos que G/H es resoluble.

Recıprocamente, si H y G/H son resolubles, consideramos la proyeccion cano-nica π : G → G/H y sendas resoluciones

1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn−1 ¢ Hn = H

1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hd−1 ¢ Hd = G/H

Es sencillo comprobar que en la sucesion creciente de subgrupos

1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn = π−1(H0) ¢ π−1(H1) ¢ . . . ¢ π−1(Hd) = G

los cocientes sucesivos son de orden primo, y concluimos que G es resoluble.

Corolario F.5.4 Todo grupo finito abeliano es resoluble.

Demostracion: Procediendo por induccion sobre el orden, si H es un subgrupo deorden primo de un grupo abeliano finito G, entonces H ¢ G y el grupo G/H esresoluble por hipotesis de induccion, ası que F.5.3 permite concluir.

Corolario F.5.5 Sea G un grupo finito. Si existe una sucesion de subgrupos1 = H0 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn = G tal que los cocientes sucesivos Hi/Hi−1 son gruposabelianos, entonces G es resoluble.

El Grupo Metacıclico

Definicion: Sea p un numero primo y Afp(1) el grupo de las afinidades ax + b,de una recta afın sobre Fp, que puede verse como subgrupo de orden p(p− 1) delgrupo Sp de todas las permutaciones de la recta afın. Las traslaciones x+b formanun subgrupo T de orden p, que es el subgrupo generado por el ciclo (1, 2, . . . , p).

Lema F.5.6 Sea p un numero primo. El grupo Afp(1) de las afinidades ax+ b deuna recta afın sobre el cuerpo Fp es un grupo resoluble de orden p(p− 1), y vistocomo subgrupo del grupo Sp de todas las biyecciones de la recta afın, coincide conel normalizador del grupo de las traslaciones T en Sp.

Demostracion: El morfismo de grupos Afp(1) → F∗p, ax + b 7→ a, es epiyectivo ysu nucleo es el grupo T de las traslaciones x + b, que es un grupo cıclico de ordenp. Como F∗p es un grupo abeliano de orden p − 1, F.5.5 afirma que Afp(1) es ungrupo resoluble de orden p(p− 1).

Por otra parte T es un subgrupo normal de Afp(1) porque es el nucleo de unmorfismo de grupos, ası que Afp(1) ⊆ N(T ). Ademas, por el segundo teorema de

348

Sylow, todos los subgrupos de orden p de Sp son conjugados; luego el ındice deN(T ) en Sp coincide con el numero de subgrupos de orden p, que es

numero de p-ciclosp− 1

=(p− 1)!p− 1

= (p− 2)!

y concluimos que el orden de N(T ) es p(p− 1); es decir, Afp(1) = N(T ).

Teorema F.5.7 Sea p un numero primo. Todo subgrupo resoluble y transitivo deSp es, salvo conjugacion, un subgrupo del grupo Afp(1) de las afinidades de unarecta afın sobre Fp que contiene a las traslaciones. En particular su orden es pdpara algun divisor d de p− 1.

Demostracion: Si G ⊆ Sp es un subgrupo transitivo, su orden es multiplo de ppor F.1.1. Si N es un subgrupo normal de G no trivial, entonces N tambienes transitivo y su orden es multiplo de p. En efecto, los subgrupos de isotropıaI1, . . . , Ip de la accion de G son conjugados entre sı porque la accion es transitiva,ası que tambien lo son los subgrupos I1 ∩N, . . . , Ip ∩N , que son los subgrupos deisotropıa de la accion de N ; luego todas las orbitas de la accion de N tienen igualcardinal y, al ser p primo, concluimos que N actua transitivamente.

Si ademas G es resoluble y 1 ¢ H1 ¢ . . . ¢ Hn = G es una resolucion, se sigueque el orden de H1 es multiplo de p; luego es p y, sustituyendo G por un subgrupoconjugado si fuera necesario, podemos suponer que H1 = T . Ahora T es un p-subgrupo de Sylow de estos grupos Hi, 2 ≤ i ≤ n. Como T ¢ H2, del segundoteorema de Sylow se sigue que T es el unico subgrupo de orden p en H2, comoH2 ¢H3, se sigue que T es el unico subgrupo de orden p en H3, como H3 ¢H4, . . .y obtenemos que T ¢ G. Luego G ⊆ N(T ) = Afp(1).

Corolario F.5.8 Sea p un numero primo y G ⊂ Sp un subgrupo resoluble y tran-sitivo. Si τ ∈ G tiene dos puntos fijos, entonces τ = id.

Demostracion: G ⊆ Afp(1) y la unica afinidad con dos puntos fijos es la identidad.

Corolario F.5.9 Sea p un numero primo. La condicion necesaria y suficientepara que un subgrupo transitivo G ⊂ Sp sea resoluble es que su orden sea pq paraalgun q < p.

Demostracion: La necesidad es parte de F.5.7.Recıprocamente, si |G| = pq y q < p, entonces G contiene algun subgrupo

de orden p y, sustituyendo G por un subgrupo conjugado, podemos suponer queT ⊆ G. Por el tercer teorema de Sylow, el numero de subgrupos de orden p enG divide a q y es congruente con 1 modulo p. Como q < p, se sigue que T es elunico subgrupo de orden p en G; luego G ⊆ N(T ) = Afp(1) y concluimos que Ges resoluble.

Apendice G

Algebras Finitas

En este apendice k denotara un cuerpo arbitrario.

G.1 Espectro de un Algebra Finita

Definicion: Llamaremos grado de una k-algebra A a su dimension como k-espacio vectorial y se denota [A : k]. Diremos que una k-algebra A es finita si loes su grado.

Propiedades de las Algebras Finitas:

1. Subalgebras, cocientes sumas directas y productos tensoriales de k-algebrafinitas son k-algebras finitas y

[A⊕B : k] = [A : k] + [B : k] , [A⊗k B : k] = [A : k] · [B : k]

2. Si A es una k-algebra finita y L es una extension de k, entonces AL := A⊗kLes una L-algebra finita y [AL : L] = [A : k] .

Demostracion: Son propiedades sencillas de la dimension de los espacios vectorialesy del producto tensorial.

Lema G.1.1 Toda k-algebra finita ıntegra es un cuerpo.

Demostracion: Si a ∈ A no es nulo, la aplicacion lineal ha : A → A, ha(x) = ax,es inyectiva porque A es ıntegro. Como A es un k-espacio vectorial de dimensionfinita, se sigue que la dimension de la imagen de ha coincide con la de A. Luegoha es epiyectivo y concluimos que 1 = ha(b) = ab para algun b ∈ A. Es decir, a esinvertible y A es un cuerpo.

349

350

Lema G.1.2 Todo ideal primo de una k-algebra finita A es maximal.

Demostracion: Si p es un ideal primo de A, entonces A/p es una k-algebra finitaıntegra; luego es un cuerpo y concluimos que p es un ideal maximal. q.e.d.

Ahora, si m1, . . . , mr son ideales maximales de una k-algebra finita A, entonces

(m1)o ∩ (m2 ∩ . . . ∩mr)o = (m1)o ∩((m2)o ∪ . . . ∪ (mr)o

)= ∅

y el Teorema Chino de los Restos nos proporciona un isomorfismo de k-algebras

A/(m1 ∩ . . . ∩mr) = (A/m1)⊕ . . .⊕ (A/mr)

Lema G.1.3 El numero de ideales maximales de una k-algebra finita A esta aco-tado por el grado de A.

Demostracion: El isomorfismo anterior muestra claramente que

r ≤ [A/m1 ∩ . . . ∩mr : k] ≤ [A : k]

Teorema G.1.4 El espectro de una k-algebra finita A es un espacio topologicodiscreto de cardinal acotado por el grado de A sobre k.

Demostracion: En virtud de los lemas anteriores Spec A es finito (A solo tiene unnumero finito de ideales primos) y de cardinal acotado por el grado de A, y todossus puntos son cerrados; luego es un espacio discreto.

Definicion: Si m es un ideal maximal de una k-algebra A, diremos que la extensionA/m de k es el cuerpo residual de m o del correspondiente punto x ∈ Spec A,y diremos que m (o el correspondiente punto x de Spec A) es racional cuando sucuerpo residual sea una extension de grado 1; es decir, cuando k = A/m.

Diremos que una k-algebra finita es racional cuando todos los puntos de suespectro sean racionales.

Teorema G.1.5 Toda k-algebra finita reducida A descompone en suma directa deextensiones finitas, que son los cuerpos residuales de los puntos de su espectro:

A = (A/m1)⊕ . . .⊕ (A/mn) , Spec A = x1, . . . , xn

Demostracion: Si m1, . . . , mn son todos los ideales maximales de una k-algebrafinita reducida A, entonces son todos los ideales primos de A por G.1.2. Luegom1 ∩ . . . ∩ mn es el radical de A en virtud de 7.2.7, que es nulo por hipotesis.Concluimos que

A = (A/m1)⊕ . . .⊕ (A/mn)

351

Corolario G.1.6 Si una k-algebra finita A es reducida, todos sus cocientes A/Ison k-algebras finitas reducidas.

Demostracion: Todo ideal I de una suma directa finita de cuerpos A = L1⊕. . .⊕Ln

es de la forma I = L1⊕ . . .⊕Lr⊕0⊕ . . .⊕0, despues de reordenar las componentessi fuera necesario; luego A/I = Lr+1⊕ . . .⊕Ln es un anillo reducido. Hemos usadoel siguiente resultado elemental:

Lema G.1.7 Si A1 y A2 son dos anillos, todo ideal de A1 ⊕ A2 es de la formaa1 ⊕ a2, donde a1 es un ideal de A1 y a2 es un ideal de A2.

Demostracion: Sea a un ideal de A1⊕A2. Si ponemos a1 := a1 ∈ A1 : (a1, 0) ∈ ay a2 := a2 ∈ A2 : (0, a2) ∈ a, es claro que a1⊕a2 ⊆ a. Ahora bien, si (a1, a2) ∈ a,entonces a1 ∈ a1 porque (a1, 0) = (1, 0)(a1, a2) ∈ a y a2 ∈ a2 porque (0, a2) =(0, 1)(a1, a2) ∈ a.

G.2 Algebras Triviales

Definicion: Diremos que una k-algebra finita A es trivial si descompone en sumadirecta de extensiones de grado 1; es decir, si A ' k ⊕ . . .⊕ k.

Caracterizacion de las Algebras Triviales: Si A es una k-algebra finita, lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. A es una k-algebra trivial, A = k ⊕ . . .⊕ k.

2. El numero de puntos de Spec A coincide con el grado de A sobre k.

3. A es una k-algebra racional reducida.

Demostracion: Sean m1, . . . , mr los ideales maximales de A, y consideremos ladescomposicion A/m1 ∩ . . . ∩mr = (A/m1)⊕ . . .⊕ (A/mr) .

(2 ⇒ 3) Si r = [A : k], entonces m1∩ . . .∩mr = 0 y todos los cuerpos residualesA/mi son de grado 1.

(3 ⇒ 1) Si A es reducida y racional, entonces m1 ∩ . . . ∩ mr = 0 y k = A/mi

para todo 1 ≤ i ≤ r, y la descomposicion anterior muestra que A es trivial.(1 ⇒ 2) Si A = k⊕ n. . . ⊕k es trivial, entonces los nucleos de las proyecciones

naturales pi : A → k definen n puntos de Spec A. Como el numero de puntos nopuede superar al grado, concluimos que ambos coinciden.

Lema G.2.1 La aplicacion continua φ : Spec A → Spec B inducida por cualquiermorfismo de k-algebras j : B → A transforma puntos racionales de Spec A enpuntos racionales de Spec B.

352

Demostracion: Sea m el ideal maximal de A definido por un punto racionalx ∈ Spec A. Si p denota el ideal primo de B correspondiente al punto φ(x),por definicion p = j−1(m), ası que el morfismo natural

B/p −→ A/m

es inyectivo. Por hipotesis k = A/m; luego B/p = k y concluimos que φ(x) es unpunto racional de Spec B.

Propiedades de las Algebras Triviales:

1. Subalgebras, cocientes sumas directas y productos tensoriales de k-algebrastriviales son k-algebras triviales.

2. El concepto de algebra trivial es estable por cambios del cuerpo base (i.e., siA es una k-algebra trivial y L es una extension de k, entonces AL = A⊗k Les una L-algebra trivial).

Demostracion: Sea B una subalgebra de una k-algebra trivial A = ⊕k. Como Bes reducida, al serlo A, bastara ver que B es racional. Sea m un ideal maximal deB. Por 7.2.4 cualquier ideal maximal de Am se corresponde con un ideal maximalm′ de A que no corta a S = B − m; ası que m = m′ ∩ B. Por hipotesis k = A/m′

y G.2.1 permite concluir que k = B/m.Ademas, si I es un ideal de A = k⊕ d. . . ⊕k, reordenando las componentes

si fuera necesario, podemos suponer que I = k⊕ r. . . ⊕k ⊕ 0 ⊕ . . . ⊕ 0. LuegoA/I = k⊕ n−r. . . . . . ⊕k es una k-algebra finita trivial.

Las demas propiedades son evidente por las propiedades del producto tensorial.

Definicion: Diremos que una k-algebra finita A es trivial sobre una extension Lde k, o que L trivializa a la k-algebra A, cuando AL sea una L-algebra trivial.

De las propiedades de las algebras triviales deducen inmediatamente las sigu-ientes propiedades de las extensiones trivializantes:

1. Subalgebras, cocientes, sumas directas y productos tensoriales de k-algebrasfinitas triviales sobre L son triviales sobre L.

2. Si una k-algebra finita es trivial sobre L, tambien es trivial sobre cualquierextension de L.

El Ejemplo Fundamental: De acuerdo con 4.4.1, si p(x) ∈ k[x] es un polinomiono constante de grado d, entonces A = k[x]/(p(x)) es una k-algebra finita degrado d, y una base de A como k-espacio vectorial es (1, x, x2, . . . , xd−1). Si p(x) =p1(x)m1 . . . pr(x)mr es su descomposicion en factores irreducibles en k[x], entonces:

353

1. Los ideales maximales de A son m1 = (p1(x)), . . . , mr = (pr(x)), de modoque los puntos de SpecA se corresponden con los factores irreducibles dep(x), y los cuerpos residuales son las extensiones k[x]/(pi(x)), cuyos gradoscoinciden con los de los factores irreducibles de p(x).

En particular, los puntos racionales de A se corresponden con los factoresirreducibles pi(x) de grado 1; es decir, con las raıces de p(x) en k.

2. A es una k-algebra racional precisamente cuando todos los factores irre-ducibles pi(x) son de grado 1, lo que significa que p(x) descompone en k[x]en factores de grado 1 (eventualmente repetidos). Es decir, A es racional siy solo si p(x) tiene todas sus raıces en k: el numero de raıces de p(x) en k,contadas con su multiplicidad, iguala al grado de p(x).

3. El radical del algebra A es m1 ∩ . . . ∩ mr = (p1(x) . . . pr(x)), ası que A esreducida precisamente cuando m1 = . . . = mn = 1.

4. A es trivial si y solo si p(x) tiene todas sus raıces en k y son simples.

5. Si L es una extension de k, por las propiedades del cambio de base tenemosque AL = L[x]/(p(x)). Luego A es trivial sobre L precisamente cuando p(x)tiene todas sus raıces en L y son simples.

G.3 Puntos de un Algebra

Definicion: Si A es una k-algebra y L es una extension de k, llamaremos puntosde A con valores en L, o L-puntos de A, a los morfismos de k-algebras p : A → L.Si f ∈ A, diremos que f(p) := p(f) ∈ L es el valor de la funcion f en el punto p.

Ejemplos:

1. Cada morfismo de k-algebras k[x1, . . . , xn] → L esta totalmente determinadopor las imagenes αi de las indeterminadas xi. Los puntos de k[x1, . . . , xn] convalores en cualquier extension L de k son las sucesiones (α1, . . . , αn) ∈ Ln.

2. Si A = k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr), los morfismos de k-algebras A → L, deacuerdo con la propiedad universal del cociente, se corresponden con losmorfismos de k-algebras k[x1, . . . , xn] → L que se anulen en (p1, . . . , pr). Esdecir, con las sucesiones (α1, . . . , αn) ∈ Ln tales que

p1(α1, . . . , αn) = . . . = pr(α1, . . . , αn) = 0.

Homk-alg(A,L) =[Soluciones en L del sistema deecuaciones p1 = . . . = pr = 0

]

354

En particular, cuando A = k[x]/(p(x)), obtenemos que los puntos de A convalores en L son las raıces de p(x) en L. El concepto de raız de un polinomioes un caso particular del concepto de punto.

3. Si L es una extension finita de un cuerpo k, todo morfismo de k-algebrasL → L es un automorfismo porque necesariamente es inyectivo, al ser L uncuerpo, y L es un k-espacio vectorial de dimension finita. Luego los puntosde L con valores en L son precisamente los automorfismos de L que son laidentidad sobre k. El concepto de automorfismo de una extension finita esun caso particular del concepto de punto.

El nucleo de cualquier morfismo de k-algebras p : A → L es un ideal primode A, porque L es ıntegro, ası que cada L-punto de A define un punto de SpecA.Pero diferentes L-puntos pueden definir el mismo punto del espectro. No obstante,en el caso de un punto A → k con valores en el cuerpo base k, el correspondientepunto de Spec A es un punto racional, y vamos a probar que tal correspondenciaentre k-puntos de A y puntos racionales de Spec A es biyectiva:

Lema G.3.1 Si A es una k-algebra, los puntos de A con valores en k se corres-ponden biunıvocamente con los puntos racionales de Spec A.

Demostracion: Cada ideal maximal m de un punto racional de Spec A es el nucleode la proyeccion canonica π : A → A/m = k, que es un k-punto de A; luego talcorrespondencia es epiyectiva.

Por otra parte, si otro morfismo de k-algebras p : A → k tiene nucleo m, de lapropiedad universal del cociente se sigue que p = φ π para algun automorfismode k-algebras φ : k → k. Pero el unico automorfismo de k-algebras k → k es laidentidad, ası que p = π y concluimos que tal correspondencia es inyectiva.

Formula de los Puntos: Sea A una k-algebra y sea L una extension de k. Sia cada L-punto p : A → L se le asigna el punto racional p ⊗ 1: A ⊗k L → L delespectro de AL = A⊗k L, se obtiene una correspondencia biyectiva:

[Puntos de A

con valores en L

]=

[Puntos racionalesde la L-algebra AL

]

Demostracion: Por la propiedad universal del cambio de base de algebras, tenemosque Homk-alg(A,L) = HomL-alg(AL, L), y se concluye al aplicar el lema anteriora la L-algebra AL.

Corolario G.3.2 El numero de puntos de una k-algebra finita A con valores enuna extension L de k esta acotado por el grado [A : k], y coincide con el precisa-mente cuando A es trivial sobre L: A⊗k L = L⊕ . . .⊕ L .

355

Demostracion: El numero de puntos racionales de la L-algebra finita AL estaacotado por [AL : L] = [A : k] (porque lo esta el numero de puntos del espectrode AL). Se da la coincidencia si y solo si AL es L-algebra trivial, en virtud de lacaracterizacion de las algebras triviales.

Corolario G.3.3 El numero de automorfismos de una extension finita L de uncuerpo k esta acotado por el grado [L : k]. Se da la coincidencia si y solo si L⊗k Les L-algebra trivial: L⊗k L = L⊕ . . .⊕ L .

Ejemplo: Sea A una k–algebra finita y sean φ1, . . . , φn : A → L los puntos de Acon valores en una extension L de k. Los correspondientes puntos racionales deAL son los morfismos φi⊗1: AL → L, ası que, cuando el numero de puntos igualaal grado de A, el isomorfismo AL = L⊕ . . .⊕ L es a⊗ λ 7→ (λφ1(a), . . . , λφn(a)).

Cuando A = k[x]/(p(x)), los puntos de A con valores en L se corresponden conlas raıces α1, . . . , αn de p(x) en L. Si el numero de raıces iguala al grado de p(x),el isomorfismo AL = L⊕ . . .⊕ L es q(x)⊗ λ 7→ (λq(α1), . . . , λq(αn)).

Cuando A = L y el numero de automorfismos τ1, . . . , τn de L sobre k iguala algrado de L, el isomorfismo L⊗k L = L⊕ . . .⊕L es µ⊗ λ 7→ (λτ1(µ), . . . , λτn(µ)).

Teorema de Independencia: Si A es una k-algebra finita y L es una extensionde k, toda familia de morfismos de k-algebras A → L es linealmente independientesobre L.

Demostracion: Si pi : A → Li∈I es una familia de morfismos de k-algebras,define morfismos de L-algebras pi ⊗ 1: AL → L. Si existen elementos λi ∈ L talesque λ1p1 + . . . + λnpn = 0, entonces λ1(p1 ⊗ 1) + . . . + λn(pn ⊗ 1) = 0, ası quebasta considerar el caso k = L.

Si k = L, por G.3.1 los morfismos pi se corresponden con ciertos puntosracionales xi ∈ Spec A, que son cerrados. Como las funciones de A separan puntosde cerrados, para cada ındice i = 1, . . . , n existe una funcion f ∈ A que se anulaen tales puntos, salvo en xi. Es decir, f(pi) 6= 0 y f(pj) = 0 cuando j 6= i. Como0 =

∑j λjf(pj) = λif(pi), concluimos que λi = 0.

Corolario G.3.4 Los automorfismos de una extension finita L de un cuerpo kson linealmente independientes sobre L.

Compuestos

Definicion: Sean L1 y L2 dos extensiones de un cuerpo k. Si E es una extensioncomun, de modo que tenemos sendos morfismos de k-algebras L1 → E y L2 → E,llamaremos compuesto de L1 y L2 en E al menor subanillo de E que sea cuerpoy contenga a (las imagenes de) L1 y L2, y se denotara L1L2. Es decir, L1L2 esta

356

formado por los elementos de E que se obtienen a partir de elementos de L1 y L2

mediante un numero finito de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.Diremos que E es un compuesto de L1 y L2 sobre k cuando E = L1L2.

Siempre existe algun compuesto L1L2.Basta tomar el cuerpo residual (L1⊗k L2)/m de un ideal maximal de L1⊗k L2.

Los compuestos de una extension finita k → L con cualquier extension k → Eson las extensiones de E isomorfas a los cuerpos residuales de los puntos delespectro de L⊗k E, ası que son extensiones finitas de E de grado

[LE : E] ≤ [L : k]

En efecto, los morfismos L → LE, E → LE definen un morfismo L⊗k E → LEque ha de ser epiyectivo, pues su imagen es un cuerpo, al ser una E-algebra finita(es un cociente de L⊗k E) ıntegra (porque es un subanillo de un cuerpo). LuegoLE es isomorfo al cociente de L⊗k E por un ideal maximal.

Ejemplo: Sea L = Q( 4√

2 ). Los compuestos de L consigo mismo sobre Q sonQ( 4√

2 ) y Q( 4√

2, i), porque son (isomorfos a) los cuerpos residuales de

L⊗Q L = L⊗Q Q[x]/(x4 − 2) = L[x]/(x4 − 2) =

= L[x]/((x− 4√

2)(x + 4√

2)(x2 +√

2)) '' L[x]/(x− 4

√2)⊕ L[x]/(x + 4

√2)⊕ L[x]/(x2 +

√2) '

' L⊕ L⊕ L(i 4√

2) = L⊕ L⊕Q( 4√

2, i) .

G.4 Algebras Separables

Definicion: Diremos que una k-algebra finita A es separable si es geometrica-mente reducida; es decir, si AL = A⊗k L es reducida para toda extension k → L.En caso contrario diremos que es inseparable.

Diremos que un polinomio no nulo p(x) ∈ k[x] es separable cuando lo sea lak-algebra k[x]/(p(x)); es decir, cuando su descomposicion en factores irreduciblesen L[x] carezca de factores repetidos, para toda extension k → L. Tal condicionclaramente significa que todas las raıces de p(x) son simples, lo que equivale adecir que m.c.d.(p(x), p′(x)) = 1.

Caracterizacion de las Algebras Separables: Una k-algebra finita A es sep-arable si y solo si es trivial sobre alguna extension L de k; i.e., AL = L⊕ . . .⊕L.

Demostracion: Si A es separable, procedemos por induccion sobre el grado d =[A : k], pues A es trivial sobre k cuando d = 1. Cuando d > 1, consideramos un

357

morfismo de k-algebras A → E en alguna extension finita K de k (basta tomarun cuerpo residual K = A/m). La formula de los puntos asegura que AK tienealgun punto racional y, al ser AK reducida, G.1.5 muestra que AK = K ⊕ B,de modo que [B : K] < [A : k] = d y B es una K-algebra separable, pues paratoda extension E de K tenemos que BE es una subalgebra de (AK)E = AE , quees reducida. Por hipotesis de induccion existe alguna extension L de K tal queB ⊗K L = ⊕L, y concluimos que

A⊗k L = (A⊗k K)⊗K L = (K ⊕B)⊗K L = L⊕ (B ⊗K L) = ⊕L

Recıprocamente, si AL = ⊕L, tenemos que demostrar que AE es reducida paratoda extension k → E. Consideremos un compuesto LE de L y E sobre k. ComoA es trivial sobre L, tambien es trivial sobre LE. Luego ALE = LE ⊕ . . . ⊕ LEy, en particular, es reducida. Como el morfismo natural A⊗k E → A⊗k (LE) esinyectivo, porque lo es el morfismo E → LE y k es un cuerpo, concluimos que AE

es reducida.

Propiedades de las Algebras Separables:

1. Subalgebras, cocientes sumas directas y productos tensoriales de k-algebrasfinitas separables son k-algebras finitas separables.

2. El concepto de algebra finita separable es estable por cambios del cuerpo base(si A es una k-algebra finita separable y L es una extension de k, entoncesAL es una L-algebra finita separable).

3. Si A es una k-algebra finita y para alguna extension L del cuerpo base k severifica que la L-algebra finita AL es separable, entonces la k-algebra finitaA es separable.

Demostracion: La propiedad 1 se sigue directamente de las propiedades de lasalgebras triviales. En cuanto a la propiedad 2, si A es una k-algebra finita sepa-rable, para toda extension L → E tenemos que (AL)E = AE es reducida; luego laL-algebra finita AL es separable.

Por ultimo, si la L-algebra finita AL es separable para alguna extension L dek, entonces existe una extension L → E tal que AE = (AL)E = E ⊕ . . . ⊕ E, yconcluimos que A es separable por el teorema de caracterizacion.

Propiedades de las Extensiones Separables:

1. La condicion necesaria y suficiente para que dos extensiones finitas k → L1

y L1 → L2 sean separables es que lo sea k → L2.

2. Si k → L1 y k → L2 son extensiones separables, cualquier compuesto L1L2

es una extension separable de k.

3. Si k → L es una extension separable, cualquier compuesto LE de L con unaextension E de k es una extension separable de E.

358

Demostracion: 1. Si k → L2 es separable, tambien lo es k → L1, porque L1 esuna subalgebra de L2, y L1 → L2 es separable porque, para toda extension E deL1 se tiene que L2 ⊗L1 E es un cociente de L1 ⊗k E; luego es reducida.

Recıprocamente, si las extensiones finitas K → L1 y L1 → L2 son separables,para toda extension k → E tenemos que L1 ⊗k E es reducida; luego descomponeen suma directa de cuerpos, (L1)E = K1 ⊕ . . .⊕Kn, que son extensiones de L1, yconcluimos que

L2 ⊗k E = L2 ⊗L1 (L1 ⊗k E) = (L2 ⊗L1 K1)⊕ . . .⊕ (L2 ⊗L1 Kn)

es reducida, porque es suma directa de algebras reducidas, al ser L2 separablesobre L1. Es decir, la extension k → L2 es separable.

2. Cualquier compuesto L1L2 es separable sobre k porque es un cociente deL1 ⊗k L2, que es una k-algebra finita separable.

3. Cualquier compuesto LE es separable sobre E porque es un cociente deL⊗k E, que es una E-algebra finita separable.

Construccion de las Algebras Separables

Teorema G.4.1 Sea k un cuerpo infinito. Toda k-algebra finita separable es iso-morfa a k[x]/(p(x)) para algun polinomio separable p(x),

Demostracion: Sea A una k-algebra finita separable de grado d y sea k → L unaextension que la trivialice, de modo que existen d puntos φ1, . . . , φd : A → L. Paracada par de ındices i 6= j, los elementos a ∈ A tales que φi(a) = φj(a) forman unsubespacio vectorial propio de A, ası que el siguiente lema afirma la existencia dealgun a ∈ A tal que los morfismos φ1, . . . , φd : k[a] → L son distintos entre sı.

Como el grado acota el numero de puntos, el grado de k[a] es ≥ d y obtenemosque A = k[a]. Concluimos al observar que k[a] ' k[x]/(p(x)), donde p(x) denotael generador del nucleo del morfismo k[x] → A, q(x) 7→ q(a).

Lema G.4.2 Si k es un cuerpo infinito, ningun k-espacio vectorial es union deun numero finito de subespacios vectoriales propios.

Demostracion: Si un espacio vectorial E sobre un cuerpo k es union finita de subes-pacios vectoriales propios, E = V1∪. . .∪Vn, podemos suponer que V2∪. . .∪Vn 6= E,de modo que existe algun vector e1 ∈ V1 que no esta en V2∪ . . .∪Vn y algun vectore2 ∈ V2 ∪ . . . ∪ Vn que no esta en V1. Ahora, para cada ındice i, a lo sumo puedeexistir un escalar λ ∈ k tal que λe1 + e2 ∈ Vi; luego el cardinal de k esta acotadopor n y concluimos que el cuerpo k es finito.

Teorema del Elemento Primitivo: Si k → L es una extension finita y separa-ble, existe algun α ∈ L tal que L = k(α).

359

Demostracion: Si el cuerpo k es infinito, es un caso particular del teorema anterior.Si k es finito, tambien L es un cuerpo finito y el siguiente lema afirma que el grupomultiplicativo L∗ = L− 0 es cıclico. Si α es un generador de L∗, todo elementono nulo de L es una potencia de α, y en particular L = k(α).

Lema G.4.3 Si k es un cuerpo, todo subgrupo finito del grupo multiplicativo k∗

es cıclico.

Demostracion: Sea G un subgrupo finito de k∗, de modo que G es un grupoabeliano finito. Si n es el anulador de G, tenemos que an = 1 para todo a ∈ G;ası que todos los elementos de G son raıces del polinomio xn − 1 y se sigue que elorden de G esta acotado por n. Como el orden de un grupo abeliano es multiplodel anulador, el orden de G es n y el teorema de clasificacion de grupos abelianosfinitos permite concluir que G es un grupo cıclico.

Cuerpos Perfectos

Definicion: Diremos que un elemento a de una k-algebra finita A es separablecuando lo sea la subalgebra k[a] que genera en A.

Teorema G.4.4 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra finitaA sea separable es que lo sean todos sus elementos.

Demostracion: La necesidad es obvia porque k[a] es una subalgebra de A.Recıprocamente, si todos los elementos de A son separables, consideramos un

sistema finito de generadores, A = k[a1, . . . , ar], de modo que el morfismo natural

k[a1]⊗k . . .⊗k k[ar] −→ A

es epiyectivo. Luego A es separable, porque es isomorfa a un cociente de unproducto tensorial de algebras separables.

Definicion: Diremos que un cuerpo k es perfecto si todas sus extensiones finitasson separables; es decir, si todas la k-algebras finitas reducidas son separables.

Lema G.4.5 La condicion necesaria y suficiente para que un cuerpo k sea perfectoes que todos los polinomios irreducibles en k[x] sean separables.

Demostracion: Si α es un elemento de una extension finita de k, tenemos quek(α) ' k[x](pα(x)). Luego k es perfecto si y solo si todos los elementos de lasextensiones finitas de k son separables, y el teorema anterior permite concluir.

Teorema G.4.6 Todo cuerpo de caracterıstica nula es perfecto.

Demostracion: 4.3.5.

360

Definicion: Si la caracterıstica de un anillo A es un numero primo p, de acuerdocon 4.3.9 la aplicacion F : A → A, F (a) = ap, es un morfismo de anillos, llamadomorfismo de Frobenius (1849–1917) del anillo A.

Lema G.4.7 Un cuerpo k de caracterıstica positiva p es perfecto precisamentecuando el morfismo de Frobenius F : k → k, F (a) = ap, es epiyectivo.

Demostracion: Si k es perfecto y a ∈ k, entonces el polinomio xp− a no puede serirreducible en k[x] porque su derivada es nula. Si α es una raız de este polinomioen una extension de k, tenemos que (x − α)p = xp − αp = xp − a, ası que algunfactor (x− α)m, 0 < m < p, ha de tener todos sus coeficientes en k. Como

(x− α)m = xm −mαxm−1 + . . . ∈ k[x]

y m 6= 0 en k, concluimos que α ∈ k. Luego a = F (α) y F es epiyectivo.Recıprocamente, si F es epiyectivo y p(x) =

∑i aix

i ∈ k[x] tiene derivada nula,entonces

p(x) =∑

iaipxip =

∑ib

pi x

ip =(∑

ibixi)p

donde aip = F (bi), y concluimos que p(x) no es irreducible. Luego k es un cuerpoperfecto.

Teorema G.4.8 Todos los cuerpos finitos son perfectos.

Demostracion: El morfismo de Frobenius F : k → k siempre es inyectivo, porquees un morfismo de anillos y k es un cuerpo; luego es epiyectivo cuando el cardinalde k es finito.

Apendice H

Teorıa de Galois

En este apendice k denotara un cuerpo arbitrario, y usaremos sin mencion previael hecho de que si τ : L → E es un morfismo de k-algebras entre dos extensionesde k y α ∈ L es raız de un polinomio

∑i aix

i ∈ k[x], entonces τ(α) tambien esraız del mismo polinomio:

∑i ai τ(α)i =

∑i aiτ(αi) = τ

(∑i aiα

i)

= 0 .

H.1 Extensiones de Galois

Definicion: Sea p(x) un polinomio no constante con coeficientes en k. Diremosque una extension finita k → L es un cuerpo de descomposicion de p(x) sobrek si p(x) tiene todas sus raıces en la extension L y estas la generan; es decir,cuando L = k(α1, . . . , αn) y p(x) = (x− α1)m1 . . . (x− αn)mn .

El cuerpo de descomposicion de un polinomio p(x) siempre existe, pues bastatomar la extension de k generada por las raıces de p(x) en una extension dondeeste tenga todas sus raıces (existe en virtud de 4.4.3). Ası, por ejemplo, cuandok = Q, un cuerpo de descomposicion de p(x) ∈ Q[x] es la extension Q(α1, . . . , αn),donde α1, . . . , αn ∈ C son todas las raıces complejas de p(x).

Lema del Hueco Unico: Sean L y L′ dos cuerpos de descomposicion de unpolinomio no constante p(x) ∈ k[x]. Dos morfismos de k-algebras cualesquieraj : L → E, j′ : L′ → E en una extension E de k tienen la misma imagen.

En particular, L y L′ son extensiones de k isomorfas.

Demostracion: Tanto j(L) como j′(L′) son subcuerpos de E donde p(x) tiene todassus raıces y estan generados sobre k por raıces de p(x); luego ambos coinciden conel subcuerpo de E generado sobre k por todas las raıces de p(x) en E.

361

362

Por ultimo, como siempre existe tal extension comun, por ejemplo E = (L′⊗k

L)/m, se sigue que L ' j(L) = j′(L′) ' L′ y concluimos que L y L′ son extensionesde k isomorfas.

Definicion: Diremos que una extension finita k → L es de Galois (1811-1832)cuando el orden de su grupo de automorfismos Aut(L/k) := Autk-alg(L,L) coin-cida con el grado de la extension:

|G| = [L : k]

lo que, de acuerdo con G.3.3, equivale a que la L-algebra L⊗k L sea trivial

L⊗k L = L⊕ . . .⊕ L ,

En tal caso diremos que G = Aut(L/k) = Homk-alg(L,L) es el grupo deGalois de L sobre k.

Caracterizacion de las Extensiones de Galois: Si k → L es una extensionfinita separable, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. L es el cuerpo de descomposicion de algun polinomio con coeficientes en k.

2. Todo compuesto de L consigo mismo es isomorfo a L.

3. L es una extension de Galois: L⊗k L = ⊕L.

4. Todo polinomio irreducible en k[x] que tenga alguna raız en L tiene todassus raıces en L.

Demostracion: (1 ⇒ 2) Es un caso particular del lema del hueco unico, cuandoL′ = L.

(2 ⇒ 3) El cuerpo residual κ(x) de cualquier punto x del espectro de L⊗k L esun compuesto de L consigo mismo, ası que κ(x) = L por hipotesis, y concluimosque L ⊗k L es una L-algebra racional. Como L es una extension separable, con-cluimos que L⊗k L es trivial.

(3 ⇒ 4) Si un polinomio irreducible p(x) ∈ k[x] tiene una raız α en L, estadefine un morfismo de k-algebras

k[x]/(p(x)) x=α−−−−−→ L

que necesariamente es inyectivo, porque k[x]/(p(x)) es un cuerpo. Por hipotesis,L es trivial sobre L, ası que k[x]/(p(x)) tambien es trivial sobre L, lo que significaque p(x) tiene todas sus raıces en L.

