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FASE DE MEJORA P. Reyes / Abril 2009

FASE DE MEJORA

P. Reyes Abril 2009

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FASE DE MEJORA

En la fase de Análisis identificamos las causas de variación. En esta fase utilizamos el diseño de experimentos (DOE), para seleccionar las causas que más afectan nuestro CTQ e investigar estás causas para conocer el comportamiento del proceso. El método de DOE consiste en realizar cambios en los niveles de operación de los factores (X’s) para obtener los mejores resultados en la respuesta "Y". Esta información es de gran ayuda para la optimización y mejora de procesos.

Objetivos:

Conocer el uso de las herramientas de mejora. Conducir el diseño de experimentos para la optimización de procesos. Obtener las mejoras del proceso en el proyecto.

Herramientas:

No.

Herramienta

Para que es usada.

5-1

Diseño de experimentos factoriales 2k

Los experimentos factoriales son utilizados cuando se involucran varios factores de interés en un experimento. En cada replica se utilizan cada uno de los factores que se están investigando.

5-2

Diseño central compuesto 2k

Consiste en realizar replicas en ciertos puntos del experimento factorial 2k, para proveer una protección contra la curvatura que pudiera estar presente.

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MedirMedir Analizar MejorarMejorar ControlarControlarDefinirDefinir


5-3

DOE Taguchi

Es utilizado cuando el número de factores es demasiado grande ya que el número de combinaciones e interacciones aumenta, y en ocasiones sería casi imposible realizar un diseño aunque se utilice un diseño fraccional; en este caso es más sencillo realizar la metodología que propone Taguchi.

5-4

RSM La metodología de superficie de respuesta o RSM es una colección de técnicas Matemáticas y Estadísticas, utilizadas para modelar y analizar problemas en los cuales la Respuesta de interés es influenciada por varias variables, siendo el objetivo optimizar dicha Respuesta.

Etapas:

1. Mostrar las causas potenciales y caracterización de X´s:

En la fase de análisis encontramos los pocos vitales X’s, en esta fase vamos a determinar aquellos que específicamente afectan nuestro proceso. Esto se lleva a cabo a través de datos históricos, conocimiento y discusiones. En base a lo anterior también desechamos las variables que no son utilizadas. Una opción para realizar esta actividad es mediante el uso del diagrama de Ishikawa

Los pocos vitales son elementos críticos o factores, nombrados en tipo, clase, o en cantidad

Los cambios en los parámetros de operación referentes a las X´s pueden ser puestos en niveles múltiples, para estudiar como afectan la respuesta en el proceso “Y”

DOE es un método para probar la significancia, o sea que tanto afectan cada uno de los factores a la variable de respuesta. Y para determinar la interacción entre dichos factores.

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Consideraciones:

DOE sirve para identificar los pocos vitales de los CTQ´s En la optimización es utilizada para determinar los niveles más apropiados

de los pocos vitales. Sirve para comparar el resultado experimental contra el proceso actual

2. Descubrir las relaciones entre variables y proponer una solución:

Una vez determinados los factores con mayor significancia, o sea aquellos que afectan más al proceso, estamos interesados en proponer los niveles óptimos para cada factor.

Para poder hacerlo generamos la función de transferencia, mediante análisis de regresión , simple o múltiple. Al realizarlo tendremos una solución que nos permitirá alcanzar el objetivo que es la optimización del proceso.

Para conducir un diseño de experimentos debemos tomar en cuenta los puntos siguientes:

Contar con el presupuesto para la experimentación. Disponibilidad de personal. Disponibilidad del tiempo para las pruebas. Otros recursos

RESUMEN DE LA FASE DE MEJORAPerspectiva histórica

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Ronald Fisher los desarrolla en su estación agrícola experimental de Rothamsted en Londres (ANOVA) 1930

Otros que han contribuido son: F. Yates, G.E.P. Box, R.C. Bose, O. Kempthorne, W.G. Cochran, G. Taguchi

Se ha aplicado el DOE en la agricultura y ciencias biológicas, industria textil y lana, en los 1930’s

Después de la II Guerra mundial se introdujeron en la industria Química e industria electrónica

El DOE es una metodología donde se varía un cierto número de factores de entrada simultáneamente de una manera cuidadosamente planeada, de manera que sus efectos individuales y combinados en la salida puedan ser identificados.

IntroducciónEntre sus ventajas se incluyen:

Se pueden variar muchos factores simultáneamente Algunos factores de entrada pueden ser controlados de manera de

que la salida sea insensible a factores de ruido No se requiere siempre el conocimiento estadístico Los experimentos pueden distinguir los factores importantes Hay confianza en los resultados, los factores pueden fácilmente ser

puestos en niveles óptimos Los resultados indican si los factores fueron sobrestimados Se pueden hacer análisis estadísticos con programas de cómputo La calidad y la confiabilidad pueden ser mejorados sin incrementar

el costo o se pueden lograr reducciones de costo El cambiar un factor a un tiempo presenta las desventajas

siguientes: Se requieren demasiados experimentos para el estudio No se puede encontrar la combinación óptima de vars. No se puede determinar la interacción

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Se puede llegar a conclusiones erróneas Se puede perder tiempo en analizar las variables equivocadas

El DOE intenta evitar estos problemas con una planeación adecuada variando varios factores simultáneamente de forma que se puede identificar su efecto combinado en forma económica:

o Se pueden identificar los factores que son significativoso Se pueden lograr mejoras en la calidad y productividado No es necesario un conocimiento profundo estadísticoo Las conclusiones obtenidas son confiableso Se pueden encontrar los mejores niveles de factores

controlables que inmunizen al proceso contra variaciones en factores no controlables

Es una prueba o serie de pruebas donde se inducen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso, para observar su influencia en la variable de salida o respuesta

Es el proceso de planear un experimento para obtener datos apropiados, que pueden ser analizados mediante métodos estadísticos, con objeto de producir conclusiones válidas y objetivas.

Cambios deliberados y sistemáticos de las variables de entrada (factores) para observar los cambios correspondientes en la salida (respuesta).

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Términos utilizados en DOE: Obtención de réplicas: repetición del experimento: Para determinar

el error experimental con objeto de identificar diferencias significativas estadísticamente en los datos observados

Aleatorización, hacer los experimentos en forma aleatoria: o Permite confundir el efecto de los factores no controlables

Análisis por bloques, para mejorar la precisión del experimentoo Un bloque es una porción del material experimental que es

más homogéneo que el total del material experimental.o Se comparan las condiciones de interés dentro de cada

bloque Los factores son los elementos que cambian durante un

experimento para observar su impacto sobre la salida. Se designan como A, B, C, etc.

- Los factores pueden ser cuantitativos o cualitativos- Los niveles se designan como alto / bajo (-1, +1) o (1,2)

Factor NivelesB. Temp de Moldeo 600 700E. Tipo de Material Nylon Acetal

Orden aleatorio

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Proceso

Entradas Salidas (Y)

Diseño deProducto

Entradas Salidas (Y)


- El orden de las corridas aleatorio, reduce los efectos de variables que no se consideraron en el diseño.

Bloqueo - Orden de corridas aleatorio en cada bloque(Ej. , bloque de tiempo: AM vs PM, o Día 1 vs Día 2).

