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En este capítulo se inicia el estudio del movimiento. Aquí no setiene interés en las propiedades de los objetos ni en las causas desus movimientos; el objetivo consiste sólo en describir y analizarel movimiento de un punto en el espacio. Después de definir laposición, velocidad y aceleración de un punto, se considera elcaso más sencillo: el movimiento a lo largo de una línea recta.Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento deun punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa yanaliza usando diversos sistemas coordenados.

� Las líneas muestran las trayectorias seguidas por partículas subatómicas quese mueven en un campo magnético. Las partículas con trayectorias curvastienen tanto componentes de aceleración tangenciales como normales.

22 Capítulo 13 Movimiento de un punto

(a)

(b)

O

O

r

r

y

x

x

z

z

y

Figura 13.1Marcos de referencias convenientes para espe-cificar posiciones de objetos(a) en una habitación;(b) en un avión.

13.1 Posición, velocidad y aceleración

ANTECEDENTESSi alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitación, por ejem-plo un grupo de personas en una fiesta, podrá percibir las posiciones en relacióncon la habitación. Algunas personas estarán en el fondo de la habitación, otras enmedio del cuarto, etcétera. La habitación es su “marco de referencia”. Para preci-sar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con susejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar laposición de una persona (en realidad, la posición de algún punto de la persona, porejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posición r enrelación con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es unmarco de referencia conveniente para los objetos en la habitación. Si alguien estásentado en un avión, podrá percibir las posiciones de los objetos dentro del aviónen relación con éste. En tal caso, el interior del avión es su marco de referencia.Para especificar de manera precisa la posición de una persona dentro del avión, sepuede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que esté fijo en relacióncon el avión y mida la posición del centro de masa de una persona especificandolas componentes del vector de posición r en relación con el origen (figura 13.1b).Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuadopara especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menoscon las coordenadas cartesianas. En este capítulo se analiza otro ejemplo y a lolargo del libro se continúa el estudio de los marcos de referencia.

Se puede describir la posición de un punto P en relación con un marco dereferencia dado con origen O mediante el vector de posición r desde O hasta P(figura 13.2a). Suponga que P está en movimiento respecto al marco de referenciaescogido, de manera que r es una función del tiempo t (figura 13.2b). Lo anteriorse expresa mediante la notación

r � r(t).

La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como

(13.1)v =dr

dt= lím

¢t: 0

r1t + ¢ t2 - r1t2¢t

,

13.1 Posición, velocidad y aceleración 23

P

r

P

(a) (b)

O

r(t � �t)

P(t � �t)

r(t � �t) � r(t)

P(t)

r(t)

(c)

O

O

Figura 13.2(a) Vector de posición r de P respecto a O.(b) Movimiento de P respecto al marco de

referencia.(c) Cambio en la posición de P de t a t � ¢t.

v(t � �t)

v(t � �t)v(t � �t) � v(t)

v(t)

v(t)

O

r�

r

P

O�

O

(a)

r�

r

R

P

O�

O

(b)

Figura 13.4(a) Vectores de posición de P relativos a O y O�.(b) Vector de posición de O� relativo a O.

donde el vector r(t � ¢t)� r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P,durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.2c). Así, la velocidad es la razón decambio de la posición de P.

Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporción,por lo que las dimensiones de v son (distancia)�(tiempo). El marco de referenciausado suele ser obvio, y se llamará simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo,recuerde que la posición y la velocidad de un punto pueden especificarse sólo conrespecto a un marco de referencia.

Observe en la ecuación (13.1) que la derivada de un vector con respecto altiempo se define exactamente igual que la derivada de una función escalar. Por loanterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada deuna función escalar. Se usarán dos de esas propiedades: la derivada con respectoal tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es

y la derivada respecto al tiempo del producto de una función escalar f y una funciónvectorial u es

La aceleración de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se definecomo

(13.2)

donde v(t � ¢t) � v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo detiempo ¢t (figura 13.3). La aceleración es la razón de cambio de la velocidad de Pen el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y susdimensiones son (distancia)�(tiempo)2.

Se ha definido la velocidad y la aceleración de P en relación con el origen Odel marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidady aceleración en relación con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.Sea O� un punto fijado de manera arbitraria, y sea r� el vector de posición de O� aP (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a O� es v� � dr��dt. La velocidad de P

d1fu2dt

=df

dt u + f

dudt

.

d

dt 1u + w2 = du

dt+

dwdt

,Figura 13.3Cambio en la velocidad de P desde t hasta t � ¢t.

a =dvdt

= lím¢t:0

v1t + ¢t2 - v1t2¢t

,


13.2 Movimiento en línea recta

ANTECEDENTESEste tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtengaexperiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embar-go, en muchas situaciones prácticas los ingenieros deben analizar movimientos enlínea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movi-miento de un pistón en un motor de combustión interna.

Descripción del movimientoConsidere una línea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado.Se supone que la dirección de la línea relativa al marco de referencia está fija (porejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y

relativa al origen O es v � dr�dt. Se desea demostrar que v� � v. Sea R el vectorde O a O� (figura 13.4b), de modo que

r� � r � R.

Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a O� es

La aceleración de P relativa a O� es a� � dv��dt, y la aceleración de P relativa a Oes a � dv�dt. Como v� � v, a� � a. Así, la velocidad y aceleración de un punto Prelativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del punto dereferencia fijo usado para especificar la posición de P.

RESULTADOS

v¿ =dr¿dt

=drdt

-dRdt

=drdt

= v.

PosiciónLa posición de un punto P en relación conun sistema coordenado específico, o marcode referencia, con origen O puede describir-se mediante el vector de posición r de O a P.

r

P

O

VelocidadLa velocidad de P relativa a O en el tiem-po t es la derivada de la posición r conrespecto a t (la razón de cambio de r).

drdt

v � . (13.1)

AceleraciónLa aceleración de P relativa a O en untiempo t es la derivada de la velocidad vcon respecto a t (la razón de cambio de v).

dvdt

a � . (13.2)

Un punto tiene la misma velocidad y ace-leración relativas a cualquier punto fijo enun marco de referencia dado.

13.2 Movimiento en línea recta 25

t

v

a

t

1

Figura 13.7La pendiente de la línea recta tangente a lagráfica de v contra t es la aceleración en eltiempo t.

tiene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede especi-ficar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a O por medio de unacoordenada s medida a lo largo de la línea que va de O a P. En la figura 13.5a sedefine a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está ala derecha de O y negativa cuando P está a la izquierda de O. El desplazamientode P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición s(t)� s(t0),donde s(t) denota la posición en el tiempo t.

Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la línea y que apunta en ladirección positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posición deP respecto a O como

r � se.

Como la magnitud y la dirección de e son constantes, de�dt � 0, por lo que la velo-cidad de P respecto a O es

Se puede escribir el vector velocidad como v � ve, y obtener la ecuación escalar

La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de suposición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la línea tangentea la gráfica de s como una función del tiempo (figura 13.6).

La aceleración de P respecto a O es

Al escribir el vector de aceleración como a � ae se obtiene la ecuación escalar

La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la línea tangente a la grá-fica de v como una función del tiempo (figura 13.7).

Con la introducción del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalaresque describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordena-da s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones

(13.3)

y

(13.4)

Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, es posible escribir la deri-vada de la velocidad con respecto al tiempo como

con lo que se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que frecuente-mente resulta útil:

(13.5)a =dv

ds v.

dv

dt=

dv

ds ds

dt,

a =dv

dt.

v =ds

dt

a =dv

dt=

d2s

dt2.

a =dvdt

=d

dt 1ve2 = dv

dt e.

v =ds

dt.

v =drdt

=ds

dt e.

O P

s

(a)

s

O Pr

(b)

se

Figura 13.5(a) Coordenada s de O a P.(b) Vector unitario e y vector de posición r.

t

s

v

t

1

Figura 13.6La pendiente de la línea recta tangente a lagráfica de s contra t es la velocidad en eltiempo t.


Análisis del movimientoEn algunas situaciones se conoce la posición s de algún objeto como función deltiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometría de láserpara medir posiciones en función del tiempo. En este caso, con las ecuaciones(13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciación la velocidad y la aceleracióncomo funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura13.8 durante el intervalo de tiempo de t � 2 s a t � 4 s está dada por la ecuación

entonces, su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son

y

Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición,porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley deNewton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Cuando se conoce laaceleración, con las ecuaciones (13.3) a (13.5) se pueden determinar por integraciónla velocidad y la posición.

Aceleración especificada como función del tiempo Si la aceleración esuna función conocida del tiempo, se puede integrar la relación

(13.6)

con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo. Seobtiene

donde A es una constante de integración. Después se puede integrar la relación

(13.7)

para determinar la posición en función del tiempo,

donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B senecesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores dev y s en un tiempo dado.

En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (13.6) puede escribirse como

dv � a dt

s = Lv dt + B,

ds

dt= v

v = La dt + A,

dv

dt= a

a =dv

dt= 2t m/s2.

v =ds

dt= t2 m/s

s = 6 +1

3 t3 m,

s

O

Figura 13.8La coordenada s mide la posición del centrode masa del camión respecto a un punto dereferencia.


tt t

t0

a v

(a)

Área � v(t) � v(t0)

tt0

(b)

Área � s(t) � s(t0)

Figura 13.9Relaciones entre áreas definidas por las gráficasde la aceleración y la velocidad de P, y cambiosen su velocidad y posición.

e integrar en términos de integrales definidas:

(13.8)

El límite inferior v0, es la velocidad en el tiempo t0 y el límite superior v es la velo-cidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral del lado izquierdo de laecuación (13.8), se obtiene una expresión para la velocidad en función del tiempo:

(13.9)

Se puede escribir la ecuación (13.7) como

ds � v dt

e integrar en términos de integrales definidas,

donde el límite inferior s0 es la posición en el tiempo t0 y el límite superior s esla posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral del lado izquierdo, seobtiene la posición como una función del tiempo:

(13.10)

Aunque se ha mostrado cómo determinar la velocidad y la posición cuando seconoce la aceleración como una función del tiempo, no es recomendable memorizarresultados como las ecuaciones (13.9) y (13.10). Como se demostrará en los ejem-plos, se recomienda que los problemas de movimiento en línea recta se resuelvanusando las ecuaciones (13.3) a (13.5).

Se pueden realizar algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (13.9) y(13.10):

• El área definida por la gráfica de la aceleración de P como una función deltiempo de t0 a t es igual al cambio en la velocidad de t0 a t (figura 13.9a).

• El área definida por la gráfica de la velocidad de P como una función deltiempo de t0 a t es igual al cambio en la posición de t0 a t (figura 13.9b).

A menudo estas relaciones pueden usarse para obtener una apreciación cualitativadel movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para deter-minar su movimiento en forma cuantitativa.

s = s0 + Lt

t0

v dt.

Ls

s0

ds = Lt

t0

v dt,

v = v0 + Lt

t0

a dt.

Lv

v0

dv = Lt

t0

a dt.

Aceleración constante En algunas situaciones, la aceleración de un objeto esconstante, o casi constante. Por ejemplo, si se deja caer un objeto denso, como unapelota de golf o una roca, y éste no cae muy lejos, la aceleración de este cuerpo esaproximadamente igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar.

Sea la aceleración una constante conocida a0. A partir de las ecuaciones (13.9)y (13.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son

v � v0 � a0(t � t0) (13.11)

y

(13.12)

donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observeque si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo.

A partir de la ecuación (13.5), puede escribirse la aceleración como

Escribiendo esta expresión como v dv � a0 ds e integrando,

se obtiene una ecuación para la velocidad como una función de la posición:

(13.13)

Aunque las ecuaciones (13.11) a (13.13) pueden ser útiles cuando la aceleración esconstante, no deben ser usadas en otros casos.

RESULTADOS

v2= v2

0 + 2a01s - s02.

Lv

v0

v dv = Ls

s0

a0 ds,

a0 =dv

ds v.

s = s0 + v01t - t02 + 1

2 a01t - t022,


PosiciónLa posición de un punto P sobre una línea rectarespecto a un punto de referencia O puede descri-birse mediante la coordenada s medida a lo largode la línea desde O hasta P. El desplazamiento deP durante un intervalo de tiempo de t0 a t es elcambio en posición s(t) � s(t0), donde s(t) denotala posición en el tiempo t.

O P

ss

VelocidadLa velocidad de P respecto a O en el tiempo t esla derivada de la posición s con respecto a t (larazón de cambio de s).

v � (13.3).ds

dt

Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo


AceleraciónLa aceleración de P respecto a O en untiempo t es la derivada de la velocidad vcon respecto a t (la razón de cambio de v).

a � (13.4).dv

dt

La velocidad puede integrarse con respectoal tiempo para determinar la posición comouna función de éste. B es una constante deintegración.