(4 ⇒ 1) Sea L = k(α1, . . . , αr) y sea pi(x) ∈ k[x] el polinomio anulador deαi, donde i = 1, . . . , r. Estos polinomios pi(x) son irreducibles, porque L es un

363

cuerpo, y tienen alguna raız en L; luego, por hipotesis, tienen todas sus raıces enL. Concluimos que el polinomio p(x) = p1(x) . . . pr(x) ∈ k[x] tiene todas sus raıcesen L y estas generan L; i.e., L es el cuerpo de descomposicion de p(x) sobre k.

Ejemplo: El cuerpo de descomposicion L = k(α1, . . . , αn) de cualquier polinomioseparable p(x) ∈ k[x] es una extension separable de k, pues claramente tenemosun morfismo epiyectivo k[x]/(p(x))⊗k . . .⊗k k[x]/(p(x)) → k(α1, . . . , αn); luego Les una extension de Galois de k.

Si un cuerpo k es perfecto, el cuerpo de descomposicion de cualquier polinomiocon coeficientes en k es una extension de Galois de k.

Definicion: Llamaremos grupo de Galois sobre k de un polinomio separablep(x) ∈ k[x] al grupo de Galois G de su cuerpo de descomposicion L sobre k:

G = Aut(L/k) = Homk-alg(L,L)

En virtud del teorema del hueco unico, tal grupo no depende, salvo isomorfis-mos, del cuerpo de descomposicion L elegido. Ademas, cada automorfismo τ ∈ Gpermuta las raıces α1, . . . αn de p(x) en L, y esta totalmente determinado por talpermutacion porque L = k(α1, . . . αn). Es decir, el grupo de Galois de un poli-nomio p(x) es, de modo canonico, un subgrupo de permutaciones de las raıces dep(x) en su cuerpo de descomposicion.

Toda vez que se numeren las raıces de p(x) en L, el grupo de Galois G puedeentenderse como un subgrupo del grupo simetrico Sn, bien definido salvo conju-gacion. Ademas, por ser p(x) un polinomio separable, las raıces α1, . . . αn de p(x)en L son todas simples, ası que su numero n coincide con el grado de p(x):

G ⊆ Sn n = grad p(x)

Propiedades de las Extensiones de Galois: Sea k → L una extension deGalois.

1. L es una extension de Galois de cualquier cuerpo intermedio k → L′ → L.

2. Si k → E es una extension arbitraria, cualquier compuesto LE es una ex-tension de Galois de E.

3. Si L′ es una extension de Galois de k, cualquier compuesto L′L es unaextension de Galois de k.

Demostracion: Estas propiedades se siguen de las propiedades de las extensionesseparables, pues si L es el cuerpo de descomposicion sobre k de un polinomiop(x) ∈ k[x], entonces:

1. L es el cuerpo de descomposicion de p(x) sobre L′.

364

2. LE es el cuerpo de descomposicion de p(x) sobre E.

3. Si L′ es el cuerpo de descomposicion de q(x) ∈ k[x] sobre k, entonces LL′

es el cuerpo de descomposicion de p(x)q(x) sobre k.

Ejemplo: De acuerdo con el teorema de D’Alembert, todo polinomio con co-eficientes complejos p(x) tiene todas sus raıces complejas. Luego su cuerpo dedescomposicion sobre C es L = C, ası que el grupo de Galois sobre C de cualquierpolinomio con coeficientes complejos es trivial: G = 1.

Si un polinomio con coeficientes reales tiene todas sus raıces reales, entoncessu cuerpo de descomposicion sobre R es L = R, y su grupo de Galois sobre Res trivial: G = 1. Por el contrario, si tiene alguna raız imaginaria, su cuerpo dedescomposicion sobre R es L = C, y su grupo de Galois es cıclico de orden 2; i.e.,G = id, τ, donde τ denota la conjugacion compleja.

Grupo de Galois de las ecuaciones cuadraticas:Sea p2(x) = ax2 +bx+c ∈ k[x] un polinomio separable de grado 2 y denotemos

α1, α2 = −α1 − b/a sus dos raıces en su cuerpo de descomposicion L.Si p2(x) tiene alguna raız en k, entonces tiene las dos raıces en k; luego L = k

y su grupo de Galois sobre k es G = id.Si p2(x) no tiene raıces en k, entonces es irreducible en k[x] y su cuerpo de

descomposicion L = k(α1, α2) = k(α1) = k(α2) es una extension de grado 2 de k.Ademas, existe un automorfismo k(α1) ' k[x]/(p2(x)) ' k(α2) que transforma α1

en α2, y concluimos que su grupo de Galois sobre k es G = S2.

Ejemplo H.1.1 El cuerpo de descomposicion sobre Q del polinomio x4 − 2 esL = Q( 4

√2, i). El grado de Q( 4

√2) sobre Q es 4 porque x4 − 2 es irreducible en

Q[x], y el grado de L sobre Q( 4√

2) es 2 porque x2+1 no tiene raıces en Q( 4√

2) ⊂ R.Luego [L : Q] = 8 y el grupo de Galois G de x4 − 2 sobre Q es de orden 8.

Si τ ∈ G, entonces τ( 4√

2) = ± 4√

2,±i 4√

2 y τ(i) = ±i; luego estas 8 posibilidadesson todos los elementos de G. Los 8 automorfismos τi, 1 ≤ i ≤ 8, de L son

4√

2i

∣∣∣∣∣∣

τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ84√

2 i 4√

2 − 4√

2 −i 4√

2 4√

2 i 4√

2 − 4√

2 −i 4√

2i i i i −i −i −i −i

Las raıces complejas α1 = 4√

2, α2 = i 4√

2, α3 = − 4√

2, α4 = −i 4√

2 de x4 − 2son los vertices de un cuadrado, γ := τ2 es el giro de angulo recto y σ := τ5 esla simetrıa respecto del eje horizontal. Como esos dos movimientos generan las 8simetrıas del cuadrado, el grupo de Galois es el grupo de simetrıas de un cuadrado:

G = id, γ, γ2, γ3, σ, σγ, σγ2, σγ3 , γ4 = σ2 = id, γσ = σγ3

G = id, (1234), (13)(24), (1432), (24), (14)(23), (13), (12)(34)

365

H.2 Teorema de Galois

Lema H.2.1 Si G es un grupo de automorfismos de un cuerpo L, entonces LG :=α ∈ L : τ(α) = α , ∀τ ∈ G es un cuerpo.

Demostracion: Si α, β ∈ LG, para todo τ ∈ G tenemos que τ(α + β) = τ(α) +τ(β) = α + β, τ(αβ) = τ(α)τ(β) = αβ, y τ(α−1) = τ(α)−1 = α−1.

Teorema H.2.2 Si k → L es una extension de Galois de grupo G = Aut(L/k),entonces k = LG .

Demostracion: Como los elementos de G son automorfismos de L sobre LG, deacuerdo con la formula de los puntos el orden de G esta acotado por el grado deL sobre LG. Por otra parte, al ser L una extension de Galois de k, el orden de Gcoincide con el grado de L sobre k. Como [L : k] = [L : LG] · [LG : k], se sigue que[LG : k] = 1 y concluimos que LG = k.

Corolario H.2.3 Sea k → L una extension de Galois de grupo G. La orbita decada elemento α ∈ L bajo la accion de G esta formada por todas las raıces delpolinomio irreducible de α sobre k, y su cardinal es el grado de k(α) sobre k.

Demostracion: Sea q(x) el polinomio irreducible de α sobre k. La orbita de α estaformada por raıces de q(x), porque q(τα) = 0 para todo τ ∈ G. Por otra parte,de acuerdo con el teorema anterior, el polinomio

∏

τ∈G

(x− τα)

tiene todos sus coeficientes en k, pues claramente son invariantes por la accion deG. Como este polinomio tiene en comun con el polinomio irreducible q(x) la raızx = α, se sigue que este polinomio es multiplo de q(x), y concluimos que las raıcesde q(x) en L forman la orbita Gα.

Por ultimo, como q(x) es separable y tiene todas sus raıces en L, el numero detales raıces es su grado, que es [k(α) : k] por 4.4.2.

Corolario H.2.4 Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio separable, y sea G su grupo deGalois sobre k. Las orbitas de la accion de G en las raıces de p(x) estan formadaspor las raıces de los factores irreducibles de p(x) en k[x].

En particular, el orden del grupo de Galois G es multiplo de los grados de losfactores irreducibles de p(x).

Corolario H.2.5 El grupo de Galois de cualquier polinomio irreducible actuatransitivamente sobre las raıces, y su orden es multiplo del grado del polinomio.

366

Corolario H.2.6 Sea k un cuerpo de caracterıstica distinta de 2 y sea p(x) ∈ k[x]un polinomio separable de grado n. La condicion necesaria y suficiente para queel grupo de Galois G de p(x) sobre k este contenido en el grupo alternado An esque el discriminante ∆ de p(x) sea un cuadrado en k:

G ⊆ An ⇔√

∆ ∈ k

Demostracion: Sea σ una permutacion de las raıces de p(x). Por definicion delsigno de una permutacion, tenemos que σ

√∆ = (sgn σ)

√∆. Por tanto, cuando

−1 6= 1 en k, tenemos que σ√

∆ =√

∆ si y solo si σ es una permutacion par.Si G ⊆ An, se sigue que τ

√∆ =

√∆ para todo automorfismo τ ∈ G, y el

teorema anterior permite concluir que√

∆ ∈ k.Recıprocamente, si

√∆ ∈ k, entonces τ

√∆ =

√∆ para todo τ ∈ G, y con-

cluimos que todo automorfismo τ ∈ G define una permutacion par de las raıces dep(x); es decir, τ ∈ An.

Corolario H.2.7 (Grupo de Galois de las cubicas) Sea G el grupo de Galoisde una cubica x3 + px2 + qx + r irreducible y separable sobre un cuerpo k de ca-racterıstica distinta de 2.

Si el discriminante ∆ = −4p3r− 27r2 + 18pqr− 4q3 + p2q2 es un cuadrado enk, entonces G = A3.

Si el discriminante ∆ no es un cuadrado en k, entonces G = S3.

Demostracion: Los unicos subgrupos de S3 cuyo orden es multiplo de 3 son A3

y S3, y el corolario anterior muestra que el discriminante del polinomio permitedistinguir entre ambos casos.

Ejemplo: El grupo de Galois de x3 − x + 1 sobre Q es el grupo simetrico S3,porque no tiene raıces racionales y ∆ = −27 + 4 = −23 no es un cuadrado en Q.El grupo de Galois de x3 − 3x + 1 sobre Q es el grupo alternado A3, porque notiene raıces racionales y ∆ = −27 + 108 = 81 es un cuadrado en Q.

H.2.8 (Grupo de Galois del Polinomio Generico) Sean s1, . . . , sn las fun-ciones simetricas elementales en n indeterminadas x1 . . . , xn. La extension

k(s1, . . . , sn) −→ k(x1, . . . , xn)

es de Galois porque es el cuerpo de descomposicion del polinomio

xn − s1xn−1 + . . . + (−1)nsn =

n∏

i=1

(x− xi)

que es separable, pues obviamente tiene todas sus raıces distintas. Ademas,cualquier permutacion de sus raıces x1, . . . , xn define un automorfismo del cuerpo

367

k(x1, . . . , xn) que es la identidad sobre k(s1, . . . , sn). Luego el grupo de Galois deesta extension de Galois es todo el grupo simetrico Sn, y el teorema anterior afirmaque toda funcion racional simetrica es funcion racional de las funciones simetricaselementales:

k(x1, . . . , xn)Sn = k(s1, . . . , sn)

Ademas, este polinomio xn − s1xn−1 + . . . + (−1)nsn es el polinomio unitario

generico de grado n con coeficientes en k, porque las funciones simetricas elemen-tales son algebraicamente independientes (A.1.1). El polinomio generico de gradon con coeficientes en cualquier cuerpo k es separable y su grupo de Galois es elgrupo simetrico Sn.

Como el grupo Sn actua transitivamente en las raıces del polinomio generico,obtenemos otra demostracion de que este es irreducible (A.4.1).

Teorema de Artin (1898-1962): Si G es un grupo finito de automorfismos de uncuerpo L, entonces L es una extension de Galois de LG y su grupo de Galois esG.

Demostracion: Si vemos que [L : LG] ≤ |G|, entonces G.3.3 permite concluir queL es una extension de Galois de LG y que G = Aut(L/LG).

Si α ∈ L, pondremos φ(α) = (τ(α))τ∈G ∈ ⊕GL. Veamos que toda familiaα1, . . . , αm ∈ L, donde m > |G|, es linealmente dependiente sobre LG. Si n es elprimer ındice tal que φ(α1), . . . , φ(αn+1) son L-linealmente dependientes, existeuna unica relacion de dependencia lineal φ(αn+1) = λ1φ(α1) + . . . + λnφ(αn),λi ∈ L:

τ(αn+1) = λ1τ(α1) + . . . + λnτ(αn) , ∀τ ∈ G

Aplicando σ ∈ G obtenemos que

(στ)(αn+1) = σ(λ1)(στ)(α1) + . . . + σ(λn)(στ)(αn) , ∀τ ∈ G

y la unicidad de la relacion de dependencia lineal muestra que σ(λi) = λi paratodo ındice i y todo σ ∈ G. Luego αn+1 =

∑i λiαi donde λi ∈ LG, y concluimos

que la familia dada es linealmente dependiente sobre LG.

Teorema de Galois (segun Artin): Sea k → L una extension finita de Galois ysea G = Aut(L/k) su grupo de Galois. Si a cada subgrupo H de G le asignamosel cuerpo intermedio LH , obtenemos una correspondencia biunıvoca

[Subgrupos

de G

]−→

[Cuerpos intermedios

entre k y L

]

que invierte inclusiones. La correspondencia inversa asigna a cada cuerpo inter-medio L′ el grupo de Galois Aut(L/L′) de L sobre L′, y tenemos que

[L : LH ] = |H| , [LH : k] = [G : H]

368

Ademas, LH es una extension de Galois de k si y solo si H es un subgruponormal de G, en cuyo caso el grupo de Galois de LH sobre k es isomorfo a G/H.

Demostracion: Las correspondencias H 7→ LH y L′ 7→ Aut(L/L′) claramenteinvierten inclusiones y, para probar que son mutuamente inversas, hemos de verque H = Aut(L/LH) para todo subgrupo H de G y que L′ = LAut(L/L′) para todocuerpo intermedio L′.

La igualdad L′ = LAut(L/L′) se sigue del teorema H.2.2, porque L′ → L es unaextension de Galois y su grupo de Galois es Aut(L/L′).

La igualdad H = Aut(L/LH) es consecuencia del teorema de Artin, que afirmaque H es el grupo de Galois de la extension LH → L.

La igualdad |H| = [L : LH ] se debe a que, por el teorema de Artin, L es unaextension de Galois de grupo H y a que el numero de automorfismos de cualquierextension de Galois coincide con el grado. Ahora,

|G| = [L : k] = [L : LH ] · [LH : k] = |H| · [LH ; k]

y obtenemos que [LH : k] = |G|/|H| = [G : H].

Por ultimo, es sencillo comprobar que para todo subgrupo H de G y todoautomorfismo τ ∈ G tenemos que

LτHτ−1= τ(LH) .

Ahora, si LH es una extension de Galois de k, el lema del hueco unico aseguraque LH = τ(LH); luego LH = LτHτ−1

y concluimos que H = τHτ−1 para todoτ ∈ G. Es decir, el subgrupo H es normal en G.

Recıprocamente, si H es normal en G, entonces τ(LH) = LτHτ−1= LH para

todo τ ∈ G. Es decir, cada automorfismo de L induce, por restriccion, un auto-morfismo de LH , obteniendo ası un morfismo de grupos

G = Aut(L/k) −→ Aut(LH/k)

cuyo nucleo es H en virtud del teorema de Artin. Luego el grupo cociente G/H esisomorfo a la imagen, que es un subgrupo de Aut(LH/k). Como ya sabemos queel orden de G/H coincide con el grado de LH sobre k, concluimos que el numerode automorfismos de la extension k → LH es mayor o igual que el grado: es unaextension de Galois y su grupo de Galois Aut(LH/k) es isomorfo a G/H.

Teorema de los Irracionales Naturales: Sea k → L una extension finita deGalois de grupo G = Aut(L/k). Si k → E es una extension arbitraria, cualquiercompuesto E → EL es una extension finita de Galois y su grupo es isomorfo algrupo de Galois de L sobre L ∩ E:

Aut(EL/E) = Aut(L/L ∩ E) .

369

Demostracion: Ya sabemos que EL es una extension de Galois de E. Sea G′ =Aut(EL/E) su grupo de Galois. Por el Lema del Hueco unico, tenemos queτ(L) = L para todo τ ∈ G′, ası que la restriccion de automorfismos define unmorfismo de grupos G′ → G, que es inyectivo porque los elementos de L generanEL sobre E. Por el Teorema de Galois, para concluir basta observar que

LG′ = L ∩ (EL)G′ = L ∩ E .

La Equivalencia de Galois

Dada una extension de Galois k → L de grupo G, el teorema de Galois (1811-1832)determina los cuerpos intermedios a partir del grupo G. Luego determina, salvoisomorfismos, las extensiones finitas de k triviales sobre L, pues tales extensionesadmiten algun morfismo en L (necesariamente inyectivo) y son por tanto isomorfasa algun cuerpo intermedio entre k y L. Mas en general, como toda k-algebrasfinita A trivial sobre L descompone en suma directa de extensiones triviales sobreL, vemos que el teorema de Galois determina las k-algebras finitas triviales sobreL, pues nos muestra que son de la forma

A = LH1 ⊕ . . .⊕ LHr

donde H1, . . . , Hr son subgrupos de G. Ahora bien, las k-algebras finitas trivialessobre L forman evidentemente una categorıa, y determinar una categorıa, mas quedar sus objetos, es dar sus morfismos. Vamos a completar ahora el teorema deGalois, exponiendo su comprension por Grothendieck (n. 1928) como equivalenciade categorıas.

Teorema H.2.9 Si G es un grupo de automorfismos de una k-algebra A, entoncesel algebra de invariantes es estable por cambios de base. Es decir, para toda k-algebra B tenemos

AG ⊗k B = (A⊗k B)G

donde G actua en A⊗k B mediante su accion por la izquierda:

g(a⊗ b) := (ga)⊗ b .

Demostracion: Si eii∈I es una base de B como k-espacio vectorial, tenemos que

(A⊗k B)G =(⊕i(A⊗k kei)

)G = ⊕i(A⊗k kei)G = ⊕i(AG ⊗k kei) = AG ⊗k B

q.e.d.

Si A es una k-algebra finita trivial sobre L, el grupo de Galois G = Aut(L/k)actua de modo natural sobre el conjunto

P (A) = Homk-alg(A,L)

370

de puntos de A con valores en L, donde la accion es: τ(p) := τ p. De acuerdocon la formula de los puntos, al ser A⊗k L una L-algebra trivial tenemos que

A⊗k L = L⊕ P (A). . . . . . ⊕L = Hom(P (A), L)

(donde Hom denota las aplicaciones de meros conjuntos) y este isomorfismo escompatible con las respectivas acciones de G, actuando en A ⊗k L por su accionsobre L y en Hom(P (A), L) del siguiente modo: τ · f := τ f τ−1. Por tanto,este G-conjunto P (A) permite recuperar la k-algebra inicial A porque

A = A⊗k LG = (A⊗k L)G =(Hom(P (A), L)

)G = HomG(P (A), L)

Por eso, a cada G-conjunto finito X le asociamos la k-algebra finita

R(X) :=(Hom(X, L)

)G = HomG(X, L)

que es trivial sobre L, al ser una subalgebra de Hom(X, L) = ⊕XL.

Teorema de Galois (segun Grothendieck): Si k → L es una extension finita deGalois de grupo G = Aut(L/k), el funtor de puntos

P :[k-algebras finitastriviales sobre L

]Ã

[G-conjuntos

finitos

]

establece una equivalencia de la categorıa (dual) de las k-algebras finitas trivialessobre L con la categorıa de G-conjuntos finitos, siendo R el funtor inverso.

En particular, si A y B son k-algebras finitas triviales sobre L, el funtor depuntos P define una biyeccion

Homk-alg(A;B) = HomG(P (B), P (A))

Demostracion: Sea A una k-algebra finita trivial sobre la extension L. Cadafuncion f ∈ A define de modo natural una aplicacion f : P (A) → L, f(p) := p(f),que es claramente G-invariante:

(τf)(p) = τ(f(τ−1p)) = τ(τ−1p(f)

)= p(f) = f(p) .

Obtenemos ası un morfismo de k-algebras A → R(P (A)) que define una trans-formacion natural Id → R P , y vamos a ver que es un isomorfismo de funtores.

Por otra parte, si X es un conjunto finito, cada punto p ∈ X define de modonatural un punto p : R(X) = HomG(X, L) → L, p(f) := f(p). Esto define unaaplicacion X → P (R(X)) que es un morfismo de G-conjuntos, pues (τp)(f) =f(τp) = τ(f(p)). Obtenemos ası una transformacion natural Id → P R y vamosa ver que es un isomorfismo de funtores.

371

El funtor de puntos P transforma sumas directas en uniones disjuntas y elfuntor R transforma uniones disjuntas en sumas directas,

P (A⊕B) = P (A) t P (B) , R(X t Y ) = R(X)⊕R(Y ) ,

ası que es suficiente probar que L′ → R(P (L′)) es un isomorfismo para todocuerpo intermedio L′ (es decir, L′ = LH para algun subgrupo H de G), y queX → P (R(X)) es un isomorfismo cuando el G-conjunto finito X solo tiene unaorbita (es decir, X = G/H).

Ahora bien, el teorema de prolongacion de morfismos que demostraremos acontinuacion prueba que P (LH) = G/H, lo que permite concluir:

R(P (LH)) = HomG(P (LH), L) = HomG(G/H, L) = LH

P (R(G/H)) = P (HomG(G/H,L)) = P (LH) = G/H

Lema H.2.10 Sea j : A → B un morfismo inyectivo de k-algebras. Si B es unak-algebra finita, entonces la aplicacion continua inducida φ : SpecB → Spec A esepiyectiva.

Demostracion: Sea a ∈ A una funcion que se anule en la imagen de φ. Entoncesj(a) se anula en todo SpecB; luego es una funcion nilpotente, 0 = j(a)n = j(an),segun 7.2.7. Al ser j inyectivo, se sigue que an = 0, de modo que a es nilpotentey se anula en todo Spec A. Es decir, la imagen de φ es densa en Spec A y, al sereste un espacio discreto, concluimos que tal imagen coincide con SpecA.

Teorema de Prolongacion: Sea A una k-algebra finita racional sobre ciertaextension L de k. Si B es una subalgebra de A, todo morfismo de k-algebrasB → L es restriccion de algun morfismo de k-algebras A → L.

Demostracion: Como B tambien es racional sobre L, la formula de los puntosafirma que Homk-alg(A,L) = Spec AL y Homk-alg(B, L) = Spec BL. Ahora H.2.10permite concluir que la aplicacion

Homk-alg(A, L) = Spec AL −→ Spec BL = Homk-alg(B,L)

es epiyectiva, y es sencillo comprobar que transforma cada morfismo A → L en surestriccion a B.

Corolario H.2.11 Sea k → L una extension normal. Si L′ es un cuerpo inter-medio, entonces el grupo Aut(L/k) actua transitivamente en Homk-alg(L′, L).

Demostracion: Sea i : L′ → L el morfismo de inclusion. Si j : L′ → L es otromorfismo de k-algebras, por el teorema de prolongacion existe existe algun auto-morfismo τ : L → L tal que j = τ i.

372

H.3 Aplicaciones

Irracionales Cuadraticos

Lema H.3.1 Sea k → L una extension de grado 2. Si la caracterıstica de k noes 2, entonces L = k(α), donde α2 ∈ k.

Demostracion: Si β ∈ L no esta en k, entonces β es raız de un polinomio x2+bx+ccon coeficientes en k, y la formula de las raıces de los polinomios de grado 2 (validaen caracterıstica distinta de 2) muestra que L = k(

√b2 − 4c ).

Teorema H.3.2 La condicion necesaria y suficiente para que un polinomio concoeficientes racionales p(x) sea resoluble por radicales cuadraticos es que el ordendel grupo de Galois de p(x) sobre Q sea potencia de 2.

Demostracion: La necesidad de la condicion es consecuencia de B.1.5, porque elorden del grupo de Galois coincide con el grado del cuerpo de descomposicion.

Recıprocamente, si el orden del grupo de Galois G es potencia de 2, existe unasucesion de subgrupos

G = H0 ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ . . . Hn−1 ⊃ Hn = 1

tal que |Hi| = 2n−i. Por el teorema de Galois estos subgrupos se corresponden conciertos subcuerpos Ki de la extension L de Q generada por las raıces complejas dep(x):

Q ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn−1 ⊂ Kn = L

tales que [Ki : Ki−1] = 2. Aplicando reiteradamente el lema anterior concluimosque L = Q(α1, . . . , αn) donde α2

i ∈ Q(α1, . . . , αi−1) para todo ındice i = 1, . . . , n.Luego todas las raıces complejas de p(x), al estar en L, son irracionales cuadraticos.

Corolario H.3.3 La condicion necesaria y suficiente para que e2πin sea un irra-

cional cuadratico es que el indicador de Euler φ(n) sea potencia de 2.

Demostracion: La necesidad de la condicion es B.4.2.Recıprocamente, el cuerpo de descomposicion de xn − 1 sobre Q es Q(e

2πin );

luego, si φ(n) = [Q(e2πin ) : Q] es potencia de 2, el teorema anterior permite concluir

que e2πin es un irracional cuadratico.

Corolario H.3.4 Un numero complejo algebraico es irracional cuadratico si ysolo si el orden del grupo de Galois de su polinomio irreducible es potencia de 2.

Demostracion: De acuerdo con H.3.2, basta probar que si α ∈ C es un irracionalcuadratico, entonces toda raız compleja β de su polinomio irreducible pα(x) tam-bien es irracional cuadratico.

373

Por hipotesis α ∈ Q(α1, . . . , αr) ⊂ C donde α2i ∈ Q(α1, . . . , αi−1) para todo

1 ≤ i ≤ r. Consideremos un cuerpo Q(α1, . . . , αr) ⊂ L ⊂ C que sea extension deGalois de Q. De acuerdo con H.2.3, β ∈ L y existe un automorfismo τ : L → L talque τ(α) = β; luego β ∈ Q(τα1, . . . , ταr) donde (ταi)2 ∈ Q(τα1, . . . , ταi−1) paratodo 1 ≤ i ≤ r, y concluimos que β es un irracional cuadratico.

Ejemplo: La teorıa de Galois permite dar una nueva demostracion del Teoremade D’Alembert. De acuerdo con el Teorema de Kronecker, basta probar que todaextension finita L de C es trivial. Como toda extension finita esta contenida enel cuerpo de descomposicion de algun polinomio, podemos suponer que L es unaextension de Galois de R de grupo G. Sea H un 2-subgrupo de Sylow de G, demodo que [LH : R] es impar. Si α ∈ LH , entonces gr pα(x) = [R(α) : R] dividea [LH : R]; luego es impar, y tiene alguna raız real en virtud del Teorema deBolzano, lo que permite concluir que α es real: LH = R y H = G.

Se sigue que el orden del subgrupo G′ = Aut(L/C) ⊂ G es una potencia de2. Si G′ 6= 1, entonces tiene algun subgrupo de ındice 2 que, por el Teorema deGalois, se corresponde con una extension C → K de grado 2. De acuerdo conH.3.1, tenemos que K = C(α), donde α2 ∈ C, lo que es absurdo porque todonumero complejo tiene raız cuadrada compleja. Luego G′ = 1 y C = L.

Raıces de la Unidad

Fijado un cuerpo k, para cada numero natural n ≥ 2 llamaremos raıces n-esimasde la unidad a las raıces del polinomio xn − 1 en su cuerpo de descomposicion, yclaramente forman un grupo abeliano multiplicativo que denotaremos µn, que escıclico de acuerdo con G.4.3. Si n es multiplo de la caracterıstica p de k, n = pm,entonces xn − 1 = (xm − 1)p y por tanto µn = µm. Por eso nos limitaremosal caso en que n es primo con p. En tal caso el polinomio xn − 1 es separable,porque no tiene raıces comunes con su derivada nxn−1, ası que en su cuerpo dedescomposicion tiene n raıces distintas y concluimos que µn es un grupo cıclico deorden n. Los generadores de µn reciben el nombre de raıces n-esimas de la unidadprimitivas sobre el cuerpo k. Por tanto, si εn es una raız n-esima de la unidadprimitiva, tendremos que

µn = εn, ε2n, . . . , εn

n = 1 .

Teorema H.3.5 Si εn es una raız n-esima de la unidad primitiva y n es primocon la caracterıstica de k, entonces k → k(εn) es una extension de Galois y sugrupo es un subgrupo de (Z/nZ)∗. En particular su grado divide a φ(n).

Demostracion: k(εn) es una extension de Galois de k porque es el cuerpo dedescomposicion del polinomio separable xn−1, pues todas sus raıces son potenciasde εn. Sea G su grupo de Galois.

374

Cada automorfismo τ ∈ G induce un automorfismo del grupo cıclico µn; luegotransforma εn en otro generador εi

n, donde i es primo con n y esta bien definidomodulo n. Obtenemos ası morfismo de grupos G → (Z/nZ)∗, τ 7→ i. Es inyectivoporque cada k-automorfismo de k(εn) esta determinado por su accion sobre εn.

Teorema H.3.6 Q(e2πin ) es una extension de Galois de Q y su grupo es isomorfo

a (Z/nZ)∗.

Demostracion: El grado de Q(e2πin ) sobre Q es φ(n) segun B.4.2, y el teorema

anterior permite concluir que su grupo de Galois es (Z/nZ)∗.

Cuerpos Finitos

Sea k un cuerpo finito con q elementos.Es claro que la caracterıstica p de k es positiva y que k es una extension finita

de Fp. Si d es el grado de k sobre Fp, entonces existe un isomorfismo Fp–linealentre k y Fd

p y concluimos que q = pd. El cardinal de un cuerpo finito es unapotencia de su caracterıstica.

Teorema H.3.7 Sea q = pd una potencia de un numero primo p. Salvo isomorfis-mos, existe un unico cuerpo Fq con q elementos, que es el cuerpo de descomposicionsobre Fp del polinomio xq − x.

Demostracion: Sea k un cuerpo con q elementos. Los elementos no nulos de kforman un grupo multiplicativo de orden q − 1, ası que son raıces del polinomioxq−1 − 1 segun 2.5.4, y todo elemento de k es raız de xq − x. Luego xq − x tienetodas sus raıces en k y k es el cuerpo de descomposicion del polinomio xq−x sobreFp. En particular es unico salvo isomorfismos.

Para demostrar la existencia de un cuerpo con q elementos observamos que elpolinomio xq−x con coeficientes en Fp es separable porque es primo con su derivada(que es −1), de modo que tiene q raıces distintas en su cuerpo de descomposicionk sobre Fp. Ademas el automorfismo F : k → k, F (a) = aq, deja fijas todas lasraıces de xq−x; luego F es la identidad sobre k y se sigue que todos los elementosde k son raıces de xq − x. Concluimos que k esta formado por las raıces de xq − xy su cardinal es q.

Corolario H.3.8 La condicion necesaria y suficiente para que Fq′ sea una exten-sion de Fq es que q′ sea potencia de q.

Demostracion: Si Fq′ es una extension de Fq de grado d, entonces es un espaciovectorial de dimension d sobre Fq; luego su cardinal es q′ = qd.

Recıprocamente, si q′ = qd, entonces toda solucion de la ecuacion xq = x essolucion de xq′ = ((xq)q)...q = x. Luego el cuerpo de descomposicion Fq′ de xq′−xsobre Fp contiene al cuerpo de descomposicion Fq de xq − x sobre Fp.

375

Corolario H.3.9 En el anillo de polinomios Fq[x] hay polinomios irreducibles degrado arbitrario.

Demostracion: Sea d ≥ 1 un numero natural. Por el corolario anterior Fqd esuna extension finita de Fq, que es separable y de grado d. Por el teorema delelemento primitivo esta extension esta generada por un elemento Fqd = Fq(α), yel polinomio irreducible de α sobre Fq es precisamente un polinomio irreduciblede grado d.

Definicion: Sea k un cuerpo finito con q elementos. Si L es una extension finitade k, diremos que el automorfismo F : L → L, F (α) = αq, es el automorfismode Frobenius (1849-1917) de L sobre k, y claramente es la identidad sobre k.

Teorema H.3.10 Si k es un cuerpo finito, toda extension finita k → L es deGalois, y su grupo de Galois es un grupo cıclico generado por el automorfismo deFrobenius de L sobre k.

Demostracion: Sea q el numero de elementos de k y sea G el grupo de automorfis-mos de L generado por el automorfismo de Frobenius F (α) = αq. Los elementosde L que quedan fijos por F son las raıces del polinomio xq−x, que estan todas enk. Luego LG = k y el teorema de Artin permite concluir que L es una extensionde Galois de k y su grupo de Galois es G.

Corolario H.3.11 Sea p(x) un polinomio separable con coeficientes en Fq y seap(x) = p1(x) . . . pr(x) su descomposicion en factores irreducibles en Fq[x]. El grupode Galois de p(x) sobre Fq es un grupo cıclico generado por el automorfismo deFrobenius F (α) = αq, que entendido como permutacion de las raıces de p(x) tieneforma (n1, . . . , nr), donde ni = gr pi(x).

Demostracion: Si la permutacion de la raıces de p(x) que define F es productode ciclos disjuntos de ordenes d1, . . . , ds, entonces la accion del grupo (F ) en lasraıces tiene s orbitas y d1, . . . , ds son los cardinales de tales orbitas. Ahora H.2.4permite concluir que d1, . . . , ds coinciden con n1, . . . , nr.

Ejemplo: Si p(x) es un polinomio irreducible de grado n con coeficientes en Fq

y α es una raız de p(x), entonces Fq(α) ya es el cuerpo de descomposicion dep(x) sobre Fq, porque es una extension de Galois. Todas las raıces de p(x) sonαq, αq2

, . . . , αqn

= α y, con esta ordenacion de las raıces, el grupo de Galois dep(x) esta generado por la permutacion (1, 2, . . . , n).

Ası, en el caso del polinomio irreducible x4 + x + 1 con coeficientes en F2, deacuerdo con el teorema de Kronecker una raız en el cuerpo

F16 = F2[x]/(x4 + x + 1) = F2 ⊕ F2α⊕ F2α2 ⊕ F2α

3 , α = [x]

376

es α. Luego las raıces de p(x) en su cuerpo de descomposicion F16 son

α2 , α4 = 1 + α , α8 = (1 + α)2 = 1 + α2 , α16 = α .

Ley de Reciprocidad Cuadratica

Sea p un numero primo y sea εn una raız n-esima de la unida primitiva sobreel cuerpo Fp. De acuerdo con B.1 tenemos que Φn(εn) = 0, porque claramenteΦd(εn) 6= 0 cuando d < n. Segun B.4.1 los polinomios ciclotomicos Φn(x) sonirreducibles en Z[x], ası que todas las relaciones algebraicas con coeficientes en-teros que satisfaga e2πi/n tambien las verifica εn (aunque pude admitir relacionesadicionales, porque Φn(x) no es necesariamente irreducible en Fp[x]).

Si p 6= 2, como i2 = −1, tenemos que ε24 = −1 y

√−1 ∈ Fp(ε4). Si consideramosel automorfismo de Frobenius F (α) = αp de Fp(ε4) sobre Fp, concluimos que −1es resto cuadratico modulo p si y solo si p ≡ 1 (mod. 4), resultado que ya vimosen 3.6.3. Si introducimos el sımbolo de Legendre (1752-1833)

(a

p

):=

1 si a es resto cuadratico modulo p

−1 si a no es resto cuadratico modulo p

(donde se supone que a no es multiplo de p), tenemos que(−1p

)= (−1)

p−12 .

Sea q otro primo impar. Las raıces del polinomio f(x) = xq − 1 son α1 = εq,α2 = ε2

q, . . . , αq = εqq = 1; ası que su discriminante ∆ es

∆ =∏i<j

(αi − αj)2 = (−1)q(q−1)

2∏i 6=j

(αi − αj) =

= (−1)q−12

∏i

f ′(αi) = (−1)q−12 qq ∏

i

αq−1i = (−1)

q−12 qq

√∆ = q

q−12

√(−1)

q−12 q

y Q(√

∆) es una extension de grado 2 de Q, contenida en Q(εq). Segun H.3.6,Q(εq) es una extension de Galois de Q de grupo (Z/qZ)∗, que es cıclico de acuerdocon G.4.3. Luego, al ser q− 1 es par, contiene un unico subgrupo de ındice 2. Portanto, Q(

√∆) se corresponde con el subgrupo de (Z/qZ)∗ formado por los restos

cuadraticos no nulos modulo q, de modo que

∏i<j

(αpi − αp

j ) =

√∆ si p es resto cuadratico modulo q

−√∆ si p no es resto cuadratico modulo q

Ahora, modulo p tendremos que√

∆ ∈ Fp(εq) y que F (√

∆) =√

∆ si y solo si p

es resto cuadratico modulo q. Es decir, (−1)q−12 q es resto cuadratico modulo p) si

377

y solo si p es resto cuadratico modulo q. Obtenemos ası la Ley de ReciprocidadCuadratica de Gauss (1777-1855) para dos primos impares p 6= q:

(p

q

)=

((−1)

q−12 q

p

)=

(−1p

) q−12

(q

p

)= (−1)

p−12

q−12

(q

p

)

Esta ley no es valida cuando q = 2. En tal caso hemos de considerar las raıcesoctavas de la unidad, porque e2πi/8 =

√2

2 +√

22 i, de modo que

√2 = e2πi/8+e−2πi/8.