Bloques: Unidades experimentales homogéneas Bloqueo: cuando se estructuran experimentos factoriales

fraccionales, el bloqueo se usa para agrupar las variables que desea evitar. Un bloque puede ser un factor artificial que no interactúa con los factores reales

Box Behnken: son diseños experimentales factoriales altamente fraccionales de tres niveles. Son más eficientes en estudios de superficies de respuesta con tres o más factores donde se aplican modelos polinomiales completos de segundo orden

Colinealidad- Ocurre cuando 2 variables están completamente

correlacionadas Confundidos

- Cuando el efecto de un factor no se puede separar del efecto de alguna de sus interacciones (A y BC, B y AC)

Correlación: un número entre -1 y +1 que indica el grado de relación lineal entre dos conjuntos de números. El cero indica que no hay relación

Covarianza: cosas que cambian durante los experimentos pero no fueron planeadas a cambiar, como temperatura o humedad. Con la aleatorización se alivia este problema. Registrar los valores del covariado para su posible uso en análisis de regresión

Curvatura: comportamiento no lineal que requiere un modelo de al menos segundo grado

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Grados de libertad (DOF, DF, df o n): número de mediciones independientes para estimar un parámetro poblacional (vg. la media con n-1)

EVOP (Evolutive operations): describe una forma secuencial de experimentación haciendo pequeños cambios en el proceso para mejorarlo

Error experimental: variación en respuesta bajo las mismas condiciones de prueba. También se denomina error residual.

Primer orden: se refiere a la potencia a la cuál un factor aparece en el modelo. Si la “X” representa un factor y “B” su efecto, entonces el siguiente modelo es de primer orden para X1 y X2:Y = Bo + B1*X1 + B2*X2 + error

Fraccional: un arreglo con menos experimentos que el arreglo completo (1/2, ¼, etc.)

Factorial completo: arreglo experimental que considera todas las combinaciones de factores y niveles

Interacción: ocurre cuando el efecto de un factor de entrada en la respuesta depende del nivel de otro factor de entrada diferente

Nivel: un valor específico para un factor controlable de entrada (100ºC, 120ºC, 140ºC)

Efecto principal: un estimado del efecto de un factor independientemente del efecto de los demás

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Experimento con mezclas: experimentos en los cuales las variables se expresan como proporciones del todo sumando 1.0

Experimentos anidados: es un diseño experimental donde los experimentos no son completamente aleatorizados (vg. Algunas partes de toman de ciertas cavidades del molde)

Optimización: hallar las combinaciones de los factores que maximizen o minimizen la respuesta

Ortogonal o balanceado: Es el arreglo que permite estimar los efectos de los factores principales y de sus interacciones sin confundirlos (el factorial completo es un ejemplo)

Comparaciones pareadas: en estos experimentos se ignoran las diferencias entre muestra y muestra y sólo se consideran las diferencias en las respuestas para cada una de las muestras para evaluar la variabilidad causada por el efecto de un factor

Réplicas: experimentos repetidos en diferente tiempo para estimar el error puro experimental entre intentos de modo que se pueda evaluar la falta de ajuste

Experimentos aleatorios: reduce la influencia de variables extrañas en la experimentación

Error residual (e o E): es la diferencia entre los valores observados y los estimados por un modelo determinado empíricamente. Puede ser la variación en resultados de condiciones de prueba virtualmente idénticas

Residuales: Es la diferencia ente las respuestas experimentales y los valores estimados por el modelo

Resolución: Resolución I: Experimentos donde se varia sólo un factor a la vez Resolución II: Experimentos donde algunos efectos principales se

confunden, es indeseable

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Resolución III- Exp. Fraccionales: Experimentos fraccionales donde no se confunden los efectos principales entre sí, sólo con sus interacciones de dos factores

Resolución IV- Exp. Fraccionales: No se confunden los efectos principales ni con sus interacciones pero si lo hacen las interacciones entre si

Resolución V – Exp. Fraccionales: Sólo puede haber confusión entre interacciones de dos factores con interacciones de tres factores o de mayor orden

Resolución VI - Exp. Factorial completo V+, Experimentos sin confusión, factoriales completos o dos bloques de 16 experimentos

Resolución VII – Exp. Factoriales completos, Experimentos en 8 bloques de experimentos

Otros diseños: Método de Superficie de respuesta (RSM): es la gráfica de la

respuesta del sistema vs los factores del sistema. RSM emplea el diseño experimental para descubrir la forma de la superficie de respuesta y aprovecha los conceptos geométricos

Variable de respuesta: Variable que muestra los resultados observados de un tratamiento experimental, es la variable dependiente

Diseño robusto: De acuerdo a Taguchi, un experimento en el cual la variable de respuesta es inmune a los factores de ruido que puede ser difícil o imposible de controlar

Experimento de filtrado: Técnica para identificar los factores más importantes para el diseño de experimentos. Se emplean diseños de dos niveles. Si un factor no altamente significativo no significa que sea insignificante

Experimentos secuenciales: Son experimentos que se realizan uno después de otro como en el EVOP

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Simples: Es una figura geométrica que tiene un número de vértices (esquinas) mayor en uno al número de dimensiones en el espacio factorial

Diseño simples: Un diseño espacial usado para determinar la combinación más deseada de variables (proporciones) en una mezcla

Tratamientos: En un experimento son los diversos niveles de los factores que describen como se debe realizar el experimento (30º y 3pH)

El Diseño de experimentos tiene como objetivos determinar: Las X’s con mayor influencia en las Y’s El mejor valor de X’s para lograr Y’s nominales El mejor valor de X’s de manera que la variabilidad de Y sea

pequeña El mejor valor de las X’s de manera que se minimizen los efectos

de las Z’s – Proceso robusto

Pasos del DOE: Establecer objetivos Seleccionar variables del proceso Seleccionar un diseño experimental Ejecutar el diseño Verificar que los datos sean consistentes con los supuestos

experimentales Analizar e interpretar los resultados Usar / presentar los resultados

Objetivos:La selección de un diseño experimental depende de los objetivos del experimento y del número de factores a ser investigados:

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Objetivo comparativo Objetivo de filtraje de factores Objetivo del método de superficie de respuesta Optimizar las respuestas cuando los factores son proporciones en un

objetivo de mezclas Ajuste óptimo en un objetivo de modelo de regresión

Selección y escala de variables del procesoLas variables de proceso incluyen ambas entradas y salidas, es decir factores y respuestas. La selección de estas variables debe:

Incluir todos los factores relevantes Ser brillantes en seleccionar los niveles de factores bajos y altos Evitar ajustes de factores para combinaciones imprácticas o

imposibles Incluir todas las respuestas relevantes Evitar usar respuestas que combinen dos o más mediciones de

proceso Evitar valores extremos en los factores de entrada

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Fltrar primero para reducir el número de factores

Factorial fraccional o Placket Burman

Diseño aleatorizadopor bloques

5 o más

Diseño central compuesto o Box-Behnken

Factorial completo o fraccional


2-4

--1- factor completamente aleatorizado

1

Objetivo de superficie de respuesta

Objetivo de filtraje de factores

Objetivo comparativo

Número de factores

Fltrar primero para reducir el número de factores

Factorial fraccional o Placket Burman


5 o más

Diseño central compuesto o Box-Behnken

Factorial completo o fraccional


2-4

--1- factor completamente aleatorizado

1

Objetivo de superficie de respuesta

Objetivo de filtraje de factores

Objetivo comparativo

Número de factores


Lista de verificación del DOE: Definir los objetivos del experimento Aprender acerca del proceso antes de la tormenta de ideas Tormenta de ideas para definir la lista de las variables clave

dependientes e independientes Correr experimentos preliminares para afinar el equipo y obtener

resultados preliminares Asignar niveles a cada variable independiente en función del

conocimiento sobre el proceso Seleccionar un plan estándar de DOE o desarrollar uno Correr los experimentos en orden aleatorio y analizar los

resultados periódicamente Mientras que un experimento puede dar un resultado útil, es más

común realizar dos o tres o más experimentos antes de dar una respuesta completa. Esto es mejor y más económico.