� v,ds

dt

Lv dt � B.s �

Aplicando la regla de la cadena

se obtiene una expresión alternativa para laaceleración que con frecuencia resulta útil.

a � (13.5)v.dv

dsa �

dv

dt�

dv

ds

ds

dt

La aceleración puede integrarse conrespecto al tiempo para determinar lavelocidad como una función del tiempo.A es una constante de integración.

� a,dv

dt

La dt � A.v �

De manera alternativa se pueden usar inte-grales definidas para determinar la veloci-dad. Aquí v0 es la velocidad en el tiempot0, y v es la velocidad en el tiempo t. Esteresultado muestra que el cambio en la velo-cidad del tiempo t0 al tiempo t es igual alárea definida por la gráfica de la acelera-ción desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.

v � v0 � a dt.

a dt,dv �v0

v

tt

t0

a

Área � v(t) � v(t0)

L t0

t

L

t0

t

L

Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo

Cuando la aceleración es constante


Suponga que la aceleración es una constantea � a0. Las ecuaciones (13.3) a (13.5) puedenintegrarse para obtener estos resultados conve-nientes para la velocidad v y la posición s en eltiempo t. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0,y s0 es la posición en el tiempo t0.

v � v0 � a0(t � t0),

v2 � v20 � 2a0(s � s0).

s � s0 � v0(t � t0) �

(13.11)

(13.13)

(13.12)a0(t � t0)2,

1

2

Ejemplo activo 13.1 Aceleración que es una función del tiempo (� Relacionado con el problema 13.12)

La aceleración (en m/s2) del punto P mostrado respecto al punto O está dada como unafunción del tiempo por a � 3t2, donde t está en segundos. En t � 1 s, la posición deP es s � 3 m y en t � 2 s, la posición de P es s � 7.5 m. ¿Cuál es la posición de P ent � 3 s?

EstrategiaDebido a que la aceleración está dada como una función del tiempo, ésta puedeintegrarse para obtener una ecuación para la velocidad en función del tiempo.Después se puede integrar la velocidad para obtener una ecuación para la posiciónen función del tiempo. Las ecuaciones resultantes contendrán dos constantes deintegración. Estas expresiones pueden evaluarse usando los valores dados de la po-sición en t � 1 s y t � 2 s.

O P

ss

Pueden usarse integrales definidas para determinarla posición. Aquí, s0 es la posición en el tiempo t0,y s es la posición en el tiempo t. Este resultadomuestra que el cambio en la posición del tiempo t0al tiempo t es igual al área definida por la gráficade la velocidad desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.

s � s0 � v dt.

v dt,dv �s0

s

t

v

tt0

Área � s(t) � s(t0)

L t0

t

L

t0

t

L


Solución

Problema de práctica La aceleración (en pies/s2) del punto P respecto al punto O estádado como una función del tiempo por a � 2t, donde t está dado en segundos. Cuandot � 3 s, la posición y la velocidad de P son s � 30 pies y v � 14 pies/s. ¿Qué valorestienen la posición y la velocidad de P en t � 10 s?

Respuesta: s � 389 pies, v � 105 pies/s.

O P

ss

Integre la aceleración para determinar la velocidad comouna función del tiempo. A es una constante de integración.

� 3t2,dv

dta �

v � t3 � A.

Integre la velocidad para determinar la posición comouna función del tiempo. B es una constante de integración.

� t3 � A,ds

dtv �

s � t4 � At � B.1

4

Use las posiciones conocidas en t � 1 s y en t � 2 spara determinar A y B, obteniendo A � 0.75 y B � 2.

s t�2 s � 7.5 �

(1)4 � A(1) � B,s t�1 s � 3 �1

4

(2)4 � A(2) � B.1

4

Determine la posición en t � 3 s.

s t�3 s �

t4 � 0.75t � 2 :s �1

4

(3)4 � 0.75(3) � 2 � 24.5 m.1

4


h

Ejemplo 13.2 Movimiento en línea recta con aceleración constante (� Relacionado con el problema 13.1)

Los ingenieros que prueban un vehículo que debe lanzarse por paracaídas estimanque la velocidad vertical del automóvil al tocar el suelo será de 6 m/s. Si sueltan elvehículo desde el bastidor de prueba mostrado, ¿a qué altura h se debe soltar parasimular la caída con paracaídas?

EstrategiaSi la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto cerca de la superficie dela Tierra es su peso, la aceleración del objeto es aproximadamente constante e iguala la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo tanto, se supone quela aceleración del vehículo durante su corta caída es g � 9.81 m/s2. Se pueden in-tegrar las ecuaciones (13.3) y (13.4) para obtener la velocidad y la posición delvehículo como funciones del tiempo y después usarlas para determinar la posicióndel vehículo cuando su velocidad es igual a 6 m/s.

SoluciónSea t � 0 el tiempo en el que el vehículo se suelta, y sea s la posición del fondo dela plataforma que soporta al vehículo respecto a su posición en t � 0 (figura a). Laaceleración del vehículo es a � 9.81 m/s2.

De la ecuación (13.4),

Integrando, se obtiene

v � 9.81t � A,

donde A es una constante de integración. Como el vehículo se encuentra en reposoal soltarlo, v � 0 cuando t � 0. Por lo tanto, A � 0, y la velocidad del vehículo enfunción del tiempo es

v � 9.81t m/s.

dv

dt= a = 9.81 m/s2.


s

a) La coordenada s mide la posición del fondo de la plataforma respecto a suposición inicial.

Se sustituye este resultado en la ecuación (13.3) para obtener

y se integra, de donde resulta

s � 4.91t2 � B.

La posición s � 0 cuando t � 0, por lo que la constante de integración B � 0, y laposición en función del tiempo es

s � 4.91t2.

De la ecuación para la velocidad como una función del tiempo, el tiempo necesariopara que el vehículo alcance 6 m/s es

Sustituyendo este tiempo en la ecuación para la posición en función del tiempo, seobtiene la altura h requerida:

h � 4.91t2 � 4.91(0.612)2 � 1.83 m.

Razonamiento críticoObserve que la altura h, desde la cual debe soltarse el vehículo, podría habersedeterminado de una manera más simple usando la ecuación (13.13), que relacionala velocidad con la posición.

v2� v2

0 � 2a0(s � s0):

(6 m/s)2 � 0 � 2(9.81 m/s2)(h � 0).