Por tanto, si ε8 es una raız octava de la unidad primitiva sobre Fp, tendremos que√

2 = ε8 + ε−18 ∈ Fp(ε8) .

Se sigue que 2 es resto cuadratico modulo p si y solo si

ε8 + ε−18 = F (ε8 + ε−1

8 ) = εp8 + ε−p

8 .

Como ε38+ε−3

8 = ε58+ε−5

8 = ε48(ε8+ε−1

8 ) = −(ε8+ε−18 ), esta condicion equivale

a que p ≡ ±1 (modulo 8): (2p

)= (−1)

p2−18 .

Ejemplo: Sea p 6= 2 un numero primo. Como√

2 = ε8 + ε−18 , las 8 raıces del

polinomio x8 − 24 son

ε8 + ε−18 , ε2

8 + 1 , ε38 + ε8 , ε4

8 + ε28 , ε5

8 + ε38 , ε6

8 + ε48 , ε7

8 + ε58 , ε8

8 + ε68

ası que el automorfismo de Frobenius F (ε8) = εp8 siempre deja fija alguna raız:

Si F (ε8) = ε8, deja fijas las 8 raıces.Si F (ε8) = ε3

8, deja fijas las raıces ε38 + ε8 y ε7

8 + ε58.

Si F (ε8) = ε58, deja fijas las raıces ε2

8 + 1, ε48 + ε2

8, ε68 + ε4

8 y ε88 + ε6

8.Si F (ε8) = ε7

8, deja fijas las raıces ε8 + ε−18 y ε5

8 + ε38.

Por tanto, si p ≡ 1 (mod. 8), el 16 tiene 8 raıces octavas modulo p; si p ≡ 3(mod. 8), tiene 2 raıces octavas modulo p; si p ≡ 5 (mod. 8), tiene 4 raıces octavasmodulo p; y si p ≡ 7 (mod. 8), tiene 2 raıces octavas modulo p.

En particular, x8−16 tiene raız modular en todo primo p (pues obviamente tam-bien la tiene cuando p = 2), aunque tal polinomio no tiene ninguna raız racional.

Extensiones Cıclicas

Definicion: Sea k → L una extension de Galois de grupo G = τ1, . . . , τn. Siα ∈ L, diremos que N(α) = τ1(α) · . . . · τn(α) es la norma de α. Notese queN(α) ∈ LG = k, y que N(αβ) = N(α)N(β).

378

Teorema 90 de Hilbert (1862-1943): Sea k → L una extension de Galois cıclicay sea σ un generador de su grupo de Galois. La condicion necesaria y suficientepara que un elemento β ∈ L tenga norma 1 es que β = α/σ(α) para algun α ∈ L.

Demostracion: Sea n el orden del grupo de Galois de L sobre k. Si β = α/σ(α),es inmediato comprobar que N(β) = (σβ)(σ2β) . . . (σnβ) = 1.

Recıprocamente, los automorfismos σ, σ2, . . . , σn son linealmente independi-entes sobre L por el teorema de independencia, ası que, si β ∈ L, existe algunθ ∈ L tal que la resolvente de Lagrange de θ por β:

α := β(σθ) + β(σβ)(σ2θ) + . . . + β(σβ)(σ2θ) . . . (σn−2β)(σn−1θ) + N(β)θ

no es nula. Es claro que β = α/σ(α) cuando N(β) = 1.

Teorema H.3.12 Sea n un numero primo con la caracterıstica de un cuerpo kque contenga todas las raıces n–esimas de la unidad. Si L es una extension cıclicade k de grado n, entonces existe α ∈ L tal que L = k(α) y αn ∈ k.

Recıprocamente, si una extension L de k esta generada por un elemento α talque αn ∈ k, entonces L es una extension cıclica de k de grado un divisor d de ny αd ∈ k.

Demostracion: Sea εn ∈ k una raız n–esima de la unidad primitiva.Si k → L es una extension cıclica de grado n, es claro que N(ε−1

n ) = 1, ası que,en virtud del teorema 90 de Hilbert, existe α ∈ L tal que σ(α) = εnα, donde σ esun generador del grupo de Galois de L sobre k. Como

σ(αn) = (σα)n = (εnα)n = αn ,

tenemos que αn ∈ k. Ademas L = k(α) porque no hay dos elementos distintos enel grupo de Galois que coincidan en α, pues σi(α) = εi

nα y εn es raız primitiva.

Recıprocamente, si L = k(α) y a := αn ∈ k, entonces L es el cuerpo dedescomposicion sobre k del polinomio xn − a, porque k contiene todas las raıcesn–esimas de la unidad. Ademas este polinomio es separable porque n es primo conla caracterıstica de k; luego L es una extension de Galois de k. Sea G su grupo deGalois.

Si τ ∈ G, tenemos (τα)n = τ(αn) = a, ası que τ(α) = uα para alguna raızn–esima de la unidad u ∈ µn. Obtenemos ası un morfismo de grupos G → µn,que es inyectivo porque cada automorfismo de L = k(α) sobre k esta totalmentedeterminado por su accion sobre α. Al ser µn un grupo cıclico de orden n, con-cluimos que G es un grupo cıclico de orden un divisor d de n. Ademas, si σ es ungenerador de G, tenemos que σ(α) = vα donde vd = 1. Luego αd ∈ k porque

σ(αd) = (σα)d = (vα)d = αd .

379

Ecuaciones Resolubles por Radicales

Definicion: Sea k un cuerpo de caracterıstica nula. Diremos que una extensionfinita k → L es una extension por radicales si L = k(α1, . . . , αr) donde algunapotencia αni

i , ni ≥ 2, esta en k(α1, . . . , αi−1) para todo ındice i = 1, . . . , r.Diremos que un polinomio p(x) con coeficientes en k es resoluble por rad-

icales cuando todas sus raıces puedan expresarse con radicales; es decir, cuandosu cuerpo de descomposicion L sobre k admita una extension finita L → E tal queE es una extension de k por radicales.

Lema H.3.13 Sea k → L una extension de Galois de grupo G. Si k → E es unaextension de Galois abeliana, entonces el grupo de Galois sobre E de cualquiercompuesto EL es un subgrupo normal H ¢ G tal que G/H es abeliano.

Demostracion: Como E es una extension abeliana de k, por el Teorema de Galois,E∩L es una extension de Galois de k y su grupo es abeliano; luego se correspondecon un subgrupo normal H ¢ G tal que G/H es abeliano. Ahora bien, el Teoremade los Irracionales Naturales afirma precisamente que H es el grupo de Galois deEL sobre E.

Teorema de las Ecuaciones Resolubles: Sea k un cuerpo de caracterısticanula. La condicion necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientesen k sea resoluble por radicales es que su grupo de Galois sea resoluble.

Demostracion: Sea L el cuerpo de descomposicion sobre k de un polinomio concoeficientes en k y sea G = Aut(L/k) su grupo de Galois.

Supongamos que L puede incluirse en una extension por radicales k(α1, . . . , αr),donde αni

i ∈ k(α1, . . . , αi−1), y consideremos la extension Ei = k(εn, α1, . . . , αi),donde n = m.c.m.(n1, . . . , nr). En virtud de H.3.5 E0 es una extension abelianade k, y Ei es una extension abeliana de Ei−1 por H.3.12. Si Hi denota el grupode Galois de EiL sobre Ei,

L → E0L → E1L → . . . → ErL↑ G ↑ H0 ↑ H1 . . . ↑ Hr

k → E0 → E1 → . . . → Er

el lema anterior afirma que Hi ¢ Hi−1 y el cociente Hi−1/Hi es abeliano. ComoHr = 1, porque L ⊂ Er, concluimos que G es resoluble.

Recıprocamente, supongamos que G es resoluble, y sea n el producto de losnumeros primos que dividan al orden de G. El Teorema de los irracionales nat-urales afirma que el grupo de Galois L(εn) sobre k(εn) es un subgrupo H de G;luego es resoluble por F.5.2, ası que admite una sucesion decreciente de subgruposH = H0 ¤ H1 ¤ . . . ¤ Hr = 1 tal que los cocientes sucesivos Hi−1/Hi, 1 ≤ i ≤ r,

380

son grupos cıclicos de orden un numero primo pi que divide a n. El teorema deGalois y H.3.12 permiten concluir que L(εn) es una extension de k(εn) por radi-cales, y por tanto tambien es una extension de k por radicales. El polinomio dadoes resoluble por radicales. q.e.d.

Cuando el grupo de Galois de una ecuacion algebraica q(x) = 0 es resolu-ble, y la descomposicion en factores primos del orden del grupo de Galois es|G| = p1p2 . . . pr, la demostracion anterior prueba ademas que tal ecuacion puederesolverse con r radicales p1

√, . . . , pr

√junto con raıces de la unidad de ordenes

p1, . . . , pr.

Corolario H.3.14 La ecuacion general de grado 3, con coeficientes en un cuerpok de caracterıstica nula, puede resolverse con una raız cuadrada, una raız cubicay las raıces cubicas de la unidad.

La ecuacion general de grado 4 puede resolverse con 3 raıces cuadradas, unaraız cubica y las raıces cubicas de la unidad.

Las ecuaciones generales de grado mayor o igual que 5 no pueden resolversepor radicales.

Demostracion: De acuerdo con H.2.8, el grupo de Galois del polinomio generico degrado n es el grupo simetrico Sn, que no es resoluble cuando n ≥ 5 (vease F.5.1).

Ejemplo: La imposibilidad de resolver por radicales el polinomio generico degrado n con coeficientes en k (que, recuerdese, no tiene coeficientes en k sino enel cuerpo k(c1, . . . , cn) de funciones racionales en n indeterminadas) no implica laexistencia de algun polinomio particular p(x) ∈ k[x] que no pueda resolverse porradicales, sino que afirma la imposibilidad de expresar las raıces, a partir de loscoeficientes, mediante un numero finito de sumas, productos, cocientes y radicales.Por ejemplo, la ecuacion general de grado 5 con coeficientes reales no es resolublepor radicales, mientras que cualquier polinomio particular con coeficientes realespuede resolverse con una raız cuadrada (a saber

√−1 ) pues todas sus raıces soncomplejas.

Por eso el corolario anterior no implica por sı solo la existencia de ecuacionesirresolubles con coeficientes racionales. Para ver una de tales ecuaciones, conside-remos el polinomio q(x) = x5−4x+2, que es irreducible (criterio de Eisenstein) ytiene dos raıces reales positivas y una negativa (por la regla de Descartes no puedetener mas de 3 raıces reales, y q(−2) < 0, q(0) > 0, q(1) < 0, q(2) > 0). Comotiene tres raıces reales y dos complejas conjugadas, el siguiente lema prueba quesu grupo de Galois es S5, que no es resoluble.

Lema H.3.15 Sea q(x) ∈ Q[x] un polinomio irreducible de grado primo p. Si q(x)solo tiene 2 raıces imaginarias, entonces su grupo de Galois es el grupo simetricoSp. En particular, q(x) no es resoluble por radicales cuando p ≥ 5.

381

Demostracion: Sea G el grupo de Galois de q(x). Por hipotesis la conjugacion com-pleja define una trasposicion, ası que bastara probar que un subgrupo transitivoG ⊆ Sp que contenga una trasposicion es todo el grupo simetrico Sp. Consideremosla siguiente relacion de equivalencia en el conjunto 1, 2, . . . , p:

i ≡ j cuando (ij) ∈ G

Todas las clases de equivalencia tienen el mismo cardinal, porque G es transitivo, yalguna clase tiene mas de un elemento porque G contiene una trasposicion. Comop es primo, se sigue que solo hay una clase de equivalencia: G contiene todas lastrasposiciones y concluimos que G = Sp.

Proposicion H.3.16 La condicion necesaria y suficiente para que un polinomioirreducible y separable de grado primo p tenga grupo de Galois resoluble es que sucuerpo de descomposicion este generado por dos raıces cualesquiera.

Demostracion: El grupo de Galois G es un subgrupo transitivo de Sp porque elpolinomio es irreducible. Si G es resoluble, F.5.8 afirma que la identidad es el unicoautomorfismo τ ∈ G que deja fijas dos raıces; luego el cuerpo de descomposicionesta generado por dos raıces cualesquiera.

Recıprocamente, si el cuerpo de descomposicion esta generado por dos raıces,entonces su grado es pq, donde q < p. Luego |G| = pq y F.5.9 permite concluirque G es resoluble.

Corolario H.3.17 (Galois 1811-1832) Si un polinomio irreducible y de gradoprimo con coeficientes racionales tiene grupo de Galois resoluble y dos raıces reales,entonces todas sus raıces son reales.

Envolvente de Galois

Teorema H.3.18 Sea A una k-algebra finita. Existe una extension finita k → L,unica salvo isomorfismos, llamada envolvente normal de A sobre k, tal que

1. A es racional sobre L.2. L es cociente de algun producto tensorial iterado A⊗n = A⊗k

n. . . ⊗kA.

Demostracion: Para ver la existencia, fijamos el grado y procedemos por inducciondescendente sobre el numero de puntos racionales de Spec A, porque cuando A esracional basta tomar L = k. Si algun punto x ∈ Spec A no es racional, conside-ramos su cuerpo residual π : A → κ(x). Por la formula de los puntos el numerode puntos racionales de Spec Aκ(x) es mayor que el numero de puntos racionalesde SpecA, porque cada punto A → k define obviamente un punto A → κ(x) yaun tenemos uno mas π. Por hipotesis de induccion Aκ(x) es racional sobre unaextension finita κ(x) → L que es cociente de (Aκ(x))⊗n = (A⊗n) ⊗k κ(x). Comoκ(x) es un cociente de A, concluimos que L es un cociente de A⊗(n+1).

382

En cuanto a la unicidad, si L y L′ son dos envolventes de A, entonces L esracional sobre L′ porque es un cociente de A⊗n, que es racional sobre L′; luego,por la formula de los puntos, existe algun morfismo L → L′ y [L : k] ≤ [L′ : k].Por la misma razon existe un morfismo L′ → L y ambas extensiones tienen igualgrado, de modo que tal morfismo L′ → L es un isomorfismo.

Corolario H.3.19 La envolvente de una k-algebra finita A es una extension nor-mal de k, y es una extension de Galois cuando A es separable.

Demostracion: Por definicion A es racional sobre su envolvente L, luego tambienlo son las algebras A⊗n y sus cocientes, ası que L es racional sobre L: es unaextension normal.

Si ademas es separable tambien lo son las algebras A⊗n y sus cocientes, ası queL es una extension normal separable: es de Galois.

Corolario H.3.20 La envolvente normal L de una k-algebra finita A es la menorextension de k que la racionaliza, en el sentido de que cualquier otra extension dek que la racionalice es extension de L.

Demostracion: Si A es racional sobre una extension L′ de k, tambien lo son lasalgebras A⊗n y sus cocientes, ası que L es racional sobre L′ y la formula de lospuntos permite concluir la existencia de algun morfismo L → L′.

Corolario H.3.21 La envolvente normal de k[x]/(p(x)

)sobre k es el cuerpo de

descomposicion del polinomio p(x) sobre k.

Corolario H.3.22 Si K es una extension finita de k, existe una extension finitaL de K tal que L es extension normal de k y L es un compuesto iterado de K.

Demostracion: Si L es la envolvente normal de K sobre k, entonces K es racionalsobre L y, por la formula de los puntos, existe algun morfismo K → L, quenecesariamente es inyectivo al ser K un cuerpo.

Corolario H.3.23 Toda extension finita separable k → K admite una extensionfinita K → L tal que L es una extension de Galois de k y L es un compuestoiterado de K. En particular el numero de cuerpos intermedios entre k y K esfinito.

Demostracion: En una extension de Galois el numero de cuerpos intermedios esfinito por el teorema de Galois.

383

Grupo de Galois de las Cuarticas

Sea p4(x) = x4 + px3 + qx2 + rx + s una cuartica separable e irreducible sobre uncuerpo k de caracterıstica distinta de 2, sean α1, α2, α3, α4 sus raıces en su cuerpode descomposicion L = k(α1, α2, α3, α4) y sea G su grupo de Galois, que es unsubgrupo de S4 bien definido salvo conjugacion.

La cubica resolvente de p4(x), que es el polinomio de raıces β1 = α1α2 +α3α4,β2 = α1α3 + α2α4, β3 = α1α4 + α2α3, tambien es separable, y es

r(y) = y3 − qy2 + (pr − 4s)y − (p2s− 4qs + r2)

Es inmediato comprobar que una permutacion σ de las raıces α1, α2, α3, α4

deja fijos β1, β2 y β3 si y solo si σ esta en el grupo de Klein (1849-1925)

V = id, (12)(34), (13)(24), (14)(23),

de modo que G ∩ V es el grupo de Galois de L sobre k(β1, β2, β3):

kd−−→ k(β1, β2, β3)

G∩V−−−−→ k(α1, α2, α3, α4) = L

Por otra parte, al ser p4(x) irreducible en k[x], el orden de su grupo de GaloisG sobre k es multiplo de 4. Luego el morfismo natural G → S4/V no puede serinyectivo, ya que |S4/V | = 6, y se sigue que su nucleo G ∩ V tiene orden 2 o 4:

|G ∩ V | = 2 o 4 , |G| = 2d o 4d

Distingamos ahora los casos posibles segun el grado d sobre k del cuerpo dedescomposicion k(β1, β2, β3) de la cubica resolvente, que coincide con el orden delgrupo de Galois de r(y) sobre k y ya sabemos calcular (H.2.7):

d = 6En este caso el orden de G es 12 o 24, ası que G = A4 o G = S4, porque A4

es el unico subgrupo de orden 12 de S4. En ambos casos G contiene a V ; luego|G ∩ V | = 4 y concluimos que |G| = 24. El grupo de Galois de la cuartica es elsimetrico G = S4.

d = 3En este caso el orden de G es 6 o 12; luego es 12 porque ha de ser multiplo de

4. El grupo de Galois es el alternado G = A4, porque este es el unico subgrupo deorden 12 del grupo simetrico S4 .

d = 2En este caso el orden de G es 4 o 8.

384

• Si |G| = 8, entonces G es un 2-subgrupo de Sylow de S4. Como el grupodiedrico D8 (el grupo de las simetrıas de un cuadrado) es un 2-subgrupode Sylow de S4, todos los subgrupos de Sylow son conjugados, y el grupode Galois esta bien definido salvo conjugacion, concluimos que su grupo deGalois es D8. Con una adecuada numeracion de las raıces de la cuartica

G = D8 = id , (1234) , (13)(24) , (1432) , (12)(34) , (14)(23) , (13) , (24) .

• Si |G| = 4, entonces |G ∩ V | = 2. Como G es un subgrupo transitivo de S4

de orden 4, si una permutacion τ ∈ G deja fija alguna raız, necesariamentees la identidad. Luego toda permutacion de G es de tipo 2,2 o de tipo 4. Sitodas son de tipo 2,2, tenemos que G = V , lo que contradice que |G∩V | = 2.Concluimos que el grupo de Galois es cıclico, generado por un 4-ciclo. Esdecir, salvo conjugacion,

G = C4 = id , (1234) , (13)(24) , (1432) .

d = 1En este caso el orden de G es 2 o 4; luego es 4, porque ha de ser multiplo de

4, y tenemos que |G ∩ V | = 4. Concluimos que el grupo de Galois es el grupo deKlein G = V .

Vemos ası que el grupo de Galois G de una cuartica irreducible esta totalmentedeterminado por el de su cubica resolvente, salvo cuando d = 2, que es el caso enque la cubica resolvente tiene una unica raız en k, y G puede ser el grupo diedricoD8 o el grupo cıclico C4:

C4 = id , (1234) , (13)(24) , (1432) D8 = id , (1234) , (13)(24) , (1432) , (12)(34) , (14)(23) , (13) , (24)

En ambos casos, la unica raız en k de la cubica resolvente es β2 = α1α3 +α2α4,que denotaremos a. Pero, al ser C4 ∩ V = id, (13)(24) y D8 ∩ V = V , tenemosque G = C4 si y solo si α1α3, α2α4, α1+α3 y α2+α4 quedan invariantes por G∩V ,lo que equivale a que esten en el cuerpo de descomposicion LG∩V = k(β1, β2, β3)de la cubica resolvente.

Por tanto, cuando d = 2, la condicion necesaria y suficiente para que el grupode Galois sea G = C4 es que los polinomios

(x− α1α3)(x− α2α4) = x2 − ax + s

(x− (α1 + α3))(x− (α2 + α4)) = x2 + px + q − a

tengan sus raıces en el cuerpo de descomposicion k(β1, β2, β3) de la cubica resol-vente, que es una extension cuadratica de k, porque r(y) tiene una raız en k. De

385

hecho es la extension k(√

∆), donde ∆ es el discriminante de r(y) = (y − a)p2(y),porque este se diferencia en un cuadrado del discriminante de p2(y).

d G−−−−− −−−−−

6 S4

3 A4

2 C4 Si x2 − ax + s y x2 + px + q − a

descomponen sobre k(√

∆)

2 D8 En caso contrario1 V

Veamos que todos estos casos son posibles cuando el cuerpo base es Q:

G = V . Una extension de Galois de grado 4 que no es cıclica es Q(i,√

2).Como Q(i,

√2) = Q((1 + i)/

√2), el grupo de Galois del polinomio irreducible de

(1 + i)/√

2 = e2πi8 es V , porque es de orden 4 y no es cıclico. Es decir, V es el

grupo de Galois de x4 + 1 sobre Q.

G = D8. En H.1.1 hemos visto que el grupo de Galois de x4 − 2 sobre Q es deorden 8; luego es D8.

G = C4. Una extension cıclica de Q de grado 4 es Q(e2πi5 ); luego el grupo de

Galois de x4 + x3 + x2 + x + 1 sobre Q es C4.

G = A4. Busquemos una cuartica cuyo discriminante sea un cuadrado, porqueen general es de esperar que su cubica resolvente sea irreducible y el grupo deGalois sera A4. La cubica resolvente de x4 − px3 + s es y3 − 4sy − sp2, cuyodiscriminante

∆ = 44s2(s− 27(p/4)4)

es un cuadrado cuando p = 4, s = 28. En este caso la cubica resolvente, quees y3 − 4 · 28y − 42 · 28, es irreducible (criterio de Eisenstein para el primo 7), yconcluimos que una cuartica de grupo A4 sobre Q es x4 − 4x3 + 28.

G = S4. En general es de esperar que una cuartica tenga grupo S4. Asıla cubica resolvente de la cuartica irreducible x4 − x + 1 es y3 − 4y − 1, que esirreducible y su discriminante ∆ = 229 no es un cuadrado.

H.4 El Automorfismo de Frobenius

Teorema de Reduccion: Sea q(x) = xn+c1xn−1+. . .+cn un polinomio unitario

con coeficientes enteros y G su grupo de Galois sobre Q. Sea p un numero primo,q(x) = xd + c1x

d−1 + . . . + cn ∈ Fp[x] la reduccion modulo p y G su grupo deGalois sobre Fp. Existe un subgrupo G′ ⊆ G y un epimorfismo ϕ : G′ → G.

386

Ademas, numerando adecuadamente las raıces αi de q(x) y las raıces αi de q(x),si g = ϕ(g), entonces (g)(αi) = αj cuando g(αi) = αj.

Si q(x) es separable (y por tanto q(x) tambien), entonces ϕ es un isomorfismo.

Demostracion: Consideremos el cuerpo de descomposicion L := Q(α1, . . . , αn) deq(x) = (x−α1) . . . (x−αn) sobre Q y el anillo A := Z[α1, . . . , αn]. La demostracionse descompone en los siguientes pasos:

1. A = Z[α1, . . . , αn] es un Z-modulo de tipo finito, porque esta generado porlos monomios αd1

1 . . . αdnn donde todos los exponentes di son menores que n,

pues αni = −c1α

n−1i − . . .− cn.

2. Z[α1, . . . , αn]G = Z .

En efecto, si a/b ∈ AG = A∩LG = A∩Q, entonces Z[a/b] es un Z-modulo detipo finito porque es un submodulo de A. Se sigue que todos los elementos deZ[a/b] tienen denominador acotado por cierta constante, lo que es absurdosi a/b no es un numero entero.

3. A′ = A/pA es una Fp-algebra finita por el paso 1. Sea A′ = A1⊕ . . .⊕Ar sudescomposicion en algebras locales, y sean m1, . . . , mr los correspondientesideales maximales de A. Si a ∈ A, representaremos por a′ su clase en A′ =A/pA y por a su clase en K1 := A/m1.

Notese que K1 = Fp[α1, . . . , αn], y por tanto es el cuerpo de descomposicionsobre Fp de q(x) = (x− α1) . . . (x− αn). Sea G′ el subgrupo de los elementosde G que dejan invariante el ideal m1, de modo que G′ actua sobre el cuerpoK1 = A/m1 y obtenemos un morfismo natural

ϕ : G′ −→ G

4. Veamos que ϕ siempre es epiyectivo. Por el teorema del elemento primitivoK1 = Fp[ θ ]. Sea r(x) el polinomio irreducible de θ sobre Fp. Todo auto-morfismo g ∈ G esta determinado por g(θ), que es raız de r(x). Fijemos unrepresentante θ′ = (θ1, 0, . . . , 0) ∈ A′ de θ y un representante θ ∈ A de θ′.

El polinomio h(x) =∏

g∈G

(x − g(θ)

)tiene coeficientes enteros por el paso

2, y su reduccion h(x) modulo p admite la raız θ; luego es multiplo de r(x).Por tanto, dado g ∈ G, existe g ∈ G tal que g(θ) = g(θ). Para terminarbasta ver que g ∈ G′. Sea g(mi) = m1. Si mi = m1 hemos terminado, y encaso contrario

θ ∈ m2 ∩ . . . ∩mr ⇒ g(θ) ∈ g(m2) ∩ . . . ∩ g(mr) ⊂ m1

de modo que g(θ) = 0, y por tanto g(θ) = 0, lo que es absurdo.

387

5. Por ultimo, cuando q(x) y q(x) son separables, cada automorfismo g′ ∈ G′

viene dado por una permutacion de las raıces αi de q(x), y ϕ(g′) define lamisma permutacion de las raıces αi. Luego ϕ es claramente inyectivo, y elpunto anterior permite concluir que es un isomorfismo.

Corolario H.4.1 Sea q(x) un polinomio unitario separable con coeficientes en-teros y sea p un numero primo. Si la reduccion q(x) modulo p es separable ydescompone en factores irreducibles de grados n1, . . . , nr, entonces el grupo deGalois de q(x) sobre Q contiene una permutacion de forma (n1, . . . , nr).

Demostracion: El grupo de Galois G de q(x) sobre Fp esta generado por el auto-morfismo de Frobenius F , y por el teorema anterior existe algun automorfismog ∈ G′ ⊆ G ⊆ Sd tal que ϕ(g) = F . Ademas, al ser q(x) separable, la formade la permutacion g coincide con la forma de la permutacion ϕ(g) = F , que esprecisamente (n1, . . . , nr) por H.3.11.

Corolario H.4.2 Para cada numero natural n existe un polinomio con coefi-cientes racionales de grado n cuyo grupo de Galois es el grupo simetrico Sn.

Demostracion: Sea q2(x) ∈ F2[x] un polinomio unitario irreducible de grado n,que existe por H.3.9. Sea q3(x) ∈ F3[3] un polinomio unitario que tiene un factorirreducible de grado n − 1 y una raız en F3. Sea qp(x) ∈ Fp[x] un polinomiounitario que tenga un factor irreducible de grado 2 y n− 2 raıces distintas en Fp,donde p 6= 2, 3 es numero primo ≥ n− 2.

Como Z/6pZ = F2 ⊕ F3 ⊕ Fp por el teorema chino de los restos, existe unpolinomio unitario con coeficientes enteros q(x) cuyas reducciones modulo 2,3 yp son q2(x), q3(x) y qp(x) respectivamente. En particular q(x) es irreducible, ysu grupo de Galois G es un subgrupo transitivo de Sn por H.2.5. Ademas, porel corolario anterior, G contiene un (n − 1)-ciclo y una trasposicion. Podemossuponer que (2, . . . , n), (ij) ∈ G. Ahora, al ser G un subgrupo transitivo, contieneuna trasposicion (1k). Conjugando (1k) con (2, . . . , n) y sus potencias obtenemosque (12), (13), . . . , (1n) ∈ G. Es sencillo ver que estas trasposiciones generan todoel grupo simetrico Sn y concluimos que G = Sn.

Corolario H.4.3 Para todo grupo finito G existe un polinomio p(x) ∈ Q[x] talque su grupo de Galois sobre cierta extension finita K de Q es isomorfo a G.

(Es un problema abierto saber si puede tomarse K = Q.)

Demostracion: Segun el ejemplo 1 de la pagina 340, todo grupo finito G es isomorfoa un subgrupo de un grupo simetrico Sn y, por H.4.2, existe alguna extension deGalois L de Q de grupo Sn. Basta considerar un polinomio p(x) cuyo cuerpo dedescomposicion sea L y tomar K := LG.

388

Definicion: Cuando la reduccion q(x) modulo p es separable, tenemos un isomor-fismo ϕ : G′ → G. Ahora bien, G tiene un generador canonico, el automorfismo deFrobenius F (a) = ap, y llamaremos automorfismo de Frobenius (1849-1917)asociado al primo p al unico elemento Fp ∈ G′ tal que ϕ(Fp) = F ; es decir,

Fp(a) ≡ ap (modulo m1)

para todo a ∈ A. Este automorfismo de Frobenius Fp no solo depende del primop, sino tambien del ideal maximal m1 elegido en la demostracion del teoremade reduccion. Como el grupo de Galois actua transitivamente en Spec A′, si seelige otro maximal τ(m1), entonces el automorfismo de Frobenius asociado a pes τFpτ

−1: El automorfismo de Frobenius asociado a un numero primo es unelemento del grupo de Galois G bien definido salvo conjugacion.

Veamos en efecto que el grupo de Galois actua transitivamente en Spec A′, quees la fibra de la aplicacion Spec A → SpecZ sobre el punto p. Si tal fibra tuvieramas de una orbita, elegimos una funcion f ∈ A que se anule en los puntos deuna orbita y no se anule en los restantes puntos de tal fibra (la existencia de fse sigue del Teorema chino de los restos). Luego N(f) =

∏τ∈G τ(f) se anula en

unos puntos de la fibra y en otros no, lo que es absurdo porque N(f) ∈ AG = Z.

Notas: (1) Si un polinomio q(x) = xn + c1xn−1 + . . . + cn tiene coeficientes

racionales y S denota el conjunto de numeros primos que dividen al denominadorde algun coeficiente ci, entonces la reduccion q(x) modulo p esta bien definida paratodo primo p /∈ S, y la demostracion del teorema de reduccion sigue siendo validasi Z se sustituye por la localizacion de Z en los numeros primos que estan en S.

(2) La reduccion q(x) modulo p es separable precisamente cuando el primo pno divida al discriminante ∆ =

∏i<j(αj − αi)2 del polinomio q(x). Por tanto, si

un polinomio con coeficientes enteros q(x) es separable, solo hay un numero finitode primos en los que la reduccion q(x) es inseparable.

Ejemplos: (1) Sea q(x) = xn + . . . un polinomio irreducible con coeficientesenteros. Si su grupo de Galois sobre Q no contiene ciclos de orden n, entonces noexiste ningun numero primo p tal que la reduccion q(x) sea irreducible.

En efecto, si q(x) no es separable, entonces no es irreducible por 4.3.10. Si q(x)es separable, entonces no puede ser irreducible, porque en caso de serlo el grupode Galois de q(x) tendrıa un ciclo de orden n segun H.4.1.

Por ejemplo, si el grupo de Galois de una cuartica con coeficientes enteros esV = id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) entonces es irreducible aunque no lo sea sureduccion modulo ningun primo. Tal es el caso de x4 + 1 y de x4 − 2x2 + 9.

(2) Si todo automorfismo g ∈ G deja fija alguna raız de q(x), el Teorema dereduccion muestra que el generador de G deja fija alguna raız de q(x), de modoque q(x) tiene una raız en Fp para casi todo primo p.

389

Por ejemplo, sea L = Q(√

2, i). Cada elemento de su grupo de Galois deja fijoi,√

2 o i√

2, ası que deja fija alguna raız del polinomio q(x) = x8 − 24, pues susraıces son ±√2, ±(1 + i), ±√2i y ±(1 − i). Por tanto su reduccion q(x) modulocualquier primo p admite alguna raız en Fp cuando q(x) sea separable (i.e. cuandop 6= 2), lo que ya habıamos visto en el ejemplo de la pagina 377.

(3) La reduccion de xn − 1 modulo p es separable cuando p no divide a n. Ental caso, si εn := e2πi/n, tenemos que εi

n 6= εjn cuando 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j; es decir,

εin − εj

n /∈ m1. Por tanto Fp(ε) = εp y, al identificar (v. H.3.5) el grupo de GaloisG de xn − 1 con un subgrupo de (Z/nZ)∗, el automorfismo Fp se correspondecon la clase de p. Luego G contiene la clase de cualquier primo que no dividea n y concluimos que G = (Z/nZ)∗, lo que proporciona otra demostracion de lairreducibilidad de los polinomios ciclotomicos B.4.1.

(4) Sea G el grupo de Galois de un polinomio con coeficientes racionales.El teorema de Tchebotarev, que no probaremos en este libro , afirma que cadaautomorfismo g ∈ G es el automorfismo de Frobenius asociado a infinitos numerosprimos. Veamos algunas consecuencias de este resultado fundamental:

1. Dado un polinomio q(x) con coeficientes racionales, existen infinitos numerosprimos p tales que la reduccion q(x) modulo p tiene grupo de Galois trivial,i.e., q(x) tiene todas sus raıces en Fp.

En efecto, el automorfismo de Frobenius asociado a un primo p es la iden-tidad precisamente cuando q(x) tiene todas sus raıces en Fp. Aunque nodemostremos el teorema de Tchebotarev, este corolario se probara en N.3.6.

2. Sea q(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si en casi todo numeroprimo p la reduccion q(x) modulo p tiene grupo de Galois trivial, entoncesel grupo de Galois de q(x) es trivial. Es decir, si en todo numero primop, salvo un numero finito, la reduccion q(x) tiene todas sus raıces en Fp,entonces q(x) tiene todas sus raıces racionales. (Este corolario del teoremade Tchebotarev se probara en N.3.8).

Por ejemplo, si un numero entero a es resto cuadratico modulo casi todoslos numeros primos, entonces a es un cuadrado perfecto.

3. Sea q(x) = xn + . . . un polinomio con coeficientes racionales. La condicionnecesaria y suficiente para que exista algun numero primo p tal que la re-duccion q(x) modulo p sea irreducible es que el grupo de Galois G de q(x)sobre Q contenga algun ciclo de orden n. Ademas, en tal caso hay infinitosnumeros primos en que la reduccion q(x) es irreducible.

En efecto, si la reduccion q(x) modulo p es irreducible, entonces el automor-fismo de Frobenius asociado a p es un ciclo de orden n. Recıprocamente,si G contiene un ciclo de orden n, este sera el automorfismo de Frobenius

390

asociado a algun numero primo p (y de hecho a infinitos) y concluimos quela reduccion q(x) modulo p es irreducible.

4. Si un polinomio q(x) ∈ Q[x] es irreducible y de grado primo, existen infinitosnumeros primos tales que la reduccion q(x) es irreducible.

En efecto, como q(x) es irreducible en Q[x], el orden de su grupo de GaloisG es multiplo del grado p. Por el teorema de Cauchy, G contiene algunapermutacion τ ∈ Sp de orden p, que necesariamente es un ciclo de orden pal ser p un numero primo (2.6.4).

5. Si un polinomio q(x) ∈ Q[x] es irreducible, existen infinitos numeros primosp tales que la reduccion q(x) no tiene raıces en Fp.

En efecto, sea G ⊆ Sn el grupo de Galois de q(x) sobre Q y sea Hi =τ ∈ G : τ(i) = i. Tenemos que [G : Hi] = n porque q(x) es irreducible(H.2.5); luego H1 ∪ . . . ∪ Hn 6= G, ya que la union de subgrupos nunca esdisjunta. Cualquier numero primo p cuyo automorfismo de Frobenius no esteen H1 ∪ . . . ∪Hn verifica que la reduccion q(x) carece de raıces en Fp.