Establecer conclusiones

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Supuestos experimentales ¿Son capaces los sistemas de medición para todas las respuestas? ¿Es estable el proceso? ¿Los residuos se comportan adecuadamente?

Modelo X1 La varianza se Requiere un término Adecuado incrementa con X2 cuadrático agregado a X2

Una interacción ocurre cuando el efecto de un factor de entrada en la salida depende del nivel de otro factor de entrada. A veces se pierden con los diseños factoriales fraccionales.

Sin interacción Interacción Interacción Interacción moderada fuerte fuerte

Factoriales completos vs fraccionales Un diseño factorial completo es el que contiene todos los niveles de

todos los factores, no se omite ninguno

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Un diseño factorial fraccional es un diseño experimental balanceado donde que contiene menos combinaciones de todos los niveles y factores. Por ejemplo para 3 factores y 2 niveles se tiene:

Experimentos de 3 factores y 3 niveles Estos diseños experimentales se utilizan para filtrar un gran número

de variables, pueden ser factoriales completos o fraccionales, por ejemplo el 1/3 fraccional. Con dos niveles se usan (-) y (+) y con tres niveles (0, 1, 2)

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Claves para Experimentar con Éxito

1. Medición Adecuada de los ResultadosUsar un resultado relacionado directamente con la función del proceso, usar datos variables..

2. Diseño Experimental SólidoNi el mejor análisis de datos puede compensar un experimento mal diseñado. Selecciona cuidadosamente la respuesta de salida, los factores y los niveles así como el esquema del DEE. 3. Planeación MetículosaPara asegurar que las condiciones se puedan controlar como se estableció en el diseño experimental, se deben preparar con anticipación todos los recursos (gente, materiales, etc.) necesarios para realizar el experimento.

4. Sistemas de Medición VerificadosPara asegurar que todos los datos sean “buenos”, verifica todos los sistemas de medición antes de realizar el DEE.

5. Identifica las Unidades ExperimentalesMarca cada unidad de acuerdo con la condición experimental que la produce. De lo contrario, se perderá toda la información.

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Pasos para Diseñar y Realizar un Diseño de Experimentos

1. Observar datos históricos y/o recolectar datos para establecer la capacidad actual del proceso debe estar en control estadístico.

2. Determinar el objetivo del experimento (CTQs a mejorar).

3. Por medio de un equipo de trabajo multidisciplinarioDeterminar qué se va a medir como resultado del experimento.

4. Identificar los factores (factores de control y de ruido) que pueden afectar el resultado.

5. Determinar el número de niveles de cada factor y sus valores reales.

6. Seleccionar un esquema experimental que acomode los factores y niveles seleccionados y decidir el número de replicas.

7. Verificar todos los sistemas de medición (R&R < 10%)

8. Planear y preparar los recursos (gente, materiales, etc.) para llevar a cabo el experimento. Hacer un plan de prueba.

9. Realizar el experimento, marcar partes con la condición experimental que la produce.

10. Medir las unidades experimentales.

11. Analizar los datos e identificar los factores significacivos.

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12. Determinar la combinación de niveles de factores que mejor alcance el objetivo.

13. Correr un experimento de confimación con esta combinación "óptima".

14. segurar que los mejores niveles para los factores significativos se mantengan por largo tiempo mediante la implementación de Procesos de Operación Estándar y controles visuales.

15. Re evaluar la capacidad del proceso.

Ejemplo:

Proceso de soldadura de una tarjeta de circuito impresoObjetivos de los experimentos

o Caracterizar el proceso (identificar los factores que influyen en la ocurrencia de defectos)

o Optimizar, identificar el nivel óptimo de los factores críticos para reducir el número de defectos en los circuitos impresos

Identificar la variable de respuesta Identificar los factores controlables que pueden afectar Y Identificar los factores de ruido que no podemos o queremos controlar

Variables de control X’so Temperatura de la soldadurao Temperatura de precalentamientoo Velocidad de la bandao Tipo de fundenteo Densidad relativa del fundenteo Altura de la ola de soldadurao Angulo de la banda transportadora

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Variables que no se pueden o desean controlar Z’s – Variables de ruido

o Espesor de la tarjeta de circuito impresoo Tipos de componentes usados en el CIo Disposición de los componenteso Operarioo Ritmo de producción

Los Factores Pueden Afectar...

2. El Resultado Promedio

3. La Variación y el Promedio1. La Variación del Resultado

4. Ni la Variación ni el Promedio

Tiempo de Ciclo Largo

Tiempo de Ciclo Corto

Dimensión de la Parte Dimensión de la Parte

TempBaja

TempAlta

Dimensión de la Parte Dimensión de la Parte

Presión deSujeción Baja

Presión deSujeción Alta Ambos materiales

producen el mismo resultado

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Tipos de SalidasLas salidas se clasifican de acuerdo con nuestros objetivos.

3. El Valor Máximo es el Mejor

• Tiempo de Ciclo• Contracción de la

Parte• Desviación

• Fuerza• Durabilidad

Objetivo Ejemplos de Salidas1. El Valor Meta es el Mejor

Meta

Lograr unvalor meta con

variación mínima

• Dimensión de la Parte• Voltaje• ILD de Uretano

2. El Valor Mínimo es el Mejor

0

Tendencia de salidahacia arriba

Tendencia de salida hacia cero

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Estrategia cuando el “Valor Meta es Mejor”

Paso 1: Encuentra los factores queafectan la variación. Usa estosfactores para reducir al mínimola variación.

Paso 2: Encuentra los factores quedesplazan el promedio (y no

afectan la variación). Usa estos factores para ajustar la salida promedio con la meta deseada.

Meta

Estrategia cuando el “Valor Mínimo es Mejor”

0

Tendencia de salida baja

• El objetivo en este caso es encontrar los factores que afectan la salida promedio (tiempo). Usa estos factores para hacer que la tendencia del promedio sea baja.

• Cuando se reduce la variación en la salida al mínimo, también se mejora la salida al detectar los factores que contribuyen en gran medida a la variación.

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Pruebas o Corridas ExperimentalesLas combinaciones de pruebas específicas de factores y niveles que se corren durante el experimento.

Tiempo x Temp:El mejor nivel de tiempodepende de la temperatura establecida.

InteraccionesEl grado en que los factores dependen unos de otros.Algunos experimentos evalúan el efecto de lasinteracciones; otros no.

Factor NivelesB. Temp. de Moldeo 600° 700°E. Tipo de Material Nylon Acetal

NivelesLos valores en los que se establecen los factores.