Al resolver, se obtiene h � 1.83 m. Pero resulta esencial recordar que las ecuaciones(13.11) a (13.13) son aplicables sólo cuando la aceleración es constante, como eneste ejemplo.

t =v

9.81 m/s2=

6 m/s

9.81 m/s2= 0.612 s.

ds

dt= v = 9.81t


Ejemplo 13.3 Solución gráfica de un movimiento en línea recta (� Relacionado con el problema 13.26)

El guepardo, Acinonyx jubatus, puede correr a 75 mi/h. Si se supone que la acelera-ción del animal es constante y que alcanza su velocidad máxima en 4 s, ¿qué distanciapodrá recorrer en 10 s?

EstrategiaLa aceleración tiene un valor constante durante los primeros 4 s y después es cero.Se puede determinar la distancia recorrida durante cada una de esas “fases” del mo-vimiento y sumarlas para obtener la distancia total recorrida. Esto se hará de maneraanalítica y gráfica.

SoluciónLa velocidad máxima en pies por segundo es

Primer método Sea a0 la aceleración durante los primeros 4 s. Se integra la ecua-ción (13.4) y resulta

de donde se obtiene la velocidad en función del tiempo durante los primeros 4 s:

v � a0 t pies/s.

Cuando t � 4 s, v � 110 pies/s; entonces a0 � 110�4 � 27.5 pies/s2. Por lo tanto,la velocidad durante los primeros 4 segundos es v� 27.5t pies/s. Ahora se integrala ecuación (13.3),

y se obtiene la posición como función del tiempo durante los primeros 4 s:

s � 13.75t2 pies.

s - 0 = 27.5a t2

2- 0b ,

cs d0

s

= 27.5 c t2

2d

0

t

,

Ls

0

ds = Lt

0

27.5t dt,

v - 0 = a01t - 02, cv d

0

v

= a0 c t d0

t

,

Lv

0

dv = Lt

0

a0 dt,

75 mi/h = 175 mi/h2a5280 pies

1 mib a 1 h

3600 sb = 110 pies/s.


En t � 4 s la posición es s � 13.75(4)2 � 220 pies.

De t � 4 s a t � 10 s, la velocidad v � 110 pies/s. Se escribe la ecuación(13.3) como

ds � v dt � 110 dt

y se integra para determinar la distancia viajada durante la segunda fase del movi-miento,

obteniendo s � 660 pies. La distancia total que viaja el guepardo en 10 s es 220 pies� 660 pies � 880 pies, o 293 yd.

Segundo método En la figura a se dibuja la gráfica de la velocidad del guepardoen función del tiempo. La aceleración es constante durante los primeros 4 s de sumovimiento, por lo que su velocidad es una función lineal del tiempo desde v� 0en t � 0 hasta v � 110 pies/s en t � 4 s. La velocidad es constante durante los úl-timos 6 s. La distancia total recorrida es la suma de las áreas durante las dos fasesdel movimiento:

1–2(4 s)(110 pies/s) � (6 s)(110 pies/s) � 220 pies � 660 pies � 880 pies.

s - 0 = 110110 - 42, cs d

0

s

= 110 c t d4

10

,

Ls

0

ds = L10

4

110 dt,

110

04

t (s)

El área es igual a la distanciarecorrida de t � 0 a t � 10 s.

100

v (

pies

/s)

(a) Velocidad del guepardo en función deltiempo.

Razonamiento críticoObserve que en el primer método se usaron integrales definidas en vez de indefi-nidas para determinar la velocidad y posición del guepardo en función del tiempo.Se sugiere resolver este ejemplo usando integrales indefinidas y comparar losresultados de ambos métodos. El uso de integrales definidas o indefinidas es unacuestión de preferencia personal, pero es necesario estar familiarizado con ambosprocedimientos.


Los siguientes problemas implican movimiento en línearecta. El tiempo t está en segundos a menos que seindique otra cosa.

� 13.1 En el ejemplo 13.2 suponga que el vehículo se dejacaer desde una altura h � 6 m. a) ¿Qué valor tiene la velocidaddescendente 1 s después de soltar el vehículo? b) ¿Qué valortiene la velocidad descendente justo antes de llegar al suelo?

13.2 La fresadora que se muestra en la figura está programada demodo que durante el intervalo de tiempo desde t � 0 hasta t � 2 s,la posición de su cabeza (en pulgadas) está dada como una funcióndel tiempo por s � 4t � 2t2. ¿Cuál es la velocidad (en pulg/s) y laaceleración (en pulg/s2) de la cabeza cuando t � 1 s?

s

Problema 13.2

s

s � 0

Problema 13.3

Problemas

13.3 En un experimento para estimar la aceleración debida a lagravedad, un estudiante deja caer una pelota a una distancia de 1 msobre el piso. Su compañero de laboratorio mide el tiempo que lapelota tarda en caer y obtiene una estimación de 0.46 s.

a) ¿Cuál es su estimación de la aceleración debida a la gravedad?

b) Sea s la posición de la pelota respecto al piso. Usando el valorde la aceleración debida a la gravedad obtenida por los estudiantes,y suponiendo que la pelota se suelta en t � 0, determine s (en m)como una función del tiempo.

Problemas 37

Problema 13.4

s

Problema 13.5

P

s

Problemas 13.8/13.9

s

Problema 13.11

13.4 La posición del bote que se muestra en la figura duranteel intervalo de tiempo desde t � 2 s hasta t � 10 s está dada pors � 4t � 1.6t2

� 0.08t3 m.a) Determine la velocidad del bote y la aceleración en t � 4 s.b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bote durante este intervalode tiempo y cuándo ocurre?

13.5 El cohete que se muestra en la figura parte del reposo en t = 0y viaja hacia arriba en línea recta. Su altura sobre el suelo como unafunción del tiempo puede aproximarse por s � bt2 � ct3, donde b yc son constantes. En t � 10 s, la velocidad del cohete y la acelera-ción son v� 229 m/s y a � 28.2 m/s2. Determine el tiempo en elque el cohete alcanza la velocidad supersónica (325 m/s). ¿Cuál esla altura cuando esto ocurre?

13.6 La posición de un punto durante el intervalo de tiempodesde t � 0 hasta t � 6 s está dada por s � �

1–2 t3 � 6t2 � 4t m.

a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempoy en qué momento ocurre?b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?