6. Si una cubica con coeficientes racionales tiene una raız modular en casi todoslos numeros primos, entonces tiene alguna raız racional. En particular, si unnumero entero es resto cubico modulo casi todo primo, es un cubo perfecto.

Ejercicios:

1. Q( 8√

3,√

2, i) es una extension de Galois de Q de grado 32.

2. Decidir si las raıces de la cubica x3+2x+1 son irracionales cuadraticos sobreel cuerpo Q(e2πi/7).

3. Si L y L′ son dos extensiones de Galois de un cuerpo k, entonces L ⊗k L′

descompone en suma directa de extensiones de k isomorfas entre sı.

4. Sean K1 y K2 dos extensiones de Galois de un cuerpo k, de grupos G1 y G2

respectivamente. Si L es un compuesto de K1 y K2, entonces K := K1 ∩K2

y L son extensiones de Galois de k, y si G y G denotan sus respectivos gruposde Galois, entonces G = G1 ×G G2 := (g1, g2) ∈ G1 ×G2 : g1|K = g2|K.

5. Si p es un numero primo p, existen polinomios q(x) ∈ Q[x] cuyo grupo deGalois es cıclico de orden p. Hallar uno cuando p = 5.

6. ¿Que parte del siguiente razonamiento es falaz? Si k → L′ y L′ → L sonextensiones de Galois, entonces k → L tambien es una extension de Galois:

L′ ⊗k L = L′ ⊗k L′ ⊗L′ L = (⊕L′)⊗L′ L = ⊕L

L⊗k L = L⊗L′ (L′ ⊗k L) = L⊗L′ (⊕L) = ⊕(L⊗L′ L) = ⊕(⊕L)

391

7. Sean k → L′ y L′ → L extensiones de Galois. Si todo automorfismo de L′

sobre k puede extenderse a un automorfismo de L sobre k, entonces L es unaextension de Galois de k.

8. Sea k → L una extension de Galois de grupo G. Si H y H ′ son subgruposde G, demostrar las siguientes afirmaciones:

(a) Aut(LH/k) = N(H)/H .

(b) La condicion necesaria y suficiente para que LH y LH′sean k-algebras

isomorfas es que H y H ′ sean subgrupos conjugados de G.

(c) Si j : LH → LH′es un morfismo de k-algebras, entonces existe un au-

tomorfismo τ ∈ G tal que j(α) = τ(α) para todo α ∈ LH

9. Determinar si Q(√

2 +√

2 ) es una extension de Galois de Q.

10. Sea α una raız de una cuartica irreducible p(x) ∈ Q[x]. Demostrar que noexisten cuerpos intermedios propios entre Q y Q(α) si y solo si el grupo deGalois de p(x) es el grupo simetrico S4 o el grupo alternado A4.

11. Si una cuartica irreducible tiene exactamente dos raıces reales, probar quesu grupo de Galois sobre Q es el grupo simetrico S4 o el diedrico D8.

12. El grupo de Galois sobre Q de una bicuadrada irreducible x4 + ax2 + b es

(a) El grupo de Klein V si b es un cuadrado.

(b) El grupo cıclico C4 si b no es un cuadrado, pero a2b− 4b2 sı lo es.

(c) El grupo diedrico D8 en cualquier otro caso.

13. El grupo de Galois sobre el cuerpo Q de una cuartica recıproca irreduciblex4 + ax3 + bx2 + ax + 1 es

(a) El grupo de Klein V si b2 + 4b + 4− 4a2 es un cuadrado.

(b) El grupo cıclico C4 cuando b2 + 4b + 4− 4a2 no es un cuadrado, pero sılo es (b2 + 4b + 4− 4a2)(a2 − 4b + 8).

(c) El grupo diedrico D8 en cualquier otro caso.

14. Determinar el grupo de Galois de la bicuadrada generica x4 + ax2 + b y dela cuartica recıproca generica x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 sobre C.

15. Si p, q son numeros primos distintos, entonces p genera el grupo cıclico(Z/qZ)∗ si y solo si el polinomio xq−1 + . . . + x + 1 es irreducible en Fp[x].

16. Sea L una extension de Galois de Q de grupo G. Si G no es cıclico, L es elcuerpo de descomposicion de un polinomio q(x) ∈ Q[x] sin raıces racionalesque admite raız modular en casi todo primo.

392

17. Sea p(x) un polinomio de grado n con coeficientes racionales y sin raıcesracionales. Si cada automorfismo de su grupo de Galois deja fija alguna raızde p(x), entonces n ≥ 5 (i.e., si p(x) admite raıces modulares en casi todoprimo, entonces su grado es mayor que 4).

18. Dado un numero natural n ≥ 2, considerese la siguiente afirmacion (quesabemos es falsa cuando n = 8, vease el ejemplo de la pagina 377 y elejercicio 49 en la pagina 225):

Si un polinomio con coeficientes enteros xn − b tiene raız modular en casitodo numero primo, entonces b es potencia n-esima de algun numero entero.

Usando el teorema de Tchebotarev (y por supuesto el teorema H.3.12) probarque la afirmacion es cierta cuando n ≤ 7 y cuando n es primo. (Indicacion:Si n es primo, xn − b es irreducible o su grupo de Galois es cıclico.)

Ademas, en el caso n = 8, la afirmacion solo es falsa cuando b = 24a8 paraalgun numero entero a.

Apendice I

Separabilidad

En este apendice k denotara un cuerpo arbitrario.

I.1 Algebras Racionales

Teorema de Descomposicion: Toda k-algebra finita A descompone en sumadirecta de k-algebras locales, que son las localizaciones en los puntos de su espectro:

A = Ax1 ⊕ . . .⊕Axn , Spec A = x1, . . . , xnDemostracion: Los morfismos de localizacion A → Ax, a 7→ a/1, inducen unmorfismo de k-algebras canonico

A −→ Ax1 ⊕ . . .⊕Axn

y vamos a probar que es un isomorfismo. Basta probar que lo es despues delocalizar en cualquier punto y ∈ Spec A. Ahora bien,

(Ax1 ⊕ . . .⊕Axn)y = (Ax1)y ⊕ . . .⊕ (Axn)y = Ay

porque (Ay)y = Ay y (Ax)y = 0 cuando x 6= y. En efecto, los puntos del espectrode (Ax)y se corresponde con los ideales primos de A contenidos en mx y my, idealesque no existen al ser maximales todos los ideales primos de A. Luego tal espectroes vacıo y por 6.1.3 concluimos que (Ax)y = 0.

Lema I.1.1 Sea A una k-algebra finita y sea I un ideal de A contenido en todoslos ideales maximales de A. La condicion necesaria y suficiente para que A seak-algebra racional es que lo sea A/I.

Demostracion: De acuerdo con 6.1.2, cada ideal maximal m de A se correspondecon un ideal maximal m de A = A/I, y A/m = A/m.

393

394

Lema I.1.2 El concepto de algebra finita local y racional es estable por cambiosdel cuerpo base. Es decir, si A es una k-algebra finita local y racional y L es unaextension de k, entonces AL = A⊗k L es una L-algebra finita local y racional.

Demostracion: Si m es el unico ideal maximal de A, por hipotesis k = A/m; luego

AL/mAL = (A/m)⊗A (A⊗k L) = (A/m)⊗k L = k ⊗k L = L

es un cuerpo y obtenemos que mAL es un ideal maximal de AL cuyo cuerpo residuales L. Ademas todos los elementos de m son nilpotentes, ası que mAL es un idealgenerado por elementos nilpotentes y ha de estar contenido en todos los idealesmaximales de AL. Concluimos que mAL es el unico ideal maximal de AL y queAL es L-algebra racional.

Propiedades de las Algebras Racionales:

1. Subalgebras, cocientes sumas directas y productos tensoriales de k-algebrasracionales son k-algebras racionales.

2. El concepto de algebra racional es estable por cambios del cuerpo base (esdecir, si A es una k-algebra racional y L es una extension de k, entoncesAL = A⊗k L es una L-algebra racional).

Demostracion: (1) Sea A una subalgebra de una k-algebra finita racional B. Laaplicacion Spec B → Spec A inducida por el morfismo de inclusion A → B esepiyectiva por H.2.10 y transforma puntos racionales en puntos racionales porG.2.1. Como todos los puntos de Spec B son racionales por hipotesis, concluimosque tambien lo son todos los puntos de Spec A.

Sea A una k-algebra finita racional y sea I un ideal de A. Si m es un idealmaximal de A := A/I, por 6.1.2 se corresponde con un ideal maximal m de A quecontiene a I tal que A/m = A/m. Por hipotesis k = A/m = A/m y concluimosque A/I es una k-algebra finita racional.

Por 7.2.3, Spec (A ⊕ B) = (Spec A) t (Spec B), ası que todos los puntos deSpec (A⊕B) son racionales cuando lo son los de Spec A y Spec B.

En cuanto a la demostracion de que A⊗k B es k-algebra racional, en virtud delteorema de descomposicion y el caracter distributivo de la suma directa respectodel producto tensorial, podemos reducirnos al caso en que A y B son k-algebrasfinitas locales y racionales. Sea m el unico ideal maximal de A. Como el idealm(A⊗k B) esta generado por elementos nilpotentes, segun I.1.1 basta probar que

(A⊗k B)/m(A⊗k B) = (A/m)⊗A (A⊗k B) = (A/m)⊗k B = k ⊗k B = B

es k-algebra racional, y lo es por hipotesis.

(2) Sea A una k-algebra finita. Por el teorema de descomposicion tenemos queA = A1 ⊕ . . .⊕ An donde las componentes Ai son k-algebras finitas locales. Si A

395

es racional, tales componentes son k-algebras finitas locales y racionales; luego lasL-algebras (Ai)L son racionales en virtud de I.1.2. El apartado 1 permite concluirque la L-algebra finita AL = (A1)L ⊕ . . .⊕ (An)L tambien es racional.

Teorema I.1.3 Toda k-algebra finita A es racional sobre alguna extension finitaL de k (i.e., AL es L-algebra racional).

Demostracion: Procedemos por induccion sobre el grado d = [A : k], porque elmorfismo estructural k → A es un isomorfismo cuando d = 1, de modo que en talcaso A es racional sobre k.

Cuando d > 1, siempre existe algun punto de A con valores en una extensionfinita K de k (por ejemplo, basta tomar como K el cuerpo residual de un punto delespectro de A). Por la formula de los puntos, Spec AK tiene algun punto racional,y el teorema de descomposicion permite obtener que AK = B ⊕ C, donde B esuna K-algebra finita local y racional.

Como [C : K] < [AK : K] = d, por hipotesis de induccion C es racional sobreuna extension finita L de K, de modo que AL = (AK)L = BL ⊕ CL es L-algebraracional (BL es L-algebra racional porque B es K-algebra racional). Concluimosque A es racional sobre L, que es una extension finita de k.

I.2 Metrica de la Traza

Definicion: Sea A una k-algebra finita. Cada elemento a ∈ A define un endomor-fismo k-lineal ha : A → A, ha(b) = ab, y diremos que la traza y el determinante deha son la traza y la norma de a:

trA/k(a) := tr(ha)NA/k(a) := det(ha)

La traza y la norma son invariantes por cambios del cuerpo base, en el sentido deque para toda extension k → L tenemos

trA/k(a) := trAL/L(a⊗ 1)NA/k(a) := NAL/L(a⊗ 1)

porque la matriz de ha en cualquier base (e1, . . . , ed) de A coincide con la matrizde ha⊗1 en la base (e1 ⊗ 1, . . . , ed ⊗ 1) de AL.

La traza tr : A → k es una aplicacion lineal y permite definir en A una metrica(aplicacion bilineal simetrica)

T2(a, b) := tr(ab)

llamada metrica de la traza . El radical de la metrica de la traza

Rad(A/k) := a ∈ A : tr(ab) = 0, ∀b ∈ A

396

es un ideal de A, y contiene a los elementos nilpotentes de A

rad A ⊆ Rad(A/k)

porque la traza de los endomorfismos nilpotentes es nula (pues su polinomio car-acterıstico es una potencia de x segun el teorema de Hamilton-Cayley). Ademas,como la traza es invariante por cambios del cuerpo base, tr(a⊗1) = tr(a), tambienla metrica de la traza y su radical son estables por cambios del cuerpo base; i.e.,para toda extension k → L tenemos que

Rad(AL/L) = Rad(A)⊗k L .

Ejemplo I.2.1 En el caso de una k-algebra finita trivial A = k⊕ . . .⊕k, si consid-eramos la base e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , ed = (0, . . . , 0, 1), la matriz del endomorfismoha definido por a = (λ1, . . . , λn) es la matriz diagonal diag(λ1, . . . , λn). Luego

tr(a) = λ1 + . . . + λn

N(a) = λ1 · . . . · λn

T2(ei, ej) = tr(eiej) = δij

y vemos que la metrica de la traza no es singular: Rad(A/k) = 0.En el caso de una k-algebra finita separable A, es trivial sobre alguna extension

L de k, ası que el numero de puntos σ1, . . . , σd : A → L iguala al grado y

AL = L⊕ . . .⊕ L , a⊗ 1 =(σ1(a), . . . , σd(a)

)

porque las proyecciones de AL sobre sus componentes definen d morfismos A → L;luego son todos los morfismos porque su numero nunca supera al grado. Como latraza y la norma son invariantes por cambios de base, obtenemos que

tr(a) = σ1(a) + . . . + σd(a)N(a) = σ1(a) · . . . · σd(a)

Teorema I.2.2 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra finitaA sea separable es que su metrica de la traza no sea singular; es decir, que

Rad(A/k) = 0 .

Demostracion: Si el radical de la metrica de la traza Rad(A/k) es nulo, entoncespara toda extension k → L tenemos que el algebra AL es reducida porque

rad(AL) ⊆ Rad(AL/L) = Rad(A/k)L = 0 .

Recıprocamente, si A es separable, entonces es trivial sobre alguna extensionL de k, de modo que en AL la metrica de la traza no es singular. Luego

Rad(A/k)L = Rad(AL/L) = 0

y concluimos que Rad(A/k) = 0.

397

Corolario I.2.3 La condicion necesaria y suficiente para que una extension finitasea separable es que tenga algun elemento de traza no nula.

Demostracion: Sea k → L una extension finita. Si la traza tr : L → k es nula,entonces Rad(L/k) = L y el teorema anterior permite concluir que la extension esinseparable.

Recıprocamente, si existe α ∈ L tal que tr(α) 6= 0, entonces Rad(L/k) = 0porque es un ideal del cuerpo L que no contiene a α, y el teorema anterior permiteconcluir que la extension es separable.

Corolario I.2.4 Si una extension finita de k es inseparable, entonces su grado esmultiplo de la caracterıstica de k.

Demostracion: Si k → L es una extension finita inseparable, por el corolarioanterior tenemos 0 = tr(1) = [L : k] .

I.3 Algebras Inseparables

Lema I.3.1 Sea A una k-algebra finita racional. Si ΩA/k = 0 , entonces A estrivial.

Demostracion: Descomponiendo A en suma directa de algebras locales podemossuponer que tiene un unico ideal maximal m. Por hipotesis el unico punto delespectro de A es racional, ası que m/m2 = ΩA/k ⊗A k = 0 por 9.2.4, y el lema deNakayama permite concluir que m = 0 y A = k.

Teorema I.3.2 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra finitaA sea separable es que ΩA/k = 0 .

Demostracion: Si A es separable, en particular es reducida y descompone ensuma directa de extensiones de k por G.1.5; luego A ⊗k A es reducida, porqueAL es reducida para toda extension L de k. Luego A ⊗k A = L1 ⊕ . . . ⊕ Ln

para ciertas extensiones Li de k, y se sigue que el ideal de la diagonal es de laforma ∆ = L1⊕ . . .⊕Lr ⊕ 0 . . .⊕ 0 despues de reordenar las componentes si fueranecesario. Ahora es evidente que ∆2 = ∆ y concluimos que ΩA/k = ∆/∆2 = 0.

Recıprocamente, si ΩA/k = 0, entonces ΩAL/L = 0 para toda extension Lde k. Por el teorema de Kronecker podemos elegir L de modo que AL sea L-algebra racional, en cuyo caso el lema anterior afirma que AL es L-algebra trivialy concluimos que A es separable.

398

Grado de Separabilidad

Definicion: Por G.4.4, cada k-algebra finita A contiene una unica subalgebraseparable maximal, formada por todos sus elementos separables, que denotaremosπk

0 (A). Llamaremos grado de separabilidad de A sobre k al grado de πk0 (A) y

lo denotaremos[A : k]s := [πk

0 (A) : k] .

Sean A, B dos k-algebras finitas. Si f : A → B es un morfismo de k-algebras,entonces f(πk

0 (A)) es una subalgebra separable de B, porque es un cociente deπk

0 (A), ası que esta contenida en πk0 (B) y f define un morfismo de k-algebras

f : πk0 (A) → πk

0 (B). Por tanto πk0 es un funtor covariante de la categorıa de k-

algebras finitas en la categorıa de k-algebras finitas separables.

Teorema I.3.3 La subalgebra separable maximal es estable por cambios del cuerpobase. Es decir, si A es una k-algebra finita y L es una extension de k, entonces

πk0 (A)⊗k L = πL

0 (A⊗k L)

Demostracion:1 El nucleo A1 de la diferencial d : A → ΩA/k contiene a πk0 (A)

de acuerdo con I.3.2. Si definimos recursivamente An+1 como el nucleo de ladiferencial d : An → ΩAn/k, tenemos que πk

0 (A) ⊆ ⋂n An. Cuando se de una

igualdad An+1 = An, por I.3.2 la k-algebra An es separable y An ⊆ πk0 (A),

Concluimos queπk

0 (A) =⋂n

An .

Ahora el enunciado es evidente, porque la subalgebra⋂

n An es estable porcambios del cuerpo base al serlo el modulo de las diferenciales (9.3.1).

Corolario I.3.4 Sea A una k-algebra finita y L una extension de k tal que AL esL-algebra racional. El grado de separabilidad [A : k]s coincide con el numero depuntos de A con valores en L.

Demostracion: Por el teorema anterior [A : k]s = [AL : L]s, ası que podemossuponer que A es una k-algebra racional y k = L. En tal caso, por la formulade los puntos, el numero n de puntos A → k coincide con el numero de puntosde SpecA, ası que A descompone en suma directa de n algebras racionales. Elmorfismo natural πk

0 (A) → A/rad A = kn es inyectivo porque un algebra separablees reducida, y es epiyectivo porque claramente kn ⊆ πk

0 (A); luego

[A : k]s = [πk0 (A) : k] = n .

1Esta demostracion se debe a Juan B. Sancho de Salas en el ya lejano 1976, cuando cursabael segundo curso de la licenciatura.

399

Corolario I.3.5 [A⊕B : k]s = [A : k]s + [B : k]s[A⊗k B : k]s = [A : k]s[B : k]s

Demostracion: Basta considerar una extension k → L que racionalice a ambask-algebras finitas A, B y aplicar I.3.4.

Corolario I.3.6 πk0 (A⊕B) = πk

0 (A)⊕ πk0 (B)

πk0 (A⊗k B) = πk

0 (A)⊗ πk0 (B)

Demostracion: Las inclusiones πk0 (A) ⊕ πk

0 (B) ⊆ πk0 (A ⊕ B) y πk

0 (A) ⊗ πk0 (B) ⊆

πk0 (A⊗k B) son inmediatas, y los dos terminos de cada inclusion tienen el mismo

grado por I.3.5

Corolario I.3.7 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra finitaA sea local es que πk

0 (A) sea un cuerpo.

Demostracion: Si A es local, tambien lo son todas sus subalgebras por H.2.10;luego son cuerpos si ademas son separables.

Recıprocamente, si A descompone en suma directa de dos o mas algebras lo-cales, A = A1 ⊕ . . . ⊕ An, entonces πk

0 (A) = πk0 (A1) ⊕ . . . ⊕ πk

0 (An) tampoco eslocal, y en particular no es un cuerpo.

Corolario I.3.8 El grado de separabilidad sobre k del algebra k[x]/(p(x)

)coincide

con el numero de raıces diferentes del polinomio p(x) en una extension donde tengatodas sus raıces.

Demostracion: Es consecuencia directa de I.3.4.

Corolario I.3.9 Sean A y B dos k-algebras finitas. Si un morfismo de k-algebrasA → B es epiyectivo, el correspondiente morfismo πk

0 (A) → πk0 (B) tambien es

epiyectivo.

Demostracion: Como la subalgebra separable maximal es estable por cambiosdel cuerpo base, por el teorema de Kronecker podemos suponer que la k-algebrafinita A es racional. Como el funtor πk

0 conserva sumas directas, podemos suponerademas que A es una k-algebra local racional, caso en que el enunciado es trivial.

Corolario I.3.10 Sea L el cuerpo residual de una k-algebra finita local A. Si Les una extension separable de k, entonces existe una unica subalgebra L′ ⊂ A talque la proyeccion natural L′ → L es un isomorfismo.

Demostracion: El proyeccion natural πk0 (A) → πk

0 (L) = L es epiyectiva por I.3.9,y es inyectiva por I.3.7. Cualquier otra subalgebra L′ tal que la proyeccion L′ → Lsea un isomorfismo es separable; luego L′ ⊆ πk

0 (A) y coinciden porque el grado deambas algebras coincide con el grado de L.

400

I.4 Algebras Puramente Inseparables

Definicion: Diremos que una k-algebra finita A es puramente inseparable sies geometricamente local; es decir, si AL = A ⊗k L es local para toda extensionk → L.

Las k-algebras locales y racionales son puramente inseparables por I.1.2.

Caracterizacion de las Algebras Puramente Inseparables: Si A es unak-algebra finita, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es puramente inseparable.

2. Existe una extension k → L tal que la L-algebra AL es local y racional.

3. πk0 (A) = k.

Demostracion: Por el teorema de Kronecker existe una extension k → L tal queAL es racional. Si A es puramente inseparable, entonces AL es local y racional.

Si AL es local y racional para alguna extension k → L, entonces πk0 (A)L =

πL0 (AL) = L y concluimos que πk

0 (A) = k.Por ultimo, si πk

0 (A) = k, entonces para toda extension k → L tenemos queπL

0 (AL) = πk0 (A)L = L y I.3.7 permite concluir que AL es local.

Propiedades de las Algebras Puramente Inseparables:

1. Subalgebras, cocientes y productos tensoriales de k-algebras puramente in-separables son k-algebras puramente inseparables.

2. Sea k → L una extension. La condicion necesaria y suficiente para que unak-algebra finita A sea puramente inseparable es que la L-algebra finita AL

sea puramente inseparable.

Demostracion: La primera propiedad se sigue de que subalgebras y cocientes dealgebras finitas locales son locales (H.2.10) y πk

0 (A⊗k B) = πk0 (A)⊗k πk

0 (B).Por ultimo, la igualdad πL

0 (AL) = πk0 (A)L muestra que una k-algebra finita

A es puramente inseparable precisamente cuando la L-algebra AL es puramenteinseparable.

Ejemplo: Diremos que un polinomio p(x) ∈ k[x] es puramente inseparable cuandolo sea la k-algebra finita k[x]/

(p(x)

); es decir, cuando todas las raıces de p(x) sean

iguales, en el sentido de que en alguna extension de k tengamos p(x) = (x− α)n.Cuando k es un cuerpo de caracterıstica positiva p, todos los polinomios xpn−a

son puramente inseparables, pues si α es una raız, αpn

= a, entonces

xpn − a = xpn − αpn

= (x− α)pn

.

401

Lema I.4.1 Sea k es un cuerpo de caracterıstica positiva p. La condicion nece-saria y suficiente para que una extension finita k → k(α) sea puramente inseparablees que α sea raız de algun polinomio xpn − a.

Demostracion: Sea qα(x) el polinomio irreducible de α sobre k. Si α es raız dexpn − a entonces qα(x) divide a xpn − a = (x − α)pn

; luego todas sus raıces soniguales y k(α) = k[x]/

(qα(x)

)es puramente inseparable.

Recıprocamente, sea pn la mayor potencia de p tal que qα(x) = q(xpn

) paraalgun polinomio q(x), que necesariamente sera separable al ser irreducible y q′(x) 6=0. Si k(α) es una extension puramente inseparable, entonces a := αpn ∈ k yconcluimos que α es raız del polinomio xpn − a.

De hecho qα(x) = xpn − a porque el grado de qα(x) es obviamente ≥ pn.

Teorema I.4.2 La condicion necesaria y suficiente para que una extension finitak → L sea puramente inseparable es que este generada por raıces de polinomios dela forma xpn − a, donde p es la caracterıstica de k.

Demostracion: Es consecuencia directa de I.4.1, y de que toda subalgebra de unak-algebra finita puramente inseparable tambien es puramente inseparable.

Extensiones Normales

Definicion: Diremos que una extension finita k → L es normal si L ⊗k L esL-algebra racional.

Caracterizacion de las Extensiones Normales: Si k → L es una extensionfinita, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. L es el cuerpo de descomposicion de algun polinomio con coeficientes en k.

2. Todo compuesto de L consigo mismo es isomorfo a L.

3. L⊗k L es L-algebra racional.

4. Todo polinomio irreducible en k[x] que tenga alguna raız en L tiene todassus raıces en L.

Demostracion: Totalmente analoga a la demostracion de la caracterizacion de lasextensiones de Galois dada en la pagina 362.

Propiedades de las Extensiones Normales: Sea k → L una extension normal.

1. Si k → L′ → L es un cuerpo intermedio, entonces L es una extension normalde L′.

402

2. Si k → E es una extension arbitraria, cualquier compuesto LE es una ex-tension normal de E.

3. Si L′ es una extension normal de k, cualquier compuesto L′L es una exten-sion normal de k.

Demostracion: Totalmente analoga a la demostracion de las propiedades de lasextensiones de Galois dada en la pagina 363.

Teorema I.4.3 Toda extension finita normal k → L de grupo G := Aut(L/k)descompone de modo canonico en producto tensorial de una extension de Galoisde grupo G y una extension puramente inseparable:

L = πk0 (L)⊗k LG .

Demostracion: Pongamos Ls := πk0 (L), Li := LG. La extension Li es racional

sobre L, porque lo es L, y admite un unico morfismo de k-algebras Li → L envirtud de H.2.11. Luego es una extension puramente inseparable de k por I.3.4.

Se sigue que Ls ⊗k Li es una k-algebra local y, como es reducida porque Ls esseparable, tenemos que es un cuerpo. Luego el morfismo natural Ls ⊗k Li → Les inyectivo. Es epiyectivo porque el orden de G coincide con [L : LG] = [L : Li]segun el teorema de Artin, y coincide con [Ls : k] = [Ls ⊗k Li : Li] por I.3.4.Luego L = Ls ⊗k Li.

Se sigue que el morfismo de restriccion G → Aut(Ls/k) es inyectivo y, alcoincidir el orden de G con [Ls : k], concluimos que Ls es una extension de Galoisde grupo G.

Apendice J

Extensiones Algebraicas yTrascendentes

J.1 Cierre Algebraico

Teorema J.1.1 Sea k un cuerpo. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Todo polinomio no constante p(x) ∈ k[x] tiene todas sus raıces en k.

2. Todo polinomio no constante p(x) ∈ k[x] tiene alguna raız en k.

3. Todo polinomio irreducible q(x) ∈ k[x] es de grado 1.

4. Toda extension algebraica de k es trivial (i.e., de grado 1).

Demostracion: (1 ⇒ 2) es evidente.(2 ⇒ 3) Por la regla de Ruffini, si un polinomio irreducible en k[x] tiene una

raız en k, su grado ha de ser 1.(3 ⇒ 4) Sea α un elemento de una extension algebraica K de k. Por hipotesis

su polinomio irreducible pα(x) sobre k tiene grado 1. Ahora bien, un polinomiode grado 1 solo puede tener una raız en K y, si sus coeficientes estan en k, tieneuna raız en k. Luego α ∈ k y concluimos que el morfismo estructural k → K esun isomorfismo.

(4 ⇒ 1) Por el teorema de Kronecker, p(x) tiene todas sus raıces en algunaextension finita K de k. Toda extension finita es algebraica, luego, por hipotesis,K = k y concluimos que p(x) tiene todas sus raıces en k.

Definicion: Diremos que un cuerpo es algebraicamente cerrado cuando satis-face las condiciones equivalentes del teorema anterior. Diremos que una extensionk de un cuerpo k es un cierre algebraico de k si es una extension algebraica y kes un cuerpo algebraicamente cerrado.

403

404

Ejemplos:

1. Por el teorema de D’Alembert (1717-1783) el cuerpo de los numeros comple-jos es algebraicamente cerrado y, al ser una extension finita de los numerosreales, se sigue que C es un cierre algebraico de R.

2. Los numeros complejos algebraicos sobre Q forman, de acuerdo con 4.4.6,una extension algebraica Q de Q y, por 4.4.7, el cuerpo Q es algebraicamentecerrado. Luego Q es un cierre algebraico de Q.

El grado de Q sobre Q es infinito, porque contiene extensiones de gradoarbitrariamente grande como, por ejemplo, Q( n

√2 ).

3. Ningun cuerpo algebraicamente cerrado puede ser finito. Para demostrarloconsideremos un cuerpo finito Fq con q elementos. El grupo multiplicativode sus elementos no nulos tiene orden q − 1, ası que todo a ∈ Fq no nuloes raız de xq−1 − 1 . Se sigue que todos los elementos de Fq son raıces delpolinomio xq − x ; luego xq − x − 1 no tiene raıces en Fq y concluimos queFq no es algebraicamente cerrado.

Teorema de Existencia: Todo cuerpo admite un cierre algebraico.

Demostracion: Sea k un cuerpo. Segun el teorema de Kronecker, cada polinomioirreducible p(x) con coeficientes en k tiene todas sus raıces en alguna extensionfinita Kp de k. Para cada familia finita p1, . . . , pr de polinomios irreducibles concoeficientes en k consideraremos la k-algebra finita Kp1 ⊗k · · · ⊗k Kpr . Cuandop1, . . . , pr ⊆ q1, . . . , qs, el morfismo natural

Kp1 ⊗k · · · ⊗k Kpr −→ Kq1 ⊗k · · · ⊗k Kqs

es inyectivo y nos permite identificar Kp1 ⊗k · · · ⊗k Kpr con una subalgebra deKq1 ⊗k · · · ⊗k Kqs , identificacion que haremos en lo sucesivo sin mas indicacion.Consideremos ahora la k-algebra

A =⋃

p1,...,prKp1 ⊗k · · · ⊗k Kpr

y el cuerpo residual k = A/m de un ideal maximal m de A. Por construcciontenemos morfismos de k-algebras Kp → A → k, ası que cada polinomio irreduciblep(x) con coeficientes en k tiene todas sus raıces en k. Ademas, k esta generadocomo k-algebra por las clases de restos de los elementos 1⊗ · · · ⊗ λi⊗ · · · ⊗ 1 ∈ A,que son algebraicos sobre k; luego k es una extension algebraica de k.

Para concluir que k es un cierre algebraico de k bastara ver que toda extensionalgebraica K de k es trivial. Si α ∈ K, por 4.4.7 tenemos que α es algebraico sobrek; luego es raız de algun polinomio irreducible pα(x) con coeficientes en k. Comopα(x) tiene todas sus raıces en k, se sigue que α ∈ k y concluimos que k = K.

405

Teorema J.1.2 Sea k un cierre algebraico de un cuerpo k. Toda extension alge-braica K de k puede sumergirse en k; es decir, existe algun morfismo (necesaria-mente inyectivo) de k-algebras K → k.

Demostracion: Consideremos el cuerpo residual Kk = (K ⊗k k)/m de algun idealmaximal m de K ⊗k k, y los morfismos naturales k → Kk, K → Kk. Todoelemento de Kk proviene de algun elemento

∑i αi ⊗ βi, αi ∈ K, βi ∈ k, ası que

Kk es una extension de k generada por los elementos de K, que son algebraicossobre k y, por tanto, sobre k. Luego Kk es una extension algebraica de k yconcluimos que el morfismo natural k → Kk es un isomorfismo de k-algebras, demodo que el morfismo natural K → Kk define un morfismo K → k.

Teorema de Unicidad: El cierre algebraico de un cuerpo k es unico salvo iso-morfismos (no canonicos) de k-algebras.

Demostracion: Sean k y k′ dos cierres algebraicos de k. De acuerdo con el teore-ma anterior, existe un morfismo de k-algebras k′ → k; luego k es una extensionalgebraica de k′ y concluimos que k′ → k es un isomorfismo porque el cuerpo k′

es algebraicamente cerrado.

J.2 Extensiones Trascendentes

Definicion: Sea Σ una extension de un cuerpo k. Diremos que unos elemen-tos α1, . . . , αn ∈ Σ son algebraicamente independientes sobre k cuando elcorrespondiente morfismo de k-algebras k[x1, . . . , xn] → Σ, xi 7→ αi, sea inyectivo;es decir, cuando cualquier relacion algebraica

∑i1...in

ai1...inαi11 . . . αin

n = 0

con coeficientes en k tenga todos sus coeficientes nulos. En particular los elementosα1, . . . , αn son trascendentes sobre k. Diremos que α1, . . . , αn forman una basede trascendencia de Σ sobre k cuando sean algebraicamente independientes yΣ sea una extension algebraica de k(α1, . . . , αn); es decir, si son algebraicamenteindependientes sobre k y no pueden ampliarse con ningun elemento de Σ de modoque sigan siendo algebraicamente independientes sobre k.

Teorema J.2.1 Sea Σ una extension de un cuerpo k generada por un numerofinito de elementos. Existen bases de trascendencia de Σ sobre k y todas tienen elmismo numero de elementos, llamado grado de trascendencia de Σ sobre k.

Demostracion: Sea Σ = k(α1, . . . , αr). Reordenando los generadores si fuera pre-ciso, podemos suponer que α1, . . . , αn son algebraicamente independientes sobre ky que α1, . . . , αn, αi son algebraicamente dependientes para todo n+1 ≤ i ≤ r, de

406

modo que αi es algebraico sobre k(α1, . . . , αn). Por 4.4.6, k(α1, . . . , αn, . . . , αr) =Σ es una extension algebraica de k(α1, . . . , αn) y concluimos que α1, . . . , αn esuna base de trascendencia de Σ sobre k.

Por otra parte, si β1, . . . , βm es otra base de trascendencia de Σ sobre k,probaremos por induccion sobre i que, reordenandola si fuera preciso, Σ es unaextension algebraica de k(α1, . . . , αi, βi+1, . . . , βm). Cuando i = 0 es cierto, pues Σes una extension algebraica de k(β1, . . . , βm). Si i ≥ 1, por hipotesis de induccionαi es algebraico sobre k(α1, . . . , αi−1, βi, . . . , βm), ası que α1, . . . , αi, βi, . . . , βm

son algebraicamente dependientes sobre k. Como α1, . . . , αi son algebraicamenteindependientes, reordenando βi, . . . , βm podemos suponer que βi es algebraico so-bre k(α1, . . . , αi, βi+1, . . . , βm). Por hipotesis de induccion Σ es algebraico sobrek(α1, . . . , αi, βi, . . . , βm) y concluimos que Σ tambien es algebraico sobre el cuerpok(α1, . . . , αi, βi+1, . . . , βm). Ahora, si m fuera menor que n, tendrıamos que Σ esalgebraico sobre k(α1, . . . , αm), contra la hipotesis de que α1, . . . , αm, αm+1 sonalgebraicamente independientes. Luego m ≥ n. Por igual razon n ≥ m y n = m.

Ejemplos:

1. Sea k un cuerpo. El cuerpo k(x1, . . . , xn) de las funciones racionales enel espacio afın An,k tiene grado de trascendencia n porque las funcionesx1, . . . , xn forman claramente una base de trascendencia sobre k.

2. Sea p(x1, . . . , xn) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo k.Si el grado de p en xn es ≥ 1, entonces el cuerpo k(ξ1, . . . , ξn) de las funcionesracionales sobre la hipersuperficie p(x1, . . . , xn) = 0 tiene grado de trascen-dencia n− 1 sobre k, porque una base de trascendencia es ξ1, . . . , ξn−1.

3. Sean X, Y variedades algebraicas ıntegras sobre un cuerpo k y sean ΣX ,ΣY sus respectivos cuerpos de funciones racionales. Si φ : Y → X es unmorfismo que transforma el punto generico de Y en el punto generico de X(lo que equivale a que tenga imagen densa), entonces induce un morfismo dek-algebras ΣX → ΣY . Diremos que φ es un morfismo de grado n cuandoΣY sea una extension finita de grado n de ΣX . Los morfismos de grado 1se llaman morfismos birracionales . Diremos que X e Y son birracional-mente equivalentes si sus cuerpos de funciones racionales son extensionesde k isomorfas: ΣX ' ΣY . Las variedades algebraicas birracionalmenteequivalentes a un espacio afın se llaman racionales. Es decir, una variedadalgebraica sobre k es racional si su cuerpo de funciones racionales es isomorfoa un cuerpo de fracciones racionales k(x1, . . . , xn) con coeficientes en k.

4. Sea C la cubica plana y2 = x2 + x3. El haz de rectas y = tx define unmorfismo birracional A1 → C, x = t2 − 1, y = t3 − t.