A. Tiempo de CicloB. Temp. de MoldeoC. Presión de SujeciónD. Tiempo de SujeciónE. Tipo de Material

FactoresLas variables de entrada de proceso que seestablecen a diferentes niveles para observarsu efecto en la salida.

Dimensión de la ParteRespuesta de SalidaLa salida que se mide como resultado del experimentoy se usa para juzgar los efectos de los factores.

+1+1-1+1-13+1+1+1-1-12-1-1-1-1-11

DatosEDCBACorridas

-1=Nivel Bajo +1=Nivel Alto

.

.

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Tipos de ExperimentosTipos Comunes Número Típico dede Experimentos Objetivos Factores Controlables

1. Factorial Completo(todas las combinaciones de factoresy niveles)

• Encontrar los niveles defactor que proporcionanlos mejores resultados.

• Construir un modelo matemático(evalúa todas las interacciones).

4 o menos

2. Fraccional Factorial(subgrupo del número total decombinaciones)

• Encontrar los niveles defactor que proporcionanlos mejores resultados.

• Construir un modelo matemático(evalúa todas las interacciones).

5 o más

3. Examen • Probar muchos factores paraencntrar los pocos vitales.(no evalúa interacciones).

7 o más

Tipos de Experimentos(continuación)

4. Diseño Central • Compuesto

o Box-Behnken

• Optimizar• Construir un modelo matemático

cuando no haya efectos lineales(Superficie de respuesta).

3 o menos

5. Diseño Robusto • Optimizar• Para encontrar los niveles de factores

a fin de reducir al mínimo la variación ante factores de ruido cambiantes.

5 o más

6. Diseño Robusto Dinámico de Taguchi(Función Ideal)

• Optimizar • Optimizar la función de un producto

o proceso de manufactura.• Reducir al mínimo la sensibilidad al

ruido y aumentar al máximo lasensibilidad a la señal de entrada.

7 o más

Tipos Comunes Número Típico dede Experimentos Objetivos Factores Controlables

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ANOVA

ANOVA de un factor, una vía o una dirección

ANOVA de un factor y una variable de bloqueo, dos vías o dos direcciones

ANOVA de un factor y dos variables de bloqueo – CUADRADO LATINO

ANOVA De un factor y tres variables de bloqueo – CUADRADO GRECOLATINO

Experimentos factoriales completos

Un experimento factorial completo es un experimento donde se prueban todas las posibles combinaciones de los niveles de todos los factores.

4020-1

5230+1

+1-1

Factor A :

Factor B : Y = Respuesta

Experimento factorial completo –sin interacción

Efecto del factor A = (52+40)/2 - (30+20)/2 = 21Efecto del factor B = (30+52)/2 - (20+40)/2 = 11 Efecto de A*B = (52+20)/2 – (30+40)/2 = 1 A -1 +1

B+1

B-1

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Un experimento factorial completo es un experimento donde se prueban todas las posibles combinaciones de los niveles de todos los factores.

5020-1

1240+1

+1-1

Factor A :

Factor B : Y = Respuesta

Experimento factorial completo –con interacción

Efecto de A*B = {(12+20)-(40+50)}/2 = -29

A -1 +1

B+1

B-1

Tabla ANOVA – Experimento de Tratamiento Térmico

250.0007Total

3.50014.00014.0004Error

0.01120.5772.00072.00072.0001Temp* Tiempo

0.4920.572.0002.0002.0001Tiempo

0.00246.29162.00162.00162.0001Temp

PFMS AjSS AjSS SecDFOrigen La Temperatura es significativa.

El Tiempo, en combinación con la Temperatura, es significativa.

El Tiempo, por sí solo, no es significativo.

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Error experimental Si la variabilidad a causa de un factor (o interacción) es

suficientemente mayor que el error experimental (normalmente 0.05) , el factor (o interacción) afecta la salida.

La precisión de las pruebas de efectos significativos depende de la exactitud del cálculo del error experimental.

Tamaño de la Muestra El tamaño de la muestra (la cantidad de valores de los datos en

cada combinación de prueba) también ejerce un impacto sobre el cálculo del error experimental.

Generalmente, mientras más datos (más grados de libertad), mejor el cálculo.

Sin embargo, debemos evaluar las consideraciones prácticas contra las consideraciones estadísticas.

Aunque pueden existir excepciones, una buena práctica es recolectar un mínimo de 3 valores de datos para cada combinación de prueba.

Gráficas de efectos principales

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BA

90

88

86

84

82

Res

Main Effects Plot (data means) for Res


Gráfica de interacciones

Gráfica de superficie de respuesta

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-1 1

1 1-1-1

90

85

80

B

A

Mea

nInteraction Plot (data means) for Res

1

0-1

B80

85

90

95

0

Res

-11A

Surface Plot of Res


Diseño factorial fraccional Ventajas

o Se pueden obtener conclusiones parecidas que con experimentación de diseños factoriales completos con menos experimentos (1/2 o ¼)

o Resulta más económicoo Dado que en muchos casos las interacciones no son

significativas, no importa que su efecto se confunda con los de los factores principales

Desventajaso En muchos casos sólo se pueden estimar los efectos

principales de los factores (diferencia de promedios)

Diseños de Plackett - Burman Se utilizan para identificar los factores significativos de entre

varios factores como filtro. El número de experimentos es múltiplo de 4 (4, 8, 16, 32, 64, 128)

donde cada efecto de interacción está confundido con exactamente un efecto principal

Hay arreglos no geométricos de 12, 20, 24, 28, etc. Cada interacción está parcialmente confundida con los efectos principales, significa que si las interacciones no son significativas se pueden utilizar sólo para efectos principales, por ejemplo un arreglo de 12 experimentos para 11 factores

Ventajas: son muy económicos Desventajas: sólo proporcionan una guía de cuales factores son

significativos para posteriormente hacer un diseño factorial completo o menos fraccional con ellos y estimar los puntos óptimos

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Diseño de experimentos de TaguchiConcepto de robustes de Taguchi

El Dr. Genichi Taguchi indica que la consistencia del producto es muy importante. Sin embargo, no es práctico controlar la variación de cada variable. Hay una pocas variables clave (factores de señal o ruido) y su interacción en cualquier proceso. Cuando se fijan en los niveles adecuados, el proceso será insensible a variaciones en otros factores de entrada o “Robusto”

Robustes del diseñoHay tres tipos de consideraciones de diseño involucradas para cualquier producto o proceso:1. Diseño de sistemas: incluye la selección de partes, métodos, y valores tentativos de parámetros de producto

2. Diseño de parámetros: es la selección de niveles de operación de producto y proceso, para determinar la combinación óptima

3. Diseño de tolerancias: es el establecimiento de la variación permisible de productos y procesos para lograr una salida consistente

De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son:

a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad.

b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.

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c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

Factores de señal

Los factores de señal son factores que tienen una gran influencia en la media de la respuesta. Normalmente tienen poca influencia en la variabilidad de la respuesta y son controlables. Se varia su nivel para ajustar la media.

Factores de ruido

Son factores que tienen influencia en la variabilidad de respuesta de salida. Los factores de control se varían durante la experimentación, para ver que combinación da la mayor relación señal a ruido. Esta es la clave para lograr “robustes” del diseño.

Relación Señal a RuidoSe calcula para cuantificar los efectos (en dBs) de variación en los factores de control en la variabilidad de la respuesta.