13.7 La posición de un punto durante el intervalo de tiempodesde t � 0 hasta t � 3 s es s � 12 � 5t2 � t3 pies.a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo,y en qué momento ocurre?b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?

13.8 La manivela giratoria que se muestra en la figura ocasio-na que la posición del punto P como una función del tiempo seas � 0.4 sen(2pt) m.a) Determine la velocidad y la aceleración de P en t � 0.375 s.b) ¿Cuál es la magnitud máxima de la velocidad de P?c) Cuando la magnitud de la velocidad de P es máxima, ¿cuál esla aceleración de P?

13.9 Para el mecanismo del problema 13.8, dibuje gráficas dela posición s, la velocidad v y la aceleración a del punto P comofunciones del tiempo para 0 � t � 2 s. Usando sus gráficas, con-firme que la pendiente de la gráfica de s es cero en los tiempospara los cuales v es igual a cero y que la pendiente de la gráficade v es cero en los tiempos para los cuales a es igual a cero.

13.10 Un sismógrafo mide el movimiento horizontal del terrenodurante un sismo. Al analizar los datos, un ingeniero determina quepara un intervalo de 10 segundos comenzando en t � 0, la posiciónse puede expresar aproximadamente con s � 100 cos(2pt) mm.¿Cuáles son a) la velocidad máxima y b) la aceleración máxima delterreno durante el intervalo de 10 segundos?

13.11 En una operación de ensamblaje, el brazo de robot mostradose mueve a lo largo de una línea recta. Durante un intervalo de tiem-po de t � 0 a t � 1 s, su posición está dada por s � 30t2 � 20t3 mm.a) Determine la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo.b) ¿Qué valores tienen la posición y la aceleración cuando lavelocidad es máxima?

13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición 41

13.37 Si u � 1 rad y du�dt � 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de Prespecto a O?

Estrategia: Se puede escribir la posición de P respecto a Ocomo

s � (2 pies) cos u � (2 pies) cos u,

y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto altiempo para determinar la velocidad.

13.38 Si u � 1 rad, du�dt � �2 rad/s y d2u�dt2

� 0, ¿cuálesson la velocidad y la aceleración de P respecto a O?

s

u

2 pies

O

P

2 pies

Problemas 13.37/13.38

s

uO

P

200 mm 400 mm

Problema 13.39

13.39* Si u � 1 rad y du�dt � 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de Prelativa a O?

13.3 Movimiento en línea recta cuandola aceleración depende de la velocidado de la posición

ANTECEDENTES

Aceleración especificada como función de la velocidad Las fuerzas aero-dinámicas e hidrodinámicas ocasionan que la aceleración de un objeto dependa desu velocidad (figura 13.10). Suponga que la aceleración es una función conocidade la velocidad; es decir,

(13.14)

No es posible integrar esta ecuación con respecto al tiempo para determinar la velo-cidad, porque a(v) no se conoce como función del tiempo. Sin embargo, se puedenseparar variables poniendo los términos que contengan v en un lado de la ecuacióny los términos que contengan t en el otro lado:

(13.15)

Ahora se puede integrar, de donde se obtiene

(13.16)Lv

v0

dv

a1v2 = Lt

t0

dt,

dv

a1v2 = dt.

dv

dt= a1v2.

Figura 13.10Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicasdependen de la velocidad del cuerpo. Cuandola velocidad de la bala decrece, la fuerza aero-dinámica de arrastre que resiste su movimientodisminuye.

donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. En principio, se puede resolver esta ecua-ción para la velocidad en función del tiempo, y luego integrar la relación

para determinar la posición en función del tiempo.Usando la regla de la cadena, también se puede determinar la velocidad en

función de la posición. Escribiendo la aceleración como

y sustituyéndola en la ecuación (13.14) se obtiene

La separación de variables produce

Integrando,

es posible obtener una relación entre la velocidad y la posición.

Aceleración especificada como función de la posición Las fuerzas gra-vitatorias y las fuerzas ejercidas por resortes pueden hacer que la aceleración de uncuerpo dependa de su posición. Si la aceleración se conoce como una función dela posición; es decir,

(13.17)

no se puede integrar con respecto al tiempo para determinar la velocidad porquea(s) no se conoce como función del tiempo. Además, no es posible separar varia-bles porque la ecuación contiene tres variables: v, t y s. Sin embargo, usando laregla de la cadena

la ecuación (13.17) puede escribirse como

Ahora se pueden separar variables,

v dv � a(s) ds, (13.18)

dv

ds v = a1s2.

dv

dt=

dv

ds ds

dt=

dv

ds v,

dv

dt= a1s2,

Lv

v0

v dv

a1v2 = Ls

s0

ds,

v dv

a1v2 = ds.

dv

ds v = a1v2.

dv

dt=

dv

ds ds

dt=

dv

ds v

ds

dt= v


y se integra:

(13.19)

En principio se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función de laposición:

(13.20)

Luego es posible separar variables en esta ecuación e integrar para determinar laposición en función del tiempo:

RESULTADOS

Ls

s0

ds

v1s2 = Lt

t0

dt.

v =ds

dt= v1s2.

Lv

v0

v dv = Ls

s0

a1s2 ds.

13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición 43

Cuando la aceleración seconoce como una funciónde la velocidad, a � a(v).

Separe variables

Después, separe variables,

e integre para determinar la velocidad comouna función del tiempo.

O aplique primero la regla de la cadena,

e integre para determinar la velocidad comouna función de la posición.

� a(v):

� a(v),

dv

dt

�dv

dt

dv

ds�

dv

ds

ds

dt

� dt,

v

dva(v)

� ds,v dva(v)

Cuando la aceleración seconoce como una funciónde la posición, a � a(s).

Aplique la regla de la cadena,

después separe variables,

e integre para determinar la velocidadcomo una función de la posición.

� a(s),�dv

dt

dv

ds�

dv

ds

ds

dtv

v dv � a(s)ds,


Ejemplo activo 13.4 Aceleración que es una función de la velocidad (� Relacionado con el problema 13.40)

Después de desplegar su paracaídas de freno, el avión que se presenta en la figura tieneuna aceleración (en m/s2) de a � �0.004v2, donde v es la velocidad en m/s. Determi-ne el tiempo requerido para que la velocidad del avión se reduzca de 80 m/s a 10 m/s.

EstrategiaLa aceleración del avión se conoce como una función de su velocidad. Si se escribela aceleración como a � dv�dt, es posible separar variables e integrar para determi-nar la velocidad como una función del tiempo.