5. Sea C la cubica plana y2 = x3. El haz de rectas y = tx define un morfismobirracional A1 → C, x = t2, y = t3.

Apendice K

Grupo de Brauer

En este apendice estudiamos las algebras finitas, eventualmente no conmutativas,sobre un cuerpo conmutativo k. La analogıa con el caso conmutativo es notable. Siconvenimos en llamar triviales a las algebras Mn(k) de matrices cuadradas de ordenn con coeficientes en k, entonces las algebras de Azumaya son las algebras trivialessobre alguna extension (K.2.3). Si k → L es una extension finita de Galois degrupo G, el teorema de Galois (1811-1832) afirma que las k-algebras conmutativastriviales sobre L estan clasificadas por las acciones de G en los conjuntos finitos,pues tales acciones se corresponden con las operaciones de G en las L-algebrastriviales Ln compatibles con su accion en L. Analogamente el teorema centralK.3.3 afirma que las k-algebras no conmutativas triviales sobre L estan clasificadaspor las acciones de G en los L-espacios proyectivos de dimension finita, pues talesacciones se corresponden con las operaciones de G en las L-algebras triviales Mn(L)compatibles con la accion natural de G en L. Por eso siempre he considerado estapresentacion de Ma Teresa Sancho de Salas de la teorıa del grupo de Brauer (1901-1977) como un excelente complemento de la teorıa de Galois. De ella la aprendı y,entre todas la lecciones del programa que en 1983 presente para optar a la catedrade Algebra, la elegı como leccion magistral. Mi agradecimiento por su generosidadconmigo hace veinte anos, y por permitirme exponer aquı su desarrollo de estabella teorıa.

En este apendice los anillos tendran unidad y seran eventualmente no conmu-tativos. Salvo mencion expresa, siempre supondremos que todos los modulos eideales lo son por la izquierda. Diremos que un ideal a de un anillo A es bilaterocuando AaA ⊆ a. Ademas, k sera un cuerpo conmutativo, y llamaremos k-algebraa todo morfismo de anillos k → A tal que las imagenes de los elementos de k con-muten con todos los elementos de A. Diremos que una k-algebra es finita cuandolo sea su dimension como k-espacio vectorial.

407

408

K.1 Algebras Simples

Definicion: El centro de un anillo A es el subanillo Z(A) formada por los ele-mentos que conmutan con todos los elementos de A:

Z(A) := a ∈ A : xa = ax , ∀x ∈ A .

Diremos que un anillo A 6= 0 es de division cuando todo elemento no nulo seainvertible, y diremos que una k-algebra A es central cuando k = Z(A).

El anillo inverso de un anillo A es el anillo Ao que se obtiene al modificar elproducto de A del siguiente modo: a ∗ b := ba, donde ∗ denota el producto de Ao.Cada elemento a ∈ Ao define un morfismo de A-modulos Ra : A → A, Ra(x) = xa,y es sencillo comprobar que ası se obtiene un isomorfismo de anillos

Ao = EndA(A) .

Definicion: Diremos que un A-modulo E es simple cuando el unico submodulono nulo sea E. Diremos que un anillo A es simple cuando, como A-modulo, seaisomorfo a una suma directa iterada de un modulo simple: A ' E ⊕ . . .⊕ E.

Diremos que un A-modulo M es fiel cuando su anulador, el ideal bilateroa ∈ A : aM = 0, sea nulo.

Ejemplo (algebras de cuaterniones): Sean a, b ∈ k no nulos y consideremosla k-algebra A generada por dos elementos i, j con las relaciones

i2 = a , j2 = b , ij = −ji

que es una k-algebra finita de dimension 4, porque una base es 1, i, j, ij, y esdirecto comprobar que el centro de A es k. Si z = x0 + x1i + x2j + x3ij, dondexi ∈ k, pondremos z := x0 − x1i− x2j − x3ij, y se define su norma como

N(z) := zz = x20 − ax2

1 − bx22 − abx2

3

Si el ındice de esta forma cuadratica es nulo (es decir, si el 0 es el unico elementode norma nula) entonces A es un algebra de division, pues a−1 = a/N(a).

Cuando k = R, es sencillo comprobar que, salvo isomorfismos, con este pro-cedimiento solo se obtiene un algebra de division central, que es el algebra decuaterniones, y corresponde al caso a = b = −1.

Cuando k = Q, obtenemos infinitas algebras de division centrales no isomorfasentre sı (considerense los numeros racionales que admiten raız cuadrada en A).

Ejemplo (algebras de matrices): Si E es un espacio vectorial de dimensionfinita n sobre un anillo de division D, entonces A := EndD(E) ' Mn(Do) esun anillo simple y D = EndA(E), donde λ ∈ D se identifica con la homoteciahλ(e) = λe de razon λ. Ademas el centro de D es el centro de EndD(E).

409

En primer lugar observemos que E es claramente un A-modulo simple, y que laeleccion de una base (e1, . . . , en) de E permite definir un isomorfismo de A-modulospor la izquierda

EndD(E) ∼−−→ E⊕ n. . . ⊕E , T 7→ (Te1, . . . , T en) ,

ası que el anillo EndD(E) es simple. Ademas, como E ' Dn, tenemos que

A ' HomD(Dn, Dn) =⊕ij

HomD(D, D) = Mn(Do)

donde cada matriz (aij) opera en Dn segun la ley (aij)(bi) =(∑

j bjaij

). Notese

que la trasposicion define un isomorfismo de anillos Mn(D)o ' Mn(Do). Enparticular, cuando k es un cuerpo conmutativo, tenemos que Mn(k)o = Mn(k).

Si f : E → E es un morfismo de A-modulos, entonces⊕f : A = ⊕E → ⊕E = A,es un morfismo de A-modulos; luego es multiplicar por la derecha por cierta matriz(aij) ∈ A = Mn(Do). La condicion de que respete las columnas nulas significa quetal matriz es diagonal, y la de que sea el mismo morfismo en todos los sumandosafirma que todos los elementos de la diagonal son un mismo λ ∈ Do. Luegof(e) = λe, y concluimos que D = EndA(E).

Por ultimo, si T ∈ EndD(E) esta en el centro, para cada vector no nulo e ∈ Eelegimos una aplicacion lineal T que solo deje fijos los vectores del subespacio ke.La condicion T (Te) = T (T e) = Te muestra que todos los subespacios vectorialesde dimension 1 son invariantes por T , y el siguiente lema afirma que T es unahomotecia hλ (y, al ser k-lineal, su razon λ ha de estar en el centro de D):

Lema K.1.1 Sea E un k-espacio vectorial de dimension mayor que 1. Si unmorfismo de grupos S : E → E deja invariantes todos los subespacios vectorialesde dimension 1, entonces S es una homotecia: S = hλ para algun λ ∈ k.

Demostracion: (No usaremos que el cuerpo k es conmutativo). Si e ∈ E no esnulo, por hipotesis existe λe ∈ k tal que S(e) = λee. Si dos vectores no nulose, v ∈ E son linealmente independientes, entonces

λe+v = S(e + v) = S(e) + S(v) = λee + λvv

y concluimos que λe = λv. Si son linealmente dependientes, podemos elegir w ∈ Eque sea independiente de e y v, porque dim E > 1. Luego λe = λw = λv.

Lema de Schur (1875-1941): Si M y N son A-modulos simples, todo morfismode A-modulos no nulo f : M → N es un isomorfismo. En particular, EndA(M)es un anillo de division.

Demostracion: Si f no es nulo, entonces Ker f 6= M y Im f 6= 0. Luego Ker f = 0y Im f = N porque M y N son simples.

410

Lema K.1.2 Sea A un anillo simple. Salvo isomorfismos, existe un unico modulosimple E y todo A-modulo de tipo finito descompone en suma directa de submodulosisomorfos a E.

Demostracion: Por definicion, existe un A-modulo simple E y A ' ⊕E. Luego,si M es un A-modulo de tipo finito, existe un epimorfismo f : E ⊕ . . .⊕ E → M .Podemos suponer que f(Ei+1) no esta contenido en f(E1⊕ . . .⊕Ei), de modo queal ser f(Ei+1) ' E simple, tenemos f(E1 ⊕ . . .⊕ Ei) ∩ f(Ei+1) = 0 y concluimosque f es un isomorfismo. Cuando M es simple, se concluye que M ' E.

Teorema K.1.3 Todo anillo simple A es un anillo de matrices con coeficientesen un anillo de division. De hecho, si E es un A-modulo simple y ponemos D :=EndA(E), entonces

A = Mn(Do) .

Demostracion: Por definicion A ' En, ası que

Ao = HomA(A,A) ' HomA(En, En) =⊕ij

HomA(E, E) = Mn(D)

y concluimos que A ' Mn(D)o = Mn(Do) es un anillo de matrices, y D =EndA(E) es un anillo de division por el lema de Schur.

Corolario K.1.4 Sea A un anillo simple. Si E es un A-modulo simple y ponemosD := EndA(E), entonces A = EndD(E) .

Demostracion: A = Mn(Do) = EndD(Dn) = EndD(E) porque Dn es un A =Mn(Do)-modulo simple y todos los A-modulos simples son isomorfos: Dn ' E.

Corolario K.1.5 Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Si A es una k-algebrafinita simple, entonces A = Mn(k) para algun n ≥ 1.

Demostracion: Sea D una k-algebra finita de division. Si α ∈ D, entonces k[α]es una k-algebra finita conmutativa ıntegra; luego es una extension finita de k yk[α] = k. Es decir, D = k.

Corolario K.1.6 Sea A una k-algebra finita. Si existe un A-modulo simple y fielE, entonces A es simple, y por tanto A = EndD(E), donde D := EndA(E).

Demostracion: El morfismo de k-algebras A → Endk(E) que define E es inyectivo,porque E es un modulo fiel. Ahora bien, tenemos Endk(E) = E ⊕ . . . ⊕ E comomodulos sobre Endk(E) y, por tanto, tambien como A-modulos. Luego A es unsubmodulo de Em y, al ser E un A-modulo simple, es sencillo concluir que A ' En.

Corolario K.1.7 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra finitaA sea simple es que todo ideal bilatero de A sea trivial.

411

Demostracion: Sea I un ideal bilatero de un anillo simple A, y sea E un A-modulo simple. Como el ideal I es bilatero, anula a A/I. Por K.1.2, tenemosA/I ' E ⊕ . . .⊕E; luego I anula a E, ası que tambien anula a A ' E ⊕ . . .⊕E,y concluimos que I = 0.

Recıprocamente, si A es una k-algebra finita, cualquier ideal mınimo no nulo Ide A es un A-modulo simple. Como el nucleo del morfismo natural A → Endk(I)es un ideal bilatero, si estos son triviales tenemos que I es un A-modulo simplefiel, y K.1.6 permite concluir que A es simple.

Definicion: Sea E un k-espacio vectorial. Diremos que un morfismo de gruposS : E → E es una aplicacion semilineal si existe un automorfismo de anillosg : k → k tal que S(λe) = g(λ)S(e) para todo λ ∈ k, e ∈ E. Cuando S 6= 0, talautomorfismo g es claramente unico, y se dice que S y g estan asociados. Lasaplicaciones lineales son las aplicaciones semilineales asociadas a la identidad.

Cada automorfismo semilineal S : E → E induce un automorfismo de anillosEndk(E) → Endk(E), T 7→ STS−1, que en el centro kId coincide precisamentecon el automorfismo asociado a S.

Definicion: Sea Pm = P(E) un espacio proyectivo de dimension m := dim E − 1sobre el cuerpo k. Llamaremos proyectividades a las proyectivizaciones de losautomorfismos k-lineales T : E → E y llamaremos colineaciones a las proyec-tivizaciones de los automorfismos semilineales S : E → E. El grupo de todas lasproyectividades de Pm se denota PGLm+1n(k), y el de las colineaciones PSm+1(k).

Diremos que dos colineaciones son proyectivamente equivalentes si son conju-gadas respecto de alguna proyectividad.

Teorema de Skolem-Noether(1887-1963 y 1882-1935): Sea E un k-espaciovectorial de dimension finita n > 1. Todo automorfismo del anillo Endk(E) estaasociado a algun automorfismo semilineal de E, y el grupo de los automorfismosdel anillo Endk(E) es el grupo de las colineaciones PSn(k).

En particular todo automorfismo de la k-algebra Endk(E) es interno, y el grupode los automorfismos de k-algebras de Endk(E) es el grupo de las proyectividadesPGLn(k).

Demostracion: Sea A := Endk(E). Cada automorfismo de anillos τ : : A → Adefine en E una nueva estructura de A-modulo, T ∗e := (τT )(e), que denotaremosE∗. Como E y E∗ son A-modulos simples, de K.1.2 se sigue la existencia de unisomorfismo de A-modulos S : E

∼−→ E∗. Es decir, S es morfismo de grupos yS(Te) = T ∗ S(e) = (τT )(Se), o lo que es lo mismo, τ(T ) = STS−1.

Veamos que S es semilineal. Como el centro de A coincide con kId, al ser kconmutativo, τ induce un automorfismo g : k → k tal que hg(λ) = τ(hλ) = ShλS−1.Es decir, hg(λ)S = Shλ, lo que significa que S es semilineal y g es el automorfismo

412

asociado. (Ademas esto prueba que τ es isomorfismo de k-algebras precisamentecuando S es k-lineal).

Por ultimo, si una transformacion S induce la identidad en Endk(E), entoncesST = TS para todo T ∈ Endk(E). Eligiendo T de modo que el subespacio devectores fijos tenga dimension 1 vemos que S deja invariantes tales subespacios;luego S induce la identidad en P(E). Recıprocamente, si la proyectivizacion deS es la identidad, K.1.1 afirma que S = hλ, ası que S induce el automorfismoidentidad en Endk(E).

Teorema de Wedderburn (1882-1948): Sea A un anillo simple. Si E es un A-modulo simple, entonces el funtor covariante P (M) := HomA(E, M) establece unaequivalencia entre la categorıa de A-modulos de tipo finito y la categorıa de espaciosvectoriales de dimension finita sobre el algebra de division K := EndA(E)o.

Demostracion: La estructura natural de E como modulo por la izquierda sobreD := End(E) define en E una estructura de modulo por la derecha sobre K = Do.El funtor inverso es P (V ) := E ⊗K V , donde la estructura de A-modulo se definea partir de la estructura de A-modulo del primer factor. Ambos funtores P, Pconservan sumas directas finitas, ası que para demostrar que las transformacionesnaturales

E ⊗K HomA(E,M) −→ M , e⊗ f 7→ f(e)V −→ HomA(E, E ⊗K V ) , v 7→ fv donde fv(e) = e⊗ v

son isomorfismos podemos reducirnos, en virtud de K.1.2, a los casos M = E yV = D, que son inmediatos.

Nota: De hecho los funtores P y P establecen una equivalencia de la categorıade A-modulos arbitrarios con la de K-espacios vectoriales, pues ambos funtoresconservan sumas directas arbitrarias (P porque E es un A-modulo monogeno alser simple), y todo A-modulo M es suma directa de modulos simples. En efecto,en virtud de K.1.2 M es suma de submodulos simples (M =

∑i Ei donde Ei ' E)

y, usando el Lema de Zorn, puede obtenerse que M es suma directa de submodulossimples: M ' ⊕E.

K.2 Algebras de Azumaya

Definicion: Las k-algebras finitas centrales y simples reciben el nombre de k-algebras de Azumaya (n. 1920).

Si A es una k-algebra, cada par a, b ∈ A define un endomorfismo k-linealx 7→ axb de A, obteniendo ası un morfismo canonico de k-algebras fA, que defineen A una estructura de A⊗k Ao-modulo:

fA : A⊗k Ao −→ Endk(A) , fA(a⊗ b)(x) = axb

413

Caracterizacion de las Algebras de Azumaya: La condicion necesaria ysuficiente para que una k-algebra finita A sea de Azumaya es que fA sea un iso-morfismo.

Demostracion: Los ideales bilateros de A son precisamente los A⊗kAo-submodulosde A y tenemos que

Z(A) = EndA⊗kAo(A) ⊆ EndA(A) = Ao

Por tanto, A es un algebra simple cuando lo sea como A⊗k Ao-modulo, y es centralcuando k = EndA⊗kAo(A). Como A siempre es un Endk(A)-modulo simple, sesigue que A es un algebra simple cuando fA es un isomorfismo. Mas aun, en estecaso tenemos que

Z(A) = EndA⊗kAo(A) = Z(Endk(A)) = k .

Recıprocamente, si A es una k-algebra de Azumaya y B = Im fA, entonces Aes un B-modulo simple y fiel. De acuerdo con K.1.6, se sigue que B = EndD(A)donde D = EndA⊗kAo(A) = Z(A) = k. Luego B = Endk(A) y fA es epiyectivo.Como ambas algebras tienen igual dimension sobre k, concluimos que fA es unisomorfismo.

Corolario K.2.1 Sea k → L una extension. La condicion necesaria y suficientepara que una k-algebra A sea de Azumaya es que lo sea la L-algebra AL = A⊗k L.

Demostracion: fAL = fA ⊗ 1.

Corolario K.2.2 Si A y B son k-algebras de Azumaya, tambien lo es A⊗k B.

Demostracion: fA⊗kB = fA ⊗ fB .

Corolario K.2.3 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra Asea de Azumaya es que exista alguna extension k → L tal que AL sea un algebrade matrices sobre L; es decir, AL = Mn(L).

Demostracion: Si A es una k-algebra de Azumaya y k es el cierre algebraico dek, entonces Ak = Mn(k) en virtud de K.2.1 y K.1.5. Recıprocamente, si AL esun algebra de matrices, entonces es una L-algebra de Azumaya y K.2.1 permiteconcluir que A es una k-algebra de Azumaya.

Corolario K.2.4 La dimension de cualquier algebra de Azumaya es un cuadradoperfecto.

414

Neutralizacion de Algebras de Azumaya

Vamos a probar que para cada k-algebra de Azumaya A existe alguna extensionfinita de Galois k → L tal que AL es un algebra de matrices sobre L (en cuyo casodiremos que A esta neutralizada por L). Este resultado se basa en la siguientecaracterizacion de las algebras de matrices:

Definicion: Si A es una k-algebra de Azumaya de dimension n2, llamaremossubalgebras diagonales de A a las subalgebras conmutativas triviales de grado n.

Teorema K.2.5 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra deAzumaya A sea un algebra de matrices es que contenga alguna subalgebra diagonal.

Demostracion: Si A = Mn(k), entonces las matrices diagonales forman unasubalgebra conmutativa trivial de grado n.

Recıprocamente, si B es una subalgebra diagonal de un algebra de AzumayaA, para cada ideal maximal mi de B tenemos que el A-modulo Ei := A⊗B (B/mi)define un morfismo A → Endk(Ei), que es inyectivo porque A es simple. Luegon2 = dim A ≤ (dim Ei)2. Ademas, al ser B = ⊕i(B/mi), tenemos que

A = A⊗B B = E1 ⊕ . . .⊕ En

de modo que n2 = dim E1 + . . . + dim En, ası que n = dim Ei y A = Endk(Ei).

Proposicion K.2.6 Toda k-algebra de Azumaya de dimension n2 contiene algunasubalgebra conmutativa separable de grado n.

Demostracion: Si a ∈ A, la subalgebra k[a] ' k[x]/(pa(x)) es separable y de gradon si y solo si el polinomio anulador pa(x) es separable y de grado n.

Si k es un cierre algebraico de k, tenemos que Ak = Mn(k) por K.1.5. Como elpolinomio anulador de a⊗ 1 tambien es pa(x), basta probar que podemos elegir ade modo que el polinomio caracterıstico de a⊗1 no tenga raıces multiples, porqueen tal caso el polinomio caracterıstico coincide con el anulador. Ahora bien, eldiscriminante del polinomio caracterıstico de a ⊗ 1 es una funcion polinomicasobre el k-espacio vectorial A, y este polinomio no es nulo porque no se anula enAk = Mn(k). Si el cuerpo k es infinito, podemos concluir que tal polinomio no seanula en algun elemento a ∈ A, de modo que pa(x) es separable y de grado n.

Si el cuerpo k es finito, entonces es perfecto y, en virtud de K.1.3, basta probarque, cuando A es de division, contiene un subcuerpo conmutativo de grado n.Sea L un subcuerpo conmutativo de A y sea d su grado sobre k, de modo queLk = ⊕k = k[T ] donde el polinomio anulador del endomorfismo T es separable yde grado d. En particular d ≤ n. Se comprueba sin dificultad que el conmutadorde Lk en Ak (la subalgebra formada por los elementos de Ak que conmutan contodos los elementos de Lk) tiene dimension mayor que d cuando d < n. Por tanto,si d < n, podemos elegir a ∈ A tal que L[a] sea conmutativo y estrictamente mayorque L. Se concluye la existencia de un subcuerpo de A de grado n.

415

Teorema K.2.7 Toda algebra de Azumaya A esta neutralizada por alguna exten-sion finita de Galois.

Demostracion: Sea n2 = dimkA y sea B una subalgebra conmutativa separablede grado n. Si L es la envolvente de Galois de B, entonces BL = ⊕L es unasubalgebra diagonal de AL y K.2.5 permite concluir que AL = Mn(L).

K.3 Construccion de las Algebras de Azumaya

Sea k → L una extension finita de Galois de grupo G. Vamos a exponer un metodopara construir todas las k-algebras de Azumaya neutralizadas por L.

Definicion: Sea E un L-espacio vectorial. Dar una operacion de G en E esdar un morfismo de grupos ρ : G → Autk(E) tal que ρ(g) sea una transformacionsemilineal de automorfismo g. Es decir, las operaciones de G en E son las seccionesdel morfismo de grupos G′ → G, donde G′ denota el grupo de los automorfismossemilineales de E asociados a elementos de G (y que por tanto son k-lineales).Diremos que dos operaciones de G en sendos L-espacios vectoriales son equivalentessi existe algun isomorfismo L-lineal que conmute con las respectivas operacionesde G.

Si en esta definicion los morfismos k-lineales y L-lineales se sustituyen pormorfismos de k-algebras y L-algebras, se obtiene la definicion de operacion de G enuna L-algebra A y de equivalencia de tales operaciones. Es decir, las operaciones deG en una L-algebra A son las secciones del morfismo de grupos G′ → G, donde G′

denota el grupo de los automorfismos de anillo semilineales asociados a elementosde G (y que por tanto son morfismos de k-algebras).

Sea L[G] el L-espacio vectorial de base G dotado del producto (λg)(µs) :=λg(µ)gs, donde λ, µ ∈ L y g, s ∈ G, de modo que L[g] es una L-algebra finita ycada operacion de G en un L-espacio vectorial E define en E una estructura deL[G]-modulo: (∑

i λigi

):=

∑i λi(gi · e)

Recıprocamente, cada L[G]-modulo M esta definido por una unica operacionde G en el L-espacio vectorial M . Ademas dos operaciones son equivalentes pre-cisamente cuando los correspondientes L[G]-modulos son isomorfos.

Lema K.3.1 L[G] = Endk(L) y, por tanto, es una k-algebra simple central.

Demostracion: La operacion natural de G en L define un morfismo de k-algebrasL[G] → Endk(L) que es L-lineal. Este morfismo es inyectivo en virtud de G.3.4 y,al tener ambos terminos igual dimension, es un isomorfismo.

416

Corolario K.3.2 Si G opera en un L-espacio vectorial de dimension finita E,entonces el morfismo natural EG ⊗k L → E es un isomorfismo.

Demostracion: Es obvio que L es un L[G]-modulo simple, ası que K.1.2 permitereducirse al caso E = L, que es consecuencia directa de la igualdad LG = k.

Teorema de Construccion: Sea k → L una extension finita de Galois de grupoG. Salvo isomorfismos, las k-algebras de Azumaya de dimension n2 neutralizadapor L son las algebras de invariantes de las operaciones de G en la L-algebraMn(L). Ademas dos operaciones de G en Mn(L) son equivalentes precisamentecuando sus algebras de invariantes son k-algebras isomorfas.

Demostracion: Sea A una k-algebra de Azumaya de dimension n2 neutralizadapor L. Si consideramos la operacion de G en AL ' Mn(L) inducida por su accionnatural sobre el segundo factor de AL, tenemos

Mn(L)G = (A⊗k L)G = A⊗k (LG) = A

porque LG = k. Es obvio que esta operacion de G en Mn(L) depende del iso-morfismo de L-algebras AL ' Mn(L) elegido, ası que esta bien definida salvoequivalencia.

Las operaciones de G en Mn(L) que define la k-algebra Mn(k) se llaman tri-viales y son las operaciones equivalentes a la que define la accion natural de G enlos coeficientes de las matrices.

Recıprocamente, si G opera en la L-algebra Mn(L) y A := Mn(L)G, entoncesel morfismo de L-algebras AL → Mn(L) es un isomorfismo por K.3.2. Luego,segun K.2.1, A es una k-algebra de Azumaya de dimension n2 neutralizada por L.Mas aun, es claro que este isomorfismo AL → Mn(L) conmuta con las respectivasoperaciones de G, ası que la operacion considerada es la que define A. Esto permiteconcluir la demostracion del teorema, pues operaciones equivalentes claramentetienen algebras de invariantes isomorfas.

Definicion: Dar una geometrıa (en el sentido de Klein) de grupo G en un es-pacio proyectivo Pm sobre L es dar un morfismo de grupos ρ : G → PSm+1(L) talque cada automorfismo g ∈ G este asociado a la colineacion ρ(g). Es decir, sonlas secciones del morfismo natural PSm+1(L) → Aut(L) definidas sobre G. Dire-mos que dos geometrıas son proyectivamente equivalentes cuando sean subgruposconjugados respecto de alguna proyectividad.

Teorema K.3.3 Sea k → L una extension finita de Galois de grupo G y sea Pm

un espacio proyectivo de dimension m sobre L. Las geometrıas de grupo G en Pm,salvo equivalencia proyectiva, se corresponden canonicamente con las k-algebrasde Azumaya de dimension (m + 1)2 neutralizadas por L, salvo isomorfismos.

417

Demostracion: Sea n = m + 1. Por el teorema de construccion, las k-algebras deAzumaya de dimension n2 neutralizadas por L, salvo isomorfismos, se correspon-den con las secciones, salvo equivalencia, del morfismo G′ → G, donde G′ denotael grupo de los automorfismos de anillo semilineales Mn(L) → Mn(L) asociados aelementos de G. Ahora bien, por el teorema de Skolem-Noether, todos los auto-morfismos del anillo Mn(L) son semilineales y se corresponden canonicamente conlas colineaciones de Pm. Es decir, las operaciones de G en Mn(L) se correspondencon las geometrıas de grupo G en Pm. Ademas, el teorema de Skolem-Noethertambien muestra que la equivalencia de operaciones se corresponde con la equiva-lencia proyectiva de geometrıas.

Ejemplo K.3.4 La extension R→ C es de Galois y su grupo es G = 1, g dondeg denota la conjugacion compleja. Como el cuerpo C es algebraicamente cerrado,todas las R-algebras de Azumaya estan neutralizadas por C. Para construir todaslas R-algebras de Azumaya de dimension 4 basta determinar (salvo equivalenciaproyectiva) las involuciones de automorfismo g de la recta proyectiva compleja.Dos de tales involuciones son

x0 = x0

x1 = x1,

x0 = −x1

x1 = x0

La primera involucion define una operacion de G en M2(C) tal que la subalgebrade invariantes es M2(R). La operacion que define la segunda involucion es

g

(a bc d

)=

(d −c−b a

)

y en este caso la subalgebra de invariantes es

H =(

a b−b a

), a, b ∈ C

Una base de H sobre R es

1 =(

1 00 1

), i =

(i 00 −i

), j =

(0 1−1 0

), ij =

(0 ii 0

)

y se tiene que i2 = j2 = −1, ij = −ji. Luego H es el algebra de los cuaterniones.

Definicion: Diremos que una colineacion es cıclica si su orden es finito y coincidecon el de su automorfismo asociado.

Cuando la extension de Galois k → L es cıclica, K.3.3 reduce la construccionde las k-algebras de Azumaya neutralizadas por L a la clasificacion proyectiva delas colineaciones cıclicas cuyo automorfismo asociado sea un generador dado delgrupo de Galois.

418

Sea d el orden del grupo de Galois y sea g un generador. Si τ es una colineacioncıclica de automorfismo τ y orden d, y elegimos una transformacion semilineal Tque represente a τ , entonces T d = λ para algun λ ∈ L∗. Como λT = T dT =TT d = Tλ, se sigue que g(λ) = λ. Luego λ ∈ k∗ y lo denotaremos inv(T ). No esun invariante de τ porque depende del representante elegido:

inv(µT ) = (µT )d = µ(gµ) . . . (gd−1µ)T d = N(µ)inv(T )

Ası que la clase de inv(T ) modulo el subgrupo de normas N(L∗) es un invariantede τ , bien definido en k∗/N(L)∗.

Teorema K.3.5 (Clasificacion de Colineaciones Cıclicas) La condicion ne-cesaria y suficiente para que dos colineaciones cıclicas con igual automorfismoasociado sean proyectivamente equivalentes, es que tengan el mismo invariante.

Demostracion: Sea E un L-espacio vectorial de dimension finita y sean τ, τ ′ doscolineaciones cıclicas en P(E) con el mismo automorfismo asociado g. Si T, T ′

son representantes semilineales de τ y τ ′ respectivamente, entonces τ y τ ′ sonproyectivamente equivalentes si y solo si T ′ es equivalente a µT para algun µ ∈ L.Luego basta probar que T y T ′ son equivalentes cuando inv(T ) = inv(T ′).

Sea Lg[x] el anillo de polinomios con coeficientes en L, donde el producto sedefine por la condicion xλ = g(λ)x. Las transformaciones semilineales T : E →E de automorfismo g tales que T d = λ se corresponden con las estructuras deLg[x]/(xd − λ)-modulo en E: xe = T (e). Ademas dos de tales transformacionessemilineales son equivalentes precisamente cuando los correspondientes modulosson isomorfos. Luego basta probar que, salvo isomorfismos, solo puede existir unaestructura de Lg[x]/(xd − λ)-modulo en E, cuando d es el orden de g. En virtudde K.1.2 es suficiente ver que Lg[x]/(xd − λ) es simple.

Sea k = LG y sea k un cierre algebraico de k. Entonces A = L ⊗k k es unak-algebra trivial de grado d y la accion natural de g sobre A (vıa su accion sobreel primer factor) es g(a1, . . . , ad) = (ad, a1, . . .). Si µ ∈ k es una raız d-esima de λ,entonces µg es un endomorfismo k-lineal de A y define un morfismo de k-algebras

(Lg[x]/(xd − λ))⊗k k = Ag[x]/(xd − λ) −→ Endk(A)

porque (µg)d = λ. Es sencillo comprobar que es un isomorfismo, y K.2.1 permiteconcluir que Lg[x]/(xd − λ) es simple.

Ejemplo K.3.6 Los invariantes de las involuciones consideradas en el ejemploK.3.4 son 1 y -1 respectivamente. Como las normas de los numeros complejos nonulos son los numeros reales positivos, tenemos R∗/N(∗) = ±1. Luego M2(R) yel algebra H de los cuaterniones son las unicas R-algebras de Azumaya de dimen-sion 4.

419

Ahora bien, toda subalgebra conmutativa de un algebra de division es unaextension finita. Como C es la unica extension finita no trivial de R, de K.2.6 sesigue que toda R-algebra de division central no trivial tiene dimension 4, ası que elalgebra de los cuaterniones H es la unica R-algebra de division central no trivial:Las unicas -algebras finitas de division son R, C y H (Teorema de Frobenius).

En virtud de K.1.3 podemos concluir que las R-algebras de Azumaya son lasalgebras Mn(R) y Mn(H).

Ejemplo K.3.7 Si Fq es un cuerpo finito, toda extension finita Fq → Fqd es cıclicay un generador del grupo de Galois es el automorfismo de Frobenius F (x) = xq.Luego la norma es

N(x) = xF (x)F 2(x) . . . F d−1(x) = xxqxq2. . . xqd−1

= x1+q+q2+...+qd−1= x

qd−1q−1

y el numero de elementos de norma 1, i.e. de soluciones de la ecuacion xqd−1q−1 = 1,

es ≤ qd−1q−1 . Se sigue que la norma N : F∗qd → F∗q es epiyectiva y concluimos que

todo algebra de Azumaya sobre un cuerpo finito Fq es un algebra de matricesMn(Fq). En particular, todo anillo de division finito es conmutativo (Teorema deWedderburn).

Ejemplo K.3.8 Con las notaciones de K.3.5, el invariante de la colineacion cıclica

x0 = λxd , x1 = x0 , . . . , xd = xd−1

donde x := g(x), es precisamente λ ∈ k∗/N(L∗). En consecuencia, las k-algebrasde Azumaya de dimension d2 neutralizadas por L se corresponden biunıvocamentecon k∗/N(L∗); pero tal correspondencia depende del generador g del grupo deGalois elegido. La operacion de G en Md(L) definida por g y λ ∈ k∗/N(L∗) es

g

a11 . . . a1d

. . . . . . . . .ad1 . . . add

=

add λad1 . . . λadm

a− 1d/λ a11 . . . a1m

. . . . . . . . . . . .amd/λ am1 . . . amm

donde m = d − 1. El algebra de invariantes es la k-algebra de Azumaya dedimension d2 correspondiente a g y λ.

Nota: El Teorema de Skolem-Noether admite la siguiente generalizacion en lasalgebras de Azumaya:

Si B y B′ son subalgebras simples de una k-algebra de Azumaya A, entoncescualquier isomorfismo de k-algebras B → B′ esta inducido por un automorfismointerno de A. En particular todo automorfismo de k-algebras de A es interno.

En efecto, sean f, g : B → A dos morfismos inyectivos de k-algebras.

420

Si A = Endk(E) para algun k-espacio vectorial E, entonces E adquiere dosestructuras de B-modulo que son isomorfas en virtud de K.1.2, pues ambas tienenigual dimension sobre k. Luego existe T ∈ Autk(E) ⊂ A tal que T · f(b) = g(b) ·Tpara todo b ∈ B, lo que permite concluir en este caso.

Si A no es un algebra de matrices, el funtor ⊗kAo nos reduce al caso anterior:

f ⊗ 1, g ⊗ 1: B ⊗k Ao ∼−−→ A⊗k Ao = Endk(A)

de modo que existe T ∈ Autk(A) tal que T (f(b)⊗ a)T−1 = g(b)⊗ a. Ahora bien,T es un isomorfismo de B ⊗k Ao-modulos, ası que T esta en EndAo(A) = A yconcluimos la demostracion.

K.4 Ideales de las Algebras de Azumaya

Vamos a determinar los ideales de un algebra de Azumaya en terminos de sugeometrıa finita. Primero calcularemos los ideales de las algebras de matrices:

Lema K.4.1 Sea E un k-espacio vectorial de dimension finita. Si V es un sub-espacio vectorial de E, entonces Homk(E/V,E) = T ∈ Endk(E) : V ⊆ KerT esun ideal por la izquierda de Endk(E), y Homk(E, V ) = T ∈ Endk(E) : ImT ⊆ V es un ideal por la derecha. Ası se obtienen todos los ideales de Endk(E).

Demostracion: Si T : E → E es un endomorfismo tal que Im T ⊆ V , entoncesIm TS ⊆ V para todo endomorfismo S : E → E, ası que Homk(E, V ) es un idealpor la derecha de Endk(E). Recıprocamente, como todo ideal por la derecha essuma directa de ideales minimales por la derecha, basta probar que tales idealesminimales son de la forma Homk(E, V1) para algun subespacio vectorial V1 dedimension 1. Esto se debe a que el ideal por la derecha generado por un endomor-fismo T es precisamente Homk(E, Im T ).

La demostracion para ideales por la izquierda es similar.

K.4.2 Sea k → L una extension finita de Galois de grupo G y sea E un L-espacio vectorial de dimension n. Consideremos una operacion de G en la L-algebra EndL(E) y la correspondiente accion (K.3.3) de G en el espacio proyectivoP(E), de modo que A = EndL(E)G es una k-algebra de Azumaya de dimensionn2 neutralizada por L.

Lema K.4.3 Existe una correspondencia biunıvoca, que invierte inclusiones, en-tre los ideales por la izquierda de A y las subvariedades lineales G-invariantesde P(E). El ideal correspondiente a la subvariedad lineal invariante P(V ) esHomL(E/V, E)G.

421

Demostracion: Si P(V ) es una subvariedad lineal G-invariante, entonces el idealHomL(E/V, E) de EndL(E) es invariante por la accion de G, y HomL(E/V, E)G

es un ideal de A.Recıprocamente, si I es un ideal de A, entonces IL es un ideal G-invariante

de AL = EndL(E). De acuerdo con K.4.1 tenemos que IL = HomL(E/V,E) paraalgun subespacio vectorial V ⊆ E, y P(V ) es G-invariante porque HomL(E/V, E)lo es. Ademas HomL(E/V, E)G = (IL)G = I. q.e.d.

Analogamente se prueba que el retıculo de subvariedades lineales G-invariantesde P(E) es isomorfo al retıculo de ideales por la derecha de A, donde el idealcorrespondiente a P(V ) es precisamente HomL(E, V )G.