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Para el caso de mayor es mejor se tiene:

Para el caso de menor es mejor se tiene:

N = número de observaciones de los factores de controlY = respuesta de salida para cada experimento realizado

Por ejemplo para el caso siguiente de un factor en tres niveles, se selecciona el nivel entre medio y alto ya que la variación es mínima.

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Sugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias

De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son:

a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad.

b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.

c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

Taguchi ha propuesto una alternativa no del tododiferente que se que conoce como Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.

La herramienta son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles

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interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar

Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes. Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó:

La (b)C

a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas.

Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La.

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L4L8L12L16L32L64

Número de condiciones experimentales(renglones)lineas o pruebas.

Número de factores o efectos maximoque se pueden analizar y número de columnas

4 812163264

3 711153163


Por ejemplo para un proceso químico:

Se usa un arreglo L8:

Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la practica sea más dificil de variar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primeras columnas.

El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:

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Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de resina Tipo I Tipo IIB Concentración 5% 10%C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 segD Humedad 3% 5%E Presión 800 psi. 900 psi.

Descripción

No. A B C D E e e Resina Concen. Tiempo Humedad Presión Yi1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.492 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.423 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.384 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.305 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.216 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.247 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.328 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28


Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden a las columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos ser-virán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observaciones tenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dos grados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es:

A1 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 1 = 0.49 + 0.42 + 0.38 + 0.30 = 1.59A2 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 2 = 0.21 + 0.24 + 0.32 + 0.28 = 1.59SSA = Suma de cuadrados debido al factor A SSA = (A2 - A1)2 /8 = 0.3645 con 1 g.l

Similarmente :SSB = (B2 - B1)sq/8= 0.00080 con 1g.lSSC = (C2 -C1)sq/8 = 0.01805 con 1g.lSSD = (D2 -D1)sq/8= 0.00320 con 1g.lSSE = (E2 - E1)sq/8= 0.00245 con 1g.lSse1 = (F2 - F1)sq/8= 0.00080 con 1g.l, 1a. Columna de error FSse2 = (G2 -G1)sq/8= 0.00045 con 1g.l 2a. Columna de error G

Las sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones del error, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene:

Sse = SSF + SSG = 0.00080 + 0.00045 = 0.00125 con 2g.l.La tabla ANOVA es :

Página 36 de 67Efecto SS G.L. V Fexp. % Contrib.

A 0.03645 1 0.03645 58.32* 57.59B 0.0008 1 0.0008 1.28 0.28C 0.01805 1 0.01805 28.88** 28.01D 0.0032 1 0.0032 5.12 4.14E 0.00245 1 0.00245 3.92 2.93

Error 0.00125 2 0.000625 7.03

Total 0.0622 7 100


* significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51** significante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16

Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio o media. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección.

Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número de grados de libertad).

En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es :

Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = 0.00080 + 0.00320 + 0.00245 + 0.00125 = 0.0077Con , 1 + 1 + 1 + 2 = 5 grados de libertad.Y (Ve) = (Sse) /5 = 0.0077 / 5 = 0.00154

Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = 6.607877Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis.Fc para el factor (A ) = 23.66 y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contra

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Efecto SS G.L. V Fexp. % Contrib.A 0.03645 1 0.03645 58.32* 57.59B 0.0008 1 0.0008 1.28 0.28C 0.01805 1 0.01805 28.88** 28.01D 0.0032 1 0.0032 5.12 4.14E 0.00245 1 0.00245 3.92 2.93

Error 0.00125 2 0.000625 7.03

Total 0.0622 7 100


Fcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factoresA y C

Los promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son

El promedio global es _Y = (0.3975+ 0.34+ 0.3775+ 0.35 + 0.3475+ 0.2625+ 0.32+ 0.31+0.3125)/ 10 = 0.33

Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimice la emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. El resto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidad dentro del intervalo analizado.

¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es: EF A = A2 - Y = 0.2665 - 0.33 = -0.06435EF C = C2 - Y= 0.2825 - 0.33 = -0.0475

Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 es

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EfectoA A1avg. = A1/4 =0.3975 A2avg. = A2/4 =0.2625B B1avg =0.3400 B2avg =0.3200C C1avg =0.3775 C2avg =0.2825D D1avg =0.3500 D2avg =0.3100E E1avg =0.3475 E2avg =0.3125

Nivel 1 Nivel 2


EF A + EF C + Y = -0.0635 - 0.0475 + 0.33 = 0.219Si las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra prueba bajo las mismas condiciones se le conoce como “Replica”. Taguchi considera dos tipos de error aleatorio con lecturas múltiples:

Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones de experimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo que hace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones de experimentación.

Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadas bajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura no es posible evaluar el error secundario.

Ejemplo: Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg. Se puede ver afectado por cinco factores que son:

Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por lo tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas .

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Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de lubricante Tipo I Tipo IIB Tipo de corte Continuo IntermitenteC Angulo de corte (en grados) 25° 35°D Velocidad de corte (r.p.m.) 100% 1200%E Avance (cm/min) 1 1.5

Descripción

TotalNo. A B C D E F G 1 2 3 Resultados

1 1 1 1 1 1 1 1 15 17 18 502 1 1 1 2 2 2 2 16 15 15 463 1 2 2 1 1 2 2 22 21 24 674 1 2 2 2 2 1 1 18 20 18 565 2 1 2 1 2 1 2 25 24 22 716 2 1 2 2 1 2 1 23 27 20 707 2 2 1 1 2 2 1 19 17 16 528 2 2 1 2 1 1 2 17 16 18 51

Total 463

Resultados


La suma de cuadrados del total es:

SST = SYi2 - T2 / n

donde S Yi2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado.

n es el número de lecturas y T es el total de las Yi’s. Para este caso : 2 2 2 2 2 2 2SST = 15 + 17 + 18 +…………..17 + 16 + 18 - 463/24SST = 278.9584 con 24 - 1 grados de libertad.Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / ni

Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene:

Sse2 = 15*15 + 17*17 + 18*18 - (15 + 17 + 18)2 / 3 = 4.6666

Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente.

Condición SSe21 4.66672 0.66673 4.66674 2.66675 4.66676 24.6667

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TotalNo. A B C D E F G 1 2 3 Resultados

1 1 1 1 1 1 1 1 15 17 18 502 1 1 1 2 2 2 2 16 15 15 463 1 2 2 1 1 2 2 22 21 24 674 1 2 2 2 2 1 1 18 20 18 565 2 1 2 1 2 1 2 25 24 22 716 2 1 2 2 1 2 1 23 27 20 707 2 2 1 1 2 2 1 19 17 16 528 2 2 1 2 1 1 2 17 16 18 51

Total 463

Resultados


7 4.66678 2.000

Total SSe2 = 48.669El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?.SSe1 = SSeF + SSeG

SSe1 = 4.08334 con 2 grados de libertad

La suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce. SSA = (A2 -A1)2 / n y así sucesivamente para todas las columnas,SSA = 26.04167, SSB = 5.04167……...

Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de los efectos es igual a la suma de cuadrados total 278.9586.

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Reglas de Análisis:

1.-Antes de la ANOVA el primer críterio es probar el error 1 e1 vs. el error 2 e2. Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio “e”, contra el que se prueban todos los demás factores.

2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el.

3.- Realizar la ANOVA.