Solución

� �0.004v2 :dv

dt

� �0.004dt.dv

v2

Separe variables.

� �Integre, definiendo t � 0 como el tiem-po en el cual la velocidad es de 80 m/s.Aquí v es la velocidad en el tiempo t.

� �0.004 dt,dv

v2

� �0.004t.�1

v�

1

80

� �0.004 t ,�1

v� �v

80

t

0

80Lv

0Lt

Despeje t en términos de la velocidad. Apartir de esta ecuación, se encuentra queel tiempo requerido para que la velocidaddisminuya a 10 m/s es 21.9 s. En la gráfi-ca se muestra la velocidad del avión comouna función del tiempo.

00

t (s)

10 20 30

10

20

30

40

v (

m/s

)

5 15 25

50

60

70

80

21.9

� �1

v�t � 250 .

1

80

Problema de práctica ¿Qué distancia viaja el avión mientras su velocidad disminu-ye de 80 m/s a 10 m/s?

Respuesta: 520 m.


s

Problema 13.41


Problemas

� 13.40 En el ejemplo activo 13.4, determine el tiempo requeridopara que la velocidad del avión disminuya de 50 m/s a 10 m/s.

13.41 Un ingeniero que está diseñando un sistema para controlarel puntero de un proceso de maquinado, modela el sistema de ma-nera que la aceleración del puntero (en pulg/s2) durante un intervalode tiempo está dado por a � �0.4v, donde v es la velocidad delpuntero en pulg/s. Cuando t � 0, la posición es s � 0 y la velocidades v � 2 pulg/s. ¿Cuál es la posición en t � 3 s?

13.42 La lancha de la figura se mueve a 10 m/s cuando su motorse apaga. Debido a la resistencia aerodinámica, su aceleraciónsubsecuente es a � �0.05v2 m/s2, donde v es la velocidad de lalancha en m/s. ¿Cuál es la velocidad de la lancha 4 s después deque se apaga el motor?

13.43 En el problema 13.42, ¿qué distancia recorre la lancha enlos 4 s que siguen al apagado del motor?

13.44 Una bola de acero se libera del reposo en un recipientede aceite. Su aceleración hacia abajo es a � 2.4 � 0.6v pulg/s2,donde v es la velocidad en pulg/s. ¿Cuál es la velocidad haciaabajo de la bola 2 s después de haber sido soltada?

13.45 En el problema 13.44, ¿cuál es la distancia que cae la bolaen los primeros 2 s después de haber sido soltada?

13.46 La mayor profundidad oceánica descubierta hasta ahora sehalla en el foso de las Marianas, en el Océano Pacífico occidental.Si se libera una bola de acero en la superficie requiere 64 minutospara llegar al fondo. La aceleración de la bola hacia abajo es a � 0.9g � cv, donde g � 9.81 m/s2 y la constante c � 3.02 s�1.¿Cuál es la profundidad del foso de las Marianas en kilómetros?

13.47 La aceleración de un avión regional durante su carrera dedespegue es a � 14 � 0.0003v2 pies/s2, donde v es la velocidaden pies/s. ¿Cuánto tiempo tarda el avión en alcanzar su velocidad dedespegue de 200 pies/s?

13.48 En el problema 13.47, ¿qué distancia requiere el aviónpara despegar?


13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas 49

13.63 El radio de la Luna de 1738 km. La magnitud de la ace-leración debida a la gravedad en su superficie a una distancia sdesde su centro es

Suponga que una nave espacial se lanza hacia arriba desde lasuperficie de la Luna con una velocidad de 2000 m/s.

a) ¿Cuál será la magnitud de su velocidad cuando se encuentre a1000 km sobre la superficie de la Luna?

b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzará sobre la superficie dela Luna?

13.64* La velocidad de un objeto sometido sólo al campo gravi-tacional de la Tierra es

donde s es la posición del objeto respecto al centro de la Tierra, v0 esla velocidad en la posición s0, y RE es el radio de la Tierra. Usandoesta ecuación, muestre que la aceleración del objeto está dada comouna función de s por a � �gR2

E�s2.

v = cv02 + 2gRE

2 a1

s-

1s0b d1>2,

4.89 * 1012

s2 m/s2.

S

N

Túnel

RE

s


13.65 Suponga que se puede taladrar un túnel recto a través dela Tierra, desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, y evacuar el aire.Un objeto liberado desde la superficie caería con aceleración a � �gs�RE, donde g es la aceleración de la gravedad al niveldel mar, RE es el radio de la Tierra y s es la distancia del objetorespecto al centro de la Tierra. (La aceleración debida a la gravedades igual a cero en el centro de la Tierra y se incrementa linealmentecon la distancia desde el centro). ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del objeto cuando éste llega el centro de la Tierra?

13.66* Determine el tiempo en segundos requerido para que elobjeto del problema 13.65 caiga desde la superficie de la Tierrahasta su centro. El radio de la Tierra es de 6370 km.

13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadascartesianas

ANTECEDENTESEl movimiento de un punto a lo largo de una línea recta puede describirse mediantelos escalares s, v y a. Pero si un punto describe una trayectoria curvilínea, respectoa algún marco de referencia, se debe especificar su movimiento en términos de losvectores de posición, velocidad y aceleración. En muchos casos, el movimiento delpunto puede analizarse de manera conveniente expresando los vectores en coorde-nadas cartesianas.

Sea r el vector de posición de un punto P respecto al origen O de un marcode referencia cartesiano (figura 13.11). Las componentes de r son las coordenadasx, y y z de P:

r � x i � y j � zk.

Los vectores unitarios i, j y k tienen cada uno magnitudes y direcciones constantesrespecto al marco de referencia, por lo que la velocidad de P en relación con sumarco de referencia es

(13.21)

Expresando la velocidad en términos de componentes escalares, se obtiene

v � vx i � vy j � vz k, (13.22)

v =drdt

=dx

dt i +

dy

dt j +

dz

dt k.

x

y

z

(x, y, z)P

r

O i

k

j

Figura 13.11Sistema coordenado cartesiano con origen en O.


de donde se obtienen ecuaciones escalares que relacionan las componentes de lavelocidad con las coordenadas de P:

(13.23)

La aceleración de P es

Expresando la aceleración en términos de componentes escalares,

a � ax i � ay j � az k, (13.24)

se obtienen las ecuaciones escalares

(13.25)

Las ecuaciones (13.23) y (13.25) describen el movimiento de un punto respecto aun sistema cartesiano. Observe que las ecuaciones que describen el movimiento encada dirección coordenada son idénticas en forma a las ecuaciones que describen elmovimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, a menudose puede analizar el movimiento en cada dirección coordenada usando los métodosaplicables al movimiento en línea recta.