Corolario K.4.4 Los retıculos de ideales por la izquierda y por la derecha de Ason duales. A cada ideal por la izquierda le corresponde su anulador por la derecha,y a cada ideal por la derecha le corresponde su anulador por la izquierda.

Corolario K.4.5 Las subvariedades lineales de P(E) generadas por alguna orbitade la accion de G se corresponden con los ideales maximales por la izquierda de A(y con los ideales no nulos minimales por la derecha).

Corolario K.4.6 A es un algebra de division precisamente cuando P(E) es launica subvariedad lineal no vacıa invariante.

Corolario K.4.7 Si I, J son los ideales por la izquierda y derecha de A corre-spondientes a una subvariedad lineal G-invariante P(V ) y n2 = dimk A, entoncesdimk I = n(n− dimk V ) y dimk J = n(dimk V ) .

Demostracion: En efecto, tenemos que dimk I = dimL IL = dimL HomL(E/V, E)y que dimk J = dimL JL = dimL HomL(E, V ).

Corolario K.4.8 La condicion necesaria y suficiente para que A sea un algebrade matrices sobre k es que en P(E) exista algun punto invariante (resp. algunhiperplano invariante).

Demostracion: Este corolario es consecuencia directa del anterior y de la siguientecaracterizacion de las algebras de matrices:

Lema K.4.9 La condicion necesaria y suficiente para que una k-algebra simplede dimension n2 sea Mn(k) es que tenga algun ideal por la izquierda (resp. por laderecha) de dimension n.

Demostracion: La necesidad de la condicion se sigue de K.4.1. Recıprocamente,si I ⊂ A es un ideal por la izquierda de dimension n, su estructura de A-modulodefine un morfismo de k-algebras A → Endk(I) que, por ser A simple, es inyectivo.Como ambas k-algebras tienen igual dimension, concluimos que es un isomorfismo.

422

Si J ⊂ A es un ideal por la derecha de dimension n, el morfismo de k-algebrasAo → Endk(J) es un isomorfismo, de modo que A es un algebra de matrices.

K.5 El Grupo de Brauer

Toda k-algebra de Azumaya es, segun K.1.3, un algebra de matrices sobre una k-algebra de division bien definida salvo isomorfismos. Diremos que dos k-algebrasde Azumaya son equivalentes si sus correspondientes algebras de division sonisomorfas. Es claro que en cada clase de equivalencia hay, salvo isomorfismos, unaunica algebra de division, y que solo puede haber un algebra de dimension dada.La clase de equivalencia de una k-algebra de Azumaya A se denotara [A].

Sean A,A′ dos k-algebras de Azumaya, que seran algebras de matrices sobresendas algebras de division D,D′. Si D⊗k D′ es un algebra de matrices sobre D′′,tambien lo es A ⊗k A′. Luego la clase [A ⊗k A′] esta bien determinada por lasclases [A] y [A′], lo que nos permite definir una operacion

[A] · [A′] = [A⊗k A′]

en el conjunto Br(k) de las clases de equivalencia de k-algebras de Azumaya,conjunto que coincide con el de k-algebras finitas centrales de division (salvo iso-morfismos). Este producto es claramente asociativo, conmutativo y 1 = [k] es unelemento neutro. Ademas el teorema de caracterizacion de las algebras de Azu-maya afirma que [A] · [Ao] = 1. Luego este producto define una estructura degrupo abeliano en Br(k), llamado grupo de Brauer (1901-1977) de k.

Cada extension k → L induce una aplicacion Br(k) → Br(L), [A] 7→ [AL], quees morfismo de grupos porque (A ⊗k A′)L = (AL) ⊗L (A′L). El nucleo de estemorfismo se denota Br(L/k) y es el subgrupo de Br(k) formado por las clases delas k-algebras de Azumaya neutralizadas por L. De acuerdo con K.2.7, el grupoBr(k) es la union de los subgrupos Br(L/k) cuando L recorre las extensiones finitasde Galois de k, ası que para determinar el grupo de Brauer Br(k) basta calcularBr(L/k) cuando k → L es una extension finita de Galois.

Ejemplos: La construccion de las algebras de cuaterniones muestra que el grupode Brauer del cuerpo de los numeros racionales es infinito.

Cuando el cuerpo k es algebraicamente cerrado, K.1.3 afirma que Br(k) = 1.Cuando la extension de Galois k → L es cıclica, K.3.8 y la clasificacion de

colineaciones cıclicas prueban que Br(L/k) = k∗/N(L∗).K.3.6 afirma que Br(R) = Z/2Z.Cuando el cuerpo k es finito, K.3.7 afirma que Br(k) = 1.

Apendice L

Morfismos Finitos

L.1 Dependencia Entera

Definicion: Sea A → B un morfismo de anillos. Diremos que un elemento b ∈ Bes entero sobre A si verifica alguna relacion

bn + a1bn−1 + . . . + an−1b + an = 0 , ai ∈ A

(notese que el coeficiente de bn es la unidad) y diremos que B es entero sobreA, o que A → B es un morfismo entero cuando todos los elementos de B seanenteros sobre A.

Recuerdese que se dice que un morfismo de anillos A → B es finito si laestructura de A-modulo que define en B es de tipo finito: B = Ab1 + . . . + Abn .En tal caso todo B-modulo de tipo finito M = Bm1 + . . .+Bmr es, por restriccionde escalares, un A-modulo de tipo finito:

M =∑

j(∑

i Abi)mj =∑

ij Abimj

Caracterizacion de los Elementos Enteros: Sea A → B un morfismo deanillos. Si b ∈ B, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. b es entero sobre A.2. A[ b ] es un A-modulo de tipo finito.3. b pertenece a una subalgebra C de B que es A-modulo de tipo finito.

Demostracion: (1 ⇒ 2) Si b es entero sobre A, alguna potencia es combinacionlineal de las anteriores, bn = −a1b

n−1− . . .− an−1b− an, ai ∈ A, de modo que lassucesivas potencias bn+j tambien son combinaciones lineales de 1, b, . . . , bn−1 concoeficientes en A y concluimos que

A[ b ] = A + Ab + . . . + Abn−1

423

424

(2 ⇒ 3) Es evidente, pues A[b] es una subalgebra de B y b ∈ A[b].

(3 ⇒ 1) Sea C = Ae1 + . . . + Aen. Por hipotesis b ∈ C y C es una subalgebra,ası que bei =

∑nj=1 aijej para ciertos aij ∈ A :

0 =n∑

j=1

(δijb− aij)ej , 1 ≤ i ≤ n

donde δii = 1 y δij = 0 cuando i 6= j. Multiplicando por la izquierda por la matrizadjunta de (δijb−aij) se sigue que el determinante |δijb−aij | anula a cada ei; luegoanula a C y concluimos que es nulo porque 1 ∈ C. Desarrollando el determinanteobtenemos una relacion de dependencia entera bn +

∑ni=1 aib

n−i = 0, ai ∈ A.

Corolario L.1.1 Si b1, . . . , bn ∈ B son enteros sobre A, entonces A[b1, . . . , bn] esun A-modulo de tipo finito.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre n. Si n = 1, se sigue directamentede la caracterizacion anterior. Si n > 1, por hipotesis de induccion A[b1, . . . , bn−1]es un A-modulo de tipo finito. Ahora bien, como bn es entero sobre A, tambien esentero sobre A[b1, . . . , bn−1], luego A[b1, . . . , bn] es A[b1, . . . , bn−1]-modulo de tipofinito y concluimos que A[b1, . . . , bn] es A-modulo de tipo finito.

Corolario L.1.2 Los elementos de B enteros sobre A forman una subanillo, lla-mado cierre entero de A en B.

Demostracion: Si b1, b2 ∈ B son enteros sobre A, entonces A[b1, b2] es un A-modulode tipo finito y se sigue que todos sus elementos son enteros sobre A. En particularb1 + b2 y b1b2 son enteros sobre A.

Corolario L.1.3 La dependencia entera es estable por cambios de base: Si B esentero sobre A, entonces B ⊗A C es entero sobre C para toda A-algebra C.

Demostracion: La C-algebra B⊗A C esta generada por los elementos b⊗1, b ∈ B,que son enteros sobre C. En efecto, si bn +a1b

n−1 + . . .+an = 0, ai ∈ A, entonces

(b⊗1)n + (a1⊗1)(b⊗1)n−1 + . . . + (an⊗1) = (bn + a1bn−1 + . . . + an)⊗1 = 0

y se sigue que b ⊗ 1 es entero sobre A ⊗A C = C. El corolario anterior permiteconcluir que B ⊗A C es entero sobre C.

Corolario L.1.4 Sean A → B → C morfismos de anillos. Si B es entero sobreA, entonces todo elemento de C entero sobre B tambien es entero sobre A.

En particular, si C es entero sobre B y B es entero sobre A, entonces C esentero sobre A.

425

Demostracion: Si un elemento c ∈ C es entero sobre B, satisface alguna relacionde dependencia entera cn + b1c

n−1 + . . . + bn, bi ∈ B. Luego c es entero sobreB′ = A[b1, . . . , bn] y, por tanto, B′[c] es un B′-modulo de tipo finito. Por L.1.1, B′

es un A-modulo de tipo finito, y se sigue que B′[c] es un A-modulo de tipo finito;luego c es entero sobre A.

Ejemplos:

1. Sea K una extension de un cuerpo k. Los elementos de K enteros sobrek son precisamente los elementos algebraicos sobre k. Es decir, el cierreentero de k en K es el cierre algebraico de k en K. Por tanto, si K es unaextension algebraica de k, de L.1.3 se sigue que K[x1, . . . , xn] es entero sobrek[x1, . . . , xn]. En particular k[x1, . . . , xn] es entero sobre k[x1, . . . , xn].

2. Los numeros complejos enteros sobre Z se llaman enteros algebraicos sinmas y, por definicion, son las raıces de los polinomios unitarios con coe-ficientes en Z. Cada numero algebraico α ∈ C es raız de un unico poli-nomio irreducible unitario pα(x) con coeficientes racionales y, segun 5.4.2,la condicion necesaria y suficiente para que α sea entero es que pα(x) tengacoeficientes en Z. Ası,

√2 es entero, porque es raız del polinomio x2 − 2;

pero√

2/2 no es entero, pues su polinomio irreducible x2 − 1/2 no tienecoeficientes en Z.

3. Sea C la curva plana de ecuacion p(x, y) = 0 y consideremos la proyeccionπ : C → A1, π(x, y) = x, en la direccion de las rectas verticales x = c.Vamos a ver que π es un morfismo finito precisamente cuando la curva carecede asıntotas verticales (es decir, rectas tangentes a la curva en el puntox = 0, z = 0 que no sean la recta del infinito z = 0).

Sea k[ξ, η] el anillo de funciones algebraicas de C. Segun la caracterizacionde los elementos enteros, la condicion necesaria y suficiente para que π sea unmorfismo finito es que η sea entero sobre k[ξ]. Ahora bien, cualquier relacionde dependencia entera de η sobre k[ξ] ha de venir dada por un multiplode p(x, y), ası que tal condicion equivale a que, considerando p(x, y) comopolinomio en y :

p(x, y) = p0(x)yn + p1(x)yn−1 + . . . + pn(x) , p0(x) 6= 0

el coeficiente p0(x) sea constante. Homogeneizando con una indeterminadaz, para obtener la ecuacion proyectiva de la curva, y deshomogeneizandorespecto de y para estudiar sus tangentes en el punto (0, 1, 0), tal condicionexpresa que la ecuacion de la curva sea de la forma

0 = zd−n + (terminos de grado mayor que d− n)

426

donde d es el grado de p(x, y); es decir, que la curva no pase por el punto(0, 1, 0) o, si pasa (cuando d > n), que la unica recta tangente en tal puntosea la recta z = 0 ; es decir, que no tenga asıntotas verticales. Analogamentese prueba que la proyeccion π : C → A1, π(x, y) = ax+ by, en la direccion delas rectas ax + by = c, es un morfismo finito si y solo si C no tiene asıntotasen tal direccion.

4. Sea C la curva plana y2 = x3. La parametrizacion x = t2, y = t3, defineun morfismo finito A1 → C, porque t satisface la relacion de dependenciaentera t2 − x = 0 sobre O(C).

5. Si C es la curva y2 = x2 +x3, la parametrizacion x = t2−1, y = t3−t, defineun morfismo finito A1 → C, porque t satisface la relacion de dependenciaentera t2 − (1 + x) = 0 sobre O(C).

6. Sea B un anillo entero sobre otro anillo A. Si b es un ideal de B, entoncesB/b es entero sobre A, pues para obtener una relacion de dependencia enterade [b] ∈ B/b basta reducir modulo b cualquier relacion de dependencia enterade b sobre el anillo A.

7. Segun L.1.1, si un morfismo A → B es de tipo finito, B = A[b1, . . . , bn], lacondicion de ser entero equivale a la de ser finito.

L.2 Teorema del Ascenso

Lema L.2.1 Sea A → B un morfismo entero e inyectivo entre anillos ıntegros.La condicion necesaria y suficiente para que B sea cuerpo es que A sea cuerpo.

Demostracion: Supongamos que B es un cuerpo. Si a ∈ A no es nulo, su imagenen B no es nula; luego a es invertible en B y a−1 es entero sobre A:

a−n + a1a−n+1 + . . . + an−1a

−1 + an = 0 , ai ∈ A

Multiplicando por an−1 obtenemos que a−1 ∈ A. Luego A es un cuerpo.Recıprocamente, si A es cuerpo, el cuerpo de fracciones K de B es una extension

algebraica de A. Luego toda subalgebra de K (en particular B) es cuerpo.

Corolario L.2.2 Sea φ : Spec B → Spec A la aplicacion continua inducida por unmorfismo de anillos A → B y sea y ∈ Spec B . Si B es entero sobre A, entonces

y es un punto cerrado de Spec B ⇔ φ(y) es un punto cerrado de Spec A

Demostracion: Sea q el ideal primo de y, y p = q ∩ A el ideal primo de φ(y), demodo que A/p → B/q es un morfismo entero e inyectivo entre anillos ıntegros. Ellema anterior permite concluir que q es un ideal maximal de B si y solo si p es unideal maximal de A.

427

Corolario L.2.3 Sea φ : Spec B → Spec A la aplicacion continua inducida por unmorfismo de anillos A → B . Si B es entero sobre A, entonces las fibras de φtienen dimension 0. Si ademas el morfismo A → B es finito, entonces las fibrasde φ son finitas y discretas.

Demostracion: Sea x ∈ Spec A. La formula de la fibra afirma que

φ−1(x) = Spec (Bx/pxBx) = Spec(B ⊗A κ(x)

)

donde κ(x) es el cuerpo residual de x. Si B es entero sobre A, entonces B⊗A κ(x)es entero sobre κ(x) por L.1.3, y el corolario anterior afirma que todos los puntosde Spec B⊗A κ(x) son cerrados, ası que su dimension es 0. Si, ademas, B es finitosobre A, entonces B ⊗A κ(x) es una κ(x)-algebra finita, ası que su espectro esfinito y discreto.

Corolario L.2.4 Sea φ : Spec B → Spec A la aplicacion continua inducida por unmorfismo de anillos A → B . Si B es entero sobre A, entonces

dim By ≤ dim Aφ(y)

para todo punto y ∈ Spec B. En particular, dim B ≤ dim A .

Demostracion: Sea y0 > . . . > yn = y una cadena de especializaciones en Spec B.Como φ es una aplicacion continua, φ(yi) esta en el cierre de φ(yi−1). Si se dieraalguna coincidencia φ(yi−1) = φ(yi), la fibra de φ(yi) tendrıa dimension ≥ 1, encontra de L.2.3. Luego dim By ≤ dim Aφ(y).

Teorema del Ascenso: Sea j : A → B un morfismo de anillos y sea a su nucleo.Si B es entero sobre A, la aplicacion continua φ : SpecB → Spec A inducida porj es cerrada y su imagen son los ceros de a.

Demostracion: Veamos primero que si un morfismo A → B es inyectivo y entero,entonces la aplicacion inducida φ : Spec B → Spec A es epiyectiva. En tal caso,sea x ∈ Spec A y consideremos el siguiente cuadrado conmutativo:

Spec Bxφ−→ Spec Ax

↓ ↓Spec B

φ−→ Spec A

El morfismo Ax → Bx es inyectivo; luego Bx 6= 0 y su espectro tiene algunpunto cerrado y. Por L.1.3, Bx es entero sobre Ax, ası que L.2.2 permite obtenerque φ(y) es un punto cerrado de Spec Ax . Luego x = φ(y), porque x es el unicopunto cerrado de Spec Ax, y concluimos que φ : Spec B → Spec A es epiyectiva.

428

Demostremos ahora el caso general. Sea b un ideal de B. Bastara probar queφ((b)0) = (b ∩A)0 . Consideremos el siguiente cuadrado conmutativo:

(b)0 = Spec B/bφ−→ Spec A/(b ∩A) = (b ∩A)0

↓ ↓Spec B

φ−→ Spec A

Como el morfismo natural A/(b∩A) → B/b es inyectivo y entero, la aplicacionSpec B/b → Spec A/(b ∩ A) es epiyectiva y concluimos que φ((b)0) = (b ∩ A)0 .Luego φ : Spec B → Spec A es cerrada y

φ(Spec B) = φ((0)0) = (0 ∩A)0 = (a)0

Corolario L.2.5 En las hipotesis del teorema del ascenso, si x = φ(y) y x′ es unaespecializacion de x, entonces existe una especializacion y′ de y tal que x′ = φ(y′).

Demostracion: x = φ(y) ⊆ φ( y )

porque la aplicacion φ es cerrada.

Corolario L.2.6 Si un morfismo entero A → B es inyectivo, entonces la apli-cacion inducida φ : Spec B → Spec A es epiyectiva y dim A = dim B .

Demostracion: Sea x0 > x1 > . . . > xn una cadena de especializaciones en Spec A.Como el nucleo del morfismo A → B es nulo por hipotesis, el teorema del ascensoafirma que φ es epiyectiva, ası que x0 = φ(y0) para algun y0 ∈ Spec B.

Aplicando ahora L.2.5 obtenemos especializaciones y0 > y1 > . . . > yn enSpec B tales que φ(yi) = xi, 0 ≤ i ≤ n. Luego dim B ≥ dim A y, por L.2.4,concluimos que dim A = dim B .

Nota: Si el morfismo A → B es finito, los resultados de esta seccion se obtienendirectamente de la formula de la fibra φ−1(x) = Spec B ⊗A κ(x):

Las fibras de φ son de dimension 0 porque B⊗A κ(x) es una κ(x)-algebra finita(8.3.3 o G.1.4). Ademas, si j : A → B es inyectivo, tenemos que Bx 6= 0 porquejx : Ax → Bx es inyectivo. Al ser Bx un Ax-modulo de tipo finito, pxBx 6= Bx

por el lema de Nakayama; luego la fibra φ−1(x) = Spec (Bx/pxBx) no es vacıa yconcluimos que la aplicacion φ : Spec B → Spec A es epiyectiva.

Ejemplos:

1. Sea U un abierto basico de una variedad algebraica afın X. Si U no escerrado, la inclusion U → X no es un morfismo finito, aunque sus fibras sonobviamente finitas, porque viola la tesis del Teorema del ascenso.

2. Sea C la curva plana compleja x = y2 y sea U el abierto complementariodel punto (1, 1) en C. La proyeccion π : U → A1 , π(x, y) = x, no es unmorfismo finito: si O(U) fuera finito sobre C[x], serıa finito sobre O(C); peroel morfismo U → C no es finito. No obstante, la proyeccion π : U → A1 escerrada, epiyectiva y sus fibras son finitas y discretas; incluso es abierta.

429

L.3 Lema de Normalizacion

Lema de Normalizacion de Noether (1882-1935): Sea A un algebra de tipofinito sobre un cuerpo k. Existen elementos x1, . . . , xd ∈ A algebraicamente inde-pendientes sobre k tales que A es finita sobre k[x1, . . . , xd].

Demostracion: Sea A = k[ξ1 . . . , ξn]. Procedemos por induccion sobre n. Si n = 0,entonces A = k y no hay nada que probar.

Sea n ≥ 1. Si ξ1, . . . , ξn son algebraicamente independientes sobre k, entoncesA es finita sobre k[ξ1 . . . , ξn] = A. En caso contrario, verificaran alguna relacionde dependencia algebraica, que escribimos en orden lexicografico decreciente:

aξr11 ξr2

2 · · · ξrnn + . . . , a 6= 0

Sean ξ′i = ξi − ξdin , 1 ≤ i ≤ n− 1, donde d1 À d2 À . . . À dn−1. Es claro que

k[ξ1, ξ2, . . . , ξn] = k[ξ′1, . . . ξ′n−1, ξn] y, realizando las sustituciones ξi = ξ′i + ξdi

n enla relacion anterior, obtenemos una relacion algebraica entre ξ′1, . . . , ξ

′n−1, ξn en la

que el termino de mayor grado en ξn es

aξd1r1+...+dn−1rn−1+rnn , a 6= 0

de modo que ξn es entero sobre k[ξ′1, . . . , ξ′n−1]. Luego A = k[ξ′1, . . . , ξ

′n−1, ξn] es

finita sobre la subalgebra k[ξ′1, . . . , ξ′n−1]. Por hipotesis de induccion existen ele-

mentos x1, . . . , xd ∈ k[ξ′1, . . . , ξ′n−1] algebraicamente independientes sobre k tales

que k[ξ′1, . . . , ξ′n−1] es finita sobre k[x1, . . . , xd]. Concluimos que A = k[ξ1, . . . , ξn]

es finita sobre k[x1, . . . , xd] .

Nota: Cuando k es infinito, la demostracion se simplifica tomando ξ′i = ξi−λiξn,donde λi ∈ k. Es decir, la proyeccion finita X → Ad es una proyeccion linealgenerica.

Corolario L.3.1 La dimension de An,k es n: dim k[x1, . . . , xn] = n.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre n, y ya lo sabemos cuando n ≤ 1.Si 0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pm es una cadena de ideales primos en k[x1, . . . , xn], bastaprobar que m ≤ n, porque claramente existe una cadena de longitud n:

0 ⊂ (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ . . . ⊂ (x1, . . . , xn)

Sea p(x1, . . . , xn) ∈ p1 no nulo, y sea k[ξ1, . . . , ξn] := k[x1, . . . , xn]/(p), de modoque k[ξ1, . . . , ξn] tiene dimension ≥ m− 1. Por el lema de normalizacion existe unmorfismo finito e inyectivo

k[y1, . . . , yd] −→ k[ξ1, . . . , ξn]

donde d < n, porque ξ1, . . . , ξn son algebraicamente dependientes. Por L.2.6tenemos que dim k[ξ1, . . . , ξn] = dim k[y1, . . . , yd] = d; luego m− 1 ≤ d ≤ n− 1.

430

Corolario L.3.2 Toda variedad algebraica afın tiene dimension finita.

Demostracion: dim k[x1, . . . , xn]/a ≤ dim k[x1, . . . , xn] = n.

En vista de estos corolarios y de L.2.6, el lema de normalizacion admite lasiguiente reformulacion geometrica:

Lema de Normalizacion: Toda variedad algebraica afın X admite un morfismofinito y epiyectivo X → Ad sobre un espacio afın de dimension d = dim X.

Corolario L.3.3 Sea A una k-algebra de tipo finito ıntegra y Σ su cuerpo defracciones. La dimension de Krull de A es el grado de trascendencia de Σ.

Demostracion: Por el lema de normalizacion tenemos un morfismo finito inyec-tivo k[x1, . . . , xd] → A, donde d = dim A. Luego Σ es una extension finita dek(x1, . . . , xd), y concluimos que su grado de trascendencia sobre k es d.

Corolario L.3.4 Sea X una variedad algebraica afın sobre un cuerpo k. Si L esuna extension k, entonces

dim X = dim XL

Demostracion: Por el lema de normalizacion tenemos un morfismo finito inyectivok[x1, . . . , xd] → O(X), donde d = dim X. El morfismo

L[x1, . . . , xd] = k[x1, . . . , xd]⊗k L −→ O(X)⊗k L = O(XL)

tambien es finito e inyectivo, y L.2.6 permite concluir que d = dim XL.

Corolario L.3.5 Si X,Y son variedades algebraicas afines sobre un cuerpo k,entonces dim (X ×k Y ) = dim X + dim Y .

Demostracion: Consideremos morfismos finitos inyectivos k[x1, . . . , xd] → O(X) yk[y1, . . . , yn] → O(Y ), donde d = dim X y n = dim Y . El morfismo

k[x1, . . . , xd+n] = k[x1, . . . , xd]⊗k k[y1, . . . , yn] −→ O(X)⊗kO(Y ) = O(X×k Y )

es finito e inyectivo, y L.2.6 permite concluir que d + n = dim (X ×k Y ).

Corolario L.3.6 Toda variedad algebraica afın X de dimension no nula tieneinfinitos puntos cerrados.

Demostracion: El lema de normalizacion proporciona un morfismo finito y epiyec-tivo π : X → Ad, donde 1 ≤ dim X = d. Como Ad = Spec k[x1, . . . , xd] tieneinfinitos puntos cerrados, se concluye al aplicar L.2.2 al morfismo finito π.

431

Teorema de los Ceros de Hilbert (1862-1943)

Teorema de los Ceros: Sea k un cuerpo y m un ideal maximal de una k-algebrafinito-generada A. El cuerpo A/m es una extension finita de k.

Demostracion: Por el lema de normalizacion, existe un morfismo inyectivo finito

k[x1, . . . , xd] −→ A/m

donde d = dim A/m = 0. Luego A/m es una extension finita de k.

Corolario L.3.7 Todo punto cerrado x de una variedad algebraica X sobre uncuerpo algebraicamente cerrado k es racional. En particular, si m es un idealmaximal de C[x1, . . . , xn], entonces existen a1, . . . , an ∈ C tales que

m = (x1 − a1, . . . , xn − an) .

Demostracion: Si k es algebraicamente cerrado, la extension finita k → κ(x) estrivial, k = κ(x), de modo que x es un punto racional de X.

Corolario L.3.8 Toda variedad algebraica afın no vacıa sobre un cuerpo algebrai-camente cerrado tiene algun punto racional.

Demostracion: Si el espectro de un anillo no es vacıo, tiene algun punto cerrado,y se aplica el corolario anterior.

Ejemplo: Si un sistema p1(x1, . . . , xn) = . . . = pr(x1, . . . , xn) = 0 de ecuacionespolinomicas con coeficientes en un cuerpo algebraicamente cerrado k no admitesoluciones en k, entonces k[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) = 0 de acuerdo con L.3.8. Esdecir, existen polinomios q1, . . . , qr ∈ k[x1, . . . , xn] tales que:

1 = q1(x1, . . . , xn)p1(x1, . . . , xn) + . . . + qr(x1, . . . , xn)pr(x1, . . . , xn)

Corolario L.3.9 Si X es una variedad algebraica afın de dimension 0 sobre uncuerpo k, entonces su anillo de funciones algebraicas O(X) es un k-espacio vecto-rial de dimension finita.

Demostracion: Como O(X) es un anillo de longitud finita, basta probar que todoslos O(X)-modulos simples son k-espacios vectoriales de dimension finita. Ahorabien, los O(X)-modulos simples son precisamente los cuerpos residuales de lospuntos de X, que son extensiones finitas de k por el teorema de los ceros.

Corolario L.3.10 Todo morfismo X → Y entre variedades algebraicas afinessobre un cuerpo k transforma puntos cerrados de X en puntos cerrados de Y .

432

Demostracion: Sea m el ideal maximal de O(X) formado por las funciones que seanulan en cierto punto cerrado x de X. La imagen de la composicion

O(Y ) −→ O(X) −→ κ(x)

es un cuerpo, porque κ(x) es una extension finita de k. Luego m∩O(Y ) es un idealmaximal de O(Y ) y concluimos que la imagen de x en Y es un punto cerrado.

Teorema de los Ceros (forma fuerte): Sea A un algebra de tipo finito sobreun cuerpo k. La interseccion de todos los ideales maximales de A coincide con elradical de A (formado por los elementos nilpotentes).

Demostracion: Si f ∈ A se anula en todos los puntos cerrados de X = Spec A,el corolario anterior muestra que la variedad algebraica Uf = X − (f)0 carece depuntos cerrados. Luego Uf es vacıa; ası que f se anula en todos los puntos de Xy concluimos que f es nilpotente.

Corolario L.3.11 Sea X una variedad algebraica afın sobre un cuerpo algebraica-mente cerrado. Si una funcion algebraica se anula en todos los puntos racionalesde X, entonces es nilpotente.

Corolario L.3.12 Sean Y1 e Y2 dos cerrados de una variedad algebraica afın Xsobre un cuerpo algebraicamente cerrado k. La condicion necesaria y suficientepara que Y1 contenga a Y2 es que pase por todos los puntos racionales de Y2.

En particular, cada cerrado de X (y por tanto cada abierto) esta determinadapor sus puntos racionales.

Demostracion: La necesidad de la condicion es obvia. Recıprocamente, si Y1 pasapor todos los puntos racionales de Y2, entonces todas las funciones algebraicasf ∈ O(X) que se anulen en Y1 se anulan en los puntos cerrados de Y2; luego seanulan en Y2 por el teorema de los ceros, y concluimos que Y1 contiene a Y2.

Corolario L.3.13 Si X e Y son variedades algebraicas afines reducidas (resp.conexas, irreducibles, ıntegras) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k, en-tonces X ×k Y tambien es reducida (resp. conexa, irreducible, ıntegra).

Demostracion: (Pedro Sancho) Si X = Spec A e Y = Spec B son reducidas,consideremos una base hi de B como k-espacio vectorial.

Si∑

i fi ⊗ hi ∈ A ⊗k B es nilpotente, entonces en todo punto racional x ∈ Xtenemos que

∑i fi(x)hi ∈ B es nilpotente; luego nula por hipotesis, y obtenemos

que las funciones fi se anulan en todos los puntos racionales de X. Por el teoremade los ceros, las funciones fi son nilpotentes; luego son nulas y concluimos que∑

i fi ⊗ hi = 0.

433

Por otra parte, si X e Y son irreducibles y tenemos X ×k Y = C1 ∪C2, dondeC1 y C2 son cerrados, entonces en el espacio topologico Yr formado por los puntosracionales de Y consideramos los subespacios

Yi = y ∈ Yr : X × y ⊆ Cique son cerrados segun L.3.14 . Como Yr = Y1 ∪ Y2, y Yr es irreducible en virtuddel corolario anterior, se sigue que Yr = Yi para algun ındice i. Luego Ci contienetodos los puntos racionales de X ×k Y y concluimos que Ci = X ×k Y .

Analogamente se prueba que X ×k Y es conexa cuando X e Y lo son. Porultimo, las variedades ıntegras son las variedades irreducibles reducidas.

Lema L.3.14 Si C es un cerrado de X×kY , entonces YC := y ∈ Yr : X×y ⊆ Ces un cerrado de Yr.

Demostracion: Si y ∈ Yr no esta en YC , entonces C no contiene a X× y. Luego Cno pasa por algun punto racional x× y; ası que f(x× y) 6= 0 para alguna funcionf ∈ O(X ×k Y ) que se anula en C. Se sigue la existencia de algun entorno V dey en Y tal que f no se anula en x× V , de modo que V no corta a YC .

L.4 Teorema del Descenso

Teorema de Cohen-Seidenberg (1917-1955 y 1916-1988): Sea A un anilloıntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones Σ y sea Σ′ una extension normalde Σ. Si una subalgebra B de Σ′ es entera sobre A y es estable por el grupoG = AutΣ-alg(Σ′), entonces G actua transitivamente en las fibras de la proyeccionφ : SpecB → Spec A .

Demostracion: Sea G = σ1, . . . , σn. Consideremos dos puntos y, y′ de la fibrade φ sobre un punto x ∈ Spec A . Si y′ 6= σi(y) para todo ındice i, segun 8.6.4existe una funcion f ∈ B que se anula en y′ y no se anula en ninguno de los puntosσi(y), porque la fibra de φ sobre x tiene dimension nula. Sea pf (x) el polinomioirreducible de f sobre Σ. Por hipotesis Σ′ es una extension normal de Σ, ası quepf (x) tiene todas sus raıces en Σ′ y estas son de la forma σi(f) ; en particular sonenteras sobre A. Se sigue que el termino independiente de

pf (x) = xn + c1xn−1 + . . . + cn

que es el producto de todas las raıces cada una contada con su multiplicidad, esentero sobre A; luego cn ∈ A, porque A es ıntegramente cerrado en Σ. Ademas cn

se anula en x = φ(y′) porque es multiplo de f , que se anula en y′. Se sigue quecn =

∏σi(f) se anula en y, porque φ(y) = x . Por tanto, existe σ ∈ G tal que

σ(f) se anula en y, de modo que f se anula en σ(y), lo que contradice la eleccionde la funcion f .

434

Teorema del Descenso: Sea A → B un morfismo inyectivo y finito entre anillosıntegros. Si A es ıntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones Σ, entonces lacorrespondiente proyeccion φ : SpecB → Spec A es abierta.

Demostracion: Sea Σ′ una extension del cuerpo de fracciones de B que sea ex-tension normal de Σ (tal extension existe porque el cuerpo de fracciones de B esuna extension finita de Σ) y sea G = AutΣ-alg(Σ′), que es un grupo finito. SeaB = A[b1, . . . , bn] y sea

B′ = A[σi(bj)] , σi ∈ G , 1 ≤ j ≤ n

Es claro que B′ es estable por la accion de G y que B′ es finito sobre A, porquesus generadores σi(bj) son enteros sobre A y podemos aplicar L.1.1. Consideremoslas aplicaciones continuas

Spec B′ ψ−→ Spec Bφ−→ Spec A

inducidas por los morfismos estructurales A → B y B → B′, y sea U un abierto deSpec B. Por el teorema del ascenso, ψ es epiyectiva, de modo que U = ψ

(ψ−1(U)

)y para concluir que

φ(U) = (φ ψ)(ψ−1(U)

)

es un abierto de Spec A bastara probar que la aplicacion φ ψ es abierta. Enresumen, podemos suponer que B es estable por G. En tal caso, el teorema deCohen-Seidenberg afirma que

Spec A− φ(U) = φ(Spec B − ⋃

σ∈G

σ(U))

Por el teorema del ascenso φ es cerrada, ası que el segundo termino de la igualdadanterior es un cerrado de Spec A y concluimos que φ(U) es un abierto de Spec A.

Corolario L.4.1 En las hipotesis del teorema del descenso, si x′ es una general-izacion de x = φ(y), entonces x′ = φ(y′) para alguna generalizacion y′ de y.

Demostracion: La fibra φ−1(x′) es finita, ası que su cierre Y esta formado porlas especializaciones de sus puntos, y bastara probar que y ∈ Y . Sea U el abiertocomplementario de Y en Spec B. Si y /∈ Y , entonces x ∈ φ(U), mientras que x′

no esta en φ(U). Ahora bien, por el teorema del descenso φ(U) es un abierto deSpec A, lo que contradice la hipotesis de que x esta en el cierre de x′.

Corolario L.4.2 En las hipotesis del teorema del descenso, si x = φ(y), entonces

dim By = dim Ax

435

Demostracion: Si x = x0 < . . . < xn es una cadena de generalizaciones en Spec A,L.4.1 permite obtener una cadena de generalizaciones y = y0 < . . . < yn en Spec Btal que φ(yi) = xi para todo 0 ≤ i ≤ n. Luego dimBy ≥ dim Ax y, de acuerdo conL.2.4, concluimos que dim By = dim Ax .

Corolario L.4.3 Sea X = Spec A una variedad algebraica afın ıntegra sobre uncuerpo. Si x es un punto cerrado de X, entonces dim X = dim Ax.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre d = dim X, pues el enunciado esevidente cuando d = 0.

En el caso general, considerando una proyeccion finita X → Ad sobre un espacioafın, L.2.2 y L.4.2 permiten reducirse al caso A = k[t1, . . . , td] . Sea p(t1, . . . , td)un polinomio no nulo que se anule en el punto x. Descomponiendo p(t1, . . . , td)en factores irreducibles podemos suponer que p(t1, . . . , td) es irreducible. AhoraA/pA es ıntegro y L.3.3 muestra que dimA/pA = d − 1; luego, por hipotesis deinduccion, dim Ax/pAx = d − 1 y obtenemos que d ≤ dim Ax. Como siempre escierta la desigualdad dim Ax ≤ dim A, concluimos que d = dim Ax.

Ejemplo: En el teorema del descenso, la hipotesis de que el anillo A sea ıntegra-mente cerrado en su cuerpo de fracciones Σ no es superflua: Sea C la cubica planay2 = x2 + x3 y sea ψ : A1 → C la parametrizacion x = t2 − 1, y = t3 − t, que esun morfismo finito birracional. La proyeccion finita

φ = ψ × (Id) : A1 × A1 −→ C × A1 , φ(t, u) = (t2 − 1, t3 − t, u)

satisface todas las hipotesis del teorema del descenso (¡incluso es birracional!),excepto la de que O(C ×A1) = k[x, y, z]/(y2 − x2 − x3) sea ıntegramente cerradoen su cuerpo de fracciones, y vamos a ver que la aplicacion φ no es abierta.