Prueba de e1 vs e2Fexp = e1/e2 = 4.08334/2 / 48.666/16Fexp para e1 = 0.6712 con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador.

El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo tanto los errores se suman 4.08334 + 48.6667 = 52.7500

Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41, sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte

Nota: Sí las lecturas provienen de “Replicas”, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por lo que se adicionan sin más tramites.

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Efecto SS G.L. V Fexp.A 26.0417 1 26.0417 8.8863B 5.0417 1 5.0417 1.7204C 176.0417 1 176.0417 60.0711D 12.0417 1 12.0417 4.1090E 7.0417 1 7.0417 2.4028

Error 52.7500 18 2.93060

Total 278.9583 23.0000


Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es significante.

Arreglos con Interacciones.

Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de que interactúen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasa a ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor. Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales.

Gráficas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de un arreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño del experimento y evitar patrones indeseables de confusión.

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Gráficas lineales para el arreglo ortogonal L8

A

B

C

A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior del triangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, la interacción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6.

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Columna 1 2 3 4 5 6 7Col (1) 3 2 5 4 7 6

Col (2) 1 6 7 4 5Col (3) 7 6* 5 4

Col (4) 1 2 3Col (5) 3 2

Col (6) 1Col (7)

1

3 5 . 7

2 6 4

2

3

51 4

6

7


B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3, 5 y 6.

C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y las interacciones en las lineas 3, 5 y 6.

El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8.

Las gráficas lineales indican que varios factores pueden ser asignados a diferentes columnas y varias interacciones diferentes pueden evaluarse en diferentes columnas. Si tres factores (A, B y C) se asignan, la gráfica lineal L8 indica la asignación a columnas 1, 2 y 4 localizadas en los vértices del triangulo tipo A.

Si ahora se agrega el factor D al experimento, la potencia de resolución del experimento se reduce debido a que hay una mayor confusión en las columnas

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1 2 3 4 5 6 7No. A B AXB D AxD AxC G

1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2


La resolución del diseño es el grado de confusión en diseños de filtraje fraccionales de dos niveles. O sea, el grado en el cual los factores se incluyen de manera que no se pueden separar sus efectos.

Los diseños de resolución II tienen algunos efectos principales confundidos con otros efectos principales.

Los diseños de resolución III, con confunden sus efectos principales, pero se confunden con las interacciones de factores.

Los diseños de resolución IV, tienen confusión entre interacciones de dos factores, no hay confusión de factores principales con interacciones de tres factores.

Los diseños de resolución V, no confunden los efectos principales con interacciones de tercer orden, pero confunden interacciones de dos factores con interacciones de mayor orden.

Realización de experimentos de TaguchiAleatorizacioón

El orden de realización de los experimentos debe incluir alguna forma de aleatorización para evitar sesgo de los factores e interacciones asignadas a las columnas experimentales. Hay tres formas de aleatorización:

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1. Aleatorización completa o ideal, significa que cualquier arreglo experimental tiene la misma posibilidad de ser seleccionado como primera corrida.

2. Repetición simple, significa que cada experimento tiene una posibilidad similar se ser seleccionado como el primero, pero una vez seleccionado, se corren todas las repeticiones antes de que otro experimento sea seleccionado.

3. Aleatorización completa dentro de los bloques, se usa cuando se cambian los ajustes, por decir el factor C, puede ser costoso pero el cambio de los demás es fácil y barato, los experimentos en C1 pueden ser seleccionados aleatoriamente y realizados y después todos los de C2 de la misma forma.

Pasos del Método Taguchi Definir factores y niveles

o Factores de control (que se controlarán – arreglo interno)o Factores de ruido (no se quieren o pueden controlar pero se

controlan durante el experimento – arreglo externo) Crear diseño de experimentos ortogonal de Taguchi Analizar el diseño de experimentos de Taguchi Predecir la respuesta con los niveles seleccionados

Ejemplo: Datos y gráficas factoriales de la respuesta

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A B C Resp1 Resp2

1 1 1 19.0 16.0

1 1 1 18.4 18.0

1 2 2 17.5 17.0

1 2 2 18.6 17.5

2 1 2 19.3 17.0

2 1 2 19.1 18.5

2 2 1 18.4 16.0

2 2 1 17.0 16.5

Arreglo Interno

Arreglo Externo

206

CBA25.15

25.05

24.95

24.85

24.75

S/N

Rat

io

Main Effects Plot for S/N Ratios

CBA18.2

18.0

17.8

17.6

17.4

Mea

n

Main Effects Plot for Means

CBA1.17

1.09

1.01

0.93

0.85

StD

ev

Main Effects Plot for Standard Deviations

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Diseños de mezclasEn un diseño de experimentos con mezclas, los factores independientes son proporciones de diferentes componentes de una mezcla que deben sumar 100%. Hay diseño estándar como los diseños Simplex Lattice y Simplex Centroid. Cuando hay restricciones adicionales, tales como valores máximos y mínimos, se usan los diseños de mezclas restringidos o diseños de vértices extremos.

La repuesta de salida se asume que depende solo de las proporciones relativas de los componentes y no de la cantidad de la mezcla. El propósito del experimento es modelar la superficie de mezclas con alguna ecuación, de forma que:

La predicción de la respuesta para cualquier mezcla se pueda hacer de forma empírica

Se obtenga la influencia de la respuesta de cada uno de los componentes.

Se asume que los errores son independientes e idénticamente distribuidos con media cero y varianza común. Otro supuesto es la superficie de respuesta sobre la región de estudio es continua

Los factores independientes son proporciones de diferentes componentes de una mezcla

Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide

Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos

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Un diseño de estructura Simplex (q, m) para q componentes cuya proporción puede tomar las proporciones asumidas para cada componente en los niveles m+1 igualmente espaciados entre 0 y 1Xi = 0, 1/m, 2/m, ...., 1 para i = 1, 2, ..., q

Se usan todas las combinaciones posibles (mezclas) de las proporciones de la ecuación.

Note que el diseño estándar Simplez Lattice consiste de puntos en la frontera. Cuando hay interés en predecir algun punto en el interior, se recomienda aumentar el diseño simplex con puntos en el interior del diseño.

Para un diseño (3,3) Simplex Lattice hay un total de 10 corridas experimentales.

El número de puntos de diseño = (q+m)! /(m! (q-1)! )

La restricción para los componentes es X1+X2+…+Xn = 1, por tanto la forma de la función de regresión se denomina polinomio canónico. Se puede obtener con la regresión que ajusta los punbto (q, m) del diseño

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Simplex Lattice y substituyendo las relaciones de dependencia entre los términos Xi.

El número de términos en el polinomio es (q+m-1)!/m!(q-1)!. Que es el mismo que los puntos del diseño Simplex Lattice.En general, la forma canónica del modelo de mezcla es como sigue:

Los términos se interpretan como sigue. Geométricamente el parámetro Beta-i, representa la respuesta esperada con una mezcla pura con Xi = 1; Xj = 0, y es el vértice en Xi =1. Cada una de las sumas es la porción de mezclas. Cuando la mezcla es estrictamente aditiva, la forma lineal del modelo es apropiado.