El problema del proyectil es el ejemplo clásico de este tipo. Si un objeto sedispara al aire y la resistencia aerodinámica es insignificante, su aceleración haciaabajo será la aceleración de la gravedad. En términos de un sistema coordena-do cartesiano fijo, con su eje y hacia arriba, la aceleración está dada por ax � 0,ay � �g y az � 0. Suponga que en t � 0, el proyectil se encuentra en el origeny tiene velocidad v0, en el plano x�y a un ángulo u0, sobre la horizontal (figura13.12). En t � 0, x � 0 y vx � v0 cos u0. La aceleración en la dirección x escero; es decir,

Por lo tanto, vx es constante y permanece igual a su valor inicial:

(13.26)

(Este resultado puede parecer poco realista. La razón es que la intuición, con baseen la experiencia diaria, considera la resistencia del aire, mientras que el análisisque se presenta aquí no lo hace). Integrando la ecuación (13.26), resulta

y se obtiene la coordenada x del objeto como una función del tiempo:

x � (v0 cos u0)t. (13.27)

Lx

0 dx = L

t

0v0 cos u0 dt,

vx =dx

dt= v0 cos u0.

ax =dvx

dt= 0.

ax =dvx

dt, ay =

dvy

dt, az =

dvz

dt.

a =dvdt

=dvx

dt i +

dvy

dt j +

dvz

dt k.

vx =dx

dt, vy =

dy

dt, vz =

dz

dt.

x

y

v0

u0

Figura 13.12Condiciones iniciales para un problema deproyectil.

Así se ha determinado la posición y la velocidad del proyectil en la dirección xcomo funciones del tiempo sin considerar el movimiento en las direcciones y o z.

En t � 0, y � 0 y vy � v0 sen u0. La aceleración en la dirección y es

Integrando, se obtiene

de donde se sigue que

(13.28)

Al integrar esta ecuación, resulta

y se encuentra que la coordenada y en función del tiempo es

(13.29)

Observe en este análisis que se obtienen la misma velocidad y la misma posiciónvertical lanzando el proyectil hacia arriba con velocidad inicial v0 sen u0 (figuras13.13a y b). El movimiento vertical es completamente independiente del movi-miento horizontal.

Despejando t de la ecuación (13.27) y sustituyendo el resultado en la ecuación(13.29), se obtiene una ecuación que describe la trayectoria parabólica del proyectil:

(13.30)y = 1tan u02x -g

2v02 cos2 u0

x2.

ay =dvy

dt= -g.


x

y

(a) (b)

�x �x �x �x �x

Figura 13.13(a) Posiciones del proyectil en intervalos

de tiempo ¢ t iguales. La distancia ¢x � v0(cos u0) ¢t.

(b) Posiciones en intervalos de tiempo ¢tiguales de un proyectil, dada una velocidadvertical inicial igual a v0 sen u0.

Lvy

v0 sen u0

dvy = Lt

0-g dt,

vy =dy

dt= v0 sen u0 - gt.

Ly

0dy = L

t

01v0 sen u0 - gt2 dt,

y = 1v0 sen u02t - 12gt2.


RESULTADOS

Las componentes del vector de posiciónde un punto P respecto al origen O de unsistema coordenado cartesiano son lascoordenadas x, y, z de P.

r � xi � yj � zk.

x

y

z

(x, y, z)P

r

O

Componentes cartesianas de la velocidadde P respecto al marco de referencia.

,dx

dtvx � ,

dy

dtvy � . (13.23)

dz

dtvz �

Componentes cartesianas de la aceleraciónde P respecto al marco de referencia.

,ax � ,ay � . (13.25)dvz

dt

dvy

dtdvx

dtaz �

La forma de las ecuaciones que describen elmovimiento en cada dirección coordenada esidéntica a la de las ecuaciones que describen elmovimiento de un punto a lo largo de una línearecta. En consecuencia, el movimiento en cadadirección coordenada puede analizarse usandolos métodos para el movimiento rectilíneo.

Ejemplo activo 13.6 Análisis del movimiento en términos de componentes cartesianas(� Relacionado con el problema 13.67)

Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t � 0 en el origendel sistema de coordenadas mostrado y se mueve en el plano x–y, los acelerómetrosmontados a bordo indican que sus componentes de aceleración (en m/s2) durante elintervalo del tiempo de t � 0 a t � 10 s son

ax � 0.6t,

ay � 1.8 � 0.36t,

¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t � 6 s?


EstrategiaSe puede analizar de manera independiente el movimiento en cada dirección coor-denada, integrando cada componente de la aceleración para determinar las compo-nentes de la velocidad en función del tiempo.

Solución

Problema de práctica Determine el vector de posición del helicóptero en t � 6 srespecto a su posición en t � 0.

Respuesta: r�t � 6 s � 21.6i � 19.4j (m).

Integre la componente x de laaceleración para determinar la componente x de la velocidaden función del tiempo.

vx � 0.3t2.

� 0.6t,ax �dvx

dt

L dvx � 0.6 t dt,0

vx

L0

t

Evalúe la componente x de lavelocidad en t � 6 s. vx t�6 s � 0.3(6)2 � 10.8 m/s.

vy � 1.8t � 0.18t2.

� 1.8 � 0.36t,ay �

dvy

dt

L dvy � (1.8 � 0.36t) dt,0

vy

L0

tIntegre la componente y de laaceleración para determinar la componente y de la velocidaden función del tiempo.

Evalúe la componente y de lavelocidad en t � 6 s. vy t�6 s � 1.8(6) � 0.18(6)2 � 4.32 m/s.

Calcule la magnitud de lavelocidad en t � 6 s. (10.8 m/s)2 � (4.32 m/s)2

|v|t�6 s � vx2 � vy

2

�

� 11.6 m/s

y

x


Ejemplo 13.7 Problema de un proyectil (� Relacionado con el problema 13.69)

El esquiador mostrado en la figura deja la superficie inclinada 20° a 10 m/s.a) Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza.b) ¿Cuáles son las magnitudes de sus componentes de velocidad paralela y per-pendicular a la superficie inclinada a 45° justo antes de aterrizar?