Sea y′ = (t, t) el punto generico de la diagonal de A1 × A1 y sea x′ = φ(y′).Como φ es un isomorfismo fuera de la recta x = y = 0, se sigue que y′ es elunico punto de φ−1(x′), porque x′ = (t2 − 1, t3 − t, t) no es un punto de la rectax = y = 0. Luego x′ no esta en φ(U), donde U denota el abierto complementariode la diagonal. Ahora bien, y′ es una generalizacion del punto cerrado y = (1, 1),ası que x′ es una generalizacion del punto x = (0, 0, 1). Como x ∈ φ(U), porquex = φ(−1, 1), concluimos que φ(U) no es un abierto de C × A1.

Lema L.4.4 Sea φ : X → Y un morfismo finito entre variedades algebraicas afinessobre un cuerpo k. Si x0 > x1 > . . . > xn es una cadena irrefinable de especiali-zaciones en X, entonces φ(x0) > φ(x1) > . . . > φ(xn) es una cadena irrefinablede especializaciones en Y .

Demostracion: (Pedro Sancho) Segun L.2.3, no se dan igualdades φ(xi) = φ(xi+1);luego basta probar que las especializaciones φ(xi) > φ(xi+1) son irrefinables.

436

Supongamos que existe en X una especializacion irrefinable x1 > x2 tal quey1 > y2 pueda refinarse en Y (donde φ(xi) = yi): y1 > y > y2. Sea X1 el cierrede x1 en X y sea Y1 el cierre de y1 en Y , de modo que

φ : X1 −→ Y1

es una proyeccion finita entre variedades algebraicas ıntegras. Sea ψ : Y1 → Ad

una proyeccion finita:

..........

..........

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..........

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..........

.......

• •

• •

• •

•

•

x1

x2

y1

y

y2

z1

z

z2

−→ −→φ ψ

Ahora, ψφ : X1 → Ad es una proyeccion finita entre variedades ıntegras. Deacuerdo con el teorema del descenso, se sigue la existencia de una generalizacion xde x2 en X1 = x1 tal que ψφ(x) = z, en contradiccion con el caracter irrefinablede la especializacion x1 > x2.

Definicion: Diremos que un anillo de dimension finita A es catenario si paracada par de ideales primos p ⊂ p′ se verifica que todas las cadenas irrefinablesp = p0 ⊂ p1 . . . ⊂ pn = p′ tienen igual longitud.

Para que un anillo de dimension finita sea catenario, basta que verifique talcondicion cuando p es un ideal primo minimal y p′ es un ideal maximal.

Teorema L.4.5 Las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo son catenarias.

Demostracion: Procedemos por induccion sobre la dimension de la variedad alge-braica, pues es evidente que los anillos de dimension 0 son catenarios.

En el caso general, considerando una proyeccion finita sobre un espacio afın, ellema anterior permite reducirlo al caso del espacio afın Ad. En tal caso, conside-remos una cadena irrefinable de ideales primos de k[t1, . . . , td] :

0 = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pr = m

y un polinomio p(t1, . . . , td) ∈ p1 no nulo. Descomponiendo p en factores irre-ducibles, podemos suponer que p es irreducible. En tal caso (p) es un ideal primo,de modo que p1 = (p) en virtud del caracter irrefinable de la cadena elegida. AhoraL.3.3 muestra que dim k[t1, . . . , td]/p1 = d − 1; luego, por hipotesis de induccion,k[t1, . . . , td]/p1 es un anillo catenario, y L.4.3 permite obtener que r − 1 = d − 1.Concluimos que tales cadenas irrefinables tienen todas longitud r = d.

Apendice M

Morfismos FinitosBirracionales

M.1 Anillos de Valoracion Discreta

Definicion: Sea Σ un cuerpo. Una valoracion discreta (no trivial) de Σ es unaaplicacion epiyectiva v : Σ− 0 → Z tal que

1. v(fg) = v(f) + v(g) .

2. v(f + g) ≥ min(v(f), v(g)

).

A menudo es conveniente extender v a todo Σ poniendo v(0) = +∞, de modoque f ∈ Σ: v(f) ≥ 0 es un anillo, llamado anillo de v.

Diremos que un dominio de integridad O es un anillo de valoracion discretasi es el anillo de alguna valoracion discreta v de su cuerpo de fracciones.

Los elementos invertibles de un anillo de valoracion discreta O son los de valornulo, ası que O es un anillo local y su unico ideal maximal es

m = f ∈ Σ: v(f) > 0 .

Ademas, m = tO justamente cuando v(t) = 1 (existen elementos de valor 1porque v : Σ− 0 → Z es epiyectiva por definicion).

Notese que, para todo f ∈ Σ se tiene que f ∈ O o f−1 ∈ O. Por otra parte, sia es un ideal no nulo de O y n es el mınimo valor de sus elementos, entonces

a = tnO = mn .

En particular, O es un anillo local regular de dimension 1.

437

438

Teorema M.1.1 Sea O un anillo local noetheriano de dimension 1. Las sigu-ientes condiciones son equivalentes:

1. O es regular.

2. O es un anillo de valoracion discreta.

3. O es ıntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones Σ.

Demostracion: (1 ⇒ 2) Sea t un parametro local de O. Si f es un elementono nulo de O, entonces fO = tnO para un unico numero natural n, y definimosv(f) = n. Extendemos v a Σ − 0 poniendo v(f/g) = v(f) − v(g). Es sencillocomprobar que v esta bien definida, que es una valoracion discreta de Σ y que suanillo f ∈ Σ: v(f) ≥ 0 es precisamente O.

(2 ⇒ 3) Sea f ∈ Σ entero sobre O:

fn + a1fn−1 + . . . + an = 0 , ai ∈ O

Si f /∈ O, entonces f−1 ∈ O y f = −a1 + a2f−1 − . . .− anf1−n ∈ O.

(3 ⇒ 1) Sea f un elemento no nulo del unico ideal maximal m de O. Comom es el unico ideal primo no nulo de O, es el radical de fO; ası que tendremosmn 6⊆ fO y mn+1 ⊆ fO para algun exponente n. Sea g ∈ mn tal que g /∈ fO ysea x = g/f , de modo que

xm ⊆ O , x /∈ O

y para concluir que m es un ideal principal bastara ver que xm = O. En casocontrario xm ⊆ m y x define un endomorfismo x· : m → m, ası que ha de satisfacerel correspondiente polinomio caracterıstico. Luego x es entero sobre O, contra lahipotesis de que O es ıntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones.

Ejemplos:

1. Sea p un elemento irreducible de un dominio de ideales principales A. Sia ∈ A, definimos vp(a) = n cuando a = pna′, donde a′ no es multiplo dep, y extendemos vp al cuerpo de fracciones Σ de A definiendo vp(a/b) =vp(a)− vp(b). Es sencillo comprobar que vp es una valoracion discreta de Σ,llamada valoracion p-adica, y que su anillo es Ap.

2. Sea x un punto no-singular de una curva C sobre un cuerpo k. Para cadafuncion racional f ∈ ΣC denotaremos vx(f) el numero de ceros de f en x(que es negativo si f tiene polos en x), obteniendo ası una valoracion discretavx de ΣC . Su anillo coincide con el anillo local OC,x de la curva C en x.

439

3. Sea k un cuerpo. La valoracion discreta v∞ del cuerpo k(t) asociada alpunto u = 0 de la recta afın Spec k[u] , donde u = t−1, recibe el nombrede valoracion del infinito, porque mide “el numero de ceros de una funcionracional p(t)/q(t) en el punto t = ∞”:

v∞

(p(t)q(t)

)= gr q(t)− gr p(t)

4. Por abuso de lenguaje, a veces se dice que la aplicacion v : Σ − 0 → Z,v(f) = 0 para todo f ∈ Σ − 0, es una valoracion discreta de Σ, llamadavaloracion trivial, aunque no responda a nuestra definicion por no serepiyectiva.

M.2 Anillos Normales

Definicion: Diremos que un anillo ıntegro es normal si es ıntegramente cerradoen su cuerpo de fracciones.

Lema M.2.1 Sea A → B un morfismo de anillos y sea C el cierre entero de Aen B. Si S es un sistema multiplicativo de A, entonces S−1C es el cierre enterode S−1A en S−1B.

Demostracion: Sabemos que S−1C es entero sobre S−1A. Por otra parte, sib/s ∈ S−1B es entero sobre S−1A, ha de verificar alguna relacion

(b/s)n + (a1/s1)(b/s)n−1 + . . . + (an/sn) = 0 , ai ∈ A , si ∈ S

Sea t = s1 · · · sn. Multiplicando la relacion anterior por sntn obtenemos unarelacion de dependencia entera de bt sobre A; luego bt ∈ C y b/s = bt/st ∈ S−1C.

Corolario M.2.2 Si A es un anillo ıntegro, las siguientes condiciones son equi-valentes:

1. A es normal.

2. Ax es normal para todo punto cerrado x ∈ Spec A.

Demostracion: Sea A el cierre entero de A en su cuerpo de fracciones. La condicionde que A sea normal equivale a la anulacion del A-modulo A/A, que es una cuestionlocal. De acuerdo con M.2.1, la condicion 0 = (A/A)x = Ax/Ax significa que Ax

es normal.

Corolario M.2.3 Todo anillo normal noetheriano A es regular en codimension1. Es decir, Ax es un anillo local regular cuando dim Ax = 1.

440

Corolario M.2.4 Sea A un anillo ıntegro noetheriano de dimension 1. La condi-cion necesaria y suficiente para que A sea un dominio de Dedekind es que seanormal.

Teorema M.2.5 Sea B un anillo de Dedekind de cuerpo de fracciones Σ. Losanillos de valoracion discreta de Σ que contienen a B son los anillos locales Bx

en los puntos x ∈ Spec B, y B es la interseccion de todos los anillos de valoraciondiscreta que lo contienen:

B =⋂x

Bx

Demostracion: Los anillos locales Bx son anillos de valoracion discreta porque sonnormales y de dimension 1, y obviamente contienen a B.

Recıprocamente, si un anillo de valoracion discreta V de Σ contiene a B, en-tonces mx = mV ∩ B es un ideal maximal de B y Bx ⊆ V. Si no se diera laigualdad Bx = V, al ser Bx un anillo de valoracion discreta, existirıa f ∈ V talque vx(f) < 0; luego f−1 ∈ mx ⊆ mV , en contra de que f ∈ V.

Por ultimo, la igualdad B =⋂

Bx es valida para todo anillo ıntegro. En efecto,la condicion a/b ∈ ⋂

Bx significa que aBx ⊆ bBx para todo x ∈ Spec B, lo queequivale a que aB ⊆ bB de acuerdo con 8.2.7; es decir, a que a/b ∈ B.

M.3 Finitud del Cierre Entero

Teorema de Finitud: Sea A un anillo normal noetheriano y L una extensionfinita separable de su cuerpo de fracciones Σ. El cierre entero B de A en L es unA-modulo de tipo finito.

Demostracion: Como la extension finita Σ → L es separable, la metrica de la trazaT2(α, β) = tr(αβ) tiene radical nulo (I.2.2). Ademas, tr(β) = σ1(β) + . . . + σd(β)donde σ1, . . . , σd : L → L′ son los puntos de L con valores en una extension L′ quela trivialice (I.2.1). Luego, si b ∈ B, entonces tr(b) es entero sobre A, de modo quetr(b) ∈ B ∩ Σ = A.

Por otra parte, todo elemento β ∈ L es algebraico sobre Σ, ası que satisfaceuna ecuacion de la forma

a0βm + a1β

m−1 + . . . + am = 0 , ai ∈ A

Multiplicando esta relacion por am−10 vemos que a0β es entero sobre A. Luego,

dada una base de L sobre Σ, podemos multiplicar sus elementos por elementosconvenientes de A de modo que se obtenga una base b1, . . . , bn formada por ele-mentos de B. Consideremos su base dual b∗1, . . . , b

∗n respecto de la metrica de la

traza, de modo que tr(bi · b∗j ) = δij . Si x ∈ B, entonces las coordenadas de x en

441

la base dual coinciden con los valores de x (entendido como forma lineal sobre Lmediante la metrica de la traza) sobre los vectores de la base:

x =n∑

i=1

tr(x · bi) b∗i

Como xbi ∈ B, se sigue que tr(xbi) ∈ A. Luego B es un submodulo del A-modulo de tipo finito Ab∗1 + . . . + Ab∗n y, al ser A noetheriano, concluimos que Bes un A-modulo de tipo finito.

Teorema M.3.1 Sea k un cuerpo, A una k-algebra de tipo finito ıntegra y Σ sucuerpo de fracciones. El cierre entero de A en cualquier extension finita L de Σes un A-modulo finito y, por tanto, tambien es una k-algebra de tipo finito.

Demostracion: En virtud del lema de normalizacion, existe un morfismo inyectivoy finito k[x1, . . . , xn] → A. Luego el cierre entero de A en L coincide con el cierreentero de k[x1, . . . , xn] en L, que es una extension finita de k(x1, . . . , xn), ası quepodemos suponer que A = k[x1, . . . , xn] y Σ = k(x1, . . . , xn).

Si la caracterıstica de k es nula, se concluye al aplicar el teorema anterior, puesk[x1, . . . , xn] es un anillo normal noetheriano.

Si la caracterıstica p de k es positiva, fijamos una extension finita L → L talque L sea extension normal de Σ (ver H.3.22), y bastara probar que el cierre enterode A en L es A-modulo finito, porque el cierre entero de A en L es un submoduloy A es noetheriano. Si G = Aut(L/Σ), entonces L es una extension separable deLG por el teorema de Artin, y LG es una extension puramente inseparable de Σ(ver I.4.3). Si demostramos que el cierre entero B de A en LG es A-modulo finito,entonces B es un anillo normal noetheriano, y el teorema de finitud permitirıaconcluir que el cierre entero de B en L, que es el cierre entero de A en L, es unB-modulo finito y por tanto un A-modulo finito.

En resumen basta probar el teorema en el caso en que A = k[x1, . . . , xn] y Les una extension finita puramente inseparable de Σ = k(x1, . . . , xn). En este caso,por I.4.2 existe una potencia q = pr tal que L = Σ(α1, . . . , αr) y αq

i ∈ Σ, 1 ≤ i ≤ r.Si αq

i = pi/qi, entonces (qiαi)q = piqq−1i , ası que podemos suponer que αq

i ∈ A:

αqi =

∑

j1...jn

ai,j1...jnxj11 . . . xjn

n

αi =∑

j1...jn

q√

ai,j1...jnyj11 . . . yjn

n , yj := q√

xj

Si K denota la extension finita de k que se obtiene adjuntando las raıces q-esimasde los coeficientes ai,j1...jn , entonces L = k(x1, . . . , xn, α1, . . . , αr) esta conteni-da en K(y1, . . . , yn). Como el anillo K[y1, . . . , yn] es normal y es finito sobrek[x1, . . . , xn] = k[yq

1, . . . , yqn], se sigue que es el cierre entero de A = k[x1, . . . , xn]

442

en K(y1, . . . , yn). Luego el cierre entero de A en K(y1, . . . , yn), y por tanto elcierre entero de A en L, es un A-modulo finito.

Corolario M.3.2 Sea k un cuerpo. Si A es una k-algebra de tipo finito ıntegra,entonces el cierre entero A de A en su cuerpo de fracciones es un A-modulo detipo finito. En particular A tambien es una k-algebra de tipo finito.

M.4 Desingularizacion de Curvas

Sea C = Spec A una curva ıntegra sobre un cuerpo k (i.e., A es una k-algebra detipo finito ıntegra de dimension 1) y sea A el cierre entero de A en su cuerpo defracciones ΣC .

Teorema M.4.1 El A-modulo A/A tiene longitud finita.

Demostracion: La localizacion de A/A en el punto generico pg de C es nula

(A/A)pg = Apg/Apg = ΣC/ΣC = 0

ası que el soporte del A-modulo A/A esta formado por puntos cerrados. SegunM.3.2, el A-modulo A/A es de tipo finito y concluimos al aplicar 8.5.4.

Teorema M.4.2 El numero de puntos singulares de C es finito.

Demostracion: La condicion de que un punto cerrado x de C sea no-singularequivale a la anulacion de (A/A)x, porque (A)x es el cierre entero de Ax = OC,x

en su cuerpo de fracciones. Luego los puntos singulares de C son los del soportede A/A, formado por un numero finito de puntos cerrados segun 8.5.4.

Definicion: De acuerdo con M.3.2, el cierre entero A es una k-algebra de tipofinito; luego C = Spec A es una curva ıntegra no-singular sobre el cuerpo k, ydiremos que el morfismo natural C → C, que es finito y birracional, es la desin-gularizacion de la curva C.

Definicion: Diremos que una valoracion discreta v del cuerpo ΣC esta centradaen un punto x de C, y lo denotaremos con el sımbolo v → x, cuando su anilloV = f ∈ ΣC : v(f) ≥ 0 domine al anillo local Ax de C en x, en el sentido deque

Ax ⊆ V y mx = mV ∩Ax

donde mx y mV denotan los ideales maximales de Ax y V respectivamente.

Para que v centre en x es suficiente que Ax ⊆ V, porque los unicos idealesprimos de Ax son el ideal maximal y el ideal nulo, y la igualdad 0 = mV ∩ Ax

implicarıa que el cuerpo de fracciones ΣC de Ax estarıa contenido en V.

443

Corolario M.4.3 Las valoraciones discretas de ΣC con centro en un punto x deC son los anillos locales de C en los puntos de su fibra sobre x.

Demostracion: En virtud de M.1.1, los anillo de valoracion discreta de ΣC quecontienen a Ax son los que contienen al cierre entero Ax. Ahora el teorema M.2.5permite conluir, pues los anillos locales de Ax son los anillos locales de A en lospuntos de la fibra de x.

Ademas, M.2.5 tambien permite concluir que

Corolario M.4.4 El cierre entero de Ax en su cuerpo de fracciones ΣC es lainterseccion de todos los anillos de valoracion discreta de ΣC con centro en x.

Corolario M.4.5 Para toda funcion no nula f ∈ Ax tenemos que

l(Ax/fAx) =∑

vi→x

vi(f) · [κ(xi) : κ(x)]

donde xi es el centro de la valoracion discreta vi en C.

Demostracion: El morfismo Ax/Axf ·−→ fAx/fAx es un isomorfismo, ası que

ambos Ax-modulos tienen la misma longitud. Considerando el siguiente cuadradoconmutativo:

fAx −→ fAx

↓ ↓Ax −→ Ax

el caracter aditivo de la longitud permite obtener que

l(Ax/fAx) = l(Ax/fAx)

Ahora bien, cuando f es invertible en Ax, el teorema es obvio, ası que podemossuponer que f se anula en x. En tal caso el anillo Ax/fAx tiene dimension 0 ydescompone en suma directa de sus localizaciones en los puntos x1, . . . , xn de suespectro, que son los puntos de C sobre x:

Ax/fAx =n⊕

i=1

Axi/fAxi

l(Ax/fAx) =∑

vi→xl(Axi/fAxi)

Ahora bien la longitud del Ax-modulo Axi/fAxi es el producto de su longitudcomo Axi-modulo por la longitud del cuerpo residual κ(xi) (el unico Axi-modulosimple), que es [κ(xi) : κ(x)]:

l(Axi/fAxi) = l(Axi/fAxi) · [κ(xi) : κ(x)]

donde l denota la longitud como Axi-modulo. Para concluir basta observar que,si fAxi = mn

xi, entonces l(Axi/fAxi) = n = vi(f).

444

Corolario M.4.6 La multiplicidad de interseccion de una curva ıntegra C conuna hipersuperficie H de ecuacion f = 0, en un punto x ∈ C, es

(C ∩H)x =∑

vi→x

vi(f) · [κ(xi) : κ(x)]

Transformaciones Cuadraticas

Dada una valoracion discreta v centrada en x, las funciones f ∈ mx que no tienenvalor v(f) mınimo forman un subespacio vectorial 6= mx. Si suponemos que elcuerpo base k es infinito, la union de un numero finito de subespacios vectoriales 6=mx no puede coincidir con mx; luego ha de existir alguna funcion f ∈ mx con valormınimo para todas las valoraciones discretas vi centradas en x. Sea f1, . . . , fdun sistema de generadores del ideal maximal mx. Llamaremos transformacioncuadratica o explosion del anillo Ax al anillo

A1 = Ax

[f1f

−1, . . . , fdf−1

]

y la condicion de que las valoraciones vi(f) son mınimas significa que vi(fjf−1) ≥ 0

para todo par de ındices i, j. Es decir, fjf−1 ∈ Ax, de modo que la transformacion

cuadratica Ax → A1 es un morfismo finito birracional:

Ax ⊆ A1 ⊆ Ax

La explosion Ax → A1 nunca es un isomorfismo, salvo cuando x sea un puntono-singular de C, ya que de la igualdad Ax = A1 se sigue que fj/f ∈ Ax, lo quesignifica que mx = fAx es un ideal principal.

Si A1 no coincide con el cierre entero Ax, algun punto de su espectro ha deser singular. En tal caso, consideramos los anillos locales de A1 en sus puntossingulares y en cada uno efectuamos la transformacion cuadratica. Reiterando elproceso (que debe terminar despues de un numero finito de pasos al ser finita lalongitud de Ax/Ax) con un numero finito de transformaciones cuadraticas obte-nemos todas las valoraciones discretas de ΣC centradas en el punto x.

La explosion A1 = Ax[f1f−1, . . . , fdf

−1] claramente no depende de los gene-radores f1, . . . , fd de mx elegidos. Tampoco depende de la funcion f . En efecto,si g ∈ mx es otra funcion con valores vi(g) mınimos, entonces vi(g) = vi(f), demodo que gf−1 ∈ A1 no se anula en los puntos cerrados xi de Spec Ax. Comoel morfismo A1 → Ax es finito, se sigue que gf−1 no se anula en ningun puntocerrado de Spec A1 y gf−1 es invertible en A1:

Ax

[f1g

−1, . . . , fdg−1

] ⊆ A1 = Ax

[f1f

−1, . . . , fdf−1

]

porque fjg−1 = (fjf

−1)(fg−1) ∈ Ax[f1f−1, . . . , fdf

−1]. Analogamente se de-muestra la inclusion contraria.

445

Nota: Si se desea desingularizar la curva afın C = Spec A; es decir, obtener sucierre entero A y no solo los anillos locales de A, debe modificarse ligeramente elproceso anterior. Elegido un punto singular x de C, se consideran generadores desu ideal maximal m = (f1, . . . , fd) y una funcion f ∈ m que tome valor mınimo entodas la valoraciones discretas de ΣC centradas en x y que no se anule en los demaspuntos singulares de C. Ahora no podemos asegurar que las funciones fjf

−1 seanenteras sobre A, porque f puede tener otros ceros x1, . . . , xr en C ademas delpunto singular x fijado. En tal caso se elige una funcion g ∈ A que no se anuleen ningun punto singular de C y que en los puntos x1, . . . , xr tenga igual numerode ceros que f (existe por 7.1.1). Por construccion las funciones fjgf−1 tienenvalor ≥ 0 en todas las valoraciones discretas centradas en puntos de C; luego sonenteras sobre A y el morfismo

A −→ A1 = A[f1gf−1, . . . , fdgf−1

]

es finito y birracional. Si A = A1, entonces fjg ∈ fA. Como la funcion g no seanula en x, es invertible en Ax y concluimos que mAx = fAx es un ideal principal,contra la hipotesis de que el punto x es singular. Luego la longitud de A1/A noes nula y l(A1/A1) = l(A/A1) < l(A/A). Reiterando el proceso, despues de unnumero finito de pasos obtenemos el cierre entero A de A.

Curvas planas: Consideremos un punto racional singular de una curva plana Csobre un cuerpo infinito. Despues de un cambio de coordenadas lineal podemossuponer que el punto es el origen de coordenadas y que la recta x = 0 no estangente a C en el origen:

0 = a0yr + a1xyr−1 + . . . + arx

r +∑

i+j>r

aijxiyj , a0 6= 0

Dividiendo por xr obtenemos una relacion de dependencia entera

0 =(a0 +

∑i+j>r, j≥r

aijxiyj−r

) (yx−1

)r+ . . .

de yx−1 sobre el anillo local O de la curva C en el origen. Luego ninguna valoraciondiscreta de ΣC centrada en el origen toma valor negativo en yx−1, de modo queel valor de x es el mınimo entre los de las funciones que se anulan en el origen, yla transformacion cuadratica de O es precisamente

O1 = O [yx−1

]

Por ejemplo, sea C la curva plana compleja de ecuacion

0 = y7 − x9y − x10y + x11 + x12 = p(x, y)

446

C es ıntegra porque p(x, y) es un polinomio irreducible (aplıquese el criterio deEisenstein al polinomio p(a, y) con coeficientes en C[a]). Sea O el anillo local deC en el origen, que es un punto singular. Vamos a determinar las valoracionesdiscretas del cuerpo de funciones racionales ΣC centradas en el origen. Como larecta x = 0 no es tangente a C en el origen y

z = y/x

0 = p(x, xz) =x7z7 − x10z − x11z + x11 + x12

=x7(z7 − x3z − x4z + x4 + x5)

0 = p1(x, z) =x4 − x3z + x5 − x4z + z7

la transformacion cuadratica O1 = O[y/x] de O es la localizacion del anillo defunciones algebraicas de la curva p1(x, z) = 0 por las funciones f(x, y) que nose anulan en el punto x = y = 0. Luego la fibra de la explosion sobre el puntox = y = 0 son los puntos de corte de p1(x, z) = 0 con la recta x = 0, porquey ∈ xO1. En nuestro caso solo se cortan en el punto x = z = 0, que es un puntosingular de la curva p1(x, z) = 0. Efectuemos la explosion de la curva p1(x, z) = 0en tal punto (donde la recta x = 0 es tangente; pero no z = 0):

s = x/z

0 = p1(zs, z) = z4s4 − z4s3 + z5s5 − z5s4 + z7

= z4(s4 − s3 + zs5 − zs4 + z3)

0 = p2(z, s) = z3 − s3 + s4 − zs4 + zs5

y la fibra de la curva p2(z, s) = 0 sobre el punto x = 0, z = 0, que es el cortecon la recta z = 0, tiene dos puntos: el punto z = 0, s = 0, que es singular, yel punto z = 0, s = 1, que no es singular, pues ∂p/∂s no se anula en el. Estepunto no-singular define una valoracion discreta v1 de ΣC que domina a O. Unparametro local es z; es decir, v1(z) = 1. Explotemos ahora el punto z = s = 0:

u = s/z

0 = p2(z, zu) = z3 − z3u3 + z4u4 − z5u4 + z6u5

= z3(1− u3 + zu4 − z2u4 + z3u5)

0 = p3(z, u) = 1− u3 + zu4 − z2u4 + z3u5

447

La fibra del punto explotado, que es el corte de la curva p3(z, u) = 0 con larecta z = 0, tiene tres puntos: el punto z = 0, u = 1, el punto z = 0, u = ω y elpunto z = 0, u = ω2 (donde ω es una raız cubica primitiva de la unidad). Los tresson puntos no-singulares de la curva p3(z, u) = 0; luego definen tres valoracionesdiscretas v2, v3, v4 de ΣC que dominan a O. La funcion z tambien es un parametrolocal de estas valoraciones: v2(z) = v3(z) = v4(z) = 1.

Como ya todos los puntos obtenidos son no-singulares, v1, v2, v3, v4 son todaslas valoraciones discretas de ΣC con centro en el punto singular x = 0, y = 0. Eldiagrama o arbol de las explosiones realizadas es el siguiente (donde al lado decada punto figura el grado de la forma inicial de la ecuacion de la transformada):

..........

..........

..........

............................................................................................................

..............................

..................... ...............

..............................

......

..........

..........

..........

......

••

• •• • •

74

1 3

1 1 1

Ahora, para calcular la multiplicidad de interseccion en el punto x = y = 0de C con otra curva plana f(x, y) = 0, sea irreducible o no, basta determinarv1(f) + v2(f) + v3(f) + v4(f). A tıtulo de ejemplo, calculemos la multiplicidad deinterseccion en el origen de C con la curva y2 = x3 :

v1(y2 − x3) = v1(x2z2 − x3) = v1(z4s2 − z3s3)

= v1(z3) + v1(s2) + v1(z − s) = 3 + 0 + 0 = 3

porque v1(z) = 1 y las funciones s2 y z − s no se anulan en el punto z = 0, s = 1.

v3(y2 − x3) = v3(z4s2 − z3s3) = v3(z6u2 − z6u3)

= v3(z6) + v3(u2) + v3(1− u) = 6 + 0 + 0 = 6

porque v3(z) = 1 y las funciones u2 y 1−u no se anulan en el punto z = 0, u = ω.Analogamente v4(y2 − x3) = 6. Por ultimo,

v2(y2 − x3) = v2(z6) + v2(u2) + v2(1− u) = 6 + 0 + v2(1− u)

y debemos calcular v2(1−u), lo que puede hacerse desarrollando 1−u en potenciasde z (que es el procedimiento sistematico y general) o bien directamente:

v2(1− u) = v2(−1 + u3) = v2(zu4 − z2u4 + z3u5)

= v2(z) + v2(u4 − zu4 + z2u5) = 1 + 0 = 1

Luego v2(y2 − x3) = 7 y concluimos que la multiplicidad de interseccion encuestion es precisamente 3 + 6 + 6 + 7 = 22. No obstante, para calcular la mul-tiplicidad de interseccion en el origen de estas curvas p(x, y) = 0, y2 = x3 es massencillo desingularizar la segunda, porque al explotar el origen

448

t = y/x

0 = y2 − x3 = x2t2 − x3 = x2(t2 − x)x = t2

sobre el punto explotado aparece un unico punto que ya es no-singular:

..........

..........

..........

......

••1

2En el cuerpo de funciones racionales de la curva y2 = x3, que es C(t), solo hay

una valoracion discreta v centrada en el punto x = y = 0. Un parametro local dev es t; es decir, v(t) = 1. Ahora

v(y7 − x9y − x10y + x11 + x12) = v(t21 − t21 − t23 + t22 + t24) = 22

porque x = t2, y = xt = t3.

Apendice N

Teorıa de Numeros

N.1 Tres Lemas Previos

Definicion: Diremos que un subgrupo aditivo Γ de un espacio vectorial euclıdeoE es una red si Γ = Ze1⊕ . . .⊕Zed para alguna base e1, . . . , ed de E. En tal casoE/Γ es compacto y de volumen finito, Vol(E/Γ) < ∞.

Lema N.1.1 Sea Γ ⊂ E una red y X un compacto de E. Si Vol(X) ≥ Vol(E/Γ),entonces existen dos puntos distintos x, y ∈ X tales que y − x ∈ Γ.

Demostracion: Si la proyeccion natural i : X → E/Γ es inyectiva, entonces es unhomeomorfismo con su imagen, y i(X) 6= E/Γ porque la proyeccion E → E/Γ noadmite secciones continuas: la imagen de tal seccion serıa abierta y cerrada en elespacio conexo E. Luego Vol(E/Γ− i(X)) > 0, y Vol(X) < Vol(E/Γ).

Teorema de Minkowski (1864-1909): Sea Γ ⊂ E una red y X un compacto deE convexo y simetrico respecto del origen. Si Vol(X) ≥ 2dVol(E/Γ), entonces Xcontiene algun vector no nulo de la red Γ.

Demostracion: Como Vol(X/2) ≥ Vol(E/Γ), por N.1.1 existen x, y ∈ X tales quee = (y − x)/2 ∈ Γ no es nulo. Como X es convexo y simetrico, e ∈ X.

Lema N.1.2 Todo subgrupo discreto Γ de un grupo de Lie conmutativo G × Rd,donde G es compacto, es de la forma Γ ' U × Zr, donde U es un grupo finito yr ≤ d. Ademas r = d si y solo si G × Rd = X + Γ para algun compacto X (i.e.,(G× Rd)/Γ es compacto).

Demostracion: Γ es un subgrupo cerrado, pues si una sucesion vn ∈ Γ converge,vn → v, entonces vn − vm ∈ Γ y vn − vm → v − v = 0 ∈ Γ y, al ser Γ discreto, sesigue que vn − vm = 0 cuando n,m À 0. Luego vn = vm y por tanto v ∈ Γ.

449

450

Veamos primero el caso G = 1. Sustituyendo Rd por el subespacio vectorial quegenera Γ, podemos suponer que Γ contiene una base una base de Rr y, aplicandoun automorfismo lineal si fuera necesario, que Zr ⊆ Γ. Consideremos la proyeccionnatural π : Rr → Rr/Zr = Sr

1 , que es una aplicacion continua abierta. Ahora π(Γ)es un subgrupo cerrado, porque lo es π−1(π(Γ)) = Γ + Zr = Γ, y discreto. Enefecto, si v ∈ Γ y U es un abierto tal que U ∩ Γ = v, entonces

π(Γ) ∩ π(U) = ππ−1(π(Γ) ∩ π(U)

)= π

(Γ ∩ (v + Zr)

)= π(v + Zr) = π(v)

y concluimos que π(Γ) = Γ/Zr es cerrado y discreto en el compacto Sr1 . Luego es

finito y obtenemos que Γ es un grupo finito-generado. Por el primer teorema dedescomposicion (apendice D) tenemos que Γ ' Zr, pues Rr carece de torsion, asıque Γ = Ze1 ⊕ . . .⊕ Zer.

En el caso general consideramos la segunda proyeccion π : G × Rd → Rd y lacorrespondiente sucesion exacta

0 −→ Γ ∩G −→ Γ −→ π(Γ) −→ 0

El grupo U := Γ ∩G es finito porque es un subgrupo discreto del grupo com-pacto G. Por otra parte, π(Γ) = Ze1 ⊕ . . .⊕Zer para ciertos vectores linealmenteindependientes e1, . . . , er ∈ Rd, porque es un subgrupo discreto de Rd. Ahora,como π(Γ) es un grupo abeliano libre, la sucesion exacta escinde y Γ ' U × Zr.

Por ultimo, es obvio que Rd = X + Ze1 ⊕ . . . ⊕ Zer para algun compacto Xprecisamente cuando r = d.

Proposicion N.1.3 Sea X un compacto de una subvariedad diferenciable de codi-mension r en un espacio vectorial real E dotado de un producto escalar. Si Xε

denota el abierto de puntos a distancia menor que ε de X, entonces existe unaconstante c tal que Vol(Xε) < cεr , ε ¿ 1 .

Demostracion: Recubriendo X con bolas podemos suponer que el borde de X esuna subvariedad compacta de codimension r + 1. Si para un punto x ∈ Xε ladistancia mınima se alcanza en un punto del interior de X, entonces x esta en elentorno tubular Nε de radio ε, porque la esfera centrada en x ha de ser tangenteal interior de X. Si la distancia se alcanzase en el borde de X, entonces x esta en(∂X)ε, cuyo volumen es un infinitesimo O(εr+1) por induccion sobre la dimension,y no afecta. Basta ver que el volumen de Nε es un infinitesimo O(εr), y se concluyeal integrar por Fubini (1879-1943) la forma de volumen en Nε.

Lema N.1.4 Sea U un abierto acotado de un espacio vectorial real E de dimen-sion d y sea Γ ⊂ E una red. Si U esta limitado por un numero finito de hiper-superficies diferenciables, entonces el numero P (λ) de puntos de la red contenidosen λU es

P (λ) = vλd + O(λd−1) , λ À 1

donde v es una constante no nula y |O(λd−1)| ≤ aλd−1 para cierta constante a.

451

Demostracion: Podemos suponer que E = Rd y Γ = Zd. En tal caso P (λ) es jus-tamente el numero de puntos de la red λ−1Γ en U . Asociando a cada uno de estospuntos el cubo de volumen λ−d que en el determinan los vectores (0, . . . , λ−1, . . . 0),obtenemos una figura que casi coincide con U , aunque le falten algunos puntos deU y pueda tener algunos puntos fuera de U ; pero tales puntos estan a distanciamenor que

√d/λ del borde X de U . Luego

Vol(U)−Vol(X√d/λ) ≤ P (λ)λ−d ≤ Vol(U) + Vol(X√

d/λ)

y el lema anterior permite concluir.

N.2 Tres Teoremas Fundamentales

Sea K una extension finita de Q de grado d y sea A el cierre entero de Z en K.Por el teorema de finitud, A es un dominio de Dedekind, y por M.2.1 tenemos

A = Za1 ⊕ . . .⊕ Zad

donde a1, . . . , ad es una base de K como Q-espacio vectorial. Por tanto, A es unared en K ⊗Q R = Ra1 ⊕ . . .⊕ Rad, mediante el morfismo natural

A −→ KR := K ⊗Q R = Rr ⊕ Cs , (r + 2s = d)

a 7→ (σ1(a), . . . , σr(a), σr+1(a), . . . , σr+s(a)

)

donde σ1, . . . , σr, σr+1, . . . , σr+s, σr+s+1 = σr+1, . . . , σr+2s = σr+s son todos losmorfismos de Q-algebras K → C, y los r primeros son los que valoran en R.