Para una mezcla de q = 3 componentes donde el número de niveles igualmente espaciados para cada componente es m + 1 = 4 (X1 = 0, 0.333, 0.666, 1)

Las mezclas posibles con los 3 componentes es:

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X1 X2 X3 Rendimiento0 0 10 0.333 0.6670 0.667 0.3330 1 00.333 0 0.6670.333 0.333 0.3330.333 0.667 00.667 0 0.3330.667 0.333 01 0 0

X2

Las ecuaciones de la restricción y del modelo lineal son:

Por ejemplo:

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1 2 3

1

( 1)!!( 1)!

1

( )q

i ii

q mPuntosm q

X X X

E Y X

Ejemplo: Se tienen 3 componentes y m=2 niveles, X1=polietileno, X2=Poliestireno, X3=polipropileno mezclados para formar fibras, de las cuales se mide la elongación en dos réplicasX1 X2 X3 Rendimiento0 0 1 16.8, 160 0 0.5 10.0, 9.7, 11.80 1 0 8.8, 10.00.5 0 0.5 17.7, 16.4, 16.60.5 0.5 0 15.0, 14.8, 16.11 0 0 11.0, 12.4

X2

Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, CEst. Regression Coefficients for Resp (component proportions)

Y=11.7X1+9.4X2+16.4 X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3Term Coef SE Coef T P VIF

A 11.70 0.4941 * * 1.500

B 9.40 0.4941 * * 1.500

C 16.40 0.4941 * * 1.500

A*B 17.40 2.4207 7.19 0.000 1.500

A*C 12.00 2.4207 4.96 0.003 1.500

B*C -12.20 2.4207 -5.04 0.002 1.500

S = 0.69881 PRESS = 11.720

R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 95.31%


Análisis del diseño Simplex Como b3 > b1 > b2 se concluye que el componente 3 produce la

mayor elongación

Como b12 y b13 son positivos la mezcla de componentes 1 y 2 así como 2 y 3 aumenta la elongación

Como b23 es negativo la mezcla de los componentes 2 y 3 tiene efectos antagónicos en la mezcla

Diseños de superficie de respuesta Un modelo de primer orden es el siguiente:

Su gráfica de contornos son líneas rectas que nos permiten seguir experimentando en la trayectoria de ascenso rápido, perpendicular a los contornos

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Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, CEst. Regression Coefficients for Resp (component proportions)

Y=11.7X1+9.4X2+16.4 X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3Term Coef SE Coef T P VIF

A 11.70 0.4941 * * 1.500

B 9.40 0.4941 * * 1.500

C 16.40 0.4941 * * 1.500

A*B 17.40 2.4207 7.19 0.000 1.500

A*C 12.00 2.4207 4.96 0.003 1.500

B*C -12.20 2.4207 -5.04 0.002 1.500

S = 0.69881 PRESS = 11.720

R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 95.31%

kk xxxy ...22110


En un diseño experimental los contornos normalmente no son conocidos. El objetivo es moverse desde un punto inicial P en (X1, X2) del espacio dentro del sistema de contornos.

La línea cuya dirección se orienta desde el punto P hacia el círculo más pequeño es la que representa la trayectoria de ascenso más rápido en el espacio de contornos.La ruta de asenso rápido es perpendicular a las líneas de contorno en el el espacio, se mide en las mismas unidades seleccionadas en la escala del diseño.

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Método Simplex para la trayectoria de ascenso rápido1. Requiere de un punto adicional al número de variables independientes2. Moverse desde el punto de respuesta más baja hasta el punto medio de los otros dos puntos a una distancia similar del otro lado3. Repetir este ciclo eliminando el punto más bajo en cada pasoNOTA: Se puede expandir a cualquier número de variables, proyectándose desde el punto más bajo, pasando por el centroide de los puntos remanentes

Superficies de respuesta

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Trayectoria de ascenso rápidoRespuesta

Pasos

Si en la prueba de ANOVA el modelo presenta curvatura significativa entonces el modelo a aplicar es:

Un diseño central compuesto de Box Wilson contiene un diseño factorial o matriz factorial fraccional con puntos centrales aumentados con un grupo de “puntos axiales”, que permiten la estimación de la curvatura. Si la distancia del centro del espacio del diseño a un punto factorial ±1 unidad para cada factor, la distancia del centro del espacio de diseño a un punto axial es a±, con |a|>1. Para 2 factores se tiene:

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k

jjiij

k

i

k

iiii

k

iii XXXXY

2

1

11

2

10


Un diseño central compuesto siempre contiene dos veces tantos puntos axiales como factores del diseño. Los puntos axiales representan los nuevos valores extremos para cada diseño factorial. Tres tipos son:

CCC circunscritoLos puntos axiales están a una distancia a del centro, dependiendo de las propiedades deseadas y del número de factores del diseño. Establecen nuevos puntos extremos. Los diseños tienen simetría circular, esférica o hiperesférica y requieren 5 niveles por factor.

Para 3 factores se tiene:

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CCI inscrito Usa los niveles del factor como puntos axiales y crea un diseño factorial o fraccional dentro de estos límites. Requiere 5 niveles por factor

CCF Centrado en las carasLos puntos axiales están en el centro del espacio factorial, de forma que a = ±1. Requiere 3 niveles para cada factor.Determinar a en Diseños centrales compuestos

Para conservar la rotabilidad, el valor de a depende del número de corridas experimentales en la proción factorial del diseño central compuesto:

a = [ número de corridas experimentales ] ¼Si el diseño factorial es factorial completo, entonces:

Donde K = el número de factores

Se puede aplicar en esta región el Diseño central compuesto:

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Puntos axiales en 1.414

Réplicas en (0,0) para el error puro


La ecuación de regresión de la superficie de respuesta es:

Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B –1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB

Con las ecuaciones de la página siguiente el punto máximo óptimo queda en X1 = 0.389 y X2 = 0.306 Con una respuesta estimada Yest = 80.21

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del Proceso codificadas Rendimiento

Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y2

1 80 170 -1 -1 76.5

2 80 180 -1 1 77.0

3 90 170 1 -1 78.0

4 90 180 1 1 79.5

5 85 175 0 0 79.9

6 85 175 0 0 80.3

7 85 175 0 0 80.0

89

8585 175

175

00

00

79.779.8

10111213

92.0777.93

8585

175175

182.07167.93

1.414-1.414

00

00

1.414-1.414

78.475.678.577.0

del Proceso codificadas Rendimiento

CorridaCorrida Tiempo (min.)Tiempo (min.) Temp.(ºF)Temp.(ºF) X1X1 X2X2 Y2Y2

11 8080 170170 -1-1 -1-1 76.576.5

22 8080 180180 -1-1 11 77.077.0

33 9090 170170 11 -1-1 78.078.0

44 9090 180180 11 11 79.579.5

55 8585 175175 00 00 79.979.9

66 8585 175175 00 00 80.380.3

77 8585 175175 00 00 80.080.0

8989

85858585 175

175175175

0000

0000

79.779.879.779.8

10111213

10111213

92.0777.93

8585

92.0777.93

8585

175175

182.07167.93

175175

182.07167.93

1.414-1.414

00

1.414-1.414

00

00

1.414-1.414

00

1.414-1.414

78.475.678.577.0

78.475.678.577.0

Estimated Regression Coefficients for Y

Term Coef SE Coef T PConstant 79.940 0.11896 671.997 0.000A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif.B 0.515 0.09405 5.478 0.001A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000


Diseño central compuesto

75 76 77 78 79 80

10-1

1

0

-1

A

B

Contour Plot of Y

1.51.0

0.50.0

-1.5

73.5B

74.5

-1.0

75.5

76.5

77.5

-0.5-0.5

78.5

79.5

80.5

0.0-1.0

0.5

Y

1.0-1.5

1.5A

Surface Plot of Y

Localización del punto óptimo

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1

2

1

2

11 12 1

12 22 2

1

...