Estrategiaa) Si se ignora el arrastre aerodinámico y se trata al esquiador como un proyectil, puededeterminarse su velocidad y posición en función del tiempo. Usando la ecuación quedescribe la superficie recta sobre la que el esquiador aterriza, se pueden relacionar suscoordenadas horizontal y vertical en el impacto y, consecuentemente, obtener una ecua-ción para el tiempo en el cual aterriza. Al conocer el tiempo, es posible determinar suposición y velocidad. b) Se puede determinar la velocidad paralela y perpendicular a la superficie incli-nada a 45° usando el resultado de que la componente de un vector U en la direcciónde un vector unitario e es (e � U)e.

Solucióna) En la figura a se introduce un sistema coordenado con su origen en el punto dondeel esquiador despega. Sus componentes de velocidad en ese instante (t � 0) son

vx � 10 cos 20° � 9.40 m/s

y

vy � �10 sen 20° � �3.42 m/s.

La componente x de la aceleración es cero, por lo tanto vx es constante y la coor-denada x del esquiador en función del tiempo es

x � 9.40t m.

La componente y de la aceleración es

Integrando para determinar vy como una función del tiempo, se obtiene

de donde resulta que

Se integra esta ecuación para determinar la coordenada y como una función detiempo. Se tiene

de donde

y � �3.42t � 4.905t2 m.

Ly

0 dy = L

t

01-3.42 - 9.81t2 dt,

vy =dy

dt= -3.42 - 9.81t m/s.

Lvy

-3.42 dvy = L

t

0-9.81 dt,

ay =dvy

dt= -9.81 m/s2.

45�

3 m

d

20�

45�

3 m

d

20�x

e

y

(a)


La pendiente de la superficie sobre la cual aterriza el esquiador es �1, por loque la ecuación lineal que la describe es y � (�1)x � A, donde A es una cons-tante. En x � 0, la coordenada y de la superficie es �3 m, entonces A � �3 my la ecuación que describe la superficie inclinada a 45° es

y � �x � 3 m.

Al sustituir las ecuaciones obtenidas para x e y como funciones del tiempo en estaecuación, se obtiene una expresión para el tiempo en el cual aterriza el esquiador:

�3.42t � 4.905t2 � �9.40t � 3.

Despejando t, se obtiene t � 1.60 s. Por lo tanto, sus coordenadas cuando el es-quiador aterriza son

x � 9.40(1.60) � 15.0 m

y

y � �3.42(1.60) � 4.905(1.60)2 � �18.0 m,

y la distancia d es

b) Las componentes de la velocidad del esquiador justo antes de aterrizar son

vx � 9.40 m/s

y

vy � �3.42 � 9.81(1.60) � �19.1 m/s,

y la magnitud de su velocidad es Sea e unvector unitario paralelo a la pendiente sobre la que aterriza (figura a):

e � cos 45°i � sen 45°j.

La componente de la velocidad paralela a la superficie es

(e � v)e � [(cos 45°i � sen 45°j) � (9.40i � 19.1j)]e

� 20.2e (m/s).

La magnitud de la velocidad del esquiador paralela a la superficie es 20.2 m/s. Porconsiguiente, la magnitud de su velocidad perpendicular a la superficie es

Razonamiento críticoLa clave para resolver este problema fue que se conocía la aceleración del esquia-dor. Al saber cuál era la aceleración, se pudieron determinar las componentes desu velocidad y su posición como funciones del tiempo. Observe cómo se determi-nó la posición en la que el esquiador aterrizó sobre la pendiente. Se supo que alinstante de aterrizar, sus coordenadas x e y especifican un punto sobre la línea rectaque define la superficie de la pendiente. Al sustituir su coordenadas x e y comofunciones del tiempo en la ecuación para la línea recta que define la pendiente, fueposible resolver el tiempo en el que aterrizó. Conociendo el tiempo, se pudo deter-minar su posición y velocidad en ese instante.

2 ƒv ƒ 2 - 120.222 = 6.88 m/s.

ƒv ƒ = 219.4022 + 1-19.122 = 21.3 m/s.

d = 2115.022 + 118.0 - 322 = 21.3 m.


Problema 13.68

y

45�x


Problemas

� 13.67 En una segunda prueba, las coordenadas de posición(en m) del helicóptero del ejemplo activo 13.6 están dadas comofunciones del tiempo por

x � 4 � 2t,y � 4 � 4t � t2.

a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t � 3 s?

b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del helicóptero en t � 3 s?

13.68 En términos de un marco de referencia particular, la posición del centro de masa del F-14 en el instante mostrado (t � 0) es r � 10i � 6j � 22k (m). La velocidad de t � 0 a t � 4 s es v � (52 � 6t)i � (12 � t2)j � (4 � 2t2)k (m/s).¿Cuál es la posición del centro de masa del avión en t � 4 s?

� 13.69 En el ejemplo 13.7, suponga que el ángulo entre la hori-zontal y la pendiente sobre la cual aterriza el esquiador es de 30° envez de 45°. Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza.

13.70 Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con velo-cidad inicial v0 � 20 m/s. Determine su alcance R si a) u0 � 30°,b) u0 � 45° y c) u0 � 60°.

13.71 Inmediatamente después de que la pelota de golf mostradadespega del piso, sus componentes de velocidad son vx � 0.662 m/sy vy � 3.66 m/s.

a) Determine la distancia horizontal desde el punto donde la pelotadespegó del piso hasta el punto donde lo golpea de nuevo.

b) La pelota despega del piso en x � 0, y � 0. Determine la coordenada y de la pelota como una función de x. (La funciónparabólica que se obtendrá se muestra superpuesta sobre la fotografía de la pelota).

13.72 Suponga que usted está diseñando un mortero para lanzaruna cuerda de salvamento desde un guardacostas a un buque enzozobra. La cuerda está unida a un peso que es lanzado por elmortero. Ignore la resistencia aerodinámica y el peso de la cuerdapara su análisis preliminar. Si desea que la cuerda alcance unbuque que se encuentra a 300 pies cuando el mortero se disparaa 45° sobre la horizontal, ¿cuál es la velocidad inicial en la bocadel mortero requerida?

13.73 En el problema 13.72, ¿cuál es la altura máxima sobre elpunto de disparo que alcanza el peso?

R

v0

u0

y

x

Problema 13.70

x

y

Problema 13.71

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