En KR tenemos la metrica de la traza (ver seccion I.2)

T2

((x1, . . . , xr, z1, . . . , zs), (y1, . . . , yr, w1, . . . , ws)

)=

= tr(x1y1, . . . , xryr, z1w1, . . . , zsws) ==

∑i xiyi +

∑j(zjwj + zjwj)

que es no-singular (por calculo directo o por I.2.2); luego tiene asociada una formade volumen bien definida salvo un signo (en los factores complejos es el doble delarea usual que define la base 1, i). Si a, b ∈ A, tenemos que

T2(a, b) = tr(ab) = σ1(a)σ1(b) + . . . + σd(a)σd(b)

Cuando se considera una metrica no-singular T2, el cuadrado del volumen de-terminado por unos vectores e1, . . . , ed es el valor absoluto del determinante dela matriz

(T2(ei, ej)

). Luego el volumen de KR/A es la raız cuadrada del valor

absoluto del determinante de la matriz(T2(ai, aj)

)= (σiaj)t(σiaj), Es decir, es la

raız cuadrada del valor absoluto del discriminante ∆K de la extension:

Vol(KR/A) =√|∆K | , ∆K := det

((σiaj)2

)

452

Ejemplo N.2.1 Si α es una raız compleja de un polinomio irreducible q(x) concoeficientes racionales, tenemos que K = Q(α) ' Q[x]/

(q(x)

)es una extension de

Q de grado d = gr q(x) y los morfismos σi : K → C se corresponden con las raıcescomplejas αi = σi(α) de q(x). Si ademas q(x) = xd + c1x

d−1 + . . . + cd es unpolinomio unitario con coeficientes enteros, entonces α es entero sobre Z y

Z[x]/(q(x)

) ' Z[α] = Z⊕ Zα⊕ . . .⊕ Zαd−1 ⊆ A .

Si se da la igualdad, entonces por 7.2.10 la fibra de la proyeccion naturalSpec A → SpecZ sobre cada numero primo p coincide con el espectro de

A/pA = Fp[x]/(q(x)

).

Es decir, los ideales maximales de A se corresponden con los factores irreduciblesqj(x) de las distintas reducciones q(x) modulo p. El ideal maximal de A cor-respondiente a un factor irreducible qj(x) es m =

(p, qj(x)

)y el cuerpo residual

A/m ' Fp[x]/(qj(x)

)es el cuerpo finito con pf elementos, donde f = gr qj(x).

Ademas, el discriminante de K es

∆K = det((σiα

j−1)2)

= det((αj−1

i )2)

,

y coincide (ver seccion A.3) con el discriminante ∆ =∏

i<j(αi−αj)2 del polinomioq(x). Por tanto la reduccion q(x) modulo p es separable precisamente cuando elprimo p no divide al discriminante ∆K .

Si la inclusion Z[α] ⊂ A es estricta, entonces A/Z[α] es un grupo finito; luegoes nulo al localizar en cualquier primo p que no divida a su orden, y

Zp[x]/(q(x)

) ' Zp[α] = Zp ⊕ Zpα⊕ . . .⊕ Zpαd−1 = Ap .

Por tanto, la correspondencia entre maximales de A que contienen a p y factoresirreducibles de la reduccion q(x) modulo p es valida para casi todo numero primop. Ademas tendremos αj−1 =

∑k ckjak para cierta matriz (ckj) con coeficientes

enteros. Luego αj−1i =

∑k ckjσi(ak) y, tomando determinantes, vemos que el

discriminante ∆ del polinomio q(x) es ∆ = c2∆K , donde c = det(cij) ∈ Z. En estecaso la reduccion q(x) no es separable en los primos que dividen al discriminante∆K y, eventualmente el algun primo adicional (los factores primos de c).

En general, cuando q(x) es un polinomio unitario con coeficientes racionales,todas las afirmaciones anteriores son ciertas despues de localizar por el sistemamultiplicativo S = pn1

1 . . . pnrr , donde p1, . . . , pr son los numeros primos que

dividen a algun denominador de los coeficientes de q(x). Luego son ciertas en casitodos los numeros primos.

Definicion: Se llama norma de un ideal no nulo a ⊂ A al cardinal [A : a] delanillo cociente A/a, que es finito y se denota N(a).

453

Todo ideal no nulo a de A tambien es una red en KR, y como la proyeccionnatural KR/a → KR/A es un revestimiento no ramificado de grado igual al cardinalde A/a, tenemos que

Vol(KR/a) = N(a)Vol(KR/A)

En el caso de los ideales principales a = aA, tenemos que N(aA) coincide conel determinante del endomorfismo ha(x) = ax, que es precisamente la normaN(a) =

∏i σi(a) del elemento a ∈ K (ver seccion I.2). Si m es un ideal maximal

de A, tenemos que mn/mn+1 ' A/m, porque m es localmente principal; luego

N(mn11 . . . mnr

r ) = qn11 . . . qnr

r , qi = N(mi)

y por tanto la norma es multiplicativa: N(ab) = N(a)N(b) .

Lema Fundamental: En todo ideal no nulo a ⊂ A hay algun elemento no nuloa ∈ a tal que N(a) ≤

√|∆K |N(a) .

Demostracion: Todos los elementos de a que esten en el convexo simetrico

|x1| ≤ c1 × . . .× |xr| ≤ cr × |z1| ≤ cr+1 × . . .× |zs| ≤ cr+s

tienen norma ≤ c := c1 . . . crc2r+1 . . . c2

r+s. Como el volumen de tal convexo es2r+sπsc ≥ 2dc, el teorema de Minkowski permite concluir la existencia en la red ade un elemento no nulo de norma ≤ c siempre que

2dc ≥ 2dVol(KR/a) = 2dN(a)Vol(KR/A) = 2dN(a)√|∆K |

Definicion: El grupo Div(A) de los divisores de A es el grupo abeliano libregenerado por los puntos cerrados de Spec(A); i.e., por los ideales maximales de A.Cada funcion racional no nula f ∈ K define un divisor, llamado principal

D(f) :=∑

x vx(f) · x

y el cociente del grupo de divisores por el subgrupo de divisores principales sedenotara Pic(A) y se llamara grupo de clases de ideales de A o grupo de Picard(1856-1941) de A.

Los ideales mn1x1

. . . mnrxr

pueden verse como los divisores D = n1x1 + . . . + nrxr

efectivos (en el sentido de que los coeficientes ni son positivos), y es claro que tododivisor es equivalente a algun divisor efectivo. Ademas, la norma puede extendersea los divisores arbitrarios sin mas que poner

N(n1x1 + . . . + nrxr) = N(x1)n1 · . . . ·N(xr)nr

Teorema N.2.2 El grupo Pic(A) de clases de ideales es finito.

454

Demostracion: El numero de ideales de A de norma dada n es finito, porque hande ser ideales del anillo finito A/nA, ası que basta ver que en cada clase de divisoreshay un representante D =

∑i nixi efectivo de norma ≤

√|∆K |.

Ahora bien, dado un ideal a de A (i.e., un divisor efectivo D), el lema funda-mental afirma la existencia de un elemento no nulo α ∈ a (i.e., el divisor D(α)−Des efectivo) tal que N(D(α) −D) ≤

√|∆K |. Luego la clase [−D] tiene un repre-

sentante efectivo de norma ≤√|∆K |.

Toda clase esta representada por un divisor efectivo, luego tambien por elopuesto de un divisor efectivo, lo que permite concluir.

Teorema N.2.3 (Hermite 1822-1901) Solo hay un numero finito de exten-siones de Q de grado y discriminante dados.

Demostracion: Sea K una extension de discriminante ∆ y grado d. Si r 6= 0, elvolumen del convexo simetrico

|x1| ≤ 2d√|∆| , |xi| ≤ 1/2 , |zj | ≤ 1/2

(donde 2 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s) es ≥ 2d√|∆|. Por el teorema de Minkowski existe

α ∈ A tal que |σi(α)| < 1/2 cuando i 6= 1. Como N(α) es entero, 2 < |σ1(α)| yobtenemos que σi(α) 6= σ1(α) cuando i 6= 1. Luego K = Q(α).

Ademas, los coeficientes del polinomio irreducible de α sobre Q estan acotadosporque lo esta el modulo de los numeros complejos σi(α), y al ser numeros enterosconcluimos que solo hay un numero finito de tales polinomios.

El caso r = 0 se trata de modo similar, sin mas que considerar el convexosimetrico Im(z1) < 2d

√|∆|, Re(z1) < 1/2, |zi| < 1/2, i = 2, . . . , s, que tiene

volumen ≥ 2d√|∆|.

Nota: Considerando los convexos simetricos∑

i |xi| +∑

j |zj | ≤ t, que tienenvolumen 2rπstd/d!, el teorema de Minkowski y la acotacion de la media geometricapor la media aritmetica muestran que en cada ideal no nulo a existe un elementono nulo a ∈ a de norma N(a) ≤ cN(a), donde c = d!d−d(4/π)s

√|∆K |. Como c ha

de ser ≥ 1, se sigue que, fijado el discriminante ∆ de la extension, el grado d estaacotado, por lo que realmente solo hay un numero finito de extensiones finitas deQ de discriminante dado. Esta acotacion tambien permite obtener el teorema deMinkowski: ∆K 6= ±1 para toda extension finita K no trivial de Q. Es decir, todopolinomio unitario q(x) con coeficientes enteros tiene reduccion q(x) inseparableen algun primo.

Teorema N.2.4 El grupo A∗ de elementos invertibles en A es un grupo abelianofinito-generado de rango r + s − 1 (su torsion es obviamente el grupo µK de lasraıces de la unidad contenidas en K):

A∗ ' µK ⊕ Zr+s−1

455

Demostracion: Sea U(1) ⊂ C∗ el grupo de los numeros complejos de modulo 1.Vıa la inmersion A → KR, tenemos que A∗ es un subgrupo discreto del grupo

(KR)∗ = (R∗)r × (C∗)s = G× (R+)r+s

donde G es el grupo de Lie (1842-1899) compacto G = (Z/2Z)r × U(1)s, y elisomorfismo C∗ = U(1)× R+ transforma z en (z/|z|, zz).

Como la norma N : (R+)r+s → R+, N(xi) :=∏

i xi tiene la seccion obviat 7→ (t1/n, . . . , t1/n), n = r + s, tenemos que

(KR)∗ = G×H × (R+) , H := (xi) : x1 . . . xr+s = 1 ' (R+)r+s−1

Las unidades de A tienen norma ±1, ası que A∗ es un subgrupo discreto delgrupo G × H ' G × Rr+s−1 de elementos de norma ±1. El lema N.1.2 permiteconcluir que es un grupo finito-generado de rango ≤ r + s− 1. Para ver que se dala igualdad basta probar la existencia de un compacto X tal que los compactosuX recubran G×H cuando u ∈ A∗. Consideremos un cubo

Q := (x1, . . . , xr, z1, . . . , zs) : |xi| ≤ ai, |zj | ≤ bj

cuyo volumen supere 2d√|∆K |. Si y ∈ G×H, entonces N(y) = ±1 y el volumen

del cubo yQ coincide con el de Q. Por el teorema de Minkowski existe algunelemento no nulo α ∈ A ∩ yQ, y tendremos |N(α)| ≤ a1 . . . arb

21 . . . b2

s|N(y)| = c,donde c := a1 . . . arb

21 . . . b2

s.Ahora bien, salvo unidades solo hay un numero finito de elementos de A de

norma ≤ c, porque solo hay un numero finito de ideales de norma ≤ c. Eligiendogeneradores α1, . . . , αn de los ideales principales de norma ≤ c, tendremos α = uαi

para alguna unidad u ∈ A∗; luego uαi ∈ yQ. Es decir, y−1 ∈ u−1(α−1i Q) y

concluimos que el compacto X := α−11 Q∪ . . .∪α−1

n Q tiene la propiedad requerida:G×H ⊂ ⋃

uX, donde u ∈ A∗.

Proposicion N.2.5 Sea S(n) el numero de ideales de A de norma ≤ n. Existeuna constante no nula v tal que S(n) = vn + O(n1−1/d) .

Demostracion: En virtud de la finitud del grupo de clases de ideales, basta probarel enunciado para el numero S(n) de ideales de norma ≤ n en una clase dada C.Fijado un ideal a en la clase inversa, tales ideales son αa−1 donde α ∈ a tienenorma N(α) ≤ nN(a). Es decir, es el numero de elementos de norma ≤ nN(a),salvo unidades, en cierto ideal dado a.

Fijado un paralelogramo fundamental P de la red que A∗ define en H, salvounidades cada elemento de A tiene exactamente w representantes en G×P ×R+.donde w es el numero de raıces de la unidad en K, que es finito. Luego wS(n) esel numero de elementos de la red a en el conjunto

Un := G× P × (0, nN(a)]

456

Este conjunto esta acotado en KR porque esta contenido en el transformado de uncompacto (P esta en un compacto de H) por todas las homotecias de razon entre0 y nN(a). Como Un = n1/dU1, se concluye al aplicar el lema N.1.4.

N.3 La Funcion Zeta

Teorema N.3.1 La serie∑

n n−s converge uniformemente en los compactos dela semirrecta s > 1, y define una funcion continua ζ(s) en (1,∞) tal que

1 = lims→1

(s− 1)ζ(s) , ζ(s) =∏p

(1− 1

ps

)−1

Demostracion: Es una serie de terminos positivos y tenemos

1s− 1

=∫ ∞

1

dt

ts<

∑

n≥1

1ns

< 1 +∫ ∞

1

dt

ts= 1 +

1s− 1

Por ultimo, la igualdad∑

n n−s =∏

p(1 + p−s + p−2s + . . .) =∏

p(1− p−s)−1

expresa la unicidad de la descomposicion de n en producto de numeros primos.

Corolario N.3.2 Sea f ≥ 2 un numero natural y P cualquier conjunto de nume-ros primos. El producto

∏p∈P (1 − (pf )−s)−1 define una funcion continua en la

semirrecta s > 1/f .

Demostracion: La serie ζ(fs) =∑

n(nf )−s define una funcion continua en lasemirrecta s > 1/f , y la serie formada por los terminos correspondientes a numeroscon todos sus factores primos en P coincide con el producto considerado.

Definicion: Si K es una extension finita de Q, su funcion zeta (de Riemann1826-1866) es

ζK(s) :=∑

a

1N(a)s

donde a recorre todos los ideales no nulos del cierre entero A de Z en K.

Lema N.3.3 Sea (an) una sucesion de numeros reales y sea bn := a1+. . .+an. Sibn = O(nε), entonces la serie

∑n an/ns converge uniformemente en los compactos

de la semirrecta s > ε.

457

Demostracion: Por hipotesis existe una constante c tal que |bn| ≤ cnε. Ahora,para cada pareja m < r de numeros naturales tenemos

r∑n=m

bn − bn−1

ns=

br

rs− bm−1

ms+

r−1∑n=m

bn

(1ns− 1

(n + 1)s

)

∣∣∣∣ bn

(1ns− 1

(n + 1)s

)∣∣∣∣ ≤ cnεs

∫ n+1

n

dt

ts+1≤ cs

∫ n+1

n

dt

ts+1−ε

∣∣∣∣∣r∑

n=m

an

ns

∣∣∣∣∣ ≤2c

ms−ε+ cs

∫ ∞

m

dt

ts+1−ε=

(2c +

cs

s− ε

)1

ms−ε

Notacion: Dadas dos funciones continuas f(s) y g(s) en la semirrecta s > 1,pondremos f(s) ∼ g(s) cuando g(s) = u(s)f(s) para alguna funcion continua u(s)en un entorno del punto s = 1 que no se anule en el mismo.

Definicion: Llamaremos grado de un ideal primo p de A al grado de A/p sobreFp y lo denotaremos gr p. Es decir, N(p) = pf cuando p es un ideal primo de gradof que esta en la fibra del numero primo p.

De acuerdo con el ejemplo N.2.1, si q(x) es un polinomio unitario e irreduciblecon coeficientes enteros, los primos de grado 1 de Z[x]/

(q(x)

)en la fibra de p se

corresponden con los factores de grado 1 de la reduccion q(x) modulo p.

Teorema N.3.4 ζK(s) es una funcion continua en la semirrecta s > 1 y

lims→1

(s− 1)ζK(s) = v 6= 0,∞

ζK(s) =∏p

(1− 1

N(p)s

)−1

∼∏

gr p=1

(1− 1

ps

)−1

Demostracion: De acuerdo con la proposicion N.2.5 el numero de ideales de norman es v+an, donde v > 0 y sn := a1+ . . .+an = O(n1− 1

d ). El lema anterior permiteconcluir que

ζK(s) = vζ(s) +∑

n

an

ns= vζ(s) + h(s)

donde h(s) es una funcion continua en s > 1 − 1d . Luego ζK(s) es una funcion

continua en s > 1 y

lims→1

(s− 1)ζK(s) = v lims→1

(s− 1)ζ(s) = v.

La igualdad∑

N(a)−s =∏

(1−N(p)−s)−1 expresa la unicidad de la descom-posicion de cada ideal de A en producto de ideales primos.

Por ultimo, los ideales primos de grado f ≥ 2 definen un numero finito defactores de la forma

∏p∈P (1−(pf )−s)−1 para ciertas familias P de numeros primos,

factores que definen funciones continuas en la semirrecta s > 1/f segun N.3.2.

458

Corolario N.3.5 Toda extension finita de Q tiene infinitos primos de grado 1.Todo polinomio con coeficientes racionales tiene infinitas raıces modulares.

Demostracion: Si una extension finita K solo tuviera un numero finito de primosde grado 1, entonces

lims→1

ζK(s) = lims→1

∏gr p=1

(1− 1

ps

)−1

< ∞

y lims→1(s− 1)ζK(s) = 0, en contra del teorema anterior.Ahora, si un polinomio con coeficientes racionales q(x) es irreducible, tenemos

que K = Q[x]/(q(x)) tiene infinitos primos de grado 1, y N.2.1 permite concluirque hay infinitos numeros primos p tales que la reduccion q(x) modulo p tienealgun factor de grado 1 (i.e., alguna raız en Fp).

Corolario N.3.6 Si q(x) ∈ Q[x] no es constante, existen infinitos numeros pri-mos p tales que la reduccion q(x) modulo p descompone en factores de grado 1(i.e., el grupo de Galois de q(x) sobre Fp es trivial.).

Demostracion: Sea L = Q(α1, . . . , αn) el cuerpo de descomposicion de q(x) sobreQ y sea A el cierre entero de Z en L. Cuando q(x) es unitario y tiene coeficientesenteros, tenemos que Z[α1, . . . , αn] ⊆ A y el teorema de finitud del cierre enteromuestra que las fibras de estos dos anillos coinciden en casi todos los numerosprimos. Como A tiene infinitos primos de grado 1 de acuerdo con el corolarioanterior, se sigue que lo mismo es cierto en Z[α1, . . . , αn], y la demostracion delteorema de reduccion permite concluir que el grupo de Galois de la reduccion q(x)es trivial en tales primos.

El caso de un polinomio arbitrario q(x) = c0xn + c1x

n−1 + . . . + cn con coefi-cientes enteros se reduce facilmente al del polinomio unitario

cn−10 q(x) = cn

0xn + c1cn−10 xn−1 + . . . + cncn−1

0 = yn + c1yn−1 + . . . + cncn−1

0

donde y = c0x, o bien se sustituye Z por su localizacion por las potencias de c0.

Corolario N.3.7 Para cada numero natural n existen infinitos numeros primoscongruentes con 1 modulo n.

Demostracion: De acuerdo con el ejemplo (3) de la pagina 389, el automorfismode Frobenius Fp del polinomio xn − 1 en un primo p que no sea divisor de n seidentifica con la clase de p en (Z/nZ)∗.

Corolario N.3.8 Sea K → L una extension finita. Si casi todos los primos degrado 1 de K descomponen totalmente en L, entonces K = L.

459

La condicion necesaria y suficiente para que un polinomio q(x) ∈ Q[x] tengatodas sus raıces racionales es que para casi todo numero primo p la reduccion q(x)modulo p tenga todas sus raıces en Fp.

Es decir, el grupo de Galois de q(x) sobre Q es trivial si y solo si la reduccionq(x) tiene grupo de Galois trivial para casi todo primo p.

Sea d = [L : K]. Por hipotesis la fibra de casi todos los primos de grado 1de K esta formada por d primos de L, que necesariamente han de tener grado 1.Ademas cada primo de L de grado 1 esta sobre un primo de K de grado 1; luegoζL(s) ∼ ζK(s)d , y si d > 1 se obtiene la contradiccion

lims→1

(s− 1)ζL(s) = lims→1

(s− 1)ζK(s)d = ∞ .

Por ultimo, si q(x) ∈ Q[x] es irreducible y la reduccion q(x) descompone en pro-ducto de factores de grado 1 para casi todo primo p, de N.2.1 se sigue que casi to-dos los numeros primos descomponen totalmente en la extension L = Q[x]/(q(x)).Luego L = Q y concluimos que q(x) es de grado 1.

Corolario N.3.9 Sean K → L y K → L′ extensiones de Galois. Si casi todos losprimos de grado 1 de K que descomponen totalmente en L tambien descomponentotalmente en L′, entonces L′ ⊆ L. En particular, si los primos de grado 1 de Kque descomponen totalmente en L y en L′ son los mismos, salvo un numero finito,entonces L = L′; i.e., cada extension de Galois K → L esta determinada por elconjunto de primos de grado 1 de K que descomponen totalmente en L.

Cada extension de Galois K → L esta determinada por el conjunto de primosde K que descomponen totalmente en L.

Demostracion: Salvo en la ramificacion, la condicion de que un primo de grado1 descomponga totalmente en una extension finita dada significa que todos lospuntos de su fibra tambien son de grado 1, lo que equivale a decir que el numerode puntos de la fibra iguala al grado de la extension. En el caso de las extensionesde Galois, tal condicion equivale a que la isotropıa de cualquier punto de la fibrasea trivial, porque el grupo de Galois actua transitivamente en las fibras.

En virtud de corolario anterior, basta probar que casi todo primo p de grado 1de L descompone totalmente en LL′; es decir que es trivial la isotropıa de cualquierprimo q de su fibra. Sea σ ∈ Aut(LL′/L) tal que σq = q. Si p′ := L′ ∩ q, entoncesp′ es de grado 1 por hipotesis; luego σ es la identidad sobre L′, ya que la isotropıade p′ bajo la accion del grupo de Galois de L′ es trivial, y concluimos que σ es laidentidad sobre LL′.

Corolario N.3.10 Si q(x), r(x) ∈ Q[x], la condicion necesaria y suficiente paraque todas las raıces de q(x) sean expresiones racionales de las raıces de r(x) es quela reduccion q(x) descomponga en factores de grado 1 en casi todos los numerosprimos en que r(x) descompone en factores de grado 1.

460

Estos pocos resultados, junto con las consecuencias del teorema de reduccionque en su momento vimos, son indicio de lo que, desde la introduccion por Gauss(1777–1855) de las congruencias, es cada vez mas patente: que muchos problemasesenciales de la Aritmetica, adecuadamente entendidos, se reducen al estudio dela Aritmetica modulo p. Ademas, tambien senalan que el sueno de Kronecker(1823–1891), la unificacion de la Aritmetica y la Geometrıa, es mucho mas queuna analogıa o unificacion de metodos, que el comportamiento de las solucionesmodulares de un sistema de ecuaciones diofanticas esta ıntimamente relacionadocon la geometrıa de sus soluciones complejas. Vaya pues como broche final deeste libro una generalizacion de N.3.5 que, entre otros temas y con motivo desu doctorado honoris causa por la Universidad Complutense, expuso Jean PierreSerre (n. 1927) en Madrid el 28 de abril del 2006:

La condicion necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones diofan-ticas q1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , qr(x1, . . . , xn) = 0 tenga alguna solucion compleja esque admita soluciones modulares en infinitos numeros primos.

En efecto, si el sistema no tiene soluciones complejas, el teorema de los cerosde Hilbert afirma que el anillo

C[x1, . . . , xn]/(q1, . . . , qr) = Q[x1, . . . , xn]/(q1, . . . , qr)⊗Q C

carece de ideales maximales. Luego C[x1, . . . , xn]/(q1, . . . , qr) = 0 de acuerdocon 6.1.3, ası que Q[x1, . . . , xn]/(q1, . . . , qr) = 0 y existen polinomios h1, . . . , hr ∈Q[x1, . . . , xn] tales que

h1q1 + . . . + hrqr = 1 .

Ahora es evidente que, salvo en los primos que dividan a algun denominador delos coeficientes de tales polinomios hi, la reduccion q1 = . . . = qr = 0 modulo pdel sistema dado carece de soluciones en Fp.

Recıprocamente, si el sistema considerado tiene alguna solucion compleja, en-tonces C[x1, . . . , xn]/(q1, . . . , qr) 6= 0; luego Q[x1, . . . , xn]/(q1, . . . , qr) 6= 0 y elteorema de los ceros de Hilbert afirma que el sistema admite solucion en algunaextension finita L de Q. Sea A el cierre entero de Z en L. Como L = A⊗Z Q, talsolucion sera

x1 =α1

d1, . . . , xn =

αn

dn

donde α1, . . . , αn ∈ A y d1, . . . , dn ∈ Z.Ahora bien, cada primo de A de grado 1 define un morfismo de anillos A → Fp,

y por tanto una solucion del sistema en Fp siempre que ningun denominador di seamultiplo del primo p. Como N.3.5 afirma precisamente la existencia de infinitosprimos de grado 1 en A, se concluye la existencia de infinitos numeros primos ptales que el sistema considerado tiene solucion en Fp.

Bibliografıa

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[2] N. Bourbaki: Algebre Commutative, Ed. Hermann, Paris (1961).

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[8] R. Y. Sharp: Steps in Commutative Algebra 2a ed., London Math. Soc. Stu-dent Texts 51, Cambridge Univ. Press., Cambridge (2001).

461

Indice de Materias

G-conjunto, 339p-grupo, 341

abierto basico, 122accion de un grupo, 339algebra, 66, 115

de Azumaya, 412de Boole, 263de tipo finito, 116finita, 116, 349puramente inseparable, 400racional, 350separable, 356simetrica, 257tensorial, 257trivial, 351

algebraica, extension, 77algebraicamente

cerrado, cuerpo, 53independientes, 405

algebraico, elemento, 77algoritmo de Euclides, 30angulo, 18anillo, 44

ıntegro, 45de Boole, 264de Dedekind, 160de fracciones, 84de funciones algebraicas, 96de polinomios, 48euclıdeo, 63local, 146noetheriano, 149

anuladorde un elemento, 103de un modulo, 103

argumento, 18automorfismo, 170

de anillos, 47de Frobenius, 388de grupos, 31

basede trascendencia, 405de un modulo, 105

bien ordenado, conjunto, 10bilineal, aplicacion, 109birracional,

equivalencia, 406morfismo, 406

cıclica, colineacion, 417cubica resolvente, 297cadena, 11cambio

de base, 113de base de algebras, 117

caracterıstica de un anillo, 70caracterıstico, polinomio, 325caracterizacion de las algebras

de Azumaya, 413puramente inseparables, 400separables, 356triviales, 351

caracterizacion de las extensionesde Galois, 362

463

464

normales, 401caracterizacion de los elementos en-

teros, 423categorıa, 170catenario, 436central, algebra, 408centro, 340

de una valoracion, 442ceros

de un ideal, 121de una funcion, 121

ciclo, 39ciclos disjuntos, 39ciclotomico, polinomio, 306cierre

algebraico, 403entero, 424

clasede equivalencia, 9de restos, 15, 55

clases, formula de, 341clasificacion de grupos cıclicos, 37cociente, 13, 15, 16

conjunto, 9coeficientes de un polinomio, 48, 49colineaciones, 411componente

irreducible, 123sumergida, 159

compuesto, 355congruencia

de Euler, 59de Fermat, 60de Wilson, 218

congruentes, numeros, 14conjugado, 17conjugados, elementos, 40constructible,

numero complejo, 302punto, 302

coordenada local, 155corta, sucesion exacta, 107

cotainferior, 11superior, 11

criteriode Eisenstein, 93de platitud del ideal, 336de reduccion, 92del ideal, 311

cuaterniones, 408cuerpo, 45

de descomposicion, 234, 361de fracciones, 85de fracciones racionales, 86perfecto, 359residual, 271, 350

curva algebraica, 153

derivacion, 162derivaciones,

primera sucesion exacta de, 163segunda sucesion exacta de, 163

derivada, 68desarrollo de Taylor, 136descomposicion primaria, 157desingularizacion, 442diagonal,

ideal de la, 164morfismo, 137, 164subalgebra, 414

diferenciade numeros enteros, 13de numeros naturales, 11

diferencial, 161, 163, 164diferenciales,

modulo de, 164primera sucesion exacta de, 166segunda sucesion exacta de, 166

dimension de Krull, 124diofantica, ecuacion, 201discriminante, 296

de la cubica, 297de la cuartica, 297de una extension, 451

465

distancia, 17division, 45division, anillo de, 408divisibilidad de ideales, 46divisor, 27, 45

de cero, 45elemental, 320

dominacion, 442dominio, 45

de factorizacion unica, 88de ideales principales, 66, 313

ecuacion reducida, 56endomorfismos equivalentes, 323entero

, elemento, 423, morfismo, 423algebraico, 425de Gauss, 212

entorno infinitesimal, 136envolvente normal, 381equivalencia de categorıas, 181escindida, sucesion exacta, 107espacio

afın, 97, 132irreducible, 123

especializacion, 183espectro primo, 121explosion, 444extension, 66

finita, 66trivial, 66

factores invariantes, 321fibra, 128

anillo de la, 271fiel, modulo, 408finito, morfismo, 423Fitting, ideal de, 321forma de

Jordan, 326una permutacion, 40

formula de

Girard, 294interpolacion de Lagrange, 53la fibra, 128los puntos, 354

formulasde Cardano, 68de Newton, 295

fraccion simple, 87Frobenius, automorfismo de, 375funcion, 97, 121

algebraica, 131caracterıstica, 219racional, 270

funciones simetricas elementales, 291funtor

contravariante, 173covariante, 173de puntos, 183representable, 187

Galois,extension de, 362grupo de, 362

generado,subanillo, 45subgrupo, 26submodulo, 102

generadores, 37, sistema de, 26, 105de un ideal, 46de una extension, 67

geometrıa, 416germen, 270grado de

separabilidad, 398trascendencia, 405un algebra, 349un ideal primo, 457un polinomio, 48, 49una extension, 66

grupo, 25abeliano, 25algebraico, 185

466

cıclico, 37cociente, 35de Brauer , 422de Galois, 201, 234, 363de simetrıa, 201simetrico, 39, 200

hipersuperficie, 97

ideal, 46de una subvariedad, 96irreducible, 157maximal, 47primario, 155primo, 47primo asociado, 155, 159principal, 66

identidad, 170de Bezout, 28, 314

imagen, 32inclusion

, morfismo de, 133, 134de subvariedades, 97

indicador de Euler, 27, 59ındice de un subgrupo, 33infinitesimal, condicion, 156inicial, monomio, 292inseparable, algebra, 356interseccion de subvariedades, 97inverso, 16

, anillo, 408elemento, 25morfismo, 170

invertible, elemento, 45inyectivo, modulo, 310irracional cuadratico, 299irreducible, elemento, 45, 313isomorfismo, 170

de algebras, 66, 116de anillos, 47de funtores, 177de grupos, 31de modulos, 100

de variedades algebraicas, 132isotropıa, subgrupo de, 339

lemade Euclides, 29, 64, 314de Gauss, 89de Nakayama, 146de normalizacion, 429de Schur, 409de Zorn, 11del hueco unico, 361

localizacion, 141de modulos, 141de un anillo, 84

localmente libre, modulo, 337logaritmo neperiano, 195longitud de un modulo, 108

maximo comun divisor, 45modulo, 17matriz de Jordan, 327maximal, elemento, 10maximo comun divisor, 27metrica de la traza, 395minimal, elemento, 10mınimo

, polinomio, 77comun multiplo, 27, 45

modulo, 99de longitud finita, 108de tipo finito, 105libre, 105noetherieno, 149simple, 108

monogeno, modulo, 318morfismo

de G-conjuntos, 339de algebras, 66, 115de anillos, 47de funtores, 176de grupos, 31de localizacion, 85, 141de modulos, 100

467

de variedades algebraicas, 132en una categorıa, 170inverso, 31, 47

multiplicidadde interseccion, 147, 154de una raız, 67

multiplo, 27, 45

neutro, elemento, 25nilpotente, elemento, 126noetheriano

, espacio, 152norma, 213, 377, 395

de un ideal, 452normal,

anillo, 439extension, 401subgrupo, 34

normalizador, 340nucleo, 32numero

complejo, 17entero, 11entero negativo, 12entero positivo, 12primo, 27racional, 15racional positivo, 16real, 16

objeto de una categorıa, 170operacion, 25opuesto, 13, 26orbita, 339orden

de un elemento, 38de un grupo, 33total, 10

ordenacionde numeros enteros, 12de numeros racionales, 16

parametro de uniformizacion, 155

parteimaginaria, 17real, 17

permutacion, 200impar, 42par, 42

plano, modulo, 312polinomio

constante, 48, 49unitario, 64

Post, problema de, 221

presentacion finita, modulo de, 336primer elemento, 10primitiva, raız, 19, 306, 373primos

de Fermat, 206entre sı, elementos, 313entre sı, numeros, 27

principio de induccion, 10producto

de ideales, 46de numeros complejos, 17de numeros enteros, 12de numeros racionales, 15directo, 99, 136tensorial, 110

propiedad universalde la localizacion, 85, 142de la suma directa, 101de las diferenciales, 165del anillo cociente, 56del cambio de base, 114, 118del grupo cociente, 36del modulo cociente, 103del producto directo, 102del producto tensorial, 110, 117

propiedades de las algebraspuramente inseparables, 400racionales, 394separables, 357triviales, 352

468

propiedades de las extensionesde Galois, 363normales, 401separables, 357

propio, elemento, 45, 313proyeccion canonica, 9proyectividades, 411proyectividades equivalentes, 328proyectivo, modulo, 309punto

de un algebra, 353generico, 123general, 183parametrizado, 183racional, 132, 350simple, 155singular, 155

racional, variedad, 406radical de un ideal, 126radicales, extension por, 379raız, 51, 67

n-esima, 18multiple, 67simple, 67

rangode un modulo, 315de un modulo libre, 105

recta tangente, 283red, 449reduccion de un polinomio, 92reducido, anillo, 126regla

de Descartes, 71de Ruffini, 50

regular, anillo, 155relacion, 8

de equivalencia, 8de orden, 10

representante de un funtor, 187resoluble

, grupo, 346por radicales, 379

por radicales cuadraticos, 299resolvente de Lagrange, 378resta, 45resto, 13restriccion, 97

de escalares, 250de una funcion, 133, 134

resultante, 80

semilineal, aplicacion, 411separable,

elemento, 359polinomio, 356

serie de composicion, 108signo de una permutacion, 41simetrico, polinomio, 291simple,

anillo, 408grupo, 343modulo, 408

simple, curva, 275sistema

de generadores mınimo, 335multiplicativo, 84

sistemas equivalentes, 59soporte de un elemento, 143subalgebra, 116subanillo, 45subgrupo, 26

alternado, 42submodulo, 102subvariedad cerrada, 133sucesion exacta, 106suma

de ideales, 46de numeros complejos, 17de numeros enteros, 12, 38de numeros racionales, 15directa de modulos, 100

Sylow,p-subgrupo de, 342primer teorema de, 342segundo teorema de, 343

469

tercer teorema de, 343

teorema90 de Hilbert, 378chino del resto, 37, 57, 122, 320de Artin, 367de Bezout, 148de Cauchy, 341de Cayley, 340de Cohen-Seidenberg, 433de construccion, 416de D’Alembert, 53, 76, 373de division, 13, 50de existencia, 158, 404de finitud, 440de Frobenius, 419de Galois, 235, 367, 370de independencia, 355de isomorfıa, 36, 56, 103de Kronecker, 74de la base de Hilbert, 151de Lagrange, 34de las ecuaciones resolubles, 379de los ceros, 431, 432de los irracionales naturales, 368de los polinomios simetricos, 292de Minkowski, 449de prolongacion, 371de reduccion, 385de Skolem-Noether, 411de unicidad, 158, 159, 405de Wedderburn, 412, 419del ascenso, 427del descenso, 434del elemento primitivo, 358del grado, 75

teorema de clasificacion, 320, 321de autoproyectividades, 329de endomorfismos, 324de grupos abelianos, 330

teorema de descomposicion, 145, 393, primer, 316, segundo, 318

, tercer, 319en factores irreducibles, 65, 314en factores primos, 29

topologıa de Zariski, 122torsion,

elemento de, 315submodulo de, 315

transformacion cuadratica, 444transformaciones elementales, 331transitiva, accion, 340trascendente, 77trasposicion, 39traza, 395trivial, operacion, 416

ultimo elemento, 10union de subvariedades, 97unidad, elemento, 44

valor, 353de una funcion, 121absoluto, 13

valoracion, 155discreta, 437discreta, anillo de, 437

variedad algebraica afın, 131

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