ˆ

ˆ 0.9950.515...

ˆ

ˆ ˆ ˆ, / 2,..., / 2ˆ ˆ ˆ 1.376,0.1250/ 2, ,.... / 2

0.1250, 1.001ˆ. ,

01 12 2

k

k

k

k

kk

s

xx

x

x

b

matriz simetrica

x B b

B

0

.7345, 0.0917 0.995 0.3890.0917, 1.006 0.515 0.306

1ˆˆ2s sy x b


Diseño de Box BehnkenEste diseño es un diseño cuadrático independiente ya que no contiene una matriz factorial o factorial fraccional. Sus combinaciones de tratamientos se encuentran en los lados del espacio de proceso y en el centro. Estos diseños son rotables (o aprox. Rotables) y requieren 3 niveles de cada factor. Estos diseños tiene capacidades limitadas para bloqueo ortogonal con respecto a los diseños centrales compuestos.

Ejemplo de diseño de Box – Behnken para tres factores (13 exp.)

Selección de un diseño de superficie de respuesta

CCC – proporciona alta calidad predictiva en todo el espacio de diseño, pero requiere el uso de niveles más allá del rango de los niveles de los factores del diseño factorial original. Requiere 5 niveles por factor.

CCI – proporciona menor calidad predictiva que el CCC, usa niveles dentro del rango de los factores especificados originalmente. Requiere 5 niveles por factor

CCF – proporciona alta calidad predictiva en todo el espacio de diseño, y no requiere el uso de niveles más allá del rango de los niveles de los

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factores del diseño factorial original. Sin embargo da poca precisión para estimar los coeficientes cuadráticos puros. Requiere 3 niveles por factor

Box – Behnken – requiere menos combinaciones de tratamientos que un CCC para 3 o 4 factores. El diseño Box – Behnken es rotable pero contiene regiones de poca calidad predictiva como el CCI. Requiere 3 niveles por factor

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Operaciones evolutivas - EVOP

El EVOP proporciona una estrategia experimental conservadora para mejora continua de procesos. Las pruebas se hacen en la fase A hasta que se establece un patrón. Después se centra la fase B en las mismas condiciones de la fase A. Este procedimiento se repite hasta que se encuentra un mejor resultado. Cerca del pico, se cambia a un paso más pequeño o se examinan diferentes variables. El EVOP puede incluir pequeños cambios incrementales de forma que no se genere desperdicio o sea muy poco.

Preguntas de examen

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Preguntas de examen

1. En cada experimento hay un error experimental, ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?a. El error se debe a la falta de uniformidad del material usado en el experimento y a la variabilidad inherente de la técnica experimentalb. El error puede ser cambiado estadísticamente aumentando los grados de libertadc. El error puede ser reducido solo al mejorar el materiald. En un diseño de experimentos bien diseñado no hay efectos de interacción

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a. Las variables son confundidas si son difíciles de estudiarb. Dos o más variables están confundidas si sus efectos no pueden ser separados dados los datos experimentalesc. Las variables están confundidas si forman una combinación lineald. Dos o más variables se confunden si producen los mismos efectos

3. Un experimento 23 significa que se está considerando:a. Dos niveles de tres factoresb. Dos variables dependientes y tres variables independientesc. Dos variables pasa / no pasa y tres variables continuasd. Tres niveles de dos factores

Resp. 1 a, 2 b, 3 d

4. Un experimento se corre con 8 factores. Dos de los cuales son temperatura (25, 50 y 75º) y presión (14, 28,42 y 56 psi). ¿Cuántos grados de libertad se requieren para determinar el efecto de la interacción entre temperatura y presión?

a. 1 b. 2 c. 4 d. 6

5. El siguiente ejemplo ¿corresponde a la superficie de respuesta?a. Valle ascendenteb. Máximo o mínimoc. Valle estacionariod. Minimax

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6. Cuando se considera el EVOP como una herramienta estadística:a. Un cambio en las medias indica que estamos usando el modelo equivocadob. Es necesaria la evaluación externa del error experimentalc. El EVOP puede extenderse más allá del caso factorial de dos nivelesd. Estamos limitados a una variable de respuesta a un tiempo

Resp. 4 d, 5 a, 6 c

7. ¿A que se refiere el diseño experimental mostrado abajo?

a. Greco latinob. Cuadrado latinoc. Bloques completamente alegorizadosd. Cuadrado de Youden

8. Los experimentos pueden tener diferentes objetivos. ¿Cuál de los siguientes deben ser incluidos en las opciones?I. Objetivo comparativoII. Objetivo de filtrajeIII. Objetivo de optimización de proporción de mezclasIV. Determinación de la superficie de respuestasa. I, II y III c. I, III y IVb. II y III d. I, II, III y IV

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9. Identificar los supuestos que NO son hechos cuando se realiza un experimento:

a. Que el sistema medición sea capaz para todas las respuestas incluidasb. Que los factores sean los únicos de importanciac. Que el proceso permanezca relativamente estable durante la realización de las pruebasd. Que el comportamiento de los residuos sea adecuado

Resp. 7 a, 8 d, 9 b

10. Un diseño hipergrecolatino (4x4) se construye como sigue:

Asumir que el kilometraje de los coches es el la variable de respuesta. Si el diseño fuera convertido a un diseño factorial, ¿cuántas pruebas serían necesarias?

a. 256 b. 1024 c. 1096 d. 4096

11. Un diseño básico de Taguchi L4 es el mismo que:a. Un diseño de dos factores, dos niveles, factorial completob. Un diseño de dos factores, dos niveles, factorial ½ fraccionalc. Un diseño de tres factores, dos niveles, factorial completod. Una prueba de una variable en cuatro niveles

12. En el siguiente diseño Simples Lattice, cual es la proporción del componente X3 en el punto indicado de prueba?

a. 1.000 c. 0.500b. 0.667 d. 0.333

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Resp. 10 b, 11 a, 12 d

13. Cuando se intente ir en la dirección de ascenso rápido, en un experimento de dos factores independientes, el mejor método es:a. Usar un modelo simplex modificadob. Ir en sentido perpendicular a las líneas de contorno y ajustar como sea necesarioc. Usar la ecuación generada en el experimento como una guía de rutad. Estar seguro que no hay condiciones mínimas

14. Cuando se compara un diseño Box – Behnken con un diseño central compuesto, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es FALSA?I. El diseño Box-Behnken requiere menos corridas para 3 y 4 factores que los diseños CCCII. Los diseños Box-Behnken requieren menos corridas para 2 y 5 factores que los diseños CCCIII. Los diseños Box-Behnken requieren menos niveles que los diseños CCC

a. I y II c. II y IIIb. I y III d. I, II y III

15. Para un diseño factorial CCC completo de cuatro factores, ¿Cuál es el valor de alfa?

a. 1.3333 b. 1.6820 c. 2.0000 2.3785

Resp. 13 b, 14 c, 15 c

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IV MEJORA · Web viewEn la fase de análisis encontramos los pocos vitales X’s, en esta fase...

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